优化函数

2024-09-26

优化函数（通用11篇）

优化函数篇1

函数性质是函数的重要知识, 是解决函数问题的有力武器, 在处理具体函数问题时, 从研究、挖掘函数性质入手, 常常可以起到化难为易、防止错误的作用.以下举例说明.

一、从定义域入手, 防止判断函数奇偶性的惯性错误

例1 判断函数 $f (x) = \frac{1 - c o s x + s i n x}{1 + c o s x + s i n x}$ 的奇偶性.

分析:本题易错:不考虑定义域, 直接变形得 $f (x) = \tan \frac{x}{2}$ , 所以f (x) 为奇函数.

实际上, 根据定义, 定义域关于原点对称, 是函数具有奇偶性的必要条件.

易知:f (x) 在 $x = \frac{π}{2}$ 处有定义, 但在

$\begin{array}{l} x = \\ - \frac{π}{2} \end{array}$

处无定义.故函数f (x) 既不是奇函数, 也不是偶函数.

二、从函数值域入手, 避免分类讨论, 简化计算.

例2 已知二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ , 是否存在实数m, n (m<n) , 使f (x) 的定义域和值域分别为[m, n]和[3m, 3n]?

分析:本题可根据抛物线 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 的对称轴x=1与区间[m, n]的相对位置进行讨论解决.能注意到 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x = - (x - 1)^{2} + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$ 可得 $3 n \leq \frac{1}{2}$ , 所以 $n \leq \frac{1}{6} < 1$ .则可避免讨论得到如下简便解法:

因为 $n \leq \frac{1}{6} < 1$ , 故二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 在区间[m, n]上单调递增.所以 ${\begin{cases} f (m) = 3 m \\ f (n) = 3 n \end{cases} (m < n)$ .解之m=-4, n=0.即符合条件的实数m, n存在.

三、从函数奇偶性入手, 借助偶函数性质避免讨论, 简化计算.

例3 定义在[-2, 2]上的偶函数f (x) 在[0, 2]上为减函数, 且f (1-m) <f (m) , 求m的取值范围.

分析:本题的常规解法根据1-m, m所属区间分类讨论, 运算量很大, 若能应用偶函数的性质f (x) =f (|x|) , 则可回避讨论, 使运算大大简化.解答如下:由题意得 ${\begin{cases} - 2 \leq 1 - m \leq 2 \\ - 2 \leq m \leq 2 \\ | 1 - m | \leq | m | \end{cases}$ 解得 $- 1 \leq m \leq \frac{1}{2}$ 即为所求范围.

四、从函数单调性入手, 寻找突破口, 判断表达式符号.

例4 函数 $f (x) = x^{3} - \log_{3} (\sqrt{x^{3} + 1} - x)$ , 则对于任意a, b (a+b≠0) , 判断 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b}$ 的符号.

分析:初看此题, 似乎无从下手, 仔细观察函数解析式知, f (x) 是奇函数, 且在R上递增.根据奇函数性质和增函数性质, 得 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} = \frac{f (a) - f (- b)}{a - (- b)} > 0 .$

五、从函数周期性入手, 化解计算障碍

例5 f (x) 是R上的奇函数, 对于任意的x, f (x+6) =f (x) -f (3) ,

求:f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +…+f (2008) +f (2009) 的值.

分析:根据问题的特点, 大胆判断f (x) 应是周期函数.可先判断出周期, 再用周期性突破运算障碍.解答如下:由题意得:f (0) =0.令

x=-3, 得f (3) =f (-3) -f (3) , 所以f (3) =0.

所以f (x+6) =f (x) 即f (x) 是周期函数, 且周期为6.

所以f (6) =f (0) =0, f (5) =f (-1) =-f (1) , f (4) =f (-2) =-f (2) ,

所以f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =0

所以f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +…+f (2008) +f (2009) =334×0+f (1) +f (2) +…+f (5) =0.

六、从反函数性质入手, 回避求解析式, 简化反函数问题的解答.

例6 设函数 $f (x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}} (0 \leq x < 1)$ 的反函数为f -1 (x) , 则 ( )

(A) f -1 (x) 在其定义域上是增函数且最大值为1

(B) f -1 (x) 在其定义域上是减函数且最小值为0

(D) f -1 (x) 在其定义域上是增函数且最小值为0

分析:本题的常规解法是:由 $f (x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}} (0 \leq x \leq 1)$ 求出f -1 (x) 的解析式, 再分析f -1 (x) 的单调性和最值.这样的解法, 显然不是命题人的本意.实际上根据互为反函数的定义域和值域互换和在相应的定义域区间内有相同的单调性的特点, 不必求出f -1 (x) 的解析式, 只需分析f (x) 的单调性和自变量取的最值.易得:答案 (D) 真.

湖北省武汉华中科技大学附中

优化函数篇2

函数单调性概念的抽象性就是函数单调性中的纯粹代数性，具体是指建立在代数表达式基础值上的脱离直观图像描述而对函数单调性的描述和理解。我们学校的数学课程是侯**《高等数学》，函数的单调性不仅出现第一章( 函数) ，更是第四章( 微积分的应用) 中的一个重要的内容。函数单调性概念的抽象性是函数课程学习中十分重要并且难度较大的内容之一，因此我们有必要对高校中复变函数的单调性特征进行分析，并提出相关教学策略。

1. 简述函数单调性概念的抽象性

函数单调性，也称为函数增减性，其概念为: 在定义区间内，函数值随着自变量的增大而增大，随自变量的减小而减小。函数值随着自变量的增大而增大，则为增函数; 函数值随自变量的减小而减小，则为减函数。无论是在实际生活数学中，还是数学更进一步的理论研究及探索中，函数单调性概念都是一个极其重要的概念。而函数单调性中的抽象性概念就是函数单调性中体现的纯粹代数性，具体是指建立在代数表达式基础值上，脱离直观图像描述而对函数单调性的描述和理解，是学习函数单调性的最高要求。但由于不同学生在理解能力上存在着差异，因此对其概念的理解也有所差异。

2. 在高校优化函数教学的策略探究

《高等数学》是高职院校的基础必修课，也是综合类大学的必修课，学生对这门课程学习的好坏直接关系到后续专业课程的学习，因此具有十分重要的作用。在实际教学中，部分高校教师与学生普遍反映函数单调性概念的抽象性较难理解，因此我们必须要针对其特性，优化日常函数教学的策略，以提高课堂教学的效率。

2. 1 整合教材内容，结合难易程度调整教学模式。

作为高校教师，需要从整体上把握教材，根据函数单调性中的不同内容进行课时的合理分配，并且要采用多样灵活的教学方式。并且要让学生了解到学习函数课程的重要性，了解到函数单调性在函数课程中的重要地位，从而激发学生的学习主动性。同时，教师要精讲、细讲、慢讲函数单调性的重难点问题，反复强调，循循善诱，采用以讲授为主的教学模式。

首先，要放慢语速，让学生有接受、消化知识的时间;

其次，要提醒学生与已经学过的知识建立联系; 第三，在初始阶段采用直观的图像辅助理解，最后达到抽象性的教学目标。值得注意的是，在对前后章节教学时要联系紧密，防止学生对前面内容不理解，产生厌学或者不学情绪，从而丧失学习函数的兴趣和自信心。例如证明函数单调性y = x + ln x，( 0， + ∞)对于任意的x1，x2∈ ( 0， + ∞) ，当x1 < x2时，有y1 - y2 = ( x1 + lnx1) - ( x2 + lnx2) < 0所以函数y = x + lnx 在区间( 0， + ∞) 内是单调增加的。

2. 2 巧用现代化教学设备，提高学生学习兴趣。

采用多媒体课件进行授课，能够很大程度上为现代化教学提供便利。现代化教学设备能将某些抽象性问题具体化、形象化，增加授课的趣味性，扩充授课的信息量。在课程导入过程中，教师可增加一些有趣的与函数相关的小视频，或者其他生动的影音资料，进而让课堂更加活跃，增强趣味性。在函数单调性概念中，教师可应用现代化教学设备，例如动态图像等内容，使函数的抽象性具体化，形象化。而在讲授函数知识的应用时，教师可用多媒体展示出详细的演算过程和结果，方便学生理解和掌握。众所周知，高校课堂不同于高中课堂的一大特点就是课程的信息量大，我们要在课程开始前让学生充分了解到这一特点，做好课前的预习准备，在多媒体教学中突出重点内容。与此同时，教师也不可过分依赖现代化教学设备，而是要有所选择，结合课堂教学的具体内容来使用其辅助人工教学。

