函数过程

函数过程（精选9篇）

函数过程 篇1

1 可变参数函数

在程序设计中，可变参数函数是指函数拥有不定参数。C语言中常见的printf函数就是比较典型的可变参数函数。它的函数原型：

int printf(char*fmt,...);

函数参数中，除了有一个参数fmt固定以外,后面参数的个数和类型是可变的(...)。

2 栈

栈就是一个具有先进后出属性的动态内存区域。栈的增长方向是向下增长，即由高地址向低地址方向。栈的这种先进后出特性有广泛运用。函数调用是间接使用栈的最好例子。

3 printf调用过程的分析

printf函数的功能是按照用户指定的格式,将数据格式化然后向系统默认的输出设备输出若干个任意类型的数据。函数调用时，实现参数之间的传递，必须先将参数读取到堆栈中，然后再调用函数。C语言函数参数采用自右向左的入栈顺序，即函数的最后一个参数先入栈，第一个参数最后入栈;对于printf函数，通过指针找到的第一个参数就是固定参数fmt。

3.1 printf函数参数的入栈

C调用协议下，为了遵循“对齐“原则，对Intel80x86机器来说就是要求每个变量的地址都是sizeof(int)的倍数，因此参数入栈都是整数字节。那为什么要对齐?因为在对齐方式下，CPU的运行效率要快得多。

同时在C语言中，调用一个不带原型声明的函数时，调用者会对每个参数执行“默认实际参数提升”。提升工作如下：1)float类型的实际参数将提升到double(分配8个字节)。2)char、short和相应的signed、unsigned类型的实际参数提升到int(4个字节)，如果int不能存储原值，则提升到unsigned int。然后，调用者将提升后的参数传递给被调用者。

因此printf的参数入栈时根据参数类型以及类型提升规则来分配相应大小的栈空间。printf()参数入栈过程如实例：

float f1;double f2;int n1;long n2;char c1;…

printf("%f,%f,%d,%ld,%c",f1,f2,n1,n2,c1);

printf调用告诉计算机，要把参数f1,f2,n1,n2,c1的值交给计算机，它把这些参数值依次入栈。入栈时根据参数定义时的类型以及提升规则而不是转换说明符，将参数自右向左入栈，入栈为c1(char提升为int)分4个字节，n2分4个字节，n1放了4个字节，f2放8个字节f1放8个字节(float提升为double)，最后格式字符串入栈。

3.2 访问printf参数

printf参数入栈后，调用函数，然后访问参数。对于可变参数函数，当传递的参数个数大于1时，是无法判断后面参数的类型，不知道类型就不知道后面参数在栈中占用多大空间，那也就无法通过移动指针读取栈中相应大小的参数值，那函数也就无法正确使用参数值。那对于printf函数，它又如何正确输出各个实参的值?

3.3 printf通过格式字符串来读取后面参数

对于编译器来说，printf函数的第一个固定参数就是一个普通字符串，如何通过这个字符串识别参数类型，在printf函数实现中，是通过循环判断字符串中的每一个字符，如果是普通字符，直接输出，与栈中参数值无关，对于‘%’后面的每个字符则借助于switch语句判断，如遇到d,f,c等c语言中声明的格式字符时，分别将这些特殊字符转换到相应的类型。如：d代表int,f代表double,c代表int;转换类型的原则与上述参数入栈时使用的“默认参数提升“规则一致。在匹配后面可变的各个参数时，需要使用三个宏(定义在stdarg.h);三个宏如下：void va_start(va_list ptr,prev_param);

type va_arg(va_list ptr,type);

void va_end(va_list ptr);

函数里首先定义一个va_list型的指针变量ptr，这个变量是存储参数地址的指针。因为得到参数地址之后，再结合参数类型，才能得到参数值。

va_start宏初始化ptr，将其指向第一个可变参数。很明显它先得到第一个固定参数内存地址，然后又加上这个固定参数prev_param的内存大小，就是第一个可变参数的内存地址了。

va_arg宏有两个作用，首先返回ptr所指向的参数的值，然后自增指向下一个可变参数的地址。要得到参数值，必须借助type当前参数的类型(格式字符转换过来的类型)，用来计算该参数的长度(指针移动的步长)，确定下一个参数的起始位置。它可以在函数中应用多次，直到得到函数的所有参数为止，但必须在宏va_start后面调用。在使用va_arg时，要注意type所用类型名应与传递到堆栈的参数字节数对应，以保证能对不同类型的可变参数进行正确地寻址。

va_end宏在获取所有的参数后，设置指针ptr为NULL。

printf("%f,%f,%d,%ld,%c",f1,f2,n1,n2,c1);参数访问过程如下：

指针先指向第一格式字符串，首先遇到%f指定printf应读8个字节(va_arg(va_list ptr,type)中type=double)，因此printf读入栈中的8个字节，作为它的第一个值;当指针指向第2个%f时同样读入栈中的8个字节，作为第二个值，依次指向%d,%ld,%c，分别读入栈中的4个字节，4个字节，4个字节，作为第3个值，第4个值，第5个值。这时每次读入的字节数正好与参数入栈时的字节数对应，保证参数入栈时的值和读取时的值一致，这也解释了在使用printf时固定参数中的格式字符必须与后面可变参数的类型一致的问题。

4 printf参数出栈

C调用约定在返回前,要作一次堆栈平衡,也就是参数入栈了多少字节,就要弹出来(出栈)多少字节。

5 总结

printf是C语言中应用比较频繁的可变参数函数，本文重点介绍了参数入栈的规则，读取参数值时函数中固定格式字符串与可变参数之间的对应关系，这对使用printf函数有一定的指导意义。

参考文献

[1]王瑞庆.格式输出函数printf的执行流程分析[J].信息技术,2007.(5).

[2]谭浩强.C语言程序设计[M].北京.清华大学出版社,2011.

函数过程 篇2

考虑了负二项(2)风险过程的破产时刻被折现罚金的.期望值,它是一个关于初始余额的函数,即Gerber-Shui罚金函数,推出了它所满足的瑕疵离散更新方程,进而得出了它的递推解,显示解和渐近解.

作 者：柏立华 马建静 Bai Lihua Ma Jianjing 作者单位：柏立华,Bai Lihua(南开大学,数学科学学院,天津,300071)

马建静,Ma Jianjing(山东工商学院,数学与信息学院,山东,烟台,264005)

函数过程 篇3

在平时复习课中，对导数应用方面的指导与考查，主要体现在如下几个方面；求切线方程，研究函数的单调性，求函数的极值，最值或值域；确定不等式成立的参数的取值范围.从教学实践中，我们总结发现，有些学生由于对概念的理解不够准确或受到某些知识或方法的负迁移，在解答有关问题时，常会陷入如下四个误区，从而导致问题的解答错误百出.下面逐一浅析，以供参阅.

一、 注意“在与过”区别.

问题1.求曲线y=x3，在点P(1,1)的切线方程.

问题2.求曲线y=x3+x+1，过点P(1,3)的切线方程.

