数学模型的构造

2024-06-22

数学模型的构造（共12篇）

数学模型的构造篇1

解决某些数学问题时，脑子里会构想出某种生动直观的模型形象。若对其进行分析、研究，则能帮助我们处理复杂问题。

问题转换的操作程序大致为：

问题的核心是：根据条件、结论的性质和特征，将题设和结论联系起来，构造一个恰当的数学模型，通过对模型的研究，以达到简洁解题的目的。下面举例说明。

一、构造函数模型

有些代数问题给出一个或几个关系式，求另一个式子满足一定条件，这时可把关系式中的字母与某个函数的对应方程的根联系起来。

例1.三个整数a, b, c满足关系a+b+c=0，求证：2 (a4+b4+c4)是一个完全平方数。

分析：由条件a+b+c=0，猜测：若a, b, c为某一个三次函数对应方程的三个根，由韦达定理知，二次项系数为0，然后研究根与2 (a4+b4+c4)的关系。

证明：设a, b, c是函数f (x)=x3+px2+qx+r的三个根，由韦达定理知p=-(a+b+c)=0, q=ab+bc+ac，从而f (x)=x3+qx+r

上述三式分别乘以2a, 2b, 2c，相加

二、构造三角模型

例2.任给7个实数，求证：其中至少有两个数x、y满足

分析：特征式颇似三角公式

三、构造组合模型

例3.求证：(Cn1) 2+2 (Cn2) 2+…+n (Cnn) 2=nCn-12n-1。

证明：构造组合模型如下：从n个男同学及n个女同学中，选出n个同学组成一个代表团，其中男同学至少要一名，并在其中选择一名男同学为团长，问有多少种不同的选法?

按选出的男同学人数k分类，男同学选法有Cnk种，女同学选法有Cnn-k=Cnk种，团长的选法有k种，故完成这一类的选法有kCnkCnn-k=k (Cnk) 2种，令k=1, 2，…，n，则符合条件的选法总数是：

另一种解法：从n个男同学中选出团长有n种方法，然后在剩下的2n-1个同学中选出n-1个团员有Cn-12n-1种，由乘法原理共有nCn-12n-1种选法，比较上述两种结果得：(Cn1) 2+2 (Cn2) 2+…+n (Cnn) 22n-1=nCn-12n-1。

四、构造复数模型

分析：此题乘方的次数非常高，引入“共轭复数”模型，会出人意料得简单。

将以上三式相加，再利用1+ω+ω2=0，得3A=3100，则A=399。

五、构造向量模型

例5.一个人要带一只狗、一只鸡和一棵白菜过河，而船除人外，每次只能带一样东西，问该如何运它们，才能使鸡吃不掉白菜，而狗吃不掉鸡。

解：如果把人、鸡、狗和白菜依次用一个四维向量表示，当一物在此岸，记为1，否则记为0。如(1, 0, 1, 0)表示人和鸡都在此岸。按题意(1, 0, 1, 0)是一个允许状态，而(0, 0, 1, 1)是一个不允许状态，因为鸡可以吃白菜。把所有允许状态记为集合S，共有10个元素，分别是

可以把每次运载情况也用一个四维向量表示。如用(1, 1, 0, 0)表示人和狗在船上。这样的允许的运载状态记为集合D，有元素4个

规定S和D中的元素相加时按二进制法则进行。一次渡河就是一个循序状态向量与一个允许运载向量相加。渡河问题就转化为：求dk∈D，使sk∈S按照运算规律，从状态(1, 1, 1, 1)经过多少次才能变成(0, 0, 0, 0)。

一个结果若是可取的记T。否则记F，虽然可取但已重复就记F。问题用穷举法按(图1)方式运算。通过运算知，经过7次运载可安全地完成。过程可以描述为：去(人，鸡)，回(人);去(人，狗(或菜))，回(人，鸡);去(人，菜(或狗))，回(人);去(人，鸡)。

参考文献

[1]数理化学习[J].哈尔滨师范大学.

[2]周沛耕, 王中峰.高中数学奥林匹克竞赛[M].山西教育出版社, 2004.

数学模型的构造篇2

0引言

电子商务突破了传统商务交易中对于时间和空间的限制，极大地丰富人们的商务交流活动的范围，为人们的日常商务活动提供了新的模式。伴随着电子商务为人们带来便利的同时，一些欺诈纠纷现象也应引起人们的警觉。电子商务环境中，和传统交易相比，我们很难简单地通过网络好友就可得到交易对象的信用客观评价。现在大多数电子商务网站的交易评价模型是基于声誉的评价模型，只是简单的对之前所有交易完成后给出的信任评价值进行加权处理，并没有考虑评价用户的信用度等因素，难以消除商家利用小额交易提升信用额度等问题。如何通过历史交易数据给出交易对象的合理评价信息对于电子商务交易模式的完善有着重要和深远的意义[1-3]。

1研究现状

近些年来电子商务评价模型的研究受到了研究学者的广泛的关注。陈建刚等人提出了基于模糊数学的信任评价模型，通过建立基于模糊网络的评价信任关系，在一定程度上解决了信任评价中信任欺诈等问题，但是并没有考虑时间复杂度和空间复杂度将随着电子商务网络中交易实体的增加而成指数级增加的特点[5]。王家昉等人在对于Agent系统中对于基于认知的信任框架进行了研究，通过对认知推理和模糊推理的研究，给出一种动态的信用评价规则，但并没有对模糊因子的进行深入讨论，最终评价的可靠性有待提高[6]。Clifoord等学者把信用之间的关系刻画成太阳系行星之间的关系，提出一种SolarTrustModel信用模型，在处理大规模复杂的信任网络关系时却又显得力不从心[7]。本文借鉴了传统商务交易特点，构建了交易实体之间的网络模型，考虑网络实体与实体之间的关系，设计一套相对合理的评价模型。

2评价模型的信任关系

传统商务交易中，买家对卖家的信用评价一般是基于买家的社会关系网络中的朋友、亲戚、同事之间的推荐以及口碑相传的方式获得的，并且给出的信用评价是买家在以往所有相似店铺交易过中的一个相对评价。而在虚拟的电子商务系统中，人们在获得商家的信用评价中忽略了传统商务交易中的社会关系网对于评价机制的积极作用，这里我们尝试构建类似传统商务交易中的评价机制的评价模型[8]。现实生活中，人与人的信息交互可以看作是实体与实体之间的信息交互，当把实体作为网络环境中的节点时，就是节点与节点之间的信息交互。因此构建基于传统交易模式的网络框架，对评价机制进行分析。对于网络框架中的任意节点，记作m，所有网络节点的集合，记作M，m∈M。在某次随机的电子商务交易中，网络框架下有发起信任请求的源节点n，目标节点c，源节点的在网络框架下所有相关节点集合W，称为源节点的朋友节点集合。目标节点的相似类节点集合P。陌生及不相关节点集合R。定义1：朋友节点的定义[8]。朋友节点分为直接朋友节点和间接朋友节点。直接朋友节点是节点i在网络中已经标识的节点j，记为i→j。所有具有朋友关系的集合记作F={i，j│i，j∈W}。间接朋友节点是节点i的朋友节点j的朋友节点k。如果i→j，j→k，则i～k。具有间接朋友关系的集合记作G={i，j，k│i，j，k∈W}。朋友节点具有传递性，所以对于源节点i在网络框架下任意可以连通的两个节点都是间接朋友节点。间接朋友的节点关系随着之间存在的网络节点数的增加而松散。定义2：相似类节点的定义。相似类节点是与待评价的目标节点c的属性相似的节点。属性相似是指它们在交易活动中可以提供与源节点相同的需求目标。定义3：陌生节点和不相关节点的定义。陌生节点与不相关节点是指在交易活动中不影响或者影响价值可以忽略的节点。是在集合M中，除了源节点，目标节点，朋友节点和相似类节点之外的所有节点。源节点n向目标节点c发出信用请求，网络框架生成源节点的朋友节点集合W和目标节点的相似类节点集合P。抽取朋友节点集合W的各个节点对目标节点c和相似类节点集合P中的各个节点的历史评价数据，经过计算后反馈目标节点对源节点的相对评价结果。

