惯量测量（精选4篇）
惯量测量 篇1
0 引言
转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度,是物体质量特性参数中的主要指标。目前测量物体转动惯量的方法很多,主要有:扭摆法[1,2,3,4,5]、复摆法[6,7]、单轴扭振法及落体观察法[8]。这些方法主要是基于扭摆原理测量物体的转动惯量。这些试验方法对于回转机械这类整机系统都有一定的局限性[9]。如扭转振动法、平行线悬挂法、 落体观察法只适合测小型不规则体,对于大型不规则体并不适用;几何计算法是测量回转机械传动系统常用的方法,该方法首先计算或测量有关转动部件的转动惯量,然后利用叠加公式计算出整个鼓轮的转动惯量,然而这种方法计算由于鼓轮加工误差以及安装存在误差等因素影响,导致转动惯量测量精度不高。
航空、兵器、船舶、铁路、汽车生产等领域以鼓轮作为储能设备的试验测试台中,转动惯量的准确测量对于试验产品的测量精度显得尤为重要。比如航空机轮刹车装置动力试验台、火炮转台伺服测试试验台、船舶推进系统陆上试验测试台、动车刹车试验台、汽车测功仪等。这些试验台回转体转动惯量的特点:转动惯量大; 试验台的转动惯量是鼓轮系转动惯量,是一个组合惯量 (即不仅包含鼓轮本身转动惯量,还包含轴系上其他回转体,如联轴器、电机转子、应急刹车装置等形成的附加惯量)。几何计算法因为前述原因在计算这类鼓轮系转动惯量时误差较大,所以采用合适的方法准确测量鼓轮系转动惯量是科学研究及生产实践的必要环节。
为此针对鼓轮系惯量测量,提出一种在鼓轮系安装调试完成后,利用自身拖动控制系统对鼓轮系整个回转惯量进行测量的方法。
1 测试原理
以某航空机轮、轮胎和刹车装置动力试验台为例对此进行研究。航空机轮、轮胎和刹车装置动力试验台是航空轮胎动态性能,机轮和刹车装置刹车性能测试的专业试验设备,在刹车性能试验中,鼓轮系除了用以模拟机场跑道外还用于模拟飞机的着陆动能,该能量的精度极大影响着刹车试验性能品质,根据旋转体能量公式: E =(1 2)Jω2可知,由于高速旋转下光电编码器速度测试精度很高,误差可以忽略不计,因而能量精度完全取决于鼓轮系惯量的测试精度,需要精确对鼓轮系转动惯量进行测试。
试验台传动部分结构如图1所示,由直流电动机、 联轴器、刚性连接轴、力矩轴、主轴、支撑轴承座与轴承、 主鼓轮等组成。鼓轮系回转部分转动惯量包括:主鼓轮惯量、主轴附件惯量、电机转子惯量等。
根据机械系统等效动力学理论,鼓轮系回转部分机械力学模型可等效为绕轴旋转的质量盘和轴支承结构 (如图2所示)。在主轴上施加可控的加速力矩T,测量该力矩作用下轴系旋转角加速度 ε,即可通过计算间接测量鼓轮系转动惯量∑J ,如式(1):
按照上述思路,将所有轴系附加惯量集中到主鼓轮惯量中,记为Jg,那么所要测试的鼓轮系惯量,建立试验台鼓轮系动力学测试模型,如图3所示。
电机带动鼓轮系加速转动过程中轴系受力情况为: 电机电磁力矩Te、鼓轮轴承摩擦损耗力矩Tgzc、鼓轮风阻力矩Tgfz。其中Te为鼓轮系加速力矩,其余力矩均为鼓轮系的制动力矩。 Ts表示力矩计读数,是鼓轮系加速力矩的测量值。显然可以建立下述动力学方程:
由式(2)可知,选用高精度动态性能良好的动态力矩计以及分辨率足够的光电编码器,只要精确测量加速过程中主鼓轮风阻损耗以及轴承摩擦损耗,就可以精确测量鼓轮系转动惯量Jg。
2 测量方法与数据处理
利用试验台电拖控制系统对鼓轮系回转体惯量进行在线测量。某试验台电拖控制系统由计算机(上位机)、s7-300 PLC(下位机)及其模块、DCS800直流驱动器等组成,对直流电动机采用速度电流双闭环调速控制模式(其中速度闭环控制率为PI控制,在PLC中实现), 系统控制框图见图4。
2.1 鼓轮系速度相关损耗力矩测试
