违约风险担保

违约风险担保（精选3篇）

违约风险担保 篇1

一、引言

近年,上市公司对外担保行为越来越普遍,涉及的金额越来越大,为企业的发展起到了积极的作用,但其中蕴含的风险也是不容忽视的。截至2007年底,沪深两市共461家上市公司对外提供担保,担保余额总计1008.120亿元,平均2.286亿元/家,其中保证担保所占比例为92.31%。担保违约以及由此引发的诉讼案日益增多,危害金融市场的安全。因此,我们有必要对上市公司担保的违约风险进行度量。

由于我国上市公司在担保行为的选择中,具有明显的保证担保偏好,尤其是连带责任担保,故本文主要探讨的是上市公司连带责任保证担保,下文简称为担保。

对外担保面临的最主要最直接的风险是代偿风险,这实质上是一种信用违约风险。纵观国内外有关文献,直接引入数学模型对企业信用担保风险作定量研究的仍不多见。我国学者对担保风险的定量研究一般从两方面入手:一是研究上市公司对外担保的经济后果,主要包括担保公告的市场反应、担保与公司绩效的关系、担保与财务困境的关系等;二是选取一系列指标,建立担保风险评估体系,碍于数据的可获得性,一般仅限于评价被担保企业的财务风险。如王良健、王颖(2002),何祖玉、韩启华;陈坚(2007)等。鲜有研究以第三方担保人———上市公司为研究对象来度量对外担保的违约风险。

鉴于对外担保是引起相依违约的形式之一,一旦被担保企业违约,担保企业的违约风险势必会受到影响。考虑到风险的可传染性和担保代偿风险实质上是违约风险,本文将从担保方的角度,以相依违约的角度切入,运用违约风险模型,着重研究担保风险发生的概率。

二、模型

1、模型的选择

巴塞尔委员会将信用风险度量模型划分为结构化模型与简约化模型。结构化模型是典型的理论模型,但对突发事件引至的信用风险预测具有局限性;简约化模型便于操作,但缺乏深厚的理论基础,对有些问题的解释力有限。为了更好度量违约风险,国外学者在此基础上发展了混合模型。从方法论的角度来看,混合模型解决了结构化模型和简约化模型之间割裂的问题。它继承了结构模型中的直观、富有经济意义内涵,又保留了简约模型中的经验适合、易处理的优点。混合模型提供了一个不完全信息的分析框架,将关于违约的因果关系与关于违约事件的短期不确定性有机的结合起来,从而使信用预测模型更富有经济意义。

在相依违约的测度方面,由于线性相关系数不能很好地刻画金融市场的相关性,而Copula函数可以捕捉变量间非线性的相关关系,并且具有良好的兼容性与可操作性,本文采用Copula函数测度相依违约。常用的椭球copula族易于仿真,但是隐藏着不真实的违约相依的期限结构且难于分析。而具有普遍意义的阿基米德copula族却没有椭球copula族的上述缺点。我国学者常用阿基米德copula族衡量金融市场的相关性。单国莉等(2005)在文献中对阿基米德copula族中的三种copula,Clayton copula,G um bel copula,Frank copula进行了比较,并用沪深指数作实证研究。分析表明,Frank copula函数最优。司继文,蒙坚玲等(2005)的实证也得到同样的结果,所以本文选取Frank copula函数来测定两公司间的相依违约。

下面把Frank copula函数与混合模型结合起来建立基于相依违约的违约风险度量模型。

假设一个公司的市场总价值为Z,它服从于漂移为无风险利率r和波动率为σ>0的几何布朗运动。那就是Zt=Z0evt,初始值Z0>0。这里Vt=m t+σWt是一个漂移为m=r-21σ2的布朗运动。Wt是标准荠-布朗运动。基于前面的首越时间,历史最小资产Mt分布函数Ψ(t,x)=P[Mt≤x]对于任何x≤0,t<0表示为:

其中Φ是标准正态分布函数。并且,对于所有的x<0,相对于资产过程V的违约阈值假设服从分布函数G(x)=ex,它的概率密度函数是g(x)=ex。

在资产和违约边界的信息不完全的情况下,投资者只能观察到违约,公司i的时间t

现假设有相依违约的公司数n=2(n>2的情况可依此类推),t时刻考虑相依违约的违约概率,用Frank copula表示为

其中C为Frank copula函数。

2、模型的适用性分析

现实中一旦被担保企业违约,担保企业将承担连带责任。若担保企业有能力代偿担保,从银行的角度来说,它的资金仍是安全的;但若担保企业资金紧张,无力代偿,亦将违约,银行便会蒙受损失。且担保违约容易导致对外担保的企业诉讼缠身,陷入财务困境,对企业投资者不利。故仅从单个公司的角度考虑违约风险并不全面。因此,我们需要从相依违约的角度来衡量违约风险。陈睿君(2006)以上市公司交叉持股为例,用实证的方法得出考虑相依违约的违约模型比未考虑相依违约的违约模型对违约风险反应更敏感,更能反应公司实际的违约风险状况。

目前,我国金融市场还不完善,股票市场没有达到弱态有效性。而信息不完全的混合违约风险度量模型放宽了完全信息的假设,相对其他违约风险模型而言,它的应用环境和我国金融市场的现实状况更接近。因此,把copula函数与混合模型结合用来衡量我国上市公司担保违约风险是合适的。

