初中数学公式要点

初中数学公式要点（共13篇）

初中数学公式要点 篇1

初中数学常用数学公式归纳

公式分类公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a

X1_X2=c/a 注：韦达定理

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

初中几何常见辅助线作法歌诀汇编

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

初中数学知识点总结

很多的学生到了初中之后,发现自己的分数会有一定的下降,这可能是由于上初中之后数学科目的难度加大,所以分数会有一定的降低,那么初中数学应该怎样学?应该使用什么方式哪?

知识点

一般来说这像科目小学与初中的区别是非常大的,知识点需要了解的非常多,并且难点也是非常多的,解题的步骤要求会更加严厉,一般初中开始学习一些思想如方程思想等等,这是常见的.

初中数学应该怎么学?--难点了解

初中的时候一般对计算能力要求比较高,各种方式比如,有理数等等这都需要多种方式的计算并且非常看重解答题目的能力,函数等等都会用到概念以及一些公式,下来就是四边形等等,这些都需要完全的了解知识点之后在进行测试,并且在学习完之后大约在初三的时候就需要备战中考,要将学过的知识全部都复习一次,需要全方面的了解各个方面的难点等等,所以在房价的时候需要找出一定的空闲时间进行复习以及预习的工作.

初中数学应该怎么学?--知识图

一般来说,画出完成的知识图可以使我们更快的清楚这方面的内容e799bee5baa6e79fa5e98193e59b9ee7ad9431333433623731,要想学好的话必须要全面的熟悉这些知识点的运用,当遇到难点的时候可以换个角度去考虑,慢慢的就会找到自己的解题方式.

还需要了解各种的概念、公式、法则等等,这们课程是需要非常强的连贯性的,如果在遇到一些难点,那可能是某一点遇到了困难,某一些知识没有懂,需要及时的找到然后解决,这样分数才会有一定的提升.

知识点

当老师在讲完内容之后会讲一些课外的内容,一般是定理、概念等等,会让你对这些知识更加的了解,所以如果对这类题目有问题的同学可以多看一些课外的题目,当然想要提升分数是离不开练习题的,想要多好就需要多做一些习题,但是不可以过多,需要边做边思考才可以,这样所学的知识就会运用出来.

以上就是初中数学应该怎样学习的内容,如果在这个阶段对自己分数不满意的同学可以借鉴一下以上的内容,或许会对你有一定的帮助,将自身的分数提升.

初中数学知识点整理

初中数学7a64e4b893e5b19e31333431376565宝典,你知道学习数学最重要的是什么吗?

在初中学习数学这们课程的时候很多的学生都是比较烦恼的,因为这们课程是非常难的,并且难点非常多,很多的学生在刚开始学习的时候还可以更得上,但是过一段时间之后就会变得非常的吃力,那么你知道初中数学宝典是什么吗?我们来了解一下吧!

复习笔记

初中数学宝典----复习

很多的学生在刚开始的时候学习这们课程不费劲但是往后可能会学的非常吃力,其实这就是因为在学习后边的内容时将之前的内容忘掉了,所以会导致学习比较吃力,所以现在就需要用到我们的初中数学宝典--复习.

在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此我们要在自己的脑海中建立一个数学的知识树.

我们在复习数学的时候,一定要对基础的知识进行整理和回顾,数学是一个阶梯式的课程,因此我们要建立起一个数学的知识树,我们要先在大脑中设想这棵知识树,然后找出自己的不足所在,在进行针对性的回顾,对于那写容易搞混的知识点,要进行梳理并且做到完全的区分,最重要的一点是,我们应该多层次的去分析问题,举一反三,将重点放在我们的解题思路上.

数学的复习,要秉承一个原则,那就是小题突破大题稳定,我们不可能在大题上做到突破但是在小题上可以做到这一点,有意识的练习自己选择题和填空题的答题速度,当然速度是在正确的情况下,这样会给下面的试题留下很多的思考时间,使用各种方法来进行解答.

在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此在脑海中建立一个数学的知识树是非常必要的,这可以更快速的帮助自己解题.

复习知识点

以上就是初中数学宝典的内容,当学习吃力的时候可以先复习一下之前的内容,当然这个时候之前记得笔记就可以用来复习了,这样可以更好的帮助我们学习后期的内容,并且可以改善学习吃力的问题.

初中数学公式要点 篇2

一、初中生在数学公式学习中的问题

初中阶段的教育属国家义务教育。正因为是义务教育, 学生的数学基础参差不齐, 接受能力有较大差异。以数学公式的学习为例, 初中学生就存在诸多问题。这些问题主要表现在以下方面:

(一) 不会记公式

1、死记公式。

数学公式是用字母表示出的等式, 而公式往往有一定的适用条件。在学习公式过程中, 一些学生存在孤立记公式的现象, 其结果:一是不易记住公式, 二是即使记住了公式, 也不一定会运用。死记公式是初中学生在学公式时最容易犯的毛病, 尤其是那些数学基础不够好的学生。

2、混记公式。

混记公式就是把所学的两个或多个公式弄混淆, 把形式相近或相仿的两个或多个公式乱拼凑。例如, 有学生学习了数学公式 (am) n=amn和am·an=am+n后, 就容易出现诸如am·an=amn等类似错误。

3、编造公式。

有的学生在学习了一些数学公式后, 容易想当然地去类推测一些所谓的公式, 而这往往又是错误的公式, 即编造公式。例如, 有学生在学习了数学公式 (ab) n=anbn后, 就编造出 (a+b) n=an+bn等所谓公式, 常把公式 (a+b) 2=a2+2ab+b2记为 (a+b) 2=a2+b2。

