多目标随机规划（共5篇）
多目标随机规划 篇1
0 引言
多目标性能评价指标在跟踪系统设计与评价方面具有非常重要的意义,同时,多目标跟踪性能评价也是一个非常困难的问题。多目标跟踪性能指标作为评价多目标跟踪算法性能好坏的一个量值,对于算法选择、分析和评估起着非常重要的作用。一般来说,算法的性能指标主要包括:精度、复杂度、运行时间、收敛性、鲁棒性、实时性、一致性等等。在本文中,我们重点考虑是集值估计算法精度指标问题。
对于多目标跟踪性能的评价指标,最为常见的就是均方误差(MSE)。MSE指的是真值和估计值之间的期望差值。实际上,由于期望通常很难获得。因此,直接计算MSE指标就非常困难。因此,经常使用的一个指标是均方根误差(RMSE),它利用Monte Carlo仿真的采样值来统计逼近该期望值。RMSE在多目标跟踪领域是一个最为常用的指标,但是,RMSE指标有几个不足:首先,它不是欧氏空间上的距离概念;其次,当目标个数很大的情况下,例如上百个批次,用RMSE作为多目标跟踪评价指标就显得过于冗余。实际上在大批次目标情况下,单个目标的跟踪性能指标越来越被弱化。换句话说,在这种情况下,人们更多地关注对整体目标群的跟踪性能的评价,而不再关注单个目标的跟踪性能。然而,RMSE的定义是建立在各个目标真值和其估计值之间存在明确对应关系的基础之上的。或者说,需要首先考虑关联的问题,否则,RMSE是没法直接使用的。因此,RMSE在大批次目标情况下应用是很繁琐的,也是不现实的。在这种情况下,自然会考虑目标集的跟踪评价指标,这种目标集的评价指标实际上可以抽象为集合之间的距离。Wasserstein距离就是建立在评价集合间差异的一种度量指标[1,2],并被进一步引入到多目标跟踪领域[3]。然而,Wasserstein距离对于集合元素个数的差别惩罚过重,因此,一致性比较差。为了克服这个问题,Schuhmacher等引入Optimal Subpattern Assignment(OSPA)距离[4],它是建立在Wasserstein距离基础之上,并且修正了Wasserstein距离中的不足。Circular position error probability(CPEP)把目标跟踪位置正则化到某个阈值半径的圆上[5],判断目标是否丢失,统计出目标的跟踪丢失率。本文将对这些指标进行比较分析,同时给出算例进行分析说明,指出各个指标的特点、算法实现和应用方法等。
1 随机集多目标跟踪性能指标
1.1 均方误差(MSE)和均方根误差(RMSE)
均方误差的定义如下:
其中:xk是k时刻目标真实状态值,是目标状态估计值,如前所述,上式中期望值计算比较困难。因此,通常利用RMSE来代替:
其中:M是总的Monte Carlo仿真次数,xk,i是第i次仿真数据,是相应的状态估计值,它利用样本值统计值代替真实的期望值。RMSE误差不是欧式空间上的距离,因此,其度量指标和常规距离概念有所不同。此外,在多目标情况下,RMSE需要考虑目标真实状态值和估计值之间的对应关系,也就是说首先需要先解决关联问题。否则,两个不同目标状态之间相减没有任何意义,在这种情况下计算RMSE误差就失去了参考意义,这一点也是RMSE不能用于集值估计算法的主要障碍。
1.2 圆丢失概率(CPEP)
该指标用于评价目标跟踪丢失率的情况,在最初的文献[5]中定义如下
这里是2范数,r表示圆阈值。这里“所有的”指的是所有的估计值,一般包括两类:第一类是指Monte Carlo仿真值;第二类是多个估计器的估计值。CPEP取值在[0,1]区间之间,值越大,表示跟踪丢失率越大。从式(3)可以看出,它同样需要考虑目标真实状态和估计状态之间的对应关系。文献[5]中通过Monte Carlo仿真来计算CPEP丢失率。Vo等在文献[6-7]中引入该指标,并给出了如下的公式:
其中:Hk=[I2,02],r是位置误差半径。不过,这个式子的表达容易给人造成误解:Xk是所有目标的估计状态集,并不是(3)中的所有某个目标估计值,二者具有不同含义。因此,本文建议该公式修改为
上式表示对于所有估计值并且是对应状态为xk的目标估计值。实际上,如果利用Mont Carlo仿真计算该丢失率,我们可以给出如下的计算式:
式中:M是Monte Carlo次数或者估计器个数,是k时刻所有Monte Carlo估计集值,即,表示没有丢失的目标标签,是集合中的元素个数。上式可以直接计算,不需要考虑估计和真实值之间的对应关系。
1.3 Wasserstein距离
Wasserstein距离是统计理论上的一个指标,用于度量两个密度函数之间的距离[8],p阶Wasserstein距离定义如下:
其中:µ,ν是边缘概率分布,其对应的随机变量分别是xµ,yν;G(x,y)是所有xµ,yν的联合概率分布;g是其中任意一个联合分布。Wasserstein开始主要应用在度量数字图像某些特征的相近程度,例如纹理和颜色的相近程度[9]。Oliver Drummond等把该概念用于多目标误差判断[1,2],Hoffman等给出了Lp意义上的Wasserstein距离[3],即:
其中:C={Ci,j}是一个n×m矩阵,其中的元素Ci,j和满足如下的条件
因此∑ni=1∑mj=1Ci,j=1,其中,Wasserstein距离用于评价两个集合之间的距离,两个集中任意一个为空集时,Wasserstein距离不存在。该距离不仅评价集合元素之间的差异,并且也评价集合间元素个数(集合势)的差异。
1.4 OSPA距离
Wasserstein距离对于集合之间势的差别惩罚过重,并且当集合元素和势之间同时出现误差的条件下。即使对于集合元素数值误差很小,但是由于集合势存在误差,使得评价数值出现很大的误差,这和实际的直观理解不一致。因此,Dominic Schuhmacher等提出了修正的OSPA距离[4],定义如下。
分别对应p阶和无穷大评价指标。其中的参数c是一个水平参数,其物理含义是目标状态估计误差阈值,用于调节集合势的估计误差比重。
2 误差解释及性能分析
我们主要从以下几个方面分析这几个指标数学和物理上的含义及各自的特点。
2.1 距离含义
MSE本身就是距离的概念,虽然RMSE本身和欧氏空间上的距离概念有所不同,也是向量空间中的一种范数概念。CPEP是一种概率测度上的度量指标,指的是目标在某个球面邻域内的丢失率。Wasserstein是一种集合之间距离的度量指标。它本质上可以解释为一个如下的优化问题:
即满足上述约束条件的集合X和X之间的最短距离。当两个集合势不同时,两个集合之间的Wasserstein距离会增加。这时候,由于包含集合势的误差,在这种条件下,比较Wasserstein距离是没有意义的。当两个集合势相同时,Wasserstein可以解释为两个集合之间的最小平均距离。
和Wasserstein距离有所不同,OSPA距离也可以解释成为如下的一个优化问题:
OSPA距离基本含义是单个目标的平均误差,也可以被解释为位置和集合势两部分距离:
