多目标非线性规划模型（精选10篇）
多目标非线性规划模型 篇1
1 引言
游客旅游消费的选择和决策是一种对旅游服务的消费和购买的行为[1],在这个过程中,有很多因素如价格、促销、服务质量、个人偏好等,都影响着最终消费者的购买决定,与一般商品服务的购买决策过程不同的是,由于旅游服务具有不可触摸、不可事先体验、服务的消费与生产同步等特点,使得人们对旅游消费的选择过程更加复杂。而另一方面,旅游企业从投资、经营的角度出发,也希望选择一种最佳的、最适合的旅游企业投资和经营模式,在获得最好利润的同时也能保证企业的竞争力和可持续发展性。如何从游客与旅游企业两个角度找到均衡点,既使游客对消费服务满意,愿意购买,旅游企业也能达到最佳的状态。
丽江古城是一座具有较高综合价值和整体价值的历史文化名城,每年来丽江古城旅游的人不计其数,古城内的客栈是利用纳西民居进行改造的家庭住宿设施,越来越多的游客喜欢住在古城客栈内,品位休闲、惬意、远离喧嚣城市的纳西生活,古城客栈已成为拥有特定性质的、具有相当旅游吸引力的丽江旅游资源,吸引了一定数量规模的旅游者,古城客栈的数量也从原来的几家发展到现在的上百家。游客在选择客栈时,有很多因素起着重要作用,游客通过各种信息渠道了解客栈的相关情况,做出旅游决策,而对旅游企业经营者来说,如何更好地适应不同游客需求,如何提高客栈竞争力和游客的满意度是他们在经营决策中是应首要解决的问题。但至今为止,还没有形成一个比较全面的研究框架来分析旅游者在对客栈选择中经历的信息接受、筛选,客栈形象构建、自身需求意识、形象与需求比照等一系列复杂的旅游决策过程。
本文从约束和目标两方面尝试搭建一种旅游者进行客栈选择的决策方法,它不同于为指导旅游决策行为而进行的常规数据分析,数据分析常常是基于观察到的行为或表示的意图,在总体水平上从一组假设的行为开始进行分析,事实上,对于大多数度假旅游者,满足和享受的追求是受一定条件限制的[2],而客栈所能提供的服务也是有一定限制的,因此,旅游者的选择行为和客栈的经营决策可以被看作是受约束的活动,寻求旅游约束范围内各自目的的满足。这就可以提供一个线性规划模型,根据这个模型,可以更好地分析旅游者的消费选择行为,为客栈经营者在进行旅游市场细分、目标市场选择、市场定位、营销战略与策略组合时提供一个基本的分析平台,为客栈产品开发与市场营销、服务改善提供参考。
2 多目标线性规划和行为
我们常常面临同时对多种可选性作出决定,需要多个目标在给定区间上尽可能达到最佳,如想知道什么样的经营投资类型对于客栈来说是最适合的,对旅游者来说是最佳的选择等等,由于各个目标间可能存在冲突,且单独满足任意一个目标都无法使总体达到最优,因此须在这些目标之间取一折衷结果,这种多于一个数值目标在给定区域上的最优化问题就是多目标线性规划,它把目标函数变为一组最大或最小的线性等式,同时把线性等式中的各个未知数做限制,列出一组线性不等式,规划人员面临的各种选择可以通过在一组不等式约束条件下寻求一个或多个目标函数值获得,对多个子目标同时实施最优化[3]。这种方法为我们提供了一种用于旅游分析决策调整影响大小的工具,很好地展示决策者对各决策准则的重要程度加以调整后决策结果的变化情况。
使用多目标线性规划我们可以将代表客栈和旅游者决策的问题制作为模型,这种模型代表群体行为,并能与选择目标保持一致,但要先选择一组合适的目标,对客栈而言,最突出的目标就是利润的最大化,包括毛收入、入住率等;对游客而言,最突出的目标就是性价比的最大化,多目标规划可以为两个目标同时力争最优,至少达到一种均衡或折衷。这就避免了只能产生一个最优解的局限性,决策者可以按照多目标规划提供的一组非劣解及其相互补偿关系并结合实践经验做出恰当的选择,可以据此对客栈施加影响,朝共同目标发展。
3 样本数据收集整理
本文数据来源于2011年西南林业大学生态旅游学院对丽江古城客栈的实地调查、问卷和访谈数据。调查人员在当地向300家客栈的经营者进行直接问卷调查并结合访谈,主要调查了客栈的经营情况、经营目的、服务特色、营销途径和客栈软、硬件设施等,随机发放问卷给古城游客,主要调查游客对客栈信息的认知途径、影响选择行为的因素等。该次调查少部分数据通过网络发放给经营者和旅游者填写并回收。通过以上途径获得了有效、真实的第一手资料,利用SPSS、EXCEL等统计软件包对数据进行汇总分析。
4 指标的选取和分析
4.1 指标的选取
影响客栈选择的指标有很多,通过问卷、访谈结果及相关知识分析,从游客的角度及客栈经营的角度两方面出发,确定了有一些指标在客栈选择过程中占据着突出的地位,这些指标包括地段、规模、内环境、服务特色、营销方式和房价,每个指标就是一个影响游客作出旅游决策的变量,下面我们对这些主要影响指标进行分析。
(1)地段。
客栈的地段指标是指客栈地理位置的高低、是否处于主街道、是否临山、可不可以观雪山景、所处街道是否安静清幽等与地理位置有关的因素。客栈的地理位置对入住率有相当大的影响,在客栈价格、内环境等其他因素相似情况下,游客总是期望客栈地理位置高些,空气清新,可以观景或至少安静不喧嚣嘈杂。
(2)规模。
客栈的规模指标是指客栈占地面积大小、装修的新旧程度、装修风格(个性化程度)、房间的数量、房间的种类多少等与投资规模有关的因素。客栈房间种类多可迎合不同群体游客需要,无形中增加了入住率,同时房间的新旧程度和装修风格对游客是否选择入住也有很大的影响。
(3)内环境。
客栈的内环境指标是指客栈内部环境幽静古朴、干净整洁、宁静舒适程度,是否有园林式自然景观、植被的多少、院内是否小桥流水、是否有纳西庭院风格等。晒着太阳、聊着天、发着呆、品着书、喝着茶,这种让人身心疲惫得到彻底休息的、远离喧闹吵杂的丽江古城流水人家特有的休闲生活已经吸引了大量的游客,客栈已经成为丽江特质的旅游资源,而选择一个清新典雅、花香草绿、环境优美、原汁原味的纳西庭院来度假,可能是大部分游客所期望的。
(4)服务设施和特色。
客栈的服务设施和特色指标是指除常规服务和常规设施外其他设施和服务。如客栈有无餐吧、书吧、水吧、独立阳台(观景阳台)、公共电脑或房间独立电脑等设施,有无免费接送、自助厨房等特色服务。
(5)营销方式。
营销方式是指客栈的宣传方式、预订方式的多样性,如有无网站或博客,挂靠商务网站的数量等。
(6)房价。
房价从很大程度上影响着游客对客栈的选择,在综合了以上各种因素的情况下,除个别群体对某个因素特别重视外,很多游客会首选价格因素作为决策的主要依据,所以价格在客栈选择决策中起着重要作用。
4.2 指标量化和分析
根据整理好的调查和访谈内容结果,分析每个客栈在以上各指标所包含的每个因素中的语义差别,着手进行量化处理,在除房价外的其他指标中,认为指标所包含因素对入住率正面影响程度非常大的赋最高档,依次类推,把地段化为非常好、好、一般3档,规模分为3档,客栈环境分为4档,服务设施分为4档,营销方式分为3档;房价由于不同客栈房型多种多样,所以提取了所有客栈都有的标间最低价格作为依据,化为7档。把指标量化后,发现调查的300家客栈分别属于23种不同类型的指标组合,构建每种组合,根据调查结果求其对应客栈的平均入住率(淡季),把相关统计数据整理如表1所示。
4.3 各指标对价格定位的贡献程度
根据赋值表,分析客栈各指标对价格决策时的相关(贡献)程度(表2)。
* 表进行双尾检验时在0.05水平显著相关
可看出除营销方式外,其他各指标与客栈、房价有显著的相关性,这个相关系数也可以认为是目前古城客栈定价的相对比例关系。在下面线性规划模型中,各指标被看作是客栈需要投入的部分,把他们对房间价格的影响程度相关数作为权重ai,五个指标的权重相加为1。
4.4 客栈整体水平、房间均价对入住率贡献
把统计记录各指标档次相加分析每种客栈类型的整体水平、价格和入住率的相关程度(表3)。
* 表进行双尾检验时在0.05水平显著相关;** 表进行双尾检验时在0.01水平显著相关
可看出客栈的整体水平、价格和客栈入住率有很显著的相关性,在下面的模型中,我们把他们对入住率影响程度的高低作为权重qi,两个指标权重相加为1。
5 模型的构建与实证分析
5.1 目标函数
我们要解决的问题是从游客和经营者两个角度来构建目标函数,期望寻求一种既让游客满意,又让客栈经营者达到最佳投资经营的方案组合。
(1)对游客来说,期望客栈整体投入水平高、服务好,而价格越低越好,即要达到的目标是客栈整体性价比越高越好:
MAXZ1=q1∑
(2)对经营者来说,期望入住率尽可能高,利润和客栈整体投入比率越高越好:
MAXZ2=q2x7x6-q1∑
在两个目标函数中,x1代表地段,x2代表规模,x3代表内环境,x4代表服务设施和特色,x5代表营销方式,x6代表房价,x7代表入住率,常量ai代表着前5个因素的权重,q1、q2分别是客栈整体和价格两个因素的权重。
5.2 约束条件
从游客和经营者两个角度出发,结合丽江古城客栈的实际情况,切合实际、理性地给出约束。
(1)前5个指标分别只能取相应的档次范围(1-bi),如x1只能取1、2、3等,并且要求客栈整体水平不能低于一定的指标b0,入住率限定一个不超过100的范围。
(2)根据调查的结果,推断一个投入价格比例(性价比)的最小(c2)和最大(c1)范围限制,从比较现实的角度对性价比进行约束,这样一方面可以防止游客追求太过于理想化的高性价比,另一方面,让经营者较为理性地规划自己的投入和服务。
根据以上分析可得到下列约束:
xi>1
xi<bi,i=1,2,3,4,5
x7>b7
x7<100
∑
∑
∑
5.3 模型求解与分析
运用MFPS 软件求解线性规划模型,得出丽江客栈各因素分配情况,见表4。
从表4 所示的最优求解结果来看,如果满足所有的约束条件,既要让游客满意,客栈的性价比高,游客愿意消费,又要让客栈经营者最大地获得利润,标间平均房价在140元左右,入住率为73.9%。通过多目标规划模型可以很好地解决由多个指标决定的不同目标的决策问题,不仅为游客选择出了相对较好性价比的客栈类型,而且还为客栈经营管理者对不同的投入做出了合理的定位分配。
5.3.1 修改目标权重
为了更好地展示该模型在游客选择过程中的作用和对客栈经营者决策的指导,对游客所侧重的不同目标重要程度的选择决策进行分析和横向比较,以便分析产生不同结果对应的启示作用。这些情况包括:当游客认为客栈的整体设施、服务等是首要的选择,这类游客看重的是客栈的品质,这时就要对客栈整体赋以较大的权重,价格赋以相对较小的权重,而另一些游客可能在其他条件相差不大的情况下,就要尽量选择价格较实惠的客栈,这时就要对价格赋以较大的权重,客栈整体赋以较小的权重,这样可以得到以下2组权重值:q1=0.8,q2=0.2和q1=0.2,q2=0.8。将这2组权重分别代入模型,计算结果整理如表5。
对表5中的数据进行观察可以发现,在客栈品质为主的决策下,地段、规模、设施都有一定的提高,内环境和宣传没有特别的要求,房间均价可以到192元,提高幅度大约是50元左右,不是很大,主要是因为模型的目标就是在一定约束下,能达到的既使游客满意又让经营者接受的均衡点,而在这种情况下,入住率在淡季能达到将近80%,已经是比较高的,可以作为经营者参考的一种模式;而以价格作为主要选择依据时,服务比前者降低了两个档次,只能达到基本,增加了宣传的投入,地段一般,内环境增加了一个档,这种组合比较适合于常住游客,价格不高,客栈整体情况也不差,淡季的入住率也将近70%。
5.3.2 修改约束
通过不同游客群体差异,对约束做修改,增加对房价的约束,可看到不同高低平均房价所能到达的最高性价比的客栈水平,一方面为游客选择提供依据,另一方面通过它可以指导客栈的经营与建设(表6)。
为了保证客栈的入住率,对约束做修改,通过修改入住率的最低约束值,可看到不同高低入住率所能达到的客栈水平和房价(表7)。
6 结语
(1)游客在对丽江古城客栈进行选择时,主要考虑由客栈地段、规模、内环境、服务水平和设施、营销方式组成的客栈整体水平以及房价两个方面。
(2)价格对提高客栈入住率有着重要的作用,但须以配置合理的客栈整体水平为前提条件。由表3可以看出,目前游客在做旅游决策时,影响相对较大的是客栈整体水平,其次才是价格,应当避免价格成为调节供求关系的唯一因素,价格过于低,会损害客栈企业的利益,从而使客栈服务产品质量下降。这就要求客栈经营者在实现自身利润的同时也要加强客栈整体建设,不能为了一时效益而失去了吸引力和竞争力。
(3)在客栈整体水平中,客栈的氛围环境是影响游客决策的重要方面,由表2 可以看出客栈的所处地段、规模、服务和设施特色构成的氛围因子影响率最大;从表7也可看出此影响,当客栈的这三个影响指标达到一个非常高的值10左右时,入住率可达到80%以上;表6的情况也是如此,入住率和三个氛围因子是比较明显的正比关系。文化的差异是吸引游客的重要因素之一,旅游实质上是一种文化交互活动,丽江古城独特的异质文化吸引了无数的游客,如果客栈能通过硬件规模的合理配置、服务质量的改善和设施特色的建设,提供给游客文化内涵载负明显的旅游服务,创造出一个良好的旅游文化和氛围,让游客在其中得以充分享受,那将成为客栈吸引游客的重要保障。
参考文献
[1]沈涵.游客的旅游地选择与购买决策模型分析[J].旅游学刊,2005,20(3):43～47.
