粒子的运动轨迹

粒子的运动轨迹（精选10篇）

粒子的运动轨迹 篇1

Particula r插件是trapcode公司针对After Effe cts软件开发的第三方插件,主要用来实现粒子特效的制作。它支持多种粒子发射模式。自带30种特效预置;提供了多种粒子渲染方式,可以轻松地模拟现实世界中的雨、雪、烟、云、焰火等效果。同时在粒子运动的控制上,它对重力、空气阻力以及粒子间斥力等相关条件的模拟也是相当出色的。在2D空间下,可以轻松制作出多种粒子转场效果。但是,在3D空间下,Emitter发射机以及粒子尾端在空气中的运动轨迹是难以控制和设计的。本文将针对一具体实例,研究3D空间下Particular粒子的运动轨迹。

一、particular滤镜原理简介

particular滤镜特效主要可分为以下几个系统:Emitter发射器系统,它主要负责管理粒子发射器的形状、位置以及发射粒子的密度和方向等;Particle粒子系统,它主要负责管理粒子的外观、形状、颜色、大小、寿命(保持时间)等;粒子运动控制系统,它是一个联合系统,其中包括:physics物理子系统、Aux system拖尾子系统、Visibility可见性子系统、Motion Blur运动模糊子系统。

二、Particular滤镜粒子运动轨迹实例研究

在对particular滤镜特效进行研究中,以其前三个系统的设计效果为主要研究重点,下面将通过3D空间下粒子环绕文字飞舞这一实例效果,对Particular滤镜的粒子运动轨迹设计进行深入研究。

1. 粒子发射端运动轨迹的设计与研究

这一部分主要涉及Emitter系统和light引导层两方面的设计。

(1)Emitter系统

Emitte r主要控制粒子发射器的属性。它的参数设置涉及发射器生成粒子的密度、发射器形状和位置以及发射粒子的初始方向等。本文考虑引入Emitter系统下发射器类型的选项,在此设计Emitte r发射器的类型为lig ht,同时为了使粒子出现的时间不会太短以致看不到粒子的运动轨迹,需要对particle下的life寿命进行调整,具体设置如图1和图2。

(2)light引导层

Lig ht灯光层,是应用于3D图层上的一个特效图层,可以令3D图层产生光照的色泽以及光照后的投影效果。下面针对粒子环绕文字这个例子,进行light层的运动路径设计进行研究。具体参数设置如图3所示。

1)建立一个灯光层命名为Emitter light,该灯光层将作为Emitter的引导层,环境光是对全局进行光线的渲染,不方便设置运动动画。所以这里选择相对比较好控制的平行光。

2)建立了Emitter light层后,调整light的位置,会发现文字光照效果会受到影响,因此将Emitter light层拖到图层底部,设为调整层,调整层只会影响在其下面的图层。为了增加文字的质感,可以再添加一个灯光层,类型是spot光斑,起到烘托主体文字的作用。

3)建立摄像机层,通过快捷键C,将视图位置调整到最佳,对Emitterlight层的position位置参数创建关键帧动画。

4)空格键预览效果继续调整Emitterlight灯光层位置将效果调至满意。

2. 粒子束末端运动轨迹的研究

Particular滤镜的一个特点是能够真实地模拟自然界中的作用力场,粒子束末端会由于受力发生轨迹偏移的情况,因此能够让整个粒子束的运动在掌控之中,是作品趋于完善的又一难题。

(1)physics物理子系统的研究。物理系统里提供了空中和墙壁两种模式。这里选择粒子的运动模式为air(空气),并用指定的light层运动路径限制它在空中的运动轨迹,即选择motionpath为1 HQ,意思为路径1高质量版。

(2)Motion Path层的研究。建立light层,命名为Motion Path1,注意这里的名称及大小写也是特定的,Motion Path 1层在被物理系统中运动轨迹指定后,它的运动路径就可用于引导粒子在空气中运动的轨迹。

(3)表达式的添加。为了使粒子在空气中的运动位置与粒子束首端的运动位置一致,将Emitter light层移动位置与Motion Path1层建立关联。在Motion Pa th 1层建立表达式,具体语句如下:

this Comp.layer("Emitte r lig ht").trans form.position

意为当前Motion Path 1层的position位置等同于当前合成下的Emitter light层的图层变换中的position,从而实现粒子运动轨迹的精确设定,即实现利用灯光层的运动轨迹控制3D空间下粒子的运动轨迹,具体如图4所示。

3. 输出与渲染

利用Particular的姊妹软件star glow可以轻松制作出粒子的多种发光效果,这里对实体层应用starglow滤镜效果,选择warmstar预设模式,效果如图5。

本文通过一个具体例子研究了Particular插件滤镜产生粒子的运动轨迹在3D空间的控制问题。重点设计思路是利用指定名称的灯光层在3D空间下运动动画的设计来控制Emitter产生粒子束的运动轨迹,使粒子在3D环境下运动效果更加逼真。

摘要：在影视特效设计中,运用After Effects软件中Particu-lar插件滤镜可以制作出各种绚丽多彩的粒子效果。但是,在3D空间下,Particular滤镜生成粒子的运动轨迹是难以控制的,本文将从粒子环绕文字飞舞这一例子出发,对Particular插件的粒子运动轨迹进行深入研究。

关键词：After Effects,Particular,运动轨迹

粒子的运动轨迹 篇2

持静止状态或匀速直线运动状态。

例 带电粒子在电场中处于静止状态，该粒子带正电还是负电?

分析 带电粒子处于静止状态，∑F=0，mg=Eq，因为所受重力竖直向下，所以所受电场力必为竖直向上。又因为场强方向竖直向下，所以带电体带负电。

②若∑F≠0且与初速度方向在同一直线上，带电粒子将做加速或减速直线运动。(变速直线运动)

打入正电荷，将做匀加速直线运动。

打入负电荷，将做匀减速直线运动。

③若∑F≠0，且与初速度方向有夹角(不等于0°，180°)，带电粒子将做曲线运动。

mg>Eq，合外力竖直向下v0与∑F夹角不等于0°或180°，带电粒子做匀变速曲线运动。在第三种情况中重点分析类平抛运动。

2.若不计重力，初速度v0⊥E，带电粒子将在电场中做类平抛运动。

复习：物体在只受重力的作用下，被水平抛出，在水平方向上不受力，将做匀速直线运动，在竖直方向上只受重力，做初速度为零的自由落体运动。物体的`实际运动为这两种运动的合运动。

与此相似，不计mg，v0⊥E时，带电粒子在磁场中将做类平抛运动。

板间距为d，板长为l，初速度v0，板间电压为U，带电粒子质量为m，带电量为+q。

①粒子在与电场方向垂直的方向上做匀速直线运动，x=v0t;在沿电

若粒子能穿过电场，而不打在极板上，侧移量为多少呢?

②

③

注：以上结论均适用于带电粒子能从电场中穿出的情况。如果带电粒子没有从电场中穿出，此时v0t不再等于板长l，应根据情况进行分析。

设粒子带正电，以v0进入电压为U1的电场，将做匀加速直线运动，穿过电场时速度增大，动能增大，所以该电场称为加速电场。

进入电压为U2的电场后，粒子将发生偏转，设电场称为偏转电场。

例1质量为m的带电粒子，以初速度v0进入电场后沿直线运动到上极板。

(1)物体做的是什么运动?

(2)电场力做功多少?

(3)带电体的电性?

例2 如图，一平行板电容器板长l=4cm，板间距离为d=3cm，倾斜放置，使板面与水平方向夹角α=37°，若两板间所加电压U=100V，一带电量q=3×10-10C的负电荷以v0=0.5m/s的速度自A板左边缘水平进入电场，在电场中沿水平方向运动，并恰好从B板右边缘水平飞出，则带电粒子从电场中飞出时的速度为多少?带电粒子质量为多少?

例3 一质量为m，带电量为+q的小球从距地面高h处以一定的初速度水平抛出。在距抛出点水平距离为l处，有一根管口比小球直径略大的

管子上方的整个区域里加一个场强方向水平向左的匀强电场。如图：

求：(1)小球的初速度v;

(2)电场强度E的大小;

粒子的运动轨迹 篇3

题目1（2005年全国高考） 如图1，在一水平放置的平板MN的上方有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直纸面向里，许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速率v₀沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。图2中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中r=mv₀/Bq，哪个图是正确的（ ）



析与解 依据题意，所有带电粒子在磁场中做圆周运动的半径相同r=mv₀/Bq。 所以，在纸面内由O点沿不同方向入射的带电粒子作圆周运动的圆心轨迹是以O为圆心，r为半径的圆周（A图中虚线圆示）。又因为带电粒子带正电、进磁场时只分布在以ON和OM为边界的上方空间，而向心力由洛仑兹力提供，它既指向圆心又始终垂直速度，可确定：圆心轨迹只能是A图中虚线圆直径分隔的左半边虚线圆周；再以A图中左半虚线圆上各点为圆心、以r为半径作圆，圆周在磁场中所能达到的区域应为A图阴影区。所以A图正确。

题目2 如图3所示，有许多电子（每个电子的质量为m ，电量为e）在xOy平面内从坐标原点O不断地以相同大小的速度v₀沿不同方向射入第一象限。现加上一个方向向里垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴并向x轴的正方向运动。试求符合该条件的磁场的最小面积。

析与解 因为所有电子都在匀强磁场中作半径为r=mv₀/Be的匀速圆周运动。而沿y轴的正方向射入的边缘电子需转过1/4圆周才能沿x轴的正方向运动，它的轨迹应为所求最小面积磁场区域的上边界——如图中弧线a，其圆心在垂直入射速度的x轴上O₁(r , 0)。