风阻损耗与鼓轮形状以及旋转速度相关,当鼓轮外型确定后转速成为影响风阻损耗的惟一因素。鼓轮在高速旋转下风阻损耗是十分严重的,风阻损耗约与转速立方成正比。鼓轮轴承损耗力矩为鼓轮自重引起的轴承摩擦力矩,在整个测试过程表现为一恒量,因此将两项合并为鼓轮速度相关损耗力矩。
测试原理:利用鼓轮处于匀速旋转时力矩计测量值 (Ts)等于鼓轮速度相关损耗力矩的原理进行测试,对测量结果通过开环观测法进行验证。
测试过程描述如下:
(1)通过反复调试,整定好驱动系统控制参数(包括速度控制器参数以及电流控制器参数)。
(2)在电机额定速度范围内(nmin~nmax)均匀细分速度,速度梯度等级为 Δn。控制电机分别匀速运转在nmin, nmin+ Δn, nmin+ 2Δn,…,nmax,在每个恒速运转段运转一段时间后读取力矩计测量值(在恒定速度下,该值为定值)并按照速度索引方式存储在鼓轮损耗补偿器中。
(3)在每个恒速运转段测试完成后,使鼓轮损耗补偿器模块投入运行,同时封锁速度控制器,即速度环开环进行验证,观察电机速度保持情况(此时电机应当保持该转速大约15 s左右),如有需要可以重新测试。
(4)对步骤(2)、(3)所测试并得到验证的数据进行处理。将鼓轮速度相关损耗补偿器中存储的速度-力矩数据进行数据拟合得到风阻-速度方程Tfz= f (n)+ Tfz0,式中f (n) 项即为电机鼓轮风阻力矩Tgfz,常数项Tfz0即为鼓轮自重引起的轴承摩擦损耗力矩Tzc0。
利用拟合得到的风阻—速度方程重新设计鼓轮损耗补偿器程序,以便后面惯量测试时使用。
2.2 轴系加速度测量
轴系速度传感器采用光电编码器,分度值为360。 PLC测速模块采用西门子公司的FM350-1,该模块可以自动计算转速信号。加速度信号是速度的微分,因为FM350的闸门时间设定为50 ms,因此采用直接微分法计算角加速度误差很大,经过笔者试验,采用惯性滤波+ 三点微分法计算角加速度,精度较高。图5为角加速度计算模型。
2.3 鼓轮惯量测量
以不同角加速度 ε1⋯εn进行惯量测试试验,每个角加速度值 εi上进行多次测试试验求其平均值作为鼓轮系该加速度下的有效值。具体做法如下:
(1)打开鼓轮风阻补偿器模块,以最小设计角加速度值 ε1驱动电机带动鼓轮从静止状态加速(即鼓轮处于恒加速度控制),当鼓轮速度经过半基速时,采集并记录当时的力矩计读数Ts|n = ne2(此时力矩计读数中包括了加在 鼓轮上的 加速力矩Ta| ω = ωn2、风阻补偿 力矩Tfzb| ω = ωn2、轴承摩擦损耗力矩Tzcb| ω = ωn2)。由于鼓轮速度相关损耗已经测试并得到验证,根据风阻-速度拟合方程可以计算出半基速下鼓轮损耗力矩,依据下式计算该加速度工况下的鼓轮惯量值:
(2)同样方法再进行二次试验,得到 ε1试验工况下相应的惯量值J12,J13,从而求其均值得到该加速度工况下的惯量平均测试值J1;
(3)重复步骤(1),(2)对 ε2⋯εn等加速度工况分别测试,得到相应的惯量值J2⋯Jn;
这样在不同加速度下便可得到鼓轮惯量的序列值J(εi),最后对惯量序列值计算其代数平均值得到鼓轮惯量测量值。为了保证每个加速度下惯量值计算的准确度,可以重复多次进行测试。
3 试验结果及分析
应用以上方法对试验台鼓轮系进行转动惯量测量试验。根据式(3)、式(4)、式(5)分别在不同加速度下多次测量读数力矩值并取其平均值计算鼓轮转动惯量,部分计算数据如表1所示。
将上述各角加速度下计算的惯量值求和取其均值得到鼓轮系惯量值为10 301.46 N·ms2,试验台鼓轮系惯量设计值为10 374 N·ms2,测试误差为-0.7%,显然测试结果具有较高的精度,多次测量结果表明有很好的一致性,说明试验方法是合理可行的。