3评价模型计算

这里遇到的第一个挑战，怎么在繁杂而大量的朋友节点中选取有用的节点数据。第一个原则是所有选取的节点必须与目标节点或目标节点的相似类节点有过历史交易的评价数据。所有朋友节点中的`直接朋友节点是选取的首要目标节点，因为直接朋友节点的社会属性与源节点的社会属性是相似与相近的，可以为源节点提供相当有价值的信任评价的参考数据[7]。对于间接朋友节点，本文借鉴了社会学的一般人际关系模型，给定几点特定关键要素作为抽取数据的条件。例如，年龄、地域、学历等。这里需要考虑信任的传递性问题。朋友节点之间的信任程度是随着中间朋友节点数的增加而呈现弱化趋势[9]。假设节点A对于目标节点c的信任程度为0.8，节点A与源节点n之间存在着3个朋友节点，距离为4；节点B对于目标节点擦的信任程度为0.8，节点B与源节点n为直接朋友，距离为1。并不能认为节点A和节点B对于源节点的信任评价影响等同。规定朋友节点与源节点之间距离大于6的朋友节点是陌生节点。

4简单应用举例

通过对表中数据的获得，得到相对源节点的10组朋友节点的5维数据。运用公式（2），计算每个节点相对源节点的概率距离。得到与源节点最近的5个节点分别是w10，w1，w6，w7，w2。通过数据获取得到目标节点的4个相似类节点并生成评价矩阵U。运用公式（3），得到相对评价比例系数T值为0.974。所以相对于源节点来说，目标节点为一般信任。

5总结

例谈构造余弦定理模型解题篇3

关键词:构造法余弦定理创新

构造法是一种重要的数学方法,它要求我们对问题通过敏锐的观察,深刻的理解,丰富的联想,再加上我们独特的构思,创造性地将原来不易解决的问题或者不容易抓住实质的问题,转化为容易解决或者更能反映问题本质特征的另一种形式。构造法解题是体现一个人创造力较高一种表现形式,它需要我们对数学知识进行长期的积累,沉淀,是我们在教学中需要重视的一种方法。

余弦定理是解三角形的一种重要工具,它的基本形式是:在△ABC中,设a,b,c是∠A,∠B,∠C所对的边,则有a2=b2+c2-2bccos∠A.本文通过构造余弦定理模型,利用解三角形的知识来解决一些其他问题.

证明:由题意,设OA=a,OB=b,OC=c,构造如图所示的三棱锥O-ABC,其中∠AOB=∠BOC=∠COA=60°,则有AB=;例3.求出所有的实数t,使得存在正实数x,y,z满足方程组3x2+3xz+z2=13y2+3yz+z2=4z2-zy+y2=t.(2001年保加利亚数学奥林匹克竞赛题)

解:原方程组可以变形为

∠ACB<∠AOB=150°.

∠ABC<∠AOC=150°.

由以上各例可以看出,我们如果能根据题目的结构,构造适当的几何模型,将代数问题转化为几何问题,不仅解题思路清楚,而且非常简单,解题容易操作,在教学中会开拓学生的思路,培养他们的创新意识,因此值得我们在以后的教学中大力倡导.

参考文献:

李泽衣.例说用构造模型法解三角题.中学数学研究.2003,(5)

晁攸典.构造法在数学解题中的应用.天中学刊.2004.2

叶军.数学奥林匹克典型试题剖析.湖南师范大学出版社.2002.7

例谈构造数学模型解题篇4

一、构造几何模型, 根据图形的“直觉”解函数的最值问题

例1若4x2+y2-8=0, 求函数的最小值.

分析:方程4x2+y2-8=0即:它是以原点为中心的一个椭圆.则是椭圆上动点 (x, y) 到两定点A (0, 3) , B (2, -1) 的距离之和, 作椭圆和过A、B两点的直线, 不难发现, 直线AB和椭圆相交, 设交点为M、N, 从图中可看出:

二、构造三角形, 利用面积公式证明不等式

例2设0

证明:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1

分析:因为 (x+1-y) + (y+1-z) + (z+1-x) =3

可作单位正ΔABC, 取BP=x, CR=y, AQ=z,

则AP=1-x, BR=1-y, CQ=1-z,

代入, 化简得x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1

三、构造函数, 利用函数图象, 证明不等式

例3若ΔABC的三个内角是x1, x2, x3, 求证

数学模型的构造篇5

证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．

例1证明Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1．

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm－1种取法．一类为必取a1有Cn－1m－1种取法．由加法原理可知原式成立．

例2证明Cnm・Cpn＝Cpm・Cn－pm－p．

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n－p人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m－p人中再选出n－p人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的．

例3证明Ckm＋n＝C0mCkn＋C1mCk－1n＋C2mCk－2n＋…＋CkmC0n，其中当p＞q时Cpq＝0．

证明：原式左边为m＋n个元素中选k个元素的组合数．今将这m＋n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i＝0，1，2，…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk－in．于是，在m＋n个元素中取k个元素的取法数又可写成?ki＝0CimCk－in．故原式成立．

例4证明

Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1．

证明：原式右边为m＋n＋1个元素中取n＋1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，3，…，m＋n，m＋n＋1，共m＋n＋1个数中取n＋1个数．将取出的n＋1个数a1，a2…，an＋1由小到大排列，即设a1＜a2＜an＋1，按取出的最大数an＋1＝k＋1分类，显然k＝n，n＋1，…，n＋m．当k＝n＋i时（i＝0，1，2，…，m），这一类取法数为Cnn＋i，所以取法总数又等于?mi＝0Cnn＋i．原式成立．

对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易．

例5证明C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1．

分析：注意，原式左端等价于C11C1n＋C12C2n＋…＋C1nCnn，这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个，再在这i个元素里选一个的组合数，可设一个班有n个同学，选出若干人（至少1人）组成一个代表团，并指定一人为团长．把这种选法按取到的人数i分类（i＝1，2，…，n），则选法总数即为原式左端．今换一种选法，先选团长，有n种选法，再决定剩下的n－1人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有2n－1种．即选法总数为n2n－1种．显然两种选法是一致的．

这里应注意2n的意义，并能用组合意义证明?ni＝0Cin＝2n．

例6证明

C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝n（n＋1）2n－2．

分析：本题左边与例5左边类似，不同的是例5左边为?ni＝1iCin，而本题为?ni＝1i2Cin．只要在例5构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边．对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况．若团长和干事是同一个人，则有n2n－1种选法；若团长和干事不是同一个人，则有n（n－1）2n－1种选法．所以，共有n2n－1＋n（n－1）2n－2＝n（n＋1）2n－2种选法．