[2]John H.E.Taplin,Carmel McGinley.A Linear Program to Modeldaily Car Touring Cholces[J].Annals of Tourism Research,2000(27):451～467.
[3]刘住,张满生.旅游经济影响评估——线性规划在旅游决策中的运用[J].旅游科学,2001(3):1～4.
多目标非线性规划模型 篇2
[关键词] 房地产投资风险效用多目标决策
随着我国社会主义市场经济的发展和改革开放的不断深入，房地产业得到了迅速的发展。房地产作为一种投资工具，其风险性受到房地产投资者越来越普遍的关注。因此本文对房地产投资风险决策方法进行了深入研究。
一、房地產投资决策的特点
房地产投资决策就是运用有效的决策方法在若干个投资方案中选择出最优的投资方案。房地产投资决策同时具有多目标决策和风险型决策的特点。
1.房地产投资决策的多目标性
由于房地产投资者所追求目标有多个：收益 、回收期 、信誉价值、环境保护等。 所以房地产投资决策具有多目标性，属于多目标决策。
2.房地产投资决策的风险性
房地产投资过程中有许多风险因素：土地价格的不确定性、工程建设费用的不确定性、投资收益的不确定性及工期、投资回收期的不确定性等。这些风险因素是客观存在的，但并不是完全不可知的。决策者可以根据自己的经验和科学的方法预先估计和计算出其概率分布，再计算出益损值的概率分布。因此，房地产投资决策应该被认为是风险型决策，而不是不确定性决策。
二、多属性效用理论
现代风险型决策理论已从期望值准则阶段发展为期望效用准则阶段。期望效用准则充分考虑了风险型决策问题的两个基本特点，即后果的风险性和后果的效用。由于风险型决策问题的自然状态是不确定的，所以不论决策者采取什么决策，都可能产生各种不同的后果，因此他要承担一定的风险，但对后果并非是全然不知，可以预测它的概率分布。不同的决策者对风险的态度往往不相同，同样的后果对不同的决策者会产生不同的效用。
基于期望效用准则的效用理论能很好地解决风险决策问题，效用理论已从单属性效用理论阶段发展到多属性效用理论阶段。多属性效用理论可很好地解决多目标风险决策问题。运用多属性效用理论进行风险决策的基本步骤如图所示。
三、房地产投资多目标风险决策模型的建立
下面运用多属性效用理论来解决房地产投资多目标风险决策问题，建立房地产投资多目标风险决策模型。
1.建立多目标分层递阶结构
(1)选定目标
通过询问决策者，选择出决策者关心的三个投资目标：收益、回收期、信誉价值。
①收益最大化。收益(Return)是一个较为笼统的概念，它一方面含有绝对的收益值的意思，另一方面也含有投资收益率的意思，因此将收益最大化具体表述为以下两个方面：
一是净现值最大化。净现值(NPV)是一个反映投资收益的绝对指标，它直接描述了一个投资方案可能获得的利润的现值。其表达式为：
在风险条件下，需要确定净现值的概率分布。
二是内部收益率最大化。内部收益率是反映投资经济效益的相对指标。由于房地产投资者的资金总是有限的，因此投资者总是希望尽可能有效地运用有限的资金，获得尽可能高的收益。
内部收益率(IRR)是使净现值为零的折现率，它反映了项目自身的获利能力，其值可由式(1)中令NPV=0计算得出。在风险条件下，需要确定内部收益率的概率分布。
②回收期最小化。房地产投资资金占用很大，投资者往往利用负债经营，利息负担沉重，因此投资者往往希望尽快收回投资，把回收期最小化作为一个主要目标。回收期是指净收益抵偿初期投资所需要的时间。回收期有静态和动态之分，区别在于前者没有考虑资金的时间价值，而后者考虑了资金的时间价值。动态回收期较为常用，可通过令式(1)中NPV=0，求其中的t得到。在风险条件下，需要确定内部收益率的概率分布。
③信誉价值最大化。拥有地段好、规模大、档次高、性能优异的房地产往往被视为一种荣耀，而且这样的房地产也能够给其拥有者或者投资者带来无形的收益。我们将这种荣耀和无形收益统称为房地产的信誉价值。
信誉价值的估计通常由投资者本人根据自己的偏好确定。通常可由投资者对各备选方案的信誉价值进行打分，分数越高表明信誉价值越高，对投资者越有利。
(2)递阶结构
对于收益这个目标，用净现值和内部收益率作为它的属性。显然，这两个属性具有可理解性和可测性。同时，由于这两个属性分别从绝对值的角度和相对值的角度体现了收益这一目标的两个重要方面——实际收益值和投资收益率，因此它们是完全的。而且它们是非多余的和最小的。
对于回收期和信誉价值这两个目标，分别采用动态回收期和信誉价值的值作为它们的属性。这两个属性具有可理解性和可测性。
对于这些目标所设定的一集属性我们认为它是完全的、可运算的、非多余的和最小的。所有这些目标和属性构成了房地产投资决策的多目标分层递阶结构。
2.建立决策模型
选定房地产投资决策的目标集为：
①收益最大化;
②回收期最小化;
③信誉价值最大化。
为具体表述上述三个目标，我们设定一个完全的、可运算的、非多余的和最小的属性集：
这样，我们就得到了一个表达简单、意义明确的房地产投资多目标风险决策模型。我们只需先求出每个方案的各属性的概率分布，再根据决策者的偏好确定多属性效用函数，进而得出各方案的期望效用值，就可以据此期望效用值进行方案的优劣排序，从而进行有限个方案的多目标风险决策。
参考文献:
[1]彭勇行:管理决策分析.科学出版社,2000
[2]徐水师:预测方法与决策分析.西北大学出版社,1997
[3]杨剑波:多目标决策方法与应用.湖南出版社,1996
[4]张尧庭等:效用函数及优化.科学出版社,2000
多目标非线性规划模型 篇3
预测控制算法是通过保证目标函数中的预测误差最小从而获取最优控制值。这是将目标函数作为单目标进行优化求解［3］。实际上,一个被控系统的多个输出变量的性能指标是不同的。因此,可以根据系统需求,设定不同的输出变量的预测误差的范围。这样,对非线性预测控制已由单目标优化求解变成为偏好的多目标优化求解。
近年来,多目标优化的进化算法获得了飞速发展,已有多种成熟的算法出现,例如NSGA-II,PAES,SPEA-II等算法［4-6］。文献[7]将粒子群算法应用到多目标优化问题中,提出了MOPSO算法。但是出于决策偏好或求解需要,决策者要求获取偏好区域的Pareto解。为此,按照偏好方向将粒子种群引导至偏好区域,可以采用权重矩阵、参考点、参考区域、参考方向等引导方式［8］。目前,多数文献采用的引导形式是单一的,采用混合引导形式的多目标进化算法较为罕见。
本文将非线性预测控制算法中的预测误差作为偏好多目标优化的对象并将动态参考区域和移动参考点两种引导形式结合起来,提出了一种新的混合引导方式。该算法利用混合引导方式增加非劣解的选择压力,同时也保证了偏好区域的范围。另外,本文利用g-dominance［9］概念实现全局最优粒子的选取,实现对整个粒子群的有效引导,获得了最佳的控制效果。Matlab仿真结果表明本文所提改进的算法控制效果是令人满意的。
1 基本原理和问题
1.1非线性预测控制的原理
非线性数学模型可描述为
式中:f (⋅) 为非线性函数;na,nb为系统输入和输出的阶次;d为非线性系统时滞,一般令d=0。
目标函数为
式中:λ 为控制输入加权因子,λ1j= λ2j= … =λjNu= λ ,一般取值为1;q为输出误差系数;Nu为控制域长度;NP为预测域长度;yr为系统参考轨迹。
1.2 多目标问题
一般多目标问题可描述如下:
式中:X为R空间的决策变量;gi(x),hj(x)分别为约束不等式和约束等式。
多目标问题常采用Pareto解集作为寻优的结果,目前已推出了多种改进算法。
1.3 g-dominace概念
g-dominace是由Molina J提出的一种划分目标空间,实现偏好方向引导的方法［9］。本文采用g-dominace实现全局最优粒子的选择,其具体定义如下。
已知2 个点w和w*∈ Rm,只要满足以下2 个条件之一就可以称为点wg支配w*:
1)Flagg(w)> Flagg(w*);
2)wi≤ wi*,∀i=1,2,…,m,满足
至少存在1个j使得wj< wj*。
Flagv(w)定义:
式中:v为目标空间上的参考点;w为目标空间的任意一点。
2 多目标优化的MOPSO-NPC
2.1 基于多目标优化的预测控制目标函数
使用常规的预测控制算法实现对多变量系统控制时,都是通过保证目标函数中的预测误差最小,将目标函数作为单目标进行优化从而获取最优控制值。但多变量系统内部存在严重耦合时,目标函数中的各个输出变量的预测误差相互干扰,因此,其预测误差很难保证同时最小。这样,根据系统控制需求,设定不同输出变量的预测误差的范围,从而可确定各个输出变量预测误差的偏好区域。为此,本文将偏好多目标优化的思想引入到了非线性预测控制优化求解过程中。
2.2 参考区域的设计
目前,虽然基于偏好信息的多目标进化算法已经取得了巨大进步,但是当种群靠近Pareto前沿时,增加选择压力并同时控制偏好区域和偏好范围等问题仍需进一步深入研究。为此,本文提出了混合引导的思想:设置参考点为参考区的中心并同时从初始点开始移动。当参考点到达Pareto前沿时,参考区动态减小为一个最小区域,该范围内的非支配解就是最优解。因此,本文提出的混合动态引导的方法实现了偏好方向的准确引导同时完成了对偏好范围的控制,解决了某些算法非支配解容易收敛到一点的问题［9-10］。
2.3 参考区域及引导方程
为了获得一个可动态调整大小的参考区域,本文将参考区域设计成一个超立方体,具体表达式为
式中:s为解空间的任意一点;c为区域中心点;dp为超立方体半径,即超立方体中心到超立方体一个面的距离;m为目标维数。
根据式(5)可知,在种群初始时,应该设置超立方体半径为一个较大值,这样可以容纳更多的粒子。超立方体半径dp大小可依据各个粒子的适应度以及参考点位置来计算。
混合引导策略涉及参考点和参考区2 个公式。其中,参考区大小主要取决于超立方体半径变化,因此,超立方体半径dp可以代表参考区的变化。具体公式如下。
1)移动参考点表达式
式中:gen为当前次数;genmx为总运行次数;repgen为参考点;ASgen为外部档案中的非劣解。
2)超立方体半径dp表达式:
式中:dmax,dmin分别为超立方体半径的上、下限值。
2.4 混合引导过程
下面仅以两目标为例说明本文提出的混合引导策略的执行过程。混合引导策略过程如图1所示。在算法初始化时,将参考点设置为正方形中心并确定正方形的dmax和dmin值。根据式(6)和式(7)可知,当移动参考点的同时,动态减小超正方形半径,从而造成粒子选择压力的增加。当算法运行到最大次数时,参考点也正好到达Pareto前沿上,此时,dp取最小值。每次算法循环时,都要在正方形区域内选取进入外部档案的非支配解。当dp取最小值时,档案内的非劣解即为所求。
图1 中实线正方形为算法初始和停止时参考区域形状,虚线正方形是算法运行时若干个过渡形状。因此,控制dp下限值就可以控制偏好范围。
2.5 全局最优粒子的选择
本文利用粒子群算法实现动态混合引导策略,并采用档案保存历史最优解,并从外部档案中随机选取全局最优粒子,引导整个粒子种群向偏好区域飞行。
为了保证全局最优粒子向偏好方向飞行,本文采用了g-dominance概念。g-dominance的优点之一就是算法的有效收敛性与参考点是否在可行域无关。g-dominance可以将档案集进行划分,flag1 的区域是全局最优粒子选取的范围,具体可见图2和图3。