OSPA有两个参数p和c,p是距离敏感性参数,对于任意的参数1≤p1≤p2≤∞,OSPA距离满足下面的关系:
c是一个水平调节数,用与调节集合势误差的影响。也就是说,如果我们认为距离误差比势误差更重要,那么水平数c可以选择小点。相反,c取大一些的值。对于参数1≤c1≤c2≤∞,OSPA距离满足如下的关系:
从上式(18),(19)可以看出,OSPA距离对于参数p,c是一致的。
2.2 计算实现
RMSE计算简单,这里我们重点考虑其他三个指标的计算问题。CPEP是概率测度的计算,分别根据目标的真实状态和估计状态之间的差值和阈值r之间的关系来计算,主要通过Monte Carlo仿真来实现。Wasserstein距离是一个线性优化问题,因此,我们可以通过优化程序处理包来实现。OSPA距离可以利用匈牙利算法来解决。
从上述分析也可以看出,对于基于随机集的误差评估,或者集值估计的误差评判,传统的RMSE,欧式距离,范数等等的概念很难应用。主要原因是传统的算法是一种点和点之间误差评判准则,因此,可以直接应用的范数概念来解释评价。而基于随机集的估计理论则需要对集合估计性能进行评判,它属于点集-点集之间的度量,评判起来更为复杂,点集-点集之间的评价指标至少应该满足如下的条件:
1)集合中元素的顺序不应该影响最终的评判结果,或者说,集合元素不变,顺序变化,那么评价指标结果应该一致,不发生变化。显然,传统的范数是不能直接应用的。这和范数的交换率类似,即对于任意的两个点x,y,范数d(x,y)=d(y,x)。而对于任意的两个集合X,Y,集值评价指标满足如下的两类交换性条件:
上式第一个条件对应集合元素的次序变化,其中,Li,Lj,Jm,Jn分别表示不同的排序;第二个条件对应两个评价集合位置交换,这个也是集值评价指标的基本要求。
2)从1)的要求也可以看出,集值估计的评价指标必须满足元素位置的不变性,也必须满足集合位置的不变性。这个问题似乎只能转化成为一个优化算法的最优解问题。这一点也可以从Wasserstein距离和OSPA距离定义看出来,这种最优解常常是一个最优分配问题,目前基于随机集的多目标跟踪性能评价指标都是基于这种思路的。
3)RMSE很难作为随机集多目标跟踪算法的评价指标,主要原因是RMSE要求确定目标估计状态和实际状态之间的对应关系。如前所说,在大批次目标情况下或者集值估计算法中无法直接使用。
3 算例
在这部分我们分别给出线性和非线性两个算例,来比较分析这些指标的评价效果。由于RMSE需要考虑真值和估计值之间的对应关系,我们重点分析集值估计算法的评价,因此,这里暂不考虑RMSE,只分析CPEP,Wasserstein距离和OSPA距离三个指标。
3.1 算例1:线性跟踪系统
考虑三个目标的运动,目标系统运动方程和量测方程如下
目标初始位置分别为x01,=(500,20,-500,10),x0,2=(500,25,500,-20),Qk=cov(wk,wk)=diag(25,25),Rk=cov(vk,vk)=diag(100,100)。我们利用GM-PHD滤波器跟踪目标[6]。假设采样时间为T=1 s,目标的出生强度为υγ(x)=.01N(x,x01,,P0)+.01N(x,x0,2,P0)。其中矩阵Fk-1,Gk-1定义如下:
图1是目标状态估计过程,图2分别是x,y方向目标状态的估计,图3是基于1 000次蒙特卡洛仿真(MC)的目标个数估计。可以看出,GM-PHD滤波器能很好地跟踪三个产生于不同时刻的目标,估计目标个数也能很好刻画了实际目标个数的变化过程。图4分别用三个不同指标对系统的跟踪过程进行评价,通过1 000MC仿真,可以看出,在目标个数变化的时刻,Wasserstein距离会出现很大的误差,这个误差大小不受控制。即如果目标位置都很接近,但是因为估计个数变化,会导致评价指标出现很大的误差,这个和人们直观上的感觉是不一致的。
另外一种情况是目标位置估计误差相差很大,而个数估计准确,这时候Wasserstein距离可能并不大,这个也和实际中的直觉不一致。而OSPA指标通过引入水平参数c来解决这个问题。可以看出,如果目标位置估计比较重要,而目标个数出现误差相对不太重要,那么取比较小的水平参数c,在图4中对应c取100对应的值。可以看出目标个数出现变化的地方波峰不明显,OSPA曲线整体比较平缓,主要反映的是跟踪位置误差的变化。如果目标个数估计误差比较重要,那么我们可以进一步增加c的取值,那么相应的OSPA距离也会增加。随着水平参数c值变大,评价指标也增加。在目标个数估计不正确的地方,OSPA距离会进一步增加,甚至出现一个波峰。并且c值越大,波峰越明显。因此,OSPA参数能更全面地描述集合误差的估计。这种基于集合的误差评判指标是随机集理论中必须要考虑的问题。
图4中,在第6∼9时刻之间,OSPA指标出现一个波峰,主要原因是由于目标漏检的存在,使得目标个数为零,这意味着出现空集,在这种情况下。按照OSPA定义,取最大的水平值,而这个水平值一般远大于正常的跟踪误差。这样使得第10时刻反而出现峰谷。目标出生和死亡时间如下表1所示。
图5给出的是目标丢失率曲线,可以看出目标丢失的地方都集中在目标个数发生变化的地方。分别对应目标出生,死亡的时刻。例如第10时刻目标2产生,第20个时刻目标3产生,40个时刻目标1死亡。
3.2 算例2:非线性跟踪系统
为了比较方便,假设目标的运动方程不变,量测方程为如下的角度、距离量测方程:
其中:量测协方差阵Rk=cov(vk,vk)=diag(σ2k,θ,σ2k,r),σk,θ=2π/180rad,σk,r=10005m,杂波个数还是40个,其它参数和上面的线性方程一致。
我们通过Particle-PHD滤波器获得PHD粒子分布,通过MCMC方法估计多目标状态[10]。比较线性的情况(虽然线性和非线性很难直接比较,但是从相同的运动方程,相同的杂波个数,相同的观测区域上来说,可以提供一个比较一致的参考),总体说来,非线性情况下跟踪性能有所降低。这可以从图6,图7中看出。目标个数估计也偏大,主要原因是非线性作用后,目标的状态分布变得复杂,在杂波作用下,使得虚警个数增加。同时,Wasserstein距离,OSPA距离相对比线性情况有所增加。在第10个时刻目标2产生,三个指标都出现波峰,主要原因是在非线性条件下,虽然从图8看,第10个时刻目标个数估计的平均值比较精确,但由于目标个数估计值的方差变大,使得三个指标都出现波峰。在其他目标个数变化的地方,OSPA波峰不明显,主要原因是虚警的增加,使得整个估计误差变大。在丢失率方面,在目标个数发生变化的地方,丢失率明显增加。比较图5和图10,可以看出非线性量测的丢失率要高于线性量测系统。
4 结论
