粒子运动

2024-06-25

粒子运动（共12篇）

粒子运动篇1

一、褶子与分形的粒子系统

德勒兹在《福柯褶子》一书中阐述了关于莱布尼兹和褶子的几个重要概念—打褶 (fold) 、展开 (unfold) 、包裹 (envelop-container) 等, [1]为参数化设计思想和游牧空间等建筑哲学概念奠定了基础。德勒兹认为, 褶子的变化是基于平滑和游牧的。褶子单子并不是空间中零散的、个体的点, 各个点之间具有平滑的过渡。空间褶子的折叠和展开是连续变化的, 有着密不可分的联系。与零散的砂砾聚集成团状物的机制不同, 哲学意义上的褶子不是断裂的, 而是平滑连续的, 褶子之间的关系如同纸张一样具有连续性。[2]

粒子系统是由一群受同一规则控制的粒子运动形成的集群。它由空间中数量众多的离散点 (粒子) 构成, 粒子之间由控制系统的生成规则相互关联, 形成具有统一性的整体。与褶子类似, 在粒子系统中, 粒子之间的运动和变化是连续的, 并不是许多单个无联系的点所聚集成的团状物, 而是受类似于连续纸面般的折叠机制统一控制。

从空间和时间维度上看, 运动的粒子具有分形维度, [3]某些特殊类型的粒子系统更具有典型的分形运动特性和形态特征, 恰与哲学上的褶子具有以自身规则不断分化折叠的特性一样。[4]本文主要围绕具有分形运动特性的粒子系统的设计控制要素展开讨论。

二、粒子系统的设计控制因素

许多商业三维软件都可以生成具有成熟数学算法的粒子系统, 如3d s Max、Maya、Realflow等。电影级的三维软件已经能够完全模拟自然界中的各种粒子运动, 达到C G粒子系统完全仿真物理现实的程度。以数学公式为基础计算生成分形结果的软件Chaoscope等最终生成的三维点云也可以视为一种受单一数学规则控制的粒子系统 (1) 。

粒子系统在分形形态生成中的控制可以归结为三个主要因素。一是基本单元 (粒子) , 二是控制单元体的基本分布规则 (内力, 或者代理系统中代理粒子间的互动关系) , 三是影响整体组合规则的外部影响因素 (外力) 。这三种因素互为影响, 缺一不可。改变基本单元或者组合因素, 而影响因素不变, 最终的形态也完全不同;反之亦然。

初始的粒子系统, 犹如一个参量完全设置为零的数学公式, 当设计师输入基于设计需求的设计变量时, 粒子系统才能够根据内部的机制进行运动, 进而产生相应的设计结果。粒子系统的设计过程不仅是一种基于物理实验现象 (如流体力学对液体粒子性质的重现) 的模拟, 更重要的是虚拟实验条件的设置。设计的过程, 实际上就是针对“设计参数”的设计过程, 往往比纯粹的物理模拟过程更为复杂。

物理现象和数字现象的发生条件往往并非一一对应。例如, 在水中滴入蓝墨水, 观察蓝墨水在水中的扩散现象。在这个实验过程中, 物理实验条件涉及到水和墨水两种液体, 蓝墨水注入水中时的控制条件涉及墨水注入的角度、深度、速度等条件变量, 同时水的密度、水温、初始运转速度都有可能影响蓝墨水在其中运动的形态。毕竟物理现象形成的机制是非常复杂的, 无法完全用数学公式进行模拟, 因此在粒子系统的设计过程中, 如果用两种粒子流真实地去模拟两种液体之间的碰撞和交互的过程, 有可能无法得到和实验现象类似的分形现象。因此, 在如图1案例所进行的实验模拟中, 只用了单一的粒子流, 利用不同类型力场的作用以及力场的时间叠加效应, 人为地控制最终粒子的运动状态。设计粒子参数的过程就是重新构筑“设计图解”的过程, 因此设计过程更重要的是调整并且设置各种数字化参数, 使结果更趋近于设计需要的形态和空间效果。

三、粒子与力场

粒子系统的形态是由运动决定的。粒子系统的运动特性受到两方面因素的控制:一是外部影响因素, 即外部力场和外部边界条件等;二是粒子彼此之间内部的相互作用, 也就是粒子系统的内力。内力是粒子系统的特有属性, 例如液体粒子和气体粒子之间的张力、拉力、凝聚力等, 即使在完全相同的外部影响因素作用下, 气体和液体粒子所产生的运动状态也不会完全一样。粒子系统形成的最终形态, 会由于外部和内部力场作用的不同而千变万化。

建筑是各种社会因素共同作用下的产物, 必然受到各种社会因素的影响。在建筑设计中建筑形态会受到功能需求、场地条件、气候环境等因素的影响。如果将建筑所受的外部和内部影响理解为力场的作用, [5]那么力场的决定因素有多种, 例如社会领域的政治、经济、技术等因素, 以及自然界的太阳、风、光照、地质的变化等。正因如此, 即使运用最简单的分析法则和完全一样的基本单元来进行建筑设计, 最终产生的结果也具有不可置信的多样性。

对粒子系统的总体形态影响最大的是外部力场 (图2) 。外部力场的主要控制条件包括外部力场类型, 以及力场的作用方式、作用时间、外部边界条件等。力的作用具有时间叠加效应, 粒子在一个力场的作用下运动一段时间, 当原有力场撤除并且增加新的力场时, 粒子会在由原有力场生成的形态基础上进行新的运动, 形成不同的复杂性。

内部和外部力场的自我相似性是最终形态具有自我相似性的成因。如图3, 粒子运动受多个类似的涡旋力场控制, 力场中又有下一层次的涡旋力场对运动中的粒子进行进一步驱动, 粒子之间的内部相互作用与外部力场共同影响粒子的运动状态, 最终形成了具有自我相似特征的粒子运动群。

粒子系统中单元体之间的相互碰撞以及所产生的局部相互关系是类似的, 共同影响了集群的整体状态, 同时又受到整体相同原则的控制, 与整体形态类似, 进而形成了自我相似的特征。[6]每个粒子之间的相互作用虽然取决于局部之间的内力, 但都遵循预先设定的整体原则进行运动。如同社会中的每个个体, 虽然具有差异化的行为特征, 其行为取向取决于个人的自我判断, 但群体的行为特征仍然受控于整个社会的属性。这种特性符合分形中关于“子整体”的特性, 也就是个体的聚集形成整体, 个体行为会影响整体, 同时整体的规则控制个体。

四、粒子系统的单体

粒子可以视为一群抽象的单体。单个粒子可以是数学上抽象的、不占用任何体积的点, 也可以是一滴水滴、一个建筑单元、飞翔的鸟群中的一只鸟、奔跑的牛群中的一头牛这种具象的物体, 我们可以根据需要为粒子赋予所有可能类型的具象或者抽象的含义。一个粒子甚至可以是另一个单独运动的粒子系统, 实现粒子系统中嵌套多层次粒子系统。

由于粒子流最终形成的形态是由空间中无数个离散的粒子构成的, 要生成可建造的建筑实体必须形成连续的面或者是相互关联的构件体系。当粒子系统各个单元体之间紧密地联系在一起, 相互重叠或者并置时, 就能够完整覆盖建筑形态, 因此粒子系统具有包容空间的特性。

当前的主流粒子软件主要采用以下的几种方式进行粒子可见形态的构成, 实现从抽象的点到可以表现的网格实体之间的连接。

一是将空间中每一个粒子计算为metaball实体, 由于metaball之间的相互融合作用而形成了连续的最终形态。由于metaball实体形成的连续体具有更加光顺的表面, 因此更适合于模拟流动的液体的形态 (图4) 。

二是利用某一种自定义的物体作为单元体替换粒子流中每一个粒子的点, 利用数量众多的单元体的集合形成最终的设计形态。如图5, 每个粒子由一条运动的鱼形物体代替, 粒子系统就表现为类似自然界中鱼群涌现的现象。

三是将每一个粒子点作为三角网格面的顶点, 通过三角形网格面将所有离散的点全部联系在一起。利用粒子的点作为空间中控制晶格的点, 形成网格面, 优化后作为Para Cloud等软件可以利用的控制点, 进行镶嵌类型的操作。粒子流的点成为镶嵌控制形态的构架。

无论是metaball还是自定义的单元体, 粒子的运动特性都可以成为控制单元体大小和方向的关键属性。粒子的运动方向、速度, 以及粒子之间相互吸引力的大小等均可以作为控制单元物体方向、间距和尺度的依据 (图6) 。

例如, 粒子的运动方向可以成为单元体的控制轴向, 运动速度可以成为控制轴向上拉伸的比例, 粒子之间相互作用力的大小可以成为单元体之间拓扑变形的控制参数。利用粒子本身的运动属性 (矢量、方向、速度、外力、内力) 成为单元体在空间中仿射变换的相应控制参数。

五、从离散的空间点云到有组织的空间组件建构

在粒子系统运动过程中的任何一个瞬间冻结粒子, 能够得到一系列固化的粒子群形态。分形的粒子流最美丽的瞬间, 往往是在其运动的过程中 (图7) 。固化的粒子形态是静态的, 但具有和运动的粒子一致的动态感和类似的分形维度。冻结的粒子群具有空间围合的潜力, 可以和外部物体互动形成动态的空间感 (图8) 。粒子流的瞬时性、历时性、动态感, 以及粒子流局部和整体之间内部规则的统一性共同构成了粒子系统的分形属性。

粒子系统的形态要进行建筑化运用, 就必须在某个运动的瞬间进行冻结, 冻结瞬间的形态就是那个运动瞬间的一种三维形态表达。实际上, 设计师可以选择在任何一个瞬间冻结粒子系统, 所有被冻结的瞬间形态形成同一体系下的一系列相似的形态集合。

粒子系统固化后形成的空间粒子云、三维扫描物件以后的点云以及许多数学公式软件模拟最后得到的计算结果都是离散的空间点云。其中粒子以空间中疏密有变化的点的形式存在。这些离散的点云必须以某一种算法进行规整和集合, 才有可能作为下一步设计的原型使用。

除了在上文中讨论的几种典型的粒子单体的处理方法外, 对常规点云的整体处理方式主要是按照以下步骤进行:将软件模拟或者是三维扫描得到的点云进行空间连接得到网格物体, 对网格物体进行优化, 重新构建N U R B S表面, 得到适合于建筑设计需求的原型;再根据设计的需求对原型进一步梳理, 进行表面优化、细化、表皮分片等。这种方法可以相对有效地直接从模拟结果中得到建筑雏形, 进而得到适合于建筑设计需求的结果, 得出与模拟形态较为接近的建筑形态 (图9) 。

当下已经有多种成熟的空间粒子算法, 如三角面连接、四分树连接、八分树连接等算法可以将粒子云整合为具有整体结构的更高层次的物体—网格。但是这种方式在处理的过程中丧失了粒子系统最重要的关键性属性—粒子间的相互关系和运动状态等。粒子已经不再是具有运动参数特性的个体, 只是一种为了形成固化的物体形态而存在的空间密度点。因此, 需要寻找其他能够同时保持运动参数、运动特性和运动结果的方式实现粒子系统的实体化和三维化 (图10) 。

一种处理方式是, 提取所有粒子的运动轨迹, 形成串联粒子运动状态的曲线, 以曲线作为下一步细化的基础 (图11) , 也可以将M a y a软件中的粒子运动状态直接提取为运动的数据流并导入Grasshopper中进行下一步建构的基础 (图12) 。通过这种方式, 粒子的运动方向、矢量、速度、相互关联等运动信息得到动态保存, 空间形态反映粒子的运动状态, 而不仅仅是粒子运动以后某一个时间点的固化形态。

另外一种处理粒子单体的方法是, 将单元体以层级型衍生的方式进行关联生长。如图13所示, 三角夹子之间利用相同规则不断堆积, 形成第一个层级的液体粒子单元, 再利用相同的规则进行分布扩散, 形成第二个层级的液体粒子单元;最小的单元和最大的空间围合之间的联系虽然完全是由相同大小的夹子构成, 但是从一定的距离范围外看, 已经具有了不同大小孔洞之间的并置, 也就是具有了分形的尺度特征。通过图底之间的转换, 我们将这些孔洞视为可利用的空间, 将围合孔洞的三角夹作为空间之间的分隔。在这个案例中, 空间和空间句法具有分形特性, 围合空间的单元体也具有分形的特征。

在利用三角夹子作为单元体进行粒子流状态重构的过程中, 夹子作为单个粒子的具象化的表现, 利用夹子之间连接的特性, 形成了从局部到整体统一的变化, 比用metaball直接进行粒子模拟的方式更能反映液体粒子之间的分形属性, 也更清晰地体现了建筑构件之间的构造特性。虽然最终的设计形态可能和模拟出来的形态并不完全一致, 但是体现了设计过程中更高层次的抽象。这是规则的重现, 而不仅仅是固化形态的呈现。

结语

粒子系统作为一种非常规的建筑设计工具, 无论在设计思维还是设计技术上仍然具有很大的潜力, 需要对算法和设计方式进行进一步的研究, 与建筑空间建构建立起更为直接的关联性, 成为更具有实际建构意义的算法和思维工具。

参考文献

[1]德勒兹.福柯褶子[M].于奇智, 杨洁, 译.长沙:湖南文艺出版社, 2001.

