旋转对称结构

旋转对称结构（共5篇）

旋转对称结构 篇1

0 引言

旋转对称结构零部件是指在结构上具有旋转对称性特征的一类零部件。例如,在发动机和变速箱中用于传递力与运动的齿轮(如图1示),就是一种典型的旋转对称结构零部件。这类零部件广泛地存在于各类机械设备和系统中,并在其中发挥着重要作用,准确评估这类零部件的可靠性对于整个设备的安全运行和维修管理都具有重要意义。

旋转对称结构零部件由于结构上的特殊性,在对这类零部件进行可靠性分析时,如何科学地体现结构特征的影响,将直接影响零部件可靠性分析与评价结果的准确性。国内外学者先后对齿轮、涡轮等旋转对称结构零部件的可靠性进行了研究[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。例如,杨周等[2]建立了圆柱齿轮传动的可靠性灵敏度设计模型,研究了设计参数的改变对圆柱齿轮传动可靠性的影响。王安麟等[3]建立了行星齿轮的可靠性优化设计模型。这些模型在建立过程中大多针对旋转对称结构零部件的某一危险部位进行可靠性分析,并以此作为零部件的可靠度,不能够反映旋转对称结构特征对其可靠性的影响。

本文将运用应力-强度干涉模型,在分析旋转对称结构特点的基础上,建立起具有旋转对称结构零部件的可靠度计算模型,并以齿轮对应齿根弯曲疲劳失效模式的可靠度计算为例对其进行应用。

1 应力-强度干涉模型

应力-强度干涉模型被广泛地应用于机械零部件和系统的可靠性分析与计算,与传统安全系数法比较,应力强度干涉模型能够反映应力和强度不确定性对可靠性的影响。根据应力-强度干涉模型,可靠度为影响失效的应力没有超过抵抗失效强度的概率。在这里,应力是指导致零部件或系统失效的外部因素,例如,载荷、温度、湿度、腐蚀等;强度是指对应于各种应力的抗力,例如,疲劳强度、耐热性、耐湿性、耐蚀性等[10]。

由应力-强度干涉模型可知,当零部件或系统的应力大于其强度时便会发生失效;相反,当应力小于强度时,零部件或系统是可靠的。

如果用fδ(δ)表示强度δ的概率密度函数,用fs(s)表示应力s的概率密度函数时,根据应力-强度干涉模型,可靠度可以表示为如式(1)所示的计算表达形式,即:

在应力和强度概率分布函数已知的情况下,便可以运用式(1)计算得到可靠度。

2 旋转对称结构零部件可靠性模型

旋转对称结构零部件通常都具有若干个对称单元,例如,图1所示的齿轮就由若干轮齿对称单元组成。旋转对称结构零部件在工作过程中,每个对称单元的危险部位都有可能成为最早发生失效的部位,例如,齿轮在实际工作过程中任意一个轮齿单元的应力最大位置都有可能成为首先发生失效的部位。因此,在对旋转对称结构零部件进行可靠性分析时,可以将旋转对称结构零部件视为由若干对称单元组成的串联系统。

下面,以具有n个对称单元的旋转对称结构零部件为例,用事件S表示“零部件不发生失效”,用事件Ci表示第“i个对称单元不发生失效”。由于各对称单元的失效均会引起零部件的失效,因此事件S与事件Ci之间存在如下的失效逻辑关系,即:

旋转对称结构零部件的可靠度R在数值上等于事件S发生的概率,即:

假设旋转对称结构零部件的对称单元强度δ概率密度函数和累积分布函数分别为fδ(δ)和Fδ(δ)。当应力为确定值s时,旋转对称结构零部件的可靠度可以表示为:

当应力s为随机变量时,其累积分布函数和概率密度函数分别为Fs(s)和fs(s),根据应力-强度干涉模型,旋转对称结构零部件的可靠度为:

