Lyapunov稳定（精选5篇）
Lyapunov稳定 篇1
切换系统一般包括一组有限 (或无限) 个子系统和一个描述子系统之间如何切换的切换规则, 是一种重要的混合动态系统, 在自动化控制等各领域, 具有广泛的应用背景。近年来, 切换系统的研究越来越热, 在切换系统的稳定性和切换规则的设计方面得到了许多的研究成果[1,2]。
在实践中, 脉冲、时滞和切换会不可避免地同时存在。如何控制好这些因素, 使得事物发展按既定目标进行, 是一个值得探讨的问题, 但对这类系统的研究还很少[2,3]。已有成果的主要研究方法是Lyapunov泛函及Razumikhin技巧[3]。本文从摄动的观点出发, 采用变分Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 建立了脉冲时滞切换系统的充分比较原理, 推广了右端函数不含切换时的情形, 得到了该系统一致渐近稳定的比较结果。
1 预备知识
考虑脉冲时滞切换系统
与相应的不含时滞的脉冲切换系统
y′ (t) =fk-1 (t, y (t) ) , t∈[tk-1, tk) ,
y (tk) =Jk (t-k, y (t-k) ) , k∈N+,
y (t0) =x0, t≥t0 (2)
(1) 式中Fk-1 (t, xt) =fk-1 (t, x ( (t) ) +Rk-1 (t, xt) , Ik (t, x) =Jk (t, x) +Qk (t, x) , Rk-1 (t, xt) 与Qk (t, x) 均为摄动项;x′ (t) , y′ (t) 表示x (t) , y (t) 在t处的右导数;xt (θ) =x (t+θ) , θ∈[-τ, 0];t0表示初始时刻, tk (k∈N+) 表示切换时刻, 对任给的t0, y (t0) =x0=φ (0) ;Fk-1∈C ([tk-1, tk) ×PC[-r, 0], Rn) , fk-1∈C ([tk-1, tk) ×Rn, Rn) ;Ik, Jk∈C (R+×Rn, Rn) , 其中PC[a, b]={φ:[a, b]→Rn}φ在[a, b]上除至多有限个第一类间断点t外连续, 且φ (t+) =φ (t) }。
本文总假定Fk-1, fk-1, Jk, Jk满足某些条件[2], 以保证系统 (1) 式, (2) 式的零解整体存在且唯一。引入记号:K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0且a (s) 关于s严格单增};S (ρ) ={x:|x|<ρ}。
定义1.1 称函数V:[-r, +∞) ×PC[-r, 0]→R+属于ν0 (·) 类函数, 若如下条件满足:
(A1) V在每一个集合[tk-1, tk) ×PC[-r, 0]上连续且
(A2) V (t, x) 关于x满足局部Lipschitz条件, 且V (t, 0) ≡0。
定义1.2 设V∈ν0, 对任给的 (s, x) ∈[tk-1, tk) ×S (ρ) , t0≤s≤t, V (s, y (t, s, x) ) 沿系统 (1) 解的右上导数定义为:
定义1.3 设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (1) 的任一解, 称系统 (1) 的零解
(S1) 稳定:若∀ϵ>0, ∀t0∈R+, 存在常数δ=δ (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, ∀t≥t0;
(S2) 吸引:若对∀t0∈R+, ϵ>0, 存在正常数δ=δ (t0) >0, T=T (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, t≥t0+T;
(S3) 一致稳定:若 (S1) 中δ与t0无关;
(S4) 一致吸引:若 (S2) 中δ, T与t0无关;
(S5) 渐近稳定:若 (S1) 与 (S3) 同时成立;
(S6) 一致渐近稳定:若 (S2) 与 (S4) 同时成立。
2 主要结果
引理2.1 假设x (t) 为系统 (1) 的任意解, 使得如下条件满足
(i) V∈ν0, 对∀ (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) , s∈[tk-1, tk) ∩[t0, t]。
当V (s+θ, y (t, s+θ, x (s+θ) ) ) ≤V (s, y (t, s, x (s) ) ) , θ∈[-r, 0]时
D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤gk-1 (s, V (s, y (t, s, x (s) ) ) ) 。
其中gk-1∈C ([tk-1, tk) ×R+, R+) , gk-1 (t, 0) ≡0, ∀t≥0, k∈N+。
(ii) 对∀k∈N+, ∃ψk∈K, ψ (s) ≥s, ψ单调不减, 使得
V (tk, y (t, tk, x (tk) ) ) ≤ψk (V (t-k, y (t, t-k, x (t-k) ) ) ) 。
(iii) r (t) =r (t, t0, u0) 是如下纯量脉冲切换系统
在[t0, +∞) 上的最大解;则当
V (t, x (t) ) ≤r (t, t0, u0) , t≥t0 (2.1)
证明 设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (I) 过 (t0, φ) 的解, 下面用数学归纳法给出 (2.1) 式的证明, 为表述简便, 记m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) , ∀t0≤s≤t。