(二) 不会用公式

1、忽视公式条件。

学习数学公式时, 学生通常只管用公式而不太注意和关心公式的使用条件。殊不知, 数学公式的条件是公式成立和运用的前提, 一旦公式失去了这样的条件, 公式就不能运用, 用了就错。例如, 公式a0=1的使用条件为a≠0, 不具备这一条件, 用了就错。而通常考试题, 恰巧就是在考查公式的使用条件上做起了文章, 从而为正确解答设下了“陷井”。

2、不会活用公式。

数学公式是一个等式, 根据等式的性质, 公式就可以进行变形。譬如, 公式可倒过来使用, 这叫公式的逆用, 这在解题时常用, 也是解题的一大技巧;利用等式的性质, 把公式进行恒等变形后再使用公式, 这叫公式的变用, 这在数学中也常遇到。而学生, 尤其是死记公式的那些学生, 数学基础不太好的学生, 容易受思维定势的影响, 习惯于顺着用公式, 而不会逆用和变用公式。会不会活用公式, 这恰好又是数学能力强弱的一个标志。

二、对策与建议

教学是教师的教和学生的学的双边活动。下面, 笔者结合个人多年数学教学的经验, 针对初中学生在公式学习中容易出现的上述问题, 就从教师的教和学生的学这两个方面提出数学公式学习中应注意的问题或建议。

(一) 记公式的对策或建议

1、教师教方面。

(1) 重公式推导, 切忌急功近利.教师应树立正确的教学观, 学习并认真落实新课程提出的“过程与方法”理念。在数学公式的教学中, 应注意和强化公式的推导, 充分让学生经历公式的形成过程, 领会公式的含义, 从而才能加深公式的理解性记忆。然而, 在现实教学中, 恰恰容易忽视这一点, 一些教师为贪图方便、省事, 更多时候是直接或者很快就抬出公式, 紧接着的就是进行大量习题的强化训练, 这就是典型的急功近利。这样, 学生缺少了对公式形成过程的体验和感悟, 只是机械地被动地记忆公式和用公式, 容易导致因理解不透而使公式学习事倍功半。这样一来, 不仅大大增加了学生学习的负担, 而且还会影响学生的数学情感, 更有甚者会讨厌数学, 从而会因此出现更多的数学学困生。

(2) 重语言互译, 强化理解记忆.在数学公式教学中, 教师要善于运用多种记忆方式让学生理解公式的实质, 增强学生的公式情感, 而不要让学生感到数学公式就是用枯燥的字母符号写出来的等式, 是“冰冷”的。教学中强化公式显性的“符号语言”与隐性的“文字语言”的互译, 善于将公式的符号语言译成文字语言, 将公式的文字语言译成符号语言。首先, 教师自身要作好公式这两种语言互化的教学示范。其次, 践行新课程理念, 应给学生充分互动的空间, 可采取同桌两人一组合作进行这样的语言学习训练:一个学生草稿上写出公式, 另一个学生口头将其译成文字;一个学生口头叙述公式, 另一个学生在草稿上写出公式。

(3) 教记忆方法, 提高记忆效率。教师要注意教给学生记公式的方法。例如, 采取对比记忆、类比记忆、语言互译记忆、推导记忆和运用记忆。尤其要注意分析和指出公式运用中的一些常见错误, 让学生少走记忆的弯路。

2、学生学方面。

(1) 增强学习信心, 消除畏难心理。笔者在教学中发现, 数学学困生多数缺乏学习数学的信心。因此, 树立他们学习数学的信心, 就容易克服数学公式学习中的畏难情绪。同时, 注意消除学习数学的心理障碍, 要有意识地给这些学生以学习上成功的机会, 以增强其学习成功的体验。

(2) 注意持之以恒, 克服急躁心理。数学公式学习困难的学生, 也往往缺少持之以恒的精神, 想一口就吃出个大胖子, 结果事与愿违, 倒头来又责怪自己努力还是学不好。这主要是学习上过急, 没有循序渐进, 也没有持之以恒。学习数学公式, 要在基本记住公式从简单运用开始, 待逐步加深公式的理解之后, 才能学习灵活运用公式。

(3) 适度公式练习, 克服惰性心理。一些学生懒惰思想较强, 即使公式记住了又不愿动手做一定的练习来巩固和加深理解, 其结果是:公式记忆不牢, 运用公式不熟, 解题速度就慢。

(二) 活用公式的对策或建议

1、教师教方面。

(1) 注意循序渐进, 防止难度过大。在教学过程中教师习惯拔高要求, 刚学了公式就急于让学生做难度大或对公式灵活运用要求较高的习题, 想一下子就让学生把公式学活、会活用公式。事实上, 大多数学生达不到学习要求, 跟不上这样的教学步伐。初学公式练习题的难度应渐进, 灵活性的题留作本单元结束时再让学生做, 以让更多的学生有回旋思考和感悟的余地, 学习起来才不困难。

(2) 注意分析比较, 防止盲目解题。教学中常有这样的情况, 学了公式立马进行大强度的习题演练, 而不太注重去分析比较做的题的结构特点和处理方法, 只是为做题而做题。其后果是, 影响学生的数学情感, 重者讨厌教师、讨厌数学。学生学习的热情没了, 教学还有效吗?

