可展结构

2025-01-09

可展结构（精选3篇）

可展结构篇1

0 引言

由于发射航天器的火箭荷载舱的容量有限,因而传统的固面天线制约了大口径空间天线的发展。可折叠展开结构的出现拓宽了大口径空间天线的应用领域,使空间天线得到了前所未有的发展[1,2,3]。在空间可展结构这一领域,我国与国外还有较大差距,研究大口径空间可展结构的相关理论和技术,提高卫星的通讯能力和对地观测能力,已成了当前航天技术研究的一项重要任务[4,5]。本文针对一种仿造花朵形态的空间可展天线,通过分析确定了其结构参数。

1 结构简述

图1所示为花瓣式可展天线的折叠和展开状态。此可展结构是由1个中心正s边形和s个花瓣组成。每个花瓣由p块刚板组成。每个花瓣的根部刚板是1个直角三角形, 这样可以保证花瓣整体能够翻转到与中心正多边形垂直的平面上。每个花瓣的中间p-2块刚板都为梯形,以便花瓣能够盘绕到中心正多边形周围。花瓣最顶端是一块不规则形状的刚板,刚板的一条边为花瓣式可展天线完全展开后形成的圆的一部分。刚板之间由铰链连接,为了使各花瓣间协调运动和减少驱动构件数,各花瓣由杆构件和运动副连接。

2 连接形式的确定

空间机构的自由度计算公式为

$F = 6 (n - 1) - \sum_{i = 1}^{j} u_{i}$ (1)

式中,n为机构的构件数;j为移动副的个数;ui为关节i的约束数量[6]。

本文研究的花瓣式可展天线是一个多刚体空间机构,运动复杂。为了减小驱动能量和驱动装置质量,降低控制难度,必须限制天线的自由度。闭环机构的自由度较开环的少,因此这里采用杆构件把各相邻花瓣连接形成闭环机构。为了降低运动的复杂性,这里只考虑连接相邻花瓣的杆构件数为1和2的情况。杆构件之间,以及杆构件与花瓣相连,可以采用转动副和球副来完成。这里选择机构自由度为s,根据式(1)计算不同情况下此机构的自由度,结果如表1所示。

由表1可知:当杆件为单杆,一端球副连接,一端转动副连接时,刚板数为3;当杆件为单杆,并且两端转动副连接时,刚板数为5;当杆件为双杆,由三个转动副进行连接时,帆板的刚板数为4。其余类型的连接方式不符合要求。为了保证机构构件数最少,这里选择每个花瓣的刚板数为3,花瓣间通过一个杆构件、一个转动副和一个球副连接的结构形式。

3 刚板宽度的确定

花瓣式可展天线的折叠方式为花瓣绕着中心正多边形旋转折叠,如图2所示。由于花瓣式可展天线径向尺寸比刚板厚度大3个数量级,因此在计算分析时可忽略刚板厚度。如图3所示,当天线的厚度忽略后,各刚板的宽度L1、L2应等于中间多边形的边长(顶部刚板L3除外),这样此天线才能折叠成如图2所示的状态。分析各部分的结构尺寸关系可得,图2所示折叠状态的结构参数所需满足的条件为

$f = \frac{(p - 1) Η}{\cos \frac{180 °}{s} \sqrt{R^{2} - [B / (2 \sin \frac{180 °}{s})]^{2}}} \leq 1$ (2)

式中,H为中间多边形的边长;R为花瓣式卫星天线的半径。

如图3所示,L1、L2都应该等于中心正多边形的边长,而L3的值是可以变化的。根据几何关系分析,可得

$Η = \frac{2}{2 p - 1} R$ (3)

将式(3)代入式(2),整理得

$f = \frac{4 (p - 1)^{2}}{(2 p - 1)^{2} \cos^{2} \frac{180 °}{s}} + \frac{1}{(2 p - 1)^{2} \sin^{2} \frac{180 °}{s}}$ (4)

当L3≤L2时,f>1,不满足式(2)的要求,只有L3>L2时,f≤1,才符合设计要求。

4 花瓣数的确定

根据上面刚板宽度的分析结果,此天线折叠后状态可简化为图4所示形式。图4中,AG段为折叠后伸出部分,O G段为多边形的外接圆的半径,O A段为多边形中点到伸出边的距离。A G与O G的夹角为 $90 ° + \frac{180 °}{s}$ ,根据结构尺寸几何关系,可得

