求参数范围

求参数范围（精选10篇）

求参数范围 篇1

新课标下越来越注重对学生的综合素质的考查, 函数的零点是函数图像的一个重要的特征, 同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容。通过平时教学, 我总结了由零点求参数范围问题的几类题型。

类型一:妙拆“一化二”

类型二:巧解“二合一”

思维启迪: (1) 函数零点的确定问题; (2) f (x) =f (a) 的实根个数转化为函数g (x) =f (x) -f (a) 的零点个数。

因此, g (x) 有三个零点, 即方程f (x) =f (a) 有三个实数解。

类型三:数形结合更直观

例3, 已知函数f (x) 满足f (x+1) =-f (x) , 且f (x) 是偶函数, 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 若在区间[-1, 3]内, 函数g (x) =f (x) -kx-k有4个零点, 则实数k的取值范围是 () 。

评析:可将该函数“一化二”, 然后再同一平面直角坐标系中画出两个函数的图形, 利用数形结合解决问题。

评析:函数图像y=f (x) , y=g (x) 的交点个数及方程根的个数问题可转化成函数的零点问题, 步骤如下: (1) 构造函数h (x) =f (x) -g (x) , (2) 求极值, (3) 作图, 依图通过极值列条件。

由上述例子剖析了数学中常见的函数零点问题的题型及解法, 当然还有一些较简单的零点问题, 比如求零点个数问题、利用零点存在性定理解决零点所在区间问题, 这些题型都较为简单。值得一提的是, 各种类型的解决方法并不是完全孤立的, 而是互相渗透的。虽然方法表现不同, 但其实质却都与求函数的零点是等价的, 这也正体现了数学中的“统一美”。

求参数范围 篇2

南方RTK测量如何求七参数

通常最大距离小于10公里的测区，使用四参数就可以了，很多论文的实验结论都证明了对于小范围的测区，使用四参数坐标转换的结果优于七参数坐标转换的结果。

1.参数求解的过程基本相同，就是在测区中心位置架设好基准站，然后使用流动站新建工程，设置基本的投影的参数，如西安80坐标系，高斯投影，中央子午线，Y坐标常数500km等，2.直接使用流动站到三个及以上已知高等级控制点测量固定解状态下的坐标。

3.求解参数：依次输入已知控制点的成果坐标，并指定之前RTK测量获得对应控制点的坐标，保存参数后应用。

4.检核：使用应用参数后的RTK流动站，测量一个已知的控制点，并检查观测坐标值与成果坐标的互差。

南方灵锐S82RTK操作步骤及使用技巧 分享

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一．基准站部分

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1）基准站安装

１．在基准站架设点上安置脚架，安装上基座，再将基准站主机用连接头安置于基座之上，对中整平（如架在未知点上，则大致整平即可）。

注意：基准站架设点可以架在已知点或未知点上，这两种架法都可以使用，但在校正参数时操作步骤有所差异。

2.安置发射天线和电台，将发射天线用连接头安置在另一脚架上，将电台挂在脚架的一侧，用发射天线电缆接在电台上，再用电源电缆将主机、电台和蓄电池接好，注意电源的正负极必须连接正确（红正黑负），否则保险丝将被烧断。

注意：主机和电台上的接口都是唯一的，在接线时必须红点对红点，拔出连线接头时一定要捏紧线头部位，不可直接握住连线强行拨出。

2）主机操作

1．打开主机

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主机上只有一个操作按钮（电源键），轻按电源键打开主机，主机开始自动初始化和搜索卫星，当卫星数和卫星质量达到要求后（大约１分钟），主机上的ＤＬ指示灯开始５秒钟快闪２次，表明基准站开始正常工作。

2.打开电台

在打开主机后，就可以打开电台。轻按电台上的“ON/OFF”按钮打开电台，当主机上的ＤＬ指示灯开始５秒钟快闪２次时，同时电台上的TX指示灯会开始每秒钟闪１次。这时，整个基准站部分开始正常工作。电台后面有个扳手，是高低功率转换的，高功率为H（High），低功率为L(Low)。