现设沿与x轴成任意角α（0＜α＜90°）射入的电子在动点p离开磁场。 这些从O点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心O′到入射点O的距离又都为半径r。 所以，O′ 形成一个以入射点O（即坐标原点）为圆心、r为半径的1/4圆弧轨迹——如图3中弧线c。 根据题目要求，各电子射出磁场时速度v要为平行x轴的正方向。故由做圆周运动的物体的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知，从不同点p射出的电子的圆心O′ 又必在对应出射点p的正下方， 即曲线c上各点到对应正上方出射点p的距离也都等于r；因此将1/4圆弧轨迹c沿y 轴正向平移距离r后——如图中弧线b，弧线b就是各出射点p的轨迹，它实际是以O₂(0 , r)为圆心，半径为r的1/4圆弧；.既然点p是出射点--即磁场的下边界，故弧线b应为所求最小面积磁场区域的下边界。 所以，所求面积为图中弧线a与b所围阴影面积。

由几何得： 

(栏目编辑陈 洁)

粒子的运动轨迹 篇4

迄今为止,国内外学者对选定目标进行跟踪定位的方法已有较多成果,梁敏为了解决多目标同时跟踪问题,用混合高斯背景建模法判别出前景点,获得前景图,依据推理理论将前景观测值与跟踪目标相关联,再使用自适应混合滤波算法实现对多个目标的有效跟踪;周帆等为了有效解决网络覆盖条件下的目标跟踪问题,提出基于粒子滤波的目标定位算法PFTL,并给出了在此背景下的节点组织策略SAC;董春利提出通过结合粒子滤波和改进的GVF-Snake,得到能量粒子滤波(EPF)的组合目标跟踪算法,并依据所提出的跟踪策略改进组合算法的抗遮挡能力;孟军英为提高粒子滤波目标跟踪算法在应用时的实时性,利用Kalman滤波算法构建出重要性分布,并将新的观测值引入到重要性分布中,使得抽样粒子集更符合系统的真实状态。综上所述,目前的粒子滤波目标跟踪算法主要是对多目标跟踪进行研究,解决粒子滤波目标跟踪算法的应用问题,但较少考虑应用过程中的粒子退化问题。

考虑目前在对目标进行跟踪定位时粒子具有在状态空间波动性大、粒子鲁棒性较差等特点,本文提出基于粒子聚合方法的线性优化重采样粒子滤波算法。利用粒子聚合技术将状态空间中的粒子权值进行加权平均处理,形成聚合粒子,优化粒子在状态空间中的分布。再用线性优化方法重新产生新的粒子,使得粒子在状态空间分布更合理,同时增加了粒子的多样性,提高算法的精确性。

1 粒子滤波

1.1 粒子滤波算法

粒子滤波(Particle Filter)是一种基于蒙特卡罗方法(Monte Carlo methods)和递推贝叶斯估计的统计滤波方法的组合算法,其基本原理为,在大数定律的基础上,使用蒙特卡罗算法对贝叶斯估计中的积分运算进行求解。其核心思想是:在一个给定的状态空间内,通过寻找一组与概率密度函数相类似的随机样本,用样本的均值来代替统计估计中的积分运算,进而得到状态的最小方差估计。该过程的关键是,首先在状态空间中产生一组以经验条件分布的随机样本集合,再依据过程中的量测不断调整粒子的权值,同时对最早产生的经验条件分布进行相应调整,再对系统性的状态和参数进行推算。考虑到粒子滤波算法的函数形式和高斯假设的约束条件均没有特定模式,因此,理论上任何非线性、非高斯状态的估计问题都可用粒子滤波算法进行处理,其函数形式和高斯假设的约束条件都需要根据具体问题和需求进行分析。尽管粒子滤波算法有很多优点,但在应用过程中发现其在量测过程中存在权值退化问题,同时在样本重采样后有样本衰退问题。

粒子滤波的数学描述过程是:在一个稳定动态的时变系统中,若在k-1时刻系统的后验密度函数为P(Xk-1|Zk-1),依据一定的经验条件分布产生n个随机样本点,在k时刻对各个粒子的权重值进行重新计算,保留大权值的粒子,将小权值的粒子进行剔除处理,再经过预测方程对处理后的粒子信息进行修正,通过对状态和时间的更新,n个随机粒子的后验密度函数近似为P(Xk|Zk)。随着粒子数的不断增加,粒子的概率密度函数将与真实状态的概率密度函数逐步逼近,这就是粒子滤波达到最优贝叶斯估计效果的大致过程。

从上面的过程可发现标准粒子滤波存在的问题———粒子退化,抑制粒子退化现象的方法可以通过增加粒子数和重采样来解决。但由于大量增加粒子数,大大增加了系统的运算复杂程度,因此,通常在粒子滤波过程中引入重采样的方法。

1.2 粒子滤波的关键步骤

重采样是粒子滤波过程中最关键的一步,是目标跟踪定位的最终结果,其受重采样策略好坏的直接影响。重采样的目的是将状态空间中的大权值粒子进行筛选保留,小权值的粒子进行剔除处理。其基本的思想是先通过后验概率密度函数:再对粒子进行N次采样,产生一组新的随机样本(Xi*k)Ni=1,使得P(Xi*k=Xik)=ωik。重采样粒子经过统计学验证符合独立同分布,权值可更新为ωk=1/N。在一般采样后,设定有效样本阈值Nth,如果达到重采样条件,进行重采样,整个算法根据具体情况决定是否重采样,具有自适应性,简化了算法的繁杂程度并提高了采样效率。

迭代数次后,可能会出现只有一个粒子的权值不为0,其它粒子的权值都很小(接近0),几乎可以忽略不计的情况,这时对P(Xk|Zk)的估计无效,这种情况下的运算是不起作用的,无法很好地逼近后验概率密度分布。这就使得由经验分布产生的粒子只有权值较大的粒子被复制,其它粒子都被剔除,丧失了粒子的特征性。针对可能出现的粒子退化问题,以保留粒子多样特征性为目的,本文采用了基于粒子聚合方法,对重采样粒子滤波算法进行线性优化。

2 基于粒子聚合方法的线性优化重采样粒子滤波算法

2.1 粒子聚合方法

在对目标位置的定位研究中,通常采用基于离散栅格的粒子聚合方法,先对栅格集进行细致的划分,然后根据划分后的栅格集求取粒子密度,达到粒子稀疏化聚合目的,这种方法能够有效控制粒子规模,同时算法的效率有所提高。但这种方法需要两个条件:第一是所跟踪的目标仅在二维平面,第二是这个平面能够用直角坐标栅格进行划分,划分的尺度则需要根据状态空间的大小来实时调整,否则粒子聚合效果达不到预期。而道路交通目标的轨迹跟踪定位满足以上两个条件,因此,本文借鉴机器人定位方法来划分尺度随时间变化的粒子聚合方法。首先根据文献[7]给出状态空间网格的有关定义:

定义1(网格单元):设S为n维空间,将其第i维分成长度相等的mi个区间,每个区间左开右闭,从而将整个空间S划分为n维不相交的网格单元Gn。

定义2(网格密度):用空间上隶属于网格单元Gi的样本粒子数表示Gi的网格密度。

定义3(网格集):当前网格及其i(本文中i=2)维方向上的相邻网格,组成一个与当前网格对应的3i规模的网格集,对网格集相关变量采用“#”标记,网格Gi对应的i维网格集记为#Gi1。

考虑状态空间中样本的粒子权重不同,对单位空间内的全部粒子权值进行加权平均处理,从而获得聚合粒子。其中单位空间通常称为聚合单元,而用网格集来作聚合单元实现的粒子聚合方法也称为交叉聚合。采样过程中,仅从一个角度采样粒子,会让粒子趋于单一化,丧失多样性,而采用粒子聚合的方法,将状态空间划分成若干子空间,充分考虑粒子的空间分布特性,采样点集中于概率密度函数的较大部分,提高了相关估计的准确性,使得后验概率密度能更好地逼近真实状态空间。其具体实施步骤如下:

Step 1划分网格。将状态空间分成n个非空网格单元,其中含Ni个粒子的网格可以描述为Gn:{(xni,ωni)|i=1,2,…,Nn},其中n=1,2…,n,xni表示粒子的状态,ωni表示粒子的权值。

Step 2交叉聚合。用一个网格集作为最小的聚合单元,将聚合单元内所有粒子的权值进行加权合并处理,这就在空间网格上得到了“聚合粒子”,其聚合方程式为

式中:表示第i个网格对应的聚合粒子。

对状态空间进行栅格划分,形成聚合粒子,与粒子空间范围一样,从而以自适应的方式将聚合粒子集与状态空间相结合,确保粒子在空间分布的合理性,同时权值高的聚合粒子影响更大。因此,可按粒子权重大小来合理分配计算资源,降低算法的时间复杂度。另一方面,在交叉聚合的过程中,每个粒子(不考虑最外围的粒子)都重复平均加权到3i个聚合粒子,在一定程度上,使得粒子分布更均匀,避免了重要采样过程中的粒子退化问题,并且在采样初期,粒子聚合重采样对采样空间的大部分粒子进行采集,有效解决了粒子多样性的衰退问题,增强了粒子空间的鲁棒性,使后验概率密度更稳定、更接近于真实状态。