[2]徐卫国.褶子思想, 游牧空间—关于非线性建筑参数化设计的访谈[J].世界建筑, 2009 (8) :16-17.

[3]MANDELBROT B B.大自然的分形几何学[M].陈守吉, 凌复华, 译.上海:上海远东出版社, 1998.

[4]LYNN G.Folding in Architecture[M].London:Wiley-Academy, 2004.

[5]阿恩海姆.建筑形式的视觉动力[M].滕守尧, 朱疆源, 译.北京:中国建筑工业出版社, 2006.

[6]佩特根, 于尔根斯, 绍柏.混沌与分形—科学的新疆界[M].田逢喜, 译.北京:国防工业出版社, 2008.

粒子运动篇2

带电粒子的圆周运动的教案示例之二

一、教学目标

1．根据洛仑兹力的特点，理解带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动． 2．以洛仑兹力为向心力推导出带电粒子在磁场中做圆运动的半径

3．掌握速度选择器和质谱仪的工作原理和计算方法．

二、重点、难点分析

1．洛仑兹力f=Bqv的应用是该节重点．

2．洛仑兹力作为向心力，是使运动电荷在磁场中做匀速圆周运动的

是本节的难点．

3．对速度选择器和质谱仪的工作原理的理解和掌握也是本节的重点和难点．

三、教具洛仑兹力演示仪．

四、主要教学过程

（一）引入新课

1．提问：如图所示，当带电粒子q以速度v分别垂直进入匀强电场和匀强磁场中，它们将做什么运动？（如图1所示）

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回答：平抛和匀速圆周运动．

在此学生很有可能根据带电粒子进入匀强电场做平抛运动的经验，误认为带电粒子垂直进入匀强磁场也做平抛运动．在这里不管学生回答正确与错误，都应马上追问：为什么？引导学生思考，自己得出正确答案．

2．观察演示实验：带电粒子在磁场中的运动──洛仑兹力演示仪．

3．看挂图，比较带电粒子垂直进入匀强电场和磁场这两种情况下轨迹的差别．

（二）教学过程设计

1．带电粒子垂直进入匀强磁场的轨迹（板书）提问：

①f洛在什么平面内？它与v的方位关系怎样？ ②f洛对运动电荷是否做功？ ③f洛对运动电荷的运动起何作用？ ④带电粒子在磁场中的运动具有什么特点？

通过学生的回答，展开讨论，让同学自己得出正确的答案，强化上节所学知识──洛仑兹力产生条件，洛仑兹力大小、方向的计算和判断方法．

结论：（板书）①带电粒子垂直进入匀强磁场，其初速度v与磁场垂直，根据左手定则，其受洛仑兹力的方向也跟磁场方向垂直，并与初速度方向都在同一垂直磁场的平面内，所以粒子只能在该平面内运动．

②洛仑兹力总是跟带电粒子的运动方向垂直，它只改变粒子运动的方向，不改变粒子速度的大小，所以粒子在磁场中运动的速率是恒定的，这时洛仑兹力的大小f=Bqv也是恒定的．

③洛仑兹力对运动粒子不做功．

④洛仑兹力对运动粒子起着向心力的作用，因此粒子的运动一定是匀速圆周运动． 2．带电粒子在磁场中运动的轨道半径

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提问：

①带电粒子做匀速圆周运动时，什么力作为向心力？

f心=f洛=Bqv（1）

②做匀速圆周运动的物体所受的向心力F心与物体质量m、速度v和半径r的关系如何？

F心= mv2／r（2）进而由学生自己推出

讨论：

①粒子运动轨道半径与哪些因素有关，关系如何？

②质量不同电量相同的带电粒子，若以大小相等的动量垂直进入同一匀强磁场，它们的轨道半径关系如何？

③速度相同，荷质比不同的带电粒子垂直进入同一匀强磁场，它们的轨道半径关系如何？

④在同一磁场中做半径相等的圆周运动的氢、氦原子核，哪个运动速度大？ 3．带电粒子在磁场中的运动周期提问：

①圆周长与圆半径有何关系？

周长=2πr ②圆周运动的周期与周长和速率的关系如何？

③推出带电粒子在磁场中的周期

讨论：①带电粒子在磁场中做圆周运动的周期大小与哪些因素有关？关系如何？

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②同一带电粒子，在磁场中做圆周运动，当它的速率增大时，其周期怎样改变？ ③速率不同、质量也不同的两带电粒子进入同一磁场做圆周运动，若它们的周期相同，则它们相同的物理量还有哪个？ 4．速度选择器的工作原理

提问：①带电粒子（带正电）q以速度v垂直进入匀强电场，受电场力作用，运动方向将发生偏转，如图2所示．若在匀强电场范围内再加一个匀强磁场，使该带电粒子的运动不偏转，求所加匀强磁场的方向和磁感应强度的大小．

引导学生利用所学知识自己分析得出结论．

分析：．电荷进入电场，受垂直向下的电场力作用而偏转，若使它不发生偏转，电荷受所加磁场的洛仑兹力方向一定与电场力方向相反，根据左手定则和洛仑兹力方向确定磁场方向：垂直纸面、背向读者，如图3所示．因为 f洛=F安

若我们在该装置前后各加一块挡板，让电量相同的不同速度的带电粒子从前边挡板中小孔射入，经过匀强电场和磁场，只有其运动速度刚好满足f洛=F安的粒子运动轨迹不发生偏转，从第二块挡板上小孔中射出．改变匀强电场或匀强磁场的大小，就可以得到不同速度的带电粒子．这个装置就叫做速度选择器．由上面的关系很容易推导出通过速度选择器

②若将一个能通过某速度选择器的正电荷换成一个电量相等速度不变的负电荷，它还能通过该速度选择器吗？为什么？

回答：能．因为虽然它所受电场力和洛仑兹力方向都与正电荷方向相反，但大小仍然相等，其合力仍然为零，所以能通过． 5．质谱仪

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以相同的速度垂直进入同一匀强磁场，如图4，求它们运动的轨道半径之比是多少？

以上装置就是质谱仪，它可以很方便地帮助我们发现一些元素的同位素，或计算一些带电粒子的质量或荷质比．

（三）课堂小结

带电粒子垂直进入匀强磁场时，受到一个大小不变而且始终与其速度方向垂直的洛仑兹力作用，此力对带电粒子不做功，只改变粒子的速度方向，不改变其速度大小，粒子将做匀速圆周运动，其轨道半径为

粒子（质量、电荷不相同），其r与mv成正比，与Bq成反比，其周期

反比．

五、说明

1．本节在研究带电粒子在磁场中做圆周运动的规律时，首先要强调“在匀强磁场中”和“v垂直于B”这两个条件．

2．轨道半径和周期的推导应强调推导的过程和涉及的旧知识，对于

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结果的讨论上，使学生理解该结论的内涵和外延．

3．在上述问题都很好地掌握的基础上，再讲速度选择器和质谱仪，这两部分内容其实就是新旧知识的实际应用．

4．关于带电粒子在磁场中的偏转量计算问题，因用到不少平面几何知识，可放在以后的习题课中解决．

带电粒子在电场中的运动篇3

一、带电粒子在电场中的平衡[ 图1]

例1 如图1，匀强电场方向与水平线间夹角[θ＝30°]，方向斜向右上方，电场强度为[E]，质量为[m]的小球带负电，以初速度[v0]开始运动，初速度方向与电场方向一致.

（1）若小球的带电荷量为[q＝mgE]，为使小球能做匀速直线运动，应对小球施加的恒力[F1]的大小和方向各如何？

（2）若小球的带电荷量为[q＝2mgE]，为使小球能做直线运动，应对小球施加的最小恒力F2的大小和方向各如何？

解析（1）如图2，欲使小球做匀速直线运动，必使其合外力为0.

设对小球施加的力[F1]与水平方向夹角为[α]，则

[F1cos α＝qEcos θ]

[F1sin α＝mg＋qEsin θ]

解得[α＝60°]，[F1＝3mg]

恒力[F1]与水平线夹角60°斜向右上方．

图2 图3

（2）为使小球能做直线运动，则小球所受合力的方向必和运动方向在一条直线上，故要求力[F2]和[mg]的合力和电场力在一条直线上．当[F2]取最小值时，[F2]垂直于[F].

故[F2＝mgsin 60°＝32mg]

方向如图3，与水平线夹角60°斜向左上方．

点评分析带电粒子力学问题的方法与纯力学问题的分析方法一样，学会把电学问题力学化．分析方法是：

1．确定研究对象．如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”，一般是先整体后隔离．

2．对研究对象进行受力分析．

3．列平衡方程[(F合＝0]或[Fx＝0，Fy＝0).]

二、带电粒子在电场中的直线运动

例2 　如图4，在绝缘水平面上，有相距为[L]的[A]、[B]两点，分别固定着两个带电荷量均为[Q]的正电荷．[O]为[AB]连线的中点，[a、b]是[AB]连线上两点，其中[Aa＝Bb＝L4]. 一质量为[m]、电荷量为[＋q]的小滑块(可视为质点)以初动能[Ek0]从[a]点出发，沿[AB]直线向[b]运动，其中小滑块第一次经过[O]点时的动能为[2Ek0]，第一次到达[b]点时的动能恰好为零，小滑块最终停在[O]点，已知静电力常量为[k]. 求：

图4

（1）小滑块与水平面间滑动摩擦力的大小；

（2）小滑块刚要到达[b]点时加速度的大小和方向；

（3）小滑块运动的总路程[l路].

解析（1）由[Aa＝Bb＝L4]，[O]为[AB]连线的中点可知[a、b]关于[O]点对称，则[a、b]之间的电势差为[Uab＝0]

设小滑块与水平面间摩擦力的大小为[Ff]，滑块从[a→b]的过程，由动能定理，得

[q?Uab－Ff?L2＝0－Ek0]

解得[Ff=2Ek0L]

（2）根据库仑定律，小滑块刚要到达[b]点时受到的库仑力的合力为

[F=kQq(L4)2-kQq(3L4)2=128kQq9L2]

根据牛顿第二定律，小滑块刚要到达[b]点时加速度的大小为[a＝F+Ff3=128kQq9mL2+2Ek0mL]，方向由[b]指向[O](或向左)

（3）设滑块从[a→O]的过程中电场力做功为[W]，由动能定理，得

[W－Ff?14L＝2Ek0－Ek0]

解得[W＝1.5Ek0]

对于小滑块从[a]开始运动到最终在[O]点停下的整个过程中，由动能定理，得

[W－Ff?l路＝2Ek0－Ek0]

解得[l路=1.25L]

点评 1．利用力和运动的关系——牛顿运动定律和匀变速直线运动规律的结合．即受力和初速度决定运动，运动反映受力．这是一切力学问题的分析基础，特别适于恒力作用下的匀变速直线运动．

2．利用功、能关系——动能定理及其他力的功能关系(如重力、电场力、摩擦力等)及能的转化守恒，无论恒力作用、变力作用、直线运动、曲线运动皆可．

3．计算电场力做功常用方法

（1）[WAB＝qUAB](普遍适用)

（2）[W＝qE?s?cosθ](适用于匀强电场)

（3）[WAB＝－ΔEp](从能量角度求解)

（4）[W电＋W非电＝ΔEk](由动能定理求解)

三、带电粒子在电场中的偏转

例3 如图5，一个带电粒子从粒子源飘入(初速度很小，可忽略不计)电压为[U1]的加速电场，经加速后从小孔[S]沿平行金属板[A、B]的中心线射入，[A、B]板长为[L]，相距为[d]，电压为[U2].则带电粒子能从[A、B]板间飞出应该满足的条件是（）

[粒子源]

图5

A. [U2U1<2dL] B. [U2U1

C. [U2U1<2d2L2] D. [U2U1

解析根据[qU1＝12mv2]，再根据[t＝Lv]和[y＝12at2＝qU22md(Lv)2]，由题意，[y<12d]，解得[U2U1<2d2L2]，故C项正确．

点评 1. 粒子在电场中的偏转类似于平抛运动的分析处理，将运动沿两互相垂直方向分解，即沿初速度方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为0的匀加速直线运动，然后应用运动的合成和分解的知识处理.

