极限的思想（精选12篇）
极限的思想 篇1
1. 极限思想的产生
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法———归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
2. 极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，对求极限得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础。他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”但牛顿的极限观念是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，无限地接近于常数A，那么就说以A为极限。”人们容易接受这种描述性语言。现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
3. 极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，许多人尝试解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚，对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解，对有限和无限的对立统一关系还不明确。人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”它接近于极限的正确定义。然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f (x)的导数定义为差商Δy/Δx的极限f′(x)，并强调指出f′(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别的，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。即在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|f (x) -A|<ε恒成立。”
这个定义借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
4. 极限思想的思维功能
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从直线形认识曲线形，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确。
极限思想反映了近似与精确的对立统一关系，他们在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要方法。数学分析中的“部分和”、“圆内接正多边形面积”、“矩形的面积”、“平均速度”，分别是相应的“无穷级数和”、“圆面积”、“曲边梯形的面积”、“瞬时速度”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来得到精确的。
5. 用极限思想所建立的概念
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。利用极限的思想方法可得出连续函数、导数、定积分、广义积分的敛散性、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
摘要：极限思想谈的是数学中的思维问题, 它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。本文以数学发展史为基础, 从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展, 主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。
关键词：极限思想,产生,发展,完善,思维功能
参考文献
[1]李心渝主编.高等数学.北京理工大学出版社, 2007.4.
极限的思想 篇2
摘要：随着高中新课程的实施，极限思想在高中物理知识体系中的重要性得到了明显的体现。本文就极限思想在高中物理的概念、公式推导、变力做功、物理实验等几方面的应用几方面谈了自己的一些看法。
关键词：极限思想高中物理应用
对新课程背景下高中物理知识的学习，《课程标准》明确指出在学习过程中，学生要了解物理学的研究方法，认识到数学工具在物理学发展过程中的作用。在所说的数学工具中，就包含着极限思想。在新课程的教材中，物理概念、公式推导、变力做功、物理实验等诸多方面都应用了极限思想，下面我就这个问题谈谈自己的一些粗浅的看法。
一、极限思想在速度等概念中的应用
在学习速度这个知识点时，教材对瞬时速度的概念是物体在某时刻的速度，某时刻在时间轴上对应的是一个点。但在介绍如何去求这个瞬时速度时是来自平均速度。对于平均速度只能粗略地描述运动的快慢。为了使描述精确些，可以把△t取得小一些。物体在从t到t+△t这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。△t越小，运动的描述就越精确。如果△t非常非常小，就可以认为△x/△t表示的是物体在某时刻的速度即瞬时速度。这其实就是高中生所初步接触到的极限思想。在这里从段到点的转化学生的理解只是粗略抽象的理解，我们可以认为它叫“近似”。如果学生想这个问题时能上升一个高度，当时间表示一个点的时候，△t=0，△x=0，△x/△t=?这个问题该如何向学生解释呢?这时我们可以向学生透露一个小小的极限思想。瞬时速度V可表示为V=。这种问题在以后所学瞬时加速度、瞬时线速度、瞬时功率、瞬时感应电动势时都会涉及到，这样就有了一个循序渐进的领会过程。
二、极限思想在匀变速直线运动的位移公式推导中的应用
在学习匀变速直线运动的位移与时间的关系的时候，我们又面临“微分”的思想在其中的应用。我们首先是从匀速直线运动的位移和时间的关系讲起，我们又利用V-T图象观察到位移其实是匀速直线运动V-T关系曲线和时间轴在这段时间内所围成的面积。
在此基础上，由于匀变速直线运动V-T图象是一条倾斜的直线。我们把物体的运动分为n段，每小段起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示。我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/n近似的当作各小段中物体的位移，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。这n个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移。当n取的非常非常大时，许多小矩形面积之和就能准确地代表物体的位移了。到了这里我们发现了极限思想的得到了进一步的应用。这一点很像魏晋时期的中国数学家刘徽的“割圆术”。用这种方法去了解匀变速直线运动的位移和时间的关系我认为是最好的办法。
三、极限思想在变力做功知识中的应用
匀变速直线运动中位移和时间的.关系的推导方法可以应用到弹簧的弹性势能的表达式的探究。课本上采用的办法是模仿匀变速直线运动的位移和时间的关系的处理办法。首先，对于直线运动来说X=Vt是求位移的公式。但速度是变化的V=V0+at，当V0=0时，V=at。很明显，我们不能用X=vt=at2来计算。我们用V-T关系曲线和时间轴在这段时间内所围成的面积表示位移：X=at2。我们对照这个问题我们再看看弹簧的弹力做功问题，弹力大小F=kx，是变力。根据同样道理F-x的关系曲线和x轴在某段形变量内所围成的面积应该是弹力所做的功。推出W=kx2。如果学生能理解这个问题，再配合书上的实验结论，学生就有了从实践上和理论上这两个角度对弹性势能上有了全面的认识。
四、极限思想在伽利略实验中的应用