式(1)将粒子空间中相近的粒子聚合在一起,组成具有区域空间特性的聚合粒子,通过控制聚合粒子集规模来提高粒子更新速率。粒子数的减少会引起粒子多样性的匮乏,导致预测精度下降,为避免这个情况,本文增加对重采样进行线性优化的步骤,采用两次重采样的方法,增加粒子的多样性。

2.2 线性优化重采样

线性优化重采样的基本思想是:对粒子进行重采样,保留大权值粒子,而权值较小的粒子,以线性关系的方式与大权值进行组合,获得一个结合粒子,来替换第一次重采样得到的粒子,从而实现粒子的更新,这种线性组合粒子在分布上更接近真实情况。

其线性组合方式为

式中:xn为新产生的粒子,xa为用来复制的粒子(大权值粒子),xs为被淘汰的粒子(小权值粒子),L为步长。

设采样点个数为N,采样空间为m维,ω为任一采样点领域空间内采样点的分布概率,则被淘汰点与该点之间的步长满足如下关系式:满足权值的粒子视为小权值粒子,反之则视其为大权值粒子。线性优化重采样的具体步骤如下:

1)在k-1时刻对粒子进行重采样,对采样得到的粒子权值进行归一化,产生一个新值,与预设阈值相比较,如果ωki<Z,则将对应的粒子放到抛弃组,同时进行归一化处理。

2)对权值退化的粒子采取重采样,归一化其权值,保留所得值大于阈值Z的粒子。

3)设定步长为L,通过线性组合产生新粒子,并计算其权值。

2.3 双重采样粒子滤波算法流程

本文采用双重采样(两次重采样)策略,第一次聚合重采样将粒子在状态空间上“均化”,使得粒子分布更均匀、合理,减少粒子的衰退。通过线性组合,将小权值和大权值相结合,进行第二次线性优化重采样,产生的粒子具有多样性,增强算法的准确性及鲁棒性。

算法实现步骤如下(见图1):

Step1:对粒子进行初始化。

Step2:重要性密度函数为q(Xk|Xk-1,Zk),从中随机抽取N个样本点{xk(i)}Ni=1进行采样。

Step3:逐点计算对应的P(Xk-1|Zk-1)和P(Zk|Xk)。

Step4:计算对应样本粒子的权值{ωk(i)}Ni=1。

Step5:按照对权值进行归一化处理。

Step6:对粒子进行聚合重采样,得到新的粒子集St={xki,ωki}。

Step7:将step5中产生的St以线性优化重采样的方式再一次重采样,得到粒子集。

Step8:将step6得到的粒子进入下一次迭代,得到粒子{xk(i)}Ni=1。

Step9:估计真实的后验概率密度P(Zk|Z1:k)。

3 仿真实验及结果分析

本文通过两次仿真实验,仿真一是验证双重采样粒子滤波的有效性,仿真二是利用双重采样粒子滤波算法跟踪运动目标轨迹。

3.1 双重采样粒子滤波器

本文采用的是基于粒子聚合方法的线性优化重采样粒子滤波算法,为验证其有效性及其较高精度,进行了粒子滤波器仿真实验对比。仿真平台基于MATLAB 7.1,本文采用经典的非线性模型式(3),用双重采样PF、EKF与UKF进行对比,验证本文算法的有效性。

式中:et,vt为均值为0的噪声信号,且et=N(0,δ12),vt=N(0,δ22)。

为比较算法性能,采样如式(4)所示的位置,均方根误差作为衡量标准

式中:X(实际值)为目标状态向量;为估计值;xi为状态向量的第i个分量;为的第k次仿真的第i个分量,N为仿真次数;的第j次采样值。

经两次实验仿真,对粒子数N=500和N=1 000的两种情况进行对比,并计算各方法的误差值,如表1所示。从图2可以看出,无论粒子数是500还是1 000本文采用的PF滤波算法都只有较小的误差值,能够准确根据t-1时刻前的状态估计出t时刻的目标状态,充分证明本文算法的有效性及可靠性。

由表1可知,N=500时,PF滤波的均方根误差为4.357 1,EKF滤波的均方根误差为20.905 1,UKF的均方根误差为11.628 1,EKF的滤波误差是PF的4.8倍,UKF的误差也是PF的2.67倍;而当粒子数增加到1 000时,PF和EKF的误差都只有较小增加,而UKF出现明显的误差增加。由图3和图4可知,从算法运行时间的角度看,EKF和UKF的运行时间都少于PF,这是因为PF引入了双重采样步骤,增加了额外运算量,综合考虑误差和时间因素,PF只付出了很小的计算代价就获得了估计精度的提高,其综合性能优于另外两种算法。充分证明了双重采样粒子滤波算法的高准性和较好的稳定性。因此,采用双重采样粒子滤波模型来对目标轨迹进行跟踪。

注:以上的PF滤波是基于本文提出的双重采样得到的结果

3.2 机动目标轨迹跟踪模型

本文以协同转弯模型作为机动目标的运动模型,对二维平面内的单机动目标进行跟踪。假定目标初始位置位于(0,0),初始速度为300m/s,加速度为100m/s2,目标在前94s以角加速度α=50°/s的匀加速转弯运动,只是0~47s、48~94s的运动方向相反,在94s以后目标做匀速直线运动。经过10次MonteCarlo仿真,其运动轨迹和误差曲线如图5、图6所示。

4 结束语

本文采用双重采样策略,有效避免了粒子滤波在采样过程中粒子匮乏和粒子多样性的衰退问题。第一次重采样将粒子聚合,使其均匀分布,提高其活力和多样性;第二次重采样,将第一次采样后的大权值和小权值粒子进行线性结合,提高粒子数量,使得目标的轨迹跟踪更接近于真实状态。最后,通过仿真验证本文提出的双重采样粒子滤波算法的可靠,在目标轨迹跟踪的精度上也有较大提高。

参考文献

[1]Xiaoyan Fu,Yingmin Jia.An improvement on resampling algorithm of particle filters.[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(1):5414-5420.

[2]杨小军,潘泉,王睿,等.粒子滤波进展与展望[J].控制理论与应用,2006(2):261-267.

[3]朱志宇.粒子滤波算法及其应用[M].北京:科学出版社,2010.

[4]罗耀.基于改进粒子群算法的车辆路径问题研究[J].交通科技与经济,2016,18(2):13-17.

[5]刘小玲,孙波,薛亮.专业化分工粒子群优化算法在地铁列车运行调整中的应用[J].交通科技与经济,2015,17(3):44-48.

[6]梁敏.基于粒子滤波的多目标跟踪算法研究[D].西安:西安电子科技大学,2010.

[7]周帆,江维,李树全,等.基于粒子滤波的移动物体定位和追踪算法[J].软件学报,2013,24(9):2196-2213.

[8]董春利,董育宁,刘杰,等.基于粒子滤波和GVF-Snake的目标跟踪算法[J].仪器仪表学报,2009,30(4):828-833.

[9]孟军英.基于粒子滤波框架目标跟踪优化算法的研究[D].秦皇岛:燕山大学,2014.

粒子的运动轨迹 篇5

带电粒子的圆周运动的教案示例之三

教学目的：

1．理解带电粒子在磁场中的运动规律，能推导、应用半径公式和周期公式． 2．进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．

重难点：

带电粒子在磁场中运动的轨迹、半径和周期的分析确定．

教具：

洛仑兹力演示仪，洛仑兹力纸板模型．

教学过程：

一、提出问题，引入新课

师：同学们，上节课我们学习讨论了磁场对运动电荷的作用力──洛仑兹力，下面请同学们确定黑板上画的正负电荷所受洛仑兹力的大小和方向（匀强磁场B、正负电荷的q、m、v．课前画在黑板中央）．

一学生上讲台画f方向，写出f大小，另一学生指正，如图1所示．

师：通过作图，我们再一次认识到，洛仑兹力总是与粒子的运动方向垂直．这样一来粒子还能做直线运动吗？

一流专家·一流技术·一流服务 中国精品教育软件──www.100soft.net研制开发 第2页

生：不能．

师：那么粒子做什么运动呢？有怎样的规律？这就是我们上节课没有解决，今天要研究解决的课题．

板书（课题）：带电粒子在磁场中的运动．

师：带电粒子包括电子、质子、α粒子等带正负电荷的粒子，我们这节课的教学目的是研究正、负粒子在磁场中的运动规律． 板书：研究q在B中的运动规律．

二、分析论证，得出结论

师：研究带电粒子在磁场中的运动规律应从哪里着手呢？我们知道，物体的运动规律取决于两个因素：一是物体的受力情况；二是物体具有的速度，因此，力与速度就是我们研究带电粒子在磁场中运动的出发点和基本点．

黑板上画的粒子，其速度及所受洛仑兹力均已知，除洛仑兹力外，还受其它力作用吗？严格说来，粒子在竖直平面内还受重力作用，但通过上节课的计算，我们知道，在通常情况下，粒子受到的重力远远小于洛仑兹力，所以，若在研究的问题中没有特别说明或暗示，粒子的重力是可以忽略不计的，因此，可认为黑板上画的粒子只受洛仑兹力作用．

为了更好地研究问题，我们今天来研究一种最基本、最简单的情况，即粒子垂直射入匀强磁场，且只受洛仑兹力作用的运动规律．

下面，我们从洛仑兹力与速度的关系出发，研究粒子的运动规律，洛仑兹力与速度有什么关系呢？

第一、洛仑兹力和速度都与磁场垂直，洛仑兹力和速度均在垂直于磁场的平面内，没有任何作用使粒子离开这个平面，因此，粒子只能在洛仑兹力与速度组成的平面内运动，即垂直于磁场的平面内运动． 板书：平面（f、v）⊥B 第二、洛仑兹力始终与速度垂直，不可能使粒子做直线运动，那做什么运动？这个问题请同学们回答．