注意：为了让主机能搜索到更多数量卫星和高质量卫星，基准站一般应选在周围视野开阔，避免在高度截止角15度以内有大型建筑物；避免附近有干扰源，如高压线、变压器和发射塔等；不要有大面积水域；为了让基准站差分信号能传播的更远，基准站一般应选在地势较高的位置。

二．移动站部分

1）移动站安装

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将移动站主机接在碳纤对中杆上，并将接收天线接在主机顶部，同时将手簿使用托架夹在对中杆的适合位置。

2）主机与手簿操作

1．打开主机

轻按电源键打开主机，主机开始自动初始化和搜索卫星，当达到一定的条件后，主机上的ＤＬ指示灯开始１秒钟闪１次（必须在基准站正常发射差分信号的前提下），表明已经收到基准站差分信号。

2．打开手簿

按住至少1秒，即可打开。

3）工程之星软件操作

1.启动工程之星软件

用光笔双击手簿桌面上“工程之星”，即可启动。

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注意：工程之星快捷方式一般在手簿的桌面上，如手簿冷启动（扣去电池）后则桌面上的快捷方式消失，这时请按路径：我的设备→Setup→ERTKPro2.0.exe安装。

2．启动软件后，软件一般会自动通过蓝牙和主机连通。如果没连通则首先需要进行设置蓝牙（设置→连接仪器→选中“输入端口：0”→点击“连接”）。

3．软件在和主机连通后，软件首先会让移动站主机自动去匹配基准站发射时使用的通道。如果自动搜频成功，则软件主界面左上角会有差分信号在闪动，并在左上角有个数字显示，要与电台上显示一致。如果自动搜频不成功，则需要进行电台设置（设置→电台设置→在“切换通道号”后选择与基准站电台相同的通道→点击“切换”）。

4．在确保蓝牙连通和收到差分信号后，开始新建工程（工程→新建工程），选择向导，依次按要求填写或选取如下工程信息：工程名称、椭球系名称、投影参数设置、四参数设置（未启用可以不填写）、七参数设置（未启用可以不填写）和高程拟合参数设置（未启用可以不填写），最后确定，工程新建完毕。

5．进行校正。校正有两种方法。

方法一：利用控制点坐标库求四参数（设置→控制点坐标库）。

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在校正之前，首先必须采集控制点坐标，一般大于2个以上控制点（采集数据的方法见后边叙述的数据采集部分），采集完成后在控制点坐标库界面中点击“增加”，根据提示依次增加控制点的已知坐标，然后点OK，继续增加原始坐标，选择第一项“从坐标管理库选点”，然后点左下角的：“导入”，选择当前工程名下的DATA文件夹里的后缀为“.RTK”的文件，选择对应点，然后确定，OK。同样的方法增加其他控制点，当所有的控制点都输入以后察看确定无误后，单击“保存”，选择参数文件的保存路径并输入文件名，建议将参数文件保存在当前工程下文件名result文件夹里面，保存的文件名称以当天的日期命名。完成之后单击“确定”。然后单击“保存成功”小界面右上角的“OK”，四参数已经计算并保存完毕。

说明：在求完四参数后，一定要查看一下四参数中的比例因子K,一般K的范围保证在0.9999～1.0000之间。这样才能确保采集精度。查看四参数：设置→测量参数→四参数。

方法二：校正向导（工具→校正向导），这时又分为两种模式。

注意：此方法只能进行单点校正，一般是在有四参数或七参数的情况下才通过此方法进行校正。也就是说，在同一个测区，第一次测量时已经求出了四参数，下次继续在这个测区测量时，必须先输入第一次求出的四参数，再做一次单点校正。此方法还可适用于自定义

