分形生成

2024-06-22

分形生成（精选3篇）

分形生成篇1

1. 引言

分形 (fractal) 是由美籍法国数学家Mandelbrot创立的, 此词源于拉丁文形容词fractus--破碎、产生无规则碎片的意思。分形在几何上是破碎的、不规则的、自相似的 (1) 。分形的破碎性体现在它可以由多个或者无数个相互独立的部分组成;不规则性指它不像传统欧式几何那样使用基本的图形 (点、线、多边形等) 来表示;自相似性指它在越来越小的尺度上产生与整体相似的细节, 形成无穷无尽的精致结构。例如, 海岸线和山川形状, 从远距离观察, 其形状是极不规则的, 从近距离观察, 其局部形状又和整体形态相似, 它们从整体到局部, 都是自相似的。

分形图像在日常生活中应用广泛, 特别在服装、织物、包装和标识等平面设计中。分形明信片、分形广告、分形年历、分形贺年卡纷纷进入商品市场, 许多著名杂志的封面上也出现过分形图像 (2) 。分形图像精致细腻, 且艺术风格多样, 画面中充满了交叉、层叠、重复、缠绕, 充满了丰富的变幻和绚烂的色彩。它时而清新飘逸, 时而梦幻神秘, 时而热情奔放, 时而秩序井然, 时而潇洒随意, 带给我们无限的美感与惊奇。

2. 分形图像的生成方法

分形图像的生成方法主要有以下几种:递归法、文法构图法、迭代函数系统法、逃逸时间算法、元胞演化法。每种方法的构图过程、图像效果等特点都有所不同。

2.1 递归法

递归法是利用分形自相似的特点, 使用数学上的递归算法逐步细化图像细节而得到最终图像的。以Koch雪花为例, 随着递归次数的增加雪花的细节也越来越明显。分形是具有无限自相似性的, 但是人的眼睛所能识别的分辨率是有限的。所以在分形的递归生成算法中, 必须设置一个最大递归次数, 当实际递归的次数达到该值时就停止。最大递归次数的选取跟图像特征、递归规则和图像分辨率大小等相关, 在实际操作中可以反复实验设置该值来得到最佳效果。

递归法生成图像过程简单易懂, 但是该方法只适用于形状特征与迭代过程明显的图像。

2.2. 文法构图法 (LS文法)

文法构图法是仿照语言学中的语法生成方法来构造图像的一种算法。文法由字母表、生成规则和初始字母组成。字母表是所有可用符号的集合, 文法构图法中每个字母代表一个绘图步骤;生成规则定义了字母的转换规则;初始字母定义了初始状态。例如, 字母表:L, R;生成规则:L->RL, R->LR;初始字母:L。则有:L->RL->LRRL->RLLRLRRL->LRRLRLLRRLLRLRRL->……。LS文法是由美国生物学家Lindenmayer于1968年提出的一种文法构图法, 被称为L-System (LS) , 1984年Smith首次将LS文法引入到计算机图形学领域。二维LS文法字母表的绘图规则如表1所示。

LS文法具有灵活多变性, 只要改变生成规则或者初始字母就能得到完全不一样的另一个分形图像。他的缺点是生成的分形图像只能由线段组成, 所以多用于分形树的生成。

2.3. 迭代函数系统法

函数迭代系统 (Iterated Function System, IFS) 是分形理论的重要分支, 它是分形图像处理中最富生命力并具有广泛应用前景的领域之一。IFS的基本思想并不复杂, 它认定几何对象的全貌与局部, 在仿射变换的意义下具有自相似结构。在几何对象的整体被定义之后, 将整体形态变换到局部, 且这一过程可以迭代地进行下去, 直到得到满意的造型 (4) 。

IFS法根据分形图像自相似的特点, 采用拼贴的思想来生成图像。下面例子介绍了IFS法的实现步骤。

图1是一片树叶的拼贴过程, 只需在原图和拼粘图上任意取对应的三点, 就可以用线性代数的知识解出仿射变换公式。以下为与图3对应的4个变换公式:

可以随机选择迭代初始点, 但是一般选择图像中心点。点的迭代次数并不是越大越好, 当点的迭代次数过大时会有大量的点被重复绘制。最佳迭代次数和图像分辨率成正比, 在800×600分辨率下迭代1-2万次最佳。图2是使用该方法生成的分形叶片。