$l_{A Ο} = \sqrt{R^{2} - 2 (p - 1) R Η + \frac{(2 p - 1) (2 p - 3)}{4} Η^{2} + \frac{Η^{2}}{4 \sin^{2} \frac{180 °}{s}}}$ (5)

当天线完全收缩后,图3所示的AF长度为天线轴向最大高度。通过相应的几何关系推导,可得

$l_{A F} = \sqrt{4 R^{2} \sin^{2} \frac{180 °}{s} - Η^{2}}$ (6)

根据上面的分析,对式(2)进行变换,得

$Η \leq \sqrt{\frac{R}{\frac{(p - 1)^{2}}{\cos^{2} \frac{180 °}{s}} + \frac{1}{4 \sin^{2} \frac{180 °}{s}}}}$ (7)

这样可以获得中间正多边形的边长最大值。花瓣式卫星天线折叠后的形状可近似为圆柱形,底面半径为图4所示的AO的长度,高为图3所示的AF的长度,因此天线折叠后的体积可近似地表示为

$\begin{array}{l} V = π [R^{2} - 2 (p - 1) R Η + \frac{(2 p - 1) (2 p - 3)}{4} Η^{2} + \\ \frac{Η^{2}}{4 \sin^{2} \frac{180 °}{s}}] \sqrt{4 \sin^{2} \frac{180 °}{s} R^{2} - Η^{2}} (8) \end{array}$

通过式(8)可以看出,天线中间多边形的边长和中间多边形的边数对天线收缩后体积是有影响的。

设天线的半径R=1m,当每个花瓣刚板数为3时,根据式(7),可以得出天线边长的最大值,如表2所示。

当天线花瓣的刚板数一定时,天线收缩后的体积与天线中间多边形的边长成反比,即当天线中间多边形的边长为最大值时,天线收缩后的体积达到最小。获得的天线折叠后最小体积的具体数值在表3中列出。

从以上的分析计算结果可知,当刚板数为3,中间多边形的边数为5时,天线收缩后体积最小。当连接两花瓣的杆构件的一端是球副连接,中间多边形的边数为5,也就是花瓣数为5时,花瓣与花瓣间的相对转角过大,球副连接并不能完成过大角度的转动,因此,根据表3,中间多边形的边数,也就是花瓣数,确定为6。

5 结语

花瓣式可展天线是一种多刚体空间机构,构件数目多,运动复杂,因此结构设计具有一定的难度。本文通过对此机构各种情况的自由度分析,确定了各花瓣间的连接方式。利用天线折叠形状要求,得到了各刚板宽度的关系式,又进一步推出了各板宽间的大小关系。利用天线展开和折叠状态下各部分结构尺寸的几何关系,确定了天线折叠状态的底面半径和高度,从而获得了天线折叠后体积表达式。通过对天线折叠后体积表达式的分析,最终确定了天线的花瓣数。这样的分析使得花瓣式可展天线的设计更加合理。

参考文献

[1]赵孟良.空间可展结构展开过程动力学理论分析、仿真及实验[D].杭州:浙江大学,2007.

[2]张逸群,杨东武,杜敬利.周边桁架可展开天线小冲击展开过程设计[J].宇航学报,2011,32(5):1205-1210.

[3]侯管仲,肖勇.金属网反射器索网预应力对模态的影响[J].空间电子技术,2010(4):54-56.

[4]罗阿妮,邓宗全,刘荣强,等.伸展臂根部锁定机构的设计与运动分析[J].机械设计,2011,28(1):56-59.

[5]邓强.锥形可展桁架的设计与分析[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2010.

[6]杨廷力.机器人机构拓扑结构学[M].北京:机械工业出版社,2004.

