刚体稳定性（精选4篇）
刚体稳定性 篇1
压杆的失稳, 材料力学、结构力学中称之为屈曲, 其研究方法一般包括:平衡法、能量法、动力法, 3种方法都有自己的优点和缺点[1,2,3,4,5].平衡法通过平衡方程绘制压力和特征挠度之间的相图, 进而在相图上获得临界稳定载荷, 适合于无缺陷的系统问题, 对于后屈曲平衡路径的稳定性判定无能为力;能量法首先列写系统势能函数, 通过势能分析系统的平衡构型和平衡构型的稳定性, 其理论本质是运动稳定性的李雅普诺夫方法, 适合于含缺陷的有限应变系统分析, 可用于后屈曲的稳定性分析, 但其需要假设变形状态;动力法通过所谓的动态平衡方程求得系统固有频率, 失稳对应于频率退化为零, 对于线性系统有效, 被各种大型有限元软件广泛使用[6,7].
在压杆稳定性问题的教学过程中, 以杆发生弯曲变形后的构型为切入点, 学生容易产生疑惑:为什么压缩杆件会存在稳定性问题?为什么特征值对应的压力就是临界压力?为什么试验结果与理论分析差距较大?本文在理论力学的基础上, 以弹簧刚体模型为例, 通过稳定性分析的能量法引入小变形、大变形、考虑缺陷等情况下结构稳定性的几个基本概念.
1 小变形理论
分析在集中外力作用下的一端受圆柱销和扭转弹簧并联约束的刚性杆, 理论模型如图1所示.刚性杆的长度为L, 扭转弹簧刚度系数为k, 杆水平时弹簧处于不受力状态, 在杆的自由端施加水平向左的集中力P, 分析系统的稳定性.
假设系统处于变形后的构型, 如图1所示.
则系统总能量为
式中, U为系统的变形势能, W为外力做的功.对于这里的问题
式中, θ为刚性杆转过的角度.将式 (2) , 式 (3) 代入式 (1) 可得
在稳定性分析的能量法中, 平衡对应于 稳定性分析则依赖于T对θ的高阶导数.于是可得系统平衡方程
对于小变形问题
当轴向压力P增加到一定程度时, 杆件直线平衡状态开始失去稳定产生变形, 这个力具有临界的性质, 因此称为临界力.将式 (6) 代入式 (5) 可得临界力
系统在临界力的作用下可处于变形后和变形前的平衡位置, 这取决于临界力的稳定性.在小变形状态, 对系统总能量函数T进一步求导数可判定系统的稳定性, 由于
所以如果 系统在临界力作用下稳定;如果 系统在临界力作用下失稳;如果 即P=Pcr, 系统在临界力作用下稳定性不确定.也就是分析在某种变形模式下, 结构内部变形势能和外力做功的大小, 如果外力功小于变形势能则结构稳定, 反之则不稳定, 如果两者相等, 需进一步判断.在小变形假设下, 临界力与系统状态变量无关, 所以难以对后屈曲形态进行判别, 无法得到明确的平衡路径分叉图.
2 大变形分析
为了对后屈曲形态进行判别, 放弃小变形假设, 直接通过求解式 (5) 得到系统平衡时的集中力
通过式 (9) 可直接制作平衡路径的分叉图, 进行大变形分析.平衡路径在Cr点 (参见图2) 出现了4个分支, Cr点称为平衡路径的分叉点, 分叉点对应的压力则为临界力.当构件承受的压力大于临界力后所表现出的稳定性能称为后屈曲稳定性能, 故此时平衡路径对应的稳定性分析称为非线性后屈曲平衡路径稳定性研究, 其研究通常要考虑非线性因素的影响.为了研究方便, 通常将工作压力除以临界力称为无量纲屈曲因子λ=P/Pcr[1,4], 其随θ的变化规律如图2所示.
