不等式选讲专题复习

不等式选讲专题复习（精选5篇）

不等式选讲专题复习 篇1

专题：不等式选讲

1、已知函数f(x)log2(|x1||x5|a).（Ⅰ）当a5时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。

2、设a,b,c为不全相等的正数，证明：2(abc)a(bc)b(ac)c(ab)

ababma3、对于任意实数a（a0）和b，不等式恒成立，记实数m的最大333222

值为M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、设函数f(x)2x1x2．

（Ⅰ）求不等式f(x)2的解集；

2（Ⅱ）若xR，f(x)tx1x2M。11

2t恒成立，求实数t的取值范围．

5、已知函数f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为x2x3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围．

6、已知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)27、已知函数f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围

8、若关于x的不等式xax2a2010的解集为非空集合，求实数a的取值范围。

9、设关于x的不等式x1ax.(I)当a2，解上述不等式。（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。

10、设函数fxx1x2

fx3 对xR恒成立，求实数a的取值范围。(1)解不等式(2)若fxa11、已知函数f(x)|x2||x1|.g(x)ax3x3

x2（1）试求f(x)(a0)的值域；（2）设，若对s(0,),t(,)，恒有g(s)f(t)成立，试求实数a的取值范围。

不等式选讲专题复习 篇2

2. 解不等式组并用数轴表示出不等式组的解集,写出该不等式组的整数解.

3. 若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数m的值,并求此方程的解.

4. 试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.

(1) 求k的取值范围;

(2) 如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.

6. 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.

(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?

(2) 小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗? 请说明理由.

7. 某街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2/3 ;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?

(2) 已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用? 若不够用,需追加预算多少万元? 请给出你的判断并说明理由.

8. 某市一班级到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品. 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册.

(1) 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?

(2) 有几种购买文化衫和相册的方案? 哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?

参考答案

1. 当A=B时 ,,方程两边同时乘 (x+1)(x-1),得x(x+1)=3+(x+1)(x-1),解得x=2. 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7,由②式得x>2,∴原不等式组的解集为2<x≤7,数轴表示略,其整数解为3,4,5,6,7.

3. 将x=0代入已知方程有m2+2m-8=0,解这个一元二次方程得:m1=2,m2=-4. 当m= 2时,原方程为3x=0,此时方程只有一个解,解为x=0;当m=-4时,原方程为-6x2+3x=0,解此方程得:x1=0,x2=1/2 ,即此时方程有两个解,解为x1=0,x2=1/2 .

4. 由不等式两边同乘6得3x+2(x+1)>0,可以求出x>-2/5 ,由不等式两边都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a,可以解出x<2a,所以不等式组的解集为-2/5 <x<2a,因为该不等式组恰有两个整数解,所以1<2a≤2,所以1/2 <a≤1.

5. (1) k<4;(2) m=0或-8/3 . 提示:(1) 由Δ>0求出k<4;(2) 满足k<4的最大整数是3,解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,分别代入x2+mx-1=0得m=0或-8/3 .

6. (1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm. 由题意得x2+(10-x)2=58. 解得x1=3,x2=7. 则周长分别为4×3=12,4×7=28. 所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段;(2) 假设能围成. 由 (1) 得,x2+(10-x)2=48. 化简得x2- 10x+26=0. 因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26 =-4<0,此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.

7. (1) 设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要2/3 x天.根据题意,得. 解得x=90. 经检验,x=90是原方程的根. ∴2/3 x=60.答:甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天. (2) 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,则有y {1/60 +1/90}=1. 解得y=36. 需要施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元). ∵50.4>50,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.

不等式选讲专题复习 篇3

教学目标：学会利用放缩法证明数列相关的不等式问题 教学重点：数列的构造及求和 教学难点：放缩法的应用

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 例1求

k1n

24k

2

1的值例2.求证:1

2



1(2n1)





12(2n1)

(n2)

