对一道数学习题的研究性学习

2024-09-06

对一道数学习题的研究性学习（精选13篇）

对一道数学习题的研究性学习篇1

对一道数学习题的研究性学习

题目：如图1，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点 A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1＝6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（）

A． B． C． D．

一、直观感知――定性

在完整、合理地解答这个题目前，首先要解决几个认知上的问题，对整个几何体能够定性．

问题1：如图2，球的两条切线AA1，AA2在球上的两个切点D，E的连线DE是否为球的直径？

问题解决：从该几何体的正视图来看，切点D，E的连线DE显然不是球的直径．

问题2：A与球心O1及椭圆中心O三点是否共线？

问题解决：如图2，这个问题可以通过计算解决，由球的半径为2知，A1D＝A1N，故AD＝AE＝4，假设A2N＝x，在Rt△AA1A2中，有62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x=6，故椭圆的长轴为8，即A1A2=8，可求得ON=2，所以，AO21=AD2+DO21=42+22=20，O1O2=O1N2+ON2=22+22

=8，AO2=A1O2+AA21=42+62=52，即AO1=2，O1O=2，AO=2，而AO1+O1O≠AO，故三点不共线．

问题3：球的两条切线AB1，AB2与球的两个切点的连线是否为球的直径？

问题解决：这是解决该题的关键，往往会有这样的考虑，那么从A出发与B1，B2的连线也是从球最宽的地方（直径）切过来的．事实上，在图2上可以观察得，切线AB1，AB2与球的两个切点在AB1，AB2上，则必在△AB1B2所在的平面内，结合问题2可知不可能通过球心O1．

二、操作验证――定量

1.解决――球切线的特性

解法一：如图2，由问题2的解决知椭圆的长轴为8，即A1A2＝8，假设椭圆短轴为2b，则OB2＝b，在△MAA1中，因为O1N＝2，AA1＝6，故＝＝，故MN＝1，因此AM＝＝3，B2M＝，AB2＝，又由球的切线性质知，∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1＝，cos∠B2AO1=＝，求得b2＝12，又在椭圆中c2＝a2-b2＝4，所以e===．

点评：这个解法牢牢抓住了过球外一点向球作切线，切线段长相等，从AD=AE到∠A1AO1＝∠B2AO1两个解题的关键点都用到了这一结论．

2.提升――空间向量

解法二：同解法一求得A1A2=8，如图3，建立空间直角坐标系，假设椭圆短轴为2b，A（0，0，6），O1（0，2，2），B2（b，4，0），所以＝（0，2，-4），＝（b，4，-6），cos∠O1AB2＝＝＝，由球的切线性质知∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1=，＝，故b2=12，在椭圆中c2=a2-b2=4，∴ e===．

点评：该解法虽然利用数形结合，用空间向量解决立体几何问题，但解决问题的关键还是过球外一点向球作切线，切线段长相等．

3.突破――三视图法

解法三：如图4，左侧为该几何体的正视图，右侧为该几何体的左视图，在正视图中，AD＝AE＝4，A1D＝A1N＝2，A2N＝A2E＝x，故62+（2+x）2＝（4+x）2，求得x＝6，故椭圆的长轴为8，即a＝4，在左视图由圆切线的性质知，在Rt△APO1中，AP===2，由△APO1∽△AOB1，知＝，即＝，∴ OB1＝2＝b，在椭圆中c2＝a2-b2＝4，∴ e===．

点评：这个解法源于在定性过程中对问题1的思考，问题1的解决用到了几何体的三视图．事实上，三视图的教学过程中要重视三视图对认知几何体的作用．

三、抽象归纳――回归“本源”

这个习题来源于哪个数学问题？有没有更一般的结论？能不能用我们研究的方法推广出结论呢？翻开人教版高中数学选修2-1，在第43页我们欣喜地找到了答案．

如图5，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．那么，为什么截口曲线是椭圆呢？

历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．

在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面相切于点E，F，在截面曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的几何性质，可以知道AE=AC，AF＝AB，于是AE+AF＝AB+AC＝BC．

由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值．这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．

由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．

进一步，通过对习题的探究，我们发现球与截面的交点正好是椭圆的焦点．下面用归纳推理的思想方法证明这个结论．

如图6，一个半径为r的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，切点为N，球在桌面上的投影是一个椭圆（长轴为2a，短轴为2b），求证：切点N为椭圆的焦点．