(3) 注意数学思想, 防止就题论题。“数学是思维的体操”。这说明学习数学能够培养我们的思维能力。但是, 教学中机械训练不但不能训练学生的数学思维, 反而会扼杀学生的创新能力。这是为什么呢?因为机械训练限制了学生思考问题的空间和时间, 没有机会反思自己的数学学习。学习数学上升到思想方法高度去学习、做题和反思, 才能以不变应万变, 学习才会事半功倍, 也只有这样, 所学知识才不会支离破碎, 解题才不会形成思维定势, 这样才能把知识学活。

2、学生学方面。

(1) 经常反思学习, 克服应付心理。很多学生学习数学易犯这样的毛病:做作业前不爱复习看书, 做不起作业也不愿看书;做完作业不肯检查和反思, 只图完成作业任务。孔子云:“学而不思则罔, 思而不学则殆。”只有经过我们深思熟虑获得的知识才能理解得更透、学得更牢。训练学生养成作业前看书复习和做题后及时反思的习惯, 这有利于提高学习效率。

初中数学定理（公式）的教学探究 篇3

关键词：数学定理；分析；探求

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）10-0091

在数学教学中，数学定理（公式）的教学占有相当大的比重，是教师对学生实施素质教育的重要渠道，如何搞好定理（公式）教学，以下是笔者的一些看法：

一、不能直接把定理（公式）的结论教给学生

要利用特例、借助实验、设计问题等各种手段，使学生自己通过动脑、动手，建立正确、清晰、深刻的印象，从中发现、猜想知识，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法，以培养学生创造能力。

如在教学“直线和平面平行的判定定理”时，教师指导学生利用课桌和自备的两根直铁丝进行实验，把两根直铁丝看作课桌平面内的两条平行直线，当把其中的一根平移到这个平面外时，这条直线和平面是怎样的位置关系？学生能马上回答：“平行”，从而使学生在实验活动中“发现”了定理。

二、尽量探求多种推证方法

有些定理（公式）的推导、证明方法具有典型性，代表了一类典型的解题方法和思想，同时有益于学生对已学知识的巩固和深化。所以对定理（公式）的推证，既有利于学生解题方法和思想的形成，又有利于巩固深化学生已学过的知识。

如余弦定理的证明可利用解析法，即在已知的斜三角形上取一顶点的坐标原点，一边所在直线的坐标轴上建立直角坐标系，设三角形三边长和三角形在轴上顶点的坐标，通过三角函数的定义和两点间距离公式可推得。这里再现了解析法这一重要的解题方法，用到了三角函数的定义和距离公式。通过推证使学生进一步了解、巩固了解析法，同时也复习了三角函数定义和距离公式。还可以在复平面内推证，即在复平面内利用复数减法的几何意义和向量的模来推证。在推出了定理（公式）的同时，学生复习了复平面、向量及其模的概念，复习了复数减法的几何意义。

三、分析

推出定理（公式）后，引导学生对其进行多角度、多方位、多层次地分析，使一些在内容或形式上相近或相似且易造成混淆的地方，通过分析让学生在错综复杂的事物联系中明辨是非，发现事物本质，加深对事物的理解。

四、转换

即对几何定理（公式）进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转换，对代数定理（公式）探求它的几何意义，从而培养学生的“语言”转换能力和运用数形结合思想分析问题、解决问题的能力。

初中数学平行公理公式 篇4

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

正方形定理公式

正方形的特征：

①正方形的四边相等；

②正方形的四个角都是直角；

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形。

平行四边形

平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等；

②平行四边形的对角相等；

③平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形的判定：

①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③对角线互相平分的四边形是平行四边形；

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

。

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

④直角三角形中30度

角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2

，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

三角形

三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；

三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

三角形的三条角平分线交于一点（内心）；

三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；

三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

初中数学一次函数相关公式 篇5

表达式为y=kx+b(k≠0，k、b均为常数)的函数，叫做y是x的一次函数,当k>0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减小。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx(k≠0)，这时的常数k也叫比例系数,正比例函数的y值是随着x值的增大。

y关于自变量x的一次函数有如下关系：

1.y=kx+b (k为任意不为0的常数，b为任意实数)

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为因变量，k为常数，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常量，但k≠0)正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义;二要与实际相符合。

常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。

函数性质

1.在正比例函数时，x与y的商一定。在反比例函数时，x与y的积一定。

在y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中，当x增大m倍时，函数值y则增大 m倍，反之，当x减少m倍时，函数值y则减少 m倍。

2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合;

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行;

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交;

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0，b);

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5.两个一次函数(y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时(k≠0)，得到的的新函数为二次函数，

该函数的对称轴为-(k2b1+k1b2)/(2k1k2);

当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上;

当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。

二次函数与y轴交点为(0，b2b1)。

6.两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比性函数，渐近线为x=-b/a，y=c/a。

一次函数的学习关乎后面的各种函数知识吸收，只有基础打好了，后面的内容就不用担心。

初中数学公式要点 篇6

关键词：欧拉公式,高等数学,复变函数

学习过高等数学的的人都学过欧拉公式,还知道欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其一般形式如下 :其中,e是自然对数的底, i是虚数单位,而且有“最美的数学公式”的美称。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。本文将以高等数学和复变函数这两门大学必(选)修课的知识对该公式的推导做如下归纳总结,为相关教研的老师和从事该领域研究的学生提供参考。

首先,我们先以所有本科生的必修课高等数学这门课程为基础来研究,当我们学习了级数的基本知识,这个公式的推导就可以总结如下 :

下面先给出一些级数部分的预备知识,即在学习级数章节的函数展开成幂级数的内容中,我们学习了三个重要函数——余弦cos x、正弦sin x、指数ex 函数的幂级数展开,当时我们用直接展开法将其分别展开为x的麦克劳林幂级数,现将其展开式的结论复习如下 :

