八年级因式分解的应用

八年级因式分解的应用（精选11篇）

八年级因式分解的应用 篇1

启发式教学在八年级数学因式分解中的应用

中学数学教育体系是一个系统、一个整体。进行数学教育研究,不应该仅着眼于某一个方面,而应该从全局出发考虑问题。在中学数学中进行启发式教学,能够加强学生自己解决问题的主动性,提高学生积极性,培养学生学习自觉性。作为当今教师,要把教师与学生的角色相互转换,以前由教师一味地在黑板上灌输的做法已经落伍了。教师如果能够充分调动学生学习的积极性和主动性,远远要比教师满堂灌输要好得多。以下是我从事初中数学运用启发式教学讲授八年级数学“因式分解”的几点心得,希望我的这块砖抛出去后能够引更多的玉出来。

首先,启发学生的疑问。在教学实践中,注意引发学生积极思维。思源于疑,学去于思,有了问题,经过思考,思维也就活跃起来了,教师的教就具有了活力。初中数学中的概念学生容易混淆,通过设问,揭示其本质属性,可以使学生模糊的认识得到澄清。例如“整式的乘法”和“因式分解”,它们既有区别又有联系。在讲解因式分解时,由于我们整式的乘法在前面已经学习过,所以我先让学生回顾什么叫“整式的乘法”,学生很快做出正确的回答:几个整式积的结果。如3ab(c+d)=3abc+3abd。并指出这个等式的左边是两个整式3ab与(c+d)的积,右边是两个整式3abc与3abd的和。然后我又进一步启发学生“等式有什么性质”,由于七年级已经给学生讲过等式具有对称性,因此学生随即回答:等式具有对称性。即整式的左边等于右边,反过来整式的右边等于左边。即上面的等式反过来也成立的:3abc+3abd=3ab(c+d)。这时候我又要求学生仔细观察上面的等式,而且要求学生能够总结它们之间的关系。学生经过认真观察和思考后得出:等式的左边是两个整式3abc与3abd的和,等式的右边是两个整式3ab与(c+d)的积。经过几次层层启发,学生于是对因式分解有了初步的认识。这时候我就作出总结:我们把几个整式和(多项式)的形式化成几个整式(因式)积的形式叫因式分解。

其次,引起学生的学习兴趣。什么是学生学习兴趣呢?学习兴趣就是学生力求某种学习并积极参与某种学习活动的倾向和动力,是获取良好学习效果的重要因素之一。教学中培养学生学习兴趣,激发学生的求知欲和好奇心,启发学生学习的主动性和积极性,鼓励学生勤学、好问、多思、求索是启发式教学的重要策略。在讲解因式分解中的平方差公式时,我提出:有哪个同学能够很快把682-322算出来,前提是口算。这时所有学生都表现出很大的兴趣:这样的题目也能够口算吗?我说,一定能,当你们学习了一个公式之后你们一定能够轻轻松松解决这种题目!同学们听了感到非常高兴,学习兴趣给激发出来了。我及时给出a2-b2等于什么呢?所有学生怎么也想不出来,我又启发学生(a+b)(a-b)等于多少呢?学生很快根据多项式乘多项式得出(a+b)(a-b)=a2-b2.我又问:这个等式反过来成立吗?学生马上醒悟过来:a2-b2=(a+b)(a-b).我趁机指出:两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差,这个公式就叫平方差公式。即a2-b2=(a+b)(a-b).于是我问:682-322=? 同学们恍然大悟:682-322=(68+32)(68-32)=100*36=3600.学生知道了平方差公式的用法之后,我又举出类似的几个问题让他们加以巩固。就这样,我在一个普通的题目的解答中教会了学生掌握平方差公式,我所用的启发式教学又给我轻轻松松上了一节课。同时,我还让同学们相互出类似682-322=?题给对方做。这样,课堂氛围不但活跃起来,学生的学习积极性也给调动起来了,教师的教学效果也就体现出来了,这不正是我们新教材教法所要求达到的标准之一吗?

最后,创造教学情境。在中学阶段,学生的思维正处于从具体形象思维向抽象思维过渡时期,对一些数学公式的本质特征需要借助具体事物充分感知,才能理解和掌握。在讲解完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2时,我创设如下情境:王老师要把4块厚度相同,面积不同的巧克力分给4个同学。4块巧克力分别是边长为a和b的正方形两块,长为a宽为b的长方形两块.为了使每个同学平均分这4块巧克力,王老师让这4位同学想办法解决这个问题。这4位同学想啊想还是没有想到解决的方法,请同学们帮帮他们该怎么办,并问这4块巧克力的总面积是多少。(前提是用数学的方法)。同学们看了这个问题,纷纷开动脑筋思考起来。许多学生马上回答:这4块巧克力的总面积是(a2+2ab+b2).不一会又有学生想到把4块巧克力拼凑成一个正方形,它的边长为(a+b),然后用小刀沿这个正方形的对角线切成4块即可。我表扬了这个学生,并问:这块正方形的巧克力的面积是多少?学生答:(a+b)2.我又问:前面4块巧克力的总面积和拼成的这块正方形的巧克力大小有什么关系呢?学生异口同声答道:相等,即a2+2ab+b2=(a+b)2.我又启发学生:等式左边的式子有什么特征?学生答:两个数的平方和和这两个数积的2倍,即(a2+b2)+2ab.又问:等式的右边的式子有什么特征?学生答:是两个数和的平方,即(a+b)2.这时我顺势指出:两个数的平方和加上这两个数积的2倍等于这两个数和的平方。这个公式就叫完全平方公式。通过设置了这个情境,我又把一个重要的、难懂的公式给解决了。而且学生也在这个情境中学会了这个公式。

所以,我们在教学中尽量使用启发式教学,这不仅仅是新教材教法的需要,是学生学习新知识的需要,更是新时期把课题还给学生的需要!

八年级因式分解的应用 篇2

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式, 这种变形叫作把这个多项式因式分解 (也可以叫分解因式) , 它的定义确实简单, 但也足够抽象, 主要还是强调形式上的变化.课本上介绍的方法也很常规, 主要是两种方法:提公因式法和运用公式法. 但是想要顺利解决它却是件不太容易的事情.我认为, 了解因式分解中的数学思想尤为重要. 我将通过课内习题中的几个典型例题略作介绍:

一、整体思想

所谓用整体思想来分解因式, 就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.