例7证明

（C1n）2＋2（C2n）2＋3（C3n）2＋…＋n（Cnn）2＝nCn－12n－1．

分析：注意到（Cin）2＝CinCn－in，可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中选n个同学（至少有1名男生）组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数i（i＝1，2，…，n）分类，这一类有iCinCn－in＝i（Cin）2种选法，总的选法有?ni＝1i（Cin）2种．原式右边的`组合意义是明显的，即直接在n个男生中选一名团长，有n种选法，再从剩下的2n－1人中选出n－1人为团员，共有nCn－12n－1种选法．

掌握了用组合意义证明组合恒等式这种方法后，还可通过构造一个组合问题的模型，编拟组合恒等式习题．如在例5中除了要选一名团长外，还要选一名干事和一名联络员（可以兼职）便可得?ni＝1i3Cin＝n2（n＋3）・2n－3．具体证法可参照例5与例6．又如，在例7中除了在2n个同学中选出n个团员及指定一名男生为团长外，还要有一名男生担任联络员（可以兼职），则可得组合恒等式：?ni＝1i2（Cin）2＝nCn－12n－1＋n（n－1）Cn－22n－2．若在例7中要求，留下的女生中再选一名负责人，则有组合恒等式?ni＝1i2（Cin）2＝n2Cn－12n－2．具体证明读者可自己完成．实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程．

若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会．

谈谈数学解题中的构造法篇6

在科学技术日新月异的今天，社会所需要的人才是创造性人才，而不在是模仿型人才，因此在现代化的教学过程中应加强学生的创新思维、创造能力的培养。而在数学教学过程中运用构造法解题不仅可以帮助开拓学生求异思维能力，打破常规，创新情境，另辟蹊径，而且巧妙新颖，简捷独到，神形兼备。因此运用构造法解题是一项重要的创造性思维活动。那么运用构造法解题为什么能够开发学生的创造性思维呢？如何才能用好构造法解题呢？这就是本论文所要解决的问题。

例1、设⊿ABC的内切圆与外接圆半径分别为r与R，它的最长的高为h，那么关系式r+R≤h 是否恒成立？

有图形可知，出现r+R>h的情况是钝角三角形。为了构造反例的方便，不妨考虑钝角等腰三角形。设腰长为a，底角为，则h=asin

故对于顶角为120°的等腰三角形有r+R≤h。

构造法的解题步骤及解法

通过上面的例子我们对构造法有了一些基本的了解，用构造法解题的关键是对题设条件进行逻辑组合，一般化，特殊化，巧妙地对概念进行分析与综合，构造出一种思维的创造物或想象物，构造法解题过程的模式可用下列框图表示：

过例子从这几个方面阐述构造法的特点极其用法。

一、构造反例

所谓构造反例就是为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例。这个过程叫构造反例。选择特殊值，极端情形，常常是构造反例的关键。我们通过下面的例子来看看是如何来构造反例的。

例2、命题“若x，y为无理数，则x 也为无理数”是否成立？

解：不成立。构造反例如下：取无理数。

若为有理数，则取x=y= 为反例。

若为无理数，则取x= ，y= 有x =（） = =2，仍为反例。

评注：这里用了二难推理，到底是有理数还是无理数，并未正面回答，但无论那种情况都提供反例。

二、构造几何图形

在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些复杂的命题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷。几何证题中的辅助线，代数方程中的是示意图都属于这一类。

例3、求证：

分析：视k*k 为k个边长为k的正方形面积之和，构造如下的几何模型：

上图中所有正方形的面积之和

，⊿ABC的面积

显然，所以等式成立。

三、构造数学关系

例4、设a，b都是实数，求证： .

分析：求证结论是二元二次对等不等式，可以以a（或b）为主元构造二次函数，在利用二次函数的性质解决问题。

证明：设 .

因二次项系数大于零，且

= 故，

即 .

本题构造一个二次函数在利用根的判别式很好的解决了问题.

代数问题的几何模型构造举例篇7

构造几何图形解决代数问题, 就是用线段表示代数问题中的基本元素, 用几何图形中各元素间的结构关系来表示原问题中的题设条件及其数量关系, 从而在构造的图形中寻求代数问题的结论.

一般地, 我们用线段来表示数或一次代数式, 用图形的面积或图形中蕴含的线段的二次关系式表示数的乘积.例如, 用长度为1的线段表示数1;用斜边为1的直角三角形的直角边或者直径为1的圆的弦 (非直径) 来表示小于1的正数;用以x、y为直角边长的直角三角形的斜边来表示代数式 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} (x ＞ 0 ‚ y ＞ 0)$ ;用半圆中分半圆直径为a、b两线段的弦高表示代数式 $\sqrt{a b}$ (如图1) , 等等.

下面我们就用构造图形的方法建立几个代数问题的几何模型, 从中体验一下图形构造法的奇妙功用.

【例1】已知a>0, b>0, 求证: $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} .$

模型一:在一直线上顺次截取AB=a, BC=b, 以AC为直径作半圆, 圆心为O.分别作OD⊥AC, BE⊥AC, 交半圆分别于D、E.

由平面几何知识易知BE≤OD, 即 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ .当且仅当B、O重合, 即a=b时, 等号成立.

模型二:不妨设a≤b.作线段AC=b, 在AC上截取AB=a, 以BC为直径作⊙O, 并作AD切⊙O于点D.

则 $A Ο = A B + \frac{B C}{2} = a + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b}{2}$ ,

$A D = \sqrt{A B \cdot A C} = \sqrt{a b} .$

在RT△AOD中, AD≤AO, 故 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ , 当且仅当B、C重合 (圆退化为一点) , 即a=b时, 等号成立.

模型三:若a≠b, 不妨设a<b, 分别以a、b为上、下底作梯形ABCD, 使AD//BC, AB=a, BC=b.如图4, 设MN为中位线, 而EF将梯形分成两相似的梯形, 即梯形AEFD∽梯形EBCF.

则 $Μ Ν = \frac{A D + B C}{2} ‚ \frac{A D}{E F} = \frac{E F}{B C}$ ,

于是 $Μ Ν = \frac{a + b}{2} ‚ E F = \sqrt{a b} .$

易知AE<EB, AE<AM, EF<MN,

$∴ \sqrt{a b} ＜ \frac{a + b}{2} .$

若a=b, 上述图形成为平行四边形, EF、MN重合, 则 $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{2} .$

【例2】已知a1, a2, a3, b1, b2, b3都是正实数, 求证: $\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + \sqrt{a_{3}^{2} + b_{3}^{2}} \geq \sqrt{(a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2} + (b_{1} + b_{2} + b_{3})^{2}} .$

把a1, a2, a3, b1, b2, b3看作线段的长度, 则结论中的二次根式为相应直角三角形的斜边的长.对照结论, 构造出四个相应的直角三角形, 由其斜边的结构关系说明原问题的结论成立.

证明:如图5, AB⊥BC, BC⊥CD, CD⊥DE, DE⊥EF, EF⊥FG;AH⊥AB, GH⊥GF, 且AB=a1, BC=b1, CD=a2, DE=b2, EF=a3, FG=b3, 则 $A Η = b_{1} + b_{2} + b_{3} ‚ G Η = a_{1} + a_{2} + a_{3} . A C = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} ‚ C E = \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} ‚ E G = \sqrt{a_{3}^{2} + b_{3}^{2}} ‚ A G = \sqrt{(a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2} + (b_{1} + b_{2} + b_{3})^{2}}$ .根据“两点之间, 线段最短”得AC+CE+EG≥AG.

