励志数学公式

2024-06-11

励志数学公式（共14篇）

励志数学公式篇1

励志数学公式

勤学如初起之苗，不见其增，日有所长：缀学如磨刀之石，不见其损，日有所亏！

数学公式1.01的365次方等于37.8, 0.99的365次方等于0.03。这个公式被网友解读为：“每天进步一点点，屌丝一年变富帅；每天退步一点点，富美一年变挫矮。”

1乘够365次,永远是一，0.99乘够365次，就近乎等于零，1.01乘够365次，就是不断增大。

讨论：

从中你悟出什么？

1的人生是，不折不扣地完成任务；

0.99的人生只不过是每天比别人少做了那么一点点儿。

1.01的人生只不过是每天比别人多做了那么一点点儿，然而，差距就是这么来的。

1的人生是可惜的;0.99的人生是可悲的；1.01的人生是可敬的。

“365次方代表一年的365天，1代表每一天的努力，1.01表示每天多做0.1, 0.99代表每天少做0.1，你看差别太大了，365天后，一个增长到了37.8，一个减少到0.03！”这就相当于人生的路程，每天多做一点点，积少成多，就会带来巨大的飞跃。

对于这个数学公式，还有网友举一反三：“1.02的365次方等于1377.4,0.98的365次方等于0.0006。这说明：只比你努力一点的人，其实已经甩你太远。”

任何事情，都可以积少成多，聚沙成塔；勿以善小而不为，勿以恶小而为之

鲸鱼的故事

一只体重达8600公斤的大鲸鱼跃出水面6．6米，并为你表演各种动作，我想你一定会发出惊叹，将这视为奇迹。而确实有这么一只创造奇迹的鲸鱼。

这只鲸鱼的训练师向外界披露了训练的奥秘：开始他们先把绳子放在水面下，使鲸鱼不得不从绳子上方通过，鲸鱼每次经过绳子上方就会得到奖励。它会得到鱼吃，会有人拍拍它和它玩，训练师以此对这只鲸鱼表示鼓励。当鲸鱼从绳子上方通过的次数逐渐多于从下方经过的次数时，训练师就会把绳子提高。只不过提高的速度必须很慢，不至于让鲸鱼因为过多的失败而沮丧。

1984年，在东京国际马拉松邀请赛中，名不见经传的日本选手山田本一出人意料夺得了世界冠军。当记者问他凭什么取得如此惊人的成绩时，他说了这么一句话：“凭智慧战胜对手。”当时，不少人都认为这个偶然跑到前面的矮个子选手是在“故弄玄虚”。10年以后，这个谜底终于被解开了。他在他的《自传》中是这么写的：“每次比赛之前，我都要乘车把比赛的路线仔细看一遍，并把沿途比较醒目的标志画下来。比如第一个标志是银行；第二个标志是一棵大树；第三个标志是一座红房子„„这样一直画到赛程的终点。比赛开始后，我就以跑百米的速度，奋力地向第一个目标冲去，过第一个目标后，我又以同样的速度向第二目标冲去。起初，我并不懂这样的道理，常常把我的目标定在40千米外的终点那面旗帜上，结果我跑到十几公里时就疲惫不堪了。我被前面那段遥远的路程给吓倒了。”

大成功是由小目标所累积，每一个成功的人在达到无数小目标之后，才实现他们的伟大梦想。

人生就是一点点儿

人生就是每天快乐一点点儿快乐就是每天成功一点点儿，成功就是每天进步一点点儿，进步就是每天坚持一点点儿，坚持就是每天行动一点点儿。如果你每天落后别人半步，一年后就是一百八十步，十年后就是十万八千里。

如果你每天比别人快半步，一年后就是一百八十步，十年后就是十万八千里

告别丰硕的秋天又是一次春暖花开

我们奔跑在希望的路上 74班的同学们，别驻足，梦想要不断追逐；别认输，熬过黑夜才有日出；要记住，成功就在下一步；路很苦，汗水是最美的书；没有最好，只有更好；我们要永不止步。To be No.1

励志数学公式篇2

关键词：欧拉公式,高等数学,复变函数

学习过高等数学的的人都学过欧拉公式,还知道欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其一般形式如下 :其中,e是自然对数的底, i是虚数单位,而且有“最美的数学公式”的美称。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。本文将以高等数学和复变函数这两门大学必(选)修课的知识对该公式的推导做如下归纳总结,为相关教研的老师和从事该领域研究的学生提供参考。

首先,我们先以所有本科生的必修课高等数学这门课程为基础来研究,当我们学习了级数的基本知识,这个公式的推导就可以总结如下 :

下面先给出一些级数部分的预备知识,即在学习级数章节的函数展开成幂级数的内容中,我们学习了三个重要函数——余弦cos x、正弦sin x、指数ex 函数的幂级数展开,当时我们用直接展开法将其分别展开为x的麦克劳林幂级数,现将其展开式的结论复习如下 :

接下来,我们作如下数据处理,在指数函数ex 函数展开式中的x用ix变量替换,其他什么都不变,这样便有如下新的展开结果 :

由众所周知的基本复数知识可知,

再将之前我们复习过得正余弦函数cos x、sin x的展开式代入上述结论便得,

即 ,就是我们推得的欧拉公式,但初等数学和高等数学里又习惯将欧拉公式中的x用θ替换写成如下的一般形式 :

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起 :两个超越数 :自然对数的底e ,圆周率π ,两个单位 :虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

以上归纳了欧拉公式在高等数学中的详细推导过程,接下来在学习了复变函数课程中的相关知识后我们在对该公式的推导做如下整理归纳如下 :