例1 把多项式 (x2-1) 2+6 (1-x2) +9分解因式.

【分析】把 (x2-1) 看成一个整体利用完全平方公式进行分解, 最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的.

例2 把多项式 (a+b) 2-4 (a+b-1) 分解因式.

【分析】原式两项既无公因式可提, 又无公式可套用, 但此结构特点可视a+b为一个整体, 局部展开后或许能运用完全平方公式.

二、类比思想

类比思想在因式分解中的运用很广泛, 具体表现在:一是因式分解与整式乘法的对比;二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对比.

例3 把多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2分解因式.

【分析】对比整式的乘法和乘法的分配律可知, 6、12、6的最大公因数是6, 字母x、y的最低指数均为2, 所以多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2.

例4 分解因式:

(1) x3y-xy3; (2) abx2-2abxy+aby2.

【分析】 (1) 对比平方差公式可先提取xy. (2) 对比完全平方公式可先提取ab.

三、转化思想

某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的, 必须通过适当的转化, 如经过添项、拆项等变形, 才能利用因式分解的有关方法进行.

例5 把多项式6x (x-y) 2+3 (y-x) 3分解因式.

【分析】考虑到 (y-x) 3=- (x-y) 3, 则多项式转化为6x (x-y) 2-3 (x-y) 3, 因此公因式是3 (x-y) 2.

例6 把多项式x4+x2y2+y4分解因式.

【分析】从表面上看此题不能直接分解因式, 但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2-x2y2, 即可先运用完全平方公式, 再利用平方差公式.

四、换元思想

所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换, 通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的, 将陌生的转换成熟悉的, 使之得以顺利地分解因式.

例7把多项式 (x+y) (x+y+2xy) + (xy+1) · (xy-1) 分解因式.

【分析】这个多项式形式上比较复杂, 但考虑x+y与xy重复出现, 利用这一特点, 可以把这两个因式通过换元后再分解因式.

八年级因式分解的应用 篇3

关键词：代数；应用问题；解决策略

代数是数学的一个分支，是研究数学的代数运算的，利用数字对文字进行相关的解释。早在古代，人们已经开始了对数学的研究，那时的代数运算较现代来说还比较落后，但也是一点一点积累起来的。我国代数从数学中分离出来，在初中时对学生进行分科教育，使学生将其与几何区分开来，这样可以细致地进行讲解。而随着新课标的制定，代数教学问题又得到了新的考验，传统的教学方式已经无法满足相关的要求，因此，教师必须要寻求新的解决方法。

一、提出问题

教学方法的研究是我国新时代最为重要的教学任务之一，目前全世界都认同的方法就是激发出学生在学习上的主动性，使得学生真正成为学习的主人，提高他们的主动意识和自主意识，让学习成为一种习惯，自然就可以提升学习效率了。而新课标中对于代数教学的新要求又是对相关教学方法的考验，那么，数学教师要如何改善教学方法呢？相应对策如下：

二、教学方法改善策略

1.改善学生的自身条件

学生是学习的主体，也就是教学工作的中心，因此，改善学生的自身条件就成了改善教学方法的首要任务。改变学生的自身条件就是增加学生的积极性和对代数学习的兴趣。在平常的教学过程中，一定要采取相应的方法，调动学生对代数的学习兴趣，让学生积极主动地与老师配合，将教学的工作做到最好。同时，还要给予学生适当的鼓励，帮助学生提高自信心，这样，学生在学习的过程中才可以更加主动、更加投入。

在学习代数的过程中，可能会遇到很多的难题，学生甚至于会走进“死胡同”，钻牛角尖式的学习方法是不提倡的，为此，老师可以在学生尝试自主学习的时候在一旁帮助学生，当学生遇到了实在解不开的问题，老师只需要适当的启发，引出学生的思绪就可以了。另外，老师还要为学生创造学习的环境，帮助学生能够自然地进入学习的角色中去，使得学生的学习效果能够更好。

2.教导代数的学习方法

代数从某种程度上说是一门比较枯燥的学科，对于学生来说，面对代数时，大多时候是文字以及数字的组合，而平时学习生活中，在代数方面也只是运算而已。因此，老师在教导学生学习方法的时候，就要富有创造性。老师要对相关的知识点进行总结，用最简单的话语向学生进行表达，然后要实施强化训练，对于容易被弄混的一定要多让学生做练习。这样，就可以使学生在学习知识时有层次、由浅入深地进行学习，慢慢地，潜移默化地形成思维习惯。而后，在平时的教学过程中帮助学生对代数的公式进行记忆，同时还要在教学的过程中为学生进行情景的设定，将代数教育带入情景教学中去，使得学生对于代数题目有一个直观的了解。

3.利用现代的信息技术

在现代的教学中，多媒体教学技术是一类新兴的教学方式，

它是将教学内容利用多媒体的方式进行体现，通过这么多年的不断尝试，我国教育界对于多媒体的应用也达到了一定的程度。在代数的教学中，整个教学过程和内容都是围绕着数字和文字来完成。而这些事物摆在纸面上的时候是死物，但将其融入相应的多媒体教学软件中时，老师就可以通过一些手段来让文字和数字活起来，例如Flash动画处理，将一个题目变成一个挥动的情节，将题目本身融入进去，使得学生在观看Flash动画的同时就能够了解到题目所要表达的意思。同时，老师也可以在出题之后，让学生自己想想题目内容应该是个怎样的画面，然后老师再将相应的

Flash动画播放出来，让学生将自己的想象与动画做对比，了解自己对于代数的数学构想有哪些地方的不足。这样做既可以提升学生的积极性，又可以锻炼学生思维的灵活度，为其以后的代数学习打好基础。

综上所述，八年级的学生正处在思维转型的时期，为了学生在以后解决代数应用问题中能够得心应手，老师必须要对教学方法做出改革，增加代数教学的趣味性，保证学生能够对代数产生兴趣，并且形成数学思维，为以后的代数学习打好基础。

参考文献：

[1]刘电芝.学习策略研究的兴起与发展[J].学科教育，2009（1）：122-123.