IFS方法是模拟自然界物体最理想的分形算法, 利用拼贴方法可以生成任何有自相似性的物体。

2.4. 逃逸时间算法

逃逸时间算法是基于固定点迭代的思想进行的。对显示的每个点迭代若干步后, 判断其到原点的距离是否大于某个特定的值 (即是否逃逸) 。对逃逸速度不同的点使用不同的颜色着色, 可以得到色彩绚丽的图像。

Julia集是定义在复平面上的满足迭代式F (z) =z2+C的分形图像集, 使用逃逸时间算法生成的Julia图像具有变幻多姿的特点。通过该算法在复平面上的迭代可以动态生成复杂而细致的结构, 可以将局部无限放大, 在屏幕上显示显微镜一般的效果 (5) 。每一个C值对应一个Julia图像, 所有这些图像的集合叫Julia集, C值细微的变化对生成的图像有较大的影响, 因此Julia集包含了形态万千的图像。

使用逃逸时间算法可以生成奇幻的分形图像。该算法在色彩控制上有着自身优势, 根据点的不同的跌代次数给予不同的颜色, 可以得到颜色连续变化的图像。

2.5. 元胞演化法

元胞演化法是将点或者基本图元即元胞进行反复的自我复制, 从而生成最终分形图像的算法, 该算法受细胞分裂的启发而来。图3是使用该算法生成的Sierpinski垫片, 它的算法思想是从上往下进行基本图元为圆的演化。该算法的演化方法往往带有随机性, 这使得生成的图像具有多样性。

对于相同的参数, 使用元胞演化法分别进行两次图像的生成, 这两次所得到的图像从整体上看是一样的, 但是由于算法存在随机性, 两者在细节上又是不一样的。元胞演化法的随机性构图法能够更好地模拟自然, 在视觉上也具有更加强烈的冲击力。

2.6. 各方法的比较

递归法、LS文法和元胞演化法能够从给出的参数估计出生成图像的大体样子, 也就是说可以对参数的调整来对生成图像做出某一方面的调整。比如觉得用LS文法生成的分形树枝叶过于密集, 就可以把夹角δ的值设置得大一些。递归法适用于形状特征与迭代过程明显的图像, LS文法多用于生成分形树, 元胞演化法生成的图像整体上具有相似性局部却不相同。

IFS法则是从形状反过来推参数, 该方法需要使用图像处理软件来进行拼贴工作, 而后还要建立方程组并且对其求解, 所以该方法对图像创作者有较高的图像处理软件基础和数学知识的要求。虽然该方法比较繁琐, 但是它却能够生成自然界中所有具有自相似性的物体。

逃逸时间算法是对某个跌代式进行反复跌代来生成图像的, 我们无法从跌代式估计出生成图像的样子, 也就是说该方法有着生成图像的不可预见性, 这是和其他几种方法所不同的。虽然生成的图像不可预见, 但是其生成的图像在视觉上却有着强烈的冲击力。另一方面, 使用该方法生成的图像具有灵活多变性, 对于参数的细小改变会使生成的图像发生较大的变化, 也就是说具有参数敏感性。该方法适用于抽象图像的生成。

3. 色彩控制

色彩控制的目的是为了使生成的分形图像具有更加绚丽、更加接近于自然的颜色。色彩控制可分为前期程序控制与后期软件加工两种方式, 两种方式可以单独使用, 也可以混合使用。

3.1. 程序控制

对自然界的花草树木等进行分形图像的模拟时, 人们总是希望能够反映出事物的真实色彩, 比如树是绿的, 花是红的, 如果只能生成单色的分形图像未免让人失望。我们可以通过程序控制的方式来实现事物的色彩化, 要根据不同的分形图像提出不同的色彩控制方法。下面2个例子给出了色彩控制具体的实现方法。

图4 (a) 是使用IFS算法生成的分形树, 我们希望树干呈现棕色, 树叶呈现绿色。但是在IFS算法作图中某一点是属于树干还是树叶是无法知道的。该分形树由上下左右4部分拼接而成。当某点使用下面部分迭代时, 迭代后的点就属于树干;若其使用其它3个部分迭代, 每迭代一次就越接近树叶。可以用如下的伪代码实现色彩控制:

1.令k=0

2.进行点的迭代, 若使用下部分迭代则令k=0, 若使用其它3部分迭代则令k=k+1

3.若k>10则令k=10

4. 着色颜色值=k/10*棕色颜色值+ (10-k) /10*绿色颜色值5.对该点进行着色, 转到步骤2, 直到迭代次数达到最大值最终得到图4 (b) 的分形图像。

