间接模糊自适应控制

2024-10-18

间接模糊自适应控制（共9篇）

间接模糊自适应控制篇1

摘要：针对多机电力系统励磁控制模型,考虑到系统的多变量、强耦合非线性等特性,提出了基于模糊逼近的间接自适应模糊分散H∞跟踪控制方案。该方案通过构建模糊自适应系统来逼近未知函数,然后设计H∞补偿器来抵消外部扰动和模糊逼近误差,从而实现了对多机电力系统的稳定性控制并且具有H∞性能。仿真结果表明,当多机电力系统发生三相可恢复故障和三相不可恢复故障时,发电机的转子运行角趋于某一固定值,相对转速和跟踪误差都趋于零。所提方案与电力系统稳定器(PSS)方案对比可知,PSS方案虽然能使系统稳定,但是其超调量大、过渡时间长,而所提方案不仅可以使系统在故障之后迅速稳定,而且超调量更小。

关键词：电力系统,自适应控制,模糊逻辑系统,模糊控制,稳定性,误差分析

0 引言

电力系统规模的不断扩大带来了一系列影响电力系统运行稳定性的新因素,改善与提高电力系统运行的稳定性有重要意义,而发电机的励磁控制是改善电力系统稳定性经济而有效的手段之一。

在传统的励磁控制研究中具有代表性的PID控制、电力系统稳定器(PSS)以及线性最优励磁控制(LOEC)都是基于某一平衡状态的近似线性化模型,只适用于改善小干扰稳定性问题[1]。随着电网规模的不断扩大,电网结构越来越复杂,电力系统中的非线性因素也越来越多[2],因此非线性控制方法将在电力系统中起着越来越重要的作用。无源化控制[3,4,5]、滑模控制[6,7]、自适应控制[8,9,10]、神经网络[11,12]等众多非线性控制已经应用到电力系统控制中。

自适应模糊逻辑系统可在任意精度上逼近定义在致密集上的非线性函数。文献[13]提出了直接和间接自适应模糊控制方法,但是该方案的监督控制项设计复杂且取值很大,最小逼近误差平方可积的条件也较苛刻,实际应用困难。文献[14-15]对文献[13]进行了改进,但是文献[14]不适用于间接自适应模糊控制,且控制器不具有鲁棒性;文献[15]利用滑模变结构结合模糊理论设计了控制器,但是滑模控制存在的抖振问题限制了该方案的应用。

本文针对多机电力系统,提出了一种间接自适应模糊分散H∞控制方案。该方案利用模糊逻辑系统逼近系统的未知函数,依据Lyapunov稳定性理论得到自适应律,使得模糊逻辑系统达到最优。在此基础上结合H∞控制理论设计补偿器,将建模误差和外部干扰控制在期望指标之内,无需设计复杂的监督器,仿真结果表明了该方案的有效性。

1 系统模型描述

考虑励磁控制的n台发电机组可用以下多变量非线性模型描述[16]:

其中,下标i(i=1,2,…,n)为机组编号;Idi为第i组电枢电流的d轴分量(标幺值);δi为第i机组转子运行角(rad);ωi为第i机组角速度(rad/s);Pmi为第机组的机械功率(标幺值);Di为第i机组阻尼系数(标幺值);E′qi为第i机组同步机暂态电势(标幺值);Efi为第i机组励磁绕组折算到定子侧的电势(标幺值);Xdi、X′di为第i机组同步电抗和暂态电抗(标幺值);T′di为第i机组定子开路时励磁绕组时间常数(s);Hi为第i机组转动惯量(s);Gii和Yii分别为第i节点的电导和导纳(标幺值);Gij、Yij分别为第i和第j节点之间的电导和导纳。

将式(1)写成如下形式:

其中,xi缀R3为第i个子系统的状态变量,ui缀R为输入,yi缀R为输出,fi、gi缀R3和hi缀R为光滑非线性函数。

2 间接自适应模糊分散H∞控制器设计

2.1 多机电力系统的状态变换

多机电力系统式(2)有一致相关度{3,…,3},即对每一个子系统均有相关度ri=3。

令:

选择坐标变换z=Γ(x)为:

则可将系统式(2)化为如下形式:

把上式化成输入输出形式:

其中,αi(xi)=L3fihi(xi),βi(xi)=LgiL2fihi(xi)为第i个子系统的未知动态。

给定参考输出ymi,假设ymi、、ymi(3)均为有界可测的。定义第i个子系统的跟踪误差ei0=ymi-yi。令,其中Ki使多项式Δi(s)=s3+ki2s2+ki1s+ki0稳定。

2.2 控制器设计

自适应模糊逻辑系统具有一致逼近性,能够在任意精度上逼近一个定义在致密集上的连续非线性函数。

定义模糊规则如下。

Rij:如果xji1是Fji1,xji2是Fji2且xji3是Fji3,则ζ軇i是Wij,其中i=1,2,…,n;j=1,2,…,N。Fjil为模糊集,其中l=1,2,3;Wij为单点模糊集;为模糊输出函数,μFij(xij)为隶属度函数。模糊基函数εij(x)定义为:

同理可对βi(xi)建立模糊规则。

对于多机电力系统式(2)在αi(xi)和βi(xi)都是已知的情况下可取分散控制:

将分散控制式(5)代入式(4)中可得e3i0+ki2e2i0+ki1ei0+ki0=0。由于Ki的选取可使Δi(s)是稳定的多项式,即,因此闭环系统是稳定的。

在αi(xi)和βi(xi)都是未知的情况下,首先利用模糊逻辑系统构造来逼近未知函数αi(xi)和βi(xi)。其形式如下:

其中,θ1i和θ2i为自适应参数。

用分别代替αi(xi)和βi(xi)代入到式(5)中,得到等价控制器:

由于建模误差和外部干扰的作用,控制器式(6)不能很好地完成控制任务。因此,采用H∞补偿器uc来补偿外部扰动和逼近误差,则设计控制器为:

将设计的控制器式(7)代入式(4)中得误差动态方程为:

则式(8)等价于:

其中,Pi=PiT>0是满足下面黎卡提方程的正定解:

2.2.1 设计自适应律

首先定义θ1i、θ2i的最优估计参数为θ*1i、θ*2i:

其中,Ω1i、Ω2i分别为θ1i、θ2i的可行域,Ui为Rri的子空间。

然后定义第i个子系统的模糊最小逼近误差为:

令w1i=wi-di,参数误差向量,则式(9)可化成:

选取Lyapunov函数为:

沿式(11)求V对时间的导数得:

设计参数自适应律为:

2.2.2 H∞性能指标的实现

将自适应律式(13)代入式(12)中得:

其中,为w1i的上界,λi为Qi的最小特征值。当时,有V觶≤0,即x、ei、uiL∞空间,从而误差闭环系统是有界的。

对式(14)从t=0到t=T积分得:

由于V(T)≥0,所以可得:

即实现了H∞性能指标。

3 仿真研究

以由2台发电机组成的互联系统为例,考虑输电线路上存在的2种短路故障情况:一种是在20 s时在1号发电机和2号发电机联络线靠近1号发电机的输电线送端发生瞬时三相对地短路故障,在20.5 s时故障消失;另一种是在20 s时在1号发电机和2号发电机联络线靠近1号发电机的输电线送端发生永久性短路故障,20.5s时1号机被切除。

发电机参数如下:H1=23.64 s,H2=6.4 s,Xd1=0.146 p.u.,Xd2=0.895 8 p.u.,X′d1=0.060 8 p.u.,X′d2=0.1198 p.u.,D1=0.31 p.u.,D2=0.535 p.u.,Pm1=0.715 7 p.u.,Pm2=1.629 5 p.u.,T′d1=8.96 s,T′d2=6 s。

给定跟踪参考输出为ym1=ym2=1,给定正定矩阵Qi=diag[10 10 10],选取Ki=[1 2 1]T,λi=0.01,解得:

其中,i=1,2。

首先对于系统转子运行角δi和相对转速ωi-ω0(即xi1,xi2)对建立模糊规则。

Rij:如果x11是Fji1且x21是Fji2,则是Wij,其中,隶属度函数μF ij(xij)=exp[-(xij+cij)2],i=1,2且j=1,2。选取ci1=-0.5,ci2=0.5,得到模糊逻辑系统:

同理可得:

其中,i=1,2。选择自适应律式(13),代入到控制器式(7)中,对比本文方案和PSS方案,可得仿真结果如下。

设20 s在1号发电机和2号发电机联络线靠近1号机母线处发生三相可恢复短路故障,在20.5 s时故障消失。转子运行角δi、发电机转子与同步转速之间的相对转速ωi-ω0以及跟踪误差的仿真结果如图1—6所示。

设20 s在1号发电机和2号发电机联络线靠近1号机母线处发生三相不可恢复短路故障,20.5 s时1号机被切除。转子运行角δi、发电机转子与同步转速之间的相对转速ωi-ω0以及跟踪误差的仿真结果如图7—12所示。

仿真结果表明,当多机电力系统发生三相可恢复故障和三相不可恢复故障时,发电机的转子运行角趋于某一固定值,而相对转速和跟踪误差都趋于零。本文方案与PSS方案对比可得,PSS方案虽然能使系统稳定,但是其超调量大、过渡时间长;本文方案不仅可以使系统在故障之后迅速稳定,而且超调量更小,从而表明了本文方案的优越性。

4 结论

本文针对多机电力系统的多变量、强耦合等非线性特点,提出了一种间接自适应模糊分散H∞控制方案。该方案利用模糊逻辑系统逼近系统的未知函数。依据Lyapunov稳定性理论求得自适应律,使得模糊逻辑系统达到最优。在此基础上结合H∞控制理论设计补偿器将建模误差和外部干扰控制在期望指标之内。两机电力系统的仿真结果表明了该方案的有效性。

间接模糊自适应控制篇2

FIMU温度的模糊自适应PID.Smith控制

进行温度控制是提高基于光纤陀螺的惯性测量单元(FIMU)测量精度的重要手段.温控对象具有大惯性和大延迟等特性,难以取得满意的控制效果.在分析了常用温度控制方法的基础上,本文将模糊自适应整定PID控制与Smith预估控制方法相结合,在FIMU中采用模糊自适应整定PID-Smith的温度控制策略.该方法加快了系统的响应速度,很好的解决了控制系统的`滞后问题.对高精度FIMU温度控制系统的仿真研究表明:该方法的控制品质良好,具有较强的鲁棒性,能适应环境参数的变化.本文研究也可用于其它大滞后高精度控制系统设计.

作者：李晓峰房建成张延顺 Li Xiaofeng Fang Jiancheng Zhang Yanshun 作者单位：北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,北京,100083 刊名：电子测量与仪器学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF ELECTRONIC MEASUREMENT AND INSTRUMENT 年，卷(期)：2008 22(z2) 分类号：V24 关键词：FIMU 温度控制 Smith预估控制模糊自适应整定PID控制

间接模糊自适应控制篇3

(中交疏浚技术装备国家工程研究中心有限公司，上海 201208)

0 引言

封水泵通过向泥泵轴端和吸入端注水，防止泥泵工作过程中泥沙进入泵轴损坏泥泵.在实际施工过程中，随着泥泵转速及串并联工况的变化泥泵内部压力不断变化.为保证封水流量恒定，往往需要操作人员不停地调节封水泵转速，这使操作人员工作强度较大而且调节滞后性严重.目前控制封水泵的方法主要有高低两档调速和泥泵转速曲线拟合两种.高低两档调速虽然能满足封水流量的要求，但封水泵长时间工作在高功率输出模式下不利于节能减排，也会增加设备磨损.曲线拟合方法因不能区分泥泵串并联模式，在实际应用中受到很大限制.

为使封水泵控制更加自动化和智能化，即能根据封水流量的反馈值自动调整封水泵转速，进而调节封水流量至设定值，无须人为干预，本文引入模糊免疫自适应比例积分微分(Proportion Integration Differentiation, PID)控制方法对封水泵进行自动控制，通过模糊推理对PID参数进行自适应整定，达到灵活准确的控制目的[1].

1 封水泵工作及控制原理

泥泵是挖泥船的核心疏浚设备之一.在工作过程中,泥泵壳内会产生很大的压力，泵壳内的泥沙可能会在高压作用下冲破泥泵轴端和吸入端的水封，进而损坏泵轴.

1.1 封水泵工作原理

图1 封水泵工作示意

封水泵安装在泥泵旁边，通过管路将清水注入泥泵轴端和吸入端，防止泥沙损坏泵轴，见图1.泥泵运转前需要先启动封水泵，在运转过程中需要不断调整封水泵转速使封水流量不低于设定值.

1.2 封水泵控制数学模型

为保证泥泵正常工作,通常需要设定一个封水流量F′，封水流量与封水泵转速成正比例关系，通过调节封水泵转速可以调节封水流量.系统根据实际封水流量的反馈值F，通过PID整定，依据转速与流量的正比例关系控制封水泵的速度，进而达到控制封水流量的目的.封水泵控制模型见图2.

图2 封水泵控制模型

2 模糊免疫自适应PID控制

2.1 控制器概述

PID控制作为一种高效稳定的控制方法广泛应用于工业控制中.常用的PID控制器有：常规PID控制器、模糊PID控制器、模糊免疫PID控制器.常规PID控制器仅静态控制参数，不适用于非线性和大时滞系统控制.模糊PID控制器运用模糊控制原理，可在线动态整定控制参数，在非线性和大时滞控制系统中得到良好应用.模糊免疫PID控制器引入生物免疫学原理，结合模糊控制方法在线自适应整定控制参数，在实际应用过程中其性能比模糊PID控制器更加优越.