式 (9) 除以式 (7) 可得
当θ趋向于0时λ趋向于1, 并且随着|θ|的增大, λ不断变大, 呈明显非线性规律.下面通过考虑几何非线性——大变形的影响来分析式 (7) 临界载荷的稳定性, 式 (4) 直接对θ求二阶导数
在后屈曲平衡路径上, 式 (9) 成立, 将其代入式 (11) 可得
分析式 (12) 发现对于所有不为0的θ, 其值永远大于0.所以θ=0时, 平衡路径是稳定的.当θ=0时, 系统平衡路径通过临界点, 这时的稳定性研究称为临界点稳定性分析, 并且总能量的二阶导数 所以不能通过二阶导数直接判定稳定性.在θ=0的情况下, 对总能量函数求更高阶导数, 寻找下一个不为0的项
通过Taylor级数, 取四阶项可近似表示系统在θ=0时的总能量
由于下一个非零项为偶次的, 并且大于0, 所以系统在θ=0时是稳定的, 也就是说压杆的临界力表达式 (7) 是稳定的, 即临界点是稳定的.事实上分析式 (14) 发现, θ在0位置的任何变化都会引起总能量T的增加, 说明变形势能对总能量的影响大于外力做的功, 即系统还有抵抗外力增加的能力, 所以系统在该位置是稳定的, 对应的该类稳定问题对应的平衡路径分叉称为稳定分叉.分析图2发现, 对于λ<1的情况, 由扰动导致系统偏离θ=0时, 当扰动消除后系统会自动恢复到θ=0的平衡位置, 所以这里的平衡路径是稳定的;对于λ>1的情况, θ=0时系统平衡需要的能量大于θ=0的位置, 所以θ≠0为稳定平衡路径.一般情况下, 系统不会停留在λ>1, θ=0的位置, 所以图上用虚线表示.
至此可以判定扭转弹簧作用下的刚性压杆屈曲前、临界点以及后屈曲过程中的平衡状态都是稳定的.
3 缺陷的影响
实际结构总会存在各种各样的缺陷, 为了引入缺陷的影响, 仍以扭转弹簧作用下的刚性压杆为例, 假设初始状态下, 杆与水平线之间存在夹角α, 如图3所示.系统总能量为
式 (15) 对θ求一阶导数, 并令其等于0可得平衡路径表达式
于是可以直接通过式 (16) 除以式 (7) 可得 无量纲屈曲因子λ随转角θ和缺陷α的变化规律如图4所示.
与图2相比, 考虑缺陷 (α=0) 的图4显然已经不存在明显的λ-θ路径分叉;但是随着α越来越小, (λ-θ) 路径趋向于不考虑缺陷系统的 (λ-θ) 路径;缺陷会明显影响临界载荷的大小.对于实际结构, 缺陷不可避免, 所以实验结果很难得到无缺陷结构的分叉点和临界力.
下面分析考虑缺陷时平衡路径的稳定性, 式 (15) 对θ求二阶导数可得
将式 (16) 代入式 (17) 可得
4 不稳定实例
考虑一端铰接, 另一端连接横向线弹簧的刚性杆, 该弹簧的另一端可在轴向自由移动, 横向分别固定在地面和刚性杆上, 如图5所示.
直接通过大变形理论分析, 系统总能量为
令式 (19) 对θ的一阶导数为0可得平衡载荷的表达式
式 (19) 确定的 (λ-θ) 曲线如图6所示.当θ=0时通过式 (20) 可得小变形状态下的临界力
观察图6发现, (λ-θ) 曲线在θ=0处, 对θ增加任意的小扰动都会使得屈曲稳定因子下降, 从而导致系统不稳定.事实上通过能量法容易判别, 随着P的增加, 在Pcr以后系统都是不稳定的, 该类稳定问题对应的平衡路径分叉称之为不稳定分叉.
式 (19) 对θ的二阶求导, 并令式 (20) 成立可得
当θ=0时, 式 (22) 小于0, 系统不稳定.下边分析θ=0的稳定性问题, 令式 (20) 成立, 并且θ=0, 寻求第一个使得 都不为0的i, 发现
所以θ=0的临界点的平衡状态是不稳定的, 这证实了式 (21) 确定的临界力是不稳定的.就是说在图6上, λ<1, θ=0平衡路径是稳定的;θ≠0平衡路径是不稳定的;特殊的分叉点λ=1, θ=0也是不稳定的.