2. 若不同的带电粒子是从静止经同一加速电压[U0]加速后进入偏转电场的，则粒子的偏转距离[y=U2L24U1d],与粒子的[q、m]无关，仅取决于加速电场和偏转电场．即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转距离总是相同的．

四、带电粒子在电场中的圆周运动

例4 如图6甲，场强大小为[E]、方向竖直向上的匀强电场内存在一竖直平面内半径为[R]的圆形区域，[O]点为该圆形区域的圆心，[A]点是圆形区域的最低点，[B]点是最右侧的点. 在[A]点有放射源释放出初速度大小不同、方向均垂直于场强向右的正电荷，电荷的质量为[m]，电荷量为[q]，不计重力. 求：

[甲乙]

图6

（1）电荷在电场中运动的加速度多大？

（2）运动轨迹经过[B]点的电荷在[A]点时的速度多大？

（3）某电荷的运动轨迹和圆形区域的边缘交于[P]点，[∠POA＝θ]，请写出该电荷经过[P]点时动能的表达式；

（4）若在圆形区域边缘有一接收屏[CBD]，[C、D]分别为接收屏最边缘的两点，如图6乙，[∠COB＝∠BOD＝30°]，则该屏上接收到的电荷的末动能大小的范围多大？

解析（1）由[F= Eq]及[F=ma]，得加速度

[a＝Eq/m] ①

（2）设电荷在[A]点的速度为[v0]，它从[A]运动到[B]，做类平抛运动

则水平方向[R＝v0t] ②

竖直方向[R＝at2] ③

由①②③得[v0＝EqR2m].

（3）设某电荷在[A]点的速度为[v0′]，该电荷在[P]点的动能为[EKp]，它从[A]运动到[P]，由动能定理，得

[Eq(R－Rcosθ) ＝EKp-12mv0′2] ④

由类平抛规律，得

[Rsinθ＝v0′t] ⑤

[R－Rcosθ＝12at2] ⑥

由①④⑤⑥得[EKp=14EqR(5－3cosθ)]．

（4）由第（3）问的结论可以看出，当[θ]从0°变化到180°，接收屏上电荷的动能逐渐增大，因此[D]点接收到的电荷的末动能最小，[C]点接收到的电荷的末动能最大.

[EkD=14EqR(5－3cos60°)=78EqR]

[EkC＝14EqR(5－3cos120°)＝138EqR]

所以，屏上接收到的电荷末动能大小的范围为[78EqREk138EqR].

粒子运动篇4

运动目标跟踪是计算机视觉领域中最活跃的研究主题之一,其核心是利用计算机视觉技术从图像序列中检测、跟踪、识别目标并对其行为进行描述,它在军事视觉制导,机器人视觉,安全检测等方面都有广泛的应用。

粒子滤波[1,2]技术通过非参数的蒙特卡罗模拟方法实现递推的贝叶斯滤波[3],较好的解决了非高斯非线性观测下的目标跟踪问题。其关键的步骤是确定建议分布,建议分布越接近后验概率分布,粒子滤波的性能越好。围绕建议分布概率密度函数的选取,出现了各种形式的粒子滤波[4,5]。传统粒子滤波利用先验概率密度函数作为建议分布,具有权值易于计算和建议概率密度易于被采样的优点,但其建议概率密度与当前量测无关,使粒子的使用效率不高。

针对传统粒子滤波的不足,本文在粒子滤波视频跟踪应用的框架下,提出了一种基于运动检测的建议分布改进方法,并给出了传统粒子滤波方法与本文提出方法实验效果的对比。

1 粒子滤波器基本原理

粒子滤波的主要思想是用一组具有权值的粒子来描述系统状态的后验概率函数。根据蒙特卡罗理论,当粒子数目足够多时,这组带有权值的粒子就能够完全的描述后验概率分布,此时,粒子滤波就是最优的贝叶斯估计。

假设系统状态量和观测量分别为x:0k和z:1k,k时刻的粒子及其权值为{xi:0k;i=,1,…N}和{wki(x:0k);i=,1,…N},则k时刻的系统后验概率密度函数可以近似表示为

其中δ(⋅)为克罗内克尔函数。直接从后验概率p(x:0k|z:1k)中进行采样比较困难,所以引入了一个容易采样的分布q(x:0k|z:1k),称为建议分布,实际上粒子滤波是从这个建议分布中采样得到N个粒子。则由序列重要性采样原理[3]可以得出权值的递推公式为

其中:p(zk|xki)称为似然概率,表征系统状态由xk-1转移到xk后和观测值的相似程度;p(xki|xik-1)由上一步系统状态转移过程所得,称为先验概率。从式(2)易得出建议分布在粒子滤波器的性能中起着非常关键的作用。一般地,q(x:0k|z:1k)越接近p(x:0k|z:1k),则用粒子近似后验概率的效果越好。

2 基于粒子滤波的视频跟踪模型

在传统的粒子滤波框架下,运动目标跟踪方法主要分为以下几个步骤。首先,通过人机交互的方法确定目标区域,并建立目标模板,即获得目标的初始位置、尺度信息。根据这些初始参数对各个粒子进行初始化,并将其权值设为1/N。之后,由于传统的粒子滤波方法选择系统转移密度分布作为建议分布,所以只需要对上一时刻的后验目标状态进行状态转移即可得到当前时刻目标的先验分布,然后利用系统观测,更新粒子权值,并将所有粒子加权求和得到目标状态的后验估计值。最后判断是否需要重采样,若需要,进行重采样,然后转入下一次算法迭代,否则,直接进入下一次迭代。

2.1 系统状态描述及状态转移模型

视频跟踪的目的是为了获取运动目标的位置坐标和大小信息。对于运动目标而言,随机游走模型很难满足运动的描述,所以引入速度分量,同时为适应目标大小的变化引入目标宽度和高度分量,则目标的状态向量可由一个六维向量表示:

其中:ckx、cyk为目标的中心坐标,vxk、vyk为目标沿x、y方向的速度,kw、kh表示目标的宽度和高度。

由于粒子滤波的蒙特卡洛随机模拟机理,目标状态可通过多假设样本稳健的估计,因此,基于粒子滤波目标跟踪的稳健性并不过度依赖于系统状态转移模型的精确性,本文选择简单的一阶自回归模型作为状态转移模型的近似:

式中:A为系统状态转移矩阵,vk为过程噪声。

2.2 系统观测模型

常见的目标特征可以分为颜色特征、纹理特征和几何特征等,其中颜色特征稳定性比较好,且运算量较小,因此本文选用灰度分布来描述目标。目标灰度分布描述的有效方法是核概率密度估计。假设将目标灰度分布离散化为B级,并定义灰度量化函数b(li):R2→{1,…,B},表示把位置li处的像素灰度值量化并将其分配到对应的灰度等级中,其中B是量化等级数,本文取16。于是,对于给定的目标状态xi,目标的灰度分布pl={pl(u)}u=,1,…，B定义为

其中:l表示目标中心;M表示目标区域的总像素数;h表示目标区域的大小;k(⋅)表示核函数(本文选择均匀核函数);δ(⋅)为克罗内克尔函数;C为归一化常数。

定义参考目标x与样本xk(i)的灰度分布描述分别为{ql(u)}u=,1,…，B和{pl(u)}u=(i),1,…,B,选择Bhattacharyya距离[6]D(p(i),q)作为参考目标x与样本xk(i)的相似性度量。于是,系统的观测概率模型可定义为

式中λ为控制参数,本文取20。

结合式(2)和(7)得到相似性度量D(p(i),q)越小,似然概率p(zk|xki)越大,此时样本的权值增大,可靠度增强。

2.3 粒子重采样

在传播过程中,有一部分偏离目标实际状态的粒子的权值会越来越小,以至于最终只有少数粒子具有大的权值,导致无谓的计算量浪费在小权值粒子上。尽管这些小权值粒子也代表目标状态的一个可能性,但是当可能性太小时,应当忽略这部分粒子,而将重点放在可能性较大的粒子上。重采样技术在一定程度上可以缓解这个问题。抛弃部分权值过小的粒子,而从权值较大的粒子衍生出一些粒子。

3 基于运动检测的粒子滤波跟踪方法

传统的粒子滤波跟踪方法选择目标的先验密度作为建议分布,如式(8)所示。这种方法的优点是便于实现。然而,这种建议分布只是依赖于预测的前一步,没有考虑当前的测量值,使xk严重依赖于模型。如果似然分布相对转移概率分布比较狭窄,许多粒子会得到很小的权重,这意味着浪费了大量的计算。

针对传统算法的这一不足,本文提出了结合运动检测的建议分布改进方法。为了利用到当前帧的信息,在粒子重要性采样时,从传统的建议分布函数仅采样部分粒子,然后在检测到的运动区域中分配其余的粒子。这样的重要性采样结果既考虑了目标状态的转移,又利用到当前的观测信息。

3.1 运动检测方法

从视频序列中提取运动物体,有三种常用方法:背景减除法[7,8],时间差分法[9]和光流法[10]。由于时间差分法对于运动背景比较敏感,而光流法的时间复杂度过高,所以本文选择基于单高斯环境建模的背景减除法来提取运动区域。

由于本文考虑的是复杂背景和运动背景下的目标跟踪问题,如果检测整幅图上的运动区域,则容易受到其它运动物体及背景运动的影响,使得跟踪不稳定,同时考虑到处理速度问题,所以仅在图像局部进行运动检测,用目标当前时刻先验状态中的位置分量确定差分区域的中心,并引入参数γ,将目标大小的γ倍作为差分区域大小。

3.2 粒子重新分配

传统的粒子滤波跟踪方法仅从系统状态转移密度分布中采样粒子,没有利用到目标的运动信息。本文方法在检测到的运动区域分配一定比例的粒子,使粒子的先验分布结合了目标的运动信息,与其真实分布更加接近。为此,引入粒子分配比例系数β(0<β<)1,给运动区域中分配的粒子数为Nmove=βN,那么从系统转移密度分布中采样选取的粒子数为Ntransfer=1(-β)N。当前的粒子集合可由下式表示:

这样粒子的分布就包含了当前帧的观测信息。其中β值的选取可以根据目标运动特征的重要程度而定,如果目标运动特征比较明显,则可以选取较大的β值,否则,应选择较小的β值。

3.3 改进的粒子滤波跟踪流程

本文提出的基于运动检测的粒子滤波跟踪方法流程如图1所示。与传统粒子滤波跟踪方法相比,该方法在利用上一帧目标后验分布经过系统状态转移方程产生部分粒子的同时,还在检测到的运动区域中分配了一定比例的粒子,使粒子的先验分布结合了当前时刻观测到的运动信息。

4 实验结果及分析

为了验证改进建议分布后粒子滤波跟踪效果,本文用两组不同的视频序列进行实验。两个实验都是在Pentium(R)D CPU 3.40 GHz、内存1G的PC机上采用MATLAB7.0软件平台实现的。待跟踪目标的参考模板在图像的第一帧手动选择。目标灰度量化等级为16,采样粒子数为N=40。

