共轭空间（共7篇）
共轭空间 篇1
非负矩阵分解( NMF) 最初由Paatero和Tapper提出［3］,称为正矩阵分解; 1999年Lee和Seung正式提出了非负矩阵分解的概念［2 －3］。由于NMF算法易于实现、存储空间小、分解形式的可解释性强,因此被应用于文本挖掘、计算机视觉、癌症诊断和基因特征提取等研究领域［4 －6］。
NMF问题可描述为: 已知V∈Rm+× n,求解非负矩阵H∈R+r × n和W∈Rm+× r,满足
其中,‖·‖F表示对应矩阵的Frobenius范数; ≥表示矩阵的元素均≥0。
对于此问题,当前的算法主要分两类: 一类是乘性迭代算法; 另一类是交替最小二乘算法( ANLS) 。乘性迭代算法［1］由Lee和Seung于2001年提出,算法本身简单但收敛速度较慢。交替最小二乘方法由于其的理论可靠性和实际有效性,逐渐受到研究者的重视。基于此,众多算法被提出,例如投影梯度法( PG)［12］、积极集法( AS) 、投影拟牛顿法( QN) 等［7 －8］。
ANLS框架如下
ANLS关键在于如何高效求解子式( 2) 和式( 3) 。 本文基于ANLS,将文献[13]中积极集共轭梯度算法应用于求解该子问题,并在一定条件下证明了其收敛性,数值实验表明新算法在迭代次数和时间方面具有一定的优越性。
1算法
由于式( 2) 和式( 3) 是对称的,所以只需讨论其中一个。
1. 1构造搜索方向
利用子空间的思想构造4个互不相交的指标集
其中,ε,ε1是常数; Hkia表示第k次迭代H的第i行第j列的元素; ▽f( Hk)ia表示Hk的梯度的第i行j列的元素; 〈·〉代表内积,迭代中搜索方向Dk= ( DBk,DAk1,DkA2∪A3)T,为使迭代点始终在可行集的内部,对应的迭代方向如下:
当ia∈B时
当ia∈A1时
当ia∈A2∪A3时
定理1若Hk不是式( 2) 的稳定点,则〈▽f( Hk) , Dk〉<0
证明当ia∈B时
所以ia∈B∪A1∪A2∪A3
由于当( Wk,Hk) 不是稳定点时f( Hk) ≠0,ia∈B∪A2∪A3,所以〈▽f( Hk) ,Dk〉<0。由定理1,可知Dk为下降方向。
1. 2非负矩阵分解的子空间共轭梯度算法
求解子式(2)的算法如下:
( 1) 给定初始点H0是一个可行点,正数tol,ε,ρ, δ∈( 0,1) 。( 2) 当Dk= 0时,停止。( 3) 由式( 4) ~ 式( 6) 计算Dk。( 4) 令 αk∶ = max{ βρj,j =0,1,…} 满足条件
令Hk + 1= PΩ( Hk+ αkDk) 。( 5) 令k∶ = k +1,转步骤2。 注:1) PΩ( X) 表示X在 Ω = { H ∶H ≥ 0} 上的投影,由式(8)可知f(H)是递减的,因此能推出当f(H)有下界时,尤其是有
2数值实验
KKT［14］条件等价于▽HPF( Hk) =0,其中▽HPF( Hk) 是投影梯度,定义为
类似于投影梯度法［12］,可使用下式
作为式( 2) 的终止条件,使用
作为式( 1) 的终止条件。
文中对提出的算法进行数值实验,程序采用Mat- lab7. 6编写,在主频为3. 10 GHz,内存3. 00 GB的电脑上实现。V,W,H为随机生成的服从正态分布阵, 维数为m =300,n =200。r分别取5,10,15; 分别选择PG算法、BP算法、AS算法来进行比较,所有算法均采用相同初始值。并对每个V分别取10组不同的初始值,给出10次实验结果的平均值。相关的参数如下
在比较了几种算法在迭代次数( iterations) 和迭代时间( time) ,投影梯度范数( pro - grad) ,矩阵分解后的误差 ω,其中 ω = ‖V - WHF‖,最大迭代时间为200 s,最大迭代次数5 000次。
图1选取维数为500 ×300,秩r =10,所有算法选取相同的初始值,取10次的平均值。
图2选取维数为1 000 × 500,秩r = 10,所有算法选取相同的初始值,取10次的平均值。
通过上表和图可看出,BP算法和AS算法在迭代次数上是相同的,但在时间上BP算法则更快。PG算法与文中的新算法均是采用相同的终止条件,但文中算法在迭代次数和时间上相比PG算法更具优势。在秩相同的情况下,4种算法的投影梯度范数( pro - grad) 、分解后的误差 ω 基本相同。但文中的NMFCG算法能在更少的时间和迭代次数内达到与经典算法相近的效果。
3结束语
本文基于交替最小二乘法将界约束优化中的积极集共轭梯度法运用到非负矩阵分解中,并通过实验结果验证了BP算法和AS算法在时间方面的差距,而新算法在迭代次数与时间方面也表现出了优越性,达到了预期效果。
摘要：交替最小二乘法由于其理论可靠性和实际有效性成为非负矩阵分解中备受欢迎的方法之一。文中基于交替最小二乘法将界约束优化中的积极集共轭梯度法运用到非负矩阵分解当中,算法在子问题的求解中,并利用子空间的思想来划分指标集,并利用文献CHENG Wangyou文中的共轭梯度法进行变量更新,在一定条件下证明了新算法的收敛性,实验结果表明算法是有效的。
关键词：非负矩阵分解,交替最小二乘法,共轭梯度法,子空间
共轭空间 篇2
共轭效应 (conjugated effect) ，又称离域效应，是指由于共轭π键的形成而引起分子性质的改变的效应。
H2C=CH2，π键的两个p电子的运动范围局限在两个碳原子之间，这叫做定域运动.