例3求证:1

4116

136



14n





14n

例4求证：1

4



1n



n

例5已知an4n2n,Tn

a1a2an,求证:T1T2T3Tn

.直接放缩

1、放大或缩小“因式”：

例1.设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn（I）求数列bn的通项公式；

（II）记cnb2nb2n1(nN*)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn

例2.已知数列an满足a11,an12an1nN（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：

例3.设数列{an}满足a12,an1an

4an1an

*

(nN)。

32；

1a2



1a3



1an

1

nN3



1an

(n1,2,).证明an

2n1对一切正整数n成立

例4.已知数列an满足a1

4，an

an1

(1)an12

n

（n2,nN）。

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）设cnansin

anN． 例5.数列xn由下列条件确定：x1a0，xn11xn,

2

xn

(2n1)，数列cn的前n项和Tn，求证：对nN,Tn

47。

（I）证明：对n2总有xn

圆锥曲线：

a

；(II)证明：对n2总有xnxn1

1.已知将圆xy8上的每一点的纵坐标压缩到原来的22

12,对应的横坐标不变,得到曲线C；设M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.2.设椭圆C1：

xa

2

yb

1(ab0)，抛物线C2：xbyb.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)

设A(0,b),Q

54又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B(0,b)，3

4且Qb)，MN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程

3.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y

（1）求椭圆C的方程；

x

2

（2）设A、B为椭圆上的两个动点，OAOB0，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

4.设双曲线C：

21（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，2ab

△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

x

y

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

bea

2求双曲线c的方程．

课后作业： 1.求证：

2.已知数列{a}的前n项和S满足Sn2an(1),n1.n

n

1



3

1n



4n

（Ⅰ）写出数列{a}的前3项a1,a2,a3（Ⅱ）求数列{an}的通项公式

n

3.已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx线在y轴上的截距，用a和n表示f(n)；

圆锥曲线作业： 1.已知椭圆

C1:

xa

a

n

与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切



yb

1(a＞b＞0)

与双曲线

C1:x

y

1

有公共的焦点，C1的一条渐近线与以

C1的长轴为直径的圆相

交于A,B两点，若

A．

a

C1

恰好将线段AB三等分，则（）

B．a13

132

C．

b

D．b2

=4:3:2，则曲线r的离心率等

2.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足于()

1或3

PF1:F1F2:PF2

A．22B．3或2C．2

或

2D．3

或

3.若点O和点F(2,0)分别是双曲线的取值范围为()

xa



y1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP

A.)

B.[3)C.[-

74,)D.[

74,)

4.已知双曲线E的中心为原点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),F(3,0)是E的焦点，则E的方程式为()(A)

x



y

61(B)

x



y

1(C)

x



y

1(D)

x



y

1

5.点A(x0,y0)在双曲线

x



y

1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0

6.已知点A、B的坐标分别是(1,0)，(1,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

不等式选讲专题复习 篇4

一、选择题

1、不等式

2x

3的解集是（2)

3)(0,)

A.(,)B.(

323,0)(0,)C.(,D.(

23,0)

2、设P

Q

RP,Q,R的大小顺序是（）A．PQRB．PRQC．QPRD．QRP

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”

的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、设x0，y0，A

xy1xy，B

x1x



y1y，则A、B的大小关系（）

A．ABB．ABC．ABD．不能确定

5、已知不等式(xy)(

x

11y

则实数a的最大值为)a对任意正实数x,y恒成立，（）

A．2B．4C．2D．16

6、不等式352x9的解集为（）

A．[2,1)[4,7)B．(2,1](4,7] C．(2,1][4,7)D．(2,1][4,7)

7、已知0a,b1，用反证法证明a(1b),b(1a)不能都大于时，反设正确的41是（）

A．a(1b),b(1a)都大于

14，B．a(1b),b(1a)都小于

C．a(1b),b(1a)都大于或等于D．a(1b),b(1a)都小于或等于

8、如果a0,且a1,Mloga(a31),Nloga(a21),那么（）A．MNB．MNC．MND．M,N的大小无法确定

9、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

A．2k1B．2(2k1)C．

2k1k

1D．

2k2k111、定义f(M)(m,n,p)，其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、

△MCA、△MAB的面积，已知△ABC中，ABAC1

2,x,y)，则

BAC30，f(N)（1x



4y的最小值是（）

A．8B．9C．16D．1812、设x0,y0,且x2y24,xy4(xy)10,则的最值情况是（）

A．有最大值2，最小值2(22)B．有最大值2，最小值0

C．有最大值10，最小值2(22)D．最值不存在二、填空题

13、不等式|23x|7的解集为________________

14、函数y3x546x的最大值为

15、若不等式mx2mx10对一切xR都成立，则m的取值范围是

16、如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则

SOM1N1SOM2N

2=

OMOM

·

ONON

；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR

上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是

三、解答题

17、解不等式 |x3||x5|

418、已知adbc，求证：(a2b2)(c2d2)(acbd)