有的实验受条件限制是很难甚至是不可能在实际中做出来的，这时就要借助于一些思想和方法。例如在探寻运动和力的关系过程中，伽利略的理想斜面实验就运用了极限思想，他首先消除了摩擦力这个次要因素，提出了理想斜面，以斜面倾角越小小球跑的越远这个可靠的实验事实为基础，运用极限思想得到了正确的结论，结束了亚里士多德统治了两千多年思想的错误观点。还有，在伽利略研究自由落体的过程中，为了解决无法精确计时的问题，采用了让铜球下滚来冲淡阻力的方法，得到了斜面倾角增大小球依然做匀加速直线运动后，采用极限思想合理外推得到了斜面垂直时物体的运动也是匀加速直线运动的结论
综上所述，极限思想在高中物理的许多方面都有重要体现和应用。教学过程中我们可以通过让学生对极限思想和数学知识的应用，体会学科知识间的联系，建立普遍联系的观点，使人们能够从有限中认识无限,从近似中认识精确。
参考文献：
[1]《数理化学习(高中版)》21期
[2]《师范教育》09期
思想有极限吗 篇3
很多人以为上述假想可能是好莱坞的又一个科幻大片，然而也许其中某些事情距离现实并不遥远。人类的思想可以达到何种程度呢?即使它是有限的，目前科学家仍不能确定它的界限在哪里，甚至连人脑这个汇集了所有智慧的、创造性的、有感情的、活动的器官都还不愿将它的秘密完全显示出来。
被视为DNA之父和神经研究大家的克里克承认，“我们对于人脑不同部位的认识，仍处于初级阶段”。
一些从事思想开发的科学家，正行进在与传统科学不同的研究道路上。在意识形态研究上独树一帜、颇受争议的英国生物化学家鲁珀特·谢尔德雷克，20年来一直在进行科学实验，以证明人类思想能力的强大远远超过人们所想象的；心灵感应和预感现象等可以从生物学角度得到解释，它们是正常的动物行为，经过了数百万年的演变，是为适应生存的需要而形成的。
他说：“我们从祖先那里继承了这些技巧，对这些技巧的研究可以帮助我们理解动物、人类，尤其是思想的本质。”
是什么促使生物界的革命者做出上述结论呢?谢尔德雷克认为，思想不是头脑的同义词，它不是关闭在脑子里的，而是“延伸到我们周围的世界，与我们所看到的一切相连接”。此外，正如现代物理所证明的，思想不是被动的关系，而是“我们对外部世界的感觉，意味着两者之间的互动”。也就是说，人类的思想是受外部环境影响的，但它同时也在周围环境中留下了自己的痕迹。
这个被称为“延伸的思想”的理论认为，与电磁场的存在一样，思想也有自己的场域，或日形态发生场——形态场里流动着各种有意识或无意识的想法、愿望和意见。
根据该理论，人的各种想法甚至记忆会在这些“信息高速公路”上行进，“因为每当出现一种新的行为方式。例如一项体育技术或电脑游戏，就会产生一个涉及很多人的经验”。各种思想的大范围参与，使新技巧进人流通，从而产生自己新的独特的形态场。
“我相信这个形态场使其他人在后来学习技巧时更容易。”也许关于这个问题有其他社会学解释，但根据今天孩子对电脑操作的熟练程度来看，谢尔德雷克的理论至少有一点道理。
显然，并非所有的思想和行为都是相同的，因此并不是每个人都有自己的形态发生场。就像基因突变一样，形态场里的思想会经历自然选择。
“一个可以适用其他人的好主意，会被模仿、传播，变得很普遍。思想观念越常见，成为潜意识的可能性就越大，到最后文化的总体标准自然而然就形成了。”从这个过程得出的一个结论是，本能实际上是对祖先行为的一种回忆。谢尔德雷克说：“本能依靠的是物种的集体记忆，是世代积累而成的。例如，一只从来没见过羊的牧羊犬，即使没有受过训练，通常也会自觉地将羊群集中起来。有许多影响我们所有人的无意识习惯，都是通过集体记忆形成的。”
自己的想法和意识正在空气中游荡，并可能被任何人捕捉——这也许会让许多人感到不安。不要担心，因为根据谢尔德雷克对数千种经验的观察显示，无论何种技巧，总有一部分人比另一部分人对它更敏感。而且，心灵感应只在互相了解很深的人之间发生，并决定于人的感情和社会联系。
意愿在思想传播中是非常重要的。当一个人决定干某件事情，例如打电话或回家时，就会向事情对象，如接电话的人或家里的人反映他的意愿。根据谢尔德雷克的研究，某些人或动物能够捕捉到这种意识。事实上，最近科学家对脑电波的分析证明，某个行动的意愿可以使神经网络在事件发生之前先行运作起来。2006年美国人在一项实验中，偶然发现了第六感或心灵感应存在的证据。研究者们在一个视觉感应实验中惊奇地发现，1／3的受试者能够在眼睛看到之前，提前几秒预先感知照片的变化效果。谢尔德雷克在他的最新著作中，对自己所做的关于心理间谍可能性的实验做了介绍。通过实验他发现，用思想来传播图像的准确度远远高于信口而说的预言。
不过谢尔德雷克理论让人印象最深刻的一点是，他把思想的影响力与时间相联系。他说：“我的意愿可以影响将来……其他人的意愿也可以影响我的意愿。”
某些研究可以使我们对这一理论有个大概了解。美国心理学会最近公布的一项研究成果显示，如果父母相信自己的子女酒量很大，那么孩子真的会喝很多酒，仿佛长辈计划的一样。日常生活中我们也可以看到，如果教师认为自己的学生能够取得好成绩，那么他们真的可以成功。当然，这些现象同时受到其他因素的影响，但是正常的交流不仅有正常渠道的信息传播，也包括心灵感应(形态场)的信息传播，两者并不排斥。
也许有人对此感到无法理解。如果有人在8世纪描述出一个使用手机、卫星向全球发送信息的未来，可能会被视为疯子。谢尔德雷克在20世纪80年代推出自己的理论时，也有科学家把他的理论视为胡言乱语。对此，谢尔德雷克认为：“许多科学家之所以害怕和排斥心灵感应，是因为它不符合唯物主义理论。在科学史上，当旧有典范改变、更加广泛的模式取代原先范围有限的模式时，革命就随之发生。”
极限概念的数学思想及其教学 篇4
一、极限思想
运动是一切事物、现象发生变化的根本属性, 静止则是特殊的运动状态, 但变化亦有渐变和突变之分。沧海桑田之变是渐变;山崩地裂之变是突变。而极限的思想正是渐变的思想, 所谓极限思想, 它既是利用有限描述无限、由近似过渡到精确, 更是一种工具、一种过程, 特别是对于变化趋势的“无穷小”过程。有了极限思想后, 在此基础上给出了连续概念、导数概念、定积分概念、广义积分的敛散性、级数的敛散性、多元函数的偏导数、重积分概念、曲线积分概念及曲面积分概念等等。我们知道, 微积分建立在代数、几何基础之上, 但它比代数、几何更“高明”, 能解决代数、几何所不能解决的问题。其根本原因在于它引进了一个新的思想方法, 即“极限”的思想方法。“极限”思想方法是微积分教学的基础, 也是微积分解决问题贯穿始终的基本方法。“极限”思想揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。
根据探究式学习的原则, 在微积分教学中可以从三方面渗透“极限”数学思想:
(1) 用微积分数学史引出极限概念, 激发学生学习数学的兴趣。在引入极限概念时, 求曲边梯形的面积与求曲线在某点处的切线斜率、我国古代数学家刘徽的“割圆术”、古代希腊伊利亚学派的芝诺的“两分法悖论”等, 都是很好的材料。在教学中穿插讲解这些微积分数学史上的小故事, 可以使学生从中领悟数学家当时的创造思维进程, 有效地激发学生的创造思维, 从而形成“极限”数学思想, 掌握“极限”数学方法。
(2) 用“极限”思想方法指导微积分相关内容的学习, 提高学生对极限的认识。“极限”概念是微积分最基本的概念, 微积分中大量的其他基本概念都是用极限概念来表达的, 如连续、导数、定积分、级数多元函数的偏导数、重积分概念、曲线积分概念及曲面积分概念等的教学都可以用极限来组织教学。极限是研究无限的有力工具, 采用的是将无限转化为有限来研究, 如把“收敛级数的和”定义成“部分和 (前有限项的和) 的极限”。但是, 我们也常常先通过无限可分, 将有限的转化为无限的, 再利用极限来研究, 也就达到了利用极限来研究有限的目的。典型的是定积分概念的建立, 通常采用的几何引例“求曲边梯形的面积S”中, 将有限的区间[a, b]分割成n个小区间, 其实质是将曲边梯形相应地分割成n个小曲边梯形, 将n个小曲边梯形的面积近似求和得△Sn, 可以看到, 随着n越来越大, △Sn是越来越接近于S, 按照极限的思想, 就是lim△Sn=S, 整个过程的实质是通过对有限的曲边梯形的无限分割, 再利用极限作为工具达到了利用无限来研究有限的目的, 求出了曲边梯形的面积。可见, 有限与无限在极限的思想下, 达到了完美的统一, 这样的思想岂不神乎?
