转换矩阵

转换矩阵（精选4篇）

转换矩阵 篇1

传统ABC物料分类法为企业物资的管理提供了重要的分类准则, 带来了很大程度的便捷性, 但由于对物料的“一视同仁”, 也为企业的准时化生产带来了无法克服的局限性:单纯以物料价值、品种数量为基础, 无法体现出物料对企业生产需求的紧迫性, 无法体现出该物料在市场企业中获得的难易程度, 无法体现物料对企业利润的关键程度, 而物料的稀缺性、采购周期的冗长性、市场的灵活多变性等弊端的存在直接影响了企业采购策略的制定与采购战略的发展。

物料分类目标

Kraljic提出了基于二维Kraljic矩阵的供应定位模型, 将采购物资按照利润潜力和供应市场复杂程度的高低, 划分为一般物资、杠杆物资、瓶颈物资和战略物资四个类别。其中利润潜力用来表示采购物资对企业营利性所做出贡献的潜力程度, 供应风险是影响采购绩效的外部因素, 它决定了采购物品是否能充分供应以及不同物资之间的转换成本高低。

根据“帕累托20—80”法则对采购物资在每个维度得分从高到低进行排序, 以最终结果前2 0%为分界点进行分界, 如排序前2 0%的战略物资和杠杆物资的累计利润潜力约为总利润的80%。

根据对Kraljic矩阵的分析, 采购物料定位后的理想位置应该满足两个条件:采购物料利润潜力大, 可以合理挖掘增殖利润空间;采购物料供应风险低, 能够有效规避市场供应风险。

通过供应定位模型, 企业可以实现以下两个目的:指导应该优先考虑哪些项目;指导企业制订供应战略。

基于AHP方法建立的物料分类模型

某企业现有物料S1 (叶片) 、S2 (阀门) 、S3 (部套泵) , 则进行Kraljic矩阵分类, 计算步骤如下:

第1步:构造判断矩阵。根据层次分析 (Analytic Hierarchy Process, 简称AHP) 分类算法, 采用Delphi专家调查法, 按AHP的1~9标度, 对物料S1、S2、S3按采购物资累计利润潜力U的层次结构 (如表1) 构造6个判断矩阵, 对物料S1、S2、S3按采购物资累计风险V的层次结构 (如表2) 构造6个判断矩阵。限于篇幅, 对Delphi专家调查法的过程、AHP分类算法的具体过程、物料分类中的第二层次判断矩阵不作详细讨论, 只给出物料分类中的第一层次判断矩阵。

第2步:一致性效验与求单层次权重。根据A H P分类算法步骤3~4, 分别对每个判断矩阵进行一致性效验和单层次权重 (计算结略) , 由计算结果可知, 14个一致性效验指标CR都小于0.1, 均达到满意程度。

第3步:合成单层次权重, 形成总的权重向量。根据A H P分类计算法步骤5, 单层权重值累计, 可计算物料S1、S2、S3的合成权重向量W。

WU= (0.443, 0.179, 0.378) T

WV= (0.506, 0.277, 0.217) T

物料分类后的采购策略与采购战略

物料供应细分原则:第i种物料的合成权重向量坐标为: (WU, WV) 。Kraljic矩阵中的80/20原则, 物料分类法则为:当0

物料细分后的采购策略:一般型物料采购策略。其基本特点是供应商数量众多, 物资种类多, 容易获得, 多位标准件, 管理重点为优化采购流程, 管理成本最小化原则, 与供应商建立一般的交易关系, 明确价格保护条款。对于该类项目, 企业一般采用现货交易的方式。制造企业日常的MRO (Maintenance Repair Operation) 项目采购就是属于这个类别。

杠杆型物料的采购策略。其基本特点是供应商的数量多, 选择余地大, 物料容易获得, 年度采购费用高, 管理重点是监控物料价格波对对公司的影响, 采用最低采购成本策略, 与供应商建立一般合作关系, 签订短期合同以求不断更换、转向成本更低的供应资源。通过有竞争力的采购活动降低总成本, 在全球范围内寻求新的供应商和替代品。

瓶颈型物料的采购策略。其基本特点为供应商的数量减少, 选择余地小, 多为非标定制件, 年度采购费用低, 但供应风险高, 管理重点是控制采购风险, 提高业务对供应商的吸引力, 与供应商建立稳定、长期的合作关系, 尽可能从一处供应商采购, 采用定期、长期合同, 做一个良好信用的顾客, 采用较大的订购批量, 并设定较高的安全库存量。

战略型物料的采购策略。其基本特点是供应商数量少, 比较选择的余地小, 多为大型专用定制类物料, 年度采购费用高, 供应风险高, 对于供应商来说, 业务有较好的吸引力, 管理重点为关注与供应商关系, 与供应商达到双赢的策略, 降低供应风险的同时使采购成本最小, 与供应商形成战略合作关系, 进行详细的需求预测并设置合适的安全库存。

