对相关函数

对相关函数（共10篇）

对相关函数 篇1

摘要：两个函数图像的互对称与函数图像本身的自对称是学生进入高一就接触到的两种函数不同的对称性质,学生往往会混淆这两种不同的对称性,论证的意识不强,论证的方法不明确.因此,可利用相关点法理解和证明这两种不同的对称性质.

关键词：函数图像,自对称,互对称,相关点法

一、函数图像自对称问题

分析:该问题只需抓住函数y=f(x)图像上的任意一点(x0,y0)关于y轴的对称点(-x0,y0)也在函数的图像上.

证明:一方面(即证明必要性),设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0).

∵(x0,y0)关于y轴的对称点(-x0,y0)也在函数图像上,即y0=f(-x0),

∴f(-x0)=f(x0).

另一方面(即证明充分性),设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0).由f(-x0)=f(x0)得点(-x0,y0)也在函数的图像上,且点(x0,y0)与点(-x0,y0)关于y轴对称.再由点(x0,y0)的任意性可知函数y=f(x)的图像关于y轴对称.

分析:对于(1)的证明,抓住点(x0,y0)关于直线x=a的对称点是(2a-x0,y0),可仿照“性质一”的证明.

下面给出(2)的证明.

证明:一方面(即证明必要性),设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0).

∵(x0,y0)关于点(a,0)的对称点(2a-x0,-y0)也在函数图像上,即-y0=f(2a-x0),

∴f(2a-x0)=-f(x0).

另一方面(即证明充分性),设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0),由f(2a-x0)=-f(x0)得点(2a-x0,-y0)也在函数的图像上,且点(x0,y0)与点(2a-x0,-y0)关于点(a,0)对称.再由点(x0,y0)的任意性可知,函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称.

学生从上面的证明可以理解函数奇偶性的本质就是函数图像的自对称性质,而函数图像也可以关于y轴以外的直线或点(0,0)以外的点对称,初步感受到对称是数学中一种有规律的美.

二、函数图像互对称问题

性质三:函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称.

此性质可以转化为求与函数y=f(x)图像关于y轴对称的函数的解析式问题,也就是典型的利用相关点法求函数解析式问题.

证明:设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0),

故y=f(-x).

所以函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称.

性质四:函数y=f(x)的图像与函数y=-f(-x)的图像关于点(0,0)对称.

此性质的证明与以上雷同,请读者自行证明.

推广:(1)函数y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称的函数解析式为y=f(2a-x).

(2)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的函数解析式为y=2b-f(2a-x).

证明:(1)主要是找到点(x0,y0)关于直线x=a对称的点为(2a-x0,y0),具体证明交给读者进行.

(2)设点(x0,y0)为函数y=f(x)图像上的任意一点,即y0=f(x0),

(x0,y0)关于点(a,b)对称的点为(x,y),则

所以函数y=f(x)的图像与函数y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.

通过以上两种对称关系的证明可知,对于自对称的证明,关键是说明相互对称的两个点都落在同一个函数的图像上;而互对称是利用两点的对称相关性,找出与原解析式对称的新解析式,是典型的相关点法求解析式的应用.相同的是,这两种对称性质都要利用到点的任意性才能使得证明具有完备性.

三、易混淆的结论

(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数的图像关于直线___对称.

(2)函数y=f(a+x)的图像与函数y=f(a-x)的图像关于___对称.

对于(2),很多学生会填上跟(1)一样的结论,然而,(2)的正确答案是关于y轴对称.在此,不妨令g(x)=f(a+x),则不难发现g(-x)=f(a-x),由性质三可得出正确答案.

(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数图像关于直线___对称.

(4)函数y=f(a+x)的图像与函数y=f(b-x)的图像关于直线___对称.

对于(4),不妨令g(x)=f(a+x),则不难发现g(b-a-x)=f(b-x),由性质三可得出正确答案.

对于函数图像的自对称和互对称问题,本文利用相关点法研究它们之间的对称关系.利用相关点法可以任意改变对称轴或对称中心,而操作方式基本不变,与其后的解析几何中相关点法求轨迹方程相同.学生对图像对称性有良好的把握能大大提高对函数概念的理解程度,对后续大量的函数单调性、周期性、函数与方程的求根等问题以及最基本的函数作图都有深远的影响.除此之外,我们还可以利用图像变换或其他方法研究函数的对称性.

对相关函数 篇2

关键词：二次函数;图象;性质;应用;解题规律

函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯穿于整个高中数学，是高考必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。本文主要通过二次函数在高中数学中的应用进行归类，以揭示二次函数的解题规律。

一、最值问题

一般先用配方法化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）和对称轴x=m，结合二次函数图象求解，常见的有三种类型：

（1）顶点固定，区间也固定;

（2）即顶点为动点，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外;

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。

例：函数f（x）=x2+2mx+m2-m-，当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）>0，求m的取值范围。

思路点拨：此题为动轴定区间问题，需对对称轴进行讨论。

解：f（x）=（x+m）2-m-

当-m≤0即m≥0时，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;

当-m>0即m<0时，-m->0，∴m<-3.

综上得：m<-3或m≥.