以上两个问题是导数应用中常见的求切线问题.由于在两个问题中，出现了两个不同的关键词“在”与“过”学生易区别不清，从而陷入误区，实际上两者貌似而质异.问题1中的切线要求必须经过(1,1)，但是(1,1)是否是切点，不一定.可能是切点也可能不是切点，问题2中的切线必须在曲线上的 p点处相切，所以切线不仅需要过p点，而且P也是切点.两个问题解答如下：

问题1.设切点为(x0,y0)，由导数的几何意义知切线的斜率k=f′(x0)=3x20

又∵k=y0-1x0-1，∴3x20=y0-1x0-1而y0=x30，所以求得切点的坐标为x0=1,y0=1，或x0=-12,y0=18故切点坐标分别是(1,1)和-12,-18，从而求得切线方程是y=3x-2或3x-4y+1=0

问题2.f′(x)=3x2+1,∵点(1,3)是切点，∴k=f′(1)=4，故所求切线方程是4x-y-1=0

二、 注意“f(x)≥0恒成立与f(x)∈［0,+∞］” 区别.

已知函数f(x)=13x3+x2-3x+a+1

问题1.对任意的x∈［1,+∞］,f(x)≥0恒成立，求實数a的取值范围.

问题2.对任意的x∈［1,+∞］,f(x)的值域是［0,+∞］,求实数a的取值范围.

上述两个问题看似相同，但是实质差异很大，有的学生认为既然问题（1）中f(x)≥0恒成立，那么它的值域必然是x∈［1,+∞］，所以问题1与问题2是等价的两个问题.问题1是一个不等式恒成立问题，要对任意的x∈［1,+∞］,f(x)≥0恒成立，那么由函数的图像可知，只要保证在x∈［1,+∞］上f(x)的最小值≥0即可.因此，若x∈D f(x)≥m在x∈D上恒成立等价于f(x)在D上最小值大于等于m成立，若x∈D,f(x)≤m在D上恒成立，等价于f(x)的最大值大于等于m成立，依据上述命题；问题1的解答过程如下：

f′(x)=x2+2x-3,由f′(x)=0，求得x1=-3，x2=1,当f′(x)>0时，x<-3或x>1，f′(x)<0时，-3

问题2的要求是当a取何值时，函数f(x)的值域恰好大于等于零，它是一个恰成立的问题，f(x)的最小值一定是零.问题1中，当实数a在23,+∞上取值时f(x)≥0总成立，但是此时函数的值域不一定是［0,+∞)，由可能是12,+∞,［1,+∞),［2,+∞) ……；它们是［0,+∞)的子集，所以若x∈D,f(x)∈M在D上恰成立，等价于函数f(x)在D上的值域是M，据此，问题2的解答如下，

f′(x)=x2+2x-3，由f′(x)=0，求得x1=-3,x2=1，当x<-3，或x>1，f′(x)>0,当-3

三、 注意“f(x)在区间D上是增（或减）函数与f(x)的增（或减）区间是D” 的区别.

已知函数f(x)=-x3+ax+2(a∈R)

问题1.若函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.

问题2.若函数f(x)的增区间是(-1,1)，求a的取值范围.

以上两个问题都涉及到函数的单调性，学生极易混为一谈，视为等价问题，但性质差异很大.问题1中指出函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数，也有可能在(-1,2),(-2,1),(-2,2),……也是增函数，所以(-1,1)应是函数f(x)增区间的子集.问题2是明确了函数f(x)的增区间恰是(-1,1),而在区间(-1,2),(-2,1),(-2,2),……不可能是增函数，具体解法如下：

问题1. f′(x)=-3x2+a，当a≤0时，f′(x)≤0函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数，当a>0，由f′(x)=0得x=±a3，当-a30，f(x)的单调递增区间是-a3,a3，由于f(x)在(-1,1)上是增函数，所以-a3<-1且a3>1，所以a>3，故a的取值范围是(3,+∞).

问题2.由问题1可知f(x)的单调递增区间是-a3,a3，由于f(x)的增区间恰是(-1,1)，所以a3=1,a=3即a=3时，f(x)的増区间是(-1,1).

四、 注意“x∈D时，f(x)≥g(x)恒成立，与x1,x2∈D时,f(x1)≥g(x2)恒成立”的区别

已知函数f(x)=x3+2x2+x-4，g(x)=ax2+x-8

问题1. 若对任意的x∈［0,+∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.

问题2. 若对任意的x1,x2∈［0,+∞)时,都有f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.

分析：问题1是一个恒成立问题.

设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,依题意F(x)≥0,在［0,+∞)上恒成立，等价于在x∈［0,+∞)上F(x)的最小值大于等于0

若2-a≥0即a≤0时显然有F(x)min=4>0；若2-a<0，由导数性质可知，当x∈［0,+∞)时，F(x)min=F2a-43令F2a-43≥0，即2a-433+(2-a)2a-432+4≥0解得a≤5，∴2

综上得，a的取值范围是(-∞,5］.

问题2与问题1，虽然都是不等式恒成立问题，但是却有很大的区别，而学生往往理解为既然x,x1,x2都具有任意性，且x,x1,x2∈［0,+∞)两个问题应该没有区别.实际上，问题1表示两个函数都取相同的变量时,都有f(x)≥g(x),但是问题2是对任意x1,x2∈［0,+∞),都有f(x1)≥g(x2)成立.不等式左右两端的自变量不同,x1,x2的取值在［0,+∞)具有任意性.所以不等式恒成立的充要条件是f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值，解答如下:

∵对任意x1,x2∈［0,+∞)，都有f(x1)≥g(x2)，∴f(x)min≥g(x)max，而当x∈［0,+∞)时f(x)min=f(0)=-4，∴-4≥g(x)对一切x∈［0,+∞)都成立.因此必有a<0，此时-12a∈［0,+∞),g(x)max=g-12a=-1+32a4a令-4≥-1+32a4a得a≤-116，所以a的取值范围是-∞,-116.

函数库中过程间数据流预分析 篇4

过程间数据流分析[1]在静态程序分析广泛应用。数据流分析技术在软件优化,程序维护和软件测试等方面均是十分重要的工具,然而在实际中过程间数据流分析存在几个问题。一个最重要的问题是在这个领域中存在不明确的分析模型。这个模型的关键问题是需对程序进行全源代码过程间数据流分析。过程间全源代码数据流分析将整个程序作为输入,然后生成对该程序进行优化方面的信息。该经典数据流分析模型假定程序的所有代码都是可获取以进行分析。

现今软件的构建对该模型提出以下几方面问题。例如,大型系统通常包含可重用组件。全程序分析的方式假定它总是能获取将要分析的整个程序。但对可重用组件存在以下几个问题:

1)一些程序的组件可能无法得到源代码,而只以二进制形式存在,使得全程序分析不能进行。

2)当组件被用于新系统的一部分时,需要对组件进行重新分析。例如,库可能被用于许多应用,全程序分析需要每次对这个库的应用进行重新分析。

3)一个组件的代码改变通常需要对整个程序进行完整的重新分析。

4)全程序分析的代价受库组件分析比较大的影响。分析设计者通常使用降低精度和分析结果有效性的语义近似来节省成本。

这些问题导致了许多分析不能被使用,即使可以使用,分析也只是相对近似的,因为这需要处理包含库的大量的代码。

通过对Sharir和Pnueli的论文[4]的全程序分析的“函数方法”的研究,发现其关键技术观点是在执行库的预分析时缺乏完全调用图。通过使用组件级分析,可解决Lib间和Main与Lib调用关系不存在时的数据流分析。