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坐标的情况下。

A．

基准站架在已知点上

选择“基准站架设在已知点”，点击“下一步”，输入基准站架设点的已知坐标及天线高，并且选择天线高形式，输入完后即可点击“校正”。系统会提示你是否校正，并且显示相关帮助信息，检查无误后“确定”校正完毕。

说明：此处天线高为基准站主机天线高，形式一般为斜高，只能通过卷尺来测量。

B．基准站架在未知点上

选择“基准站架设在未知点”，再点击“下一步”。输入当前移动站的已知坐标、天线高和天线高的量取方式，再将移动站对中立于已知点上后点击“校正”，系统会提示是否校正，“确定”即可。

说明：此处天线高为移动站主机天线高，形式一般为直高，为一固定值2.065m。

注意：如果软件界面上的当前状态不是“固定解”时，会弹出提

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示，这时应该选择“否”来终止校正，等精度状态达到“固定解”时重复上面的过程重新进行校正。

6．校正完毕候，就可以进行采集数据或放样。

A．采集数据

将对中杆对立在需测的点上，当软件界面的状态达到“固定解”时,利用快捷键＂Ａ＂开始保存数据。此时需要输入点名和天线高。按B键两次为查看本工程所采集的所有测量点坐标。

注意：在选“直高”时天线高为2.065米，在选“杆高”时天线高为2米。

三．数据传输

在野外采集的数据都自动保存在手簿的“我的电脑→Ｆlashdisk→Jobs”中。我们需要的测量成果文件是以dat为后缀的文件,此文件自动存储在我们新建工程名文件下的DATA文件中。

传输前要做“文件输出”，把文件中多余信息过滤掉，方法为将“工程之星”软件打开，选择“工程”菜单下的“文件输出”，选择

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文件格式（“Pn”为点名，“Pc”为属性），然后选择“源文件”，即要转换的文件（只能转换当前工程下的文件），再点击“目标文件”，输入一个文件名保存，这个文件名不能与源文件同名，最后点“转换”，在提示转换成功后，退出工程之星。再把手簿与电脑连起来，把我们新建的文件全部拷贝到计算机上，用记事本打开*.dat的文件名。

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巧用分离参数法求参数的取值范围 篇3

恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．

例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．

思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．

解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．

20当0

a≥2x2－12xa≤2x2+12x在（0,12］恒成立．

令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)maxa≤g(x)min

∵0

且f′(x)=4x+12x2>12，

g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．

∴f′(x)>0,g′(x)<0，

∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．

∴f(x)max=f(12)=－12，

g(x)min=g(12)=32.

所以a的取值范围是［－12,32］．

点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．

二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用

在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．

例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．

思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．

解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：

∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，

∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．

点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．

三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用

函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．

例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)ex在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．

思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．

解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．

∵f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］

∴ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．

原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

方法一：（转化为恒成立问题）

x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．

注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．

令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．

g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，

即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．

方法二：（转化为二次方程实根分布问题）

10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．

20当 >0即a>4或a<－4时，a－22<0f(0)≥0a<－4

综上得a的取值范围是a≤4．

求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．

分离参数求参数范围的高考压轴题 篇4

解:分离参数求解:有唯一解, 下面只需画出的草图即可.

错解:, x∈ (0, 1) 时g′ (x) <0, 则g (x) 在 (0, 1) 单调递减, x∈ (1, +∞) 时g′ (x) >0, 则g (x) 在 (1, +∞) 单调递增, ∴g (x) min=g (1) =1, ∴2a=1∴a=.

仔细分析, 发现, 但是g (1) =1, 那么g (x) 在 (0, 1) 内怎么可能单调递减呢?

正解: (x>0) 的分母h (x) =x+lnx (x>0) 在 (0, 1) 内有零点 (这可以通过零点定理验证, 也可以通过作出两个函数y=lnx及y=-x的图像发现) .设这个零点为x0, x∈ (0, x0) 时g′ (x) <0, 则g (x) 在 (0, x0) 单调递减;x∈ (x0, 1) 时g′ (x) <0, 则g (x) 在 (x0, 1) 单调递减.又, 即x=x0为函数的渐近线, x∈ (1, +∞) 时g′ (x) >0, g (x) 在 (1, +∞) 单调递增, 因此, 可以作出 (x>0) 的草图, 又g (1) =1, ∴2a=1, a=.