首先证明
V (t, x (t) ) ≤r0 (t, t0, u0) , t∈[t0, t1) (2.2)
(2.2) 式中r0 (t, t0, u0) 为方程u′ (t) =g0 (t, u (t) ) , u (t0) =u0在区间[t0, t1) 上的最大解。注意到y (t, t, x (t) ) =x (t) , 欲证 (2.2) 式成立, 只需证
V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤r0 (s, t0, u0) ,
s∈[t0, t], t∈[t0, t1) (2.3)
若不然∃t*∈[t0, t1) , 使得
下面推导矛盾。当t0≤s≤t≤t1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。
根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[t0, t]t∈[t0, t1) 。
又当s∈[t*-r, t*]∩[t0-r, t0]时
m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤u0≤r0 (t*, t0, u0) ,
当s∈[t*-r, t*]∩[t0, t*]时, 注意到g0 (t) ≥0, t∈[t0, t1) , 有
m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (s, t0, u0) ≤r0 (t*, t0, u0) ,
因此 m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。
根据条件 (i) 有
D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤g0 (t*, m (t*) ) (2.5)
(2.5) 式与 (2.4) 式矛盾, 从而 (2.3) 式成立, 令s=t, 即得 (2.2) 式。
当t=t1时, 由条件 (ii)
V (t1, y (t, t1, x (t1) ) ) ≤ψ1 (V (t-1, y (t, t-1, x (t-1) ) ) ) =ψ1 (m (t-1) ) ≤ψ1 (r0 (t-1, t0, u0) ) 。
令r0 (t-1, t0, u0) =u1, 显然u1≥0。且为系统 (III) 当t=t1时的解。
一般地, 设当t∈[tm-1, tm) 时,
V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m-1,
其中uj=ψj (rj-1 (t-j, tj-1, uj-1) ) (2.6)
rj-1 (t, tj-1, uj-1) 为方程u′=gj-1 (t, u) ,
u (tj-1) =uj-1在[tj-1, tj) 上的最大解。
下证当t∈[tm, tm+1) 时,
V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m,
且um+1=ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) (2.7)
欲证 (2.7) 式第一式成立, 同样只需证明对任给的s∈[t0, t],
V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤rj (s, tj, uj) ,
s∈[tj, tj+1) , 0≤j≤m (2.8)
若不然存在t*不满足 (2.8) 式, 不防设t*∈[tl, t1+1) , 1≤l≤m使得
下面推导矛盾。当t1≤s≤s+h≤tl+1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。
根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[tl, t]。
由gk≥0及uj的取法, rj (t, tj, uj) 在[tj, tj-1) 上单调递增, 于是类似可得
m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤rl (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。
结合条件 (i) 有
D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤gl (t*, m (t*) ) (2.10)
(2.10) 式与 (2.9) 式矛盾, 从而 (2.8) 式成立, 令s=t, 即得 (2.7) 式第一式。
当t=tm+1时, 由条件 (ii)
V (tm+1, y (t, tm+1, x (tm+1) ) ) ≤ψm+1 (V (t-m+1, y (t, t-m+1, x (t-m+1) ) ) ) ≤ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) 。
令ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) =um+1, 显然um+1为系统 (III) 当t=tm+1时的解, 并且使得 (2.7) 第二式成立。于是由数学归纳法
V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , j=0, 1, 2, 3, … (2.11)