式(5)所示的旋转对称结构零部件可靠度计算模型中包含了对称单元数,能够反映出旋转对称结构特征对零部件可靠性的影响。

3 实例

某齿轮传递功率为P=28±5k W,小齿轮转速为n1=970r/min,齿宽b=35mm,齿数比u=3,齿数z1=25,模数m=3mm,齿轮材料均为40Cr钢,表面硬度HB=400±15,制造精度为7级,齿轮表面粗糙度Rz=3.2μm,载荷有小冲击,单向传动,选用50℃时运动粘度为80c St的润滑油,计算齿轮对应齿根弯曲疲劳失效模式的可靠度[11]。

为简化计算过程,将模型中的一些参数和系数作为常量,其余随机变量均服从正态分布。计算过程如下:

(1)计算转矩T的均值和标准差:

其中,功率P的标准差按照“3σ原则”计算,即3σp=△P。

(2)计算齿根的弯曲应力sF:

(3)计算齿根弯曲疲劳强度δF:

齿根弯曲疲劳强度δF的均值为:

齿根弯曲疲劳强度δF的标准差为:

(4)计算齿轮对应齿根弯曲疲劳失效模式的可靠度R:

将上述所求的值代入式(5)中,可以得到齿轮对应齿根弯曲疲劳失效模式的可靠度为:

如果不考虑齿轮的旋转对称结构特征,直接运用式(1)计算得到的齿轮可靠度为:

通过上述计算结果的对比可以看出,考虑旋转对称结构影响时齿轮的可靠度小于不考虑旋转对称结构影响时的可靠度。因此,忽略齿轮的旋转对称结构特征,直接运用应力-强度干涉模型得到的齿轮可靠性评价结果实际上是偏于危险的。

4 结论

本文分析了旋转对称结构零部件的特点,根据旋转对称结构零部件与对称单元之间的失效逻辑关系,将旋转对称结构零部件等效为由若干对称单元组成的串联系统。在此基础上,运用应力-干涉模型建立了旋转对称结构零部件的可靠度计算模型。以齿轮这一典型的旋转对称结构零部件为例,针对齿轮的齿根弯曲疲劳失效模式,研究了考虑旋转对称结构特征影响时的齿轮可靠度。研究表明,忽略齿轮的旋转对称结构特征,直接运用应力-强度干涉模型得到的齿轮可靠性评价结果实际上是偏于危险的。本文可靠度计算模型能够较好地体现旋转对称结构特征对零部件可靠性的影响。

摘要：针对具有旋转对称结构零部件的特点,研究了旋转对称结构零部件的可靠度计算方法 。分析了旋转对称结构零部件的失效逻辑关系,在可靠性建模过程中将旋转对称结构零部件视为由若干对称单元组成的串联系统,运用应力-干涉模型建立了旋转对称结构零部件的可靠度计算模型。以齿轮为例,考虑旋转对称结构特征的影响,研究了齿轮对应齿根弯曲疲劳失效模式的可靠度。研究表明,考虑旋转对称结构影响时计算得到的齿轮可靠度小于不考虑旋转对称结构影响时的可靠度。本文所建立的可靠度计算模型能够较好地体现旋转对称结构特征对零部件可靠性的影响。

关键词：零部件,旋转对称结构,可靠度,齿轮,应力-强度干涉

旋转对称结构 篇2

[关键词]轴对称；概念；平移；旋转

作为基础教育中的一门重要学科，数学在整个初中学习中的必要性和重要性是可想而知的。对于初中学生，数学课程的学习过程，不仅直接关系着学生各方面素质的提高，而且对于学生的创新能力有不可低估的作用。因此，在当前新的教育背景下，如何有效地开展初中数学教学，优化学生各方面的能力，有赖于我们教师观念的改变。本文是笔者就自己的一点经验，以轴对称与轴对称图形教学设计为例，说明一种有效、科学的初中数学教学模式。