三、应用研究

1、样本选择

本文的研究仅限于被担保方和担保方均为上市公司的担保,研究期为2006年1月2日到2008年12月31日,通过预测累计三年违约概率来度量上市公司担保违约风险。样本选择所考虑的问题和由此设置的条件如下:

(1)要求上市公司对外担保比率(担保比率为担保额与净资产额之比)不小于15%;

(2)如果一个公司同时对多家公司提供大量担保,最终结果可能是受一家公司的影响,也可能是多家公司的共同作用,故在样本中剔除同时对其他公司担保的担保率大于15%的公司;

(3)由于公司间相互作用,为了剔除其他公司对被担保企业的作用,故也剔除同时被两家及两家以上公司担保且担保比率均超过15%的公司;

(4)选择样本时剔除研究期内担保额大幅变动的公司;

(5)担保双方均为非金融类公司;

(6)担保方式为连带责任担保。

基于以上限制条件,选择以下公司作为样本,见表1。

2、参数计算

运用基于相依违约的混合违约度量模型计算上市公司担保的违约概率主要有三步:估算公司价值波动率σ;运用混合模型计算担保企业和被担保企业各自的违约概率;估算相关参数a,运用Frank copula函数测定基于相依违约的上市公司担保的违约概率。主要参数的计算如下:

(1)公司价值波动率σ

本文将公司股票看作关于违约前公司价值的欧式看涨期权。期权的成交价X(t)等于短期债务(t≤1年)。期权的期限为1年。用Black-Scholes公式将股票价格S(t),公司价值V及公司价值波动率σ联系起来。而V(t)、σ均为未知变量,显然不能仅从期权定价公式求解σ,这就还需利用可以观察到的公司股票价格波动率σE与σ之间存在的关系来联立求解:

这里E为公司股权市场价值;N(d)为标准累积正态分布函数;D为公司债务面值。通过以上两个等式,就可得到公司价值波动率σ。

(2)无风险利率

按惯例,用t时刻一年期银行定存整取利率作为一年的无风险利率r。

参数v,m,γ,δ,β均可由γ和σ由根据公式(3)中参数的计算式子推算得到。

(3)相关系数α

Frank copula函数中的参数α可以用非参数法估计得到。

3、基于相依违约的上市公司担保风险测定及结果分析

(1)基于相依违约的上市公司担保风险测定

根据表1,以2005年1月4日到12月30日的股票收盘价计算样本上市公司的股票价格波动率,并根据公式(5)求解出样本公司的价值波动率,如表2所示。

运用参数估计得到三组上市公司的相关系数,可计算出三组公司的肯德尔系数。由表3看出,伊力特和新天国际的相关系数最小,这表明两家公司相关程度小;河池化工和沙隆达A的相关系数最大,表明两家公司相关性最强。

估算出相关系数后,运用Frank copula函数在各上市公司单独违约概率的基础上测定基于相依违约的上市公司担保的违约概率。对2006年1月2日到2008年12月31日三年内三组上市公司担保风险进行了度量,其违约概率如图1所示。

换言之,是运用相依违约的混合风险模型预测了2008年年底的上市公司担保的违约概率,如表4所示,到2008年12月31日,河池化工的三年累计违约概率为18.07%,是违约风险最大的公司;伊力特的三年累计违约概率为4.54%。

(2)结果分析

对比三组上市公司,按相关系数从大到小排序,河池化工和沙隆达的相关系数最大,金健米业和洞庭水殖次之,伊力特和新天国际的最小,故河池化工和沙隆达的相关程度最高。按证监会行业划分标准,河池化工和沙隆达A均属于化学原料及化学制品制造业,两者相关程度高,这与两者的相关系数最大是吻合的;金健米业和洞庭水殖属于相近行业;而伊力特和新天国际属不同行业,前者属于饮料制造业,后者属于商业经纪与代理业,因此可以解释两者的相关系数远小于其他两组。

违约概率是表征公司信用质量的主要指标。因此,可以将公司的违约概率映射到不同的信用等级上,实现对公司的信用评级。巴塞尔委员会根据国际上主要评级机构报告的违约历史数据,对每个信用风险等级推荐了三年期累积违约率长期参考值,如表5所示。

对比图1和表5,伊力特信用等级为BB(Ba)级;河池化工和金健米业信用等级均为B(B)级。

标准普尔评级体系和穆迪评级体系表明:BB(Ba)级债务的违约风险比其他投机级要低一些,不过,商业环境、财务状况或经济情况的变化很可能导致债务人无力承担责任;B(B)级债务的违约风险比BB(Ba)级稍高,不过,从债务人目前的情况来看,它仍有能力承担债务。商业环境、财务状况或经济情况的不利变化会削弱债务人偿债的能力和愿望。

综合公司基本信息来看,河池化工的被担保方沙隆达A是样本公司中财务状况最差的担保方,一旦沙隆达出现违约,河池化工有可能无力承担1亿担保额的连带责任,这与其预测的违约概率最高是一致的。伊力特的被担保企业新天国际是ST公司,是财务状况最差的被担保样本企业。而其担保方伊力特2008年上半年的主营收入和净利润同比大幅增长,资产负债率稳定在20%左右,偿债能力较强,预测的违约概率也是样本公司中最小的。即使新天国际违约,仍有整体实力较强的伊力特承担连带偿还责任,故对债权人银行而言,信贷资金仍有保障,考虑相依违约的上市公司担保的违约风险更能反映信贷资金的安全性。