证明：如图7，左视图左侧为该几何体的正视图，右侧正视图为该几何体的左视图，在正视图中，假设ON=x，AD=y．故AD=AE=y，A1D＝A1N＝a-x，A2N＝A2E＝a+x，故（a-x+y）2+（2a）2＝（y+a+x）2，求得y=，在左视图由切线的性质知，在Rt△APO1中，AP2＝AO21-O1P2＝（）2-（a-x）2，由△APO1∽△AOB1，知＝，等价于＝，即＝，解得x2=a2-b2，即切点N为椭圆的焦点．

四、题后思考――几点感想

1． “直观感知、操作验证、抽象归纳”是我们认知新的数学问题的必经之路

《普通高中数学课程标准（实验）》中强调的人们在学习数学运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，笔者在实际教学过程中往往先通过大量的具体实例引导学生观察发现，再让学生独立操作，自己动手，那样的体验才更加真实，最后让学生在感性认识的基础上抽象概括出相关的知识内容．这样的教学才能更好地提高学生的数学思维能力，增强学生学习数学的兴趣．

2．要重视教材的作用

随着新课程标准的实施和新教材的试用，我们发现新教材中去掉了旧教材中部分知识板块，调整了部分知识结构，新增了很多知识内容，同时渗透了研究性学习这一新的思维学习模式．与旧教材相比，新教材样式设计新颖，增设了旧教材不具有的栏目，如：章头图、阅读材料、研究性学习课题等，这些内容的加入渗透着编者对教材的理解，充分地利用这些资源能够让读者提升一个层次．

3．体现学习“推理与证明”的重要性

新课程加入了推理与证明这一章节，许多学生甚至是教师都觉得这一章节可学可不学，新的知识点很少，碰到的数学问题也都是其他已学的数学知识．笔者认为这一章节的学习恰恰是我们认识数学的来源、理解数学的作用、增强学习数学的兴趣的很好的途径．我们要善于用合情推理提出问题、发现问题，用演绎推理解决问题，让数学更好地服务于生活．

对一道数学习题的研究性学习篇2

一般思路:很多教师第一想到的是利用向量数量积或余弦定理解题.

(2) 如图:在荀OAPB中, PB=3, OB=2, ∠OBP=120°,

∴由余弦定理得

上述方法固然简单, 可是本题是在未学习向量数量积和余弦定理的基础上出现的.教参和一般课外书上都没有涉及这题的具体求解过程, 那么如何对学生交代呢?有的教师一时没有思路就直接放弃, 认为学完向量数量积或是余弦定理, 学生自然就会了.但是笔者认为教材安排到这里还是可以用所学知识来解决的, 并且这里也是为第二问作铺垫, 意在探讨向量坐标的问题.具体解法如下:

过点P作PA垂直y轴于点A, 作

另外, 本题也可以通过作x轴上的垂线来完成, 各位老师不妨试一试.

总结:通过上题的探究, 我们可以得到“多思考、多总结”是数学能力和素质提高的法宝.

参考文献

[1]刘绍学.普通高中课程标准试验教科书·数学4必修.北京:人民教育出版社 (A版) , 2007.

对一道数学习题的研究性学习篇3

A． B． C． D．

一、直观感知——定性

在完整、合理地解答这个题目前，首先要解决几个认知上的问题，对整个几何体能够定性．

问题1：如图2，球的两条切线AA1，AA2在球上的两个切点D，E的连线DE是否为球的直径？

问题解决：从该几何体的正视图来看，切点D，E的连线DE显然不是球的直径．

问题2：A与球心O1及椭圆中心O三点是否共线？

=8，AO2=A1O2+AA21=42+62=52，即AO1=2，O1O=2，AO=2，而AO1+O1O≠AO，故三点不共线．

问题3：球的两条切线AB1，AB2与球的两个切点的连线是否为球的直径？

二、操作验证——定量

1. 解决——球切线的特性

点评：这个解法牢牢抓住了过球外一点向球作切线，切线段长相等，从AD=AE到∠A1AO1＝∠B2AO1两个解题的关键点都用到了这一结论．

2. 提升——空间向量

解法二：同解法一求得A1A2=8，如图3，建立空间直角坐标系，假设椭圆短轴为2b，A（0，0，6），O1（0，2，2），B2（b，4，0），所以＝（0，2，-4），＝（b，4，-6），cos∠O1AB2＝＝＝，由球的切线性质知∠A1AO1＝∠B2AO1，而cos∠A1AO1= ，＝，故b2=12，在椭圆中c2=a2-b2=4， ∴ e===．

点评：该解法虽然利用数形结合，用空间向量解决立体几何问题，但解决问题的关键还是过球外一点向球作切线，切线段长相等．

3. 突破——三视图法

三、抽象归纳——回归“本源”

如图5，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．那么，为什么截口曲线是椭圆呢？

历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．

由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值．这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．