大家都知道实初等函数指的是——幂、指、对、三角、和反三角这五类基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算能够用一个式子表示的函数,那么在我们学习复变函数这门课程的过程中,当然也会引入类似于实初等函数的复初等函数,当我们引入了复初等函数的概念之后,我们就可借助复初等函数中的复指数函数的定义来推导欧拉公式,推导过程简洁明了,现归纳如下 :

在复变函数这门课程中,复指数函数是这样定义的 :

接下来只要我们令复指数函数中复数z=x +iy的实部x =0即可,从而

即

同理用θ替换上式中的y便可写成如下欧拉公式的一般形式 :

励志数学公式篇3

关键词:势函数;原函数;零点;积分上限;积分下限

中图分类号:G633.7 文献标识码:A文章编号:1003-6148(2009)11(S)-0078-2

数学是学习和研究物理学的重要工具,运用数学工具解决物理问题是大学物理教学中的重要环节,善于利用数学分析方法,能够更好地理解物理公式的含义。

首先,切莫淡化物理公式中变量的物理含义,而过分强调数学关系。学生在运用数学知识解决物理问题的过程中,往往撇开公式的物理意义,忘记公式所表达的物理现象之间的因果关系,容易造成错误。如电磁学中的场强公式:

E=FQ(1)

学生们往往会从公式的数学形式上得出结论:E正比于F或反比于Q。事实上,方程左端代表一物理事实,而右边代表一种定义的方法(测定方法),描述的是这样一个事实:将电量为Q的点电荷放在待测电场中时,受到的电场力为F,并不存在E正比于F或反比于Q的问题。克服这种思维偏差的主要措施,一是要强调公式的物理意义,理解公式所描述的物理现象与物理事实之间的因果关系、决定关系。二是要明确公式的来龙去脉,增强公式的物理色彩,突出对其物理意义的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,强调其数学本质,有时甚至过分地强调。实践证明,对于初学者来说,强调其数学本质可以帮助其更加深刻地理解物理公式的本质含义。

例如,大学物理中有关“势”函数的概念,与高等数学中“原”函数概念,有着对应关系。所以,在讲授“势”概念时,将其还原回到数学公式,利用掌握的微积分知识,可以澄清一些容易出错的概念。

高等数学知识告诉我们,如果一个函数f(x)有原函数F(x),则由牛顿-莱布尼茨公式可得到:

∫xx0f(x)dx=∫xx0dF(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分别为积分上、下限,且在同一数轴上,在学习“势”概念之前,学生对这一公式应该有了较深刻的理解。

静电场中“电势”φ(r)是这样定义的:

φ(r)-φ(r0)=∫r0rE(r)•dr(3)

公式(3)带着明显物理含义,与具有普遍意义的积分公式(2)有着一定的差别。显然,这种差别是表面上的,式中E为电场强度,r0、r分别为积分上、下限,且上限r0一般定义为电势的“零点”。

为了更好地理解这些变化的含义以及场强与电势之间的关系,将(3)式形式地还原为数学形式:

φ(r)-φ(r0)=∫rr0dφ(r)=∫r0rE(r)•dr=-∫rr0(E•dr )(4)

可以得到:

dφ=-E•dr=-dW(5)

我们一般定义电势的改变量为电势能增量的负值,之所以这样定义,从数学公式角度考察,“故意”将积分上下限颠倒,必然会得到这种结果;从物理含义角度来考察,之所以将上下限颠倒,是为了迎合物理习惯:一般情况下,保守力做功导致势能的减少,而数学只采用末态值减去初态值的方式来描述积分过程。

从(4)式还可以看出,积分变量不再局限于某一坐标轴上变化,可以是描述数量变化的任何变量。在力学、电磁学中,它通常是三维空间位置向量的大小。

从上述对比、分析过程不仅可以更加深刻地理解保守力做功的含义,而且有关“零点”定义的含义也搞清楚了。如果将上限r0处定义为零点,则任意点处电势为:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人为”的,是我们定义的零点,明显具有物理含义,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具体的数学计算结果(真实结果),φ(r0)不见得取“零”值。从式(6)亦可以看出,如果没有人为地将方程左端的φ(r0)设定为φ(r0)=0,那么,必须将r处真实值φ(r)修正为φ(r)-φ(r0)。

一般将有限带电体无穷远处定义为电势零点,即有:

φ(r)=∫∞rE•dr=∫r∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情况下,有限带电体的φ(∞)=0,与左端“人为”定义的结果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞rE(r)•dr(8)

初学者通常会将上式牢记在心, 并且习惯于解决无穷远处电势零点问题, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,当遇到变换零点问题时,往往无计可施。例如,如果问题中涉及将零点定义在某有限距离r0处时,只要清楚“人为”的、“数学”的零点的含义,很自然地会利用(6)式来求任意点r处的电势。例如,任意点r处点电荷Q的电势φ(r),可以直接写为:

φ(r)=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=∫rr0d(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

显然,若生硬照搬公式,则(8)式爱莫能助。

总之,有些物理公式,可以通过将其数学化,来加深对其物理含义的理解。这样,将有助于培养学生运用数学知识、数学方法描述物理问题的能力,真正建立起物理上的数量关系的能力,增强运用数学知识的意识,提高运用数学工具的能力。

参考文献

[1]张三慧. 电磁学[M]. 北京:清华大学出版社, 2004:60-87.

[2]赵凯华, 罗蔚茵. 力学[M]. 北京:高等教育出版社, 2004:106-132.

[3]沈永欢等. 实用数学手册[M]. 北京:科学出版社, 2004:175-200.

初二数学公式：三角函数万能公式篇4

学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。查字典数学网编辑了初二数学公式：三角函数万能公式，希望对您有所帮助!

