高考数学必考题型例题

高考数学必考题型例题（共6篇）

高考数学必考题型例题篇1

1、三角函数、向量、解三角形

(1)三角函数画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。

(2)向量的工具性(平面向量背景)。

(3)正弦定理、余弦定理、解三角形背景。

(4)综合题、三角题一般用平面向量进行“包装”，讲究知识的交汇性，或将三角函数与解三角形有机融合，

重视三角恒等变换下的性质探究，重视考查图形图像的变换。

2、概率与统计

(1)古典概型。

(2)茎叶图。

(3)直方图。

(4)回归方程(2x2列联表)。

(5)(理)概率分布、期望、方差、排列组合。概率题贴近生活、贴近实际，考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式，难度不算很大

3、立体几何

(1)平行。

(2)垂直。

(3)角a:异面直线角 b:(理)二面角、线面角。

(4)利用三视图计算面积与体积。

(5)文理有一定的差别，理科相关题目既可以用传统的几何法，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。文科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算,直线与平面所成角的计算。理科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算, 各类角的计算。

4、数列

(1)等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系。

(2)文理科的区别较大，理科多出现在压轴题位置的卷型，理科注重数学归纳法。

(3)错位相减法、裂项求和法。

(4)应用题。

5、圆锥曲线(椭圆)与圆

(1)椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。

(2)圆的方程，圆与直线的位置关系。

(3)注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。

6、函数、导数与不等式

(1)函数是该题型的主体：三次函数，指数函数，对数函数及其复合函数。

(2)函数是考查的核心内容，与导数结合，基本题型是判断函数的单调性，求函数的最值(极值)，求曲线的切线方程，对参数取值范围、根的分布的探求，对参数的分类讨论以及代数推理等等。

(3)利用基本不等式、对勾函数性质。

高考数学必考题型例题篇2

五、不等式部分

一、选择题

(A) (-∞, -1) (B) (1, +∞)

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8

3.“a>b”的一个充分不必要条件是 () .

(A) a>b-1 (B) a2>b2

4.已知a, b, c∈R, “b2-4ac<0”是“函数f (x) =ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

5.设常数a∈R, 集合A={x| (x-1) (xa) ≥0}, B={x|x≥a-1}, 若A∪B=R, 则a的取值范围为 () .

(A) (-∞, 2) (B) (-∞, 2]

6.若存在x∈[-1, 1], 使得x2+2x+a≥0成立, 则实数a的取值范围是 () .

(A) [-3, +∞) (B) [1, +∞)

7.若对任意正数x, 均有a2<1+x, 则实数a的取值范围是 () .

(A) [-1, 1]

(B) (-1, 1)

8.若x≥0, y≥0, 且x+2y=1, 则2x+3y2的最小值是 () .

9.已知实数a=log0.23, b=log0.32, c=log32, 则a, b, c的大小关系为 () .

(A) c<b<a (B) c<a<b

(A) 3 (B) 1或3

二、填空题

11.已知a2+b2=2, 则ab的最小值为_____.

12.已知-1<x+y<4且2<x-y<3, 则z=2x-3y的取值范围是____ (用区间表示) .

13.当x∈ (1, 2) 时, 不等式 (x-1) 2<logax恒成立, 则实数a的取值范围为_____.

三、解答题

参考答案

【点拨】解分式不等式一般是通过移项, 再转化为整式不等式求解, 但是有时还需要注意观察不等式的结构, 必要时也可运用不等式的性质直接去掉分母求解.

【点拨】运用基本不等式求最值问题时, 需注意“一正、二定、三相等”, 当不等式中的等号取不到时, 也不能得到我们所求的最值.

3.【错解】A.a>ba>b-1, 反之不行, 即“a>b”的一个充分不必要条件是a>b-1.

【分析】上述错解是理解题意有误所致, 其实我们要找一个条件, 使得这个条件是“a>b”的一个充分不必要条件.

【点拨】在解题的过程中, 审题一定要细, 弄清题目中的已知、未知、显性条件、隐性条件才能下手解题, 否则容易出错.

4.【错解】B.当a<0, b2-4ac<0时, f (x) 的图象在x轴的下方;反之, 当f (x) 的图象恒在x的上方, 必有a>0且b2-4ac<0, 故选B.

【分析】题目条件中并没有说明f (x) 是二次函数, 于是存在a=0, b=0的情形.

【解】D.当a<0, b2-4ac<0时, f (x) 的图象在x轴的下方;反之, 取a=0, b=0, c=2, 有函数f (x) =2的图象恒在x轴的上方, 这时b2-4ac=0, 也不能得到b2-4ac<0.故选D.

【点拨】在平时的训练中多加总结, 形成解题经验是好事, 但是也要防止过分的思维定式, 它会对我们解决问题带来负面影响, 需要引起注意, 防止由于“思维定式”而出现错解的有效方法有:一是仔细审题, 二是平时对一些易错的问题多加关注, 提高免疫力.

5.【错解】B.由 (x-1) (x-a) ≥0, 得x≤1或x≥a, 而A∪B=R, ∴a-1≤1, 即a≤2.

【分析】以上解法虽然得到了正确结果, 但解法存在漏洞, 解不等式 (x-1) (x-a) ≥0时, 需要分a>1与a≤1两种情况讨论.

【解】B.当a>1时, (x-1) (x-a) ≥0的解为x≤1或x≥a, 由A∪B=R, 得a-1≤1, 即1<a≤2;当a≤1时, (x-1) (x-a) ≥0的解为x≤a或x≥1, 由A∪B=R, 得a-1≤a, 于是a≤1, 故有a≤2.

【点拨】在平时的答题中, 对于一些我们在没有得到正确解法下得到正确结果的问题要谨慎处理, 以防留下隐患.

6.【错解】B.由x2+2x+a= (x+1) 2+a-1≥a-1, 即 (x2+2x+a) min=a-1, ∴a-1≥0, 即a≥1.

【分析】本题是存在性问题 (有解问题) , 并非恒成立问题, 应求x2+2x+a的最大值, 再用这个最大值大于或等于0, 然后求a的取值范围.

【解】A.∵x2+2x+a= (x+1) 2+a-1, 当x=1时, (x2+2x+a) max=3+a, 由3+a≥0, 得a≥-3.

【点拨】需区分清楚“有解问题”与“恒成立问题”在解法上的差异.

【分析】以上错解还未考虑x为任意正数, 求出1+x的最小值才合理.

【解】A.∵x>0, 有x+1>1, ∴a2<1, 即-1<a<1, 又a=±1时, 1<x+1对任意正数x均成立, 故-1≤a≤1.

【点拨】本题若不注意检验a=±1时也成立, 容易错选

8.【错解】C.设2x+3y2=t, 由1=x+2y得x=1-2y, 则方程3y2-4y+2-t=0有解,

【点拨】题意中的一些隐含条件常成为我们出现错解的根源, 这些隐含的东西, 我们需特别关注.

9.【错解】C.由题意可得a<0, b<0, c>0, 画出y=log0.2x与y=log0.3x的图象如图所示, 于是log0.23>log0.32, 即b<a<c.

【分析】由于所画的图形不够准确, 误差过大而出现错判a与b的大小, 其实可用换底公式转化为同底数后, 作差比较a与b的大小.

【解】D.由题意可得a<0, b<0, c>0,

又lg 3-lg 2>0, lg 6-1<0, lg 2-1<0, lg 3-1<0, 有a-b<0, 即a<b<c.

【点拨】通过函数的图象比较两个实数的大小时, 若对函数图象的准确性要求较高时, 一般很难通过画草图得到正确的结果, 而通常需转化为代数计算的方式, 才能达到要求.

10.【错解】A.设u=x+y, 有y=-x+u, 由u有最大值9知, m>0,

【分析】以上解法不够完整, 需对k>0与k<0分类讨论才能求得k的值.

【解】D.同以上错解得m=1, 且k≠0,

11.【错解】1.由2=a2+b2≥2ab, 得ab≤1, 求不到最小值.

【分析】基本不等式可加强为a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|=2|ab|, 即|a|2+|b|2≥2|ab|.

【解】-1.由2=a2+b2=|a|2+|b|2≥2|ab|得|ab|≤1, 即-1≤ab≤1, ∴ (ab) min=-1, 当a=1, b=-1或a=-1, b=1时取等号.

12.【错解】 (-2, 13) .由已知两不等式相加, 得1<2x<7, 再由2<x-y<3, 得-3<-x+y<-2, 与-1<x+y<4, 相加得-2<y<1, 有-3<-3y<6, 与1<2x<7相加得-2<2x-3y<13.

【分析】以上错解因为多次运用了不等式的可加性, 扩大了范围而出现了错误.

∴3<z<8.

【点拨】多次运用了不等式的可加性, 容易扩大变量的取值范围.运用线性规划数形结合地考虑问题有利于避免这种错误的出现.

13.【错解】 (1, 2) .由题意得 (2-1) 2<loga2, 即logaa=1<loga2.当a>1时, 有a<2, 即1<a<2;当0<a<1时, 有a>2, 无解.

∴1<a<2.

【分析】以上错解只是将特殊的x=2代入得到的结果, 并不能说明对∀x∈ (1, 2) , (x-1) 2<logax恒成立.其实, 当我们直接解不等式有困难时, 不妨构造函数y1= (x-1) 2, y2=logax, 画出其图象后在数形结合思想指导下, 解决问题.

【解】 (1, 2].令y1= (x-1) 2, y2=logax, 满足题意时, 其图象如图所示,

解之, 得1<a≤2.