一、分析所授内容在整个教学过程中的地位和作用

学生在初步学习了有关平面图形的知识基础之后，对轴对称与轴对称图形进行学习，这一课的教学内容较为独立，教材在设计上富有美感，是一堂培养学生数学审美情趣的概念课。本节课内容属于“空间与图形”这个大范畴，学生已有的知识基础是认识方位与简单的平面图形。这一课为以后学习简单图形旋转90°打下了基础。本节课中，提供了很多民间剪纸、脸谱图案、天安门城楼等图片，教师可以在课外收集到许多学生感兴趣的图片，为本课创设了一个具有强烈美感的氛围，让学生在欣赏美的同时引出疑问，发现轴对称图形的特征。本课内容比较重视实践活动，笔者在实践中摸索，在解读教材和初步的教学设想之后，研究出以下教法。

二、应考虑数学概念的抽象性

轴对称图形是一个数学概念，数学的特点之一即是抽象性，数学抽象性表现在很多方面，其中重要的一个方面是研究对象的抽象性，即数学不直接以客观世界实实在在存在的对象为研究对象，而是将客观世界存在对象的质抽象掉（这个质往往表现为物理性质或化学性质），只保留其数量关系与空间形式。

具体到轴对称图形这个数学概念的教学，我们应该注意客观事物的对称属性与数学中轴对称图形的联系与区别。

首先，我们应该注重从客观事物的对称属性到数学概念对称图形的抽象过程，就具体实施而言，可以是先出示一些有对称属性的实物（如飞机模型、蝴蝶标本、对称的布娃娃等），再引导学生按一定的方式将其抽象成平面图形，然后观察这些平面图形的特点，这个过程即体现了对称图形这个数学概念与现实世界中的对称属性的联系。

其次，我们也应该认识到，客观世界的对称属性与数学中的对称图形毕竟不同，为了说明这个观点，引用网上的一个问题和相应的讨论。

帖子一：书上在讲授轴对称图形的时候，所举实例为：树叶、蜻蜓、天平，在下面的“做一做”中判断是否是轴对称图形时有：天安门、奖杯、小汽车请问这些图形是按照平面图形（实物图片）来理解还是按照实物来理解？

帖子二：飞机（实物）是否是轴对称图形？树叶（实物）是否是轴对称图形？我们应该如何回答学生的问题？

帖子三（对以上问题的回复）：首先，立体的图形不讲轴对称，只讲关于一个平面对称和关于一个点对称我们想像中的飞机（实物）是轴对称，事实上讲的是飞机关于一个平面对称（笔者注：严格而言，空间也有轴对称。空间的轴对称是指绕这轴180度空间旋转）其次，实物不可能是图形，飞机（实物）也就不可能是轴对称图形，我们只是说飞机具有某种意义上的对称属性。

另外，我们讲的轴对称也好，中心对称也好，都是讲数学概念。数学概念是抽象的，因为概念是从大量的现实事物与现象中抽象出来的，在我们理解抽象概念的过程中，往往需要借助于大量的现实事物与现象，而这大量的现实事物与现象毕竟不是概念本身，因此，在学习概念时，特别是为概念找现实事物与现象时。如果又严格用数学概念来度量，来评判这些事物与现象，是不恰当的，比如认识角时，在生活中找到角后，比如桌面一角，又討论边（桌子边）是否够直，角顶点是否够尖等，殊不知在生活中是找不到数学概念（如图）本身的，我们找到的都是模型，对称也是如此，数学研究者从现实生活（有时也包括数学本身）中的大量对称现象中抽象出轴对称的概念，我们学习这个概念时，就需要通过找对称现象加深理解，但是我们找到的对称现象毕竟不是轴对称本身。

笔者认为，在教学对称图形的过程中，具有对称属性的现实图形或写实图片，宜在揭示概念之前出示，为学生理解数学概念服务，当学生初步认识了对称图形的概念以后，在借助概念进行辨别与判断时，最好使用抽象的图形而不是实物或实物的写实照片。