本文着重分析了三种常用于随机集多目标算法性能评价指标:CPEP,Wasserstein距离和OSPA距离。可以看出CPEP主要用于判断目标丢失率,针对CPEP计算中的一些不足,本文进行了分析和修正;Wasserstein距离可以用于评价随机集估计性能,但是它在目标个数估计不正确的情况下往往会出现很大的误差,这一点和直观上的理解不一致。而OSPA距离弥补了Wasserstein距离在这方面的不足,通过一个水平参数来弥补这个不足,值越小,说明目标位置的估计误差越重要;相反,值越大,说明目标个数估计出现的误差越重要。
参考文献
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多目标随机规划 篇2
一类非光滑多目标半无限规划的最优性条件
利用一类新的广义一致Bρ-(p, r)-不变凸函数, 讨论了一类多目标半无限规划问题的最优性, 得到了若干个最优性条件, 并据此推广了许多涉及不变凸函数、不变B-凸函数、(p, r)-不变凸函数以及B-(p, r)-不变凸函数的`文献的结论.
作 者：王荣波 张庆祥 冯强 WANG Rong-bo ZHANG Qiang-xiang FWNG Qiang 作者单位：延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000 刊 名：西南大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 30(3) 分类号：O221.6 关键词：多目标半无限规划 广义一致Bρ-(p, r)-不变凸函数 最优性条件 有效解多目标随机规划 篇3
关键词：电网建设；电网规划；分层最优化
中图分类号：TM715 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）14-0110-02
传统确定电网规划电网目标网架的方式是将采用的电源接人、负荷供给作为目标导向，之后再根据实际的情况和一些特殊的要求对电网进行部分的改动的电网建设规划方式，这种方式虽然减少了规划过程中的许多难点，但是却使电网不具备完整的工作能力，也极大地提高了电力的消耗，不能使电网的建设满足合理、有效、低成本的原则。现在，为了建设国际上具有一流水准的电力网络，就为电力网络的建设增加了更多的任务。所以为了达到这些要求，就要对电网的规划进行分层处理，找到最有效、最经济的规划方法。
1 电网规划
1.1 规划目标
电网规划主要就是为了满足用户的需求和电力系统的安全，而其中包括的内容有：电源接人及负荷供给方案最优、电网安全稳定水平最大、电网损耗最小、供电可靠性及电能质量最优、电网投资最省等，而将其概括起来就是满足安全和经济。
1.2 规划方法
1.2.1 传统的逐步倒推法和逐步扩展法：这种规划方法主要是满足经济性，将规划的成本放在第一位，而电网的可靠性和实用性则在后期才进行校验。这种规划的方法虽然使用得较多，但是却无法同时满足经济性和可靠性，所以不是一种最优的规划方式。要想使电网的规划最优化，就要在电网的设计上同时满足可靠性和经济性，也只有这样才能基本上满足未来发展的需求，也对电力企业的市场竞争力有提升作用。
1.2.2 满足可靠性的规划方法：这类方法主要是以电网规划的可靠性为目标，结合一定的规划技术，进行设计。结合电力传输过程的能量大小以及电网的传输能力、负荷的消减来进行规划，它借用启发式，制定负荷可靠性原则的规划方案。有一部分结合了一定的经济性，比如北美电力系统，这些较为综合的规划方式在一定的程度上满足了电力输送的需求，但是却无法进行广泛的试用，主要是因为它还存在一些不足的地方，无法适用于全部的电网；而还有一些则是完全以可靠性为目的来进行规划的优化设计的，最后才对需要的设备、技术进行考虑。这种规划的方法体现了资金和可靠性的关系，但是它却不具备实用性，无法使用到所有的电网当中，只适合对局部的进行电力网络规划。
1.2.3 规划以满足可靠性为主：这种规划的方式将可靠性加入到约束条件当中，通过它对整个规划或者部分规划进行约束，其中N-1就是一种经常用来作为约束条件的具体规则。如果要对规划进行更加严格的限制，就要使用到N-2规则，有时甚至会使用到更加具有约束力的N-K规则。但是，这种规划的方式无法将可靠性与经济性合理的结合，使规划方案偏向其中一个约束条件，导致最终的规划无法达到预期的目标，而且规划方案也不满足综合效益最好条件。
1.2.4 在制定规划方案时运用数学函数：综合考虑规划方案的可靠性和经济性，在进行规划时，运用数学函数，通过一定的函数计算，制定最优的规划方案。比如部分规划实例就考虑了可靠性指标中的缺电损失费用，还有的则考虑线路投资、缺电损失和环境因素，通过目标函数的计算，找到这三个条件的折中方案。以上这些方案的制定，均通过综合考虑经济性和可靠性的多目标电网规划方法的可行性，使用数学模型和解算方法，来对最优的方案进行制定。但是，这些方案仍存在适用范围小、实用性较差的缺点。我国在最近的几十年来，为了满足人们的生产生活要求，在电力网络的规划方面，取得了较大的进展。但是，在此方面，还存在一些急需改进的地方：（1）我国在技术方面已经具有较大的进步，但是却仍需建立一个完整的多目标电网规划的模型（数学模型）；（2）规划方案在可靠性和经济性的关系处理上没有进行合理的安排，导致它们的关系存在问题；（3）当大规模、多阶段等电力网络出现的问题在使用传统方式对其进行处理时很容易产生维数灾难、局部最优、约束条件和目标函数不易处理这些问题，我国在这类问题的处理上暂时没有较好的解决办法，而这些问题刚好是多目标电网规划的重点部分，一旦这些部分出现问题，就会影响整个电网的规划。
2 分层最优化的模型
目前，相对较为适合现今电力需求环境的电网分层最优化设计方法是上文中的第四种，这种方法就要涉及到数学函数模型的建立和计算。
分层最优化方法的基本思路是目标函数的极小化。首先，在函数的第一优先层上使其目标函数取极小值；然后，在第一优先层得到的最优解的基础上让第二优先层的目标函数也取极小值，遵循这样的规则，计算到最后一层。假如在这个过程当中，在其中一个优先层出现了最唯一的优解，那么在其后面的所有优先层的目标函数都不起作用。因此，要想避免出现这样的问题，就应该在每一优先层进行计算时，适当的放宽计算的结果，间接的就将下一次的可行域进行了放宽处理。
3 实例分析
本例分是一个分四个拓展阶段（每个阶段时间是1年）的规划问题。到规划的最后年限，这个系统总共分为19个节点，32条备选的支路。其线路如下图1所示。
利用混合遗传-模拟退火算法将19个节点规划方案计算出来，线路故障产生的问题按照N-2进行考虑。因为缺少部分的实际数据，所以就不对损耗进行计算。在实际的计算过程当中，可以运用上述的分层最优化方法，这样得到的结果就趋于最优化。
结合实际的需要，就可以表1中选出可行的规划方案。
4 结语
电力网络的发展决定着整个国家的未来，是一个至关重要的部分，加强在这方面的研究，将推动国家的发展。
参考文献
[1] 郭林.多目标电网规划的分层最优化方法分析[J].中国新技术新产品，2012，（22）.