如同第3小节一样考虑缺陷的影响, 此时系统总能量为
令式 (24) 对θ的一阶导数为0可得平衡载荷的表达式
令式 (25) 除以式 (21) 可得
令式 (25) 对θ的一阶导数为0可得各个路径上最大的压力Pmax=k L cos3θ对应的θ值
通过式 (26) 和式 (25) 确定的 (λ-θ) 曲线如图7所示, 虚线表示式 (27) 确定的最大压力.在式 (25) 成立的情况下, 式 (24) 对θ的二阶导数
容易证实, 当P
5 结论
本文针对简单的结构稳定性问题, 以刚性杆的静力学为基础, 应用能量法引出了结构稳定性分析的几个重要基本概念:临界力、平衡路径、平衡路径分叉点、后屈曲、缺陷、大变形、无量纲屈曲因子、极值点屈曲等, 由于避免了复杂的弹性力学公式, 使得问题概念清晰, 易于理解.
但稳定性问题由于研究对象和载荷的复杂性, 通常难以用本文的方法来描述, 实际上材料力学与结构力学中的研究对象是变形体, 为无穷多自由度系统, 其对应的稳定性问题为泛函的驻值问题, 而单自由度系统的稳定性问题则是函数的极值问题, 虽然通过单自由度系统能够引出稳定性问题的一些概念, 但稳定性完整理论分析要复杂得多.
参考文献
[1] Barber JR.Intermediate Mechanics of Materials.Oxford:Oxford University Press Inc, 2011
[2] Boresi AP, Schmidt RJ.Advances Mechanics of Materials.Laramie:John Wiley&Sons, 2003
[3] Simitses GJ, Hodges DH.Fundamentals of Structural Sta-bility.New York:Elsevier Inc, 2006
[4]范钦珊, 郭光林.工程力学2.北京:高等教育出版社, 2011
[5]龙驭球, 包世华.结构力学教程II.北京:高等教育出版社, 2001
[6]陈骥.钢结构稳定理论与设计.第4版.北京:科学出版社, 2008
[7]陈铁云, 沈惠申.结构的屈曲.上海:上海科学技术文献出版社, 1993
刚体稳定性 篇2
在变形监测数据处理中,现有的变形监测方法大部分都只能进行局部监测,分析监测对象上某些点的变形情况,反应不出整个监测对象的变形情况。而实际中,有些监测对象发生形变实际上是整个监测对象的移动,监测对象的体积和形状基本不会发生改变,即监测对象上绝大部分点位之间的距离基本不会发生改变,或者改变量及其微弱以致可以忽略,监测对象可以假想为刚体,这就使得刚体稳定性约束引入到变形监测数据处理中显得尤为重要。所以,在对待这些特殊的监测对象时为了获取监测对象的整体位移可以把它视为假想的刚体进行处理。
1 刚体的稳定性及其优势
在任何力的作用下,体积和形状都不发生改变的物体叫做“刚体”(Rigid body)。它是力学中的一个科学抽象概念,即理想模型。事实上任何物体受到外力,不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程,为使被研究的问题简化,可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状,这样所得结果仍与实际情况相当符合。若监测对象可以视为假想的刚体,其稳定性在变形监测数据处理过程中可以概括为监测网型不变,监测点之间的距离值保持不变。
刚体稳定性的约束条件添加后,能获取监测对象的整体变形信息,剔除常规平差中的单点不准确因素造成的误差,更为准确地反应出监测对象的变形情况,进行更准确的变形监测预报预警。
2 如何引入刚体稳定性,并参与数据处理
目前阶段,监测对象是否可以视为刚体基本是由人的经验来判断,一般都选取形状不易发生变化的监测对象,如实心钢台、电视塔靠顶部的水泥墩台等视为刚体。所以也无法判断其稳定性的准确性,为了保持约束条件的一致性应尽量让各期的观测条件保持一致,如各期的观测时间、观测温度等保持一致。这样便可以减小由于各种外界条件引起的约束条件变化,保持约束条件不变。