2. 3 充分利用教育心理学知识，使学生克服畏难思想。

学生的心理会对学习产生很重要的影响，积极的心理暗示对学习有着良好的促进作用，而消极的心理暗示则不利于学生对课堂知识的掌握。为了与学生的良好沟通，和对学生心理的.把握，教师一般要对心理学知识略有了解。而在函数教学中，就需要教师充分利用教育心理学知识，因为我们知道函数单调性的抽象性本身就难度较大，因此如何让学生克服畏难心理，就成为教学过程中的重点问题，笔者认为在课堂教学中应该循序渐进，将抽象概念具体化，帮助学生降低学习难度; 对学生进行积极的心理暗示，让学生从心理认为对于函数学习其实并没有想象中那么难，如，教师可以设计几个简单的函数问题，让学生在解答过程中建立信心，从而有能力、有信心地积极主动去进一步的探索，进而学好函数的相关知识。

2. 4 做好课前预习监督，课后的效果评价与反馈工作。

教师要主动与学生交流，了解到学生会遇到什么问题，督促学生课前做好充分的预习，了解课程的重难点，真正做到带着自己的问题进入到老师的课堂中，及掌握对授课内容的掌握程度，在第一时间找到自己教学方法的瑕疵，并能进行修正改进，真正做到教学相长; 同时，要在课堂结束后，科学布置作业，适量的课后作业能反映学生的课堂上学习效果，让教师了解学生通过课堂学习与课后复习后，对知识的掌握程度及对某些重难知识点存在的问题;

优化函数篇3

摘要：超大视场光学成像系统在各领域的应用越来越多，但却缺少能够对该类光学系统的像差进行参量化设计的方法。将遗传算法和逃逸函数相结合对超大视场光学系统进行了优化设计。首先，修正了基于平面对称像差理论的超大视场光学系统的评价函数；然后针对遗传算法在优化超多参量光学系统时，其优化解的鲁棒性较差的问题，采用在遗传算法中混入逃逸函数来改善算法的鲁棒性。最后应用改进的算法分别对鱼眼镜头和折反射全景成像系统进行了优化计算，结果表明，优化后光学系统的像质比参考设计有较大的改善。

关键词：超大视场光学系统；并行遗传算法；逃逸函数；优化设计

中图分类号： TH 743文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.1005

引言近年来，随着CCD成像技术和图像处理技术的快速发展，超大视场光学系统，如鱼眼镜头、折反射全景成像系统在机器人导航、场景监测、视频会议和外部空间探测、气象及微小智能系统等方面得到越来越广泛的应用[13]。对于这类超大视场光学系统的设计，人们目前一般应用基于光线追迹手段的各种商业化光学设计软件进行优化，关于如何确定光学系统的初值以及对系统像差进行解析分析的文献报导很少。因此，研究如何应用像差理论来控制和优化此类系统的像差仍是一个十分有意义的课题。最近，吕丽军教授认为超大视场光学系统具有平面对称的成像特征，并提出了一种基于平面对称光学系统的像差理论优化超大视场系统的方法[4]：首先基于轴对称光学系统中追迹一般斜入射光线的三角计算公式，导出了任意视场主光线的传输方程，确定光路中主光线的位置参数；然后以分离方式处理任意视场物点的孔径像差和像场像差，并基于这两类像差定义光学系统的评价函数。该方法不仅能提高优化计算效率，而且有助于人们理解光学系统参数对成像质量的影响。在文献[4]中，应用遗传算法对超大视场光学系统进行优化设计，但存在优化解的鲁棒性较差的问题[5]。本文采用在遗传算法中混入逃逸函数来改进优化解的鲁棒性。并应用该算法对鱼眼镜头和折反射全景成像系统进行优化，结果表明优化解的稳定性得到明显改善。光学仪器第35卷

第4期常欢，等：混入逃逸函数的遗传算法优化超大视场光学系统

1评价函数的修正针对文献[4]定义的评价函数，做了以下修正：（1）在鱼眼镜头和折反射全景成像系统这类超大视场光学系统中，光学元件一般是轴对称布置的，孔径光阑一般采用圆形孔。在光路中的任意位置，光束截面一般是椭圆形，在文献[4]中，评价函数对孔径光阑是按圆形孔经的外接矩形来处理，这种近似处理对像差是过度估算的。本文将应用MATLAB软件中的椭圆积分函数能更精确地计算评价函数。（2）文献[4]中的评价函数仅包含了垂轴色差（倍率色差），而没有考虑轴向色差对成像质量的影响。如果在工作视场范围内取k个视场角进行优化，修正后的评价函数

另外，应用平面对称系统的像差理论对所讨论的鱼眼镜头光学系统进行孔径像差计算，如图4所示，图4左边一列参数表示视场角，（a）和（b）的计算结果分别采用的是表1中的参考设计参数和本文优化设计参数。

3.2折反射全景成像系统现在讨论一折反射全景成像系统，如图5所示。该系统原型来自参考文献[4]，但经过长春光机所对该系统进行改进后成为了本文优化设计参考的原始模型。该系统的前组为一个二次圆锥曲面反射镜，其面形表达式y2=a1x+a2x2；后组是采用修正的Tessar物镜系统。表2、3中的参考设计参数是应用CODE V软件对系统进化优化设计得到的。在评价函数（1）中，选取优化视场角25°、37°、48°、65°、80°，且所有权重因子都取1。设镜头离成像物体的距离为2 000 mm；系统中透镜的材料折射率不作为优化参数，除双胶合透镜的第二片材料是BK3（n=1.497 8）外，其余透镜材料都选BK7（n=1.516 8）；孔径光阑为直径3 mm的圆孔。表3给出了折反射全景成像系统中的前组二次圆锥曲面反射镜的参考设计和本文优化设计参数及相应参数的搜索范围。表4表示Tessar物镜各参量的参考设计和优化设计结果。在优化计算中，各曲率半径参数Ri的搜索范围是参考设计中对应参数值的±10 mm，各光学间隔di的搜索范围是参考设计中对应参数值的±5 mm。而光学系统的最后镜面到成像面的参考设计距离为20.843 7 mm，优化后此间距变为13.213 2 mm。

图6表示分别应用PGA（虚线）和MEFGA（实线）算法，对上述折反射全景成像系统经过20次优化计算所得到的评价函数值分布曲线。同样的20次优化之间是相对独立的，且每次优化都是经过100次迭代以后获得的最优解。实线的最小值所对应的那组光学系统参就是我们所需的优化设计参数。表5给出了参考设计和本文优化设计的评价函数各分量值。应用平面对称光学系统的像差理论对讨论的折反射全景成像光学系统进行孔径像差计算，如图7所示。图7中最左边一列参数是视场角，而图7的（a）和（b）表示采用MATLAB对表3和表4中的参考数据和优化数据分别进行光路追迹后得到的孔径像差图。根据以上计算结果可以得出以下结论：（1）通过观察图3和图6，我们发现在运行同样次数的情况下，运用本文的MEFGA算法优化计算后得到的评价函数分布曲线比较平稳，说明MEFGA算法的鲁棒性得到明显改善；（2）对于图3或图6我们还得出，两种算法在优化时的迭代次数均为100次，PGA算法运行一次需要将近3个小时，而本文的MEFGA算法运行一次只需要半小时就能得到较好的优化结果，说明本文的MEFGA算法效率更高；（3）从两系统的评价数值和孔径像差图中可以看出，优化之后的光学系统成像质量明显优于参考设计的光学系统成像质量，说明本文提出的优化方法效果明显。

4结论本文将吕丽军教授的平面对称像差理论应用到了超大视场光学系统中，并采用在遗传算法中混入逃逸函数的方法对该类光学系统进行优化设计，很好的解决了过往算法的效率低和鲁棒性差这两个问题。最后运用本文的MEFGA算法对鱼眼镜头系统和折反射全景成像系统进行了优化设计。通过图像和数值验证表明，本文的设计方法能有效地提高此类系统的成像质量，解决了现有方法无法从像差表达式分析超大视场光学系统的问题，为进一步研究提供了一定的参考价值。