(3) 应用型探究。极限思想作为一个知识实体, 它自身也是在不断地变化发展。因此, 在教学中应注意极限思想的应用型探究。可以以讨论班、专题网站、学术研究小团体等多种形式组织学生对极限思想探究, 如探究极限思想在解决中学数学 (特别是高考数学) 中的应用、在估算问题中的应用、在立体几何中的应用、在经济学中的应用等。通过多种形式的探究教学, 真正把教学活动活跃起来, 真正实现学生的主体地位, 真正实现教师的合作探究者角色, 真正实施一种有效的极限概念教学。
二、逼近思想
当分析一个问题时, 直接求解该问题可能会非常的复杂, 一种很常见的思想是通过已有的信息, 逐步将问题逼近目标答案。这体现的就是逼近思想。极限思想实质上是一种逼近思想, 而且是一种无限逼近的思想, 反映在离散的数上就是数列的极限 (其特例是数项级数) , 反映在连续的数上就是函数极限 (其特例是函数项级数) , 反映在函数列上就是函数列的收敛性, 反映在函数项级数上就是函数项级数的收敛性, 反映在闭区间列上就是区间套定理, 反映在割线上就是切线, 反映在图形面积上就是定积分, 泰勒公式研究的就是利用多项式函数去逼近已知函数。可见, 无限逼近思想在数学分析中应用广泛。
逼近思想不仅在数学分析中有重要体现, 而且是数学中的一种根本性思想。逼近思想在数值分析、算法、函数论、微分方程等方面都有重要的应用, 是学生应该掌握的一种重要思想。
三、数形结合思想
数学是研究形式与数量关系的科学。这里主要有两个方向:“数”和“形”。“数”是指数量关系, “形”是指空间形式。数学就以
数和形两个基本概念为主干, 分化为代数和几何两个方向。但实际上数与形常常结合在一起, 内容上相互联系, 方法上相互渗透, 并在一定条件下互相转化。笛卡儿创立的坐标方法在点与有序实数对、曲线与方程建立起对应关系就是数形结合的思想, 要做到遇形思数、借形释数, 也就要是充分利用形的直观性和数的规范性, 通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括:形转化为数的思想;数转化为形的思想。这种思想在中学的教学中也是教学的重点。
四、整体与局部思想
数学家B·Demollins说“没有数学, 我们无法看透哲学的深度;没有哲学, 人们也无法看透数学的深度;若没有两者, 人们什么也看不透。”
我的极限作文 篇5
我的极限作文
因为我这几天写作业特别懒散，姐姐十分生气，我们去海岸城买排球的时候，她看到我那么想去翻斗乐园玩，脑袋一转，就拍拍我的肩膀对我说：“只要你能在十五天之内完成所有寒假作业，我就带你去海岸城玩。”我一听，心里面对这个巨大压力就想放弃，但是我又想，如果我真能很快完成作业，那其他天我不就可以痛痛快快的`完了吗？于是，我爽快的答应了。
于是，我每天时间排的很紧，一天就要完成四章寒假作业，一天就要读五十个单词，一周之内就要完成一篇寒假周记，和一次读书笔记，我觉得自己快不行了，但一想起当初的承诺，又觉得自己这样就放弃很没用，顿时间，身体用充满了力量，写作业的速度加快了，还有一些课余时间呢！妈妈和姐姐这几天看我表现得好，就想从周五开始利用我的课余时间叫我打排球，妈妈也想在后天带我去红树林放风筝呢！明天姐姐就要回来教我排球了，好期待呀！霎时间，自己又充满了力量，自信满满，写作业的时间更快了，准备让即将到来的姐姐看到我辛勤的成果！
发现特殊值 渗透极限思想 篇6
教学片断：
例：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”以史激趣，导入新课后，题目化简为：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”
学生尝试猜测，探索规律。
1.任意猜：（交流后，汇报你是怎么猜的，以及猜想的情况）。
2.有序猜：出示表格四个组，同桌合作从四个方向猜。
左起，右起，中间靠左，中间靠右开始猜。
3.发现特殊值，渗透极限逼近思想。
（1）由四种猜法，得一完整表格。（课件出示）
（2）认真观察，从表格中你能不能发现“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”（学生独立思考）
（3）需要帮助吗？课件提示：（脚数16，头数8，16是8的2
倍）
（4）再观察，你发现什么？（小组交流）
（5）越靠近2倍，鸡的只数和兔子只数有什么变化？越靠近4倍呢？
（6）现在让你猜兔子和鸡的只数，你会怎么猜？
4.尝试解决例题，并说说你的想法。
片段反思：
教学时，让学生经历尝试、有序列举（填表）、调整，进一步培养了学生有序思考的习惯。通过观察表格，适时地抛出了问题：“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”引发学生的认知冲突，突显学生的深刻思考，引导发现特殊值“当兔的只数是0只，全部是鸡时，脚的只数是头数的2倍。当鸡的只数是0时，也就全是兔子，脚的只数是头数的4倍。”探索出：“如果脚的只数越靠近头数的2倍，鸡的只数猜多一点，如果脚的只数越靠近头数的4倍，兔的只数猜多一点。越靠近2倍，鸡的只数越多，越靠近4倍兔子的只数越多，等于2倍，全是鸡，等于4倍全是兔子。”在学生能有序思考基础上，对特殊值进行合理推理，渗透极限逼近思想，探索猜测方向，优化尝试法，产生新的解题策略，渗透假设法的体验。
策略思考：
通过渗透极限逼近的思想，对尝试法进行优化，使学生对尝试的起点有了感性认识，应用这一策略解决问题的几点思考。
1.一一列举法，是一种重要的解题策略，有美中不足。解决“鸡兔问题”中，通过发现尝试起点的规律，可以弥补这一不足。并且学生如果应用假设法解题，此方法也可作为检验答案的依据，锻炼学生推理能力，估算能力。
2.当数据太大，猜测更有难度时，可通过估算，尝试用线段点画出2倍、4倍（端点），3倍（中点）。再取中，或靠左，或靠右，进行尝试猜测，或跳跃式猜测，与列表法有机结合。
例：文化宫电影院有座位2000个，前排每张4元，后排每张2元，前排和后排总价6800元。问该影院前座和后座各有多少个？
6800比6000多，可猜后排多一些，再跳跃式调整。
3.当“脚数”发生变化时，随着“脚数”的变化，调整倍数关系。
例：（P116练习题3）盒子里有大小两种钢珠，共30个，共重266g，已知大钢珠每个11g，小钢珠每个7g。盒中大钢珠、小钢珠各有几个？倍数由鸡兔的2倍、4倍，调整为7倍、11倍。
4.如果已知总脚数差，把问题极端化，使得脚数差最大，通过交换，每换一次，总脚数差减少“2+4”脚数只。
例：鸡兔共有一百只，鸡比兔少70条腿。问鸡兔各有几只？
假设100只全是兔子，则一共有400只脚，鸡有0只，脚数差是400。实际上鸡比兔少70只，两者之间就相差400-70=330只，如果用一只鸡去换一只兔子，每换一次的差就较少6只（注意不是2只），因此需换330÷6=55只，既有55只鸡。
极限思想与概率论思想的相互作用 篇7
1. 频率与概率
定义: 一个实验的样本空间为S, 在相同的条件下可重复进行. 对于样本空间S里的事件E, 记n ( E) 为n次重复试验中E发生的次数, 那么, 该事件发生的概率
即概率P ( E) 定义为E发生的次数占试验总次数的比的极限, 也即发生频率的极限.
由频率定义概率的方法看似很合理, 其实里头的瑕疵也是很明显的. 主要有以下两个问题: ①现实生活中, 我们所做的试验仅有有限次, 不可能无限次地重复下去. ②如何确定n ( E) /n会收敛到一个固定的常数 ( 即我们熟称的频率的稳定值) .