(1)(sin)^2+(cos)^2=1

(2)1+(tan)^2=(sec)^2

(3)1+(cot)^2=(csc)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C

tan(A+B)=tan(-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证

同样可以得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

三角函数万能公式为什么万能

万能公式为：

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2)(A+，kZ)

tanA=2t/(1-t^2)(A+，kZ)

cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A+，且A+(/2)kZ)

四年级数学公式之数学广角篇5

1、植树问题：

两端都栽：

1.棵数=间隔数+1，间隔数=棵数―1

2.全长=间隔数×间距=（棵数―1）×间距

3.棵数=全长÷间距+1

一端栽，一端不栽：

1.棵数=间隔数，间隔数=棵数

2.全长=间隔数×间距=棵数×间距

3.棵数=全长÷间距

（注意：圆环形它的间隔数等于棵数）

两端都不栽：

1.棵数=间隔数―1，间隔数=棵数+1

2.全长=间隔数×间距=（棵数+1）×间距

3.棵数=全长÷间距―1

2、方阵图形的问题：

（每边数量－1）×边数=最外层数量

每边数量×每边数量=整个方阵数

重视数学公式、定理的推导过程篇6

一、让学生体验数学公式、定理的推导过程, 是学生理解这些公式、定理的前提

著名数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料, 不要只看书上的结论。”这就是说, 对探索结论过程的数学思想方法学习, 其重要性决不亚于结论本身。其实, 很多教师都忽略了一个最重要的问题:数学公式、定理是解题的工具, 能正确理解和使用公式、定理, 是学好数学的基础。有的教师在平时教学中, 常常为了节省教学时间, 把公式、定理的推导过程省略掉, 有时虽有展示公式、定理的来源, 但还是以教师的讲授为主, 学生没有真正参与公式、定理发现的全过程。所以, 从表面上看似乎是节省时间, 但这种形式的教学往往使学生的头脑中留下只有公式、定理的外壳, 忽略了他们的因果关系, 不清楚他们使用的条件和范围, 当需要使用公式时总是不能记住, 如果能记住也不懂使用。

多元智能理论要求学生不是盲目接受和被动记忆课本的或教师传授的知识, 而是主动自我探索, 将学习过程变成自己积极参与的建构知识的过程。学生能够灵活运用数学公式、定理是理解这些公式、定理的前提;而理解这些公式、定理就需要学生亲身体验公式、定理的推导过程, 只有在这个过程中, 学生才明白它们的来龙去脉、运用的条件和范围。

二、重视数学公式、定理的推导过程, 让学生在推导过程中使用这些解题工具

数学公式、定理、定律等结论是通过观察和分析, 归纳和类比法等方法得出猜想, 然后寻求合乎逻辑的证明;或者从理论推导出发得出结论。因此, 在公式、定理、定律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索发现的推导过程, 不断在数学思想方法指导下, 找出每个结论因果关系, 让学生经历创造性思维活动, 并引导学生总结得出结论。

以前在教导完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2的时候, 为了节省时间, 直接把结论告诉学生, 认为他们会用就行了。让学生背熟公式后只要通大量的练习学生一定会掌握公式。但事实上还有很多学生由于不理解公式形成过程, 只是把公式的的外形记住了, 到用起来的时候, 不是漏了2ab, 就是错写b2的符号。于是在我所教的两个班当中做了一个这样的实验, 一个班继续是直接给公式, 让他们背熟后直接做题。一个班让他们亲自动手推到公式。

先从几何意义出发, 采用小组自主探究的学习方式, 让学生准备一个大正方型、一个小正方形和两个以大正方形的边长为长小正方形的边长为宽的长方形让他们利用手头上的图形去拼一个大正方形。通过拼图的方法, 使学生在动手的过程中发现律。

以小组为单位用手上已有的四个图形拼成一个正方形, 并观察图形回答下列问题:

(1) 整体看:求总面积_________

(2) 部分看:求四块面积和_________

(3) 结论 (a+b) 2=a2+2ab+b2

总面积由有四部分组成:两个大小不同的正方形和两个长方形。正方形的面积分别是a2和b2, 两个长方形的面积就是2ab是整个面积的重要组成部分, 学生通过拼图的方法加深了对公式中2ab的理解, 有效防止日后漏掉2ab的情况。

在学生探究出 (a+b) 2=a2+2ab+b2的基础上, 提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?让学生运用多项式乘以多项式的法则推导完全平方公式: (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2并说出每一步运算的依据, 加以论证完全平方公式。运用多项式乘以多项式法则的计算过程让学生再次感受2ab的存在。从代数、几何两个方面证明公式, 让学生充分了解公式的形成过程加深学生对公式的印象, 也加强了公式的可信度。而且让学生知道猜想的结论必须要加以验证。让学生体会了数形结合及转化的数学思想。

再让学生观察特征, 熟记公式熟。让学生用语言叙述完全平方公式。鼓励学生自主探究这个公式的结构特征: (1) 公式展开是三项; (2) 两个平方项同正; (3) 中间符号前后要一致。让学生弄清楚公式的来龙去脉, 我设计了这样四道判断题, 让学生对对公式结构由一个更深的理解。

(1) (a+b) 2=a2+b2 ()

(2) (a-b) 2=a2-2ab-b2 ()

(3) (a+b) 2=a2+ab+b2 ()

(4) (2a-1) 2=2a2-2a+1 ()

通过第一道判断题四小题让学生深刻认识公式的结构特征 (第一道题让学生掌握公式一定有三项不要漏写2ab, 第二道题让学生掌握平方项为正, 第三道题让学生知道不要漏写2ab中的2, 第四道题让学生知道公式中的a不止是一个字母还可以是一个式子, 当a是一个式子时一定要加括号。

最后通过填下表的形式, 组织学生展开讨论, 由表格再次巩固公式的结构特征:首尾平方总得正, 中间符合看首尾项的积, 同号得正, 异号得负, 中间的两倍记牢, 进而总结步骤为:

(一) 确定首尾平方和符号; (二) 确定中间项的系数和符号, 得出结论。

上完新课后我让两个班一连五天进行小测, 统计运用公式的出错率

发现第一天新学两个班出错率差不多, 但是日子越长学习的公式越来越多时, 背公式班公式出错率又变大, 特别是中下生他们没有体会到公式的产生过程只是简单记住公式的外形日子越久记忆越模糊, 所以出错率又越来越高。相反经过了公式推导的班, 体会到公式的内涵, 日子越久对公式的理解越来越清晰, 所以出错率越来越低。

通过一段时间的尝试, 我们发现学生对数学公式、定理的掌握不只是停留在记得的层面上, 他们都能理解其内涵。通过这样的体验学习, 学生的学习成绩有了显著的提高, 学生对数学的兴趣更浓了, 学生的学习积极性也更高了。

数学公式的图像分割处理研究篇7

关键词：数学形态学；数学公式；图像分割

中图分类号：TP391.41文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Image Segmentation Processing Research of Mathematical Formula

Zhang Baoying,Wang Chuanchao

(Beijing University of Chemical Technology Institute of the North,Beijing101601,China)

Abstract:This paper contains a mathematical formula by the image binarization,gray level image pre-processing and so on,in order to split the precise mathematical formula,you need precise mathematical formula to extract the various features.The main features of each character is its skeleton,through the characters in the image on the mathematical formula of the refinement of mathematical morphology,and then followed by the character skeleton extraction,the final contours of the projection methods used to segment the picture,the final results of the segmentation Normalized.

Keywords:Mathematical morphology;Mathematical formula;Image segmentation

一、數学公式识别系统简介

一般一个数学公式的识别系统由图像预处理、字符切分、字符识别和后续处理四个部分组成，如图1所示。系统输入的是数学公式的扫描图像，多为BMP和JPEG格式的图片，最后经系统处理完后输出的是文档格式的数学公式。本文主要讨论图像预处理和字符切分这两个部分。

二、图像预处理

同其他的系统一样，公式的识别系统，首先需要将印写在纸上的字符，通过光电扫描从而产生模拟电信号，然后通过模数转换为带灰度值的数字信号输入电脑。所以，识别之前，要对所要处理的图像进行图像预处理。预处理一般包括二值化、去噪声、倾斜校正、规范化等。不同的识别方法，对预处理的图片格式要求有所不同。

（一）彩色图像灰度化。通过扫描获取的各种格式的公式图像大部分都是彩色的图片。对于数学公式识别系统来说，首先要把彩色的图像转变为灰度图像，灰度图像就可以以提供细致的图像信息，而且便于预处理算法的实现。

（二）二值化算法。很多的文档的识别和识别的算法都是基于二值图像的，相对于256个灰度级的图像或彩色图像，二值图像的算法更加的简单，更加的适合图像识别，所花费的空间和时间代价也更少。二值化的方法很多，但又没有对任何对象都普遍适用的方法，必须因情况而定。

本文的实验采用自适应阈值法进行二值化，得到的大多数图像都很清晰，噪声相对的较少，可是考虑到背景较为复杂的图片，在二值化后可能存在点状噪音等，所以在进行图像二值化处理后，本文采取中值滤波的算法对图片进行去噪处理。

（三）倾斜校正算法。在对数学公式的灰度图像旋转到一定角度时，图像中每一个象素的数值都要发生变化。数字图像的坐标值是整数，可是经过这些变换运算之后的坐标不一定是整数，因此要对变化之后的整数坐标值的象素值进行估算，除了空间变换的本身算法，还要进行灰度级插值的运算。插值是从已有的数据点产生新的数据点的技术。图像插值技术是插值技术在二维或高维空间的扩展，在图像相关的应用中获得了广泛的应用。

（四）形态学细化算法。为了能够精确的分割字符，需要准确的提取出字符的典型特征。每个字的主要特征就叫做它的骨架。可以采用数学形态学的细算法对数学公式的字符图像进行细化处理，然后用形态学的骨架提取算法抽去其骨架。试验结果显示本方法能够准确完整的抽取数学公式的主要特征，从而能够实现数学公式的分割。许多数学形态学的算法都是依赖于击中击不中变换的算法思想。图像运算的数学形态学细化算法便是一种常见的使用击不中击中变换的基本形态学算法。它的基本思想是：在根据要求选定具有一定形状的结构元素后，顺序循环的删除满足击中变换的象素。

三、数学公式图像的字符切分

在进行完预处理的公式图像，本文采用轮廓投影的方法对其进行分割。一些分布在同一水平线上的子表达式构成数学公式，通过进行垂直轮廓投影分割可以将大部分分割开来，接着使用水平轮廓投影分割方法，可以将经过垂直轮廓投影分割后得到的像素块再进行n次分割，从而得到更小的像素块。重复执行上述算法直到垂直和水平轮廓分割不能再分割出更小像素块。经过递归的垂直、水平轮廓投影分割之后，大部分可以分割出来，使用轮廓投影分割后会有一小部分的像素块无法处理，将这小部分的像素块提取出来，进行后续处理。

（一）投影法。水平投影法就是用一条水平黑线记录每一个像素行的黑色点的个数，黑色点的个数越多，则黑线的长度越长；竖直投影法的方法类似。投影法是一种很自然的方法，有点像灰度直方图。为了得到更好的效果，投影法经常和闭值化一起使用。由于噪声对头应有一定的影响，所以处理前最好做一次平滑，取出噪声。

（二）行、列切分。字符分割的目标是将单个符号的图像提取出来，送入识别器进行识别，得到相应符号的代码。目前，一些比较成熟的字符识别技术已能得到满意的结果。但是把它们用于数学公式的字符识别，识别率一般会下降6%。因而，对数学公式而言，一个好的图片分割算法是非常重要的。