生：匀速圆周运动，因为洛仑兹力始终与速度方向垂直，对粒子不做功，根据动能定理可知，合外力不做功，动能不变，即粒子的速度大小不变，但速度方向改变；反过来，由于粒子速度大小不变，则洛仑兹力的大小也不变，但洛仑兹力的方向要随速度

一流专家·一流技术·一流服务 中国精品教育软件──www.100soft.net研制开发 第3页

方向的改变而改变，因此，带电粒子做匀速圆周运动，所需要的向心力由洛仑兹力提供． 师：说得好，下面请同学们观看纸板模型演示（剪两片硬纸板如图2所示，在表示正、负粒子的圆板中央挖一个可插入粉笔的小孔，把表示负粒子的模型按在黑板的相应位置上，使纸片上画的负粒子与黑板上画的负粒子对准，在小孔里插入粉笔，教师边讲解粒子做匀速圆周运动的原因，边操作纸板绕固定点转动，画出粒子的圆形运动轨迹）．

师：分析推理得出的结果是否正确呢？最好的方法就是用实验来验证．

教师介绍洛仑兹力演示仪的构造、原理，然后操作演示不加磁场和加磁场两种情况下，电子射线的径迹．

师：从演示中，同学们观察到的现象是什么？

生：在不加磁场的情况下，电子射线的径迹是直线；在加垂直于速度的匀强磁场情况下，电子射线的径迹是圆．

师：对，这就证明了上述的分析、推理是正确的，到此，我们就可下结论了：带电粒子垂直射入匀强磁场，在只受洛仑兹力作用的情况下，粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．

板书：结论：匀速圆周运动

师：既然粒子是做匀速圆周运动，那么它的圆心在哪里？半径有多大？周期是多少呢？这就是我们要进一步讨论的问题，从上面纸板模型的演示中，你能看出粒子做匀速圆周运动的圆心在哪儿吗？

生：在纸板的固定点，即洛仑兹力作用线的交点上．

师：对，圆心一定在洛仑兹力作用线的交点上，正因为此，解题时可通过作两洛仑兹力作用线的交点来确定圆心．

板书：圆心：洛仑兹力作用线的交点．

师：半径、周期应怎样确定？根据做匀速圆周运动的基本条件，洛仑兹力可提供所需的向心力，由此可确定半径、周期．

一流专家·一流技术·一流服务 中国精品教育软件──www.100soft.net研制开发 第4页

（教师板书时，故意漏淖2次方让学生纠正）

成正比，与B成反比，这一规律可用实验来验证．

通过改变洛仑兹力演示仪的加速电压和磁场电流，定性验证r与v、B的关系．

重要的规律，遗憾的是我们无法用实验验证它，但对这个规律必须有一个正确的理解． 凭经验我们知道，跑步比赛时，跑得越快经历的时间就越短．为什么带电粒子在磁场中运动的时间与v、r无关呢？它与跑步比赛有何不同呢？

生：跑步比赛时，跑的是大小相等的圈，速率越大，时间就越短．而粒子在磁场中运动的圆大小是随速率的增大而增大的．从半径公式可知：速率增大一倍，半径也增大一倍，圆周长也增大一倍，所以周期不变，因此带电粒子在磁场中的运动周期与v、r无关．

板书：T与v，r无关．

三、巩固练习，反馈矫正

师：当然，静止的粒子不受洛仑兹力作用，不会运动起来，则无周期可言，周期是对运动的粒子而言的，那么粒子的运动速度又是怎样获得的呢？

一般粒子的速度是通过电压加速获得的，下面我们在黑板图上加一个加速电压． 板书：画图3．

一流专家·一流技术·一流服务 中国精品教育软件──www.100soft.net研制开发 第5页

师：使带正电的粒子加速，则哪板接正极，哪板接负极？ 生：左板接正，右板接负．

师：若加速电压为U，粒子带电量为q，质量为m，匀强磁场磁感强度为B．大致画出正粒子在磁场中的运动轨迹、圆心位置，求出半径大小．

（学生练习，教师巡视，学生回答，然后，教师操作把表示正粒子的纸板模型按在黑板的相应位置上，画出正粒子的运动轨迹）

师：圆心一定在f线上，若以粒子刚进入磁场点为坐标原点，以v方向为坐标x轴，向上为y轴，则圆心坐标为（0、r），那么半径有多大？

师：若把上式变形可得：

师：同学们对这个式子有什么发现吗？

生：有的，只要测出加速电压、磁感强度及偏转半径，就可测定粒子的电量和质量比． 师：对，我们把粒子的电量和质量比叫做粒子的荷质比，质谱仪就是利用这个原理来测定粒子的荷质比的，很多同位素就是在质谱仪中首先被发现的．

四、课堂小结

师：今天的课到此结束，下面进行课堂小结，第一，这节课主要解决的问题是什么？ 生：解决了带电粒子垂直射入匀强磁场、且只受洛仑兹力作用的运动规律，其规律是粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，其半径

师：第二，这节课运用了哪些方法？

一流专家·一流技术·一流服务 中国精品教育软件──www.100soft.net研制开发 第6页

生：1．研究物体的运动规律，必须从力与速度的关系出发分析、研究． 2．研究匀速圆周运动的、出发点是：提供的力等于所需要的向心力． 师：第三，还有哪些问题有待解决？ 1．粒子不是垂直射入磁场的问题．

2．粒子除受洛仑兹力外，还受其它力作用的问题． 3．射入非匀强磁场的问题． 师：第四，说明三点：

1．带电粒子在磁场中的运动与其它运动一样，都是有规律的，规律是客观的，又是可以认识利用的，这就是我们要树立的辩证唯物主义观点．

2．分析推理得出的结果是否正确，必须用实验加以验证，因为实践才是检验真理的唯一标准，这就是我们应该追求、坚持的态度． 3．粒子的运动具有对称性、简洁性．

粒子的运动轨迹 篇6

1. 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的基本要素

1.1确定圆心

带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力, 将做匀速圆周运动, 洛伦兹力始终指向圆心, 因此, 作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力, 沿其方向延长线的交点确定圆心, 从而确定其运动轨迹。

例1:如图1所示, 一束电子 (电量为e) 以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中, 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角θ是30°, 则电子的质量是多少?穿过磁场的时间又是多少?

解析:电子在磁场中运动时, 只受洛伦兹力作用, 故其轨迹是圆弧的一部分, 根据A、B两个位置的速度方向, 可以找到圆心O。

1.2确定半径

带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力, 运动轨迹一定是圆, 涉及绝大多数的几何方法都与圆的知识有关, 常见的方法: (1) 圆周上任意两点连线的中垂线过圆心; (2) 圆周上两条切线夹角的平分线过圆心; (3) 过切点作切线的垂线过圆心。我们可通过几何关系计算出半径。例如:在例题1中, 由几何关系可知d=Rsin30°=R/2, 从而求出半径, 然后由半径公式求解相关物理量。

例2 (1994全国卷) :一个带电质点, 质量为m、电量为q, 以平行于x轴的速度v从y轴上的A点射入图中第一象限所示的区域, 为了使该质点能从x轴上的B点以垂直于x轴的速度v射出, 可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场, 若此磁场仅分布在一个圆形区域内, 试求这个圆形磁场区域的最小半径 (重力忽略不计) 。

解析:过A、B两点分别作平行x轴和y轴的平行线且交于P点;过P点作角∠APB的角平分线, 然后在角∠APB的平分线上取一点O′, 以O′为圆心, 以R为半径作圆与AP和BP分别相切于M点和N点, 粒子的运动迹为MN的一段圆弧。质点在磁场中作圆周运动, 半径为, 连接MN, 所求的最小磁场区域应以MN为直径的圆形区域。故所求磁场区域的最小半径为:

例3:如图3所示, 半径R=10cm的圆形区域内有匀强磁场, 其边界跟y在坐标原点O处相切, 磁感应强度B=0.33T, 方向垂直纸面向里。在O点有一放射源S, 可沿纸面向各方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子, 已知α粒子的质量m=6.6×10-27kg, 电量q=3.2×10-19C, 求a粒子通过磁场空间的最大偏转角。

分析:α粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动其运动半径R, 由牛顿第二定律得:

虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定, 但粒子的进场点是确定的, 因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心, 半径R=20cm的圆周上, 如图3中虚线。由几何关系可知, 速度偏转角等于其轨道圆心角。在半径R一定的条件下, 为使α粒子速度偏转角最大, 即轨道圆心角最大, 应使其所对弦最长。该弦是偏转轨道圆的弦, 同时也是圆形磁场的弦。显然最长弦应是匀强磁场区域圆的直径, 即α粒子应从磁场圆直径的A端射出。

如图3所示, 作出磁偏转角φ及对应轨道圆心O′, 据几何关系得:, 即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60°。

从近几年高考试题来看, 绝大多数带电粒子不是在无穷大的匀强磁场中做完整的圆周运动, 往往用到以下的方法: (1) 从同一边界射入的粒子, 从同一边界射出时, 速度与边界的夹角相等; (2) 在圆形磁场区域内, 沿径向射入的粒子, 必沿径向射出; (3) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切; (4) 当速度一定时, 弧长 (或弦长) 越长, 圆周角越大。