可展结构篇2

关键词：可展式浮箱,承载力,数值模拟

浮箱主要用于搭建水上作业平台、开辟水上通道等。早在20世纪60年代, 美国针对近岸货物卸载研制了海军栈桥码头、陆军栈桥码头等浮箱式军用装备。英国陆军部队于2001年正式装备了MEXEFLOTE (麦埃佛罗特) 多功能浮箱。我国从上世纪70年代开始对浮箱展开研究, 已研制出TF-80浮箱、TP-82浮箱、装配式公路浮箱等多种战备俘箱器材, 在抗洪救灾和国民经济建设中发挥了重要作用。

目前, 运输和存储体积大已成为浮箱的主要弊端, 本文基于可展结构原理, 提出了可展式浮箱结构单元, 并运用AN-SYS软件对其承载力进行了数值模拟, 得到了较优的气囊压缩刚度和上甲板截面惯性矩。

1 可展式浮箱结构组成

可展式浮箱主要通过气囊来实现浮箱体积的变化, 以减少运输和存储体积。浮箱主要分为四大部分:甲板、剪叉机构、条形气囊、锁紧装置 (图1) 。甲板分上甲板和下甲板, 材料为铝合金;气囊采用3层帘布气囊;剪叉机构采用钢材。浮箱展开时, 通过气囊充气提供动力, 带动剪叉机构展开, 达到工作状态后锁紧装置将其锁紧。浮箱压缩时, 将放气阀与解锁装置打开, 利用自身重力实现浮箱的压缩。

2 可展浮箱有限元模型

利用ANSYS软件建立浮箱的有限元模型。其中甲板的平面几何尺寸为6m×3m (长度×宽度) , 横向截面惯性矩为460×10-8 (m4) ;剪叉杆件尺寸为1.4m×0.04m×0.06m (长×宽×高) ;气囊尺寸为2.2m×1.2m×1m。

2.1 网格划分

采用Shell 63号单元对甲板进行网格划分, 单元尺寸为1cm×1cm;采用Beam 3号单元对剪叉机构进行网格划分, 单元尺寸为1cm;采用Solid 45号单元对气囊进行网格划分, 单元尺寸为1cm×1cm×1cm。 (图2)

2.2 材料参数

钢材和铝材均采用线弹性材料模型, 弹性模量分别为206Gpa和68.9Gpa, 泊松比分别为0.26和0.33;对气囊采用等效模量法进行简化处理, 即使用气囊的压缩刚度作为气囊单元的弹性模量, 忽略气囊的侧向变形 (泊松比为0) 。

2.3 荷载及边界条件

以50吨履带车辆为设计荷载, 履带宽度0.7米, 长度4.5米, 浮箱受力简图如图3所示。将甲板与气囊连接面, 甲板与剪叉机构连接点进行自由度耦合, 对气囊底部施加固定约束。

3 结构静力分析

3.1 气囊压缩刚度的影响

图4、5分别给出了气囊压缩刚度与上甲板最大变形和中心处最大应力关系曲线。从图可知, 上甲板最大变形和中心处最大应力均随气囊压缩刚度增大而减小, 当气囊压缩刚度大于143KN/m2时, 上甲板的变形和中心处应力均趋于稳定, 分别为3.09cm和10.05Mpa。

图6和图7分别为143 KN/m2气囊压缩刚度时上甲板的变形和应力分布。从图6可以得出, 上甲板最大变形出现在中心位置, 约为3.09cm。从图7可以得出, 上甲板中心处最大应力为为10.5Mpa, 小于铝材的屈服应力。但是, 上甲板的最大应力出现在其与剪叉机构的连接处, 约为89Mpa, 为减小此处应力集中现象, 可通过设置加强板的方法加以克服。

3.2 甲板截面惯性矩的影响

本节研究了气囊压缩刚度为143KN/m2时, 上甲板截面惯性矩对其最大变形影响。图8、9分别给出了不同截面惯性矩下上甲板最大变形和最大应力变化曲线, 从图中可知, 上甲板最大变形和最大应力均随截面惯性矩的增大而不断减小, 当截面惯性矩大于7047×10-8 (m4) 时, 上甲板最大变形和最大应力均趋于稳定, 分别为2.08cm和7.95 Mpa。

图8和图9分别给出了截面惯性矩为7047×10-8 (m4) 时, 上甲板的变形和应力分布图。从图8可以得出, 上甲板最大变形出现在中心位置, 约为2.08cm。从图9可以得出, 上甲板中心位置的最大应力为为10.5Mpa, 小于铝材的屈服应力。

结束语

本文基于可展式原理, 提出了可展式浮箱的结构形式, 并运用ANSYS软件对浮箱的承载力进行了初步分析, 得到了较优的气囊压缩刚度与上甲板截面惯性矩数值, 对可展浮箱的进一步分析及系统的优化提供了基础。

参考文献

[1]邓智文.新型海洋浮箱系统方案预先研究[D].天津, 军事交通学院, 2003.

