数学模型技术（共10篇）
数学模型技术 篇1
引言
从美国国家研究委员会1984年发表的《美国数学的现在和未来》、1990年发表的《振兴美国数学—90年代的计划》、1991年发表的《数学科学、技术、经济竞争力》到联合国教科文组织在里约热内卢宣言中,把处于世纪之交的2000年定为“世界数学年”可以看出,高新技术本质上是数学技术,信息时代实际上就是数学技术时代[1]。本文从这个角度出发,对通过普及数学模型技术来提高陶瓷企业竞争力进行了探讨。
1 数学模型技术概述
1.1 什么是数学模型技术?
所谓数学模型技术通俗地讲就是运用数学模型来帮助我们解决问题的技术。为了使读者更清晰什么是数学模型技术,了解研究数学模型技术能够提高生产力进而增强企业竞争力,我们先来看一个例题。
例1[2]某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品,都经过A、B两道工序加工。设A工序有A1、A2两台设备,B工序有B1、B2、B3三台设备。已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工,产品Ⅱ可在任何一台A设备上加工,但B工序只能在B2设备上加工,产品Ⅲ两道工序只能在A2、B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他有关数据见表1。问该厂应如何安排生产计划?
解:第一步,建立模型
产品Ⅰ有6种加工方案,即(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3),其各自产量分别用x11、x12、x13、x14、x15、x16表示;产品Ⅱ有两种加工方案:(A1,B2)(A2,B2),其产量分别用x21、x22表示;产品Ⅲ只有一种加工方案:(A2,B2),设产量为x3。
生产这些产品时,设备A1的使用时间是5x11+5x12+5x13+10x21,设备A2的使用时间是7x14+7x15+7x16+9x22+12x3,设备B1的使用时间是6x11+6x14,设备B2的使用时间是4x12+4x15+8x21+8x22+11x3,设备B3的使用时间7x13+7x16。记Z为获利,故有如下数学模型:
第二步,求解模型
用Excel“规划求解”工具求解[3],结果如下图1所示。
第三步,依据对数学模型的求解结果安排生产计划
从图中第8行的数字可知,当x11=405,x12=795,x13=0,x14=262,x15=0,x16=571,x21=x22=0,x3=347时,z=1021.9。所以,该厂应该这样安排生产计划:产品Ⅰ依照方案(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,B1)、(A2,B6)各生产405,795,262,571件,产品Ⅱ不生产,产品Ⅲ生产347件,这时该厂可获利最大,达到1021.9元。
在上例中,为了解决工厂安排生产计划这个问题,我们首先建立了该问题的数学模型,然后借助计算机计算出了该模型的最优解,最后根据这个最优解制定出生产计划安排。这种解决问题的技术就叫数学模型技术。
1.2 数学模型技术发展简介
数学模型技术的研究一直以来都是各个学科的基础,运用她人们可以解释事物发生的原因、判断原来知识的可靠性、预测事物未来的发展。
数学模型技术与其它任何技术一样都是人类在与自然界进行斗争的长期实践中发明创造出来的。在人类社会漫长的发展历程中,人类创建了众多数学模型的实例,她们广泛分布于自然科学、工程技术、医学、生物、生态、环境、政治、经济、军事、文化、体育、交通等人类社会生活的许多领域。例如,远古时代的人们运用数学模型技术对宇宙中事物演变规律、事物之间相互关系、时序变化进行研究,发明创造了周易、五行、干支[4]。又如,近代人们运用数学模型技术对现实、宏观及微观世界中的物质运动进行研究,发现了牛顿第二运动定律,万有引力定律,库仑定律。可以毫不夸张的说,没有数学模型技术就没有今天的人类灿烂文明。
然而,由于应用数学模型技术解决问题有三个基本的步骤:第一步是根据要解决的问题建立数学模型,第二步是研究该问题的数学模型寻找并掌握事物运动变化的规律,第三步是根据研究的结果,作出解决问题决策。每一步都对人们的文化素质提出了较高的要求,需要我们有较高水平的数学知识和相关专业知识。因此,长期以来数学模型技术一直都只是极少数科学家的秘密武器。此外,由于还存在着大量的这种现象:问题的数学模型建立起来了,但是模型太复杂了,或变量太多或求解模型的数学计算、逻辑推理太复杂,以致人工对这些数学模型无法进行求解、研究。所以,一直以来数学模型技术都没有发展成为一门独立的学科。
随着高等教育和计算机技术的发展,数学模型技术才发展成为一种普遍的、可以实现的技术。一方面,高等教育的发展普及使得社会的新成员或多或少有了建立数学模型的能力。另一方面,计算机的发明和计算机技术的发展,使人类发明用计算机来完成数学计算和逻辑推理工作,一些复杂的、以前靠人工不可能完成的计算与推理工作,现在却可以用计算机来完成。于是把计算机技术与数学技术结合起来的数学模型技术被作为一种高新技术受到重视,人们对数学模型技术的研究空前繁荣,“高技术本质上是一种数学技术”成了人们的共识,数学模型技术发展成了一门独立的科学。
2 普及数学模型技术提高陶瓷企业竞争力
随着信息技术的发展,全球经济呈现一体化发展趋势,各个国家、企业、公司之间的经济竞争由区域、局部竞争扩展成为国际竞争。依靠科学技术来提高自己的竞争力是当今世界各国的共识。
有鉴于此,笔者认为当今陶瓷产业要发展,陶瓷企业要壮大,陶瓷人一定要培养自己善于追踪并紧跟当今世界科技发展步伐的习惯。既要懂得先进的生产技术是一个动态的技术,因此要时时刻刻进行追踪;也要明白世界上成功的企业无一不是在成本上进行控制与技术上进行创新的成功中发展壮大起来的。在知识经济时代,知识信息是生产资料、财富,谁及时地了解并掌握先进的生产技术,谁就能在成本控制与技术创新上占据优势。所以一定要努力掌握先进的生产经营管理技术。
那么当今先进的企业生产经营管理技术是什么呢?我们说今天人类社会进入了信息时代,这是一个“知识爆炸”的时代,新知识新技术层出不穷。但是通过文献信息检索我们就会发现:“从20世纪80年代起,美国国家研究委员会,陆续向政府提交了苦干份关于美国数学及数学教育的报告,提出现在还很少有人认识到,高技术本质上是数学技术,数学不仅是一门学科,它已经是一种重要的资源”[5]。进一步对“高技术本质上是数学技术”这句话进行追踪,我们不难发现,原来研究数学模型技术,对企业生产经营活动的每个环节建立数学模型,借助计算机求解、分析这些数学模型,并根据求解、分析的结果,对企业生产经营活动的每个环节进行优化和调整,以实现最大程度地节约成本和减少开支,是一种当今正在兴起的、能有效提高企业竞争力的、先进的企业生产经营管理技术。
有鉴于此,笔者特在此号召我们的陶瓷企业,注意紧跟研究数学模型技术提高企业竞争力的潮流,在企业生产经营管理活动中普及运用数学模型技术。
3 陶瓷企业如何研究数学模型技术
如上所述,如果我们能够在陶瓷企业的生产经营活动中,注意研究并普及运用数学模型技术,那么我们的竞争力就可以得到进一步的提高。那么陶瓷企业应该如何研究并普及数学模型技术呢?笔者认为可以从三个方面入手。
3.1 培养信息素养
信息素养又称信息素质,指全球信息化需要人们具备的一种基本能力,即人们在工作中运用信息技术解决问题的能力。
进入信息时代,我们首先要重视自己信息意识的培养,使自己具有敏锐的观察力,快速的发掘能力,能迅速有效地从庞杂散乱的事物中捕捉并掌握有价值的信息,即善于从他人看来是微不足道、毫无价值的信息中发现信息的意义和价值所在。这样我们不仅懂得信息的重要性,而且会因为生产经营管理活动的需要积极主动地去搜集这方面的最新先进资料。其次,要重视自己信息能力的培养。主要是学习运用计算机网络技术从各种数字图书馆、各种文献数据库及Internet检索文献信息的方法,使自己能在需要时快速、准确、完整地获取到所需的信息,并能熟练地应用有关信息技术,充分加工利用这些信息。这样我们就有能力搜集到当今世界各国在企业生产经营管理中所运用的先进技术信息。再次,要重视自己的信息道德培养。这样我们就会在搜集与利用当今企业生产经营管理最新先进技术活动过程中自觉遵循法律法规,尊重他人的学术成果,尊重知识产权、合理使用文献信息,自觉抵制违法信息及信息行为。