为了解决以上问题, 我们的想法是: 当n足够大时, 频率n ( E) /n与概率P ( E) 有较大偏差的概率很小, 即频率稳定与概率. 用数学语言来讲就是要证明: 对任意的 ε > 0,
由下面的定理可知这完全是可以做到的.
2. 伯努利大数定律
设Sn为n重伯努利试验中事件E发生的次数, p为每次试验中E出现的概率, 则对于任意的 ε > 0, 有
证明因为Sn~ b ( n, p) , 所以E ( sn) = np, Var ( sn) =np (1-p) ,
当n→∞ 时, 上式右端趋于1, 因此
例1 历史上有不少人做过抛硬币试验, 结果我们发现, 出现正面的频率稳定在0. 5, 即当我们大量重复此实验时, 概率无限接近于频率, 这正是伯努利大数定律理论所在.
3. 二项分布的泊松近似
泊松分布在各种各样的领域中有着非常广泛的应用, 这是因为当n足够大, p充分小, 而使np保持适当的大小时, 以 ( n, p) 为参数的二项随机变量可近似看成泊松分布, 从而达到减少二项分布中计算量大的目的. 下面来证明这一定理.
( 泊松定理) 在n重伯努利试验中, 记事件A在一次试验中发生的概率为pn ( 与试验次数n有关) , 如果n→∞ 时, 有n pn→λ, 则
证明记n pn= λn, 即pn= λn/ n, 于是
例2据医学统计生三胞胎的概率为1 /10000, 求在100000 次生育中, 有0, 1, 2 次生三胞胎的概率.
解由题意知生育次数X ~ b ( 100000, 1 /10000) , 所以P ( X = 0) = 0. 000045378; P ( X = 1) = 0. 00045382; P ( X = 2) =0. 0022693. 此时也可用泊松近似计算, X ~ P ( λ) , 其中 λ =np = 10, 故P ( X = 0) = 0. 000045; P ( X = 1) = 0. 000454; P ( X =2) = 0. 002270; 由此可见近似程度很令人满意.
因泊松分布是离散分布, 我们不禁要问, 是否存在连续类型的分布作为二项分布的近似呢, 答案是显然的, 接下来我们来看二项分布的正态近似.
4. 二项分布的正态近似
( 棣莫弗- 拉普拉斯中心极限定理) 设n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中出现的概率为p ( 0 < p < 1) , 记sn为n次试验中事件A出现的次数, 且记
定理表明, 当n很大时近似于标准正态分布, 据此可以对二项分布做近似概率计算, 具体应用请看下例.
例3 某产品次品率p = 0. 05, 试估计在1000 件产品中次品数在40 ~ 60 之间的概率.
解次品数X ~ b ( 1000, 0. 05) , E ( X) = np = 50, Var ( X) = np ( 1 - p) = 47. 5, 由棣莫弗- 拉普拉斯中心极限定理, 有
一个函数最重要, 也是最基本的性质无非就是连续了, 如果连续, 那么求极限时然后就是微分、求导等一系列后续的问题. 分布函数也是概率论中最基本, 分布最广, 最普遍的函数, 因此研究它的一些基本性质对我们的学习是必不可缺的.
5. 分布函数F ( x) 的基本性质
( 1) 单调性: F ( x) 是定义在整个实数轴 ( - ∞ , + ∞ ) 上的单调非减函数, 即对任意的x1< x2, 有F ( x1) ≤F ( x2) .
( 2) 有界性: 对任意的x, 有0≤F ( x) ≤1, 且
( 3) 右连续性: F ( x) 是x的右连续函数, 即对任意的x0, 有
对于这些性质, 还有为什么它不是左连续的, 由分布函数的定义我们就能清楚地知道. 而且我们还知道满足这三条基本性质的函数可以是某个随机变量的分布函数, 从而这三条基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的充要条件.
例6设连续随机变量X的分布列为试求: ( 1) 系数A.
解由F (x) 的连续性, 有由此解得A=1.
对于二维以及二维以上的联合分布函数也有类似的性质. 这里就不一一赘述了.
6. 随机变量序列收敛性在生活中有着重要作用, 这里我们主要介绍两种: 依概率收敛和按分布收敛
我们研究依概率收敛的主要目的是为了解决生活中一些难以计算的事件概率, 其中, 最典型的就是n重伯努利事件了, 当n很大时, 我们根本难以计算, 因此研究它的极限对我们来说是一个非常不错的想法.
定义1 设{ Xn} 是一随机变量序列, X为一随机变量, 如果对任意的 ε > 0, 有
P ( | Xn- X | ≥ε) →0 ( n→∞ ) , 则称序列{ Xn} 依概率收敛于X, 记作
依概率收敛的直观含义是Xn对X的绝对偏差不小于任一给定的可能性将随着n的增大而越来越小.
性质设{ Xn} { Yn} 是两个随机变量序列, a, b是两个常数, 如果
有了上面概率极限的定义, 那我们自然会思考, 分布函数序列是否也存在极限呢, 答案是显然的, 但我们通过研究发现在函数的间断点时, 它是不收敛的.
定义2设随机变量X, X1, X2, …的分布函数分别为F ( x) , F1 ( x) , F2 ( x) , …. 若对F ( x) 的任一连续点x, 都有则称{ Fn ( x) } 弱收敛于F ( x) , 记作也称{ Xn} 按分布收敛于X, 记作
由性质 ( ⅰ) ( ⅱ) 可知, 依概率收敛与按分布收敛是不等价的, 这是显然的. 例如设随机变量X的分布列为P ( X = -1) = 0. 5, P ( X = 1) = 0. 5, 令Xn= - X, 则Xn与X同分布, 即Xn与X有相同的分布函数, 故但对于任意的0 < ε <2, 有P ( | Xn- X | ≥ε) = P ( 2 | X | ≥ε) = 1, 所以Xn不是依概率收敛于X.
例7 设随机变量序列{ Xn} 独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且E ( Xn) = μ, 证明:
证明因为{ Xn} 方差存在, 记Var ( Xn) = σ2, 令则
对任意的 ε > 0, 由切比雪夫不等式得
二、概率论思想在极限中的应用
极限是研究数学的基础, 所以与极限有关的计算显得尤为重要, 然而大部分求极限的题目难度较大, 如果采用传统的思维进行分析, 计算量不仅大, 而且结果还不一定正确, 但对于某些类型的题目, 如果采用概率论思想解答, 则效果非常明显. 下面通过几个求例子来感受一下概率论思想的奥妙.
解法1:数学分析方法.
法2:概率论方法.
接下来我们来回顾一下数学分析中级数求极限的几种基本方法.
①迫敛性 ( 夹逼定理)
②裂项相消
③定积分思想
解把此极限式化为某个积分和的极限式, 并转化为计算定积分. 为此作如下变形:
④ 四则运算法则
对于该类复杂的级数求和, 我们可以通过转化求一个比较简单数列的极限, 然后运用四则运算法则则可轻易突破此类题目.
当然还可以用到我们的级数理论求另类题目, 限于篇幅, 这里就不一一列出, 感兴趣的话可以参考文献[用级数理论求极限], 王书营.
通过以上的几道题目的求法, 我们是否对求级数极限这类题目有了新的领悟呢? 接下来我们来看看下面的几道题目.