另外,当监测区域较大、监测点较多、不能把所有的监测点看成一个刚体对待时,则需要进行监测点分组处理。把其中可以视为刚体的监测点列为刚体监测点组,不能视为刚体的监测点列为非刚体监测点组。然后对刚体监测点组进行稳定性的约束平差处理,对非刚体监测点组进行一般性平差处理。
在实际监测中,假设监测对象上布设有k个监测点,若这m(m<k)个监测点构成的空间几何体可以视为刚体,可以把各个监测点之间的距离保持不变处理作为约束条件。即m个监测点之间可以构成C2m条边,且在各期的观测中边长值始终保持不变。利用上述性质作为约束性条件参与后期的平差处理,便能实现在变形监测数据处理过程中引入了刚体的稳定性。剩余的m-k监测点进行一般性平差处理,具体实施方法如下:
首期观测数据处理:按照常规三维空间平差方法进行处理,计算刚体上各个监测点的空间直角坐标,以及监测点之间的空间距离Si(i=0,1…s)。
后期观测数据处理:实际上是可以看成三维空间上附有限制性条件的间接平差问题进行处理。设平差问题中,有n个不等精度的独立观测,选取各个监测点的空间直角坐标为未知数,用表示,可列出n个平差值方程。由于选定的未知数个数u多于必要观测数t,所以在所选定的未知数之间存在s=u-t个限制条件,即监测点之间s条边长度未变[1,2]。
n个平差值方程为即:
s=u-t个限制性条件方程为即:
式(1)称为误差方程,令,li为误差方程系数及常数项,且
其中:
式(2)称为条件方程,经过线性化后可得[3]
S0ij为i,j两点的近似边长。
在最小二乘的准则下,按条件极值法组成方程:
K为联系向量。
由式(4)、(10)、(15)合成方程组[4,5],利用条件极值法可求得待求量n个该正数和u个参数解。
计算整体位移:通过上面两期数据的计算后可得两期监测点坐标为XIi,YIi,ZIi,XIIi,YIIi,ZIIi(i=0,1,…m),设监测对象的3个平移参数为X0,Y0,Z0,三个旋转参数为ξx,ξy,ξz,可列方程式:
从监测点中选取2个监测点的空间直角坐标代入式(20)便可求得监测对象的6个位移参数,从而获取监测对象的整体位移信息。
3 实例分析
本文利用上述模型编制三维约束性平差软件,并采用四川电视塔GPS监测数据进行试验分析,电视塔顶端布设有4个监测点(W045,W135,W225,W315),由这四个监测点组成的空间几何体可以假定为刚体。首期监测数据经常规平差后得出监测点坐标,根据坐标值计算距离值如表1所示。
在软件中加入第一期的距离值为约束条件后进行第二期数据平差,结果表2所示。
可以看出第二期结果数据相对于第一期各个监测点的坐标变化量虽并不相同,但依然保持了整个监测对象的网型不变,说明整个监测对象只是发生了微小旋转。通过计算出6个位移参数可知监测对象在XY平面上沿中心轴旋转了58.9″。证明了在后期的数据处理中加入监测对象上所有监测点之间的距离不变的约束条件后是能够获取监测对象的整体位移信息的,且引入约束条件后的变形分析,更为准确地反应出了监测对象的整体变形情况,为后续准确地预报预警做了更为精确的准备。
4 结束语
传统的变形监测数据处理模式中,部分监测对象无法获取其整体位移信息,存在一定的不足。本文以电视塔的监测数据处理为例,针对上述缺陷,在平差中引入刚体的稳定性,进行平差计算,获取监测对象的6个位移参数,从而获取电视塔顶端的整体位移信息,更为准确地反应出了监测对象的变形情况。此方法同样也适用于其他相同类型的监测对象变形分析,极大地提高了变形监测的监测准确率。
参考文献
[1]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉:武汉大学出版社,2003.
[2]高士纯.测量平差基础通用习题集[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社,1999.
[3]同济大学数学教研室.工程数学:线性代数(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[4]张书毕,秦永宽,陆翠翠等.概括平差模型解法的完善[J].测绘通报,2007,(11):7～9.
