矩阵函数（共4篇）
矩阵函数 篇1
随着计算能力的提高, 量化分析已广泛应用于社会、 经济、 管理等领域。 其特点为调研时, 通常应用离散型数据对样本的定性指标进行量化, 因此希望通过分析离散数据来建立一套抽样调查的优化设计方案。 样本协方差矩阵被知识工程领域中的许多研究分支所采用, 如数据挖掘、 模式识别等, 由于在许多实际应用中, 样本数据量是不断增加的, 因此必须反复计算样本协方差矩阵, 如何高效计算, 传统的方法是, 每次样本容量变化时, 都完全重新计算一次, 显然这种方法在样本容量很大时非常耗时, 为解决这一问题, 提出了利用Excel中的函数来计算协方差矩阵, 大大减少了计算时间。
1 二维随机变量的样本协方差和样本协方差矩阵的定义
根据由两个总体构成的二维随机变量 (X, Y) 的协方差矩阵为[1]:
则定义二维随机变量 (X, Y) 的样本协方差矩阵为:
2 维随机变量的样本协方差矩阵的定义
协方差也只能处理二维问题, 那维数多了自然就需要计算多个协方差, 比如n维的数据集就需要计算个协方差, 这就需要使用矩阵来组织这些数据。 下面给出n维随机变量的样本协方差矩阵的定义。
因为在数理统计上, 协方差矩阵一定是对称矩阵, 故样本协方差矩阵C为对称矩阵, 即cij=cij (i=12, …, n; j=12, …, n) 。
由以上定义注意到样本协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差, 而不是不同样本之间的, 若样本矩阵的每行是一个样本, 每列为一个维度, 则要按列计算均值。
对称矩阵是半正定的, 特征值一定不小于0。 而协方差矩阵对角元素是每个随机变量各自的方差, 是恒不小于0 的数, 因此样本协方差矩阵的特征值和迹在可分性测度和聚类分析中有很重要的作用。
3 Excel中求解样本协方差的函数
在Excel软件中函数COVARIANCE.S (array1, array2) 返回样本协方差, 即两个数据集中每对数据点的偏差乘积的平均值。 例如要求Cij=Cov (Xi, Xj) , 则array1 为Xi的样本所在的数据区域, array2 为Xj的样本所在的数据区域。 下面通过实例在Excel中利用该函数求解样本协方差矩阵。
4 利用Excel中的函数求解协方差矩阵实例
协方差矩阵一定是对称矩阵, 故只需要算矩阵的上三角部分即可。 例: 27 名糖尿病患者的血清总胆固醇 (X1) , 甘油三酯 (X2) 、 空腹胰岛素 (X3) 、 糖化血红蛋白 (X4) 、 空腹血糖 (Y) 、 的测量值列于表1 中[3], 试求解X1、 X2、 X3、 X4、 Y的样本协方差矩阵。
解: 下面利用Excel中的函数COVARIANCE.S (array1, array2) 给出样本协方差矩阵的求解过程, 只需要求出上三角部分即可。
( 1) 将样本矩阵的数据放在如表1 所示的区域A2: 28中, 如选定存放样本协方差矩阵C的区域为G2: K6, 求解过程只需要在样本协方差矩阵C的主对角线输入求解Cij=Cov (Xi, Xj) 的Excel中样本协方差函数, 向右拖动即可。
先求C11=Cov (X1, X1) , 在单元格G2 中输入 “=COVARIANCE.S ($A2:$A28, A2:A28) ”, 按Enter键就可以求得, 由于函数中的第一个参数为$A2:$A28, 是混合引用, 将单元格G2 向右拖动的过程中列不变, 即第一个参数不变, 于是将G2 单元格的填充柄向右拖动至K2, 即可依次求得c12、 c13、 c14、 c15结果如图1 所示。
(2) 下面求c22, 在单元格H3 中输入 “=COVARIANCE.S ($B2:$B28, B2:B28) ”, 按Enter键就可以求得c22, 将H3 单元格的填充柄向右拖动至K3, 即可依次求得c22、 c23、 c24、 c25结果如图2 所示。