预测的对外担保违约概率可给债权人银行、投资者和公司管理层规避风险提供参考。

4、敏感性分析

从基于相依违约的上市公司担保风险度量模型看出,无风险利率、波动率和相关系数等因素均能影响违约概率。

(1)波动率对担保违约风险度量的影响

假定在其他条件不变的情况下,仅改变担保方公司的价值波动率,运用基于相依违约的混合模型计算出的样本公司累计三年违约概率如表6所示。

可见,随着担保方公司价值波动率σ从0.1向0.5逐渐增大,基于相依违约的违约概率也在逐步增大,但增大的幅度越来越小。说明公司价值波动率对违约概率有较大影响。

(2)无风险利率变化对担保违约风险度量的影响

无风险利率是影响违约概率变化的一个重要因素。沿用惯例,用一年期银行定存整取利率作为无风险利率。回顾近十年来的一年期银行定存整取利率变化,发现其最高不高于10%,最低在2%左右。故选择的无风险利率变化范围在0.02到0.1之间。假定在其他条件不变的情况下,计算各公司累计三年违约概率,如表7。

表7表明:随着无风险利率值增大,违约概率逐渐减小。直观地说利率越高对债务人而言越有利,较高的利率表示债务人未来的债务现值较低,故债务人违约的机率较低。

(3)公司间相依违约变化对担保违约风险度量的影响

由于copula中表示相依结构的α的变化范围是(-∞+∞),在这个范围内,相依性的变化不易于直接表示,但肯德尔τ相关系数可由copula唯一决定,而且不影响非线性相关的表达。根据copula和肯德尔τ之间的转换关系,改变肯德尔τ来改变copula中的α值,计算不同的肯德尔τ时各样本公司考虑相依违约的累计三年违约概率如表8和表9。

表8表明,当肯德尔τ为正时,随着τ从0.005逐渐向0.95增大的过程中,各公司违约概率也在稳步上升。

表9表明,当其他条件相同时,正的相依违约的违约概率大于负的相依违约的违约概率。且负相依违约下,随着τ从-0.005逐渐向-0.5减小时,违约概率也在不断减小。

以上结果和传统的风险分散理念相符合。当因担保相连的两家企业所处行业相差很大时,肯德尔系数可能很小或为负数,使信贷资金的违约风险减小。

四、结论

本文运用基于copula函数的混合违约风险度量模型能很好的预测上市公司对外担保的违约概率,并可用于上市公司信用评级。敏感性分析表明:违约概率随着波动率增大而增大,但增加的幅度越来越小;违约概率随着无风险利率的增大而减小;违约概率随着相关系数减小而降低,且正相依违约下的违约概率大于负相依违约下的违约概率。

摘要：本文运用基于相依违约的混合模型度量上市公司担保风险,并进行了实证研究。结果表明:此模型能很好的预测上市公司对外担保的违约概率,可对上市公司信用进行评级;在敏感性分析中,违约概率对波动率、无风险利率和相依结构比较敏感,这能为风险管理提供一定的参考。

关键词：担保风险,上市公司,相依违约,Copula,混合模型

参考文献

[1]王良健,王颖.担保风险评估指标体系及评估模型研究[J].统计与决策.2002.3:10~11

[2]何祖玉,韩启华,梅强,王华伟.信用担保风险的模糊综合评审研究[J].运筹与管理,2002,11(5):71~76

[3]陈坚.信用担保风险分担机制研究[D].长沙:中南大学.2007

[4]单国莉,陈东峰.一种确定最优copula的方法及应用[J].山东大学学报(理学版),2005,40(4):66~76

[5]司继文,蒙坚玲,龚朴.国内外股票市场相关性的copula分析[J].华中科技大学学报(自然科学版),2005,33(1):114~116

[6]Giesecke,K.,and Goldberg,L.,Sequential defaults andincomplete information[J].Journal of Risk.2004,7:1~26

[7]陈睿君.相依违约的违约风险度量研究及其在交叉持股上市公司中的应用[D].长沙:中南大学,2006

企业负债的违约风险测度 篇2

违约风险 (Default Risk) 又称信用风险 (Credit Risk) , 是指交易对手未能履行约定契约中的义务而造成经济损失的风险, 即受信人不能履行还本付息的责任而使授信人的预期收益与实际收益发生偏离的可能性。违约风险是金融风险的主要类型, 它通常针对债券而言。违约风险越高, 投资者则要求发行人为高风险支付更多利率。因此, 通过考察利息率 (贴现率) 的高低可以表示公司负债违约风险的高低[1,2]。