2 背景

2.1 过程间数据流分析框架

在分析程序或组件时,过程间数据流分析可用多元组表示,其中:

G=(N,E)表示过程间控制流图(ICFG)。

L=(LV,∩,∪,^,Т)。格的元素代表变量、表达式或一个过程中所有可能执行的其他程序设计结构的抽象性质。交运算符∩和并运算符∪用于计算两个格值的最大低界值和最小高界值。

F∈{f|f:L->L}是使用交并运算的单调函数空间。

M:E->F是数据流函数对图边的赋值。函数fe=M(e)表示经过e边时的效果。

η∈L表示main节点的初始值。

图G包括单独过程内的控制流图(CFG),节点n∈N对应基本块,过程内的e∈E表示相应的控制流。每个单一调用过程有两个节点表示:调用节点call-site和返回节点return-site。从call-site节点到被调用过程有一条边;同样从exit到return-site也有一条边。

图G中边序列用q=(e1,…,ek)表示,路径q的数据流函数表示为:fq=fe1°…°fek,不是所有的ICFG的路径表示可能的执行路径。一个有效的过程间路径满足:每个(exit,return-site)边正确匹配相应的(call-site,start)边。

2.2 组件级数据流分析(CLA)

在组件级数据流分析中,给定程序中单个组件的环境信息,组件级分析能够处理该组件的源代码。通用的CLA模型在[3]中提出,本文将构建在Lib间的p1组件作为主要的分析对象,构建在Lib之上的Main组件可作为相继的分析对象。在分析过程中,Lib的分析是库对象无关的预分析。预分析过程生成Lib的概要信息,此信息可用于任何构建在Lib之上的任何组件的分析。

CLA的形式在实际中有十分重要的意义。例如,在C++,Java和C#中存在的许多很大的标准库。某个标准库可看作组件Lib,而在其上完成的程序或组件可看作Main。CLA允许不使用Lib的源代码而是使用概要信息分析Main,这样可减少分析Main的成本,因为Lib的源代码已经分析完成;通过使用概要信息避免对Lib的重复分析;由于对Main的改变不需要对Lib进行重新分析,减少了代码改变在以前模型中分析成本。

3 函数库过程间数据流预分析中的算法及实例

函数库的数据流预分析可分为三种情况:1)确定调用,Lib源代码预分析构建库的过程间控制流图(ICFG),并识别出依赖Main组件的调用过程。如果Lib中调用过程调用相同库的函数过程(如非C++多态性),可将其看作固定调用。在C代码中,任何不使用函数指针的调用均是固定调用。2)确定过程,函数过程p为确定过程的递归定义为:(1)p不包括调用,(2)p只包括确定调用和只调用确定过程。对于确定过程可直接计算数据流函数。3)非确定过程,在处理确定过程后,库预分析考虑所有的非确定过程。分析过程将计算出ICFG中节点n所有的概要函数[2]:Ψnk:L->L,其中k表示与n同一过程中的ICFG节点,且k是以下节点的某种节点:(1)过程的开始节点,(2)非确定调用的返回节点,(3)确定调用到非确定过程的返回节点。

计算概要函数的算法步骤:

1)对每个非确定过程p,初始化Ψstartp:=λx.x,并将(startp,startp)插入工作集

2)对非确定调用的返回点r或非确定过程的确定调用,初始化Ψrr:=λx.x,并将(r,r)插入工作集。

3)对其他节点n和可用节点k,初始化Ψnk:=λx.Т

4)循环对工作集进行操作,直至工作集为空

将(k,n)从工作集中删除

a)若n不是调用节点或退出节点,对n每个后继节点n’执行propagate(k,n’,f(n,n’)°Ψnk)

b)若n是确定调用点,返回节点为r,调用确定过程p执行propagate(k,r,f(exitp,r)°fp°f(n,startp)°Ψnk)

c)其他情况,不处理procedure propagate(k,n,f)Ψk:=Ψk∩f;

若Ψk改变,将(k,n)放入到工作集中。

程序1所示为C风格的示例分析代码,包括两个组件:Lib组件和Main组件。假定Lib被构建为可重用组件,独立于Main;而且假定p1对Main是可见的,而对其余的组件p2,p3是不可见的。如果我们希望计算Lib的概要函数后,在分析Main组件时使用。概要信息将是独立于Main组件,需要的信息也只是Lib本身的代码。但同时必须使得使用Lib概要信息分析的结果和直接使用Main∪Lib分析的结果相同。

程序1在执行算法步骤后,针对Lib中的过程p1,在执行该算法步骤后,可得p1的概要函数如图2所示。

上述描述的算法是CLA分析的理论基础。为了实现真正的分析,分析器构建需注意为了构建在ICFG中的边,库概要信息应该包含足够的信息,这样才能保证相应的CLA能计算出调用图。例如,对于图2中的节点16,概要信息应该计算出此调用是使用函数指针,而且在函数库中并不存在此调用的函数地址。Main的CLA最终应能解析出节点16的调用的过程是位于Lib还是Main中。

4 结束语

库概要信息计算的存在是使用较大组件库的现代软件系统的过程间数据流分析的基础,通过使用函数库的预分析框架,可极大减少过程间数据流分析的成本。

本文的进一步工作,考虑构建多库的组件系统(例如,使用其他库的库)。

参考文献

[1]赵克佳,沈志宇(译).高级编译器设计与实现[M].北京:机械工业出版社,2005年.

[2]D.CALLAHAN.The program summary graph and flow-sensitive interprocedural data flow analysis[A].In Conf.Program-ming Language Design and Implementation[C],1988,pages 47-56.

[3]A.ROUNTEV.Component-level data flow analysis[A].In Int.Symp.Component-Based Software Engineering,LNCS 3489[C],2005,pages 82-89.

从求幂级数和函数的过程想到的 篇5

一、幂级数的和函数的基本概念

二、与幂级数和函数相关的知识

在求幂级数的和函数时, 与其相关的内容很多, 应总结为如下内容: (1) 幂级数的收敛半径和收敛区间的求法及其判断级数收敛和发散的定理. (2) 几何级数的和数都是几何级数) 和常用级数的敛散性 (如调和级数、P-级数、交错级数等) . (3) 幂级数的运算性质 (逐项微分和逐项积分) . (4) 变上限积分的性质 (∫x0[f (t) ]'dt=f (x) ) . (5) 定积分的计算方法, 尤其是凑微分法和公式法.

其中关于幂级数的和函数有这样重要定理:

三、幂级数和函数的求解步骤

求解幂级数的和函数, 首先应考虑幂级数是否收敛, 然后求收敛半径和收敛区间;其次观察是先逐项微分还是逐项积分, 目的是得到几何级数或熟知的结果.若是先微分得出的几何级数, 则再积分并有积分的性质和积分的计算方法求解出和函数;若先积分得出的几何级数, 则再微分求出和函数, 求解时可能会多次微分.

四、几种求解幂级数和函数的例子

五、求解幂级数和函数时应注意的几点问题

1.求解幂级数和函数前先判断级数是否收敛.