另外,还应注意到参考点设置在Pareto前沿上的情况。如果这时还要移动参考点,可能造成偏好信息丢失。为了保证偏好区域的准确,将不再移动参考点,可以将参考点作为粒子群全局最优的粒子,引导种群飞行。
3 算法流程
据此,本文提出的MOPSO-NPC算法的流程如下。
Step1:初始化。对预测控制和粒子群主要参数赋值,例如:设置预测域长度Np和预测控制域长度Nu;迭代次数gen=0,最大迭代次数genmx,超立方体半径下限dmin等。根据多目标优化的目标个数m,随机产生种群数量为N的初始种群,设定档案大小n。
Step2:判断参考点是否设置在Pareto前沿上。如果是,令position=1,否则position=0。
Step3:计算各个粒子的多目标适应度值。
Step4:获取满足式(5)的粒子,利用Pareto支配选择档案粒子。当外部档案中非劣解超过规定数量时,采用拥挤距离方法进行维护。
Step5:当position=1 时,选择参考点为全局最优粒子;当position=0 时,利用g-dominance策略划分档案中的非劣解,随机选择全局最优值;利用支配关系选择个体最优值。
Step6:如果position=0 时,参考点更新。否则,不更新。
Step7:超立方体的d更新。
Step8:粒子群粒子更新。
Step9:gen = gen + 1,如果迭代次数小于最大迭代设定值转到step 3,否则结束循环。
4 性能分析
本文选取ZDT［11］的主要测试函数来验证本文提出混合引导策略的性能。本文将MOPSO-NPC算法中的混合引导策略和比较典型的g-dominance算法进行了性能比较和分析,其中,将NSGA-Ⅱ算法融入到g-dominance算法中。相关仿真的基本参数设置为:种群大小为100,档案大小为100,变量维数为30,交叉概率为0.99,变异概率为0.1,最大运行次数为200。c1=c2=2,w=0.5。ZDT1,ZDT2,ZDT3,ZDT4测试函数各独立运行25次。
4.1 收敛性和分布性测试情况
本文利用GD和SP作为衡量算法收敛性和分布性能的指标［12-13］。GD和SP值越小,表明算法解的收敛性、分布性越好。 测试函数ZDT1~ZDT4的参考点设置为(0.5,0.5),本文提出的混合引导策略与g-dominance算法的GD和SP的均值如表1所示。
通过上述性能分析,本文提出的混合偏好引导策略的收敛性指标和分布性指标均接近或超过g-dominance算法。因此,本文的偏好引导策略具有较好的收敛性和分布性。
4.2 参考点位置和dmin变化的影响。
当混合引导算法的参数发生变化时,选择不同的测试函数进行仿真。利用ZTD1函数进行测试时,参数dmin=0.035,参考点起始位置(0.7,0.6),测试结果如图4 所示。从图4 中可知,参考点位于可行域。
当参考点起始位置为(0.35,0.35),dmin=0.05,参考点位于不可行域,采用ZTD2函数测试,结果如图5所示。
利用测试函数ZTD3检测不连续空间性能,参考点位置为(0.55,0.35),dmin=0.2,测试效果如图6所示。
为了测试参考点设置Pareto前沿上或附近时的算法性能,参考点为(0.5,0.4),dmin=0.015,ZTD4测试的效果如图7所示。
根据以上测试结果可知,当参考点位置无论处于可行域或不可行域,处于Pareto前沿上或远离前沿,算法都可以得到设定范围内的非劣解。当改变dmin值时,算法可以控制偏好范围,获得希望的最优解集。
5 实例分析
本文以连铸过程中的多变量结晶器系统作为被控对象进行分析,系统组成如图8 所示。具体参数详见文献[14]和文献[15]。
为了说明系统控制效果,分别采用SOPSO-NPC和MOPSO-NPC进行仿真。预测步长Np=6,预测控制步长Nu=3。仿真分为3 种情况:1)设定拉速从vr=1.4 m/min阶跃到vr=1.6 m/min,结晶器液面保持为H=50 mm;2)系统稳定后设定结晶器液面从H=50 mm上升到H=60 mm(t ≥ 10)。3)拉速和液面同时发生变化。设定拉速从vr=1.4m/min阶跃到vr=1.6 m/min,结晶器液面从H=50mm上升到H=60 mm。
图9为偏好解空间分布情况图,其中,obj1为结晶器出口铜板温度预测误差的平方和,obj2 为结晶器液位预测误差的平方和。根据结晶器控制的需要选取相应点的非劣解进行仿真,仿真结果如图10 和图11 所示。其中,图10 为结晶器出口铜板温度输出曲线,图11为结晶器液位输出曲线。从图10 中可知,结晶器拉速上升时,系统的温度输出增加3 °C左右。SOPSO-NPC和本文改进的MOPSO-NPC都能实现温度调节,但是MOPSO-NPC算法的输出超调适中、响应较快。根据图11仿真情况可知,液位设定从50 mm提高到60 mm时,运用本文所提算法,获得了较好的控制效果,没有较大震荡和超调从而说明了该算法的有效性。
另外,当拉速稳定在1.6 m/min,时间为10 s时,结晶器液位发生阶跃,SOPSO-NPC算法的温度输出发生了0.4°C的震荡,说明温度控制受到了液位控制的耦合影响,但本文设计算法输出比较正常,没有较大波动。同理,在图11 中液位输出受到拉速的耦合影响,基于SOPSO-NPC算法的液位输出发生了波动。本文设计算法可以较好跟踪设定值,效果良好。
针对第3 种仿真情况,结晶器液位和出口温度的仿真结果如图12和图13所示。当液位和拉速同时变化时,由于两者之间的耦合作用,SOPSO-NPC算法的液位和出口温度都出现了超调和震荡,控制性能降低;本文提出的算法控制结果比较稳定,在两者同时调整时没有出现较大的震荡,说明本文算法完全可以消除系统内部的强耦合影响。
另外,在仿真过程中,需要合理选择有关系统系数。例如,迭代次数设置过小会造成较大的粒子选择压力,迭代次数过大又会使算法运行时间增加,影响系统响应速度。根据仿真研究的结果,迭代次数可设定50~200次较为合适;对于超立方体半径下限的设定,目前没有统一的标准和公式,但可视具体情况从[0.001~0.5]范围选择合适的值;对于预测步长和控制步长而言,一般仿真步数越多仿真结果越精确,但同时也会增加系统计算负担。当本文选择预测步长超过6,控制步长超过3 时,发现控制效果并没有明显增加。为此,本文设定预测步长Np=6,预测控制步长Nu=3。
6 结论
多目标非线性规划模型 篇4
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
参考文献
[1]MORAD A A，CLEVELAND A B，BELIVEAU Y J，et al. Pathfinder： Albased path planning system[J]. Journal of Computing in Civil Engineering，1992，6（2）：114-128.
[2]REDDY H R， VARGHESE K. Automated path planning for mobile crane lifts[J]. ComputerAided Civil and Infrastructure Engineering，2002，17（6）：439-448.
[3]杨淮清，肖兴贵，姚栋. 一种基于可视图法的机器人全局路径规划算法[J]. 沈阳工业大学学报，2009，31（2）：226-229.
[4]朱磊，樊继壮，赵杰，等. 基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障[J]. 中南大学学报：自然科学版，2011，42（11）：3421-3428.
[5]贾庆轩，陈刚，孙汉旭，等. 基于A*算法的空间机械臂避障路径规划 [J]. 机械工程学报，2010，46（13）：109-115.
[6]刘旭红，张国英，刘玉树，等. 基于多目标遗传算法的路径规划[J]. 北京理工大学学报，2005，25（7）：613-616.
[7]申晓宁，郭毓，陈庆伟，等. 多目标遗传算法在机器人路径规划中的应用[J]. 南京理工大学学报，2006，30（6）：659-663.
[8]KAZUO SUGIBARA， JOHN SMITH. Genetic algorithms for adaptive motion planning of an autonomous mobile robot[C]//Computational Intelligence in Robotics and Automation：1997 IEEE International Symposium， Monterey，USA，1997.
[9]杜海岩. 工程机械概论[M]. 成都：西南交通大学出版社，2004.
[10]张玉院. 移动式起重机无碰撞路径规划的设计与实现[D]. 大连：大连理工大学，2010.
[11]关志华. 面向多目标优化问题的遗传算法的理论及应用研究[D]. 天津：天津大学，2002.
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
参考文献
[1]MORAD A A，CLEVELAND A B，BELIVEAU Y J，et al. Pathfinder： Albased path planning system[J]. Journal of Computing in Civil Engineering，1992，6（2）：114-128.
[2]REDDY H R， VARGHESE K. Automated path planning for mobile crane lifts[J]. ComputerAided Civil and Infrastructure Engineering，2002，17（6）：439-448.
[3]杨淮清，肖兴贵，姚栋. 一种基于可视图法的机器人全局路径规划算法[J]. 沈阳工业大学学报，2009，31（2）：226-229.
[4]朱磊，樊继壮，赵杰，等. 基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障[J]. 中南大学学报：自然科学版，2011，42（11）：3421-3428.
[5]贾庆轩，陈刚，孙汉旭，等. 基于A*算法的空间机械臂避障路径规划 [J]. 机械工程学报，2010，46（13）：109-115.
[6]刘旭红，张国英，刘玉树，等. 基于多目标遗传算法的路径规划[J]. 北京理工大学学报，2005，25（7）：613-616.
[7]申晓宁，郭毓，陈庆伟，等. 多目标遗传算法在机器人路径规划中的应用[J]. 南京理工大学学报，2006，30（6）：659-663.
[8]KAZUO SUGIBARA， JOHN SMITH. Genetic algorithms for adaptive motion planning of an autonomous mobile robot[C]//Computational Intelligence in Robotics and Automation：1997 IEEE International Symposium， Monterey，USA，1997.
[9]杜海岩. 工程机械概论[M]. 成都：西南交通大学出版社，2004.
[10]张玉院. 移动式起重机无碰撞路径规划的设计与实现[D]. 大连：大连理工大学，2010.