分析通过观察该式子, 我们发现它与上面讲过的几种题型最大的区别在于它含有阶乘项, 含阶乘项的式子在数列中求极限就比较困难了, 更何况是在级数求和中, 因此, 此题, 乃至下面的例10, 若采用传统的数学分析方法来做, 效果肯定不太理想, 但如果我们用概率论思想, 赋予它概率直观意义, 则效果显著.
泊松分布在离散型随机变量分布中占有重要地位, 对于一些极其复杂的极限计算问题, 如果充分利用它的一些性质并结合某些定理 ( 如中心极限定理) , 则可大大降低题目难度, 提高解题效率.
结语: 通过对以上知识的了解, 我们发现概率论与极限不是单独存在, 而是相互关联的, 所以将其关系理清、融合, 做题时充分利用它们之间的联系, 化繁为简, 化难为易, 会更有助于我们的学习.
摘要：极限思想和概率论思想作为两种重要的数学思想, 在研究数学, 应用数学以及推动数学的发展上起到了至关重要的作用.本文主要论述以下两个方面:一、侧重论述了概率论中的一些概念, 性质, 以及定理来展示极限思想在《概率论》中的应用;二、应用概率论思想解决一些与极限有关的问题.
关键词：概率论思想,极限思想,应用
参考文献
[1]概率论与数理统计教程/茆师松, 程依明, 濮小龙.-2版.-北京:高等教育出版社, 2011.2
[2]概率论基础/李贤平.-3版.-北京:高等教育出版社, 2010.4
[3]概率论习题集/ (俄罗斯) 施利亚耶夫, 苏淳译.-北京:高等教育出版社, 2008.1
巧用“极限思想”解题 篇8
极限思想是特殊思想的升华, 是重要的数学思想方法.它在解题中有着广泛的应用, 其特点是快捷、准确.选择题、填空题重结果, 轻过程, 而且答案唯一, 因此在解决问题时可以就某些极端或边缘情况进行分析得解.
例1 函数y=f (x) 与函数y=g (x) 的图象 (如图1)
则函数y=f (x) g (x) 的图像 (如图2) 可能是 ( )
解:当从左面趋近于0时, f (x) →1, g (x) →+∞, 则f (x) g (x) →+∞;
当从右面趋近于0时, f (x) →1, g (x) →-∞, 则f (x) g (x) →-∞.应选 (A) .
例
(A) a>b>c (B) c>b>a
(C) b>a>c (D) b>c>a
解析:因为所以b>c;当
例3 过抛物线y=ax2 (a>0) 的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点, 若线段PF与FQ的长分别是p、q, 则
分析:如图3, 抛物线焦点F到顶点O的距离|FO|等于
例4 在正n棱锥中, 相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( )
分析:当正n棱锥的顶点无限接近底面时, 相邻两侧面所成的二面角趋于π, 而当顶点离底面无限高时, 相邻两侧面所成的二面角趋于底面的内角大小, 即
例5 如图4, 若四面体的一条棱长为x, 其余棱长为1, 求x的取值范围.
分析:设AB=x, 其余棱长均为1.固定△BCD, △ACD绕CD转动, 当A→B时, x→0;当A→A1 (A1∈平面BCD) 时,
对微积分中极限思想教学的探讨 篇9
数学是一门工具学科, 只有真正理解掌握了数学思想方法和内容, 才能够得心应手的使用这门工具解决现实问题。极限思想是高等数学中重要思想之一, 它贯穿了高等数学从始至终的教学内容, 所以对极限思想的理解和掌握将直接影响现实生活中对数学工具的运用。
一、高等数学中极限思想的重要性
(1) 极限是高等数学中的一个重要概念, 也是学生最难于理解的概念之一。在教学中, 注重产生极限概念的实际背景的介绍, 分析极限定义中各个变量的变化特征与内在联系, 辩证剖析变化过程中的量变与质变、近似与精确等对立统一规律, 是训练和培养学生数学思维, 提高综合素质和能力的重要途径之一。
(2) 极限思想的运用是区别初等数学与高等数学的重要特征, 把初等数学中对常量的研究, 通过极限思想转变成高等数学中变量的分析研究过程, 同时伴随着由有限到无限观念的转变。极限也是贯穿高等数学的重要知识点, 可谓是没有极限思想就没有高等数学。高等数学一改初等数学中某一研究过程中的常量始终不变的静态的思维模式, 运用变化的思想——动态思维对数学过程中的变量进行研究。而极限思想在高数中的应用显著体现于导数与积分内容。
(3) 函数是高等数学中导数与积分的主要研究对象, 但多数的数学问题都存在对所研究函数连续性的约束和限制。而函数连续性的判断依据一定要运用极限概念来衡量, 因此在运用导数与积分理论解决现实问题时, 对研究对象的判定, 极限概念起着重要作用。
(4) 在高等数学的极限概念中, 常量与变量、量变与质变、近似与精确、特殊与一般、局部与整体、微观与宏观、直观与抽象、有限与无限等, 这些一对一对的矛盾相依存在而互为存在前提, 又在一定条件下相互转化。这不仅是自然界的普遍规律, 也是数学中的普遍规律。这就是极限思想的重要性之一, 它体现出了数学中无与伦比的哲学思想美, 同时又最大限度地激发了学生的数学思维, 也有助于培养学生良好的学习习惯, 从而使学生的素质和能力得到不断提高。
二、微积分中的极限思想实质
数学知识来源于实际生活, 同时数学理论又服务于现实生活。正因存在极限方法, 才使许多数学问题得到完美的解决。
在定积分、重积分元素法的应用中, 无论是不规则的几何量还是物理量, 只要满足区域可加性, 就可采用定积分过程:分割、近似、求和、取极限, 来确定其真实值。这正体现了“化整为零、以直代曲、积零为整和无限求和”的极限思想实质, 通过“由精确到近似, 再由近似到精确”的迂回过程, 实现“直与曲、变与不变、有限与无限、近似于精确”的矛盾转化。如不规则曲边梯形面积可用规则的矩形面积近似;曲顶柱体体积可用平顶柱体体积近似;密度不均匀的薄片、线形及空间实体的物体质量都可用密度均匀物体的质量近似。正是有了极限概念才使得在分割后的近似过程中, 可以采用初等数学中常量关系来近似表示变量关系, 最终通过极限过程实现量变到质变的飞跃, 将近似过程中产生的误差减小为零, 得到所求量的精确值。
又如在导数应用中, 求变速直线运动s=s (t) (对时间具有可加性) 在t∈[T1, T2]的瞬时速度v (t0) 。用已知 (细分后某时间间隔的平均速度v=Δs/Δt (常量关系) ) “认识” (近似代替) 未知 (t=t0时刻瞬时速度v (t0) ) , 从量变 (在时间间隔Δti最大值趋于零过程中, 近似值v精确度不断提高) 产生飞跃到质变 (近似值v无限接近精确值v (t0) ) 。用细分——近似代替 (以匀代变, 以常量关系近似变化关系) ——用求比值极限的方法得到瞬时速度:
通过极限过程的运用从而“产生”了导数的概念。
“极限”思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。它建立在初等数学之上, 但研究对象却更为广泛, 方法上“更高”, 应用上更具普遍性, 更接近于生活本身。
高等数学导数与积分概念中对极限的应用, 也正是极限思想将初等数学与高等数学完美结合在一起的重要体现, 并产生了由有限到无限, 由量变到质变的哲学飞跃。正是极限思想的应用, 才建立了非常完美的微积分类数学模型, 使某些问题的解决有事半功倍的效果。
同时运用极限概念, 产生了高等数学中微商与积分两个互逆的计算过程。归纳导数和积分在极限概念应用中的共性:分割-近似-取极限, 这三个共同的过程, 并且都是在分割细小化后, 运用初等数学中常量数学关系来近似高等数学中的变量问题, 最后通过极限过程减小误差, 使不能解决的无规律的变化问题结合极限思想, 运用规律化便于计算的函数知识计算出精确结果。这就预示着有了极限思想, 也就给出了解决问题的崭新思维方法, 即用运动、变化的方法解决问题, 这种动态思维正是“极限”思想的体现。高等数学的极限过程体现出了耐人寻味的、深刻的辩证思想。