在逃逸时间算法中, 对于跌代次数为k的点使用第k种颜色进行着色, 得到如图5 (a) 所示图像, 可见这样会得到色块, 使图像变得不美观。如果能够使所着颜色变得平滑, 将会提高所作图像的可视性。可以使用下面的计算式计算迭代点的颜色

其中color表示着色点颜色, color[i]表示第i种备选颜色, r表示点到原点的距离, ε表示迭代阈值。因为r<ε, 所以color的取值介于color[t]与color[t+1]之间。式中r与都开根号是因为r的变化幅度比较大, 开根号可以减小变化幅度, 从而使得颜色的变化更加平滑。

3.2.软件加工

如果前期使用程序来控制颜色的生成比较复杂的话, 可以先生成灰度的分形图像, 然后使用图像处理软件进行后期着色, 如通过平面软件如Photoshop或三维软件3Dsmax等进行复合编辑以获得更加绚烂的艺术效果。利用Photoshop, 可以进行简单的缩放、扭曲、旋转、滤镜等的变换, 调整其图层、透明度、色彩。而3Dsmax可以根据其平面效果建立三维立体或空间曲面块, 轻松制定贴图, 选择造型角度, 设置灯光与背景等。以下两个图像就是后期着色的效果。

4. 总结

分形图像是由分形理论与计算机图像处理结合的产物, 在服装、织物、包装和标识上有着重要的应用。本文对分形图像的常用方法进行了介绍, 刨析了各方法的构图特点, 并对它们进行了比较, 为后续研究者提供了深入研究的理论依据。研究者可以根据应用的不同之处, 选择满足自己需求的方法来生成分形图像。另一方面, 本文给出了对分形图像的颜色控制的方法, 该方法有着重要的应用价值, 由该方法能够生成色彩绚丽的图像, 这些图像可以应用于装饰、广告、纺织、陶瓷、印刷等行业中。

摘要：分形图像是分形理论与计算机图像处理相结合的产物, 在服装、织物、包装和标识上有着良好的应用前景。本文介绍了几类常用的分形图像生成方法, 归纳出各方法的特点, 如图像控制的难易程度、适合的图像类型等, 并给出了色彩控制的方法, 生成了色彩绚丽、过度平滑的分形图像。

关键词：分形图像,生成方法,色彩控制

参考文献

[1].钟云飞, 分形艺术在包装上的应用研究[J], 包装工程, 2003

[2].陈莹燕, 分形设计在商标与标识设计中的应用[J], 武汉工业学院学报, 2005

[3].孙博文, 分形算法与程序实现[M], 科学出版社, 2004

[4].梅海燕, 分形图案在包装防伪中的应用[J], 中国品牌与防伪, 2008

[5].周昊, 分形图案设计研究[J], 机床与液压, 2004

动力系统生成晶体群圆极限分形图篇2

对称性是自然界普遍存在的现象。对称性对历史文物特别在建筑雕刻装饰等均发挥了重要的作用, 历代建筑文明史都有着对称性的记载。对称图像的优美在装饰、建筑、壁挂、地毯等上都有着广泛的应用[1,2]。传统的对称性图像构造与混沌吸引子密切相关。混沌指发生在确定性系统中类似随机的不规则运动, 是复杂和不可预测的, 而对称是保持物体等同性的一种刚体运动, 在动力系统研究中, 人们发现对称和混沌是可以共存的[1,2,3,4]:混沌吸引子作为混沌系统整体稳定性与局部不稳定性共同作用下的产物, 深刻反映了确定与随机、简单与复杂、有序与无序、整体与局部等不同的混沌机理的重要转化过程。随着计算机技术的发展, 混沌吸引子不再是一个抽象的概念, 混沌吸引子可视化技术逐渐得到重视。文献[1]从Logistic映射出发, 构造一簇复映射, 生成具有循环群 (Cn) 、二面体群 (Dn) 和部分晶体群 (crystallographic group) 对称性的混沌吸引子, 文献[3]选取平面上具有对称性的三角函数族, 通过迭代并记录下由迭代产生的点, 生成平面上7种带群 (frieze groups) 和17种晶体群 (wallpaper groups) 的混沌吸引子。在此基础上, 群对称性图像的动力系统计算机可视化研究已得到了国内外学者的广泛重视[6,7,8,9]。文献[6]改进单纯形算法构造平面晶体群动力系统的广义M集;文献[7,8,9]提出分别利用轨迹井技术和从构造不变函数的动力系统角度出发, 计算机自动生成了具有晶体群对称性和循环群、二面体群对称性的艺术图像。