[2] 程浩忠，高赐威，马则良，朱忠烈，许进，王晓晖.多目标电网规划的分层最优化方法[J].中国电机工程学报，2003，10（23）.
[3] 张宁，马孝义，陈帝伊，张创立，张渭.输配电网规划优化模型的研究进展[J].水利与建筑工程学报，2011，1（9）.
多目标随机规划 篇4
关键词：风电场,随机动态经济调度,多目标,场景法,非线性原对偶内点法,对角加边结构,场景解耦,异步块迭代法
0 引言
风电场接入电力系统后的动态经济调度问题实际上是一个随机优化问题,目前国内外对此进行了相关研究。文献[1]考虑到风电功率场景选取与系统有功调节能力之间的内在联系,提出一种风电功率场景自适应选取方法。在此基础上,建立了基于场景分析法的风电并网系统有功调度模型。 文献[2]在考虑风电功率预测误差发生概率及其所导致的经济补偿费用基础上,得到统计意义上更为合理的经济调度模型。文献[3]在考虑风电并网功率的典型波动方式下,研究了计及风电接纳能力的电网调度模型,该模型使系统总煤耗和电网风电接纳能力得到了有效协调。但文中没有给出火电机组运行点发生改变时,电网可接纳风电功率的波动范围。文献[4]采用两阶段随机凸规划求解含风电接入的电力系统经济调度问题。求解过程中采用L型截面法将大规模随机规划问题分解成若干子问题,以提高求解效率。文献[5]运用时间序列法进行风速预测,通过随机机会约束将含风电场随机动态经济调度模型中的约束条件表现为概率的形式,并采用综合随机模拟、神经元网络和遗传算法的混合智能算法求解。文献[6]提出不确定运行条件下电力系统鲁棒调度的概念,采用场景树的方法生成不同的风电功率预测场景。文中指出鲁棒调度的特点是能够根据当前已有信息做出对系统运行中不确定因素具有一定免疫力的调度决策;通过鲁棒调度一般模型的构建,指出场景树约束使鲁棒调度区别于确定性调度方式的组合,使系统各种可能存在的运行场景之间存在了联系。文献[7-10]以风电功率预测为基础,采用拉丁超立方抽样和场景消除技术构建误差场景,将随机性机组组合问题转化为确定性模型。上述方法在应用于求解大系统、多场景、多目标动态经济调度问题时还存在困难。
目前国内电网有功调度执行的是节能发电调度模式,目标函数只有一个或是几个目标函数的加权和。本文尝试同时优化两个目标:发电总燃料耗量最小和购电费用最小,最终找到帕累托最优解集。决策者可以根据实际情况,从这个解集中选择一个折中解安排发电计划。其基本思路是:利用场景法将多目标随机动态经济调度问题转化为大规模多目标确定性动态经济调度问题,再借助法线边界交叉(normal boundary intersection,NBI)法[11,12,13,14,15]将其转化为一系列大规模单目标非线性规划问题,并用非线性原对偶内点法求解[16]。在应用非线性原对偶内点法求解这些大规模单目标非线性规划问题过程中,按照场景顺序排列的简化修正方程的系数矩阵具有对角加边结构[16,17,18,19,20]。因此可对其实施解耦,并采用异步块迭代法对解耦后的低维修正方程组进行求解[16],并应用于求解某省级电力系统的多目标随机动态调度问题。
1 多目标随机动态经济调度模型
由于风电出力具有随机性,而现有的预测技术并不能保证预测值完全准确,故导致风电场出力实际上是在预测值附近随机波动,因此,需要在风电预测的基础上考虑其随机性。在随机模型中,风电出力可以通过一些可能出现的场景进行模拟。本文将风电预测出力定义为预测场景,将考虑风电出力预测误差所生成的场景定义为误差场景。误差场景生成是借助拉丁超立方抽样、Cholesky分解和场景消除[21,22]3个过程来实现的。假设风电出力的预测误差服从正态分布,数学期望即为风电场在各时段出力的预测值,标准方差为与风电波动有关的参数。
1)目标函数。其中f1为发电总燃料耗量,f2为购电费用,即
式中:Pi(t)为机组i在时段t的发电功率;T为调度周期总的时段数,在本文中取96;N为常规发电机组数目;对于燃煤机组,Ai,2,Ai,1,Ai,0分别为常规机组i的耗量特性系数,对于燃气机组常采用线性拟合,有Ai,2=Ai,0=0,对于水电机组,有Ai,2=Ai,1=Ai,0=0;Ci为电网向常规机组i的购电电价,不同机组的上网电价不同,并假定同一机组在不同时刻的上网电价不变;CWind为电网向风电场购电电价,本文假设风电场属于电网公司,即CWind=0;PWi(t)为风电场i在时段t的有功出力;NW为风电场数目。
2)预测场景约束。其中第1个式子为功率平衡方程;第2个式子为常规机组上下限约束;第3和第4个式子分别为常规机组的滑坡和爬坡约束,即
式中:t=1,2,…,T;PLoad(t)为系统在时段t的负荷预测值为机组i的有功出力上下限;rdi和-rui分别为机组i的滑坡和爬坡率;T15为一个运行时段,即15min。
3)误差场景约束。其中第1个式子为场景s的功率平衡方程;第2个式子为常规机组在场景s的上下限约束;第3和第4个式子分别为常规机组在场景s的滑坡和爬坡约束;第5个式子为误差场景和预测场景之间的功率增减速度约束,即
式中:t=1,2,…,T;s=1,2,…,S,其中S为误差场景数目;Pis(t)为常规机组i在时段t场景s的有功出力;PsWi(t)为风电场i在时段t场景s的有功出力;Δi为发电机组i在15min内有功出力可以迅速调节的水平。
4)动态经济调度模型的紧凑形式
将式(1)至式(3)描述的多目标优化模型写成式(4)所示的紧凑形式。 其中,第2 个式子代表式(2)中的第1个式子,即预测场景下的功率平衡方程;第3个式子代表式(3)中的第1个式子,即误差场景下的功率平衡方程;第4个式子代表式(2)中的不等式约束和式(3)中的第5个式子,即预测场景下的不等式约束及误差场景和预测场景之间的功率增减速度约束;第5 个式子代表式(3)中的第2 至第4个式子,即仅与误差场景相关的不等式约束。