点评：分类讨论要做到不漏掉任何情况，尤其是端点处的数值不可忽视，最后结果要取并集。

二、一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题

在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数图象数形结合来解，一般从二次函数的四个要素来考虑：开口;区间端点函数值符号;对称轴;Δ。

例：已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

解析1：函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。

a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f（-1）·f（1）≤0或

af（-1）≥0af（1）≥0Δ=4+8a（3+a）≥0？圳1≤a≤5或a≤或a≥5？圳 a≤或a≥1-∈[-1，1]

点评：通过數形结合来解决一元二次方程根的分布问题。

三、在不等式方面的应用

1.一元二次不等式恒成立问题

（1）在R上恒成立——利用开口及Δ;

（2）在某区间上恒成立——变量分离或画图利用四要素或转化二次函数最值。

例：（2009年江西卷文17）设函数f（x）=x3-x2+6x-a.

对于任意实数x，f ′（x）≥m恒成立，求m的最大值。（节选）

解析：f ′（x）=3x2-9x+6，∵对？坌x∈R，f ′（x）≥m，即3x2-9x+（6-m）≥0在x∈R上恒成立，∴Δ=81-12（6-m）≤0，得m≤-，即m的最大值为-.

例：（2009年全国卷II文21）设函数f（x）=x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1，若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的范围。

解：当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值。

f（2a）=（2a）3-（1+a）（2a）2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a;f（0）=24a，则由题意得a>1f（2a）>0f（0）>0，解得1

四、在数列方面的应用

利用二次函数的性质来解答等差数列的前n项和有关最值问题比用其他知识简单。

例：（2010新课标17）设等差数列an满足a3=5，a10=-9。

（1）求an的通项公式;（2）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

解：（1）（略）;（2）Sn=na1+d=10n-n2=-（n-5）2+25，所以n=5时，Sn取得最大值。

二次函数有丰富的内涵与外延。作为最基本的幂函数，以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，还与不等式、数列等有着广泛的联系。因此，二次函数可以称为高中数学的灵魂。

对相关函数 篇3

一直以来,人口因素作为影响经济发展的重要因素之一,受到政策制定当局及相关学术领域的高度关注。伴随世界经济一体化的加深及区域经济合作的不断发展,香港经济正逐步失去原先赖以高速发展的资金优势和区位优势;与之对应,人口因素对香港经济增长的影响越来越受到重视,因人口问题而导致的经济发展问题也越来越凸显。

《2009 China Population》指出,截至2009年底,港澳台三地区人口年龄结构呈现较大的差异,其中香港特别行政区人口老龄化程度最高。具体而言,2009年香港总人口中65岁及以上老年人口比例高达12.9%,老年抚养比为0.17,老少抚养比(或成年人口的总负担系数)为0.34。另外,从性别结构看,2009年香港总人口的性别比为88.6(女=100),低于总人口性别平衡的正常经验区间(9 5,1 0 2)。《Hong KongPopulation Projections(2010–2039)》经推算指出,香港人口在2039年将达到8 892 800(年均增长率约为0.8%),其中人口迁移增长占整体人口增加比率的45%,人口自然增长占55%。同期人口将持续老化,总抚养比率接近翻一番(由355增至673)。而王苍柏(2007)则从跨境人口及其政策意义的角度出发,重点介绍了中港两地在跨境婚姻与生育、跨境置业与养老以及跨境就业三个方面的人口现象。

2 2010年香港人口基本情况

人口数量方面,《香港统计年刊(2011)》人口及生命事件统计数据显示,到2010年底,居港人口7 102 300人,其中常住人口为6 882 700人,流动人口为219 600人;劳动人口数目从2000年到2010年以0.74%的速率增加,为3 631 300人;整体劳动人口参与率则从2000年的67.2%下跌到2010年的60%;人口增长速度较平稳,从2005-2010年,平均每年增长率为0.6%,而之前2000-2005年为0.5%。

年龄结构方面,人口老化加深,年龄中位数从2000年的36.2岁上升到2005年的39.2岁,2010年则进一步上升为41.1岁。老年抚养比率剧烈攀升的同时,劳动人口的年龄中位数也逐步上升。

性别结构方面,男性人口数目和每千名女性人口相对的比例继续下降,到2010年下降至881。从2000-2010年,男性劳动人口参与率下降,而2010年25岁以上到65岁的女性劳动参与率显著上升。

3 问题提出

参照香港人口在数量变化、年龄结构和性别结构三方面的最新状况,结合金融、经济大环境下香港经济发展的特点,探究怎样的人口规模及人口增长模式,以及怎样的性别结构和年龄结构更有利于香港经济的长期稳健发展,成为本文关注的重点。同时,针对人口规模、人口增长模式和人口结构等的探讨,本文继而引出关于香港移民政策、迁移人口管理、高校招生政策、双非婴儿生育等政策层面问题的初步建议。

当然,人口因素的主要影响源于劳动力。其对经济发展及相关政策的影响,不能割裂开资本与技术等相关因素独立进行分析。本文旨在借助经典经济增长模型C-D生产函数进行回归分析,重点分析人口因素的几类情况,以期在简要探讨相关政策的基础上,从人口的角度为香港经济增长提供相关建议。

4 模型设定

设产出增长型生产函数为:

其中:A(t)为技术进步水平;K为资本投入量;L为劳动投入量;S为技术指标。

对(1)式两边求全导数得:

两边同时除以Y得:

则可得到产出增长型方程为:

(其中:表示技术进步速度;表示资本的产出弹性;表示劳动的产出弹性;表示技术的产出弹性;表示资本增长速度;表示劳动增长速度;表示技术增长速度;表示产出增长速度。)

式子的经济意义为:经济增长速度是由技术进步速度、资本增长速度、劳动增长速度和技术产业增长速度构成的。

据此可写成柯布-道格拉斯生产函数:

(4)式可变形为一个能够测度各要素对经济增长贡献大小的模型:

据此线性模型估算α,β,γ,再根据式(2)即可算出人口对产出增长速度的贡献率为:

5 数据处理和回归分析

据香港的情况,采用的GDP以2009年环比物量计算得来,资本量的计算是用固定资产形成总额和存货增减,以1961年为基期,历年累加,然后按照10%的折旧率得到的;技术替代指标通过香港港产品出口计算获得,以1982年为基期。各项指标都经平滑处理。

y表示GDP增长速度,x1表示资本投入增长速度,x21、x22、x23表示劳动投入增长速度,x3表示技术水平情况,劳动投入在这里采用三种方式分别进行回归,其中x21按照年龄结构15岁到64岁的劳动参与率按人口比重加权平均得到,x22按照男女性别的劳动参与率按人口比重加权平均得到,x23为年中统计净迁移人口占增长人口的比重。

本文采用1982-2011年的数据,对其进行回归,加入对GDP的滞后变量,回归结果如下:

通过怀特和杜宾值检验,不存在自相关和异方差。

从相关性上看,y与x1,x22成较强的负相关性,与x21成较强的正相关性,说明香港的资本投入超出了边际贡献“峰值”,进一步增加投入不仅不利于自身的平均贡献,而且对劳动投入等其他因素形成替代制约,在一定程度上反而不利于GDP增长;而整体劳动参与率和男性人口劳动参与率的提升均有利于GDP增长,与现状基本吻合;另外,x1与x3的相关性远未达到预期的强度,同样反映了香港的资本状况:科技投入增加并不需要资本投入的等比例增长;x23,x3与y的相关性说明净迁入人口增加和科技投入增加与GDP具有相对独立性。

另外,回归的结果可以证明,人口改用劳动力按照性别劳动参与率加权平均来计算,得到的结果几乎一致:

依照,根据式(7)计算出男性对经济的贡献从2000年的0.066下降到2005年的0.058,并进一步降至2010年的0.053。而根据式(8)计算出25～44岁人口对经济的贡献率为2000年的0.042到2005年的0.036再到2010年的0.033。二者在近十年间均处于逐步下降的趋势。

从回归的整体效果看,资本投入增长不能带来经济增长的正向效应,技术指标的增长对经济增长的促进作用比较稳定,同时,25～44岁人口的劳动参与率以及男性人口的劳动参与率的提升有助于促进经济增长,净迁入人口增长对香港经济增长具有一定的正向促进作用。

6 结论

在资本充分流动的开放型经济体中,人力资本是经济增长的动力之一。因此,香港经济增长在资本投入增长未能带来明显正向推动效果时,应增强人力资本投资意识,加大人力资本投资力度,同时合理控制人口规模及增长方式,调控人口结构,提升劳动人口素质。

从人口规模持续增长而人力资本投入增长有利于促进经济增长的角度看,目前香港所推行的“优秀人才计划”,“单程证入港”移民政策和外籍家佣输入均有其合理性和积极面。然而,结合人口年龄结构、人口性别结构看,香港人口现状又存在如下明显问题:

一方面,劳动力不足,负担过重。尽管总体抚养率在下降,但老龄人口的抚养率却急剧上升,年龄中位数也不断攀升,从而制约了人口总体劳动参与率,限制经济增长的同时,也给香港政府造成巨大的财政压力。而近几年来,“双非”港籍儿童回流香港的趋势比较明显,这也增加了政府负担,同时导致当地的资源利用出现问题。以上诸多状况都最终导致了香港劳动人口不足,负担过重。参照分析层面上劳动人口25～44岁人口的贡献呈下降趋势的情况,本文认为缓解和解决该问题的途径需从两个层面着手:第一个层面为“限”,即严控和监管“双非”儿童等扩大劳动力负担的人口增长;第二个层面为“延”,适当延长劳动年限,增加劳动力资本的同时释放部分社会保障压力,以契合高年龄段劳动人口贡献度的上升。

另一方面,总体人口中男性比例过低。这是由于大量女性单程通行证持有人从中国内地入港和大量外地输入的女性外籍家佣所致的。但结合劳动人口参与率中女性人口参与率偏低看,前者可推断为主因。结合《香港统计年刊》近十年的统计数据,大陆女性大批嫁入香港,为男性同种情况的3～5倍。当然,女性劳动人口对香港经济增长的贡献可以从图1看出处于逐步上升阶段。针对该状况,本文认为有效的人口应对方案应包含三方面的内容:(1)合理限制持单程证入港人口。尽管持单程证入港政策体现了香港特区政府的人性化主张,但从男女性劳动人口比重和人口规模增长控制的角度出发,进行合理的限制意义重大。(2)倡导并推动女性人口劳动参与率的提升。结合基数状况看,女性人口的劳动参与率严重不足;从经济增长贡献看,女性劳动者贡献空间潜力较大。该引导性政策亦可以有效地将目前持续入港的女性人口顺利转化为劳动力资源,带动经济增长。(3)提升女性人口知识水平和技能水平,发挥女性劳动参与者在经济劳动活动中的作用。女性人口的劳动贡献率之所以低于男性,原因之一在于女性缺乏足够的知识和技能,以致在早先的经济结构中,女性人口更多承担了低技术层次、以家庭劳务为主的工作。所以,挖掘女性劳动者对经济增长贡献的过程,必须把提高其劳动素质放在首位。

最后,结合净人口迁移增长和技术投入增长与GDP增长的相对独立性,本文主张进一步发展和扩大“优秀人才计划”。以港校招生的方式,吸引更多优秀学子赴港接受高等教育,其中的部分给予香港居民身份。这一政策的坚持和发展,既能为香港经济增长中劳动贡献度最高的年龄段做优质补充,从长远上看又可以为技术投入的增长及其对经济增长的平稳促进提供有效支撑。

参考文献

[1]王苍柏.跨境人口问题及其政策意义—基于香港的分析[J].南方人口,2007(4).