公司债券和股票对于公司的收益的分享是不同的[3]。假定一家公司共有两种融资方式:债券和股票。债券持有者因借钱给公司, 所以对财产索取具有优先权。假如公司破产, 债券所有者可以索取公司的剩余价值, 一般剩余价值往往会小于本金。例如债券持有者借给公司1亿元, 公司的剩余价值只有4 500万元, 那么, 债券所有者只能在借出的100元中拿回45元。股票所有者则不能拿到任何剩余资产, 股票持有者所持股票一文不值。只有当公司业绩上升时, 股票持有者的收益才会丰厚;当公司业绩不景气时, 股权持有者的收益也不好。可以看出, 股权持有者的收益比债券持有者的收益变化幅度大。不过, 股权持有者担负有限责任, 这一规则使得股权持有者的最大损失不会超过股票投资价值。因此, 股权的收益好像拥有以公司资产为标的资产的看涨期权[4,5]。

2 鞅及测度变换

随机过程{xn, n≥0}称为关于{yn, n≥0}的下鞅, 如果对于n≥0, xn是{y0, y1, …, yn}的函数, E[xn+]<∞, 并且:E[xn+1|y0, y1, …, yn]≥xn, x+n=max{0, xn}。

随机过程{xn, n≥0}称为关于{yn, n≥0}的上鞅, 如果对于n≥0, xn是{y0, y1, …, yn}的函数, E[xn-]<∞, 并且:E[xn+1|y0, y1, …, yn]≤xn。x-n=max{0, -xn}。

随机过程{xn, n≥0}称为关于{yn, n≥0}的鞅, 则E[xn+1|y0, y1, …, yn]≤xn。

从定义可以看出, 如果一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性, 就可以称之为鞅;如果随机变量序列趋向上升, 则称之为下鞅;反之, 若该过程趋向减小, 则称之为上鞅。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式, 或者说具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。鞅是用条件数学期望表达的随机过程, 因此, 鞅的数学期望形式基于相应的概率测度, 一旦概率测度 (或者分布) 发生变化, 那么原来的鞅随机过程就可能不是鞅了。同时, 也可以通过测度变换, 把任意的随机过程转化为鞅。这样, 可以在计算中采用比较容易计算的概率测度, 如果需要也可以转化为原来的概率测度, 这为计算数学期望提供了巨大的方便。

戈萨诺夫 (Girsanov) 定理在随机基{Ω, P, F}上定义随机过程:其中:βt是Ft-可测的随机过

戈萨诺夫定理说明给定维纳过程wt, 把它的概率分布d P乘以拉登-尼克迪姆导数 (Radon-Nikodym derivative) ξt, 就可以获得一个新的维纳过程wt′和相应的概率分布Q, 这两个过程相差一个Ft-可测的漂移项βtdt。

3 企业违约风险

根据以上对公司资产、股票、债券的叙述, 提出如下假设:

(1) 允许卖空股票, 没有交易费用、税收和保证金, 证券高度可分, 交易连续。

(2) 公司债券、股票没有红利支付。

(3) 无风险利率r为常数, 并且对所有到期日都相同, 投资者可以此利率无限制地存款或贷款。

(4) 不存在无风险套利机会。

(5) 信息结构由布朗运动产生。

(6) 企业资产Vt, 企业股票St, 企业负债Dt, 则Vt=St+Dt。

假设企业资产符合几何布朗运动, 则d Vt=μVtdt+σVtdw, wt是标准一维布朗运动, 令Y=ln Vt, 则

由伊藤公式, 则:

把无风险证券作为标准化证券:

使用伊藤定理:因为股票资产具有风险, 所以漂移项 (μ-r) 不为0, 并且具有 (μ-r) >0, 是下鞅, 根据戈萨诺夫定理, 把St转换为鞅。

定义Ft-适应的随机过程:, 并且满足诺维科夫条件则:

根据风险中性定理, St′是等价鞅测度下的鞅, 因此漂移项为零, 即

任一或有权益标准化后为Q鞅, 由前面分析可知,

由于wt′为一维标准布朗运动, 根据一维标准布朗运动的性质, 增量wT′-wt′服从均值为0, 方差为T-t的标准正态分布, 即:

Vt=St+Dt, Dt=Vt-St=Vt-[VtN (d1) +DTe-r (T-t) N (d2) ], 由贴现公式:

4 数值模拟

假设一个公司, 现在资产为120万元, 资产由股票和债券组成。假定债券在5年内到期, 到期面值为100万元, 不支付任何利息。假设股票在今后5年内也无任何红利;无风险利率6%, 公司资产的波动率为每年25%。利用上述公式进行计算, 可得股票价值为51.45万元, 风险债券价值为68.55万元, 风险债务的利息率为7.55%, 可以看出股票价值加上债券价值等于公司的总资产, 即120万元。风险债券的利息率是7.55%, 这一利率高于无风险利率 (6%) 1.55%, 采用这个利率得到5年期面值100万元的无息债券的现值为68.55万元。

通过改变输入变量, 可以得出风险债券的利息率的变化情况, 例如将债券的面值从100万元增加为200万元, 在保持其他已知变量不变的基础上, 可以得到债券的贴现率从7.55%增长到13.36%。如果将公司资产波动率从25%提高到35%, 在其他已知条件不变的情况下, 风险债券的利息率从7.55%增长到9.42%。

可以看出, 当参数发生变化时, 风险债券的贴现率会随着参数变化的情况进行变化, 但贴现率较大时, 则反映出较高的违约率。

摘要：信用风险对于银行、债券发行者和投资者来说是一种非常重要的决策影响因素。本文根据企业资产中债权和股权之间的相互关系, 认为股权价值是基于公司资产价格的期权费用, 根据戈萨诺夫定理, 利用风险资产贴现价格是在特定的概率测度下的鞅, 得到了衡量企业负债违约风险的计算公式。

关键词：企业负债,违约风险,鞅,测度变换

参考文献

[1]刘志强, 金朝蒿.认股权证的等价鞅测度定价模型与数值方法[J].经济数学, 2004, 21 (2) :136-140.