即 $\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + \sqrt{a_{3}^{2} + b_{3}^{2}} \geq \sqrt{(a_{1} + a_{2} + a_{3})^{2} + (b_{1} + b_{2} + b_{3})^{2}}$ .当且仅当A、C、E、G四点共线, 即 $\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{3}}{a_{3}}$ 时, 等号成立.

【例3】若a、b均为小于1的正数, 求证: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{(1 - a)^{2} + b^{2}} + \sqrt{a^{2} + (1 - b)^{2}} + \sqrt{(1 - a)^{2} + (1 - b)^{2}} \geq 2 \sqrt{2} .$

证明:结合题设和结论中数和式的特点, 我们依据勾股定理和正方形的性质建立几何模型:作边长为1的正方形ABCD, 并在正方形内确定一点M, 使M到AB、AD的距离分别为a、b, 则M到BC、CD的距离分别为1-b1-a.由于.当且仅当M点为AC、BD的交点, 即a=b=1时, 等号成立.

【例4】若a、b、x、y为正数, 且a2+b2=1, x2+y2=1.求证:ax+by≤1.

由已知条件可知, a与b以及x与y都可以作为斜边为1的直角三角形的两直角边, 同时考虑到所要证明的结论与托勒密定理的结论相似, 在构造图形时把a、b、x、y作为内接于直径为1的圆的四边形的四条边长, 且一条对角线为圆的直径.

证明:由已知条件, 设圆内接四边形ABCD的对角线AC=1且为直径 (如图7) , AB=a, BC=b, CD=x, DA=y.由托勒密定理, 有AB·CD+BC·AD=AC·BD.显然BD≤AC=1, 所以ax+by≤1.当且仅当BD也为直径, 即a=x, b=y时, 等号成立.

【例5】有正数a、b、c、A、B、C, 且a+A=b+B=c+C=k, 求证:aB+bC+cA<k2.

桥梁承台的构造及计算模型探讨篇8

关键词：承台,构造,撑杆-系杆体系,冲切,模型

1 工程概况

南通市通刘路拓宽改造 (幸福街道∽通州界) 工程是位于港闸区的一条城市主干路, 起着联系港闸区幸福街道与通州区交通的重要作用。本工程跨越团结河, 双幅桥梁, 单幅宽度为25.5m。桥梁结构拟建4×30m+4×30m+ (60m+90m+60m) +4×30m+4×30m预应力混凝土连续梁桥。其中跨越团结河的主跨为60m+90m+60m的变截面连续梁桥, 上部结构为满堂支架浇筑变截面预应力混凝土连续箱梁, 下部结构采用桩基承台上接双柱式框架墩。本次举主跨9号中墩下部的承台为例, 对其构造、计算作探讨。

2 承台构造尺寸拟定

承台尺寸的拟定与桥梁上部结构、下部桩基均有密切关系, 需同时满足承载力、裂缝、耐久性、刚性角、最小配筋面积、造价较低、方便施工等要求。

根据上部梁体计算的反力, 9号中墩顶部支座反力标准值为36500KN, 按照抗震支座规格, 经查需设置GPZ (KZ) 37.5DX系列支座满足承载力和位移要求, GPZ (KZ) 37.5DX支座底钢板尺寸为168cm×168cm。支座垫石比支座底钢板每边宽出15cm, 支座垫石平面尺寸为200cm×200cm。按《公路圬工桥涵设计规范》 (JTGD61-2005) 第6.2.2条, 支座每侧边缘与墩柱边缘应保持40cm以上距离, 桥墩尺寸不小于168+2×40=248cm, 因此初部拟定桥墩墩顶尺寸为300cm×250cm, 墩底尺寸为250cm×250cm, 横桥向桥墩双柱的支座中心距离为700cm。

桥墩墩身承受的主要荷载为顺桥向弯矩和竖向压力, 建立一端固定一端自由的计算模型, 按照偏心受压构件对墩柱进行偏心抗压承载力、裂缝验算, 墩柱构造250cm×250cm符合要求, 墩柱两侧配以Ф32钢筋, 间距12cm。

由于上部荷载较大, 选用大直径150cm钻孔灌注桩, 桩基中心距离按照《公路桥涵地基及基础设计规范》 (JTGD63-2007) 5.2.4条钻孔桩中距不应小于桩径的2.5倍, 取桩基中心距离为380cm。根据桥墩根部宽度900cm, 横桥向布置4排桩, 顺桥向布置3排桩。边桩外侧与承台边缘的距离, 对于直径大于1.0m的桩不应小于0.3倍桩径, 并不应小于50cm, 即在0.3×150=75cm与50cm两者取较大值, 边桩中心与承台边缘的距离为125cm, 由此确定承台横桥向尺寸为125+3×380+125=1390cm, 顺桥向尺寸为125+2×380+125=1010cm。

已知了墩柱、承台的尺寸, 综合考虑墩底支反力、刚性角, 根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》 (JTGD61-2004) 8.5条以下要求拟定承台厚度尺寸:

(1) 柱或承台向下冲切的破坏锥体应采用自柱或墩台边缘至相应桩顶边缘连线构成的锥体;桩顶位于承台顶面以下一倍有效高度h0处。锥体斜面与水平面的夹角, 不应小于450, 当小于450时, 取用450。

(2) 柱或墩台边缘到桩边缘的水平距离, 其值不应大于承台有效高度h0。

(3) 承台刚性角不大于40度, 即墩外缘距离承台外缘不大于承台高度h×tg400。

综上要求, 拟定承台高度为350cm, 桥墩及承台构造图如下:

3承台承载力计算

采用桥梁博士3.0“弹性多排桩计算”软件, 考虑到本承台覆土深度不小于50cm要求, 采用荷载标准组合计算出顺桥向单桩轴力和横桥向单桩轴力, 取较大值为12240KN。多排桩基承台中, 由于水平力和偏心荷载的影响, 外排桩单桩承载力一般远大于中间排桩, 因此一般取外排桩荷载作为承台计算的控制荷载。

目前承台设计可概括为两类:一类是将承台作为受弯构件, 按“梁式体系”设计模式进行受弯、受冲切、受剪切承载力计算;另一类是按“撑系杆体系”进行分析和设计。

根据公路钢筋砼规范8.5.2条、8.5.3条, 当外排桩中心距墩台身边缘距离120cm小于承台高度350cm时, 承台短悬臂可按照“撑杆-系杆体系”计算撑杆的抗压承载力和系杆的抗拉承载力。

承台底设置双层Ф32钢筋, 对承台进行抗压强度、抗拉强度、冲切、裂缝和构造要求验算, 符合规范, 计算结果如下:

1撑杆-系杆验算

γ0D1d=70577≤tbsfcd, s=276638, 满足规范要求;