(3) 主对角线元素的输入方法均同第一步, 在主对角线的单元格I4、 J5、 K6 中依次输入 “=COVARIANCE.S ($C2:$C28, C2:C28) ” 、“ =COVARIANCE.S ( $D2: $D28, D2:D28) ” 、“=COVARIANCE.S ($E2:$E28, E2:E28) ” , 按Enter键就可以依次求得c33、 c44、 c55, 再依次向右拖动。 经过以上3 步可得样本协方差矩阵的上三角部分。 结果如图3 所示。
(4) 样本协方差矩阵是对称阵, 下面求下三角部分。 先选定放转置矩阵的区域, 然后再编辑栏输入转置函数 “=TRANSPOSE ( G2:K6) ” , 同时按下 “ Ctrl +Shift +Enter ” , 即可求得转置矩阵, 再复制转置矩阵的下三角部分的元素, 通过选择性粘贴值, 就可以得到样本协方差矩阵C, 如图4所示。
当样本容量增加时, 只需要改变矩阵中主对角线上公式中的样本数据的范围, 然后向右拖动即可。 此方法对于阶数较高的矩阵简便程度尤其明显。
5 结语
一般维随机变量的分布是不知道的, 或者是太复杂, 以至于在数学上不易处理, 因此在实际应用中协方差矩阵就显得尤为重要。 理解协方差矩阵的关键就在于牢记它计算的是不同维度之间的协方差, 而不是不同样本之间, 拿到一个样本矩阵, 最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度。利用Excel中的函数给出求解协方差矩阵的方法, 函数简单, 利用拖动完成求解, 当样本容量增加时只需要改变函数中的数据范围, 省去了反复计算样本协方差矩阵的麻烦, 尤其是对数学知识欠缺和编程不熟的人应用起来非常方便。
摘要：样本协方差矩阵被知识工程领域中的许多研究分支所采用, 为解决随着样本数据量不断增加需要反复计算样本协方差矩阵耗时多的缺点, 利用Excel中的函数给出了快速求解协方差的方法, 此方法尤其适用于不熟悉编程的人。
关键词：协方差矩阵,样本,多元随机变量
参考文献
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矩阵函数 篇2
机构拓扑结构描述与分析一直是机构学研究的热点。空间机构学的研究和发展主要由机器人研究的发展所推动,目前机器人机构拓扑结构分析与综合的方法主要有3种:基于螺旋理论的方法[1,2,3]、基于位移子群/子流形的方法[4,5,6]和基于方位特征的方法[7,8,9]。螺旋理论采用传统符号法加上下标的方式,定义互易螺旋系运动螺旋和力螺旋,用于描述刚体运动中的速度和角速度、力和力偶等参数。运用螺旋理论使问题描述变得简洁统一,但由于螺旋系瞬时性的特点,需要对其进行相关性判别,而这在一些情况下是非常困难的[1,10]。位移子群/子流形方法采用位移子群符号描述李群代数结构机构的两构件相对运动非瞬时方位特征,位移子流形可以覆盖非李群代数结构机构的描述,并给出了表格形式的子群运算规则。该方法与机构运动位置无关,但子群/子流形与机构拓扑结构之间的显式映射关系及其机构学意义不够明晰,子群运算只能使用综合性判据或使用已编制的表格,不便于应用。方位特征集的方法以单开链为结构单元,采用尺度约束类型符号与P副、R副、H副及串并联符号可描述任意拓扑结构稳定的机构,其结构学基本方程可揭示机构拓扑结构、运动方位特征和自由度三者之间的显式映射关系,但已不再是纯数学公式。该方法不适于变拓扑结构的机构描述。
采用拓扑图和图论中的邻接矩阵描述运动链,并将运动链运算转换为矩阵运算是近二十年来平面机构研究普遍采用的方式[11,12,13],有学者将其拓展到空间机构的研究。如王德伦等[14]提出的符号邻接矩阵,同时适用于平面机构和空间机构,但该矩阵缺少运动副的轴线方位信息,难以区分出平面机构和空间机构。李树军等[15]构造的(2l+2)×n阶运动链拓扑特征矩阵,平面机构和空间机构均可适用,但其矩阵不同行的构造方法不相同,矩阵元素比较复杂,不如n×n阶矩阵简单直观,而且对于少环路运动链而言,该矩阵在结构上没有明显优势。