由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．

进一步，通过对习题的探究，我们发现球与截面的交点正好是椭圆的焦点．下面用归纳推理的思想方法证明这个结论．

四、题后思考——几点感想

1． “直观感知、操作验证、抽象归纳”是我们认知新的数学问题的必经之路

2．要重视教材的作用

3．体现学习“推理与证明”的重要性

对一道数学习题的研究性学习篇4

百度提升自我

本文为自本人珍藏

仅供参考

对一道数学题的展开

在数学复习教学中，选好一道例题。通过一题多思，一题多解，一题多讲。可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。例题：已知ｘ，ｙ∈Ｒ且法一：均值不等式法

x,yR11x＋

1x9y1，求ｘ＋ｙ的最小值。

9y1x6xy9y⑴（当且仅当xy6即y9x时取等号）

xy⑵又xy2(当且仅当xy时取等号）⑶12xy12xy的最小值是此题答案有误。因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。法2，1的妙用

1x9y11x9yyx9xyxy(xy)(当且仅当yx)10161b

9xy时即x4,y12时取等号1a又如a,b,cR,abc1,求证（1)(1)(1c1)8

用心爱心专心 1 知识改变命运

百度提升自我

再如a,b,c是不等正数且abc1,求证abc11ab1c

法3，构造x+y不等式法

由1x9y1得（x1)(y9)9(xy102

2)可得变式：已知x+xy+4y=5（x,y∈R＋）求xy取值范围法4，换元后构造均值不等式法

由1x9y1得y99x1(x1)所以xyx99x110x19

x116(当且仅当x19即x1x4时取等号）法5，用判别式法

由1x9y1得y9xx1(x1)令xyz,则zx9xx1x28xx1得关于x的二次方程x2(8z)xz0

20且z8(8z)2可由△(8z)4z4z20解得z的范围从而得到xy的最小值。注意实根分布情况讨论。类似地，如2x+y=6,求11xy的范围也可用判别式法。

法6，三角代换法

用心爱心专心 2 知识改变命运

百度提升自我

令1x(cos),29y2(sin),22

10(tan)9(cot)22则xy(sec）＋（9csc)16变：00,b>0，则法7，导数法

zx99x1a2xb21x的最小值

(x1),z0中，x4，此极值必为最值)

(在区间内有一个极值点以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。

由一道练习题所想到作文600字篇5

数学老师印了卷子，让大家来答题。

“太简单了呀。”我一看见老师印的卷子后，立刻眉开眼笑。卷子上的题目，我平时全都练过了，我全都可以答上来。

我优哉游哉(这个词用得好)的等着卷子，觉得自己已经尽可能的放慢速度了，可还不到二十分钟的`时间，我就把卷子写满了。

“交卷。”我举起手来向数学老师示意。

“不检查一遍吗?”老师问我。——对话写得好

“不用检查。”我很有自信地说，“保证全部正确!”

“是吗?”数学老师看着我笑了笑，将卷子收走了。(老师的表情写得好，意味深长)

接下来的时间里，我坐在座位上，一会看这个人，一会看那个人，我满足极了，因为这些人一个个垂头丧气地将卷纸画的乱七八糟的。——心理写得好。

我看够了班级里的人，将视线收回来。我开始幻想，我坐在飞船里去“嘻嘻哩吐吐吐啦吧星球”打外星人，我想象为了宇宙和事，不能马马虎虎、心猿意马……

下课铃声响起来了，我眼里看到的是大家交卷纸的场面，我还想幻想下去，可是下课时教室闹哄哄的。

数学老师公布成绩是第二天。

老师说到了第49个名字才说到了：“唱响85分。”

“什么?”

我拿到了卷纸看了又看啊!我的天啊!背面还印着一道15分的题目呢!

我为什么不看背面呢?

由一道练习题所想到作文600字篇6

妈妈看到题目后，也自言自语的思考了一会儿，然后问我：“凯齐，我问你，能被2整除的数有什么特点？”“结尾是2、4、6、8、0，呗”我不假思索的回答道，“那么，能被5和3整除的数又有什么特点呢？”妈妈又问，我思考了一会儿说：“能被5整除的数结尾是0或者5，至于3我就不知道了。”“非常好！既然这样，我们就只用考虑结尾是1、3、7、9的`数字了。”

找到方法之后，我们便开始十个数十个数的找起来，1到10，1和7不是3的倍数；11到20，11、13、17、19不是3的倍数；21到30，23、29不是3的倍数；31到40，31、37不是3的倍数，找着找着，我们突然发现了不是3的倍数的变化规律，变化规律是每十个数里不是3的倍数的数字个数，规律如下：2、4、2，2、4、2，......按照这个规律，我们找到了所有的符合题目要求的数字个数是134个。

由一道习题引发的数学探究活动篇7

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式, 有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程, 初步理解直观和严谨的关系, 初步尝试数学研究的过程, 体验创造的激情, 建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯, 培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力.