（三）紧缩重排和归一化。对于经过分割处理的图像，各个单独的字符大小是不一致的，会对后续的识别造成影响，因而需要把字符图像的大小进行归一化的图像处理。简单的描述就是对不同大小的符号图像进行尺度变换，处理为归一化图像（也就是处理为小相同的符号图像）。通过大小归一化之后，识别算法就对于符号的大小不敏感。从而提高分割的正确率。数学公式进行分割识别前都要进行大小的归一化，这样提取出来的字符特征具有尺度的不变性，对于提高分类器的识别率起着重要的作用。

四、结论

表明发现公式识别算法识别率不高，数学符号并不能被百分之百分割，这也影响了结构分析的准确性，提高算法的识别率将是下一步工作的重点。

参考文献：

[1]靳简明,江红英.印刷体数学公式处理研究现状[C].2001年中国智能自动化会议（昆明）.北京:清华大学出版社,2001:69-74

[2]吴俊飞.基于特征字符印刷体公式识别研究[D].哈尔滨:哈尔滨土程大学,2006

高二数学公式总结篇8

2009-08-15 10:43:27|分类：|标签： |字号大中小订阅

向量公式：

1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号（x平方+y平方）

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)

那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

(x1x2+y1y2)

= ————————————————————根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）

5.空间向量：同上推论

（提示：向量a=｛x,y,z｝）

6.充要条件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a*向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

=(向量a±向量b)平方

三角函数公式：

1.万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

2.辅助角公式

asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)

cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]

sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]

tanr=b/a

3.三倍角公式

sin(3a)=3sina-4(sina)^3

cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa

tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]

4.积化和差

sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

5.积化和差

高考数学高频公式篇9

二、[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

三、对于y²=2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。定理的证明：对于y²=2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²]，所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD)

四、关于一个重要绝对值不等式的介绍：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

五、关于解决证明含ln的不等式的一种思路：举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。

注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

六、简洁公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法：在哪投影除以哪个的模

七、说明一个易错点：若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a)牢记!

八、离心率公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N

关于高中数学导数公式的应用研究篇10

【关键词】高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f'（a），则相应的切线方程就是y-b=f'（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R，f'（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），设f'（x）=0，得到x=±2，当，x>2或x<-2时，，f'（x）>0，所以函数在（负无穷，-2）和（2，正无穷）上是增函数；当-2

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1，0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f（x）=x3-3x+1的单调区间

解：当f（x）=x3-3x+1，可以得出f'（x）=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f（x）有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

【参考文献】

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现—案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

[4]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].教学参谋（解法探究），2014（02）

[5]赵波.谈解答数学题的几种意识[J].中学教学（上），2011（03）

应用方差公式解高中数学竞赛题篇11

中学数学中的方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值, 然而由于统计初步列入中学数学时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少. 为延伸教材内容、紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面我们将方差公式在解高中数学竞赛题中的应用举例介绍如下, 供师生参考.

1 方差公式引理

如果 $\bar{x}$ 为一组数据x1, x2, …, xn的平均数, S2为这组数据的方差, 则有

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots \\ + (x_{n} - \bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] \\ = \frac{1}{n} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}] . \end{array}$

2 典型例题解析

本文以竞赛试题为例, 谈谈如何利用方差公式解高中竞赛题.

2.1 求最大值

例1 (1993年全国高中数学联赛题) 实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5, 设S=x2+y2, 则 $\frac{1}{S_{\max}} =$ __.

解设x2+y2=t, 则视x, y为一组数据, 由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - 2 \cdot (\frac{x + y}{2})^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{2}] \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) - 2 x y}{4} = \frac{t - 2 x y}{4} . (1) \end{array}$

因为4x2-5xy+4y2=5, 所以

$x y = \frac{4}{5} (x^{2} + y^{2}) - 1 = \frac{4}{5} t - 1 .$

代入 (1) 中, 得

$S^{2} = \frac{t - \frac{8}{5} t + 2}{4} = \frac{- 3 t + 10}{20} \geq 0,$

所以 $3 t - 10 \leq 0, t \leq \frac{10}{3} .$

即 $S_{\max} = \frac{10}{3}, \frac{1}{S_{\max}} = \frac{3}{10} .$

2.2 求最小值

解视s+5-3|cos t|, 2|sin t|-|s|为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} \\ + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ - \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t |) \\ + 2 | \sin t | - s)^{2}] \\ \geq 0, \end{array}$

$\begin{array}{l} 即 (s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ \geq \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t | + 2 | \sin t |) - s)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 - 3 | \cos t |) + 2 | \sin t |)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 + 2 \sin θ - 3 \cos θ)^{2} \\ = \frac{1}{2} [5 + \sqrt{13} \sin (θ - φ)]^{2}, \end{array}$

其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}], \sin θ = | \sin t |, \cos θ = | \cos t |, \sin φ = \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \cos φ = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .显然当θ=0 (此时t=kπ, k∈Z, s可取任意实数) 时, 原式可达到最小值2.

2.3 解方程

例3 (南昌市高中数学竞赛题) 解方程 $4 (\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = x + y + z + 9 .$

解设 $\sqrt{x} = a, \sqrt{y - 1} = b, \sqrt{z - 2} = c$ , 则x=a2, y=b2+1, z=c2+2.原方程化为

4 (a+b+c) =a2+b2+c2+12,

即 a2+b2+c2=4 (a+b+c) -12.

视a, b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{3} [4 (a + b + c) - 12 - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = - \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

$- \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} \geq 0$ ,

从而 (a+b+c-6) 2=0,

即 a+b+c=6.

故有S2=0, 从而a=b=c=2.

故x=4, y=5, z=6.经检验是方程的解.