γ0T1d=45614≤fsd As=51343, 满足规范要求。

2 抗剪验算

γ0Vd=53856≤Vr=106192, 满足规范要求。

3 下冲切验算

γ0Fld=60618≤Fr=101811, 满足规范要求。

4 角桩上冲切验算

γ0Fld=13464≤Fr=23069, 满足规范要求。

5 边桩上冲切验算

γ0Fld=13464≤Fr=25990, 满足规范要求。

根据公路钢筋砼规范9.1.12条最小配筋百分率P的要求, 偏心受拉构件及轴心受拉构件一侧的受拉钢筋的配筋百分率不应小于45ftd/fsd, 同时不应小于0.20。P=45ftd/fsd=45×1.52/280=0.244>0.2, 即最小配筋面积为A0=0.244×0.01bsh0=0.244×0.01×13.9×3.35=113619mm2。本次采用228Ф32, As=228×804.2=183358mm2>A0=113619mm2, 符合设计要求。

在承台顶部、侧面分别设置Ф16构造钢筋, 在顶部与底部钢筋网之间设置Ф16竖向连系钢筋。

通过以上步骤完成了确定承台尺寸和配筋计算, 承台设计考虑因素较多, 计算较复杂, 应对其相关规范、控制参数作全面的掌握。

4结语

承台在桥梁下部结构中占据重要的作用, 确定承台的结构必须从上部梁体到下部桩基综合考虑, 有时候甚至要考虑拆迁影响、埋地管线通过、大体积混凝土分层浇筑、预留冷却水管等因素。拟定合理的承台可以有效降低工程造价、优化结构的受力合理性、提高下部结构的耐久性, 为优质、精品工程打好基础。本文结合具体工程的计算模型和方法, 可供处理同类工程设计借鉴。

参考文献

[1]李元音, 毕梦雄.关于承台强度几种计算方法的分析比较.《港工技术》.2002年6月.NO.2.

构造模型解决高中概率问题篇9

问题一:剖析样本空间构建数学模型

例1.袋中有a只黑球和b只白球, 除颜色外无其他区别.现随机地把球一只只摸出来, 每次一球, 取后不放回.求第k次摸出黑球的概率 (1≤k≤a+b) .

策略一:把a只黑球和b只白球都看成是不同的, 将所有的球一一摸出来依次放在排成一直线的 (a+b) 个位置上, 则所有不同的排法有 (a+b) !, 作为基本事件全体;而其中第k个位置排黑球的方法有C1a (a+b-1) !, 故所求概率为

策略二:把a只黑球和b只白球都看成是不同的, 前k次摸出球的所有不同可能为Aka+b, 将其作为基本事件全体;而第k个位置排黑球的方法有C1aAk-1a+b-1, 故所求概率为

策略三:对同色球不加区别, 仍把摸出的球依次排在成一直线的 (a+b) 个位置上.a只相同的黑球在 (a+b) 个位置上的所有不同排法作为基本事件全体, 其总数为Caa+b, 第k个位置是黑球的排法共有Ca-1a+b-1, 则所求概率为

教后体会:通过上述对比不难发现, 解决古典概率问题的传统做法是重在如何用排列组合计算上, 而忽视了对概率本身的理解.本例充分把握了对古典概率的本质要求, 做到了不用排列组合而十分简便地得到结果, 因此, 这种注重样本空间的选取的思想值得引起我们的关注和重视.

问题二:构造递推数列模型

例2.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止, 求此时共掷了n次的概率.

解析:以An记事件“掷了n次, 第一次出现接连两个正面”, pn=P (An) .易知, 考虑An+2 (n≥1) 的情况, 事件An+2发生可分为下列两种情况: (1) 第一次出现反面, 接下来的n+1次投掷中 (与第一次投掷独立) , 第n+1次才首次出现接连两个正面; (2) 第一次出现正面, 第二次出现反面, 接下来的n次投掷中 (与第一、二次投掷独立) 第n次才首次出现接连两个正面.利用加法计数原理可得:

引入待定参数α、β使得qn+2-αqn+1=β (qn+1-αqn) , 则数列{qn-αqn-1}为以q2-q1=1为首项, β为公比的等比数列.∴qn-αqn-1=βn-2.

教后体会:将概率知识作为一个新型的材料和介质, 与递推数列合理融合, 创造了新的命题情景, 一方面, 实现了知识载体的突破, 给传统内容带来了新的生机与活力.另一方面, 凸现了以数列知识为核心的多元联系和多元应用, 丰富了研究概率问题的方法和手段, 同时, 概率与数列知识在相互融合、渗透过程中均得到了进一步的升华.

问题三:化离散模型为连续模型

所谓整值型随机变量是指只取非负整数值的随机变量, 是概率统计中研究随机现象的一类重要变量.

例3.抛掷均匀的骰子n次, 求所得n个点数的最大值与最小值的分布列.

教后体会:整值随机变量ξ的概率特性完全有它的分布列pn=P (ξ=n) (n=1, 2, …) 确定.例如它的数学期望为.但是常发生这样的情况, 要直接求P (ξ=n) 比较困难, 难以入手, 而求P (ξ≥n) 或P (ξ≤n) 却比较容易求得, 这时我们可以利用P (ξ=n) =P (ξ≥n) -P (ξ≥n+1) 或P (ξ=n) =P (ξ≤n) -P (ξ≤n-1) 来得到P (ξ=n) , 其实质是求其对立事件概率的间接方法.

数学模型的构造篇10

随着中国金融体制改革的深化, 经济的货币化、金融化、自由化程度的不断提高, 中国已有一些金融机构因经营不善导致挤兑而被中国人民银行宣布破产和关闭, 如1998年的海南发展银行, 2001年浙江台州的泰隆城市信用社, 2004年青海省格尔木市的昆仑等八家农村信用社。银行挤兑不仅会严重影响本国经济的正常运转, 还可能引起多米诺反应, 导致一连串的银行倒闭, 最终引发金融危机。1929—1933年的全球经济危机和1997年的东南亚金融风暴, 都由银行挤兑而起。

产生银行挤兑风险的原因有很多, 理论上认为, 主要来自于银行的流动性转换功能以及信息不对称。根据Diamond (1983) 的金融中介理论, 银行的特殊性在于它的把流动性强的负债转换成流动性差的资产的流动性转换功能, 但正是这种转换使得银行很容易遭受流动性风险。与各类存款有着很高的流动性相比, 银行贷款的流动性要差得多。银行将低流动性的资产和高流动性的负债集于一身, 造成了资产负债流动性的不对称, 这种不对称使得银行容易产生流动性危机, 引发银行挤兑造成银行危机。同时, 银行系统中还存在着严重的信息不对称现象。一方面, 银行和贷款者之间存在信息不对称现象, 可能造成贷款无法正常收回, 影响银行的资产质量, 产生经营风险。另一方面, 银行和存款者之间也存在信息不对称现象。作为银行自身有投资于高风险项目的倾向, 而存款者却不可能充分了解银行的经营状况, 不能确定自己存款的安全性。所以, 当一家或几家银行出现支付危机时, 由于信息不完全, 存款者会发生挤兑, 因为尽早排队提款对单个存款人而言是占优纳什均衡, 这样使得原本经营稳健的银行也出现挤兑风潮, 导致金融市场的瘫痪, 形成银行危机。关于银行挤兑或恐慌的研究主要有两种:一是与实体经济无关的随机事件导致的纯恐慌性银行挤兑;二是对银行经营状况的悲观预期导致的基础性银行挤兑。Diamond和Dibvig在1983年提出纯恐慌性银行挤兑模型。Jacklin和Bhattacharya在1988年提出基础性银行挤兑模型。总之只要满足一定的条件, 银行挤兑作为一种均衡的状态就会出现。