2.必须通过判断收敛区间端点的敛散性决定区间的开闭, 特别是逐项积分后所得的幂级数的收敛域有可能扩大.而逐项导数后的幂级数的收敛域有可能较缩小.

5.注意掌握幂级数和函数求解的方法:如化繁为简、分合并用、映射化归、虚实互化、正确则反和整体向部分靠、拆项法、通项公式等方法.

6.有些情况下, 按上边提供的方法求解不出, 就考虑用微分方程法, 微分方程法一般适用于一般项含有阶乘因子的幂级数.

7.多做并加以总结概括才能熟练掌握, 幂级数和函数很重要, 熟练掌握为今后数学知识的后继学习打牢基础.

8.可以用上面的方法想到其他间接方法, 比如微分方程法、代数方程法等.

六、由幂级数想到的

由幂级数可以解决很多数学问题, 比如能与算子算法共同求解非齐次变系数的线性微分方程和方程组.我们由此也想到了幂级数法, 下边我们举例幂级数法.

从数学分析中我们知道, 有些函数是可以展成收敛的幂级数的, 而且在一定的条件下, 幂级数可以逐项求导, 其结果仍是一个收敛的幂级数, 因此, 如果所给的微分方程的系数皆可在自变量某点附近展成收敛的幂级数, 则它可以用幂级数形式求解.比如, 求解初值问题若我们用幂级数法来求解则设所求的解是y (x) =4+b1x+b2x2+…+bnxn+…, 将其代入方程中, 并比较等号两边x的同次幂的系数, 得b1=4, 2b2=1+b1, …, nbn=bn-1.由此而知

七、结束语

综上所述, 在求幂级数的和函数时只要熟练掌握幂级数的概念及其有关理论, 多想多练就会逐渐理解.但需要牢固掌握, 灵活应用并想到幂级数是物理、天文的重要工具.

参考文献

[1]教材研究所研发中心.高等数学基础[M].北京:人民教育出版社, 2003:306-308.

[2]侯风波.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2000:391.

[3]仲济斋.级数求和的解题策略[J].高等数学研究, 2006 (3) :36.

函数过程 篇6

一、“过程”教学的课堂实践

1. 教学内容的分析过程

指数函数是在学习函数的概念和函数的一般性质的基础上, 具体研究的第一个重要函数模型, 是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的一次实践。对学生而言, 既学习了新的函数模型, 又强化了对函数研究方法的掌握, 为后续学习研究其他函数模型积累宝贵经验, 还将进一步深化对函数概念的理解。指数函数是超越函数, 学生第一次遇到, 学习面临着挑战。其学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法, 蕴涵着从特殊到一般、数形结合、函数的思想, 因此, 学习指数函数是学生认识函数的又一次飞跃。更为重要的是, 让学生深入理解科学研究的一般方法, 这对于提高学生的科学素养, 实现“人的发展”是十分有意义的。教学中, 一方面要教学生学习“提出问题”, 另一方面要让学生学习寻找一般科学学习方法。

2. 教学目标的确定过程

“过程与方法”这一目标的实现是通过学生经历特定的数学活动来完成的。根据本班的学情与内容特点, 教学目标确定为: (1) 经历两组问题情境的提出与分析过程, 抽象概括出指数函数的定义; (2) 让学生学习寻找科学研究方法, 自主探究指数函数的图像及性质, 经历类比、观察、特殊到一般等有效活动, 概括出指数函数的性质; (3) 指数函数的简单应用; (4) 在指数函数概念形成和图像与性质的探究中, 提高学生观察分析、抽象概括的思维能力; (5) 能力和分类讨论, 数形结合思想。

3. 实施“过程”的教学立意

(1) 精心设计问题情境, 用问题引导思维过程, 让学生从问题解决的过程中发现新事物, 然后去“情境化”, 即把具体的实际问题转化为具体的数学问题, 在此基础上, 再进行抽象, 把具体的数学问题转化成一般形式的概括, 建立严格的数学概念。

(2) 指数函数的图像, 选择特殊到一般的过程, 有利于学生概括, 符合学生的认知规律。

(3) 体现指数函数性质的研究要注重探究过程。一是要让学生提出问题——需要研究指数函数的性质;二是要让学生探究研究函数性质的方法——怎样研究函数的性质;三是在研究过程中, 让学生有明确的研究目标。

(4) 简单应用, 即例题的教学, 过程尤为重要, 要促使学生对函数思想的理解, 结果不能从天而降。

4. 体现“过程”的具体教学实施

(1) 概念引入突出情境“数学化”过程。经历实际问题“数学化”不仅有利于学会运用数学的眼光和方法观察现实世界, 分析研究各种具体事务, 发现规律, 理解数学知识的来龙去脉和本质特征, 也有利于提高学生的积极性, 激发其学习兴趣。

教学片断1:

提出问题: (1) 某细胞分裂时, 由1个分裂成2个, 2个分裂成4个, 4个分裂成8个……若细胞分裂的次数为x, 相应的细胞个数y是多少? (2) 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的84%, 那么经过x年后剩留量y与x的关系是什么?

设计意图:创设问题情境, 让学生体会到数学知识来源于实际。概念的产生不是从天而降, 有形成过程, 有产生的背景。

师:提出上述问题。

生:寻找x, y的关系式。 (1) y=2x, x∈Zx; (2) y=0.84x。

师:这些是函数关系式吗?

生:是, 他们符合函数的定义。

师: (这样的函数关系式很有用, 他们全部来自现实生活, 但我们从未见过, 是新生事物) 他们有何共同特征?

生:自变量在指数位置。

接着, 教师要学生尝试概括指数函数的概念。

笔者认为, 教学中创设恰当的问题情境, 努力让学生产生学习研究新事物的兴趣, 尝试提出问题, 通过实际问题的引入新概念时给学生以强烈刺激, “形式新”, 以前从未见过;“有用”, 问题均来自于实际生活。从而, 使学生意识到学习研究这样函数的必要性, 产生学习研究的欲望和动力。进一步启发学生思索:这一类事物的共同的属性是什么?在问题情境基础上的观察、分析、比较、概括, 学生自主建构概念过程就会自然而然形成。

(2) 性质的学习注重了探究过程。

教学片断2:

师:我们已经知道了指数函数的定义, 接下来要干什么呢?

生:研究指数函数的性质。

师:怎样研究?

生:通过图像。

师:怎样得到指数函数的图像?

生:利用前面所学的描点法来画。

师:好的, 请你们自己选择a的取值画画。 (所有学生都动起来, 教师巡视, 寻找并选择有代表性的图像展示)

教师从学生中选了a=2, 3, 4的先展示后, 再将的展示, 并要学生寻找图像的规律。学生根据自己各自所选择的a值, 与投影所展示的对照与概括, 发现了图像的规律如下:

师:从图像中你们看到了什么?