【点拨】当我们遇到代数推理问题有困难时, 运用数形结合思想思考问题也是一种不错的思路.

【点拨】从基本不等式出发, 构造函数, 再运用函数的图象与性质求最值, 这是求最值问题的实用方法.

15.【错解】由原不等式得ax2+a>a2 x+x, ∴ (ax-1) (x-a) >0.

(3) 若a=1, 有 (x-1) 2>0, 则0<x<1或x>1;

【点拨】解含有参数的不等式时, 分类讨论是实用且行之有效的方法, 但在分类的过程中需做到“不重不漏”.

16.【错解】 (1) 当0<a<1, 0<b<1时,

(iii) 若a≥1, b≥1, ln+a-ln+b=ln a-ln b,

六、数列部分

一、选择题

1.在等差数列{an}中, 有a6+a7+a8=12, 则此数列的前13项之和为 () .

(A) 12 (B) 36

2.已知实数-1, x, y, z, -2成等比数列, 则xyz= () .

(A) -4 (B) ±4

3.等比数列{an}的前n项和为Sn, 若S9是S3与S6的等差中项, 则公比q的值为 () .

4.已知Sn为数列{an}的前n项和, 且Sn=2an+n2-3n-2, n∈N*, 则an= () .

(A) 4n (B) 3·2n+2n-4

(A) 首项为1, 公差为1的等差数列

(B) 首项为1, 公比为1的等比数列

(D) 既不是等差数列, 又不是等比数列

6.数列{an}的项是由1或2构成, 且首项为1, 在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2, 即数列{an}为:1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, …记数列{an}的前n项和为Sn, 则S20= () .

(A) 33 (B) 34

7.在数列{an}中, an+1+ (-1) nan=2n-1, 则数列{an}的前4项和等于 () .

(A) 9 (B) 10

9.已知数列{an}, {bn}均为公差为1的等差数列, 其首项分别为a1, b1, 且a1+b1=5, a1>b1, a1, b1∈N*, 则数列{abn}的前10项和等于 () .

(A) 55 (B) 75

(A) 存在最小项a5=-3, 不存在最大项

(D) 不存在最小项, 也不存在最大项

二、填空题

11.在数列{an}中, 若Sn为前n项的和, 且Sn=5n-3, 则数列的通项公式为______.

12.已知数列{an}的首项为a1=1, 且an·an+1=-2, 则an=______.

13.在数列{an}中, a1=1, a2=2, an+2-an=2, n∈N*, 则an=______.

14.已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn (n∈N*) , 若数列{an}是单调递增数列, 则实数λ的取值范围是_____.

三、解答题

15.已知α, β, γ是公比为2的等比数列, 且sinα, sinβ, sinγ也是等比数列.

β (Ⅰ) 求cosα的值;

(Ⅱ) 若α是第二象限角, 求α, β, γ的值.

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(文) 若a1, a2, a5恰为等比数列{bn}的前三项, 记数列cn=4nbn, 求数列{cn}的前n项和Tn.

17.如图, 过点P (1, 0) 作曲线C:y=x2 (x∈ (0, +∞) ) 的切线, 切点为Q1, 设点Q1在x轴上的投影是点P1;又过点P1作曲线C的切线, 切点为Q2, 设Q2在x轴上的投影是P2, …, 依此下去, 得到一系列点Q1, Q2, Q3, …, Qn, 设点Qn的横坐标为an.

(Ⅰ) 求直线PQ1的方程;

(Ⅱ) 求数列{an}的通项公式;

参考答案

1.【错解】D.由已知得a1+5d+a1+6d+a1+7d=12, 即a1+6d=4, 不能确定a1与d的值, 于是S13的值不能确定.

【解】C.由以上错解及分析知, S13=52.

【点拨】在研究数列问题时, 需注意整体运算策略的运用, 有时虽然不能得到a1与d (q) 的值, 但若能整体代入, 也可以解决问题.

【点拨】等比数列各项的正、负情形只有三种:一是均为正数, 二是均为负数, 三是正、负相间.注意到这些规律, 可以避免一些错误的出现.

【分析】上述解法忽略了公比q=1的情况, 在使用等比数列求和公式时, 要分公比q=1和q≠1两种情况进行讨论, 否则就容易犯错误.

【解】B. (1) 当q=1时, 则有S3=3a1, S6=6a1, S9=9a1, 由于a1≠0, 所以S3+S6=9a1≠2S9, 与条件矛盾, 应舍去.

(2) 当q≠1时, 由条件知S3+S6=2S9,

【点拨】解等比数列的问题时, 要根据题意, 对公比是否等于1进行讨论.

4.【错解】B.当n=1时, a1=S1=2a1+1-3-2, 得a1=4.

当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (2an+n2-3n-2) -[2an-1+ (n-1) 2-3 (n-1) -2],

∴an=2a-2n+4.设an+x=2 (an-1+x) , 即an=2an-1+x, 得x=-2n+4,

∴an-2n+4=2 (an-1-2n+4) ,

∴{an-2n+4}是首项为a1-2+4=6, 公比为2的等比数列,

∴an-2n+4=6·2n-1=3·2n,

即an=3·2n+2n-4.

【分析】an-2n+4=2 (an-1-2n+4) 不能得到结论———{an-2n+4}是首项为6, 公比为2的等比数列, 只有an-2n+4=2[an-1-2 (n-1) +4]才能说明{an-2n+4}是首项为6, 公比为2的等比数列.其实需将an=2an-1-2n+4设为an+xn+y=2[an-1+x (n-1) +y], 整理后与an=2an-1-2n+4对比, 得x, y的值.

【解】C.当n=1时, a1=S1=2a1+1-3-2, 得a1=4.

当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (2an+n2-3n-2) -[2an-1+ (n-1) 2-3 (n-1) -2],

∴an=2an-1-2n+4, 设an+xn+y=2[an-1+x (n-1) +y],

则an=2an-1+xn-2x+y, 有x=-2, y=0, 即an-2n=2[an-1-2 (n-1) ],

∴{an-2n}是首项为a1-2=2, 公比为2的等比数列, 则an-2n=2n, ∴an=2n+2n.

【点拨】构造等差 (比) 数列求数列的通项公式时, 需注意到an与f (n) 对应, an-1与f (n-1) 对应, 才便于求所求数列的通项公式.

6.【错解】A.第k个1后面有2k-1个2, 于是第k个1和它后面的2共有k+ (2k-1) =3k-1项, 令3k-1=20, 得k=7, 则2k-1=13, ∴20项中, 有7个1和13个2, 于是S20=1×7+2×13=33.

【分析】第k个1后面有2k-1个2, 于是第k个1前面与后面共有2的个数为1+3+…+ (2k-1) =k2个, 并非2k-1个.

∴20项中, 有4个1和16个2,

于是S20=1×4+2×16=36.

【点拨】将原数列划分为“小单元”, 从“小单元”中寻找规律是解决这类问题的关键, 若得到关于k的方程k+k2=n (如取n=23) 的解不是整数时, 则需要运用估算法先找到一个较为接近的k的值, 再实施计算.

7.【错解】D.由题意知, a2-a1=1, a3+a2=3, a4-a3=5, 三式相加得a2-a1+a3+a2+a4-a3=9, 即-a1+2a2+a4=9, 故选D.

【分析】数列{an}的前4项和为a1+a2+a3+a4, 而不是-a1+2a2+a4=9.

其实由a3+a2=3减去a2-a1=1, 得a1+a3=2, 由a3+a2=3加上a4-a3=5, 得a2+a4=8, 便得a1+a2+a3+a4= (a1+a3) + (a2+a4) =10.

【解】B.由上述错解及分析知, S4=10.

【点拨】本题的a1是计算不了的, 通项也计算不了, 但是整体观察a2-a1=1, a3+a2=3, a4-a3=5的结构后却可以计算S2n的值.

【点拨】很多递推数列的通项公式都可以转化为an+1=pan+q (p, q为非零常数) 型求解, 而待定系数法是求这种类型的通项公式的有效方法, 设为an+1+x=p (an+x) , 求得x后即可直接转化为等比数列求通项.

9.【错解】D.由题意得a1=3, b1=2或a1=4, b1=1, 有an=n+2, bn=n+1,

同理当a1=4, b1=1时, 应有S10=85.

同理, 当a1=4, b1=1时, 也可以计算S10.

【解】C.由题意知, a1=3, b1=2或a1=4, b1=1.

当a1=3, b1=2时, an=3+ (n-1) ×1=n+2, bn=2+ (n-1) ×1=n+1,

当a1=4, b1=1时, an=n+3, bn=n,

∴S=85.

【点拨】在两个不同的条件下, 也有可能得到相同的结果, 在没有确切把握的情况下, 不能想当然地得到“应有两个不同的结果”这个结论, 从而得出错误的选择.

【点拨】数列是特殊的函数, 自变量是正自然数, 故其图象是孤立点, 与函数图象不同.

11.【错解】an=4×5n-1.由an=Sn-Sn-1, 得an= (5n-3) - (5n-1-3) =4×5n-1, 即数列的通项公式为an=4×5n-1.

【分析】在已知Sn求an时, 必须分n=1及n≥2且n∈N*来求an的表达式, 如果a1符合n≥2时的表达式, 可以合并到一起, 若a1不符合n≥2时的表达式, 则需要用分段函数表示.错解的原因在于没有分情况进行讨论, 验证a1是否适合an.