接下来,我们作如下数据处理,在指数函数ex 函数展开式中的x用ix变量替换,其他什么都不变,这样便有如下新的展开结果 :

由众所周知的基本复数知识可知,

再将之前我们复习过得正余弦函数cos x、sin x的展开式代入上述结论便得,

即 ,就是我们推得的欧拉公式,但初等数学和高等数学里又习惯将欧拉公式中的x用θ替换写成如下的一般形式 :

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起 :两个超越数 :自然对数的底e ,圆周率π ,两个单位 :虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

以上归纳了欧拉公式在高等数学中的详细推导过程,接下来在学习了复变函数课程中的相关知识后我们在对该公式的推导做如下整理归纳如下 :

大家都知道实初等函数指的是——幂、指、对、三角、和反三角这五类基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算能够用一个式子表示的函数,那么在我们学习复变函数这门课程的过程中,当然也会引入类似于实初等函数的复初等函数,当我们引入了复初等函数的概念之后,我们就可借助复初等函数中的复指数函数的定义来推导欧拉公式,推导过程简洁明了,现归纳如下 :

在复变函数这门课程中,复指数函数是这样定义的 :

接下来只要我们令复指数函数中复数z=x +iy的实部x =0即可,从而

即

同理用θ替换上式中的y便可写成如下欧拉公式的一般形式 :

初中数学公式要点 篇7

关键词:势函数;原函数;零点;积分上限;积分下限

中图分类号:G633.7 文献标识码:A文章编号:1003-6148(2009)11(S)-0078-2

数学是学习和研究物理学的重要工具,运用数学工具解决物理问题是大学物理教学中的重要环节,善于利用数学分析方法,能够更好地理解物理公式的含义。

首先,切莫淡化物理公式中变量的物理含义,而过分强调数学关系。学生在运用数学知识解决物理问题的过程中,往往撇开公式的物理意义,忘记公式所表达的物理现象之间的因果关系,容易造成错误。如电磁学中的场强公式:

E=FQ(1)

学生们往往会从公式的数学形式上得出结论:E正比于F或反比于Q。事实上,方程左端代表一物理事实,而右边代表一种定义的方法(测定方法),描述的是这样一个事实:将电量为Q的点电荷放在待测电场中时,受到的电场力为F,并不存在E正比于F或反比于Q的问题。克服这种思维偏差的主要措施,一是要强调公式的物理意义,理解公式所描述的物理现象与物理事实之间的因果关系、决定关系。二是要明确公式的来龙去脉,增强公式的物理色彩,突出对其物理意义的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,强调其数学本质,有时甚至过分地强调。实践证明,对于初学者来说,强调其数学本质可以帮助其更加深刻地理解物理公式的本质含义。

例如,大学物理中有关“势”函数的概念,与高等数学中“原”函数概念,有着对应关系。所以,在讲授“势”概念时,将其还原回到数学公式,利用掌握的微积分知识,可以澄清一些容易出错的概念。

高等数学知识告诉我们,如果一个函数f(x)有原函数F(x),则由牛顿-莱布尼茨公式可得到:

∫xx0f(x)dx=∫xx0dF(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分别为积分上、下限,且在同一数轴上,在学习“势”概念之前,学生对这一公式应该有了较深刻的理解。

静电场中“电势”φ(r)是这样定义的:

φ(r)-φ(r0)=∫r0rE(r)•dr(3)

公式(3)带着明显物理含义,与具有普遍意义的积分公式(2)有着一定的差别。显然,这种差别是表面上的,式中E为电场强度,r0、r分别为积分上、下限,且上限r0一般定义为电势的“零点”。

为了更好地理解这些变化的含义以及场强与电势之间的关系,将(3)式形式地还原为数学形式:

φ(r)-φ(r0)=∫rr0dφ(r)=∫r0rE(r)•dr=-∫rr0(E•dr )(4)

可以得到:

dφ=-E•dr=-dW(5)

我们一般定义电势的改变量为电势能增量的负值,之所以这样定义,从数学公式角度考察,“故意”将积分上下限颠倒,必然会得到这种结果;从物理含义角度来考察,之所以将上下限颠倒,是为了迎合物理习惯:一般情况下,保守力做功导致势能的减少,而数学只采用末态值减去初态值的方式来描述积分过程。

从(4)式还可以看出,积分变量不再局限于某一坐标轴上变化,可以是描述数量变化的任何变量。在力学、电磁学中,它通常是三维空间位置向量的大小。

从上述对比、分析过程不仅可以更加深刻地理解保守力做功的含义,而且有关“零点”定义的含义也搞清楚了。如果将上限r0处定义为零点,则任意点处电势为:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人为”的,是我们定义的零点,明显具有物理含义,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具体的数学计算结果(真实结果),φ(r0)不见得取“零”值。从式(6)亦可以看出,如果没有人为地将方程左端的φ(r0)设定为φ(r0)=0,那么,必须将r处真实值φ(r)修正为φ(r)-φ(r0)。

一般将有限带电体无穷远处定义为电势零点,即有:

φ(r)=∫∞rE•dr=∫r∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情况下,有限带电体的φ(∞)=0,与左端“人为”定义的结果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞rE(r)•dr(8)

初学者通常会将上式牢记在心, 并且习惯于解决无穷远处电势零点问题, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,当遇到变换零点问题时,往往无计可施。例如,如果问题中涉及将零点定义在某有限距离r0处时,只要清楚“人为”的、“数学”的零点的含义,很自然地会利用(6)式来求任意点r处的电势。例如,任意点r处点电荷Q的电势φ(r),可以直接写为:

φ(r)=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=∫rr0d(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

显然,若生硬照搬公式,则(8)式爱莫能助。

总之,有些物理公式,可以通过将其数学化,来加深对其物理含义的理解。这样,将有助于培养学生运用数学知识、数学方法描述物理问题的能力,真正建立起物理上的数量关系的能力,增强运用数学知识的意识,提高运用数学工具的能力。

参考文献

[1]张三慧. 电磁学[M]. 北京:清华大学出版社, 2004:60-87.