一般地, 令
其中uj, rj (t, tj, uj) 的定义如 (2.6) 所示, 由uj, rj (t, tj, uj) 的取法, 知r (t, t0, u0) 是系统 (III) 的解且是其最大解, 注意到 (2.11) 式, 知 (2.1) 成立, 引理证毕。
利用引理2.1, 易证下述定理成立:
定理2.1 假设引理2.1的条件 (i) (ii) 成立, 且如下条件满足
(iv) 存在V∈ν0, a, b∈K, 使得b (|x|) ≤V (t, x) ≤a (|x|) , (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) ;
(v) 对每一个 (t, s) , ‖y (t, s, x) ‖关于x满足局部Lipschitz条件;
(vi) 存在ρ0∈ (0, ρ) , 满足当x (t-k) ∈S (ρ0) 时, 有x (tk) ∈S (ρ) 。
则由系统 (II) 零解的稳定性和系统 (III) 零解的 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的 (渐近) 稳定性。
定理2.2 假设定理2.1的条件满足, 则由系统 (II) 零解的一致稳定性和系统 (III) 零解的一致 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的一致 (渐近) 稳定性。
参考文献
[1] Liberzon D, Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems, 1999;59—70
[2] Sun Ye, Michel A N, Zhai Guisheng.Stability of discontinuous retard-ed functional differential equations with applications.IEEE Transac-tions on Automatic Control, 2005;5:1090—1105
[3] Liu Y, Feng W.Razumikhin-Lyapunov functional method for the sta-bility of impulsive switched systems with time delay.Mathematicaland Computer Modelling, 2008
[4] Kou Chunhai.Variational Lyapunov method and stability analysis for impulsive delay differential equations.Computers and Mathematics with Applications, 2003;46:1761—1777
[5] Wang Peiguang, Lian Hairong.On the stability in terms of two meas-ures for perturbed impulsive integro-differential equations.J Math A-nal Appl, 2006;313:642—653
Lyapunov稳定 篇2
鉴于线性误差发展理论研究大气可预报性存在的局限性,采用非线性扰动发展方程讨论动力系统误差增长规律,并在此基础上提出一个新概念:非线性局部Lyapunov指数.它与经典Lyapunov指数有本质的区别,可以表征初始误差在有限时间内的局部平均增长率,大小与初值、初始误差、物理量、演化时间、以及时间尺度、空间尺度有关.结合该指数的定义以及大气本身的动力学特征给出合理的`计算方法,得到大气初始误差随时间的演化并确定了最大可预报时间.最后以500 hPa位势高度为例,详细讨论了非线性局部Lyapunov指数在大气可预报性中的应用,得到的主要结论是:大气可预报性具有明显的空间分布特征.从总体上看,可预报性呈纬向带状分布.赤道上的可预报时间最大,南极地区次之,北极地区也较大,南北两半球的副热带和中纬度地区可预报性最小.在赤道地区,平均可预报时间为12 d左右,最大值分布在热带印度洋、印度尼西亚及邻近地区、热带东太平洋等地区,大约为两周.南极地区可预报性也很高,平均可预报时间大约9 d,这一特征在夏季更显著.北极地区的可预报性也比邻近中高纬大,但增加不如南极地区明显.南北半球中纬度地区(30°～60°S和30°～60°N)的可预报性最小,平均仅有3～4 d.另外,可预报性随季节有差异.北半球大部分地区,对应冬季的可预报性比夏季的大,特别是中高纬北大西洋、北太平洋以及格陵兰岛等地区,冬季的可预报性明显比夏季的大;南半球,南极附近60°～90°S对应夏季的可预报性明显比冬季的大,而其他区域尤其在30°～60°S的可预报时间随季节变化不大,大约3～5 d.理论和数据计算结果均说明非线性局部Lyapunov指数以及由它得到的非线性局部误差增长确实可以很好地定量表征各种大气物理量在不同时空域下的可预报性.
作 者：陈宝花 李建平丁瑞强 作者单位：陈宝花(兰州大学大气科学学院,兰州,730000)
李建平(兰州大学大气科学学院,兰州,730000;中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学,数值模拟国家重点实验室,北京,100029)
丁瑞强(中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学,数值模拟国家重点实验室,北京,100029)
Lyapunov稳定 篇3