本文尝试在Escher的几何图方法[5]的基础上, 从动力系统角度出发, 构造具有自相似性质的晶体群圆极限分形图。同时, 对Carter晶体群混沌函数, 本文进一步探讨了Escher构图法的边界着色无缝隙构图条件, 并生成了边界着色无缝隙的圆极限分形图。作者所提供方法生成的图像颜色丰富, 具有很强的艺术渲染力, 因此为计算机生成平面对称群艺术分形图像提供了一种新途径。

1 平面晶体群描述

在二维平面中有四种基本的对称性:平移、旋转、反射、滑动反射。晶体对称群具有两个方向平移不变性。在平面对称群的分类中, 存在17种不同的晶体群, 用传统的记法分别为p1, p2, pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p3, p3m1, p31m, p4, p4m, p4g, p6, p6m。文献[3]讨论了如何用三角迭代函数系统生成这17种对称群的混沌吸引子。这里我们仅讨论生成p4晶体群的混沌函数, 其它对称群混沌吸引子的生成方法详见文献[3]。

定义1 设δ:R2→R2是群G的一个元素, F:R2→R2为一个动力系统。如果F满足:

δ (F (x, y) ) =F (δ (x, y) ) (1)

则称F (x, y) 关于δ等价;若F (x, y) 关于群G的每一个元素均等价, 则称F (x, y) 关于群G等价, 或称F (x, y) 具有群G对称性。

群p4包含旋转90度对称和两个方向平移对称, 关于p4对称群的等价函数, 本文采用直角坐标平面上如下函数形式[3]:

$F_{Ρ} (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) + Τ (x) \cdot Ρ \cdot Τ (y) m o d (\begin{array}{l} 2 π \\ 2 π \end{array}) (2)$

其中:T (x) = (1, cos (x) , cos (2x) , sin (x) , sin (2x) ) , P= (pijk) 是一个5×2×5的实参数矩阵。可以通过对参数矩阵P的限定使得函数 (2) 关于p4的两种对称性等价。

定义2 设δ:R2→R2是群G的一个元素, 如果函数f:R2→R满足:

f (δ (x, y) ) =f (x, y) (3)

则称f (x, y) 关于δ不变;若f (x, y) 关于群G的每一个元素均不变, 则称f (x, y) 关于群G不变。

结合等价函数, 文献[7]探讨了从动力系统角度出发利用不变函数作为绘图策略生成p4晶体群艺术图像的方法, 例如, 生成图1采用的不变函数为f (x, y) =cos (x2+y2) +1+15|cos (2x) |, 着色半径为r=3π-1。关于不变函数绘图算法的详细描述可参考文献[7]。

2 圆极限分形图构造

设Π是上半平面区域Π={ (x, y) T∈i2|y>0}, 并设图像的方极限绘制区域为Χ={ (x, y) ∈i2|0≤x≤R, 0≤y≤R} (如图1 (a) 所示) 。考虑晶体群对称混沌函数的平移2π周期性 (见 (2) 式) , 基本单元为Γ={ (x, y) ∈i2|0≤x≤2π, 0≤y≤2π}, 令U为上半平面其他正方形区域, 则U可通过如下仿射变换T:Γ→U得到:

$Τ (\begin{array}{l} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) = (\begin{array}{l} 2^{n} 0 \\ 0 2^{n} \end{array}) (\begin{array}{l} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) + (\begin{array}{l} m g \cdot 2 π \cdot g 2^{n} \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{0} \end{array}) (4)$

$Τ^{- 1} (\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{0} \end{array}) = (\begin{array}{l} 2^{- n} 0 \\ 0 2^{- n} \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{0} \end{array}) - (\begin{array}{l} m g \cdot 2 π \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{l} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) (5)$

其中 (x0, y0) ∈Γ, (x1, y1) ∈U;n, m=0, ±1, ...;因为T是单的、满的、连续的映射, 且T-1也连续, 因此T是一个同胚仿射变换。根据上述几何变换关系, 对于绘制区域为Χ中的每一个像素点 (x, y) , 首先需要变换为基本单元Γ中的对应点相对坐标 (x′, y′) 。对于 (x, y) ∈Χ, 注意到必存在整数n, 有 $y \geq (\frac{1}{2})^{n} R$ , 于是n= $\log_{\frac{1}{2}} \frac{y}{R}$ , 其中「a⎤表示取整数≥a。记 $R^{'} = (\frac{1}{2})^{n} R$ , 则 $y^{'} = \frac{2 π y}{R^{'}}$ , $x^{'} = \frac{2 π \cdot m o d (x, R^{'})}{R^{'}}$ 。