[2]陈胡，黄细把.从列代数式入手[J].中学生数理化，2011（9）：187-189.

[3]彭林，朱靖华.对“代数式”教学片断的思考[J].中小学教学：初中版，2011（3）：26-29.

八年级因式分解的应用 篇4

撰写人：

王兴高 教学内容分析：

因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一，因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三解函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法，运用公式法，分组分解法来进行因式分解，必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对初一学生还比较生疏，接受起来有一定难度，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点.教学目标

认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。目标制定的思想

1．目标具体化、明确化，从学生实际出发，具有针对性和可行性，同时便于上课操作，便于检测和及时反馈。

2．课堂教学体现能力立意。

3．寓德育教学方法

(1)．采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。

(2)．把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。

(3)．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。

(4)．在充分尊重教材的前提下，融教材练习、想一想于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。教学过程安排

一、提出问题，创设情境

问题：看谁算得快？

(1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400

(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2=10000

(3)若x=-3,则20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0

二、观察分析，探究新知

(1)请每题想得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法

(2)观察：a2-b2=(a+b)(a-b)

①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？

a2-2ab+b2=(a-b)2

②

20x2+60x=20x(x+3)③

(3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。板书课题： 因式分解

1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

三、独立练习，巩固新知

练习

1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

①（x+2）（x-2）=x2-4

②x2-4=（x+2）（x-2）

③a2-2ab+b2=（a-b）④3a（a+2）=3a2+6a

⑤3a2+6a=3a（a+2）

2．因式分解与整式乘法的关系：

因式分解

结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法

说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

(2)∵xy（）=2x2y-6xy2

∴2x2y-6xy2=xy（）

(3)∵2x（）=2x2y-6xy2

∴2x2y-6xy2=2x（）

四、强化训练，掌握新知：

练习3：把下列各式分解因式：

(1)2ax+2ay

(2)3mx-6nx

(3)x2y+xy(4)x2+-x

(5)x2-0.01

（让学生上来板演）

五、整理知识，形成结构（即课堂小结）

1．因式分解的概念 因式分解是整式中的一种恒等变形

2．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。

3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果。

4．教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法。

六、布置作业

1．作业本

（一）中§7.1节

评价与反馈

1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。发现问题，及时反馈。

2．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

3．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。

八年级因式分解的应用 篇5

答案

为了帮助大家在考前对知识点有更深的掌握，查字典数学网为大家整理了因式分解练习题及答案，希望对大家有所帮助。

一、选择

1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是()

A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x

2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是()

A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+1

3.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是()A.3x2y B.3xy2 C.3x2y2 D.3x3y3

4.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是()

A.x+1 B.x2 C.x D.x2+1

5.下列变形错误的是()

A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)=-(b-a)(b-c)C.–x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)2

6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是()

A.–x2y2 B.x2+y2 C.-x2+y2 D.x-y

7.下列分解因式错误的是()

A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)

C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)

8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是()

A.x2-xy B.x2+xy C.x2-y2 D.x2+y2

二、填空

9.a2b+ab2-ab=ab(__________).10.-7ab+14a2-49ab2=-7a(________).11.3(y-x)2+2(x-y)=___________

12.x(a-1)(a-2)-y(1-a)(2-a)=____________.13.-a2+b2=(a+b)(______)

14.1-a4=___________

15.992-1012=________

16.x2+x+____=(______)2

17.若a+b=1,x-y=2,则a2+2ab+b2-x+y=____。

三、解答

18.因式分解：

①

②

③

④2a2b2-4ab+2

⑤(x2+y2)2-4x2y2

⑥(x+y)2-4(x+y-1)

19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。

20、已知，2x2-Ax+B=2(x2+4x-1),请问A、B的值是多少?

21、若2x2+mx-1能分解为(2x+1)(x-1),求m的值。

22.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。

23.已知a2b2-8ab+4a2+b2+4=0,求ab的值。

24.请问9910-99能被99整除吗?说明理由。

参考答案

一、选择1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C

二、填空

9.a+b-1;10.b-2a+7b2 11.(x-y)(3x-3y+2)12.(a-1)(a-2)(x-y)

13.b-a 14.(1+a)(1-a)(1+a2)15.-400 16.17.-1 解答题

18.解：①原式=-4x(x2-4x+6)②原式=8a(a-b)2+12(a-b)3=4(a-b)2(2a+3a-3b)=4(a-b)2(5a-3b)

③原式=2am-1(a2+2a-1)

④原式=2(a2b2-2ab+1)=2(ab-1)2.⑤原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2

⑥原式=(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2

19.解：2a+2b-2c=2(a+b-c)=2×3=6.20、解：2x2-Ax+B=2(x2+4x-1)= 2x2+8x-2

所以A=-8，B=-2.21、解：2x2+mx-1=(2x+1)(x-1)= 2x2-x-1所以mx=-x 即m=-1.22.解：a2b+ab2-a-b

=ab(a+b)-(a+b)

=(a+b)(ab-1)

把a+b=5,ab=7代入上式，原式=30.23.解：将a2b2-8ab+4a2+b2+4=0变形得

a2b2-4ab+4+4a2-4ab+b2=0;(ab-2)2+(2a-b)2=0

所以ab=2，2a=b解得：a=±1,b=±2.所以ab=2或ab=-2.24.解：9910-99=99(999-1)

八年级因式分解的应用 篇6

教学目的和要求: 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法.教学重点和难点：

重点：是让学生理解提公因式的意义与原理。难点：能确定多项式各项的公因式

关键:是让学生理解提公因式的意义与原理。快速反应： 1.2.3.4.2m2x+4mx2的公因式___________。a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。5m（a-b）+10n（b-a）的公因式____________。-5xy-15xyz-20x2y=-5xy（____________）.自主学习： 1.张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。

关于这一问题两位同学给出了各自的做法。

方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）

方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？

答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。2.（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb呢？

（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。

答案：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb各项都含有相同的公因式b。3.将下列各式分解因式：

3x+6；

7x2-21x；

8a3b2-12ab3c+abc； a（x-3）+2b（x-3）；

5（x-y）3+10（y-x）2。答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）

（2）7x2-21x=7x·x-7x·3=7x（x-3）（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·c=ab（8a2b-12b2c+c）（4）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）

（5）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）4.把下列各式分解因式：

（1）3x2-6xy+x

（2）-4m3+16m2-26m 答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）

（2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）5.把12a(x2a)22221414a(2ax)分解因式

33答案：6.12a(x2a)a(2ax)=

14ax(x2a)

2把下列各式分解因式：（1）（2）（3）4q（1-p）3+2（p-1）2 3m（x-y）-n（y-x）

m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）

答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）（2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）7.计算

（1）已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；（2）1998+19982-19992

答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520（2）1998+19982-19992=-1999 8.比较2002×20032003与2003×20022002的大小。

解答：设2002=x

八年级因式分解的应用 篇7

“三层次理论”是罗增儒教授基于心理学理论发展起来的数学解题教学的理论模型.“三层次理论”认为:数学问题的解决要经历以下3个层次的思维过程.