219、若x，y都是正实数且x＋y>2，用反证法证明：一个成立．

20、设函数f(x)|2x3|2（1）解不等式f(x)3x（2）若关于x的不等式

取值范围

21、已知等式122232n(n1)2

n(n1)1

2(anbnc)

1xy

2与

1yx

2中至少有

f(x)1|xm

m

|的解集为R，求实数m 的求是否存在常数a,b,c使上述等式对一切正整数n都成立？证明你的结论

22、已知函数f(x)log2(ax22x3a)

（1）当a1时，求该函数的定义域和值域；

（2）如果f(x)1在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围。

实验班答案

13、{x|x3或x14、3VOP1Q1R115、VOP2Q2R

2

OP1OQ1OR1OP2OQ2OR217、|x3||x5|

4x53x5x

3或或等价于

x3x54x3x54x3x54

解不等式的

18、法一：

x

53x5x3或或

x624x

2即{x|x6或x2}

(ab)(cd)(acbd)

22222

=a2c2b2c2b2d2a2d2a2c2b2d22acbd

=b2c2a2d22acbd(bcad)2 因为adbc所以(bcad)20 所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2 法二：

由柯西不等式知，构造两组数

ac

bd

acbd

所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2当即adbc时等号成立

因为adbc所以取不到等号所以(a2b2)(c2d2)(acbd)219、假设

1xy1y

都不小于2 x

1yx



2即

1xy

2且

由于x,y为正实数

所以1x2y且1y2x把两式相加2xy2y2x 即2yx这与x＋y>2矛盾所以假设不成立 所以

20、解：|2x3|23x

2

2x35x2x

3{x|8x 

32x35xx8



1xy

2与

1yx

2中至少有一个成立

等价于|2x3|5x

2关于x的不等式即

f(x)1|xm

m

|的解集为R

|2x3|11|xm

||xm

m|2

|恒成立

||xm52||m

即 |x而|x

m

恒成立即(|x

32xm

m

|)min2

||xmm||xm

m4|

所以|m2m4|2解得(-,-2][-1,2][3,)

abc24a3

21、把n=1,2,3代入得方程组4a2bc44，解得b11，9a3bc70c10

猜想：等式122232n(n1)2立

n(n1)1

2(3n11n10)

对一切nN都成下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即122232k(k1)2则

1223k(k1)(k1)(k2)

k(k1)1212

(3k5)(k2)(k1)(k2)

[3(k1)11(k1)10]

k(k1)12

(3k11k10)

k(k1)

(k1)(k2)

(3k11k10)(k1)(k2)[k(3k5)12(k2)]

(k1)(k2)

所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对nN等式都成立

22、（1）当a1时,f(x)log2(x22x3)由x22x30知定义域为{x|1x3}

设f(x)log而

t

tx2x3

tx2x3(x1)44

log2tlog242值域为(,2]

（2）f(x)1在区间[2,3]上恒成立

即log2(ax22x3a)1在区间[2,3]上恒成立即ax22x3a2在区间[2,3]上恒成立 所以a

22x

x3

22x

设g(x)2

x3

在区间[2,3]上恒成立在区间[2,3]上a（2(x1)(x1)

22xx3)max

2

g(x)

22xx3



2(x1)2



(x1)

2x1

现代数学专题选讲学习报告格式 篇5

一、标题（二小黑体加粗）

二、学生姓名：×××指导老师：×××（小四号，宋体）

三、电子科技大学应用数学学院2006级××××专业×班（小五号，宋体）

四、摘要（200-250字）（小五号，宋体）

五、关键词（3-5个）（小五号，宋体）

六、正文(300-6000字)（五号，宋体）

1、引言

2、主题内容

3、结束语（内容总结）

七、参考文献

示范论文

拓扑学在混沌等价刻画与函数连续性研究

中的一些应用

学生姓名：×××指导老师：×××

（电子科技大学应用数学学院2006级××××专业××班，学号××××××）

摘要 本文将Devaney混沌定义推广到一般拓扑空间, 利用拓扑空间结构简单性, 发现并且证明了Devaney混沌映射的周期点与拓扑空间的开集之间的本质联系: 连续自映射是Devaney混沌的当且仅当任何二非空开集共享同一周期轨.并且用类似的方法, 在数学分析中得到了函数连续的一个充要条件.通过这两个实例, 在一定程度上说明了点集拓扑在数学教学与研究中的重要性.关键词 拓扑空间 连续映射 混沌 周期轨 逆像