CH2=CH-CH=CH2中，可以看作两个孤立的双键重合在一起，p电子的运动范围不再局限在两个碳原子之间，而是扩充到四个碳原子之间，这叫做离域现象。
这种分子叫共轭分子。共轭分子中任何一个原子受到外界试剂的作用，其它部分可以马上受到影响。
这种电子通过共轭体系的传递方式，叫做共轭效应。
特点：沿共轭体系传递不受距离的限制。
正常共轭效应
又称 － 共轭。是指两个以上双键(或三键)以单键相联结时所发生的 电子的离位作用。英戈尔德，C.K.称这种效应为仲介效应，并且认为，共轭体系中这种电子的位移是由有关各原子的电负性和 p 轨道的大小(或主量子数)决定的。据此若在简单的正常共轭体系中发生以下的电子离位作用： (例如：CH2 CH—CH CH2、CH2 CH—CH O)。Y 原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它吸引 电子的能力也愈大，愈有利于基团—X Y从基准双键 A B—吸引 电子的共轭效应(如同右边的箭头所示)。与此相反，如果A原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它释放电子使其向 Y 原子移动的能力愈小，愈不利於向—X Y基团方向给电子的共轭效应。中间原子 B 和 X 的特性也与共轭效应直接相关。
多电子共轭效应
又称 p- 共轭。在简单的多电子共轭体系中，Z 为一个带有 p 电子对 (或称 n电子)的原子或基团。这样的共轭体系中，除 Z 能形成 d- 共轭情况外，都有向基准双键 A B—方向给电子的共轭效应： (例如 等)。Z 原子的一对 p 电子的作用，类似正常共轭体系中的—X Y基团。 正常共轭效应
又称 － 共轭。是指两个以上双键(或三键)以单键相联结时所发生的 电子的离位作用。英戈尔德，C.K.称这种效应为仲介效应，并且认为，共轭体系中这种电子的位移是由有关各原子的电负性和 p 轨道的大小(或主量子数)决定的。据此若在简单的正常共轭体系中发生以下的电子离位作用： (例如：CH2 CH—CH CH2、CH2 CH—CH O)。Y 原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它吸引 电子的能力也愈大，愈有利於基团—X Y从基准双键 A B—吸引 电子的共轭效应(如同右边的箭头所示)。与此相反，如果A原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它释放电子使其向 Y 原子移动的能力愈小，愈不利於向—X Y基团方向给电子的共轭效应。中间原子 B 和 X 的特性也与共轭效应直接相关。
多电子共轭效应
又称 p- 共轭。在简单的多电子共轭体系中，Z 为一个带有 p 电子对 (或称 n电子)的原子或基团。这样的共轭体系中，除 Z 能形成 d- 共轭情况外，都有向基准双键 A B—方向给电子的共轭效应： (例如 等)。Z 原子的一对 p 电子的作用，类似正常共轭体系中的—X Y基团。
超共轭效应
又称 - 共轭，它是由一个烷基的 C—H 键的 键电子与相邻的 键电子互相重叠而产生的一种共轭现象。依照多电子共轭的理论，一个C—H键或整个CH基团可作为一个假原子来看待，有如结构式 中的 Z 原子： (例如 CH2 CH—CH3、O CH—CH3等) 。超共轭效应存在于烷基连接在不饱和键上的化合物中，超共轭效应的大小由烷基中 -H 原子的数目多少而定，甲基最强，第三丁基最弱。超共轭效应比一般正常共轭效应和多电子共轭效应弱得多。
同共轭效应
又称 p 轨道与 p 轨道的 型重叠。甲基以上的烷基，除有超共轭效应外，还可能产生同共轭效应。
所有同共轭效应，原是指 碳原子上的 C—H 键与邻近的 键间的相互作用。大量的化学活性和电子光谱的数据表明，在丙烯基离子和类似的烯羰基中，存在一种特殊的 p- 或 - 共轭现象，即所谓同共轭效应： 在丙烯基离子中是烯碳原子上的 p 轨道，与正碳离子( )上的空p轨道，作型的部分重叠；而在类似的烯羰基中，则是羰基碳原子的 p轨道与烯碳原子( )的p轨道作 型的部分重叠：
基本内容
超共轭效应
超共轭效应在有机化学中是指一个σ键里的电子（通常是C-H或C-C）和一个临近的半满或全空的`非键p轨道或反键的π轨道或全满的π轨道之间的，该相互作用能够使整个体系变得更稳定。这是由于该作用能够生成一个较大的分子轨道。对于一个碳正离子来说，只有位于正电荷β位的键上的电子能够通过超共轭来稳定整个碳正离子。 1939年，罗伯特·S·马利肯在他关于紫外光谱和共轭分子的研究中首次提出这个概念。他观察到随着烯上的烷烃增多，吸收光谱移向长波长端。这种红移在一般的共轭化合物中很常见，例如丁二烯中。他也首次提出这些取代烯烃的氢化热较低的原因也是由于超共轭。在超共轭这个概念提出之前，人们已经在1935年发现了Baker-Nathan效应。
超共轭也可以解释很多其他的化学现象，例如端基异构效应、偏转效应、β-硅效应、环外羰基的振动频率以及取代碳正离子的稳定性等。根据量子力学模型的推导，交叉式构象的优先性也可以由超共轭效应来解释，而不是老的教科书提到的位阻效应。
1. 共轭效应与超共轭效应的定义及特点
1.1 共轭效应
不饱和的化合物中,有三个或三个以上互相平行的p轨道形成大π键,这种体系称为共轭体系.共轭体系中,π电子云扩展到整个体系的现象称为电子离域或离域键.