例2. (2011新课标全国卷最后一题) 已知函数, 曲线y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为x+2y-3=0. (1) 求a, b的值; (2) 证明:当x>0, 且x≠1时, , 求k的取值范围.

分析:对于第 (1) 问, 易得a=b=1, 而对于第 (2) 问, 分离参数后所得函数需要多次求导, 最终使用罗必塔法则解决.

解: (2) ∵x>0∴分离参数得对恒成立,

附:罗必塔法则:当x→a (或x→∞) 时, 如果两个函数f (x) 与F (x) 都趋于零或趋于无穷大, 那么, 它们的比的极限可能存在, 也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式, 并分别简记为.如果极限为型或型未定式的极限, 并且存在或为∞, 则.

例3.已知函数, 求实数a的取值范围.

解:分离参数求解:x=0时, 显然成立.

下面求g (x) 的上界, (x>0) ,

∴sinx>0即x∈ (2kπ, 2kπ+π) (k∈N) 时, h′ (x) <0, h (x) 单调递减;

sinx<0即x∈ (2kπ+π, 2kπ+2π) (k∈N) 时, h′ (x) >0, h (x) 单调递增,

又h (2kπ) =6kπ>0, h (2kπ+π) =-2kπ-π<0, ∴h (x) 在每个区间 (2kπ, 2kπ+π) (k∈N) 内必有零点, 这些零点从小到大记为x1, x2, x3, …, 且它们都是极大值点, 所以g (x) 的上界要么在x=0处取, 要么在极大值点xi (i=1, 2, 3, …) 处取.

易求 (2kπ

数形结合 妙求范围 篇5

一、与函数零点或方程的根有关的取值范围问题例1已知a是实数，函数f（x）=2a|x|+2x-a，若函数y=f（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.

数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法，它在求取值范围问题中发挥着不可或缺的作用.下文举例说明.

一、与函数零点或方程的根有关的取值范围问题例1已知a是实数，函数f（x）=2a|x|+2x-a，若函数y=f（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.

数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法，它在求取值范围问题中发挥着不可或缺的作用.下文举例说明.

求参数范围 篇6

通过多年的高考试卷看, 求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点, 同时也是一个难点.考生有时会感到难度较大, 以至于得分不高.经过多年的数学教学实践, 探求了一些解决含参数问题的有效方法.叙述如下.

一、分离参数法

所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边, 然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围.这种方法可避免分类讨论的麻烦, 使问题得到简单明快的解决.

例1 已知函数g (x) =x2-ax+4=0在[2, 4]有零点, 求a的取值范围.

解 ∵函数g (x) =x2-ax+4在[2, 4]上有零点,

∴方程g (x) =x2-ax+4=0在[2, 4]有实根.

即方程$a=x+\frac{4}{x}$在[2, 4]有实根.

令$f(x)=x+\frac{4}{x}$, 则a的取值范围等同于函数f (x) 在[2, 4]上的值域.

又$\because f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x{}^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x{}^2}\ge 0$在[2, 4]上恒成立,

∴f′ (x) 在[2, 4]上单调递增.

∴f (2) ≤f (x) ≤f (4) , 即4≤f (x) ≤5, ∴4≤a≤5.

当然此题还有其他的解法在此不给予说明.

二、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量, 但函数的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度.可把变元与参数换个位置, 即把已知取值范围的变量作为主元, 把要求取值范围的变量看作参数, 再结合其他知识 (转化为一次或二次函数等问题即利用构造函数的思想) , 往往会取得出奇制胜的效果.