3.2 明确研究方法—综合创造
伟大的科学家牛顿说过:“如果我比别人看得远点,那是因为我站在巨人的肩膀上。”例如,20世纪世界上的重大发明日本一项也没有,但是日本却在综合别人成果的基础上创造出了世界一流的新技术、新产品。日本科学家认为“综合就是创造”[6]。
笔者以为,日本人这种研究方法值得学习。搜集其它企业在生产经营活动中所使用的数学模型,进行综合,创造出针对本企业的数学模型,对之进行研究,以指导我们的生产经营活动,提高我们的竞争力。这是一种很好的研究数学模型技术方法。
3.3 努力学习数学知识和计算机技术
要在我们的生产经营活动中研究并普及数学模型技术。我们还必须具备一定的文化知识,其中主要有数学知识和计算机技术。只有掌握了这些知识的人才能够对陶瓷企业生产经营的各个环节建立数学模型,并运用计算机求解这些数学模型,根据求解结果调整、优化企业生产、经营管理诸活动环节。那么如何才能能够使我们具备这些文化知识呢?当然只有努力学习,今天人类社会进入信息时代,知识的增长以“爆炸”的方式激增,只有终生学习才能跟上时代发展。一方面要更新学习方式、手段,另一方面要有针对性学习,提高学习效率。伟大领袖毛主席教导我们:读书是学习,使用也是学习,而且是最好的学习。因此笔者认为:理论联系实际在使用中学习是最好的掌握这些文化知识的方法。对于数学知识,我们可以根据自己需要解决的问题,查看别人解决这类问题的数学模型,然后有针对性地学习该模型所使用的数学知识即可;而对于计算机技术则主要是学会使用几种应用软件就可以了,如EXCEL的规划求解工具,SPSS17.0,DPSTM v9.50标准版,Matlab和Mathematica和Maple等等。
总之,提高我们的信息素养,及时准确地掌握世界各国先进的生产经营管理技术与产品信息,结合企业生产经营管理的实际情况,努力学习计算机应用技术和数学知识等专业知识,大胆进行技术创新和综合创造,是我们陶瓷企业研究和运用数学模型技术的基本策略。
4 在陶瓷企业生产经营活动中运用数学模型技术举例
如上所述,我们可以在从事陶瓷生产经营活动的各个环节中,如生产计划决策(根据市场需求和本厂生产能力,合理安排生产品种,生产时间,购置原料时间,库存量等),组织生产决策(在生产计划定了的情况下,合理安排工序、班次、材料组织生产等),组织销售决策(合理安排销售网点、合理安排产品运输、合理制订销售价格、合理安排销售广告等)等环节,应用数学模型技术。下面仅举一例来说明在企业管理中运用数学模型的方法。
例2[7]设某厂一台关键设备的维修费很贵,且随使用年龄增长,具体情况如表2。
如果该厂在每年初更新设备,则更新费如表3。这样该厂每年初都面临决策问题:如果更新,就付更新费;如果不更新,就付维修费。如果你是任期为五年的新厂长,你将制订怎样的更新计划?
解:我们以五年为期制订设备更新计划,使五年总费用最小。
第一步,建立问题的数学模型。
设Vi表示第i年初更新设备的状态,i=1,2,3,4,5。V6表示第五年底,从V1连线到V2表示第一年买的设备用到第二年的初所需更新费加维修费。从V1连线到V3表示第一年买的设备用到第三年的初所需总费用等等。所有费用都可以通过上面的表1与表2计算出来。例如V3连线到V6表示第三年买了设备用到第五年底需支付维修费5+6+8=19万元,因此总费用是19+12=31万元。如图2所示。这样就把问题变成是求从V1到V6的最短路径问题。
第二步,求解数学模型。
运用图论中的逐步生长法[7],容易算出,最短路径是V1-V3-V6或者V1-V4-V6,而对应的V6其标数是53。
第三步,根据数学模型的求解结果制订该设备的更新策略。
根据上一步结果,我们应该制订如下策略:在第一年初购置设备后用到第三年初或第四年初再更新设备,其它年初都只维修设备。这样设备使用五年,总支付费用最小,都是53万元。
摘要：在对数学模型技术进行介绍的基础上,阐述了陶瓷企业要在当今激烈的竞争中取胜,有一条重要的途径,就是在企业的生产经营管理活动中运用和研究数学模型技术,并对陶瓷企业应该如何研究数学模型技术进行了探讨。
关键词：数学模型,数学模型技术,企业管理,企业管理技术,提高企业竞争力
参考文献
[1]孙宇锋等.信息与计算科学:数学技术和信息技术的融合.韶关学院学报.自然科学,2009(6)
[2]胡运权主编.运筹学习题集.北京:清华大学出版社,2002
[3]叶艺林.用“规划求解”工具求解线性规划.景德镇高专学报.2006(4)
[4]http://blog.sina.com.cn/s/blog_3f39487d010006x0.html
[5]汪瑞林.为跨世纪人才王选“号脉”.中国大学生就业.2000(11)
[6]叶艺林主编.文献信息检索教程.成都:西南交通大学出版社,2009
[7]谢家正等编.管理和经济的数学基础.上海:上海科技出版社,1985
数学模型技术 篇2
一、提出模型——初步感知相遇问题
课堂上，刘老师通过4次直观活动，为学生全面、深刻的诠释了相遇问题的“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”和“最后相遇”四要素。这样，既活跃了课堂，又使一个相遇问题的直观运动模型呼之欲出，也更好的为下一步学生自主建立语言文本模型打好了基础。以上这些工作，看似“繁琐、麻烦”，其实不然，如果没有以上的铺垫，学生只会建模，不能熟练用模，作业中肯定就会错误百出。这正是以前我在教学中的“软肋”，频频导致学生学习中出错的“病根”。
二、建立模型——思考与方法的双丰收
在学习中，学生尝试小组合作，整理交流已有信息，优化小组内出现的各种方法，自然而然的将生活中的问题转化成数学问题来思
考，构建出了相遇问题的语言模型，接着，分析比较得到了线段图解决问题的优越性，突出了解决相遇问题中，图形模型的重要性。最后，在学生充分理解的基础上，学生构建起了相遇问题的算式模型：70×5＋60×5或（70＋60）×5
这一过程，为学生深刻理解相遇问题的数量关系“速度和×时间=总速度”，起到了至关重要的作用，并构建出了相遇问题的本质模型。为下面解决更多的问题树立了标杆，实现了“模型构建”与“问题解决”的和谐统一。
三、模型拓展——来于生活，用于生活
数学模型技术 篇3
我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。”这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。
二、数学建模与数学建模意识
培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比等思维能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
三、构建数学模型的基本途径。
1为了培养学生的建模意识，中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。
2数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学模型的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
3注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。
四、 把构模与培养学生数学思维的过程统一起来
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中。通过引導学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力。而在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等数学思维能力。
1发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维。众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、费尔马大定理、歌德巴赫猜想、欧拉定理等，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。