三、微积分中极限思想方法教学的几点建议
(1) 综上所述, 极限概念是微积分学最基本、最重要的概念, 应把微积分知识的讲授与“极限”思想方法传授同时纳入教学目的。极限思想, 从本质上讲是一种辩证思维, 与一般思维有根本的区别。所以在导数与积分教学中, 要通过极限概念在微积分中的教学, 再次对学生进行数学辩证思维的培养, 让学生深刻体会数学中蕴含的哲学美。
(2) 对导数与积分应用过程中极限概念进行归纳总结, 通过导数与积分应用的几何意义, 让学生深刻理解极限思想解决数学问题的实质与精髓, 并认识极限思想的重要性。极限思想是高等数学中解决问题最主要的方法, 正确运用极限方法解决实际问题, 也是高等数学的教学目标之一。
(3) 通过一对互逆过程:微分与积分的应用, 让学生深刻理解是极限概念将高等数学与初等数学区别开来, 同时又将这两者紧密联系在一起。为此充分体现了初等数学知识与高等数学知识衔接与过渡, 及高等数学在运动变化中寻求答案的特点。
(4) 通过导数、积分应用深刻理解维尔斯托拉斯建立的“ε-N”和“ε-δ”语言, 使我们用处理初等数学的传统思想方法来处理高等数学, 同时不失逻辑推理的严密性, 从极限概念的应用中, 再次训练学生的辩证思维, 并认识极限思想的博大精深。极限的思想方法是高等数学的灵魂, 在高等数学中的应用极为广泛。教师在相关内容讲授时, 可有意识地加以引导, 让学生在学习中真正领会其丰富深刻的内涵, 加深对极限理论及相关概念的理解, 为后续课程的学习打下坚实的基础, 也为数学学科工具性的充分发挥奠定基础。
让我们积极挖掘极限概念中的辩证唯物主义思想, 培养学生科学的思维方法和世界观, 培养高素质人才, 迎接知识经济时代的挑战!
参考文献
[1]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报, 2005 (09) .
[2]邹兆南.极限概念的数学哲学思维剖析[J].重庆交通学院学报 (社科版) , 2004 (12) .
[3]杨汝诚.数学分析结构、原理与方法[M].成都:成都科技大学出版社, 1992.
浅谈微积分极限思想 篇10
学习数学不仅要学重要的数学概念、方法和结论，更要领会数学的精神实质和思想方法。极限思想是微积分中一个重要的内容，是应用微积分解决实际问题的重要思想来源。经济学中的边际、弹性、消费者剩余等许多问题，都涉及极限思想这一重要方法。需要用微积分解决的问题，还包括物理学、流体力学、建筑学、天文学、航海学等各个领域的问题。
因此不论是从数学本身的角度来看，还是从学生专业应用方面来看，极限思想对于大学基础数学的教学都是一个重点。然而我在教学过程中发现，极限思想是教学过程中一个难点，主要表现在：(1)学生思维方式的转变。学生在中学里学的初等数学是研究常量的数学，主要是常量的运算，以及对一些孤立、简单、直观的几何图形的研究，学生的思维方式是静止的、孤立的、片面的，而高等数学则是关于变量的科学，需要在变化的过程中把握问题的本质，需要用动态的、联系的、全面的思维去研究它。“极限”尤其需要学生用动态的思维去理解。(2)极限概念有着深刻的思想性，它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了由有限到无限、近似到精确、量变到质变的辩证思想，这对于初学者也是难以理解与把握的。(3)极限概念得出的过程是由感性认识上升到理性结论的过程，需要进行严密的逻辑论证，而因为概念自身的辩证性，这个论证尤其复杂，学生接受也存在困难。
上述问题在教学过程中如何解决，教师如何做到深入浅出，让学生自然地理解极限的概念，是值得深入探讨的问题。以下是关于极限思想教学的三个方面：
一、实例引入，激发兴趣
在极限定义给出之前，为了激发学生的兴趣，教师可以先给学生引入一些在微积分极限思想发展过程中一些典型的有意思的实例，目的在于体现极限思想的巧妙与强大。比如无穷分割下的极限思想是微积分思想起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求平面图形面积，圆面积公式的推导即可由此得到：
如图，若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，这些小三角形面积之和的极限值为同理还可在已知球表面面积公式的前提下推导球体体积公式。同样的思想，把球看作是由无限多个顶点在球心、底在球面上的无限小锥体，于是球体积为注意：此处仅仅是大致的一个想法，并不需要严格的证明，因为目的仅仅是让学生对于极限思想有一个感性认识。
二、感性认识到理性认识的过渡
要让学生对极限思想有一定的感性的认识，让他们觉得极限思想的神秘，从而产生一定的求知欲，教师就需要对学生进行一定的对极限思想理性认识的引导。首先要让学生知道“理性”这样一个东西，这时候不妨给学生介绍一下芝诺悖论中“阿基琉斯追赶乌龟的问题”：开始时乌龟在阿基琉斯前S1米处，阿基琉斯追赶完这S1米时，乌龟前进了S2米;阿基琉斯追赶完S2米，乌龟前进了S3米……依次类推，乌龟永远在阿基琉斯前面，阿基琉斯永远追不上乌龟。而事实上却非如此，我们的“感性”告诉我们：阿基琉斯一定可以追上乌龟的。但是学生一时半会儿却没办法推翻这个“感觉不可能”的结论，这时候就让他们体会到在“理性”的推理面前“感性”其实是很脆弱的。这其实从另外一方面体现了数学的魅力，提高了学生学习数学的积极性。然而这毕竟只是一个悖论，我们可以揭破谜底，其实在我国古代的文献中也有类似的记载，庄周的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”即可作为芝诺悖论的一种解答，即一个有限的量可以看成是无限多个量的和的“极限”。换句话讲就是，阿基琉斯追上乌龟这一有限的时间，可以拆成无限多小段时间的和，比如上述的“一尺之锥”就可拆成这无穷多项的和。当然这其实是级数里的一个简单的问题，在这里仅仅是给学生一个感悟，引导他们对于“极限”这一概念进行一个理性的认识，也即极限的数学定义。
三、极限的数学定义
关于极限的定义，教师首先必须明确一点，即极限指的是一种变化“趋势”，就是研究当自变量发生某种变化时函数的变化趋势，至于能不能到达那个“位置”，则没有作出要求。极限是一个“过程”，一个不断变化的无限过程，对这个过程我们可以分两类来讨论，一类是“无限趋近于某一点”的概念;另一类是“无穷大”的概念，包括正无穷和负无穷。
首先，对于“无限趋近于某一点”，我们可以以特例：x→0为典型，因为变量x趋于任意一点a可以转化成y=xa→0。当x→0时，x就是一个变化的过程，而不是一个常量，因为任意靠近0的一个常量，其中间必然还有比它更靠近0的量，比如已经很靠近0了，但更加靠近0。所以对于常量而言，不存在最靠近于0的，只有更靠近于0的。因此要准确地给出x→0的定义，就必然要引进ε语言：如果x→0，当且仅当给定任意小的一个量ε，而x比任意给定的这个ε还要更小，即x→0圳坌ε>0，|x|<ε。同样的道理有：x→a
接着是“无穷大”的概念，有了上面的分析以后，可以试着让学生学着用数学的理性的语言来描述这一概念。可以不要求规范性，但要求严谨性，要保证描述的定义能够“滴水不漏”。实际上跟x→0类似，x→∞也可用同样的方法描述，只需要注意一点，也就是对于任意给定一个常量M(一般是指很大的一个大于0的量)，x更靠近∞指的是|x|比任意大的量M还要更大。即：x→∞圳坌M>0，|x|>M。