空间机构的运动副具有方位复杂性和运动多变性,仍然需要简便、直观的描述方法。本文基于对运动副约束本质的分析,根据运动副约束的能力和程度,采用矩阵法定义欧式空间广义坐标下空间运动副约束特征参数——约束函数,以简单数字0、1为元素,描述接触构件连接关系的各类信息。提出以约束函数为矩阵元素构建空间运动链邻接矩阵的方法,分析该矩阵描述空间机构的有效性,以期为空间机构描述提供一种新的方法,也为计算机辅助机构分析和机构综合提供一种便捷途径。
1 运动副约束特征
机构是由构件通过运动副组成的系统,而运动副是两构件直接接触所形成的可动连接,其本质是两构件接触表面之间产生约束从而限制了表面间的部分相对运动,使自由度减少。运动副独立约束数s决定运动副的级别,与运动副自由度f的关系为s=6-f。接触表面的约束通常是以压力、摩擦力及其力矩的形式施加的,约束力的大小由机构的拓扑结构、输入输出力或力矩的大小所决定,约束力的方向与形成接触表面的几何形体——运动副元素的结构形状密切相关,约束力的作用点就在接触点上,而约束力矩则是由接触面上不同点的约束力所形成的。
平面机构各运动副的约束方向相对比较集中,如平面铰链机构各运动副有5个相同方向的约束,剩下1个相同方向的自由度——转动。相比之下,空间机构的运动副约束要复杂很多。这些运动副通常分布于三维空间的不同方向,描述机构运动链中接触构件之间的连接关系需要概括运动副约束力和约束力矩不同方向的约束特征,所以采用单数值矩阵元素加上标和下标的方式不足以为用,本文采用定义欧式空间广义坐标下约束特征向量参数的方法来描述运动副的这种约束特征。
2 运动副约束函数
如果某参数能对运动副中约束力和力矩的方向及作用大小程度进行较广泛而直观的描述,那么,这个参数的数据结构不仅应具有多元性以表达力和力矩的方向,而且需要有定性和定量的对比性以表达作用的大小和程度。于是,本文给出下列定义。
定义1 运动副接触表面之间相互作用的所有力和力矩的组合称为运动副的广义作用力P。用6维欧式空间向量可表示为
P=(p1,p2,p3,p4,p5,p6)T (1)
式中,p1、p2、p3分量分别为对应某个时刻运动副接触面上三维笛卡尔坐标系中各轴线方向相互作用的分力;p4、p5、p6分量分别为对应3个轴线方向相互作用的力矩。
广义作用力的向量表达与螺旋理论中力螺旋的Plücher坐标表达是一致的[16],可与螺旋理论求解方法联系起来。
定义2 运动副沿各个坐标轴方向约束能力的极限称为运动副的最大广义约束力Pmax。用6维欧式空间向量可表示为
Pmax=(p1max,p2max,p3max,p4max,p5max,p6max)T (2)
其中,Pmax是接触面上某坐标轴方向所能提供的最大广义约束力,由表面的接触状态和结构强度所决定。当坐标系选取适当时,可使各Pmax为独立参数,但少数情况下,由于运动副元素的几何结构导致各方向的Pmax之间可能存在关联,如螺旋副沿移动轴方向的力和力矩、某些柔性铰链不同方向之间的力或力矩等。
当P≤Pmax时,运动副在该方向的约束有效;当P>Pmax时,运动副在该方向的约束减弱甚至失效。例如,当接触面摩擦力不够时,纯滚动高副变成滚动兼滑动。
定义3 运动副在不同时刻沿各个方向的约束程度称为运动副的约束函数C(t),即
C(t)=(c1,c2,c3,c4,c5,c6)T (3)
根据定义,运动副约束函数具有如下性质:
性质1 约束函数是描述运动副各方向约束状况的向量。前3个分量(c1,c2,c3)表示移动约束,后3个分量(c4,c5,c6)表示转动约束。
性质2 约束函数是机构运动时间(或机构位置)的函数,既能描述定常约束,也能描述非定常约束。