数学模型技术 篇4
在舰船或其他需要大量蓄电池的工业应用场合,蓄电池电压、电流以及电解液温度、液位和密度等参数的自动巡检问题一直以来得到广泛关注。上述检测参数中,密度是直接反映蓄电池充放电状态和电池容量的重要参数,但其目前的自动检测技术尚无法同时达到准确有效和经济方便之要求,因此仍主要依赖人工进行测量。在常用的电解液密度测算方法中,浮子法和静压法操作简单,成本低廉,但其精度较低,并且在测量时要求电解液液面处于平稳状态,不适于在有摇摆和振动的舰船机舱中的蓄电池上使用;射线法和谐振法精度高,但价格昂贵,难于应用在大量蓄电池需要监测的场合中;单纯数学模型计算法则存在难以建立有效准确模型、误差易累积、精度不能满足工程要求等缺点。
为此,本文对基于谐振法和数学模型的蓄电池电解液密度混合检测技术进行了深入研究,其基本思路是:在大量蓄电池参数检测的工程应用场合,对少量参考蓄电池采用基于谐振法的在线测量仪器检测密度,除此之外的其他蓄电池则以谐振法测量数据为参考、综合运用数学推导方法进行密度测算,从而达到提高测算精度和降低成本的目的。
2 基于谐振法和数学模型的混合测量技术
2.1 谐振法密度测量原理简述
谐振法基于弹性结构谐振原理而进行密度测量,相应测量装置的核心是一只双U型、中空的弹性采样管,利用电磁相互作用原理将周期性外力加于其上,使之始终处于谐振状态,而其振动的幅度、频率信号又以磁电转换方式送出,当管中注入不同密度的液体时,振动系统具有不同的质量m,因而具有不同的谐振频率。谐振法测量装置的U型弹性采样管为高品质玻璃管,振动阻尼非常小,且化学性能稳定,耐腐蚀能力极佳。进行密度测量时,待测液体由抽排液机构抽入U型弹性采样管,中央处理单元对弹性采样管进行激励并拾取弹性采样管的振动信号经放大后输出到采样管处;采样管的振动信号经预处理后进入中央处理单元,中央处理单元中保存有谐振频率与液体密度的对应值,通过检测出的谐振频率就可反求出弹性采样管内液体的密度,其谐振频率的公式[1,2]为:
其中:m为空管的质量;E为管的弹性模量;ρ为待测液体的密度;V为管的体积。由于管的质量、弹性模量和体积都是已知的,理论上可以求出任意液体的密度。
可见,谐振法密度计算式中只涉及固有的确定参数,不受其他物理参数干扰;此外,基于谐振法的弹性采样管工作于很宽的频率范围之内,而振荡管的共振频率很高,故外界的低频干扰对振荡管影响极其微小可忽略不计,且弹性采样管阻尼也很小,因此谐振频率测量值十分准确,具有非常高的测量精度,理论误差在0.3%以内甚至更小。实测过程中,为确保测量准确,抽入U型管中的电解液必须是均匀的,所以测量前应经充分搅拌,蓄电池处于稳定状态。
依上述分析可知,谐振法密度测量仪测量精度高,但装置结构及内部信号处理电路和程序复杂,其设计加工和制造要求较高,因此存在成本相对较高的缺陷。
2.2 基于谐振法监测数据的密度测算数学模型和算法
一般地,单纯数学模型计算法建立在电解液密度与电压、温度等参数的数学回归分析和理论推导上,但事实上对某一特定蓄电池,电解液密度受到多种因素的影响,密度的变化异常复杂,此类模型工程应用受到极大限制。举例而言,在无法预知的情况下,当出于需要或由于负载原因而突然改变某蓄电池充放电电流时,其电压即会发生突变,而事实上该时刻密度保持不变,通常的数理模型便很难反映这种关系。另一方面,通过现场监测蓄电池密度和电压,却可以很方便地实测出工作中蓄电池的参数变化关系。
考虑到对同批生产出厂、同时投入使用且工作正常的蓄电池而言,其密度与电压的关系具有可比拟性;此外,蓄电池电压参数易于在线自动测量,因此若能以少量配置谐振法检测仪的电池为基准、确定出其在任意充放电状态下、任意相邻时间间隔内密度与电压的变化关系,则可通过数学方法推导出其余待测电池的密度,这种混合测量方法将各种密度影响因素融合在一起考虑,在简化了测量过程的同时还提高了精度。具体方法如下。
(1)在某相同状态下的t0时刻,建立起所有蓄电池的电压、密度参数原始数据库,未配置谐振仪的蓄电池密度采用普通密度计人工测量获取原始数据,设原始密度为ρx(i,0)(其中i=1,2,……,N,表示N块待测算密度的蓄电池);配置有谐振仪的蓄电池密度采用谐振仪测量,设其原始密度为ρr(j,0)(其中j=1,2,……,M,表示M块配置有谐振仪的蓄电池)。
(2)对配置大量蓄电池的应用场合,所有蓄电池电压均可方便在线自动测量,出于成本控制原因采用谐振法密度检测仪在线测量少量蓄电池任意时刻、任意充放电状态下的密度。令在蓄电池使用过程中的任意时刻t,设配置有谐振仪的参考蓄电池的测量电压为Ur(j,t),测算密度为ρr(j,t);令待测算蓄电池的测量电压为Ux(i,t),待测算密度为ρx(i,t)。
(3)设第j块参考蓄电池从tm到tm+1时刻密度随电压的变化率为κjm,则按式(2)可计算出所有参考蓄电池电压随密度变化率的平均值,计算时可同时根据实际情况剔除个别变化率κ值异常的蓄电池:
其中:
(4)递推解算待测蓄电池密度值。对设第i块待测蓄电池而言,可建立起其从tm至tm+1时刻密度测算的递推关系如式(4)所示:
考虑到对于同批生产、同时投入使用且工作正常的蓄电池而言,从工程应用角度可以认为:在相同的工作环境、相同的充或放电电流、相同的使用时间且工作正常时,其在有限的相邻时间间隔内密度对电压的变化率基本一致,因此就工程应用而言,式(4)中的κtm可用式(2)中的代替,由此式(4)演变如式(5)所示。
因此,根据已建立的原始数据库和电压实测值,通过(5)式即可求出待测蓄电池在任意tm+1时刻的密度ρx(i,tm+1)。
2.3 不同温度电解液密度的修正
根据以上方法解算的密度值没有考虑温度的影响,按照通常的做法,应将测算值校正到温度25℃时的标准密度值,不同温度条件下的修正数值参见文献[3]和文献[4],实际应用过程中可将修正值储存在程序表格中随时调用,也可直接依式(6)转换成25℃时的标准密度,即:
式中:ρt——实测电解液相对密度(g/cm3);
t——实测电解液温度(℃)。
3 试验研究及分析
某实装蓄电池巡检系统设计中,出于成本控制等多方面原因,对8块蓄电池配置了在线谐振法密度检测仪,其余电池只能在线监测电压和温度数值、密度仍采用人工测量。本文以实装测量数据为样本,任意选取其中3块工作正常的蓄电池(分别对应于充电、放电和充放电工况)用本文方法进行了密度测算和温度等效转换,并与人工测量数据进行了对比分析,绘制比较曲线如图1至图3所示,计算表明测算值与实测值非常接近,其相对误差小于4%,能很好地满足工程应用要求。此外,对人工测量数据反映出的工作异常蓄电池,同样采用文中方法进行了测算并与实测值进行了比较,其测量值与测算值比较曲线如图4所示,相对误差超出了允许范围甚至出现明显偏差,说明此时测算参数已不能反映工作异常之蓄电池的真实状态。可见,蓄电池性能正常条件下,本文测算方法和实测值吻合较好,具有较高精度。
4 结论
针对复杂环境下,蓄电池密度测量成本高且测量不准确的情况,本文提出了一种基于谐振法和数学模型的密度混和测量方法,并对这种方法进行了数学推导,给出了详细的数学描述和解算过程,以某型实际装备的测量数据为样本进行了试验研究和验证,结果表明该方法能很好地满足工程应用要求。在实际应用过程中,为提高测量精度,减少累积误差,在蓄电池经历一定的充放电周期后有必要重新进行人工测量,更新原始数据库。
研究和试验表明本文提出的方法具有以下特点:
(1)通过谐振法实时监测数据准确反映密度与其他参数的实时变化关系,有效避免了纯数学建模法难以穷尽蓄电池内部复杂变化机理的难题;
(2)在大量蓄电池应用场合,本测量方法测算过程简便,测算密度值精度满足要求,可极大降低成本,大大减轻使用人员工作强度,工程适应性良好;
(3)对工作已出现明显异常(如性能已明显老化)的蓄电池,该方法不再适用。
摘要：电解液密度是直接反映蓄电池充放电状态和电池容量的重要参数,但难以进行准确、简便和经济的在线自动测量。因此,对基于谐振法和数学模型的混合检测方法进行了深入研究,建立了基于谐振法监测数据的密度测算数学模型,并给出了数学递推算法,试验表明该检测方法可靠、有效,且工程适用性良好。
关键词：蓄电池,密度,递推算法,数学模型
参考文献
[1]沈建国,常风云,孟凡友.铅酸蓄电池电解液密度测量装置的研究[J].海军工程大学学报,2008,20(4):66-68.