式中:x0为预测场景下所有常规机组在各个时段的有功出力向量;xs(s=1,2,…,S)为第s个误差场景下,所有常规机组在各时段的有功出力向量;f1(x0)为总燃料耗量;f2(x0)为购电费用。
2 多目标非线性规划问题的求解
仅考虑总燃料耗量f1(x0)最小进行单目标优化,得到最优解x0(1)*,对应于平面几何坐标系下的点f1*;同理可得考虑f2(x0)最小时的最优解x0(2)*,对应于点f2*。在由两个目标函数构成的坐标平面中,点f1*和f2*构成帕累托前沿的端点,连接它们之间的直线称为乌托邦线,如图1所示。
生成帕累托前沿曲线的步骤如下[14]。
步骤1:规格化目标函数。由于两个目标函数具有不同的量纲,为避免产生数值问题,采用式(5)所示的映射对帕累托曲线上的点进行规格化。
步骤2:生成乌托邦线上均匀分布的点。
步骤3:对应于乌托邦线上的每个点,将多目标优化转化为单目标优化问题。
步骤4:求每个单目标优化问题。
步骤5:上述获得的每个点构成了帕累托最优解,将其光滑连接就构成帕累托前沿曲线。
如图1所示,帕累托前沿越靠近乌托邦点(f2(x1*),f2(x2*))越好,因此A和B两点之间的距离越远越好,即λ越大越好。因此,经过步骤1至步骤3,多目标优化问题(式(4))可转换为与乌托邦线上的点相对应的帕累托前沿上的点之间的距离最大为目标的单目标优化问题,即
式中:λ为乌托邦线上的点和相对应的帕累托前沿上的点之间的距离;ω=[ω1ω2]T,ω 的取值决定了乌托邦线上点的分布;n为乌托邦线的法线向量;F-(x0)为通过对F(x0)进行规格化后得到的目标函数向量[14];-Φ为支付矩阵[12],第2个式子用来表示乌托邦线与法线向量之间的垂直关系。
为了简化问题的讨论,将式(6)中的第2 个和第3个式子合并写成:
下面简要说明如何用非线性原对偶内点法求解由式(6)描述的单目标非线性规划问题,并得到简化修正方程组。引入松弛向量su1,ssu2(s=1,2,…,S)将不等式约束变为等式约束,再引入拉格朗日乘子向量y3,y2s(s=1,2,…,S),yu1,ysu2(s=1,2,…,S),并引入对数壁垒函数消去松弛向量的非负性约束,从而构成增广拉格朗日函数如下:
式中:Nu1和Nu2分别为h1(x0,x1,…,xS)和h2s(xs)的维数。
根据KKT最优性条件,对增广拉格朗日函数求偏导,得到一组非线性方程组,再用牛顿法求解可得到简化修正方程组。按场景对简化后的修正方程和变量进行排序,可得到如下简化修正方程组:
式中:ΔZ0为与预测场景相关的变量增量组成的向量,ΔZ0=[Δx0Δy3Δλ]T;ΔZs(s=1,2,…,S)为与误差场景相关的变量增量组成的向量,即ΔZs=[ΔxsΔy21Δy22… Δy2S]T;L0,Ls(s=1,2,…,S),Ms(s=1,2,…,S)均为对称稀疏矩阵,其维数分别为96(N+1)+3,96(N+1),96(N+1)。
3 简化修正方程的场景解耦
对大系统而言,方程(9)为一个稀疏高维线性方程组,对其实施有效求解是多目标随机优化动态经济调度问题的核心。方程(9)的系数矩阵维数为96(N+1)(S+1)+3。在第4节将会看到,对于大系统、多场景的情况,可能无法对其求解。方程(9)中的系数矩阵具有对角加边结构,类似的结构在潮流和最优潮流计算[15,16,17,18,19]中均有应用,因此,本文利用这种结构特点对其进行解耦后再求解。
将式(9)展开,得
采用异步块迭代法[16,17]求解式(10)和式(11)。假设已完成k次迭代,在进行第k+1次迭代时,根据式(10)可得到:
将式(13)代入式(12)中可得:
通过式(12)和式(13)的交替求解,最终可求得ΔZs和ΔZ0。
式(12)和式(13)的系数矩阵维数分别为96(N+1)+3和96(N+1)。在下节将会看到,对于大系统、多场景的情况,可对其实施有效求解。
4 算例分析
4.1 试验系统简介
以某省级电力系统的数据为例验证本文算法的有效性,动态调度周期取1d,等分为96个时段。该电网的装机容量为23 595 MW,包括:燃煤机组40台,容量为18 740 MW;水电机组10台,容量为4 855 MW;风电场1座。最大负荷为21 112 MW,负荷预测数据如图2所示。本文对风电接入最大功率分别取777 MW和1 716 MW两种情况进行研究,即对应风电占最大负荷百分比分别为3.68%和8.13%,其风电出力预测曲线分别对应图3中的“风电1”和 “风电2”。发电机组的燃料特性系数及上网电价见附录A表A1。
假设风电出力预测误差服从正态分布,数学期望为预测场景下的风电出力,标准方差设定为0.2。采用拉丁超立方抽样方法进行抽样,分别对图3中的风电预测曲线“风电1”和“风电2”产生原始样本200个,形成两个计算案例,以下简称案例1和案例2。并对每个案例经过场景削减分别生成10,50,100,200个误差场景的情况。
4.2 案例1
4.2.1 计算规模和计算性能对比分析
针对含上述确定的误差场景情况,采用通用代数建模软件GAMS框架下的CONOPT求解器[23](算法1)、非线性原对偶内点法(算法2)和本文提出的解耦算法(算法3),分别计算多目标动态经济问题的帕累托前沿。在将多目标问题转化为单目标问题时,将乌托邦线10等分,则在帕累托前沿上与这些等分点对应的有11个。非线性原对偶内点法和场景解耦法均用MATLAB工具实现,所用计算机为Intel Core i5CPU M480 2.67GHz/4GB内存。
表1和表2分别列出了多目标随机经济调度问题的规模和3种算法计算时间的比较。其中,算法1的收敛精度设定为:目标函数梯度不大于10-8;算法2和算法3的收敛精度设定为:补偿间隙不大于10-6,等式方程的最大残差不大于10-4。由表2可以看出,算法2和算法3的计算速度比算法1快得多。误差场景数为10时,算法3的计算速度略快于算法2。随着场景数的增加,算法2计算时提示内存不足,无法计算。