性质3 当ci=1时,运动副在i方向为有效的刚性约束,即完全约束,此时对应于螺旋理论中力螺旋与运动螺旋互易积为零的状态;当1>ci>0时,该方向约束具有柔性,即不完全约束,此时对应于螺旋理论中力螺旋与运动螺旋产生瞬时功率的状态;当ci=0时,该方向无约束或约束失效。
性质4 在广义坐标系中约束函数的各分量之间可能是互相独立的,也可能是互相关联的。这种关联可能是运动副元素的几何结构导致的,称为第一类关联,本文采用关系式cj=f(ci)表示;也可能是坐标系的选取导致的,称为第二类关联。本文引用向量组相关性和矩阵秩的概念,将运动副的独立约束数s称为约束函数的秩,通过坐标变换(如利用方向余弦矩阵)将约束函数转换为不含第二类关联的极大无关约束向量表达。
传统机构中的运动副一般为定常约束的刚性运动副,运动副约束函数C(t)=常向量,表1所示为常见运动副的约束函数C(t)。其中,螺旋副沿x轴方向的转动约束与移动约束存在关联,即c4=f(c1),这种关联由螺旋副表面的几何参数、表面性质所决定。
图1所示的柔顺卷边机构[17],构件2连杆和构件3滑块之间的运动副为非定常约束的柔性运动副,其约束函数C(t)=(c1,1,1,1,1,1)T,c1∈[0,1],是机构运动时间(或机构位置)的函数。
从以上分析可以看出,约束函数C(t)不仅能广泛描述运动副性质、类型、级别、自由度、方位等诸多结构信息,而且可以反映机构在不同时刻不同位置时运动副约束的变化情况,非常便于机构运动学和动力学的分析,同时,简单数值的向量元素便于计算机运算。
3 空间机构运动链的邻接矩阵
运动链由一系列构件通过运动副连接而成,邻接矩阵是运动链链接关系的常用描述方法[11,12,13,14],本文引入运动副约束函数C(t)来定义空间运动链邻接矩阵,即
式中,A(t)为n×n阶的对称矩阵,n为构件数;Cij为构件i和j之间运动副的约束函数C(t)。
式(5)中,构件自身不构成运动副,不存在约束函数,故矩阵对角线上元素均为0,下(或上)三角矩阵中非零元素的数目等于运动链中运动副的数目。每一行(列)上非零元素的数目就是对应构件上的运动副数,据此可判断构件是几副构件。每一个矩阵元素都可以反映对应构件之间运动副的类型、级别、自由度、方位、性质及其变化情况。
值得注意的是,Cij是在一个统一的机构广义坐标系O下的约束函数,若各运动副可以在其局部坐标系O′中表达为不含第二类关联的极大无关约束向量(表1),则可应用邻接矩阵进行坐标系转化,其方向余弦矩阵DO O′的表达式为
式中,α、β、γ分别为局部笛卡尔坐标系的各轴关于机构笛卡尔坐标系的方向角。
若所有Cij在相同坐标轴q方向一致拥有完全约束,即∀cq=1,q=1,2,…,6,cq∈Cij,i≠j,i,j=1,2,…,n,则运动链在q方向具有公共约束。根据运动链拥有公共约束的数目0、1、2、3、4、5,可判断出运动链分别为0族、1族、2族、3族、4族、5族等不同类别,从而获知运动链所对应的是6度空间、5度空间、4度空间、3度空间、2度空间、1度空间的运动链,进而得以判断出运动链所构成的机构维数是空间机构还是平面机构。
由此可见,该邻接矢量矩阵A(t)对应着空间运动链的构件数n,能广泛描述运动副数目、类型、级别、方位、性质及其变化、对应的空间机构类别等诸多信息。所以,邻接矩阵A(t)是描述空间机构运动链拓扑结构的特征参数矩阵。
4 示例
4.1RSSR空间机构
图2所示为文献[15]中的RSSR空间机构,其中,xyz为机构三维坐标系,x1y1z1为局部坐标系,θ为结构参数。现运用约束函数和邻接矩阵对其进行描述和分析。
该空间机构运动链中有4个构件、4个运动副。在机构广义坐标系O中,各运动副的约束函数分别为
从约束函数可以发现,运动链的4个运动副均为刚性约束运动副,从各运动副约束函数的秩或其零分量的个数可知运动副自由度分别为1、3、3、1;有2个转动副(A、D)且方位一致均为c6;有2个球副(B、C),其方位一致,均为空间方位;4个运动副有1个公共约束c3,说明此机构为1族运动链组成的5度空间机构,而非文献[15]所简化描述的平面机构。