[2]李震.基于CAN总线的铅酸蓄电池参数采集模块的设计[D].大连:大连海事大学,2006.
[3]徐小涛.现代通信电源技术及应用[M].北京:北京航空航天大学出版社,2009.
初中数学几何模型 篇5
全等变换
平移：平行等线段（平行四边形）
对称：角平分线或垂直或半角
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转
对称全等模型
说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型
说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型
半角：有一个角含1/2角及相邻线段
自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等
共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等
中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型
构造方法：
遇60度旋60度，造等边三角形
遇90度旋90度，造等腰直角
遇等腰旋顶点，造旋转全等
遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形
说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型
对称最值(两点间线段最短)
对称最值(点到直线垂线段最短)
说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值(共线有最值)
说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型
三角形→四边形
四边形→四边形
说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。
矩形→正方形
说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变
正方形+等腰直角三角形→正方形
面积等分
旋转相似模型
说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。
推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
相似模型
说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。
说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。
（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。
说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。
初中数学经典几何题（附答案）
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
A
P
C
D
B
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D 2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
·
A
D
H
E
M
C
B
O
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
求证：AP＝AQ．（初二）
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
A
F
D
E
C
B
求证：CE＝CF．（初二）
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
E
D
A
C
B
F3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
D
F
E
P
C
B
A
求证：PA＝PF．（初二）
O
D
B
F
A
E
C
P4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
A
P
C
B
求：∠APB的度数．（初二）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A
C
B
P
D
A
P
C
B
A
C
B
P
D3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
E
D
C
B
A4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=
FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2
C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
由于，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得PQ=
=，从而得证。
经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A
EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP
600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
=，即AD•BC=BE•AC，①
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
=，即AB•CD=DE•AC，②
由①+②可得:
AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=
AC·BD，得证。
4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：
=，由AE=FC。
用简单的数学模型解决数学问题 篇6
一、“局部 + 局部 = 整体”数学模型的提出
2012年11月, 我在苏州市景范中学听了课题为《用一元一次方程解决问题》的两节课, 上课的两位老师都是非常优秀的年轻教师, 在讲解时都提到了:要很好地用方程解应用题的关键之处是找到等量关系, 从而建立方程.我在平时的教学过程中发现, 学生觉得困难的就是找不到等量关系, 无从下手.我们老师要帮助学生在比较短的时间内找到等量关系, 但要怎么做呢, 从何入手呢?我一直在反思, 其实从小学开始老师始终没有把蕴含在其中的数学思想讲透, 从而造成了学生一学到方程解决应用题的时候“会的学生不用教, 不会的学生教也教不会”的尴尬局面.找等量关系先要建立一个数学模型, 其实这个数学模型很简单:局部 + 局部 = 整体.
1.工作量问题.
以苏科版数学七年级上册P110页问题5为例:将一批资料录入电脑, 甲单独做需18h完成, 乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h, 剩下的部分由甲、乙合做完成, 甲、乙两人合作了多少时间?书上给出的等量关系是:全部工作量=甲单独做的工作量 + 甲、乙合作的工作量.设甲、乙合做了xh, 可列出方程8/18+ (1/18+1/12) x=1系的时候, 就应该要提出“局部 + 局部=整体”这样一个模型.局部1就是甲单独做的工作量, 局部2就是甲乙合做的工作量.局部1+ 局部2=整体 (全部工作量) .这道题学生还有另外一种列法8+x/18+x/12=1, 用到的等量关系是甲的工作量 + 乙的工作量=全部工作量. 也许学生在列方程的时候根本就没有意识到他是在用局部 +局部=整体这个模型, 但是通过老师的分析, 我们把数学思想渗透了进去, 学生以后在找等量关系时, 会先想一下是不是先要建立一个数学模型才能解决问题.
2.行程问题.
对于行程问题中相遇的问题:A、B两地间的路程为360km, 一列慢车从A站开出, 每小时行驶48km, 一列快车从B站开出, 每小时行驶72km (.1) 两车同时开出, 相向而行, 多少小时后相遇? (2) 快车先开25分, 两车相向而行, 慢车行驶多少小时后快、慢车相遇?
对于相遇问题 (1) (2) 的解决, 提醒学生将局部 + 局部 = 整体这个模型中, 改成慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程=A、B两地间的路程.
二、“局部 + 局部 = 整体”模型在解题中的运用
1“.局部 + 局部 = 整体”模型在几何解题中的运用.
其实, 这个模型不仅可以用在列方程解应用题当中, 在几何解题当中也十分实用.
(1) 如图 , 点A在线段AB上 , AB=10cm, BC=4cm, 点M、N分别是AC、BC的中点, 求MN的长.
(2) 若直线上有A、B两点, C在直线AB上, 且AB=a, BC=b (a>b) , 点M、N分别是AC、BC的中点, 你能用a, b的代数式表示MN的长度吗?
学生在解决第 (1) 小题时比较顺利, MN=MC+CN=1/2AC+1/2BC=1/2× (10-4) +1/2×4=3+2=5
但在解决第 (2) 小题时明显有困难.困难一:不能确定C点的具体位置, 不会分类讨论.困难二:会分类讨论的同学又觉得计算比较困难, 觉得有些线段的长度比较难求. 首先我们先来解决第一个困难:分类讨论C的位置.