半个世纪以来, 拓扑学一直被誉为现代数学的“三大基础”之一.各重点高校的数学专业(无论是本科数学专业还是研究生)都始终不移将其作为是一门专业基础课程.然而, 作为新步入数学专业的普通数学工作者自然要问:

问题1 为什么拓扑学是数学的一门基础课程?

问题2 拓扑学对数学研究和大学数学课程的教学究竟有何指导作用?.关于问题1, 人们可以在学习了拓扑学的基础内容(点集拓扑)之后, 在继续学习《泛函分析》、《微分几何》（整体）、《动力系统理论》、《非线性分析》等数学理论课程的过程中逐步地寻找到答案。本文就拓扑学在混沌理论研究以及数学分析中连续函数性质研究谈两点体会.§1 点集拓扑在混沌数学理论研究中的应用

1975年，Li-Yorke第一次间接地给出了混沌（chaos）的严格数学定义如下：

Li-Yorke混沌定义[1] 设J是一个区间，f:JJ是一个连续映射，如果满足下列条件被满足：

T1：对于任何自然数k，f有k-周期点；

T2：存在一个不可数集合SJper(f)使得下列二条件成立：

(2.1）p,qS: pq 都有

limsup|fn(p)fn(q)|0,且liminf|fn(p)fn(q)|0;nn

(2.2)pS, qper(f), 有limsup|f(p)fn(q)|0.nn

则称f:JJ是Li-Yorke意义下的混沌映射.其中: per(f)是f的周期点集.由于混沌现象在现实世界中无所不有，因此，自Li-Yorke混沌定义给出以来就倍受各领域的普遍关注.但这定义在应用研究中存在有如下两方面的不足:

(A1)映射是在区间上定义的, 适用范围太狭窄;

(A2)这定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性,不利于工程应用.为克服（A1）在混沌研究中带来的困难，1987年，周作领在文献[2]中将上述Li-Yorke定义推广到度量空间并且对其作了如下修正:

周氏混沌定义 对于度量空间X, 若存在不可数集SXper(f)使得x,yS:xy,nnnn有limsupd(f(x),f(y))0并且liminfd(f(x),f(y))0, 则称f是一个混沌映射.nn

为克服(A2)在应用研究中的不足, 1989年, R.L.Devaney对混沌作了如下更直观的定义： Devaney混沌定义[3] 设X是一度量空间，一个连续映射f：XX称为是X的一个混沌映射(chaos mapping)，如果下列三条件被满足:

（ⅰ）f是拓扑传递的.（ⅱ）f的周期点在X中稠密.（ⅲ）f具有对初始条件的敏感依赖性.其中: 条件（i）, 称映射f是拓扑传递的, 如果对于X上一切非空开集U和V, 存在整数 k0使得fk(U)V;条件(ii)就是Per(f)X, 其中Per(f)是f的周期点集Per(f)的闭包;关于条件(iii), 我们称f是对初始条件的敏感依赖的, 如果存在实数0, 对于xX及x的任何开邻域U(x), 存在yU(x)和自然数n使得d(fn(x),fn(y)).这里, d为X上度量, 为非负整数集.混沌的周氏定义与Devaney定义都是建立在度量空间的基础上的.因此, 这两个定义是否等价自然成为人们关注的热点问题.2002年, 文献[4]对于紧度量空间证明了: Devaney混沌意味着周氏混沌.2001年, 文献[5]在区间I[0,1]上如下等价刻画

定理1.1[5]fC0(I,I)为混沌（Li-Yorke）的充要条件是存在x,yI使得

limsup|fn(x)fn(y)|0,并且liminf|fn(x)fn(y)|0.nn

在此, 一个自然的问题是: Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一样有类似于上述定理1的充分必要条件?