而存款保险制度在防止银行挤兑方面是十分有效的。Diamond和Dybvig (1983) [1]年提出的银行挤兑模型, 首次为存款保险制度提供了理论依据。Gibbons (1992) [2]指出银行挤兑类似于囚徒困境, 存款保险制度可以通过改变人们的预期, 从而避免银行发生挤兑。还有一些学者认为, 与暂停兑付相比存款保险制度可以完全阻止和消除银行挤兑均衡的出现, 不会降低银行提供流动性的功能。Bhattacharya、Boot和Thakor (1998) [3]也认为, 存款保险制度的作用优于暂停兑现, 不仅能防止基础性银行挤兑, 消除需要流动性和获得不利信息的存款人之间提款的随即性, 而且能防止纯恐慌性挤兑均衡发生。Diamond、Dybvig (1983) [1]认为与最后贷款人相比, 存款保险制度具有强可信性并能减少逆向选择发生。在技术是无风险的前提下, 作为最后贷款人的贴现窗口能提供类似存款保险的服务, 但是在技术有风险的情况下, 最后贷款人就没那么可信, 还可能激励银行涉足更多的风险。而存款保险构建具有约束力的承诺, 在银行失败时可以对其所有者、董事会和经营者给予惩罚。

1. 中国存款保险制度保险范围、保险对象、保险额度的模型构造

存款保险制度最早是美国在20世纪30年代正式建立起来的。产生的直接原因是20世纪30年代的经济大萧条。此后, 从20世纪60年代起, 特别是20世纪80年代以后, 越来越多的国家选择建立存款保险制度, 目前世界上已经有1/3的国家建立了存款保险制度。中国也已经开始着手准备建立存款保险制度, 但一切还只是在准备阶段。由于中国一直以来都是以国家信用为担保 (被某些学者称为隐性存款保险制度) , 金融业的发展还处在初级阶段, 所以国内学术界对存款保险制度这一问题的研究起步较晚。钱小安 (2004) [5]、王永利 (2005) [6]、龚秀国 (2005) [7]等都认为, 设计并出台合理的存款保险制度在中国已经迫在眉睫。中国人民银行行长周小川今年8月2日表示, 建立存款保险制度的时机已经成熟, 中国正在积极考虑筹建存款保险公司。目前, 由人民银行和银监会牵头, 相关部委参加的存款保险制度工作小组正在进行存款保险制度实施方案的设计工作, 国家有关部门也正在进行存款保险条例的立法工作。然而实践表明, 设计不好的存款保险制度不仅不能有效的规避银行挤兑风险, 而且可能会带来道德风险、逆向选择、委托代理等一系列问题。在存款保险的制度设计中, 保险范围、保险对象、保险额度是重要的组成部分, 但对这三个方面, 一般的文献都是定性的描述, 本文试图结合中国银行体系在国民经济中的重要作用, 通过建立一个模型对中国未来的存款保险制度下的保险范围、保险对象、保险额度进行定量分析, 提出一个整体的计算思路。

2. 模型假设

主次目标假设。保护中小存款者的利益是存款保险制度的一个目标, 但中国目前在转型过程中, 银行对经济体发展的作用至关重要, 相对于银行的安全, 存款人的利益应该处于一种次重要的位置。所以对于中国而言, 存款保险制度应在首先保障银行利益的基础上, 再保障存款人的利益。

本模型用到的其他假设如下:

(1) 考虑某单个银行i, 假定在未实行存款保险制度下, 该银行的负债行为和投资行为间隔离散, 银行的预期收益为零时挤兑发生。 (2) 无风险利率r0。存款人在期初将Di单位的存款存入银行, 所要求的利率水平为ri。银行在吸收Di单位的存款后将其全部用于放贷, 贷款利率为rLi。 (3) 银行对贷款监管的努力水平为mi∈ (0, 1) , 为此银行需要付出的监管成本为V (mi) =Dimβi, 其中V′ (mi) >0, V″ (mi) >0。 (4) 银行对贷款利率rLi实行风险加成定价和成本加成定价:rLi=-Alog (pi) +Bmiβi。其中, A为风险加成系数, B为成本加成系数。根据实际情况, 进一步假定即随着贷款人使用贷款经营项目成功的概率的降低, 银行收取的利息增加, 同时增加的幅度越来越大, 同时随着监管水平的提高, 银行的利息收入增加, 且增加的越来越快。贷款人使用贷款经营项目, 成功的概率为pi。这里简单的设为二项分布, 复杂一些可以假设贷款人投资经营项目的收益服从某种连续分布。 (5) 假设银行在监管缺位且借款人的投资项目彻底失败时, 银行贷款收回为0, 此时存款者发生挤兑, 导致银行倒闭;而如果银行选择了一定的监管水平以至在借款人的投资失败前能及时发现借款人不能清偿贷款从而对借款人项目进行清算, 则仍能获得一部分清算剩余收益δiDi, 其中δi为剩余收益水平。如果借款人的投资项目成功, 则银行能全部收回贷款和利息。 (6) 实行非完全的存款保险制度。将存款总额按比例分为投保的存款αi和未投保的存款 (1-αi) 。银行为加入存款保险制度需要支付一定的保险费用, 对于任何的银行来说, 假定都采取相同的单一费率, 保险费用为投保存款的一定比例, 设为θ。对于赔偿额度, 实行比例与限额赔偿, 假设进行全额赔付的限额为IL, 超过这一限额后的赔偿比例为k (0

3. 保险范围

银行仅在监管缺位且借款人的投资项目彻底失败时贷款收回为0, 此时的概率为 (1-mi) (1-pi) , 对应五级分类法中的可疑和损失。银行如果选择一定的监管水平, 则可以在借款人的投资失败前对借款人项目进行清算, 设获得的清算剩余收益为δiDi, 此时的概率为mi (1-pi) , 对应五级分类法中的关注和次级。若借款人投资成功, 银行则获得贷款和利息RiL=Di (1+riL) , 这种情况出现的概率为pi, 对应五级分类法中的正常。 (1)

综上, 银行的期望收益为:

因为实行的是非完全的存款保险制度, 存款被分为投保的存款和未投保的存款, 所以存款者相应的也被分为两部分。投保存款因为其不再承担任何风险, 故银行支付的存款利息仅为无风险利率r0;但对于未被保险的那部分存款者来说, 面临银行的投资风险, 存款者作为风险规避者会对其承担的风险收取一定的风险升水, 即:

存款利率=无风险利率r0+相对于银行投资风险的风险升水

因为存款者在本期进行存款时, 只能借鉴银行以前的投资风险水平, 故假定本期存款者所要求的风险升水水平和银行以前的风险升水水平的加权平均与无风险利率r0的差呈正向关系。同时, 由于银行本期投资风险取决于本期的银行监管水平mi, 所以风险升水还应和银行监管水平呈反向关系。最终, 可以假定在未实行存款保险制度下, 存款者的收益水平为:

该式表明在未实行存款保险制度下, 银行本期的监管水平越高, 存款者要求的存款利率越低;同时, 银行前期的投资风险水平越大, 存款者要求的风险升水水平越高。

到这里, 就可以知道银行的净收益为:

由一阶条件

这样就得到了在实行存款保险制度下, 银行最优的监管水平。

因为假设仅在银行的预期收益为0时, 存款者才会挤兑进而导致银行倒闭;故银行倒闭的概率pi为 (1-mi) (1-pi) , 此时, 也就是:

考虑到存款保险机构对银行倒闭概率的估计更侧重于对银行下一期的投资风险所做的预测Et[pi], 同时, 公众受信息搜集能力和分析能力的限制, 对银行的投资行为无预期, 只能根据以往银行的投资行为来判断风险的升水水平的大小, 所以对银行i而言, 更合理的倒闭的概率应该是:

此时, 可以得到:

因为实行简单比例赔偿, 赔偿比例为L, 所以最优存款保险制度的投保范围是:

即, 最优存款保险制度的投保范围与银行本期投资风险Et[pi]、银行累积的风险水平及银行对加入存款保险制度后的倒闭风险的预期μi有关。

4. 保险对象

对于存款的种类, 按照存款的对象划分一般有:居民活期与定期储蓄存款、企业存款、银行同业存款、政府部门和相关机构存款、财政性存款、金融机构董事和股东在本机构的存款等。考虑到存款保险制度的目标主要是保护作为信息缺乏者和“劣势存款者”的中小存款者的利益, 对银行, 按照容易发生挤兑的可能性将存款种类进行排序, (1) 并结合最优保险范围, 就可以得出可以纳入存款保险制度的保险对象。具体的操作见下图。

作为居民储蓄和部分企业存款主体的中小存款者之所以更容易发生银行挤兑, 不仅仅是因为信息不对称的存在, 也因为中小存款者容易发生“羊群效应”, 中小存款者复制大存款者或者其他中小存款者的行动, 也是造成挤兑风潮迅速扩展的重要原因。所以, 应该将中小存款者放在存款保险的首位, 防止“羊群效应”的发生。

就目前世界范围施行的情况看, 在欧洲各国活期存款、定期存款和储蓄存款的全部, 公司存款的大部都包括在可保范围中。1997年中国人民银行曾邀请英国Maxwell Stamp咨询公司对欧洲存款保险制度进行研究, 其研究报告结论显示:欧洲国家所有的存款保险计划都将银行同业存款排除在外;对于其他金融机构存款, 十二个国家将其全部排除在外, 一个将除公共投资机构存款以外的存款排除在外, 三个将除养老金存款、存款保险公司和共同投资存款以外的存款排除在外;公共部门存款则有将近一半的国家将其排除在外, 部分国家将以非欧洲经济区国家计价的存款排除在外。奥地利、比利时和德国将一部分大中型公司存款也排除在存款保险范围之外[4]。有些国家如美国和加拿大对同业存款也予以保险, 有些国家, 如欧洲各国和日本则不包括同业存款。

5. 比例与限额赔偿保险额度

比例与限额赔偿, 指在一定限额内全额赔付, 超过这一限额后按比例赔付。英国采用了这种方式, 在出现投保银行倒闭时, 存款保险机构将依据该银行存款余额的75%给予偿付, 但每一存户可以得到的赔偿上限为20 000英镑。在上面确定好的保险对象中, 假设按照容易发生挤兑可能性的存款种类排序, 最终有k种存款在保险范围之内, 即满足

设此时在保险范围之内的账户总数为:

则理论保险额度involth为:

比例与限额赔偿, 假设可以进行全额赔付的限额为IL, 超过这一限额后的赔偿比例为k (0

则对于invo Lth, 不妨假设invo Lth>IL, 银行实际需要赔付的额度为

二、结论

利用以上的结果, 根据银行i吸收存款的总额, 就可以确定最优的保险额, 再按照挤兑可能性序列即可求出该银行可以保险的存款种类, 进一步带入相应的账户数ci1, ci2, L, cik, 即可得到银行的最优理论保险额度involth, 再根据分段比例递减赔付比例表求出involac。但有以下几点需要注意。存款保险制度的实施, 主要取决于存款保险机构对银行未来期投资经营风险的预期。如果不存在关于未来期的利好消息, 银行将恶化对下一期投资风险的预期, 从而减小存款保险的覆盖范围, 这种行为加重了银行的风险, 导致下期投资的继续恶化。在预期的推动下, 如果一直不出现扭转局势的利好消息, 就会造成银行风险的恶性循环, 最终存款保险制度将退出银行体系。同时, 还需要注意赔付比例参数k以及它对应的临界点IL的确定。考虑到中国居民储蓄是最主要的财富方式, 居民承担风险的能力和心理素质比较差, 开始的赔偿比例和相应的临界点应该制定的偏高一些, 如果比较低, 将会影响社会经济稳定, 给老百姓造成一定恐慌, 但是也不能太高, 否则不利于银行业的稳定。

摘要：存款保险作为规避银行挤兑风险的一个制度设计已经受到越来越多的国家的重视, 中国建立存款保险制度的时机也已经成熟。然而实践表明, 设计不好的存款保险制度不仅不能有效的规避银行挤兑风险, 而且可能会带来道德风险、逆向选择、委托代理等一系列问题。在存款保险的制度设计中, 保险范围、保险对象、保险额度是重要的组成部分, 对这三个方面, 结合中国银行体系在国民经济中的重要作用, 建立一个模型, 提出一个整体的计算思路。

关键词：存款保险,保险范围,保险对象,保险额度

参考文献

[1]Diamond, Douglas W.and Dybvig, Philip H., Bank runs, deposit insurance and Liquidity, Journal of Political Economy, Vol.51, No.3, 1983:401-419.

[2]Gibbons.R, A Primer in Game Theory, Harvester Wheatsheaf Publisher, 1992:72-75.

[3]Bhattacharya, Sudipto, Arnoud W.A.Boot, Anjan V.Thakor, The Economics of bank regulation, Journal of Money, Credit, and Banking, 1998, Vol.4No.30:745-770.

[4]存款保险制度研究编委会.存款保险制度研究[M].北京:中国金融出版社, 2003.

[5]钱小安.存款保险的道德风险、约束条件与制度设计[J].金融研究, 2004, (8) :21-26.

[6]王永利.存款保险制度的推出需要相关制度的配套改革[J].国际金融研究, 2005, (4) :10-12.

数学模型的构造篇11

【关键词】高中数学试题解答构造法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）04B-0155-02

高中数学是高中阶段的主要课程之一，又是高考的重要考试科目，对学生的高考成绩有着重要影响，所以学好数学、掌握数学的解题方法、提高考试成绩是高中学生普遍面临的问题。解答数学问题需要学生有一定的思考能力、想象能力、分析能力以及运算能力。在此基础上，如果再能较好地运用构造法，就能比较快地提高数学学习成效。构造法是指在原来数学题目的基础上，通过对题目中各个条件以及结论的一系列假设，并结合所学的各种数学理论、公式构造出满足原题目中相关条件和结论的数学模型。本文以等差数列教学为例，探究构造法在高中数学解题教学中的巧妙应用。