共轭效应:电子离域,能量降低,分子趋于稳定,键长平均化等现象称为共轭效应,也叫做C效应
共轭效应的结构特点:共轭体系的特征是各σ键在同一平面内,参加共轭的p轨道轴互相平行,且垂直于σ键在的平面,相邻p轨道间从侧面重叠发生键离域.共轭效应与诱导效应相比还有一个特点是沿共轭体系传递不受距离的限制.
1.2 超共轭效应
烷基上C原子与极小的氢原子结合,由于电子云的屏蔽效力很小,所以这些电子比较容易与邻近的π电子(或p电子)发生电子的离域作用,这种涉及到
σ轨道的离域作用的效应叫超共轭效应.超共轭体系,比共轭体系作用弱,稳定性差,共轭能小.
2.共轭效应
2.1 共轭的类型
2.1.1 π-π共轭
通过形成π键的p轨道间相互重叠而导致π电子离域作用称为π-π共轭.参加共轭的原子数目等于离域的电子总数,又称为等电子共轭.我们可以简单地概括为双键,单键相间的共轭就是π-π共轭.例如: 共轭体系的分子骨架称做共轭链.
2.1.2 p-π共轭体系
通过未成键的p轨道(包括全满,半满及全空轨道)与形成π键的p轨道的重叠而导致的电子离域作用,称为p-π共轭.包括富电子,足电子,缺电子三种p-π共轭类型.我们也可以简单地理解为:双键相连的原子上的p轨道与π键的p轨道形成的共轭即为p-π共轭.例如:
2.2 共轭方向及强弱判断
共轭效应的方向及强弱直接影响物质的性质和稳定性,因此共轭方向及强弱的判断也就有着非常重要的作用.
能够给出电子的称给电子共轭,用符号+C表示.相反,能接受电子的称吸电子共轭,用符号-C表示.
卤素,羟基,氨基,碳负离子等与双键直接相连时,X. O. N .C等原子的孤对电子对与π键共轭.由于是由一个原子向共轭体系提供两个电子,相当于使π电子密度增大,所以有给出电子的能力,称为+C效应.一般富电子p-π共轭都属于给电子共轭.例如:
中的都是+C效应.
当参与共轭的O. N 只提供一个电子,而本身电负性大于C原子,所以有使共轭体系电子向O. N 转移的能力,因此有-C效应.电负性大于C的原子参与的等电子共轭是吸电子共轭.例如:
都是-C效应.
大多数共轭效应是由碳的2p轨道与其他原子的p轨道重叠所产生的,当某原子参与共轭的p轨道的形状大小,能量与碳的2p轨道越接近时,轨
道重叠越,离域越易,共轭作用越强.即共轭效应的强弱与参与共轭的原子轨道的主量子数有关.n=2时有强的共轭,n>2有弱的共轭,n越大共轭越弱.另外,元素的电负性越小,越容易给出电子,有较强的+C效应.相反,元素的电负性越大,越容易吸引电子,有较强的-C效应.因此共轭效应也有周期性变化.
同一类元素随n值增大,共轭减弱;同一周期n值相同,随原子序数增大,电负性增大,给电子共轭效应减弱;吸电子共轭主要有电负性决定,电负性越大,吸电子共轭越强.
3. 超共轭效应
超共轭效应视其电子电子转移作用分为σ-π.σ-p .σ-σ几种,以σ-π最为常见.
3.1 σ-π超共轭
丙烯分子中的甲基可绕C—Cσ键旋转,旋转到某一角度时,甲基中的C-Hσ键与C=C的π键在同一平面内,C-Hσ键轴与π键p轨道近似平行,形成σ-π共轭体系,称为σ-π超共轭体系.
在研究有机反应时有着重要的应用,在学习不对称烯烃的HX加成反应时,我们以C正离子形成的稳定性来解释马尔科夫尼科夫规则,若应用σ-π超共轭效应,则不仅说明甲基是推电子的,同时加深了对这一经验规则的深入理解.再如,不饱和烯烃的a-H的特殊活泼性也可以用σ-π超共轭效应来理解.丙烯的甲基比丙烷的甲基活泼的多,在液氨中丙烯中甲基的H易被取代,丙烷中甲基的H不易被取代.
3.2 σ-p超共轭
当烷基与正离子或游离基相连时,C-H上电子云可以离域到空的p空轨道或有单个电子的p轨道上,使正电荷和单电子得到分散,从而体系趋于稳定,称做σ-p超共轭体系.简单的说就是C-H的σ键轨道与p轨道形成的共轭体系称做σ-p超共轭体系.如乙基碳正离子即为σ-p超共轭体系.
参加σ-p超共轭的C-H数目越多,正电荷越容易分散,C正离子就越稳定.