例4 (2001江苏卷) :如图4所示, 在y<0的区域内存在匀强磁场, 磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外, 磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场, 入射方向在xOy平面内, 与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L, 求该粒子的电量和质量之比q/m。

解析:根据物理方法作出粒子运动轨迹如图4所示, 设P点为出射点, 根据几何方法可以得到, 出射方向与x轴夹角的大小仍为θ。粒子的运动半径, 圆轨道的圆心位于OP的中垂线上, 由几何关系可得粒子的运动半径:。由上两式可得粒子的荷质比

2. 常见带电粒子在有界磁场中运动运动类型及其解题方法

(1) 已知入射速度的大小和方向, 求解带电粒子出射点或其它 (见例题4) 。

(2) 已知入射速度的方向, 而大小变化, 求解粒子的出射范围。

(3) 确定入射速度的大小, 而方向变化, 判定粒子的出射范围 (见例题5) 。

在处理前面三种类型的问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图 (对应的临界状态的速度的方向) , 再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。

例5 (2004广东卷) :如图5所示, 真空室内存在匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里, 磁感应强度的大小B=0.60T, 磁场内有一块平面感光板ab, 板面与磁场方向平行, 在距ab的距离l=16cm处, 有一个点状的α放射源S, 它向各个方向发射α粒子, α粒子的速度都是v=3.0×106m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×107C/kg, 现只考虑在图纸平面中运动的α粒子, 求ab上被α粒子打中的区域的长度。

解析:α粒子带正电, 故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动, 用R表示轨道半径, 有qvB=mv2/R, 由此得R=mv/qB, 代入数值得R=10cm。可见, 2R>1>R, 如图5-1所示, 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S, 由此可知, 某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切, 则此切点P1就是α粒子能打中的左侧。最远点为定出P1点的位置, 可作平行于ab的直线cd, cd到ab的距离为R, 以S为圆心, R为半径, 作弧交cd于Q点, 过Q作ab的垂线, 它与ab的交点即为P1。

再考虑N的右侧:任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R, 以2R为半径、S为圆心作圆, 交ab于N右侧的P2点, 此即右侧能打到的最远点。

所求长度为P1P2=NP1+NP2, 代入数值得:P1P2=20cm。

3. 实战演练

例6 (2005广东卷) :如图6所示, 在一个圆形区域内, 两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ和Ⅱ中, A2A4与A1A3的夹角为60°。一个质量为m, 带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场, 随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区, 最后从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t, 求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小 (忽略粒子重力) 。

解析:用B1, B2、R1, R2和T1, T2分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ区磁感应强度、轨道半径和周期。带电粒子经过I区磁场, 过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场, 根据物理方法, 如图6-1所示, 连接A1A2, △A1OA2为等边三角形, A2为带电粒子在I区磁场中运动轨迹的圆心, 其半径为:, R1=A1A2=OA2=r, 圆心角∠A1A2O=60°, 带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间

根据数学几何关系, 带电粒子垂直A2A4进入II区, 必定垂直A2A4出来, 因此, 带电粒子在II区运动轨迹的圆心在OA4的中点, 其半径为:

又因为t=t1+t2,

粒子的运动轨迹 篇7

1 运动轨迹及其参数

1.1 建立模型

篮球框高度距离地面3.05米,假设篮球的出手位置,距离地面的高度为1.70米左右,那么距离篮框的垂直高度约为1.35米。图1中曲线表示,篮球出手后以一定的速度和角度在空中飞行的过程,即篮球空间运动轨迹。

式中:——篮球出手速度;

Vx——篮球水平运动速度;

Vy——篮球垂直运动速度;

α——篮球出手方向与水平之间的夹角,也称为出手角度:

X一一篮球出手位置到篮框的水平距离;

Y—篮球出手位置到篮框的垂直距离;

1.2 影响运动轨迹的主要参数

投篮过程中,影响投篮效果的因素很多。在不考虑空气阻力及篮球自转后在表面形成气流的影响,影响投球命中率的主要因素有篮球出手速度V、篮球出手角度α和篮球出手时的位置,包括出手点到篮框的水平距离和垂直高度。

2 参数分析

2.1 篮球出手速度V的变化对轨迹的影响

由表1所示,出手角度α为定量,取α=450,出手速度V为变量,分别取V=6m/s,V=8m/s,V=10m/s,V=12m/s,V=14m/s等5种情况。如图2所示,曲线1至曲线5分别与出手速度V值相对应,运动轨迹形成5条光滑曲线,可见在出手角度α不变的情况下,出手速度V越大,X方向上运行的距离就越高。图2中粗横线的位置,是篮框的高度位置,假设出手位置高度在1.70米,那么篮框距离出手的高度是1.35米。从表1可以看出,曲线1的最大高度小于1.35米,不够篮框的垂直高度,所以不会进球。运动员可以通过起跳,抬高篮球的出手位置,来弥补垂直方向上的高度差,才有机会进球。曲线2至曲线5,最大高度大于篮框的垂直高度。因此,只要把握好X方向的距离,则能够满足基本进球条件。

注:以篮球出手的位置为中心,建立直角坐标系。

注:以篮球出手的位置为中心,建立直角坐标系。

由表2和图3可以看出,出手角度α为定量,取α=500,出手速度V为变量,分别取V=6m/s,V=8m/s,V=10m/s,V=12m/s,V=14m/s等5种情况,分别形成光滑曲线1'、2'、3'、4'、5'。

如图4所示,将图2与图3中的运动轨迹合并在一起,进行对比,可以更加直观地进行数据分析。再通过表2与表1比较,可以分析出角度越大,轨迹最高点越高,当速度大于10m/s后,进球水平距离差距X值并不明显,因此角度在450<α<500范围变化,对进球影响并不大。

2.2 篮球出手角度α的变化对轨迹的影响

出手速度V为定量,取v=8m/s,出手角度α为变量,分别取α=350,α=400,α=450,α=500,α=550,α=600等6种情况。图5结果显示,曲线1至曲线6分别与出手角度α按从小到大的顺序相对应。横线7表示篮框的高度。曲线2的最高点与篮框高度接近,因此,在V=8m/s,α<400的条件下,不具备进球的基本条件,可以通过起跳等手段,弥补垂直高度不足的缺陷。曲线3的落点较近。曲线4和曲线5在篮框高度上的落点几乎相同,说明500<α<550时,对进球影响并不大。曲线6,篮球轨迹的高点最高,但在篮框高度的落点,比曲线4和曲线5更靠前,即X表示的水平距离更近,说明当α>600时,落点位置变化较大,角度越大,水平距离X越小。

当V=10m/s,α分别取α=350,α=400,α=450,α=500,α=550,α=600等6种情况。如图6所示,曲线1'至曲线2'分别与出手角度α按从小到大的顺序相对应。与图5相比较,当350<α<400时,最高点也高于篮框的高度,具备了基本进球条件。每条运行轨迹的最高点都比V=8m/s时要高,结论与分析图5类似。

如图7所示,将图5的曲线1-6和图6的曲线1'—6'放到一个坐标系中进行比较,可以看出速度越大,轨迹垂直高度越高,水平距离越远。

3 结论

对篮球运动轨迹进行仿真研究,确定了主要影响因素包括出手速度、出手角度、水平距离和垂直高度等四个方面。通过单因素轮换实验方法,确定了每种因素对运动轨迹的最终影响效果,并进行了数据分析,参数优化等过程。使用计算机软件对体育运动轨迹进行仿真性分析,能够让运动员更直观地了解体育运动的状态,并对数据进行合理性优化,可以有效地强化运动员的训练目标,取得更好的成绩。

参考文献

[1]韩计香.篮球防守训练及其在比赛中的运用[J].体育学刊,1991,04.

[2]段然.篮球投篮运动轨迹与命中率的物理模型[J].科技创新导报,2009,20:242-243.

[3]陈斌.篮球单手投篮技术动作的计算机仿真[J].武汉体育学院学报,2002(36):189.

[4]孙凯峰.篮球运动员的投篮训练研究[J].连云港职业技术学院,2002,15(4).

[5]陈斌,任晋军.投蓝瞄准点的力学分析[J].太原理工大学学报,2006,37(1).

[6]张新青.球的后旋与投篮命中率(摘登)[J].山东体育学院学报,2003,19(2).

[7]张锁宁.提高篮球投空心球命中率的探索[J].榆林学院学报,2003,13(3)..