最后，对于函数极限的定义而言，无外乎多了一个邻域和邻域半径的概念，其实仍然是上面两种简单的极限过程的一种引申。邻域或者邻域半径只是极限过程的一个条件，理解透了极限过程的话就很容易理解这个过程所需要的条件的。有了函数的定义就有微积分的一系列重要的概念，比如连续、导数、微分、积分等。就是这些基础的概念构成整个微积分学，因此归根结底，仍然是极限思想。
总的来说，极限理论教学要始终贯穿用“已知”认识“未知”，从量变产生飞跃到质变的科学辩证思想，运用定性描述和定量分析的方法。大概的讲授步骤为：引例→过渡→实例分析→抽象→本质特征→得出极限概念。相信按此思路，层层铺垫，步步深入，学生理应会慢慢接受，并逐层理解消化。
数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学知识和方法的本质认识，为解决数学问题提供了科学方法，是培养智力和提高能力的有效工具。因此，数学思想方法是数学教学的核心，数学教师必须重视对学生数学思想方法的教育。
参考文献
[1]汪晓梦.极限思想的形成、发展及其哲学意义[J].中共合肥市委党校学报, 2004, (3) .
[2]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2004.
极限的思想 篇11
一、从具体到抽象，感受无限延伸
现行小学教材中有许多知识点蕴含着丰富的无限延伸的情况。 如在教学奇数、偶数、 自然数等的概念时，教师可让学生感受到奇数、偶数个数的无限多个，自然数个数是数也数不完的。又如在循环小数教学中，2÷3=0.666……是一个循环小数，无限延伸，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步感受“无限”思想。
在“图形与几何”教学中培养学生的空间想象力，培养学生的无限观念也是非常重要的。如直线、射线、角的边、平行线的长度等，它们都是可以无限延伸的。这些概念是只存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，教师要引导学生经历从有形到无形体验，感受图形无限延伸，以增强在图形教学中培养学生空间想象力的效果。
例如，“射线的初步认识”教学片段。
师：请同学们在白纸上画一条2厘米长的线段，说一说它有什么特点。
生：它是直的，用尺可以量出长度，它有两个端点。
师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的直线，有什么问题?
生：不对!直线是没有长短的！
师：为什么?
生：因为直线可以向两边无限延长。
师：无限延长是什么意思?
生：就是无限的长，没完没了的意思。
师：下面请同学们仔细观察老师的演示(将红色激光电筒射向天空)，如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来。
师：这就是我们今天要学习的射线，它有什么特点呢?
生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。
让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的，上面的教学片段中，教师通过学生自己动手，建立起对线段、射线、直线认知的矛盾冲突，这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对直线、射线的无限的空间感观，真实、自然又不失严密。在我们周围的事物中，是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。学生在教师的引领下，走出有限的几何观念，形成无限的几何空间想象，极限思想在图形概念形成初期呼之欲出，为后续学习埋下伏笔。
二、从持续延伸到无限逼近，体验极限状态
由于小学生的生活经验与数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐体验到什么是无限地逼近。因此，逐步体验逼近是形成极限思想的另一个重要方面。
例如，在“循环小数”的教学中，0.99……这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。为了帮助学生体验极限状态，教师让学生比较0.99……和1大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……无限逼近1。让学生体验到“0.99……”这个小数后面的“9”有无限多个，谁都数不完，但有一点是肯定的，这个数 无限逼近的终极状态就是1，但又不等于1。
又如，在教学“分数解决问题”时，在学生完成“一块面包，今天吃它的，明天吃它剩下的，还剩这块面包的几分之几？”后，教师又出了这样一道思考题：一块面包，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的……如果一直这样下去，这块面包吃得完吗？通过学生的讨论得出这样的结论：这块面包是永远吃不完的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管面包越来越小，但还是有的（只要你有耐心，灰尘大的物质都是有的）。我们只能说，这块面包最后的极限为零，但却绝不为零。为了让学生充分体验极限状态，上面的例子我们还可以引导学生用数形结合法画图帮助理解。
以上的例子，使极限理论中无限逼近的概念在学生头脑中产生了朦胧的定义。这为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，做了很好的铺垫。
三、从无限逼近到极限，“感悟”极限思想
例如我在教学《圆的面积》这一课时，学生把圆八等分，拼成近似的平行四边形时，有一个学生突发奇想。他认为将形如波浪的部分剪掉变成直线就可以求平行四边形的面积，圆的面积也就可以求了。更可贵的是，这位学生在教师的鼓励下说出了变曲为直的思想。之后，在教师的引导下，学生讨论后，得出用“无限细分”的方法可以既不改变原面积的大小，又能把曲线变直。
又如通过多媒体课件演示，把圆平均分成若干份时，有的学生会提出其中的一份有点像三角形。教师适时跟进提出：“那么有没有办法使它更像三角形”的问题。学生通过讨论得出“分的份数越来越多，且这样一直分下去就无限逼近三角形”的结论。同时，教师通过课件让学生充分感受到每个扇形的弧的形状视觉变化，即分的份数越来越多，弧就由曲变直的过程，增强形象直观感。当n无穷大时，这个小扇形可以看作是一个三角形。因为三角形的高等于圆的半径，底等于圆周长除以n，所以n个三角形的面积S= (2πr÷n)×r÷2×n =πr2。从而同样能推导出圆的面积S=πr2。从这个角度探究极限，操作方便，学生易接受，且自主性高，能有效深化极限思想。
以上计算公式的推导过程，采用化圆为方、变曲为直的极限分割思路。在观察有限分割的基础上，想象无限细分，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中获取无限逼近的极限思想。这个过程中从“分得分数越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，学生经历了从无限到极限的过程，感悟极限思想的巨大价值。学生有了这个基础，在以后推导圆柱体的体积公式时就会自然而然地想起这种方法，从而为学生的后续学习奠定基础，在不断的应用中初步获得极限思想。
在小学阶段极限思想的获取可以在着重培养学生的“无限”想象力，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念、体验无限逼近、领悟终极状态等方面下工夫，形成一个系统性的循序渐进策略。
极限的思想 篇12
关键词：小学数学教学,极限思想,渗透
一、极限思想及其历史简介