“探究教学”是高中课程标准的重要理念, 笔者所在学校一直尝试陕西师范大学张熊飞教授提出的“诱思探究教学”模式, 即让学生“自主、合作、探究”的学习.以下是笔者在《直线的方程》一课中由一道习题引发的一次教学探究活动, 现将课堂教学过程整理后展示给大家, 供各位同仁斧正!题目:已知实数x, y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1) , 试求 $\frac{y + 3}{x + 2}$ 的最值.

解法探究:抛出问题后, 笔者让学生进行自主探究, 通过课堂巡视, 我发现学生主要通过整体代换或换元思想给出了答案.

方法一整体代换

$\begin{array}{l} \frac{y + 3}{x + 2} = \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2} = \frac{(x + 2)^{2} - 6 x + 1}{x + 2} \\ = \frac{(x + 2)^{2} - 6 (x + 2) + 13}{x + 2} = (x + 2) + \frac{13}{x + 2} - 6 . \\ ∵ - 1 \leq x \leq 1 ‚ ∴ 1 \leq x + 2 \leq 3 \end{array}$

, 由“勾函数”及单调性易知:当x+2=1时, 原式取最大值为8;当x+2=3时, 原式取最小值为 $\frac{4}{3} .$

方法二换元思想

$\begin{array}{l} 令 t = x + 2, 则 x = t - 2, 1 \leq t \leq 3 . \\ \frac{y + 3}{x + 2} = \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2} = \frac{(t - 2)^{2} - 2 (t - 2) + 5}{t} \\ = \frac{t^{2} - 6 t + 13}{t} = t + \frac{13}{t} - 6 . \end{array}$

以下解法同方法一.

两种解法给出后, 笔者带领学生对其进行点评, 比较哪种更加优化, 并且作为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者, 在为学生提供了这一数学探究的背景材料后, 笔者鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题:还有什么更好的方法?并鼓励学生可以表达自己的见解和主张——即使是不成熟的想法, 也千万别错过这样的机会!

短暂的思索后, 一位平时数学成绩一般的同学把目光投向我, 我鼓励他站起来说出他的想法:令 $k = \frac{y + 3}{x + 2}$ , 本题即求k的最值.我说可以啊, 看来你也是进行了整体换元.然后呢?我追问, 试图启发他进行下去, 但是良久不见下文, 我点头示意他就坐, 并肯定他的想法, 并让大家一起进行合作探讨, 看在这名同学思考的基础上能否有新的突破, 大家开始小声讨论.不一会儿, 有一小组推选出了一个代表发言, 于是, 有了:

方法三数形结合思想

设 $k = \frac{y + 3}{x + 2} = \frac{y - (- 3)}{x - (- 2)}$ , 原式看成连接点 (x, y) 和 (-2, -3) 的直线的斜率, 由题意结合图像可知点 (x, y) 在点 (-1, 5) 和点 (1, 1) 之间运动, 因而斜率介于两个临界量之间, 即得原式最大值为8, 最小值为 $\frac{4}{3} .$

看着大家顿悟和羡慕的眼光, 我赞扬了前一名同学的抛砖引玉, 表扬了后一名同学的思路和清晰的语言表达及勇气.我深知:在学生需要的时候, 教师应该成为学生平等的合作者, 教师要有勇气和学生一起进行探究, 只有这样, 才能让学生思维的火花迸发, 进而形成更浓郁的讨论氛围.

变式探究:设点A (2, -3) , B (-3, -2) , 直线l过点P (1, 2) , 且与线段AB相交, 求直线l斜率的取值范围. (学生通过数形结合思想很快得到k≤-5或k≥1)

对本题的三种解法进行小结后我不经意说了一句“大家还有什么想法?”正打算进入下一题讲解时, 一位前排就座的女生怯生生地举起了手, 我稍一愣, 立刻用鼓励的眼神示意她站起来, 她给出了:

方法四

由题意知1≤x+2≤3, 4≤y+3≤8, 当y+3取最大且x+2取最小时, 原式取最大值8;当y+3取最小且x+2取最大时, 原式取最小值 $\frac{4}{3} .$

答案一出, 全班哗然, 有对此方法的“精妙”叫好的, 有对此方法的“碰巧”疑惑的, 也有不知所措, 眼看着我等我的评价的……

这种思路是我课前没预想到的, 我略加思考后, 把问题抛给了学生:x与y之间本身有制约关系, 能否改变x的取值范围而推翻这一解法呢?