4.2.2 帕累托前沿对比分析
由于算法1和算法2只能求解10个误差场景的情况,故表3仅列出了3种算法求解含10个误差场景的动态经济调度问题的帕累托前沿的对比。
在帕累托前沿的两个端点上3种算法的结果存在一定差异:①购电费用最小点,3种方法计算的购电费用相同;②煤耗最小点,算法2和算法3计算的煤耗相同,与算法1 相差0.006%。在帕累托前沿的其他点上两种算法的结果也存在一定差异,造成这种差异的原因有:①两个端点的误差;②计算帕累托前沿时解耦本身造成的误差。3种算法购电费用和煤耗的误差范围为0~0.02%。
由燃料耗量和燃料价格可确定发电生产成本。取煤价800元/t,以表3中的算法3为例,列出帕累托前沿的两个端点和中间各折中解处以特殊的总成本形式表示的各目标函数值。对比发现,折中最优解(第7个点)对应的调度方案的总成本最低,与两个端点相比分别节约710万元和239万元以上,综合经济效益显著,且符合电网公司节能减排和降低购电费用的要求。
4.2.3 误差场景数目对帕累托前沿的影响分析
取10,50,100,200个误差场景时获得的帕累托前沿如图4所示。
表4列出了含50,100,200个误差场景的动态经济调度计算结果,均由算法3求得。通过表4不同误差场景数下的对比结果可知:①计算出的购电费用最小点相同,煤耗最小点相同;②当购电费用最小时,煤耗存在一定差异,当煤耗最小时,购电费用存在一定差异;③帕累托前沿上的其他点也存在一定的差异。造成这种差异的原因为:①为适应不同的误差场景,发电机出力不同造成的误差;②计算帕累托前沿时解耦本身造成的误差;③两端点的误差会影响到帕累托前沿上的其他点。
经检验可以看到,经过场景削减后取10个误差场景获得的动态经济调度结果对于剩余的190个误差场景均可行。对于取50,100,200个误差场景的情况,也有类似的结果。产生这种现象的原因在于,风电接入最大功率占最大负荷的百分比仅为3.68%,系统有足够的旋转备用应对风电功率的波动。
4.3案例2
此案例对应于风电接入最大功率占最大负荷的百分比为8.13%,经过场景削减同样分别生成10,50,100,200个误差场景的情况。在这种情况下,其计算规模、计算性能及误差场景数目对帕累托前沿的影响规律与案例1获得的结果类似。
但对应于10,50,100,200个误差场景的情况,其动态经济调度结果对于剩余的误差场景则并不完全可行。取10个误差场景获得的动态经济调度结果对于剩余的190个误差场景有4个不可行;取50个误差场景获得的动态经济调度结果对于剩余的150个误差场景有2个不可行;取100和200个误差场景获得的动态经济调度结果对于剩余的误差场景均可行。产生这种现象的原因在于,风电接入最大功率占最大负荷百分比较高,需要考虑如何选择误差场景数目。取100和200个误差场景时获得的帕累托前沿如图5所示。
为实现常规发电机出力在预测场景与误差场景之间的增减,需要快速调整发电机的出力。因此,场景越多计算结果越精确,调度决策对于系统中由于风电并网带来的不确定性的适应能力也越强。
5 结论
1)应用场景法和NBI法将多目标随机动态经济调度问题转化为一系列单目标非线性规划问题,进而用非线性原对偶内点法求解,可得具有对角加边结构的高维线性修正方程组,便于实施解耦计算。
2)运用异步块迭代法对具有对角加边结构的高维线性修正方程组进行解耦,从而大幅度降低了存储需求,增强了适应大系统、多场景的计算能力。
3)误差场景数目越多,计算结果越精确,优化方案对于系统中由于风电并网带来的不确定性的适应能力也会越强。
多目标随机规划 篇5
关键词：最低生活保障线；扩展线性支出系统法；线性规划法；多目标规划
中图分类号：D632.1 文献标识码：A 文章编号：1000-4149（2014）04-0103-06
DOI：10.3969/j.issn.1000-4149.2014.04.011
收稿日期：2013-11-20；修订日期：2014-05-28
作者简介：王桂胜，经济学博士，首都经济贸易大学劳动经济学院教授。
Formulating Methods of Programming Minimum Living Standard Guarantee
Line in China and Its Multiobjective Application
WANG Guisheng
（School of Labor Economics，Capital University of Economics and Business，Beijing 100070，China）
Abstract：Scheme of minimum living standard guarantee is an important part of social assistants. It ensures stability and harmony of our society. Definition of the minimum living standard guarantee line affects both the living level of the poverty and public fiscal payment. This paper reviews the existed defining methods of minimum living standard guarantee line and analyzes the internal mechanism of scheme of minimum living standard guarantee. Then it puts forward multiobjective programming method to define the minimum living standard guarantee line more effectively.