2.2 免疫反馈原理

根据文献[1-4]中对免疫系统的描述，生物免疫系统由T细胞和B细胞组成[2].T细胞可以根据外来抗原的数量分泌TH细胞和TS细胞，TH细胞用于刺激B细胞生成，TS细胞用于抑制B细胞产生.[3]当外来抗原较多时分泌的TH细胞量增加，TS细胞量减少；当外来抗原较少时，分泌的TH细胞量减少，TS细胞量增加.B细胞可以分泌抗体，抑制外来抗原的数量.[4]生物免疫系统机理[5]见图3.

图3 生物免疫系统机理

2.3 模糊免疫自适应PID控制器设计

模糊免疫PID控制器是根据生物免疫系统机理设计出的一个非线性控制器.根据文献[5-6]中对免疫PID控制器的推导可知增量式免疫PID控制器的输出[6]

U(k)=U(k-1)+KP1(e(k)-e(k-1))+KIe(k)+

KD(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

(1)

式中：KP1=K(1-ηf(U(k)，ΔU(k)))为比例调节系数(K=K1为控制反应速度(K1为激励因子)；η=K2/K1为控制稳定效果(K2为抑制因子);f(*)为选定的非线性函数，表示细胞抑制刺激能力的大小，取值限定为[0，1))；KI为积分系数；KD为微分系数[7]；e为封水泵实际流量与设计流量的差值.

在实际施工过程中封水流量随泥泵内压实时变化，为保护泥泵，要求在封水流量小于设定值时系统能快速将流量增大到设定值，但对绝对精度要求不高.根据封水泵控制特点，本系统PID控制模式为：采用模糊免疫PID控制方法在线整定控制器的比例系数KP，采用模糊PID控制方法在线整定KI和KD.

模糊免疫自适应PID控制器的结构见图4，系统输入为封水流量设定值F′，反馈值为封水泵的实际流量F.PID控制器输入为e及其变化率Δe.模糊免疫调节实时计算出KP1，模糊推理系统实时计算出积分整定系数ΔKI和微分整定系数ΔKD.PID控制器的参数KP，KI，KD计算式为

(2)

图4 模糊免疫自适应PID控制器结构

2.3.1 模糊免疫自适应PID控制器比例参数模糊免疫自调整

由式(1)可知，免疫PID控制的重点是比例参数中非线性函数f(*)的选取.[8]逼近非线性函数的方法很多，常用且最简单的方法是采用模糊控制器逼近非线性函数.本文采用一个二维模糊控制器逼近非线性函数f(*)[9-12],输入、输出变量模糊化参数见表1.

表1 输入、输出变量模糊化参数

为求出变量在模糊子集内的隶属度，作出输入、输出变量的隶属度函数曲线[13]，见图5.

图5输入、输出变量隶属度函数曲线

根据李亚普诺夫稳定性定理，逼近非线性函数f(U(k),ΔU(k))的模糊控制规则[14]见表2.

表2 模糊控制规则

2.3.2 模糊免疫自适应PID控制器积分和微分参数模糊自调整

系统积分和微分参数采用模糊控制进行整定，将e和Δe作为模糊控制器输入，输出为ΔKI和ΔKD.输入、输出变量模糊化参数见表3.

表3 输入、输出变量模糊化参数

图6 三角隶属度函数曲线

考虑到设计简便及实用性要求，采用三角隶属度函数，见图6.根据实际操作经验和PID参数整定规则，得到对ΔKI和ΔKD整定的模糊控制规则，见表4和5.

表4 ΔKI模糊控制规则

表5 ΔKD模糊控制规则

3 仿真分析

由图7可知，模糊免疫自适应PID控制器较常规PID控制器控制响应时间短、超调量小、动态稳定效果好.

4 应用实例

为直观地分析模糊免疫自适应PID控制器的动态控制效果，将实船检测的模糊免疫自适应PID控制数据与常规高低两档控制数据进行对比，见表6.

表6 实船控制数据对照

由表6可知：PID控制模式可以控制封水泵以最低的转速输出安全封水流量；高低两档控制模式虽然能保障安全封水流量，但是封水泵转速一直较大，封水流量超出安全设定值较多，造成不必要的能源消耗且使设备磨损加快.由此可见，模糊免疫自适应PID控制器可以很好地对封水泵流量进行控制.

5 结论

基于西门子PLC的模糊免疫自适应PID控制器可以根据泥泵工况自动动态调整封水泵转速，从而保持设定的封水流量.其自动动态调整的特性使其在解放人的劳动力的基础上，最大限度地减少封水泵的能源消耗和设备磨损.本控制器在上海航道局新海虎8号10 000 m3耙吸挖泥船上得到很好的应用.

参考文献：

[1]王培胜, 胡知斌. 模糊自适应PID控制在耙吸式挖泥船主动耙头的应用[J]. 中国港湾建设, 2012(4): 107-110.

[2]付冬梅, 郑德玲, 位耀光, 等. 人工免疫控制器的设计及其控制效果的仿真[J]. 北京科技大学学报, 2004, 24(4): 442-445.

[3]谈英姿, 沈炯, 吕震中. 免疫PID控制器在气温控制系统中的应用研究[J]. 中国电机工程学报, 2002, 22(10): 148-152.

[4]王东风, 韩璞. 基于免疫遗传算法优化的气温系统变参数PID控制[J]. 中国电机工程学报, 2003, 23(9): 212-217.

[5]刘金琨. 先进PID控制MATLAB仿真[M]. 北京:电子工业出版社, 2005.

[6]丁永生, 任立红. 一种新颖的模糊自调整免疫反馈控制系统[J]. 控制与决策, 2000, 15(4): 443-446.

[7]孙涛. 基于模糊免疫自适应PID的智能控制算法的研究[D]. 大连: 大连海事大学, 2009.

[8]王斌, 李士勇. 模糊免疫非线性PID控制的仿真研究[J]. 哈尔滨商业大学学报, 2006, 22(6): 72-75.

[9]季本山. 基于PLC的模糊PID船舶自动舵[J]. 上海海事大学学报, 2009, 30(4): 57-62.

[10]郑天府, 肖健梅, 王锡淮, 等. 同步发电机线性多变量与PID结合的励磁控制[J]. 上海海事大学学报, 2006, 27(2):37-41.

[11]王洋, 林叶春, 梁森, 等. 轨道龙门吊行走大车的啃轨问题及纠偏控制[J]. 上海海事大学学报, 2008, 29(3): 65-70.

[12]王正林, 王胜开, 陈国顺. MATLAB/SIMULINK与控制系统仿真[M]. 北京: 电子工业出版社, 2005.

[13]王斌, 李爱平. 模糊免疫非线性PID控制的优化设计[J]. 控制工程, 2007,14(S1): 81-83.

[14]王焱. 模糊免疫PID控制器的设计与研究[J]. 计算机仿真, 2002, 19(2): 67-69.

[15]辛菁, 刘丁, 杜金华, 等. 基于遗传整定的模糊免疫PID控制器在液位控制系统中的应用研究[J]. 信息与控制, 2004, 33(4): 481-485.

间接模糊自适应控制篇4

针对一类具有外界扰动的常数增益非线性系统, 基于神经网络的逼近能力, 结合动态面控制技术, 引入一阶滤波器, 将动态面控制与自适应控制相结合, 对虚拟控制系数的反馈非线性系统, 提出了一种自适应神经网络的控制方案。同时研究了参数化纯反馈系统的自适应后推设计问题, 解决了系统函数和虚拟系数均为未知函数的非线性系统的自适应控制问题。该方法有效地解决了非线性系统的自适应控制问题, 对虚拟控制进行求导, 有效消除了后推设计中由于对虚拟控制反复求导而导致的复杂性问题。

1 问题的描述及基本假设

考虑下面一类单输入单输出的非线性系统:

其中, Xi= (x1, x2, …, xi) T, x= (x1, x2, …, xn) T是可量测状态向量, fi (xi) , (i=1, 2, …, n) 是未知连续光滑的函数, 且满足fi (0, 0, …, 0) =0, gi是符号未知的常数;u是控制输入;y是系统输出;di是外界干扰或未建模动态。

控制目标:要求系统输出y尽可能好地去跟踪一个指定的参考轨迹yr。因此, 需要设计一个控制律u, 使得闭环系统一致终结有界, 跟踪误差收敛到一个小的残差集内。

为了设计稳定的自适应神经网络控制, 作了如下假设:

1) |gi|≤gMi;

2) |di (x, t) |≤Di (Xi) ;

3) 参考输入yi (t) 是关于t的光滑函数, 且 $(y_{r}, \overset{\cdot}{y_{r}}, \overset{\cdot \cdot}{y_{r}}) \in \prod$ 。

其中, gMi是已知正常数, Di (Xi) 是非负连续函数, $\prod = {(y_{r}, \overset{\cdot}{y_{r}}, \overset{\cdot \cdot}{y_{r}})$ : $y_{r}^{2} + \overset{\cdot}{y_{r}^{2}} + \overset{\cdot \cdot}{y_{r}^{2}} \leq B_{0}}$ , B0是已知正常数。令Ωxi={Xi/‖Xi‖≤Mxi}, 其中Mxi>0是设计常数, 设fi (Xi, θi) 是径向基函数神经网络在闭区域Ωxi上对fi (Xi) 的逼近, 即:

fi (Xi, θi) =θ $_{i}^{Τ}$ δi

其中, θi= (θi1, …, θiNfi) T是连结权向量, 径向基向量ξi= (ξi1, …ξiNfi) T, 基函数:

ξil=exp[-∑j=1 (xj-aiNlj) 2/b $_{f i l}^{2}$ ]

其中, bfil>0;afilj∈r;j=1, 2, …, i; j=1, 2, …, Nfi。

令: $θ_{i}^{\cdot} = \arg \min_{θ_{i} \in Ω_{i}} [\sup_{X_{i} \in Ω_{x i}} | f_{i} (X_{i}, θ_{i}) - f_{i} (X_{i}) |]$

其中, 正常数Mi是设计参数。对于未知函数fi (Xi) , 可得:

fi (Xi) =θ $_{i}^{\cdot Τ}$ ξi (Xi) +ε $_{i}^{\cdot}$ (Xi) (2)

其中ε $_{i}^{\cdot}$ (Xi) 是神经网络逼近误差, i=1, 2, …, n。

2 自适应动态面控制器的设计

这部分将结合动态面控制器技术设计n层系统, 类似于传统的后推设计, 回归设计包含了n步, 在前n-1步中每步都设计虚拟控制 $\bar{X}_{i + 1}, i = 1, 2 ‚ \dots, n - 1$ , 最后在以上虚拟控制的基础上, 构造控制律u。

第1步考虑式 (1) 中的第1个方程:

$\dot{x}_{1} = f_{1} (x_{1}) + g_{1} x_{1} + d_{1} (x, t)$ (3)

定义第1个动态面 $\bar{X}_{2}$ 如下:

$\bar{X}_{2} = \frac{\hat{g_{1}}}{\hat{g_{1}^{2}}} (- \hat{θ_{1}^{Τ}} ξ_{1} - Κ_{1} S_{1} + \dot{y}_{r})$ (4)

其中, ε>0是设计常数, $\hat{g_{1}}$ , $\hat{θ}_{1}$ 分别是g1, θ $_{1}^{\cdot}$ 在t时刻的估计值, k1>0是设计常数。采用自适应律为:

$\overset{\dot{^}}{θ}_{1} = η_{f 1} (ξ_{1} S_{1} - σ_{f 1} \hat{θ}_{1})$ (5)

$\overset{\dot{^}}{g}_{1} = η_{g 1} (S \bar{X}_{2} - σ_{g 1} \hat{g}_{1})$ (6)

其中, nf 1, σf 1, ηg1, σg1为正设计常数。以 $\bar{X}_{2}$ 为输入, 引入了新的状态变量z2, 定义1阶滤波器如下:

$ε_{2} \dot{z}_{2} + z_{2} = \bar{X}_{2} z_{2} (0) = \bar{X}_{2} (0)$ (7)

其中, 时间常数ε2在定理1中给出。

第i步 (2≤i≤n-1) 考虑式 (1) 中的第i个方程:

$\dot{x} = f_{i} (X_{i}) + g_{i} x_{i + 1} + d_{i} (x, t)$ (8)

定义第i个动态面si=xi-zi, 则:

$\dot{s}_{i} = g_{i} x_{i + 1} - f_{i} + d_{i} - \dot{z}_{i}$

选择虚拟控制 $\bar{X}_{i + 1}$ 如下:

$\bar{X}_{i + 1} = \frac{\hat{g_{i}}}{\hat{g_{i}^{2} + ε}} (- k_{i} s_{i} - \hat{θ_{i}^{Τ}} ξ_{i} + \overset{\cdot}{z_{i}})$ (9)

其中, $\hat{g_{i}} ‚ \hat{θ}_{i}$ 为gi, θ $_{i}^{\cdot}$ 在t时刻估计值, ki>0是设计常数。采用自适应律如下:

$\overset{\dot{^}}{θ}_{f i} = η_{f i} (ξ_{i} S_{i} - σ_{f i} \hat{θ}_{i})$ (10)

$\overset{\dot{^}}{g}_{i} = η_{g i} (S_{i} \bar{X}_{i + 1} - σ_{g i} \hat{g}_{i})$ (11)

其中, ηf i, σf i, ηgi, σgi为正设计常数。以 $\bar{X}_{i + 1}$ 为输入, 引入新的状态变量zi+1, 定义1阶滤波器:

$ε_{i + 1} \dot{z}_{i + 1} + z_{i + 1} = \bar{x}_{i + 1} z_{i + 1} (0) = \bar{x}_{i + 1} (0)$ (12)

其中时间常数εi+1将在定理1中给出。

第n步最终控制律在此步确定, 考虑式 (1) 中第n个方程:

$\overset{\cdot}{x_{n}} = f_{n} (x) + g_{n} u + d_{n} (x, t)$ (13)

定义第n个动态面Sn=xn-zn, 则:

$\dot{S}_{n} = g_{n} u + f_{n} + d_{n} - \dot{z}_{n}$

采用如下控制律:

$u = \frac{\hat{g_{n}}}{\hat{g_{n}^{2} + ε}} (- k_{n} s_{n} - \hat{θ_{n}^{Τ}} ξ_{n} + \overset{\cdot}{z_{n}})$ (14)

其中 $\hat{g_{n}} ‚ \dot{θ}_{n}$ 为gn, θ $_{n}^{\cdot}$ 在t时刻估计值, kn>0是设计常数。采用自适应为:

$\overset{\dot{^}}{θ} = η_{f n} (ξ_{n} S_{n} - σ_{f n} \hat{θ_{n}})$ (15)

$\overset{\dot{^}}{g_{n}} = η_{g n} (S_{n} u - σ_{g n} \hat{g_{n}})$ (16)

其中ηfn, σfn, ηgn, σgn为正设计常数。以上设计的控制结构如图1所示。与传统的后推法相比, 图1虚线框中的 $\overset{\cdot}{z_{2}} ‚ \overset{\cdot}{z_{i + 1}} ‚ \overset{\cdot}{z_{n}}$ 使得在下一步的虚拟控制器、控制器的设计中无需对上一步的虚拟控制进行求导, 从而避免了传统后推中的计算复杂性问题。

3 稳定性分析

此部分将先为后面定理证明进行准备工作, 讨论计算出 $y_{i + 1} ‚ \overset{\cdot}{y_{i + 1}} ‚ S_{i} \overset{\cdot}{S_{i}}$ 的表达式, 之后给出定理, 进行证明。

定义参数估计误差:

$\tilde{θ_{i}} = \hat{θ_{i}} - θ_{i}^{\cdot} \tilde{g_{i}} = \hat{g_{i}} - g_{i}$

令 $y_{i + 1} = z_{i + 1} - \bar{x_{i + 1}}$ , 则由式 (12) 得:

$\overset{\cdot}{z}_{i + 1} = - \frac{y_{i + 1}}{ε_{i + 1}} i + 1, \dots, n_1$

y2关于时间t的导数为:

$\begin{array}{l} \dot{y}_{2} = \overset{\cdot}{z_{2}} - \overset{\cdot}{x_{2}} = - \frac{y_{2}}{ε_{2}} - \frac{\hat{g_{1}}}{\hat{g_{1}^{2} + ε}} (- k_{1} \overset{\cdot}{S_{1}} - \overset{\dot{^}}{θ_{1}^{Τ}} ξ_{1} (x_{1}) - \\ \hat{θ_{1}^{Τ}} \frac{\partial ξ_{1}}{\partial x_{1}} \overset{\cdot}{x_{1}} + \overset{\cdot \cdot}{y_{r}}) - \frac{(ε - \hat{g_{1}^{2}}) \overset{\dot{^}}{g}}{\hat{(g_{1}^{2} + ε)^{2}}} (- \hat{θ_{1}^{Τ}} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) \end{array}$

可见:

$| \dot{y}_{2} + \frac{y_{2}}{ε_{2}} | \leq B_{2} (S_{1}, S_{2}, Y_{2}, \hat{θ}_{1}, \hat{g}_{1}, y_{r}, \dot{y}_{r}, \overset{\cdot \cdot}{y}_{r})$

故:

$y_{2} \dot{y}_{2} \leq \frac{y_{2}^{2}}{ε_{2}} + B_{2} | y_{2} | \leq - \frac{y_{2}^{2}}{ε_{2}} + y_{2}^{2} + \frac{1}{4} B_{2}^{2}$ (17)

其中 $(S_{1}, S_{2}, Y_{2}, \hat{θ}_{1}, \hat{g}_{1}, y_{r}, \dot{y}_{r}, \overset{\cdot \cdot}{y}_{r})$ 是某一连续函数。类似地, 有:

$\begin{array}{l} \overset{\cdot}{y_{i + 1}} = - \frac{y_{i + 1}}{ε_{i + 1}} - \frac{\hat{g}_{i}}{\hat{g}_{i}^{2} + ε} (- k_{i} \dot{S}_{i} - \overset{\dot{^}}{θ_{i}^{Τ}} ξ_{i} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{i}) - \\ \hat{θ}_{i}^{Τ} \frac{\partial ξ_{i}}{\partial X_{i}^{Τ}} \dot{X}_{i} + \frac{\dot{y}}{ε_{i}}) - \frac{(ε - \hat{g_{i}^{2}}) \overset{\dot{^}}{g_{i}}}{(\hat{g}_{i}^{2} + ε)^{2}} (- k_{i} S_{i} - \hat{θ_{i}^{Τ} ξ_{i}} + \frac{y_{i}}{ε_{i}}) \end{array}$

利用归纳法:

$| \overset{\cdot}{y_{i + 1}} + \frac{y_{i + 1}}{ε_{i + 1}} | \leq B_{i + 1} (S_{1}, \dots, S_{Ι + 1}, y_{2}, \dots y_{i + 1}, \hat{θ}_{i}, \dots, \hat{θ}_{i}, \hat{g}_{1}, \dots, \hat{g}_{i}, y_{r}, \dot{y}_{r}, \overset{\cdot \cdot}{y}_{r})$

故:

$y_{i + 1} y_{\overset{\cdot}{i + 1}} \leq - \frac{y_{i + 1}^{2}}{ε_{i + 1}} + B_{i + 1} | y_{i + 1} | \leq - \frac{y_{i + 1}^{2}}{ε_{i + 1}} + y_{i + 1}^{2} + \frac{1}{4} B_{i + 1}^{2} (18)$

其中, Bi+1是某一连续函数。下面讨论 $\dot{S}_{i}$ 的表达式:

当 $\hat{g}_{i} \neq 0$ 时,

$\begin{array}{l} \dot{S}_{1} = g_{1} S_{2} + g_{1} (\bar{x}_{2} + y_{2}) + \frac{\hat{g}_{1}^{2} + ε}{\hat{g}_{1}} \bar{x}_{2} - \frac{\hat{g}_{1}^{2} + ε}{\hat{g}_{1}} \bar{x}_{2} + \\ θ_{1}^{Τ} ξ_{1} + ε_{1}^{\cdot} + d_{1} - \dot{y}_{r} \\ = g_{1} S_{2} - k_{1} S_{1} - \tilde{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} (x_{1}) - \tilde{g}_{1} \bar{x}_{2} + g_{1} y_{2} + \\ ε_{1}^{\cdot} - \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) + d_{1} \end{array}$

当 $\hat{g}_{1} \neq 0$ 时, $\bar{x}_{2} = 0$ , $\tilde{g}_{1} \bar{x}_{2}$ =0, $\frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} = 1$ , 故:

$\dot{S}_{1} = g_{1} S_{2} + g_{1} y_{2} + θ_{1}^{Τ} ξ_{1} + ε_{1}^{\cdot} + d_{1} - \dot{y}_{r} + (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) - (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}})$

$= g_{1} S_{2} - k_{1} S - \tilde{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - \tilde{g}_{1} \bar{x}_{2} + g_{1} y_{2} + ε_{1}^{\cdot} - \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) + d_{1}$

综上, 无论 $\hat{g}_{1} \neq 0$ 或 $\hat{g}_{1} = 0$ , 都有:

$\begin{array}{l} \dot{S}_{1} = g_{1} S_{2} - k_{1} S - \tilde{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} (x_{1}) - \tilde{g}_{1} \bar{x}_{2} + g_{1} y_{2} + ε_{1}^{\cdot} - \\ \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) + d_{1} \end{array}$

根据假设中的1) 和2) , 并利用Young’s不等式及上式可得:

$\begin{array}{l} S_{1} \dot{S}_{1} = g_{1} S_{1} S_{2} - k_{1} S_{1}^{2} - \tilde{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} S_{1} - \tilde{g}_{1} \bar{x}_{2} S_{1} + g_{1} S_{1} y_{2} + \\ (ε_{1}^{\cdot} + d_{1}) S_{1} - \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) S_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \leq g_{Μ 1} (S_{1}^{2} + \frac{1}{4} S_{2}^{2}) - k_{1} S_{1}^{2} - \tilde{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} S_{1} - \tilde{g}_{1} \bar{x}_{2} S_{1} + g_{Μ 1} (S_{1}^{2} + \\ \frac{1}{4} y_{2}^{2}) + | S_{1} | δ_{1} (S_{1}, \hat{θ_{f i}}, \hat{g}_{1}, y_{r}, \dot{y}_{r}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \leq (- k_{i} + 2 g_{Μ 1} + 1) S_{1}^{2} + \frac{1}{4} g_{Μ 1} S_{2}^{2} - \tilde{θ_{1}^{Τ}} ξ_{1} S_{1} - \tilde{g} \bar{x_{2}} S_{1} + \\ \frac{1}{4} g_{Μ 1} y_{2}^{2} + \frac{1}{4} δ_{1}^{2} \end{array}$

其中, $δ_{1} (S_{1}, \hat{θ_{f i}}, \hat{g}_{1}, y_{r}, \dot{y}_{r})$ 是连续函数, 且:

$| ε_{1}^{\cdot} + d_{1} - \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \hat{θ}_{1}^{Τ} ξ_{1} - k_{1} S_{1} + \overset{\cdot}{y_{r}}) | \leq δ_{1} (S_{1}, \hat{θ_{f i}}, \hat{g}_{1}, y_{r}, \dot{y}_{r})$

类似可得:

$\begin{array}{l} \dot{S}_{i} = g_{i} S_{i + 1} - k_{1} S_{i} - \tilde{θ_{i}^{Τ}} ξ_{i} - \tilde{g} \bar{x_{i + 1}} + g_{i} y_{i + 1} + ε_{1}^{\cdot} + d_{i} - \\ \frac{ε}{\hat{g}_{1}^{2} + ε} (- \tilde{θ_{i}^{Τ}} ξ_{i} - k_{1} S_{i} + \dot{z}_{i}) \end{array}$

且:

SiS·i≤ (-ki+2gM1+1) S2i+14gM1S2i+1-

θT1～ξiSi-g～Sixi+1-+14gM1y2i+1+14δ2i (19)

其中 $(S_{1}, \dots, S_{i}, y_{2}, \dots y_{i}, \hat{θ}_{1}, \dots, \hat{θ}_{i}, \hat{g}_{1}, \dots, \hat{g}_{i}, y_{r}, \dot{y}_{r})$ 是某一连续函数, 且:

$\begin{array}{l} | ε_{1}^{\cdot} + d_{i} - \frac{ε}{\hat{g}_{i}^{2} + ε} (- \tilde{θ_{i}^{Τ}} ξ_{i} - k_{i} S_{i} + \dot{z}_{i}) | \leq \\ δ_{i} (S_{1}, \dots, S_{i}, y_{2}, \dots, y_{i}, \hat{θ}_{1}, \dots, \hat{θ}_{i}, \hat{g}_{1}, \dots, \hat{g}_{i}, y_{r}, \dot{y}_{r}) \end{array}$

同理, 不难推出:

$\dot{S}_{n} = - k_{n} S_{n} - \tilde{θ_{n}^{Τ}} ξ_{n} - \tilde{g_{n}} u + ε_{n}^{\cdot} - d_{n} - \frac{ε}{\hat{g}_{n}^{2} + ε} (- \tilde{θ_{n}^{Τ}} ξ_{n} - k_{n} S_{n} + \dot{z}_{n})$

$S_{n} \dot{S}_{n} \leq (- k_{n} + 1) S_{n}^{2} - - \tilde{θ_{n}^{Τ}} ξ_{n} S_{n} - \tilde{g_{n}} S_{n} u + \frac{1}{4} δ_{n}^{2}$ (20)

其中 $δ_{n} (S_{1}, \dots, S_{i}, y_{2}, \dots ‚ y_{n}, \hat{θ}_{1}, \dots, \hat{θ}_{n}, \hat{g}_{1}, \dots, \hat{g}_{n}, y_{r}, \dot{y}_{r})$ 是连续函数, 且:

$\begin{array}{l} | ε_{n}^{\cdot} + d_{n} - \frac{ε}{\hat{g}_{n}^{2} + ε} (- \tilde{θ_{n}^{Τ}} ξ_{n} - k_{n} S_{n} + \dot{z}_{n}) | \\ \leq δ_{n} (S_{1}, \dots, S_{n}, y_{2}, \dots, y_{n}, \hat{θ}_{1}, \dots, \hat{θ}_{n}, \hat{g}_{1}, \dots, \hat{g}_{n}, y_{r}, \dot{y}_{r}) \end{array}$

对于任意的p>0, 定义如下集合:

$Ц_{1} = {(S_{1}, \dot{θ}, \hat{g_{1}})$ : $S_{1}^{2} + η_{f 1}^{- 1} \tilde{θ}_{1}^{Τ} \tilde{θ_{1}} + η_{g 1}^{- 1} \tilde{g}_{1}^{2} \leq 2 p}$

$Ц_{i} = {(S_{1}, \dots, S_{i}, y_{2}, \dots, y_{i}, \hat{θ}_{1}, \dots, \hat{θ}_{i}, g_{\hat{1}}, \dots, \hat{g}_{i})$ :