[11]关志华. 面向多目标优化问题的遗传算法的理论及应用研究[D]. 天津：天津大学，2002.
摘要：采用改进遗传算子操作策略的遗传算法以解决起重机三维空间多目标吊装路径的规划问题.首先建立起重机作业场景和位姿空间的数学模型，将起重机的空间多自由度路径规划问题转化成平面路径点的求解问题.然后确定以吊装路径最短、安全性最好和运动形式变化最少为优化目标，通过添加记忆算子为插入算子和变异算子选取合适的方向和步长进行多目标优化操作.实验证明该算法能综合考虑多种因素，并能同时提供不同特点的路径供决策者选择.
关键词：多目标优化；遗传算法；记忆算子；空间多自由度路径规划
中图分类号：TH 213.1 文献标识码：A
虚拟场景中起重机无碰撞吊装路径规划属于环境信息已知的全局路径规划问题.全局路径规划方法根据已获知的环境信息，对环境进行建模，为起重机规划出一条满足约束条件和目标的吊装路径.目前，国内外的研究机构、学者对吊装路径规划做出了大量的研究成果，比如Morad[1]等人基于人工智能的方法开发出一款PathFinder系统，该系统在Walkthru环境中运用主动干涉检测盒启发式搜索方法来确定真实作业空间中的最优吊装路径.Reddy[2]等人采用了C空间的原理和启发式搜索算法对起重机的无碰撞吊装路径规划过程进行研究.
起重机空间无碰撞吊装路径规划本质上是一个多性能指标的NP完全问题，这其中需要满足多个优化参数，例如最短距离、最小时间和最低耗能等，很难为其求解单一的优化解.传统路径规划方法有可视图法、栅格法和A*等启发式算法[3-5].在解决空间多自由度的路径规划问题时，上述算法的搜索速度、精度和解空间不足.近年来，遗传算法在复杂多目标优化问题中的应用已成为研究的热点，然而，多数文献仅对平面路径规划问题进行优化[6-7]，针对空间多自由度路径规划这一类多关节多约束多目标优化问题的研究较少.Kazuo Sugihara and John Smith[8]用遗传算法进行路径规划的研究具有一定的可行性和有效性，然而该文提出的路径空间栅格划分法不能解决规划速度与规划精度之间的矛盾：栅格密度小，则搜索精度差；若密度大，则数据计算量大，计算速度低.因此进化较多的搜索过程需要占据较大计算时间和存储空间.
本文将遗传算法应用于起重机多目标路径优化问题，通过分析作业场景模型和起重机位姿空间模型，将路径空间分割成多个路径平面，然后对路径平面进行栅格化处理，建立平面路径规划模型，最后应用遗传算法原理建立吊装物的路径点信息模型来确定起重机的多个吊装路径.该算法通过为场景模型添加包围盒属性来保证路径空间的搜索精度和路径的可行性，并添加新的记忆算子来提高计算效率和收敛速度，对于运用遗传算法求解空间多自由度的路径规划问题有一定的指导意义.
1路径规划模型的建立
1.1作业场景模型
全地面起重机臂架组合形式有主臂、主臂+辅助臂（副臂、塔臂或动臂）两种，吊装运动有回转、变幅和卷扬3种方式[9].根据起重机的吊装运动特点，将吊装场景划分成两个路径空间，为便于表述将其投影至XOY平面上（如图1所示）.定义r，R分别为起重机最小和最大的工作半径，吊装幅度Fd∈[r， R]，S和T分别为吊装物的起吊点和目标点，O为起重机回转中心，OS和OT分别为起始边和终止边，其中，Q1为自起始边沿逆时针（左转）方向指向终止边的扇形区域，角度范围为W1；Q2为自起始边沿顺时针方向（右转）指向终止边的扇形区域，角度范围为W2.
4结论
针对起重机空间多自由度的吊装路径规划问题，提出了一种基于多目标遗传算法的路径规划方法.该算法根据起重机吊装运动特点，设计了三维空间的路径点编码机制和适合于路径规划的具有启发作用的遗传算子，且综合考虑了起重机吊装路径的多个目标，能够同时提供不同特点的多条路径.最后通过实例验证，表明了该算法的有效性.
参考文献
[1]MORAD A A，CLEVELAND A B，BELIVEAU Y J，et al. Pathfinder： Albased path planning system[J]. Journal of Computing in Civil Engineering，1992，6（2）：114-128.
[2]REDDY H R， VARGHESE K. Automated path planning for mobile crane lifts[J]. ComputerAided Civil and Infrastructure Engineering，2002，17（6）：439-448.
[3]杨淮清，肖兴贵，姚栋. 一种基于可视图法的机器人全局路径规划算法[J]. 沈阳工业大学学报，2009，31（2）：226-229.
[4]朱磊，樊继壮，赵杰，等. 基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障[J]. 中南大学学报：自然科学版，2011，42（11）：3421-3428.
[5]贾庆轩，陈刚，孙汉旭，等. 基于A*算法的空间机械臂避障路径规划 [J]. 机械工程学报，2010，46（13）：109-115.
[6]刘旭红，张国英，刘玉树，等. 基于多目标遗传算法的路径规划[J]. 北京理工大学学报，2005，25（7）：613-616.
[7]申晓宁，郭毓，陈庆伟，等. 多目标遗传算法在机器人路径规划中的应用[J]. 南京理工大学学报，2006，30（6）：659-663.
[8]KAZUO SUGIBARA， JOHN SMITH. Genetic algorithms for adaptive motion planning of an autonomous mobile robot[C]//Computational Intelligence in Robotics and Automation：1997 IEEE International Symposium， Monterey，USA，1997.
[9]杜海岩. 工程机械概论[M]. 成都：西南交通大学出版社，2004.
[10]张玉院. 移动式起重机无碰撞路径规划的设计与实现[D]. 大连：大连理工大学，2010.
多目标非线性规划模型 篇5
在科学技术及生产实践中, 许多问题的求解最终往往是转化成求解非线性方程或非线性方程组。非线性方程或非线性方程组的求解是数值计算领域中较困难的问题, 传统的解法如牛顿迭代法的收敛性和性能特征在很大程度上依赖于初始点的选择, 对于许多复杂的非线性方程组, 要选择一个较好的初始点是一件非常困难的事情。
微粒群优化算法[2、3] (Particle Swarm Optimization, PSO) 是由美国社会心理学家James Kennedy和电气工程师Russell Eberhart根据鸟群觅食行为模拟, 于1995年共同提出的一种新的演化计算技术。该新的优化算法具有许多特点如:实现容易、收敛性强、性能良好等。
多阶段多模型的微粒群优化算法[4] (MM-PSO) 是一种改进的微粒群优化算法, 将微粒群分多个阶段利用多种进化模型迭代进化, 该改进算法具有比标准微粒群优化算法更容易找到全局最优解的优点。
本文利用多阶段多模型的微粒群优化算法求解非线性方程组, 首先将求解非线性方程或非线性方程组的问题转化为函数的优化问题, 然后利用转化过来的优化函数当作PSO算法的适应度函数进行优化求解, 方程的求解不依赖于初始点和目标函数的导数信息。实验结果表明, 应用多阶段多模型的微粒群优化算法对转化过来的函数进行优化求解, 求解的结果是非线性方程或非线性方程组的有效解。
1 多阶段多模型的微粒群优化算法
微粒群优化算法基于群体与适应度的优化算法, 是通过对鸟群觅食行为的模拟得来。首先系统初始化微粒为一组随机解, 所有微粒有位置和速度两个特征, 微粒的适应度值是由其位置决定的, 通过迭代来改变其速度与位置求出问题的解。其数学表述为:由N个微粒组成的群体, 在D维的目标搜索空间中, 第i (i=1, 2, …, N) 个微粒在第t代的位置坐标可表成向量xit= (xi1, xi2, …, xid, …, xi D) T, 速度可表示为:vit= (vti1, vti2, …, vtid, …, vti D) T, 个体最优位置pBest可表示为:pit= (pti1, pti2, …, ptid, …, pti D) T, 种群的全局最优g Best可表示为:pgt= (ptg1, ptg2, …, ptgd, …, ptg D) T。
对于第i个微粒的第d维在第t+1代根据如下公式迭代更新:
其中, vtid—当前的速度,
—粒子i在第t次迭代后的新速度,
ω—惯性权重,
c1, c2—加速 (学习) 因子,
r1, r2—0到1之间均匀分布的随机数,
xtid—粒子i当前的位置,
—粒子i第t次迭代后的新位置。
加速因子c1, c2是调整微粒的自身经验与社会经验在其速度中所起作用的权重。如果c2=0, 则微粒没有群体共享信息, 只有自身经验, 微粒个体之间没有交互, 每个微粒仅受自己的飞行经验的影响, 不受其它微粒的影响。它的特点是:微粒在目标空间里大范围搜索, 不容易陷入局部最优点。此模型称之为Cognition Only模型[5], 其迭代公式为:
算法迭代的终止条件一般根据具体问题选为最大迭代次数或者微粒搜索到的最优位置满足预先设定的最小适应阈值。
在应用微粒群优化算法求解普通问题时比较简单, 容易求得满意的解。但是人们发现在实际应用过程中, PSO算法对于复杂优化问题求解时容易陷入局部极值[5]。针对微粒群优化算法求解复杂问题时易出现“早熟”收敛的现象, 文献【4】提出了一种多阶段多模型的改进微粒群优化算法。考虑到寻优过程中不同阶段的开发与探测能力需求的差异, 算法将寻优过程分成三个阶段, 不同阶段采用不同的模型。
第一阶段利用标准微粒群优化算法发现局部极值的邻域, 第二阶段利用Cognition Only模型快速找到局部极值点, 以提高寻优效率, 第三阶段, 利用新的模型跳出局部极值点, 以便寻找全局最优点。
其中第三阶段新的模型设计原理是为保证模型和标准PSO算法的结构形式一致并考虑微粒群算法的统计规律性, 定义一个减速因子 (与加速因子c1, c2对应) 和一个0到1之间均匀分布的随机数 (与r1, r2对应) 。
模型迭代公式为:
其中ω, c1, c2, r1, r2与式 (1) , (2) 定义相同,
c3—减速因子,
r3—0~1之间均匀分布的随机数。
2 求解非线性方程组的MM-P S O算法
2.1 非线性方程组的描述与转化
非线性方程或非线性方程组的求解问题是一个比较古老的数学问题, 其数学模型一般可表示为:
在式 (8) 中, 一般X被认为是在实数范围内待求解的n个未知量, 可转换表示为f (x) =[f1 (x) , f2 (x) , …, fm (x) ]T变量X的m维向量函数。将此方程写成分量的形式表示, 即:
因此, 原非线性方程或非线性方程组的求解问题, 可等价于求解函数:
应用多阶段多模型的微粒群优化算法对非线性方程或非线性方程组的求解, 可令转化过来的函数作为微粒群优化算法的适应度函数。
2.2 求解非线性方程及方程组的流程
步骤1 初始化设置微粒群微粒的个数、最大迭代次数、惯性权重, 加速因子、减速因子、标准PSO迭代阈值σ、模型迭代次数ε、各粒子初始位置和初始速度等。
步骤2 将要求解的非线性方程或非线性方程组转化成要优化的函数。
步骤3 评价各微粒的初始适应值、保存初始最好位置及初始最优适应值。
步骤4 根据式 (1) 计算各微粒新的速度, 根据式 (2) 计算各微粒新的位置、并对各微粒新的速度和位置进行限幅处理。
步骤5 更新各微粒的个体历史最好适应值和个体历史最好位置;更新全局历史最好适应值和全局历史最好位置。
步骤6 比较前后两次全局历史最好适应值的差, 如果该差值大于我们事先设定标准PSO迭代阈值σ, 返回步骤4, 否则进入步骤7。
步骤7 采用Cognition Only模型对粒子的速度和位置进行进化, 并更新各微粒的个体历史最好适应值和个体历史最好位置;更新全局历史最好适应值和全局历史最好位置, 按照设定的参数重复步骤7ε次后, 转入步骤8。
步骤8 采用式 (5) 与式 (6) 对粒子的速度和位置进行进化, 并更新各微粒的个体历史最好适应值和个体历史最好位置;更新全局历史最好适应值和全局历史最好位置, 按照设定的参数重复步骤8ε次后, 转入步骤9。
步骤9 若满足停止条件 (迭代次数超过最大允许迭代次数) , 搜索停止, 输出全局历史最好位置和全局历史最好适应值;否则, 返回步骤7继续搜索。
3 实验结果
将多阶段多模型的微粒群优化算法应用于非线性方程或非线性方程组的求解。多阶段多模型的微粒群优化算法的参数按文献【4】的设置为:ω取值从0.9线性衰变至0.4, 加速因子c1, c2为2, 减速因子c3为2, 最大迭代次数为2000, 微粒的数量为60, 第三阶段模型的迭代次数ε为25。最小适应度阈值设为|f (x) |<1.0×10-6。
多阶段多模型的微粒群优化算法是一种随机搜索算法, 为了验证算法的有效性, 对于每个算例都应用MM-PSO算法独立运行50次, 将这50次运行的最终结果统计如表1所示:
应用多阶段多模型的微粒群优化算法求解以上三个算例每次都收敛, 运算速度快, 算法编程实现简单, 并且每次都求得满意精度的解。
4 结束语
多阶段多模型的微粒群优化算法是一种改进的微粒群优化算法, 该改进算法具有更好的全局搜索寻优性能, 本文应用多阶段多模型的微粒群优化算法对非线性方程及非线性方程组进行了求解。
对于非线性方程或非线性方程组的求解, 传统数值方法一般都要应用到初始点信息和目标函数的导数信息, 而一个好的初始点的选择是一件困难的事情。本文将非线性方程及非线性方程组的求解问题转化为函数优化问题, 应用多阶段多模型的微粒群优化算法进行求解。该方法不需要初始点的信息和目标函数的导数信息, 不易陷入局部解。测试实验的结果表明:该方法有效、求解精度高、算法实现简单。
参考文献
[1]李庆扬, 莫孜中, 祁力群.非线性方程组的数值解法[M].北京:科学出版社, 1999.