3.3 应用
共轭硝酮参与的反应研究 篇3
共轭硝酮是一类尚未充分开发的偶极体,所含官能团多种多样,反应位点多,反应的化学选择性很难控制,因此拓展共轭硝酮的化学研究是一项具有挑战性的工作,本文主要综述近年来在该领域所取得的一些成果。
1共轭硝酮自身的重排反应
共轭硝酮的早期研究主要是偶极电环化 - 重排反应、以及光化学研究。如20多年前,Eberbach等对带炔烃的共轭硝酮进行了系统研究( 图1) ,发现硝酮作为偶极组分发生电环化反应可以合成吡咯、α - 吡啶酮等杂环化合物,反应过程涉及到oxazepins,酮卡宾和烯酮等中间体[3]。
2000年,该小组对1,3,4 - 戊三烯硝酮的环化反应进行了深入研究( 图2) ,发现各种邻炔丙基芳基硝酮在甲醇钠或氢氧化钾的作用下生成七元环的内酰胺[4]。他们提出多步的反应机理: 炔丙基 - 联烯互变、1,7 - 偶极 - 8π - 电子环化、N - O键断裂、双自由基重新组合、1,5 - H迁移。考虑到整个反应过程的复杂性,该反应的条件温和、操作简单和产率高等特点是很有吸引力的[5]。
2共轭硝酮与其它不饱和化合物的反应
最近几年,α - β 不饱和硝酮再次激起了化学家们的研究热潮,2012年Yang课题组发展了无过渡金属催化的N - 芳基 α- β 不饱和硝酮和活化炔烃的反应( 图3) ,非对映选择性地合成具有相邻季碳和叔碳立体中心的N - 杂环化合物,研究发现没有活化的炔烃与 α - β 不饱和硝酮不反应[6]。
2014年,Anderson等发展了一种温和的、无金属催化的、 从N - 芳基 α - β 不饱和硝酮和异氰酸酯制备N - 烯基脒的方法,从而克服了传统需要胺亲核试剂的Pinner类型方法的限制 ( 图4) 。初步的机理研究表明,该转化先经历环加成反应得到五元环中间体,随后该中间体释放CO2和发生烯基迁移,生成N - 烯基脒[7]。
同年,该课题组又报道了溶剂控制的N - 芳基 α - β 不饱和硝酮和缺电子联烯的串联反应( 图5) 。这些反应在温和、无金属催化的条件下就能顺利进行,以非常高的产率和非对映体选择性生成两类骨架独特的吲哚杂环化合物,研究者指出苯并氮杂卓中间体的开环起着非常关键的作用[8]。
3过渡金属催化的反应
除了简单地把 α - β 不饱和硝酮和其它不饱和化合物进行有效组合合成复杂的杂环化合物之外,过渡金属催化共轭硝酮的反应研究也取得了一定进展。Anderson发展了一种从 α - β 不饱和硝酮合成环氧乙烷基酮亚胺的方法( 图6) 。硝酮在铜催化下发生氧迁移反应,以非常高的产率和非对映选择性生成目标产物[9]; 研究者提出了可能的机理: 底物中双键与金属配位后被活化,受到硝酮中带负电的氧的进攻,产生C - 金属物种, 然后再发生重排生成酮亚胺和释放出催化剂完成循环( 图6) 。
4结论与展望
虽然共轭硝酮化学已经取得了一定的进展,但目前离系统化研究还有很大距离,尤其在发展高选择性、高催化活性的过渡金属催化剂,实现高效构筑复杂有机分子以及探索验证反应机理等方面存在许多难题和亟待开展研究的领域。总之,继续拓展硝酮化学仍是将来有机合成最具吸引力的课题之一。
摘要：对近年来在共轭硝酮化学方面取得的成果进行小结,重点介绍了共轭硝酮的反应类型,包括共轭硝酮分子自身的重排反应、共轭硝酮与其它不饱和化合物的反应和过渡金属催化共轭硝酮的反应,并对相关反应机理进行了讨论;继续发展高选择性、高催化活性的催化体系,实现共轭硝酮高效构筑复杂有机分子仍是将来有机合成最具吸引力的课题之一。
共轭空间 篇4
关键词：共轭梯度法,OpenMP解决方案,并行加速
1 前言
共轭梯度法 (Conjugate Gradient) 是解决最优化问题的常见方法。 其计算难易程度和实现规模介于最速下降法与牛顿法之间。 共轭梯度法仅利用一阶求导, 克服了收敛慢 (比如最速下降法) 的缺点, 又避免了需要存储和计算多极值矩阵并求逆 (比如牛顿法) 的缺点, 共轭梯度法即是解决大型线性方程组最有用的方法, 也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中, 共轭梯度法是非常重要的一种。 其优点是所需存储量小, 具有步收敛性, 稳定性高, 而且不需要任何外来参数。