$\sum_{j = 1}^{i} [S_{j}^{2} + η_{f j}^{- 1} θ_{\tilde{j}}^{Τ} \tilde{θ}_{j} + η_{g j}^{- 1} g_{\tilde{j}}^{2}] + \sum_{j = 2}^{i} y_{j}^{2} \leq s p}$

其中, i=2, 3, …, n。易知Ц1和Цi, 分别是RNf1+2和RNf1 + 2 R∑ij = 1Nfj + 3i-1 上的紧集。令连续函数δi在紧集Ц1×Цi上的最大值为△i, 连续函数Bi+1在紧集Ц1×Цi上的最大值为Mi+1。

定理1 考虑系统式 (1) , 其控制律为式 (14) , 自适应律为式 (5) 、 (6) 、 (10) 、 (11) 、 (15) 和式 (16) , 且满足假设 (1) ～ (3) , 则对于有界初始条件满足:

$\sum_{j = 1}^{n} [S_{j}^{2} + η_{f j}^{- 1} θ_{\tilde{j}}^{Τ} \tilde{θ}_{j} + η_{g j}^{- 1} \tilde{g}_{j}^{2}] + \sum_{j = 2}^{i} y_{j}^{2} \leq s p$

且设计常数ki, εi+1, a0满足下述条件:

闭环系统半全局一致终结有界, 且适当选取设计常数, 跟踪误差可收敛到原点的一个小邻域内。将式 (5) 、 (6) 、 (10) 、 (11) 、 (15) ～ (20) 代入式 (21) , 整理得:

$\begin{array}{l} \dot{V} (t) \leq \sum_{i = 1}^{n - 1} [(- k_{i} + 2 g_{Μ i} + 1) S_{i}^{2} + \frac{1}{4} g_{Μ i} S_{i + 1}^{2} + \frac{1}{4} g_{Μ i} y_{i + 1}^{2} + \\ \frac{1}{4} δ_{i}^{2}] + (- k_{n} + 1) S_{n}^{2} + \frac{1}{4} δ_{n}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (- σ_{f i} \tilde{θ_{f i}^{Τ}} \hat{θ_{F Ι}}) + \\ \sum_{i = 1}^{n} (- σ_{g i} \tilde{g_{i}^{Τ}} \hat{g_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n - 1} [- \frac{y_{i + 1}^{2}}{ε_{i + 1}} + y_{i + 1}^{2} + \frac{1}{4} B_{i + 1}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \leq (- k_{1} + 2 g_{Μ 1} + 1) S_{1}^{2} + \sum_{i = 2}^{n - 1} (- k_{i} + 2 g_{Μ i} + 1 + \frac{1}{4} g_{Μ (i - 1)}) S_{i}^{2} + \\ (- k_{n} + 1 + \frac{1}{4} g_{Μ (n - 1)}) S_{n}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (- \frac{1}{ε_{i + 1}} + 1 + \frac{1}{4} g_{Μ i}) y_{i + 1}^{2} + \\ \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{n} δ_{i}^{2} + \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{n - 1} B_{i + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} (- σ_{f i} \tilde{θ_{i}^{Τ}} \hat{θ_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n} (- σ_{g i} \tilde{g_{i}} \hat{g_{i}}) (22) \end{array}$

又因为:

$- σ_{f i} \tilde{θ_{i}^{Τ}} \hat{θ_{i}} \leq - \frac{1}{2} σ_{f i} ∥ \tilde{θ_{i}} ∥^{2} + \frac{1}{2} σ_{f i} ∥ θ_{i}^{\cdot} ∥^{2}$

$- σ_{f i} \tilde{g} \hat{g_{i}} \leq - \frac{1}{2} σ_{f i} \tilde{g_{i}^{2}} + \frac{1}{2} σ_{f i} g_{i}^{2}$

所以:

$\begin{array}{l} \dot{V} (t) + \leq (- k_{1} + 2 g_{Μ 1} + 1) S_{1}^{2} + \sum_{i = 2}^{n - 1} (- k_{i} + 2 g_{Μ i} + 1 + \\ \frac{1}{4} g_{Μ (i - 1)}) S_{i}^{2} + (- k_{n} + 1 + \frac{1}{4} g_{Μ (n - 1)}) S_{n}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} [(- \frac{1}{ε_{i + 1}} + \\ 1 + \frac{1}{4} g_{Μ i}) y_{i + 1}^{2}] + \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{n} δ_{i}^{2} + \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{n - 1} B_{i + 1}^{2} - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (σ_{f i} ∥ \tilde{θ_{i}} ∥^{2} + \\ σ_{g i} \tilde{g_{i}^{2}}) + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (σ_{f i} ∥ θ_{i}^{\cdot} ∥^{2} + σ_{g i} g_{i}^{2}) (23) \end{array}$

若 $V (t) = 2^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} (S_{i}^{2} + η_{f i}^{- 1} \tilde{θ_{i}^{Τ}} \tilde{θ_{i}} + η_{g i}^{- 1} \tilde{g_{i}^{2}}) + 2^{- 1} \sum_{i = 1}^{n - 1} y_{i + 1}^{2} = p$ , 则δ $_{i}^{2}$ ≤ $_{i}^{2}$ , B $_{i + 1}^{2}$ ≤M $_{i + 1}^{2}$ 。令:

$μ = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (σ_{f i} ∥ θ_{i}^{\cdot} ∥^{2} + σ_{g i} g_{i}^{2}) + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} △_{i}^{2} + \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{n - 1} Μ_{i + 1}^{2}$ (24)

将式 (21) 代入式 (23) , 并利用式 (24) 得:

$\dot{V} (t) \leq - 2 a_{0} V (t) + μ$ (25)

于是在V (t) =p条件下, 只要通过适当选取设计常数, 使得 $\frac{μ}{2 p} \leq a_{0}$ , 则 $\dot{V} (t) \leq 0$ 。因此, V (t) =p是一个不变集。由式 (25) 可得:

$0 \leq V (t) \leq \frac{μ}{2 a_{0}} + [V (0) - \frac{μ}{2 a_{0}}] e^{- 2 a_{0^{t}}}$ (26)

4 仿真结果

考虑如下非线形系统:

控制目标:使得系统输出y=x1, 跟踪参考轨迹yr=0.5 (sint+sin (0.6t) ) 。系统的初始状态 $x_{1} = 0 ‚ x_{2} = - 0.2 ‚ \hat{g}_{1} = \hat{g}_{2} = 0.1 ‚ ε = 0.02 ‚ g_{Μ 1} = 10$ , 神经网络中隐结点数M=N=25, ηfi=ηgi=20, gfi=ggi=0.02, 得a0=0.2, 由式 (21) 便得ki值, i=1, 2。仿真结果如图2和图3所示。图2表明本文提出的控制方案具有良好的跟踪性能。

5 结论

针对常增益的严格反馈非线性系统, 结合动态面控制技术和神经网络的逼近能力, 提出了间接自适应控制方案, 避免了推设计中的计算复杂性问题。该方法采用的控制律, 克服了自适应控制中可能出现的控制器奇异性问题, 减少了参数调节数量闭环系统有界, 可使得跟踪误差收敛到一个小邻域内, 仿真结果进一步表明了该方法的有效性。

参考文献

[1]Fischle K, Schroder D.An improved stable adaptive fuzzy control meth-od[J].IEEE Trans.on Fuzzy Systems, 2007, 7 (1) :27-40.

[2]Lin C M, Peng Y F.Adaptive CMAC-based supervisory control for un-certain nonlinear systems[J].IEEE Trans.on Systems, Man and Cyber-netics-Part B:Cybernetics, 2004, 34 (2) :1248-1260.

[3] Hung C P.Integral variable structure control of nonlinear system using a CMAC neural network learning approach[J].IEEE Trans.on Systems, Man and Cybernetics-PartB:Cybernetics, 2007, 34 (1) :702-709.

[4]Chen S C, Chen WL.Adaptive radial basis function neural network con-trol with variable parameters[J].Int.J.Systems Science, 2006, 32 (4) :413-424.

[5]Lee C Y, Lee J J.Adaptive control for uncertain nonlinear systems basedon multiple neural networks[J].IEEE Trans.on Systems, Man and Cy-bernetics-Part B:Cybernetics, 2006, 34 (1) :325-333.

间接模糊自适应控制篇5

1.1 锅炉供水系统工作原理

锅炉供水系统是由锅炉主体、液位传感器、给水阀和各种管道构成。控制系统是通过液位传感器返回的测量数据,去控制阀门开度的大小和开闭的时间来维持锅炉内的水位,来保证锅炉的水位在一个安全的范围值之内[1]。锅炉控制系统如图1所示。

1.2 在给水流量作用下汽包水位的动态特性

锅炉的输入量就是给水量,在给水量发生变化时,汽包水位对象的微分方程式可以表示为:

其中:T1T2——时间常数

Tw——给水量时间常数

Kd——给水量放大系数

Vw——水位变化量和最大蒸汽负荷量之比

经过拉斯变换后得到

从而得出汽包水位在给水流量作用下的传递函数

在锅炉供水系统中的值一般比较小,Tw可以忽略不记,所以汽包水位在给水流量作用下的传递函数可以近似看成

2 汽包水位模糊控制自适应系统设计

自适应模糊PID控制系统,使用了性能优越的模糊控制器取代了参数无法改变的常规PID控制器,使用PID和偏差e和偏差变化率ec相结合,通过使用模糊推理对PID进行在线整定,可以得出被控对象有良好的静、动态特性[2]。则模糊PID控制器结构如图2所示。

2.1 输入、输出量的模糊化

对于锅炉汽包水位控制系统,将汽包水位偏差值的变化量ec和偏差值e设为输入变量,PID参数的校正值为输出变量,即Kp、Ki和Kd。在模糊自整定PID控制器中,采用的是二维模糊控制器,如图3所示[3]。

汽包水位模糊自适应PID控制器设定模糊输入量误差E和误差变化率EC及三个模糊输出量△Kp、△Ki和△Kd的模糊子集均选用{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB},分别对应{负大、负中、负小、零、正小、正中、正大}[3]。子集中的各语言值为输入、输出量的论域为:E={-3,-2,-1,0,1,2,3},EC={-3,-2,-1,0,1,2,3},Kp={-3,-2,-1,0,1,2,3},Kd={-3,-2,-1,0,1,2,3},Ki={-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3}。其中E、EC、△Kp、△Ki和△Kd模糊变量隶属度函数均选用三角形函数,并进入隶属度函数编辑器(Membership Function Editor)修改输入语言变量的论域为(-3,3),输出语言变量的论域(0,1)。如图4所示的是E、EC、△Kp、△Kd的隶属度函数,图5所示的是△Ki的隶属度函数。

2.2 调节PID控制器的三个参数的模糊规则的建立

通过多次操作数据处理或多次数据经验总结,并结合理论分析可以总结出偏差e、偏差变化率ec跟PID调节器的三个参数Kp、Ki、Kd间存在如下的关系[4],下面以Kd的为例。

当e较小时,为使系统具有较好的稳定性能,Kp与Ki要取大一些,同时为了避免系统在设定值发生振荡,并考虑系统抗干扰性能,当ec较大时Kd可取得较小一些;ec较小时Kd可取的较大一些。根据这些经验调节修正PID调节器中Kd的参数的模糊规则,如表1所示。

表1中,|e|和|ec|分别表示偏差e和偏差变化率ec的绝对值;△Kd分别表示为对系统PID控制器原来设计参数Kd的修正值,系统实时的参数确实分别为Kd+△Kd,这些模糊子集的论域及其隶属函数,需要根据系统大量数据的分析得出,F子集的隶属度函数取三角形函数。建立了输入输出模糊变量子集后,在SIMULINK模糊控制器Rule Editor中添加模糊控制规则[5],共49条规则。

3 锅炉汽包水位的自适应模糊控制系统MATLAB仿真

3.1 锅炉汽包水位模糊控制系统仿真结构图的搭建

模糊规则制定完成后,在SIMULINK环境下中建立智能控制系统模糊控制仿真结构图,并对系统进行仿真实验,在Simulink中的模糊自适应PID控制系统如下所图7所示[6]。

锅炉水位仿真结果的自适应模糊PID控制如图8所示。

3.2 锅炉汽包水位模糊控制系统的MATLAB仿真

在Simulink环境下,PID控制系统仿真框图如图9所示,仿真曲线如图10所示。

在锅炉汽包水位控制系统,通过SUMLINK建立的两种不同形式的PID曲线,可以看出丛这两个仿真曲线图有些不同,采用模糊自适应控制系统的PID曲线具有更好的控制效果,比经典的PID控制器具有更快的动态响应特征,丛模糊自适应控制系统结果曲线可以很好的看出系统能很快的趋向平衡点,这就表明系统响应速度很快,超调量比较小,完成系统稳定控制的时间短,控制精度也很高,并且控制结果非常稳定。

4 结论

此项研究从锅炉系统控制的特点出发,将锅炉水位控制系统进行模型化分析,得出锅炉水位控制系统在工业过程中表现出的非线性,大滞后,强耦合,不容易控制等特点的结论。此研究根据以上模型得出的结论,将PID控制和模糊控制理论相结合,弥补了传统PID控制器难以达到理想控制效果的不足,既延续了PID控制中稳态精度高的优点,又将模糊控制融入其中,此两种控制理论的结合,使锅炉控制系统保持在最优的实时参数上,达到了令人满意的控制效果。

摘要：在锅炉运行中,对水位的控制要求特别高,因为它关系到锅炉系统的安全与稳定,水位控制是一种非线性,强耦合的多变量系统。模糊控制具有不依赖控制对象建立精确数学模型、具有超调较小、防止振荡等优点。本文针对这个现象设计了模糊自适应系统,并对其进行了MATLAB仿真实验。结果表明模糊自适应系统对锅炉水位有很好的控制作用。

关键词：汽包水位,自适应模糊,PID控制,仿真

参考文献

[1]娄伟,刘向东.模糊控制在锅炉汽包水位控制系统中的应用[J].山东农业大学,2010(1).