[2]Kennedy J, Eberhart R.Particle Swarm Optimization[C].IEEEInt'1 Conf.on Neural Networks.Perth, Australia, IEEE ServiceCenter Piscataway NJ, 1995.1942~1948.
[3]Eberhart R, Kennedy J.A New Optimizer Using ParticleSwarm Theory[C].Proc.of the 6th International Symposiumon Micro Machine and Human Science, Nagoya, Japan:IEEEService Center Piscataway NJ, 1995.39~43.
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多目标非线性规划模型 篇6
所谓多属性拍卖 (也有学者称之为多维拍卖) 是相对于传统拍卖即单属性拍卖而言的。虽然传统拍卖模式多样, 主体间关系不尽相同, 但拍卖竞价的核心长久以来却一直停留在价格这单一属性上, 然而对于可替代物品来说, 相互之间的可替代程度并不仅仅依赖于价格, 从这一点上来说, 仅考虑价格因素无疑是片面的, 而这一问题在企业采购拍卖 (也被称为逆向拍卖) 中则显得特别突出, 采购品的某些非价格属性往往其重要性不亚于价格。在采购拍卖中, 当买方除价格外还要考虑其他因素时, 学者们通常把这种拍卖称为多属性拍卖。
虽然传统的网上拍卖已经被研究了很长时间, 但多属性的网上拍卖问题最近几年才引起学术界的重视, 国外不少学者对多属性网上拍卖的模型进行了研究, 主要集中在买卖双方获得的收益、双方出价策略以及多属性权重的设置上:Vulkan和Jeenings 研究了利用标准英式拍卖协议在自动化代理间进行多属性度属性的服务分配问题[1];Bichler对各种拍卖形式做了实验分析, 他发现在各种拍卖中, 多属性的拍卖比单属性的拍卖得到的效用大, 实验还表明二级价格密封拍卖更能使得叫价者出更高价, 使得买方得到更高收益[2];Sairamesh研究了在使用多属性英式拍卖协议的情况下, 应用Agents进行服务分配的问题[3];Lee和Bui提出了一种多属性的计算机协商的算法, 其中一个重要贡献在于两阶段过程, 即先解决次重要的属性, 再解决重要的属性[4]。国内最近也开始了这方面的探讨, 但绝大多数还只是停留在理论研究上, 实际应用的多属性拍卖则非常罕见。
在企业采购实践中, 一家采购商面对多家供应商是极其常见的。在采购拍卖中引入多属性的好处有很多, 可以带来更为充分的竞争, 更优化的资源配置, 完善的供应链, 充分挖掘供应商的潜能, 还能避免一些供应商勾结的问题。但是, 由于多属性网上采购拍卖实施难度大, 对技术及人员的要求比较高, 因此真正的应用很少。
为了提高多属性采购拍卖的可行性及适应性, 本文将拍卖引入非线性领域, 提出了一种基于非线性的多属性网上采购拍卖竞价模型, 并根据此模型对多属性网上采购拍卖平台进行了设计与实施。
2 非线性多属性网上采购拍卖竞价模型研究
本文所提的竞价模型继承于Bichler所提的多属性加权求和模型, 并在其基础上引入了多类型属性概念以及非线性函数。对于不同类型的属性采取不同的方法计算其属性值, 最后利用归一化后的属性值及权重值进行加权求和得出综合评分, 以综合评分确定拍卖竞价的胜出者。
2.1 竞价过程及模型的假设条件
在建立模型前, 首先对模型的适用范围做以下假设:①一个采购商有多个供应商可供选择, 每个供应商提供产品的能力各不相同。②竞价时, 供应商基于由采购方指定的有限多个产品属性Yi (i>1) 进行竞争, 每次报价需包括所有属性的值 (相较于传统拍卖中每次报价仅包含“价格”这一单一属性的值) , 并把多属性的综合评分作为其报价。③供应商之间并不知道对方的报价, 只知道自己报价的当前排名。④对供应商的每次报价综合评估, 分别给出综合评分作为其报价, 拍卖结束时由最后报价者胜出。
2.2 非线性多属性网上采购拍卖竞价模型
(1) 多类型属性的处理
设本次拍卖共有j个供应商参与, 且采购商需要供应商在所采购的产品的i个属性上进行竞价, 则
式中, Yij为第j个供应商在第i个属性上所获得的评分; xij为第j个供应商在第i个属性上的报价 (这里“报价”不单指所报价格, 而泛指对该属性所报的属性值) ; fi为采购方事先设定的对于第i个属性所适用的评分计算函数。
在传统的单属性拍卖中, 只要取竞价者所报价格的数值进行比较就可以很方便地对竞价者进行排名 (即Yj=xj, 对Yj直接排序) ;而在多属性拍卖中, 由于各属性的值意义各不相同 (比如价格和应付账款的期限, 对采购商来说, 价格越低越好, 而应付账款则能拖得越久越好;另外这两个属性的数量级也大不一样) , 不能简单地进行相加比较, 因此需要利用函数对每个属性的报价值进行转化。
商品的采购拍卖属性可以有多个, 但其属性类型本文认为可以归纳为三类, 即数字型、区间型以及文字型, 下面分别对这三种类型属性进行处理。
①数字型
数字型属性顾名思义即可以用数字表示的属性, 如价格、到货时间 (天数) 、数量等。
实践中各个数字型属性取值的数量级可能天差地别, 为便于函数的设定, 需要对各属性报价值进行归一化, 即
式中, xij为第j个供应商在第i个属性上的实际报价; ximin为第i个属性的最小值; ximax为第i个属性的最大值; Xij为第i个属性归一化后的值。这样一来, 就可以把每个数字型属性值都控制在0～1之内。
此外, 将Xij代入函数后, 为控制最后综合评分的值, 也为了使最后设置的权重能真正产生效果, 有必要对函数也进行归一化, 即
式中, fi (Xij) 为将Xij代入函数后的函数值;fimin为该函数的最小函数值;fimax为该函数的最大函数值 (根据上文, 当函数为单调递增函数时, fimin=fi (0) , fimax=fi (1) ;当函数为单调递减函数时, 则相反) 。
在本文的模型中, f (x) 可以采用简单的线性函数如f (x) =ax+b, 也可以采用适用性更广的非线性函数, 如S型函数
②区间型
为使模型的适用性更强, 甚至可以将属性的取值范围进行分段, 每一段使用不同函数进行描述, 前提是该分段函数必须具有一致的单调性, 这就是所谓的区间型函数。
令分段函数为单调递增函数, 则
式中, flastmax为属性值取值范围最后一个分段所使用的函数的最大值 (即整个分段函数的最大值) , ffirstmax为属性值取值范围第一个分段所使用的函数的最小值 (即整个分段函数的最小值) , 当函数为单调递减函数时, 则flast与ffirst互换即可。可以看出, 数字型属性是区间型属性的特殊形式 (当区间数为1时的区间型属性) 。
综合数字型与区间型函数, 式 (1) 转化为
③文字型
在实践中, 并不是任何属性都可以用数值表示的, 比如一些质量属性, 不同的采购商会有不同的偏好。对于这些属性, 就可以制定一些描述性的选项供供应商选择, 并人为地给每个选项赋予一个分值, 这就是所谓的文字型属性。假设第r个属性为此类文字型属性, 且有m个选项, 则
式中, xrj为第j个供应商在第r个属性所选择选项的分值; Yrj为第j个供应商在第r个属性上所获得的评分。该种属性的评分已被控制在0～1的范围内, 无需归一化。
(2) 权重的设置
在得到各个属性的最后评分值之后, 为了体现采购商的偏好, 需要给每个属性分配一个权重, 即
式中, wi为采购商给第i个属性分配的权重值; Wi为第i个权重值占权重总和的比例, 也是第i个属性的评分占总评分的比例, 即计算综合评分时第i个属性真正的权重值。
(3) 胜出者的确定
综上所述, 可以得出
式中, Sj为第j个供应商一次报价的综合评分。由此可以通过Sj对供应商报价进行排名, 决定最后的拍卖胜出者。
根据假设条件 (3) , “供应商之间并不知道对方的报价, 只知道自己报价的当前排名”, 于是就可以在一定程度上避免各供应商之间对某一属性的恶性竞争。供应商出价的最后评分为其各项属性出价的综合作用, 要令自己的评分最高, 经过充分竞争后, 必有
式中, Sjmax为第j个供应商报价的最大综合评分, x1jmax、x2jmax、x3jmax为第j个供应商对各个属性的最大报价值, φ为系统对各个报价值的综合评估函数。
最后, 通过综合评分之间的竞争, 评分最高的供应商成为最终的胜出者, 即
式中, Sn为胜出者 (设为第n个供应商) 报价的综合评分, Smax为最高的综合评分。即只有供应商充分发挥自己各方面的优势, 才有可能最后在竞价中胜出。
3 非线性多属性网上采购拍卖应用平台设计
由于网上采购拍卖可能涉及的供应商很多, 每次拍卖的参与方变化也很大, 供应商可能来自不同的地域, 因此本文采用适应性更佳的浏览器/服务器 (Browser/Server, B/S) 架构 (如图1) 。在Windows操作系统下, 采用目前在Web系统开发中应用非常广泛的模型、视图、控制器设计模式 (Model、View、Controller, MVC) 。具体的设计框架选用J2EE的Struts, Struts是一种基于MVC经典设计模式的开放源代码的应用框架, 也是目前Web开发中比较成熟的一种框架。它通过把Servlet、JSP、JavaBean、自定义标签和信息资源整合到一个统一的框架中, 为Web开发提供具有高可配置性的MVC开发模式。
3.1 系统功能设计
基于本文的竞价模型, 非线性多属性网上采购拍卖系统应该涉及三方面的用户, 供应商、项目管理员 (采购项目的建立、管理及监控人员, 为采购商所指派) 以及系统管理员。用统一建模语言 (Unified Modeling Language, UML) 建立其用例图 (如图2) 。
系统采用基于角色的访问控制, 三种用户分别属于不同的用户群, 用不同的URL地址进行系统登录, 系统根据用户名及密码验证用户身份并提供相应的操作界面。其中, 系统管理员负责对新注册的供应商信息进行审核、注册新的项目管理员并对系统进行维护, 只有通过系统管理员审核的供应商以及通过系统管理员注册的项目管理员才能获得登录系统的权限;项目管理员为拍卖活动的主持人, 主要是对采购项目进行管理, 包括建立采购项目 (设置采购项目的名称、开始结束时间、各个属性等) 、邀请供应商参与竞价 (只有受邀的供应商才能在登录系统时看到该项目) 、修改采购项目 (包括开始结束时间、属性参数等) 、启动项目以及查看拍卖结果;供应商可以查看受邀的采购项目、选择项目参与竞价并可修改自己的注册信息 (包括公司地址、电话、联系人等) 以便与采购商取得联系。
3.2 竞价流程设计
多属性网上采购拍卖系统的核心在于能够让多个供应商同时在线进行多属性的竞价并且采购商能够对竞价过程进行监控。基于本文提出的竞价模型, 提出以下供应商竞价流程 (如图3) 。