Keywords：minimum living standard guarantee line； the extended linear expenditure system method； linear programming method； multiobjective programming
一、引言
2013年10月30日，國务院总理李克强主持召开国务院常务会议，讨论建立健全社会救助制度，推进以法治方式织牢保障困难群众基本生活的安全网。中国经济改革研究基金会国民经济研究所副所长王小鲁2010年所做的《国民收入分配状况与灰色收入》调研报告得出的结论是，中国收入最高的10%家庭与收入最低的10%家庭的人均收入相差65倍。2012年12月9日，由西南财经大学与中国人民银行金融研究所共同成立的中国家庭金融调查与研究中心公布的《中国家庭金融调查报告》显示，2010年中国基尼系数达到0.61，远高于全球0.44的平均水平，属于联合国定义的收入差距悬殊危险的社会。由此可见，提高低收入群体收入水平和最低保障水平、缩小居民收入分配差距是我国一项迫在眉睫的改革目标。
最低生活保障制度是我国城乡社会保障制度改革过程中制定的新型保障制度，是为了维持城乡贫困人群的基本生活、提高城乡贫困群体生活福利水平的重要举措。最低生活保障制度作为一项基本保障权利在我国已经逐步深入人心。当然，我国的社会经济虽然获得了巨大发展，但由于人口众多、各地区发展水平参差不齐，要建立达到西方发达国家福利水平的最低生活保障制度还是心有余而力不足。因此，必须结合我国实际国情，建立切实有效的、可持续发展的最低生活保障制度，而这个制度的核心就是确定一条充分合理的最低生活保障线。
本文在评价现有几种最低生活保障线制定方法不足的基础上，结合最低生活保障线制定的内在机理，提出运用多目标规划法制定最低生活保障线的程序和原理。
二、现有最低生活保障线制定方法评述
最低生活保障线是最低生活保障制度中的核心内容，直接关系到被救助人员的经济收益和生活水平。因此，最低生活保障线的确定不仅备受政府相关部门以及社会公众的关注，同时也是学术界讨论的热点。关于最低生活保障线的制定方法，国内外文献均有大量论述，学者们先后提出了恩格尔系数法、市场菜篮法、生活形态法、国际贫困线标准法、马丁法等方法。这些方法简单易用，可以为最低生活保障线的制定提供有效计量手段。但这些方法主观性相对较强，并且受一定的人文、社会背景约束。为保证最低生活保障线的制定客观、合理和公正，学术界又不断提出了其他建立在广泛调查数据和实证分析基础上的最低生活保障线制定法，下面选择有代表性的几种方法加以分析评述。
1.ELES法
ELES法即扩展线性支出系统法（Extended Linear Expenditure System），是美国学者路迟（Liuch）于1973年在线性支出系统（LES）基础上提出来的需求函数模型。该法将人们在衣、食、住、行等方面的消费需求分为基本需求和超额需求，再根据样本数据对各类消费需求方程建立线性回归模型并进行参数估计，求得回归变量系数，再对基本需求支出进行估计。基本原理如下：
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依据上述基本需求量计算公式来确定最低生活保障线。封铁英等人和王中昭均采用了ELES法分别估计我国陕西省农村最低生活保障线和城镇居民最低生活保障线[1～2]。从实际应用来看，ELES法具有一定的局限性。如样本数据的有效性和完整性、截面的异方差性和物价的变动性等需要考察。此外，ELES法主要反映了贫困群体或低保申请人的需求方面的情况（这些需求范围的设定本身具有主观性），而不可能反映政府提供最低生活保障的支付能力。也就是说，最低生活保障线的可行性还需另外考察。
2.线性规划法
汪泓等人首先采取了线性规划法预测上海市食品基本支出水平，然后运用人工神经网络模型预测估计了非食品支出水平，最后将二者相加得到上海市最低基本支出水平即最低生活保障线[3]。按照营养学的规律，运用线性规划法估计食品基本支出应该是较为客观可行的方法。但这种方法过于细致，消费者的偏好不同，样本食品的选择较多，不同替代食品的价格也千差万别。因此，若要一一考察，计算将过于繁琐。此外，运用人工神经网络模型预测非食品支出过于复杂，难以理解，而且不同项目支出之间可能是替代关系，也可能是互补关系，学习效应是否有助于非食品支出的预测难以确定。因此，人工神经网络模型用于预测非食品基本支出不具有实用价值。当然，线性规划法在预测食品基本支出上具有一定的参考价值，给定基本食品需求目录，运用计算机软件可以有效确定基本食品支出水平，再结合非食品基本支出水平估计，即可确定最低生活保障线。但是线性规划法与ELES法一样，并不能反映政府提供最低生活保障的可行度问题。
3.回归分析法
童星等人运用一元线性回归和多元线性回归法分别对不同类型指标（平均指标、总量指标和百分比指标）展开了经验回归分析，并进行了较为细致的统计分析[4]。从结果上看，回归效果尚佳，统计检验指标有一定的显著性。这反映了最低生活保障线与各类经济指标（如GDP、各级政府财政预算收入、城镇居民储蓄余额、平均工资、社会消费品零售总额等）之间有一定联系，并受这些经济指标的影响。但是，该项研究以最低生活保障线为因变量，以其他经济指标或社会指标为解释变量作回归分析，本身违背了回归分析的基本假设。因为最低生活保障线是政策变量指标，不是内生变量或随机变量，不能作因变量，只能选择基本消费支出作为因变量——该研究中凡是以最低生活保障线为因变量的回归模型所得判定系数很低即可说明问题。此外，由于该文献使用数据为截面数据，还存在截面相关性等问题。总而言之，在估计和预测最低生活保障线时，线性回归分析法要慎用。
三、最低生活保障线制定的目标替代（tradeoff）分析
政府的社会福利和救助政策主要为了改善全体人民的生活福利水平，促进社会公平的实现，但同时也会对效率产生不利影响。如社会救助政策中最低生活保障线的制定就体现了公平和效率的取舍问题。最低生活保障线越低，说明救助政策特别强调社会效率，但有损社会公平；最低生活保障线越高，社会公平程度越高，贫困群体福利水平越高，但会影响社会经济效率。下面通过博弈方法对这一现象进行分析（类似案例分析可见参考文献[5]）。如图1所示，政府有两种行动，即“救助”和“不救助”；低保申请人员也有两种行动，即“工作”和“不工作”。相对于政府和低保申请人员的每一对行动组合（或策略组合），双方均会获得一定的收益支付，具体收益组合可参见图1。政府救助一个积极寻找工作或能工作即工作的低保申请人可获得收益为x，低保申请人获得收益为a；政府若救助一个偷懒不愿工作的人，可获得收益为z，这个收益应为负数，因为政府救助一个能工作却偷懒的人，就是奖懒罚勤，浪费公共资金并损害经济效率，而对于低保申请人员却获得高收益b；同样，政府对一个不能工作或没有条件工作的低保申请人不提供救助也得到一个负收益y，因为政府没有实现社会公平，其声誉必然受损，而低保申请人则会选择积极寻找工作，艰难度日比什么都不做要好，因而获得正收益c。根据以上收益分析，可以确定这些行动组合收益的关系如下：