图2为第一个实验序列为静态复杂背景下的人体跟踪,且目标运动过程中存在遮挡现象。由于背景静止,因此将确定差分区域大小的参数选择为γ=3,并且运动信息的可信度较高,所以选择粒子分配比例参数β=0.5。该实验序列长度为120帧,每帧图像大小240×320,每隔30帧显示跟踪结果。图3为第二个实验序列是在动背景下跟踪车辆,且车辆在运动过程中存在局部遮挡,为避免背景运动引起的运动检测偏差,选择差分区域大小参数为γ=2,粒子分配比例参数β=0.25。该实验序列长度为120帧,每帧图像大小640×480,每隔30帧显示跟踪结果。由上面两个实验结果可以看出:本文提出的改进建议分布粒子滤波方法对于复杂背景下完全遮挡以及动态背景下局部遮挡的运动目标的跟踪是有效的和稳定的。

为了定性分析改进算法的跟踪效果,针对上面两组视频序列,在相同的软硬件平台上应用传统粒子滤波跟踪方法进行实验。图4给出了两种方法跟踪目标时的误差比较,误差定义为每帧中目标的真实位置(xr,yr)与跟踪的目标位置(cx,cy)之间的欧氏距离。由于第一个视频序列目标运动过程中出现了完全遮挡,而且背景比较复杂,所以在目标第二次被完全遮挡后,传统粒子滤波跟踪出现了丢失目标现象,从图中可以看出70帧之后,传统粒子滤波跟踪误差不断增大,说明此时目标已经丢失。第二个视频序列传统方法虽然一直都能跟上目标,但是由于背景和目标都在变化,使得跟踪过程的误差较大,而本文方法利用高斯背景建模进行运动检测,对缓慢变化的背景并不敏感,依然能够提取到目标的运动信息,所以与传统粒子滤波跟踪方法相比误差较小。从上面的实验结果可以得出本文提出的基于运动检测的粒子滤波跟踪方法与传统的粒子滤波跟踪方法相比有明显的优势。

(a)为实验一的跟踪误差;(b)为实验二跟踪误差(a)Tracking error of the first experiment;(b)Tracking error of the second experiment

结束语

本文在传统的粒子滤波目标跟踪框架下,运用基于单高斯背景建模的运动检测方法改进建议分布,通过在运动区域中分配粒子,使建议分布利用到当前时刻的观测信息。用该改进算法对在复杂背景和动态背景下的运动目标进行跟踪,实验结果也证明了该方法的有效性和稳定性。

摘要：针对传统粒子滤波的建议分布没有利用到当前观测信息的不足,本文提出了一种基于运动检测以改进建议分布的粒子滤波跟踪方法。该方法利用系统的状态转移密度分布,结合目标当前时刻的运动信息共同决定目标的先验分布。首先从一阶自回归的状态转移模型中生成部分粒子,然后采用单高斯背景建模进行局部运动检测,在检测到的运动区域中采样其余粒子,由此得到粒子的先验分布。用该方法分别对动态背景和存在完全遮挡情况下的运动目标进行跟踪,实验结果表明该方法有较高的跟踪精度和较强的稳定性。

关键词：计算机视觉,粒子滤波,目标跟踪,建议分布,运动检测

参考文献

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[3]姚剑敏.粒子滤波跟踪方法研究[D].长春:中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,2004:13-27.YAO Jian-min.Study On Particle Filter Based Visual Tracking Method[D].Changchun:Institute of Optics Fine Mechanics andPhysics Academia Sinica,CAS,2004:13-27.

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粒子运动篇5

一、教材的分析

1、地位和作用：

本节是高中物理课本选修3-1第一章第八节的内容。电场是电学的基本知识，是学好电磁学的关键。本节是本章知识的重要应用之一，是力学知识和电学知识的综合。在教学大纲和考试说明中都把本节知识列为理解并掌握的内容。通过对本节知识的学习，学生能够把电场知识和牛顿定律、动能定理、运动的合成与分解等力学知识有机地结合起来，加深对力、电知识的理解，有利于培养学生用物理规律解决实际问题的能力，同时也为以后学习带电粒子在磁场中的运动打下基础。

2．教材的安排与编者意图：

这节教材先从能量角度入手研究了带电粒子在电场中的加速，然后，又从分析粒子受力情况入手，类比重力场中的平抛运动，研究了带电粒子在匀强电场中的偏转问题。编者安排这一节，一方面是加深对前面所学知识的理解，另一方面是借助分析带电粒子的加速和偏转，使学生进一步掌握运动和力的关系，培养学生应用物理知识解决实际问题的能力。

二．【教学目标】

知识与能力

1、理解带电粒子在匀强电场中的运动规律，并能分析和解决加速和偏转方面的问题。

2、知道示波管的基本原理。

3、让学生动脑（思考）、动笔（推导）、动手（实验）、动口（讨论）、动眼（观察）、动耳（倾听），培养学生的多元智能。

过程与方法

1、通过复习自由落体运动规律，由学生自己推导出带电粒子在匀强电场中的加速和偏转规律。

2、通过由浅入深、层层推进的探究活动，让学生逐步了解示波管的基本原理。

3、使学生进一步发展“猜想－实验－理论”的科学探究方法，让学生主动思维，学会学习。

情感态度与价值观

1、通过理论分析与实验验证相结合，让学生形成科学世界观：自然规律是可以理解的，我们要学习科学，利用科学知识为人类服务。

2、利用带电粒子在示波管中的蓝色辉光、示波器上神奇变换的波形，展现科学现象之美，激发学生对自然科学的热爱。三．重点难点

重点让学生清楚带电粒子在电场中加速和偏转的原理的有关规律，这是本节内容的中心。由于带电粒子的偏转是曲线运动，比较复杂，学生理解起来有一定的困难，是本节的难点，通过类比重力场中的平抛运动突破难点。

四、教法学法：

1．教学的方法

分析讨论探究学生分组讨论 2.学法指导：

实验讨论

五、教学过程：

为了切实完成所定教学目标，充分发挥学生的主体作用，对一些主要的教学环节采取了如下设想：

⑴以演示实验设疑，创设学习情景，激发学习兴趣，引入新课。

介绍电子束演示仪，并说明只有高速带电的粒子（电子）轰击管内惰性气体发光，才能看到电子的径迹。学生会对电子如何获得速度产生疑问，通过控制电子束的偏转方向，学生又会对这一目的的如何实现产生疑惑，从而强烈地激发了学生的求知欲望，进而提出课题。约3分钟。

⑵在新课教学中，以微机模拟与问题探讨想结合进行理论分析，使学生由感性认识上升到理性认识。

①.以微机演示电子在电场中加速和偏转运动的全过程，让学生观察分析：电子运动的全过程可以分为那几个阶段？在每一阶段电子各做什么运动?这样可以使学生先在整体上对带电粒子运动的全过程有清晰的脉络，有助于局部过程的分析。

②.以微机演示电子在加速电场中的运动，让学生思考如何求电子射出加速电场时的速度？并进行推导。使学生认识到在匀强电场中可以根据牛顿定律和动能定理求速度，同时指出应用能量的观点研究加速问题比较简单，动能定理也适用于非匀强电场。从而培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步养成科学思维的方法。

③.以微机演示电子在偏转电场中的运动，并引导学生观察思考：①电子在偏转电场中的运动与物体在重力场中的平抛运动有什么相同点和不同点？②如何类比重力场中的平抛运动来分析带电粒子的偏转？这样的引导之后学生自然会找到解决问题的方法，从而突破了难点，也培养了学生对知识的迁移能力。同时渗透事物之间普遍联系的辨证唯物主义思想。

④.在上述理论分析的前提下，让学生动手动笔推导侧向速度V┸,侧向位移y及偏转角Ф的表达式。使学生清楚知识的来龙去脉，加深记忆，培养学生应用物理知识解决实际问题的能力。

⑤.引导学生分组讨论：如何改变电子射出加速电场时的速度、电子射出偏转电场时的侧向位移及偏转角的大小？进一步对加速和偏转的原理深化理解，充分挖掘学生潜能。

⑥.用电子束演示仪验证理论分析的正确性，使学生由理性认识回到实践中来。

⑶设置联系加速和偏转的全过程的问题进行巩固练习，培养学生应用新知综合分析问题解决问题的能力，同时进行知识反馈。

⑷小结：设置问题1：我们怎样实现对带电粒子的控制？引导学生进行知识小结；设置问题2：学习带电粒子在电场中运动的目的是什么？理论联系实际，培学生开拓意识和创新精神。

⑸布置作业：以巩固知识，丰富学生知识面为目的，同时减轻学生负担，作业为课后1、3题，并要求学生查阅有关带电粒子加速和偏转应用的科普文章。

4．板书设计：纲要式板书，力求条理清晰，体现中心内容，突出重点。

粒子运动篇6

摘要：带电粒子在复合场中的运动是高中物理最重要的考点之一，也是难点之一，是高中物理动力学问题的主要组成部分。采用所学过的知识——运动的分解，把带电粒子的复杂运动看成匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，可以使复杂问题简单化。

关键词：运动的分解；复合场；带电粒子；匀速圆周运动；匀速直线运动

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）02-202-02

高中阶段涉及的场包括重力场、电场、磁场等，所谓的复合场是指同时存在其中两种场或三种场。带电粒子在复合场中的运动是高中物理最重要的考点之一，也是难点之一，是高中物理动力学问题的主要组成部分。纵观近几年各省的高考试题，几乎所有省的历年高考都把这部分知识点放在压轴题上。这类问题对空间想象能力、物理过程的分析能力要求较高，是考查学习水平和思维能力的重要知识点。准确掌握相关知识及其解题方法、技巧将使学生能更好的掌握物体运动的本质，进一步激发学生学习物理的热情与兴趣，对今后物理学习有极大的帮助。

运动的分解法则与特点

1、运动的分解法则

若以表示合运动的速度（或加速度、位移）矢量为对角线，沿分运动速度（或加速度、位移）方向做出邻边构成平行四边形，则平行四边形的邻边就是表示两个分运动速度（或加速度、位移）的矢量。

2、运动的分解特点

（1）合运动与分运动等时性：两个分运动的时间与合运动的时间相等。即合运分运动同时发生同时结束。

（2）分运动的独立性：一个分运动的速度、加速度、位移不受另一分运动的影响。

（3）合运动与分运动的等效性：合运动与两个分运动是等效的。可以用合运动替代两个分运动，也可用两个分运动替代合运动。

二、带电粒子在复合场中的复杂运动

带电粒子在复合场中的复杂运动，从表面上看没有太多特别明显的规律，不是高中阶段大家较为熟悉的匀速直线运动、匀速圆周运动等，但是如果采用所学过的知识——运动的分解，就可以把带电粒子的复杂运动看成高中阶段比较熟悉的运动——匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，这样就能用高中所学的知识来分析解答类似问题。以下着重从三种情况讨论带电粒子在复合场中的复杂运动的有关动力学问题。

1、带电粒子以与磁场成一定角度进入磁场。研究这类问题时，可以将带电粒子的速度v分解成与磁场垂直的v1=vsin和以磁场平行的v2=vcos，这样粒子受到的洛伦兹力为qBv1。粒子将沿着磁场以v2 =v cos做匀速直线运动，在垂直磁场方向以半径为做匀速圆周运动。即粒子将会作螺旋运动。

2、初速度方向与磁场垂直，可以将带电粒子的速度v分解成v1和v2，v1和v2，v1+v2=v，相当于粒子受到两个洛伦兹力的作用，分别为qB v1和qB v2。

例题1：（2011年福建理综）如图甲，在x > 0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为q（q > 0）的粒子从坐标原点O处，以初速度υ0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。

求该粒子运动到y = h时的速度大小υ；

现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y - x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y - t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T = 。

Ⅰ.求粒子在一个周期T内，沿轴方向前进的距离s；

Ⅱ.当入射粒子的初速度大小为υ0时，其y - t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A，并写出y - t的函数表达式。

解析：这是一道带电粒子在电场和磁场中的复杂运动。这里只分析第二问。

第二问I：将在O点时带电粒子的速度v0分解成v1=，方向向右和v2=v0-，方向向右，这样粒子的运动就可以看成一方面以速度v1=向右作匀速直线运动，同时以v2= v0-逆时针方向作匀速圆周运动，半径为R=所以S=v1T=

第二问II：由上面分析可知振幅A==R=

竖直的位移y只与匀速圆周运动竖直位移有关与水平的匀速直线运动无关

所以y=R-Rcos，，T=

即y=（1-cos）

3、磁场与速度垂直，将速度v分解成一定角度的v1和v2，v1和v2的矢量和为v，这样相当于粒子受到两个不同方向的洛伦兹力的作用。

例题2：（2013高考福建理综第22题）如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为

q（q>0）的粒子从坐标原点O沿平行xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A（a，0）点，求v1的大小：

（2）已知一粒子的初速度大小为v（v>v1）.为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角（粒子初速度与y轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值：

（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xoy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。

解析：这里我们仅讨论第三问：一粒子从O点以初速度v0沿x轴正向发射，可以将粒子的速度分解为水平速度v1=和斜向左向上v2= （如图），即把物体的运动等效卡成一方面沿着+x方向以v1=匀速直线运动，同时以速度v2=，逆时针方向作匀速圆周运动，当v1和v2方向相同时合速度最大，所以vm=v1+v2=+

三、总结

粒子运动篇7

一、分析运动, 理清线索

对物体进行受力分析和运动过程分析是解答物理问题的基本环节, 通过对带电粒子在交变磁场中的受力情况和运动过程的分析, 理顺粒子运动的发生和发展的线索, 最大限度地搜索解题信息, 抓住特征, 选择规律, 确立解题方案.