当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (5n-3) - (5n-1-3) =4×5n-1;

当n=1时, a1=S1=5-3=2, 不符合上式.

【点拨】用an=Sn-Sn-1求数列的通项公式时, 要注意到此等式成立的条件:n≥2, 而当n=1时, 必须由S1=a1来定解, 如果S1=a1与an=Sn-Sn-1所得的a1一样, 就可以用统一的通项公式表示, 否则要分开写.

【分析】以上错解对通项公式或前n项和公式中的n理解不深入所致, 其实这个n是项数, 如由a1, a3, a5, …成首项为1, 公差为2的等差数列, 得到a2k-1=1+ (k-1) ×2=2k-1才正确, 对于偶数项同理.

【解】an=n.由题意知, 奇数项a1, a3, …, a2k-1是以首项为1, 公差为2的等差数列,

有a2k-1=1+ (k-1) ×2=2k-1,

偶数项a2, a4, …, a2l是以首项为2, 公差为2的等差数列, 有a2l=2+ (l-1) ×2=2l,

∴an=n.

所以实数λ的取值范围是 (-3, +∞) .

【解2】由于数列{an}是单调递增数列, 所以an+1>an对任意的n∈N*恒成立, 所以 (n+1) 2+λ (n+1) >n2+λn对任意的n∈N*恒成立, 即λ>- (2n+1) 对任意的n∈N*恒成立, 而n∈N*时, - (2n+1) 的最大值为-3,

所以λ>-3即为所求的范围.

【点拨】数列是特殊的函数, 把n看成自变量时, 一定要注意n∈N*.

15.【错解】 (Ⅰ) 由α, β, γ是公比为2的等比数列, 得β=2α, γ=4α,

又sinα, sinβ, sinγ是等比数列,

【解】 (Ⅰ) 由α, β, γ是公比为2的等比数列, 得β=2α, γ=4α,

又sinα, sinβ, sinγ是等比数列,

∴cosα=cos 2α, 即cosα=2cos 2α-1

当cosα=1时, sinα=0, 不合题意, 舍去.

【点拨】等比数列中没有0的项及公比也不能等于0, 这是等比数列的基本特点.另外, 第二象限角不一定是钝角, 第一象限角也不一定是锐角, 这些基本的知识容易被忽略, 需引起注意.

(1) - (2) , 得

【点拨】深入挖掘题情, 注意基础知识、基本方法的灵活运用是简化运算量的前提, 也是解决问题的关键.

故数列{an}是以2为首项, 2为公比的等比数列, 即an=2n.

【解】 (Ⅰ) (Ⅱ) 同上述错解.

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, Pn (2n, 0) , Qn+1 (2n+1, 22n+2) , Qn (2n, 22n) ,

【点拨】当研究关于数列的思路受阻时, 我们不妨从最简单的地方入手, 如本题, 可先计算Q1, P1, Q2, P2的值, 从中得到规律.但在运用放缩法证明不等式时, 则需要掌握一些常用的放缩方法.

七、立体几何部分

一、选择题

1.下列关于四棱柱的四个命题中, 真命题的个数是 () .

(1) 若有两个侧面垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱;

(2) 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, 则四棱柱为直四棱柱;

(3) 若四个侧面两两全等, 四棱柱为直四棱柱;

(4) 若四棱柱的四条对角线两两相等, 四棱柱为直四棱柱.

2.已知m, n是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面, 则下列命题中, 真命题的个数是 () .

(1) 若m∥n, n∥α, 则m∥α

(2) 若m∥n, n⊥α, 则m⊥α

(3) 若m∥α, α∥β, 则m∥β

(4) 若m⊥α, α⊥β, 则m∥β

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

4.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能等于 () .

(文) 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 () .

(A) 1∶2 (B) 1∶3 (C) 1∶4 (D) 2∶3

6.如图1, 已知三棱柱ABC-A1B1C1的正视图是边长为1的正方形, 俯视图是边长为1的正三角形, 点P是A1B1上一动点 (异于A1, B1) , 则该三棱柱的左视图是 () .

7.某几何体的三视图如图2所示, 则该几何体的体积为 () .

8.如图3, 在三棱锥D-ABC中, ∠BAC=∠BCD=90°, AC=CD=1, AB=槡2, 平面BCD⊥平面ABC, 则该三棱锥外接球的体积等于 () .

10.如图5, 一个密封的棱长为a的正方体内乘有部分体积的水, 当底面AB-CD水平放置时, 水的高等于正方体高的三分之一, 现有一外力作用于棱A1D1, 使得正方体绕棱BC转动, 直到侧面BCC1B1水平放置, 在这一过程中, 水面的面积最小值为 () .

二、填空题

11.一个多面体的直观图和三视图如图6所示, 则四边形CDEF的面积等于______.

12.在三棱锥A-BCD中, AB, AC, AD两两互相垂直, 且AB=2, AC=3, AD=4, 则该三棱锥外接球的表面积等于____.

14.如图7, 在几何体ABCDEF中, 底面ABCD是边长为2的正方形, EF∥AB, 且EF=1, △ADE与△BCF均为边长等于2的正三角形, 则该几何体的体积等于_____.

三、解答题

15.如图8, 正四面体ABCD的棱长为3, 且M, N, P, Q分别在AD, BD, AC, BC上, 且AM=BN=CP=CQ=1.

(Ⅰ) 求证:M, N, P, Q四点共面.

(Ⅱ) 求证:MP, NQ, DC三线共点.

(Ⅲ) 设点O为正四面体ABCD的中心, 那么M, O, Q是否三点共线?若共线, 请给予证明;否则, 请说明理由.

(文) 如图10, 在三棱锥P-ABC中, 平面PAB⊥平面ABC, PA⊥AB, AB=AC, M是BC的中点, N是PM上一点, 过点N作直线EF分别与PB, PC相交于E, F.

(Ⅰ) 证明:AN⊥BC;

(Ⅱ) 若AN⊥PM, 证明:平面AEF⊥平面PBC.

参考答案

1.【错解】D.在四棱柱中, 若有两个侧面垂直于底面, 则另两个侧面也垂直于底面, 故 (1) 正确;若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, 则它们的交线垂直于底面, 又这一交线是两对角面的平行四边形的中位线, 所以四条侧棱都垂直于底面, (2) 正确;若四个侧面两两全等, 知其均为全等的长方形, 故 (3) 正确;由四棱柱的四条对角线两两相等, 得两对角面均为长方形, 故 (4) 正确.

【分析】本错解由于对棱柱、四棱柱、直四棱柱概念的理解模糊而致错.其实, 棱柱———有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱;四棱柱———底面为四边形的棱柱;直四棱柱———侧棱垂直于底面的四棱柱.

【解】B.如图, 在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 当侧面ABB1A1与侧面DCC1D1均垂直于底面时, 该四棱柱不是直四棱柱, 故 (1) 错;当该斜四棱柱的侧面均为全等的菱形时, 也不是直四棱柱, 故 (3) 错;同错解知, (2) (4) 正确.故选B.

【点拨】棱锥、正棱锥、正四面体等也是容易产生概念模糊的简单多面体.棱锥———多面体的一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体;正棱锥———一个棱锥的底面是正多边形, 且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥;正四面体———各棱均相等的正三棱锥.

2.【错解】D.由直线平行的性质知, (1) 正确;而 (2) 正确;由平面平行的性质知, (3) (4) 也正确.

故选D.

【解】A.由上面的分析知, 只有 (2) 正确, 故选A.

【点拨】要证明直线m∥平面α时, 需考虑两方面:一是直线在平面α外, 二是在平面α内能找到一条直线n, 使得m∥n, 而前者很容易被忽略, 而出现漏洞.在判断空间中的线面关系时, 要特别注意一些特殊关系的考虑, 如“若α⊥β, β⊥γ, 则α⊥γ”或“若α⊥β, β⊥γ, 则α∥γ”均为假命题.

【点拨】注意观察表达式的结构, 必要时先加以变形与改造, 这是降低解题的运算量的有效途径, 切忌动不动就“硬算”.

4.【错解】D.该正方体正视图的面积可能为1与槡2, 但算不到C, D选项的数值.

【点拨】有些问题直接解答有麻烦时, 我们不妨从估算的角度, 估算其范围或可能的取值, 往往可以收到预期的效果.

【错解2】建立空间直角坐标系, 由于运算量过大或找不准点的坐标而出错.

【点拨】用空间向量的线性运算解决立体几何问题时, 需特别注意向量间夹角的大小, 否则易出错.

(文) 【错解】不能从整体的角度建立正方体模型, 而直接作辅助线求内切球的半径与外接球的半径, 运算量大, 易产生计算上的错误.

【分析】建立正方体模型, 将正四面体放置于正方体中解决问题, 则内切球的半径为正方体的中心到正四面体的面的距离, 而外接球的半径为正方体中心到正方体顶点的距离.

【点拨】一些对称性较强的几何体, 常可从整体的角度, 建立正方体或长方体模型, 从对称的高度降低运算量, 快速解决问题.

6.【错解】B.由正视图与俯视图知, BB1C1C为正方形, 且PC的投影线为虚线, 故选B.

【分析】其实由题意得该三棱柱的左视图为长方形, 而不是正方形.

【解】C.由正视图与俯视图知, A1B1垂直于投影面, 且左视图为长方形, PC的投影线为虚线, 故选C.