生1:图像都在x轴的上方。

师:值域 (-∞, +∞) 。

生2:a>1时, 图像从左到右呈上升趋势, 0

师:单调性, 当a>1时, 在 (-∞, +∞) 上单调递增, 当0

生3:图像都经过 (0, 1) 。

师:恒过点 (0, 1) 。

生4:图像向左右两边无线延伸。

师:定义域 (-∞, +∞) 。

……

设计意图:全部由学生自主探究, 并给学生充足的时间去交流, 充分的空间去探索。事先没有限制学生研究函数图像的具体性质, 学生大胆地由图像观察得出, 增加了问题研究的开放性, 老师选择要点板书, 师生共同最终完善形成“指数函数的图像和性质”。

笔者认为这一片断是学生在教师引导下逐步形成探究图像与性质的过程。在探索过程中, 让学生通过具体操作, 画出指数函数的图像, 通过图像观察, 概括出某种性质, 让学生体会到从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法。并渗透了分类讨论, 数形结合的数学思想方法。这正是新课改的目标要求, 过程与方法的具体体现。

(3) 简单应用体现“函数思想”过程。

教学片断3:

例:比较下列各组数中两个值的大小:

(1) 1.52.5, 1.52.3; (2) 0.5-1.2, 0.5-1.5。

师:如何比较?

生:计算出来。

师:很好, 再比较1.5√2, 1.5√3。

师:直接计算不是一般的方法, 比较两式有何特征?有何共同特点?

生:指数不同。

师:指数不同是不是意味着底数不变, 指数在变化, 你们有何想法?

生:想到指数函数。

师:应该引入怎样的指数函数呢?

生:指数函数y=1.5x, 利用单调性来比较。

设计意图:通过此例题的教学, 既巩固定义、图像与性质, 又要寻找解决问题的方法——函数思想。

笔者在教学时没有直接向教材上讲解告知“考查指数函数……”, 而是引导学生先将问题转化为函数问题, 即需要引进指数函数来解决, 问题的思维价值在于:怎样想到“引进”一个“指数函数”, 努力让学生自己去想到, 正是培养学生寻找解决问题的大好机会。题目看似简单, 而要达到此目标经历了一个过程的教学, 不是让思想从天而降的。

二、数学“过程”教学的反思

1. 对“过程”教学, 教师要加强认识

数学知识体系的形成是一个过程, 它的知识和理论是一个广泛应用的过程, 包括概念的形成、法则的提出过程, 数学结论的形成过程, 数学思想和方法的提炼及概括过程, 用数学的过程。从学生的学习的角度来看, 学习本身就是一个过程, 如概念的形成过程就是学生经历由对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和概括的较复杂的思维过程。因此, 老师在教学时, 要加强对过程教学的认识, 必须站在将知识的发生、发展和应用与学生的认知自然融合的角度, 使学生的认知结构不断发展, 数学观念逐步形成。

2. 实现“过程”教学, 必须创设良好的问题情境

精心创设问题情境是过程教学不可缺少的环节, 它既能很好的体现目标, 又能体现知识的发生发展过程。但是在引用问题情境时, 要结合学生学情并符合学生的认知规律。要紧密结合本堂课的中心和重点, 不能提空问题, 流于形式。可以层层递进, 也可以并列前行, 必须适当, 而不勉强。

3. 实现“过程”教学, 教师要适时地为学生“搭梯子”

有了问题, 学生可以通过一系列的思维活动来独立解决, 但是教师在课堂上的适时引导也很重要, 否则就不能组织好教学。在必要时要为学生的思维活动搭好梯子, 如要给予充足的交流时间, 可以分组讨论、动手实际操作、借作信息技术等等手段。

教育的根本目标是培养人, 数学教育理应把人的发展放在第一位, 按照南京师范大学涂荣豹教授的观点, 教什么就是教学生学什么和教学生怎么学。具体到每一堂课就是要思考, 学生要学习哪些知识, 经历哪些过程, 来不断完善和发展自己的能力。由于影响学生理解和掌握数学知识的因素是多种多样的, 各个数学知识产生的背景和表现形式也是多种多样的, 因此教师在加强“过程”教学认识的同时, 在平时的教学中要灵活设计出符合学生认知特点、体现数学特征、遵循数学基本要求的教学活动实践过程, 有效地将新课改的三维目标落在实处, 真正地实现素质教育在课堂教学中实施。

参考文献

[1]渠东剑.概念教学要突出抽象的过程[J].中学数学教学参考, 2012 (5) .

函数过程 篇7

《义务教育数学课程标准 (2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)倡导通过“过程教育”实现学生全面、和谐发展.但调研发现大多数教师的课堂教学不符合“过程教育”要求.“过程教育”指导下的浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“5.4一次函数的图像(第2课时)———一次函数的性质”的教学应该怎样操作,笔者采用研究性变革实践的方式进行了探索.初步的理论求证与实践验证表明,探索中形成的教学操作方法符合“过程教育”的精神实质,能落实全面、和谐发展的教学目标,并具有普遍的适用性.本文简录其教学过程并进 行点评,供读者参 考、研究.

2教学实录

环节1:经历揭示 课题的过 程———明确研究问题

师:我们知道,函数解析式的“数”与函数图像的“形”可以相互转化,用函数图像来表示函数关系能直观、形象地看出变量局部的变化规律,并能预测变量的变化趋势.根据一次函数图像上点的变化规律能发现变量之间的哪些变化规律,这节课就来研究这个问题.(揭示课题)

环节2:探索一次函数变量之间的变化规律———生成一次函数的性质

师:一次函数y=2x+3的图像是什么形状?观察一次函数y=2x+3的图像,当自变量x的值增大时,函数y的值是怎样变化的?

生1:y=2x+3的图像是直线,当自变量x的值增大时,函数y的值随之增大.

师:对于一次函数y=-2x+3呢?

生2:y= -2x+3的图像是直线,当自变量x的值增大时,函数y的值随之减小.

师:一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是什么形状?观察一次函数y=kx+b(k≠0)的图像,当自变量x的值变化时,函数y的值是怎样变化的呢?请大家看动画演示并回答问题:当k>0且固定时,让x变化,y是怎样变化的?当k<0且固定时,让x变化,y是怎样变化的?让k的值变化,当x变化时,y是怎样变化的?固定k的值,让b的值变化,当x变化时,y是怎样变化的?

生3:当k>0且固定时,y随x的增大而增大;当k<0且固定时,y随x的增大而减小.k的值变化时,若k>0,则y随x的增大而增大;若k<0,则y随x的增大而减小.k的值固定时,若k>0,不管b的值怎样变化,y随x的增大而增大;若k<0,不管b的值怎样变化,y随x的增大而减小.

师:现在请大家独立填写下表1中空格的内容.

师:谁来说说你的概括结果?

生4:一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量取值范围是全体实数;其函数值的取值范围是全体实数;当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.

师:现在老师提出下列几个反思性问题,请大家思考的基础上回答.

师:一般地,设是一次函数y=kx+b(k≠0)图像上的任意两点,若k>0,则当时若k<0,则当时,并且若(常量),则由点(x,y)组成的图像是直线.“(常量)”的物理意义是速度相等;数学意义是变化率相等;生活意义是单价相等、增长率相等.这些在解决具体问题中会经常用到.

环节3:参与尝试知识应用的活动———合作解答有代表性问题

师:现在我们一起用获得的知识来解决下列两个问题.

问题1我国某地区现有人工造林面积12万公顷,规划今后10年每年新增造林面积大致相同,约为0.61至0.62万公顷.请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷.

师:这个问题涉及哪些量?哪些量是常量?哪些量是变量?