关键词：非线性控制系统,关系度,反馈线性化
1 球杆装置的结构
球杆实验装置有许多不同的类型, 各种类型结构都具有不同的特征, 对控制器的设计要求也有很大的不同。球杆系统作为倍受欢迎的实验室设备, 如图1所示的球杆系统[1~2], 将杆的一端固定, 另一端通过连杆与传动齿轮连接, 这样的球杆系统, 通过传动机构调解横杆的摆角, 电机通过齿轮减速再作用到杆上降低了反应灵敏度, 并且导轨两端有隔板防止了小球滚落。本文采用的球杆系统是由固高科技 (深圳) 有限公司开发设计的GBB1004, 其简化示意图如图1所示[3~4]。整个系统由球杆运动机构 (包括齿轮和四连杆机构) 、控制器、传感器和直流电源等部分组成[2]。
钢制的小球可以在一个水平轨道内自由转动, 而该轨道可以绕着固定端转动, 电机带动齿轮通过连杆调整轨道的水平倾角, 可以控制小球在轨道上的位置。如果没有闭环控制, 显然这个系统是不稳定的, 因为当导轨绝对水平时, 小球可以平衡在轨道上的任何一个位置, 但是一旦有干扰, 小球就会滚动到无穷远处无法回到原来的位置。导轨上有一个线性位移传感器, 可以测量小球在杆上的位移, 伺服电机有一个角度编码器, 可以实现电机的角位移测量。球杆系统的控制器是基于D S P的智能伺服运动控制器。
2 球杆装置的Lagrange方法建模
这里简述采用拉格朗日方程的建模过程[2]。球杆系统参数和变量如下:L为横杆长度;M为横杆质量;R为钢球半径;l为连杆长度;d为连杆齿轮接点与齿轮中心距离;m为钢球质量;J为横杆绕着固定端的转动惯量。拉格朗日方程方法建模可以表述为:对于球杆系统中球和导轨的动力学方程可以用拉格朗日方程建模[5]。定义广义坐标r和α分别表示小球相对固定轴的位移和横杆绕着固定轴相对水平方向的转角, r&和α&分别表示相应的位移速度和角速度。根据拉格朗日方程可得运动方程, 并考虑到小球半径很小, 所以忽略掉带R的项, 从而得到小球与导轨的运动方程[2]:
令作为系统的4个状态, 那么系统的状态方程为[2]。
单输入单输出非线性仿射系统常见的一般状态模型表示式为状态向量, u∈R为控制向量, f (x) 和g (x) 是nR上的光滑向量场。显然仿射非线性系统对状态是非线性的, 对控制u是线性的。写出光滑向量场f (x) 和g (x) 。
在采用Lagrange法详细推导了球杆装置的非线性动力学模型之后, 下面将对其非线性模型进行仿真;系统的成功建模和随后的模型仿真, 为下面设计控制方法奠定良好的基础。线性系统只有一个孤立平衡点, 这样它就只有一个吸引系统状态的稳定工作点, 而与初始状态无关。非线性系统可以有多个孤立平衡点, 其状态可能收敛于几个稳态工作点之一, 收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。可以看出球杆非线性动力学模型平衡点分布颇为复杂, 呈现出非线性特性。处理状态方程的一个重要概念是平衡点的概念。f (x) =0, 可以求出平衡点, 是方程的实根。平衡点可以是孤立的, 也就是说在其领域内不会有另一个平衡点, 或者说可能有一个平衡点的连续统。
3 球杆系统控制算法的设计
下面将对球杆系统基于Lyapunov函数方法进行控制设计[7~8]。下面本文来验证球杆系统关系度。将球杆系统式 (4) 表示成系统标准的形式, 有
从上面分析容易看出, 在平衡位置Lg Lf2 h (x) =2bx1 x4=0, 而在x*的任意一个的邻域内, 都存在某点x使Lg Lf2 h (x) ≠0, 所以系统的关系度不确定。Lg Lf2 h (x) 是O (x, u) 2的, Lg Lf3 h (x) 是O) 1 (的, 故具有鲁棒关系度4。这里将把式 (2) 的线性部分和非线性部分进行分离, 如式 (3) 。
求Unew, 得:
将式式 (6) 代入到式 (7) 就得到控制律v (t) , 即,
本文希望最终能稳定在位置为选取单位阵, Q=I本文期望的闭环极点:pole=[-5, -5, -1-i, -1+i]。所以K=[-7.1356, -9.9899, 47.0000, 12.0000]。Simulink系统仿真, 下面将本算法与文献[2]中NMPC算法进行仿真对比, 其中参数见文献[2]。仿真对比效果, 如图2和图3。从仿真图2和图3, 可以看出, 无论是小球位置状态变化曲线, 还是横杆角度状态变化曲线, 可以很明显地看出本文算法都是在较短的时间内到达稳态值。
4 结语
本文中数学模型的建立、仿真模块的搭建以及非线性特性的分析, 为非线性系统控制算法的研究奠定。本文的目标就是通过引入虚拟输入来设计一个控制律。这个控制律能够使一类非线性零动态不稳定的系统的外部动态和内部动态 (也就是整个系统) 达到稳定。对单输入单输出仿射非线性系统状态空间模型转换成Isidori标准形式[6]。若系统有关系度, 且关系度为r的话, 将前r个变量表示式和后面n-r个变量分开书写。这样就可以清晰地看到外部动态与内部动态, 然后进行零动态的线性部分与非线性部分进行分离, 以便设计系统稳定的控制律。本文利用Laypunov函数稳定性判据以及极点配置原则, 构建一组合适的参考输入, 来设计控制律, 从而使系统达到稳定。
参考文献
[1]F.Andreev, D.Auckly, L.Kapitanski, S.Gosavi et al.Matching, linear systems, and the ball and beam.Automatica, 2002, 38 (12) :2147～2152.
[2]张国银.基于NMPC球杆系统控制方法研究及实现[D].中山大学硕士论文, 2006.
[3]固高科技 (深圳) 有限公司.球杆系统GBB1005实验指导书, 2004.