【点拨】同一个几何体若从不同的角度观察, 会得到不同的三视图, 当线段与投影面不平行时, 其投影线会变短, 如本题的正方形AA1C1C的左视图成了一个长方形.

7.【错解】A.该几何体是以一个长为10, 宽为2的长方形为上底面, 下底面是长为10, 宽为8, 而高为4的四棱台, 则S上=10×2=20, S下=10×8=80, 于是其体积

【分析】由于该几何体的侧棱延长后不相交于同一点, 于是该几何体不是四棱台, 而是四棱柱, 其体积应运用四棱柱的公式计算.

【点拨】认清几何体的类型是计算几何体的体积的前提, 如本题横放的四棱柱容易与四棱台混淆, 应引起注意.

【分析】取BC的中点O, 但它并不是三棱锥外接球的球心, 因为OC≠OD (OC<OD) , 其实BD的中点才是三棱锥外接球的球心.

【解】D.由题意得CD⊥平面ABC, AB平面ABC, 得AB⊥CD,

又AB⊥AC, AC∩CD=C, 则AB⊥平面ACD, AC⊂平面ACD,

【点拨】确定几何体外接球球心的常用方法有两种:一是根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半;二是根据图形的对称性.不管运用哪一种方法, 先猜测后检验是关键.

由几何概型的求法知,

10.【错解】D.在这一过程中, 设水面与AB交于点M, 与BB1交于点N,

令BM=x, BN=y,

【分析】以上错解只考虑了水面与AB, BB1相交的情况, 其实还存在水面与AA1, BB1相交或与AB, A1B1相交的情况, 在转动过程中, 抓住水的体积不变是解题的关键.

【解】A. (1) 当水面与AB, BB1相交时, 设交点分别为M, N, 则由水的体积不变知, 四边形MABN的面积不变, 而当MN∥AB时, MN有最小值, 这时水面的面积最小值为a2;

【点拨】当所研究的问题出现几种不同的情况时, 需用分类讨论的方法考虑每种情形.在研究每一种情况时, 有些情况只需作出分析推理即可, 有些则要通过计算才能得到.

11.【错解】4.由题意知, 在直观图中, 有平面CDEF⊥平面ABFE, 且四边形CDEF是边长为2的正方形, 于是其面积为2×2=4.

【分析】以上解法由于错用了左视图的关系而错判了直观图的结构致错.其实由左视图应得到平面ABCD⊥平面ABFE.

【点拨】几何体的三视图不仅反映了直观的线段长度, 更体现了直观的结构, 过于大意易出错.

12.【错解】100π.由题中所给的数据可知, 该三棱锥外接球的半径R=5, 其表面积S=4πR2=100π.

【分析】由AB, AC, AD两两互相垂直, 可将该三棱锥放置于一个棱长分别为2, 3, 4的长方体中, 则长方体与该三棱锥有相同的外接球, 而长方体的对角线即为外接球的直径.

∴其表面积S=4πR2=29π.

【点拨】当题中出现如下情况, 可考虑构造长方体或正方体模型解决问题:三条线段两两互相垂直、三个平面两两互相垂直、正四面体、相对棱相等的四面体.

∴8=a2+b2≥2ab, 有ab≤4, 由8= (a+b) 2-2ab, 得 (a+b) 2=8+2ab≤16,

∴a+b≤4, 当a=b=2时取等号.

【点拨】当从局部的角度难于找到解题的突破口时, 不妨从整体的角度思考问题, 将所研究的对象放置于更具整体性的情境当中, 有可能找到更简捷的解法.

【分析】本题所给的几何不是锥体, 也不是柱体, 以上解法中误用了锥体公式计算其体积, 而产生错误的结论.其实此类不规则的几何体需用割补才能将其转化为锥体或柱体, 才便于求其体积.

15.【错解】由于平时对点共面、线共点、点共线等考点疏于关注, 形成了复习盲点, 一旦出现, 便无从下手.

【分析】点共面问题常可转化为“线∥线”或“相交线”问题给予证明;线共点问题常可转化为“两直线的交点在第三条直线上”或“点共线”问题给予证明;点共线问题常可转化为“两平面相交, 只有一条交线”问题, 或用“反证法”给予证明.

由MP面ACD, 得R∈面ACD.

同理R∈面BCD.

而面ACD∩面BCD=CD, 有R∈CD, 即MP, NQ, DC三线交于同一点R.

(Ⅲ) (反证法) M, O, Q三点不共线, 理由如下:

连结AQ, 由 (Ⅰ) 得面AQD∩面MNQP=MQ, 若M, O, Q三点共线, 必有O∈面AQD,

取BC的中点H, 连结AH, DH, 由四面体ABCD为正四面体, 得其中心O∈面AHD, 而面AQD∩面AHD=AD,

∴O∈AD, 矛盾!∴M, O, Q三点不共线.

【点拨】在复习中, 需强调重视主体知识、方法的复习, 但也不能忽略一些被人为淡化或忽略的知识点, 这些知识一般难度不大, 但是在高考中, 对考生来说也是非常关键的.

16. (理) 【错解】如图, 作DM⊥AB于点M, 作CN⊥AB于点N, 则DM与CN所成的角为二面角C-AB-D的大小, 但是无法求得该角的大小.

【分析】根据定义作二面角的平面角:△ABC与△ABD均以AB为底边的等腰三角形, 取AB的中点E, 则∠CED是二面角C-AB-D的平面角, 再在△CDE中运用余弦定理求cos∠CED的值.

【解】如图, 在三棱锥A-BCD中, AC=BC=2, AD=BD=2, 取AB的中点E, 连结CE, DE, 则AB⊥CE, AB⊥DE, ∴∠CED是二面角C-AB-的平面角,

由∠ACB=∠ADB=120°, 得

∠ACE=∠ADE=60°,

又∠CED∈[0°, 180°], 有∠CED=120°,

∴二面角C-AB-D的大小120°.

【点拨】弄清楚题中给出的线与面的位置关系是解决这类问题的前提与关键, 在未搞清楚这些关系就试图写出解答, 往往难以收到良好的效果.另外, 二面角是由两个半平面及交线所构成的角, 所以其取值范围为[0°, 180°], 当用向量法求解时, 最后要根据二面角是锐角还是钝角给出结果, 而两个平面所成的角是指两个平面经向四周扩展后的夹角, 其取值范围为[0°, 90°], 这直接影响到最后结果的取值.

(文) 【错解】 (Ⅰ) 证明:∵平面PAB⊥平面ABC, PA⊥AB,

∴PA⊥平面ABC, ∴BC⊥PA.

又∵AB=AC, M是BC的中点, ∴BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM, ∴AN⊥BC.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得AN⊥BC, 又AN⊥PM,

∴AN⊥平面PBC.

∴平面AEF⊥平面PBC.

【证明】 (Ⅰ) ∵平面PAB⊥平面ABC, 平面PAB∩平面ABC=ABPA⊥AB,

∴PA⊥平面ABC, BC⊂平面ABC, ∴BC⊥PA.

又∵AB=AC, M是BC的中点,

∴BC⊥AM, PA∩AM=A,

∴BC⊥平面PAM, AN⊂平面PAM,

∴AN⊥BC.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得AN⊥BC, 又AN⊥PM, PM∩BC=M,

∴AN⊥平面PBC, AN⊂平面AEF,

∴平面AEF⊥平面PBC.

【点拨】“线⊥线”、“线⊥面”与“面⊥面”之间是互相关联的, 证明“线⊥线”时, 常要转化为考虑“线⊥面”与“面⊥面”, 要证明“线⊥面”时, 常要转化为考虑“线⊥线”与“面⊥面”, 要证明“面⊥面”时, 常要转化为考虑“线⊥线”与“线⊥面”.通常在转化的过程中, 问题便得到了证明, 但是需特别注意表达上的规范性.

八、解析几何部分

一、选择题

1.已知直线经过点 (2, 1) , 且在x, y轴上的截距相等, 则直线l的方程是 () .

(A) y=-x+3

(B) y=-x+3或y=x

2.已知两定点F1, F2和一动点M, 则“|MF1|+|MF2|=2a (2a为正常数) ”是“点M的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 非充分非必要条件

(A) k=0

(B) k=0或k>1

(D) k=0或k>1或k<-1

6.已知点M, N分别是圆C1: (x-1) 2+ (y-2) 2=1, 圆C2: (x-2) 2+ (y-2) 2=4上两点, 点P在x轴上, 则|PM|+|PN|的最小值为 () .

7.如图1, 已知△FAB, 点F的坐标为 (1, 0) , 点A, B分别在图中抛物线y2=4x及圆 (x-1) 2+y2=4的实线部分上运动, 且AB总是平行于x轴, 那么△FAB的周长的取值范围为 () .

(A) (2, 6) (B) (4, 6)

(A) 4 (B) 2

(A) (-1, 0)

(B) (-1, +∞)

(D) (1, +∞)

二、填空题

11.已知直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0, 若l1∥l2, 则a的值等于______, 若l1⊥l2, 则a的值等于_______.

12.若直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1有两个不同的交点, 则实数k的取值范围是______.

三、解答题

(Ⅰ) 若椭圆C上存在两个不同的点M, N关于直线y=x+b对称, 求b的取值范围;

(Ⅱ) 若椭圆C上存在两个不同的点P, Q关于直线y=kx-1对称, 求k的取值范围.

16.已知动点P (x, y) 与两个定点M (-1, 0) , N (1, 0) 的连线的斜率之积等于常数λ (λ≠0) .

(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程.