例1 (2008年山东卷) 两块足够大的平行金属极板水平放置, 极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场, 变化规律分别如图1 (a) 、图1 (b) 所示 (规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向) .在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子 (不计重力) .若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知, 且, 两板间距.

(1) 求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值.

(2) 求粒子在极板间做圆周运动的最大半径 (用h表示) .

(3) 若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示, 磁场的变化改为如图1 (c) 所示, 试画出粒子在板间运动的轨迹图 (不必写计算过程) .

解析: (1) 设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为s1,

联立 (1) (2) 式解得:

(2) 粒子在t0～2t0时间内只受洛伦兹力作用, 且速度与磁场方向垂直, 所以粒子做匀速圆周运动.设运动速度大小为v1, 轨道半径为R1, 周期为T, 则:

联立 (4) (5) 式得

即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动.在2t0～3t0时间内, 粒子做初速度为v1的匀加速直线运动, 设位移大小为s2,

由于s1+s2

由于s1+s2+R2

(3) 粒子在板间运动的轨迹如图3所示.

二、审视过程, 突破临界

带电粒子在交变磁场中的运动问题, 由于磁场周期性变化导致粒子的运动较为复杂, 但常有规律性 (如运动的周期性、空间上的重复性等) , 注意分析粒子运动过程中几何特征, 把握与问题相关的边界条件, 准确地建立条件方程, 为迅速解题辅平道路.

例2 (2008广州模拟) 如图4 (甲) 所示, M、N为竖直放置、彼此平行的两块平板, 两板间距离为d, 两板中央各有一个小孔O、O′正对, 在两板间有垂直于纸面方向的磁场, 磁感应强度随时间的变化如图4 (乙) 所示.有一正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场, 已知正离子质量为m、带电荷量为q, 正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0.不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响, 不计正离子所受重力, 求:

(1) 磁感应强度B0的大小.

(2) 若射入磁场时速度, 正离子能否从O′点射出?若不能, 它将打到N板上离O′点多远处?

(3) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场, 正离子射入磁场时速度v0应为多少?

解析: (1) 正离子射入磁场, 洛伦兹力提供向心力

做匀速圆周运动的周期

联立 (1) 、 (2) 两式得磁感应强度

(2) 联立 (1) 、 (3) 并将代入得:

正离子在MN间的运动轨迹如图5所示, 将打到图中的B点, 由图中可知, ∠ΑΒC=30°, 故BO′间的距离为:

(3) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场, v0的方向应如图6所示, 正离子在两板之间可运动n个周期即nT0, 则:d=4nR (n=1, 2, 3, …) (6)

联立 (1) 、 (6) 式得

三、变中求恒, 以静制动

带电粒子在交变磁场中的运动问题, 由于受到洛伦兹力是变力, 让人觉得难以建立此类问题的空间模型, 无法找到问题的突破口, 但对某些实际问题根据题设条件和本质特征, 通过多元思维和空间想象, 会发现变化的物理情景中隐含着近似不变的过程, 只要学会了抓住这些特征问题, 处理就会得心应手.

例3如图7 (a) 所示x≥0的区域有如图7 (b) 所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场磁场方向垂直纸面向外时为正方向现有一质量为m, 带电量为q的正电粒子, 在t=0时刻从坐标原点O以速度v沿着与x轴正方向成75°角射入.粒子运动一段时间到达P点, P点坐标为 (a, a) , 此时粒子速度方向与OP延长线的夹角为30°, 粒子在这过程中只受磁场力作用.

(1) 若B0=B1为已知量, 试求粒子在磁场中运动时轨道半径R及周期T运的表达式.

(2) 说明在OP间运动时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动.

(3) 若B0为未知量, 那么所加磁场的变化周期T、磁感应强度B0的大小各应满足什么样的条件, 才能使粒子完成上述运动? (写出T及B0各应满足的条件表达式)

解析: (1) 由B1qv=Rmv2, 所以R=mvB1q, 又因为T运=v2πR, 所以T运=B1q2πm;

(2) 根据粒子经过O点与P点时的速度方向以及B0的方向可以知道:由O至P的运动过程可能在磁场变化的半个周期完成;

当磁场方向改变时, 粒子绕行方向也变化, 由于磁场方向变化的周期性, 因此粒子绕行方向也具有周期性, 由此可知:由O至P的运动过程也可能在磁场变化半周期的奇数倍时完成.

(3) 若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周, 同时OP间运动时间是磁场变化半周期的奇数倍时可使粒子到达点并且速度满足题设要求.应满足的时间条件:

在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60° (如图8所示) , 所以, 在磁场变化的半个周期内, 粒子在OP方向上的位移也等于R.粒子到达P点而且速度符合要求的空间条件是:

代入T的表达式为:

延伸与拓展:如果题目图示中未标出速度在OP延长线下方, 题干中只要求速度方向与OP延长线夹角为30°, 还存在另外一种多值情况.

粒子运动篇8

在历届高考中粒子在单一磁场中的偏转问题以轨迹考查为主, 如多个半圆或1/4圆的组合.其中粒子在交变磁场中运动并不多见, 如果磁场是变化的, 运动就更为复杂, 一般都存在多值和对称的情况.能很好的考查学生思维的多元性和空间的想象力, 渗透物理世界的对称与和谐.这类问题有可能成为今后高考的热点.下面通过对一组相关精选习题的分析, 探讨此类问题的求解方法, 相信会对考生今年的备考大有裨益.

一、分析运动、理清线索

例1 (2008年山东卷) 两块足够大的平行金属极板水平放置, 极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场, 变化规律分别如图1、图2所示 (规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向) .在 t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子 (不计重力) .若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷 $\frac{q}{m}$ 均已知, 且 $t_{0} = \frac{2 π m}{q B_{0}}$ , 两板间距 $h = \frac{10 π^{2} m E_{0}}{q B_{0}^{2}} .$

(1) 求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距 h 的比值.

(2) 求粒子在极板间做圆周运动的最大半径 (用 h 表示) .

(3) 若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示, 磁场的变化改为如图3所示, 试画出粒子在板间运动的轨迹图 (不必写计算过程) .

解析: (1) 设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为 s1, 则:

$\begin{array}{l} s_{1} = \frac{1}{2} a t_{0}^{2} ① \\ a = \frac{q E_{0}}{m} ② \end{array}$

又已知 $t_{0} = \frac{2 π m}{q B_{0}} ‚ h = \frac{10 π^{2} m E_{0}}{q B_{0}^{2}}$ ,

联立①②式解得: $\frac{s_{1}}{h} = \frac{1}{5} .$

(2) 粒子在 t0～2t0 时间内只受洛伦兹力作用, 且速度与磁场方向垂直, 所以粒子做匀速圆周运动.设运动速度大小为 v1, 轨道半径为R1, 周期为T, 则:

v1=at0 ③

$q v_{1} B_{0} = \frac{m v_{1}^{2}}{R_{1}} ④$

联立③④式得 $R_{1} = \frac{h}{2 π}$ ,

又 $Τ = \frac{2 π m}{q B_{0}}$ ,

即粒子在 t0～2t0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动.在2t0～3t0 时间内, 粒子做初速度为 v1 的匀加速直线运动, 设位移大小为 s2, 则:

$s_{2} = v_{1} t_{0} + \frac{1}{2} a t_{0}^{2}$ ,

解得 $s_{2} = \frac{3}{5} h .$

由于 s1+s2<h, 所以粒子在3t0～4t0时间内继续做匀速圆周运动, 设速度大小为 v2, 半径为R2, 则:

$\begin{array}{l} v_{2} = v_{1} + a t_{0} ‚ \\ q v_{2} B_{0} = \frac{m v_{2}^{2}}{R_{2}} ‚ \end{array}$

解得 $R_{2} = \frac{2 h}{5 π} .$

由于 s1+s2+R2<h, 粒子恰好又完成一个周期的圆周运动.在4t0～5t0时间内, 粒子运动到正极板 (如图4所示) .因此粒子运动的最大半径 $R_{2} = \frac{2 h}{5 π} .$

(3) 粒子在板间运动的轨迹如图5所示.

二、审视过程, 突破临界

带电粒子在交变磁场中的运动问题, 由于磁场周期性变化导致粒子的运动较为复杂, 但常有规律性 (如运动的周期性、空间上的重复性等) , 注意分析粒子运动过程中几何特征, 把握与问题相关的边界条件, 准确地建立条件方程, 为迅速解题铺平道路.

例3 (2008年广州模拟) 如图6 (甲) 所示, M、N为竖直放置、彼此平行的两块平板, 两板间距离为 d, 两板中央各有一个小孔O、O′正对, 在两板间有垂直于纸面方向的磁场, 磁感应强度随时间的变化如图6 (乙) 所示.有一正离子在 t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场, 已知正离子质量为 m、带电荷量为 q, 正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0.不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响, 不计正离子所受重力.求: (1) 磁感应强度B0的大小. (2) 若射入磁场时速度 $v_{0} = \frac{4 π d}{5 Τ_{0}}$ , 正离子能否从O′点射出?若不能, 它将打到N板上离O′点多远处? (3) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场, 正离子射入磁场时速度 v0 应为多少?

解析: (1) 正离子射入磁场, 洛仑兹力提供向心力, 则:

$B_{0} q v_{0} = m \frac{v_{0}^{2}}{R} ①$

做匀速圆周运动的周期 $Τ_{0} = \frac{2 π R}{v_{0}} ②$

联立①、②两式得磁感应强度

$B_{0} = \frac{2 π m}{q Τ_{0}} ③$

(2) 联立①、③并将 $v_{0} = \frac{4 π d}{5 Τ_{0}}$ 代入得:

R=0.4d ④

正离子在MN间的运动轨迹如图7所示, 将打到图中的B点, 由图中可知, ∠ABC=30°, 故B、O′间的距离为:

$\begin{array}{l} L = R + R \cos 30 ° \\ = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) R \\ = \frac{2 (1 + \sqrt{3})}{5} d ⑤ \end{array}$

(3) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场, v0的方向应如图8所示, 正离子在两板之间可运动n个周期即 nT0, 则:

d=4nR (n=1、2、3……) ⑥

联立①、⑥式得

$v_{0} = \frac{B_{0} q R}{m} = \frac{π d}{2 n Τ_{0}} (n = 1$ 、2、3……)

三、变中求恒以静制动

带电粒子在交变磁场中的运动问题, 由于受到的洛仑兹力是变力, 让人觉得难以建立此类问题的空间模型, 无法找到问题的突破口, 但对某些实际问题根据题设条件和本质特征, 通过多元思维和空间想象, 会发现变化的物理情景中隐含着近似不变的过程, 只要学会了抓住这些特征问题的处理就得心应手.