令人庆幸的是: 早在1992年Banks等人在文献[5]证明了：在Devaney定义中,条件（ⅰ）和（ⅱ）可以推出（ⅲ），而（ⅰ）和（ⅱ）是不可去的.由于Banks等人的这一工作, 而今, 使我们很容易地将Devaney混沌定义在拓扑空间上作如下推广：

定义1.1 设X是一个拓扑空间，连续映射f：XX称为在X上是Devaney混沌的，如果它是拓扑传递的并且其周期点集在X中稠密.这种数学的再度抽象使Devaney混沌彻底地脱了离度量的限制.进而,让我们看到: Devaney混沌有望到更为广泛的一类空间(拓扑空间)中去建立自身理论.由于拓扑空间研究只涉及开集、闭集、映射等基本数学内容，虽然能使用的数学工具很少，但是当问题完全置身于拓扑空间后，无疑这问题就得到简化、变得单纯而清澈见底.为说明这一点, 现在,我们以定义1为例来探究当前国内外学者都努力想得到的Devaney混沌的充要条件.事实上, 按照定义1, 映射f:XX的Devaney混沌性满足拓扑传递的和周期点集稠密两个条件.(B1)拓扑传递是指: X中任何非空开集U和V, 都存在自然数k使得fk(U)V;(B2)周期点稠密是指: per(f)X.由此,我们很容易看到: 定义1实质上描述的是X的任意二非空开集与f的周期点之间的关系.于是, 我们自然会问:

问题1.1 当映射f满足定义1时, X的任何二非空开集会享用同一周期轨吗? 更确切地讲,X中任何非空开集U和V, 一定存在xper(f)使得UO

f(x)且VOf(x) 成立

吗?

问题1.2 如果对于X中任何非空开集U和V, 都存在xPer(f)使得UO

f(x)且

UO

f(x)成立, 则(B1)和(B2)一定同时成立吗?

综合问题1和问题2, 引导我们去证明下面的定理.定理1.2 设X是一个拓扑空间，则连续映射f:XX是Devaney混沌映射的充分必要条件是X的任意两个非空开子集享有同一周期轨.证明()设U和V是X上的任意两个非空开集.因为f是拓扑传递的, 则xU, k使得fk(x)V.令Wfk(V)U，则W是点x的一个开邻域.又因per(f)=X, 故Per(f)W.于是, yper(f)使得yWU并且fk(y)V.因此，U与V享有同一周期轨O

f(y).().设U与V是X中两非空开集.因为U与V享有同一个周期轨, 故xper(f)

使得fk1(x)U并且fk2(x)V.不妨使得UO

f(x)且VOf(x).即k1,k2

设k1k2, 令rk2k1并记fk1(x)y, 则r并且fr(y)fk2(x)frU()V.故fr(U)V, f是拓扑传递的.另一方面, 对于xX,UU(x),取开集VX,由已知,U与V共享同一周期轨.所以,xPer(f),k使得xU并且fk(x)V.进而,Per(f)U.即Per(f)X.因此, 映射f是Devaney混沌映射.□.这样,我们就用点集拓扑方法发现并且证明了:Devaney混沌映射的一个充要条件.下面,我们利用这个充要条件在度量空间与实数区间上的推论来结束这一节的讨论.推论1.1 设X是一个度量空间X, 连续映射f:XX是Devaney混沌的充要条件是X中任何二开球都享有同一周期轨道.推论1.2 J是一个实数区间, 连续映射f:JJ是Devaney混沌的充要条件是J的任意二子区间都享用同一周期轨道.§2 拓扑学使函数连续的概念变得深刻

在《数学分析》中函数的连续性有如下定义:

定义2.1[6] 设函数f(x)在点x0的某邻域中有定义.称函数f(x)在点x0是连续的, 如果xx0limf(x)f(x0), 即0, 0, 当|xx0|时, 恒有|f(x)f(x0)|.如果记B(x0,)={x:|xx0|}, B(f(x0),)={y:|yf(x0)|}, 则不难得知:xx0limf(x)f(x0)当且仅当0,0使得f(B(x0,))B(f(x0),).定义2.2[6] 称函数f(x)在开区间(a,b)是连续的, 如果f(x)在(a,b)中每一点都连续;称函数f(x)在闭区间[a,b]是连续的, 如果f(x)在开区间(a,b)连续且limf(x)f(a), xa