各供应商开始竞价之后, 通过文本框、下拉列表框等网页控件提交多属性的报价。系统经过计算给出该供应商该次报价的评分以及其在所有供应商报价中的排名, 并且每隔一秒都将更新一次排名 (通过异步JavaScript和可扩展标记语言 (Asynchronous JavaScript and XML, AJAX) 技术的应用, 排名的更新将不会引起整个供应商操作页面的刷新, 大大提升了用户体验) , 让供应商可以实时掌握竞价的进程, 及时作出反应。若供应商的报价此时排名第一, 则在其排名下降之前没有必要作出反应, 只需等待竞价时间的结束即可;若其报价排名被人赶超, 则该供应商要决定是否继续出价, 出价的话就要考虑对哪些属性进行调整以提高自己的评分进而提升自己的排名, 于是, 又回到了第一步, 以此循环。
3.3 数据库设计
该系统实施的难点之一在于数据库的设计, 一个项目管理员可以建立多个采购项目, 一个采购项目对应多个竞价属性, 每个属性又有可能对应多个函数, 每个函数的参数又有不同 (本文系统所涉及的函数有两种, 直线型函数以及S型函数) , 因此其涉及的数据库表很多, 其基本的ER图如图4所示 (仅列出主要实体间关系) 。
对该ER图中的主要实体数据库表进行一下简要说明, 以PK表示主键, FK表示外键。供应商表——供应商编号 (PK) , 用户名, 密码, 所属行业, 所在区域, 公司名称, 地址, 联系电话等; 系统管理员表——系统管理员编号 (PK) , 用户名, 密码, 姓名, 联系电话等; 项目管理员表——项目管理员编号 (PK) , 用户名, 密码, 姓名, 联系电话, 所属部门等; 采购项目表——项目编号 (PK) , 项目名称, 拍卖模式, 项目管理员编号 (FK) , 联系电话, 竞价开始时间, 竞价结束时间, 延长次数, 每次延长时间, 项目状态, 项目建立时间, 属性个数等。
其中项目与属性的关系是数据库设计中的重点。属性与采购项目关系表——项目编号 (FK) , 属性编号:用于保存采购项目对属性的包含关系, 即一个项目对应哪些属性, “属性编号”列的取值为字符串, 由属性类别 (“SZ”表示数字型、“QJ”表示区间型、“WZ”表示闻字型) 与各属性的自动生成编号组合而成。数字属性表——数字属性编号 (PK) , 属性名称, 权重, 最小值, 最大值, 应用函数类型, 函数参数:“数字属性编号”列为自动生成的编号, 同以下各属性编号列, “最小值”与“最大值”标识出数字型属性的取值范围。区间术性表——区间属性编号 (PK) , 属性名称, 权重, 划分区间个数:区间属性表用于存放区间属性的基本信息, 由于各区间属性划分的区间个数不同, 一个属性对于其被划分的区间是一对多的关系, 因此对于各区间的取值需要开设另一张表。区间表——区间属性编号 (FK) , 区间编号, 最小值, 最大值, 应用函数, 函数参数:对于每一个区间, 都有一对“最小值”与“最大值”来保存其取值范围, 并且每一个区间都有一个对应的应用函数。文字属性表——文字属性编号 (PK) , 属性名称, 权重, 划分等级个数:同区间属性表一样, 文字属性表也用于存放文字属性的基本信息, 对于各等级的具体描述如下表所示。等级表——文字属性编号 (FK) , 等级编号, 等级名称, 等挤描述, 对应取值:对于每一个文字等级, 都要设定等级名称, 必要时设定等级描述, 说明选择该等级需要达到的标准, 最后必须设定对应取值, 文字属性没有函数的设置, 对应取值即相当于其他属性通过函数计算后的评分。
此外, 由以上可知, 一个项目对应多个属性, 区间及文字属性对应多个区间及等级, 因此一张表无法记录所有项目的供应商出价, 目前的方法是一个项目对应一张表, 项目出价表由系统动态生成, 出价表——供应商编号 (FK) , 属性编号1, 属性编号2, …, 综合评分, 提交时间。
4 应用实例
本文在系统设计的基础上, 完成了多属性网上采购拍卖系统的开发, 采用B/S架构, 在Windows操作平台下使用J2EE的Struts框架, 编程语言以超文本标记语言 (HyperText Mark-up Language, HTML) , Java服务器页面 (Java Server Pages, JSP) , Java, Javascript为主, 并辅以AJAX页面局部更新技术, 开发环境采用Eclipse 3.1, 数据库为SQL server 2000。系统的数据库服务器均安装在采购商处, 各供应商只需在预定时间通过Web浏览器登录采购商的拍卖系统即可参与拍卖竞价。
系统主界面由上端的标题、左端的菜单栏、右端的主视图组成, 当不同的用户群 (供应商、项目管理员、系统管理员) 登录时, 菜单栏将显示不同的功能项。图5左端所示为项目管理员登录时的功能菜单, 其主视图为新建采购项目时的核心步骤:设置拍卖中的各个属性。在该例中, 管理员为项目选择了“价格”“到货期”“质量”三个属性, 属性类型分别为数字型、区间型、文字型。对于数字型属性, 管理员需要输入其取值范围、所选用的函数以及函数的参数;对于区间型属性, 要先通过下拉框选择需要分割的区间个数, 然后对每个区间进行类似于数字型属性的设置;而对于文字型属性, 首先要选择所划分的等级个数, 然后给每个等级取名、作必要的描述并给出对应取值。项目各个属性设置之后, 邀请完供应商, 管理员就可以启动项目了。
项目启动后, 供应商便可登录系统参与竞价, 通过文本框 (数字型、区间型属性) 以及下拉列表框 (文字型属性) 输入报价并向服务器提交, 在竞价界面中可实时看到自己的当前排名及出价记录, 以便为下次出价参考。
在供应商竞价的同时, 项目管理员可通过系统实时监控供应商的出价并查看供应商的出价排名, 当竞价结束之后, 便可即时与获胜供应商取得联系。
其余功能以及系统管理员的功能均属于系统的外围功能, 并非本系统核心, 篇幅所限, 不再赘述。
5 结束语
网上采购拍卖的多属性化可以让拍卖更加科学完整, 竞争更为充分激烈, 资源的配置更加合理。对于采购拍卖的采购方来说, 这是一次重新挑选供应商的机会, 通过非价格属性的充分竞争, 能够让供应商的能力完完整整地暴露出来, 从而便于采购方进行供应链的进一步改造;而对于供应商来说, 这也是一次调整生产结构的好机会, 通过挖掘自身潜能、产业结构的改造以及对于成本观念的提升, 为企业日后的发展开山铺路。
本文通过引入多类型属性以及非线性评分函数, 完整了竞价模型, 并成功开发出应用平台, 使得多属性网上采购拍卖的可行性与适应性大大提高。
非线性多属性采购拍卖理论更可与群体决策支持理论相结合, 将本应用平台融入到企业的群决策支持系统 (Group Decision Support Systems, GDSS) 中去构建采购平台进而研究在这种平台支持下采购过程, 供应商的管理、激励机制, 为现代采购问题的解决提供一种新的解决思路, 达到辅助企业决策, 促进供应链协调的目的。
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多目标非线性规划模型 篇7
缆索单元在工程领域有着广泛的应用,如桥梁拉索、起重拉索、运输索道等。缆索的运动方程为强非线性的偏微分方程,直接求解需要很大的计算量。很多文献用有限元法来求解绳索在外力作用下偏离平衡位置时的变形应力及动态响应[1,2,3,4]。应用有限元法时,必须有足够的约束条件,且不能发生刚体运动。绳索基本是柔性体,抗弯曲能力很小,在约束条件下绳索受外力时,沿绳索方向发生弹性变形,而沿法线方向运动却不受绳索的弹性限制,易出现大变形情况,必须考虑几何非线性。文献[3,4]从多体理论出发,提出计算绳索动力学的有限段模型,这种方法将绳索离散成为一系列铰接刚性绳段组成的多体系统,即用一系列具有不同几何物理参数的刚性绳段近似无限自由度的绳索,应用多体理论求解[5]。有限段方法的有效性在于它可以近似模拟绳索的轮廓形状,保持原有系统的质量分布特性,并可以采用多体系统中的刚体接触模型,求解起重和索道过程中绳索与驱动轮之间的接触关系。对于弹性索,李晓平等[6]在绳段间引入弹簧阻尼,并将多体运动力学和弹性力学相关理论结合起来,提出了采用铰接弹性段组成的多体模型,对弹性的处理效果类似于考虑了几何非线性的杆单元有限元法,可以处理绳索大范围的运动响应。对于预张紧桥梁拉索,文献[7]提出了非线性有限元模型,并在ABAQUS软件中进行了仿真。
客运索道中的拉索同样存在张力,由于工作过程中索道除了弹性变形,还需要做刚体运动,并与驱动轮进行接触,属于多体动力学范畴。ADAMS是多体动力学典型的仿真软件,但它不支持柔索单元。因此本文根据预张力非线性索单元模型,推导出绳索之间的连接力,将绳索离散成直径相等的圆柱小段,段之间用力连接。为了保证位移相容性,增加连接点扭矩和阻尼的联系,防止突变角位移的突变。将等效模型在ADAMS中进行了仿真,并通过计算得出了预张力钢丝绳的频率、振幅与张力的关系,验证了等效多体动力学模型的有效性。
1 非线性索单元模型
设索单元是单向受力构件,随着应变的非线性增大,索力也呈非线性增大。在三维索单元计算中,坐标x、y、z和位移u、v、w的变量表达式为[7]
式中,i、j均为节点编号。
应变公式为
式中,L为索单元的长度。
索的张力为
F=ε SE+F0 (3)
式中,S为截面面积;E为弹性模量;F0为初始张力。
在总体坐标下,单元刚度阵为
其中,单元刚度矩阵的子矩阵k3×3分别由线性和非线性矩阵项组成:
索单元的节点质量为
索单元的质量矩阵为
结构运动方程为
式中,F为作用在结构上的外力;u为结构位移;M为总体刚度矩阵;K为总质量矩阵。
在不断变化的索道中求解该运动方程,得到节点的位移值。
该单元模型已经被应用到有预紧力的荆州长江大桥斜拉桥的计算分析中,并证明了结果是可靠的[7]。在索道中,也存在有预紧力的钢丝绳,钢丝绳与绷轮、驱动轮、从动轮之间是通过摩擦进行传动的,属于多体动力学分析范畴。ADAMS是出色的多体动力学仿真软件,但它没有非线性索单元模型,因此需要根据非线性索单元模型进行等效多体动力学建模。
2 等效多体动力学模型
根据单元位移法,可以求出x、y、z三个方向的等效刚度。在ADAMS中,弹性连接是小位移假设,不适合于索单元等大变形问题。但ADAMS提供通用力连接,其中类轴衬选项可以模拟弹性连接,只需给出连接力的方程即可。索道离散刚体等效动力学模型如图1所示。
根据非线性索单元的单元刚度矩阵,列出等效连接力如下:
离散后的钢丝绳每一小段有12个自由度,总自由度数为12n(n为离散单元数)。与有限元法不同,单元的力连接并不减少自由度方程数,只是建立了相连节点的受力平衡关系,并不能保证位移(特别是角位移)的相容性。因此,需要增加连接点转矩T和扭转刚度KT与阻尼CT的联系:
式中,θji为单元的j节点与另一个单元i节点的夹角;
防止突变角位移的突变。
通过引入弯曲刚度,建立的旋转自由度的受力联系,在线性(逐步加载)受载和运动范围内,可以保证位移的相容性。
3 非线性索道张力下的振动分析
为了验证预张紧钢丝绳等效多体动力学模型的有效性,建立了长为20m、半径为8mm,且两端铰接的一段钢丝绳模型。每50mm离散成一段刚体,共有400个单元。所用材料为钢,钢丝绳拉伸时的弹性模量为110GPa。对不同张力下的运动情况进行分析,线性加载时间为1s,一共分析了5s内的受力情况(图2中示出了0～2.5s的情况)和运动情况(图3中示出了0～2.5s的情况),振动频率由2～5s内稳态响应曲线经过傅里叶变换后的频谱分析得到(图3b)。张力取不同的值,得到的分析结果列于表1。