三、轴对称图形的平移和旋转的教学方法

对称是这一课中最基本也是较为简单的内容。在领略图形的静态美——对称后，接下来我们就要欣赏图形的动态美——平移和旋转。

平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个方向移动一定的距离；旋转简单来说就是围绕着一点作圆周运动。我们还是从动手操作开始，根据教科书的内容，让学生将一个图形从方格纸上移到指定的位置，从简单的上、下、左、右，到斜上、斜下，提供他们自主思考的机会，了解平移的本质，并让他们找出平移的特点，比如平移后图形的大小和形状不变、对应点连接成的直线平行且相等，等等。

数学的学习需要学生主动，教师只要稍加提示就好，当学生说出自己的想法后作总结，要积极鼓励他们去思考。

如果说平移是物体的位置变化，旋转就是物体绕一个轴转动。相比较而言，旋转是较难理解的内容。学习旋转时可以从实际出发，电风扇、旋转木马、转动的陀螺都是旋转。通过实例来讲解，更容易让学生理解。在学生心中旋转是什么样的呢？可以画一个图形，让学生画出它绕一个点顺时针转90度后的样子，研究它旋转后有什么变化，进一步解读旋转的概念，在脑海中形成具体的印象。圖形的平移和旋转的教学主要还是要与实际相结合，用生活中各种各样的图形来刺激他们的感官，鼓励学生多观察、多实践，在探索和成功中激发学生的自信心，使之自主学习。

在领略图形的美后，我们可以，让学生在生活中寻找对称、平移和旋转。在激发学生学习兴趣的同时，巩固这节课的学习内容，使课堂活跃起来。

参考文献：

[1] 邢成云，蔡红.轴对称图形（第1课时）课例（一）.中学数学教学参考（中旬），2009（7）.

[2] 孙长智.轴对称图形（第1课时）课例（二）.中学数学教学参考（中旬），2009（7）.

[3] 徐久虎.轴对称图形（第1课时）课例（四）.中学数学教学参考（中旬），2009（7）.

[4] 杜先存，晏巧菊.轴对称课例综合点评.南昌教育学院学报，2011（7）.

旋转对称结构 篇3

固体物理学教程 (第5版) 第一章“晶体的结构”, 是固体物理学重要的知识环节。而第6节“晶体的对称性”又是本章中的重点难点之一, 它对晶体的对称性进行了阐述。若仍像以往一样, 仅泛泛的讲授, 学生收获不大, 如果作为研究课来学习, 它却是培养大学生研究性学习的能力和创新能力的好内容。同时可消除学生对固体物理学的恐惧感, 培养学习兴趣, 提高学习效率, 此外它对于培养学生的三维空间想象能力、慎密的逻辑思维和综合分析问题的能力。正是基于这种想法, 我们开展了研究性学习的尝试。

2 晶格旋转对称性问题的提出

为了开展这次研究性教学, 在讲“晶体结构”这一章节时, 让学生查阅教材和相关参考资料完成这样一个问题:为什么晶体的周期性限制了晶体没有5重对称性, 晶格旋转对称性是怎样证明的?通过这样一个问题设计, 引导学生参与到这样一个研究性教学过程中来, 通过他们自己查资料, 看教材, 去试着分析问题, 解决问题, 通过这个环节可增强学生的学习兴趣和培养他们自主研究性学习的能力。

3 问题完成情况调查, 适时提问

在进行课堂研究性教学前对学生问题完成情况进行一次调查, 发现学生基本都找到了问题的解决方案, 具体方案有两种:一种是双轴证明法;一种为单轴证明法。调查中发现学生对问题的解决的理解还是比较模糊。适时提问:对于不同的证明方案, 同学有没有想过是否都合理?通过调查可更好的设计课堂研究性教学。

4“晶格旋转对称性”课堂研究性教学

课堂教学充分发挥学生的主动性和积极性, 让同学进行分组讨论两个问题: (1) 具体证明方案; (2) 哪种证明方案更合理?将小组讨论结果进行对比分析, 讨论结果为:具体证明方案有两种, 一种是双轴证明法;一种为单轴证明法。而对于哪个方案更合理问题, 同学的意见发生分歧, 意见不一, 在这种情况下老师开始介入进行课堂教学, 分别讲解两种证明方案, 并进行比较分析。