x>0，a>0，b>0，c>0；z<0，y<0；x>y，a
根据这些收益之间关系的比较，可以发现：当政府选择救助时，低保申请人选择不工作（基于理性经济人假设）；当政府选择不救助时，低保申请人选择工作；當低保申请人选择工作时，政府选择救助；当低保申请人选择不工作时，政府选择不救助。因此，根据以上收益结果，不能得到一个纯战略均衡。为此，需要采用混合战略博弈来分析。对以上收益结果赋以数字如下：
x=3，a=2，z=-1，b=4，y=-2，c=1
假设政府救助的概率为β，不救助的概率为1-β；低保申请人寻找工作的概率为α，不寻找工作的概率为1-α。则政府的期望收益ERg为：
ERg=β[3α+（-1）（1-α）]+（1-β）（0-2α）
=β（6α-1）-2α
这一博弈的均衡是混合战略纳什均衡：政府以1/3概率选择救助，2/3概率选择不救助；低保申请人以1/6概率寻找工作，5/6概率不寻找工作。显然，政府救助的概率越高，低保申请人寻找工作的概率就越低。纯战略均衡是混合战略均衡的特例，而混合战略均衡则是纯战略均衡的扩展形式。在经济人理性假设前提下，上述政府救助博弈的均衡结果是混合战略均衡而非纯战略均衡，这是由其收益结构所决定的。也就是说，
双方只要是理性的，其行动选择必然是随机的。由于这种随机性，政府在制定救助政策时需要考虑政策受益人或救助对象的反应。
四、多目标规划法在最低生活保障线制定中的应用
多目标规划法（Multiobjective Programming）是在一定的约束条件下对多个目标函数同时求极值的一种最优化方法。现实中无论是资源优化配置，还是社会政策设计等均存在多项目标实现问题。有些目标之间还有冲突，如确定某项工业投资计划，就存在经济效益最大化和环境损害最小化及能源消耗最小化等矛盾。在社会救助政策设计中，也存在类似的问题，即政府提供救助或津贴实现人们福利的最大化和政府用于救助支出最小化的矛盾。政府提供的救助水平越高即最低生活保障线越高，对低收入群体或贫困人群越有利，而这会增加公共财政负担，同时也可能会发生“过度保障”，使一些有谋生能力的人丧失求职欲望，宁愿吃“低保”而不愿意就业。多目标规划法正是可以兼顾多项目标的设计最低生活保障线的方法。
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多目标规划的基本形式可以表述如下：
可得如下结果：
k1=0.3941 ， k2=0.4236， f1=3960（万元）， f2=6040（万元）
上述某市的计算结果可以类推到其他近似条件的城市。假设北京市社会救助人口符合上述分层条件，北京市近年来月最低工资或基本生活费接近于1200元，根据上述最低生活保障线比例（k1=0.3941，k2=0.4236），计算得到北京市月最低生活保障金数额应该为472～508元。北京市政府2010年底出台了一项民生政策，即为更好地保障本市城乡困难群众基本生活，按照市委、市政府的统一要求和部署，市民政局会同有关部门测算制定了2011年城乡低保标准调整方案，并将从2011年1月1日起正式实施。北京城市户口最低保障金标准由家庭月人均430元上调为480元，上调幅度为11.62%。北京市2011年月最低生活保障金由2008年的390元调整到480元，与前面估计结果基本一致，可见在上述假设下北京市2011年所定最低生活保障金水平是合理的。
运用多目标规划法制定最低生活保障线的关键在于：一方面要了解最低生活保障的總体支出水平和财政支付能力；另一方面，就是要掌握贫困群体的结构状况，将其根据贫困程度划分为若干层次（一般为两层），这样既能做到应保尽保，同时也能发挥贫困群体的积极性，减少最低生活保障支出。
五、结论与建议
最低生活保障制度是继下岗生活补助、失业保险制度之后第三条重要的社会保障制度，是维护社会和谐、实现社会公平和缩小社会差距的不可缺少的社会政策。当前，我国社会经济得到了较大发展，但社会各阶层收入差距仍然较大，基尼系数仍居高位。因此，提高社会保障水平、扩大社会保障覆盖面是确定无疑的政策方向。最低生活保障线的制定一方面决定了社会救助程度，另一方面也受到政府公共财政的约束，因此，科学合理制定最低生活保障线是确保该项制度有效实施的前提。结合前面的分析，就最低生活保障线的制定提出以下几点建议。
第一，确定最低生活保障线时，既要考虑到最低生活保障制度的福利目标和社会目标，也要考虑政府的财政支付能力和社会经济效率，不能顾此失彼，影响社会和谐、持续、平稳发展。
第二，确定最低生活保障线的较为合理的方法应该是：首先根据充分有效的调查，搜集掌握各类基本消费数据，运用ELES法估计基本需求支出水平，在此基础上，结合多目标规划法来确定最低生活保障线。
第三，在确定最低生活保障线时，要根据低保申请人员的类别划分，制定不同档次的最低生活保障线，体现福利的差别待遇。所有这些不同类别的最低生活保障线均可通过多目标规划一次性确定。
第四，运用本文所提方法估计确定最低生活保障线，关键是建立有效的数据库，再结合MATLAB软件编制规划程序，设计好约束条件和目标函数，就能很快得到计算结果。因此，多目标规划法是十分快捷有效的，同时也能直接反映政策目标。可以断言，多目标规划法也会在其他社会福利政策制定设计中得到广泛运用。
参考文献：
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[2] 王中昭. 我国城镇居民最低生活保障线的动态测定[J].计划与市场探索，2003，（3）.
[3] 汪泓，张伯生.上海市城镇居民最低生活保障线的研究[J].东华大学学报（自然科学版），2001，（6）.
[4] 童星，刘松涛.城市居民最低生活保障线的测定[J].社会学研究，2000，（4）.
[5] 张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海：上海三联书店、上海人民出版社，1996：102-106.