第1层次叫做一般性解决.其含义是在策略水平上的解决,以明确解题的总体方向.这是对思考作定向调控.

第2层次叫做功能性解决.其含义是在数学方法水平上的解决,以确定具有解决功能的解题手段,这是对解决作方法选择.

第3层次叫做特殊性解决,其含义是在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能性解决的途径,明确运算程序或推理步骤,这是对技巧作实际完成.

实验表明,用“三层次”(思想、方法、技巧)思维策略指导解题,能有效发展学生的解题能力.本文以“因式分解的简单应用”(浙教版《数学》七年级(下)第6章第4节的内容)为载体,简录用“三层次理论”指导解题教学的过程并进行点评,希望对帮助教师认识和运用“三层次理论”有积极的作用.

2 课堂实录与点评

第1阶段:回顾思考——既做又想

上课一开始,教师借助多媒体出示以下3个问题,要求学生解决(允许合作研讨).

(1)操作:将下列各式分解因式:

①x3y+2x2y-xy;

②x2-4y2;

③m2+4m+4;

④(a+b)2-10(a+b)+25.

(2)反思:解题的目标(思想)是什么?用的是什么方法?使用了哪些技巧?

(3)小结:你通过上述操作与反思,有何感触?

点评这个既做又想的导入性学习活动,不但复习了分解因式的3种方法(技巧),而且渗透了具有普遍意义的“三层次”(思想、方法、技巧)思维策略.这体现了价值引导与自主建构相结合的新课程理念,不但奠定了认知基础,而且有元认知开发的意义.

第2阶段:汇报交流——矫正互学

教师:谁能说说因式分解的结果?

学生1:

教师:大家有不同意见吗?

众生:没有!

教师:分解因式的目标(思想)是什么?

学生2:把多项式转化成几个因式积的形式.

教师:完全正确!用的是什么方法?

学生3:用的是因式分解法.

教师:好!使用了哪些技巧?

学生4:第1题找公因式并提取公因式,依据是乘法对加法的分配律.

学生5:第2题用换元方法转化为平方差的形式并用平方差公式.

学生6:第3题用换元方法转化为a2+2ab+b2的形式并用完全平方公式.

学生7:第4题用换元方法转化为a2+2 ab+b2的形式并用完全平方公式.

教师:非常好!“三层次”(思想、方法、技巧)思维策略,对解决数学问题具有指导作用.反思有利于提取解题经验、分析失败原因、发现多样化的解法.

点评提前思考基础上的汇报交流,符合数学教学的教育学立场,不但有利于实现“导富济贫”,能使不同层次的学生在学习新知识之前达到大致统一水平;而且有利于资源生成,可能会产生个性化的想法;同时交流也能满足学生表现自我、发展自我、学会倾听的需要.

第3阶段:课堂讨论——合作研讨

(1)运用因式分解进行简单的多项式除法.

教师:现在老师提出一个挑战性的问题:(x2-4y2)÷(x+2y)=?请大家合作研讨并发表自己的观点.

教师:解题的思想是什么?

学生1:把多项式除法转化为单项式除法(化归).

教师:用的是什么方法?

学生1:先分解因式法,再用换元法.

教师:使用了哪些技巧?

学生1:同底数幂相除法则.

教师:很好!不但解决了问题,而且说出了解题的思维过程.请大家模仿上面的解题的思维过程回答:(a2-4)÷(a+2)=?

(学生动手计算,教师巡视指导.约1分钟后进行交流评价.)

(2)运用因式分解解简单的方程.

教师:现在老师再提出一个挑战性的问题:若A·B=0,则你能得到什么结论?请大家合作研讨并发表自己的观点.

学生2:A=0,B≠0;或A≠0,B=0;或A=0,且B=0.

教师:这就是说,A和B中至少有一个为零,用符号来表示就是:A=0,或B=0.能用上面的结论解方程(2x-3)(x+4)=0吗?请大家合作研讨并发表自己的观点.

学生3:因为(2x-3)(x+4)=0,2x-3=0,或x+4=0.所以,或x=-4.

教师:好!现在大家能解方程2x2+x=0吗?

学生4:将方程左边分解因式,得x(2x+1)=0,则x=0,或2x+1=0.所以x=0,或.

教师:解这个方程的思想是什么?

学生4:将方程化归为一元一次方程.

教师:这是“降次化归”的思想.解这个方程你用了什么方法?

学生4:用的是分解因式法.

教师:解这个方程你用了什么技巧?

学生4:用了“若A·B=0,则A=(),或B-0”的结论.

教师:这样我们用分解因式的方法能解某些未知方程了!请大家模仿上面的解方程的思想方法解方程:(2x-1)2=(x+2)2.

(学生动手解方程,教师巡视指导.约2分钟后进行交流评价.)

点评用化归思想解决多项式除法和解方程问题有能力发展点、个性和创新精神培养点,有组织学生探究的必要.但化归具有一定的挑战性,需要教师认知引导并组织学生合作研讨.这里问题与学生已有的知识与经验相适应,能引发学生“火热”的思考,不但能满足学生化归的需要,而且能进一步感受解题的“三层次”思维策略.