[2]董涤新.多用途浮箱方案设计中的几个问题[J].国防交通技术, 2008 (6) .

[3]孙菊香, 大型船舶采用气囊上下水工艺安全对策研究[J].中国修船, 2007, (1) :8-12.

可展结构篇3

在航天技术中, 由于发射时运载工具有效载荷舱几何尺寸的限制, 卫星和空间站等航天器不可避免地大量采用可伸展、可组装结构形式。可折叠、可展式机构的研究成为当今国际上的一个研究热点。剪式机构单元由于其可展性好, 组合方便, 在可展机构中是一种常见的单元机构。许多可展开/收拢机构都可以看成是剪式机构的组合。Dai等[1]对一种可伸展收拢的花式魔球进行自由度和运动学分析, 其基本单元就是剪式机构。李端玲[2]设计的一种月球探测用折叠变胞月球车模型, 在车轮和车身设计上大量采用了剪式机构。Cherniavsky等[3]设计开发了一种新型EGS天线, 天线由圆环剪式铰组成, 收拢时, 直径为0.6m, 展开后, 其椭圆面可以达到5.6m×6.4m。

关于剪式机构的研究, 已有许多相关文献。这些研究有些集中在对剪式机构的运动学分析和组合设计上, 如文献[4,5,6]就对剪式机构的柔性变形进行了分析。上述研究在分析中常常只考虑了杆件节点的3个自由度, 即对应的节点力Fx、Fy、Fz, 而较少考虑单元节点处另外的2个方向的弯矩Mx、My。

本文利用矩阵凝聚法, 推导出了一种五自由度剪式单元的有限元模型, 并对一种圆柱式折叠结构进行了静力学分析。基于这种剪式单元的有限元模型, 利用拓扑优化, 对可展机构进行了轻量化设计研究。

1 剪式单元的有限元模型

在可展机构中, 如果2个剪式单元共面, 它们常常被设计成直接用销副连接。而如果2个剪式单元异面, 它们的连接方式, 在机构上通常会设计成1个连接单元, 2个异面的剪式单元通过此连接单元连接, 其结构如图1所示。在以上两种情况中, 剪式单元机构除承受3个方向的力外, 还可能有2个方向的弯矩, 针对此类情况, 本文对其建立了有限元模型。

1.1单元刚度矩阵

如图2所示, 剪式单元由两根杆件 (d1, d2) 组成, 两杆之间和端点处采用销连接。与一般的两节点梁式杆单元不同, 其连接点不仅位于单元两端, 还位于单元中部。整个单元可以分为5个节点 (1～5) , 取其中一杆d1进行分析, d1可以看成由两根梁式杆单元构成, 即1-5段, 5-2段, 如图3所示。

将两部分的刚度矩阵进行叠加, 可以得到d1的整体刚度矩阵。考虑到单元采用销副连接方式, 沿z方向的力矩Mz恒等于0, 可以对转角θz释放自由度。d1的单元刚度方程为

式中, uo为需要保留的节点自由度, 即 (uix, uiy, uiz, θix, θiy) ;uR为需要释放的自由度, 即θiz。

释放自由度后的刚度矩阵为

K*1=ko-koRk-1RkRo (2)

同理, 可以得到d2释放自由度后的刚度矩阵K*2, 将K*1、K*2进行坐标变换后叠加, 得到单元总体刚度矩阵Kd, 则单元刚度方程可以表示为

在实际应用中, 节点自由度u5可以视具体情况而决定是否释放。如果在节点5处有其他构件连接或载荷, 节点自由度u5不必释放, 此时刚度矩阵Kd是一个25×25的矩阵。如果在节点5处没有连接其他杆件或载荷, 节点自由度u5可以进一步释放, 此时剪式单元蜕变为4节点单元, 刚度矩阵K*d是一个20×20的矩阵。以下主要以这种形式的单元作为研究对象, 讨论结构的静力学性能。

1.2剪式单元的坐标变换和组合

由于此单元每个节点只有5个自由度, 而在进行坐标变换时, 每个节点对应6×6的变换矩阵, 因而在K*d对应的位置应添加上0行0列, 使刚度矩阵与变换矩阵的阶数一致。代入式 (4) , 可以求得变换后的单元刚度矩阵为