在天气动力、 物理海洋等数值计算中方法的使用线性和非线性共轭梯度法, 解决各种问题, 比如陈红霞等[1]利用非线性共轭梯度法在东海黑潮流计算中的应用实现海洋数据的比对检验, 张少波等[2]利用预处理共轭梯度法在实现VVP三维风场反演中的应用等。 在此过程中均发现随着计算规模的不断发展和历史资料的大量积累, 共轭梯度法的计算量大幅度提高, 甚至成为利用该方法实现业务化应用的瓶颈。 为此, 选取常用的并行优化方法Open MP技术, 对共轭梯度法进行并行加速优化, 为共轭梯度法的广泛应用提供了新的计算解决方案。
2 问题提出
2.1 共轭梯度法
共轭梯度法于1952 年为求解线性方程组而提出的。 后来, 人们把这种方法用于求解无约束最优化问题, 使之成为一种重要的最优化方法。 共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合, 利用已知点处的梯度构造一组共轭方向, 并沿这组方向进行搜素, 求出目标函数的极小点。 根据共轭方向基本性质, 这种方法具有二次终止性。
2.2 算法原理
共轭梯度法算法如下:
假设选取x0作为Ax=b的解的初始猜测值, 与之对应的残差为r0=b-Ax0, 则p0=r0, 设循环变量k=0, 即开始如下循环:
如果残差已经足够小, 则推出循环, 否则继续。
3 设计与实现
3.1 Open MP简介
用于并行程序开发的编程模型主要分为两类: 消息传递模型和共享主存模型。 共享主存模型使程序员可以不必进行数据划分和分布, Open MP (Open Multi Processing) API规范, 是用户对共享主存编程模型最新要求的全面反映, 可解决旧规范的种种局限性。 Open MP使用fork-join并行机制, 程序开始串行执行, 此时只有一个主线程, 然后在遇到用户定义的并行区域时创建出一组线程。 在并行区域之内, 多个线程可以执行相同的代码块, 或使用工作共享结构体并行执行不同的任务[3]。
3.2 实验数据
实验数据文件input.txt中存储了矩阵A和b。 其中矩阵A是一个83334 乘83334 的矩阵, 非0 元素共有6010480 个, 数据稀疏度为0.085%。 数据存储为文本文件, 第一个元素是行 (列) 数N, 第二个元素是非0 元素的个数length。 接下来是length个三元组数据 (行优先, 即每个数据的行号不会大于之前数据的行号) , 三元组里分别是数据A [i] [j] 的行号i、 列号j、 值val, 存储格式为int, int, double。 再接下来是N个随机生成的double值, 分别是b的每一维。
3.3 并行实现
采用Open MP实现并行化。 可并行化的地方有:
(1) 向量加法。 形如xk+1=xk+∝kPk的操作由于每一维间没有影响, 因此可以并行化。 如图1 所示
(2) 矩阵向量乘法。 迭代中需要计算APk, 这里使用行划分来进行并行计算, 则每个CPU处理器只需要得到A的第行与Pk则可得到最终结果APk的第i维。 又因为APk在计算中出现了两次, 因此采用一个矩阵存储下来, 节约计算时间。如图2 所示。
(3) 向量的点积。 形如的向量点积运行可以利用并行来实现, 由于最终是个累加操作, 可以使用Open MP中的re duction函数实现。 如图3 所示。
3.4 构建稀疏矩阵
稀疏矩阵的Open MP核心实现代码如下
3.5 结果与分析
(1) 并行程序的正确性
利用多批次小规模的数据测试后, 并行程序运结果保持二进制一致, 并行化并没有影响结果的正确。
(2) 并行程序的加速性和可扩展性
由于数据规模比较大, 迭代次数比较多, 因此对100 次迭代循环总时间进行计时, 再得到每次循环的平均运行时间。计算性能如下:
串行程序的每次循环平均运行时间为12.5 秒。 并行程序在1、 2、 4、 8 个CPU核的每次循环平均运行时间如表1 所示。
4 结语
大规模计算的性能优化是天气动力、 物理海洋等数值计算中的主要问题, 随着业务化需求的增大, 计算规模越来越大, 性能优化成为瓶颈问题。 利用Open MP技术对共轭梯度法中最多的向量加、 向量乘和向量点积进行分析, 并进行了测试实验, 达到了预期效果, 确认Open MP并行优化是共轭梯度法广泛应用的一种较好的计算解决方案。
参考文献
[1]陈红霞, 袁业立, 刘娜, 等.非线性共轭梯度法在东海黑潮流计算中的应用[J].海洋学报, 2003, 25 (6) :31-38.
[2]张少波, 胡明宝, 张鹏, 等.预处理共轭梯度法在VVP三维风场反演中的应用[J].气象学报, 2004, 24 (8) :303-308.