这时有学生说:如果0≤x≤1, 试试看!我说可以, 等你们的结果, 不一会儿, 有做得快的学生说:“结果一样!”有的继续埋头做, 有的则凝望着我疑虑重重地等着我的分析.等学生们基本算出结果后, 我说:“如果-1≤x≤3, 请大家按照方法二和方法四分别计算一下, 看结果是否成立.”用方法四的同学很快得到同样的结果, 但是不久不同的声音传来:用方法二求出的最大值8没变, 最小值变成了 $2 \sqrt{13} - 6$ .不同的方式方法得到了不同的结果, 在交流探究的基础上, 通过师生之间和学生之间的讨论, 明晰了探究的目的, 在讨论中形成了共识, 提高了学生对本题知识的认识, 更重要的是形成了如今高中课堂所缺失的人气场.同时学生的总结、归纳能力在这一过程中得到培养, 最后自主将问题变式, 提出新的问题或结论并进行了解决.

教学后记:本节课是笔者在《直线的方程》一课中一道习题的探究教学案例.实施数学探究性学习, 是数学教学和学习方式改革的必由之路, 本节课由一道代数式的最值问题, 引发了换元思想、数形结合思想, 把代数式的最值问题的求法进行了发散.在学生探究性学习活动中, 笔者始终能以学生的需要作为第一要义, 在本节课的实施过程中, 笔者运用了一切可能的手段, 不断优化教学设计, 时刻激发学生的学习兴趣, 创设有效的探究时间和空间, 形成了良好的探究风气, 让每名学生都有主动探究的机会和欲望, 从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.通过这次数学探究活动, 促进了学生自主思考、合作探讨, 重新归纳总结、建立知识的框架, 独立思考问题, 提出自己的观点, 培养了良好的学习习惯和思维品质.本节课可以说是在预设之中得到了意料之外的收获.

对一道数学习题的研究性学习篇8

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。

【关键词】初中数学习题拓广证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

【关键词】初中数学习题拓广证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

对一道数学习题的研究性学习篇9

云南省曲靖市富源县富村镇牛路明德小学彭红梅

摘要：数学在人们的生活、工作和学习中都不可或缺，是一项基本的技能和工具。因此小学数学学习效率问题一直备受关注。本文综合了众多专家学者对小学数学学习效率问题的研究和结论，并结合在小学数学教学实践的一些经验，找出了一些可以有效提高小学生数学学习效率的提升策略。

关键词：小学数学学习效率提升策略

一、对数学学习的重要性以及数学学习效率含义的思考

1、数学学习的重要性：九年义务教育阶段课程标准对数学学习的理念和要求是这样描述的：数学是人们日常生活中、工作和学习中不可或缺的工具和技能，数学对人类来说是一种重要的文化，是人类文明的重要组成部分。小学学生对数学的学习应该源于现实，挑战现实，找到它的意义所在。这个内容要有助于学生在今后的工作生活和学习中能主动通过数学知识观察、认识、理解、实践。所以，数学学习有着非常重要的意义。提高数学学习效率也就变得非常重要。

2、数学学习效率的含义：顾名思义，数学学习效率就是在一定的时间里学生学习到的有效的数学知识。数学学习效率与很多的因素相关，其中最主要的，一是学生自主学习的态度和能力。而是教师、家长等各方面对学生数学学习的引导。

二、提升小学数学学习效率的策略

1、激发学生学习兴趣，提高学生自主学习能力。在影响数学学习效率的两个因素中，学生的自主学习是最重要的。根据自主学习能力的不同可以把学生分为三类：一是已经对数学充满兴趣，愿意主动学习数学；二是愿意学习数学，但谈不上很感兴趣；三是对数学感到反感，不愿意主动学习数学。在这三种类型中，第一种最为难能可贵，但这样的学生数量不多，对这样的学生，只需要多多鼓励，正确引导，就能得到好的成绩。第二种学生就比较多，可以采取多种方式比如做数学游戏激发他们的兴趣，使他们转化成第一类的学生。第三种学生也不在少数，主要还是通过鼓励的方法增加他们的信心，让他们逐渐找到学习数学的乐趣。

2、课堂有效讲授，课下积极引导。学生的自主学习能力提上去以后，老师就要在课堂上提高授课效率，避免学生想学学不到的问题。课下还需要对他们加以正确的引导，避免学生在数学学习中走上弯路。

小学数学学习效率的提高，需要各方面共同努力，数学学习效率的提高也不可一蹴而就，需要做好计划，按部就班的实施。

参考文献：

[1] 王光明,严家丽.论高效的数学课堂教学——从孙维刚的一节公开课谈起[J].教学月刊(中学版).2010(07)

对一道数学习题的研究性学习篇10

题目：如图1，过椭圆+=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），F（c，0），由=λ1，知（x1，y1-y0）=λ1（c-x1，-y1），于是y1-y0=λ1·（-y1），即λ1=，同理由=λ2知λ2=，于是λ1+λ2=+=-2，设直线l：x=ty+c，令x=0，得y=-，即y0=-.将直线方程代入椭圆方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，则y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=-2=.