[2]刘士杰.人口转变对经济增长的影响机制研究—基于人口红利理论框架的深入分析[D],南开大学研究生院,2010.

对常见的一类抽象函数的探究 篇4

一、特性探究

Ⅰ.f(x+a)=f(x+b)(a≠b)类

【探究1】 令x+a=t,则x=t-a,x+b=t+(b-a),∴f(t)=f［t+(b-a)］,即:f(x)=f［x+(b-a)］,∵a≠b,∴b-a≠0,由周期函数的定义:若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)(T为非0常数),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数,可知:函数f(x)是以b-a为周期的周期函数.

Ⅱ.f(x+a)=-f(x+b)(a≠b)类

【探究2】 令x+a=t,则x=t-a,x+b=t+(b-a),

∴f(t)=-f［t+(b-a)］,∴f(x)=-f［x+(b-a)］,即f［x+(b-a)］=-f(x),

∴f［x+2(b-a)］=f{［x+(b-a)］+(b-a)}=-f［x+(b-a)］=-［-f(x)］=f(x),

即f［x+2(b-a)］=f(x),故函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.

求解反函数相关问题的误区及对策 篇5

误区之一求反函数时忽视了原函数的值域

众所周知, 两个函数若定义域不同, 即使对应法则相同, 也不是相同的函数.原函数的值域是反函数的定义域, 若忽视了原函数的值域, 则解得的结果不一定正确.

例1求函数的反函数.

错解:由得 (y-1) 2=1-x2, ∴x2=1- (y-1) 2.

又∵-1≤x<0, ∴所求反函数为

剖析:原函数的值域为 (0, 1) , 故反函数的定义域为 (0, 1) , 而上述解法所得的反函数的定义域为[0, 2], 显然不是原函数的反函数.

误区之二求反函数时忽视了原函数的定义域

有些函数其本身不存在反函数, 但在其单调区间内反函数存在.在求这类函数的反函数时, 除注意其值域外, 同时也要注意其定义域, 根据其定义域对求得的x合理取舍.

例2求函数y=-x2+4x+2 (0≤x≤2) 的反函数.

错解:函数y=-x2+4x+2 (0≤x≤2) 的值域为y∈[2, 6], 又y=- (x-2) 2+6, 即 (x-2) 2=6-y, ∴x-2=

∴所求的反函数为

剖析:上述解法中忽视了原函数的定义域, 没有对x进行合理取舍, 从而得出了一个非函数表达式.

误区之三混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数两个不同的概念

函数y=[φ (x) ]的反函数指的是复合函数g (x) =[φ (x) ]的反函数g-1 (x) , 而函数y=f-1[φ (x) ]指的是y= (x) 的反函数y=f-1 (x) 中的x用φ (x) 代替得到的解析式, 即y=f (x) 的反函数的复合函数, 这两个函数一般是不同的.

例3已知函数f (x) =2x-1, 求f (x+1) 的反函数.

错解:由f (x) =2x-1可求得其反函数为, 从而所求的反函数为

剖析:上面解法错误的原因是误认为函数f-1 (x+1) 是复合函数f (x+1) 的反函数.事实上, 函数y=f (x+1) 的映射法则已不再是“f”了, 当然“f-1”不是它的逆映射, 正确的解法是:令g (x) =f (x+1) =2 (x+1) -1=2x+1, 解得, 即f (x+1) 的反函数为

误区之四盲目利用反函数求函数值域

在反函数存在的前提下, 某些函数运用反函数法求函数的值域的确是一种好方法, 但通过反函数的定义域求原函数的值域, 逻辑上属于循环解答.习惯上是将反函数的解析式有意义的x的取值范围作为原函数的值域.运用这种方法求函数值域只有在等价变形的前提下才是正确的.

例4求函数的值域.

错解:由函数可求得反函数为, 其反函数定义域为x∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞) , 从而原函数的值域为{y|y∈R且y≠3}.

剖析:由于, 可求得原函数的值域为, 而不是 (-∞, 3) ∪ (3, +∞) , 造成错误的原因是求解x时, 用x≠-2代替了原函数的定义域x>0, 这是一种不等价的变形.