共轭凸轮打纬机构运动精度分析 篇5
打纬机构是剑杆织机中的关键部件,它的运动性能直接决定了剑杆织机的质量和效率。在织机上,单是把纬纱纳入梭口还不能构成织物,这是因为纬纱对经纱的相对位置尚不稳定,纬纱同织口的距离太大, 不具备构成织物所应有的起码的纬纱密度。打纬的作用就在于把已经纳入梭口的纬纱推向织口,并使它逐步稳定在织物内。经过若干次打纬以后,才能达到所需要的织物纬密,打纬过程及条件对织物结构的特征有着决定性的影响[1]。打纬运动是织物形成时的一个重要条件,对形成织物的内在质量和外观及织物的几何结构都有重要的影响,其工作性能的优劣直接影响织物的质量、织机的工作稳定性和工作速度。因此,打纬机构运动的精确性和稳定性将成为织机正常工作的充要条件。根据打纬原理,纬线和经线形成的织物必须疏密均匀,避免形成“开车稀密挡”织疵,这就要求打纬机构的各组成构件具有严格的尺寸关系和加工精度[2]。如何在现有加工条件下确定机构中各误差因素对打纬机构最终输出运动精度及其运动可靠性的影响关系,对各组成构件加工误差进行合理分配和控制,对织机打纬机构输出运动精度进行预判, 具有重要的理论价值和实用意义。
本研究将运用凸轮机构反转原理、有效长度理论、转换机构法等多种误差分析方法,研究共轭凸轮打纬机构在考虑基本尺寸误差、运动副间隙误差及凸轮副磨损误差3种情况下的打纬摇轴摆角误差的计算方法;运用Maple数值分析计算软件对打纬机构的运动精度进行数学建模并分析计算,为高速织机的设计提供技术参考。
1共轭凸轮打纬机构的运动误差分析
近代织机大多采用共轭凸轮打纬机构,它具有打纬动程、开口高度、经丝张力和织机振动较小且运动平稳等优点,更适应高速运行。在影响凸轮机构从动件位置误差的众多因素中,基本尺寸、运动副间隙和凸轮副表面磨损是比较重要的要素,共轭凸轮机构的运动精度主要从该3个方面来进行误差考虑。本研究借鉴摆动凸轮机构的误差分析方法,对共轭凸轮打纬机构从动件打纬摇轴的摆角误差进行分析计算。
1.1考虑基本尺寸误差时机构打纬摇轴的摆角误差分析
本研究通过数学公式推导建立打纬摇轴摆角 φ 对于凸轮轮廓尺寸、转角 θ 以及机构基本尺寸的关系式,然后采用泰勒级数展开法对机构打纬摇轴摆角位置误差进行分析。
摆动推杆盘形凸轮机构几何关系如图1所示,根据凸轮机构反转原理,本研究建立打纬摇轴摆角 φ 与凸轮轮廓坐标x 、y ,凸轮转角 θ 和机构基本尺寸摆杆l 、中心距a 、从动件滚子半径r的函数关系[3]。
式中:φ0—初始位置摆杆与中心距之间的夹角。
摆动凸轮机构中的尺寸误差主要有以下几方面: ①凸轮轮廓线加工误差 Δx , Δy ;②摆杆长度加工误差 Δl ;③摆杆安装误差 Δa以及滚子半径加工误差 Δr 。
将打纬摇轴摆角 φ 函数按泰勒级数在各变量均值点处展开,忽略二阶导数项及以上的高次项,可得凸轮由各参数的误差导致的总误差 Δφ ,即:
上式中,各个偏导数的具体表达式参见文献[4]。
凸轮轮廓坐标P(x,y) 是凸轮轮廓线形状的反映, 而且最终可以用凸轮转角 θ 来表达。虽然不同的从动件运动规律和尺寸参数对应的凸轮轮廓线是不同的,但对同一凸轮轮廓形状而言,只要给定一个 θ 值, 凸轮轮廓线上就会有相应的点与之对应,给定一组 θ 值,就有一组点与之对应,这样就可以求出凸轮任意转角 θ 所对应的 Δφ1。
1.2考虑运动副间隙误差时机构打纬摇轴的摆角误差分析
运动副中的间隙是由运动副元素表面的不准确引起的,间隙的存在将导致机构从动件运动精度的下降。S. J. Lee在1991年提出了“有效长度模型”理论, 该理论针对铰链式运动副中径向间隙和销轴位置的不确定性等因素对连杆有效长度的影响,以及所造成的机构输出运动误差作了详尽分析[5];将“有效长度理论”应用到共轭凸轮机构的分析中[6],对铰链间隙的影响给出了定量分析。
有效长度示意图如图2所示。根据该理论,当销轴在铰接副套筒中运动时,销轴中心在误差圆内随机分布,且有效杆长与实际杆长关系为:
设主凸轮与支座之间铰链的径向间隙为Rc1,其销轴中心的局部坐标为xo1、yo1;滚子与摆杆之间铰链径向间隙为Rc2,其销轴中心的局部坐标分别为xo2、 yo2;摆杆与支座之间的铰接误差不计。则受间隙影响参数的有效长度为:
在式(1)中将参数a 、b 、l 、r用其有效长度a* 、 b*、l*、r*来代替,且同样按泰勒级数展开,可得到考虑运动副间隙时的打纬摇轴摆角位置误差 Δϕ2的表达式:
1.3考虑凸轮副表面磨损误差时机构打纬摇轴的摆角误差分析
凸轮机构使用过程中,凸轮和滚子的表面会不断被磨损,从动件摆角会因磨损量的不断增加而产生误差, 从而导致机构运动精度降低。本研究采用转换机构法对由凸轮副磨损导致的从动件摆角误差进行分析。
对于复杂机构很难求解出偏导数,勃鲁也维奇在1966年提出了一种计算单个原始误差引起的机构输出误差的计算方法,即做出与每个原始误差对应的转换机构,通过求转换机构传动比来求得各个偏导数, 该方法简称为转换机构法。求解时可采用图解法,也可以采用图解解析法,后者更适合于计算机编程计算。该方法已经被广泛应用于对机构运动精度及其可靠性问题的求解中[7-8]。
在转换机构中,本研究作出转换机构的位移图, 得出打纬摇轴位置误差的表达式为:
式中: 。
凸轮磨损量 Δρ1和滚子磨损量 Δρ2一般很难获得精确的表达式,近年来随着对机构磨损量函数形式的研究不断深入,相关文章已有发表[4]。
2织机共轭凸轮打纬机构运动精度计算实例