2.4 解方程组

例4 (法国高中数学竞赛题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 1, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{3} . \end{cases}$

解视x, y, z为一组数据, 则由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 3 (\frac{x + y + z}{3})^{2}] \\ = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} - 3 (\frac{1}{3})^{2}] = \frac{1}{3} \times 0 = 0 . \end{array}$

而由方差公式的推导可知:若 $(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2} = n S^{2} = 0$ , 则有 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = \bar{x}$ .本题中, $x_{1} = x, x_{2} = y, x_{3} = z, n = 3, S = 0, \bar{x} = \frac{x + y + z}{3} = \frac{1}{3}$ , 故有

$(x - \frac{1}{3})^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} + (z - \frac{1}{3})^{2} = 0,$

即 $x = y = z = \frac{1}{3} .$

2.5 求最值范围

例5 (美国第七届IMO试题) 设实数a, b, c, d, e适合a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16, 试确定e的取值范围.

解由已知得

视a, b, c, d为一组数据, 则由方差公式,

所以 $0 \leq e \leq \frac{16}{5} .$

2.6 证明不等式

例6 (1988年四川省高中数学联赛题) 已知:实数xi (i=1, 2, …, n) 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = a (a > 0), \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1}, n \geq 2, n \in Ν$ .求证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

证明由题意知

$\begin{array}{l} x_{2} + \dots + x_{n} = a - x_{1}, \\ x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1} - x_{1}^{2} . \end{array}$

则由方差公式, 得

由S2≥0得

$\frac{- n x_{1}^{2} + 2 a x_{1}}{(n - 1)^{2}} \geq 0$ ,

解得 $0 \leq x_{1} \leq \frac{2 a}{n} .$

同理可证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

如果在这道竞赛题中, 令a=8, n=5, 则成为美国第七届IMO试题, 见例5.

2.7 求整式值

例7 (2008年合肥市高中数学竞赛题) 已经△ABC的三边a, b, c满足 (1) a>b>c; (2) 2b=a+c; (3) b是正整数; (4) a2+b2+c2=84.求b的值.

解因为2b=a+c, 所以a+b+c=3b.视a, b, c为一组数据, 则由方差公式, 得

因为S2≥0, 所以28-b2≥0, 得b2≤28.

又由2b=a+c, 有

4b2=a2+c2+2ac=84-b2+2ac.

而a>0, c>0, 所以4b2>84-b2, 得

$16 \frac{4}{5} < b^{2} \leq 28 .$

因为b是正整数, 所以b=5.

2.8 求根式值

例8 (2008年庆阳市高中数学竞赛题) 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4, a2+b2+c2+d2=4, 求 $\sqrt{a b c d}$ 的值.

解 $\bar{x} = \frac{1}{4} (a + b + c + d) = \frac{1}{4} \times 4 = 1,$

视a, b, c, d为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{4} [(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) - 4 (\bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{4} (4 - 4 \times 1) = 0, \\ (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + (d - 1)^{2} \\ = 4 S^{2} = 0, \end{array}$

故由非负数性质得

a=b=c=d=1,

所以 $\sqrt{a b c d} = 1 .$

2.9 求对数值

例9 (2007年南京市高中数学竞赛题) 已知x, y, z均为实数, 且满足x+y+z=2, x2+y2+z2=4, 求 $\log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) =$ __.

解视x, y为一组数据, 则由方差公式, 得

$S^{2} = \frac{1}{2}$ $(x^{2} + y^{2}) - 2 (\frac{x + y}{2})^{2}$

$= \frac{1}{2}$ $(4 - z^{2}) - (\frac{2 - z}{2})^{2}$

$\begin{array}{l} = \frac{8 - 2 z^{2} - 4 + 4 z - z^{2}}{4} \\ = \frac{4 - 3 z^{2} + 4 z}{4} \geq 0, \end{array}$

所以 3z2-4z-4≤0,

解之得

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} \leq z \leq 2 ‚ 即 z_{\max} = 2, z_{\min} = - \frac{2}{3}, \\ \log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) = \log_{\frac{3}{8}} \frac{8}{3} = - 1 . \end{array}$

2.10 证明几何题

例10 (2008年昆明市高中数学竞赛题) 设△ABC的三边a, b, c满足:b+c=8, bc=a2-12a+52.求证:△ABC是等腰三角形.

证明由已知, 得

b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

视b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(- 2 a^{2} + 24 a - 40) - \frac{1}{2} \times 8^{2}] \\ = - (a - 6)^{2} \geq 0 . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

- (a-6) 2≥0, (a-6) 2=0, a=6.

所以S2=0, b=c=4.故△ABC是以a为底, b, c为腰的等腰三角形.

综上所述可知:应用方差公式解高中数学竞赛题, 其关键在于根据题设, 寻找出一组数据, 再运用方差公式写出 $S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}$ 的等式, 然后通过化简运算解不等式, 去求解.

此法富有新意, 具有规律, 解题明晰, 易于理解, 值得重视.

总之, 加强方差公式的研究, 符合新课程改革关于“以课程标准为指导, 以教材为基础, 合理使用课本, 加强教学科研”的理念要求, 有利于培养学生的探索精神和创新意识, 有利于指导学生启迪思维、开拓视野, 有利于学生数学思维能力和综合运用知识的解题能力的提高, 有利于培养学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法, 提高综合解题水平, 有利于培养学生的思维品质, 有利于调动学生学习的积极性, 有利于提高学生的专题总结水平.故笔者认为:在今后的教学过程中, 适当引导学生进行这样的专题研究是很有必要的.

3 练习题

1. (上海市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z满足试求x2y+z的值.

提示:视x, 3y为一组数据.答案:9

2. (前苏联奥尔德荣尼基市中学竞赛题) 已知x+y+z=1, 求证: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3} .$

提示:视x, y, z为一组数据, 结合S2≥0得证.