[2]李成浩.锅炉水位PID控制与模糊控制的比较研究[J].商,2012(21):135-135.

[3]高俊.锅炉汽包水位模糊控制的应用研究[J].上海应用技术学院,

[4]张鑫.模糊PID技术在控制锅炉汽包水位的初探[J].机械制造与自动化,2013,42(2):170-174.

[5]王爱军.锅炉汽包水位的模糊自适应控制[J].华北水利水电学院,2012(12).

热风炉燃烧的模糊自适应控制篇6

热风炉是高炉鼓风的加热设备,承担着将燃烧煤气所产生的热量传递到高炉鼓风的关键作用。热风炉是一个复杂的慢时变、强耦合的非线性系统,其控制对象处于经常变化之中,要求所设计的模糊控制器具有自调整性能,能够适应不同现场环境的变化,获得满意的控制效果,对改善热风炉的送风效果具有非常现实的意义。

本文针对热风炉的工艺特点,结合国内外热风炉的运行经验和热风炉的运行实际情况,提出了一种具有自适应性的热风炉燃烧控制策略。用伪码实现控制算法能方便的实现在线推理,无需研究编程语言的语法和特征函数去模拟仿真模糊控制器,具有编程简单、可移植性强等特点。

2 热风炉模糊自适应控制系统设计

2.1 热风炉燃烧

热风炉的燃烧可以分为两个周期(1)快速加热期(2)拱顶温度管理期。

热风炉拱顶温度是热风炉生产中的重要参数,拱顶温度较低时,在送风期将不能保证规定的热风温度,拱顶温度过高将会对拱顶造成损伤。在燃烧控制过程中要求拱顶控制温度略低于拱顶目标温度,拱顶上限温度略高于拱顶目标温度,拱顶上限温度是热风炉拱顶的安全界限温度[1]。

操作规程规定的最高拱顶温度即拱顶目标温度为1350℃,拱顶的上限温度为1400℃,拱顶控制温度1300℃;允许的废气温度范围350~400℃,提高废气温度可以增加热风温度,废气温度的上限值为390℃[2]。

2.2 系统设计

在初始时刻,输入信号阶跃变化到给定值,为了尽快使炉温上升到给定值,控制输入为最大值,以最大的升温速率升温,为了不超调,在炉温没有达到给定值时提前减小控制输入,即温度与给定值相差数值M(即800℃)时,将输入减小,减缓上升速率。由于被控对象的惯性的作用,炉温继续上升。模糊自适应控制器的输出就是执行机构的控制输入,保证在拱顶温度平稳、迅速的上升到其上限目标后,进入拱顶温度管理期。

进入管理期后,必须保持拱顶温度。在模糊自适应控制下,使得废气温度按恒定速率上升,蓄热室能够充分蓄热且煤气利用率最高。当废气温度达到上限时,停止加热[3]。

拱顶温度控制需设定以下参数:煤气流量、拱顶目标温度和废气管理温度。将拱顶温度作为控制目标,以废气管理温度作为限制条件,控制参量为煤气流量,并根据最佳空燃比来调节空气流量,见图1所示。

图1中都为离散信号,T为采样周期。上部分为自适应控制环,它是通过调整模糊控制器的参数使得对象的输出y(k T)跟踪参考模型的输出ym(k T);下部分为模糊控制环,模糊控制器调整控制量,使得对象的输出y(k T)跟踪给定值r(k T)。

从图1中可以看出控制系统主要由四个部分组成:模糊控制器(1)、模糊控制器(2)、知识库修正器以及执行机构。

模糊控制器(1)中的规则库有下列形式的规则If e is Ej and c is Cl Then u is Um。其中,Ej、Cl及Um分别相应语言变量e、c和u的语言值。

模糊控制器(2)以到达减小偏差ye(k T)为目的,其规则库中的规则形式为:

If ye is YEj and yc is YCl Then yu is YUm。其中YEj及YCl为输入变量语言值,YUm输出变量第m个模糊集合。

知识库修正器接收信号yu(k T),改变模糊控制器规则库中的规则,就用p(k T)修正模糊控制器前一拍的控制作用,使得ye趋于零。这里模糊控制器的输出隶属函数为对称型三角形隶属函数。

首先,确定出模糊控制器规则前件确信度大于零的所有规则(即输入状态所激活的所有规则),即

其次,令b m(k T)为k T拍时第m个输出隶属函数的中心,对激活规则集合中的所有规则用b m(k T)=bm(k T-T)+p(k T)修正输出隶属函数的中心,不在激活规则集合内的规则不被修正[4]。

3 程序设计

利用上述控制思想和相关定义,编写模糊自适应控制程序,程序流程图如图2所示。

4 控制系统仿真

4.1 系统模型建立

(1)被控对象

将热风炉的数学模型近似用带延迟的一阶系统来表示。煤气最大流量的取值范围为0~40000m3 h,即最大流量约为11 m3 s。若以最大流量送煤气,由于拱顶最高温度不能超过1350°C,所以K=1350/11≈122,惯性时间常数T=150s,滞后时间τ=10,传递函数可以表示为:s,假定热风炉的初始温度400℃。用状态空间方程来表示被控对象,即初始值400。

(2)参考模型

用一阶惯性环节表示系统的参考模型。根据经验确定得到过程的稳态增益Ky=1,惯性时间常数Ty=10s,因而传递函数可以表示为:

4.2 系统仿真结构

通过S函数,编写程序来满足要求模型及接口。本次仿真,将模糊自适应控制程序按照Simulink中S函数的格式书写,命名为fac。

由于主要是修正前一拍的控制作用,所以前一拍对被控对象的控制作用占80%,当前拍对被控对象的控制作用占20%。仿真结构图如图3所示。当给定与实际的偏差在800以下,以最大流量送煤气。

4.3 仿真结果

1、模糊自适应控制仿真结果如图4所示。

2、初始给定值r=1000,当仿真进行到3000s时,突加一幅值为500的阶跃给定信号,即给定值为r=1300,得到的仿真曲线如图5所示。

3、系统达到稳定状态后,在3000s到3100s之间突然加一个负脉冲扰动信号,系统仿真曲线如图6所示。

5 结束语

本文将模糊自适应控制用于热风炉控制系统。针对热风炉工艺特点和热风炉的燃烧控制问题对热风炉燃烧控制系统进行了研究和设计[5]。控制算法由简单、通用的伪代码程序实现,以数字语言值为特征,能够很方便地实现在线推理,且移植性很强。采用Simulink中的S函数对控制系统进行仿真。仿真结果表明该控制策略在稳定性、响应速度、抗干扰性等方面均有较强的优越性。

摘要：本文针对目前热风炉供给高炉的送风温度较低且燃烧状态时好时坏,不能够节省能源和更好地满足高炉生产需要,提出了热风炉燃烧模糊自适应控制策略。详细论述了用伪代码实现控制算法的设计思想及设计步骤。采用S函数实现仿真,仿真结果表明该策略能够取得良好的控制效果。

关键词：热风炉,模糊自适应控制,伪代码,S函数

参考文献

[1]YUNOSUKE MAKI,AKIHIRO INAYAMA,KATSUMI INO.The Latest Technologies for Process Con-trol and Automation in Blast Furnace[J].KAWASAKI Steel Technical Report,2000,(43):61-67.

[2]孙进生.高炉热风炉燃烧CBR智能控制技术[M].北京:冶金工业出版社,2006.

[3]KENNETH R.MUSKE,JAMES W.HOWSE,GLENA.HANSEN,et al.Advanced Control of Operations in theBlast Furnace Project[j].LANL Technical Report,1999,LA-UR-99-5051.

[4]席爱民.模糊控制技术[M].西安:西安电子科技大学出版社,2008.

单级倒立摆的自适应模糊控制方法篇7

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的非线性系统, 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效地反映控制中的许多典型问题:如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制, 可以检验新的控制方法是否具有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。另外, 实现倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制有着不可估量的工程应用价值, 对倒立摆的研究在双足机器人行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制等领域中有着广阔的应用空间。因此, 倒立摆的精确、稳定控制对于自动控制技术的研究与发展具有重要的现实意义[1,2]。

这里, 我们以单级倒立摆为研究对象, 运用自适应模糊控制方法对其进行控制, 此方法是在模糊控制的基础上增加了一个监督控制器。当模糊控制器正常运行时, 监督控制器不工作;当模糊控制器运行在不稳定状态时, 监督控制器开始工作, 以保证整个控制系统的稳定。 (1)

2 模糊系统的设计[3,4]

设二维模糊系统为集合U=[α1, β1]×[α2, β2]R 2上的一个函数, 其解析式的形式未知。假设对任意一个x∈U, 可设计一个模糊控制系统。模糊系统设计如下:

(1) 在[αi, βi]上定义Ni (i=1, 2) 个标准的一致的和完备的模糊集A1i, A2i, …, ANii。

(2) 组建M=N1×N2条模糊集IF-THEN规则, 第i1i2条规则表示为:

其中:i1=1, 2, …, N1;i2=1, 2, …, N2。将模糊集Bi1i2的中心 (用y-i1i2表示) 选择为:

(3) 采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器, 根据M=N1×N2条规则来构造模糊系统f (x) , f (x) 具体表示如下:

3 模糊监督控制器的设计[5]

模糊控制系统原理如图1所示。

从理论上讲, 至少可以用两种不同的方法来保证模糊控制系统稳定。第一种方法是给模糊控制器选择特殊的结构和参数, 使带有模糊控制器的闭环控制系统稳定;第二种方法是设计模糊控制器时先不考虑稳定性, 而是将另一个非模糊监督控制器添加到模糊控制器上, 以满足稳定性需要。第二种方法中的模糊控制器设计具有很大的灵活性和自由度, 用此方法设计的模糊控制器可以获得更好的性能。

后一种方法的关键是设计非模糊监督控制器, 使系统稳定性得到保证。

模糊控制器执行主要控制操作, 是主控制器, 而监督控制器实现监督的功能。如果模糊控制器运行良好, 监督控制器则停止工作;如果模糊控制系统趋于不稳定, 监督控制器则开始工作, 以确保整个系统稳定。

考虑下面的非线性系统:

式中:x∈R———系统输出;μ∈R———系统输入;x= (x, x·, …, xn-1) T———系统状态向量;f, g———未知非线性函数, 并假设g>0。

在系统 (3) 中, 假设f (x) 的上界和g (x) 的下界已知, 即存在可确定函数fU (x) 和gL (x) , 使得

模糊监督控制器的结构如下:

式中:μfuzz (x) ———主模糊控制器;I*———指示函数;μs (x) ———非模糊监督控制器。

为了确保闭环系统的稳定性, 需要设计一个控制器, 并且要求带有此控制器的闭环系统是全局稳定的。因此, 我们在模糊控制器μfuzz (x) 上添加一个监督控制器μs (x) , μs (x) 只是在状态变量达到约束集{}的边界时才不为零, 其中Mx为设计者给定的大于零的实数。

控制的主要任务由μfuzz (x) 承担, 通过设计监督控制器μs (x) , 使对所有的t>0, 有‖x‖≤Mx。模糊监督控制器 (4) 的控制策略:当‖x‖≤Mx时, I*=0;当‖x‖≥Mx时, I*=1。

将式 (4) 代入式 (3) 中, 得:

为证明其稳定性, 需要将闭环系统的方程写成向量形式。

由被控对象式 (3) 的表达形式, 可定义使闭环系统稳定的理想控制器为:

其中, k= (kn, …, k1) T∈Rn使得多项式S (n) +k1S (n-1) +…+kn的所有根都在复平面的左半平面上。

将式 (6) 代入式 (5) , 得:

定义:

则式 (7) 可以写成向量形式:

4 系统稳定性分析[6]

定义李亚普诺夫函数为:

其中, P为满足李亚普诺夫方程的正定对称矩阵, 且满足:

其中, Q>0由设计者给定。因为Λ是稳定的, 所以说这样的P总是存在的。

利用式 (9) 和式 (11) , 并考虑‖x‖≥Mx时, I*=1, 得:

可得:

为了保证·V≤0, 由式 (12) 和式 (6) , 设计μs为:

将式 (13) 代入式 (12) 中, 有·V≤0。

另外, 式 (4) 中的I*是一个阶跃函数, 每当x碰到边界‖x‖=Mx时, 监督控制器就开始工作, 每当x回到约束条件‖x‖=Mx的内部时, 监督控制器就停止工作, 因此系统在跨越边界时将受到冲击。克服这种“振荡”的一个办法就是, 令I*在0～1之间连续变化。如:

式中:———设计者给定的一个常数。因此, 在式 (14) 中, 当x从a变到Mx时, 监督控制器μs将从停止状态连续变化到最大值, 并将使‖x‖≤Mx。

5 倒立摆仿真实验

5.1 建立倒立摆模型[5]

单级倒立摆如图2所示, 其控制目标是使摆直立, 并保持静止。单级倒立摆动态方程为:

式中:x1, x2———摆角和摆速;g=9.8;mc———小车质量, mc=1;m———摆杆质量, m=0.1;l———摆长的一半, , l=0.5;u———控制输入。