将各约束函数C(t)代入邻接矩阵A中,从邻接矩阵A中可以看出,矩阵有4行(列),说明机构有4个构件;矩阵上(下)三角阵里约束函数的个数为4,说明机构共有4个运动副,每个运动副的位置表明构成此运动副的构件编号;矩阵每一行(列)有2个约束函数,说明每个构件都是两副构件。从上述约束函数得知4个运动副共有8个自由度,则运动链有8个自由度,当构件4(自由度6)为机架时,机构自由度为(8-6)=2(一个是机构在xy平面内的,另一个是构件2在y1z1平面内的)。
4.2RSS′R空间机构
图3所示为文献[18]中的RSS′R空间机构,各参数h1,h2,h3,h0,s0,s3,α30均为常数,机构三维坐标系x0y0z0和其他局部坐标系及结构参数的选取亦如图3所示。球销运动副S′的指销方向与z2轴重合、垂直于杆件BC(x2轴),其开槽平面法线(轴y3)同时垂直于x3轴和z′3轴。现运用约束函数和邻接矩阵对其进行描述和分析。
该空间机构运动链中有4个构件、4个运动副。在机构广义坐标系O中,各运动副的约束函数分别为
从约束函数可以发现,运动链的4个运动副均为刚性运动副,从各运动副约束函数的秩或其零分量的个数获知运动副自由度分别为1、3、2、1;有2个转动副但方位不一样,一个沿广义坐标轴方向,另一个沿空间布局的局部坐标轴方向;有1个球副和1个球销副,其方位都是沿空间布局的局部坐标轴方向;4个运动副没有公共约束,说明此机构为0族运动链组成的6度空间机构。
将各约束函数C(t)代入邻接矩阵A中:
从邻接矩阵A(t)中可以看出,机构有4个构件,上(下)三角阵里约束函数的个数说明机构共有4个运动副,每个运动副的位置表明构成此运动副的构件编号;从约束函数获知4个运动副共有7个自由度,即运动链有7个自由度,当有1个构件为机架时,机构自由度为(7-6)=1;每一行(列)有2个约束函数,说明每个构件都是两副。
从上述两例可清楚地看出,用运动副约束函数和以此定义的空间机构运动链邻接矩阵描述空间机构,能简单、直观和广泛地描述运动副性质、自由度、类型、级别、方位、机构类型、空间布局等详细信息,且简单的数值向量元素便于运算。
与现有其他方法相比,基于约束函数及邻接矩阵的方法还具有适应时变和数值化的特点,不仅适用于普通机构的瞬时描述,而且还适用于非瞬时和具有不同构态的变拓扑机构的描述和分析,数值型的函数方便计算机分析运算。
5 结论
(1)本文定义的约束函数不仅能反映运动副中约束力和力矩的作用程度,而且能广泛用于描述运动副类型、级别、自由度、方位、性质及变化等信息和情况,适用于包括变拓扑的各种运动副。
(2)本文定义的以运动副约束函数为元素的空间机构运动链邻接矩阵,不仅能反映空间机构构件之间的连接关系,还能广泛用于描述运动链的构件数、运动副数目、类型、级别、方位、性质、机构类别、空间布局等诸多信息,适用于各类机构非瞬时的描述与分析。
(3)示例证明:运动副约束函数和空间机构运动链邻接矩阵能直观、有效和简便地用于描述空间机构,并能方便地运算,为空间机构的描述和分析提供了新的途径和方法。
矩阵函数 篇3
关键词：非负矩阵分解,哈希算法,鲁棒性
随着网络通信技术的迅速发展和多媒体数字产品的爆炸式增长,大量的数字图像应用在日常生活和工作中。数字图像满足了人们的感观需要,也为人们的生活工作提供了便利。由于图像本身就是一个矩阵,所以矩阵的应用在数字图像处理中就显得尤为重要。
1 鲁棒Hash技术概述
鲁棒哈希是一种基于多媒体内容的数字摘要。现有的感知哈希认证方案主要结构如图1所示。
在感知哈希的构造中,首先利用密钥提取多媒体内容的某些鲁棒特征,然后通过进一步的压缩产生哈希值。生成的哈希值被嵌入媒体或伴随着媒体传输到接收端,接收端的认证者使用与发送端相同的密钥对接收到的图像提取哈希。认证者通过比较跟随媒体内容传送来的哈希和接收端产生的哈希,就可以实现对媒体内容的真实性认证。