粒子的运动轨迹 篇8

目前,上肢康复机器人[1]以其长期、稳定重复训练,精确、客观测定训练与运动参数以及可提供实时反馈、远程训练等功能,在康复领域得到了患者和医护人员的认可。当前已有MIT-MANUS[2]、AMRin[3]、 MIME[4]等多种康复训练机器人,可代替理疗师来驱动病患上肢进行康复运动。在此基础上,通过将患者上肢按照正常运动轨迹进行重复驱动,即能达到“运动再学习”的效果。研究者以点到点(point to point)运动为研究对象,根据驱动手臂运动的肌肉力的变化,提出一组优化原则,用于理论上预测上肢运动的优化轨迹[5]。Nelson[6]提出了使用目标函数来预测单关节上肢的复合运动及多关节上肢平面运动的优化轨迹,大都取得了与实验相吻合的仿真结果。Uno等[7]提出最小肌肉张力变化模型,以“能量消耗最少”为原则,来预测人体上肢平面运动的轨迹,并通过仿真得到,手端的运动特征与优化的特征相符的结论。在国内,杨义勇等人[8]建立了神经兴奋-肘关节肌肉收缩的动力学模型,利用最优控制方法计算肘关节快速屈伸和旋前、旋后的符合运动,计算结果与实验结果在肌肉力矩、肌电信号等方面的参数相吻合。此外,清华大学的UECM机器人也实现了轨迹定量试验,通过患肢末端的运动轨迹与给定轨迹相比较,与Fugl- Meyer[9]评价标准相结合,得到患者上肢恢复情况的量化值[10]。

以上研究得到的运动轨迹中,有些仅仅针对于单关节运动,有些是多关节单一平面运动,与上肢的正常运动大范围与灵活程度相比,局限较大,且数学模型复杂,计算量大。而诸如MIT-MANUS、UECM类型的末端驱动机器人在进行康复运动时,只能规划其末端的运动轨迹,无法对患肢的每个关节进行单独有效的驱动,对于康复初期病患上肢的联合反应不能进行有效的约束和矫正。

本研究介绍一种基于主动发光标志点三维运动捕捉仪的上肢运动轨迹测量方法。该方法根据上肢功能正常实验者的运动数据来计算有效的上肢基本运动轨迹。同时设定不同的任务场景,将每个关节的运动数据加以复合后,经过基本的数据处理,得到与日常活动中相仿的上肢运动轨迹,以作为上肢康复机器人进行上肢被动训练的驱动研究参考。

1 实验模型结构

正常人体上肢运动共有7个自由度:肩关节屈伸、肘关节屈伸、腕关节屈伸、肩关节旋前旋后、腕关节旋前旋后、肩关节外展内收、腕关节掌屈掌伸。康复训练针对上肢运动的主要运动自由度,对于本身运动幅度较小、对上肢整体运动影响不大的自由度可予以忽略,且自由度的增加也会加大康复机器人的制作成本及复杂程度。该实验将上肢运动简化成4个运动自由度的组合(上肢运动学模型如图1所示),分别为:肩关节的屈伸、肩关节的外展与内收,肘关节的屈伸、腕关节的旋前与旋后[11]。根据D-H法则[12],本研究规定各关节的旋转轴线为坐标系的Z轴,两坐标原点之间的连杆方向为X轴,并分别建立了4个旋转关节的坐标系。

2 实验对象、设备与原理

2.1 实验对象

实验对象为5人,平均年龄(25±2)岁,其中女性2人,男性3人,上肢均无运动功能障碍。

2.2 实验设备

该实验采用的主要设备为NDI运动捕捉仪,采用Optotrak三维运动测量系统[13]。该仪器捕捉各个发光Marker点的空间位置变化来测量各运动数据。此外,还需使用PC及其他实验辅助道具。

2.3 实验原理

运动模型中共有3个主要运动关节,其中肘关节与腕关节为单自由度。而对于类球铰的肩关节,本研究在分析运动时,将空间运动分解到各平面上分别进行解析。以人体正前方为Z轴正方向,竖直向下为Y轴正方向建立参考坐标系,坐标零点及三轴方向与NDI运动捕捉仪的零点和三轴方向重合。

Optotrak三维运动测量系统主要由传感器,SCU控制单元、Marker点、PC及连线组成。实验系统构成如图2所示,试验者在手臂上绑定主要的测量Marker点,加上若干用于辅助定位的Marker点。传感器安放在实验者对侧,以实时记录实验中各Marker点位置的变化,Marker1～Marker9的序号如图3所示。数据结果为Marker点的三轴坐标Mi_x,Mi_y,Mi_z(i=1～9)。

2.3.1 肩部屈伸、外展内收关节角度测量

本研究在人体上臂上固定2个Marker点,使Marker7和Marker9成为一个空间运动矢量:

undefined

在基准处固定Marker10和Marker11,构成基准向量:

undefined

本研究将在空间运动的矢量投影在矢状面上(如图3所示),对应肩关节的外展内收运动;投影在和水平面上,对应肩关节的屈伸运动,即分解为Vecyz和Vecxz。相应地,将Vecstd分解为Vecstd_yz和Vecstd_xz。其中:

undefined

undefined

于是,肩关节屈伸角度和肩关节外展内收角度为:

undefined

undefined

2.3.2 肘关节角度测量

测量肘关节旋转角度的Marker点布置如图4(a)所示,共6个Marker点,分别在两个体节处形成平面。其中Marker7,Marker8,Marker9构成平面Pupper,其法向量为Nupper;Marker4,Marker5,Marker6构成平面Pfore,其法向量为Nfore。两个法向量之间的夹角即肘关节屈伸的旋转角度:

undefined

2.3.3 腕关节角度测量

测量腕关节旋转角度的Marker点布置如图4(b)所示,共6个Marker点。其中Marker1,Marker2,Marker3构成平面Pwrist,其法向量为Nwrist。腕关节旋内旋外的旋转角度即为:

undefined

2.4 实验设计

人体日常生活运动(Activities of Daily Living, ADL)指多数人为了独立完成日常生活活动,每天必须反复进行的、最基本的活动,包括穿衣、进食、个人卫生等基本动作和技巧。该思想方法被广泛应用于运动障碍评估、损伤评价、康复评价及关节灵活度等方面的评价[14]。人体上肢运动具有随意性和多变性,且不像步态行走一样具有标准和规律,故需对人体上肢的日常活动进行合理的简化和归纳,来设计若干实验阶段。本研究将实验分为以下几个阶段:

第1阶段:单关节运动。包括腕关节旋内旋外、肘关节屈伸、肩关节屈伸、肩关节外展内收。这4个动作是该上肢模型的基本动作,也是所有上肢运动的构成元素。实验数据作为单关节连续被动运动的参考之用。

第2阶段:上肢范围运动。一些日常生活中所涉及到的动作,如吃饭、刷牙、移动物体等都需要上肢对某一目标在一定范围内进行触摸、握持等动作,故使上肢在其运动范围内进行正常运动是康复训练的重要目标。该次实验将人体本身作为参考,选定了上肢(右臂)康复运动的范围:上—右手触摸额前;左—右手触摸左侧肩部;右—右手触摸右侧肩部;左下—右手触摸左侧腰部;右下—右手触摸右侧腰部。本研究以这5点作为范围的运动目标来测量上肢的运动参数。

第3阶段:任务实验。康复后期,患者已经能够完成各大运动关节的基本运动。此时需要进行较精细的多关节协作任务实验,来帮助患者进一步进行康复。该实验设计两款轨迹跟踪任务,患者按照实验桌上简单的几何图形(三角形和四边形)来绘制轨迹。实验中保持实验者上身竖直,座椅与桌子间距离固定。

3 实验结果与分析

实验数据为多人多组结果,本研究取其中一段周期和若干特征点,利用插值、拟合等方法得到各关节的角度变化轨迹。

3.1 单关节试验

在第1阶段单关节运动试验中,关节角度变化呈现明显的周期性,且其轨迹接近于正弦函数。肘关节屈伸角度变换曲线的拟合过程如图5所示,本研究取2 s为一个运动周期,采集各波峰、波谷的数值后得到一个以正弦函数为基准的拟合曲线来作为该组运动的标准运动轨迹曲线。原曲线波谷处产生的毛刺是由于运动到极限位置时,肢体因制动产生的振动所致,本研究将其视作圆滑轨迹处理。最终得到的轨迹方程为:

undefined

式中:t—时间,单位1.0×10-2 s。

其他各单关节角度轨迹曲线以此类推。

3.2 多关节试验

第2、3阶段为多关节协同运动。本研究将各关节的运动数据在同一图表中标出。其中,第2阶段上肢基本分解运动的结果曲线也为类正弦曲线,处理方式与第1阶段相同。第2阶段任务实验阶段中各关节运动轨迹曲线较复杂,如图6(a)所示。首先,本研究以肩关节屈伸为例,根据图形特征采集若干特征点的坐标(ti,θi)(i为特征点数量),再用10次多项式将曲线重新拟合,得到方程:

本研究将其用傅里叶多项式在全领域展开后,得到如图6(b)所示的完整的轨迹曲线及其方程。其他关节依此类推。

3.3 仿真验证

利用ADAMS建立的3杆简易上肢模型如图7所示。本研究将上述得到的各拟合轨迹方程加载至各关节的驱动中加以验证。

三角形轨迹任务实验仿真如图8所示。仿真结果表明,各个方程均符合上肢的运动规律,运动频率适当,峰值过渡平缓,可以作为上肢关节驱动的参考。图8中的离散点为任务实验的末端轨迹,实线为理想轨迹,两种轨迹基本吻合,证明拟合关节角度符合实际的运动情况。

4 结束语

上肢关节运动参数是上肢康复运动的一个重要依据,但相比于下肢运动,上肢运动的相对范围更大,运动自由度多,所需完成的任务更为复杂多样,同一个人完成同一个动作时,关节的运动参数也不可能完全相同,不利于标准运动轨迹的设计与规划的因素较多。

本研究利用NDI运动捕捉设备产生的上肢运动数据来制定运动轨迹,相较于使用数学、力学的推导方法更为直观有效。实验结果经过特征点拟合、多项式拟合、傅里叶展开后,可得到一组具有明显周期性的上肢关节角度拟合变化曲线,其中包含4组单关节运动,5组范围运动以及2组任务实验。经过软件仿真后,证明所拟合的曲线与实际运动轨迹基本吻合,仿真轨迹与理想轨迹最大误差为6.84%,根据康复科医师意见,可将其作为上肢康复机器人的运动参考轨迹。