1C在AB之间, 如图, 同 (1) 的情况;
2C在B点的右边, 如图
3C在A点的左边, 如图, 不符题意AB=a, BC=b (a>b) , 应舍去;
再来解决第二个困难:计算的困难,
1MN=MC+CN=1/2AC+1/2BC=1/2× (AC+BC) =1/2AB=1/2a,
2 MN=MC-CN=1/2AC-1/2BC=1/2 (AC-BC) =1/2AB=1/2a
在该题中, AB两点的位置固定后, AB这个整体 的长度不 会改变 , 1中是AC+BC=AB, 再次出现“局部 + 局部 = 整体”这个模型, 2中是AC-BC=AB, 这是“局部 + 局部 = 整体”这个模型的变式.如果学生能先建构这个数学模型来找数量关系的话, 他就不会觉得计算的困难了.
2“.局部 + 局部 = 整体”模型在方程组中的运用.
用整体思想来解题是数学解题中一种常见的方法, 但学生往往难以找出这个整体, 从而不会用这样的简便方法.如:m, n满足, 求m+n的值。这道题学生通常的思路就是把方程组解出来, 求出m, n的值, 再求出m+n的值.实际我们只要用到“局部 + 局部 = 整体”这个模型就非常容易解决:两个方程相加, 得3m+3n=12, 再用等式性质, 得m+n=4.
三、将部分看成整体模型 (局部换元法) 的提出及运用
把问题的部分看成一个整体, 对整个问题进行比较分析来发现问题的整体特征, 运用集成的观念, 把部分式子或者图形看成一个整体, 找出整个问题之间的联系, 并且整理它们.
在初中, 我们把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化, 这叫换元法.换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理.
1.整体思想在解方程中的运用.
例如在讲 解方程 (x-2) 2-5 (x-2) +4=0时, 除了提醒学生观察, 我们可以将x-2看成一个整体, 设x-2=y, 则原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, 即x-2=1, 解得x=3;当y=4时, 即x-2=4, 解得x=6, 所以原方程的解为:x1=3, x2=6.
当然, 在初中, 我们讲解换元法的时候, 要考虑学生年龄特点, 可以适当地降低题目的难度, 利用阅读形式来讲解, 阅读材料:为解方程 (x2-1) 2-5 (x2-1) +4=0, 我们可以将x2-1看作一个整体, 然后设x2-1=y…1, 那么原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=±21/2 ;当y=4时, x2-1=4, ∴x2=5, ∴x=±51/2 , 故原方程的解为x1= 21/2 , x2=- 21/2 , x3=51/2 , x4=-51/2 .解答问题:
(1) 上述解题过程, 在由原方程得到方程1的过程中, 利用法达到了解方程目的, 体现了转化的数学思想; (2) 请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.
2.整体思想在化简中的运用.
在某些因式分解中, 可以运用整体思想实现化简的功能, 例如, 因式分解:x6+14x3y+49y2时要将x3看成一个整体时, 运用完全平方公式进行因式分解. 再如, 已知 (2014-a) (2012-a) =2013, 求 (2014-a) 2 + (2012-a) 2的值 , 可以将2012-a看成一个整体, 设t=2012-a, 原题就变成了 (t+2) ×t=2013, 求 (t+2) 2+t2的值, 这样此题就简便了很多.
我们由于受到考试等因素的影响, 在平时的教学中经常忽略学生数学思想的建立与培养, 只是沉浸于无边的题海中, 长此以往, 学生将学不到数学应有的能力. 数学的思想与方法是数学的灵魂, 它需要教师在教学中自觉地渗透.数学思想的建立与培养不是一朝一夕的事情, 学生只有在老师的引领和熏陶下, 才能有意识去思考、去提高.
参考文献
[1]范超华.由数学解题谈数学教育[J].科技信息.2010 (19)
分配曲线数学模型 篇7
关键词：重力分选,分配曲线,特性,模型
评价重选设备的分选精度, 预测重力选煤的产品结构, 都要用分配曲线。分配曲线是以煤的密度为横坐标、以分配率为纵坐标而绘制成的一种特性曲线。重力选煤设备的实际分配曲线, 一般都是利用单机检查中原煤和产物的浮沉组成, 用格式法计算出产物的产率, 然后按某一密度的物料在重产物中的重量计算出分配率而绘制的。由于分配曲线是重力选煤预测计算的基础, 所以研究分配曲线的特性和它的数学模型, 是重力选煤过程模拟的一个重要问题。
1 分配曲线的特点
分配曲线是重力选矿过程效果的反应。实际的分配曲线是S型曲线, 而且其越陡, 对应的分选效率越高。分配曲线的特性参数包括分选密度 ( dp) 、可能性偏差 ( Ep) 和机械误差, 即不完善度 ( I) 。一旦相应的特性参数确定了, 则分配曲线的基本形态也就确定了。其中, 可能性偏差 ( Ep) 体现的是分配曲线中段的陡度, Ep值越小, 曲线越陡。现今关于可能性偏差的一致性看法如下:
( 1) Ep值与原煤的可选性无关;
( 2) 物料的粒度越小, 分选效率越差, Ep值越大;
( 3) Ep值与分选机的单位负荷有关, 负荷越大, Ep值越大;
( 4) Ep值随着分选密度的增大而增大。
通常可能偏差Ep按 ( 1) 式计算, 不完善度I按 ( 2) 式计算。
( 其中: d75是分配率为75% 时的分选密度, d25是分配率为25% 时的分选密度。)
一般情况下, 对于水介质分选设备而言, 通常采用机械误差即不完善度 ( I) 作为评价指标, 对于重介质分选设备而言, 通常采用可能偏差 ( Ep) 作为评价指标。
2 分配曲线模型
2. 1 分配曲线的正态分布模型
对于水介质分选, 取
对于重介质分选, 取
对于函数e- x2, 其泰勒级数为:
经过适当变换, e- t2/2可变为e- x2的形式, 即:
代入公式, 可得:
因为正态分布积分函数从- ∞ 到0 的概率为0. 5, 所以
当t确定后, 由转换公式求出x, 由上式可求出分配率。
根据计算, 当x=1.79时, F (x) =0.9943, 而x=-1.79时, F (x) =0.057, 因此可以规定:
当x > 1. 79, F ( x) = 1;
当x < - 1. 79, F ( x) = 0。
实际分配率与按正态分布计算的分配率相比, 有一定差距, 如表1 所示。
由某单机检查数据得到的实测分配率如表1左侧所示, 通过该组数据绘制分配曲线可以得到以下参数: d50= 1. 5014, Ep= 0. 0995。
通过下述步骤可以得到如表1 右侧所示的按正态分布计算的分配率。
首先, 通过d50、Ep和式 ( 4) 计算出各个t值; 其次, 根据各个t值按 ( 6) 式计算出各个x值; 最后, 根据各个x值按式 ( 8) 计算出各个F ( x) 值并列于表1。按表1 画出的实测分配曲线和计算分配曲线如图1 所示。
从表1 的第3 列和第6 列数据可以看出: 实测分配率与按正态分布计算的分配率相比有一定差距。从图1 的分配曲线上看, 二者也是不能重合的, 而有的点差距较大。
2. 2 分配曲线的经验模型