参考文献：

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一类函数优化问题的求解篇4

然而, 粒子群优化算法常有陷入局部极值、过早收敛和收敛性能不佳的缺点。为了克服PSO的缺点, 出现了大量的改进PSO算法, 如自适应粒子群优化算法[4]、带约束因子的粒子群优化算法[5,6]、杂交粒子群算法[7]或增加粒子群的规模, 尽管这些改进对算法的性能有一定改善, 但效果不佳, 未能从根本上克服早熟收敛问题, 况且会增加算法的运算量。再次, 在函数的维数增加时, 很多改进的方法显得束手无策。但对某些问题, 比如函数优化中的解分布于坐标轴原点附近的一类问题, 通过对惯性权重和粒子群算法公式的分析, 选用合适的惯性权重值, 改进粒子的进化迭代公式, 简化进化过程, 使该类问题在求解中可以快速找到给定目标解。

本文针对函数优化中的解分布于坐标轴原点附近的一类问题, 利用简化计算方法, 选取合适惯性权重值, 提出了一种改进的粒子群优化算法。

1粒子群算法

设有N个粒子组成一个群体, 在D维空间中搜索目标, 其中第i个粒子记为一D维向量xi= (xi1, xi2, …, xiD) ;i = 1, 2, …, N。第i个粒子的飞行速度也是一个D维的向量, 记为vi = (vi1 , vi2 , …, viD) , i= 1, 2, …, N。并记第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置为pi= (pi1, pi2, …, piD) , 整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为pg= (pg1, pg2, …, pgD) 。每个粒子的速度和位置按如下公式进行更新:

v $_{i d}^{t + 1}$ =v $_{i d}^{t}$ +c1r1 (p $_{i d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) +c2r2 (p $_{g d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) (1)

x $_{i d}^{t + 1}$ =x $_{i d}^{t}$ +v $_{i d}^{t + 1}$ (2)

其中i=1, 2, …, N;d=1, 2, …, D;t表示进化到第t代;学习因子c1和c2是非负常数, 通常取c1=c2=2;r1, r2为服从U～ (0, 1) 分布的两个相互独立的随机数;vid∈[-vmax, vmax], vmax是常数, 根据实验需要与函数本身设定其大小。迭代终止条件为预设的最大迭代次数或 (和) 预定的最小适应度阈值。

为改善PSO算法的性能, Shi和Ebrhart在速度进化方程中引入惯性权重[4], 即把式 (1) 变为:

v $_{i d}^{t + 1}$ =ωv $_{i d}^{t}$ +c1r1 (p $_{i d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) +c2r2 (p $_{g d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) (3)

式 (3) 中ω称为惯性权重, 通常取值在0.8～1.4之间, 通过实验证明, ω随着算法迭代的进行而线性减小, 算法的收敛性能得以改善。较大ω值有利于提高算法的收敛速度, 而较小ω值有利于提高算法的收敛精度。惯性权重ω使微粒保持运动惯性, 具有探索新区域和扩展搜索空间的功能[4,8]。

学者们通常把由式 (1) 、式 (2) 进行迭代的算法称为基本粒子群算法[9] (bPSO算法) , 而把式 (2) 、式 (3) 进行迭代的算法称为标准粒子群算法[9] (sPSO算法) 。因此, 基本粒子群算法是标准粒子群算法的特例 (即ω=1) 。有关PSO算法的研究大多以带惯性权重的PSO算法为基础进行扩展和修正。

2标准粒子群算法 (sPSO) 的有关分析及算法的改进

有关sPSO及相关算法的改进, 基本上是基于微粒速度和位置两个概念, 如自适应参数变化、变异、或增加混沌搜索等, 这既使得PSO算法描述复杂化, 也使得对PSO的收敛性分析增加了难度[10,11,12]。

从式 (2) 、式 (3) 式可知, 尽管xi和vi是多维的变量, 但各维之间相互独立, 因而, 对算法的分析可以简化至一维中进行:即粒子的速度可以省略。粒子的位置xi表示问题的解, 故算法的迭代过程, 就是xi向x* (全局最优位置) 无限逼近的过程。因而在迭代中, 我们关注的是xi的变化, 而非vi的变化。可以得出如下结论。

2.1定理:sPSO的进化过程与粒子速度无关[10,13]

证明迭代过程中, 除pid和pgd对搜索空间各维的联系以外, 各维的更新相互独立。故其过程可简化到一维进行。并假设粒子本身所找到最优解位置和整个种群找到的最优解位置不变, 记pb和pg, 令 $θ_{1} = r_{1} c_{1}, θ_{2} = r_{2} c_{2}, θ = θ_{1} + θ_{2}, ρ = \frac{θ_{1} p_{b} + θ_{2} p_{g}}{θ_{1} + θ_{2}}$ 并把式 (3) 和式 (2) 中变量符的上标移到变量符后的括号中, 则:

v (t+1) =ωv (t) +θ (ρ-x (t) ) (4)

x (t+1) =x (t) +v (t+1) (5)

将式 (4) 和式 (5) 迭代可以得到式 (6) :

x (t+2) + (θ-ω-1) x (t+1) +ωx (t) =θρ (6)

式 (6) 是二阶常系数非齐次差分方程。从定理可知:进化过程与速度无关, 那么就可以将进化过程予以简化。

2.2简化粒子群优化算法 (mPSO)

由分析可得, 不含速度项的粒子群迭代方程可简化为[10,13]:

x $_{i x}^{t + 1}$ =ωx $_{i x}^{t}$ +c1r1 (p $_{i d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) +c2r2 (p $_{g d}^{t}$ -x $_{i d}^{t}$ ) (7)

式 (7) 中ωx $_{i d}^{t}$ 部分表示右端第一项对现在位置的影响, 其影响程度可以通过ω来调节;式 (7) 右端第二、三项与PSO的分析一致。

实验中, 把以式 (7) 进化的算法称为简化的粒子群优化算法 (mPSO) 。亦可将式 (7) 变形为一阶微分方程:

x (t+1) + (θ1+θ2-ω) x (t) =θ1pb+θ2p $_{g}^{}$ (8)

显然, 方程也由二阶降到了一阶, 其进化过程明显得到简化, 这将大大地提高计算的效率。

3一类函数优化问题求解的结果分析与性能比教

下面通过4个经典的Benchmark函数优化问题来测试笔者所提算法的性能, 并和已有结果进行比较。

3.1实验所用的测试函数

实验采用文献[4,14]中的四个函数。对于每个变量x, x=[x1, x2, …, xD]为D维实值向量, 定义:

f1 (x) = $\sum_{i = 1}^{D}$ x $_{i}^{2}$ (9)

f2 (x) =|x1|2+|x2|3 (10)

f3 (x) = $\sum_{i = 1}^{D}$ (x $_{i}^{2}$ -10cos (2πxi) +10) (11)

$f_{4} (x) = \frac{1}{4 000}$ $\sum_{i = 1}^{D}$ x $_{i}^{2}$ $\prod_{i = 1}^{D}$ $\cos (\frac{x_{i}}{\sqrt{i}}) + 1$ (12)

3.2比较固定收敛精度下所需的迭代次数

设定各函数的收敛精度为10-5, 改进算法采用经过20次独立运行后的收敛时的迭代范围, 取种群大小为N=50和N=100分别计算, c1=c2=2.0, 惯性权重ω取0.1, 维数取10维和30维 (f2为2维, 例外) , 比较基本粒子群算法 (PSO) 和改进的粒子群算法 (mPSO) [4,14], 改进算法中取位置xi初值时, 每一维的位置初值是任意选取的 (无范围限制) 。

求目标值为10-5, 实验结果如表1～表4。

表1f1函数所需迭代次数 (目标值为10-5)

*该实验中, ∞表示求目标值时迭代次数过大或无法求得目标值

3.3实验结果的分析与讨论

标准的粒子群算法 (sPSO) 中, Shi与Eberhart的惯性权重ω引入, 在ω取0.8—1.4的值时, 尽管基本上可以求得目标解, 但其迭代次数需要上百次乃至上千次。但对于f3函数, 在求解空间为4维, 有时却无法求得给定目标的解;在解空间为10维或更高维时, 用该法几乎无法求得目标解。

在改进的算法中, 采用简化的粒子群算法, 突破了ω的取值范围, 让ω取较小的值 (如取0.1。实际上, 根据需要, 可以让ω的值取得更小, 如0.01, 收敛则更快) , 该方法使解分布于坐标轴原点附近的函数优化问题快速求解, 仅仅需要3—7次迭代, 就可以找出满足条件的解, 该改进的方法大大提高了问题求解的效率。