4.1 双轴证明法

如图1所示, A和B是一晶列上两最近邻格点, 如果绕A点并垂直于纸面的的转轴逆时针转动θ角, 则将使B格点转到点B′位置, 由于转动不改变格子, 在B′必定原来就有一个格点, 同样绕B点并垂直于纸面的转轴顺时针转动角, 将使A格点转到点A′位置, 说明A′处原来必定有一格点由图可见则其中为整数根据图形的几何关系得:A′B′=AB (1-2cosθ则有:m= (1-2cosθ) 由于-1≤cosθ≤1, m取值为-1、0、1、2、3五个值, 则θ=2π, π/3π/2, 2π/3π。写成通式, 则为2π/n, n=1, 2, 3, 4, 6, 称n为转轴的度数, 可见, 晶格的对称性不允许有5度旋转对称轴。

4.2 单轴证明法

如图2所示, 设晶格常数为a, A和B是一晶列上0点的两最近邻格点, 如果绕O点并垂直于纸面的的转轴逆时针转动θ角, 则将使B格点转到点B′位置, 由于转动不改变格子, 在B′必定原来就有一个格点, 同样绕O点并垂直于纸面的转轴顺时针转动θ角, 将使A格点转到点A′位置, 说明A′处原来必定有一格点, B′A′=2a cosθ=ma, 则cosθ=≤1, m=0时, θ=;m=2时θ=π、2π;则独立的转角为θ=2π、π、2π/3、π/3, 写成通式, 则为2π/n, n=1, 2, 3, 4, 6可见, 晶格的对称性不允许有5度旋转对称轴。

教师引导学生并点评:我们发现晶体的周期性限制了晶体没有5重对称性, 而哪种证明方法更为合理呢?让学生充分讨论并总结, 因为晶格的旋转对称操作是点群的对称操作, 并不涉及晶格的平移对称性, 在操作时应至少保持一点不动, 但双轴证明方法不满足至少应保持一点不动这一点。而单晶轴证明方法克服了双晶轴证明方法的不足, 所以单轴证明法更合理。

5 撰写一篇小论文

在课堂教学结束后, 布置同学写一篇有关这次“晶格旋转对称性”研究性教学学习过程和心得, 以及开展这次研究性学习收获, 从中体会学习固体物理学的经验或教训、探究物理问题的方法或思路等, 为进一步开展研究性学习总结经验, 以提升学生的思考和研究性学习能力。

6 结论

随着信息时代科学技术革命的飞速发展, 新兴科学大量涌现, 知识量急剧膨胀, 知识更新过程空前加快, 人类近30年来所积累的科学知识占有史以来积累的科学知识总量的而大学培养人才应该着眼于面向市场需求适应科技发展需要, 引领文化传承和知识创新。而现在很多大学的教学方式还是保留着传统的教学方式:老师讲, 学生听, 以掌握书本的内容为主要目的, 只要考试能及格就是合格的大学生, 这是远远不够的, 所以对一门学科的教学, 不再仅仅是为了让学生了解、知道、掌握等, 而是要带领学生去研究这门课, 教会学生学习的方法, 指导他们怎样理论联系实际。我国著名的教育家叶圣陶先生说过:“教是为了不教”, 而为了这不教, 通过这次晶格旋转对称性的研究性教学, 引导学生领会知识内容、提出问题、提出见解, 逐步形成良好的思维能力, 为学生其他课程的研究性学习和进一步开展科学研究, 以及将来走向社会创造性、研究性地开展工作打下良好基础

摘要：探讨了开展“晶格旋转对称性”研究性教学的具体措施, 旨在消除大学生对固体物理学的恐惧感、培养大学生研究性学习的能力和创新能力。

关键词：固体物理学,晶格,研究性学习

参考文献

[1]王矜奉.固体物理教程[M].济南:山东大学出版社, 2004, (4) .