[4]固高科技 (深圳) 有限公司.球杆系统GBB1005用户手册, 2004.
[5]崔平, 翁正新.基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制[J].实验定研究与探索, 2003, 22 (3) :70～72.
[6]A.Isidori.Nonlinear Control Systems, Third Edition.London:Springer-Verlag, 1995.
[7]张振兴, 张世峰.基于Lyapunov函数的倒立摆系统设计[J].新技术新工艺, 2007 (5) :50～51, 55.
Lyapunov稳定 篇4
变形监测一个重要目的在于防患未然,即检查各种工程建筑物和地质构造的稳定性,对变形进行分析,掌握规律,准确进行预测预报,从而为有关部门决策提供依据。由于变形体变形机理的复杂性和多样性,对变形分析与建模理论和方法的研究,需引入系统科学及非线性科学的理论,采用数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规律和动态特征。关于预测预报的方法很多,但都有一定的局限性,没有一种方法能够完全适应各种情况下的预测和分析,因此需要不断地改进和完善。
混沌作为非线性科学的一个重要分支,是当今倍受科学界关注的前沿学科和研究热点。20世纪90年代以来,混沌科学与其他科学相互渗透,在很多领域得到了广泛的应用。在混沌的应用上,根据混沌系统提取的非线形时间序列对系统的未来进行预测是研究的重点。
本文将混沌时间序列理论引入对沉降监测数据的预测分析,建立了基于Lyapunov指数的变形预测模型,通过工程实例,对该模型进行了验证,得到一些有益的结论,能够对混沌时间序列在变形监测中更广泛的应用提供参考价值。
1 Lyapunov指数
混沌是一种貌似无规则的运动,是在确定性非线性系统中不需要附加任何随机因素出现类似随机行为。混沌系统的最大特点在于系统的演化对初始条件十分敏感。
混沌的离散情况常常表现为混沌时间序列,混沌时间序列是由混沌模型生成的具有混沌特性的时间序列,混沌时间序列中蕴涵着系统丰富的动力学信息,混沌时间序列是混沌理论通向现实世界的一个桥梁,是混沌的一个重要应用领域。Lyapunov指数是量化初始闭轨道的指数发散和估计系统混沌量,它从整体上反映了动力系统的混沌量水平,因此,基于混沌时间序列的Lyapunov指数计算和预测显得尤其重要。
在一维动力系统an+1=f(an)中,初始两点迭代后是互相分离的,还是靠拢的,关键取决于的值。若,则迭代使得两点分开,若,则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中,的值也分随之发生变化,分离与靠拢交替进行。为了表示从整体上看相邻两状态分离的情况,必须对时间(迭代次数)取平均。因此,设平均每次迭代所引起的指数中的指数为λ于是原来相距ψ的两点经过n次迭代的相距为
取极限ψ→0,n→∞,式(1)变为
式(2)通过变形计算可简化为
式(3)中的λ与初始值的选取有很大关系,称为原动力系统的李雅普诺夫(Lyapunov)指数,它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。
对一个耗散动力系统而言,判断其是否为混沌的重要标志就是看该系统的最大Lyapunov指数是否为正。Lyapunov指数为正说明了相邻运动轨迹在相空间中的发散趋势,是“初值敏感性”(SIC)特性的定量化体现。SIC意味着初始时刻一个微小的波动会导致系统将来极大的变化,也就是说,系统相空间中初始相邻的轨迹会伴随着系统演化而迅速分离,分离的速率可以通过最大Lyapunov指数λ刻画。由于Lyapunov指数λ刻画的是系统全局范围的发散性质,同时其具体数值不因对原系统的线性变换而改变,因此可作为系统混沌特性的可靠度量。在已知系统观测序列Sn的情况下,λ的大小可直接从序列Sn中估计出来。
2 基于最大Lyapunov指数变形预测模型的建立
2.1 重构相空间
相空间是一个以系统变量数为维数的多维空间。相空间中的一个点(即相点),代表了动力系统在某一时刻的一个特定状态。相空间里相点的连线,构成了点在相空间的轨道,即相轨道。相轨道表示了系统状态随时间的演变。
根据相空间重构理论,x(t 1),x(t 2),...,x(t n)是所研究的时间序列,可得m维延迟矢量:
其中τ称为延迟时间,m称为嵌入维数。建立了一个多维相空间Y i(i=1,2,...,n),得到一组时间序列x(ti),相空间中的点的个数n=N-(m-1)τ。
2.2 利用C-C方法计算延迟时间和嵌入维数
C-C方法是于1999年由D.Kugiumtzis,R.Eykholt和J.D.Salas提出,该方法应用关联积分能够同时估计出τd和τω。时间延迟τd确保xi个成分相互依赖,但不依赖于m;而时间窗口τω依赖于m,且τ随m而变化