[2]赵凯华, 罗蔚茵. 力学[M]. 北京:高等教育出版社, 2004:106-132.

[3]沈永欢等. 实用数学手册[M]. 北京:科学出版社, 2004:175-200.

初中数学公式要点 篇8

列出方程(组)解应用题的一般步骤是：

1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数 4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程 5解方程(或方程组)，求出未知数的值;6检验：针对结果进行必要的检验；

7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。

一，行程问题

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式 路程＝速度×时间；

路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置.相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程 追击问题：追击时间＝路程差÷速度差 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

二、利润问题

现价=原价*折扣率

折扣价=现价/原价*100% 每件商品的利润=售价-进货价=利润率*进价 毛利润=销售额-费用

利润率=（售价--进价）/进价*100% 标价=售价=现价 进价=售价-利润 售价=利润+进价

三、计算利息的基本公式

储蓄存款利息计算的基本公式为： 利息＝本金×存期×利率

税率=应纳数额/总收入*100% 本息和=本金+利息

税后利息=本金*存期*利率*（1-税率）

税后利息=利息*税率

利率-利息/存期/本金/*100% 利率的换算 ：

年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：

年利率＝月利率×12（月）＝日利率×360（天）；

月利率＝年利率÷12（月）＝日利率×30（天）；

日利率＝年利率÷360（天）＝月利率÷30（天）。

使用利率要注意与存期相一致。

利润与折扣问题的公式

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

四、浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

五、增长率问题

若平均增长（下降）数百分率为x，增长（或下降）前的是a,增长（或下降）n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为：a(1+x)n =b或a(1-x)=bn 六 工程问题

工作效率=总工作量/工作时间 工作时间=总工作量/工作效率

七 赛事，票价问题

赛事

初中数学公开课评课要点 篇9

教师教的怎么样，往往要看学生学的怎么样。

第一，从认知角度而言，关注学生原来不知道什么，通过这堂课知道了什么;学生原来不会什么，今天学会了什么。

第二，从情感角度而言，关注学生原来不喜欢什么，现在喜欢什么。

看学生学的怎么样，最好看一看学生们的表情，关注学生是否全员参与，是否眼睛都在动，关注他们的情绪状态和交往状态。

2.关注课堂教学的效度

我们关注课堂教学效度，要考虑其即时性的短期效果，即“三高”。第一，教学目标达成度高(课堂学习讲求效率)。第二，学生的参与度高(学习态度积极，情绪高涨)。第三，学习的幸福度高(学习愉悦、快乐、健康)。

我们关注课堂教学效度，还要整体把握其长期效果，即“三化”。第一，知识与技能的结构化。第二，过程与方法的体系化。第三，情感态度价值观的理性化。

在课堂教学中，教师要整体考虑三维目标。理科教学要培养学生的科学态度：第一，求是;第二，质疑。如果这堂课，教师连一次质疑的机会都不给学生，那么教师是在培养学生的科学态度吗?最近出版的《大背叛》一书，把所谓的科学家们做的一些伪科学的事情、错误的东西都揭露出来。从这个意义上讲，我们要培养学生的质疑精神。我的语文课就是让学生说自己的话。但是，我要求他们：第一，自说自话，第二言之有理、言之有趣。

我听过一节物理课，学生在学习之前没有问题，之中没有问题，之后也没有问题，那么这堂课是效率最高的课吗?在评课的时候，我坦言：这堂课，我没有看到任何问题，这就是最大的问题!教师提出问题之后，同时进行解说，所以孩子没有犯错误的机会。换句话说，教师给了学生支架和拐杖，但是，却没有给学生方法。教师始终是牵着学生走的，那么学生没有拐杖还会走吗?今后，学生会独立发现问题吗?

3.关注新课程理念

数学公式的图像分割处理研究 篇10

关键词：数学形态学；数学公式；图像分割

中图分类号：TP391.41文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Image Segmentation Processing Research of Mathematical Formula

Zhang Baoying,Wang Chuanchao

(Beijing University of Chemical Technology Institute of the North,Beijing101601,China)

Abstract:This paper contains a mathematical formula by the image binarization,gray level image pre-processing and so on,in order to split the precise mathematical formula,you need precise mathematical formula to extract the various features.The main features of each character is its skeleton,through the characters in the image on the mathematical formula of the refinement of mathematical morphology,and then followed by the character skeleton extraction,the final contours of the projection methods used to segment the picture,the final results of the segmentation Normalized.