[2]黄昆, 韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社, 1988, (1) .

[3]刘思平.固体物理教学改革的探索[J].湖南农机, 2007, (5) :74-75.

[4]王晶.固体物理学课程教学改革与实践[J].高等教育与学术研究, 2008, (3) :71-73.

旋转对称结构 篇4

关键词：叶轮,配准,旋转不对称性,误差检测

0引言

几何对称性是指零部件中的局部特征经过几何变换后重复出现在多个位置的一种现象。几何对称性在工业产品中得到了广泛应用,也是影响产品结构和性能的重要因素。例如整体叶轮就是一类典型的具有旋转对称性的零件,多个外形相同的叶片周向均匀分布在轮毂上。整体叶轮在制造过程中会受到各种因素的影响,以致叶轮中的叶片会产生旋转不对称性的误差,其旋转不对称程度对涡轮产品的噪声、振动、工作效率等性能均产生极大影响。

整体叶轮零件的叶片具有复杂的自由曲面外形,常选用面轮廓度作为评估指标,如文献[1 - 3]。为更好地评估叶片外形,文献[2]还采用叶片截面积叠点的位置度、 截面扭转度等指标。文献[3]还给出叶片截面倾斜度、弯曲度和扭曲度等指标。可以看出,这些评估指标主要是针对叶轮中的单个叶片,虽然在一定程度上也反映了整体叶轮的旋转对称程度,但并不直接。

旋转不对称性可以通过两大要素来计算和分析: 对称中心和对称周期。对称中心是整体叶轮的旋转中心,对称周期就是相邻叶片间的夹角。如何在自由曲面特征的测量数据中提取对称中心,近年来有一些研究成果发表。文献[4]提出了一种基于迭代最近点数据配准的对称平面提取算法,但这不适用于旋转对称物体。针对散乱点云模型,文献[5]给出了三维形状的对称性描述并提出了基于快速自相关性模型配准的对称轴或对称平面的提取方法, 并将对称性应用于模型的修复。文献[6]的研究对象主要是针对自然界的一般物体模型且对称性未知的情况,对有CAD数模的外形检测并不合适。

文中研究整体叶轮零件旋转对称性的误差计算方法, 确定整体叶轮外形检测的基准,提出一种基于数据配准的旋转中心轴线、旋转角提取方法,并给出描述旋转对称性的评估指标计算方法。

1旋转对称性评估指标

整体叶轮的旋转对称性可以用旋转中心轴线的同轴度和旋转角度的均分度这两项指标来表示。在测量的点云数据和理论模型的基础上,以叶轮中的圆柱面和叶片数据为基准将点云数据与理论模型进行配准,将此配准后的点云数据与理论模型的位置作为基准位置,将点云数据中的每个叶片数据与相邻理论模型中的叶片数据进行配准, 通过此配准计算出旋转轴与理论轴的夹角误差、旋转过的角度与理论叶片之间角度的误差还有及旋转之后此时点云数据中叶片与此位置的理论模型轮廓度误差。

2基准确定

整体叶轮由轮缘、轮体、叶片和轮毂组成。叶片部分由叶型、叶根和叶顶组成。

在作下一步的旋转对称性分析之前,要确定一个基准位置,所以要先配准点云数据和理论模型数据,因为误差的分析是以理论的旋转轴和旋转角度为基础的,所以首先将点云数据中的圆柱面数据与理论模型中的圆柱面数据配准,步骤如下:

1) 首先采用粗配准的方法,使点云数据与理论模型数据对齐,但是有一定的误差。粗配准地方法采用的是三点法配准,先在点云数据上选3个比较有特征的点,然后在理论模型上选取对应的3个点,通过对齐这3对对应的点,就可以使点云数据与理论模型数据大致对齐,为下一步的精配准做好了准备。