粒子的运动轨迹 篇9

1 初始背景建模

目前主要的建模方法有码本法、高斯法、中值法和均值法等。码本法[7]采用量化的方法针对每一帧图像构建一个码本模型，能够建立可靠的背景模型，但其时间复杂度高，无法满足实时处理的要求。核密度估计无参背景建模方法[8]在样本充分时能够很好地适应场景变化，可处理多模态情况，但计算比较复杂，占用内存多;混合高斯模型方法[9]通过为图像中的每个像素点建立多个高斯模型来建立背景图像，该方法对环境的自适应能力较强，但算法时间复杂度高，模型参数的选取对其检测效果影响较大，提取的背影会有“鬼影”或“拖影”现象，导致检测目标不准确。本文针对以上方法的不足采用一种基于帧差法的二值化背景模板建模算法，通过对场景图像序列进行训练来提取背景特征，并利用背景特征建立模型表示初始背景。其具体步骤如下:

1)初始化二值化背景模版M、计数器T和背景图像S的灰度值;

2)读入视频序列前N帧图像In(n=1,2，…，N)，采用帧差法将当前帧图像In和第k帧图像Ik(1≤k≤n)做差分处理，即Dn-k(x,y)=In(x,y)-Ik(x,y)，得到差分图像Dn-k(x,y);

3)若Dn-k(x,y)中相应像素点的灰度值H(x,y)<th0(th0为设定的灰度阈值)，则将M中的对应点置1，如果此时该点在S中对应的像素点灰度值为0，则将其设为In(x,y);

4)对二值化背景模版M进行遍历，用计数器T来记录背景模版M中状态为0的像素点的数量;

5)当计数器T<th1(th1=7，为计数阈值)时，说明背景图像S已建立完成。否则，将背景模板和当前帧图像中处于0状态对应的像素值赋给背景像素，并把计数器T置零，跳转步骤2)。

图1显示了背景模板法建立起始背景图像的过程。该算法可以在复杂场景下快速有效地建立背景，对比高斯法、码本法和中值法具有明显的优势。由于本文主要针对智能视频监控中运动人体的徘徊行为进行研究，监控场景中人体的运动速度相对比较缓慢，反映到时间差较小的相邻两帧图像中时，运动目标会出现较大部分的重合，影响初始化背景模型的建立。因此，根据监控场景内的实际情况，在步骤2)中选用间隔为50帧的帧差法，灰度阈值th0为5。有效抑制了噪声等因素的干扰，弥补了中值滤波和高斯法建模的不足。

2 目标检测和跟踪

运动目标检测处于整个智能视频监控系统的底层，是实现徘徊行为智能化分析的前提。它是指通过利用图像处理技术将感兴趣的前景目标区域从所拍摄的视频场景图像中分离出来，该阶段检测效果的好坏直接影响后续徘徊行为的识别。前景目标的提取通常易受光照、相机抖动等外界环境因素影响，易造成“误检”和“漏检”的现象，因此采用一种可靠有效的目标检测算法十分重要。本文通过对传统的背景差分法和帧间差分法[10]进行实验分析，采用一种改进的结合背景差分和三帧差分的检测算法对运动区域进行提取，并将提取的运动区域结果进行二值化处理得到运动前景轮廓，最后采用Mean-shift算法实现运动目标的跟踪。

2.1 运动目标的检测

针对运动目标检测中单一使用背景减差法或帧间差分法的不足，本文采用三帧差法和背景减差法相结合的检测方法。具体的算法思想:首先，从视频图像序列中获取连续3帧图像，对其做3帧差分运算得到待检前景目标图像，同时，取上述连续3帧图像的中间帧与背景图像做差分得到背景差分图像，最后，将待检前景目标图像与背景差分图像做逻辑运算提取出前景目标。该运动目标检测算法的步骤如下:

1)取当前帧图像Ii(x,y)和背景图像S(x,y)做差分运算，并对获取背景差分图像做阈值化处理(th2为设定阈值)，得到二值化图像Di(x,y)，从而提取出待检测的前景目标像素点，如式(1)所示

2)在视频序列中取连续的3帧图像Ii-1(x,y),Ii(x,y),Ii+1(x,y)，对相邻帧做两两差分运算，将得到的两幅差分图像G1(x,y)和G2(x,y)进行阈值化后做适当的形态学处理，通过对处理后的两差分图像做“与”运算，得到三帧差分结果图像G(x,y)，如式(2)～式(4)所示

3)将三帧差分结果图像G(x,y)与背景差分图像Di(x,y)做逻辑“或”运算，得到目标图像Wi(x,y)，进而提取出前景目标，如式(5)所示

图2显示了三帧差分法与背景减差法相结合的方法对场景内运动目标进行检测的过程。从图中可以看出该算法能够获得较好的检测效果，不但克服了单独使用背景减除法对光线变化自适应能力差的问题，还弥补了帧间差分法容易造成前景目标空洞的缺陷，加之采用多帧的联合判断有效地抑制了噪声、抖动等外界因素带来的影响，进一步提升了场景中运动目标检测的有效性。

2.2 运动目标的跟踪

运动目标跟踪是指利用相邻帧间目标的特征匹配来确定其在当前帧中的位置，即在视频序列的不同帧中搜索同一目标位置的过程。本文在搜寻最佳匹配目标特征时采用Meanshift算法。对于n维欧式空间X中的有限集合A，在x∈X处的Mean-shift表达式如式(6)

对于给定一个初始点x，核函数G(xi)，权重函数w(xi)，容许误差δ，式(6)中第一项记为mh,G(x)，则其可表示为式(7)的形式

通过迭代计算mh,G(x)，再对进行判断，若为真，说明找到了最佳匹配点，则退出程序;否则，使用式(7)继续计算mh,G(x)。根据模式匹配[11]的初始位置即是上一帧图像中核函数中心密度最大点的位置，在跟踪过程中首先对检测出的前景目标进行标记，并将其图像进行反向投影得到反向投影图，然后利用Mean-shift算法进行迭代，根据其重心向反向投影图中概率大的地方移动的原则来找到运动目标的新位置。该跟踪算法计算量较小，且对行人目标发生边缘遮挡和变形等变化不敏感，能够准确地对视频序列中的行人进行有效的跟踪。

3 徘徊行为分析

3.1 徘徊行为的定义和判定

徘徊行为是运动人体在一个地方停留超过一段时间或者运动轨迹出现异常[12,13]。由于人体的运动行为有随机性，想要准确判定徘徊行为是一个相当复杂的过程。大多数研究者根据运动目标在警戒区域内逗留时间、运动轨迹的长度和方向信息进行判定。本文采用轨迹分析法通过运动目标在防区内运动轨迹的X轴、Y轴的分量随时间的变化曲线对徘徊行为进行判定。

3.2 正常行为的轨迹分析

在正常情况下行人的运动轨迹是一条沿主方向斜率变化比较稳定的贯穿防区的一条曲线。根据曲线的正交分解法可以将运动目标在防区内轨迹分解为X轴分量和Y轴分量。

图3显示了运动轨迹分量映射到帧数-分量值坐标平面中轨迹曲线的变化。图3a为行人正常从警戒区域穿过时，目标轨迹在X轴的分量持续上升，Y轴分量在150～200之间平稳变化。图3c为2个目标同时穿越且方向不同的情况，可以看出目标1轨迹的X轴分量持续增加，Y轴分量虽出现一个值跳变，但整体变化不大;目标2中X轴分量持续减少，Y轴分量变化平稳，未出现某个坐标轴分量类似正弦波振荡的情况。经研究分析发现目标正常穿越时的轨迹分量曲线变化为2条轨迹分量曲线均未出现正弦波式的振荡波形。

3.3 徘徊行为的轨迹分析

根据对大量徘徊行为的视频数据进行分析后发现，当运动目标发生徘徊行为时，它的运动轨迹分解后在X轴或Y轴分量曲线上会出现多个波峰和波谷，对应的分量轨迹曲线随着帧数的增加出现振荡的现象，同时其在一定区域内的轨迹长度明显高于正常穿越的情况。

1)徘徊行为轨迹分类

通过对日常徘徊行为的分析，本文将近似椭圆运动轨迹、反复做往返运动轨迹、无规则的折线运动轨迹和S形曲线运动轨迹四种典型徘徊行为的运动轨迹，采用正交分解法分解并映射到分量值与帧数组成的平面坐标系中，通过对徘徊行为轨迹曲线的分析，可将徘徊行为归为单坐标轴轨迹分量曲线异常和双坐标轴轨迹分量曲线异常两类。

(1)单坐标轴轨迹分量曲线异常

当目标在监控区域内出现反复往返或S型运动时，将其轨迹进行分解并映射到分量值—帧数坐标平面中，其中一条轨迹坐标轴分量曲线会出现振荡，而另一条轨迹坐标轴分量曲线会缓慢地增加或减少，此种曲线异常往往发生在水平拍摄的视频场景中，在这种拍摄方式下只需通过一条轨迹分量曲线即可判定行人是否存在徘徊行为。

(2)双坐标轴轨迹分量曲线异常

当目标在防区内出现近似椭圆或无规则折线运动时，其运动轨迹被分解并映射到分量值—帧数坐标平面后，2条轨迹分量坐标轴曲线均出现振荡现象，或1个轨迹坐标轴分量曲线出现振荡，1个坐标轴轨迹曲线发生不规则的变化，且振荡曲线中存在多个波峰和波谷，同时相邻波峰和波谷间会出现较大的落差，此类曲线异常通常发生在垂直或倾斜向下角度拍摄的视频场景中。