关于刚体姿态的数学表达 篇3
1 欧拉有限转动公式和欧拉角
刚体姿态的数学表达以及在此基础上建立起来的刚体运动学和动力学,欧拉(Euler L,1707～1783)是公认的奠基人(图1).欧拉于1765年提出了刚体的一次转动定理:刚体绕定点的任意有限转动可由绕过定点某根轴的一次有限转动实现,并于1775年发表了有限转动公式[4]
其中a和b为刚体上任意矢量在有限转动前后的位置,并矢A为刚体的有限转动张量
其中p为沿有限转动轴的基矢量,Φ为转过的角度,E为单位并矢.建立与刚体固结的直角坐标系(O-xyz),A在(O-xyz)上的投影矩阵即转动前后坐标系之间的方向余弦矩阵.在不致引起混淆情况下,仍以A表示为
其中pi(i=1,2,3)为矢量p相对(O-xyz)的投影,c,s为cos,sin的简写符号.由于存在关系式,矩阵(3)中的4个参数pi(i=1,2,3)和Φ只有3个独立变量,与绕定点转动刚体的3个自由度相对应.刚体作n次有限转动后的方向余弦矩阵由历次转动的方向余弦矩阵的乘法运算确定
有限转动顺序的不可交换性由矩阵乘法运算的不可交换性体现.
欧拉设想刚体的有限转动依次绕z-x-z坐标轴分3次实现,将各次转动的角度ψ,,φ作为确定刚体姿态的广义坐标,即欧拉角.欧拉角在经典力学中被普遍应用,其主要缺点是章动角存在nπ(n=0,1,…)的奇异位置,当接近于零时计算即无法进行.改进的欧拉角将3次转动改为绕x-y-z不同轴进行,称为卡尔丹角2).卡尔丹角的奇异位置为90°而远离零点,比欧拉角更适合于飞行器、船舶和陀螺仪等工程对象的姿态表达.
2 欧拉-罗德里格参数
1840年法国数学家罗德里格(Rodrigues BO,1794～1851)(图2)利用半角公式将式(3)中的三角函数进行变换,引入以下4个参数[5]
称为欧拉-罗德里格参数,由于存在关系式,其中也只有3个独立变量.式(3)中的三角函数元素可转化为λk(k=0,1,2,3)代数式
在相当数量的文献中,如威泰克(Whittaker E.T.)和戈德斯坦(Goldstein H.)的经典著作,以及国内有关著作和教材均将参数(5)称为欧拉参数,而略去罗德里格姓氏,未免有失公允.用欧拉-罗德里格参数表示的刚体角速度具有极好的对称性
欧拉-罗德里格参数的最大优点是不存在奇点,且以代数运算代替三角运算提高了数值计算效率.
3 哈密顿四元数和凯莱-克莱因参数
1843年哈密顿(Hamilton W.R.,1805～1865)(图3)创造了四元数的数学概念.即将复数概念扩展为由一个实数单位和3个虚数单位i,j,k组成的包含4个实元λk(k=0,1,2,3)的超复数,称为四元数(quaternions),记作Λ[6]
用空心圆点。表示乘法运算,规定虚数单位之间的运算规则为
若将i,j,k视为基矢量,则Λ的后3项构成矢量λ.因此也可将四元数定义为标量λ0和矢量λ的组合,借用加法符号写作Λ=λ0+λ.改变λ的正负号,得到Λ的共轭四元数,记作Λ*=λ0-λ.四元数的乘法运算规则由式(7)的基本规则导出.以Λ=λ0+λ,M=μ0+μ为例,运算规则为
1845年英国数学家凯莱(Cayley A,1821～1895)将欧拉-罗德里格参数视为特殊的四元数Λ.从而赋予抽象的数学概念以具体的力学内涵,使四元数成为欧拉-罗德里格参数的同义词[7].欧拉有限转动式(1)可用Λ及其共轭四元数Λ*表示为
刚体相继作n次有限转动后的合成四元数Λ等于各次转动四元数的乘积
将四元数的4个实元λk(k=0,1,2,3)排成列阵和方阵,可以建立四元数的矩阵运算规则.
1874年凯莱和德国数学家克莱因(Klein F.C.,1849～1925)[8]提出以4个复数代替欧拉-罗德里格参数,称为凯莱-克莱因参数
其中α与δ,γ与-β互为共轭.欧拉-罗德里格参数可用凯莱-克莱因参数表示为
代入式(6)的矩阵A,转换为常规的复数运算.