误区之五认为互为反函数的两图象如果有公共点, 则公共点必在直线y=x上

对相关函数 篇6

CVT电容式电压互感器一直以来以其良好的性价比和安全性被广泛地应用到智能电网中(smart power grids),智能电网目前在高压、超高压系统普遍采用电容式电压互感器(CVT)传变电力系统一次电压信号。正常运行时,一次系统处于正弦稳态,CVT能够准确地传变;但当发生故障,一次电压突变时,因为CVT含有大量的电感和电容元件,其储能释放过程决定了其二次电压无法与一次电压的变化同步,暂态过程可能延续数十毫秒,该过程引入的测量电压正、负误差,有可能会对采用电压量的继电保护算法带来不利的影响。文献[3-6]则介绍了几种工业中常见的CVT故障。下文采用了一种相关函数方法就其中较为常见的由铁磁谐振引发的问题进行了研究和实际检验。

2 企业产品特性

CVT产品出厂时候需要应用一些方法对其进行检测,出厂试验:耐压、二次耐压、绝缘电阻、电容单元的介损及电容量测量、铁磁谐振、误差、电磁单元的感应、电磁单元直流电阻;型式试验包括温升、雷电冲击、操作冲击(330KV以上)、瞬变响应、传递过电压、温度对误差的影响、短路试验;现场试验则包括二次耐压、绝缘电阻、电容单元的介损及电容量测量、误差等。由于型式试验和现场试验的检验,现在我国的检验水平已经趋于合理化,所以本文就出厂试验中铁磁谐振检验方法做了系统的研究,并提出了一种利用相关函数法给铁磁谐振波形分类的方法,并且根据波形的优劣间接的对CVT产品进行了分级。

根据我国CVT产品出厂试验表明,根据国家标准的要求,仅仅只能判断出该产品是否符合国家标准,但是如果要求进一步深究合格产品的区分度,则较为困难。因铁磁谐振波形图具有较高的相似度,人用肉眼很难辨别其质量的好坏。因此提出一种数学方法中的相关函数法来对大量的铁磁谐振波形进行类比分级,并且在Matlab软件上就可以实现,具有高效简洁精确等特性,适合在企业中应用。

目前就分辨波形的相似区分度的方法有最大似然估计法、均方差法,以及小波分析法等。但是由于工厂中铁磁谐振的波形的外部条件有若干不确定,以及条件不足的现实,故以上几种方法均不适用,与此同时相关函数法较其他几类方法有着精确度高,成本较低,研究环境大众化,以及短时间的高效直观性。且对于企业的盈利目的考虑,如何在短时间内完成大量的数据波形分析并大量投入生产才是当务之急。

3 相关函数

所谓相关函数,较为常用的定义即假定X(t)为随机过程,a(t)=E(X(t))为期望,Y(t)为另一随机过程,则其自相关函数的定义为R(s,t)=E(X(s)*X(t));互相关函数的定义为R(s,t)=E(X(s)*Y(t))

在统计的自相关函数法中,其准周期性存在于条带间距中,确定其区域后,即可采用自相关函数法计算条带周期。具体方法为比较移位后的信号和已知原始信号之间的相似性来确定条带周期,在信号处理中,对于随机信号x(t),一维自相关函数定义为:

Rxx(τ)是描述x(t)和x(t+τ)相似性程度的函数,其中τ是平移距离。通常情况下,为了消除信号幅值对Rxx(τ)的大小的影响,可将(4)式改写为如下归一化形式:

Rxx(τ)被限制在0~1之间,且随着x(t)、x(t+τ)相似程度的增大而增大。采用自相关函数法检测条带周期,计算量小、对于周期性强的疲劳条带图像检测效果好。

图1是一组待测铁磁谐振波形与标准铁磁谐振波形的比较:

从图1中可知,用肉眼很难判断出待测波形与标准波形的特征值和参数之间的关系,为了具体精确量化这些待测波形的等级,所以必须引入波形分析的数学方法。

图2为基于Matlab的一些实验对比数据:

该实验数据采用铁磁谐振波形的10000组数据点,基于Matlab编写出相关函数的检测程序,取未偏移量的中点,即第5000个点的数值为相关函数值。从图2中数据可以看到,该波形相对于标准波形的相关度为-0.9689。

它们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度,即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度。互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标,把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号,对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。在Matlab上实现这两个相关并用图像显示出来即完成了相关函数的对比,也间接地比较了若干组产品与标准产品质量的对比。另外,相关系数一般取小数点后两位来表示,相关系数的正负号只表示相关的方向,相关的程度取用其绝对值。对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致,但通常是按照表1这样认为。

根据图3不难看出,利用相关函数法可以有效地、直观地对多个产品的铁磁谐振波形进行对比,将用肉眼很难分辨的极小差距的波形数字化,根据相关函数理论从而进行系统的分级,并分类,以达到需要的标准。

4 实例分析

以下是一些实验数据对比:

以标准波形TEK00000ISF为例,以TEK00002ISF和TEK00005ISF之作对比,在采样10000点中得出结论如图3,图4所示。

根据图3与图4的图像对比,结果不难发现,单纯依靠波形的图像结果,用肉眼是根本无法区分出这两者的优劣性,但是利用Matlab编程出相关函数的程序后,在将采集到的波形文件进行系统对比,则可以清晰地看出TEK00002ISF与标准波形的相关度为-0.9689,对比标准相关度的定义,可以得出结论:TEK00002ISF波形与标准波形高度相关;与此同时,再将TEK00005ISF与标准波形对比,发现其相关度为0.9938,也属高度相关且相关度高于TEK00002ISF(0.0038大于0.9689),所以即使同为高度相关的产品,也不难发现则后者更优秀并适合投放生产与应用。

5 结语

通过几组实际出厂产品性能数据,可以得出结论:

(1)CVT产品自身所具有的属性,决定了检验验证其特性的方法不会很多,相关函数法则较为方便快捷。

(2)该方法不但能在一般情况下检验,而且算法简洁,易于理解,适合工业应用。

(3)随着CVT出场技术不断的更新完善,越来越多的出厂产品已经和标准产品趋向高度相关。因此对于若干高度相关的产品中,我们则需要对其进行精确量化并对大量的产品数据进行量化分级,从而选择最优产品、良好产品、中等产品、合格产品与不合格产品。根据本文的理论基础和实践检验,并已经通过桂林市电力电容器责任有限公司实际操作认证,具有良好的实际效果。

摘要：对铁磁谐振波形进行了系统的分类分级,提出了一种基于Matlab的相关函数方法,并且利用大量数据进行对比,已经得到了效果验证,经过桂林市电力电容器责任有限公司认证,具有良好的实际效果。

关键词：电容式电压互感器,变电站,铁磁谐振,相关函数

参考文献

[1]刘振亚.智能电网技术.中国电力出版社出版.