以上是试题及解答，教学中仅仅照本宣科，不但试题的价值没有完全挖掘出来，而且学生的学习也会倍感乏味.下面我们不妨将思维引向深入，感受解题的无穷魅力.

一、结论的横向类比

以美启真是数学发现和数学创造的一条重要途径，圆锥曲线间有许多共同的或相似的性质，从统一美的角度，我们发现双曲线和抛物线也有类似的结论.事实上，只需将以上条件和解答过程中的b2换成-b2就能得到双曲线也有同样的结论.

结论1：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交y轴于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

结论2：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交y轴于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=-1.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+，令x=0，得y=-，y0=-，将x=ty+代入y2=2px，得y2-2px-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-2=-1.

二、特殊到一般的拓展

从特殊到一般是数学上发现新结论、创造新成果的重要途径，也是高考命题的常用手法，如果将以上条件中的“直线l交y轴（即直线x=0）于点M改为“直线l交直线x=m于点M”，我们可以得到如下一般化的结论.

结论3：已知过椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+c，令x=m，得y=，即y0=.将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，则y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=.

结论4：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明过程与椭圆一样，限于篇幅，从略.

结论5：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+，令x=m，得y=，y0=.将l：x=ty+代入y2=2px，得y2-2ptx-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-.

三、一般到特殊的发现

对于结论4和结论5，细心的你会发现，如果取m=-，此时直线x=m即为椭圆或双曲线的准线，此时显然有λ1+λ2=0，于是有下面两个结论.

结论6：已知过椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

结论7：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

对于结论5，若取m=-，则直线x=m为抛物线的准线，显然也有λ1+λ2=0，于是有下面的结论.

结论8：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

四、问题的逆向思考

原题目中，如果将问题的条件和结论互换，命题还成立吗？答案是肯定的，结论如下，限于篇幅，证明从略.

结论9：已知直线l交椭圆+=1（a>b>0）于A，B两点，交x轴、y轴于点N，M，已知=λ1，=λ2，若λ1+λ2=，则点N为椭圆的右焦点F（c，0）.

开展研究性学习不但能培养学生思维的深刻性，激发学生的兴趣，有时还会在高考中带来意想不到的惊喜，如运用结论8，我们能一眼看出2007年福建高考数学（理科）第20题第（2）问的结果.

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·=·.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

由一道数学练习题的处理想到的篇11

李阿姨在2007年底把30000元人民币按三年期整存整取存入银行, 到期后, 李阿姨想用所得利息买一台4900元的全自动洗衣机, 请你算算够不够? (当时银行公布的储蓄利率如下表)

出示题目后, 同学们迅速投入了计算, 很快就有不少同学做好了。

说实话, 我出这道题的意图是让学生学会利用百分数知识解决生活中的实际问题。学生只要根据题中所提供的信息, 选择出正确的年利率, 利用“利息=本金×利率×时间”先求出应得的利息, 然后再比较利息和洗衣机的价钱, 进而判断利息够不够就可以了。《教师教学用书》上对这类题的教学建议也是这样的:要让学生知道什么是本金, 什么是年利率, 三年整存整取的年利率是多少, 能正确运用“利息=本金×利率×时间”求出利息。

我收集了几个同学的解法, 方法清一色:30000×5.40%×3=4860元, 4860<4900, 所以不够。这正是我期望看到的, 也是我出这道题的目的。两个同学说了说解题的想法和要注意的问题, 我都给予了肯定和赞扬, 正当我准备进入下一个环节时, 意外出现了。这时我班的刘博睿同学突然说道:“老师, 这道题还有别的解法, 你再让我想一会, 马上就好。”

这位刘博睿同学可不简单:思维活跃, 经常突发奇想, 有时也给我的课堂增添了不少“麻烦”。要在平时我会毫不犹豫地答应他, 可这是教研活动课啊, 有领导在听课呢, 万一搞砸了怎么办?课上到现在虽然不能说多么完美, 多么引人入胜, 但是, 一切都在预设之中, 感觉顺顺当当。眼看就要完美收官, 没料到竟节外生枝。这下可怎么办?是装作没有听见, 继续下面的环节, 还是给他一点时间?我脑子里疾速思索着。最终理智告诉我:应该给他一些时间, 这才符合新课标的教学理念。于是我说道:“这道题是不是真有别的解法, 同学们再认真思考一下。”

事实证明我的决定是多么正确!