2) 粗配准之后,要进行精配准。精配准的过程采用的是ICP[6]配准的方法,对叶轮中圆柱面上的每一点在设计数模上寻找欧氏距离最近点作为对应点。通过这组对应点并迭代更新乘子向量,使目标函数最小化来得到最优的旋转矩阵R和平移向量T。将旋转矩阵和平移向量作用到测量点云上,得到新的测量点云带入下次迭代过程。

3) 在通过上述的两个步骤之后对齐了理论模型的圆柱面与点云数据的圆柱面,为了能进行下一步旋转中心轴线和旋转角的提取,还要将理论模型的叶片与点云数据的叶片对齐。可通过配准点云数据中的叶片与理论模型中的叶片得出点云叶片与理论模型叶片之间的转角,然后将点云数据的叶轮绕轴旋转此角度,可将点云数据的叶片与理论模型的叶片对齐。

3旋转中心轴线与旋转角提取

在完成了上面的基准位置确定之后,为了能得出叶片的旋转中心轴线和旋转角度,还要将每个点云数据中的叶片与其顺时针方向相邻理论模型中的叶片进行配准。通过该配准可得出这两个叶片之间的旋转矩阵R和平移矩阵T,再通过转化可得出旋转的角度和旋转中心轴,将此旋转角度与旋转中心轴。与理论叶轮中的旋转轴与旋转角度做对比,可得出位置误差,再将旋转后的点云数据中的叶片与理论叶轮中的叶片做对比,可计算出轮廓度误差。

通过配准方法计算出点云叶片与理论叶片之间的旋转矩阵R和平移矩阵T后,通过下面的方法可提取点云的旋转中心轴线和旋转角度[7]:

先将旋转矩阵R转化成四元素向量qR( R)

再将此四元素向量转化为旋转轴向量为nq( q) 和旋转的角度为 αq( q) :

通过下列公式( 4) 可求出旋转轴向量中的某一点A为[8]:

通过上述方法可计算出叶片的旋转中心轴线与旋转角度。

通过上述方法计算出旋转轴向量和旋转角度后,还必须对理论模型中的的旋转轴向量与理论叶片中的旋转角度进行计算。理论模型中的旋转轴向量的位置为叶轮中圆柱面的轴线向量,叶片间的理论旋转角度为360° /叶片个数。

点云模型叶片与理论模型叶片之间的旋转轴向量nq( q) 、旋转角度 αq( q) 和理论叶轮中叶片间的旋转向量np( p) 、旋转角度 αp( p) 计算出来后,可以对叶片的形位误差进行分析。首先对位置误差进行分析,位置误差可用图1的( a) 和( b) 来表示。

图1( a) 表示的是旋转轴向量间的夹角误差,该夹角的误差表示的是实际叶轮中的叶片由于旋转不对称的影响,导致叶片间的旋转可能不在同一个平面内的,导致实际叶片间的旋转轴向量与理论叶片间的旋转轴向量有一点的夹角。图1( b) 表示的是实际叶片间的旋转的角度与理论叶片之间的角度有一定的误差。该误差也是由于叶片的旋转不对称性造成的,导致叶片与叶片之间的角度与理论角度有一定的误差。

4实验

图2( a) 为测量数据叶片中的点与理论模型中的点相对于理论轴线的误差,图2( b) 为测量数据叶片中的点与理论模型中的点相对于轴线间向量之间的夹角误差。

从图2中可以看出,测量数据中的叶片与理论叶片之间有一定的误差,说明实际中的叶片确实存在一定的旋转不对称性的误差。

5结语

旋转对称结构 篇5

“轴对称、平移与旋转”是在“图形的运动”下给出的“保持任意两点间直线距离不变”、“运动后物体形状不变”,直观地说,就是这三种运动保持图形的全等,刻画了“两个全等图形”特定的位置关系,不同变换之下的图形之间都具有各自不同的性质,这些性质不仅能为合情推理提供依据,同时也是解决许多实际问题的重要工具.2011版《课程标准》与《实验稿课程标准》相比加强了对中心对称性质的解读,新增了对正多边形的中心对称性质的要求,降低了对轴对称、平移两种变换的某些细节要求.