其次, 从实验结果可知, 标准的粒子群算法对函数的维数增加很敏感, 而使用改进后的方法则不同。实际上, 维数增加时, 如100维或更高, 该改进的方法同样只需数次的迭代即可求解。

再次, 改进算法对粒子群的种群大小变化也不敏感, 只需要较小的种群就能达到较大种群的求解效果, 计算中内存的消耗量明显减少。

最后, 由于改进的算法使用不带速度项的迭代式, 在实验中, 对位置的初值也无范围限制, 且优化效果良好。

4结论与展望

本文通过对惯性权重ω以及粒子群算法公式的构成进行分析, 使用改进的简化粒子群算法, 并且突破ω的取值范围, 针对函数的解分布于坐标轴原点附近的优问题提出了改进的方法。通过实验证明, 该方法提高了算法的效率, 用极少次数的迭代, 使原本复杂甚至不能求解的问题得以解决。该算法对函数的维数变化不敏感, 在维数较多时, 其算法的优越性体现更加明显。同时, 改进的算法用较小的粒子群种群也可以取得较大种群的求解效果, 在计算中节约了内存资源。

本文所提的改进算法, 对于解分布于坐标轴原点附近的函数优问题作了较好地回答, 但对于解的分布不在坐标轴原点附近的函数优优化问题, 其效果不是很理想。对解的任意分布的函数优化问题, 开发出新的高效算法, 仍是值得考虑的问题。

优化函数篇5

一、选择题

1.函数f(x)＝ax3-x在(-∞,+∞)内是减函数,则()

A.a＜1B.a1C.a＜0D.a≤0

3解析:f′(x)＝3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a

而1在(-∞,+∞)上恒成立, 3x210,∴a≤0.故选D.23x

答案:D

2.函数f(x)＝1+x-sinx在(0,2π)上是 …()

A.增函数B.减函数

C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增解析:f′(x)＝1-cosx＞0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A

3.若a＞3,则方程x3-ax2+1＝0在(0,2)上恰有()

A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)＝x3-ax2+1,则f′(x)＝3x2-2ax＝3x(x

由f′(x)＝0,得x＝0或x2a).322a(∵a＞3,∴a2).33

∴当0＜x＜2时,f′(x)＜0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)＝8-4a+1＝9-4a＜0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.故选B.答案:B

4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y＝f′(x)的图象如右图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是

（）

解析:由y＝f′(x)的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0,∴f(x)在（-∞,0)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0,∴f′(x)在（0，2）上单调递减.故选C.答案:C

5.(2008广东高考,理7)设a∈R,若函数y＝eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a＞-3B.a＜-3C.a解析:y′＝a·eax+3＝0,当a＝0时,显然不合题意,∴a≠0.1

1D.a 33

313

.∴xln().aaa13

由题意,得ln()0,aa

∴e



a0,∴ 301a

∴a＜-3.故应选B.答案:B

6.(2008福建高考,理12)已知函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象如右图,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是（）

解析:由y＝f′(x)和y＝g′(x)的图象可知，y＝f′(x)是减函数，y＝g′(x)是增函数.∴y＝g(x)图象上升速度越来越快,y＝f(x)图象上升速度越来越慢.故选D.答案:D

二、填空题

7.已知函数f(x)＝x3-12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m＝____________________.解析:f′(x)＝3x2-12＝3(x+2)(x-2),令f′(x)＝0,得x＝±2.∵f(-3)＝17,f(3)＝-1,f(-2)＝24,f(2)＝-8, ∴M-m＝f(-2)-f(2)＝32.答案:

328.函数y＝lnx-x在x∈(0,e］上的最大值为______________.解析:y

11x

1,令y′＝0,∴x＝1.又在(0,1］上y′＞0,在［1,e］上y′＜0,∴函数在x＝1xx

处取极大值,同时是最大值,此时y＝-1.答案:-

19.若函数f(x)__________.4x

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是2

x1

4(x21)8x24(1x2)

解析:f(x), 2

222(x1)(x1)

令f′(x)＞0,∴-1＜x＜1.m-1,

根据题意,得2m11,∴-1＜m≤0.2m1m,

答案:(-1,0］

10.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________.（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）

解析:右图为圆木的横截面, 由b2+h2＝d2, ∴bh2＝b(d2-b2).设f(b)＝b(d2-b2), ∴f′(b)＝-3b2+d2.令f′(b)＝0,由b＞0, ∴b

d,且在(0,d］上f′(b)＞0, 33

d处取极大值,也是最大值, d,d)上,f′(b)＜0.∴函数f(b)在b33

在［

即抗弯强度最大,此时长h

d.3

答案:

6d 3

三、解答题

11.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD＝2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值

.解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如右图),则点C的横坐标为x,点C

x2y2

1(y≥0), 的纵坐标y满足方程22

r4r

解得y2r2x2(0＜x＜r).S

(2x2r)2r2x2 2

＝2(xr)r2x2, 其定义域为{x|0＜x＜r}.(2)记f(x)＝4(x+r)2(r2-x2),0＜x＜r, 则f′(x)＝8(x+r)2(r-2x).令f′(x)＝0,得x因为当0＜x＜

1r.2

rr1

时,f′(x)＞0;当＜x＜r时,f′(x)＜0,所以f(r)是f(x)的最大值.222

因此,当x

r时,S也取得最大值,最大值为21332f(r)r, 22

即梯形面积S的最大值为

332

r.2

(a＞0),设F(x)＝f(x)+g(x).x

12.已知函数f(x)＝lnx,g(x)(1)求F（x)的单调区间；

（2）若以y＝F(x)〔x∈(0,3］〕图象上任意一点P（x0,y0)为切点的切线的斜率k求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m,使得方程f(x)g（恒成立，2

2a)m1恰好有两个不同的零点？若存在，2

x1

求m的取值范围；若不存在，请说明理由.a

(a＞0)的定义域为(0,+∞), x

1axa

∴F(x)2.2

xxx

解:(1)F(x)lnx

当x＞a时,F′(x)＞0;当0＜x＜a时,F′(x)＜0,∴F(x)的单调增区间为(a,+∞),F(x)的单调减区间为（0，a).(2)以P（x0,y0)为切点的切线的斜率为k＝F′(x0)＝

x0ax0,x0∈(0,3］,由已知，得

x0ax0



112,即ax0x0.22

12111

x0(x01)2, 222211∴a.∴amin＝.22

121

(3)由题意,知方程lnxxm在(0,+∞)内恰有两个不同的零点，22

121

即mlnxx在（0,+∞)内恰有两个不同的零点.221211(1x)(1x)

令h(x)lnxx,则h(x)x,当x∈(0,1)时,h′(x)＞0;

22xx

∵x0

当x∈(1,+∞)时,h′(x)＜0,∴h(x)在(0,1)上是增函数, h(x)在(1,+∞)上是减函数.于是,h(x)在x＝1处取得极大值即最大值, 最大值为＝h

(1)ln1

121

10.22

又x＞0且x→0时,h(x)lnx

121

x→-∞, 22

∴h(x)的大致图象如右图所示:

优化函数篇6

[关键词]信息化初中函数教学优化策略

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 16746058（2016）260020

在初中，数学是一门非常重要的课程，而函数又在数学课程中占据着举足轻重的地位.相关调查显示，对不少初中生来说，函数有一定的难度，他们在学习函数的过程中会遇到不少困难，导致数学成绩难以提高.如今，信息技术飞速发展，并给人们的生活带来了积极的影响，若将信息技术运用到初中函数教学当中，充分发挥信息技术的优势，可以有效调动学生学习函数的积极性，提高课堂教学效率，从而提高学生的学习成绩.

一、初中函数教学存在的问题

1.缺乏良好的教学环境和资源

学习环境会直接影响到学生的学习质量，学生在好的环境中学习，可以有效提高学习效率.但目前，很多初中学校都没有为学生创造有利的学习环境，数学教学活动往往是在教室内进行的，在时间上和空间上都会受到一定的制约.另外，学校缺乏足够的教学资源，对教学效果有着消极的影响.

2.传统教学模式较单一

在传统的教学模式中，教师在讲台上讲解，学生在讲台下记笔记，被动地接受知识.

目前，很多初中数学教师深受传统教学模式的影响，在教学活动中仍旧沿用传统的教学模式和教学手段.