4 罗德里格-吉布斯矢量
罗德里格在创造参数λk(k=0,1,2,3)的同时,还提出将其中的λ0与λk(k=1,2,3)相除,转化为与半角正切成比例的3个独立参数,即狭义的罗德里格参数
以ρk(k=1,2,3)为投影的矢量ρ称为罗德里格矢量,也称吉布斯(Gibbs J.W.)矢量[9].欧拉有限转动张量A可用罗德里格矢量ρ表示为
其中ρ=tan(Φ/2)为矢量ρ的模.与四元数相比罗德里格参数具有独立变量特点,与欧拉角相比,其奇异位置±π远离零点,因此在工程技术问题中也被实际应用.
罗德里格参数在经历一个半世纪后被进一步改进为[10]
改进后罗德里格参数(k=1,2,3)的奇异位置从±π变为±2π,有限转动的允许计算范围从而被扩大一倍.以rk(k=1,2,3)为投影的矢量r为改进的罗德里格矢量,有限转动张量A可表示为
其中r=tan(Φ/4)为矢量r的模.
5 对偶数和对偶四元数
上述刚体姿态的数学表达仅能用于分析刚体绕定点(或绕质心)的转动.在空间机构和机器人技术中,需要有能同时表达刚体位置和姿态的数学工具.1873年英国数学家克里弗德(Clifford W.K.)(图5)提出的对偶数(dual number)是复数概念的另一类扩展,是由实数单位1和对偶单位ε组成的包含2个实元a和a′组成的一对有序实数组合,记作[11]
ε称为克里弗德算符,遵循ε2=0的规定.以对偶数为例,其运算规则为
将式(8)中的标量换作矢量,构成对偶矢量
对偶矢量的运算规则与式(9)相同,只须将其中的加法和乘法符号理解为矢量求和以及矢量点积或叉积.普吕克(Plucker,J.)矢量是一类特殊的对偶矢量,由滑动矢量a及其相对固定点的矩a′=r×a组成,其中r为矢量a作用线上任意点相对固定点O的矢径.普吕克矢量完全确定矢量a的空间位置.设矢量a,b的空间垂直距离为s,其公垂线方向的单位矢量视为仅含实数部分的对偶矢量,记作,a与b在的垂直平面上的投影夹角为Φ(图6),定义
按照对偶矢量的运算规则,导出
形式上与矢量代数规则一致,也存在1等代数恒等式.
将矢量b视为矢量a沿方向作螺旋运动后到达的位置,引入对偶四元数(dual quaternions)
称为螺旋算子,可用于对普吕克矢量的变换[12]与式(1)比较可以看出,螺旋算子为有限转动矩阵A的扩展,可以确定任意矢量作螺旋运动后到达的新位置.多次螺旋运动对应的螺旋算子等于各次螺旋算子的四元数乘积
刚体在空间中有6个自由度.仿照欧拉角的定义,设想刚体的空间位置变动分解为绕不同轴的3次螺旋运动实现,所对应的3个对偶角包含的6个标量可作为表达刚体位置和姿态的独立变量.可称为对偶欧拉角.用对偶形式描述的力学基本定律具有最简练的形式.在此基础上建立起来的运动学和动力学称为力学的旋量理论.
参考文献
[1] Cheng H,Gupta KC.An historical note on finite rotations. J Applied Mechnaics,1989,56:139～145
[2] Shuster MD.A survey of attitude representations.J Astron Sci,1993,41(4):439～518
[3] Phillips WF,Halley CE,Gebert GA.A review of attitude kinematics for aircraft flight simulation.AIAA-2000-4302, 2000
[4] Euler L.Nova methodus motum corporum rigidorum deter- minandi.Novi Commentari Academiae Scientiarum Impe- rialis Petropolitanae,1775,20:208～238
[5] Rodrigues O.Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace,et de la variation des coordonnées provenant de ses déplacements consideérés indépendamment des causes qui peuvent les produire.Journal des Mathematiques Pures et Appliquées, 1840,5:380～440
[6] Hamilton WR.On quaternions:or a new system of imag- inaries in algebra.Philosophical Magazine,1844,25: 489～495
[7] Cayley A.On certain results relating to quaternions.Philo- sophical Magazine,1845:141～145
[8] Klein F.(?)ber bin(?)re Formen mit linearen Transforma- tionen in sich selbst.Mathematische Annalen,1874,9: 183～208
[9] Gibbs JW.Vector Analysis.New York:Scribners,1901
[10] Marandi SR,Modi VJ.A preferred coordinate system and the associated orientation representation in attitude dy- namics.Acta Astronautica,1987,15:833～843
[11] Clifford MK.Preliminary sketch of biquaternions.Proc London Math Soc,1873,4:381～395
刚体的平面运动和旋轮线 篇4
令, 上式变为
此式表示一个旋轮线.对式 (1) 求时间的导数, 得到M的速度投影
若刚体逆时针转动, 则式 (1) , (2) 变为
众所周知, 旋轮线可以认为是由沿一条直线做纯滚动的圆轮上 (或拓展部分) 的一点刻画而成, 但是式 (1) , (3) 表示的旋轮线具体形状显然随V, ω, l的不同而不同.因此, 以下讨论平面运动刚体上的质点在不同情况下的旋轮线轨迹是由怎样的圆轮作怎样的纯滚动形成的[1], 以期对质点的运动有更直观的理解.