“轴对称、平移与旋转”在初中数学中的地位主要体现在,从变换的角度来研究点、线段、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等图形,也作为重要的研究手段和方法在作图、探索与发现图形性质及图形关系等方面得以应用,有助于学生对这些几何图形形成更为概括的认识,对提高学生的空间观念和合情推理能力具有重要的作用.

二、2015考法分析

“轴对称、平移与旋转”这一部分知识易于考查学生动手操作能力,近年来中考中在课改实验区考查较多,并逐步为其他地区所接纳和认同,随着今后中考越来越强调考查动手操作能力、空间想象能力、应用意识、审美意识等,这部分知识将更多地结合其他几何知识出现在综合考查项目中,成为全国各地中考的必考内容.统计2015年全国各地123套中考数学试题中,考查“轴对称、平移与旋转”的试题有123套共440分,占全部试题的100%,占123套中考数学试题中“图形与几何”部分考查总分值的6.62%.2015年全国各地中考数学试题通过直接设置轴对称、平移与旋转问题,考查不同的图形变换的特殊性质;通过图形的变换构造新的图形与数量关系,考查学生综合运用知识解决问题的能力.

(一)考查“轴对称、平移与旋转”的认识

2015年全国各地中考数学试题中,大都采取灵活多样的呈现形式考查“三种变换”的基本概念和基本性质,关注了“三种变换”的应用.

(二)考查“轴对称、平移与旋转”的性质

“轴对称、平移与旋转”的性质是中考必考内容,图形变换将原来静止的图形赋予新的“生命”在“动”中探寻不变的规律;在图形运动过程中感受动与静、变与不变、由特殊到一般再由一般到特殊的辩证统一关系;由此成为中考命题中不可或缺的考查对象.统计2015年全国各地123套中考数学试题中,考查“轴对称、平移与旋转”的性质试题有123套共338分,占全部试题的100%,占123套中考数学试题中“图形与几何”部分考查总分值的5.08%.

(三)考查“轴对称、平移与旋转”的应用

2015年全国各地的中考数学试题中,注重以图形变换为载体,使几何图形由静态转到动态,丰富了图形之间的联系,借此考查学生对“轴对称、平移与旋转”的综合运用能力.2015年全国各地中考数学试题,借助三种变换设置综合问题,考查学生探索图形变换中的规律的能力,突出了对学生基本数学思想和基本活动经验的考查.

1.“轴对称、平移与旋转”的综合应用

从不同角度利用“轴对称、平移与旋转”构造数学问题,结合全等三角形、相似三角形的有关知识,寻找图形轴对称、旋转、平移过程中的不变量的规律对提高学生空间观念和合情推理能力具有重要作用.

2.“轴对称、平移与旋转”的实际应用

“轴对称、平移与旋转”这部分知识与实际生活密切相关,是近年中考命题的热点问题,是应用数学的概念、原理和方法的解决实际问题很好的载体,也很好地实现了对数学核心素养中的数学抽象、推理能力、模型思想、几何直观等方面的考查.

三、近年来“轴对称、平移与旋转”部分体现数学核心素养考法的对比分析

“轴对称、平移与旋转”是近年来全国各地中考数学试题中最能体现“几何直观、推理能力、数学抽象、模型思想”等数学核心素养的试题命制框架,是能结合初中阶段所有几何图形研究问题的载体,并且全国各地中考试题中对不同背景下全等变换问题的考查加强了向探究性、操作性的转变,对“重视综合与实践、积累数学基本活动经验”做了很好的诠释.例如,2015年四川省达州市中考试题、2015年湖北省襄阳市中考试题、2014年云南省昆明市中考试题都有所体现.它们来自不同年份不同省市的中考题,均考查利用轴对称变换的性质解决问题.试题背景几乎一致,只在所设置问题中体现其各自风格.可见,全国各地不同省市大都在各自的命题时保持各自在共性与个性方面特有的风格.