5.2 模糊集隶属度函数

模糊控制器μfuzz的模糊控制规则如图3所示 (PB:正大;Z:零;NB:负大) 。模糊集{正、负}的隶属函数分别为:, 如图4所示。模糊集{PB、Z、NB}的隶属函数分别为:μPB (u) =e- (u-5) 2, μZ (u) =e-u2, μNB (u) =2e- (u+5) , 如图5所示。

5.3 设计模糊控制器

如前所述, 我们采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器, 根据M=N1×N2 (N1=2, N2=2) 条规则来构造模糊控制器μfuzz。由模糊控制规则图3可知:y-11=-5, y-12=0, y-21=0, y-22=5。由式 (2) 得模糊控制器为:

5.4 设计监督控制器

由式 (13) 可知, 要设计监督控制器, 首先要确定边界fU和gL。对于本系统, 如果要求, 则有:

控制的目标是能将任意初始角度的倒立摆控制到平衡点, 并同时保证

我们将fU和gL代入式 (13) , 并令k=[k2, k1], 其中k1=2, k2=1;bT=[0, g (x) ]=同时, 取Q=, 求解李亚普诺夫方程得:, 即可得监督控制器的控制式。

5.5 MATLAB仿真

模糊监督控制主程序Simulink仿真如图6所示。我们使用S-Function函数来实现模糊监督控制器算法与倒立摆被控对象算法, 并令位置指令为xd (t) =0, 倒立摆初始状态位置为, 采用控制律式 (4) 编写被控程序。倒立摆的位置响应、摆速响应及控制信号输入仿真结果如图7～图9所示。

6 结论

从MATLAB仿真实验的结果可以看出, 控制系统将初始角度为初始速度为0的倒立摆在较短的时间内控制到平衡位置, 控制曲线没有出现振荡, 这说明系统的响应速度快, 控制超调量小, 被控系统稳定。通过对倒立摆的摆杆位置和速度的有效控制, 使被控系统在较短时间内达到平衡状态, 反映了控制系统具有很好的鲁棒稳定性, 能够满足系统的控制要求, 实现预定的控制目标。因此, 自适应模糊控制方法在控制倒立摆这种具有复杂性、非线性、不稳定性的系统方面具有很强的能力。另外, 此方法在控制器的设计上也更加灵活, 尤其是模糊控制器的设计, 更多考虑系统的目标实现, 避免为使系统稳定而将控制策略变得冗繁复杂, 使系统具有更好的适应性和鲁棒性。

参考文献

[1]王志新, 谷云东.随机出、入水双容水箱液位控制实验及被控对象的数学模型[J].化工自动化及仪表, 2006, 33 (2) :13-16.

[2]邢景虎, 陈其工, 江明.单级倒立摆两种控制方法的仿真研究[J].工业仪表与自动化装置, 2008, (2) :7-9.

[3]席爱民.模糊控制技术[M].西安:电子科技大学出版社, 2008.

[4]党建武, 赵庶旭, 王阳萍.模糊控制技术[M].北京:中国铁道出版社, 2007.

[5]佟绍成.非线性系统的自适应模糊控制[M].北京:科学出版社, 2006.

间接模糊自适应控制篇8

随着计算机技术的发展,人们利用人工智能的方法将操作人员的调整经验作为知识存入计算机中,根据现场实际情况,计算机能自动调节PID参数,这就是智能PID控制器。模糊控制系统是智能控制的一个十分活跃的应用领域,它不要求掌握被控对象精确的数学模型,且控制方法灵活、适应性强。本文针对铁矿石冶金性能测定过程中还原气体流量控制的工艺特点,引入模糊控制,将模糊控制和常规PID控制相结合构成模糊自适应PID流量控制器,充分利用模糊控制和PID控制两者的优点。结果表明,模糊控制的引入,很好地实现了PID参数的自适应,能够满足铁矿石冶金性能测定过程对还原气体流量的高精度和高稳定性的要求,系统具有良好的动态和静态特性。

1 还原气体工艺与流量控制原理

1.1 还原气体工艺

铁矿石冶金性能测控系统是模拟铁矿石在高炉中反应的不同过程并在此条件下获取相关参数,还原气体流量及成分的控制是铁矿石冶金性能测控系统的重点和难点[1]。配制还原气体的工艺流程如图1所示。在冶金性能实验中,空气压缩机将空气送入加热炉中与焦炭反应产生还原气体,然后由调节阀1控制气体流量;调节阀2控制N2的流量,两路气体在气体处理系统中混合净化,最后为冶金性能的各种测定过程提供高效稳定的还原气体。

还原气体流量控制系统的控制原理是:首先由气体分析仪检测混合气体中N2和CO的比例,热式质量流量计检测调节阀出口的气体流量,检测信号送入控制器中与设定值进行比较,经过相关的控制运算后输出控制信号给调节阀1和调节阀2,通过调节阀门的开度来控制两路气体的流量,从而达到对还原气体成分和流量进行控制的目的。

1.2 流量控制原理

通常,对管道内的流体进行流量控制有两种方法:改变管道通流面积的大小,或者直接改变管道内的压差。系统中我们采用的是第一种方法,在管道中加装调节阀,通过控制调节阀的开度来控制气体流量。

输出流量的大小与调节阀的开度成正比,调节阀的开度与微控制器施加在调节阀上的电压或电流相对应,因此可以得到电压或电流与流量之间的关系。控制流量首先需要计算出施加在调节阀上的对应的电压或电流值,从微控制器输出的电信号经过D/A转换作用在调节阀上,控制电动调节阀的开启度,从而达到控制流量的目的。控制系统结构框图如图2所示。

在还原气体配制过程中,空气压缩机在一定的气压范围内间歇式工作,这就造成了气体管路中压力、温度等参数变化比较大。常规的PID控制是以一组固定不变的PID参数去适应系统参数变化、干扰等众多影响因素,难以获得令人满意的控制效果,所以控制器引入模糊控制算法构成模糊自适应PID控制器,采用模糊推理来在线调整PID参数,让PID参数随工况变化而实时自动调整。

2 模糊自适应PID控制器的设计

模糊自适应PID控制系统主要由参数可调整PID和模糊推理系统两部分组成。自适应PID控制器就是在常规PID算法的基础上,以误差e和误差变化ec作为输入,利用模糊规则进行模糊推理,查询模糊矩阵表进行参数调整,来满足不同时刻的e和ec对PID参数自整定的要求。利用模糊控制规则在线对PID参数进行修改,便构成了自适应模糊PID控制器。其结构如图3所示。

这种技术的设计思想是先找出Kp,KI,KD3个参数与误差e和误差变化ec之间的模糊关系[2],在运行中通过不断检测e和ec,根据模糊控制规则对3个参数进行在线修正,以满足在不同e和ec时对控制参数的不同要求,从而使被控对象具有良好的动、静态性能。在本气体流量控制

系统中,结合实际情况,采用这种控制方案。

2.1 输入输出变量模糊化及隶属度函数的确立

模糊推理是针对模糊量进行的,而模糊控制器的输入量e和ec都是精确量,因此,首先要对输入输出量进行模糊化处理。在本文所设计的模糊自适应PID控制器中,输入和输出变量的语言值均分为7个状态:负大(NB)、负中(NM)、负小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PB),为提高系统的控制灵敏度,隶属度函数采用三角函数。形式如图4所示。

在铁矿石冶金性能测控系统中,还原气体流量的控制范围是0～20L/min,流量偏差的基本论域取为[-6, 6],流量偏差变化率的基本论域取为[-3, 3],ΔKp的基本论域为[-0.6,0.6],ΔKI的基本论域为[-0.03,0.03],ΔKD的基本论域为[-0.6,0.6],以上各变量的模糊集论域均定义为{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},输入输出变量相应的模糊子集均为{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}。

2.2 模糊控制规则表的确定及模糊推理

模糊控制设计的核心是总结工程设计人员的技术知识和实际操作经验,建立合适的模糊规则表[3]。它是按人的直觉推理的一种语言表示形式,第i条模糊规则Ri可表示为

Rij:if e is Ai and ec is Bi then P is Cij(i=1,2,…,7;j=1,2,…,7)

其中,Ai,Bi和Cij是定义在误差、误差变化和控制量论域上的模糊集。

$R = \underset{i; j}{U} A_{i} \times B_{j} \times C_{i j} (1)$

R的隶属函数可以表示为

$μ_{R} (x, y, z) = \lor_{i = 1, j = 1}^{i = 7, j = 7} μ_{A_{i}} (x) \land μ_{B_{i}} (y) \land μ_{c_{i j}} (z) (2)$

式中:x,y和z分别为误差、误差变化和控制量论域上的变量;μ为隶属度。

比例系数KP的作用是加快系统的响应速度,提高系统的调节精度,偏差一旦产生,控制器立即产生控制作用,以减少偏差。KP越大,系统的响应速度越快,系统的调节精度越高,但易产生超调,甚至会导致系统不稳定。KP取值过小,则会降低调节精度,使响应速度缓慢,从而延长调节时间,使系统静态、动态性能变坏。因此,当偏差︱e︱较大时,为提高响应速度,KP取大值;当偏差︱e︱处于中等大小时,防止超调过大产生振荡,KP应取得小些;在调节后期偏差很小时,为使系统具有较好的稳定性能,应适当增大KP的取值。同时考虑ec的因素,︱ec︱的大小反映偏差变化的速率,随着ec增大,则KP的取值减小。KP的模糊控制规则如表1所示。

积分作用系数KI的作用是消除系统的稳态误差,提高系统的控制精度。KI越大,系统的静态误差消除越快,但KI过大,在响应过程的初期会产生积分饱和现象,从而造成响应过程的较大超调。若KI过小,将使系统静态误差难以消除,影响系统的调节精度。在常规PID控制中,为防止出现积分饱和,常将积分环节分离出来,当偏差减小至一定范围时,才加入积分环节。因此,当偏差︱e︱较大时,为避免系统响应出现较大的超调,通常取KI=0,去掉积分作用;当︱e︱较小接近设定值时,为使系统具有较好的稳定性,KP和KI均应取得大些,以消除系统的稳态误差,提高控制精度。同时考虑ec的因素,︱ec︱的大小反映偏差变化的速率,随着ec增大,KI取值增大。KI的模糊控制规则如表2所示。

微分作用系数KD的作用是改善系统的动态性能,在响应过程中抑制偏差向任何方向变化,对偏差变化进行提前预报。但KD过大,会使响应过程提前制动,从而延长调节时间,而且会降低系统的抗干扰性能。因此,在控制过程初期,为避免由于开始时偏差︱e︱的瞬时变大可能出现的微分过饱和而使控制作用超出许可的范围,KD应取较小值;在偏差︱e︱较小时,KD的取值对系统响应的影响较大,取值要大小适中,以保证系统响应速度。同时为避免系统在设定值附近出现振荡,影响系统的抗干扰性能,KD的取值要考虑︱ec︱的因素。一般是当︱ec︱值较小时,KD取值大一些;当︱ec︱值较大时,KD取值小一些,通常KD为中等大小。KD的模糊控制规则如表3所示。

被控对象输入偏差e和偏差变化ec的精确量,在模糊化取得相应的语言值后,查询PID参数模糊自适应规则表,完成模糊推理,分别得出3个修正参数ΔKP,ΔKI,ΔKD的模糊量。

2.3 模糊判决

模糊系统的最终输出必须是一个清晰的值以便直接对实际系统进行控制,因此需要一个解模糊的最后步骤,解模糊过程也是一个影响系统控制性能的重要环节。本系统采用工业控制中广泛使用的模糊判决方法——加权平均法。该法针对论域中的每个元素Ci(i=1,2,…,7),以它作为判决输出模糊集合的隶属度μc(i)的加权系数,即取其乘积Ciμc(i),再计算该乘积和对于隶属度和的平均值K0,即

$Κ_{0} = \sum_{i = 1}^{7} C_{i} μ_{c} (i) / \sum_{i = 1}^{7} μ_{c} (i) (3)$

平均值K0便是应用加权平均法求得的判决结果。然后将所得结果代入下式进行计算,便是自整定后PID参数(KP,KI,KD)的精确调整值。

KP=KP0+{ei,eci}P (4)

KI=KI0+{ei,eci}I (5)

KD=KD0+{ei,eci}D (6)

式中:KP0,KI0,KD0为PID参数的初始值。

系统的控制由PID控制器完成,PID控制器的输出为

$u (k) = Κ_{Ρ} e (k) + Κ_{Ι} \sum_{j = 0}^{k} e (j) + Κ_{D} Δ e (k) (7)$

3 还原气体流量控制系统仿真研究

由文献[4]可知,调节阀的动态特性为

G(s)=Kv/(Tvs+1) (8)

式中:Kv为调节阀的静态特性常数又称流量特性常数;Tv为调节阀的时间常数。

根据还原气体流量控制系统特性Kv取14.83,Tv取4s。由于机械惯性,电压信号经智能控制器控制阀门开度有一定的时间滞后,经测试后,滞后时间系数τ取2 s,得到流量的数学模型为

G(s)=14.83e-2s/(4s+1) (9)

在设计模糊自适应控制PID控制器时,先用参数调整方法如Ziegler-Nichols方法,在线设计常规PID控制器,这样能确保PID闭环控制系统稳定。然后根据模糊控制规则在线调整模糊自适应PID控制器的参数。常规PID控制器的KP=1.6,KI=0.018,KD=0.5;模糊自适应PID中,初始的PID参数为KP=1.6,KI=0.018,KD=0.5。

在本气体流量控制系统中,为了在进行实际测试之前对所设计的模糊自适应PID控制算法进行检验,先进行仿真以观察其效果。根据前面所设定的条件和仿真模型,运用Matlab的Fuzzy工具箱和Simulink模块对本文采用的控制方案进行仿真研究[5],分别对模糊自适应PID控制与常规PID控制方法的仿真曲线加以比较,并在系统稳定后,对系统施加阶跃干扰信号,仿真结果曲线如图5所示。

观察仿真结果,可以看出,模糊自适应PID控制是在传统的PID控制基础上增加了对KP,KI,KD参数的在线修正,具有良好的自适应能力和非线性逼进能力。与采用常规的PID控制相比,采用模糊自适应PID控制后,系统超调明显变小,响应速度快。加入扰动后,模糊自适应PID控制能有效地抑制随机干扰,能及时地对PID参数进行在线调整。与常规PID相比,有更快的响应速度和更小的稳态误差,仿真结果证明了模糊自适应PID控制方案的可行性和有效性。

4 系统实际运行结果与结论

目前,基于模糊自适应PID实现的高精度还原气体流量控制系统已经在铁矿石冶金性能测控系统中成功应用。图6为上位机采用本文中设计的模糊控制算法得到的测焦炉流量曲线,设定值是15 L/min,经过6 s左右达到稳定,基本无超调。

采用模糊自适应PID控制,调节时间缩短,响应速度加快,其抗干扰能力明显优于常规的PID控制。模糊自适应PID控制器在线参数自整定能力强,对于控制非线性时变对象获得了良好的动态性能,并具有较好的鲁棒性和自适应性,为工业时滞系统的控制提供了一种有效手段。

参考文献

[1]徐南平.钢铁冶金实验技术及研究方法[M].北京:冶金工业出版社,1995.