由于分配曲线呈S型, 所以可选择合适的S型函数, 用以拟合实测分配率数据, 建立分配曲线的经验模型。常见的S型函数有10 多种, 笔者采用效果较好的反正切、双曲正切和复合双曲正切模型来拟合并绘制同一组数据的分配曲线。
( 1) 反正切函数模型:
( 2) 双曲正切函数模型:
( 3) 复合双曲正切函数模型:
式中: y表示分配率; x表示物料密度; b1~b5是模型参数。
它们的拟合过程为: 求出不同模型函数的计算值与实测值之间的偏差平方和, 应用最小二乘法原理, 以模型函数的参数为目标值, 用规划求解工具来确定计算值与实测值之间的偏差平方和最小时所对应的参数, 经过多次试算, 选取一组比较合适的参数, 作为所选模型的参数。
接下来进行密度细化, 运用已经确定的函数模型所建立起来的平均密度与分配率间的函数关系, 以平均密度为自变量计算相应的分配率数据。用反正切、双曲正切和复合双曲正切模型计算出的分配率数据如表2 所示。用相应数据在EXCEL环境下绘制得到的分配曲线如图2 所示。
由表2 和图2 均可看出: 三种模型的拟合效果都比较好, 但以复合双曲正切模型为最佳。
对于分配曲线的经验模型应注意以下几点:
(1) 模型的拟合精度。用拟合计算误差σ来表示, 且 (其中:表示分配率的计算值;yi表示分配率的实测值) , 具体应用时应该选用拟合误差较小的模型。
( 2) 模型参数。如果参数太少, 对应曲线的塑性差, 精度低; 如果参数太多, 曲线变僵硬, 对生产预测也不利。选煤厂用于拟合分配曲线的数据最常见的是6 个密度级, 所以模型参数不得多于6。
( 3) 分配曲线的可能偏差。可能偏差随密度变化而变化, 即当分选密度改变时, 分配曲线的形状随分选密度而变。因此, 分配曲线模型用于产品预测时, 模型参数应能够随密度的变化而变化。模型参数随密度变化的关系较为复杂, 有些模型参数可以推导出来, 而有些模型参数则求不出来。
2. 3 分配曲线经验公式的平移
对于分配曲线经验公式的平移常见有两种情况, 其一是在I值不变的情况下进行平移, 其二是在Ep值不变的情况下进行平移。平移将平均密度作为中间变量的情况如下:
当Ep值不变时有:
当I值不变时有:
式中: δ1表示变换前的平均密度, δ2表示变换后的平均密度, δp1表示变换前的实际分选密度, δp2表示变换后的实际分选密度。模型平移的一般过程为: 对实际分配率和计算分配率的偏差平方和进行规划求解, 使得偏差平方和最小时对应的模型参数为最优参数, 根据平移前后参数间的关系确定平移后的模型参数, 模型参数确定之后即可根据公式计算平移后的分配率值。
下面就常见分配曲线模型的平移做简单介绍:
( 1) 反正切模型的平移 ( I值不变时) 。反正切模型:
式中: b1、b2、b3、b4为平移前模型参数;
b'1、b'2、b'3、b'4为平移后模型参数;
c1, c2为中间变量, , c2=b1 (b3-1) ;
dp表示平移后模型对应的分选密度;
以b'1、b'2、b'3、b'4分别取代b1、b2、b3、b4即为平移后模型。
( 2) 双曲正切模型的平移 ( I值不变时) 。双曲正切模型:
式中: b1、b2、b3、b4为平移前模型参数;
b'1、b'2、b'3、b'4为平移后模型参数;
c1, c2为中间变量, , c2=b3 (b4-1) ;
dp表示平移后模型对应的分选密度;
以b'1、b'2、b'3、b'4分别取代b1、b2、b3、b4即为平移后模型。
关于反正切和双曲正切函数模型在Ep值不变情况下的平移, 关键是要确定平移前后模型参数间的关系, 在此就不再做介绍。
( 3) 复合双曲正切模型的平移。
复合双曲正切模型:
式中: b1、b2、b3、b4、b5为平移前模型参数;
b'1、b'2、b'3、b'4、b'5为平移后模型参数;
dp1、dp2分别为平移前、后的分选密度;
分配曲线的经验模型中以复合双曲正切函数模型的拟合效果最好。当I值不变时, 平移后的模型参数为:
当Ep值不变时, 平移后的模型参数为:
以b'1、b'2、b'3、b'4、b'5分别取代b1、b2、b3、b4、b5即为平移后模型。
( 4) 复合双曲正切模型的坐标平移法
当Ep值不变时, 平移前后平均密度间的关系为: δ2= δ1- δp2+ δp1。
当I值不变时, 平移前后平均密度间的关系为:
式中: δ1———变换前的平均密度;
δ2———变换后的平均密度;
δp1———变换前的实际分选密度;
δp2———所要平移的实际分选密度。
利用坐标平移, 可以得到任意分选密度时的分配曲线。
2. 4 分配曲线的插值模型
分配曲线的插值模型没有统一的数学表达式, 它以试验所得的分配率数据为插值点, 用插值法求出所需的分配率。插值模型在分选密度变化时, 曲线无法随之变化。插值模型可用于绘制分配曲线。在以预测为目的时, 如果分选密度与实际过程的分选密度相差较大, 插值模型是不适用的。
3 结束语
对分配曲线数学模型做了简要介绍。将比较常用的反正切、双曲正切和复合双曲正切三个经验模型在EXCEL环境下进行了绘图展示, 介绍了如何确定经验模型的拟合精度和参数的简单方法。推导了在Ep值和I值不变时分配曲线平移前后经验模型参数的变换公式。相信分配曲线数学模型的研究将不断深入, 应用将日益广泛。
参考文献
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数学模型技术 篇8
一、对数学模型进行“意义赋予”
数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表、图形, 因而它与符号化方法有着很多相似的特点。数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系、图表、程序等都是数学模型。它所表现出来的严谨、抽象、条理、技艺等特性, 与小学生心理发展特点有着一定的矛盾, 建模与用模难度都远大于其他高学段的学生。
如, 教学“圆柱表面积”时, 引导学生操作实践, 将圆柱表面剪切、展开, 体验圆柱侧面展开是一个长与底面周长相等、宽与圆柱高相等的长方形, 构建“圆柱表面积=侧面积+两个底面积”的数学模型。由此联想到做一个蛋糕盒, 需要准备两个圆形和一个长方形硬纸, 而且长方形的长与圆的周长相等。经过这样的训练, 学生对以下问题的解决就能得心应手:
1.李师傅要做一个无盖的圆柱形铁皮水桶, 高6分米, 底面半径4分米, 做这个水桶至少要用铁皮多少平方分米?
2.大厅里有十根圆柱形柱子, 它的底面直径是10分米, 高是6米, 在这些柱子的表面涂漆, 1千克能涂2平方米, 需要油漆多少千克?
3.做一个长3米, 底面直径4分米的圆柱形铁皮烟囱, 需要多少铁皮?
可见, 问题解决不只是靠一两个例题的讲解就能提高学生对数学模型的认识、用模的能力。这种对数学模型进行“意义赋予”, 能大大拉近数学模型与学生的心理距离, 使学生感受到数学模型对问题解决的重要作用。久而久之, 学生会在生活中有意无意地利用数学自主构建数学模型, 解决问题时主动使用数学模型, 从而达到提高问题解决的能力。
二、抓住问题的本质一点突破
数学问题在其陈述过程中, 一两个字的变化都会使解题方法与答案不相同。而教师只要紧扣问题本质, 让学生用好数学模型, 体会有时只要用一种数学模型就能解决很多种变化。如, 百分数问题:
1.某班男生20人, 女生人数是男生的80%。女生有多少人?
2.某班女生16人, 是男生的80%。男生有多少人?
3.某班男生20人, 女生人数比男生少20%。女生有多少人?
4.某班女生16人, 比男生少20%。男生有多少人?