[2]周芳,韩幸军,李懂懂,戴涛.一起110kV母线电容式电压互感器二次电压异常分析与处理[J].电气技术,2011(05).

[3]胡伟,王天一.电容式电压互感器二次失压故障的试验分析[J].电力电容器与无功补偿,2011(02).

[4]江礓,张富刚,樊越甫,刘方,刘凯.110kV变电站电压互感器故障原因分析[J].电力自动化设备,2010(10).

[5]刘胜军,王慷,郭猛.电容式电压互感器二次电压偏高分析[J].变压器,2010(04).

[6]张金祥,黄德顺.浅析电容式电压互感器二次电压偏高现象[J].高电压技术,2006(01).

[7]彭林.铁磁谐振原因分析及预防措施[J].中国科技信息,2010.

[8]叶浩欢,柳征,姜文利.基于自适应谱峰搜索的脉冲重复间隔最大似然估计[J].宇航学报,2012(5).

对相关函数 篇7

基于FFT的连续信号谱分析方法，直接用傅里叶变换对有限时间序列计算功率谱，求取信号频率。

现代谱估计方法———最大熵谱法。应用最大熵谱法首先建立自回归模型来计算功率谱。

小波分析方法。小波变换作为一组带通滤波器，适用于非稳定信号的工具。

自适应滤波方法。可以比较准确地测出传感器输出信号的频率及在该频率下的幅值，通过换算测得质量流量。

示波器测量信号周期广泛采用过零检测方法。过零检测方法通过测量两个连续具有相同斜率且交越触发电平(通常是不为零)的两个采样点之间的时间，根据该时间确定采样信号的周期，此方法的计算量小，被大多数示波器厂家采用。可是周期测量精度与信噪比有关，这也导致了过零检测方法使示波器测量周期信号的周期受限于信噪比。

自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。基于自相关函数的测量方法比过零检测法需要更强的计算能力，但更具有准确性。

1 调制波周期测量

上述方法都无法测量调制信号的周期。下面介绍基于自相关调制波周期长度估计的方法。

假设原始信号为s1(t)，载波信号为c(t)，采用FM调制，调制后的信号为x(t)。设采样周期为Ts，采集得到数据x(n),x(n)=x(nTs)，为了分析方便。假设s(t),c(t)为正弦信号，s(t)和c(t)的初始相位都等于0,fs为Sampling rate of signal,Fc为Carrier frequency,t=[0:fs]/fs为Sampling times.

首先计算自相关函数R(n)，和最大的R(n)，并归一化R(n)得到R'(n):

选择参考电平r，结合参考电平，将R'(n)按照公式(4)处理。

然后，设f(n)为Gs阶高斯函数滤波，N为采样的样点数，f(n)为输出脉冲响应:

运用MATLAB实现为:

图1所示为自相关函数波型。图2所示为高斯函数滤波。

最后，检测所得到的y(n)波形中的波头数，要求y(n)波形中的波头数为3个或者3个以上，第一次估计的周期T就等于最中间的波头。

2 结束语

针对数字示波FM周期测量中存在的杂波干扰问题，研究了基于自相关函数增加数字示波FM周期测量功能如何实现，从而作为功能函数添加到示波器函数中，增加数字示波器的周期测量功能。

摘要：随着数字信号处理能力的提高,数字示波器发展为测量幅度和频率的极其有用的电子测量仪器。通过对自相关函数增加数字示波FM周期测量的改进算法增加示波器的测量功能,提高仪器处理能力,有效地保证采样分辨率、峰值、周期、频率以及上升时间等参数的测量都获得很好品质。

关键词：自相关函数,周期测量,示波器

参考文献

[1]James H.Mc Clellan.数字信号处理引论[M].北京:科学出版社,2005:45-46.

[2]黄诚惕.基于信号自相关域可分特征的信号处理技术研究[D].成都:电子科技大学,2012.

[3]石博强.MATLAB数学计算范例教程[M].北京:中国铁道出版社,2004:59.

[4]史习智.信号处理与软计算[M].北京:高等教育出版社,2003:48.

[5]赵贻玖.稀疏模拟信号压缩采样与重构算法研究[D].成都:电子科技大学,2012.