很快, 刘博睿同学就做好了, 还没等我叫他, 他就已经站了起来, 娓娓道来:“我是通过比较利率的方法来判断利息够不够买一台洗衣机的。算式是:4900÷30000≈16.3%, 5.40%×3=16.2%, 16.2%<16.3%, 所以不够。”

他的话刚说完, 我还没有来得及评价, 后面听课的老师已经鼓起掌来。

如何评价他的这种解法?显然这和我出这道题的目的相悖, 没有达到训练求利息的目的。但是, 对他来说, 求利息应该是驾轻就熟了, 这从听课老师的掌声中已经得到了答案。

【我的思考】

这么一道普普通通的习题, 学生却能另辟蹊径, 找出不同的解法, 着实给了我很多惊喜, 同时让我产生了一些思考。

1. 要充分相信学生的能力

苏霍姆林斯基说过, 人的心灵深处, 总有一种把自己当做发现者、研究者、探索者的固有需要, 这种需要在小学生的精神世界中尤为重要。我们有理由相信, 学生是具有这种探究精神和能力的。可以看出, 刘博睿同学的解法反映了他的思维已经具有了一定的深度, 已经远远超过了课前我的预设。而我还停留在照本宣科, 限于求利息的习惯思维中, 我在为学生的精彩表现感到高兴的时候, 也对自己钻研教材所表现的不足感到遗憾。作为新世纪的教师, 必须树立科学发展观和现代教育观、学生观。要充分相信学生的能力, 积极、主动地为学生思维创造条件, 激发起他们学习的积极性和主动性, 让学生在一份属于自己的空间里, 去思考、去发现、去创造。

2. 给学生充分的思考时间

数学是思维的体操。要适时地给学生留足思考的时间, 让学生的思维插上翅膀, 尽情地飞一会儿。数学课上, 教师应大胆放手, 给学生充足的思考问题的时间, 引导学生从不同角度思考问题、发现问题, 让每一个学生尽可能地独自找出解决问题的方法, 放飞思维, 张扬个性, 发展智力, 培养学生创新思维能力。作为一名数学教师, 不论你是一个有着多少年教学经验的老教师, 还是浑身闪着光环的名教师, 都不能让思维束缚了自己, 更不能让定势束缚自己, 时时对学生的创新思维报以敬畏之心, 这样培养出来的学生才更有创造性, 更具竞争力, 这样的课堂才更加精彩。本课正是那本不该出现的一小会思考, 成了课中最大的亮点, 也使这节研讨课更加真实、更加丰满。

3. 教学预设要有广度、深度

对一道数学习题的研究性学习篇12

习题1 苏教版必修4, P70/练习3;原题如下:

已知:△ABC中, D是BC的中点, 用向量undefined表示向量undefined。

教学时发现, 学生比较容易从“形”的角度, 以undefined为邻边构成平行四边形, 由平行四边形法则推知:undefined;另外, 联想加法的定义, 由undefined;undefined两等式左右相加, 可得undefined。

反思1:回味解答过程, 积累解题经验

上述解答过程中, 虽然从图形入手比较直观而且简洁, 但第二种处理过程中, 我们根据ABD和ACD两个三角形回路, 依据向量加法构造两个回路等式, 解决了问题。回路思想的运用, 同样给我们的解题过程带来了清新的感觉, 让我们感叹了数学之美!

反思2:图形发散变换, 整合习题资源

将上述习题图形略经变换, 可思考下列一系列的类似习题:

(1) 将三角形变为四边形, 一边中点变为取两对边中点, 即得课本P66/7 :

在任意四边形ABCD中, E, F分别为AD, BC的中点, 求证:undefined

(2) 可思考取任意四边形ABCD四边的中点, 构成什么图形?