Keywords:Mathematical morphology;Mathematical formula;Image segmentation

一、數学公式识别系统简介

一般一个数学公式的识别系统由图像预处理、字符切分、字符识别和后续处理四个部分组成，如图1所示。系统输入的是数学公式的扫描图像，多为BMP和JPEG格式的图片，最后经系统处理完后输出的是文档格式的数学公式。本文主要讨论图像预处理和字符切分这两个部分。

二、图像预处理

同其他的系统一样，公式的识别系统，首先需要将印写在纸上的字符，通过光电扫描从而产生模拟电信号，然后通过模数转换为带灰度值的数字信号输入电脑。所以，识别之前，要对所要处理的图像进行图像预处理。预处理一般包括二值化、去噪声、倾斜校正、规范化等。不同的识别方法，对预处理的图片格式要求有所不同。

（一）彩色图像灰度化。通过扫描获取的各种格式的公式图像大部分都是彩色的图片。对于数学公式识别系统来说，首先要把彩色的图像转变为灰度图像，灰度图像就可以以提供细致的图像信息，而且便于预处理算法的实现。

（二）二值化算法。很多的文档的识别和识别的算法都是基于二值图像的，相对于256个灰度级的图像或彩色图像，二值图像的算法更加的简单，更加的适合图像识别，所花费的空间和时间代价也更少。二值化的方法很多，但又没有对任何对象都普遍适用的方法，必须因情况而定。

本文的实验采用自适应阈值法进行二值化，得到的大多数图像都很清晰，噪声相对的较少，可是考虑到背景较为复杂的图片，在二值化后可能存在点状噪音等，所以在进行图像二值化处理后，本文采取中值滤波的算法对图片进行去噪处理。

（三）倾斜校正算法。在对数学公式的灰度图像旋转到一定角度时，图像中每一个象素的数值都要发生变化。数字图像的坐标值是整数，可是经过这些变换运算之后的坐标不一定是整数，因此要对变化之后的整数坐标值的象素值进行估算，除了空间变换的本身算法，还要进行灰度级插值的运算。插值是从已有的数据点产生新的数据点的技术。图像插值技术是插值技术在二维或高维空间的扩展，在图像相关的应用中获得了广泛的应用。

（四）形态学细化算法。为了能够精确的分割字符，需要准确的提取出字符的典型特征。每个字的主要特征就叫做它的骨架。可以采用数学形态学的细算法对数学公式的字符图像进行细化处理，然后用形态学的骨架提取算法抽去其骨架。试验结果显示本方法能够准确完整的抽取数学公式的主要特征，从而能够实现数学公式的分割。许多数学形态学的算法都是依赖于击中击不中变换的算法思想。图像运算的数学形态学细化算法便是一种常见的使用击不中击中变换的基本形态学算法。它的基本思想是：在根据要求选定具有一定形状的结构元素后，顺序循环的删除满足击中变换的象素。

三、数学公式图像的字符切分

在进行完预处理的公式图像，本文采用轮廓投影的方法对其进行分割。一些分布在同一水平线上的子表达式构成数学公式，通过进行垂直轮廓投影分割可以将大部分分割开来，接着使用水平轮廓投影分割方法，可以将经过垂直轮廓投影分割后得到的像素块再进行n次分割，从而得到更小的像素块。重复执行上述算法直到垂直和水平轮廓分割不能再分割出更小像素块。经过递归的垂直、水平轮廓投影分割之后，大部分可以分割出来，使用轮廓投影分割后会有一小部分的像素块无法处理，将这小部分的像素块提取出来，进行后续处理。

（一）投影法。水平投影法就是用一条水平黑线记录每一个像素行的黑色点的个数，黑色点的个数越多，则黑线的长度越长；竖直投影法的方法类似。投影法是一种很自然的方法，有点像灰度直方图。为了得到更好的效果，投影法经常和闭值化一起使用。由于噪声对头应有一定的影响，所以处理前最好做一次平滑，取出噪声。

（二）行、列切分。字符分割的目标是将单个符号的图像提取出来，送入识别器进行识别，得到相应符号的代码。目前，一些比较成熟的字符识别技术已能得到满意的结果。但是把它们用于数学公式的字符识别，识别率一般会下降6%。因而，对数学公式而言，一个好的图片分割算法是非常重要的。

（三）紧缩重排和归一化。对于经过分割处理的图像，各个单独的字符大小是不一致的，会对后续的识别造成影响，因而需要把字符图像的大小进行归一化的图像处理。简单的描述就是对不同大小的符号图像进行尺度变换，处理为归一化图像（也就是处理为小相同的符号图像）。通过大小归一化之后，识别算法就对于符号的大小不敏感。从而提高分割的正确率。数学公式进行分割识别前都要进行大小的归一化，这样提取出来的字符特征具有尺度的不变性，对于提高分类器的识别率起着重要的作用。

四、结论

表明发现公式识别算法识别率不高，数学符号并不能被百分之百分割，这也影响了结构分析的准确性，提高算法的识别率将是下一步工作的重点。

参考文献：

[1]靳简明,江红英.印刷体数学公式处理研究现状[C].2001年中国智能自动化会议（昆明）.北京:清华大学出版社,2001:69-74

[2]吴俊飞.基于特征字符印刷体公式识别研究[D].哈尔滨:哈尔滨土程大学,2006

重视数学公式、定理的推导过程 篇11

一、让学生体验数学公式、定理的推导过程, 是学生理解这些公式、定理的前提

著名数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料, 不要只看书上的结论。”这就是说, 对探索结论过程的数学思想方法学习, 其重要性决不亚于结论本身。其实, 很多教师都忽略了一个最重要的问题:数学公式、定理是解题的工具, 能正确理解和使用公式、定理, 是学好数学的基础。有的教师在平时教学中, 常常为了节省教学时间, 把公式、定理的推导过程省略掉, 有时虽有展示公式、定理的来源, 但还是以教师的讲授为主, 学生没有真正参与公式、定理发现的全过程。所以, 从表面上看似乎是节省时间, 但这种形式的教学往往使学生的头脑中留下只有公式、定理的外壳, 忽略了他们的因果关系, 不清楚他们使用的条件和范围, 当需要使用公式时总是不能记住, 如果能记住也不懂使用。