生8:现有人工造林面积12万公顷(常量),每年新增造林面积相同(常量);每年新增造林面积在0.61万公顷与0.62万公顷之间变化(变量),6年后该地区造林总面积随每年新增造林面积的变化而变化(变量).

师:用数学知识解决实际问题经常要进行理想化处理(如每年新增造林面积大致相同可以理解为相同);每年新增造林面积是在0.61万公顷与0.62万公顷之间变化的一个确定的常量,这是解决这个问题的关键.

师:若设今后10年每年造林面积为p万公顷,6年后该地区的造林总面积为s万公顷,则s关于p的函数关系式是什么?p的取值范围是什么?

生9:s=6p+12,其中0.61≤p≤0.62.

师:当0.61≤p≤0.62时,s的取值范围是什么?

生10:因为一次函数s=6p+12中的k=6>0,所以s随p的增大而增大.所以6×0.61+12≤s≤6×0.62+12,即15.66≤s≤15.72.

师:这就是说,6年后该地区的造林总面积达到15.66万~15.72万公顷.

问题2要从甲、乙两仓库向A,B两工地运送水泥.已知甲仓库可运出100吨水泥,乙仓库可运出80吨水泥;A工地需70吨水泥,B工地需110吨水泥.两仓库到A,B两工地的路程和每吨每千米的运费如表2所示.

(1)设甲仓库运往A地水泥x吨,求总运费y关于x的函数表达式,并画出图像;

(2)当甲、乙两仓库各运往A,B两工地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?

师:请大家根据题意填写表3中空格的内容.

师(待学生完成填表任务后):y关于x的函数关系式是什么?x的取值范围是什么?

生11:y=1.2×20x+1×25×(100-x)+1.2×15×(70-x)+0.8×20×(10+x)=-3x+3920,其中0≤x≤70.

师:现在请大家在直角坐标系中画出函数y=-3x+3920(0≤x≤70)的图像.

师(待学生完成画函数图像任务后):当x取何值时,y的值最小?其实际意义是什么?

生12:因为一次函数y=-3x+3920中的k=-3<0,所以y的值随x的增大而减小.又因为0≤x≤70,所以当x=70时,y的值最小,其最小值是3710.其实际意义是:当甲仓库向A,B两工地各运送70吨和30吨水泥,乙仓库不向A工地运送,而只向B工地运送80吨水泥时,总运费最省.最省的运费是3710元.

师:能通过观 察函数y= -3x+3920(0≤x≤70)的图像来获得结果吗?

生13:能.这个函数的图像显示,当x=70时,y的最小值是3710.但从图像上得到的数据可能不准确.

师:说得好!图像虽直观,但难入微.所以我们通常采用数形结合的思想方法.

师:请大家回顾解决上述两个问题的过程,说说用一次函数知识解决实际问题需要经历哪几个步骤?

生14:分析,列式,求解,作答.

生15:分析题中的变量及变量关系,列一次函数解析式或画出其图像,用一次函数的性质求解,用所求的解回答实际的答案.

师:不错.现在老师来总结用一次函数知识解决实际问题的步骤:

(1)分析问题中的变量及变量之间的关系;

(2)引进两个表示变量的字母,用适当的方式建立变量之间的变化关系;

(3)用一次函数的知识解决变量之间的变化关系问题;

(4)用数学问题的解(提供的方案)回答实际问题的答案.

在这个过程中蕴含的数学思想有:模型化思想,转化思想,变化与对应思想,数形结合思想,演绎思想等.

环节4:参与回顾 与思考的 活动———合作进行反思与总结

师:现在请大家围绕下列“问题清单”进行回顾与思考.

(1)本节课研究了哪些内容?我们是怎样研究的?

(2)一次函数有哪些性质?怎样判定变量之间的变化关系是一次函数?

(3)用一次函数知识解决实际问题的基本步骤是什么?

(4)你觉得还可以进一步研究什么?

师(在组织学生合作交流的基础上):这节课的研究内容和研究方法可归纳如下.

3教学点评

“过程教育”旨在满足学生全面、和谐发展的需要,关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果(或解决问题)之后反思过程的育人活动.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的精神实质,能落实全面、和谐发展的教学目标.

3.1教学内容全面

全面、和谐的数学课程目标观,决定了数学课程内容不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成、应用的过程和蕴含的数学思想方法.这节课的教学内容体现了全面的课程内容观,其教学内 容包括:一次函数 的性质,生成一次函数性质的过程和蕴含的变化与对应思想、数形结合思想、归纳思想等,用生成的性质解决具体问题及解题的过程和蕴含的用函数知识解决实际问题的步骤及转化思想、模型化思想、数形结合思想等.这是落实全面、和谐发展的教学目标的前提.

3.2认知过程完整

全面、和谐的数学课程目标观,要求认知过程既有数学结果的形成过程,也有数学结果的应用过程和获得数学结果(或解决问题)之后的反思过程.这节课的认知过程体现了完整的认知过程观,既有根据图像探索变量之间的变化规律的认知过程,以获得一次函数的性质;也有用获得的性质解决具体问题及获得性质(或解决问题)之后反思的认知过程,以欣赏一次函数的性质,感悟蕴含的变化与对应思想、数形结合思想、归纳思想、转化思想、模型化思想等.这是落实全面、和谐发展的教学目标的关键.

3.3教学方法和谐

全面、和谐的数学课程目标观,要求教学方法不仅包括准 确、清晰、富有启 发性的讲解,也包括有助于学生经历实质性思维过程的价值引导———问题暗示、语言点拨、设置认知提示语、必要辨析与干预、适时评价与追问等.这节课的教学方法体现了和谐的教学方法观.例如,探索一次函数性质的教学,首先,教师采用具体到抽象的思维策略引导学生合作探究,以获得一次函数的性质;其次,教师引导学生合作反思,以认识用符号表示一次函数的性质和判定变量之间的变化关系是一次函数的方法.这里既有教师价值引导下的合作学习,也有教师的总结性讲解.这种教师价值引导下的先放后收的适度开放的教学方法是落实全面、和谐发展的教学目标的基本保证.

函数过程 篇8

在随机过程的应用中, 输入往往是正态随机过程, 系统对输入实施非线形运算, 而且考查输入通过系统后的结果.这就要研究正态过程平方后的均值函数, 协方差函数的计算以及过程的平稳性、正态性的判断.

1.均值为零的正态随机变量的四阶乘积距公式

设x1, x2, x3, x4是均值为零的正态随机变量, 则有

E (x1, x2, x3, x4) =E (x1x2) +E (x3x4) +

E (x1x3) E (x2x4) +E (x1x4) E (x2x3) . (1)

证明 由多维随机变量X= (x1, x2, …, xn) τ的n维特征函数Φ (x1, x2, …, xn) =Eei (t1x2+t2x2+…+tnxn) 的性质有:

E (x${}_1^{k{}_1}$x${}_2^{k{}_2}$…x${}_n^{k{}_n}$)

= (i) -${\displaystyle \sum _{j=1}^n}$$\begin{array}{l}{\rm K}{}_j\left[\frac{\partial {}^{k{}_1+{\rm K}{}_2+{\rm K}{}_n+\cdots }\text{ϕ}(t{}_1,t{}_2,\cdots ,t{}_n)}{\partial t{}_1^k\partial t{}^{t{}_2\cdots }\partial t{}_n^{k{}_n}}\right]\\ (t{}_1=t{}_2=\cdots =t{}_n=0)\end{array}$.