3. (2005年贵州省安顺市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z, 且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = \frac{3}{2}$ , 则 $\sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} =$ __.

提示:视x, z为一组数据, 由方差公式得12y2-12y+1≤0, 解得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6} \leq y \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \\ \sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} \\ = \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6})} = 1 . \end{array}$

4. (吉林省高中数学竞赛题) 设实数a, b, c满足

${\begin{cases} a^{2} - b c - 8 a + 7 = 0, (1) \\ b^{2} + c^{2} + b c - 6 a + 6 = 0 . (2) \end{cases}$

则a的取值范围是__.

提示: (1) + (2) , 得

b2+c2=-a2+14a-13.

(2) - (1) , 得

(b+c) 2= (a-1) 2.

由方差公式, 得实数b, c的方差为

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = - \frac{3}{4} (a^{2} - 10 a + 9) . \end{array}$

而S2≥0, 所以a2-10a+9≤0, 即1≤a≤9.

5. (第二届美国数学奥林匹克试题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 . \end{cases}$

提示:视x, y, z为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - \frac{1}{3} (x + y + z)^{2}] \\ = \frac{1}{3} (3 - \frac{1}{3} \times 3^{2}) = 0 . \end{array}$

故原方程组有唯一实数解x=1, y=1, z=1.

参考文献

[1]于志洪.用方差公式求值[J].数学学习, 2001, (4) :6-7.

[2]于志洪, 樊增华.利用方差公式求最大值[J].中学数学, 2004, (9) :20-21.

初中常用数学公式篇12

①a2-b2=(a+b)(a-b)

②a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

③a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

2、三角不等式

①|a+b|≤|a|+|b|

②|a-b|≤|a|+|b|

③|a|≤b<=>-b≤a≤b

④|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

3、一元二次方程的解

①-b+√(b2-4ac)/2a

②-b-√(b2-4ac)/2a

4、根与系数的关系

①x1+x2=-b/a

②x1*x2=c/a注：韦达定理

5、判别式

①b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

②b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

③b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

6、某些数列前n项和

①1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

②1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

③2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

④12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

⑤13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

⑥1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

7、正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

注：其中r表示三角形的外接圆半径

初中数学定理公式篇13

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/(－tanα ・tanβ)

tan（α－β）＝(anα－tanβ)/(1＋tanα ・tanβ)

励志数学公式篇14

很多数学教师在进行公式教学时, 常常会发现一个现象:课上自己把公式的推导也讲了, 公式的意义也分析了, 该补充的习题也让学生练了, 学生怎么一到运用公式做题就错呢?甚至即便教师一直在提醒“别忘了这个, 别丢了那个”, 学生还是一错再错。也有的教师认为, 数学公式就是数学规则, 就像法条一样, 已经是课上公布的“法条标准”了, 谁都得无条件遵守执行。对那些“不执行”的学生, 只能要求他们“强制执行”, 即“死背公式”。

虽然短时间内“死背公式”会有一点效果, 但笔者认为这并不可取。法院适用法律尚讲究“法”“理”并重, 何况在新课程理念下的公式教学怎么能够只讲“法”, 不讲“理”呢?如何改变教师枯燥地讲授、学生机械地模仿计算的教学方式, 让学生们在丰富多彩的数学活动中, 经历公式的形成与应用过程, 从而既懂“法”, 又懂“理”呢?笔者经过调查和实验研究认为, 公式教学要抓住“真问题”, 遵循从特殊到一般, 从一般再到特殊的规律。下面以北京市义务教育课程改革数学实验教材第14册第七章《完全平方公式 (一) 》一节为例加以说明。

二、设计实施

1. 发现“真问题”

完全平方公式的掌握对于学生今后学习有关因式分解、解一元二次方程及配方法有重要的意义。教学设计要从学生的真实问题出发, 而不是从教材或教师假想的问题出发。教师要注意把握学生固有的知识与新现象、新事实之间的矛盾, 引导学生自己发现, 或创设情景帮助学生发现矛盾, 这样才会引发真实有效的学习活动, 才能使学生学有所思, 学有所问。

为更好地把握学生的“真问题”, 笔者将初一 (2) 班34名学生定为调查对象, 并在公式学习前对他们进行了测试调查。这个班属北京市普通学校, 学生基础扎实, 喜欢上数学课, 但也有一部分学生学习数学还有一定困难, 班级中已初步形成合作交流、敢于质疑的良好学风。测试题和统计结果如表1。

数学教学是数学思维活动的教学, 进行数学教学设计时自然应考虑学生现有的思维活动水平。从表1可以看出, 学生对于多项式乘以多项式及积的乘方掌握较好。可以说, 学生在教师的引导下, 可以顺利地推导完全平方公式。但有将近三分之二的学生已经对 (a+b) 2有了错误的意识, 这是“真问题”所在, 也是本节课的重点和难点。这个问题的原因是学生受到积的乘方公式 (ab) 2=a2b2和平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2的负迁移影响所致。因此, 在学习两数和的平方中, 教学的重点应从数和形两个层次澄清公式中2ab的产生过程, 并让学生与错误

有2人写成 (a-b) 2=a2-2ab-b2意识进行比较, 以理服人。另外, 从 (a-b) 2的统计结果看, 教学的难点是澄清-2ab及+b2的产生过程。

2. 从特殊到一般, 再到特殊

课上, 笔者设置了这样的情境:一位老人非常喜欢孩子, 每当有孩子到他家做客时, 老人都要拿出糖果招待他们。来几个孩子, 老人就会给每个孩子几块糖。那么, 当 (a+1) 个孩子来时, 他们一共会得到多少糖?学生们很快列出算式 (a+1) 2。接着, 按下列步骤展开活动。