C-C方法计算步骤如下:
(1)计算给定的沉降时间序列的标准差σ。
(2)编程计算下列三个量:
分别如下:
C(m,r,t)为关联积分的极限值[1]。
(3)依据上述计算结果:
的第一个极小值t对应时间延迟τd=tτs;
的第一个极小值t对应时间延迟τd=tτs;
,最小值t对应时间窗口τω=tτs。
τs为变形监测时间序列的监测周期。
2.3 Wolf方法计算最大Lyapunov指数
从单变量的时间序列提取Lyapunov指数的方法仍然是基于时间序列的重构相空间。Wolf等人(1985)提出直接基于相轨平面、相体积等演化来估计Lyapunov指数。这类方法统称为Wolf方法,它在混沌的基础研究和基于Lyapunov指数的混沌时间序列预测中应用十分广泛。本文就是采用Wolf方法计算Lyapunov指数。
设混沌时间序列x1,x2,...,xk,...嵌入维数m,时间延迟τ,则重构相空间
取初始点Y(t 0)设其与最近邻点Y0(t 0)的距离为0L,追踪这两点的时间演化,直到1t时刻,其间距超过某规定值,保留Y(t 1),并在Y(1t)邻近另找一个点Y1(t 1),使得,并且与之夹角尽可能的小,继续上述过程,直至Y(t)到达时间序列的终点N,这时追踪演化过程总的迭代次数为M,则最大Lyapunov指数为
2.4基于Lyapunov指数的预测模式
Lyapunov指数可用来表征沉降变形系统的混沌行为,沉降变形系统在相空间中相邻轨迹的指数发散,刻画相空间中相体积收缩和膨胀的几何特性,是一个很好的预报沉降结果的参数。
不妨设YM为预报的中心点,相空间中YM的最近的邻点为Yk,其距离为d M(0),最大Lyapunov指数为λ1,即
其中点YM+1只有最后一个分量x(tn+1)未知,故x(tn+1)是可预报的。式(12)就是基于Lyapunov指数的预测模式,图1是基于Lyapunov指数的变形预测流程图。
3 工程应用实例
为检验基于Lyapunov指数的变形预测模型的有效性,采用樊村隧道的沉降监测数据进行验证。该隧道位于浙江省杭(州)-金(华)-衢(州)高速公路衢州窑上段第B合同段,隧道起止桩号K253+280~+525,其中明洞30m(进口端20m,出口端10m),暗洞215m,隧道几何线形和净空按100km/h设计,隧道照明部分按80km/h设计。另外,该隧道位于侵蚀丘陵区,地势起伏较大,沿隧道纵向分布的主要岩体有:含碎石亚粘土、含粘性士碎石、泥质粉砂岩、粉砂岩、石英质砂岩、含砂砾岩、砂砾石等不同岩性的岩体,地质情况极为复杂。为了避免开挖隧道而出现危害,在2002年4月25日起,利用隧道位移实时监测系统对该隧道拱顶下沉进行监测,一天三次,每次约半小时,本次采用的典型点D5的监测数据,此点在监测期间共采集了355期沉降监测数据。
首先确定时间延迟和嵌入维,根据C-C方法原理,使用Matlab编程计算求出时间延迟τd和嵌入维m。,结果如图2所示。
然后使用Wolf方法计算Lyapunov指数λ1,并对第326~355天的沉降值进行预测,预测结果如图3所示。
为了检验预测结果的好坏,我们定义相对误差为:
相对误差=|预测值-真实值|/真实值
得出预测结果的相对误差值图,如图4所示。从图3和图4可以看出,基于Lyapunov指数的变形预测模型在此工程实例中,预测结果跟实际监测结果基本相符,相对误差在0~0.09之间波动,故判断该预测模型的预测结果精度很好。
4结论
经过对监测的沉降时间序列进行相空间重构,使用基于最大Lyapunov指数的预测方法来预测隧道拱顶的沉降,得到较高精度的预测结果,同时可得如下结论:
(1)计算的Lyapunov指数表明,隧道拱顶的沉降具有混沌性质。
(2)Lyapunov指数预测结果表明,通过选择合适的嵌入维数,能够增加预测的准确程度。
(3)由于混沌的初值的敏感性,使用Lyapunov指数进行长期预测不可能,但只要有足够好的模型和对初始条件的精确观察,它的确定性在预测能力消失之前可以进行短期预测。
摘要：变形危害巨大,变形监测与变形预测则成为必然,由于变形的过程受到地质、水文、地震和人类工程活动等因素的影响,可视为一种具有混沌特征的动力系统。故本文以混沌理论为基础,提出了基于最大Lyapunov指数的变形观测模式,并利用工程实例进行了分析研究。研究表明,变形监测时间序列中的最大Lyapunov指数均大于0,根据混沌理论,可判断变形序列存在混沌现象,同时预测的结果显示,基于混沌时间序列的最大Lyapunov指数法的预测具有较高的精度,故研究成果具有的一定的理论和应用价值,为变形预测提供了新途径。
关键词：混沌,时间序列,变形,Lyapunov指数,预测
参考文献
[1]吕金虎,陆君安,陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2002.