(Ⅱ) 试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状

参考答案

【分析】以上错解遗漏了直线在x, y轴上的截距为0的情况, 即过原点的情况, 这时设y=kx, 再将点 (2, 1) 即得k的值.

【点拨】直线的“截距”并非“距离”, 而是直线与坐标轴交点的横坐标 (在x轴上的截距) 或纵坐标 (在y轴上的截距) , 它可以是正数、负数, 也可以为0.

2.【错解】C.由“|MF1|+|MF2|=2a (2a为正常数) ”及椭圆的定义知, 点M的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆, 反之也行, 故选C.

【分析】满足“|MF1|+|MF2|=2a (2a为正常数) ”的点M的轨迹不一定是椭圆.

当2a>|F1F2|时, 点M的轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时, 点M的轨迹为线段F1F1;

当2a<|F1F2|时, 点M的轨迹不存在.

【解】B.由以上分析知, “|MF1|+|MF2|=2a (2a为正常数) ”的点M的轨迹不一定是椭圆, 反之成立, 故选B.

【点拨】对圆锥曲线的定义认识不全面、不到位易错.对于双曲线、抛物线的定义也需作类似的深入理解.

【点拨】解析几何问题是研究曲线与方程的一门数学分支, 具有很强的几何意义, 通过数形结合, 不仅可以降低运算量, 提高解题效率, 更可以有效地避免错解的出现.

【点拨】清晰区分椭圆与双曲线的定义及a, b, c的关系是掌握椭圆与双曲线的一个重点.画出图形, 数形结合地考虑问题, 更有利于降低出错的机会, 从而提高解题的效率.

【分析】在以上错解中, |PN|虽然达到了最小值0, 但是|PM|的最小值不一定是|AQ|, |PM|+|PN|的最小值需将折线NPM转化为直线, 才能求得其最小值.必要时可通过“对称”的方法将折线转化为直线.

【解】A.圆C1关于x轴对称的圆为C′1: (x-1) 2+ (y+2) 2=1, 点M关于x轴的对称点为M′, 则|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|≥|DE|= (|PC′1|-1) + (|PC2|-2)

【点拨】通过图形的几何性质求解析几何最值问题, 可有效地降低运算量, 提高解题效率.但是也要注意其取得最值的依据, 不能想当然地得到结果.

由-1<cosθ<1, 得2<l<6.

【分析】其实由题意得0<cosθ<1, 从而4<l<6.该方法运算量过大, 若能结合抛物线的定义, 可得到更为简便的解法.延长BA交抛物线的准线于点M, 有|FA|=|AM|, 由图知△FAB的周长转化为|BM|+2, 由图形求|BM|的范围.

有2<|BM|<4, 则4<l<6.

【点拨】由图形将△FAB的周长转化为|BM|+2, 即|BM|的范围, 再回到图形便求得了其范围.注意圆锥曲线的定义考虑数形结合地解决问题, 常用可降低运算量, 得到较为简便的解法.

8.【错解】D.当直线AD的斜率k→+∞时, CD→+∞, 即AB·CD由k的值而定, 由于k未确定, 故AB·CD不能确定.

【分析】以上解法有一定的道理, 但是这时也有AB→0, 0·∞有可能出现一个常数.

对于这类问题, 我们可设出A, B的坐标, 再结合抛物线的定义, 数形结合解决问题.

【解】C.设A (x1, y1) , D (x2, y2) , 由抛物线的定义知, DF=y2+1, AF=y1+1,

则CD=DF-FC=y2, AB=AF-BF=y1, 有AB·CD=y1y2,

而 (x1x2) 2=16y1y2, 则y1y2=1,

∴AB·CD=y1y2=1.

【点拨】本题也可运用特例法求解, 当AD∥x轴时, 可算得AB=CD=1, 有AB·CD=1.

【点拨】当l1∥l2时, 应检验两直线是否重合;当l1⊥l2时, 应注意每条直线的斜率是否存在, 必要时需作讨论.

12.【错解1】 (-1, 1) .如图, 可得直线l过定点A (0, 1) , 而双曲线的两渐近线的方程为y=±x, 当过点A的直线与y=±x平行时, l1与l2斜率分别为-1与1, 当直线l在l1与l2之间时, 直线l与双曲线必有两个交点, 于是k的取值范围是 (-1, 1) .

【分析】错解一忽略了直线l与双曲线同一分支有两个不同交点的情况, 错解二则忽略了1-k2≠0的情形.

【点拨】“形缺数时难入微”, 而“数缺形时少直观”, 所以数形结合是一种善于取长补短的解题上策.

【点拨】两直线的夹角的取值范围是[0°, 90°], 要确定两渐近线的夹角, 最好结合图形作出判断.

【点拨】运用基本不等式求最值时, 需特别注意检验等号能否成立, 若等号取不到, 则要转化为考虑函数的单调性求其最值.

15.【错解】设M (x1, y1) , N (x2, y2) , MN的中点E (x0, y0) .

点E (x0, y0) 在直线y=x+b上, 有y0=x0+b,

【分析】上述解法错在最后部分, 由-2≤x0≤2, -1≤y0≤烅烄烆1推导b的取值范围, 因为点E (x0, y0) 在椭圆内, 而不是-2≤x0≤2, -1≤y0≤烅烄烆1所表示的长方形内.其实只需用b表示x0与y0, 再由x204+y20<1求b的范围即可.对于 (Ⅱ) 用类似的方法解决.【解】 (Ⅰ) 方法1 (差分法) :同以上错解得x0=-43b, y0=-b3, 而点E (-43b, -b3) 在椭圆C内部, 则有 (-43b) 24+ (-b3) 2<1.解之, 得-3槡55<b<3槡55, ∴b的取值范围是 (-3槡55, 3槡55) .

方法2 (判别式法) :设M (x1, y1) , N (x2, y2) , MN的中点E (x0, y0) ,

则直线MN为y=-x+m,

5x2-8mx+4m2-4=0,

由Δ= (-8m) 2-4×5 (4m2-4) >0, 得m2<5.

点E (x0, y0) 在直线y=x+b上,

(Ⅱ) (差分法) :设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , PQ的中点D (x0, y0) ,

【点拨】运用差分法解决此类问题的步骤可总结为:1.设M (x1, y1) , N (x2, y2) , MN的中点D (x0, y0) , 将M, N代入圆锥曲线方程后作差, 从中求点D的坐标;2.根据点D所在的区域构建不等式求参数的范围.

(Ⅱ) 讨论如下:

(1) 当λ>0时, 轨迹C为中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线 (除去顶点) ;

(2) 当-1<λ<0时, 轨迹C为中心在原点, 焦点在x轴上的椭圆 (除去长轴两个端点) ;

(3) 当λ=-1时, 轨迹C为以原点为圆心, 1为半径的圆 (除去点 (-1, 0) , (1, 0) ) ;

(4) 当λ<-1时, 轨迹C为中心在原点, 焦点在y轴上的椭圆 (除去短轴两个端点) .

如图, 那么在△EPF中,

整理可得2mn (1-cosθ) =8,

【点拨】本题是一道构思非常巧妙的试题, 入手容易, 但是也容易失分.以代入法求轨迹方程开始, 化归为曲线类型的讨论, 再通过双曲线的几何性质将三角形面积公式、双曲线的定义、余弦定理融合在一起, 升华了对数形结合思想、函数与方程思想的考查.

高考必考题型突破篇3

关键词：原电池；电解池；化学电源；电极反应式

G633.8

随着全球能源逐渐枯竭，研发、推广新型能源迫在眉睫，因此，化学中的新型电源，成为科学家研究的重点方向之一，也成为了高考的必考考点。由于该类试题题材广、信息新、陌生度大，所以，大多数考生会感到试题难度大；而实际上，这类试题一般落点较低，主要考查新型电池“充放电”时电极的判断，电极反应式的书写及离子移动的方向等内容。其核心是原电池和电解池工作原理。因此，只要熟悉此类试题的考查角度，细心分析，就能顺利得分。

一、必备知识：原电池和电解池工作原理

新型化学电源放电时为原电池，充电时为电解池。充电时电池正极连接电源正极，电池负极连接电源负极。

二、常考题型：

1.新型电池的正负极判断

该类电池一般会告诉相应的反应物、生成物或反应方程式，只要根据元素的常规价态去判断即可：

例如：

铁镍蓄电池又称爱迪生电池，放电时的总反应为：Fe+Ni2O3+3H2O=Fe（OH）2+2Ni（OH）2

电池的电解液为____碱__性溶液，正极为__ Ni2O3__、负极为___Fe ___。

解析：铁化合价由0升高到+3，为负极；镍化合价由+3降低到0，为正极；Fe（OH）2、Ni（OH）2存在

于碱性环境中。

2.书写新型电池的电极反应式

第一步：分析物质得失电子情况，据此确定电极上发生反应的物质。

第二步：分析电极反应生成的物质是否跟电解质溶液中的离子发生反应。

第三步：写出比较容易书写的电极反应式。

第四步：若有总反应式，可用总反应式减去第三步中的电极反应式，即得另一极的电极反应式。

例如：肼?空气燃料电池是一种环保的碱性电池，该电池放电时，负极的反应式为：

N2H4+4OH--4e-= 4H2O + N2

解析：肼和氧气反应生成氮气和水，氮化合价由-2升高到0，碱性环境用水和氢氧根调平。

3.新型电池充电时的判断

电池充电的实质是把放电时发生的变化再复原的过程，即放电是原电池、充电是电解池的过程。充电时电池负极接电源负极变成阴极，电池正极接电源正极变成阳极。阳极失电子，被氧化；阴极得电子被还原。

例如：一种充电电池放电时的电极反应为： H2+2OH--2e-=2H2O

NiO（OH）+H2O+e-=Ni（OH）2+OH-

充电时的阳极为 __Ni（OH）2被_氧化___.

