动点及存在性问题

动点及存在性问题（精选4篇）

动点及存在性问题 篇1

动点问题和存在性问题小结训练

一、基础训练

1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中，正确的是（）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：

① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3.其中正确的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④

3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．

4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．

6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

7.如图，在平面直yax2bxc角坐标系中，抛物线yax2bxc经过

A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值．（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、温故提升

1.如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。

2.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

3.如图，抛物线ymx22mx3mm0与x轴交于A、B两点，与y轴交于

C点.（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.．如图, 已知抛物线y12x2bxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；

(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

(3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.5.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。

6.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、2OB分别是关于x的方程x-7x+12=0的两个根（OA＜OB）（1）求直线AB的解析式；

（2）线段AB上一点C使得S△ACO：S△BCO=1：2，请求出点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由

7.如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

动点及存在性问题 篇2

一、由动点产生的直角三角形的存在性问题

(1) 求经过A, B, C三点的抛物线的解析式;

(2) 当点Q在CO边上运动时, 求△OPQ的面积与时间t的函数关系式;

(3) 以O, P, Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗若能, 请求出t的值;若不能, 请说明理由;

(4) 经过A, B, C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗?若能, 请求出此时t的值 (或范围) 若不能, 请说明理由.

满分解答

(3) 依题意, 可知0≤t≤3.

解得t=1或t=0 (舍) ;

若∠OQP=90°, 同理解得t=2.

(2) 24, ∠POQ=∠COP=60°, OQ

综上所述:当t=1或t=2时, △OPQ为直角三角形.

综上所述, 过A, B, C三点的抛物线的对称轴、OB和PQ能够交于一点, 此时0≤t≤2.

点评 (3) 本小题是双动点问题, 考查的是直角三角形的存在性, 分析时应考虑哪个顶点处可以构成直角, 还要注意点的运动路线、速度.状态转折点 (通常是折线转折处) 也是关键点, 分析时要特别注意.

二、由动点产生的平行四边形的存在性问题

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 若点P的横坐标为m, 当m为何值时, 以O, C, P, F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.

(3) 若存在点P, 使∠PCF=45°, 请直接写出相应的点P的坐标.

解答 (1) 略.

(2) ∵P点的横坐标为m,

点评 (2) 本小题考查的是由动点产生的平行四边形的存在性.由于边OC已经固定, 而点P又在y轴右侧的抛物线上, 所以, 以O, C, P, F为顶点的平行四边形只可能是OCPF或OCFP.本题的状态转折点是点D处, 要注意各情况对应的自变量取值范围.解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定, 巧妙运用数形结合的思想方法.

三、由动点产生的菱形的存在性问题

例3 (2013山东枣庄本题10分) 如图, 在平面直角坐标系中, 二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A, B两点, B点的坐标为 (3, 0) , 与y轴交于点C (0, -3) , 点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1) 求二次函数解析式;

(2) 连接PO, PC, 并将△POC沿y轴对折, 得到四边形POP'C.是否存在点P, 使四边形POP'C为菱形?若存在, 求出此时点P的坐标;若不存在, 请说明理由;

(3) 当点P运动到什么位置时, 四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

点评 (2) 本小题考查的是由动点产生的菱形的存在性, 解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质, 即菱形的四条边都相等, 对角线互相垂直平分.结合图形, 本题应不难解决.

动点及存在性问题 篇3

关键词：度量空间；压缩映像原理；拓扑空间；公共不动点

引言：压缩映像原理又称Banach不动点定理，在生活及学术研究中都扮演着非常重要的角色。它可以解决很多常规数学方法无法解决的问题。经过建模，最终可化为解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的问题，而在解决方程时，逐次逼近的迭代法得到了大量的应用。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但在逐次迭代中，我们需保证迭代过程中得到的是收敛序列，否则就是毫无意义的。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。类似多个映射的公共重合点问题在常微分方程、数学物理等学科中有着广泛的应用。近些年，对于多映射重合点问题的研究成为不动点理论研究的一个新的分支，许多学者得到了大量具有价值的结果，并应用到了其他学科中。

在文献[6]中， Machuca在T1拓扑空间中，获得了满足适当条件下一對真映射具有公共重合点定理，并将其推广到三个映射具有公共重合点的情形。本文中，我们在T1拓扑空间中，在新的条件下获得了一对真映射具有公共重合点的定理，并给予了证明。

参考文献：

[1]刘炳初.《泛函分析》[ M] .北京：科学出版社，1998

[2]时宝等编著.《泛函分析引论及其应用》.北京： 国防工业出版社， 2009.3

[3]张鸣歧.《应用泛函分析引论》[M]. 北京理工大学出版社. 1989

[4]Z.Liu， Coincidence theorems for expansion mappings with applications to the solutions of functional equations arising in dynamic programming，Acta.Sci.Math，65（1999），359——369.

[5]柳重堪，《应用泛函分析》[M]，国防工业出版社，1986.

全等三角形动点问题 篇4

班级：

姓名：

1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

AEBCD 图1

AAEEFFBC2C1DC2BC1D

图2 图3 1 / 4

2.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？

MQBDCA

3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；

（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。

AQAPPQPBC

BC

/ 4

4.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN.（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.图1

图2

/ 4

图3

5.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：

（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？

EAAADEDBCFBCEBCDQ

图1

图2

图3