由复变函数理论中的保角映射, 将上半平面Π保角映射到单位圆盘D上, D={z∈￡-‖z|<1}, 其中￡为复平面。

g:Π→D, g (z) =eiz (6)

其中z=x+iy, y>0。按照此方法可得到由p4晶体对称性图像 (图2) 生成的彩色圆极限分形图 (图3) ;同样, 图4, 图5分别是由p4m, p3晶体对称性图像生成的彩色圆极限分形图。

为了使拼砌块间平滑过渡, 应使相应边界点颜色相同 (参考图1) , 即应使得基本单元Γ对应衔接边界点颜色相同。设q1= (0, y) , q2= (x, 0) , q3= (2π, y) , q4= (x, 2π) , 注意到FP为2π周期的函数, 则FP (q1) =FP (q3) , 从而q1和q3有相同的颜色;同样q2和q4有相同的颜色;考虑到拼砌块是y轴反方向 $\frac{1}{2}$ 的倍数减小, 于是要求 $F_{Ρ} (q_{2}) = F_{Ρ} (\frac{1}{2} q_{2})$ 。

代q2入迭代函数FP有FP (x, 0) =T (x) ·P· (1, 1, 1, 0, 0) mod (2π, 2π) , 则:

$F_{Ρ} (q_{2}) = (\begin{array}{l} p_{000} + p_{001} + p_{002} + (p_{100} + p_{101} + p_{102}) c o s x + (p_{200} + p_{201} + \\ p_{202}) \cos 2 x + (p_{300} + p_{301} + p_{302}) s i n x + (p_{400} + p_{401} + p_{402}) \sin 2 x \\ p_{010} + p_{011} + p_{012} + (p_{110} + p_{111} + p_{112}) c o s x + (p_{210} + p_{211} + \\ p_{212}) \cos 2 x + (p_{310} + p_{311} + p_{302}) s i n x + (p_{410} + p_{411} + p_{412}) \sin 2 x \end{array})$

类似得:

$F_{Ρ} (\frac{1}{2} q_{2}) = (\begin{array}{l} p_{000} + p_{001} + p_{002} + (p_{100} + p_{101} + p_{102}) \cos \frac{1}{2} x + (p_{200} + p_{201} + p_{202}) c o s x \\ + (p_{300} + p_{301} + p_{302}) \sin \frac{1}{2} x + (p_{400} + p_{401} + p_{402}) s i n x \\ p_{010} + p_{011} + p_{012} + (p_{110} + p_{111} + p_{112}) \cos \frac{1}{2} x + (p_{210} + \\ p_{211} + p_{212}) c o s x + (p_{310} + p_{311} + p_{302}) \sin \frac{1}{2} x + (p_{410} + p_{411} + p_{412}) s i n x \end{array})$

通过计算, 当pi, j, k=0, i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, k=0, 1, 2 时, $F_{Ρ} (q_{2}) = F_{Ρ} (\frac{1}{2} q_{2})$ 。

图6为边界颜色无缝隙的上半平面方极限图, 等价函数的参数P为:p000=-0.2508, p001=-0.6383, p002=0.2748, p003=0.1340, p004=0.2087, p013=-0.7554, p014=-0.4887, p103=-0.7972, p104=0.9962, p113=0.3232, p114=-0.2118, p203=0.3987, p204=0.9418, p213=0.4695, p214=0.1236, 其他pijk=0。图7为图6的圆极限分形图。

3 结语

平面上的晶体群混沌函数通过构造对应的不变函数可以从动力系统角度生成相应晶体群对称性图像。本文利用Carter迭代函数系统的平移2π周期性, 确定基本区域, 通过同胚仿射变换生成了晶体群上半平面极限分形图, 进而利用保角变换生成圆极限分形图。其它晶体群 (例如cm, pm, p3m等) 的彩色圆极限分形图类似可以得出。同时, 对Carter混沌函数进一步探讨了边界着色平滑构图条件, 并生成了相应的圆极限分形图。本文所提供方法生成的图像具有很强的艺术渲染力, 因此为计算机生成平面对称群艺术分形图像提供了一种新途径。