对于图像哈希函数,有如下几方面要求:
(1)复杂度:哈希函数的算法应具有较低的计算复杂度。
(2)鲁棒性:相同感知的图像具有相同或相近的哈希值。传统哈希算法(MD5,SHA-1)对信息变动非常敏感,一个bit的信息变化都会造成生成的哈希序列完全不同。数字图像等多媒体数据可能会经过压缩增强等操作,这些操作虽然改变了图像信息,但并未影响图像的视觉内容。因此图像哈希算法需要考虑图像视觉域的内容信息改变,即相同内容的图像经过哈希函数运算生成的哈希序列应该相同或相近。
(3)唯一性:不同感知的图像经过哈希函数处理产生不同的哈希值。
(4)安全性:不同的密钥加密后,即使是相同的图像也要产生不同的哈希值。
2 基于NMF的鲁棒Hash算法过程
可以用如下的过程来实现一个鲁棒Hash函数:
(1)设给定的n×n图像I∈Rn×n为鲁棒Hash函数的输入函数。
(2)对给定的图像I,利用伪随机数发生器产生p个相互重叠的矩形局域,每个区域Ai的大小为m×m。
(3)对每个区域Ai,i∈{1,2,…,p}利用变换,产生特征矢量g軋i=T1(Ai)。
(4)根据得到的{g軋1,…,g軋p},伪随机地构造一个二次图像J。
(5)对二次图像J,伪随机地产生r个可相互重叠的矩形区域,Bi∈Rd×d,i∈{1,2,…,r};
(6)利用投影变换T2,对每个Bi,产生一个矢量
(7)将所有的组合产生最终的Hash矢量。
Matlab源程序如下:
最后进行图像认证,按照如下公式计算两哈希序列的距离来进行匹配,即:
其中,hnew表示要新生成的Hash值,horigin表示最终的Hash值。
3 NMF的鲁棒性实验及结果分析
实验使用了15幅512×512的标准灰度测试图像baboon、boat、bridge、couple、crowd、girl、goldhill、lake、Lax、Lena、man、milkdrop、peppers、plane、woman2进行测试,如图2所示。
分别进行格式转换、滤波、剪切、比例缩放、JPEG压缩、叠加噪声、旋转后图像与原图像的哈希序列匹配测试,然后测试15幅图像Hash变换的平均值,实验结果如图3～图8所示。
图9～图12给出了一般的图像处理后的Lena图像的结果。表1给出了这四种图像处理后的鲁棒Hash值的变换情况。
根据实验结果图3～图12以及表1可以看出,NMF的Hash算法在抵抗图像压缩、加噪和缩放攻击时具有较好的鲁棒性,其Hash值的距离均不超过门限0.03,而对其他一些信号处理如旋转、低通滤波、锐化和剪切类的几何攻击,鲁棒性比较差,即使一般的图像增强处理也无法保证足够的鲁棒性。
鲁棒Hash技术利用密钥提取多媒体内容的某些鲁棒特征,然后通过进一步的压缩产生哈希值。生成的哈希值被嵌入媒体或伴随着媒体传输到接收端,接收端的认证者使用与发送端相同的密钥对接收到的图像提取哈希。本文通过比较跟随媒体内容传送来的哈希和接收端产生的哈希,就可以实现对媒体内容的真实性认证。
本文针对非负矩阵分解鲁棒Hash技术进行了验证性的研究,设计了基于NMF的鲁棒Hash算法,并进行了大量的实验分析,通过分析发现,NMF有两个非常可取的方面:(1)由非负性限制带拉点可加性,使得用于捕捉图像的局部特征的“基”能显著的降低误分类概率;(2)图像空间域的几何攻击可以当作是NMF矢量中的独立同分布噪声。NMF的Hash算法在抵抗图像压缩、加噪和缩放攻击时具有较好的鲁棒性,其Hash值的距离均不超过门限0.03,而对其他一些信号处理如旋转、低通滤波、锐化和剪切类的几何攻击鲁棒性比较差,即使一般的图像增强处理也无法保证足够的鲁棒性。
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矩阵函数 篇4