4 结语
(1)在此提出的回转体传动系统转动惯量的在线测量方法是可行的,且被测系统具有一般性,因此这种测量方法在实际工程生产中具有普遍意义。
(2)本试验方法测试虽然复杂、测试周期长,但是测试结果精确,误差较小,尤其适宜具有电惯量模拟控制应用的鼓轮系惯量测试场合。
新型落体式惯量测量方法研究 篇2
在精密仪器、工程机械、武器系统、航空航天等领域,转动惯量是影响系统工作特性的重要参数[1,2,3],精确测量转动惯量具有重要现实意义。常用的惯量测量方法有扭摆法、复摆法、三线摆法、落体法等[4,5]。
在众多方法中,落体法无需将被测物从系统中拆卸即可完成惯量测量,较之其他方法具有在系统测量的先天优势,在诸如电机转子、螺旋桨、齿轮等诸多需要测惯量的场合具有广阔的应用前景。但是,落体法当前的应用状况并不乐观,惯量测量结果精度和重复性不高。于治会[6]研究了落体法测惯量的基本规律并进行实验,惯量测量不确定度达到6% ; 郭长立等[7]对测加速度法和测时法进行对比实验,发现测角加速度法优于测时法; 南京理工大学王海林等[8]分析了吊绳与转轴不垂直情况下的惯量测量结果,并指出了落体法测惯量时加速度与速度相关,但未进一步提出解决方法。传统落体法测惯量的主要症结在于忽略了测量装置中存在的诸多非恒定的阻力因素的影响,将阻力矩视为恒定值进行消元,精度难以提高。
本研究提出一种新型落体式惯量测量方法,用于减少阻力矩对惯量测量结果的影响,提高惯量测量重复性和精度。
1阻力分析与阻力矩函数
落体法惯量测量装置典型结构如图1 所示。
工作时,重物( 标准砝码) 从静止开始下落,拖动被测物加速旋转。在该过程中,被测物所受力矩可以由重物及绕线盘直径计算得出,加速度可由编码器测得的位移数据计算得出,那么根据刚体转动方程可以计算出被测物的惯量值。考虑到重物下落时存在阻力因素,文献[6]提出通过两次不同质量的重物两次落体,并用两次落体方程做差消除阻力因素的影响,公式如下:
式中: I—被测旋转体惯量,m1—重物1 的质量,m2—重物2 的质量,ω1—第一次下落的角速度,ω2—第二次下落的角速度,g—重力加速度,R—绕线盘半径,M—阻力矩。
上述方法是在假定阻力矩M为常值的条件下得出的,而实际中,落体法惯量测量装置中存在轴承摩擦阻力、空气阻力等多种阻力矩,这些阻力影响因素多种多样,产生的阻力矩M也并非恒定值,“直接用公式( 1) 和公式( 2) 做差,消掉阻力矩M”的做法值得商榷。
根据图1 所示的落体法惯量测量装置的基本结构,其中的阻力来源主要为被测物工作台轴承阻力、重物导轮轴承阻力以及重物下落过程中的空气阻力,下面本研究对几种阻力分别进行分析,以提取其中的主要影响因素。
轴承阻力的影响因素繁多,与轴承自身的结构尺寸、几何精度、材料性能等固有参数相关,也与轴承当前的转速、载荷、温度等使用参数有关。对于结构尺寸等轴承固有参数,可以认为在轴承生命周期的某一阶段内保持不变,随着轴承选型确定,其阻力变化在同一时期内与固有参数无关,而是由使用参数变化引起的。速度、载荷和温度等参数直接影响轴承的润滑情况[9,10],是轴承阻力最主要的影响因素。
轴承阻力随速度和载荷的变化趋势如图2 所示[11]。
图2轴承阻力与速度、载荷间的关系
图2 中,载荷增加时,轴承阻力也随之增大; 速度增加时,随着润滑油膜的建立过程轴承阻力先增大后减小( 起动阶段) ,之后又逐渐增大( 稳定运行阶段) 。在不同加速度的落体过程中,由于整体行程有限,轴承温升可以忽略不计。那么,就落体法中的轴承阻力而言,需要考虑的主要阻力影响因素为速度和载荷。
空气阻力的主要影响因素为速度和重物外形尺寸。速度因素同为轴承阻力的主要影响因素,可一并考虑; 传统落体法中两次下落采用不同重物,外形尺寸并非完全一致,由此产生的空气阻力也并不相同,但空气阻力整体数量级较小,可予以忽略。