3.1 频率与钢丝绳张力的关系
从表1数据中,绘出频率与张力的关系,并通过曲线拟合,得出拟合曲线,如图4所示。可以看到,半径为8mm、长为20m钢丝绳的振动频率与张力呈指数函数关系f=0.6201F0.5072,与理论解y=ax0.5(a为系数)相符。
3.2 振幅与钢丝绳张力的关系
同样,绘出振幅与张力的关系,并通过曲线拟合,得出拟合曲线如图5所示。可以看到,半径为8mm,长为20m钢丝绳的振幅与张力呈指数函数关系A=3513.1F-0.5697,符合实际情况。
将创建预张力索道等效动力学模型方法编写成程序,并生成ADAMS软件可执行的命令文件,再运用到本文所述的非线性索道单元等效动力学模型应用与试验索道多体动力学分析中,得到的动力学模型如图6所示。
4 结语
本文建立了非线性索单元的多体动力学等效模型,为索道整体的多体动力学仿真提供了依据。在ADAMS中建立了20m预张力钢丝绳模型,通过多体动力学仿真,得到了不同张力下的钢丝绳振动频率和振幅,并分析了振动频率、振幅与张力的关系。本文结论为索道系统的多刚体动力学仿真提供了依据,也为ADAMS对带传动、链传动等非线性单元的仿真提供了参考。
摘要：根据预应力非线性索单元本构方程,推导了钢丝绳多刚体离散等效节点连接力,将索道离散成刚体小段,在刚体之间施加等效载荷,并引入了扭转刚度和阻尼来保证位移相容性。利用该模型编制了ADAMS程序代码,通过预紧力索道多体动力学进行仿真,揭示了钢丝绳振动频率与张力的关系,为索道多体动力学仿真提供了依据。
关键词：张紧索道,非线性索单元,多体动力学模型,位移相容性
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多目标非线性规划模型 篇8
通过试验研究,可以分析脱粘机理并定量研究影响粘结强度的几何与物理变量[3—6],也通过界面相对滑移的测试来建立粘结滑移本构关系[7,8],为加固结构计算和设计奠定基础。利用断裂力学进行分析,可以确定界面断裂能等关键的失效控制参数[4]。国外,有少量的研究对已有的模型进行评估[9,10],通过评估可以了解各模型的接近程度和误差。另外就是对界面强度或有效粘接长度进行评估[11],目前有些强度模型依赖于有效粘结长度,而另外有些强度模型不依赖与有效粘结长度。文献[11]的研究表明,各种研究对有效粘结长度在数值上还存在很大差异,因此目前对粘结强度模型在机理上仍缺乏统一认识。
对现有的5 个粘结强度模型,利用文献中的355 组单剪试验数据进行评估,同时对其中原考虑柔性胶层特性的Dai模型进行修正,再利用两种非线性回归方法对数据库给出的数据进行回归分析,对所有的模型进行分析和讨论。
1 现有部分FRP-混凝土粘结强度分析模型
现有的粘结强度模型有不下20 个,其中有些模型考虑了有效粘结长度的影响,有些模型则没有考虑这一长度。下面的评估分析中主要考虑了Cheng-Teng[12],Wu-Zhou[13]模型、Seracino[14]及Dai[15]模型对整理出的文献中的实验结果进行评估。基于完整性考虑、下面给出相应的强度模型及简单分析相关的理论依据。
1. 1 Cheng-Teng模型
Cheng-Teng[12]模型也是建立在有效粘接长度的基础上,脱粘荷载( 粘结强度) 以及FRP有效粘接长度可以由下式给出
式中,P、Lf及Le分别是脱粘荷载、FRP粘结长度和有效粘结长度,bf、tf及Ef分别是FRP的宽度、厚度与弹性模量,Fc是混凝土的棱柱压缩强度,α是考虑裂缝倾斜的缩减因子,近似取0.9。
1. 2 Wu-Zhou模型
Wu-Zhou等[13]给出了层板结构基础上的基于断裂力学理论的脱粘荷载模型,该模型不涉及有效粘结长度。给出的理论结果为
式(2)中βw与式(1b)相同,而λ'=td/tf,td=3.5mm,Σ=Ef/Ec,Gcf取0.17 N/mm。
Seracino等人[14]模型给出的脱粘荷载与FRP有效粘结长度由式(3)给出。
这里,Af是FRP横截面面积,df是垂直于混凝土表面的失效平面的厚度,对外贴( EB) 情况,取1 mm,LPe是失效平面的长度,对外贴情况取2df+ bf,$f与 δf是峰值应力和相应的滑移的估算式。
1. 4 Dai等人模型
Dai等[15]模型由式( 4) 给出脱粘荷载,以下表达式隐含了假定FRP足够长,后来尽管他们给出了有效粘结长度的表达式,但文献中仍较少采用,因此可认为与有效粘结长度无关的强度模型。
1. 5 Wu ZS等模型
Wu ZS等[16]在分析非线性断裂力学的粘接强度Holzenkmpfer[17]理论公式
并利用早期的311 组实验数据的拟合提出了如下的三参数粘结强度模型:
式中kb采用的是Lu等[8]的修正系数
2 提出模型及对已有模型的修正
2. 1 多变量非线性回归模型
通过上面几个强度模型可见,决定粘结强度的影响因素是粘结系统所涉及的几何参量包括粘贴材料FRP的宽度、厚度与粘贴长度及混凝土柱体的宽度,而界面材料的力学参数包括混凝土的压缩( 拉伸) 强度以及FRP的拉伸弹性模量。而主要参量是混凝土的压缩强度及FRP的弹性模量或单位宽度的抗拉刚度( Etf) ,主要理论依据是粘结强度的理论公式( 5a) ,而其他参数都作为次要变量对该表达式进行修正。其中一个几何参数是FRP的粘贴长度对界面强度的影响,大部分模型都是通过给出有效粘结长度的表达式来对强度模型进行修正,但是由于有效粘结长度难以测量,现有的少量实验数据也存在较大的差异,且有的甚至有相差一倍以上,具体可见文献[9]与文献[11],因此可以说对有效粘结长度无论从理论上还是实验研究方面都还没有获得统一的认识。
另外上述各模型可见,粘结强度主要影响变量之间的关系都是非线性的,且为幂指数乘积的关系,受次启发,本文根据实验结果采用非线性回归方法来拟合。其原理如下。设因变量为Y受m个独立变量X1,X2,…,Xm的影响,则它们之间非线性关系可以写成如下方程
对方程( 6) 两边取对数,可以得到如下的线性方程
对上面的可以利用已有的实验数据进行非线性回归拟合,下面给出了两种拟合方法。
2. 2 七参数回归模型
将所有的几何与材料特性参量都作为独立变量,而粘结强度的实验结果作为目标变量( 因变量) 。即将剪切试验中的参数bc,fc,bf,tf,Ef,Lf都作为独立变量,而将粘结强度P作为目标变量。拟合后可得如下的非线性关系
这里各变量保持原数据库中的单位不变,即几何量的单位为mm,fc的单位为MPa,Ef的单位为GPa,P的单位为k N。
2. 3 五参数回归方法
受经典的基于Taljsten给出的断裂力学原理给出结果的启发,将Eftf作为增强板( 布) 的刚度整体为一独立变量,并将 λ1= bf/ bc及 λ2= 2Lf/ bc及fc作为另外三个独立,仍按上述方法进行非线性拟合,得到如下的回归方程
这里,把 λ10.69和 λ20.10分别称为FRP的宽度效应系数与长度效应系数。下文将讨论这两个无量纲系数的含义及分析以上两种非线性拟合的精度。
2. 4 本文修正的模型
通过计算发现( 具体结果后面给出) ,Dai模型与其他4 个模型不同,用该模型估算的粘结强度平均值约大33% ,即界面断裂能理论值偏大,因此作者最近的工作[18]中对其进行了修正,修正后的模型只要对界面断裂能的系数修正为0. 25,且不必在强度模型前加经验系数7. 4,这样便得到( 10b) 所示的强度表达式。在本文中,利用上述长度系数再进行进一步了修正,修正后的强度表达式见( 10c) 。即修正后的界面断裂能和粘接强度模型如下
另外,对Wu-Zhou[13]模型也在其粘结强度表达式中同时乘以长度系数对其进行修正,从后面的分析中我们来看粘结强度的统计变化及修正的意义。
3 实验数据来源
在本文中收集到的试验数据来自参考文献[7,19—25]。文献[7]中应用的是原文作者Ko等的实验得出17 组数据以及文献Carlo等人的14 组数据。参考文献[19]整理了共有150 组数据,由于篇幅所限没有将原作者详细列出。其他51 组数据来自文献[19—25]。另外123 组数据来自文献[26],同时为了保持数据的有效性,将该文献中的立方体压缩强度换算成了棱柱体的抗压强度fc,即将原强度乘以0. 78后所得结果编入数据库中。这里要强调的是本文所用数据大部分与文献[16]是不同的,本文所用数据大部分来自近年来资料。由于数据库数据占据篇幅较多,下面只给出数据库的概要,见表1。
4 强度模型及修正模型的评估方法
每一个强度模型的精确性依赖于模型估算值与实验值的比较。为了描述整体的精确程度,这里借助于数学中随机变量的描述方法,将单个实验值与对应的理论预测值用变量xi来表示:
式( 11) 中Pexp,i与Pth,i分别表示粘结强度的试验值与理论值,变量xi表示它们的比值。简化分析中可认为它是一随机变量,当它的均值接近于1,标准差与变异系数越小,表示该模型的准确程度越高; 当均值大于1 表示实验值总体大于理论值,是保守的估算,而当均值小于1 表示实验值整体上要小于理论值,因此估算值偏于不安全。另外,还可进行实验值与理论值的相关性评估,相关系数越大表明总体趋势上物理变量之间线性关系也好,理论预测与实验结果相关性越强。
5 结果和讨论
5. 1 粘结强度预测统计结果
利用前面所列的粘结强度评估算法,利用matlab编程可以计算355 组数据的试验值与各个模型的预测结果及统计分析结果。利用方程式( 1 ~ 5)及式( 8) ~ 式( 10) 给出的各模型界面强度实验值与预测值的平均值、方差、变异系数列于表2,几个模型的理论值与试验值的对比还可以见图2( a) ~ 2( h) ,其中的相关系数也已在图中标出。为了便于比较,在图2( b) 中将Wu-Zhou模型与本文修正的模型的预测值和试验值的关系画在同一张图中,从图可见各点更加贴近对角线,而从表2 同样可见均值更接近与1,方差变得更小,相关系数由原理的0. 76 变成了现在的0. 83; 另外将Dai等人模型及是按方程( 10b) 给出修正模型1 计算的粘结强度由图2( d) 给出,而修正模型2 即按方程( 10c) 给出的预测值与修正模型1 的对比可以通过图2( e) 及表中的计算结果来反映,从图与表2 可见本文修正后的模型平均值更接近与1,而方差变得更小,相关系数也增大了。另外,从图2( g) 和表2 可见本文给出的七参数模型具有最好的精度。
5. 2 结果分析
从以上计算可见,在目前给出的实验数据范围内,也即较准确的模型需要同时考虑将所涉及的几何( 除混凝土柱体长度外) 与相关材料的力学参数6个作为独立变量来分析,这与文献[19]神经网络建模方法是一致的,但与之不同的是这里给出的是明确的定量关系,而神经网络模型预测不能给出明确的解析关系。另外,将本文给出的五参数模型也与实验值吻合较好,同时本文给出的FRP宽度效应系数与其他文献给出的宽度效应不同、但都可以作为考虑宽度对粘结强度的影响; 而这里给出的长度效应系数可以取代已有模型中考虑有效粘结长度情况对短粘结长度情况下的强度修正,这一点从对Wu-Zhou模型的修正及Dai模型的修正2都可以反映出来,经乘以长度效应系数 λ20.10后模型预测强度与实验值更加接近,而方差、变异系数减小,而相关系数增大,而这里不需要重新定义或者说不依赖有效粘结长度。可见这一系数尽管只是通过数据拟合得到的,但在定量计算界面粘结强度时有明确意义。