例2 若对于任意a∈ (-1, 1], 函数f (x) =x2+ (a-4) x+4-2a的值恒大于0, 求x的取值范围.

分析 此题若把它看成a的二次函数, 由于a, x都要变, 则函数的最小值很难求出, 思路受阻.若视a为主元, 从而转化为关于a的一次函数, 则给解题带来转机.

解 设g (a) = (x-2) a+x2-4x+4, 把它看成关于a的直线, 由题意知, 直线恒在横轴下方.

所以解得x<1或x=2或x≥3.

例3 若不等式2x-1>m (x2-1) 对满足|m|≤2的所有m都成立, 求x的取值范围.

解 设f (m) =m (x2-1) - (2x-1) , 对满足|m|≤2的m, f (m) <0恒成立,

$\therefore \{\begin{array}{l}f(-2)<0,\\ f(2)<0.\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}-2(x{}^2-1)-(2x-1)<0,\\ 2(x{}^2-1)-(2x-1)<0.\end{array}$

解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

例4 对于 (0, 3) 上的一切实数x, 不等式 (x-2) m<2x-1恒成立, 求实数m的取值范围.

分析 一般的思路是求x的表达式, 利用条件求m的取值范围.但求x的表达式时, 两边必须除以有关m的式子, 涉及对m讨论, 显得麻烦.

解 若设f (x) = (x-2) m- (2x-1) = (m-2) x+ (1-2m) , 把它看成是关于x的直线, 由题意知直线恒在x轴的下方.

所以解得$\frac{1}{2}\le m\le 5.$

三、数形结合法

某些含参不等式恒成立问题, 既不能分离参数求解, 又不能主参换位转为某个变量的一次或二次函数时, 则可采用数形结合法, 往往能迅速而简捷地找到解题途径.对于解含参不等式恒成立问题, 我们可以先把不等式 (或经过变形后的不等式) 两端的式子分别看成两个函数, 且画出两函数的图像, 然后通过观察两图像 (特别是交点时) 的位置关系, 从而列出关于含参数的不等式.

例5 若不等式3x2-logax<0在$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$内恒成立, 求实数a的取值范围.

解 由题意知:3x2<logax在$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$内恒成立, 在同一坐标系内, 分别作出函数y=3x2和y=logax的图像, 观察两函数图像, 当$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$时, 若a>1函数y=logax的图像显然在函数y=3x2图像的下方, 所以不成立;当0<a<1时, 由图可知, y=logax的图像必须过点$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$或在这个点的上方, 则$\log {}_a\frac{1}{3}\ge \frac{1}{3}.\therefore a\ge \frac{1}{27}.\therefore 1>a\ge \frac{1}{27}$.综上得:$1>a>\frac{1}{27}.$

数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化, 参数问题形式多样, 方法灵活多变, 技巧性较强.这就要求我们要以变应变, 在解题过程中, 要根据具体的题设条件, 认真观察题目中不等式的结构特征, 从不同的角度、不同的方向加以分析探讨, 从而选择适当方法快速而准确地解出.当然除了以上的方法外, 还有许多其他的方法, 值得一提的是, 各种方法之间并不是彼此孤立的.因此, 系统地掌握参数问题的解题方法, 无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助.

求参数范围 篇7

1. 利用集合间的包含关系求参数范围

例1已知函数f (x) =x2+ax+3, 在x∈[-2, 2]上单调, 求实数a的取值范围。

解:∵, 其图像为开口向上的抛物线, 对称轴为

即a≤-4或a≥4

评注:若已知二次函数在某个区间的单调性, 则只需借助二次函数对称轴与区间的位置关系即可建立关系式。

2. 利用函数单调性与导数之间的关系

1) 利用导数转化成恒成立问题求参数范围

例2已知函数f (x) =x3-ax-1

(1) 若f (x) 在实数集R上单调递增, 求实数a的取值范围;