Kn=TTK*d nT (4)

式中, K*d n为添加0行0列后的刚度矩阵;T为坐标变换矩阵。

整体刚度通过单元刚度矩阵的叠加得到, 需要注意的是在集合总体刚度矩阵时, 如果交汇某个节点的所有元素在同一平面, 在局部坐标系中, 该节点的第6个平衡方程 (相当于θz方向) 将是0=0。如果总体坐标系与局部坐标系不一致, 经变换后在该节点会得到相关的6个方程, 导致刚度阵奇异。解决此问题, 通常有以下几种方法:

(1) 在局部坐标系内集合共面节点平衡方程, 并删去0=0这个方程。

(2) 在该节点上给以任意的刚度系数Kθz, 则在局部坐标系中, 该节点θz方向平衡方程由Kθzθz=0来代替。经变换后, 将产生一组良性方程。由于θz与其他节点平衡方程无关, 故Kθz不会影响计算结果。

(3) 无论一个节点处相汇单元是否共面, 在所有单元中都采用假想的转动刚度系数, 即虚刚度。此方法易于编程, 但虚刚度会对计算结果产生影响。

本文采用第一种方法解决同一平面的刚度阵奇异问题。

2 整体结构的静力学性能研究

平板式折叠结构和圆柱式折叠结构是两种常见的折叠结构[7], 它们已被广泛应用于航天和建筑工程领域。这两种折叠结构都由基本的剪式机构所组成, 而且在展开收拢时只有一个自由度, 便于控制, 如图4所示。

算例1 这里以圆柱式折叠结构作为研究对象, 剪式单元梁的几何尺寸为ϕ20mm×3mm, 弹性模量为210GPa, 圆柱式折叠机构的4个角点与地面简支, 结构中心位置有一集中力载荷F=1000N, 其具体结构如图5所示。在计算中, 采用前文推导的4节点剪式单元模型, 利用MATLAB进行了编程计算。计算结果如图6所示, 其中虚线部分是结构变形前的形状, 实线部分是变形后的形状, 为了显示清楚, 对节点位移进行了适当放大。位移最大处位于结构中点下弦处, 其最大位移umax=-31.2976mm。从图6中可以看到, 其位移结果满足中心对称性要求。

3 拓扑优化设计

可展机构在完全展开后往往需要承受一定的外载。一般来讲, 对于较少数目单元的结构, 强度和屈服占主导地位, 而对于含有较多单元数的大跨度结构, 刚度几乎总是决定性因素[8], 而机构中的单元拓扑布局, 对机构刚度性能影响很大。在相同载荷和边界条件下, 如何合理规划布局, 使机构展开后能保持较大的刚度是可展机构设计的主要问题。本文借助拓扑优化中的SIMP (simple isotropic material with penalization) 法[9,10,11,12], 选取结构柔度最小化和结构效率最大化两种目标函数, 对基于剪式机构的可展机构布局进行了优化研究。

3.1拓扑优化的数学模型

SIMP法设计变量少, 计算简单, 适用于大型工程的拓扑优化设计。根据SIMP法, 在计算单元刚度矩阵中添加伪密度xi (xi∈[0.001, 1]) , 新的单元刚度矩阵可以表示为

Ki=xpiKn (5)

式中, p为惩罚因子。

式 (5) 的作用是使伪密度向0-1两端聚集, 从而获得较清晰的拓扑结果。通过对伪密度xi的优化计算, 可以得到整个机构的拓扑布局。

3.2结构柔度最小化拓扑优化设计

为了让机构展开后有较好的刚度, 本文以结构柔度最小为目标函数, 以单元机构的数量约束作为优化约束条件, 建立优化模型:

$\begin{array}{l} F i n d x \\ \min_{x_{i}} C \\ C = F^{Τ} U \\ s . t . Κ U = F \\ V = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} v_{i} \leq V_{0} f 0.001 ＜ x_{i} \leq 1 \end{array} (6)$

式中, x为伪密度设计变量;K、U、F分别为包含伪密度的整体刚度矩阵、位移矩阵和力矩阵;V为实际材料用量;V0为初始材料量;f为材料保留率 (实际材料用量与初始材料量的比值) 。