例3 如图9 (a) 所示 x≥0的区域有如图9 (b) 所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场, 磁场方向垂直纸面向外时为正方向, 现有一质量为 m、带电量为 q 的正电粒子, 在 t=0时刻从坐标原点O以速度 v 沿着与 x 轴正方向成75°射入.粒子运动一段时间到达P点, P点坐标为 (a, a) , 此时粒子速度方向与OP延长线的夹角为30°, 粒子在这过程中只受磁场力作用.

(1) 若B0=B1为己知量, 试求粒子在磁场中运动时轨道半径R及周期T运的表达式.

(2) 说明在OP间运动时时间跟所加磁场的变化周期T之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运动.

(3) 若B0为未知量, 那么所加磁场的变化周期T、磁感应强度B0的大小各应满足什么样的条件.才能使粒子完成上述运动? (写出T及B0各应满足的条件表达式)

解析: (1) 由B1qv=mv2/R,

得R=mv/B1q.

又因为T运=2πR/v,

所以T运=2πm/B1q.

(2) 根据粒子经过O点与P点时的速度方向以及B0的方向可以知道:由O至P的运动过程可能在磁场变化的半个周期完成;

(3) 若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过 $\frac{1}{6}$ 圆周, 同时O、P间运动时间是磁场变化半周期的奇数倍时, 可使粒子到达P点并且速度满足题设要求.应满足的时间条件:

$\frac{Τ}{2} = \frac{Τ_{运}}{6} ‚ Τ = \frac{1}{3} Τ$ 运 $= \frac{2 π m}{3 B_{0} q} .$

在磁场变化的半个周内粒子的偏转角为60° (如图10) , 所以在磁场变化的半个周期内, 粒子在OP方向上的位移等于R.粒子到达P点而且速度符合要求的空间条件是:

代入T的表达式得:

$Τ = \frac{2 \sqrt{2} π a}{3 (2 Κ - 1) \cdot v} (Κ = 1 ‚ 2 ‚ 3 \dots \dots)$

延伸与拓展:如果题目图示中未标出速度在OP延长线下方, 题干中只要求速度方向与OP延长线夹角为30°, 还存在另外一种多值情况.

简答如下:此时仍有 $\frac{Τ}{2} = \frac{Τ_{运}}{6} ‚ Τ = \frac{1}{3} Τ$ 运 $= \frac{2 π m}{3 B_{0} q}$ 成立, 由几何关系可得OP是R的整数倍

$\begin{array}{l} \bar{Ο Ρ} = \sqrt{2} a = n R = n \frac{m v}{B_{0} q} (n = 1 ‚ 2 ‚ 3 \dots \dots) \\ B_{0} = n \cdot \frac{\sqrt{2} m v}{2 a q} (n = 1 ‚ 2 ‚ 3 \dots \dots) \end{array}$

代入T表达式可得:

$Τ = \frac{2 \sqrt{2} π a}{3 n \cdot v} (n = 1 ‚ 2 ‚ 3 \dots \dots)$

粒子运动篇9

例1如图1所示,一带电微粒以竖直向上的初速度v0自A点进入场强为E,方向水平向右的匀强电场,微粒受到电场力等于重图1力,当微粒到达B点时,速度大小仍为v0,但方向变为水平,那么A、B之间的电势差等于多少?从A到B所经历的时间为多大?

解析:由图可知,微粒在运动过程中始终受到两个力的作用,一个是竖直向下的重力,另一个是水平向右的电场力,二力相互垂直,所以可以在水平和竖直方向上解决问题设A、B间的电势差为UAB,微粒质量为m,电量为q,从A到B所用时间为t:

①微粒从A点到B点,在水平方向上根据动能定理:

依题意qE=mg (2)

由(1)(2)式解得:

②在竖直方向上只受重力:根据竖直上抛规律可得

例2如图2所示,两块竖直的平行金属板A、B两板相距为d.两板间电压为U,一质量为m的带电微粒从两板间的M点开始以竖直向上的初速度v0运动,当它达到电场中的N点时速度变为水平方向,大小变为2v0,求M、N两点间的电势差和电场力对带电微粒所做的功.(不计带电微粒对金属板上电荷均匀分布的影响).

解析:因为微粒受重力和电场力两个力的作用,且有一定的初速度,初速度方向与两个力的合力方向有一定夹角,所以微粒做曲线运动.其中微粒在竖直方向上只受重力作用,做竖直上抛运动,水平方向上只受电场力作用做匀加速运动,设此过程时间为t:

在水平方向上由动量定理:

在竖直方向上由动量定理:

由(1)(2)解得

粒子运动篇10

本文通过典型的例题分析, 总结相应的解题思路, 指出解题中容易出现的问题.希望对学生学习本专题有所帮助.

一、带电粒子 (体) 在三场并存区域中的运动

【例题1】如图1所示, 在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中, 有水平的足够长固定绝缘杆MN, 小球P套在杆上, 已知小球的质量为m, 电荷量为+q, 电场强度为E, 磁感应强度为B, 球与杆之间紧密接触, 球与杆间的动摩擦因数为μ, 重力加速度为g, 且qE>μmg, 小球由静止开始运动距离为s后速度达到最大, 求在此过程中:

(1) 小球运动的最大加速度am及此时的速度v1;

(2) 小球运动的最大速度vm;

(3) 小球克服摩擦力所做的功W ;

(4) 小球运动的速度为最大速度一半时的加速度a;

(5) 小球运动的加速度为最大加速度一半时的速度v2.

【分析与解】小球运动后水平方向受到向右的电场力F1, 向左的滑动摩擦力Ff, 竖直方向受到竖直向下的重力G, 竖直向上的洛伦兹力f, 以及弹力FN作用.当小球运动速度v<v1, G>f时, 弹力FN方向竖直向上, 受力分析如图2所示, 小球做加速运动;随着速度的增加, 洛伦兹力f逐渐增大, 弹力FN逐渐减小, 当速度为v1时, G=f, 弹力FN以及滑动摩擦力Ff为零, 小球所受合力最大, 加速度最大;当速度v>v1, G<f时, 弹力FN方向竖直向下, 受力分析如图3所示, 随着速度的增加, 洛伦兹力f逐渐增大, 弹力FN逐渐增大, 滑动摩擦力Ff逐渐增大, 当合力为零时, 小球的速度达到最大值vm.

(1) 对小球受力分析如图2所示, 当小球有最大加速度am时, 必有FN=0, Ff=0, 则有

由牛顿第二定律有qE=mam, 得

(2) 对小球受力分析如图3所示, 小球速度最大时, 加速度为零, 有

(3) 小球从释放到速度最大的过程中, 重力和洛伦兹力不做功, 滑动摩擦力先减小后增大, 根据动能定理有

(4) 小球运动的速度为最大速度一半时, 有

小球受到的洛伦兹力大于重力, 弹力方向竖直向下, 则有

(5) 小球运动的加速度为最大加速度一半时, 若此时v<v1, 则有

若qE>2μmg, 则v无意义.

若此时v>v1, 则有

所以, 若μmg<qE≤2μmg, 小球运动的加速度为最大加速度一半时的速度可能为, 也可能为

若qE>2μmg, 小球运动的加速度为最大加速度一半时的速度为

【思路点拨】解决带电粒子 (体) 由于杆、绳子、轨道等约束物约束在三场并存区域运动的问题, 关键是对带电粒子 (体) 全面进行受力分析, 注意洛伦兹力随速度的增大而增大, 抓住加速度为零, 速度最大, 正确使用牛顿第二定律求解.在求克服摩擦力做功的问题时, 抓住洛伦兹力始终不做功, 正确应用动能定理求解.

本题的第 (4) 问, 需要判断出“小球运动的速度为最大速度一半时, 受到的洛伦兹力大于重力, 弹力大小为qvB-mg”, 才能正确求解.这是本题的难点.

第 (5) 问, 要注意分情况讨论, 否则容易形成漏解或错解.

【例题2】如图4所示, 在MN、PQ之间同时存在匀强磁场和匀强电场, 磁场方向垂直纸面向外, 电场方向水平, 方向图中没有标出, 带电小球以初速度v0从a点射入场区, 并在竖直面内沿直线运动到b点, 直线与水平方向夹角为30°, 若重力加速度为g, 则 ( )

A.小球可能带负电

B.电场强度方向一定水平向右

C.电场强度与磁感应强度大小之比

D.仅改变匀强电场的方向, 小球从a到b可能做匀变速直线运动

【分析与解】小球受到的洛伦兹力F=qvB, 方向与速度方向垂直, 为使小球能在场内做直线运动, 必须保证小球的速度不发生变化, 即小球受力平衡, 做匀速直线运动.若小球带负电, 小球受到竖直向下的重力及垂直速度向下的洛伦兹力, 无论电场力水平向左还是向右, 小球所受合力均不可能为零, 所以, 小球必带正电, A项错误;小球受力图如图5所示, 电场强度方向一定水平向右, B项正确;由平衡条件可知, qv0Bsin 30°=qE, , C项正确;假设小球做匀变速直线运动, 速度大小不断变化, 洛伦兹力大小不断变化, 小球所受合力不断变化, 与匀变速直线运动的合力不变矛盾, 假设不成立, D项错误.

【思路点拨】小球在三场并存区域无杆、绳或轨道等约束运动时, 若受到含有洛伦兹力的多力作用做直线运动, 则受到的合力必为零, 根据平衡条件求解;若做圆周运动, 则电场力与重力平衡, 洛伦兹力提供向心力, 根据牛顿第二定律求解;若做一般曲线运动, 合力的大小和方向不断变化, 应用动能定理求解.

二、带电粒子 (体) 在电、磁场并存区域中的运动

【例题3】如图6 所示, 空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场, 磁感应强度大小为B, 同时, 存在沿y轴正方向, 大小为E的匀强电场.让质量为m, 电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点O沿x轴向右运动, 不计粒子的重力.

(1) 若粒子的速度大小为v0时, 粒子恰好沿x轴运动, 求v0的大小;

(2) 若粒子的速度大小为1.5v0时, 粒子在xOy平面做周期性运动, 且最小速度为0.5v0, 证明粒子在最小速度点的曲率半径等于该点到x轴距离的一半;

(3) 在 (2) 的条件下, 写出粒子速度最小值点的横坐标的表达式.

【分析与解】 (1) 粒子恰好沿x轴运动, 电场力与洛伦兹力平衡, 有

(2) 粒子速度为1.5v0时, 向下的洛伦兹力大于向上的电场力, 粒子向下偏转, 离开x轴最远时, 速度最小.设最低点到x轴距离为h, 最低点曲率半径为r, 根据动能定理有

在最低点, 由牛顿第二定律有

所以, 从而得证.

(3) 粒子的速度大小为1.5v0, 可以看出是v0+0.5v0, 其中qv0B=qE, 粒子的运动看成速度大小为的顺时针方向的匀速圆周运动与速度为v0方向向右的匀速直线运动的合成, 最低点的横坐标为

【思路点拨】带电粒子 (体) 在电、磁场并存的区域的运动, 常见的是匀速直线运动以及变加速曲线运动, 对于匀速直线运动, 根据电场力与洛伦兹力平衡求解;对于变加速曲线运动, 常运用动能定理求解;特殊情况下, 可以通过等效速度的方法, 将问题转化为匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动, 根据运动的合成与分解解决问题.

三、带电粒子 (体) 在电、磁场分存区域中的运动

【例题4】如图7所示, O、P、Q三点在同一水平直线上, OP=L, 边长为L的正方形PQMN区域内 (含边界) 有垂直纸面向外的匀强磁场, 左侧有水平向右的匀强电场, 场强大小为E, 质量为m, 电荷量为q的带正电粒子从O点由静止开始释放, 带电粒子恰好从M点离开磁场.不计带电粒子重力, 求:

(1) 磁感应强度大小B;

(2) 粒子从O点运动到M点经历的时间;

(3) 若图中电场方向改为向下, 场强大小未知, 匀强磁场的磁感应强度为原来的4倍, 当粒子从O点以水平初速度vx射入电场, 从PN的中点进入磁场, 从N点射出磁场, 求带电粒子的初速度vx.