(3) 取任意四边形ABCD两对角线的中点即得:课本P70/练习4:

设P, Q分别为四边形对角线AC和BD的中点, undefined并且undefined不是共线向量, 试用基底undefined表示向量undefined。

上述一连串习题, 串联成链, 作为一个习题组进行练习, 由于均可采用类似方法处理, 在一定程度上有利于学生解题能力的提高。

反思3:特殊转为一般, 拓展思维空间

习题1中, 将中点D的特殊位置变为一般情形, 即得课本P64/练习4:

已知:undefined和undefined是不共线向量, undefined试用undefined表示undefined。

运用加法回路的方法解答如下:

undefined

课本P65/例4、P72/例4也都分别从式和坐标两方面叙述了这个问题, 由这些习题稍加抽象, 结合课本P75/探究拓展11, 我们即可得到如下重要命题:

命题1:已知undefined不共线, P点在AB上, 则有undefined, 且λ+μν;

(*) 式从另一方面也可以这样理解:起点为O, 终点为直线AB上一点C的向量undefined可以用不共线向量undefined来表示, 结合向量共线定理, 我们不难得到平面向量基本定理, 从该定理可知:

命题2:如果四个向量之间有等式undefined, 并且undefined共线, undefined共线, 但undefined不共线, 立刻推得undefined

上述两个命题在我们解题时, 若能灵活运用, 有时可收到事半功倍的效果, 使繁琐的解题过程得到优化。列举两例比较如下:

例1:设G是△OAB的重心, 过G的直线与OA, OB分别相交于点P, Q, 已知undefined试问:undefined的值是否为定值

, 若是, 求出定值;若不是, 说明理由.

解法1:常规设置未知数列方程求解

解:undefined;

又undefined;

且P, G, Q三点共线, 由共线定理得:

undefined;

即:undefined;

undefined不共线,

undefined

;

undefined

解法2:利用命题1, 优化解题过程

解:由undefined;

又∵P, G, Q三点共线, undefined, 即undefined, 两种解法, 繁简判然。

例2:课本习题P67/思考运用11:

平行四边形ABCD中, E是DC的中点, AE交BD于M, 用向量方法证明:M是BD的一个三等分点。

解法1:运用共线定理, 设未知数列方程求解

undefined

又undefined;

undefined;undefined不共线,

undefined

;

解之得:undefined

∴M是BD的一个三等分点。

解法2:构建回路等式, 巧妙解决问题

解:由undefined;undefined

又undefined;

undefined与undefined共线, undefined与undefined共线, undefined与undefined不共线

undefined;undefined, 即M是BD的一个三等分点。

通过上面一系列的思考, 我们从一道习题可依次得出向量中一系列的知识、解题方法, 如何做到真正意义上的学生减负, 我认为关键在于课堂, 必须要提高课堂的教学效率, 有效综合各个知识点, 寻找它们之间的联系, 做到由一点牵一面, 由一题思一片, 这样学生就能避免盲目做题, 摆脱题海, 从而达到减轻学生负担, 提升学生能力的目的。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修4.南京:江苏教育出版设, 2007年6月第3版

[2]张景中, 彭翕成.论向量法解几何问题的基本思路.数学通报, 2008.2

对一道课本练习题的深入思考篇13

undefined

当00, 即f (x1) >f (x2) .

所以函数undefined在 (0, 1]上是减函数, 同理得该函数在[1, +∞) 上增函数.

函数的单调性是函数的一个重要性质, 而定义法处理函数的单调性是最基本的方法, 几乎所有与单调性有关的问题都可以用定义来解决, 因此掌握好单调性的定义是学好函数单调性的前提. (当然以后学习了导数的知识, 我们也可以通过导函数来研究函数的单调性.)

这道题到此就圆满的解决了.如果仅此而已这道题没有什么新意, 和一道简单的函数单调性的证明题没有区别.其实稍有经验的高中数学教师都知道这道题远远没有这样简单, 在后面的教学过程中经常会利用到这个函数的单调性.所以在这个时候正好可以抓住这个时机把这道题进行深入彻底的研究, 一方面是加深函数单调性的理解, 另一方面是加强学生的分类讨论的意识, 还可以强化这个函数的作用, 真是一举多得!

一、纵向变化, 加深课堂教学的深度

变式1:讨论函数undefined的单调性.

分析:本题与原题的区别在于含有参数, 因此抓住参数是解决本题的关键.

解:任取实数x1, x2≠0, 且x1

当undefined时, 0f (x2) , 故函数f (x) 在undefined上是减函数; 同理得函数f (x) 在undefined上是减函数, 在undefined和undefined上是增函数.

进行到这儿, 我相信一定能引发学生的积极思考, 激发学生的学习兴趣, 培养其创新意识和实践能力.通过这样的挖掘既能加深对原有知识的理解运用, 还能拓宽解题思路.这样的数学课堂才是有深度、有魅力的课堂.

二、横向变化, 拓宽课堂教学的广度

变式2:讨论函数undefined的单调性.

分析:本题与变式1的区别在于参数的范围, 因此抓住参数的范围是解题的关键.

解:任取实数x1x2≠0, 且x1

则undefined

(1) 当a>0时, 同变式1;