[2]朱丹.附有回售条款的可转换债券的鞅定价[J].湖南师范大学自然科学学报, 2005, 28 (4) :23-26.

[3]邹杰涛, 于海滨, 吴润衡, 韩立杰.或有要求权在公司负债定价中的应用[J].数学的实践与认识, 2007, 37 (17) :36-41.

[4]Merton R.On the Pricing of Corporate Debt:The Risk Structure of Inter-est Rates[J].Journal of Finance.1974, 29 (2) :449-470.

违约风险担保 篇3

交叉持股,母子公司,公司间的信贷担保,等等形成公司间纽带关系的形式都可能产生相依违约,其中一方违约风险的变动,势必引起市场对这些相关公司违约风险的重新评估。如果金融市场上多家公司都存在上述情况,由此引起的连锁反应可能使这种企业的悲剧殃及整个金融系统或产生其它更严重的后果。交叉持股这种现代企业制度已在工商企业广为应用,在沪深股市上已有237例,而且会继续增多。它是引起相依违约的存在形式之一。虽然这种制度有它的优点,但是一旦某家公司发生违约,持有该股份的其它公司的违约风险势必会受到相应影响,由此产生的违约风险变化,急需引起人们的注意。

国内主要有朱世武(2005)、李健伦(2005)等,应用国外相依违约研究领域普遍使用的copula函数研究违约相依性。而用此方法来研究考虑相依违约的违约风险度量,国内只有朱珊珊(2005)进行了copula度量相依违约在KMV、CreditRisk+、CreditMetrics、CreditPortfolio View模型中的改进并实现了简单模拟示例。 本文用Frank copula函数和混合违约风险度量模型相结合,在考虑相依违约的违约风险度量方面进行探索性研究,并应用于我国的交叉持股上市公司。

2 考虑相依违约的混合违约风险度量模型

违约风险度量理论模型有结构化模型和简约化模型。主要的研究有Duffie和Lando(2001), Giesecke(2004), Guo,Jarrow和Zeng(2005),他们通过等价的路径,放宽了完全信息的假设,将结构化模型和简约化模型联系起来[1,2,3,4,5]。

我国金融市场还不完善,信息不完全的混合违约风险度量模型放宽了完全信息的假设,它的应用环境和我国股市的现实状况更接近。Giesecke(2004)建立的混合模型,考虑了资产价值信息和违约边界信息都是不完全的情况,在美国企业的实证结果表明,它结合了结构化和简约化模型的优点,能更快速反应出违约风险的变化[3]。

目前对于相依违约的研究主要运用copula函数,它避免了传统线性相关系数不能描述经济实体之间非线性相依结构的缺陷,能捕捉变量间非线性的相关关系,并具有更好的鲁棒性和兼容性[6,7]。常用的copula主要有椭球copula族和阿基米德copula族, 文献[7]表明阿基米德copula族和金融市场之间相关性的变化特性更加相符,文献[8]对阿基米德copula族中的三种copula(Clayton copula、Gumbel copula、Frank copula)进行了比较,结果显示Frank copula能更好拟合中国证券指数之间的相关性。综上分析,本文选择Frank copula和Giesecke(2004)的违约资产与边界信息均不完全的混合模型相结合,构建改进的信用风险度量模型。

将模型具体化到资产和违约阈值。假设一个公司的市场总价值为Z,它服从于漂移为无风险利率r和波动率为σ>0的几何布朗运动。即Zt=Z0eVt,初始值Z0>0。这里Vt=mt+σWt是一个漂移为$m=r-\frac{1}{2}\sigma {}^2$的布朗运动,Wt是标准G-布朗运动。基于首越时间模型,历史最小资产Mt分布函数Ψ(t,x)=P[Mt≤x]对于任何x≤0,t>0表示为:

$\Psi (t,x)=\Phi \left(\frac{x-mt}{\sigma \sqrt{t}}\right)+\exp \left(\frac{2mx}{\sigma {}^2}\right)\Phi \left(\frac{x+mt}{\sigma \sqrt{t}}\right)(1)$

其中,Φ是标准正态分布函数。并且,对于所有的x<0,相对于资产过程V的违约阈值假设服从分布函数G(x)=ex,它的概率密度函数是g(x)=ex.