物料细分后的采购战略。采购物料定位的最佳位置在Kraljic矩阵的右下角即杠杆物资, 对非理想位置的采购物料, 应通过增加采购物资利润潜力、减小物资采购风险两个纬度的改进, 采取持续性的采购策略, 最终实现采购物资供应的转换。

在增加采购物资利润潜力方面企业可以采取以下策略:采用集中采购、合并企业订单货与集团内其它企业形成采购联盟等策略增加采购量;与供应商发展长期、稳定的关系来获得技术支持和较大的价格折扣;扩大采购物资所属最终产品竞争优势和销量等。

在减少物资采购风险方面企业可以采取以下措施:使采购物资表转化、降低物资专用性、进口物资国产化、开发新供应商、与供应商形成战略伙伴关系等。

企业的采购战略是使尽可能多的物资转化为杠杆物资。不同类别的采购物资有各自的特点, 企业应依据不同类别对物资采用不同的采购策略, 发展与之相适应的供应商关系。

在Kraljic矩阵的四类物资中, 瓶颈类物资是企业采购管理的一个难点, 企业最好是从矩阵的两个维度入手, 同时采取上述采购策略, 如果情况不允许, 企业可以从某一个维度开始采取措施, 进行梯度转化。比如目前对企业而远, 采取提高物料利润潜力的措施如增加采购量的可能性不大, 企业可以先从降低此类物资采购风险入手, 采用降低采购风险的措施来降低采购风险, 使瓶颈物资向一般物资转化, 等时机成熟时在一般物资的基础上再采取增加利润潜力措施使其最终转化为杠杆物资。

转换矩阵 篇2

为实现稀疏多频带信号的压缩采样,研究人员相继提出了随机解调采样、Multicoset采样、多相随机解调采样和CMUX( Compressive Multiple Xer) 采样,后来又提出了调制宽带转换器( Modulated Wideband Converter,MWC) 采样[1,2,3]。MWC系统是在压缩感知理论的基础上提出的一种针对宽频带稀疏信号实现欠奈奎斯特采样的典型结构[4,5]。

由压缩感知理论可知,稀疏信号恢复的稳定性主要取决于测量矩阵的性能。在MWC系统中,影响测量矩阵的因素主要是系统测量的通道数目和混频调制波形的选择。由于伪随机序列具有实现比较容易、存储方便和结构简单等特性,因此采用伪随机序列构造MWC系统的测量矩阵[6,7]。

伪随机序列的基础产生方法是采用线性反馈移位寄存器产生,其实现电路比较简单,它是由移位寄存器和简单的逻辑门电路构成,因而占用的逻辑资源也较少。但在高速时,此电路并不适用。

本文依据高速伪随机序列的产生经验,通过FPGA,设计并实现了高速伪随机序列的产生,能够实现宽带压缩采样系统混频调制处理操作,节约成本,提高了资源利用率。

1调制宽带转换器

MWC系统是由研究人员Mishali和Eldar针对稀疏多带信号提出的欠奈奎斯特多通道均匀采样系统[8,9]。MWC系统在通信、雷达和声纳等方面都有很大的应用前景。MWC系统的工作原理如图1所示。首先,用周期性二进制波形对模拟输入信号进行调制,然后经过低通滤波器进行滤波,最后以低速率均匀采样。在对MWC系统采样得到的观测信号进行恢复的过程中,测量矩阵的性能影响至关重要, 测量矩阵构造的合理性将直接影响到稀疏输入信号的重构的稳定性。而混频调制序列是影响测量矩阵性能的重要因素,所以混频调制信号的选择相当重要。

不妨将混频序列pi( t) 定义为一个分段常值序列函数。其取值为{ +1,-1} ,并具有M个等间隔的时间段。pi( t) 的表达式为:

理论表明,pi( t) 信号的形式有多种,但pi( t) 要满足周期性的条件,可以表示为pi( t+n TP) = pi( t) , n∈Z。混频频率为fp= 1 / TP,FP=[- fp/ 2,+ fp/ 2]和采样频率为fs= 1 / Ts,Fs=[-fs/ 2,+fs/ 2]。混频输出信号表示为i( t) = x( t) pi( t) ,其傅里叶变换为 i( f) 。通过分析i( f) 的表达式可知,混频器输出信号x~i( t) 在频域上是以fp为频移单位的多个频带信号的线性组合。假设滤波器h( t) 的频率响应是理想的矩形窗,于是均匀采样得到的输出序列yi[n] 只包含了频率范围在FS内的频谱。

第i个采样序列yi[n]的离散时间傅里叶变换 ( Discrete Time Fourier Transform,DTFT ) 可以表示为:

式中,将已知的采样序列yi[n]的离散时间傅里叶变换与输 入信号x ( t) 的傅里叶 变换联系在一起,式( 2 ) 是重构信号的核心表达式,将式( 2) 写成矩阵的形式为:

式中,y( f) 是大小为m×1的矩阵,第i个分量表示为yi( f) = Yi(e-j2πf TS)。M×L的矩阵C的元素是系数cil。z( f) 是大小为L × 1的矩阵,表示为z ( f) = [z1( f) ,…,zL( f) ]T。且zi( f) = X( f+( i-L0- 1) fp) , 1≤i≤L,f∈Fs,其中L = 2L0+1。

由上述分析可知,pi( t) 波形的选择影响系统的测量矩阵的性能。pi( t) 序列的傅里叶级数的系数cil在符号变换模式下的表达式为 :

其中积分式为:

式中,θ=e-j2π / M。因此,

将式( 4) 、式( 5) 和式( 6) 代入式( 3) 后,式( 3) 可以表示为:

式中,S为Sik= αik的m×M符号矩阵; D =diag( dL0,…, d-L0) 为L×L的对角阵; F为

式( 4) 中 αik的依赖性将在式( 8) 中展开:

根据压缩感知理论,MWC系统中,式( 7) 中的矩阵C=SFD可看作是测量矩阵,它能够影响整个重构过程的稳定性。要保证精确恢复出原始输入信号,必须保证压缩采样得到的数据包含原始信号的全部信息。式( 8) 中,矩阵S的每一行元素对应每一通道的混频序列的符号值,F是快速傅里叶变换矩阵,D是对角矩阵,它们都可以影响矩阵C的构造性能。

2确定性测量矩阵的设计

MWC系统中,信号恢复的关键是测量矩阵C的构造,它主要是由混频调制波形pi( t) 决定。根据压缩感知理论,测量矩阵C在满足限制等容特性之后,才可以准确或高概率地恢复出原始信号。限制等容特性是Candes等人提出的衡量测量矩阵能否准确恢复信号的分析工具。如果矩阵C满足限制等容特性,则存在等容常数 δK,满足条件0≤δK< 1, 且它是满足约束式( 9) 的最小的常数。

式( 9) 对所有的K-稀疏向量u均满足。RIP特性能够确保矩阵C更好地实现稀疏向量u的重构。

在RIP的条件限制下,很难在给定的任意确定性矩阵中,通过多项式计算得到等容常数 δK。因而,在测量矩阵的设计过程中,Donoho等给出了测量矩阵设计过程中必须要遵循的准则: 1测量矩阵的列向量要满足一定的线性独立特性; 2测量矩阵的列向量满足某种类似噪声的独立随机性; 3测量矩阵的稀疏度的解是满足1-范数最小的向量。

从随机性和确定性两方面,研究人员把构造的测量矩阵分为2类: 随机测量矩阵和确定性测量矩阵。常用的随机测量矩阵中,以贝努利矩阵为代表的随机测量矩阵在构造过程中,矩阵元素独立地服从某一分布,但因其不确定性高,很难在硬件中实现。以傅里叶矩阵为代表的随机测量矩阵虽然计算速度快,但是也只和时域与频域的信号不相干。随机测量矩阵还包含稀疏矩阵和正交矩阵等。确定性测量矩阵主要包括托普利兹矩阵、循环矩阵、多项式矩阵、轮换矩阵和哈达玛矩阵等。

随机测量矩阵虽然能较好地重构原始信号,但由于随机测量矩阵带来的不确定性,使得实际硬件实现过程中需要很大的存储空间,成本也比较昂贵, 这些限制了随机测量矩阵在实际中的应用。相对于随机测量矩阵,确定性测量矩阵拥有实现容量小、节省成本的优点,从而确定性测量矩阵成为压缩感知理论研究的热点[10,11,12]。

对常用测量矩阵之间的性能进行比较,哈达玛测量矩阵的性能最优,托普利兹测量矩阵次之,随后是高斯随机测量矩阵( 或贝努利随机测量矩阵或稀疏随机测量矩阵) ,部分傅里叶测量矩阵的性能最差劲。其中高斯随机测量矩阵、贝努利随机测量矩阵和稀疏随机测量矩阵性能相似。所以,综合考虑构造测量矩阵的影响因素,本文选择循环矩阵作为测量矩阵,对MWC系统的采样信号进行重构。

为了便于进行对比,采用贝努利序列和m序列构造循环测量矩阵,对采样信号进行重构。四通道的MWC系统利用贝努利序列和m序列对采样信号恢复率的仿真如图2所示。仿真参数采用的是2 GHz的奈奎斯特采样速率,调制信号是在频谱上有127个带宽,且每个子带不大于3.78 MHz的信号。 其中,MWC系统的通道数目为4。

通过分析可知,在四通道的MWC系统中,分别将贝努利序列和m序列作为该系统的混频调制序列,对输入的稀疏多带信号进行采样重构,m序列优于贝努利序列对原始输入信号的重构性能,在信噪比大于-5 d B时,两者的重构均可以达到90%以上。 因而高速m序列的产生过程具有重要的研究价值。