综合以上分析可知,落体法中阻力矩大小的主要影响因素为速度和载荷,二者直接关系到惯量测量的重复性和精度,必须加以考虑。据此,可确定阻力矩函数M( ω,L) ,函数包含速度和载荷两个变量,当选取两次落体过程中速度和载荷相同的点进行计算时,阻力矩的大小是近似相等的( 其他次要阻力因素忽略不计) ,可通过消元法消去阻力矩的影响。
2惯量测量方法
根据上述确定的阻力矩函数,笔者通过在两次下落过程中主动构建相同的阻力因素—速度和载荷,可获得近似相等的阻力矩,通过两次落体方程做差即可消掉阻力矩。
2. 1 相同速度的构建
速度是影响落体法惯量测量重复性和精度最主要的因素之一。笔者在进行落体法惯量测量实验时测得的加速度-速度曲线如图3 所示。
由图3 可以看出,在重物下落过程中随着速度的升高,加速度出现明显的下降趋势,因而直接采用不同时间段的加速度( 由于两次计算加速度的时刻速度不相同) 计算惯量必然会产生偏差。
由于两次落体过程中速度变化并不相同,可以考虑选择下落过程中相同速度点的加速度用于计算惯量,即第一次落体过程中的加速度,第二次下落过程中的加速度,( 其中:ω0—两次下落过程中都能达到的某一速度值) 。那么,两次下落过程中速度同为 ω0的点即为同速度计算点。值得注意的是,同速度计算点不是唯一的,可以根据计算需要进行优选。
2. 2 相同载荷的构建
载荷是轴承阻力的重要影响因素之一,载荷不同,轴承阻力的大小也会发生变化。传统落体法采用两个不同质量的重物进行两次下落实验,而重物对导轮轴承产生径向载荷,因此两次下落过程中的轴承载荷并不相同。
考虑到传统落体法中采用两个不同质量重物的作用在于产生不同的加速度,那么研究者可以采用更换惯量盘的方式实现相同的效果,即两次落体过程采用同一重物,而在被测物工作台上同轴安装具有不同转动惯量的标准惯量盘,产生两次不同的落体加速度。由于采用同一重物,两次落体过程的轴承载荷相等。
用更换惯量盘的方式改变落体加速度虽然能消除导轮轴承载荷的差异,但同时会引起工作台轴承载荷的变化。圆盘形刚体的转动惯量可用下式计算:
可以看出转动惯量不仅与圆盘质量有关,还与质量分布有关。那么,可以通过改变圆盘半径设计出这样的标准惯量盘: 转动惯量不同,质量相同。采用上述标准惯量盘既可以产生不同加速度,又可以保证载荷因素的一致性,从而构建出两次落体过程中相同的载荷因素。
2. 3 惯量计算方法
考虑速度和载荷因素的影响及系统自身的固有转动惯量,两次落体过程的落体方程分别为:
式中: I—被测旋转体惯量; I0—系统惯量; I1—标准盘1的惯量; I2—标准盘2 的惯量; ω1—第一次下落的角速度; ω2—第二次下落的角速度; m—落体重物质量; g—重力加速度; R—绕线盘半径; M( ω,L) —系统阻力函数,与速度和载荷相关。
为消除阻力影响,两次落体过程中取相同速度点ω0进行计算,同时由于标准盘1 和2 的质量相同,载荷相同记为L0。于是,方程( 1,2) 在 ω1= ω2= ω0且L1= L2= L0的条件下为:
方程( 7,8) 做差可消去阻力矩,得到的被测旋转体转动惯量公式为:
3实验及结果分析
3. 1 实验装置
本研究根据上述方法设计的惯量测量装置如图4、图5 所示。位移数据由安装在导轮上的光电脉冲编码器测得,并通过安装在计算机上的PCI2394 采集卡进行读取与处理。本研究配置了3 个同质量、不同惯量的标准惯量盘,惯量值分别为1. 156 gm2、2. 606 gm2和5. 112 gm2,用于实现两次不同加速度的落体过程。重物采用M2 级标准砝码,质量100 g和200 g可选。
3. 2 惯量测量实验及分析