某织机共轭凸轮打纬机构,设计转速为300 r/min, 中心距a为128 mm,摆杆的最大摆角h =24°,打纬推程角和回程角都是70°,给出基圆的初始半径rb为90 mm,滚子半径r为30 mm,两摆杆长度l1、l2为60 mm,推程和回程采用摆线运动规律[9]。
2.1主凸轮机构运动精度的仿真计算
根据凸轮设计原理,得主凸轮廓线方程为[10]:
初始位置摆杆l与中心距夹角为 φ0:
主凸轮摆杆采用摆线运动规律,最大摆角h =24°, 凸轮推程角为 φ1=70°,回程角为φ2=70°,近休止角为220°。
其推程阶段方程式为:
回程阶段为:
近休止阶段:此时推杆摆角保持不变,即:φ=0 ,φ1+φ2<θ≤2π。
在分别考虑机构尺寸、运动副间隙和凸轮副磨损3种误差的情况下,本研究采用上述方法对主凸轮机构进行机构运动精度分析计算。笔者运用Maple软件进行数学仿真,得出打纬摇轴摆角误差随凸轮转角变化的曲线 Δφ-θ 图如图3~5所示。
通过对以上计算结果分析可知,主凸轮机构的基本尺寸误差对摇轴的运动精度影响较小,整个周期内误差最大值接近0. 000 20 rad;运动副间隙对打纬摇轴推程和回程的运动精度影响大,且变化幅度比较大;凸轮副磨损对摆杆运动精度的影响在整个周期内均比较大,摆杆运动误差最小值达0. 005 25 rad,且随凸轮转角的变化波动较大。
2.2副凸轮机构运动精度的仿真计算
副凸轮摆杆也采用摆线运动规律,副凸轮的起始段为回程曲线与主凸轮推程是对应的,该阶段从动件摆杆的运动规律与主凸轮的推程一致;副凸轮的推程摆杆运动规律与主凸轮的回程规律对应,该阶段从动件摆杆的运动规律与主凸轮的回程一致;休止段与主凸轮近休止运动规律对应,即为远休止。副凸轮推程角为φ1=70°,回程角为φ2=70°,远休止角为220°。
副凸轮廓线方程为:
式中:ψ —两摆杆之间的夹角。
副凸轮回程阶段方程式为:
推程阶段为:
远休止阶段,推杆摆角保持不变,即ϕ=h,φ1+φ2<θ≤2π。
分别考虑机构尺寸、运动副间隙和凸轮副磨损3种误差的情况下,本研究对副凸轮机构进行机构运动精度分析计算,运用Maple软件进行数学仿真,得出打纬摇轴摆角误差随凸轮转角变化的曲线 Δφ-θ 图。
由分析结果可知,对副凸轮机构进行运动精度分析,得出的结果曲线与主凸轮机构完全一致,这与共轭凸轮机构主、副凸轮的共轭特性相吻合。因此,研究分析共轭凸轮机构的运动精度时,只需直接对主凸轮机构进行分析计算即可。
3结束语
本研究采用多种误差分析方法,建立了共轭凸轮打纬机构在考虑基本尺寸误差、运动副间隙误差及凸轮副磨损误差3种情况下的打纬摇轴摆角误差的计算公式。分析结果表明:在所考虑的3种主要误差中,共轭凸轮打纬机构的运动精度受基本尺寸误差的影响较小,其最大值低于0. 000 20 rad;受凸轮副磨损误差的影响最大,其最小值已接近0. 005 25 rad。因此,可以通过选择特殊耐磨材料加工凸轮和滚子表面,同时控制凸轮副表面的加工误差,并做好润滑保护措施来降低控制凸轮副磨损误差,最终提高共轭凸轮打纬机构的运动精度。
函数满足自共轭条件的求解二法 篇6
对于IRn上的凸函数f, 我们定义一个新的函数
f*:f* (x*) =sup{〈x*, x〉-f (x) |x∈IRn}, ∀x*∈IRn.
这个新的函数f*叫做f的共轭函数.
满足条件f (x) =f* (x) 的函数我们称之为自共轭函数.
给出函数f:E→ (-∞, ∞], 试证当且仅当f (x) =f* (x) 存在的充分必要条件是对于所有属于E的点x有undefined
证法一 当f (x) =f* (x) 时,
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根据f (x) =f* (x) 和Fenchel-Young不等式f (x) +f* (φ) ≥〈φ, x〉, 可得
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证法二 根据f (x) =f* (x) 和Fenchel-Young不等式f (x) +f* (φ) ≥〈φ, x〉, 得
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根据共轭函数的定义和上式, 得
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可知undefined
由①②可知undefined
结 论
满足自共轭条件的求解方法中多次使用了共轭函数的定义和Fenchel-Young不等式, 因此在凸分析的学习中要注意这两方面知识点的学习和运用, 以使我们对偶系 (X, X*) 中局部拓扑性质的研究打好基础.
参考文献
[1]Borwein J.M.&Lewis A.S., Convex Analysis and Nonlinear Optimization:Theory and Examples[M].Springer-Verlag.New York, 2000:61.
[2]Borwein J.M.&Lewis A.S., Convex Analysis and Nonlinear Optimization:Theory and Examples[M].Springer-Verlag.New York, 2000:66.
[3]Rockefeller.R.T.Convex Analysis[M].Princeton University Press.Princeton.New Jersey, 1970:105.