3多通道高速伪随机序列的设计与实现

3.1多通道高速伪随机序列的FPGA设计

调制宽带转换器采用高速伪随机序列作为混频调制波形。伪码序列以等概率取{ +1,-1} 。这样就能保证感知矩阵的随机性。采用伪随机序列的主要原因是伪随机序列容易生成、易于存储、结构简单。

m序列是伪随机序列的一种,因为其结构简单, 容易实现,所以得到广泛的应用。m序列的常用产生方法是采用线性反馈移位寄存器电路生成。m序列是同样级数的线性移位寄存器所能产生的最长序列,它的效率是最高的。m序列由特征多项式和初始状态完全确定。

m序列的特征多项式的数学表达式为:

特征式( 10) 确定了线性移位寄存器的级数和反馈逻辑。其中,( c0,c1,c2…cn) 是反馈系数,当反馈系数ci= 1时,表示相应的第i根连线存在,而当ci= 0时,表示相应的第i根连线不存在。

在高速的情况下,m序列的产生大都依赖于并行电路。在并行电路中,并串转换器的作用非常重要,转换器的功能是将低速的并行传输数据转换成高速的串行数据。

本文中,通过FPGA设计并实现了四通道的高速伪随机 序列,单个通道 的输出速 率可以达 到480 MHz的速率。高速伪随机序列的设计模块图如图3所示。该设计模块是由4个通道组成,每个通道都是由锁相环( Phase Locked Loop,PLL) ,随机存储器ROM和并串转换器构成。且每个通道对输入信号的处理过程都是相同的。锁相环的输入是硬件电路提供的50 MHz的时钟,输出频率是80 MHz和480 MHz。其中,低频率的时钟控制存储器的数据传输速率; 而高频率的时钟控制并串转换器的数据串行输出速率。最后,将4路串行输出的高速m序列进行数模转换,得到整个系统输出的高速伪随机序列。

3.2高速伪随机序列的仿真及实现

本文将PLL的IP核,并串转换器的IP核和存储器ROM这3部分的端口分别进行映射,然后综合,进行整个模块的仿真,其系统模块的仿真结果如图4所示。在这3部分中,锁相环和并串转换器的IP核的参数设置极为关键重要。同时,存储器ROM中也需要存储正确的二进制序列。

由图4可知,各个时钟的频率倍数对应满足要求,每个通道输出的序列和存储器ROM中存储单元的数据是一致的。锁相环IP核的2个输出时钟频率是6倍的关系。并串转换器的IP核的串行输出序列是6个并行端口同一时刻输入的并行码元, 它的输出原则是“高位先输出,低位后输出”。这与并串转换器IP核的测试性能是一致的,符合设计要求。

将ISE软件仿真产生的bit流文件下载到Xilinx公司的XC6VLX130T芯片中,采用示波器对硬件电路上产生的信号进行观察和测量。从示波器的测量结果分析中得到,系统中4个通道输出的高速伪随机序列的输出速率均达到480 MHz,满足设计要求。 用示波器观测到的硬件电路上产生的高速伪随机序列的信号如图5所示,从观测的波形图中可以看出, 产生的信号是周期性的伪随机序列,它和存储器ROM中存储单元的代码是一致的。从而证明了本文提出的方案的正确性和可行性。

综上所述,文中的设计方案可以应用到产生更高频率的伪随机序列的方案中。具体方法为通过改变锁相环的时钟控制频率、并串转换器IP核的并行端口数目、存储器ROM中存储单元的序列代码等条件,再结合软件编程,就可以产生高速率的伪随机序列。

4结束语

阐述了MWC系统的基本原理,研究了确定性测量矩阵的设计,针对调制宽带转换器的混频调制波形,提出了一种基于FPGA的四通道高速伪随机序列的设计方法。并实现了高速伪随机序列的产生,为今后宽带压缩采样处理系统奠定了基础。此外,采用此种方法可以根据需求产生更高频率的混频调制序列。在实际操作上降低了设备的复杂度, 使得模块更加简单,占用FPGA的资源少。参数可以灵活设置,选择合适的混频调制波形,便于传输处理,减少存储空间,方便实时处理,节省成本。?

摘要：分析了实现宽带压缩采样的一种典型结构——调制宽带转换器,根据调制宽带转换器的原理,设计了将高速伪随机序列用作调制宽带转换器的宽带混频调制波形的框图,并通过FPGA的设计实现了四通道高速伪随机序列。结合模拟混频器、低通滤波器、低速模数转换器、数字处理平台以及信号重构算法实现对宽带稀疏信号进行采样和重构操作。这种产生高速伪随机序列的方法,可以根据需要,选择合适的混频调制波形。