5.某班女生比男生少20%, 正好少4人。男生有多少人?
6.小明看一本200页的书, 第一天看了这本书的10%, 第二天看了这本书的12%。第二天比第一天多看了多少页?
7.小明看一本书, 第一天看了这本书的10%, 第二天看了这本书的12%。两天一共看了44页。这本书有多少页?
分数乘除法问题教学是整个小学阶段问题教学的重难点之一, 由于数量关系复杂多变, 学生对不同题型需要建立多种“数学模型”。然而教学“分数乘法意义”时有这样一句话:“求一个数的几分之几是多少, 用乘法计算。”通过这句话, 就可以建立数学模型:单位“1”的量×分率=分率的对应量。当单位“1”的量已知时, 就用乘法, 直接算出对应量。如果单位“1”未知时, 就把它设为“x”, 用含字母的式子表示它的对应量, 从而用方程解决问题。
第1、2题:“女生人数是男生的80%”, 把男生看作单位“1”。第1题中男生是20人, 用20×80%求出女生人数。第2题中男生未知设为x, 用80%x表示女生人数, 从而列出方程:80%x=16。
第3~5题:“女生人数比男生少20%”, 把男生看作单位“1”, 男生人数×20%=女生比男生少的人数。所以第3~5题中女生比男生少的人数可分别用20×20%、20%x表示。第5题中女生比男生正好少4人, 列式为20%x=4。而第3、4题则需在此基础上借助男女生差数关系列式。第3题:20-20×20%;第4题:x-20%x=16。
第6、7题中根据“第一天看了这本书的10%, 第二天看了这本书的12%”和单位“1”的已知情况分别用“200×10%、10%x”表示第一天看书的页数、用“200×12%、12%x”表示第二天看书的页数, 再根据第一天看书的页数与第二天看书的页数的差数关系或和数关系列式。第6题:200×12%-200×10%;第7题:12%x+10%x=44。
三、构建数量间稳定的三角关系
新教材中不再独立设置应用题单元, 较少有单独的问题例题教学, 而是与数学学习的三维目标相结合, 分学段提出具体要求, 突出了算法的多样性, 但忽视了对数量关系的分析, 特别是常用数量关系的教学。事实上, 建立好诸如“速度×时间=路程”的数量关系, 能大大提高解决实际问题的能力与解题的有效性。数量间三角关系则更是灵活运用数量关系解决复杂问题的基础, 比如速度、时间和路程有以下关系:
根据这个数量关系, 可以衍推到“工作总量与工作效率、工作时间”、“总价与数量、单价”等相似数量之间的三角关系。
例题:一种油菜籽42千克能榨油14千克。这种菜籽400千克能榨油多少千克?要榨400千克油需要多少千克菜籽?
如图, 根据第一句话中的量写出三角形顶端的数量关系时, 另外两种数量关系也就对应而出。第一问可以根据三角形左下方的数量关系列式为400× (14÷42) , 第二问可以根据三角形右下方的数量关系列式为400÷ (14÷42) 。
四、通过数学模型的演变, 构建知识技能体系
新教材取消应用题单元教学, 取消了人为分类, 目的是为了让学生更多地关注知识形成的方法与过程。教师就要引导学生关注数量关系之间的演变, 找到模型与模型之间的联系, 从而帮助学生更好地建构数学知识体系, 牢记数学模型, 用好数学模型。
如:1.小明每分钟走60米, 5分钟能走多少米?
2.小明每分钟走60米, 小亮每分钟走72米。两人同时从学校返回家中, 都走了20分钟。这时两人一共走了多少米?
3.小明每分钟走60米, 小亮每分钟走72米。两人同时从学校返回家中, 都走了20分钟。这时小明比小亮少走多少米?
4.甲乙两个工程队从2160米山体的两端向中间开凿一条隧道。甲工程队每月开凿150米, 乙工程队每月凿120米。两队需要多长时间可胜利会师?
5.甲乙两人同时从相距2000米的两地相向而行。甲每分钟走60米, 乙每分钟走40米。甲带了一只狗和他同时出发, 狗以每分钟100米的速度向乙奔去, 遇到乙即回头向甲奔去;遇到甲又回头向乙奔去, 直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗一共奔了多少米?
纵观这5道题, 我们会发现前3道题具有以下关系:
数量关系大同小异, 学生容易理解与记忆。而第4题是工作效率问题, 但解题方法与相遇问题有相似之处, 其数量关系可以说是一样的, 只要由“速度和×时间=总路程”衍推到“工作效率和×时间=工作总量”上, 再通过这三量之间的三角关系得到“工作总量÷工作效率和=时间”的数量关系, 从而顺利解题。第5题看似复杂, 其实引导学生思考“已知狗的速度要求狗的路程所用数量关系中还少什么? (时间) ”。狗行的时间与甲乙两人行的时间有什么关系呢?数量关系虽然复杂, 但是仍然建立在第1道简单的数量关系之上。
五、采用适当的数学思想、策略解决问题
新课标的一个重要目标就是发展学生的创新精神和解决问题的实践能力。在面对新问题时, 学生需要根据一定的策略 (一种途径) , 在错综复杂的情况中, 利用所学的知识对具体问题作有条理的分析和预测, 打开问题与已建数学模型的通道, 从而很好地应用数学模型解决问题。因此, 采用适当的数学思想、策略就显得尤为重要。这时, 数学思想和策略是解决问题的行动指南, 应用的好坏直接影响解决问题的过程。比如转化、替换、画图、列表等。
例1一个长方形操场, 如果长或宽增加20米, 面积会增加1200平方米或3000平方米。这个操场原来面积多少平方米?已学“数学模型”使学生知道了长方形长、宽、面积三者之间关系, 但如何快速建立数据与所求问题的联系呢?通过下图可以发现, 3000÷20可以求出原来长方形操场的长, 1200÷20可以求出原来操场的宽。可见, 画图策略是快速找到问题与数学模型通道的途径之一。
例2全班有42人去公园划船, 一共租用了10只船都正好坐满。每只大船坐5人, 每只小船坐3人。租用的大船和小船各多少只?假设法需要通过假设、验证、调整、再验证的过程, 这种高级的解决问题的策略在生活中运用很广泛。但对于小学生来说, 此题运用了很多数量关系, 思维容易混乱, 不能顺利进行, 此时, 可以借助图形或列表来解决。
图形法:
从图中可以看出, 10只大船可坐50人, 比42多了8人。每只船去掉2人就变成小船, 一共需要调整4只船。这时总人数正好是42人。
列表法:
数学模型技术 篇9
一、理念的充分认识和转变
在对数学模型思想进行有效应用之前, 教师首先应对数学模型思想的基本内容及重要作用有正确的认识。数学模型思想只是一种教学指导,并不是纯粹的教学模式。对模型思想进行有效应用,指的是在具体教学中,利用这一思想作为引导,将模型思维应用到具体教学过程中,而非单纯地从公式入手,让学生进行背诵或者死板地照搬计算。
例如,教学“相遇问题”时,笔者从学生的生活实际出发,创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境,且采用动画形式呈现。学生在现实而有趣的、富有挑战性的问题情境的吸引下, 主动发现问题、提出问题,进而提炼并生成完整的数学问题,顺利完成解决问题的第一个转化。同时也重视了“解决问题”, 放手让学生自主整理信息———理清数量关系;借助直观图形———探明解题思路;明确解题方法,独立列式解答———自主建构应用问题的数学模型,帮助学生顺利完成解决问题。这样,由于扎实地渗透了建模思想,学生有效地经历了“解决问题”的全过程,从而提高了学生解决问题的能力和推理能力。
二、鼓励学生主动建构数学模型