摘要：提出从动力系统角度出发构造具有自相似性质的平面晶体群圆极限分形图的有效方法。根据Carter晶体群迭代函数系统周期性确定2π为基本区域, 利用同胚仿射变换, 建立基本区域到上半平面的自相似映射关系, 进而通过保角映射生成圆极限分形图。同时, 对Carter混沌函数进一步探讨了边界着色平滑构图条件, 并生成了相应的圆极限分形图。这些图案具有很强的艺术渲染力。该方法为平面设计对称图像提供了一种新途径。

关键词：混沌,晶体群,分形,“Escher”极限图

参考文献

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分形生成篇3

分形理论是近四十年才发展起来的一门新兴学科。首先由美国哈佛大学数学系教授Mandelbrot在1975年提出, 隶属于非线性理论。计算机的飞速发展给分形理论的研究插上了腾飞的翅膀, 其应用十分广泛。如今分形图越来越多地被应用在家具、服装、包装和标识等行业的图案设计中。

分形图的生成算法

由于分形图非常精细, 结构非常复杂, 很难用手工来绘制。必须借助计算机来实现。根据分形图的特点, 常用算法主要有递归法、文法构图法、迭代函数系统等。下面对这几种算法作简单介绍。

递归法

分形图具有自我相似、自我复制、自我嵌套的特点, 由数学上的递归算法利用计算机中压栈和出栈的功能, 重复使用某些规则来生成嵌套的结构, 从而逐步细化图像细节而得到最终结果, 像经典分形图形cantor三分集、koch曲线、sierpinski地毯等都可由递归算法得到。递归算法生成分形图形的过程简单易懂, 而且形状特征和迭代过程明显的分形图都可以用这种方法得到。

文法构图法 (LS文法)

文法构图法是仿照语言学中的语法生成方法来构造图形的一种方法。LS文法是由美国生物学家Lindenmayer于1968年提出的一种文法构图法, 制定一个或几个初始字母和一组“生成规则”将生成规则反复作用到初始字母和新生成的字母上, 产生出整个语言。例如:字母表L R;生成规则:L→LR, R→L;初始字母R;则有R→L-→LR→LRL→LRLLR→LRLLRLRL→……, 由此可见, 文法构图法灵活多变, 初始字母和生成规则变了, 分形图就变了。像形态各异的分形树, Hilbert-Peano曲线, 龙曲线等都可用此算法生成。

迭代函数系统 (IFS)

美国科学家M.F.Bansley于1985年发展了自相似集这一分形构型系统, 并命名为迭代函数系统, 是分形图形图像处理中最富生命力并具有广泛应用前景的领域之一。IFS方法是一种基于分形的, 采用点的构造模型的方法。采用拼贴的思想将生成的图像看成是由许多与整体相似的或经过一定变换与整体相似的小块拼贴而成。像C曲线、鱼群、圣诞树灯都可用此算法来生成。

除了上述常见的分形算法以外, 在绘制分形图形中常见的还有分形的逃逸时间算法、元胞演化法等等, 这里就不再一一介绍了。

分形图生成软件设计

由前面介绍的分形算法, 编写程序代码, 在计算机上就能生成绚丽多彩的分形图, 再修改程序代码中的若干参数, 分形图的形状更具灵活性和多样性。如生成Sierpinski垫片的递归过程VB程序代码为:

在计算机上运行就生成一颗蓬勃生长的分形树。

当然可以通过参数的修改使得分形数的形态各异。为了使分形图更好地应用到实际生活中去, 可以基于VB语言设计一个分形图生成软件。其用户界面如下图所示。

使用该软件可以生成需要的一些分形图形, 软件里还有图像处理按钮, 可以将生成的分形图或其它图形进行合成、翻转、特效等处理。这样处理后的图形更加实用, 如Mandelbrot集和分形树的合成图像。

对分形图浮雕特效处理后的图像为

分形图在现实生活中的应用

用分形软件生成的分形图形还是比较粗糙的, 如果用图形处理软件做一定处理其应用将更加广泛, 效果也更加好。可以为工业图案设计提供素材, 可以制作成各种尺寸的精美装饰画, 制作分形服装。还可以将其应用于印染行业, 广告图案设计, 包装材料图案等领域中。如分形服装设计。

装饰画设计

标志标识设计, 下面是谷歌公司某一期的标志。

结语