对相关函数 篇8

1 小波分析

小波变换作为一种新的信号处理工具, 是当前数学领域和工程技术领域中一个迅速发展的学科, 它通过伸缩和平移可对信号进行多尺度分析, 在工程上各领域都取得了广泛的成果。其优良的去噪性能已越来越多地引起人们的重视。

1.1 小波函数

1.2 小波包分析

通过多分辨分析可以对信号进行分析, 其在高频段频率识别性较差, 而在低频段时间识别性差。小波包分析是一种高效快速的检测方法, 它将频带进行多层次划分, 把高频信号进行分解, 根据被待分析信号的特征, 自适应地选择频带, 使之与信号频谱相匹配[1], 实现了精细、准确的分析信号方法。尽管同一尺度层上的子空间是正交的, 但在不同尺度上的子空间有些是正交的, 有些是非正交的。从子空间对应频带互不重叠的表现也可了解子空间之间的正交性质。我们对一个待分析信号经小波包分解, 意味着它把正交小波分解的子空间作进一步细分, 也就是将有限频带细分为若干更细频带的组合。

2 信号调制

2.1 幅值调制

x (t) 在频域可表示为:

调制后的信号, 增加了一对分量 (fc (10) fz) 和 (fc-fz) 。它们以fc为中心对称分布。对于实际的信号, 载波信号和幅值调制信号都不是单一频率的, 存在随机变化。所以在频谱上形成若干频谱延伸, 称之为边频族[2,3]。

2.2 频率调制

幅值调制的产生也同时会导致频率调制, 二者同时存在, 互相影响。频谱上的边频成分是两种信号调制时产生频率成分的叠加, 由于二者边频成分相位不同, 使得叠加后的边频幅值发生变化, 有的下降, 有的上升, 破坏了边频带原有的对称性, 因此, 带噪信号一般都含有以频率及其各阶谐波频率为载频。

3 循环自相关函数

非平稳随机信号x (t) 的统计函数如相关函数、功率谱, 频率谱度函数是随时间周期平稳变化的, 信号x (t) 对称形式的自相关函数定义为

由上式知道, 当a取低频值时对应的是信号的包络功率谱。而当a取高频值时就不存在包络的情况[4,5]。DCS函数是一种快速计算信号功率谱密度的方法, 可利用循环度函数的这种特性对信号进行解调分析。

4 工程应用

某一工程使用电压力传感器获取振动信号, 当机械臂转速为2662r/min, 采样频率为16000HZ, 对其进行小波包处理, 结果如图1 (a-c) 所示。从图1可以看出, 在尺度a为1-5的频谱图上, 可以看到明显的干扰信号及其位置信息。

当设备中有故障发生, 会使元件受到冲击, 测得的振动响应信号通常都是调制信号, 当运用循环平稳分析原理, 不同循环频率处的循环自相关函数上可以提取出不同故障的特征频率[6], 通过频率特征点确定故障位置, 进而将不同的故障进行有效分离。图2故障信号应用相关函数后的频谱图, 从时域信号和频域信号中可看出信号有明显的故障点即噪声干扰, 而且有较强的规律性。对此类信号进行解调处理, 分离出调幅信号, 分析其特征频率和幅值将能够准确地辨识出噪声位置即故障点

通过滤波及包络处理, 进行络细化谱分析, 形成时变幅值调制信号。对此类信号进行解调处理, 可以分离出调幅信号。再次利用小波解调法进行解调, 得到如图3所示的重构信号的CSD图。从图中看出在离频率轴f≈500Hz周围分布着大于零的谱密度值, 其中在2处位置出现了谱峰, 而在其它位置处, CSD都几乎为零。因此可以进一步断定信号带噪位置[4]。

5 结语

本文介绍了信号的小波处理法以及循环平稳解调法。在此基础上, 利用MATLAB对模拟故障信号进行仿真研究。结果显示, 该分析方法非常适用于分析具有循环平稳特性的幅值调制信号。

参考文献

[1]陈新国.基于小波分析的齿轮故障诊断的研究[D].武汉科技大学, 2004.

[2]万良虹, 柳亦兵, 冯东亮.小波包分析方法在滚动轴承故障诊断中的应用[J].现代电力, 2004:23-26.

[3]Niemann G, Seitzinger K.Temperature Rise of Gears as an Indication of its Load Carrying Capacity, VDIZ, 1971 (2) :97-105.

[4]王艳芳.齿轮箱故障特征提取技术研究[D].中北大学, 2007.

[5]石博强, 申焱华.机械故障诊断的分形方法[M].冶金工业出版社, 2001.

试析高考对三角函数知识点的考查 篇9

一、三角函数的定理

三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合变量之间的映射。在高考中，很多试题主要侧重考查课本上的基本知识，或是与例题或练习题相关的变形题，具体来说主要是三角函数的公式、定理、性质的推导等，这都要求学生必须先掌握课本上知识的精髓，在此基础上理解其内涵，抓住其特点，这样我们才能会应用，会解题，以不变应万变。

例1.（2011陕西卷理18）叙述并证明余弦定理。

解析：要想正确解答此试题，首先清楚余弦定理的内容，然后根据所学的知识进行解答。此题虽然难度不大，考查内容主要是余弦定理的叙述与推导，这也是高考考查的常规方向和考点，目的是引导考生回归课本，因此学生在复习时必须重视基础知识的学习和巩固，尤其是课本上一些重要和经典定理的推导过程等。

二、包含三角函数的求零点问题

另外需要注意的是，高考命题时更注重对學生能力的考查，显著增加了对学生所掌握知识的综合性和应用性的考查，往往会在知识的交汇点设计题型，三角函数知识的特点使其很容易于其他知识点相结合，对于这些变化，在日常学习和复习中应引起重视。

函数图像位移后的性态及相关性 篇10

在中学课本中, 已知y=ax2, y=a (x-k) 2及y=a (xk) 2+h, (a≠0, h, k>0) 之间的关系:y=a (x-k) 2可将y=ax2向右平移k个单位得到, 而y=a (x-k) 2+h (h>0) 的图像是将y=a (x-k) 2的图像向上平移h个单位得到.由此得到y=a (x-k) 2+h的图像可将y=ax2向右平移k个单位的基础上再向上平移h个单位得到;或者y=a (x-k) 2+h是先将y=ax2向上平移h个单位后, 再将其向右平移k个单位得到.