这种教学方式不利于调动学生的学习积极性，也不利于培养学生的创新能力.不少学生常常会出现走神的现象，甚至还有一些学生对函数学习产生厌倦和恐惧心理，导致学习成绩下降.

3.信息技术应用少

虽然我国的信息技术发展十分迅速，但在一些落后地区，信息技术的应用范围较小，很多学校受各种条件的制约，无法配置相关的信息技术设备，仍以传统的教学手段来开展教学活动，很难将函数知识全面地展示给学生，也很难将抽象的函数知识形象化，不利于学生思维的发展.加上教师本身的工作量就比较大，又缺乏信息技术设备的辅助，教师的教学任务过重，不利于教学质量的提高.

二、信息化背景下优化初中函数教学策略的建议

1.在函数概念教学中应用信息技术

一次函数、二次函数、变量、常量、正比例和反比例函数几个概念都是函数概念中的内容，在初中函数教学中，数学教师往往会选择从变量的概念入手，然后引出其他相关概念.要想让学生学好函数，首先要让学生对函数的概念有深刻的理解和掌握.因此，教师可以运用信息技术来模拟实验情境，让学生结合已有的知识，从定义中挖掘出一次函数和二次函数概念中比较关键的特点，教师还可以列举出一些正例与反例，让学生在概括和辨别的过程中，加深对函数概念的印象.

2.在函数图像和性质教学中应用信息技术

在初中阶段，学生要学习一次函数、二次函数、正比例和反比例函数的函数图像与性质.教师可以把几何画板当作函数教学的辅助手段，将函数和图形结合起来.教师可通过几何画板，以动态的方式将各种函数图像展示给学生，让学生更直观、更形象地观察函数图像，了解函数图像在开口方向、位置以及对称轴等方面的不同，从多个角度来感受函数图像的相关知识，提高学生学习函数的兴趣.教师应给予每个学生运用几何画板的机会，让学生亲自绘制函数图像，这样可以使学生更好地理解函数图像和性质.

3.在函数应用中应用信息技术

近几年来，我国不断推行新课程改革，并取得了一定的成效.新课程改革的重点是提高学生的应用能力.因此，在初中函数教学中，教师也应重视培养学生的应用能力，让学生将所学的函数知识运用到实际生活中.对于一些比较抽象的函数，要对其进行运用，就需要先深刻理解该函数的概念.因此，教师可以利用信息技术为学生创设情境，并发挥自身的引导作用，将理论与实践结合起来，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力，从而为生活提供便利.

总之，在学生的成长过程中，初中是非常重要的阶段，学生在这个阶段的学习主要是为日后的学习和生活奠定基础.因此，广大教师必须重视初中教学.对初中生来说，函数比较难理解，学习起来存在一定的困难，教师应将信息技术引入函数教学中，充分发挥信息技术的优势，将函数知识变得更加生动和直观，让学生能够更加容易理解和掌握函数的概念、图像和性质，提高学生应用函数知识解决实际问题的能力.

[ 参考文献 ]

[1]商兆杰.信息化环境下初中数学教学的策略分析[J].课程教育研究，2013（32）.

[2]骆秋风.信息化环境下中学数学函数教学的策略分析[J].语数外学习（数学教育），2012（10）.

[3]李彩霞.信息化环境下初中数学教学的策略研究[J].新课程导学，2012（5）.

优化初中数学函数教学的策略探究篇7

一、应用类比教学提高学生学习效率

类比教学是一种很有效的教学方法。教师在教学中通过类比可以让学生更有效地理解新的知识和概念, 并且能够让学生在学习时学会举一反三、发散思维。教师通过在日常的课堂教学中使用类比法, 让学生熟悉类比法的使用, 不仅能提高学生的知识迁移能力, 还能有效地提高学生的学习能力。初中的函数类型主要有一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等, 教师在讲解这几种函数时, 可以通过类比的方式来让学生快速掌握函数知识。如在讲解函数的概念和性质时, 教师可以将一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数放在一起进行对比, 加深学生对知识的理解, 让学生能够更系统地掌握函数知识。函数的很多性质及图象都很相近且内容较多, 通过类比的方法来进行教学, 还能让学生清楚地认识到各种函数之间的联系和差异, 从而避免学生混淆函数的概念及性质。如在讲解一次函数和正比例函数的概念时, 由于正比例函数是一次函数的特殊形式, 很多教师认为只要将一次函数讲清楚就可以了, 但事实是在教学时, 教师需要反复强调学生才能深刻理解概念, 若忽略了正比例函数的讲解, 可能会使得学生无法充分理解正比例函数与一次函数之间的联系, 以及在做题时的相互转化和性质的迁移运用。

二、应用数形结合方法加深学生的理解

数形结合是数学教学中非常重要的一种数学思想, 教师在教学中使用数形结合的方法, 有利于加深学生对知识和概念的理解, 同时学会应用这种方法能够有效提高学生的解题效率。图形是数学中必不可少的元素, 图象、数字、文字之间彼此相互联系, 若能够找准它们之间的逻辑关系, 就能够进行有效的转化, 从而达到以更加简便的方法解决问题的目的。教师在教学中应当不断培养学生进行数形转换的能力, 让学生能够很好地掌握数形结合这一数学思想。教师在进行讲解时应当清晰细致地向学生展示数形结合方法在解题中的应用, 并让学生体会到通过这一方法解题的便利和有效性。

三、应用多媒体技术提高教学效率

教师在函数的教学及解题时需要结合图形进行探究和分析, 随着多媒体技术在教学中的广泛应用, 教师在上课时可以通过计算机准确快速地画出图形。这样不仅能够向学生直观地展示出函数的动态变化, 还能提高教学效率。如教师在教学函数的平移时, 就可以通过多媒体来进行图形平移的动态展示, 让学生直接地观察到图形平移时以及平移后的结果, 加深学生对图形的印象, 帮助学生理解知识, 并且通过多媒体技术的应用, 能够很好地优化解题过程。

例题2:已知方程x2-4x+3=m, 试分析方程根的个数。

这种题型虽然也可以不通过函数图形来解题, 但对函数进行分析时需要分很多种情况, 过程比较复杂且容易出错和漏项, 但结合图形来进行解决则会更加简单。首先, 教师可以通过多媒体将题目中的函数图形画出来 (如上图) , 通过观察图形就会发现方程的根就是函数与直线y=m的交点, 然后通过多媒体展示出直线y=m在图中的平移过程及结果, 学生可以通过图形直接观察到, 当m<0时, 直线与函数图形没有交点;当0<m<1时, 直线与函数图形有四个交点;当m=1时, 直线与函数图形有三个交点;当m=0或m>1时, 直线与函数图形有两个交点。这些都能够直观地反映在图形中, 从而快速准确地得出正确结果。通过多媒体快速画出图形, 再通过向学生展示解题所需要的图形的动态变化, 能够准确快速地达到解题目的, 同时还能让学生更好地理解知识, 提高函数教学效率。

优化函数篇8

自从20世纪60年代末由John H.Holland教授及其学生提出遗传算法 (Genetic Algorithms) 开始, 智能优化方法逐渐成为一个非常活跃的研究领域.经典的智能优化算法主要有遗传算法、蚁群算法、粒子群优化算法、禁忌搜索法和模拟退火法等.台湾的大学教师潘文超博士最近提出一种新的智能优化算法——果蝇优化算法[1,2] (Fruit Fly Optimization Algorithm, FOA) .

一、果蝇优化算法

1. 算法原理

果蝇优化算法是一种模仿果蝇觅食行为的寻优新方法.果蝇寻找食物先依靠灵敏的嗅觉判断与食物的大致距离, 再利用视觉向食物方向靠近.多个果蝇一起觅食就构成一种群体智能寻优算法.

2. 算法过程

模仿果蝇搜寻食物的特性, 我们可以总结为以下几个主要步骤.

(1) 设果蝇群体规模为popsize, 随机初始果蝇群体位置 (x0, y0) .如果给定初始寻优范围, 可将此范围中点最为群体初始位置.

(2) 令果蝇群体在随机方向和距离 (xi, yi) (i=1, 2, …, popsize) 处利用嗅觉搜索.

其中rand表示一般的随机数.

(3) 计算味道浓度判定值, 即果蝇到原点距离的倒数.

(4) 将各个味道浓度判定值代入味道浓度判定函数fitness (或适应值函数) , 并找出群体最优果蝇位置和最优值 (以最小化最优问题为例) .