相比其他惯量测量方法,落体法的重复性和精度水平不高,主要症结在于忽略了阻力矩的不确定性。本研究提出通过构建相同的速度和载荷获得相同的阻力矩计算点,用于改善测量重复性和精度,下面对其有效性进行验证。
为便于对比测量结果,笔者专门加工了一组惯量盘,选取其中3 个作为被测物,惯量值经测量分别为5. 01 gm2、8. 51 gm2和12. 21 gm2。
实验条件设置如下:
①采样时间间隔为10 ms;
②绕线盘半径R为50 mm;
③落体重物质量为100 g;
④标准惯量盘1惯量为2.606 gm2;
⑤落体行程2 m;
⑥标准惯量盘2惯量为5.112 gm2;
⑦系统惯量经校准为1.629 gm2。
本研究对3 个被测盘惯量重复测量10 次,观察测量结果如图6 所示。
3 次测量的统计结果如表1 所示。
从实验结果可以看出,新型落体法的直接测量误差不超过5% ,通过多次测量取平均值可以使测量精度显著提高,这表明对速度和载荷因素的处理可以改善落体法测惯量的重复性和测量精度。
新型落体法惯量测量装置可以适应一般惯量测量场合的要求,特别是配备了自动绕线系统,测量周期可以控制在2 min以内,有望在生产线上工业产品的全检中得到应用。
4结束语
本研究通过对轴承摩擦、空气阻力等各种阻力矩进行分析,确定落体法中最主要的阻力影响因素为速度和轴承载荷。笔者据此设计新型落体式惯量测量方法: 选取两次下落过程中的相同速度点计算加速度,构建相同的速度因素; 采用具有相同质量、不同惯量的标准惯量盘完成两次下落,构建相同的载荷因素; 在速度和载荷因素相同的条件下,将两次落体方程做差消除阻力函数,计算被测物惯量。笔者用该方法对3 种惯量盘进行惯量测量时,最大误差不超过5% ,多次测量取平均值可以显著提高测量精度。
实验结果表明,新型落体法能有效克服阻力影响,提高惯量测量重复性与精度。
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飞行器转动惯量测量方法研究 篇3
关键词：飞行器,转动惯量,惯性积,惯性主轴,误差分析
目前,测量大型试件的转动惯量主要采用扭摆法,根据测量平台的支撑方式不同,分为气浮支撑方式[1]和机械轴承支撑方式。采用气浮支撑的优点是摆动过程中摩擦力小,由阻尼引起的摆动周期误差可以忽略不计,其测量精度可以达到0.1%而采用机械轴承支撑结构简单、维护方便,可以通过分段标定等方法提高其精度,消除由于机械轴承阻尼造成的误差,其精度可以达到0.3%以上。
测量转动惯量时,测量轴必须和试件转轴平行。但某些飞行器只能通过花盆安装在测量台上,并且大部分飞行器重量很大(1 000~5 000kg),不能将Y轴和Z轴水平放置,只能通过倾斜一角度,测量飞行器对倾斜轴的惯性张量,通过一定的坐标变化计算出飞行器的IYY和IZZ。
1 测量原理与误差分析
1.1 转动惯量测量方法
转动惯量可通过测量扭摆系统的自由摆动周期来计算。扭摆系统如图1所示。如不考虑系统阻尼,则[2]:
(1)式中:I─试件对H轴的转动惯量,kg·m 2;K─扭杆刚度系数,N·m/rad;T─系统自由摆动周期,s。
已知扭杆的刚度系数,测量其摆动周期,可得试件的转动惯量为
1.2 飞行器转动惯量测量
设OXYZ为卫星坐标系,飞行器质心与原点O重合,OH轴是测量台转轴,始终为垂直方向,如图2所示,则卫星绕轴OH的转动惯量为
(3)式中的α、β、γ分别为转动轴OH与卫星坐标轴OX、OY、OZ的夹角,Ixx、IYY、Izz和IXY、IYZ、Ixz分别为飞行器坐标轴的三个转动惯量和三个惯性积。
根据飞行器安装特点,使飞行器OX轴和测量台OH轴重合,安装示意如图3a所示,可以直接测量Ixx。将飞行器倾斜一角度θ,并且滑台在测量台上移动,保证飞行器质心位置在测量轴上,倾斜时飞行器安装示意如图3b所示。