1 旋轮线的形成过程
首先讨论式 (1) 所示的情形, 并且只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.
第1种情况:运动的初始条件有lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图2所示:圆轮半径为R, 圆轮拓展部分上与轮心距离为l处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 由R=V/ω可知, N也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的, 曲线上没有“折点”, 是处处滑顺的曲线;当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx<0, vy=0, 曲线斜率k=vy/vx=0, 表示质点在这些位置处作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与圆轮质心运动方向相反.
第2种情况:lω=V, 以致l=R.此时, 旋轮线形成过程如图3所示:圆轮半径为R, 圆轮边缘上有一点M, 起初在Oy轴上且在轮的最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线的上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下, vx≥0;但是, 当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 故曲线的斜率不存在且带电粒子的运动方向突变, 表示质点的运动轨迹在这些位置出现“拐点”.
第3种情况:lω
对于ωyC
再讨论式 (3) 所示情形, 并且也只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.
第1种情况:lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图5所示:圆轮半径为R, 其拓展部分上与轮心距离为l (l>R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE作逆时针方向的匀角速纯滚动时, M点轨迹的方程即为式 (3) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线斜率总是存在, 曲线无“拐点”, 处处光滑;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 恒有vx<0, 曲线斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与轮心的运动方向相反.
第2种情况:lω=V, 以致l=R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R, 边缘上与轮心距离为l (=R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE轴逆时针匀角速纯滚动时, M点的轨迹即为式 (3) , M点的轨迹是普通旋轮线;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下恒有vx≥0;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 曲线斜率不存在且运动方向突变, 质点轨迹在此处出现“折点”.
第3种情况:lω
2 实例
如图8所示, 光滑水平面上静置质量为M, 长度为2L的均质细直杆, 质量为m的质点以速度v0沿水平面垂直射入直杆一端.求:碰撞后质点的绝对运动方程.
研究整个系统.以质点的碰前速度方向为速度的正方向, 竖直向下为动量矩的正方向.碰撞过程中, 系统的水平方向动量守恒, 其质心C的水平速度不变, 有
并且, 质点与 C 之间和 C 与直杆质心 C2 (如图9所示) 之间的距离均不变, 分别为
碰撞前:质点绕C点的动量矩为L1=lm (v0-V) , 直杆绕C点的动量矩为L2=-a M (0-V) .碰撞之后:设系统绕通过质心C且垂直于细杆的轴的转动惯量为IC, 则系统绕C点的动量矩为L3=ICω.由动量守恒定律, 有
即
将-代入, 式 (5) , (6) 代入上式消去a, l, 得到
以光滑水平面上与直杆中心C2的初位置重合的固定点O为原点建立定系Oxy, 如图9, 图10所示, Ox轴平行于质点的初速度方向.由式 (3) , 质点的绝对运动方程为
其中
显然, 这表示一个旋轮线, 如图10所示:它是由半径为R的圆轮沿DE直线y=a-R做纯滚动时, 其内部或延拓部分上、距离轮心 C 为 l 的点所刻画的曲线; N是圆轮的瞬心, 也是系统的瞬心.
摘要：讨论了作平面运动的薄板上一个质点在不同条件下的旋轮线轨迹, 并讨论了这些不同形状的旋轮线是怎样由圆轮的纯滚动形成的.
关键词：平面运动,质心,旋轮线,曲率半径
参考文献
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