(5) 判断最优结果是否达到要求.若是, 则停止;若否, 果蝇群体利用视觉向最优果蝇位置飞去, 并将此位置作为群体位置, 即重置.

(6) 进入果蝇迭代寻优, 执行步骤 (2) ~ (4) , 并判断最优值是否优于前一迭代的最优值, 若是则执行步骤 (5) , 否则继续执行步骤 (2) ~ (4) .

3. 参数设置

影响果蝇优化算法的收敛速度的主要因素有初始点、种群大小和迭代步长.

一般而言, 初始点给的越精确, 种群规模越大, 迭代过程越平稳, 越早到达最优位置.增加迭代次数会使结果更精确, 但耗时更长, 并不能提高收敛速度;增加步长会使收敛速度加快, 但同时会影响搜索精度.

二、模型改进

1. 参数改进分析

种群初始点是初始条件, 无法通过算法来改进.增加种群规模虽可以提高收敛速度, 但同时会增加计算量并且提高程度有限 (见例1) .如何选取适当步长成为提高收敛程度的关键.

2. 步长改进原理

果蝇群体在初始位置 (x0, y0) 随机搜索方式为

其中h为搜索步长, rand为0~1之间的 (伪) 随机数.由于味道浓度判定值

考虑到yi也是待确定坐标, 因此xi的搜索数量级应在±1/Si.加上yi的影响, 可以用±k/Si作为步长 (k一般取0.1~10) .随机搜索方向2h*rand-h变化范围在 (-h, h) 上, 所以步长取

其中, Si是已知的群体最优味道浓度判定值.

三、实例分析

1. 一元函数优化问题

例1 min f (x) =-5+x^2 x属于 (-10, 10) .

应用常规FOA算法得到迭代结果如图2, 种群规模分别为20和30.

种群规模为20时, 迭代到75次函数值达到1e-4精度.种群规模为30时, 迭代到68次达到1e-4精度.可见增加种群规模对其收敛速度改进不大.

变步长FOA算法经过两步迭代即可达到1e-4精度, 收敛非常快, 步长加速效果很明显.

2. 多元函数优化问题

潘文超的相关著作中只提到关于一元函数的极值优化, 这里类似引入多元函数应用FOA求解最优值.

若种群规模为popsize, 初始群组位置 (n维) 为x0=[x1, x2, …, xn], 步长h=[h1, h2, …, hn], 群组随机搜索位置 (Matlab代码) 的坐标分别为

其中i=1, 2, …, popsize.

改进的变步长FOA多元函数优化问题只需令

其中bestindex为种群最优值的索引.

例2 Rosenbrock函数其中, xi∈[-2.048, 2.048], 这里取D=3.

该函数全局最优点位于一个平滑、狭长的抛物线形山谷内, 由于函数为优化算法提供的信息比较有限, 使算法很难辨别搜索方向, 查找最优解也变得十分困难.函数在 (x1, x2, …, xn) = (1, 1, …, 1) 处可以找到极小值0.

常规FOA方法迭代时间较长, 效果不佳, 其原因主要在于步长固定, 不能产生有效的种群随机搜索位置 (不能产生比过去最优位置更好的位置) .

常规FOA方法在最优值进行到1附近后很难继续提高精度, 而变步长FOA方法 (这里取k=0.25) 的最优值与理论最优值的误差则以指数速度缩减, 运行时间约0.35秒.

使用遗传算法工具箱 (种群规模:20, 精度:1e-2) , 经过500次迭代后的结果如下表所示.

由上可见, 经过变步长的FOA算法收敛速度大大提高.相同条件下, 在处理多元函数求最值中此方法也比遗传算法表现要好.

四、小结

相比遗传算法和粒子群算法, FOA算法原理简便, 计算快速, 易于实现.改进的变步长FOA算法在一元函数和多元函数 (Rosenbrock函数) 的最优化实例中收敛速度和计算时间都大大提高且优于遗传算法, 可作为求解各类优化问题的一种实用高效的智能方法.

参考文献

[1]潘文超.果蝇最佳化演算法——最新演化式计算技术[M].沧海书局, 2011.

[2]潘文超.应用果蝇优化算法优化广义回归神经网络进行企业经营绩效评估[J].太原理工大学学报, 2011 (29) , 4:1-5.

[3]汪定伟, 王俊伟, 王洪峰等.智能优化方法[M].高等教育出版社, 2007:20-55.

[4]张琳, 郑忠, 高小强.多峰函数优化的混合遗传算法[J].重庆大学学报 (自然科学版) , 2005 (28) , 7:51-54.

[5]Pan, W.T., 2011.A new fruit fly optimizationalgorithm:Taking the financial distress model as an example, Knowledge-Based Systems, In Press.

[6]Eberhart, R.C.and Kennedy, J., new optimizerusing particle swarm theory, Proc, Sixth InternationalSymposium on Nagoya, Japan:39-43.

[7]Pan, W.T.A new evolutionary computation approach:Fruit Fly Optimization Algorithm[C].2011 Conference ofDigital Technology and innovation Management Taipei, 2011.

优化函数篇9

为了粘滞阻尼器有效发挥其耗能能力, 提升结构响应控制效果, 国内外很多学者对粘滞阻尼减震结构的设计方法和粘滞阻尼器的优化布置进行了大量的研究。Takewaki[1]利用最速下降法对各层粘滞阻尼器的粘滞阻尼系数进行了优化; N. Wongprasert等[2]利用遗传算法对各层阻尼器个数进行优化。李波等结合抗震设计规范反应谱给出了一个附加非线性流体粘滞阻尼器结构的抗震设计方法; 翁大根等[3]提出了一种针对附加粘滞阻尼器减震结构的实用设计方法; 孙传智等[4]研究了基于响应面法进行减震结构非线性粘滞阻尼器参数优化设计的方法。Richard J. Balling等[5]利用遗传算法对全铰接屈曲约束支撑进行优化研究, 并得出各层屈曲约束支撑截面面积沿楼层为直线分布。

本文结合已有研究工作, 提出了基于形函数的优化方法, 有效的简化了粘滞阻尼器优化布置问题, 并且通过算例论证了该方法的适用性, 得到了阻尼器优化布置的规律。

1 粘滞减震结构等效层间剪切角刚度

在粘滞减震结构中, 粘滞阻尼器和主结构共同参与抗侧, 因此在粘滞减震结构优化过程中, 必须综合考虑这两方面抗侧参数才能得到阻尼器优化布置的规律。

粘滞阻尼器在建筑结构中只提供阻尼不提供刚度, 本文主要研究线性粘滞阻尼器的优化布置, 其阻尼力表达式见式 ( 1) :

当线性粘滞阻尼器两端的相对运动为简谐运动时, 即u ( t) =U·sin ( ω·t) , 则v ( t) = ω· U· cos ( ω· t) , 将其代入式 ( 1 ) , 阻尼力表达式可转化为式 ( 2) , 《被动减震结构设计·施工手册》称Cd·ω 为粘滞阻尼器损耗刚度。

考虑到粘滞阻尼器在减小层间剪切位移中的贡献, 本文提出了减震结构等效剪切层间刚度的概念, 减震结构等效层间剪切刚度= 主结构层间剪切刚度+ 粘滞阻尼器损耗刚度, 表达式见式 ( 3) :

2 基于形函数的优化方法

线性粘滞阻尼器优化布置问题为: 多遇地震下减震结构层间位移角小于限值的同时, 各层线性粘滞阻尼器阻尼系数之和最小。

实际结构中各层层高有可能不同, 并且层间位移角因此本文提出了等效层间剪切角刚度的概念, 其表达式如下:

本文借鉴Richard J. Balling[5]的研究, 提出了一种基于形函数的优化方法, 简称形函数法。形函数法是假定减震结构等效剪切角刚度随楼层的分布为直线, 即Js, eq, i= f ( i) , 形函数f ( i) 是关于i的一次函数, 其表达式为式 ( 5) :

其中, d为形函数的幅值; β 为形函数的最值比; n为结构总楼层数; i为结构第i层。

结合式 ( 3) ~ 式 ( 5) , 第i层粘滞系数Cd, i可用式 ( 6) 计算:

其中, ω1为主结构一阶自振频率。

粘滞阻尼器优化布置问题数学模型表达如式 ( 7) 所示:

上述将优化粘滞阻尼器粘滞系数Cd, i转化为优化形函数系数d和 β, 从而实现粘滞阻尼器最优布置的过程称为形函数法, 将直接以每层粘滞阻尼系数Cd, i作为优化变量的优化过程称为直接优化。

3 算例分析

3. 1 算例结构

本节算例采用4 层钢框架结构, 跨度为6. 4 m, 层高为4 m, 多层钢框架结构在水平地震作用下结构侧向变形以剪切变形为主, 所以结构地震响应分析采用剪切层模型。算例采用的四个结构的质量和层间剪切刚度如表1 所示。

3. 2 算例工况

为论证形函数法的适用性, 本文共建立了4 个工况 ( 如表2所示) 进行算例分析。本文算例地震烈度取为9 度, 场地为Ⅱ类场地第三组, 原结构阻尼比为 ξ = 0. 02, 多遇地震下层间位移角限值[θ]= 4 × 10- 3。各工况所用地震记录的名字和峰值加速度如表2 所示, 表中还包含了加速度峰值缩放系数。

3. 3 ANSYS时程分析与优化

由于粘滞阻尼减震结构在利用反应谱分析时误差较大, 因此本文利用ANSYS时程分析求解结构地震响应。利用ANSYS中Combin14 单元和Mass21 单元模拟线性粘滞阻尼减震结构, Combin14 可定义水平方向的刚度和阻尼系数, Mass21 可定义水平方向的质量。

本文利用ANSYS自带优化模块求解上述优化问题, ANSYS优化模块包括零阶算法和一阶算法。零阶算法属于因变量逼近, 计算精度一般适用于大多数问题, 计算速度比一阶快; 一阶算法属于因变量导数逼近, 精度较高, 计算速度较慢。综合比较两个算法的优劣, 本文选取零阶算法求解上述优化问题。

4 结果与讨论

4. 1 收敛性分析

表3 中, 工况4 迭代次数结果表示用直接优化布置粘滞阻尼器时, 迭代并不收敛, 而表3 中形函数法迭代次数结果表示对于不同结构, 形函数法迭代总会收敛。形函数法在减少设计变量的同时, 改善了运用ANSYS零阶算法求解时的收敛性。

4. 2 形函数法的有效性

表3 和图1 中层间位移角项显示, 各工况下利用形函数法优化得到的粘滞阻尼减震结构层间位移角最大值都不大于限值, 且各层层间位移角比较均匀的分布在限值附近, 说明形函数法能够得到效率较高的粘滞阻尼器布置形式。对于ANSYS零阶优化算法来说, 利用形函数法优化布置粘滞阻尼器的结果比直接优化效果要好, 且阻尼器分布效率较高。

5 结语

本文结合线性粘滞阻尼器恢复力模型, 提出了等效层间剪切刚度的概念。同时本文提出一种基于形函数的优化方法, 该方法假定减震结构等效层间剪切角刚度与楼层数之间的关系为直线函数关系, 形函数法将附加粘滞阻尼器减震结构的阻尼器优化布置问题转化为形函数系数优化问题, 并通过算例对形函数法的适用性和粘滞阻尼减震结构减震规律进行了分析, 结论如下:

1) 基于形函数的优化方法能够很好的解决粘滞阻尼器优化布置的问题, 使得结构层间位移角能够均匀的分布在限值附近, 并且小于限值。

2) 无论主结构是否有薄弱层, 减震结构等效层间剪切角刚度沿楼层为直线分布时, 粘滞阻尼器的布置是效率较高的。

3) 形函数法相比于直接优化, 减少了设计变量的个数, 提高了优化的效率。

摘要：分析了粘滞减震结构等效层间剪切角刚度, 提出了基于形函数的优化方法, 通过算例, 论证了该方法的适用性, 并且得到了粘滞阻尼器优化布置的规律, 有利于充分发挥粘滞阻尼器的耗能能力。

关键词：粘滞阻尼器,形函数法,剪切角刚度

参考文献

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[4]孙传智, 李爱群, 缪长青, 等.减震结构粘滞阻尼器参数优化分析[J].土木建筑与环境工程, 2013, 35 (1) :80-85.

优化二次函数最值问题三法篇10

一、赋值验证法

对于二次项系数和对称轴都含有参数的闭区间上二次函数逆向型最值问题,若按常规方法处理,则十分烦琐;若注意到其最值只可能在区间的端点和抛物线的顶点处取得,将它们赋以最值,然后加以验证,则能收到很好的效果.

例1函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在区间上的最大值为3,求实数a的值.

分析:按常规需分类讨论:①a是否为0;②a≠0时,抛物线开口方向;③对称轴是否穿过区间[-,2];④对称轴过区间时,还要看对称轴与区间端点的距离,须分多种情况.如果注意到最值只可能出现在f(-),f(2)或f()上,即可赋值验证.

解:(1)若,则,此时抛物线开口向下,对称轴符合题意.

(2)若f(2)=3,则,此时,抛物线开口向上,对称轴x=0∈[-,2],符合题意.

(3)若,则,此时,抛物线开口向下,对称轴x=-2∉[],矛盾.

综上可得

二、对称轴与区间位置优先确定法

闭区间上二次函数最值问题,往往要讨论对称轴和区间的相对位置,若能充分挖掘题目的隐含条件,先确定对称轴和区间更加准确的位置,则可以减少或避免分类讨论.

2例2已知函数x∈[m,n](m

分析:按常规,须按对称轴x=1和区间[m,n]的位置,分1≤m

解:因为所以.故对称轴x=1在区间[m,n]的右边,f(∞)在[m,n](m

三、更换主元法

某些二次函数最值问题,可以变换视角,更换主元,将二次函数问题转化为一次函数问题,利用一次函数的保号性求解.

例3当1≤a≤4时f(x)=x2+(a-2)x+1-a的最小值为0,求x的取值范围.

分析:由于思维定势的影响,将函数看成关于x的函数,也许不得要领.若能变换视角,将函数看成关于a的函数,则有如下简解.

解:由已知得f(x)=x2+(a-2)x+1-a≥0恒成立.

蜂群算法在函数优化问题中的应用篇11

遗传算法是在达尔文的进化论和孟德尔的遗传学基础上提出的一种优化求解算法。它通过对原始的基因组进行编码,再选择、交叉、变异等操作,进行整体性的信息交换,依据适者生存的原则,逐步淘汰种群差的特性。遗传算法在函数优化问题上取得比较好的效果[2]。

本文提出了一种通过模拟蜜蜂的婚配过程而产生的基于二进制编码的蜂群算法。并在函数优化问题上进行了仿真实验,实验结果证实了蜂群算法的有效性和可行性。

1 蜜蜂种群特点

蜂群算法是受到对蜜蜂的婚配行为的研究的启发而提出的一种搜索优化算法[3]。为了清楚地说明蜂群算法的原理,我们先大概地介绍一下蜜蜂的种群特点及婚配过程。

蜜蜂作为一种社会性昆虫,有严格的社会分工,每个普通的蜜蜂群体都是由蜂后、雄蜂、工蜂和幼蜂组成。在蜜蜂的种群中,雌性的成蜂有蜂后和工蜂,蜂后代表着主要的具有繁殖能力的个体,并且专职于产卵,工蜂专职于幼蜂的抚育但有时也产卵。雄性的成蜂只有雄蜂,它是整个群体的警卫和父亲。但是与其他物种所不同的是:雄蜂的精子是单倍体,也就是说在精子中对下一代的基因起作用的遗传物质只有一般细胞的一半。幼蜂发育于受精的或未受精的卵细胞,前者可能发育成蜂后或工蜂,而后者则将发育成为未来的雄蜂。蜂后在婚飞的过程中完成精子的采集。蜂后在空中起舞就标志着婚飞的开始,随后跟随蜂后而来的雄蜂就与其在空中进行交配。在一次典型的婚飞中,每只蜂后要与7到20只雄蜂交配。在每次交配中,雄蜂的精子到达蜂后的受精囊并聚集在那儿以形成整个群体的基因池。每次当一只蜂后要产下一颗受精卵时,它随机地从受精囊中挑出精子使之与卵子结合。[4]