第4阶段:提炼概括——形成理论

教师:现在来归纳整理一下解题的规律:

(1)运用因式分解进行简单的多项式除法的解题思想是:

把多项式除法转化为单项式除法(化归);解题的方法是:先因式分解法,再用换元法;解题的技巧是:用同底数幂相除的法则.操作程序是:分解因式→换元转化→运用单项式除法法则.

(2)运用因式分解解简单的方程的解题思想是:

用“降次化归”的思想化方程为一元一次方程;解题的方法是:因式分解法,解题的技巧是:用“若A·B=0,则A=0,或B=0”的结论.操作程序是:化方程右边为零→分解因式→解一元一次方程.解方程切忌两边同时除以公因式!这样会导致漏根.

点评解题教学需要对解题规律进行提炼概括并形成解题理论.这里教师在学生充分活动的基础上,及时总结解题规律,使之规范化,并指出学生容易出错的做法.这符合数学发展规律,也是建构性学习和理解的需要.

第5阶段:迁移运用——评价检测

教师:现在请大家模仿上述解题思想方法解决下列问题(允许合作研讨):

(1)计算：

(2)解方程:

①49x2-25=0;

②4x2=8x;

③(3x-2)2=(1-5x)2.

(学生解题并请6位同学在黑板上演绎,教师巡视指导,约5分钟后进行交流评价.)

点评解题规律形成后,将其应用到它生存的土壤或背景中去是必要的.这不但不会产生“空转”现象,而且是建构性理解和提高能力所必需的,也能有效促进学生对解题的“三层次”思维策略的认识.

第6阶段:反思总结——回顾与思考

教师:现在请大家完成下列“问题清单”:

(1)本节课用已有的知识与经验解决了哪些问题?

(2)运用因式分解进行简单的多项式除法的解题思想是什么?用的是什么方法?使用了哪些技巧?能说说解题步骤吗?

(3)运用因式分解解简单的方程的解题思想是什么?用的是什么方法?使用了哪些技巧?能说说解题步骤吗?

(4)你在学习过程中还感受到了哪些思想方法?有何感触?

点评:用“问题清单”驱动学生回顾与思考,能起到跨越式的作用.

第7阶段:任务后延——体验运用

(1)基础题:完成课本中的作业题.

(2)提高题:已知a,b,c为三角形的三边,试判断a2-2ab+b2-c2是大于零?小于零?还是等于零?

3 随感随想

当前,在解题教学中,有把解题教学退化为“题型教学”,甚至进一步退化为“刺激——反应”训练的倾向,试图穷尽“题型”,幻想通过“题型”的机械重复、强化训练,让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”.而对具有普遍意义的、迁移能力强的“根本大法”——数学思想方法的教学,却因其不是“立竿见影”(需要较长时间的坚持才能奏效,是一种潜移默化、润物无声的“慢工”)被有些教师判为“不实惠”且得不到应有的渗透、提炼和概括.这不符合数学教学的本质,也不符合教育的规律.本节课,教师在正确理解教材内容的基础上,采用了“尝试→思考→迁移”的教学操作方法.这里“尝试”指借助已有的知识与经验尝试解题,有时需要教师科学的引领;“思考”指理性思维——反思解题的思想、方法和技巧;“迁移”指用“三层次”思维策略来指导解题.这使解题教学成为“有思想的教学”,成为提高思维能力的舞台,成为培育理性精神的阵地.值得参考与研究.

参考文献

[1]义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级(下)[M]．杭州：浙江教育出版社，2004．

应用因式分解探索实际问题 篇8

例晶晶读八年级，表弟读三年级．晚上，两人在一起做作业．表弟很快就把数学作业做完了．晶晶给他检查时发现有这样一道数学题“计算36×84”，表弟很粗心，误写成：63×48＝3024．晶晶要表弟重做，晶晶说：“应当是36×84．”表弟做完后责怪晶晶：“反正36×84＝63×48＝3024，为什么还要重做？”

晶晶最近刚学过因式分解的知识，他让表弟重新算一个题“计算26×71”，并让表弟思考一下：难道也有62×17＝26×71吗？

表弟算出26×71＝1846，而62×17＝1054．为什么36×84＝63×48，而62×17≠26×71？这里面有什么奥秘吗？

解析：在算式36×84＝63×48中，6×4＝3×8＝24，而在26×71或62×17中，6×1≠2×7．它们的区别就在这里．

猜想：两个两位数相乘：ab×cd，若个位数字b与d之积等于十位数字a与c之积，即ac＝bd，则有ab×cd＝ba×dc．

因为ab×cd＝（10a＋b）（10c＋d）＝100ac＋10bc＋10ad＋bd，且ac＝bd，于是有ab×cd＝100bd＋10bc＋10ad＋ac＝10b（10d＋c）＋a（10d＋c）＝（10b＋a）（10d＋c）＝ba×dc．

故以上猜想正确．

（注：以ab表示两位数，且其十位数字为a，个位数字为b）

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

星期天，小芳同妈妈一道上街买水果．新上市的枇杷又红又软，都熟透了．妈妈想到小芳有气管炎，就特地多买些枇杷．枇杷7角6分一斤，妈妈买了7斤4两．算账时，小芳一口报出：“四六二十四，七八五十六，一共5元6角2分4厘．”为什么可以这样算呢？

提示：两个两位数相乘“76×74”，这两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10，可以这样计算：76×74＝7×（7＋1）6×4＝5 624＝5 624．

（注：在此我们约定，以abcd表示四位数abcd）

志向远大的孩子更易成功

据英国《卫报》日前报道，一项持续30余年、跟踪上万名英国人生活的调查显示，志向远大的孩子成人后事业更成功.

英国教育研究所的研究人员分析了被调查对象在11岁时写的展望自己未来的短文，然后将短文内容与作者42岁时的实际情况相比较.

分析显示，即使孩子家境贫穷或能力不那么强，在小时候如果志向远大，长大后从事专业技术职业的几率就大得多，哪怕实际从事的未必是他们当年梦想的那一种职业.

少年时便有专业技术职业抱负（兽医、律师、建筑师等）的孩子当中，50％的人42岁时在从事着这类职业；在没有类似职业抱负的孩子中，这个比例仅为29％. 无论男孩女孩，无论其家长从事体力工作还是专业技术工作，这种差别都十分明显.