xblimf(x)f(b).同理, 定义f(x)在区间[a,b)和(a,b]的连续性.现在, 用类比的方法将上述连续性概念推广(抽象)到一般拓扑空间.定义2.3 设X,Y是二拓扑空间, x0X, 映射f:XY称为在点x0是连续的, 如果VU(f(x0)), UU(x0)使得f(U)V.其中: U(x)与U(f(x0))分别表示点x0与点f(x0)的开邻域系.定义2.4 设X,Y是二拓扑空间, 映射f:XY称为是连续的, 如果它在X上每一点都连续.即, 映射f:XY连续当且仅当xX, VU(f(x)), UU(x)使得f(U)V(即, Uf1(V))..现在认真观察定义2.4: 当f:XY连续时, 对于Y中任何开集V, 如果f1(V)(空集), 则xf1(V), 有VU(f(x)), 由f:XY的连续性知, UxU(x)使得Uxf1(V).因此, f1(V)xf1(V){x}xf1(V)Uxf1(V).于是, 我们惊喜地发现: f1(V)xf1(V)Ux是X中的一个开集.即, 连续映射使得开集的原像仍然是开集.在此, 下列逆问题自然产生:

问题2.1 对于二拓扑空间之间的映射f:XY, 如果Y中任何开集的逆像都开于X, 则f一定(按定义2.4)连续吗?

于是, 这引导我们去证明下一定理:

定理2.1设X,Y是二拓扑空间, 映射f:XY是连续的充分必要条件是Y中任何开集的逆像都开于X.证明: 必要性在上面的观察与分析过程中已经得到证明.下面, 只证充分性.事实上, 对于xX, VU(f(x)), 因为f(x)V, 则xf1(V).再由已知, f1(V)是X中开集.所以, f1(V)U(x).即, Uf1(V)U(x)使得f(U)V.由定义2.4, f:XY连续.□

对照文献[7]第47页拓扑空间上连续映射的的定义, 从上面定理2.1, 我们清楚地看到:《数学分析》教材中函数的连续性与拓扑空间上映射的连续性等价的（完全一致的）.下面的推论将带给我们对《数学分析》函数的连续性更加深刻的认识:

推论2.1 函数f(x)在实直线上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集.证明：()因为实直线上的任何开集都是一些开区间的并集, 故对于上的任何开集V, 都存在开区间集{}使得V.因为, f1()为一些开区间并.故f1(V)=f1()也是一些开区间的并.因此, f1(V)为开集.故f连续.()设f在上连续, 对a,b[,]: ab, 由定理2.1的必要性, f1((a,b))是开集.即, xf1((a,b)), x0使得(xx,xx)f1((a,b)).所以, f1((a,b))xf1((a,b))(xx,xx).□

推论2.2函数f(x)在区间J上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集与区间J的交集.同样,文献[8]中上、下半连续函数，也容易作如下推广

定义2.5设X是一个拓扑空间，x0X，映射f:X称为是在点x0上（下）半连续的，如果0，UU(x0)使得U(,f(x0))（U(f(x0),)）;映射f:X称为是上（下）半连续的，如果它在X中每一点都上（下）半连续.用类似于定理2.1的方法，容易得知：

定理2.2 f:X上半连续当且仅当a，逆像f1((,a))开于X；f:X 下半连续当且仅当a，逆像f1((a,))开于X.于是，对于拓扑空间X的映射f, 我们应用定理2.1和定理2.2, 得到如下结果:

定理2.3 函数f:X是连续函数当且仅当它是上半连续并且下半连续.这里, 当X取实直线上通常取间时, 定理2.3,就是数学分析中的结果.§3 结束语

上面, 我们将Devaney混沌在拓扑空间的推广以及《数学分析》中函数连续在拓扑空间上的推广，由于拓扑空间结构简单, 所推广对象的本质特征就变得非常特别清晰明朗.因此, 在这样的情况下, 我们抓住所涉及对象的本质特征, 就相对比较容易地得到该对象的等价刻画.作为特例, 这种等价刻画在原来的具体空间(例如:上面的度量空间或者实直线)是当然的真命题.因此, 这种方法无疑是推陈出新发现新结果的一种行之有效的方法.本文中, Devaney混沌的等价刻画(定理1.2)是用这方法得到新结果的最好说明.我们相信: 这个等价刻画在混沌的理论与应用研究中将会得到很好地作用.参考文献

[1] Tien-Yien Li, James Yorke.Period three implies chaos [J].Amer.Math.Monthly(1975)82.985-