6 结论
本文利用文献中的实验数据对现有的FRP/混凝土界面几个粘结强度的5 个模型进行了评估的基础上,利用非线性回归的方法得到了七参数模型与五参数模型,引进了长度效应系数和宽度效应系数概念,对Dai模型与Wu-Zhou模型进行了修正,试验结果的统计分析可以得到一下结论:
( 1) 各模型都是根据自己的试验结果与前期的一些试验结果分析主要相关变量得出的近似结果,数据都有一定的分散性,因此仍需要更精确的模型来揭示其机理;
( 2) 本文给出的七参数非线性模型具有最高的精度,可以反映FRP粘贴长度对粘结强度的影响;
( 3) 本文给出的五参数非线性模型中给出的长度效应系数可以反映FRP粘贴长度对界面粘结强度的影响,而无需借助于有效粘结长度的概念;
( 4) 论文给出的长度效应系数可以用来修正不考虑有效粘结长度影响其他近似模型。
摘要：采用文献中的FRP-混凝土粘结单剪试验的355组试验数据,对5个界面粘结强度模型进行了分析评估;对其中的两个界面粘结强度模型进行了修正和重新评估。以剪切试验中的几何参数与粘结材料的力学性能作为自变量,以试验中得到的界面粘结强度为因变量,提出了两种不同参数为独立变量方法回归模型,得到了非线性方程,提出了长度效应系数与宽度效应系数的概念。对实验数据结果及粘结强度模型计算分析表明:理论预测与试验值有不同程度的精确性;FRP粘结长度是影响粘结强度的一个独立变量,给出的非线性模型不仅有更高的精度,且无需另外定义有效粘结长度。长度效应系数可以用来修正未考虑粘贴长度影响的近似解析模型。
多目标非线性规划模型 篇9
关键词：灰色系统理论；多目标规划；最优方案；公交模式
会议筹备问题是2009年全国大学生数学建模竞赛D题，要求参赛者为会议筹备组制定一个预订宾馆、租借会议室、租赁客车的合理方案。同时，赛题提供了两类数据：一是前几届会议与会人员的信息及本次会议发来回执的与会代表对住房的要求，二是会议筹备组筛选出10家宾馆的客房信息。
通过分析可知，会议筹备问题的解题思路是多目标规划，即预定宾馆客房在满足与会代表住房要求的前提下不仅要使空房的费用最低，而且宾馆数量应该尽可能少、距离尽可能近；会议室的安排上要兼顾租借会议室费用最低和派车最少，最后通过编程对以上问题一一作答。
一、预定宾馆客房
（一）预测与会代表人数
筹备组提供的数据有发了回执而未到的人数和没发回执但是到会的人数，因为数据较少，所以利用灰色预测法来处理。首先对未发回执而到会的代表人数进行预测，建立模型：
第一步，作1-AGO生成
X（1）（K）=■X（0）（m）=[57，126，201，305].
第二步，确定数据矩阵B、Y
B=-0.5（X（0）（1）+X（0）（2）） 1-0.5（X（0）（2）+X（0）（3）） 1-0.5（X（0）（3）+X（0）（4）） 1= -91.5 1-163.5 1 -253 1.
Y=X（0）（2）X（0）（3）X（0）（4）=126207305.
第三步，通过MATLAB计算参数矩阵
u=u1u2=（BTB）-1BTY.
第四步，白化微分方程
■-u1X（1）=u2，■-0.2201X（1）=45.2445，
■（1）（k+1）=261.729e0.220997k-204.729.
第五步，利用残差进行精度检验，经检验为一般精度可以进行预测。
预测结果为124人。同理可得发来回执未到的人数为258人，因此本届会议到会人数预测为621人。
（二）多目标规划模型的建立和求解
宾馆的选择上要使得空房费用最低，可预定满足要求的价格最低的房间，并且安排有独住要求的代表先入住各价位的高价房，这样可以使空房费用降低。根据预测人数和发来回执代表对住房的要求，我们忽略男女差异，按比例安排房间如下：合住196间，合住263间，合住320间，独住1137间，独住279间，独住349间。
符号说明：p（i，j）：价格矩阵，i宾馆j规格客房的单价，i=1?撰10，j=1?撰6；a（i，j）：未知矩阵，i宾馆j规格客房的预定数量，i=1?撰10，j=1?撰6；x（i）：取0或1，0代表没有预定该宾馆，1代表选择了该宾馆，i=1?撰10；dist（i，j）：i宾馆到j宾馆的距离，i=1?撰10，j=1?撰10；z（i）：i宾馆的房间总数，i=1?撰10；d1（i）、d2（i）、d3（i）：各宾馆各价位合住与独住房间数的可选择的总数；dem（i）：各规格的宾馆预定数量；u（i，j）：i宾馆j规格客房的数量。
建立模型如下：
目标函数：
z1=min■■p（i，j）·a（i，j），z2=min■x（i），
z3=min■■dist（i，j）·x（i）.
约束条件：
■a（i，j）x（i）≤z（i），i=1?撰10；
■a（i，j）x（i）≥dem（j），j=1?撰6；
[a（i，1）+a（i，4）]·x（i）＜d1（i），i=1?撰10；
[a（i，2）+a（i，5）]·x（i）＜d2（i），i=1?撰10；
[a（i，3）+a（i，6）]·x（i）＜d3（i），i=1?撰10；
a（i，j）≤u（i，j），i=1?撰10，j=1?撰6.
利用分层序列法[2]，编程求得最小费用为77620元，最少宾馆数为4个，宾馆间最短距离和为24100米。具体客房预定如下：1号宾馆普通双标间50间，商务双标间30间，普通单人间30间，商务单人间20间；2号宾馆普通双标间50间，商务双标间35间，豪华双标间A30间，豪华双标间B8间；3号宾馆普通双标间31间，普通单人间27间，商务双标间24间；7号宾馆普通双标间50间，商务单标间40间，商务套房19间。
二、租借会议室
根据要求我们应该安排6个会议室，因为是全国性的会议，所以我们不妨假设会议规模相当，这就要求会议室的大小应在百人以上。会议室租借我们考虑两个问题：一是费用最少，二是外出人数最少。
符号说明：rs（i）：第i个宾馆入住人数（1代表1号宾馆，2代表2号宾馆，3代表3号宾馆，4代表7号宾馆）；hr（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的容量；hs（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的间数；hj（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的价格；ha（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的需要安排的间数。
建立模型：
z=min■■ha（i，j）·hj（i，j）+18.5■1-■·rs（i）
约束条件：
■■ha（i，j）·hr（i，j）＞621；
0＜ha（i，j）＜hs（i，j），i=1?撰4，j=1?撰3；
■■ha（i，j）=6.
通过lingo编程计算得：2号宾馆130人，会议室2间；3号宾馆100人，会议室2间；7号宾馆140人，会议室2间。
三、租用客车
在车辆的安排上我们大胆使用公交运营模式，首先计算出路线：7号宾馆-1号宾馆-2号宾馆-3号宾馆上的最大人流量为201人，3号宾馆-2号宾馆-1号宾馆-7号宾馆上的最大人流量为174人，我们就从7号宾馆和3号宾馆分别发车，沿途各宾馆的代表可上可下。建立模型如下：
目标函数：z=min■b（i）·p（i）.
约束条件：■r（i）·b（i）＞z（i），j=1，2.
其中b（i）：第i类型的车辆数，p（i）：第i类型的车辆租金，r（i）：第i类型的车容量，z（i）：第j路线上的最大人流量。
最后求解得路线7-1-2-3需45座3辆和33座2辆；路线3-2-1-7需45座4辆，总计租金6800元。
四、评价结论及分析
相对于传统模型来说灰色系统理论的GM（1，1）预测模型具有预测精度高，预测误差小的特点。多目标规划模型的建立可以快速、高效地解决宾馆的预定、客房的安排问题。租借会议室和租用客车综合考虑得到费用最小方案。
参考文献：
[1]刘思峰.灰色系统及其应用[M].4版.北京：科学出版社.2008：322-500.
[2]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO.软件[M].北京：清华大学出版社.2005：322-340.
[3]唐焕文，秦学志.实用最优化方法[M].3版.大连：大连理工大学出版社.2004：7-9.
[4]王小平，曹立明.遗传算法理论与软件实现[M].西安：西安交通大学出版社.2002.
[5]胡运权，运筹学教程[M].北京：清华大学出版社.2003：111-114.
多目标非线性规划模型 篇10
一、理论假设。
假定目标与目标级别为:1.投资收益率不少于一定值2.方差不超过一定值。模型的假设:1.证券市场有效。2.证券之间相关系数为0。3.组合方差的控制用 来衡量。
二、模型的建立。
模型有两个决策目标, 即“尽可能高的收益”和“尽可能低的风险”。设投资者选择N种证券进行投资, 收益率目标值为A, 的目标值为B。决策变量:设 是证券i投资资金占总投资额的比例。对于目标1, 设 表示收益率低于投资者设定的最低收益率的数量, 表示收益率高于投资者设定的最低收益率的数量。表示为等式约束的形式: 。对于目标2, 设 分别表示低于投资者设定的最大方差的数量和高于投资者设定的最大方差的数量。表示为等式约束的形式: 资源约束: 。目标约束:由目标1, 2, 得到的约束 (软约束) 。两个目标依次为: 。因而该问题的数学模型可表述如下:
三、实证分析
1、数据收集与数据处理
假定我们投资于两支股票:民生银行与上海电力。
2、模型求解
假定投资者希望收益不少于6%, 对组合方差的控制5倍的 不高于0.03。根据以上要求建立下面电子表格:
结论:得出每个投资约50%。这是投资者一个满意的组合比率。
3、检验
将所得满意解带入模型 (2-1) , 满足所有条件, 解成立。
四、结论与展望
应用本模型一般都能够得到一个满意解使得每一个投资者的心里能够接受的收益与风险都得到满足。但是, 本模型还是有很多的不足, 需要做出改进。本模型在建立的时候设定了以下三个假设:1、证券市场是有效。这与现实不是完全相符。2、证券之间彼此不相关, 即相关系数为0。本文中所举实例, 也是不同领域的两只股票, 如果涉及具有明显相关关系的证券, 那么我们就不能不考虑到相关系数。3、对组合方差的控制用 来衡量。我们知道一个组合的方差 , 用 来衡量会有误差。
本文线性目标规划在证券投资组合分析中的应用, 有着非常深刻的实际应用意义, 但需要进一步完善发展。
摘要：本文在合理假设的基础上, 利用线形目标规划的方法来讨论投资组合优化问题, 建立模型, 并进行实证检验。
关键词：目标规划,证券投资组合,满意解
参考文献
[1]、扬超, 熊伟, 白亚根.运筹学[M].北京:科学出版社, 2004