研究的依据来自英国1958年启动的全国儿童发展研究. 该大型研究计划跟踪整整一代人的成长过程，为英国医疗保健、教育和社会变化提供数据. 1969年，当这些孩子11岁时，学校要求他们参加了一项关于业余爱好、喜欢的科目以及对未来的预期的调查. 他们还被要求写一篇短文，想像自己25岁时的情景. 负责分析这些研究结果的简·埃利奥特说：“少年时的理想与长大后的职业之间绝对有某种明显的联系.”

在接受调查的孩子中，抱负的分布并不平均. 志向最远大的是来自中产阶级的较为聪明的孩子，而且多为男孩. 埃利奥特说，即使把这些因素考虑在内，远大理想仍然能预示未来的事业状况.

（摘自2007年10月7日新华网）`

八年级因式分解的应用 篇9

首先将课堂实施做以反思：在创设情境，这块在课堂实施过程中做得还算可以，基本上达到预设效果，但在揭示课题时语言组合的还不够完美。在呈现定义，促进一次函数确定关系式的形成过急、过快，没有进行重点反复强调。学生在得出待定系数确定一次函数的关系式不太熟悉和确定，没能深一步的促进理解。还有没有及时归纳数学思想。

其次说说教学设计中存在的问题

1．实际问题的背景有点远，如果能是我们身边的实际情景，我想效果更佳，2．在新旧联系，正反对照中习题设计的太单一，题量有点少。

第三，教师在课堂中的表现

1．整个课堂中紧张，所以也有点影响学生的正常发挥，紧张的原因我还是认为自己准备的还是不够充分，底气不足。

2．课堂中语音不够简练、生动，缺乏数学严谨性，缺乏生活化的语音。语言较干瘪，重复较多。在幻灯片切换时候衔接语不好，过于生硬。

自己想想试着从以下几点做点改进：

一、加强同学生的沟通，课前要检查预习，布置任务要有针对性。课上多注意学困生的表现。

二、加强备课的精细度，深度。备学生在备课中的比重。认真思考和分析学生的接受情况，实时掌控学生学习状态。精心选择适合学生和教学内容的表现方法来呈现。

三、多和同事交流、沟通。多向他们取取经，多在一起探讨教学。取长补短，让自己尽快的成长和成熟起来。

一次函数的应用教学反思2

本节课通过提出问题，创设情境来提高学生的学习兴趣，然后通过教师和学生的双边活动让学生掌握一次函数的应用，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力。教师帮助学生建立近似人口增长的一次函数，并说明这种模糊方法在数学中的应用，让其逐步领略数学应用的奥妙所在．学生经过建立坐标系、描点、连线，熟悉函数作图的一般过程，并在教师指导下确立近似一次函数的解析式，提高预估能力．

这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。要想让学生真正理解和掌握一次函数的性质就必须放手让学生进行探究，让学生在探究中获得感性认识，同时只有放手让学生自我探究，潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。要实现此目的：首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。

最后，教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者。要做善于点燃学生探究欲望和智慧火花的人，要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事，这就是一个成功的促进者。数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的开发者，如本课例中的“走向”问题，“同向变化”等，这为函数性质的得出做了很好的铺垫。要彻底抛弃“唯书论”“唯师论”，与学生一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学。要开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材，使探究的问题具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课堂。在教学设计中，要预设多种意外和可能，这样探究真知的过程虽然会艰辛但展开顺利，这才是一个成功的组织者。

但是，本节课也难免有许多不足之处，我本人认为：我关注学生还是不够，尤其对学生的反馈不能作到有效的和准确的指导和引导；讲的还是有点多，老不敢放手让学生自己去经历独学、对学和小组学习的过程，给学生思考和活动的时间和机会还是较少有的学生看似听课，其实思维根本就没有参与进来，从而影响了课堂效益的最大化。

我会继续努力，不断改进，是自己的课堂更加精彩！

一次函数的应用教学反思3

本节的主要内容是让学生逐步形成用函数的观点处理问题意识，体验数形结合的思想方法。

教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解（这是什么？可以看成什么？），让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。

具体分析本节课，首先简单的用几分钟时间回顾一下一次函数的基本理论，“学习理论是为了服务于实践”的一句话，打开了本节课的课题，过渡自然。本节课用函数的观点处理实际问题，主要围绕着路程、价格这样的实际问题，通过在速度一定的条件下路程与时间的关系，总价在单价一定的情形下，总价与数量的关系这几个例题，认识到一次函数与实际问题的关系，在讲解这几个例子的时候，创设了学生熟悉的情境，如在建立一次函数模型进行预测的问题时，问学生：“你知道今年奥运会的撑杆跳高的记录是多少？你能对它进行预测吗？”，简单的一句话引出问题，这样更能引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地与学生产生共鸣。创设了轻松和谐的教学环境与氛围，师生互动较好，这样能使学生主动开动思维，利用已有的知识顺利的解决这几个问题。在讲解例题的同时，试着让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实际情境中的取值范围问题。

而后，给学生几分钟的思考时间，让他们通过平时对生活的细心观察，生活中有关一次函数的有价值的问题，说出来与全班共同分享。这一环节的设置，不仅体现新教改的合作交流的思想，更主要的培养他们与人协作的能力。更好的发展了学生的主体性，让他们也做了一回小老师，展示他们的个性，这样有益于他们健康的人格的成长。最后在总结中让学生体会到利用一次函数解决实际问题，关键在于建立数学函数模型，并布置了作业。从总体看整个教学环节也比较完整。

八年级因式分解的应用 篇10

学习目标

知识与技能

1.理解电磁继电器的结构和工作原理。

2.了解电铃、电话、磁悬浮列车的工作原理，了解信息的磁记录。

过程与方法

通过分析电磁继电器的结构，理解其工作原理。

情感态度与价值观

通过了解科学知识的实际应用，提高学习科学知识的兴趣，培养积极参与实践探索的精神，培养理论联系实际的品质。

重点

电磁继电器的工作原理

难点

电磁继电器的工作原理

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

问：电磁铁的组成?