定理设函数f (x1, x2, x3，…，xn, y) 具有一阶、二阶连续偏导数，且fy (x1, x2, x3，…，xn, y) ≠0，则由方程f (x1, x2, x3，…，xn, y) =0所确定的n元函数y=f (x1, x2, x3，…，xn) 在p0 (x10, x20，…，xn0) 取得极值的必要条件是fxi (x10, x20，…，xn0, y0) =0 (i=1, 2, 3，…，n) ，其中f (x10, x20，…，xn0, y0) =0.若记 (i, j=1, 2, …, n) , H (p0) = (hij) n×n.那么，当H (p0) 为正定矩阵时，y=f (x1, x2, x3，…，xn) 在p0处取得极小值;当H (p0) 为负定矩阵时，y=f (x1, x2, x3，…，xn) 在p0处取得极大值;当H (p0) 为不定矩阵时，y=f (x1, x2, x3，…，xn) 在p0处不取得极值.
证明由方程f (x1, x2, x3，…，xn, y) =0，易得fxi+fy·yxi=0，因fy≠0，从而得 (i=1, 2，…，n) .函数y=f (x1, x2, x3，…，xn) 在p0取得极值，则yxi (p0) =0，故而有fxi (x10, x20，…，xn0, y0) =0，其中i=1, 2，…，n, f (x10, x20，…，xn0, y0) =0.
对方程fxi+fh·yxi=0两边求关于xj的偏导数，得到
当p0 (x10, x20，…，xn0) 为y=f (x1, x2, x3，…，xn) 的驻点时，yxixj (p0) =hij.由引理知定理结论成立.
推论设函数f (x, y) 具有二阶连续偏导数, 且fy (x, y) ≠0.则由方程f (x, y) =0所确定的隐函数y (x) 在点x0处取得极值y0=y (x0) 的必要条件是f (x0, y0) =0, fx (x0, y0) =0.此外, 若, 则y0=y (x0) 为极大值;若, 则y0=y (x0) 为极小值.
1.求由方程2x12+2x22+y2+8x1y-y+8=0所确定的隐函数y=y (x1, x2) 的极值.
解令f (x1, x2, y) =2x12+2x22+y2+8x1y-y+8,
进而可得fx1x2=fx2x1=0, fx1x1=fx2x2=4,
fy (p1) =15, fy (p2) =-15.
显然H (p1) 为负定矩阵，H (p2) 为正定矩阵.由定理知函数y=y (x1, x2) 在处取得极大值，而在p20 (-2, 0) 处取得极小值y2=y (-2, 0) =1.
2.求f (x1, x2, x3) =x14+x24+x34在条件x1xxx1=1下的极值.
解将x1xxx1=1代入f (x1, x2, x3) 的表达式.结果记为
令F (x1, x2, u) =x41x42u-x81x42-x41x82-1,
得驻点p1 (1, 1, 3) ，p2 (1，-1, 3) ，p3 (-1, 1, 3) ，
由于H (p1) 的顺序式Δ1=32>0，Δ2=322-162>0，故H (p1) 是正定矩阵.故在p10= (1, 1) 处取得极小值3，所以函数f (x1, x2, x3) =x14+x24+x34在条件x1xxx1=1下，在点p1 (1, 1, 1) 处取得极小值，且f (1, 1, 1) =3.
同理可知函数f (x1, x2, x3) 分别在点p2 (-1，-1，-1) ，p3 (-1, 1，-1) ，p4 (-1，-1, 1) 处均取得极小值，且极小值为3.
总结在给出隐函数极值存在的充分和必要条件的前提下，利用矩阵的正定性求解隐函数的极值问题是一个行之有效的解题方法，并且在求多元函数极值方面也有很多的应用.
参考文献
[1]陈重穆.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1990.
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