滑台绕OX轴分别转动0°、90°、180°、270°,测量其转动惯量。设四种状态下的转动惯量测量值为IH 1~IH 4,各测量状态的空间角度如表1所示。
将表1的各坐标轴夹角代入式(4),整理可得:
由式(4)可得飞行器绕自身坐标轴的转动惯量IYY、Izz如下:
1.3 测量误差
根据误差传递理论[3]IYY的极限误差为:
(7)式中ε(IXX),ε(IH 1)、ε(IH 3)分别为Ixx、IH 1、IH 3的极限误差,且四项测量误差相等,均为系统转动惯量测量误差。ε(θ)为倾斜角θ的测量误差,和倾角测量传感器及安装轴线误差有关。
由(7)式可以看出,转动惯量IYY测量的误差与测量台的转动惯量测量精度、倾斜角θ的测量精度、倾斜角的大小有关。
IZZ测量误差形式和式(7)相同,不另列出。
2 算例分析
(a)系统转动惯量测量精度为0.3%,则:
(b)试件转动惯量的理论值IXX=1 000kg·m 2,IYY=1 200kg·m 2;
(c)倾斜角θ=30°,倾斜角的测量误差ε(θ)=20″
将以上条件代入转动惯量误差计算公式(7),可得
测量的相对误差e=ε(IYY)/IYY,则e=1.08%。
改变倾斜角度θ,得到测量相对误差和倾斜角的关系如图4所示。
可以看出,当测量倾斜角大于30°时,转动惯量测量相对误差约为1%,当θ=90°时,相对误差为0.3%,相当于飞行器水平安装。考虑飞行器花盆的承载能力和测量平台的尺寸优化要求,θ角取30°~45°为宜。
在相同倾斜角下,测试相对误差随IYY/IXX值的增大而减小,且当IYY/IXX小于0.1,θ取为60°时测试相对误差方可大于1%,如图5所示。但飞行器的IYY/IXX值一般大于1/2,采用本方法可满足测试精度要求。当IYY/IXX大于5,θ角在30°~60°范围内变化时,测试相对误差变化不大,稳定于0.3%左右。
ε(IXX)对ε(IYY)(ε(IZZ))的影响随着θ角和IYY/IXX(IZZ/IXX)值的增大而减小。当IYY/IXX(IZZ/IXX)大于3,θ角在30°~60°范围内时,ε(IHi)(i=1~5)对最终测试误差的影响最大。
ε(θ)对测试相对误差的影响随着测试倾斜角的增大而减小,如图6所示。倾斜角θ在30°~45°范围内时将ε(θ)控制在0.01%以内较为理想。
3 结论
(1)测试精度随θ角的增大而提高,工程应用中θ角取30°~60°为宜;
(2)在相同倾斜角下,相对误差ε(IYY)(ε(IZZ))随IYY/IXX(IZZ/IXX)值的增大而减小,且当IYY/IXX(IZZ/IXX)小于0.1,θ取为60°时相对误差方可大于1%。但飞行器的IYY/IXX(IZZ/IXX)值一般大于1/2,采用本方法可满足测试精度要求。当IYY/IXX(IZZ/IXX)大于5,θ角在30°~60°范围内变化时,测试相对误差变化不大,稳定于0.3%左右。
(3)工程应用中ε(IHi)(i=1~5)对测试误差的影响最大;ε(θ)应控制在0.01%以内。
参考文献
[1]费业泰.误差理论与数据处理.北京,机械工业出版社,2002
惯量测量 篇4
关键词：转动惯量,三线摆,哈密顿原理,贝塞耳函数
随着科技的进步,设备小型、轻便化已成为可行,如小卫星、小电机等,对于这些设备甚至小型汽车发动机整机的转动惯量测量,工程中往往是采用三线摆方法.要测量安全,就得提高摆线强度,这势必造成摆线质量增加,在众多讨论三线摆测量转动惯量的文献中,都是把摆线作理想处理(即摆线质量m1≈0),目前,尚未检索到有关讨论摆线质量对转动惯量测量影响的文章,笔者以对称式三线摆为例,就此问题作些探讨,并借助于MATLAB软件快速便利地进行计算,供同仁商榷.