在资产和违约边界的信息不完全的情况下,投资者只能观察到违约。得出公司i的时间t<T期限为ε的边界条件违约概率为:

$\begin{array}{l}F{}_t^i({\rm T})={\rm P}[{\rm I}{}_i\le {\rm T}|G{}_t]=q(t,{\rm T})\\ =\frac{p(t+\epsilon ,0)-p(t,0)}{1-p(t,0)}(2)\end{array}$

其中,Gt代表在时间t能被识别的事件的集合或在时间t时可得到的信息,

$\begin{array}{l}p(\epsilon ,\upsilon )\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{-\upsilon }\psi }(\epsilon ,y)e{}^{y+\upsilon }dy\\ =\Phi \left(\frac{-\upsilon -m\epsilon }{\sigma \sqrt{\epsilon }}\right)-e{}^{\upsilon +r\epsilon }\Phi \left(\frac{-\upsilon -V\epsilon }{\sigma \sqrt{\epsilon }}\right)\\ +\frac{e{}^{(1-\gamma )\upsilon }}{\gamma }\Phi \left(\frac{m\epsilon -\upsilon }{\sigma \sqrt{\epsilon }}\right)-\frac{e{}^{\upsilon +\epsilon \beta }}{\gamma }\Phi \left(\frac{\delta \epsilon -\upsilon }{\sigma \sqrt{\epsilon }}\right)\end{array}(3)$

式中,$V=m+\sigma {}^2‚m=r-\frac{1}{2}\sigma {}^2‚\gamma =1+2m/\sigma {}^2‚\delta =m-\gamma \sigma {}^2‚\beta =-m\gamma +\gamma {}^2\sigma {}^2/2$。

现假设有相依违约的公司数n=2(n>2的情况可依此类推),它的条件联合分布的违约概率,用Frank copula表示为

$F{}_t({\rm T}{}_1,{\rm T}{}_2)=C(F{}_1({\rm T}{}_1),F{}_2({\rm T}{}_2))(4)$

其中, C为Frank copula, 为

$C(u{}_1,u{}_2)=-\frac{1}{\alpha }\ln \left[1+\frac{(e{}^{-\alpha u{}_1}-1)(e{}^{-\alpha u{}_2}-1)}{e{}^{-\alpha }-1}\right],\alpha \in R(5)$

式中,α为相关参数,u1、u2表示随机变量。

3 模型在交叉持股上市公司中的应用

以上基于copula的相依违约混合违约风险度量模型并不限定具体的相依违约形式,属于普遍意义上的度量模型,它可以应用于任何可能发生相依违约的经济实体的违约风险度量。例如,存在担保,交易等关系的公司,都可以此为工具。本文将其应用于交叉持股上市公司,并对度量结果进行分析。

3.1 样本选择和处理

本文在交叉持股上市公司中选择样本时设置的条件为:

①选择持有其他公司20%以上股份的企业作为样本。

②样本不包括同时持有20%以上其他公司股票的企业。

③因为公司间是互相作用的,所以样本仅包括被一家公司持有20%以上股票的企业。

④样本不包括在研究期间持股比例大幅变化的公司。

⑤为了比较模型是否受持股比例的影响,本文挑选了几家只对一家公司持股,且持股比例不到1%的企业作为对照组,进行相同的研究。

根据以上条件,适合的企业和对照组一起,共有8家公司作为本文的研究对象,并用2002年1月4日至2002年12月31日的数据作为样本,对2003年1月2日至2006年1月6日三年内公司的违约风险进行度量。(原始样本数据来自Wind资讯)各公司的名字和代码及持股比例如表1所示。

3.2 参数计算

本文将公司股票看作关于违约前公司价值的欧式看涨期权。期权的成交价X(t)等于短期债务(t≤1年)。期权的期限为1年。用Black-Scholes公式将股票价格S(t),公司价值V(t)及公司价值波动率σ联系起来。并由$\text{Ι}\text{t}\widehat{\text{o}}$公式可知在t时刻和ω状态下股票价格波动率σS(t,ω)和公司价值波动率σ之间的关系是:

$S(t,\omega )\sigma {}_S(t,\omega )=\Delta (t,\omega )V(t,\omega )\sigma (6)$

这里,Δ(t,ω)是在t时刻和ω状态下期权的delta。通过以上两条等式,就可得到相应的公司价值V(t)和公司价值波动率σ.

本文用t时刻一年期国债收益率作为一年的无风险利率r.

ε为t时刻到到期日的时间。其他参数,V,m,γ,δ,β均可由以上参数,根据式(3)中参数的计算公式推算得到。

Frank copula函数中的参数α可以用标准极大似然估计法估计得到。

本文设计的标准极大似然估计法操作步骤如下:

①将交叉持股的两家公司的各自边际违约率根据式(2)求出;

②通过matlab生成30个随机数,按这些随机数抽取30个边际违约率作为样本观测值,转化为均匀分布变量,代入式(5);

③似然函数为:

$L(\alpha )=\underset{i=1}{\overset{30}{{\displaystyle \Pi }}}C{}_{\alpha }^i(u{}_1^i,u{}_2^i)(7)$

④用极大似然估计法估计出α的极大似然估计值。

本文通过Matlab 6.5和Excel,运算获得以上参数。

4 结果及分析

4.1 未考虑和考虑相依违约的违约风险度量

依据上述方法,将样本数值代入式(2),用Matlab计算各公司未考虑相依违约的违约概率如图1所示。依据上述方法,将样本数值代入式(4),用Matlab计算各公司考虑相依违约的违约概率。为了比较,将各公司未考虑和考虑相依违约的违约概率都显示在图1中。

为了考察各公司违约风险的变化,本文将2003年1月2日至2006年1月6日各公司的违约概率进一步处理,用其平均增长速度来表示违约风险在三年内每年的平均增长变化程度,用增量表示三年内违约风险增长的绝对数,剔除特殊点,进行计算。同时为了便于比较,将各公司未考虑和考虑相依违约的违约风险的平均增长速度和增量进行排序的结果放在一起,如表2所示,在表2中未考虑违约风险的情况用I表示,考虑相依违约的情况用II表示。