【分析与解】 (1) 设粒子运动到PN边时的速度大小为v0.

在电场中, 由动能定理有

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动, 轨迹半径为

r=L

根据洛伦兹力提供向心力, 得

联立解得

(2) 设粒子在匀强电场中运动的时间为t1, 有

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为

运动时间为

所以粒子从O点运动到M点经历的时间为

(3) 根据题意画出粒子的运动轨迹, 如图8所示, 设此时粒子进入磁场的速度为v, 与水平方向的夹角为θ, 在电场中做类平抛运动, 在OP方向上匀速运动, 有

vx=vcosθ

根据平抛运动规律可知, 速度v的反向延长线交于OP的中点, 根据几何关系有

tanθ=1

粒子此时在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为

根据牛顿第二定律有

联立解得

【思路点拨】解决带电粒子 (体) 经过匀强电场加速后进入匀强磁场做匀速圆周运动的问题, 关键是对带电粒子 (体) 的运动分段处理.带电粒子 (体) 在电场中做直线运动时根据动能定理或牛顿第二定律求解;在匀强电场中做类平抛运动时, 按照运动的合成与分解的方法处理;在匀强磁场中做匀速圆周运动, 要结合几何关系求运动半径.注意, 带电粒子 (体) 离开电场的速度的大小和方向是联系其在匀强电场与匀强磁场中运动的桥梁.

【例题5】如图9所示, 两竖直线所夹区域内存在周期性变化的匀强电场与匀强磁场, 变化情况如图10中 (a) (b) 所示, 电场强度方向以y轴负方向为正, 磁感应强度方向以垂直纸面向外为正.t=0时刻, 一质量为m、电量为q的带正电粒子从坐标原点O开始以速度v0沿x轴正方向运动, 粒子重力忽略不计, 图10 (a) (b) 中, B0已知.要使带电粒子在0~4nt0 (n∈N) 时间内一直在场区运动, 求:

(1) 在t0时刻粒子速度方向与x轴的夹角;

(2) 右边界到坐标原点O的最小距离;

(3) 场区的最小宽度.

【分析与解】 (1) 在0~t0时间内, 空间只存在匀强电场, 在该时间段粒子的运动轨迹如图11中的OA段所示.粒子在x轴正方向做匀速运动, 沿y轴负方向做匀加速运动, 加速度为

在y方向的速度为

设t0时刻, 粒子速度方向与x轴夹角为θ, 则有

(2) 在t0~2t0时间内, 粒子仅受洛伦兹力作用, 做匀速圆周运动, 其运动轨迹如图11中的AB段所示, 做匀速圆周运动的周期为

做类平抛运动时, 水平方向的位移为

匀速圆周运动时水平方向前进位移为

根据牛顿第二定律有

求得右边界到O点的最小距离为

(3) 在2t0~3t0时间内, 粒子在匀强电场中运动, 其运动轨迹如图11 中BC段所示, 水平方向匀速运动, 竖直方向做匀减速运动, 根据运动的对称性, 粒子在3t0时刻, 速度为v0, 方向水平向左.

在3t0~4t0时间内, 粒子做匀速圆周运动, 其运动轨迹如图11中CD段所示, 运动半个周期后水平方向位移为0.

因此, 每经过4t0的时间, 粒子向左平移2R1sin 37°.

在4nt0时刻, 粒子与O点在x方向上相距2nR1sin 37°.

设粒子以速度v0做匀速圆周运动时半径为R2, 根据牛顿第二定律有

则左侧场区边界离O点的距离为

所以, 在0~4nt0时间内, 场区的宽度至少为

【思路点拨】带电粒子 (体) 在周期性变化的电场与磁场中运动的问题, 实际上是匀强电场与匀强磁场按照时间分立的, 基本的题型是有电场无磁场, 或者有磁场无电场, 其实还是粒子在单一场中运动问题的组合.解题的关键是分析清楚带电粒子 (体) 在各个时间段在不同场中的受力及运动情况, 抓住各个转折点的运动速度与位置, 画出粒子运动的草图.对于周期性运动的问题, 要注意利用运动的对称性和周期性.

四、配套练习

1.如图12 所示, 在一竖直平面内, y轴左方有一水平向右的匀强电场E1和垂直于纸面向里的匀强磁场B1, y轴右方有一竖直向上的匀强电场E2和另一匀强磁场B2.有一带正电荷量为q、质量为m的微粒, 从x轴上的A点以初速度v与水平方向成θ 角沿直线运动到y轴上的P点, P点到坐标原点O的距离为d, 微粒进入y轴右侧后在竖直面内做匀速圆周运动, 然后以与P点运动速度相反的方向打到半径为r的的绝缘光滑圆管内壁的M点 (假设微粒与M点内壁碰后的瞬间只有竖直向下的速度分量、电荷量不变, 圆管内径的大小可忽略, 电场和磁场不受影响地穿透圆管) , 并沿管内壁下滑至N点.设m、q、v、d已知, θ=37°, sin 37°=0.6, cos 37°=0.8, 求:

(1) E1与E2大小之比;

(2) y轴右侧的磁感应强度B2的大小和方向;

(3) 从M点运动到N点的过程中圆管对微粒的作用力F的大小与方向.

2.如图13 所示, 在xOy平面内, y轴与MN边界之间有沿x轴负方向的匀强电场, y轴左侧和MN边界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场, MN边界与y轴平行且间距保持不变.一质量为m、电荷量为q带负电的粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场, 每次经过磁场的时间均为t0, 粒子重力不计.

(1) 求磁感应强度的大小B;

(2) 粒子回到原点O, 其运动路程最短时, 经过的时间为t=5t0, 求电场区域的宽度d和此时的电场强度E0;

(3) 若带电粒子能够回到原点O, 则电场强度E应满足什么条件?

3.如图14所示, 在的空间有垂直纸面向里的匀强磁场, 磁感应强度B=4×10-3T, 在y≤0空间同时存在沿y轴负方向的匀强电场, 电场强度一个质量m=6.4×10-27kg、带电量q=+3.2×10-19C的带电粒子以初速度v0=2×104m/s从y轴的P点 (纵坐标为) 出发, 沿着y轴负方向进入区域 Ⅰ.粒子重力不计, 粒子在整个运动过程中始终没有穿出电、磁场区域.

(1) 求粒子第一次穿过x轴的横坐标x;

(2) 结合运动的合成与分解的方法, 求出粒子在区域Ⅱ中到达最低点的纵坐标y;

(3) 求粒子从进入区域Ⅰ开始到第二次穿越x轴时经过的时间 (取π=3.14, 结果保留两位有效数字) .

五、配套练习参考答案

1.【答案】 (1) , 方向垂直纸面向外 (3) , 方向背离圆心

解析: (1) 粒子由A到P做匀速直线运动, 受到的合力为零, 有

qE1=mgtanθ

粒子由P到M做匀速圆周运动, 重力与电场力平衡有

(2) 依题意, 微粒由P点运动到M点正好运动半个圆周, 设运动半径为R, 根据几何关系有

2Rcos 37°=d

根据牛顿第二定律有

由左手定则可知, B2的方向垂直纸面向外.

(3) 粒子在M到N运动的过程中, 速度为

轨道半径, 因为, 所以管壁对微粒的作用力F背离圆心O, 根据牛顿第二定律有

解析: (1) 粒子在磁场中做圆周运动的周期为

粒子每次经过磁场的时间为

(2) 粒子t=5t0回到原点, 轨迹示意图如图15所示, 易知r2=2r1.

根据牛顿第二定律有

电场宽度为

又根据匀变速运动规律得

(3) 如图16所示, 由几何关系, 要使粒子经过原点, 则粒子在右侧磁场中的半径r′2满足

再根据动能定理有

联立解得

3.【答案】 (1) x=5×10-2m (2) y=-5×10-2m (3) t=2.1×10-5s

解析: (1) 粒子进入区域Ⅰ中, 做匀速圆周运动, 设圆周运动的半径为r, 根据, 得

粒子第一次穿越x轴的坐标

(2) 粒子进入区域 Ⅱ 时, 速度方向与x轴方向的夹角为θ, , 将速度v0分解为水平和竖直两个分速度vx和vy, 与两个分速度对应的洛伦兹力分别为Fy和Fx, 有

粒子受到的电场力, 可见粒子受到的电场力与洛伦兹力竖直向上的分力Fy平衡.粒子在区域 Ⅱ 中的运动, 可视为沿x轴正向速度为vx的匀速直线运动和以速率vy在洛伦兹力Fx作用下的逆时针方向的匀速圆周运动的合成.

同理可得圆周运动的半径, 粒子做圆周运动四分之一周期后到达最低点, 对应的纵坐标为y = - r2=-5×10-2m.

(3) 粒子做匀速圆周运动的周期为

带电粒子在复合场中的运动篇11

一、带电粒子在复合场中的受力

复合场是指电场、磁场和重力场并存，或者其中某两场并存，或分区域存在的某一空间，粒子在运动过程中可能同时受到重力、电场力和洛仑兹力，抓住三个力的特点是分析复合场问题的关键。

1重力：若为基本粒子（如质子，电子、离子、原子核等）一般不考虑重力；若为带电颗粒（如油滴，液滴、尘埃、小球等）一般都要考虑重力。

2电场力：在匀强电场中，电场力为恒力，其大小为F=qE，电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关，电场力做功一定伴随着电势能的变化。

3洛仑兹力：带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力与运动的速度有关，洛仑兹力的方向既与磁场方向垂直，又与速度方向垂直，洛仑兹力永远不做功，不会改变粒子的动能。

二、带电粒子在复合场中运动问题的处理方法

带电粒子在复合场中的运动问题是力学和电学知识的一次“大综合”，其分析方法和力学综合问题的分析方法基本相同，只是在受力分析时多加了电场力和洛仑兹力，在考虑能量转化时多了电势能。带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三大观点（动力学观点、能量观点、动量观点）来分析外，还要注意电场和磁场对带电粒子的作用特点，如电场力做功与路径无关，洛仑兹力方向始终和速度方向垂直，永不做功等。基本思路如下：

1明确研究对象是什么性质的粒子（即是否考虑重力），弄清带电粒子运动的环境是一个怎样的复合场，是磁场与电场复合，是磁场与重力场的复合，还是磁场、电场、重力场的复合。

2正确的受力分析：除重力、弹力、摩擦力外，还要特别注意电场力和洛仑兹力的分析，搞清场和力的方向的关系。

3正确的运动分析：即根据受力情况进一步明确物体的运动情况，找出物体的速度、位置及变化规律，分析运动过程，如果出现临界状态，要分析临界条件。注意题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等关键词语。

4灵活选用力学规律是解决问题的关键

当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。

当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。

当带电粒子在叠加场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。

如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，还要根据动量守恒定律列出方程，再与其它方程联立求解。

三、带电粒子在复合场中的几种典型运动

带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析。

1直线运动

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。

一个人真正的幸福并不是呆在光明当中，而是从远处凝望光明，朝他而去，就在那拼命忘我的时间里，才有人生真正的充实。

如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。

在没有轨道约束的情况下，自由的带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中做的直线运动有两种情况。

一种情况是带电粒子的运动方向与匀强磁场的方向平行，粒子不受洛仑兹力，如果电场力与重力平衡，则带电粒子做匀速直线运动，如果电场力与重力不平衡，则粒子做匀变速直线运动。

另一种情况是带电粒子的运动方向与磁场重直（带电粒子的运动方向与磁场方向不平行也不垂直的情况，在高中阶段一般不涉及），如果带电粒子做直线运动则一定是匀速直线运动。这是因为电场力与重力都是恒力，当速度变化时，会引起洛仑兹力的变化，合力的大小和方向也会发生相应的变化，粒子的运动方向就要改变，从而做曲线运动。