本文取惩罚因子p=3.5, 能获得较清晰的结果。有关目标敏度的计算, 可参阅文献[10], 本算例采用OC法作为设计变量的求解方法。

算例2 以算例1圆柱式折叠结构作为优化对象, 采用相同的结构布局和约束条件进行计算, 计算时给定的材料保留率f=0.6。为便于显示计算结果, 在提取拓扑结果时, 设定一阀值ξ, 当单元伪密度xi≥ξ时, 显示此单元, 当单元伪密度xi<ξ时, 不显示此单元, 本算例取ξ=0.7, 其优化后的结构如图7所示。

图8所示是优化过程中目标函数的历程曲线, 优化过程在第25步收敛, 收敛于36.290N·mm。

从图7可以看到, 在优化后的折叠结构中保留了136个单元, 占原来结构220个单元的61.8%, 基本满足了给定材料保留率的要求。在图8中, 结构的变形能通过优化过程达到一个稳定的最优解。通过以上分析可以得到, 经过优化计算后的折叠结构, 在结构静刚度最大化的前提下, 质量得以减轻。然而, 在计算过程中, 材料保留率是给定的, 在相同的结构布局和约束条件下, 不同的材料保留率会得到不同的拓扑优化结果, 如何确定一个适当的材料保留率, 是优化计算中的一个问题。本文在目标函数中引入结构效率概念, 使材料保留率和拓扑结构同时得到优化。

3.3结构效率最大化拓扑优化设计

在结构或机构的设计中, 刚度和质量的要求通常是互相矛盾的。结构刚度的增大往往导致结构质量的增加。如何用最经济的质量来获取最大的静刚度是一个结构效率问题。文献[13]给出了一个结构效率的计算公式, 式中考虑了最大变形和质量的关系, 即

$S E Ι = \frac{1}{γ} \frac{Ρ}{W} (\frac{S}{D})^{\frac{1}{β}}$ (7)

式中, γ为归一化因子;β为影响因子;P为整体载荷;W为结构质量;S为结构跨度;D为结构最大变形绝对值。

两个具有相同载荷条件和边界条件的结构, SEI指标越大, 结构的效率就越高。在本文中, 我们将影响因子β和归一化因子γ取为1, 在P和D的计算中暂时不考虑自重的影响, 则式 (7) 可以表示为

$S E Ι = \frac{Ρ}{W} \frac{S}{D}$ (8)

对于具有相同跨度和载荷条件的结构而言, 越高的SEI意味着较轻的质量或较小的结构变形。以算例1和算例2为例, 算例1计算的SEI等于0.7054, 而算例2计算的SEI等于0.9841。可见优化后的结构质量减轻, 而结构效率得到提高。通常情况, 对于设计者而言, 载荷情况和跨度是预先给定的, 在此情况下, 式 (8) 中的PS积为一常数, 令

SWD=WD (9)

SWD称为质量变形积, 对于式 (9) , 在给定载荷和跨度的情况下, 结构的效率越高, SWD的值越小。若将SWD作为优化目标, 则有数学表达式:

$\begin{array}{l} F i n d x \\ \min S W D \\ s . t . Κ U = F \\ W = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{p} w_{i} 0.001 ＜ x_{i} \leq 1 \end{array} (10)$

式中, wi为每个单元结构质量。

为进行优化计算, 必须得到目标函数的灵敏度。引入一个伴随变量λ和一个单位列向量L, 使得LTU=D。定义一个新的目标函数SWD*:

SWD*=WLTU+λ (KU-F) (11)

式 (11) 在数值上与原目标函数等价。对SWD*求导可以得到:

$\frac{\partial S W D^{*}}{\partial x_{i}} = \frac{\partial W}{\partial x_{i}} L^{Τ} U + W L^{Τ} \frac{\partial U}{\partial x_{i}} + λ (\frac{\partial Κ}{\partial x_{i}} U + Κ \frac{\partial U}{\partial x_{i}})$ (12)

由于

$\frac{\partial W}{\partial x_{i}} = p x_{i}^{p - 1} w_{i}$

代入式 (12) , 合并同类项后可得

$\frac{\partial S W D^{*}}{\partial x_{i}} = p x_{i}^{p - 1} w_{i} L^{Τ} U + λ \frac{\partial Κ}{\partial x_{i}} U + (W L^{Τ} + λ Κ) \frac{\partial U}{\partial x_{i}}$ (13)