1 三线摆摆线的一般运动规律
设悬盘静止时摆线与悬盘连接点为系统坐标原点o,x轴沿摆线竖直向上,摆线悬挂点o,如图1所示,当摆线l足够长、悬盘绕盘心o1作小幅摆动悬线上各质元水平方向上的振动位移y足够小,摆线上各质元的运动可近似地看成是在其以o o 1为圆心轴,R为半径的圆切平面上运动.设摆线质量密度为ρ,质量为m1=ρl,悬盘与工件的合质量为m2摆动过程中,t时刻摆线上x处摆线的张力为FT质元dm=ρdx在y轴方向上振动位移为y(x,t),x轴方向上位移忽略不计,即质元在x轴方向的平动动能和重力势能的变化均不考虑,则
由图1可知y(x,t)≈α(x,t)R,则
那么,摆线的动能为
摆线的势能为
根据哈密顿原理,将摆线的运动规律表示为(变分问题)
式中
同样式(3)中的
则式(3)可写为
所以有
就悬盘作小幅摆动时,三线摆每一摆线的张力可近似为,将其代入式(4)有
令α(x,t)=ϕ(x)f(t)并代入式(5)得
其中λ是由边界条件决定的一个常数.
就常微分方程式(6),设,显然其本征函数解为
再看式(7),令,并代入式(7)整理得
显然,式(9)为零阶贝塞耳方程,它的两个线性无关解分别为J0(q)和N0(q)(诺埃曼函数),其通解记为
由边界条件确定本征值λi.所以,三线摆摆线的一般运动为(相对圆心轴角量的变化规律)
2摆线与悬盘连接点(x=0)的运动状态讨论
系统的两个自然边界条件为x=0和x=l.
将式(10)代入式(13),并整理得
(2)点x=l,即摆线悬挂(固定)点o,因(Aicosωit+Bisinωit)=0,则由式(11)有
式(15)与式(14)比消去C1和C2得
再根据贝塞耳函数递推公式,并整理上式得
由于,m1=ρl,取k=m1/m2,代入上式,整理得
(3)MATLAB软件计算转动惯量I式(16)的计算可以用MATLAB软件计算,其具体程序为
3 实验验证与分析
对称三线摆的悬盘半径R=0.045 0 m,摆长l=0.620 0 m,不同m1,m2测得I测(×10-5kg·m2)见表1.
图2中1,2号线分别表示悬盘质量为m2=27.69 g和m2=15.19 g时,悬盘的ω随k变化而变化的计算机模拟曲线,“+”表示m2=27.69 g时,不同k情况下,应用式(16)计算I测相对误差Er值.从表1和图2中可以看出,R,l一定时,悬盘的ω随k减小而略有增大的现象,与参考文献[4-5]分析相符.同时由实验结果可以看出,R,l一定时,k减小、悬盘的ω增大,式(16)计算结果的相对误差Er也增大,而计算结果的相对误差Er随之有显著减小,笔者实验中发现,当k 1×10-3时,无需再应用式(16)来计算.
4 结束语
本文给出的对称三线摆摆线质量不能忽略时的转动惯量计算式,借助MATLAB软件,可快速、准确地计算出转动惯量,但由于式(16)是建立在摆线l足够长、悬盘作小幅摆动等近似条件基础上,所以实验中要尽量克服人为误差,笔者欢迎对此问题感兴趣的同仁做进一步讨论与交流.
参考文献
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[4]王玉清,杨能勋,黄保瑞.三线摆加上刚体后振动周期变化的研究.大学物理,2009,28(4):14-17(Wang Yuqing,YangNengxun,Huang Baorui.The research refers to vibrationalperiodic variation of three wire pendulum with adding rigidbody.College Physics,2009,28(4):14-17(in Chinese))