例1在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系O-xyz（z轴正方向竖直向上），如图所示。已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E；磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B；重力加速度为g。问：一质量为m、带电量为+q的粒子从原点出发的质点能否在坐标轴（x，y，z）上以速度v做匀速运动？若能，m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系？若不能，说明理由。

【答案】

（1）质点沿x轴方向以速度v做匀速运动。满足的关系式：mg=qE+qvB或mg+qvB=qE。

（2）质点沿y轴方向以速度v做匀速运动。满足关系式：mg-qE=0。

（3）质点不可能沿z轴以速度v做匀速运动。

【解析】：已知带电质点受到电场力qE，方向沿z轴正方向；受到重力mg，方向沿z轴负方向。

若质点沿x轴正方向以速度v做匀速运动，所受洛仑兹力qvB沿z轴正方向，满足关系式：mg=qE+qvB；若质点沿x轴负方向以速度v做匀速运动，所受洛仑兹力qvB沿z轴负方向，满足关系式：mg+qvB=qE。

若质点沿y轴方向以速度v做匀速运动，则它所受洛仑兹力为零。满足关系式：mg-qE=0。

假设质点沿z轴以速度v做匀速运动，则它所受洛仑兹力必平行于x轴，而重力和电场力平行于z轴，三者合力不可能为零，所以质点不可能沿x轴以速度v做匀速运动。

2匀速圆周运动

当带电粒子所受的重力与电场力等大反向，粒子的运动方向与磁场方向重直时，洛仑兹力提供向心力，带电粒子在重直于磁场的平面内做匀速圆周运动，这种情况与仅在洛仑兹力作用下的匀速圆周运动等效，要同时用到平衡条件和向心力公式进行分析。

例2（2010安徽理综）如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L1、L2），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图乙所示），电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。t=0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。

（1）求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；

（2）求电场变化的周期T；

（3）改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。

【解答】（1）微粒沿直线运动，mg+qE0=qvB①

微粒做圆周运动：mg=qE0②

联立解得微粒所带电荷量q=mgE0③

磁感应强度B=2E0v④

（2）微粒直线运动，d2=vt1，

解得，t1=d2v⑤

微粒做圆周运动：qvB=m2πt22R⑥

联立②④⑥解得，t2=πvg⑦

电场变化的周期T=t1+t2=d2v+πvg⑧

（3）若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑨

联立③④⑥得：R=v22g⑩

设N1Q段直线运动的最短时间t1min，由⑤⑨⑩得t1min=v2g

因t2不变，周期T的最小值Tmin=t1min+t2=（2π+1）v2g。

3曲线运动

当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹即不是圆弧也不是抛物线。可从能量的角度解决此类问题。

例3如图所示，带电平行板中匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑绝缘轨道上的a点滑下，经过轨道端点P进入板间后恰好沿水平方向做直线运动，现使小球从稍低些的b点开始自由滑下，在经过P点进入板间的运动过程中（）

A动能将会增大

B其电势能将会增大

C洛伦兹力增大

D小球所受的电场力将会增大

粒子运动篇12

一、带电粒子在复合场中的运动情况

1. 当带电粒子所受合力为零时,将做匀速直线运动或处于静止状态.合外力恒定且与初速度同向时做匀变速直线运动.常见情况有:

(1)洛伦兹力为零(即v与B平行),重力与电场力平衡,做匀速直线运动,或重力与电场力的合力恒定做匀变速运动.

(2)洛伦兹力F与速度v垂直,且与重力和电场力的合力(或其中一种力)平衡,做匀速直线运动.

2. 当带电粒子与所受合外力充当向心力,带电粒子做匀速圆周运动.由于通常情况下,重力和电场力为恒力,故不能充当向心力,所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡,洛伦兹力充当向心力.

3. 当带电粒子所受合力的大小、方向均不断变化时,那么带电粒子将做非匀变速的曲线运动.

4. 带电粒子在约束条件下的运动(如在光滑绝缘管中的运动).

二、带电粒子在复合场中运动问题的分析方法和基本思路

1. 带电粒子在复合场中的运动问题是电磁场的综合问题,这类问题的显著特点是粒子的运动情况和轨迹较为复杂、抽象、多变,因而这部分习题最能考查学生分析问题的能力.解决这类问题与解决力学问题方法类似,不同之处是多了电场力和洛伦兹力,因此带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三大观点(动力学观点、能量观点、动量观点)来分析外,还要注意电场和磁场对带电粒子的作用特点,如电场力做功与路径无关,洛伦兹力方向始终和运动速度方向垂直,永不做功等.

2. 带电粒子在复合场中运动的处理方法

(1)正确分析带电粒子动力学特征是解决问题的前提

带电粒子在复合场中做什么运动,取决于带电粒子所受的合外力及其初速度,因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析.

当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,做匀速直线运动(如速度选择器).

当带电粒子所受的重力与电场力等值反向,洛伦兹力提供向心力时,带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.

当带电粒子所受的合外力是变力,且与初速度方向不在一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子的轨迹既不是圆弧,也不是抛物线,由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的场区,因此粒子的运动情况也发生相应的变化,其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成.

(2)灵活选用力学规律是解决问题的关键

当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,应根据平衡条件列方程求解.

当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解.

当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时,应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解.

如果涉及两个带电粒子的碰撞问题,还要根据动量守恒定律列出方程,再与其他方程联立求解.由于带电粒子在复合场中受力情况复杂,运动多变,往往出现临界问题,这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语为突破口,挖掘隐含条件,根据临界条件列出辅助方程,再与其他方程联立求解.

三、带电粒子在复合场中的运动类析

1. 带电粒子在组合场中的运动

组合场指电场与磁场同时存在,但各位于一定的区域内,并不重叠的情况.

(1)带电粒子在磁场组合磁场中的运动

例1 如图1所示,在x<0与x>0的区域中,存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场,磁场方向均垂直于纸面向里,且B1>B2.一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过O点,B1与B2的比值应满足什么条件?

解析:粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v,交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动,轨道都是半个圆周.设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q,圆周运动的半径分别为r1和r2,有

现分析粒子运动的轨迹,如图2所示,在xy平面内,粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至Y轴上离O距离为2r1的A点,接着沿半径为r2的半圆D1运动y轴上的O1点,OO1的距离

此后,粒子每经过一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴),粒子的y坐标就减小d.设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点,若OOn即nd满足

则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点,式中n=1,2,3,…为回旋次数.由③④式解得

联立①②⑤式可得应满足的条件:

点评:本题考查的物理知识比较单一,只有,但是深入考查了学生应用数学处理物理问题、综合分析和解决问题的能力,综合来看试题难度比较大.试题难在几何知识和数学归纳法的应用上,解决这类问题首先要规范正确作出图形,再运用对称性、三角函数或相似三角形等数学方法不完全归纳出与n有关的数学通式.

(2)带电粒子在电场组合磁场中的运动

例2 如图3所示,在y>0的空间中存在匀强电场,场强方向沿y轴负方向;在y<0的空间中存在匀强磁场,磁场方向垂直xy平面(纸面)向外,一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子,经过y轴上y=h处的点P1时速率为v0,方向沿x轴正方向,然后,经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场,并经过y轴上y=-2h处的P3点.不计重力,求:

(1)电场强度的大小;

(2)粒子到达时速度的大小和方向;

(3)磁感应强度的大小.

解析:(1)粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图4所示,设粒子从P1到P2的时间为t,电场强度的大小为E,粒子在电场中的加速度为a,由牛顿第二定律及运动学公式有

由①②③式解得:

(2)粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0,以v1表示速度沿y方向分量的大小,v表示速度的大小,θ表示速度和x轴的夹角,则有:

(3)设磁场的磁感应强度为B,在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动,由牛顿第二定律

r是圆周的半径,此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3.因为OP2=OP3,θ=45°,由几何关系可知,连线P2P3为圆轨道的直径,由此可求得:

由⑨⑪⑫式可得:.

点评:认真分析物理过程,正确作出几何图形,通过仔细耐心观察,寻找交织于圆和三角形中诸如弦长、半径、边长、圆心角、弦切角的关系,运用合适的数学方法列出具体的几何方程,这是难点.

2. 带电粒子在叠加场中的运动

叠加场通常是指电场与磁场在某一区域并存或电场、磁场和重力场并存于某一区域的情况.

(1)带电粒子在叠加场中的直线运动

例3 如图5所示,水平虚线上方有场强为E1的匀强电场,方向竖直向下,虚线下方有场强为E2的匀强电场,方向水平向右;在虚线上、下方均有磁感应强度相同的匀强磁场,方向垂直纸面向外,ab是一长为L的竖直绝缘细杆,位于虚线上方,b端恰在虚线上,将一套在杆上的带电小环从a端由静止开始释放,小环先加速而后匀速到达b端,环与杆之间的动摩擦因数μ=0.3,小环的重力不计,当环脱离杆后在虚线下方沿原方向做匀速直线运动,求:

(1)E1与E2的比值;

(2)若撤去虚线下方的电场,小环进入虚线下方后的运动轨迹为半圆,圆周半径为,环从a到b的过程中克服摩擦力做功Wf与电场力做功WE之比有多大?

解析:(1)小环显然带正电,在虚线上方,环受电场力、磁场力、摩擦力作用,最后做匀速运动,摩擦力与电场力平衡

在虚线下方环仍做匀速运动,此时电场力与磁场力平衡

联立以上两式得

(2)在虚线上方电场力做功

克服摩擦力做功

在虚线下方,撤去电场后小环做匀速圆周运动

点评:带电体在复合场中运动,无论运动情况多么复杂,洛伦兹力是不做功的,只是对带电体的运动轨迹要产生影响,因此,如果要从动力学角度解决问题就需考虑洛伦兹力,但从功、能关系角度研究问题时,洛伦兹力的功就不必考虑了.

(2)带电粒子在叠加场中的圆周运动

例4 如图6所示的空间,存在着正交的匀强电场和匀强磁场,匀强电场的方向竖直向下,场强为E,匀强磁场的方向垂直纸面向外,磁感应强度为B,有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略),运动轨迹如图6,已知两个带电小球A和B的质量关系为mA=3mB,轨道半径为RA=3RB=9cm.

(1)试说明小球A和B带什么电,并求它们所带的电荷量之比;

(2)指出小球A和B的绕行方向,并求它们绕行速率之比;

(3)设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞,且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动,求带电小球A碰撞后做圆周运动的轨道半径.(设碰撞时两个带电小球间电荷量不发生转移)

解析:(1)因两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动,故必有mg=qE,由电场方向可知两小球都带负电荷.由mAg=qAE,mBg=qBE,mA=3mB,得.

(2)由左手定则得两小球绕行方向均为逆时针,由和RA=3RB得.

(3)由于两带电小球在P处相碰,切向动量守恒,由mAvA+mBvB=mAvA'+mBvB',vB'=uA=3vB,得.

点评:带电粒子在复合场中若除洛伦兹力外,其他力的合外力为零,则洛伦兹力提供向心力,粒子做匀速圆周运动,在分析该类问题时要注意.

(1)正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提.

(2)灵活运用力学规律是解决问题的关键,当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件,联立求解.

(3)带电粒子在叠加场中的曲线运动

例5 如图7所示,水平向左的匀强电场E=4 V/m,垂直于纸面向里的匀强磁场B=2 T,质量m=1 g的带正电的小物快A,从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速滑下,滑行0.8m到N点时离开竖直壁做曲线运动,在P点时小物块A瞬时受力平衡,此时速度与水平方向成45°,若P与N的高度差为0.8 m,g取10m/s2,求

(1)A沿壁下滑过程中摩擦力所做的功;

(2)P与N的水平距离.

解析:(1)物体在N点时,墙对其弹力为零,水平方向qE=qvB,所以v=E/B=2 m/s.

由M→N过程中据动能定理得:

(2)设小物块A在P点的速度为v',其受力如图8所示.由图可知:qE=mg,,解得.

设N、P之间水平距离为x,竖直距离为y,物体由N→P的过程中电场力和重力做功,由动能定理得:解得x=0.6 m.

点评:(1)本题将涉及洛伦兹力的动态问题、曲线运动、平衡问题等综合在一起,难度较大,要加强物体的动力学分析,探寻不同阶段及状态的特点.

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