上面我们大概介绍了蜜蜂婚配的过程及特点,下面我们将进一步分析蜜蜂的婚配过程,并以它为基础,加以适当的改善,设计出适合计算机实现的算法描述。

2 本文求解函数优化的步骤

2.1 编码

在遗传算法的运行过程中,它不对所求问题的实际决策变量直接进行操作,而是对表示可行解的个体编码施加选择、交叉和变异等遗传操作。将一个问题的可行解从其可行解空间转换到遗传算法所能处理的搜索空间的转换方法称为编码[5]。典型的遗传算法都采用二进制的编码方式,在本文中我们也采用这种与自然界中的实际情况相对应的编码方式。但是在多个变量的情况下,传统的整体编码是用一个一维数组来按顺序存放所有的基因。这样的编码方式明显地存在着问题:随着自变量维数的增加或求解精度要求的提高,整个位串的长度会迅速地增加,这样,整个位串的长度将变得难以忍受,不方便操作;此外,一旦位串过长,将不可避免地导致重复操作,而且由于位串过长,还会降低杂交和变异操作的结果,致使算法易陷于局部最优或增加运行时间。

为了解决这些问题,我们采用一种改进的二进制编码方式——独立编码方式。它将每个变量都相互独立开来,采用多维的数组来表示多维的变量,用独立编码方式就表示为:x1=0110110100,x2=1101001011

实验表明,独立编码较整体编码具有良好的收敛性,能使函数较好地逼近于极值。原因主要在于当杂交和变异概率不变时,原始的整体编码由于精度要求,导致位串过长,而其中相当大的一部分位串只表示小数点后的数值,所以若杂交和变异算子作用在这一部分上,则对数值的改变不大。而独立编码由于大大缩短了位串长度,所以使得杂交和变异算子有很大可能作用到代表小数点以前的数值位串上,致使自变量的数值有较大改变。这就能使算法有效地跳出局部最优解陷阱,更好地接近全局最优解。

2.2 选择与交叉

蜂后以一定的速率穿梭于空间中的不同区域,并在各个区域内随机地与碰到的雄蜂进行交配。在婚飞的开始,给蜂后赋予一定量的能量,在能量消耗到零或某一限度时或在受精囊装满时返回蜂巢。

雄蜂提供给后代一半的基因,因此保证雄蜂的高适应度也有利于产生适应度较高的幼蜂。为此,我们使用一个模拟的退火算法[6]来对雄蜂进行选择。按照退火算法的原理,令当前的雄蜂为D0,随机产生下一个用于交配的雄蜂为D1,如果f(D1)≥f(D0)则D1被接受为当前雄蜂(f(D)表示雄蜂D的适应度),准备与蜂后交配。否则D1仅以概率:

被接受。S(t)表示蜂后在t时刻的速率,随着时间的推移,S(t)的值会越来越小,则接受不良个体的概率也就越来越小,所以总能保持雄蜂的高适应度。

雄蜂与蜂后交配的随机率用下式表示:

此处,prob(Q,D)是将D的精子加入到蜂后Q的受精囊的概率,也就是指交配成功的概率;⊿f(t)是D的适应度f(D)与Q的适应度f(Q)的绝对差值;S(t)表示蜂后在t时刻的速率。

表面上看来这个函数有些类似退火算法,当蜂后在刚开始婚飞因而速率很大时或是雄蜂的适应度和蜂后的一样高时,交配的概率很大。随着时间的推移,蜂后的速率和能量以下面的方式衰减:

此处,α是一个因子,α∈[0,1];r是每次转移后能量的消耗量。

2.3 变异和灾变

自然界中的变异率是进化的动力,只有通过变异率才能使后代产生前代没有的特性,为进化提供条件。同时变异率设置得是否合适对于算法的表现也有很大的影响。如果变异率太小则某位的有效基因可能经过好多代的进化都不会出现,算法容易陷入局部解中;如果变异率设得太大则经常变异容易丢失一些有效基因,反而倒丧失了启发性而变得更像随机搜索。一般情况下,变异率设在0.0001~0.1就比较合适了。

在自然界中,有时会因为环境的突然性的巨大变化而使物种发生很大的改变,这时原有的基因平衡被打破,创造出完全不同的染色体,生物的性状发生很大的变化。将这种思想应用于我们的蜂群算法中,有利于进化跳出局部极值点,快速、准确地搜索出全局最优解。但是,灾变率的选择也不是任意的,它应该根据具体的情况而合理地设定。多次实验的结果表明:选择灾变率的标准是要在整个的进化过程中保证发生1到2次的灾变。否则,若灾变率设得太小,可能整个进化完成后都没有发生一次灾变,也就丧失了设置灾变率的意义;若灾变率太高,则多次的反复灾变就很容易丢失经过多代进化积累起来的有利基因组合。

3 算法实例测试

为了体现蜂群算法的效果,分析解决问题的有效性,本文使用Rosenbrock函数作为测试函数,并将结果与基本遗传算法进行了比较,结果表明:蜂群算法能以较小的幼代数目、较小的进化代数得到比基本遗传算法高得多的命中率搜索出最优解。

在以下的测试中,基本遗传算法的运行参数为:群体大小:M=80;终止代数:T=200;交叉概率:Pc=0.6;变异概率:Pm=0.001。蜂群算法的运行参数为:群体大小:M=15;终止代数:T=60;变异概率:Pm=0.001;灾变概率:Pd=0.002。Rosenbrock函数的全局最大值计算:

如图1所示,该函数有两个局部极大点,分别是f(-2.048,2.048)=3897.73,和f(-2.048,-2.048)=3905.93,其中后者为全局最大点。

两种算法各进化50代后的结果如表1所示:

基本遗传算法与蜂群算法搜索时搜索的代数与搜索最优解的关系分别如图2和图3所示:

由上面的测试结果可知,蜂群算法比基本遗传算法能更快、更准确地收敛到全局最优解,命中率较高。蜂群算法的性能明显高于基本遗传算法,能快速准确地搜索出全局最优解,是生物模型与计算机模型的较好的结合,是对于遗传算法的成功的改进。

4 总结

本文使用独立的编码方式使得染色体的变化不过多地局限于小数点后一些对结果影响不大的位,使染色体的变化在解的空间上能有较大的跨越,加快了向局部解收敛的速度。

灾变的应用使算法能突发性地从局部最优解跳出,重新选择方向,向着全局最优解的方向进化,使得算法能较准确地搜索出全局最优解。

总体上说,蜂群算法是个与传统的遗传算法很不一样的过程,它的结果只强调于每一代中的一个最优个体,好像是针对性偏强,却在反映物种多样性上偏弱,但是正是因为它的针对性较强,将目标紧紧地盯住全局最优解,所以才能快速、准确地搜索出全局最优解。此外,该算法很灵活,在雄蜂的选择、蜂后与雄蜂交配的概率、工蜂对幼蜂的抚育作用这些地方都可以针对不同的问题而使用不同的选择标准或启发函数,具有很大的发展空间。

而且蜂群算法中也存在着一般遗传算法没有出现过的特殊现象:一般的遗传算法每代的平均适应度会随着进化代数的叠加而不断提高,而蜂群算法却不一样,它每代的平均适应度是不受代数影响的,有时可能保持好多代都不变,有时甚至会减小。而这种现象的产生也是由蜂群算法的特点所决定的。因为在进化到一定程度时,蜂后在不断地进化,雄蜂也在不断地进化,可能当前的蜂后和雄蜂都是当时最好的,所以它们可能是一代中许多幼蜂的父母或者甚至是以后好多代的父母,相同的基因产生的初始幼蜂当然相同,而且可能每个幼蜂经过变异后的基因都不如当前的情况,所以蜂群就好像陷入了一个停滞不前的情况了,许多代的平均适应值都是一样的。而平均适应度的减小则是因为蜜蜂的单倍体交叉特性,可能蜂后和雄蜂的适应度都是高的,可经过单倍体交叉后,恰好雄蜂染色体中的有利基因被标记了,而蜂后在对应标记位上的基因是不利的,所以产生的幼代的适应度反而会降低。

摘要：函数优化是算法应用中的基本问题,蜂群算法作为遗传算法与生物种群习性特征相结合的新算法,比较适合于此类问题的求解。本文首先对蜂群算法进行了简单的描述,设计出基于蜜蜂婚配过程的计算机实现的同等模型。使用实例测试蜂群算法的运行效果,并将其结果与基本遗传算法的结果进行比较。实验结果表明,蜂群算法全局搜索能力强,具有较快较好的发现最优解的能力。

关键词：蜂群算法,遗传算法,函数优化

参考文献

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