各公司在相同期限内,同一时点上进行未考虑相依违约的违约风险度量时,如表2所示,百联的平均增长速度和增量均为最小,新大陆的平均增长速度和增量均为最大,同时图1显示,新大陆的增长速度和增量集中发生在第一年,即2003年。

考虑相依违约的违约风险度量时,如表2所示,新大陆的违约概率随预测期限的延长,平均增长速度最慢,且违约概率的增量也最小。此时,三九医药的平均增长速度为最大,三九医药、百联的增量为最大。

将两种不同的违约风险度量结果放到一起比较,从图2发现,在最初一年左右的时间里,百联、三九医药、G白云山的考虑相依违约的违约概率均近似为0,明显低于未考虑相依违约时的违约概率。但过了最初的一年后,即2004年和2005年,用考虑相依违约的违约风险度量所得结果的平均增长速度却大大超过未考虑相依违约的违约风险度量结果,增量也略有提高,如表2所示,百联的提高了0.1641, 三九医药的提高了0.0936, G白云山的提高了0.0796。只有新大陆的用考虑相依违约的违约风险度量比未考虑相依违约的违约风险度量结果的平均增长速度大大下降, 减少了60.7585, 增量也有大幅下降, 减少了0.3203。

4.2 公司间相依违约变化时的 违约风险度量比较

由于本文使用的是Frank copula中表示相依结构的α的变化范围是(-∞,+∞),相依性的变化不易于直接表示,肯德尔τ相关系数可由copula唯一决定,并不影响非线性相关的表达[7]。

copula和肯德尔τ之间的转换关系式为:

$\tau =4{\displaystyle {\iint }_{2}C}(u,v)dC(u,v)-1(8)$

根据式(8)改变肯德尔τ值来改变copula中的α,计算肯德尔τ分别等于0.902,0.816,0.666,0.307,0.011,-0.307,-0.666,-0.816,-0.902时各公司的考虑相依违约的违约概率。本文运用Matlab计算出不同肯德尔τ下的违约概率,计算结果如图2、图3、图4、图5所示,其平均增长速度和增量随肯德尔τ如表3所示。

当肯德尔τ为正时,从表3看出,随着τ从0.01逐渐向0.90增大的过程中,各公司违约概率的平均增长速度也在快速的上升。虽然三家公司的违约概率增量最终都达到1,但是从白云山违约概率增量的变化中看到,增量也在随着τ的增加在小幅上升。

以上是从整体上来看,但是还可从图2、图3、图4、图5中发现,并不是全程都是上述的这种情况,而是各曲线会相交。相交前,肯德尔τ越大,曲线反而越平缓,位置反而越低。相交后,情况恰恰相反,肯德尔τ越大,曲线反而越陡,位置反而越高,当肯德尔τ为负时,从表3中数据看出,随着τ从-0.31逐步向-0.90变化的过程中,各公司违约概率的平均增长速度在下降。各公司违约概率增量也在随着τ绝对值的增加在小幅下降。

和正相依的情况类似,从图2、图3、图4、图5还可发现,各曲线相交前,肯德尔τ的绝对值越大,曲线反而越陡,位置反而越高。相交后,情况恰恰相反,肯德尔τ的绝对值越大,曲线反而平缓,位置反而越低。

将表3中数据比较,不难发现肯德尔τ为正的情况下不论是违约概率的平均增长速度,还是增量,都要比肯德尔τ为负的情况下大。即正的相依违约下的违约风险大于负的相依违约,并且从不违约到违约的变化速度也是正的相依违约大于负相依违约的。

和前面分析的情况类似,还可从图2、图3、图4、图5中发现,各曲线相交前,肯德尔τ为正的情况下的曲线位置低于肯德尔τ为负的情况。相交后,情况恰恰相反,肯德尔τ为正的情况下的曲线位置要高于肯德尔τ为负的情况。而且,还可以发现,肯德尔τ为正时是凹曲线,曲线的斜率是逐渐增大,即从不违约到违约的变化速度是越来越大。肯德尔τ为负时是凸曲线,所以曲线的斜率是逐渐减小,即从不违约到违约的变化速度是越来越小。

4.3 分析

大多数预测模型通过指出它们正确地预测最近的公司违约及破产来向人们表示它的有效性[9]。但是中国上市公司目前尚没有一家因破产而退市,而且公司还会继续的营运下去,所以按破产的标准很难对结果进行分析。所以本文将综合Z计分模型,公司的公告信息等,对计算结果进行分析。

本文不是用Z计分模型用来预测,不存在经验模型预测性差的缺陷,而是用2003年1月至2006年1月已发生的数据,代入Z计分模型,以此作为一个参照,并结合公司公告的信息,从多方面分析前面基于copula的相依违约混合违约风险度量模型计算的结果。