[2]蒋廷臣,张勤等.基于小波方法的非线性回归模型研究[J].测绘学报,2006,35(4):337~341.
[3]蒋传文,候志俭,张勇传.基于关联度的高嵌入维混沌预测方法研究[J].系统工程与电子技术,2002,24(12):65~66,103.
[4]鲁铁定,周世健,张立亭,官云兰.测量平差教学中MATLAB软件的应用[J].地矿测绘,2004,20(1):43~45.
[5]张步涵,刘小华,万建平等.基于混沌时间序列的负荷预测及其关键问题的分析[J].电网技术,2004,28(13):32~49.
[6]梁勇,孟桥,陆佶人.Lyapunov指数的算法改进与加权预测[J].声学技术,2006,25(5):463~469.
[7]CHEN Baohua1,LI Jianping,DING Ruiqiang.Nonlinear local Lyapunov exponent and atmospheric predictability research.Science in China Series D:Earth Sciences,2006,49(10)1111~1120.
[8]董昭.带跳的非线性随机微分方程的Lyapunov指数的估计[J].应用数数学学报,2007,30(1):23~36.
[9]冯明库,丘水生,晋建秀.一种Lyapunov指数算法及其实现[J].计算机应用,2007,27(1):50~54.
Lyapunov稳定 篇5
混沌信号的生成是由不同的混沌系统产生的, 自Lorenz混沌系统发现以来, 混沌理论及其应用研究得到了国内外技术人员的极大关注[1,2,3]。在此基础上, Chen系统[2], Lü系统[4,5]和Liu系统[6]先后被发现, 近年来, 新的混沌系统不断被研究人员发现[7,8,9], Li等[7]在Colpitts电路的基础上提出了一类具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统。现今, 混沌理论的研究内容主要包括:混沌信号的产生与处理、混沌同步及混沌电路的设计与应用等。不过, 对于现有混沌系统动力学特性的分析与研究也一直是混沌理论研究的热点之一。
本文在混沌Liu系统已有研究基础上, 着重研究了Liu系统的恒Lyapunov指数特性以及与其相关的输出信号幅度调节特性。具体来说, 就是采用混沌系统的Lyapunov指数谱及分岔图研究了Liu系统的恒Lyapunov指数特性, 并研究了系统参数对输出信号幅度变化特征的影响。研究表明混沌Liu系统具有恒Lyapunov指数特征, 同时, 其输出信号幅度也具有调幅特性。
1 混沌Liu系统的动力学分析
文献[6]提出的混沌Liu系统是一个含有平方项的三维自治混沌系统[6], 其模型可描述为:
当a=12、b=40、c=5.5和h=4时, 系统的动力学状态处于混沌状态[6], 其吸引子相图如图1所示。为便于后面的讨论与分析, 下面对混沌Liu系统平衡点及其稳定性给出必要的理论分析。令Liu系统 (式 (1) ) 的右边等于零, 可解得系统的三个平衡点为s0= (0, 0, ) 0、, 因为Liu系统参数满足bc>h0, hLiu系统三个平衡点均存在。如Liu系统在各平衡点处线性化的特征多项式可统一表示为
另外, 在平衡点处对Liu系统进行线性化, 得其Jacobi矩阵J0和特征多项式f (λ) 分别为
由 (2) 和 (3) 式可得
根据Routh-Hurwitz系统稳定性判断条件[5], 当且仅当A>0、B>0、C>0和AABB-C>0时, 系统的特征值都具有负实部, 平衡点才为稳定点。所以, 当a=12、b=40、c=5.5和h=4时, Liu系统在三个平衡点处的特征值都不具有负实部, 平衡点均不稳定, 系统为混沌状态, 混沌吸引子相图如图1所示。
2 Liu系统参数的影响
为了直观地描述出系统参数变化时系统动力学行为变化特征, 根据混沌系统具有对系统参数变化敏感这一特点, 采用Lyapunov指数谱图 (LE谱) 和分岔图等方法来研究混沌系统的动力学行为特征。下面在文献[6]基础上, 主要研究参数h变化时, 系统混沌动力学行为变化特点。因此, 令a=12、b=40和c=5.5固定, 使h∈[0.5, 100]。通过数值仿真得系统的LE谱以及关于x、y和z的分岔图如图2所示。由图2 (a) 可见, 当h变化时, 系统的LE维持不变, 此时的正LE实质就是系统参数a=12、b=40、c=5.5和h=4时的最大LE, 而系统信号x, y的幅度却随着h的增大而减小, 呈一种曲线的变化趋势, 系统z的幅度的最大值几乎保持在一个固定值不变, 图2 (b) 、 (c) 和 (d) 的x、y、z分岔图表明这一变化特点。由上述的研究不难发现, 参数h的变化对系统混沌动力学行为有着独特的影响, 下面对其进行进一步地分析与研究。