展示：常见的电磁铁

问：说说电磁铁的的优点？

讲述：既然电磁铁有这么多的优点，那么生活和生产中有哪些物品用到了电磁铁。

学生回答：螺线管和铁芯组成。

观察图片，联想实际生活中的电磁铁。

回答：（1）磁性的有无可以通过电流的有无控制。

（2）磁场的方向可以通过电流的方向控制

（3）磁性的强弱可以由电流的大小、线圈匝数的多少控制。

问题引入、激发学习兴趣

讲授新课

讲述：生活中很多物品用到了电磁铁，根据他们不同的作用，我们分成了以下几类。

首先了解一下：电磁继电器，是由电磁铁控制的自动开关。

读图说说电磁继电器的结构。

电磁继电器的特点?

说说电磁继电器的工作原理？

活动：

1、观察电磁继电器。对照电磁继电器的说明书，认识电磁继电器上接线柱的位置，并思考说明书上写着的电流和电压是什么意思？

2、把电磁继电器上的线圈接到电源上，组成控制电路。观察通电和断电时电磁继电器的动作情况。注意观察通电时哪两个触电相连，断电时哪两个触点相连。

3、利用另外一个电源和小灯泡组成工作电路，通过电磁继电器控制小灯泡的亮与灭。

4、水位自动报警器是利用电磁继电器工作装置，请按以下要求连接水位自动报警器电路：当水位在安全以下时，绿灯亮；水位达到安全线以上，红灯亮

思考与讨论：根据电磁铁的工作原理，分析电铃是如何发出铃声的？

阅读课本说说磁悬浮列车的工作原理。

问：用于信息的磁记录的产品有哪些？我们在使用过程中应注意哪些问题？

通电螺线管磁性强弱与线圈匝数的多少的关系

讲述：硬盘的组成是由磁记录盘片、读写磁头以及其他配件，硬盘的原理是盘片的表面均匀涂有一层极薄的磁性颗粒（小磁铁），读写磁头实际就是一块电磁铁。

图片展示银行卡和录音机和录像机：记录声音、文字、图象等信息的磁带的一面都涂有一层磁粉，每一个磁粉粒就是一个小磁体，通过磁头把磁粉磁化，把信息记录在磁带上。

说说电磁铁在生活中的其它应用。

阅读：P14电话也是一个电磁感应器啊！

电磁铁、衔铁、弹簧、动触电

学生讨论后回答：用低电压、弱电流来控制高电压、强电流

当控制电路的开关断开时，电磁铁没有磁性，弹簧把触头拉向绿灯触点，则绿灯亮；当控制电路的开关闭合时，电磁铁通电，有了磁性就吸引衔铁，使工作电路闭合，则红灯亮。

表示电磁继电器正常工作的电流和电压

学生根据要求画出电路图

闭合开关,电流通过电磁铁,电磁铁产生磁性吸引弹性片,使铁锤打击铁铃而发出声音,同时电路断开,电磁铁失去磁性,由于弹性片的弹性,使电路又重新闭合。上述过程循环重复,电铃持续发生声音

工作原理：列车轨道上强电磁的磁极与列车上的电磁铁的磁极是同名磁极相互排斥，使列车悬浮，消除了磨擦，减少阻力，增加运行速度。

学生讨论后回答：磁带、软盘、移动硬盘、磁卡。

1、不放在高温环境中，不宜长期贴身携带；

2、应注意不能剧烈地震动，不能用坚硬的物体敲打；

3、不靠近产生强磁场的家用电器旁边，以免被强磁场重新磁化而失去原来的重要信息。

洗衣机、电饭煲、电磁起重机、发动机

学生通过小组讨论、自主构建知识，体现学生是学习主体的理念。

小结

引导学生自主小结，并逐步完善和形成概念图

回顾

板书

一、电磁继电器

电磁继电器：由电磁铁控制的自动开关。用低电压、弱电流来控制高电压、强电流。

二、磁悬浮列车

列车轨道上强电磁的磁极与列车上的电磁铁的磁极是同名磁极相互排斥，使列车悬浮，消除了磨擦，减少阻力，增加运行速度。

三、信息的磁记录

八年级因式分解的应用 篇11

关键词：企业；杜邦财务分析；净资产收益率；权益乘数

杜邦财务分析体系，因美国杜邦公司最先成功使用而得名，杜邦分析系统是一个财务指标分解系统，它以最能反映公司理财目标的净资产收益率作为核心，通过指标的层层分解，揭示各个财务指标之间的内在联系和不同财务指标对净资产收益率的影响关系，并最终为寻求改善净资产收益率提供一个清晰的思路。杜邦分析法有助于企业管理层更加清晰地看到净资产收益率的决定因素，以及营业净利润率与总资产周转率、债务比率之间的相互关系，给管理层提供了一张明晰的考察公司资产管理效率和股东投资回报是否最大化的路线图。

一、杜邦财务分析指标体系

位于杜邦分析系统图金字塔顶端的净资产收益率，是该分析体系中的核心指标。净资产收益率把资本结构和税率水平对企业盈利的影响综合考虑在内，具有很强的综合性，因而可以在不同企业之间进行比较。投资者可以根据净资产收益率的高低，确定投资方向。如果一个企业的净资产收益率长期高于平均水平，便会引来竞争者，迫使该企业的净资产收益率回落到平均水平；如果一个企业的净资产收益率长期低于平均水平，便会因得不到投资而被逐出市场，使得幸存企业的净资产收益率上升到平均水平。净资产收益率可以被分解为以下三个二级指标：净资产收益率=销售净利率×总资产周转率×权益乘数

销售净利率=净利润÷销售收入

总资产周转率=销售收入÷平均资产总额

权益乘数=资产总额÷所有者权益总额

通过以上关系式，企业获取得期待的投资收益率(即净资产收益率)，有三个驱动因素。

（一）营业净利率。营业净利率是利润表的概括，分母来自于利润表首行，分子来自于利润表尾行，二者比较可以概括全部经营成果。如果企业想要使自身的经营状态得到改进，就需要提高自身的销售净利率，使收入增长率高于成本费用的增长率，同时，要有效降低企业的成本费用。

（二）权益乘数。权益乘数是资产负债表的概括，反映了资产、负债和权益之间的比例关系，反映了企业最基本的财务状况。权益乘数系统概括资产负债表的资产负债结构，阐明资产、负债和权益的比例关系，进而反映企业的基本财务状况，也能说明企业的债务管理状况。