其中$i=\sqrt{-1},n=4,{\rm K}{}_1={\rm K}{}_2={\rm K}{}_3={\rm K}{}_4=1$, 有

$E(x{}_{1}x{}_{2}x{}_{3}x{}_4)=\frac{\partial {}^4}{\partial t{}_1\partial t{}_2\partial t{}_3\partial t{}_4}\Phi {}_{x{}_1‚x{}_2‚x{}_3‚x{}_4}(0,0,0,0).(2)$

由于xi (i=1, 2, 3, 4) 均值为零, 故 (x1, x2, x3, x4) τ的特征函数

$\Phi {}_{x{}_1,x{}_2,x{}_3,x{}_4}(t{}_1,t{}_2,t{}_3,t{}_4)=\exp \left\{-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{4}t}{}_{i}t{}_{j}E(x{}_{i}x{}_j)\right\}.(3)$

即$\begin{array}{l}\Phi =\exp \{-\frac{1}{2}[t{}_{1}t{}_{1}E(x{}_{1}x{}_1)+t{}_{1}t{}_{2}E(x{}_{1}x{}_2)+\\ t{}_{1}t{}_{3}E(x{}_{1}x{}_3)+t{}_{1}t{}_{4}E(x{}_{1}x{}_4)+t{}_{2}t{}_{1}E(x{}_{2}x{}_1)+\\ t{}_{2}t{}_{2}E(x{}_{2}x{}_2)+t{}_{2}t{}_{3}E(x{}_{2}x{}_3)+t{}_{2}t{}_{4}E(x{}_{2}x{}_4)+\\ t{}_{3}t{}_{1}E(x{}_{3}x{}_1)+t{}_{3}t{}_{2}E(x{}_{3}x{}_2)+t{}_{3}t{}_{3}E(x{}_{3}x{}_3)+\\ t{}_{3}t{}_{4}E(x{}_{3}x{}_4)+t{}_{4}t{}_{1}E(x{}_{4}x{}_1)t{}_{4}t{}_{2}E(x{}_{4}x{}_2)\cdot \\ t{}_{4}t{}_{3}E(x{}_{4}x{}_3)t{}_{4}t{}_{4}E(x{}_{4}x{}_4)]\}.\end{array}$

所以$\frac{\partial \phi }{\partial t{}_1}-$${\displaystyle \sum _{j=1}^4}$tjE (xixj) φx1x2x3x4 (t1, t2, t3, t4) .

若记φ=φx1x2x3x4 (t1, t2, t3, t4) , Li=${\displaystyle \sum _{j=1}^4}$tjE (xixj) , 则有

$\begin{array}{l}\frac{\partial \phi }{\partial t{}_1}=-L{}_j\phi .\\ \frac{\partial {}^2\phi }{\partial t{}_1\partial t{}_2}=\frac{\partial }{\partial t{}_2}\left[\frac{\partial }{\partial t{}_1}\phi \right]=\frac{\partial }{\partial t{}_2}[-L{}_j\phi ]\\ =\phi [L{}_{1}L{}_2-E(x{}_1,x{}_2)]\frac{\partial {}^3\phi }{\partial t{}_1\partial t{}_2\partial t{}_3}\\ =\frac{\partial }{\partial t{}_3}\left[\frac{\partial {}^3\phi }{\partial t{}_2\partial t{}_3}\right]=\frac{\partial }{\partial t{}_3}\{\phi [L{}_{1}L{}_2-E(x{}_1,x{}_2)]\}\\ =\phi \{-L{}_{1}L{}_{2}L{}_3+L{}_3(x{}_{1}x{}_2)+L{}_{2}E(x{}_{1}x{}_3)+\\ L{}_{1}E(x{}_{2}x{}_3)\}\frac{\partial {}^4\phi }{\partial t{}_1\partial t{}_2\partial t{}_3\partial t{}_4}=\frac{\partial }{\partial t{}_4}\left[\frac{\partial {}^3\phi }{\partial t{}_1\partial t{}_2\partial t{}_3}\right]\\ =\phi \{[L{}_{1}L{}_{2}L{}_{3}L{}_4-L{}_{1}L{}_{2}E(x{}_{3}x{}_4)-L{}_{1}L{}_{3}E(x{}_{2}x{}_4)+\\ E(x{}_{3}x{}_1)E(x{}_{2}x{}_4)+E(x{}_{4}x{}_1)E(x{}_{3}x{}_2)\\ L{}_{1}L{}_{4}E(x{}_{3}x{}_2)-L{}_{2}L{}_{3}E(x{}_{4}x{}_1)-L{}_{2}L{}_{4}E(x{}_{3}x{}_1)-\\ L{}_{3}L{}_{4}E(x{}_{1}x{}_2)+E(x{}_{1}x{}_2)E(x{}_{3}x{}_4)]\}.(4)\end{array}$

由 (2) 和 (4) 得到 (1) 式成立.

2.均值为零的正态随机过程的协方差函数

设{X (t) , t≥0}是均值为零, 协方差核为K (S, T) 的正态随机过程, 即E (xi=0, t∈[0, +∞) ) , 协方差函数cov (xs, St) ^=K (S, T) , S, T∈[0, +∞) 则对任何的s, t, h∈[0, +∞) , 有

cov[x (s) x (s+h) , x (t) x (t+h) ]

=K (s, t) K (s+h, t+h) +K (s, t+h) K (s+h, t) . (5)

证明 由于cov[x (s) x (s+h) , x (t) x (t+h) ]

=E[x (s) x (s+h) +x (t) x (h+t) ]-E[x (s) x (s+h) ]+E[x (t+h) x (t) ]. (6)

再由 (1) 式得到 (6) 式,

右边=E[x (s) x (s+h) ]E[x (t) x (h+t) ]+

E[x (s) x (h) ]E[x (s+h) x (h+t) ]+

E[x (s) x (t+h) ]E[x (t) x (s) ]E[x (t+h) x (s+h) ]+

E[x (s) x (t+h) ]E[x (t) x (s+t) ]E[x (s) x (h+t) ].

E[x (t) x (s) ]E[x (t+h) x (s+h) ]+

E[x (sx (h+t) ]E[x (t) x (s+h) ]E[x (s) x (h+t) ].

E[x (t) x (s) ]E[x (s+h) x (h+t) ]+

E[x (s) x (h+t) ]E[x (t) x (s+h) ]

=K (s+h, t+h) +K (s, t+h) K (s+h, t) ,

故 (5) 式得证.

3. (5) 式的几个例证

设E (x1) -0, t∈[0, +∞) , K (s, t) ^=cov (xS, xt) , s, t∈[0, +∞) , 则有

①E (x${}_s^2$) = (t, t) ;

②D (x${}_t^2$) =2K2 (t, t) ;

③cov (x${}_s^2$, x${}_t^2$) =2K2 (s, t) ;

④E (xt, xt+h) =K (t, t+h) ;

⑤D (xt, xt+h) =K (t, t) K (t+h, t+h) +K2 (t, t+h) .