[2]刘金坤.先进PID控制Matlab仿真[M].北京:电子工业出版社,2004.

[3]King P J,Mamdani E M.The Application of Fuzzy ControlSystems to Industrial Processes[J].Automatica,1977,13(3):235-242.

[4]杨源泉.阀门设计手册[M].北京:机械工业出版社,2000.

间接模糊自适应控制篇9

永磁同步电机 (PMSM) 具有效率高、功率密度大及损耗低等优点, 在工业领域得到越来越广泛的应用。在一些要求高性能的驱动场合, 如机器人、轧钢机和机床系统等, 要求控制系统具有良好的驱动响应、较强的干扰恢复能力及对参数摄动的不敏感性等。近些年来, 将非线性控制技术应用到电机系统中, 设计出高性能的PMSM控制器逐渐成为学者们的研究热点[1]。

模糊逻辑具有类似于人脑的自然语言表达能力, 非常适合于描述复杂非线性系统。在目前出现的众多模糊建模技术中, 日本学者提出的T-S模糊系统模型因其概念简单等优点而成为广泛研究的建模方案[2,3,4]。相较于传统的Mamdani模糊模型, 基于T-S模型的控制方法主要优点是其稳定性和系统性能可采用Lyapunou法直接进行分析。虽然理论上T-S模型能很好地模拟非线性系统动态行为, 但由于PMSM系统存在参数不确定性和外部干扰, 应用时模型误差不可能完全消除, 仍需要采用鲁棒控制技术来补偿这些不确定性对系统性能的影响[5,6,7]。而另一方面, T-S模型本身具有天然的与鲁棒控制相结合的能力[8], 作为常用的鲁棒控制方法, 滑模变结构控制 (SMC) 对系统参数摄动和外干扰鲁棒性非常强, 且结构简单、响应快速, 已出现众多结合两种技术的控制方案设计[9,10,11,12,13]。

本文结合滑模变结构控制和T-S模糊技术, 设计出一种新的自适应模糊滑模控制器 (adaptive fuzzy sliding-mode controller, AFSMC) , 用于PMSM系统的鲁棒速度跟踪控制。

1 PMSM电机模型

在两相静止坐标系下, PMSM电机的反电动势定义为[1]

$\begin{matrix} e_{α} = - p ω_{m} λ \sin (p θ_{m}) \\ e_{β} = p ω_{m} λ \cos (p θ_{m}) \end{matrix}}$

(1)

式中, eα、eβ分别为反电动势α、β轴分量, 包含有转速与转子位置信息;ωm为转子机械转速;θm为转子位置;λ为转子永磁体磁链;p为极对数。

对eα、eβ求导数, 以定子电流和反电动势 (iα, iβ, eα, eβ) 为状态变量, 则依据式 (1) 可将文献[1]的IPMSM系统模型转化为如下新模型:

$\begin{matrix} \dot{i}_{α} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} i_{α} - \frac{1}{L_{s}} e_{α} + \frac{1}{L_{s}} u_{α} \\ \dot{i}_{β} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} i_{β} - \frac{1}{L_{s}} e_{β} + \frac{1}{L_{s}} u_{β} \\ \dot{e}_{α} = \frac{3 p λ}{2 J} \frac{e_{α}^{2}}{| e |^{2}} i_{α} + \frac{3 p λ}{2 J} \frac{e_{α} e_{β}}{| e |^{2}} i_{β} - \frac{B}{p λ J} e_{α} - \frac{| e | e_{β} S}{p λ^{2}} \\ \dot{e}_{β} = \frac{3 p λ}{2 J} \frac{e_{α} e_{β}}{| e |^{2}} i_{α} + \frac{3 p λ}{2 J} \frac{e_{β}^{2}}{| e |^{2}} i_{β} + \frac{| e | e_{α} S}{p λ^{2}} - \frac{B}{p λ J} e_{β} \end{matrix}}$

(2)

$\begin{array}{l} | e | = \sqrt{e_{α}^{2} + e_{β}^{2}} \\ ω_{m} = \dot{θ}_{m} \end{array}$

式中, S为转子转动方向, S=sgn (ωm) ;iα、iβ、uα和uβ分别为定子电流和定子电压在α、β轴的分量;Rs为定子电阻;Ls为绕组电感;B为摩擦因数;J为转动惯量。

值得注意的是, 文献[1]中的IPMSM系统状态模型是以 (iα, iβ, ωm, θm) 为状态变量, 若用该模型表示PMSM系统, 并进行T-S模糊控制器设计, 则无法得到可行的LMI解, 即找不到合适的反馈增益矩阵K使得闭环系统稳定[3]。因此, 需要经由式 (1) 的转换, 将IPMSM系统表示为式 (2) 所示模型。另外, 与文献[1]中模型比较, 式 (2) 中的eα、eβ等式舍弃了负载项TL/J。从控制理论角度看, 这样做是可行的, 因为, 若将电机启动后负载大小的变化看作系统的外部干扰, 由后文可知, 所设计的AFSMC控制器便具有足够的鲁棒性来抵消TL的变化对系统性能的影响。

2 PMSM电机的T-S模型设计

令状态向量x (t) = (iα, iβ, eα, eβ) T, 输入控制量u (t) = (uα, uβ) T, 测量输出y (t) = (iα, iβ) T, 可将PMSM的状态方程 (式 (2) ) 写成如下矩阵形式:

$\begin{matrix} \dot{x} (t) = A [x (t)] x (t) + B u (t) \\ y (t) = C x (t) \end{matrix}}$

(3)

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}] A_{11} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} Ι \\ A_{12} = - \frac{1}{L_{s}} Ι A_{21} = \frac{3 p λ}{2 J | e |^{2}} [\begin{matrix} e_{α}^{2} & e_{α} e_{β} \\ e_{α} e_{β} & e_{β}^{2} \end{matrix}] \\ A_{22} = - \frac{B}{p λ J} Ι + \frac{| e | S}{p λ^{2}} J \\ B = \frac{1}{L_{s}} [Ι 0]^{Τ} C = [Ι 0] \\ Ι = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] J = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

根据T-S模型设计思想, 首先将PMSM系统划分为若干线性子系统, 即非线性系统式 (3) 可由下面的n条模糊规则描述。

对象规则Ri:

if z1 (t) is M1, i, z2 (t) is M2, i, …, and zg (t) is Mg, i,

$t h e n \dot{x} (t) = A_{i} x (t) + B_{i} u (t), i = 1, 2, \dots, n$

其中, Ri为第i条规则;z (t) 为含有电机状态的前件向量, z (t) = (z1, z2, …, zg) T;Mg, i为模糊子集;Ai、Bi为第i个子系统相应维数的系统矩阵和控制矩阵;n为规则条数。

使用单点模糊化、乘积推理和加权平均解模糊方法, 可得PMSM全局模糊状态方程为

$\dot{x} (t) = \sum_{i = 1}^{n} [h_{i} (z (t)) (A_{i} x (t) + B_{i} u (t))]$ (4)

式 (4) 中的模糊基函数 $h_{i} (∥ z (t) ∥) = w_{i} (∥ z (t) ∥) / \sum_{i = 1}^{n} w_{i} (∥ z (t) ∥) ＞ 0$ , 且满足 $\sum_{i = 1}^{n} h_{i} (∥ z (t) ∥) = 1, w_{i} (∥ z (t) ∥) = \prod_{j = 1}^{g} Μ_{j, i} (z_{j} (t)) ＞ 0, Μ_{j, i} (z_{j} (t))$ 表示前件变量zj (t) 对应于模糊集合Mj, i的隶属度。

需要注意的是, 系统式 (4) 表示的仅仅是当电机参数固定及负载转矩为常数时的PMSM模糊模型。在实际中还需考虑参数及负载的变化, 于是模糊模型式 (4) 可改写为

$\dot{x} (t) = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} (A_{i} x (t) + B_{i} u (t)) + \sum_{i = 1}^{n} h_{i} B_{i} Φ_{i} (x, t) (5)$

式中, Φi (x, t) 为因参数及负载变化而引起的不确定性项, 这里假设所有不确定性项均满足匹配条件。

要完成模糊模型式 (5) 所表示的电机系统设计, 还需进行前件向量的选择、线性子系统的划分、模糊子集及隶属函数的确定等。

PMSM系统特性主要是由转子位置和转速来体现的, 而依据式 (1) , 转速和转子位置实际上又与反电势的两个分量直接相关。据此, 可将前件变量zg (t) 确定为:z1=e $_{α}^{2}$ |e|2, z2=eαeβ/|e|2, z3=S|e|, z4=e $_{β}^{2}$ /|e|2, 若zg (t) 的基本工作区间为Ug= (dg, Dg) , 其中, dg=min (zg) , Dg=max (zg) , g=1, 2, 3, 4, 则有[d1, D1]=[0, 1], [d2, D2]=[-1, 1], [d3, D3]=[0, ωM], ωM为一正比于最大转速的常数, [d4, D4]=[0, 1]。

在工作区间内, 各线性子系统划分根据前件变量取值的“大”、“小”、“正”、“负”得到。以前件变量基本均匀划分及对系统特性影响大小为原则划分各个子系统, 将每个前件变量的工作区间划分为2个模糊子空间, 则可将整个系统共划分为16个线性子系统。前件变量对应在每个模糊子空间上的隶属函数分别定义为:

$\begin{array}{l} Μ_{11} = \frac{z_{1} - d_{1}}{D_{1} - d_{1}} Μ_{12} = \frac{D_{1} - z_{1}}{D_{1} - d_{1}} \\ Μ_{21} = \frac{z_{2} - d_{2}}{D_{2} - d_{2}} Μ_{22} = \frac{D_{2} - z_{2}}{D_{2} - d_{2}} \\ Μ_{31} = \frac{z_{3} - d_{3}}{D_{3} - d_{3}} Μ_{32} = \frac{D_{3} - z_{3}}{D_{3} - d_{3}} \\ Μ_{41} = \frac{z_{4} - d_{4}}{D_{4} - d_{4}} Μ_{42} = \frac{D_{4} - z_{4}}{D_{4} - d_{4}} \end{array}$

在设计全局控制器时, 各子系统间通过输出函数hi综合起来。根据前面确定的隶属函数, 乘积型输出函数hi取值为:h1=M11M21M31M41, h2=M11M21M31M42, h3=M11M21M32M41, h4=M11M21M32M42, …, h15=M12M22M32M41, h16=M12M22M32M42。

综上, 可得表示PMSM系统的16个模糊规则。对象规则Ri:

if z1 (t) is M1, ji, z2 (t) is M2, ji, z3 (t) is M3, ji,

and z4 (t) is M4, ji, then

$\begin{array}{l} \dot{x} (t) = A_{i} x (t) + \\ B_{i} u (t) + Φ_{i} (x, t), i = 1, 2, \dots, 16 \end{array}$

其中:

$\begin{array}{l} A_{i} = [\begin{matrix} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \end{matrix}] \bar{A}_{11} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} Ι \\ \bar{A}_{12} = - \frac{1}{L_{s}} Ι \bar{A}_{21} = \frac{3 p λ}{2 J} [\begin{matrix} a_{i 1} & a_{i 2} \\ a_{i 2} & a_{i 4} \end{matrix}] \\ \bar{A}_{22} = - \frac{B}{p λ J} Ι + \frac{a_{i 3}}{p λ^{2}} J \end{array}$

常数ai的取值分别为:a1= (D1, D2, D3, D4) , a2= (D1, D2, D3, d4) , a3= (D1, D2, d3, D4) , a4= (D1, D2, d3, d4) , …, a15= (d1, d2, d3, D4) , a16= (d1, d2, d3, d4) 。输入矩阵B1=B2=…=B16=B, 扰动项Φi (x, t) 的大小由实验时对参数及负载变化的具体操作决定。