（三）总资产周转率。总资产周转率是利润表和资产负债表的联结，综合反映了企业的财务状况和经营成果。企业要想提高其资产管理现状，需要提高总资产周转率，然而，要提高企业的总资产周转率这一指标，就应同时提高企业的存货周转率和应收账款周转率等有关指标。通过这三个明细指标的分析，使净资产收益率可综合企业整个的经营活动和财务活动的业绩。

可见，三个杠杆可以提高净资产收益率，因而提高净资产收益率有三个途径：（1）提高盈利能力（效果）；（2）加快资产周转次数（效率）；（3）提高资产负债率（杠杆）。

二、杜邦财务分析指标的分解

（一）第一层次指标的分解。净资产收益率可以分解为营业净利率、总资产周转率和权益乘数三个指标。这三个指标在企业之间可能存在显著差异，通过对差异的比较，可以观察本企业与其他企业的经营战略和财务政策存在的不同。

（二）第二层次指标的分解。（1）营业净利率和总资产周转率。分解出来的营业净利率和总资产周转率，可以反映企业的经营战略，是“高盈利、低周转”还是“高周转、低盈利”战略。因此，营业净利率与资产周转率经常呈反向变化。为了提高营业净利率，就要增加产品的附加值。为了加快周转，就要降低价格，引起营业净利率下降。通常，营业净利率高的制造业，其周转率都比较低。因此，仅仅从营业净利率的高低并不能看出业绩好坏，把它和周转率联系起来才能准确考察企业经营战略。（2）权益乘数。分解出来的权益乘数是财务杠杆，它可以反映企业的财务政策。杜邦财务分析体系要求，在每一个层次上进行财务比率的比较和分解。通过历史比较，可以识别变动趋势；通过行业比较，可以发现存在的问题。

三、杜邦财务分析体系的具体应用

从评价净资产收益率出发，层层分解至企业最基本生产要素。综合运用因素分析法、比率分析法、趋势分析法、构成分析法等，与历史、竞争对手及行业平均指标做纵向及横向的对比，分析解读企业的优势因素以及不足之处。根据“净资产收益率=总资产收益率×权益乘数”=“销售净利率×资产周转率×权益乘数”，以下从这三个方面对各驱动因素进行分析。

（一）财务分析体系的设计。（1）盈利能力分析设计。对盈利能力分析主要考察销售净利率指标及其分解。销售净利率=净利润/主营业务收入。分解为销售收入和销售成本。继续分解为：净利润=主营业务收入-全部成本+其他利润-所得税；全部成本=主营业务成本+管理费用+营业费用+财务费用；对主营业务收入和利润的分析采用趋势分析与历史数据作比较，以及采用构成分析法分析其盈利来源构成。对成本费用的分析主要采用与销售收入作比较的构成分析方法与趋势分析法。（2）资产营运能力分析设计。营运能力分析主要考察资产周转率指标及其分解。总资产周转率=销售收入/资产总额，其中，资产=长期资产+流动资产；流动资产=其他流动资产+现金有价证券+应收帐款+存货；应收帐款周转率=销售收入/应收帐款平均余额；存货周转率=销售收入/存货平均余额；固定资产周转率=销售收入/固定资产平均余额。（3）资本结构分析设计。权益乘数=1/(1一资产负债率)。对于企业的资本结构分析主要是进行对比分析。

（二）净资产收益率分解。（1）净资产收益率总体分析。根据杜邦模型分析体系从盈利能力、运营能力、资本结构三方面进行分析。（2）净资产收益率二驱动因素分析。净资产收益率=总资产收益率×权益乘数。（3）净资产收益率三驱动因素分析。净资产收益率=销售净利率×资产周转率×权益乘数。（a）盈利能力分解。企业在增加销售收入的同时，必须相应地获得更多的净利润，才能使销售净利率保持不变或有所提高。盈利能力分析一是采用趋势分析法，分析盈利能力各构成项目指标值的水平变化；二是盈利能力构成分析，将财务报表中某一项指标作为基数，再计算该项目各个组成部分占总体指标的百分比，以分析总体构成的变化；三是盈利质量分析，为考察企业盈利能力的质量与真实性，在盈利分析中引入现金流量指标，通过经营现金流量指标与销售收入指标及营业利润指标相比较，可以了解到企业销售收入与利润的现金含量，而营业利润的现金含量则是企业销售能力的根本体现。如果企业的营业利润大大高于经营活动产生的现金流量净额，则说明企业利润的含金量不高，存在大量的赊销行为及未来的应收账款收账风险，同时某种程度上存在着利润操纵之嫌；四是成本费用管理分析，分别分析制造成本、管理费用、营业费用等的变化对总成本的影响及对盈利能力的影响。（b）运营能力分析。资产运营能力又称资产负债管理能力，反映企业经营管理、利用资金的能力。通常来说，企业生产经营资产的周转速度越快，资产的利用效率就越高。在资產运营方面，要联系销售收入分析企业资产使用是否合理，流动资产和非流动资产比率安排是否恰当。企业资产营运能力和流动性既关系到企业的获利能力又关系到企业的偿债能力。为此，就要进一步分析各项资产的占用数额和周转速度。总资产周转率是反映运用资产以产生销售收入能力的指标。对总资产周转率的分析，需对影响资产周转的各因素进行分析。通过对流动资产周转率、存货周转率、应收账款周转率等有关资产组成部分使用效率的分析，判明影响资产周转的问题出在哪里。（c）权益乘数比较分析。权益乘数反映的是所有者权益同总资产的关系，并不直接反映资产利润率的高低，但是在资产总额不变的条件下，企业开展负债经营，相对减少所有者权益，从而提高权益乘数，这样可以给企业带来较大的财务杠杆效应。这种财务杠杆效应给企业带来的是利益还是风险，则取决于企业销售利润率的高低和资产周转率的快慢，显然，权益乘数的大小会影响企业的盈利能力。

参考文献：

[1] 方东明.论杜邦财务分析体系在企业财务管理中的运用.安徽理工大学学报(社会科学版)，2011，06。

[2] 陆川.杜邦财务分析法在企业中的应用.中小企业管理与科技(下旬刊)，2012，10.