Liu系统恒Lyapunov指数及调幅特性研究
1) Liu系统恒Lyapunov指数特性分析
根据混沌理论, 分析Liu系统Lyapunov指数特性, 应根据混沌系统在平衡点处线性化所得到的Jacobi矩阵对应的特征多项式。Liu系统所对应的特征多项式 (式 (3) ) 和 (式 (4) ) 中的参数C均含有系统参数h, 但当把平衡点s0、s1和s2分别代入上述各式后就可消除h, 因此h对系统在各平衡点上的动力学特征不产生影响。实际上, 运用上述方法, Liu系统在任意相点处线性化所得的Jacobi矩阵所对应的特征多项式中均不含有h, 因而h对整个系统的动力学特征不产生影响, 即参数h变化时, Liu系统的Lyapunov指数维持不变, Liu系统具有恒Lyapunov指数谱特性。但在数值计算时, 因受到计算精度的影响, 恒Lyapunov指数值往往会发生微小的波动。结合文献[6]可以发现, 在系统的所有参数中, 除h外, 其他系统参数的变化都会改变系统的Lyapunov指数, 如参数b, 系统的最大Lyapunov指数随着b增大而增大[6]。当保持a=12、c=5.5不变, 分别取b=20、30和40, 如h∈[0.5, 100]变化时, 系统的Lyapunov指数谱如图3所示, 这也说明系统的混沌特性随着b的增大而增强。
2) 系统输出信号调幅特性研究
由图2的x、y、z分岔图不难发现, 在保持系统其他参数不变的情况下, 调节h时, 系统输出的三维信号的幅度大小呈现如下变化规律:系统x、y信号幅度随着h增大而减小, 而z的幅度则保持不变。因此, 可以说调节h可实现对系统输出信号的调幅功能, 但仅对x、y信号调幅, 因此称部分调幅。结合系统平衡点表达式, 进一步地仿真研究还发现, 系统输出信号x、y幅度随 (K为一常数) 关系, 这一结果也可由图4、图5看出, 同时, 由图2 (b) 、 (c) 的x、y分岔图也不难看出这一变化趋势。
3 结论
本文通过理论分析和数值仿真研究了混沌Liu系统的恒Lyapunov指数特征和调幅特性, 重点分析了Liu系统参数h对系统的混沌动力学特性影响。由系统参数h变化时所得的LE谱和分岔图可以发现, 混沌Liu系统的参数h对于其动力学行为的影响较为特殊, 当系统处于混沌状态时, 调节h时不会影响系统的混沌状态, 即系统的Lyapunov指数谱保持不变, 但系统的两个输出信号的幅值与h之间却表现为 (K为常数) 关系变化, 而另一维信号幅值保持在恒定的数值区间, 因此, 混沌Liu系统输出信号具有部分调幅功能。通过研究, 进一步地揭示了Liu系统的动力学特性, 为Liu系统的的实际应用提供了必要的理论支持, 研究具有重要的理论意义和实际价值。
参考文献
[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J.Atmos.Sci., 1963, 20:130-141.
[2]Chen G R, Ueta T.Yet another chaotic attracror[J].Int.J.Bifur.Chaos, 1999, 9:1465-1466.
[3]Celikovsky S, Chen G R.On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systems[J].Int.J.Bifur.Chaos, 2002 12:1789-1812.
[4]LüJ, Chen G.A new chaotic attractor coined[J].Int.J.Bifur.Chaos, 2002, 12 (3) :659-661.
[5]陈关荣, 吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社, 2003.
[6]Liu C X, Liu T, Liu L, et al.A new chaotic attractor[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 22:1031-038.
[7]李春彪, 王翰康, 陈谡.一个新的恒Lyapunov指数谱混沌吸引子与电路实现[J].物理学报, 2010, 59 (2) :783-791.
[8]周小勇.一种具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统及其电路仿真[J].物理学报, 2011, 60 (10) :100503-1~100503-12.