多元智能理论要求学生不是盲目接受和被动记忆课本的或教师传授的知识, 而是主动自我探索, 将学习过程变成自己积极参与的建构知识的过程。学生能够灵活运用数学公式、定理是理解这些公式、定理的前提;而理解这些公式、定理就需要学生亲身体验公式、定理的推导过程, 只有在这个过程中, 学生才明白它们的来龙去脉、运用的条件和范围。

二、重视数学公式、定理的推导过程, 让学生在推导过程中使用这些解题工具

数学公式、定理、定律等结论是通过观察和分析, 归纳和类比法等方法得出猜想, 然后寻求合乎逻辑的证明;或者从理论推导出发得出结论。因此, 在公式、定理、定律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索发现的推导过程, 不断在数学思想方法指导下, 找出每个结论因果关系, 让学生经历创造性思维活动, 并引导学生总结得出结论。

以前在教导完全平方公式 (a±b) 2=a2±2ab+b2的时候, 为了节省时间, 直接把结论告诉学生, 认为他们会用就行了。让学生背熟公式后只要通大量的练习学生一定会掌握公式。但事实上还有很多学生由于不理解公式形成过程, 只是把公式的的外形记住了, 到用起来的时候, 不是漏了2ab, 就是错写b2的符号。于是在我所教的两个班当中做了一个这样的实验, 一个班继续是直接给公式, 让他们背熟后直接做题。一个班让他们亲自动手推到公式。

先从几何意义出发, 采用小组自主探究的学习方式, 让学生准备一个大正方型、一个小正方形和两个以大正方形的边长为长小正方形的边长为宽的长方形让他们利用手头上的图形去拼一个大正方形。通过拼图的方法, 使学生在动手的过程中发现律。

以小组为单位用手上已有的四个图形拼成一个正方形, 并观察图形回答下列问题:

(1) 整体看:求总面积_________

(2) 部分看:求四块面积和_________

(3) 结论 (a+b) 2=a2+2ab+b2

总面积由有四部分组成:两个大小不同的正方形和两个长方形。正方形的面积分别是a2和b2, 两个长方形的面积就是2ab是整个面积的重要组成部分, 学生通过拼图的方法加深了对公式中2ab的理解, 有效防止日后漏掉2ab的情况。

在学生探究出 (a+b) 2=a2+2ab+b2的基础上, 提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?让学生运用多项式乘以多项式的法则推导完全平方公式: (a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2并说出每一步运算的依据, 加以论证完全平方公式。运用多项式乘以多项式法则的计算过程让学生再次感受2ab的存在。从代数、几何两个方面证明公式, 让学生充分了解公式的形成过程加深学生对公式的印象, 也加强了公式的可信度。而且让学生知道猜想的结论必须要加以验证。让学生体会了数形结合及转化的数学思想。

再让学生观察特征, 熟记公式熟。让学生用语言叙述完全平方公式。鼓励学生自主探究这个公式的结构特征: (1) 公式展开是三项; (2) 两个平方项同正; (3) 中间符号前后要一致。让学生弄清楚公式的来龙去脉, 我设计了这样四道判断题, 让学生对对公式结构由一个更深的理解。

(1) (a+b) 2=a2+b2 ()

(2) (a-b) 2=a2-2ab-b2 ()

(3) (a+b) 2=a2+ab+b2 ()

(4) (2a-1) 2=2a2-2a+1 ()

通过第一道判断题四小题让学生深刻认识公式的结构特征 (第一道题让学生掌握公式一定有三项不要漏写2ab, 第二道题让学生掌握平方项为正, 第三道题让学生知道不要漏写2ab中的2, 第四道题让学生知道公式中的a不止是一个字母还可以是一个式子, 当a是一个式子时一定要加括号。

最后通过填下表的形式, 组织学生展开讨论, 由表格再次巩固公式的结构特征:首尾平方总得正, 中间符合看首尾项的积, 同号得正, 异号得负, 中间的两倍记牢, 进而总结步骤为:

(一) 确定首尾平方和符号; (二) 确定中间项的系数和符号, 得出结论。

上完新课后我让两个班一连五天进行小测, 统计运用公式的出错率

发现第一天新学两个班出错率差不多, 但是日子越长学习的公式越来越多时, 背公式班公式出错率又变大, 特别是中下生他们没有体会到公式的产生过程只是简单记住公式的外形日子越久记忆越模糊, 所以出错率又越来越高。相反经过了公式推导的班, 体会到公式的内涵, 日子越久对公式的理解越来越清晰, 所以出错率越来越低。

通过一段时间的尝试, 我们发现学生对数学公式、定理的掌握不只是停留在记得的层面上, 他们都能理解其内涵。通过这样的体验学习, 学生的学习成绩有了显著的提高, 学生对数学的兴趣更浓了, 学生的学习积极性也更高了。

小学生数学公式植树问题公式 篇12

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：

株数=段数+1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数-1)

株距=全长÷(株数-1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：

株数=段数-1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数+1)

株距=全长÷(株数+1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

略谈高中数学公式的教学策略 篇13

一、创设问题情境,产生探究欲望

课堂是以情境引入而开始的,良好的开始是成功的一半.如果教师希望顺利完成教学任务,学生能愉快学习,那么就要在创设情境上下工夫.情境设计是否有效是能否让学生初步产生探究思维趋向的关键.在公式教学中,为了公式探究的需要,教师需要根据公式的内容,设计好问题情境,调动学生进一步探究公式的积极性.适宜的情境设计有利于学生激发求知的欲望,形成良好的情感体验,有利于营造课堂生动活泼的氛围和启迪学生的创造性思维.但有的教师不考虑设计的情境是否适应于本公式的教学,一味地设计无用的情境,效果是适得其反.在情境创 设中,不要追求 外表的热 烈,追求花样,占用过多的课堂时间,减弱其他教学程序.