(2) 是否存在实数a, 使f (x) 在 (-1, 1) 上单调递减?若存在, 求出a的取值范围;若不存在, 说明理由。

解: (1) 由已知得f′ (x) =3x2-a

∵f (x) 在实数集R上单调递增

∴f′ (x) =3x2-a≥0在R上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立。

∵3x2≥0∴只需a≤0

又a=0时f (x) =x3-1在实数集R上单调递增∴a≤0

(2) 假设存在实数a, 使f (x) 在 (-1, 1) 上单调递减, 则f′ (x) =3x2-a≤0在 (-1, 1) 上恒成立, 即a≥3x2, 又y=3x2在 (-1, 1) 上的最大值为3, ∴a≥3

评注:因为函数导数在某个区间的符号反映着函数在该区间的单调性, 所以若已知高次函数在某个区间的单调性求参数, 只需其导数在该区间大于 (小于) 等于零恒成立即可建立关系式。

例3已知向量a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) 。若函数f (x) =a·b在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求t的取值范围。

解:依定义f (x) =x2 (1-x) +t (x+1) =-x3+x2+tx+t

则f′ (x) =-3x2+2x+t

若f (x) 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 则f′ (x) ≥0在区间 (-1, 1) 上恒成立, 即t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立。

考虑g (x) =3x2-2x, 由于g (x) 的图像是对称轴为, 开口向上的抛物线, 故要使t≥3x2-2x在区间 (-1, 1) 上恒成立只需t≥g (-1) 即t≥5。而当t≥5时, f′ (x) 在区间 (-1, 1) 上满足f′ (x) >0, 即f (x) 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 故t的取值范围是t≥5。

评注:本题主要考查平面向量数量积的计算方法, 利用导数与单调性之间的关系转化成恒成立问题求参数。

(2) 利用导数转化成二次函数问题

例4已知函数f (x) =x3+bx2+cx+d在区间[-1, 2]上是单调递减函数, 求b+c的取值范围。

解:由f (x) 在区间[-1, 2]上是单调递减函数知

f′ (x) =3x2+2bx+c≤0在x∈[-1, 2]上恒成立。

因为f′ (x) 的图像为开口向上的抛物线, 由图像可知若f′ (x) =3x2+2bx+c≤0恒成立, 则f′ (-1) ≤0且f′ (2) ≤0

即3-2b+c≤0且12+4b+c≤0

评注:若导数是二次函数, 则可借助二次函数的图像由特殊点的函数值符号建立关系式。

3. 利用复合函数单调性原则求解

例5已知函数f (x) =loga (x3-ax) (a>0, a≠1) 在区间内单调递增,

求实数a的取值范围。

解:令u=x3-ax, 则u′ (x) =3x2-a

当a>1时, f (x) 在区间内单调递增, 必须有u′>0即

3x2-a>0在内恒成立, a<3x2恒成立

而, ∴a≤0与a>1矛盾。

当03x2恒成立

求参数范围 篇8

例1已知方程3x2- (2a+1) x-3a-18=0的两个根一个比5大, 一个比5小, 求a的取值范围.

例2已知方程x2+ (2a-3) x+4=0有且只有一个根在 (0, 1) 内, 求实数a的取值范围.

例3已知方程 (a-1) x2-2ax-a-2=0有且仅有一个根在2与3之间, 求a的取值范围.

例4求a的范围, 使方程ax2-x+a=0的一个根在区间 (0, 1) 内, 并求这时另一根在什么范围内.

例6若方程-2ax2+2x+3a+2=0的一个根大于1而另一个根小于1, 求实数a的取值范围.

例7关于x的方程x2+ (a-3) x+a=0, 若方程的一根在区间 (-2, 0) , 另一根在 (0, 4) , 求实数a的取值范围.

挖掘隐含范围避免求值增解 篇9

一、公式中角的隐含范围

例1已知tan,求cos(α-β)的值.