解析：已知放电时H2失电子为负极，则充电时变成阴极；放电时NiO（OH）得电子为正极，则充电时为阳极。

4.新型电池中离子的移动方向

放电时阴离子移向负极、阳离子移向正极；充电时阴离子移向阳极、阳离子移向阴极

例如：某固体酸燃料电池以CsHSO4固体为电解质

传递H+，其基本结构见下图，电池总反应

可表示为：2H2+O2===2H2O

电子通过外电路从_a_极流向_b_极

H+由_a_极通过固体酸电解质传递到_b_极

解析：

由图可知该装置为原电池，氢气失电子在负极区反应

氧气得电子在正极区反应。阳离子移向正极。电子由负极经导线流入正极。

三、试练真题

（2016课标III，11，6分）锌--空气燃料电池可用作电动车动力电源，电池的电解质溶液为KOH溶液，反应为2Zn + O2 +4OH- +2H2O ==== 2Zn（OH）42-。下列说法正确的是（）

A.充电时，电解质溶液中K+向阳极移动

B.充电时，电解质溶液中c（OH-）逐渐减小

C.放电时，负极反应式为：2Zn +4OH- - 2e- ==== 2Zn（OH）42-

D.放电时，电路中通过2mol电子，消耗氧气22.4L（标準状况）

答案 C

充电时为电解池，溶液中的阳离子向阴极移动，发生的反应为

2Zn（OH）42-====2Zn + O2 +4OH- +2H2O，电解质溶液中c（OH-）增大，故A、B均错误；

放电时负极反应为2Zn +4OH- - 2e- ==== 2Zn（OH）42- ，故C正确；

高考语文古代诗歌鉴赏必考题型篇4

诗歌中的事物形象，即咏物诗或杂诗中吟咏的对象。高考对事物形象的考查主要是针对某些事物形象的象征意义来设题。通过分析事物形象的特点，来探求象征体和本体之间的联系，进而分析并把握诗歌的思想和情感。

技巧点拨

1、分析诗歌中所描写的物象的外在特征(形态、色泽、特征)和环境特点。

2、挖掘物象的内在品格，抓物与志的“契合点”。

3、分析诗歌塑造此形象的意义(体现作者的某种情操或情感，表达作者的某种向往或追求(象征或托物言志)。

经典例题

一、【高考北京卷】阅读下面两首诗，完成13~15题。(共12分)

和张规臣水墨梅五绝【1】

陈与义

其一

巧画无盐【2】丑不除，此花风韵更清姝。

从教【3】变白能为黑，桃李依然是仆奴。

其四

含章【4】檐下春风面，造化功成秋免毫。

意足不求颜色似，前身相马九方皋【5】。

注释：1五首绝句题咏同一幅墨梅图。2无盐：战国时齐国丑女钟离春。3从教：任凭。4含章：即含章殿，传说南朝时宋武帝寿阳公主卧于含章殿檐下，梅花落在额头形成美妆。5九方皋：春秋时相马名手。

13.现实中没有黑色梅花，而宋代出现了墨梅画。根据上面两首诗，概括陈与义对墨梅画特点的认识，并比较两首诗题咏的侧重点有何不同。(6分)

【答案】15.认识：不施色彩，只用水墨，重视神韵而不拘泥于形貌(或：重“意足”而轻“颜色”，强调意趣而不求形似)。不同：①第一首侧重于赞美墨梅的清妹气质。②第二首侧重于赞美画家高妙的艺术造诣。

【解析】15.本题考查综合比较阅读诗歌的能力。这道题的综合能力包括对诗歌内容的理解和筛选以及把握作者情感态度的能力。解答本题，先要综合感知两首诗的情感，再根据问题回到诗歌中寻找解决问题的重要依据。关于墨梅画的特点，“此花风韵更清姝”“桃李依然是仆奴”直接点出“清姝”;“造化功成秋兔毫”“意足不求颜色似”点出艺术技艺的高超。分析两诗侧重点时不妨从内容、手法、情感上逐一思考，能说出两首诗具体内容，其区别也就体现出来了。

二、(·四川成都上学期适应性考试)阅读下面一首明词，完成(1)～(2)题。(9分)

满江红·咏竹

陆容

不种闲花，池亭畔、几竿修竹。相映带、一泓流水，森寒洁绿。风动仙人鸣佩遂，雨余净女添膏沐。未成林，难望凤来栖，聊医俗。

问华胄①，名淇澳②。寻苗裔，湘江曲。性孤高似柏，阿娇金屋。坐荫从容烦暑退，清心恍惚微香触。历冰霜、不变好风姿，温如玉。

①华胄：旧指贵族的后裔。②淇澳：淇河岸的弯曲处。历史上以盛产竹而闻名。

(2)这首词写出了竹怎样的特点?表达了作者什么样的思想感情?请简要回答。(6分)

【答案】竹的特点：翠绿、姿态可爱、高洁、不畏冰霜。

表达的情感：表达了对竹的喜爱赞美之情，希望具有像竹一样的高洁品质。

【解析】本题考查鉴赏古代诗歌的形象的能力。概括竹的特点，先从词中找出相关的句子，如“森寒洁绿”“风动仙人鸣佩遂，雨余净女添膏沐”“性孤高似柏”“历冰霜、不变好风姿，温如玉”等，然后加以概括即可。这首词是托物言志类的诗歌，作者一是表达对竹的喜爱，二是希望自己能具有像竹一样的品质。

三、阅读下面这首宋词，完成后面的问题。

蝶恋花送春

朱淑真

楼外垂杨千万缕，欲系青春，少住春还去。犹自风前飘柳絮，随春且看归何处?

绿满山川闻杜宇，便做无情，莫也愁人苦。把酒问春春不语，黄昏却下潇潇雨。

注释：莫，莫非。

上片描写了一个怎样的垂杨形象?请简要分析。

【答案】上片描写了一个喜爱春天、对春天的归去依依不舍的垂杨形象。(概括形象特点)春天来到后，楼外垂杨的千万缕枝条想要把春系住，可见其对春天的喜爱;春天离开后，垂杨不舍春的离去，便飘起柳絮跟随着春要看它到哪里去。诗人借垂杨含蓄地表达了自己的爱春、惜春之情。(结合具体词句分析)

【解析】楼外杨柳垂下千万条如丝的枝条，好像要系住那春天，但春天经过短暂的逗留，还是决然离去了。天空随风舞的柳絮，是否要尾随春天归去，去探看春的去处，把它找回来?春残时节，花落草长，山野

一片碧绿。远望着这碁春的山野，听到传来的杜鹃鸟的凄厉?声，杜即使(便做)无情，也为“春去”而愁苦，因而发出同情的哀吗。我只好举酒送春归去，春却没有回答。看到的只是在黄昏中忽然下起的潇细雨。

四、阅读下面这首诗歌，完成后面的问题。

咏笼莺①

[清]纳兰性德

何处金衣客，栖栖翠幕中。

有心惊晓梦，无计啭②春风。

漫逐梁间燕，谁巢井上桐。

空将云路翼，缄恨在雕笼。

【注】①莺：黄莺，别名金衣公子。②啭：鸟鸣叫声。

诗人刻画“笼莺”这一形象，有何实际意义

【答案】作者通过托物言志的手法，借黄莺虽处在金衣翠幕之中，却受到雕笼的束缚以自比，表达了作者对追求自由而不得的不满及怀才不遇(或：白白浪费青春年华)的怨恨。

【解析】这首词运用了借物(笼莺)抒怀(或:托物言志)、反衬(以“梁间臙”等乌的自由反衬“笼中莺”的苦闷)、对比(以美好愿望与残酷现实进行对比，想告诉人们春天的好消息却不能自由飞翔，想直冲云霄一展胸怀却囚禁鸟笼不得自由)的手法，表现了作者烦厌官场、渴望自由的思想感情。

五、阅读下面的诗歌，然后回答问题。

月

杜甫

万里瞿唐①月，春来六上弦②。

时时开暗室，故故③满青天。

爽和风襟静，高当泪满悬。

南飞有乌鹊，夜久落江边。

【注】①瞿唐：瞿塘峡，位于长江三峡奉节至巫山段，安史之乱后，杜甫曾困居于此。

②上弦：上弦月，农历每月初七、初八的弓形月亮。③故故：常常，频频。

⑴作者通过咏月主要抒发了怎样的感情?

【答案】⑴全诗以明月兴思情，同一轮明月寄予着两地彼此的相思，思情的悠远绵长与月夜的孤独寂寞相织相融，形成一种清丽深婉、寂寥苦思的凄清氛围，抒发了诗人对时局动荡、国事艰难的忧虑以及对家乡故园亲人的思念。作者通过描写春夜清冷静谧的月下景色，抒发了自己因国难而颠沛流离、生活动荡不定的凄凉伤感之情。

【解析】月亮照在离家万里之遥的瞿唐峡的上空，是春天初六的上弦月。月光皎洁，时时照亮幽暗的居室，像往常一样洒满清幽幽的天空。这四句是写月的，表现的是环境的清幽。天气凉爽，衣襟下垂不动，月亮高悬，对着流满泪的脸。这里的“泪脸”很直接的表明了诗人的漂泊之苦，忧国之愁。最后一句的意思是:有乌鹄向南飞，在这深深的夜里，它栖落在江边。

实战演练

一、阅读下面这首宋诗，完成小题。

寒菊

郑思肖

花开不并百花丛，独立疏篱趣未穷。

宁可枝头抱香死，何曾吹落北风中。

(注)郑思肖是宋末诗人、画家，元军南侵时，曾向朝廷献抵御之策。

这首诗塑造了怎样的“寒菊”形象?诗人借寒菊表达了什么情怀?