此外, 我们也熟知的图像是双曲线且两支曲线关于原点 (0, 0) 呈中心对称, 即若 (a, b) 在上, 则 (-a, -b) 也一定在上.

本文是在上述理论的基础上, 同时受到中考和高考相关考题的启示, 进一步探讨较复杂函数和抽象函数, 并得到相关结论.相关结论不仅有利于解决数学试题, 而且有利于解决实际问题.本文的结论具有较强的理论意义和现实意义.

二、主要结果

1. 函数y=f (x) 的斜移问题

定义 斜移通常是指将函数y=f (x) 沿直线y=ax+b (a≠0, a>0) 方向向上或向下移动一定的距离.

本文主要研究斜移后函数y1=f1 (x) 图像的解析式与斜移前函数y=f (x) 解析式的关系, 进而求出斜移后的解析式 (几何代数化) .在此, 我们主要采用的方法是将这种斜移问题化归为平移问题.在解决这个问题的过程中需要解直角三角形的相关知识.下面通过一例说明:

例1 设有函数y=f (x) 和直线y=ax+b (a≠0, a>0) , 将函数y=f (x) 的图像沿直线y=ax+b (a>0) 向上平移l个单位距离, 求平移后函数y1=f1 (x) 的解析式.

析 将函数y=f (x) 沿直线y=ax+b (a≠0) 向上移动l个单位, 不妨设a>0, 由图形易见, 将函数向右平移, 再向上平移.由“上+下—, 左+右—”的规律可知函数y1=f1 (x) 的解析式为

推论 设函数y=f (x) , 直线y=ax+b (a≠0, a>0) , 如上例所定义, 当将y=f (x) 的图像沿直线y=ax+b (a≠0) 向下平移l个单位距离时, 将函数沿其向下推移l个单位后的解析式为:

注1:对函数y=f (x) 及直线y=ax+b (a≠0, a<0) , 可得类似的结果, .

2. 某些函数的对称中心

例2 求函数的对称中心.

分析 此类考题主要是建立在反比例函数的相关结论基础上的考题.其图像如图所示.

易见, 其对称中心为 (0, 0) .下面研究形如函数的对称中心, 本文分两步完成本例题:

第一步:求的图像的对称中心.

在这个函数中就是将分母中的x加上d, 由函数平移结论可知:函数的图像就是将函数的图像向左平移d个单位得到, 图像的对称中心为 (-d, 0) , 详见其图像 (上图) .

第二步:求函数的对称中心,

在此, 不妨假设c>0, c<0的情况可类似讨论.

就是将的图像向上平移a个单位得到, 图像的对称中心为 (-d, a) .

比较上面图像可知, 函数的图像可由函数经过平移得到, 这样研究后者只需平移坐标轴就可将这种类型的复杂函数化为最简单的模型函数, 再通过模型解决实际函数即可.在这些运动中, 并没有改变函数的性态, 而只是改变了函数图像的位置而已.

由此可见:函数的对称中心为 (-d, a) .

注2:上述两类问题主要讨论了“函数经过平移、旋转等刚体运动下, 在不考虑函数在坐标系内位置情况下, 不改变函数的本质性质”.

注3:上述两类问题可推广到抽象函数的情况.即:yb=f (x-a) 与y=f (x) 之间的关系为:将函数y=f (x) 向右 (a>0) 再向上 (b>0) 分别移动a, b个单位即可, 对于负值的a, b可类似研究.

注4:将某一函数y=f (x) 从点 (x1, y1) (此点位于下属函数图像上) 沿某一单调可求长函数y=φ (x) 曲线移动l个单位长度的情况如下 (关键是求出移动后的终点 (x2, y2) ) :由题意可得

Φ (x2) -Φ (x1) =l (其中l, x1为已知量, x2待求) .

通过解方程可求出x2的值.由此可知, 就是将函数y=f (x) 由点 (x1, y1) 移动到点 (x2, y2) (令Δx=x2-x1, Δy=y2-y1) .则移动后函数解析式为:y-Δy=f (x-Δx) .

注5:本文的思路——二次函数左右或上下移动⇒抽象函数沿线性函数斜移⇒函数沿可求长函数路径移动⇒….

上述问题主要讨论了函数按直线或可求长函数移动 (其本质是位移即转化为横移和纵移) 后的解析式与原解析式的图像和性质的关系:移动后, 未改变原始函数的形状, 只改变了函数的解析式和图像的位置.在函数形状未改变的情况下, 易见函数的对称性、单调性、最值性和周期性均具有, 只需对上述性质适当调整即可.因此, 在遇到此类数学或实际问题时, 可将它们化归为上述基本的数学模型, 从而达到解决具体问题的目的.对于任一函数按任一函数图像、曲线或路径移动时, 函数移动前后的性态问题有待进一步探讨.

摘要：本文是在二次函数图像平移规律“上+下—, 左+右—”, 反比例函数对称中心和坐标系变换等知识的基础上进一步研究较复杂函数和抽象函数位移后解析式的变换及变换前后函数的性态关系.

关键词：函数,刚体运动,位移,坐标变换

参考文献

[1]孔宝刚主编.数学 (一) [M].上海:复旦大学出版社.

[2]华东师范大学数学系.专项训练——函数篇[M].上海:华东师范大学出版社, 2005.