令WLT+λK=0, 得到伴随变量λ的值, 回代入式 (13) 可以得到目标函数的敏度值, 其计算公式为

$\begin{array}{l} \frac{\partial S W D}{\partial x_{i}} = p x_{i}^{p - 1} w_{i} L^{Τ} U + λ \frac{\partial Κ}{\partial x_{i}} U \\ Κ λ^{Τ} = - W L \end{array}}$

(14)

在求解优化问题时采用移动渐进法 (the method of moving asymptotes, MMA) 求解。

算例3 取算例1作为原始结构, 经过优化计算后, 可以得到当结构保留率f=0.413时, 结构效率最大。此时最优结构如图9所示。

从图9可以看到, 优化后的折叠结构中保留了88个单元, 占原来结构220个单元的40%, 质量得以减轻。

图10、图11所示是结构的材料保留率变化曲线和SWD变化曲线。可以看到, 材料保留率和SWD随着迭代次数的增加, 逐渐减小, 结构效率得到提高, 最终收敛到一个稳定的最优解。此时的结构综合考虑了质量与刚度的影响, 具有最优的结构效率。为了验证其正确性, 将结构保留率f看成一系列离散的变量, f=0.2, 0.3, …, 1.0。对于每一个离散变量fi, 计算其最优的结构效率, 并将一系列离散的结构效率用平滑的曲线连接。图12所示是结构效率随材料保留率的变化曲线。从图12中可以看出, 结构在保留率为0.4附近具有最优的结构效率, 此时对应的最优结构能够以最经济的质量来获取最大的静刚度。这验证了前面推导计算的正确性。

从以上分析中可以看出, 将拓扑优化方法引入到此类剪式可展机构的设计中来, 能大大减少剪式单元的数量, 减轻机构的质量。而结构效率的引进使得材料保留率和拓扑结构同时得到优化。

4 动力学性能探讨

在结构刚度和质量分析计算中, 除了满足静刚度的要求外, 还应考虑结构的动力学性能。以下基于4节点剪式单元对展开后的可展结构进行动力学分析。

释放自由度后, 剪式单元的质量矩阵可以通过古因缩聚法获得, 考虑自由振动的运动方程:

$[\begin{matrix} m_{o} & m_{o R} \\ m_{R o} & m_{R} \end{matrix}] [\begin{matrix} \ddot{u}_{o} \\ \ddot{u}_{R} \end{matrix}] + [\begin{matrix} k_{o} & k_{o R} \\ k_{R o} & k_{R} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{o} \\ u_{R} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$

(15)

其凝聚后的质量矩阵为

M*d=mo-moRk-1RkRo-

koRk-1RmRo+koRk-1RmRk-1RkRo (16)

因此, 退化为4节点单元的运动方程可以写成

$Μ_{d}^{*} \ddot{u}_{o} + Κ_{d}^{*} u_{o} = 0$ (17)

式中, M*d、K*d为4节点剪式单元的一致质量矩阵和刚度矩阵。

和静力分析相似, 把局部坐标系下的质量矩阵向整体坐标转换, 得到整体坐标下的质量矩阵Mn, 继而可以得到整体坐标系下剪式结构的自由度振动方程。以算例1的结构为例, 对可展结构进行动力学分析, 结构的材料选用铝, 密度ρ=2.7g/cm3, 它的前两阶主频和振型如图13所示。

结构动力学拓扑优化[14,15,16]通常以某阶自然频率如一阶频率最大化作为目标, 可表述为

$\begin{array}{l} F i n d x \\ \min_{x_{i}} ω_{j} \\ s . t . (Κ ω_{j}^{2} Μ) \tilde{U}_{j} = 0 \\ V = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} v_{i} \leq V_{0} f 0.001 ＜ x_{i} \leq 1 \end{array} (18)$

式中, M为一致质量矩阵;ωj、 $\tilde{U}_{j}$ 为对应的j阶特征值和模态向量。

由有限元平衡方程和伴随向量易推导得到目标函数的敏度表达式:

$\frac{\partial ω_{j}^{2}}{\partial x_{i}} = \tilde{U}_{j}^{Τ} \frac{\partial Κ}{\partial x_{i}} \tilde{U}_{j} - ω_{j}^{2} \tilde{U}_{j}^{Τ} \frac{\partial Μ}{\partial x_{i}} \tilde{U}_{j}$ (19)