转换矩阵 篇3

均匀B样条曲线(Uniform B-spline Curves,以下简称B样条曲线)和Bezier曲线是计算机图形学(CG)、计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助几何设计(CAGD)等领域表示和设计自由曲线方面的重要研究内容[1,2]。在过去二十多年中,关于B样条曲线和Bezier曲线之间相互转换算法在很多文献中都有阐述[3,4,5]。在众多的算法中,直到2004年Romani L.等人才首次明确提出了将任意阶均匀B样条和Bezier曲线之间相互转换表示为曲线控制点矩阵与转换矩阵相乘的形式(即直接将待转换曲线的控制点矩阵和转换矩阵相乘获得目标类型曲线的控制点矩阵),并且给出了计算转换矩阵的计算公式[6]。从软件工程人员的角度来看,这种方法便于理解和软硬件实现。但是,Romani L.所提出的转换矩阵计算公式是把高阶的转换矩阵用递归降阶形式定义的,在每次降阶中存在大量的重复计算,本文针对这个问题提出了改进的计算方法,并将高阶的转换矩阵表示为由低阶矩阵直接连续相乘的形式。改进后的计算方法在数学表达形式上更加简单,计算效率得到了提高。

1 B样条曲线转换为Bezier曲线段

1.1 B样条曲线与Bezier曲线转换矩阵

B样条曲线可以被认为是多段多项式首尾相连组成的,而每一段多项式都可以用唯一Bezier曲线段表示[2],也就是说,N+1个控制点K阶B样条可以认为由N-K+1段K阶Bezier曲线段首尾相联组成。由于B样条每一段多项式的转换为同阶Bezier曲线段过程相同,这里仅讨论某一段B样条多项式的转换矩阵的计算方法。B样条某一段多项式与Bezier曲线段可以用下式等价表示[6]:

[N-n,n(u)…N0,n(u)][p0,…pn]T

=[B0,n(u)…Bn,n(u)]S(n)[p0,…pn]T

=[B0,n(u)…Bn,n(u)][p′0,…p′n]T (1)

式(1)的左边是B样条曲线的矩阵表示形式,右边是Bezier曲线的矩阵表示形式。其中,pi是B样条曲线的控制点,Ni,n(t)是它的基函数(调和函数),该基函数是递归定义在节点矢量T=[t0,…,tn+k]上的(节点矢量中节点的取值ti=i),其定义公式为:

${\rm N}{}_{i,n}(u)=\frac{u-t{}_i}{t{}_{i+k-1}-t{}_i}{\rm N}{}_{i,n-1}(u)+\frac{t{}_{i+k}-u}{t{}_{i+k-1}-t{}_{i+1}}{\rm N}{}_{i,n-1}(u)(2)$

当 ti≤t≤ti+1时,Ni,1(u)=1;否则Ni,k(u)=0。

p′i是Bezier曲线的控制点,B${}_i^n$(u)是它的基函数(调和函数),其定义公式为[2]:

B${}_i^n$(u)=C${}_n^i$ui(1-u)n-i (3)

从式(1)可以看出,要将B样条某一段多项式转换为Bezier曲线段只需要将B样条曲线的控制点左乘转换矩阵S(n)就可以得到转换后Bezier曲线段的控制点,而曲线本身形状不变换。实际上,B样条与Bezier曲线段转换就是基函数的转换:

[N-n,n(u)…N0,n(u)]=[B0,n(u)…Bn,n(u)]S(n)

$\forall j=0,\cdots n{\rm N}{}_{j-n,n}(u)={\displaystyle \sum _{i=0}^{n}S}{}_{i,j}^{(n)}B{}_{i,n}(u)u\in [0,1](4)$

S(n)是使B样条曲线某一段多项式转换为Bezier曲线段的转换矩阵,矩阵大小为(n+1)×(n+1)。S(n)矩阵中元素的满足下式[6]:

$s{}_{i,j}^{(n)}=\frac{n-j}{n}s{}_{i,j-1}^{(n-1)}+\frac{j+1}{n}s{}_{i,j}^{(n-1)}$

$s{}_{i+1,j}^{(n)}=\frac{n+1-j}{n}s{}_{i,j-1}^{(n-1)}+\frac{j}{n}s{}_{i,j}^{(n-1)}\forall j=0\cdots ni=0\cdots n-1(5)$

公式(5)可以等价表示为:

S(n)=E${}_1^n$(S${}_u^{(n)}$)+E${}_2^n$(S${}_d^{(n)}$) (6)

其中,S${}_u^{(n)}$=Sn-1Ln-1,S${}_d^{(n)}$=S(n-1)M(n-1),S(0)=1。

算子E${}_1^n$(·)表示将矩阵S${}_u^{(n)}$增广为(n+1)×(n+1)矩阵, 增广后的矩阵n+1行、n+1列的元素为0,其它行列元素与原矩阵相同;E${}_2^n$(·)表示将矩阵S${}_d^{(n)}$增广为(n+1)×(n+1)矩阵,其0行、0列的元素为0,其它行列元素与原矩阵相同。Ln-1、M(n-1)具体的形式如下:

$L{}^{(n-1)}=\left[\begin{array}{ccccccc}\frac{1}{n}& \frac{n-1}{n}& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{2}{n}& \frac{n-2}{n}& 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{j}{n}& \frac{n-j}{n}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \frac{n-1}{n}& \frac{1}{n}\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

${\rm M}{}^{(n-1)}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ \frac{1}{n}& \frac{n-1}{n}& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & \frac{n-j}{n}& \frac{j}{n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \cdots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \frac{n-2}{n}& \frac{2}{n}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \frac{n-1}{n}& \frac{1}{n}\end{array}\right]$

1.2 转换矩阵计算存在的问题及改进方法

式(6)给出的计算S(n)方法比较复杂,具有进一步优化的可能。首先,式(6)是以递归降阶形式给出的,每次递归步骤中需要分别计算S${}_u^{(n)}$和S${}_d^{(n)}$二个矩阵,其实S${}_u^{(n)}$和S${}_d^{(n)}$矩阵中的元素通过演算可知,除了少部分元素外,大部分的元素是重复的,重复计算浪费大量机器时间;其次,S(n)矩阵元素具有以下特点:⑴S(n)矩阵每一行元素满足${\displaystyle \sum _{j=0}^n\frac{1}{n!}}S{}^{(n)}(i,j)=1$;⑵S(n)矩阵的i行元素S${}_i^{(n)}$与n-i行S${}_{n-i}^{(n)}$的元素具有倒序关系,即S(n)(i,j)=S(n)(n-i,n-j)。特别的,S(n)最后一行元素可以看作是将第一行元素的循环右移获得的;⑶S(n)(0,0)=S(n)(n,n)=1,S(n)(1…n,0)=S(n)(0…n-1,n)=0。

通过以上对计算S(n)具体过程的分析,本文给出更为简单的公式:

S(n)=S0L0E${}_1^0$R0L1E${}_1^1$R1…Ln-1E${}_1^{n-1}$Rn-1 (7)

其中,E${}_1^n$(·)、L(n-1)的定义与公式(6)中的定义相同,Rn表示将矩阵E${}_1^n$(·)的第一行元素循环右移置入最后一行。实际上,式(7)的计算n阶转换矩阵的核心思想就是将高阶的转换矩阵用低一阶的转换矩阵乘以L(n-1)后通过En(·)和Rn运算完成的,直到不断降阶到0阶为止。所以,反过来S(n)可以写成从低阶开始连续相乘矩阵的简单形式。在式(7)中,没有使用式(6)中的M(n-1)矩阵而只使用L(n-1)矩阵,仅此一项就可省略了一半的重复计算,当阶n比较大的时候节约的计算成本比较可观。另外,计算高阶的转换矩阵不必从0阶开始计算,可以从已知阶的转换矩阵直接开始算起。

1.3 改进计算方法的计算实例

当n=1,2,3时S(n)矩阵具体的计算结果如下:

$S{}^{(0)}=1S{}^{(0)}L{}^0=1S{}^{0}L{}^{0}E{}^0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

$\begin{array}{l}S{}^{0}L{}^{0}E{}^{0}R{}^0=S{}^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]S{}^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ S{}^{(1)}L{}^1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right]S{}^{(1)}L{}^{1}E{}^1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ S{}^{(1)}L{}^{1}E{}^{1}R{}^1=S{}^{(2)}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]S{}^{(2)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\\ S{}^{(2)}L{}^2=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 0& 4& 2\\ 0& 2& 4\end{array}\right]S{}^{(2)}L{}^{2}E{}^2=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 1& 0\\ 0& 4& 2& 0\\ 0& 2& 4& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ S{}^{(2)}L{}^{2}E{}^{2}R{}^2=S{}^{(3)}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 1& 0\\ 0& 4& 2& 0\\ 0& 2& 4& 0\\ 0& 1& 4& 1\end{array}\right]\end{array}$

当n=4,5时S(n)的矩阵计算结果如下:

$S{}^{(4)}=\frac{1}{24}\left[\begin{array}{ccccc}1& 11& 11& 1& 0\\ 0& 8& 14& 2& 0\\ 0& 4& 16& 4& 0\\ 0& 2& 14& 8& 0\\ 0& 1& 11& 11& 1\end{array}\right]$

$S{}^{(5)}=\frac{1}{120}\left[\begin{array}{cccccc}1& 26& 66& 26& 1& 0\\ 0& 16& 66& 36& 2& 0\\ 0& 8& 60& 48& 4& 0\\ 0& 4& 48& 60& 8& 0\\ 0& 2& 36& 66& 16& 0\\ 0& 1& 26& 66& 26& 1\end{array}\right]$

2 Bezier曲线段转换为B样条

由式(1)可以推出下式:

[B0,n(u)…Bn,n(u)][p0,…pn]T

=[N-n,n(u)…N0,n(u)]S(-n)[p′0,…p′n]T (8)