二、引领探究合作,感知公式雏形

在适宜的情境中,学生会产生强烈的探究意识和急于渴望的求知心 态,这时教师 就要顺势 利用学生 的热情,积极引导学生快速进入公式的探究状态 ,体验公式的形成历程,实现知识的“再创造”.在公式的形成过程中,需要逐步培养学生的探究合作能力,引导学生运用新旧知识创造性地解决遇到的新问题.数学公式是数学中最简单的语言、最完美的符号表达,而公式的 源起过程都存在真实的观察、猜想、探究与证明.公式不仅仅是文字与符号的堆砌,而且充满人的思维过程.因此,在教学中,教师要把自己置于学生学习活动的组织、引导、合作的地位,为学生搭建自主探究的平台,设计探究问题的情境,促进学生对问题的理解与思考,引导学生自我探究、相互合作、大胆发现,把“教数学”变成学生自主地“学数学”,真正展现公式中蕴含的思维过程.

三、归纳公式推导,感悟数学方法

公式的证明与推导阶段需要教师的引导和启发.分析公式的条件与结论时,可利用已有的知识与经验,探索构造公式的证明与推导.在这个过程中,学生理解了数学公式的逻辑意义,也收获了数学思想方法及证明的策略和技巧.公式的证明过程体现了比较丰富的数学思想和解题方法,学生在公式的推证中可以学习推证的思路,掌握好的方法与技巧.可见,归纳公式推导,感悟数学方法是数学公式教学不可或缺的环节.教师需要及时挖掘和提炼公式推导中蕴含的数学思想方法,并努力将数学公式的教学课发展为以知识为明线,以思想为暗线的教学过程.随着数学不同公式教学的探索,反复分析与提炼、归纳概括、反思,学生数学思想方法的获得不再是困难的事情.

四、强化公式变形,巩固公式应用

通过课堂上的合作探究,学生对数学公式已经有了一定的认识.公式呈现形式是多样的,公式应用是灵活的.虽然学生掌握了数学公式,但还没有达到灵活运用、举一反三的程度.例如:(1)用数学对象来替代公式中的元素及其符号.学生在学习三角函数的二倍角公式sin2α=2sinαcosα时,明白二倍角公 式不仅仅 限于2α是α的二倍的形式.如4α是2α的两倍;α/2是α/4的两倍;3α是3α/2的两倍;α/3是α/6的两倍等,这些都可以应用二倍角公式.因此,要理解“二倍角”的含义,即当α/β=2时,α就是β的二倍角.凡是符合 二倍角关 系的都可 以应用二 倍角公式,这说明“倍角”的意义都是相对的;(2)数学公式可正向、逆向灵活运用.学生在学习两角差余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ时,明白cos(α-60°)=1/2cosα+31/2/2cosα,而cosα+31/2cosα=2cos(α+60°)就是公式双向运用的案例;(3)公式在运 用时,其表达的 形式可以 有多种.三角函数的二倍角公式cos2α=cos2α-sin2α可以变形为cos2α=2cos2α-1或cos2α=1-2sin2α这样的 形式.在解题中需要灵活运用,可以达到事半功倍的效果.基本不等式:如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时,取“=”号).公式的等价变形:.等差数列 的前n项和的公 式可以通过变形得出形如二次函数的形式,Sn是n的二次函数.这样可使学生将数列的知识纳入函数当中,用函数的思想和观点解决数列问题,为数列问题的有效解决提供新视角,从而有效发挥知识系统的整体功能.

在初级的公式直接运用后,教师就要展开实质性训练.如公式的逆用、公 式的变形 运用,直至最后 迁移训练,使学生对数学公式从理解到内化,逐步得到升华.数学知识相互联系,公式与其他知识之间构成的问题较复杂,教师也可以根据教学实际进行适当的引导.学生学会灵活应用公式,在解决问题时便能举一反三、触类旁通.

五、随堂练习检测,产生积极情感

随堂练习检测不是平时的测试或者考试,它突显学生对本课学习内容的掌握情况,具有即时功能.随堂检测的目的一方面是检验学生对本节课的公式学习的落实情况,同时教师也可以根据检测反馈的问题及时发现教学方面的不足;另一方面是通过随堂练习检测使学生产生积极的情感.积极的情感体验是学生在学有所获时表现出的愉悦的心理状态,它可以增强学生学习数学的自信心.同时,也是学生继续学习的动力.

根据最近发展区理论,随堂练习检测的设置不能太高,也不要太低.因此,检测题目的难度要适中,要针对本节公式的内容设计,注重题型的典型性、层次性和目的性.在此环节,教师也起到决定性的作用.教师对要检测的题目数量、难易、形式等精心掌控,及时反馈随堂检测的结果,学生可以相互批改,也可以自批,或者学生回答,但教师要给予当堂评价,指出随堂练习中的问题.

六、课堂反思小结,完善知识内化