【答案】①塑造了傲立不群(孤傲高洁)，坚贞不屈的菊花形象。从“不并百花”“独立疏篱”中可看出不随时俗、孤高傲世。从“枝头抱香死，北风不落”中突出其在肃杀的北风中，枯守枝头，抱香而死的不屈坚贞。②抒发了不愿随从于世俗权贵、独守清高的人生追求和坚持气节、不仕元朝的爱国情操以及忠君报国、宁死不屈的可贵精神。

【解析】本题主要考查鉴赏文学作品的形象、语言和表达技巧及评价文章的思想内容和作者的观点态度的能力。本题为两问，“寒菊”的形象分析，“花开不并百花丛，独立疏篱趣未穷”这两句咏菊诗，是人们对菊花的共识。菊花不与百花同时开放，它是不随俗不媚时的高士。“宁可枝头抱香死，何曾吹落北风中”这两句进一步写菊花宁愿枯死枝头，也决不被北风吹落的高洁之志，描绘了傲骨凌霜，孤傲绝俗的菊花。诗人借寒菊表达的情怀，答题时要注意结合诗歌的标题、注释和诗中表情达意的重点字词语进行分析。本诗名有咏菊，但菊花实为自已的真实写照，表示自己坚守高尚节操，宁死不肯向元朝投降的决心。这是郑思肖独特的感悟，是他不屈不移、忠于故国的誓言。

二、阅读下面这首宋诗，完成下面小题。

鼠屡败吾书偶得狸奴捕杀无虚日群鼠几空为赋

陆游

服役无人自炷香，狸奴乃肯伴禅房。

昼眠共藉床敷暖，夜坐同闻漏鼓长。

贾勇遂能空鼠穴，策勋何止履胡①肠。

鱼飱②虽薄真无愧，不向花间捕蝶忙。

(注)①胡：中国古代称北边或西域的民族。②飱:同“飧”。

4.请结合全诗，简要概括猫的形象。

【答案】4.陪伴作者，给人温暖;勇猛善战，功绩非凡;不求待遇，尽职尽责。

【解析】本题考查学生鉴赏文学作品的形象的能力。解答此类题目，首先要明确题干的要求，如本题“请结合全诗，简要概括猫的形象”，然后在理解全诗意思的基础上，结合具体诗句概括其特点。本题中，从“狸奴乃肯伴禅房”可见：陪伴作者，给人温暖;从“贾勇遂能空鼠穴，策勋何止履胡肠”能看出猫的勇猛善战，功绩非凡;从“鱼飱虽薄真无愧，不向花间捕蝶忙”可见：不求待遇，尽职尽责。

三、阅读下面这首宋词，然后回答问题。

点绛唇·素香丁香

【宋】王十朋

落木萧萧，琉璃叶下琼葩吐。素香柔树。雅称幽人趣。

无意争先，梅蕊休相妒。含春雨。结愁千绪，似忆江南主。

词中刻画的丁香形象具有什么样的特点?

【答案】词中刻画的丁香具有高雅、香气素淡、与世无争、满怀愁绪的特点。

【解析】本题考查鉴赏古代诗歌的形象的能力。由“琉璃叶下琼葩吐”可以看出“高雅”的形象特征;由“素香”可以看出“香气素淡”的特征;由“无意争先，梅蕊休相妒”可以得出“与世无争”的形象特征;由“结愁千绪”可以得出“满怀愁绪”的形象特征。考生依此组织答案即可。

四.阅读下面这首词，完成下面的题目。

西江月·红梅

【宋】王安石

梅好惟嫌淡伫，天教薄与胭脂。真妃①初出华清池。酒入琼姬半醉。

东阁②诗情易动，高楼玉管休吹。北人浑作杏花③疑。惟有青枝不似。

【注】①真妃：唐朝贵妃杨玉环。琼姬：传说芙蓉城中仙女。②东阁：古代宰相招致、款待宾客的地方。③杏花：一种春花，枝直。

用四个词语归纳红梅的特点。

【答案】质朴、自然、清纯、妩媚

【解析】本题考查鉴赏诗歌中的事物形象的能力。事物的形象有时通过相关诗句来表现，有时通过关键词语来突出。因此，在作答时一定要结合相关内容进行分析;其次挖掘事物内涵，要由表及里地把事物的含义挖掘出来。本题要求“用四个词语归纳红梅的特点”。“梅好惟嫌淡伫”，意思是梅花虽好只是嫌它素淡挺立，写出了梅的质朴;“天教薄与胭脂”意思是梅花红中微淡的色彩，是上天给它施予了一层薄薄的胭脂，写出了梅的自然(雅致);“真妃初出华清池”意思是梅花像贵妃出浴，写出了梅的清纯;“酒入琼姬半醉”意思是梅又像喝了仙子醉酒，写出了梅的妩媚(娇媚)。

五、阅读下面这首唐诗，完成后面的题目。

伤愚溪【注】

刘禹锡

溪水悠悠春自来，草堂无主燕飞回。

隔帘惟见中庭草，一树山榴依旧开。

【注】愚溪，在湖南省永州市西南，本名冉溪。唐柳宗元谪居于此，改其名为愚溪，并结茅树蔬，筑堂而居。此诗作于柳宗元去世三年后。

本诗和晏殊《浣溪沙》词中都有“燕”这一意象，它们的作用是否相同?请具体说明。

【答案】不相同。《伤愚溪》中的“燕”体现了自然永恒不变的特性，衬托人事变迁，斯人已没。《浣溪沙》“似曾相识燕归来”句中的“燕”象征生活中循环往复、永远存在的美好事物，与“花落去”相对，寄托了词人对自然、人生乐观通达的观照。

【解析】回答本题要注意结合诗人写作的时代背景，再联系燕子的象征意义，进行综合思考。

六、阅读下列诗歌，完成所列问题

踏莎行

贺铸

杨柳回塘①，鸳鸯别浦②，绿萍涨断莲舟路。断无蜂蝶慕幽香，红衣脱尽芳心苦③。

返照④迎潮，行云带雨，依依似与骚人语⑤：当年不肯嫁春风，无端却被秋风误!

【注释】①回塘：曲折的水塘。②别浦：不当行路要冲之处的水口。③红衣：荷花的红色花瓣。芳心苦：指莲心有苦味。④返照：夕阳的回光。潮：指晚潮。⑤骚人：诗人。

(1)此词咏荷，词上片刻画的荷花具有怎样的特点?请简要分析上片最后两句使用的艺术手法。(5分)

【答案】(5分)上片中荷花具有孤寂、悲苦的特点。(2分)后两句使用了拟人手法(1分)，将荷花比作亭亭玉立、孤芳白赏的美人(1分)，表现了它处境寂寞和芳华零落的悲苦(1分)

【解析】词人在上片通过对周围的环境和荷花“红衣脱尽芳心苦”的正面描写，突出了寂寞地开落、无人欣赏的荷花形象特征;下片将荷花比作美人，似与骚人语，不肯嫁春风，曲尽它的情态风神;显示了荷花的幽洁高雅。

七、阅读下列诗歌，完成所列问题。

蝉

李商隐

本以高难饱，徒劳恨费声。五更疏欲断，一树碧无情。

薄宦梗犹泛，故园芜已平。烦君最相警，我亦举家清。

有评论赞誉这首诗“咏物最上乘”，请简要分析诗中蝉的形象寄托了诗人怎样的思想情感。

【答案】这首诗以蝉的饮露难饱指自己的清贫;蝉的徒劳鸣叫和树的无情寄托孤独凄凉的身世遭遇;借咏蝉以喻自身品质的高洁。

【解析】这首诗借咏蝉以喻自身的高洁。前半首闻蝉而兴，重在咏蝉;它餐风饮露，居高清雅，然而声嘶力竭地鸣叫，却难求一饱。后半首直抒己意，他乡薄宦，梗枝漂流，故园荒芜，胡不归去?因而闻蝉以自警，同病相怜。全诗层层深入阐发主题：“高难饱”，鸣“徒劳”，声“欲断”，树“无情”，怨之深，恨之重，一目了然。实属“咏物”佳绝。

八、阅读下面一首唐诗，完成后面的一题。

早雁

杜牧

金河秋半虏弦开，云外惊飞四散哀。

仙掌月明孤影过，长门灯暗数声来。

须知胡骑纷纷在，岂逐春风一一回。

莫厌潇湘少人处，水多菰米岸莓苔。

诗中的“早雁”是怎样的一个物象?