17世纪微积分创立伊始 , 无限概念便成为人们关注的主题。无穷小的概念是微积分建立的一个基础, 在研究物体运动变化时, 先把它看做是可以无限减少的量, 这时它比零大, 同时又把它看做零而忽略不计, 即认为它是零。数学家们为了消除这种矛盾, 进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西比较完整地阐述了极限概念及其理论, 在柯西的思想中, 函数不会直接趋近于极限, 必须经过含有无穷小的表达式。他把无穷小视为以零为极限的变量, 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。在变化过程中, 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限接近于零。柯西的极限论是一种潜无限的过程, 而极限的完成又表现为实无限。可见, 柯西的理论中潜无限与实无限在某种程度上达到了统一, 但柯西的极限定义中仍有许多不严格的地方, 后经维尔斯特拉斯的进一步改进, 终于用“ε-δ”语言将其精确化了。
二、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性
在小学阶段学习的数学相对比较简单, 学生可能在走出校门后不到两年就将所学的数学知识淡忘了, 但是, 那些所学习到的数学思想和数学方法将牢记于心, 不管日后在工作中还是在生活中, 都可以随时发挥作用。所以, 将数学思想和方法不断地渗透给学生, 才是学生掌握知识的关键。
在小学数学教材中, 有很多知识点是与极限思维有关的, 如自然数、奇偶数和循环小数等涉及数量无限多的概念, 以及直线、射线、角的边、平行线的长度等涉及无限延伸性的几何概念等。教师在教学过程中如能刻意挖掘, 并适当地将其蕴涵的极限思想和方法渗透给学生, 那么不仅可以让学生掌握知识点和开拓思维, 而且可以让学生在以后的生活和工作中随时发挥作用。
三、在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径
小学阶段的学生由于正处在身心发展的阶段, 是形象思维向抽象思维转化的阶段, 对极限思想的理解具有局限性, 但并不意味着在教学过程中要淡化对极限思想的渗透。在教学过程中, 教师可以利用推导公式的过程、学习新概念的过程、练习和总复习的过程对学生进行渗透, 提高学生的抽象思维能力。
(一) 在推导公式的过程中渗透极限思想
在小学数学教学中, 会涉及大量的关于数学公式的推导, 有些公式的推导就是运用的极限思维推导出来的, 教师可以利用这一过程潜移默化地对学生进行渗透。最典型的运用极限思想推导出公式的例子就是圆的面积。
案例一:教学“圆的面积”
在教学“圆的面积公式的推导”这节课时, 教师往往让学生把一个圆连续对折, 在不断对折过程中, 学生就可以发现: 对折的次数越多, 所得到对折后的图形越来越接近与三角形, 展开后, 沿折痕把圆平均分成若干个近似等腰三角形, 等腰三角形的两腰就是圆的半径, 而底边就是圆周长的一部分。在这个环节学生能够感受到由曲变直的过程, 领会从近似分割到无限细分的数学思维方法。
在公式推导过程中, 运用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态, 这样不但使学生能够牢记公式, 而且能将无限逼近的极限思想渗透到他们的脑海中。
(二) 在学习新概念的过程中渗透极限思想
新概念对于小学生来说是新接触的知识, 是一个从无到有的过程, 也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解, 也为他们以后的学习奠定一定的基础。有些新概念中蕴含一定的极限思想, 教师在教授的同时可以适当地渗透给学生, 帮助他们更好地理解新概念。
案例二:教学“循环小数的概念”
在教学“循环小数的概念”这节课时, 它的概念性较强, 同时在这节新课中也蕴含着极限的思想。在讲循环小数的概念之前教师往往会让学生讨论:0.999…和1哪个大? 学过方程的学生可能会将0.999…设为x, 那么10x=9.99…, 10x=x+9, 9x=9, 那么x=1, 所以0.999…=1。那么没有学过方程的学生可以在一些算式当中找规律:1-0.9=0.1, 1-0.99=0.01, 1-0.999=0.001, 1-0.999=0.0001…, 1-0.999…=?, 这时学生就可以从这些算式中发现当小数部分的9增加一位时, 其数值就多了一个0, 那如果0.999…中小数部分有无穷多个9, 那么最终结果会无限趋近于0。
(三) 在练习过程中渗透极限思想
数学的学习一定离不开练习, 练习是对所学知识的巩固和训练, 但是在练习中教师往往忽略了对学生数学思想和方法的训练, 数学思想和方法的形成是需要不断积累、不断应用达成的。所以培养学生的数学思想和方法不仅需要老师在讲授新课过程中潜移默化地渗透, 而且要在练习过程中不断巩固和训练。
案例三:练习题:1/2 +1/4 +1/8 +1/16
这道练习题看似很普通, 其实可以对它进行不断的变形, 拓宽它的知识面。大多数学生往往利用通分的方法按照分数加法法则进行计算就可以得出结果。细心的学生会发现这四 个分母之间的关系:任意相邻的两个分数的分母, 前一个分数的分母总是后一个分数分母的一半。如果设。利用代数中常用的消除思想也可以算出来。如果将这道练习题变形为就可以利用极限的思想进行解答, 画一个边长为1的正方形, 如下图所示:
从图中可以直观地看出随着分数分母不断增加, 正方形所划分的空间越来越小, 而空白部分的面积越来越大, 大到不断逼近正方形的面积1, 那么当有无穷多项相加时, 其结果趋近于1。
(四) 在总复习过程中渗透极限思想
总复习是把前面学过的相对独立及零散的知识点聚集起来, 以回顾、归纳、总结等方式梳理知识点, 形成知识网, 明确各个概念之间的联系, 使数学知识在学生头脑之中更加完整化、条理化和系统化。
案例四:教学“平面图形的整理与复习”
在这节课中, 教师把学生所学过的平面图形罗列出来, 包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆, 对它们的特点进行分析。如果借助极限思想以梯形的面积公式为核心进行梳理, 那么又该如何推导出其他图形的面积公式呢? 梯形面积公式:S= (上底+下底) ×高÷2, 假设让梯形的上底无限趋近于0, 那么所得的图形近似于三角形, S=下底×高÷2, 即三角形的面积公式:S= (上底+下底) ×高÷2。同理, 把长方形两腰趋向垂直于底、正方形的四条边趋近于相等、平行四边形党的上下底边趋于相等, 都可以推导出各平面图形的面积公式。
通过构建知识网络系统图, 使学生对所学过的平面图形的面积公式有了更深刻的理解, 让学生知道解决问题并不只有一个方法, 帮助学生形成较完整的认知结构, 使极限思想潜移默化地印在学生的头脑之中。
四、极限思想在小学数学教学中渗透的注意问题
在小学阶段, 学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱, 而极限思想的逻辑性和抽象性都很强, 小学生不易理解。首先, 在教学过程中教师要由浅入深, 从具体到抽象, 从感性到理性, 根据学生在学习各阶段的认识水平和知识特点, 逐步渗透, 螺旋上升。其次, 极限思想方法不像一般数学知识那样, 通过几节课的学习就可以掌握。只有通过不断循序渐进和反复训练, 才能使学生真正有所领悟。最后, 教师要努力挖掘教材中可以进行极限思想渗透的知识点, 将极限思想融合于小学数学教学之中。
参考文献
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