2)徘徊行为的判定

目标贯穿整个防区的运动轨迹满足在分量坐标轴投影平面中2条轨迹分量曲线均未出现正弦波式振荡。当轨迹的分量坐标轴曲线出现单曲线或双曲线异常时，若某条异常曲线中波峰和波谷数量Tk≥Tr(Tr=3)，则认为运动目标发生了徘徊行为。其中波峰和波谷的判定为:波峰和波谷在有限区间内分别对应局部曲线的极大值点和极小值点，当相邻波峰与波谷的落差Δh>Th(Th=30)时，则认为该波峰或波谷为真正极值点，Tk=Tk+1，否则该波峰或波谷为虚假极值点，Tk不变。

4 实验结果和分析

本文采用在校园拍摄视频自建的实验数据库和中科院自动化所CASIA行为分析数据库作为测试对象，并从水平和俯视两种角度进行验证。

图4为水平角度拍摄的行人徘徊行为，由于视频水平拍摄，所以在二维平面运动目标的纵坐标不会出现较大变化。如图4a可以看出行人轨迹的Y轴分量曲线变化相对比较平稳，X轴分量曲线出现4个波峰和3个波谷，且相邻波峰与波谷间的落差Δh>Th，属于单坐标轴分量曲线异常。

图5为选自中科院自动化所CASIA视频集的一段俯视拍摄的徘徊行为视频，俯视拍摄下目标运动轨迹的X轴、Y轴分量曲线在平面坐标系中都可能出现大幅度变化(如振荡)。如图5a所示，运动目标的X轴分量曲线中出现3个波峰和3个波谷，同时Y轴也出现了大幅度的增减情况，属于双坐标轴分量曲线异常。

图6为监控场景内同时存在正常穿越和徘徊行为的情况。图6a、图6b、图6c分别显示了目标在监控区域内的运动情况以及发生徘徊行为后目标的变化。从图6d中的目标轨迹分量曲线可以看出，2个目标Y轴轨迹分量曲线变化平稳(由于采用水平拍摄方式，Y轴轨迹分量曲线不会出现大幅度波动)，目标1轨迹的X轴分量曲线虽然存在振荡现象，但波峰和波谷数(Tk=2)<Tr，则认为目标1为正常穿越;目标2轨迹的X轴分量曲线存在振荡现象，且波峰和波谷数量大于Tr，则判定目标2发生了徘徊行为，目标的矩形框用红色标记，并在目标的左上方显示“hover”提示。

表1为在校园内采用水平和俯视两种视角拍摄的各40组徘徊行为视频的检测结果，从表中可以看出文中所提算法可以有效地检测出场景内的徘徊行为。目标在三维空间内的运动投影到二维平面内，主要通过水平和垂直两个方向上的幅值变化来反映。对比两种视角的拍摄方式，倾斜视角拍摄更易检测出徘徊行为，水平视角受目标距离远近的影响较大，且目标在相对相机垂直方向上产生的位移变化反映到二维平面内变化不明显，易造成漏检。

5 结论

本文创新点在于针对传统的视频监控运动目标的徘徊检测算法的不足，提出了一种基于运动目标轨迹分量曲线的徘徊行为检测算法。同时在目标检测部分采用了改进的融合三帧差法和背景差分法的算法来提取前景目标，克服了光照变化对背景减除法的影响，消除帧间差分法带来的“双影”和“空洞”。在徘徊行为判定中根据相机拍摄角度的不同，通过对目标轨迹分量曲线的分析分别提出相应的徘徊行为判定方法。实验证明，该方法能够实时、准确的识别出徘徊行为，在一定程度上提高了徘徊行为检测的准确率和效率，更好地满足了目标徘徊行为在智能视频监控领域研究的应用。

摘要：针对传统的目标徘徊检测方法在实时性和准确性等方面的不足,提出了一种基于目标轨迹分量曲线的行人徘徊检测算法。首先,采用基于帧差法的背景模板建模方法来建立初始背景。然后,用改进的结合背景差分的三帧差分法检测前景目标,通过Mean-shift算法对前景目标进行跟踪。最后,将得到的运动轨迹做正交分解,根据目标运动轨迹的X轴、Y轴分量曲线来对徘徊行为进行识别。实验表明,该方法能够对几种典型的徘徊行为进行实时、精确判断,同时可以检测出其他复杂的徘徊行为,有较好的实时性和准确率。

粒子的运动轨迹 篇10

镜电法又叫静像法, 被经典的电磁学教科书里用来求解有限边界内泊松方程的格林函数。这种方法将源电荷在边界上感应出来的分布复杂的感应电荷, 用有限个 (通常是一个) 镜像电荷所取代。源电荷与镜像电荷在无界空间的电势分布的代数和就是所要求的格林函数。这种方法简单、直观。然而, 镜电法一般只被用于半无限大空间、圆形、球形等最简单或者对称性最强的边界形状, 镜像电荷也只限于一个。当边界形状变得复杂, 镜像电荷的分布就会变得复杂, 数量增多甚至变成无穷多个。这时, 镜电法失去优势, 甚至变得没有意义。

带状边界的泊松方程问题, 除了数值解法, 我们一般采用本征函数展开法来得到它的无穷级数形式的解析解。然而, 这种解法不能给出直观的物理模型, 在后续的计算中 (如对电势求梯度来求电场的大小) 也会出现庞杂甚至不可解的推导过程。

本文用镜电法解析求解了带状边界内泊松方程的格林函数和电荷在带状区域内随时间的运动规律。由于多重反射的作用, 带状边界的镜像电荷变成无穷多个, 源电荷所受到的边界力等同于所有镜像电荷对它施加的合电场力。

1 用镜电法求解有限边界内电荷的运动

第一类边界条件下, 泊松方程的经典物理对应是具有一定空间分布的电荷引起的电势的分布。考虑源电荷初始位置只在一维方向上, 即x方向上相对于中心有偏离的情况。首先只考虑一个源点电荷的情况, 源电荷和镜像电荷分别激发一个电势分布:

其中, Q和Qn分别为源电荷和第n阶镜像电荷的电荷量。ε0是真空介电常数。由于我们不考虑电荷的空间分布, 这里的ϕ1和ϕ2也是源电荷和镜像电荷的格林函数。由于镜像电荷的存在, 源电荷受到来自所有镜像电荷的作用力。由静电学中的库伦定律, 电荷受到的静电力由电势的梯度决定:

其中M是源电荷的质量, xc是源电荷的坐标。这样, 有限边界对源电荷的作用就形象的等价于镜像电荷与源电荷之间的作用。这就是镜电法求解有限边界内电荷运动的主要观点。

2 源电荷在带状边界内随时间的运动规律

下面就用镜电法具体的求解带状边界内电荷的运动规律。在带状边界的条件下, 镜像电荷有无穷多个, 它们分布在边界的两边, 每一边的电荷正负号交替的改变。与之对应的镜像电荷的归一化坐标也分为两组:

这里n是镜像作用的阶数。这两组镜像电荷引发的电势分布 (格林函数) 为:

(4) 式表明, 带状边界条件下, 泊松方程的格林函数没有有限形式的解析解。然而, 决定电荷运动轨迹的是电势的梯度而不是它本身, 仍然可以得到电荷中心轨迹的有限形式解。由 (2) 和 (4) 式, 源电荷的运动方程为:

图1 (a) 第一阶镜像电荷对源电荷施加的电场力在所有镜像电荷对源电荷施加的合力之中所占的比重随源电荷中心归一化坐标的变化曲线; (b) 源电荷分布中心随时间的运动轨迹

图1 (a) 给出了第一阶镜像电荷对源电荷施加的电场力在所有镜像电荷对源电荷施加的合力之中所占的比重随源电荷中心归一化坐标的变化曲线。可以看出, 绝大部分合力的贡献来自第一阶镜像电荷, 这个比重随着源电荷初始位置靠近边界而增加。这个结论很容易理解, 因为当源电荷非常靠近某一边的边界时, 这个边界的第一阶镜像电荷也会非常靠近源电荷, 对源电荷的作用力也会非常强。

严格解析求解 (5) 式会比较困难, 这里只对 (5) 式的右边做一级泰勒展开并设初始条件为x (0) =xc0=0.06, x′ (0) =0, 得到源电荷的运动轨迹在一阶近似下的解为:

基于 (6) 式, 给出电荷在带状区域内的运动规律, 如图1 (b) 所示。如果源电荷初始位置偏离中心靠近正向的边界, 源电荷首先以低的速度和加速度移动。随着时间的推移, 源电荷被逐渐吸引以更高的速度和加速度靠近正向边界。显然一阶近似只能描述源电荷在中心附近小范围内 (|cx|<<1) 的运动形式。随着电荷向边界靠近, 加速力非线性增强, 更高阶近似才能很好的描述电荷的运动。可以预见的是, 随着源电荷逐渐靠近某一边的边界, 其运动的加速度逐渐增加, 直至在此边界上与感应电荷复合。

3 结论

本文利用静电法求解了带状边界条件下泊松方程的格林函数, 并得到了闭合形式的源电荷的运动方程。在带状边界内, 由于多次反射作用, 镜像电荷的个数是无穷多的。源电荷受到的加速力作用, 在本质上来源于边界的作用, 在数值上等于所有镜像电荷对它的合作用力。静电法在处理边界对电荷的作用甚至是电荷、电荷之间的作用时是一个直观、有效的方法。

摘要：本文用镜电法求解了带状边界内泊松方程的格林函数, 并得到了源电荷随时间的运动规律。源电荷受到的加速力来自于有限边界的作用, 等价于所有镜像电荷对它所施加的电场力。