共轭空间 篇7
关键词：内啮合齿轮副,啮合强度,赫兹公式,有限元分析
0引言
直线共轭内啮合齿轮泵具有输出压力高、结构简单、流量脉动和噪声小等优点,其优越性能在很大程度上来自于一对特殊的直线共轭内啮合齿轮副,外齿轮的齿廓是容易加工的直线,内齿轮的齿廓是与之共轭的曲线,这种齿形不但强度高,而且作为内啮合齿轮泵使用时,困油容积小,噪声低[1]。
直线共轭内啮合齿轮泵的受力情况与其性能有着密切的关系,不仅直接影响齿轮泵的寿命,而且与齿轮泵的脉动和噪声也有紧密的联系。直线共轭内啮合齿轮除了啮合力外,还受油压力的影响。
本文从该齿轮副的特殊齿形和啮合力的计算入手,对直线共轭内啮合齿轮副进行具体的分析,利用赫兹公式[2]求解出最大接触应力,并与有限元方法求解的结果进行比较。
1啮合力
常见的用于传动的齿轮,其轮齿的受力分析通常都是比较简单的。但对于直线共轭内啮合齿轮泵,应考虑液压油对轮齿的影响。
1.1油压对轮齿的影响
如图1所示,以小齿轮中心为原点,其中一轮齿的对称轴为纵坐标建立坐标系xOy。当压强p作用于宽为B的直线齿廓时,取齿廓的一小段dl,则压强p在这段齿廓上产生的压力为dF=pBdl。
将dF沿x,y向分解,得到:
由于轮齿齿廓各部分受到的压强不同,压强差将产生力矩。如图2所示,设在半径rk1-rk2(rk1和rk2分别为dl段最低点和最高点到小齿轮圆心距离)对应的齿廓部分,轮齿两侧 分别受到 不同的压 强ph和pl。则x方向产生的力矩为:
类似地,y方向产生的力矩为:
由于My较小,为简化计算,将My省略。
当压强p作用于非直线齿廓时,取齿廓的一小段dl,可以得到同样的结论。因此,可以认为轮齿受到的力矩为:
1.2小齿轮的力矩分析
小齿轮受到的力矩包括以下3个部分:
(1)进入月牙块的轮齿外侧与脱离月牙块的轮齿外侧的压强差产生的力矩M1,见图3。根据式(1)有:
其中:Δp为高压区和低压区的压强差,Δp=ph-pl;ra1为小齿轮齿顶圆半径;rf1为小齿轮齿根圆半径;R为小齿轮或齿圈啮合点处向径值。
(2)啮合的轮齿齿廓被啮合点分为高压区和低压区(见图4),啮合的轮齿在高压区和低压区受力不平衡产生力矩M2。根据式(1)有:
其中:R1为小齿轮啮合点处向径值。
(3)啮合力产生力矩M3,见图5。图5中,γ′为力F延长线与连接K点到齿圈圆心O2的线段O2K的夹角,R2为齿圈啮合点处向径值。
其中:γ为力F延长线与连接K点到小齿轮圆心O1的线段OK的夹角。
由图5有几何关系:
其中:r1为小齿轮分度圆半径;β为小齿轮齿形半角;θ为小齿轮上啮合点处齿厚所对应的圆心角。
在△AKO1中,根据正弦定理,有:
将式(5)代入式(4)得:
(4)驱动力矩为T,它由驱动电机传递给小齿轮。
1.3啮合力的计算
小齿轮受到的转矩有如下的关系:
将式(2)、式(3)和式(6)代入式(7)得:
由式(8)求得啮合力公式为:
2赫兹接触应力计算
齿面接触计算公式———赫兹理论计算公式为:
其中:E1和E2分别为两齿轮材料的弹性模量;μ1和μ2分别为两齿轮材料的泊松比;b为接触线长;ρ为综合曲率半径,,ρ1为小齿轮接触面的曲率半径,ρ2内齿圈接触面的曲率半径。小齿轮的轮齿接触面为平面,因此:
以NJB2泵为例,按照赫兹 理论公式 计算得σHmax=178.2MPa。
3啮合强度的有限元分析
从以上理论计算方法可以看出,其中涉及的参数多,误差大,计算过程繁琐,并且不能直观显示齿轮齿面接触应力的具体分布情况,而有限元法则克服了上述的缺陷。
3.1模型的建立与网格划分
采用参数化方法在Pro/E软件中建立直线共轭内啮合齿轮副三维模型,如图6所示。
将建立的三 维模型导 入到ANSYSWorkbench中划分网格,如图7所示。网格节点数为32877,单元数为17164。
3.2定义接触对、约束条件及加载
本文的齿轮副采用面-面接触的方式,其中大齿轮为目标单元,小齿轮为接触单元。小齿轮的中心添加CylindricalSupport,并将Tangential设定为Free,内齿轮添加FixedSupport。啮合力最大时M1=M2,小齿轮上加载扭矩为逆时针扭矩T。
3.3分析结果显示
图8为啮合过程应力云图。图9为齿圈应力云图,图10为小齿轮应力云图。由图9和图10可知:啮合过程中最大接触应力为167.18MPa,最大等效应力出现在内齿圈接触面上;小齿轮最大应力也在接触面上,齿根处应力较大。
3.4计算结果对比分析
利用有限元软件ANSYSWorkbench分析得到了轮齿接触的等效应力分布图,比较有限元分析结果与理论公式的计算结果,两者的误差为6.5%,满足工程要求。
4结论