PMSM速度跟踪问题的控制目的是使得实际速度ωm (t) 与期望速度ωmd (t) 之差趋近于零。为将上述输出跟踪控制转化为稳定问题, 引入期望状态向量xd= (id, ed) T, 且iα d=-idsin p θm, iβ d=idcos p θm, eα d=-edsin pθm, eβd=edcos p θm, 本文令 $i_{d} = (2 J \dot{ω}_{m d} + 2 B ω_{m d}) / (3 p λ), e_{d} = p λ ω_{m d}$ 。控制器设计目的是使得实际状态向量x (t) 能够跟踪xd (t) , 显然当x (t) -xd (t) =0时, 实际转速将会实现对期望转速的准确跟踪。定义状态向量的跟踪误差 $\tilde{x} (t) = x (t) - x_{d} (t)$ , 误差 $\tilde{x} (t)$ 的一阶时间导数为

$\begin{array}{l} \dot{\tilde{x}} (t) = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} A_{i} \tilde{x} (t) + \\ \sum_{i = 1}^{n} h_{i} B_{i} τ (t) + \sum_{i = 1}^{n} h_{i} B_{i} Φ_{i} (x, t) (6) \end{array}$

式 (6) 中引入了新的控制量τ (t) , 其定义为

$\sum_{i = 1}^{n} h_{i} B_{i} τ (t) = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} B_{i} u (t) + \sum_{i = 1}^{n} h_{i} A_{i} x_{d} (t) - \dot{x}_{d} (t)$ (7)

使用上述定义后, 状态跟踪控制即转化为稳定问题, 相应的控制目标即是设计新控制量τ (t) , 使得状态向量的跟踪误差 $∥ \tilde{x} (t) ∥ = 0$ 。常规控制方法是使用并行分布补偿 (PDC) 技术设计需要的模糊控制器[3]。

3 自适应模糊滑模控制器设计及稳定性分析

理论上T-S模型能以任意精度逼近非线性系统, 但实际中总存在有建模误差, 再加上PMSM系统固有的不确定性, 仅用PDC控制器来解决速度跟踪问题是非常困难的[7,11,12]。为此, 本文利用滑模变结构技术来改善基于T-S模型的模糊控制器性能。选取滑模函数的第i条规则, 则有滑模函数Ri:

if z1 (t) is M1, i, z2 (t) is M2, i, …, and zg (t) is Mg, i,

$t h e n ∥ σ_{i} ∥ = ∥ B_{i}^{Τ} Ρ \tilde{x} (t) ∥ = 0, i = 1, 2, \dots, 16$

其中, P为正定矩阵, P=X-1。

在设计好每个子系统的滑模函数σi (t) 后, 可计算出系统的全局模糊滑模函数: $∥ σ ∥ = \sum_{i = 1}^{16} h_{i} ∥ B_{i}^{Τ} Ρ \tilde{x} (t) ∥ = 0$ 。

一般来说, 滑模变结构控制器设计中常需要知道不确定性和扰动的上界, 但这些上界值在实际中往往难以得到。为此, 本文使用自适应技术来对不确定性的范数进行估计[8]。假设存在未知的正常数r0、r1, 使得不等式‖Φi (x, t) ‖≤r0+r1‖x (t) ‖成立, 那么就可使用自适应方法设计增益 $\hat{r}$ 0、 $\hat{r}$ 1来分别估计未知常数r0和r1, 估计误差 $\tilde{r}_{0} (t) = \hat{r}_{0} (t) - r_{0}, \tilde{r}_{1} (t) = \hat{r}_{1} (t) - r_{1} 。$

设计的模糊滑模控制器为

τAFSMC (t) =τf (t) +τs (t) (8)

$τ_{f} (t) = - \sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} Η^{- 1} Β_{i}^{Τ} Ρ A_{j} \tilde{x} (t)$ (9)

$\begin{array}{l} τ_{s} (t) = - [\hat{r}_{0} (t) + \hat{r}_{1} (t) ∥ \tilde{x} (t) ∥ + \\ \sum_{i = 1}^{16} ∥ \dot{h}_{i} ∥ ∥ B_{i}^{Τ} Ρ ∥ ∥ \tilde{x} (t) ∥ + ε] sgn (σ (t)) (10) \end{array}$

$Η = \sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} B_{i}^{Τ} Ρ B_{j}$

式中, ε为控制收敛速率的可调常数, ε>0。

增益估计值 $\hat{r}$ 0、 $\hat{r}$ 1的自适应更新律为

$\dot{\hat{r}}_{0} (t) = ∥ σ^{Τ} (t) ∥ ∥ \sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} B_{i}^{Τ} Ρ B_{j} ∥$ (11)

$\dot{\hat{r}}_{1} (t) = ∥ σ^{Τ} (t) ∥ ∥ \sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} B_{i}^{Τ} Ρ B_{j} ∥ ∥ \tilde{x} (t) ∥$ (12)

式 (8) 说明AFSMC控制器由两部分组成, 第一项为T-S模糊补偿量, 第二项为滑模监督控制量。下面分析当选取上述模糊滑模函数, 并使用式 (8) ～式 (12) 控制器时的控制系统闭环稳定性问题。首先分析滑模的到达性, 考虑如下非负Lyapunov函数:

$V_{1} = \frac{1}{2} (σ^{Τ} (t) σ (t) + \tilde{r}_{0}^{2} (t) + \tilde{r}_{1}^{2} (t)) \geq 0$ (13)

由于 $\dot{\tilde{r}}_{0} (t) = \dot{\hat{r}}_{0} (t) ‚ \dot{\tilde{r}}_{1} (t) = \dot{\hat{r}}_{1} (t)$ , 再将式 (11) 、式 (12) 代入, 可得函数V1的一阶导数为

$\begin{array}{l} \dot{V}_{1} = σ^{Τ} (t) \dot{σ} (t) + \tilde{r}_{0} (t) \dot{\tilde{r}}_{0} (t) + \tilde{r}_{1} (t) \dot{\tilde{r}}_{1} (t) = \\ σ^{Τ} [\sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} B_{i}^{Τ} Ρ (A_{j} \tilde{x} (t) + B_{j} τ (t) + \\ B_{j} Φ_{j} (x, t))] + \sum_{i = 1}^{16} \dot{h}_{i} B_{i}^{Τ} Ρ \tilde{x} (t) + \\ (\hat{r}_{0} (t) - r_{0}) \dot{\hat{r}}_{0} (t) + (\hat{r}_{1} (t) - r_{1}) \dot{\hat{r}}_{1} (t) = \\ σ^{Τ} {\sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} B_{i}^{Τ} Ρ {A_{j} \tilde{x} (t) + B_{j} Φ_{j} (x, t) - \\ B_{j} [\sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i} h_{j} Η^{- 1} B_{i}^{Τ} Ρ A_{j} \tilde{x} (t) - τ_{s} (t)]} + \\ \sum_{i = 1}^{16} \dot{h}_{i} B_{i}^{Τ} Ρ \tilde{x} (t) + \tilde{r}_{0} \dot{\hat{r}}_{0} (t) + \tilde{r}_{1} \dot{\hat{r}}_{1} (t) \leq \\ - ∥ σ^{Τ} ∥ ∥ Η ∥ [\tilde{r}_{0} (t) + \tilde{r}_{1} (t) ∥ \tilde{x} (t) ∥ + \\ \sum_{i = 1}^{16} ∥ \dot{h}_{i} ∥ ∥ B_{i}^{Τ} Ρ ∥ ∥ \tilde{x} (t) ∥ + ε] + \\ ∥ σ^{Τ} ∥ \sum_{i = 1}^{16} ∥ \dot{h}_{i} ∥ ∥ B_{i}^{Τ} Ρ ∥ ∥ \tilde{x} (t) ∥ + \tilde{r}_{0} (t) \dot{\hat{r}}_{0} (t) + \\ \tilde{r}_{1} (t) \dot{\hat{r}}_{1} (t) \leq - ∥ σ^{Τ} ∥ ∥ Η ∥ (\tilde{r}_{0} + \\ \tilde{r}_{1} ∥ \tilde{x} (t) ∥) + \tilde{r}_{0} \dot{\hat{r}}_{0} (t) + \tilde{r}_{1} \dot{\hat{r}}_{1} (t) - \\ ε ∥ σ (t) ∥ = - ε ∥ σ (t) ∥ (14) \end{array}$

式 (14) 中, 若σ (t) ≠0, 则 $\dot{V}_{1} ＜ 0$ , 若选取的ε值恰当, 则系统的运动轨迹将会在有限时间内到达滑模面, 同时增益估计值 $\hat{r}$ 0、 $\hat{r}$ 1也将收敛到常数r0和r1。一旦系统轨迹到达模糊滑模平面, 系统便需要维持滑模运动, 即要计算适当的控制矩阵P, 使得状态轨迹被限制在该平面内。选取如下Lyapunov函数:

$V_{2} (\tilde{x} (t)) = \tilde{x}^{Τ} (t) Ρ \tilde{x} (t)$ (15)

令常数d=λmin (P) 、D=λmax (P) 分别表示矩阵P的最小和最大特征值, 则不等式 $d ∥ \tilde{x} (t) ∥^{2} \leq V_{2} (\tilde{x} (t)) \leq D ∥ \tilde{x} (t) ∥^{2}$ 成立, 记 $Y_{h} = \sum_{i = 1}^{16} h_{i} (z (t)) Y$ , 其中Y∈{A, B, K, P}。

计算V2的导数:

$\begin{array}{l} \dot{V}_{2} (t) = \tilde{x}^{Τ} (t) [(A_{h} + B_{h} Κ_{h})^{Τ} Ρ + \\ Ρ (A_{h} + B_{h} Κ_{h})] \tilde{x} (t) + \end{array}$

$2 \sum_{i = 1}^{16} h_{i} \tilde{x}^{Τ} (t) Ρ B_{i} (τ (t) - Κ_{h} \tilde{x} (t) + Φ_{i} (x, t))$ (16)

式中, Kh为常规PDC控制器的反馈增益矩阵, 其选取原则是使得闭环系统式 (6) 稳定[3]。

若存在矩阵P使得下面不等式成立:

(Ah+BhKh) TP+P (Ah+BhKh) <0 (17)

则式 (16) 第一项小于零, 第二项等于零, 从而 $\dot{V}_{2} (∥ \tilde{x} ∥ (t)) ＜ 0$ , 即系统式 (6) 的状态轨迹将限制在滑模平面上, 系统是稳定的。式 (17) 的LMI解等效为[8]

$\sum_{i = 1}^{16} h_{i}^{2} ∥ G_{i i} ∥ + \sum_{i = 1}^{16} \sum_{j = 1}^{16} h_{i}^{} h_{j} ∥ G_{i j} ∥ ＜ 0$ (18)

Gi i= (PAi+PBiKi) +*

Gi j= (PAi+PAj+PBiKj+PBjKi) +*

式中, 记号“*”表示矩阵转置部分。

若‖Gi i‖<0且‖Gi j‖<0成立, 则式 (17) 、式 (18) 成立, 即 $\dot{V}_{2} (∥ \tilde{x} ∥) ＜ 0 。$

在设计好新的控制量τFVSC (t) 后, 由式 (7) 即可得到原始控制输入u (t) , 从而获得PMSM的定子电压分量, 完成驱动系统的闭环跟踪控制。

4 试验结果及分析

在电机试验平台上构建基于AFSMC的PMSM速度控制系统, 图1所示为系统装置图, 主要包括:a.DSP控制板;b.逆变器及驱动电路;c.编码测量电路;d.PMSM电机。试验用4极IPMSM电机参数为:Rs=4.55Ω, Ls=11.6mH, λ=0.317V·s/rad, B=6.11×10-3N·m·s/rad, J=6.36×10-4kg·m2, 额定功率300W, 额定电流1.39A, 额定负载0.95N·m。试验时分别对控制系统的高低速跟踪情况、参数变化和负载扰动对系统性能的影响进行分析。

首先分析AFSMC控制器的速度跟踪性能, 图2所示为空载下参考转速为50r/min方波时的性能曲线。图2a为实测转速与参考转速, 可见, 实际转速能快速跟上参考转速的变化, 具有响应快、无超调、跟踪平稳的优点, 且稳态误差很小。图2b为空载下参考转速为900r/min时的三角波响应曲线。由图2b可见, 实际转速几乎与参考转速完全重合, 误差很小。

1.参考转速2.实测转速

为分析参数摄动对控制性能的影响, 控制器中设置定子电阻参数变化量ΔRs=0.4Rs, 摩擦因数变化量ΔB=0.5B, 设置的梯形参考速度信号为:在1.25s内由70r/min匀加速上升到200r/min, t=3s后转速开始下降, 并在t=6.75s时反转至-200r/min, 此后维持该转速, 并在t=8.65s后再次匀加速上升, 在负载PL=0.55N·m下电机启动。参数变化时的转速响应如图3所示, 图3a、图3b分别为转速跟踪曲线及跟踪误差, 可见, 转速跟踪绝对误差小于28r/min, 即相对误差小于14%。从图3中可以看出, 由于参数不确定性的存在及负载的施加, 此时的电机系统要比空载时消耗更多的定子电流与定子电压, 但对系统的跟踪性能几乎没有影响。

为分析在发生负载扰动时控制系统的性能, 设置在±700r/min内变化的梯形参考速度信号:空载启动, 在t=6s时突加ΔPL=1.15N·m负载, t=9s时撤掉负载。负载扰动时的转速响应如图4所示, 图4a、图4b分别为转速跟踪曲线及跟踪误差。由图4可见, 转速跟踪绝对误差小于50r/min, 即相对误差小于7.1%。这表明转速跟踪性能几乎不受负载变化的影响, 控制器的强鲁棒性能够抑制负载扰动对跟踪性能的影响。