剖析:事实上中只有一个值成立,我们在使用同角公式的平方关系的开方过程中,忽视了公式隐含的角的范围,利用二倍角公式则可以避免增解

二、三角函数值中角的隐含范围

点评:由,可知,由三角函数值为正值可知,这样sin()=-显然sin(α+是增解,应舍去.

三、定义域中角的隐含范围

例3若sin2α=a,cos2α=b,求tan(α-).

剖析:由于tanx中要求,那么tan()中就有,而错解中tanα的隐含条件是,显然角的范围发生了变化,解集自然不同.若将视为单角,即在的条件下,可得正解.

四、三角形中角的隐含范围

例4在=

错解:因为siaA=,cosB=,所以,故cosC=-cos(A+B)=-cosA·cosB+sinA·sinB=.

剖析:由于A,B,C都是三角形的内角,而且根据sinB得到A

五、方程中角的隐含范围

例5已知是方程x2+6x+7=0的根,求α+β的值.

错解:由已知得tanα+tanβ=-6,tanα·tanβ=7,

剖析:从方程不难看出,tanα,tanβ是方程的两个负根,即tanα<0,tanβ<0,可见α,β∈(),故,则所以α+β

六、条件等式中角的隐含范围

例6 (2005年广东卷)已知α、β、γ成公比为2的等比数列,sinγ也成等比数列,求α、β、γ的值.

错解:因为α、β、γ成公比为2的等比数列,所以.

因为sinα,sinβ,sinγ成等比数列

几种求字母取值范围的常用方法 篇10

一、紧扣题意,直接求解

例1若不等式组无解,则m的取值范围为( ).

A. m<5 B. m>5

C. m≤5 D. m≥5

【解析】∵不等式组无解,

∴x≤5即可,题目中x<m,当m<5时,不等式组无解,进一步发现,即使m=5,不等式组也无解,所以,当m≤5时,原不等式组无解,选C.

【点评】由于求不等式组解集的公共部分时不等式组无解,通过观察发现字母的取值范围,特别要注意的是最易混淆的选项A,忽视m=5的情况.

二、巧借数轴,分析求解

例2已知关于x的不等式组的整数解共有5个,则a的取值范围是______.

【解析】由原不等式组可得,因为它有解,所以解集是a≤x<2,此解集中的5个整数解依次为1、0、-1、-2、-3,故它的解集在数轴上表示出来如图1所示,于是可知a的取值范围为-4<a≤-3.

【点评】借助于数轴求不等式组解集的公共部分的整数解,是常用的方法,能直观地根据题目给出的整数解的个数,求出字母的取值范围.

三、根据法则,比较求解

例3不等式组,的解集是x>2,则m的取值范围是( ).

A. m≤2 B. m≥2

C. m≤1 D. m>1

【解析】已知的不等式组中含有字母m,可以先进行化简,求出不等式组的解集,然后再与已知解集比较,求出m的取值范围. 解不等式组,得因为不等式的解集为x>2,其解集由2与m+1的大小决定,通过比较,根据“同大取大”法则可知,m+1≤2,解得m≤1. 故选C.

【点评】当一元一次不等式组化简后未知数中含有字母时,可以通过比较已知解集列不等式或列方程来确定字母的取值范围或值.

四、前后对比,分析求解

例4已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为,则a的取值范围是( ).

A. a>0 B. a>1

C. a<0 D. a<1

【解析】因为不等式(1-a)x>2的解集为,和原不等式进行对比,不等号改变了方向,根据不等式的性质可知,1-a<0,故a>1,所以选B.

【点评】当一元一次不等式的解集给出时,可以通过对比不等式的性质和解集法则,求出有关字母的取值范围或值.

五、逆向思维,巧妙求解

例5不等式组,的解集中每一个x值均不在3≤x≤7范围内,求a的取值范围.

【解析】先化简不等式组得,由题意知原不等式组有解集,即a-1<x<a+2有解,又由题意逆向思考知原不等式的解集落在x<3和x>7的范围内,从而有a+2≤3或a-1≥7,所以解得a≤1或a≥8.