摘要：在正态随机变量乘积距基础上, 给出正态随机过程平方后的协方差的函数计算.利于均值函数, 协方差函数获得平稳过程和维纳过程的平稳性、正态性的判断.

函数过程 篇9

关键词：学习方式,小组合作,三角函数的诱导公式公开课

美国缅因州国家训练实验室提出了学习金字塔 (Learning Pyramid) (见下图 ) , 它用数字形象显示了 :采用不同的学习方式, 学习者在两周以后还能记住内容 (学习内容平均留存率) 的多少.

从图中我们可以看出: 听讲———这是我们最熟悉最常用的教学方式, 学习效果却是最差的, 两周之后, 学习内容的留存率为5%;阅读、视听、演示———两周之后, 学习内容的留存率分别为10%、20%、30%;而讨论、实践、传授给他人———两周之后, 学习内容的留存率为50%、75%、90%.可以看到, 学习内容的留存率不足50%的几种学习方式都是被动学习, 而学习内容的留存率达到或超过50%的几种学习方式都是主动学习或参与式学习.

经过“三角函数的诱导公式”公开课的艰苦磨砺过程, 笔者逐步领悟主动学习才能使学生更好地理解掌握运用知识小组合作学习的方式不失为一种有效的学习方式.

一、试水课———精致的设计

为了上好诱导公式的公开课, 笔者提前开始精心准备.在网上查阅了一定量的教案、课件, 翻阅相关的期刊, 回忆了笔者所听过的大师的课堂环节, 听取了同事的若干建议后, 又翻阅了《普通高中课程标准 (实验) 》, 重温了新课程的基本理念.经过几天的学习和思考后, 确定了一个大致的设想, 主要体现出以下特点.

第一, 课堂目标要多元化, 不能仅仅停留在知识和技能上的要求上. (1) 注重知识的形成过程; (2) 渗透数学思想和方法在这节内容中, 主要涉及类比思想、化归思想等; (3) 注重学生的情感、态度、价值观———通过问题情境的创设提高学生的兴趣, 通过恰当的引导发展学生正确的数学观念.

第二, 在学习方式上要凸现变革, 采用自主探究、合作学习的方式.尽量让学生发现问题、探究, 通过小组讨论、判断辨别真假.

第三, 精心设计多媒体课件.新课程提倡教师在处理某些内容时使用计算机或计算器, 帮助学生理解概念, 以充分反映现代信息技术与数学课程的整合.[1]

经过几天的精心准备, 笔者做出了一份具体的教学设计:

(一) 复习回顾, 导入新课.

1.三角函数的定义.

2.诱导公式一.

由公式一, 计算: (1) sin420°; (2) cos600°; (3) tan660°; (4) sin480°.

(2) cos600°=cos240°=?

(3) tan660°=tan300°=?

(4) sin480°=sin120°=?

启发学生思考有没有像公式一这样的公式把第二三四象限的角转化到第一象限? 即π+α、-α、π-α与α的三角函数值有怎样的关系?

(二 ) 探 究新知.

探究一:α与π+α的三角函数值.

引导学生思考, 充分利用单位圆推导公式.

无论α为什么角, π+α的终边都是α的终边的反向延长线, 即α与π+α的终边关于原点对称.

利用对称关系, 写出交点坐标P (x, y) , P1 (-x, -y) .

指导学生利用三角函数的定义, 写出π+α的三角函数值:

从而推导出诱导公式二:sin (π+α) =-sinα,

cos (π+α) =-cosα,

tan (π+α) =tanα.

探究二:α与-α的三角函数值.

活动:类比公式二的推导, 根据以下问题推导公式三.

(1) 角α与角-α的终边位置关系如何 ?

(2) 它们与单位圆的交点坐标有何特征 ?

(3) 如何表示-α的三角函数值 ?

探究三:α与π-α的三角函数值.

(1) 角α与角π-α的终边位置关系如何 ?

(2) 它们与单位圆的交点坐标有何特征 ?

(3) 如何表示π-α的三角函数值 ?

(三 ) 例 题 讲解.

例1:利用公式求下列三角函数的值:

(1) sin (11π) /3; (2) cos (-2040°) .

例2:化简.

(四 ) 课堂小 结.

1.诱 导公式二 、三 、四 ;

2.数学思想方法 :化归思想.

在教研组的安排下, 笔者借用了高一某班试讲了一次.上课时, 笔者依照原先的设计, 认真执行.在上课过程中, 在笔者的引导下, 学生积极思考, 参与度较高, 对问题的分析、知识的掌握也比较轻松.

二、黯然收场———“精致”成了“限制”

课后, 教研组的同事进行研讨.经过讨论, 大家达成共识本堂课设计周密、自然, 环环相扣, 注重思想方法的渗透;但是, 这节课相对来讲比较平淡, 缺乏突出的亮点, 因为整个课堂设计很精致, 反而限制了学生的活动, 使得学生只能按老师既定的思路前进.

该怎样突出亮点呢? 笔者陷入了困境, 经过几番思索, 笔者决定充分利用学生小组活动. 比如在推导出诱导公式二之后, 可以让学生根据提示, 小组讨论出公式三四.于是, 笔者调整了教学设计.

三、小组讨论显神奇

(一 ) 复 习回顾 , 导入新课.

(与原先设计相同 , 略 )

(二 ) 探究新知.

探究一:α与π+α的三角函数值.

提出问题: (1) 角α与角π+α的终边位置关系如何?

(2) 它们与单位圆的交点坐标有何特征 ?

(3) 如何表示π+α的三角函数值 ?

由学生小组讨论, 讨论完毕派一名代表上台展示.

探究二:α与-α的三角函数值.

探究三:α与π-α的三角函数值.

(1) 根据诱导公式二的推导过程 , 让学生进行类比 , 小组讨论诱导公式三、四.最后请两个小组各派一名代表展示结果

(2) 师生点评、总结 , 让学生利用口诀记忆公式.

(三 ) 例题讲解.

(四 ) 课 堂小结 (略 ) .

公开课后, 同组教师认为这堂课上得很不错, 注重学生主体作用的发挥, 让学生讲的尽量让学生自己讲, 让学生做的尽量让学生自己做, 学生陷入困境, 教师就引导点拨.通过小组讨论, 每位学生都参与到学习中, 激发学生的学习兴趣, 尤其是基础薄弱的学生.

四、感悟

原先的教学设计过于精细, 考虑到许多细节, 对学生易犯的错误, 教师已预设好如何引导化解, 这种程序使得学生只能按照教师为他们设计好的路线来学习, 只能在预定的轨道上收获, 从而造成对学生思维的限制.“精致”的教学设计说到底仍是教师在唱主角, 学生仍是被动地学习, 只不过“唱”的更巧妙, 课堂热热闹闹, 也只是虚伪的活力, 肤浅的精彩.

小组合作学习有利于教学的多边互助, 使每个学生都获得平等参与的机会.小组合作学习, 增加了学生与学生、学生与老师之间的交流机会.同时, 也弥补了教师由于班额大而不能照顾到每一个学生的不足, 达到了每个学生获得成功的体验及实践和发展的目的.

参考文献