数学家华罗庚指出: 对书本中的某些原理、定律、公式, 我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理,而且还应该设想一下人家是怎样想出来的,怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程,数学的思想方法才能沉积、凝聚,从而使知识具有更大的智慧价值。而动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,因此,在教学时,教师要善于引导学生自主探索、合作交流,让他们经历数学知识发生、发展的过程,在此过程中对学习材料、学习发现主动归纳、总结,力求建构出人人都能理解的数学模型。
例如,在教学“三角形面积”时, 提供给学生的学具除了两个完全相同的三角形之外, 还应该补充一些不完全一样的三角形,锐角、直角、钝角三角形都应该提供。在动手操作的过程中,学生会遇到很多冲突和问题,他们并不能够很轻易地解决,随之会进行激烈的讨论以及充分的思考、反复多次的操作,之后终于发现:只要是两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形 ,从而发现规律,得出三角形的面积计算公式。
三、联系实际,应用数学模型
除了充分认识模型教学思想的主要内容 和精髓之外,在小学数学教学中,要想充分发挥模型思想的积极作用,教师还应合理采用理论联系实际的有效策略,通过实际问题引导学生建立相应的数学模型,并应用其解决实际生活中的一些问题。
例如,就“四则运算”这一教学内容来说,建议教师从生活中一些常用到的基本运算引入, 然后引出四则运算的实际运算步骤, 加深学生对公式的理解和记忆。除此之外,教师还可以结合公式的内容,用实物作为计算载体, 引导学生一起进行实际生活中的情景演练。长此以往,不仅可以提高学生的建模能力, 还可以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
数学模型技术 篇10
模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图, 如图所示:
简单的混煤评价的指标体系大致上可以从混煤煤质指标、混煤价格指标以及为了减少煤场热值损失而需考虑的堆放时间指标三个方面考虑。
2 确定各评价指标的约束条件
根据锅炉的设计指标以及煤场管理等其他管理要求确定评价指标的约束条件。
在混煤方案中应用穷举法进行配煤, 可能有些配煤方案的配后混煤煤质不能满足锅炉设计的基本要求, 这些方案就不需要在进行评价了, 可以直接跳过。所以根据电厂锅炉设计煤质指标, 指定各煤质指标的符合区间, 以及指定对方时间过期优先可以减少很多无谓运算。
3 确定评价指标体系的权重
确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。混煤方案综合评价模型采用层次分析法确定其权重, 在该方法中权重选用了专家调查法, 具有一定的主观性, 选用电厂运行部锅炉专工来确定配煤方案中各评价指标的权重。作为对本厂锅炉最熟悉的人员之一, 锅炉专工确定的权重能很好的符合某阶段电厂配煤需考虑指标的优先次序, 更加符合锅炉燃煤发电以及考核的实际情况。
配煤方案评价模型是一个单层次评价体系模型, 在此设各指标的权重都用百分数表示, 且第一级指标各指标的权重为Wi, i=1, 2, …, n, n 为指标个数。指标权重向量为:
W= (W1, …, W i, …W n) 。
4 多目标模糊决策法确定方案最优排序
模糊综合评价法的最后一步是采用多目标模糊决策法确定方案最优排序, 一个方案的优劣需要用多个指标来反映, 这就是多目标决策问题.它是寻求在一定约束条件下使多个目标都达到最满意值的方案, 是从有限个待选方案集中经过综合权衡各个目标 (或属性) 后, 对方案集进行排序并选出最满意方案.由于各个目标间的不可公度性与冲突性, 一般要把各目标的特征量转化为相对隶属度 (或效用函数) , 然后赋予各个目标相应的权重, 再作综合评价, 从而确定最满意方案.其数学方法如下:
设决策论域U是评价方案的集合
U={方案1, 方案2, …方案m, }={u1, u2, …, um}。
对所研究问题起重要影响作用的常数目标函数或者因素指标的集合为:
V={f1, f2, …, fn}
因此, 各方案的因素指标向量为:
uj= (f1j, f2j, …, fnj) , j=1, 2, …, m
我们把j个方案的第i个因素指标值记为fij, 则得到m个方案的n个因素指标值矩阵F:
undefined
当各因素指标值fij定量指标时, 令
undefined
式中:undefined;
rij为第i项因素着眼于第j个方案的评价值。
负指标是指取值越小越好;正指标是指取值越大越好。
m个方案的n个评定值组成一个评价模糊矩阵
undefined
由专家评定出各影响因素或者常值目标函数的权系数ai, 即给出因素重要程度模糊子集
A= (a1, a2, …, an)
采用加权平均模型M (o, +) , 对各方案进行评价
undefined
其中undefined
根据最大隶属原则, 与bj (j=1, 2, …, m) 中的最大者相对应的方案为最优方案, 根据其从大到小情况, 就可以得到方案的排序情况。
5 实例应用情况
配煤方案的模糊综合评价模型已应用在沙角C电厂数字化煤场管理系统中, 为运行人员提供配煤参考, 系统内暂时还未考虑三种以上配煤的情况, 只考虑了两种煤参加配煤的情况。
(1) 确定参与混煤煤种。
沙角C电厂拥有3台660MW机组, 由于各种原因不能保证完全燃用设计煤种, 而是长期燃用混煤。以下为燃用的几种典型用煤, 煤质情况分别如下:
参与配煤煤种直接根据电厂煤场现存煤情况来确定, 需要定义好最少参与配煤煤种存煤量, 防止存煤量很少情况下, 配煤计算无实际意义。
(2) 设置评价指标约束条件。
根据电厂的实际工作流程, 配煤暂不考虑煤价的问题, 于是评价指标设定为热值、挥发份、灰熔点软化温度、灰分、水分、含硫量、存放时间。
(3) 设定各指标在模型计算中的权重。
权重因子分为5级:非常重要、重要、一般、稍有影响、可以忽略, 分别对应1、0.8、0.6、0.4和0.2等值
通过设定不同的权重可分别针对不同的因子优先配煤, 得到不同的配煤优先排序结果, 在本例中, 设置所有参数的权重因子都为重要。
(4) 配煤计算得到混煤最优配比推荐排序结果。
沙角C电厂采用了5台磨煤机, 每台磨煤机磨制同一种煤, 然后送入炉内混合燃烧的方式进行配煤, 因此两种煤配煤的整数比分别为1:1、1:2、1:3、1:4和2:3这几种, 如下图, 通过运用多目标模糊决策算法, 可得到如表2所示14种可用煤种配比的排序列表:
6 结语
通过沙角C电厂应用的情况来看, 该模型使用的关键在于选取评价指标和指定指标权重, 该数学模型的可扩展性可以使评价指标体系进一步加入环保指标、价格指标以及其他相关的所有指标来对配煤方案进行综合评价, 同时利用不同的权重设置, 可根据所关心的问题不同而有侧重的得到不同的配比推荐排序。该建模方法非常适合构造电厂动力配煤这种需要考虑多方面因素影响的复杂评价模型。
摘要：介绍了应用模糊数学进行多目标综合决策的方法来构造电厂动力煤配煤掺烧评价数学模型的步骤和方法, 阐述了选取评价指标及其权重的方法, 并以该模型在沙角C电厂数字化煤场管理系统中的实施情况为实例, 说明了该方法在评价燃煤电站锅炉可能使用的混煤方案中的应用。
关键词：模糊综合评价法,混煤方案,模糊数学,多目标决策
参考文献
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