其中S(-n)是S(n)逆矩阵,将Bezier曲线段的控制点左乘S(-n)矩阵即可得到对应阶的B样条的曲线的控制点。但是通常来说,对于具有多段前后首尾端点相连的Bezier曲线段在转换后的B样条所重叠的K个控制点并不一定重合。通常的做法就是将这K个对应点的加权平均值作为最后的B样条的控制点的值,在这一步将引入误差。为减小误差方法,需要进一步做相应的研究[2,6,7,8]。

3 转换矩阵在B样条降阶中的应用

B样条的降阶是CAGD中常见的应用需求。利用本文所提出改进的计算转换矩阵方法可以简单、高效地实现任意阶的B样条的降r阶的计算。具体算法是:应用本文提出的转换矩阵将N+1个控制点的K阶B样条转换为N-K+1段K阶Bezier曲线段,再将每个K阶Bezier曲线段降r阶(选用成熟的Bezier曲线降多阶算法),最后将这些N-K+1段K-r阶Bezier曲线段转换回K-r阶B样条曲线段并最后合并为一条B样条曲线[3,8,9]。这个算法具有以下优点:1)实现思想与文献[5]的实现B样条降阶思想一致,但是不涉及到节点矢量的插入和删除操作,只涉及到控制点的计算;2)Bezier曲线的降阶算法研究非常成熟并且已有多个文献给出了矩阵表达的计算公式[10],所以本文实现B样条降阶算法所有用到的矩阵均可以根据参数N、K、r提前计算获得,可以将整个降阶过程写为复合矩阵的形式,非常便于程序员理解和编码实现,并且基于矩阵的计算效率也非常高。

选择与文献[5]中的二个降阶例子相同的数据作对比试验。其中p0=p1=p2=p3=p4,p12=p13=p14=p15=p16,节点矢量T=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16](控制点具体的数据省略,可以参考文献5)。经过比较累计循环执行10000次转换的执行时间发现采用我们的方法编写程序实现起来简单,效率方面有较大的提高。降阶后的图形如图1、2所示,从图上可以看出降阶后的曲线逼近效果也很好。

4 结论与展望

本文提出了一种改进的任意阶均匀B样条与Bezier曲线相互转换矩阵的快速计算方法,并给出了其在B样条降阶中的应用实例。它在软硬件实现上非常简单,在CAD领域具有广泛的应用前景。未来的工作可从以下方面展开:①将研究结论推广到曲面。②研究非均匀的B样条转换为Bezier曲线段的转换矩阵的快速计算方法。③可基于B样条由分段多项式构成且相互独立的特点设计并行转换算法。

参考文献

[1]孙家广.计算机图形学[M].第三版.北京:清华大学出版社,1998.

[2]潘日晶.B样条曲线节点插入和升阶的统一方法[J].小型微型计算机系统,2002,23(3):335-338.

[3]Boehm W.Generating the Bezier Points of B-Spline and Surfaces.Computer-Aided Design.1981,13(6):365-366.

[4]Matthias Eck,Jan Hadenfeld.Knot Removal for B-Spline Curves[J].Computer Aided Geometric Design,1995(12):259-282.

[5]Les Piegl,Wayne Tiller.Algorithm for degree reduction of B-spline curves.Computer-Aided Design,1995,27(2):101-110.

[6]Rommani L,Sabin M A.The Conversion matrix between uniform B-Spline and Bezier Representations[J].Computer Aided Geometric De-sign,2004,21:549-560.

[7]Liu Ligang,Wang Guojin.Explicit Matrix representation for NURBS curves and surfaces[J].Computer Aided Geometric Design,2002,19:409-419.

[8]潘日晶.NURBS曲线曲面的显式矩阵表示及其算法[J].计算机学报,2001,24(4):358-366.

[9]Joung Joo Ahn.Using Jacobi Polynomials for degree reduction of Bezier Curves With Ck-Constrains[J].Computer Aided Geometric Design,2003,20:423-434.

转换矩阵 篇4

关键词：坐标转换,迭代法,线性化,罗德里格矩阵,最小二乘法

0 引言

不同空间直角坐标系之间的转换问题在理论研究和实际计算中扮演着重要的角色[1]。常用的坐标转换模型有7参数Bursa-Wlof模型、Molodensky模型和武测模型[2]。通常旋转矩阵R由坐标轴之间的夹角θ、Φ、ψ表示,不仅表示繁琐,而且在参数求解时需要处理判断象限的问题,操作复杂,有一定的精度损失。罗德里格矩阵由3个独立的参数表示,它组成旋转矩阵在计算转换参数时,具有稳定性好、精度高和计算速度快等优点。

本文主要工作是在理论上推导了基于罗德里格矩阵的坐标转换模型,以及基于该模型的最小二乘迭代法坐标转换的严密公式。迭代法计算空间直角坐标转换参数的主要步骤:①确定初值;②迭代运算:线性化和粗差剔除;③精度评定。

1 基于罗德里格矩阵的坐标转换公式计算初值

一对点pi和qi的坐标关系可由旋转矩阵R和位移矢量T表示为[4]:

此处把两个坐标处理为同等长度基准,没有考虑尺度因子。旋转矩阵R可由3个旋转参数(坐标轴的夹角)表示,同样可由罗德里格矩阵3个独立参数a、b、c表示[3]。

反对称矩阵S由a、b、c构成的表达式为[4]

其中,a、b、c相互独立。R可由S构成罗德里格矩阵

其中,I是3阶单位矩阵。

反对称矩阵与罗德里格矩阵的性质有

基于上述理论,可以推导基于罗德里格矩阵的坐标转换模型。

由点对1和点对2分别按照(1)式构建方程组,做差消去位移矢量得

将(2)式、(3)式带入式(5)得

即

将方程组展开,把a、b、c提取出来,写成向量的形式。整理可得

该方程组中只有两个方程独立,要解出三个参数需要另外建立一个方程组。由点对1和点对3再建立方程组,同理可得

联立(8)、(9)式得[3]

求解a、b、c,结合(2)、(3)式得到旋转矩阵R的初值R0。R0带入(1)式解得位移矢量初值T0,此处以点集的质心坐标参与计算精度会更高。

2 线性化

旋转矩阵R一般由坐标轴之间的夹角θ、Φ、ψ表示为[5]

其中,θ、Φ、ψ分别是绕X、Y、Z轴旋转的角度。

在参数θ、Φ、ψ的求解以及R的线性化等过程中需考虑θ、Φ、ψ的象限判断问题,难以操作,精度损失较大[6]。如果用罗德里格独立参数a、b、c表示R,其线性化过程将十分简单。

由(3)式可知

将(2)式带入式(12)可得

对于任意对应的一组点,转换关系式为

这里的未知参数共有6个,即a、b、c、T1、T2、T3,将(14)式线性化得到误差方程如下

因此可解得

其中,

系数阵A的表达式为

其中,

常数项l=(l1l2l3)T,分别为

3 精度评定

由(15)、(16)式可以实现迭代计算,单位权中误差μ为[7,8]

直到计算出符合精度要求单位权中误差,即可得到最小的改变量Δx,并由此解算出参数a、b、c、T1、T2、T3的最终值。再根据(13)式即可求出旋转矩阵R。

4 算例

将十组实测点的三维坐标数据带入计算,如表1所示,首先基于罗德里格矩阵的转换模型计算出初值R0、T0,并结合(1)式将点集1转换得到P′=R0P+T0,总体转换精度则可表示为

将初值带入线性化方程进行迭代计算,同样可计算出每次迭代后的转换误差。

通过上述计算可以得到总体误差,见表2。

表2

可以看出,基于罗德里格矩阵的转换模型计算出的转换参数R0、T0具有较高的准确度,其转换误差达到了10-4。经过两次迭代后精度就达到了10-5,完全满足了坐标转换要求。

表1

5 总结

(1)基于罗德里格矩阵的最小二乘迭代法优缺点如下:

缺点:理论较为复杂,不易实现;

优点:精度灵活可靠、便于控制、计算速度快;考虑全面、稳定性好、可融合其它更多完善的理论和算法,具有很好的理论可拓展性,应用面广泛,理论深刻,具有很好的研究价值。

(2)该方法还有一些需要完善的地方:

1)确定初值的方法有很多,比如罗德里格矩阵模型、SVD法、四元组法等,什么样的方法才是最快速、准确的,需要进一步探讨。

2)在求解罗德里格矩阵3个独立参数时需要从点集中提取出3组点。提取方法有很多,哪种方法能避免粗差影响、精度最好,需要深入研究。本文采用随机提取的方法,不能很好地保证精度。更科学的办法是融合一些完善的采样算法,比如RANSAC算法,使得采样更科学,计算得到的初值精度更高。

本文推导了基于罗德里格矩阵3参数的空间直角坐标转换模型的严密公式、其线性化误差方程,以及最小二乘迭代计算公式。最后通过实测数据计算,验证了该理论的可行性。

参考文献

[1]秦世伟,谷川,潘国荣.任意旋转角坐标转换的简便模型[J].工程勘察,2009,(6):62～65.

[2]姚吉利.三维坐标转换参数直接计算的严密公式[J].测绘通报,2006,(5):7～10.

[3]原玉磊.三维激光扫描应用技术研究[D].郑州:解放军信息工程大学测绘学院,2009.

[4]姚吉利,韩保民,杨元喜.罗德里格矩阵在三维坐标转换严密解算中的应用[J].武汉大学学报(信息科学版),2006,31(12):1094～1097.

[5]黄浴,袁保宗.一种基于旋转矩阵单位四元组分解的运动估计算法[J].电子科学学刊,1996,18(4):337～343.

[6]张宏.布尔莎—沃尔夫转换模型的几何证明[J].测绘与空间地理信息,2006,29(2):46～51.

[7]隋立芬,宋力杰.误差理论与测量平差基础[M].北京:解放军出版社,2004.