【答案】诗中的早雁是遭射四散，流离失所，欲归不得的征人形象。

【解析】此诗采用比兴象征手法，借雁抒怀，以惊飞四散的鸭確比喻流离失所的人民，对他们有家而不能?的悲惨处境寄予深切的同情;又借汉言唐，对当权统治者昏庸腐败，不能守边安民进行讽刺。全诗通篇无一语批评执政者，但在秋天就设想次年春天胡骑还在，则朝廷无力安边之意自明。风格蜿曲细，清丽含蓄，为杜牧诗中别开生面之作。

九、阅读下面这首唐诗，完成后面的问题。

咏琴

刘允济(注)

昔在龙门侧，谁想凤鸣时。

雕琢今为器，宫商不自持。

巴人缓疏节，楚客弄繁丝。

欲作高张引，翻成下调悲。

(注)刘允济，初唐诗人。武后在位时嘉其文才，中宗即位后贬其为地方官员。

诗人塑造了一个什么样的“琴”的形象?请简要分析。

【答案】诗人塑造了一把最初意外受到器重、终被束缚与抛弃的古琴形象。人们用良材做成一把高贵的古琴，而琴欲为高张之曲，却被人反弹成了“下调”。

【解析】本题考查学生鉴赏文学作品的形象的能力。解答此类题目，首先明确题干的要求，如本题“诗人塑造了一个什么样的‘琴’的形象?请简要分析”，然后到诗中找到直接写“琴”的诗句，理解其意思，借以分析“琴”的形象。由“昔在龙门侧，谁想凤鸣时”可知，琴的前身是梧桐树，能招来发天籁之声的凤凰;由“雕琢今为器，宫商不自持”可知，琴的前身梧桐树被商人制成谋利的琴，弹奏的音乐不由自己;由“欲作高张引，翻成下调悲”可知，琴本可以奏出精妙高亢的曲调，但巴人楚客对此并不赏识，由此可以看出，诗中的“琴”由重视到遭弃，展示了“琴”的不自持。考生可以围绕这些来分析“琴”的形象。

十、阅读下面这首诗，完成小题。

咏风

王勃

肃肃凉风生，加我林壑清。

驱烟寻涧户①，卷雾出山楹②。

去来固无迹，动息如有情。

日落山水静，为君起松声。

【注】①涧户：涧边的人家。②山楹：就山岩凿成的房屋。

诗人笔下的“风”是个什么样的形象?试作简要赏析。

【答案】诗人笔下的“风”是个不知疲倦、不辞辛苦的奉献者和“有情人”的形象。“风”使山林清爽，它驱散烟霾，卷走云雾，并且在日落山水静的时候，为人们吹响松涛，奏起大自然的乐章。

考研数学压轴必考题型：参数估计篇5

参数估计是考研概率的最后一个考点，近几年参数估计一直是数一和数三的必考题目，必出现在整张试卷的最后一道大题，压轴出场，分值11分。

虽然考研数学一和数学三最后一道题均未考查，但16年数学一填空题考查了区间估计，分值4分，但数一和数三均考查了一道大题，分值11分，迄今参数估计这个考点的重要地位仍不可撼动。跨考教育数学教研室田晓辉老师来为大家解析。

参数估计这章，数一和数三公共考点为点估计，包括矩估计和极大似然估计，另外数一还考查区间估计，包括单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。

本章考研主要题型为：

(1)参数的点估计：矩估计、极大似然估计估计量的评选标准(数一考查)

(2)参数的区间估计：正态总体的区间估计(数一考查)

矩估计的基本思想：由大数定律可知样本矩、样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩、总体矩的连续函数，由此可建立总体分布中未知参数满足的方程(组)，解之可得总体未知参数的点估计。这种构造点估计量的方法称为矩估计法，求得的点估计称为矩估计量(值)其方法步骤如下：

构建未知参数的方程，通过总体的`原点矩来构造

解方程，解出未知参数

用样本矩代替总体矩，得未知参数的矩估计量(值)

极大似然估计法的基本思想：样本发生的可能性最大原则――即对未知参数进行估计时，在未知参数的变化范围内选取使“样本取此观测值”的概率最大的参数值作为未知参数的点估计。这样得到的矩估计值为最大似然估计值，相应的量为最大似然估计量。其方法步骤为：“造似然”求导数，找驻点得估计。

构造自然函数，注意，离散总体和连续总体的似然函数不同

取对数

求导数找驻点得估计。

注意，若似然方程无解，则必有导数大于或小于零，此时只要在未知参数的变化范围内找其右边界点或左边界点即可。

估计量的评选标准：无偏性、有效性、一致性，掌握其概念即可。无偏估计考查较多。

参数的区间估计：了解区间估计概念、掌握求置信区间的方法。求置信区间的一般方法步骤为：

第一步，选枢轴量定分布;

第二步，造大概率事件得不等式;

第三步，解不等式得置信区间。

以上是数一和数三对参数估计部分的全部考点，期望大家能熟练理解其思想和熟练掌握方法步骤，多练习，已达到熟练解题的要求。

高考数学必考题型例题篇6

例1:某次数学测验共有十道选择题, 评分的办法是:每一道答对得4分, 答错得-1分, 不答得0分, 设这次测验至少有n种可能, 则n应该是 () 。

A.42 B.45 C.46 D.48

分析:按题设评分办法, 最少得-10分 (十题均答错) , 最多得40分 (十题均答对) , -10分到40分共有51种可能的分数。

但十题全对得40分, 对九题最多得36分, 因此不能取得39、38、37这三种分数;当对九题时只能得36 (对九空一) 或35 (对九错一) 两种分数, 因此34、33这两种分数不能取到;当对八题时只能得32 (对八空二) 、31 (对八错一空一) , 30 (对八错二) 三种分数, 因此29分不能取到。容易验证, 由-10分到28分这些分数均可取到。因此这次测验至多有51-3-2-1=45种可能的成绩。

在解有关组合计数问题时, 学生可分别列出各种可能的情况, 在每种情况下找出有用的情况, 淘汰无用的情况, 比如为穷举搜索法。

怎样使列举的对象尽量地少, 使它不“繁”, 这是列举的难点, 也是其巧妙所在。学生应当考虑“极端”的情形, 当然, 这也是“特殊”策略的意义之一。

考虑“极端”的情形, 就是为确定集合M具有某一性质A, 常常从极端情形 (例如数量上的极大或极小, 图形的极限位置, 等等) 出发, 选取M中具有极端性质的元素来考虑, 或者本身就具有性质A, 或者本身虽没有性质A, 但与具有性质A的M中元素有密切的关系, 从而可确定集合M具有性质A。

例2:桥牌比赛中的数学。

桥牌是一种扑克游戏, 与棋类一样, 也是一种对抗性的体育竞赛运动, 每年都有国际性比赛。复式桥牌比赛是两个队之间的一种对抗赛, 每一场比赛的结果不像其它对抗性体育运动那样以胜、和、负记分, 而是根据胜负的程度给双方各记一次胜利分 (国际上称为VP分) , 记分的规则是: (1) 平局时双方各得10分; (2) 小胜或中胜时, 根据不同的结果, 胜方可得11, 12, 13, 14, …, 19, 20分, 共有十种可能, 负方相应的得分为9, 8, 7, …, 1, 0分, 胜负双方得分总和为20; (3) 大胜时, 胜方得20分, 负方得负分 (即扣分) , 根据不同的情况, 可得-1, -2, -3, -4, -5分共5种可能。这时, 双方得分的总和 (代数和) 不再是20, 而是15-19, 这样, 一场比赛可能有31种结果。

假定有四个队进行一次单循环赛, 每个队都与其它三个队各进行一场比赛 (总共6场) , 以每个队在3场比赛中所得的VP分的总和 (代数和) 的大小排定名次。问:若某个队每场皆负, 最好的情况能得第几名?同样, 某个队每场皆胜, 最坏的情况又是第几名?

由于桥牌比赛的特殊记分规则, 全负者不一定是最后一名, 全胜者也不一定是冠军。但要回答上述问题, 就需进行计算。总共有6场比赛, 每场有31种可能的结果, 把各种可能出现的结果全部列出来肯定能回答上述问题, 但显得太烦琐。事实上, 我们只需讨论极端的情况就可以回答。

(1) 全负者要得好名次, 需要两个条件: (1) 每场均是小负, 即都以9∶11输给对方; (2) 其他三队积分相近, 越少越好, 这相当于这三个队之间三场循环的总分越少越好。显然, 最好的情况是每场均是20∶ (-5) , 且每一队都是一胜一负。这样, 这三个队均是二胜一负, 但得分总和都是11+20+ (-5) =26, 而每场皆负的队的得分是9+9+9=27。可知, 每场皆负仍有希望夺魁。

(2) 沿用同样的思路, 每场皆胜的队 (甲队) 名次不高的坏结果出现在: (1) 每场皆为小胜, 即均以11∶9胜对方, 此时甲队总得分为33分; (2) 其他三队积分相近, 总分越高越好。但另三个队的三场循环赛中, 各队得分总和不能超过60 (每场双方得分和不超过20分) , 根据抽屉原理, 至少有一个队的得分不超过20, 加上和甲队比赛的9分, 总分不超过29, 可知全胜者不可能得第四名, 会是第三名吗?要出现这种情况, 除上述的 (1) 之外, 条件还有:另外三个队中, 有两个队得分相近, 且得分很高。例如, 乙队、丙队与第四名比赛时, 均得20分, 乙队、丙队之间握手言和, 各得10分, 这样, 乙队和丙队的总分都是9+20+10=39分, 结果并列冠军, 而全胜者只能居第三 (倒数第二名) , 真是出乎意料。

【高考数学必考题型例题】推荐阅读：

高考必考题型10-05

高考例题05-08

数学高考09-21

高考数学文化08-11

高考数学总结05-26

>> 查看更多相关文档