【算一算】用多项式与多项式相乘的方法计算。

(a+1) 2=

(x+3y) 2=

(2m+n) 2=

【议一议】以上三个算式结果的三项有什么共同点。

【猜一猜】 (a+b) 2=

【证一证】 (a+b) 2=

【拼图游戏】有四张纸片, 请用它们为小区设计一个正方形花园。 (见图1)

【说联系】图1中的两个正方的面积体现了a2=a×a、b2=b×b, 有阴影的长方形面积体现在2ab=ab+ab。

笔者让学生先用多项式与多形式相乘的法则进行特殊的两个数和的平方的计算, 如此设计的意图是, 使学生初步感觉到结果有三项, 与学生前测时的问题初步产生冲突, 引起关注、加深印象, 更利于学生归纳完全平方公式的结构特点;同时, 通过计算, 可以使学生感知学习新公式也遵循特殊到一般再回到特殊的认识规律。

在自主探索及合作交流的基础上, 学生自主学习 (a-b) 2, 活动与 (a+b) 2类似。

【猜一猜】 (a-b) 2=

【算一算】 (a-b) 2=

【画一画】在边长为a的正方形中, 再设计出一个边长为 (ab) 的正方形。 (见图2)

【议一议】用图形解释两数差的几何意义。

【说联系】比较两个公式结构的相同点与不同点。

三、教学效果

从两次反馈结果看 (见表2、表3) , 一周后, 学生再也没有用多项式乘以多项式的方法去计算完全平方的题目, 因为学生已经感到完全平方公式的简洁性。但对于完全平方公式中的中间项还存在问题。两次反馈的结果是非常令人满意的。

四、教学反思

1. 本节课的优势

苏霍姆林斯基说过这样一句话, 当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候, 学习才能成为孩子精神生活的一部分。只有学生在活动中体脑结合、手脑并用时, 他们的兴趣、爱好和个性特长才能得以充分发展。

本节课是完全平方公式教学的第一课时, 根据本班学生的具体情况, 在习题设计中, 笔者大胆舍弃较为复杂、较为灵活的“配方法”的应用, 从而在课上有时间、有精力突破及纠正学生的“真问题”, 使学生较好地完成学习目标。

完全平方公式属于定理、法则、公式的教学。笔者依据学生现有的数学基础知识和心理特点, 安排了算一算——议一议——猜一猜——证一证——拼一拼——说联系等一系列活动, 促使学生认识公式的实际背景与形成过程, 明白算理, 帮助学生克服机械记忆公式的学习方式。

通过几次计算, 两数和的平方公式的结构特点已慢慢向学生走近, 在经历由具体到抽象、由特殊到一般的计算过程后, 许多学生会马上醒悟到 (a+b) 2≠a2+b2。产生了认知的冲突, 学生自己会认识到推导的重要性和必要性。可见, 学生在理解公式、法则背后道理的基础上进行记忆才是真正有意义的。教师公式教学中, 既要讲“法”, 又要讲“理”;既要讲“联系”, 又要讲“对比”。这样, 学生才能体验数学学习中的探索性和创造性, 感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。

计算和动手拼图双保险的教学活动, 较好地突破了 (a+b) 2公式中2ab的难点, 使学生能借助几何图形对完全平方公式建立直观印象;充分调动学生的积极性和好奇心, 使学生对公式中的2ab产生更直接、更亲切、更生动地认识。这也是对说“理”的重视。在两个数差的平方公式推导中, 学生也能自己说出公式 (a-b) 2=a2-2ab+b2, -2ab=-ab-b a, +b2= (-b) (-b) , 及时矫正了课前的错误。而且, 可喜的是, 学生也学会了用数形结合的方法, 对两数差的平方公式作了解释说明 (见图2) 。 (a-b) 2的面积 (空白处面积) 可以表示为边长为a的正方形的面积, 减去的两个矩形面积2ab, 再加上多减的小正方形的面积b2。讲台上的学生语言准确、清楚, 画图清晰、简洁。其他学生频频点头、豁然开朗。

2. 学生的真实收获 (1) 会推导

一位学生在本节课后写道:“不光要记公式, 还要会推导。如果不会推导, 久而久之, 脑子里的公式就会忘了, 题就不会做了。”

(2) 能明“理”

一个学生写道:“我对两数差的平方公式, 几何意义的表示印象最深, 我学会了公式。”

(3) 懂算“理”

一位学生写道:“我有了很大收获, 虽然课前错了三道题, 但我课上都学会了, 不仅学会了知识, 还增长了技能, 我喜欢上数学课。”

还有一位学生写道:“课前用多项式乘多项式的方法很麻烦, 上课讲的方法简单, 我都能口算做题了。”

在讲了两道完全平方公式的应用后, 笔者采用学生编题、学生互动的方式巩固公式。在编题时, 有个学生编的题目为 (-2x+3y) 2, 这使笔者大吃一惊。本来是打算在例2才进行的, 这突然的变化, 使笔者惊喜学生在主动思考, 这无疑是一种创新。

数学公式的教学, 如果能让学生在数学活动中, 会推导公式, 会用自己的语言 (拼图、画图) 阐述公式, 明白算理, 那么, 公式教学会得到意想不到的惊喜。教师不必告诉他们应当学什么东西, 他们已有了学习更多知识和更深入研究问题的强烈愿望, 笔者相信这种愿望将会永远激励学生不断创新。

3. 本节课的不足

学生在当堂反馈中, 仍有两个学生用多项式乘以多项式计算, 在公式的运用中, 有两个学生对公式中“a2, b2, 2ab”的意义认识不清;一周后的反馈中, 又出现了新的“真问题”, 个别学生对公式中2ab的含义还不清楚, 个别学生还有符号错误, 虽然是个别问题, 但又将给教学设计提出新的挑战。

4. 课后的思考