通过各公司的年报及“Wind资讯”提供的数据,计算它们各年的Z得分如图6所示。

①对未考虑和考虑相依违约的违约风险度量的比较分析

未考虑和考虑相依违约的情况下,见表2,后者中考虑相依违约的违占风险度量的结果表明,并不像前者中所示新大陆是四家公司中违约风险最大的,恰恰相反,是最小的,并且它和其他几家公司的结果很不相同,即从最初几个月开始,违约风险约等于0。后者中新大陆最初就显示的违约风险,和前者及Z模型的结果是一致的,这一点从它第一年几次业绩预警公告中也有体现。后者和前者不同的是它并不显示新大陆的违约风险最大,而是三九医药最大,新大陆最小。后者的这一结果和Z计分模型基本相符。从图6可知,最终结果是三九医药的Z得分最低,新大陆的Z得分最高,虽然在观察期新大陆的Z得分有很大的下降,但是仍然是所有公司中最高的。所以后者中第三年末新大陆违约概率最小,三九医药违约概率最大的计算结果更能反映出公司违约风险的实际情况。

这两家公司的公告显示结果也和以上分析一致。根据三九医药公司发布的2003年度报告,截至2003年12月31日,公司控股股东及其他关联方占用公司资金余额为28.524亿元,此时公司的净资产只有29.093亿元,占用资金接近净资产总额。以上各种公布的信息都显示出,三九医药的违约风险很高。与之相比,新大陆公司只在2003年三季度经营状况及财务状况的初步测算中预计2003年1～9月份的净利润及扣除非经常性损益后的净利润均比2002年同期下降50%以上,此后的公告基本上无负面消息。因此,新大陆的违约风险明显比处在违约边缘的三九医药要小。考虑相依违约下的结果显示正反映出此状况,第三年末, 该公司的违约概率为0.6797, 三九医药为1, 不像未考虑相依违约时显示第一年时新大陆的违约率就会达到1, 三九医药反而低于新大陆, 在第三年末才是0.9064。

以上两种分析均显示,比起未考虑相依违约的情形,显然考虑相依违约时的结果更反映实际违约风险。

按照Altman标准,从图6看出,百联集团,三九药业,还有白云山的Z得分都在1.81之下,所以它们存在很大的违约风险。

因此,考虑相依违约的模型对违约风险变化的反应比未考虑相依违约时更加敏感。

②公司间相依违约变化对违约风险度量的影响分析

从以上公司间相依违约变化时的违约风险度量计算结果可得,若存在正的相依违约性时,当超过一定期限,违约风险将随相依性的变大而增加,并且从不违约到违约的变化速度也会随之加快。当存在负的相依违约性时,结果相反,若超过一定期限,违约风险将随相依性的变大而减小,并且从不违约到违约的变化速度也会随之变缓。若超过一定期限时,正的相依违约比负的相依违约下的违约风险大,并且从不违约到违约的变化速度也更快。而在一定期限内,结果和上面的相反。所以正的相依违约是否会比负的相依违约下的违约概率大,从不违约到违约变化的速度更快,还要看是否超过某一个时点。而这个时点的确定则有赖于各公司具体的违约风险状况。

以上结果和传统的风险分散理念相符合。关于在一定期限内出现相反的结果,也很符合其他类似文献的结论。造成企业违约相依性的正负相关,可能是两者企业所在行业,或其他原因引起的。从表4中不难发现,行业越相近的公司,它们的相依违约也呈现出较大的正相依。而像新大陆和G华银所在行业差距较大,就显示负的相依违约。从行业差异引起的相依违约差异的角度分析违约风险的情况,当一家公司拥有相同行业的公司的股票时,正像文献[9]所述,这种相关性较强的交叉持股可能会给企业的经营带来一定的稳定性,所以短期内,这种情况可能会使违约风险降低,但是从长远来看,这种相依性强的公司,会加剧违约风险,因为引起一家企业的违约风险加强的原因,可能正是另一家企业也正面临的难题,所以,会起到加剧的作用。而像新大陆和G华银所在行业差距较大的,一旦其中一家企业遇到违约危机,另一家企业由于所在行业完全不同,可能还在正常发展,此时就可以削弱另一家企业的违约风险。

5 结论

本文选择Frank copula函数和结合结构化和简约化模型的特点,放宽了完全信息假设的混合违约风险度量模型并进行修改,构建了基于copula的混合违约风险度量模型。该模型属于普遍意义上的违约风险度量模型,它可以应用于任何可能发生相依违约的经济实体的违约风险度量。该模型在交叉持股上市公司的应用研究中得出:①使用基于copula的混合违约风险度量模型比未考虑相依违约的违约风险度量模型所获的结果更能反映公司实际的违约风险状况,对违约风险变化反应更加敏感;②若超过一定期限,当存在正的相依违约性时,违约风险将随相依性的变大而增加,并且从不违约到违约的变化速度也会随之加快;当存在负的相依违约性时,情况则相反;正的相依违约比负的相依违约下的违约风险大,并且从不违约到违约的变化速度也更快。如果在一定期限内,则结果相反。

摘要：公司间各种纽带关系形成的相依违约会影响相关公司的违约风险。本文选择适合中国股市的copula函数,构建基于copula的相依违约混合违约风险度量模型。将其应用于交叉持股上市公司,进行考虑相依违约的违约风险度量。并比较未考虑和考虑相依违约两种情况下的违约风险度量结果,以及分析公司间相依违约差异给违约风险度量结果带来的影响。

关键词：相依违约,违约风险,copula,交叉持股

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