一、构造法在高中数学中的重要性

高中数学对于很多学生来讲是一个大难题，为了有效地提高数学解题速度和准确性，学生要掌握一定的解题方法和解题技巧。构造法在解答数学问题的实际应用中有着重要意义。简单地讲，构造法其实就是利用数学模型对原题目进行满足题意的一种假设，进而达到解答问题的目的。构造法在高中数学解题过程中的应用实际意义就在于将题目中的“未知”条件转化为“已知”条件，具有一种特别的化归思想。数学中的数和形是相辅相成、不可分割的，可谓“数离开形少直观，形离开数难入微”。在解答数学过程中利用构造法可以通过直观的图形模式将已知量和解题关键准确表示出来，借助数形结合思想巧妙地解题。构造法不仅可以用图形方式进行解题，而且也可以用向量、方程、函数等方式进行解题，通过构造向量、方程以及函数来解答数学问题，帮助学生有效地解题。

二、构造法在高中数学解题中的实际应用

构造法是高中数学的重要解题方法，可适用于多种数学题型，所以学生有必要了解和掌握这种方法，以便提高自己的解题效率。典型的构造方法主要表现在构造辅助函数法、构造方程法、构造图形法、构造数列法及构造向量法。方程式是高中数学的重要学习内容，几乎贯穿整个高中数学课程，所以学生对方程式很熟悉。在高中数学题目中，方程式往往以与函数或者其他数学内容相结合的形式出现，这在很大程度上增加了题目的复杂性，提高了解题难度。在解答此类型题目时可以结合构造法思想，根据题目中的数量关系以及结构特征构造一个等量式，对题目中的方程式等量、未知量相关性进行分析，使数学题目更为具体化、直观化以及简单化，进而让学生迅速计算出正确答案。

如题目“如果（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求证m，n，x为等差数列”。这个题目中如果采用一般解题方法会很复杂，而如果采用构造法将题目中的条件与结论联系起来就变得简单很多，结合题目构建方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假设△=（m-n）-4（n-x）（x-m），则可得△=0，那么所构建方程式中的实数根相等，进而得出t=1，所构建方程式的两个实数根均等于1。然后结合韦达定理得出m+n=2x，由此可以证明题目中m，n，x为等差数列。这种类型的题目对于很多学生来讲是有一定难度的，但如果结合特殊方法就可以将难题简单化，并快速得到正确答案。

又如，向量是数学研究的一种重要应用工具，具有一定抽象性和复杂性，不论是在高中数学中的不等式证明、平面几何、函数还是方程等题型中都有重要的应用价值。对于题目中比较复杂的数学模型，学生可以结合题意通过联想构造向量的方法将复杂问题简单化。例如题目：

m，n，a，b，c，d∈R+，而且，，请判断 p 和 q 的大小。

该题目的解答过程中可以先将 p 和 q 的表达式转化为向量形式，并引入两个代向量 h和 k，使，，通过分析可以由 h 和 k 的乘积对不等式进行简化。根据不等式的基本性质可得，将各个量值代入，经过关系转化、运算后可得到，即 p≤q。

再者，函数在高中数学题目中一般会和方程放在一起。函数、方程均为高中数学教学的关键内容，是高中数学考试的重点、热点，同时也是难点。函数具有一定抽象性，所以对学生的空间想象能力以及分析能力要求较高，是困扰学生的主要数学问题之一。对于高中数学函数题型，学生需要有针对性的解题思想，掌握有效的解题技巧，通过特殊渠道将复杂、抽象的函数问题直观化、简单化，进而找到解题主线，得出正确答案。高中数学的很多题目中，不论是几何题型还是代数题型都含有一定的函数思想，因此在解答过程中要对问题进行分析、想象，充分利用函数构造方法对题目中的数量关系进行简化再进行解答，这样思路就清晰很多。

例如题目“m，n，a∈R+，且n

还有，在解决高中数学问题中，选择图形解题方法，可使复杂抽象的问题简单化或者形象化，增加问题的直观性，有助于培养学生的数形结合思想。

例如，，其中（0≤x≤4），对其最小值进行求解。

依照题意可对该题目实施图形构造，通过构造直角三角形，尽可能地简化该问题。

通过分析图1，可得出AB⊥BD，AB⊥AC，当AB，AC，BD的取值设定为4，1，2时，在AB上有一个动点O，为此设AO=x，此时就可以得出，，如果想要的值最小，只需要将OC+OD的最小值求出，就可以得出的最小值。

构造法是数学解题中常用的一种方法，其在数学解题中应用不仅能够帮助学生开拓解题思路，而且对培养学生的创新能力和多元化思维具有重要的作用。构造法的应用在一定程度上对学生的思维能力以及创新能力的培养有促进作用。

综上所述，高中是一个比较特殊的学生阶段，由于面临着高考的问题，高中学生的课程繁多，每天都要浸泡在浩瀚如烟的习题中，给学生造成极大的压力。伴随着现代教学模式的不断改良，过去的教学形式已经难以顺应现代的高中教学发展。构造法作为一种创新式的解题方式，不仅更好地发挥了学生的积极主动性，而且极大地改良了数学解题模式，对于学生自主分析能力的提升方面有着很好的促进作用，对高中数学教学质量的提高起着至关重要的推动作用，值得在数学教学中积极倡导与应用。

【参考文献】

[1]张志兵.例谈“构造法”在高中数学解题中的应用[J].数学教学研究，2013（7）

[2]张起洋.“构造法”在高中数学解题中的应用分析[J].考试周刊，2014（40）

[3]王德志.刍议如何将构造法合理运用于高中数学解题教学当中[J].理科考试研究（高中版），2015（1）

[4]张帆.浅谈在高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].科技资讯，2011（12）

[5]李红春.善构造巧解题——例谈构造法在数学解题中的应用[J].中学数学，2013（7）

数学模型的构造篇12

关键词：可视化建模,模型构造,面向对象,XML

1 引言

企业能源消耗系统建模与仿真软件(简称EEC Mod&Sim)是用C#在.NET平台上开发的以模糊Petri网为理论基础的流程模拟软件。依据文献[1],在EEC Mod&Sim中用模糊变迁表示各能耗活动,用模糊库所表示能耗活动相应的原料和成品的仓库,模糊库所中的标记数表示原料和成品的数量,相应的供需关系用结点间的连线表示,连线的连接强度表示从起点到终点运输原料或成品时的损耗率。EEC Mod&Sim通过将企业能耗过程映射为模糊高级Petri网的形式来建立可视化能耗过程模型。

针对上述基本理论,本文主要从软件设计与实现的角度,详细给出了该可视化能耗过程模型构造器的实现。全文共包括两大部分,第一部分主要描述了模型构造器的总体设计框架,第二部分分别从建模元素类结构的设计,模型的图层表现以及模型XML保存的角度,详细介绍了其关键开发技术。

2 模型构造器的总体设计框架

由于能耗系统包含错综复杂的能源传输管网结构、动态多变的能耗过程、相对固定的能耗设备配置结构等多种具有一定结构化的子系统。从可视化建模的需求出发,充分发挥视图模型的可视化描述优势,遵循面向对象的分层模块化设计方法,给出软件的整体框架及所提供的建模功能模块,如图1所示。

可视化的拖拉式建模方式是能耗系统模型设计器的首选,用户界面的图层表现是其实现的关键。EEC Mod&Sim的可视化建模为用户提供了建立能耗过程模型所需要的各类基本元素,主要包括:能耗活动(原子型和抽象型)、能源仓库、逻辑控制、能源传输管道,以及状态或消息流六个建模元素构成。这里,能耗设备的能源输入与输出关系体现了消耗系统潜在的能源约束关系和动力学特性,是能耗系统的核心,该建模元素将与设备模型辨识模块相关联。而原子型能耗设备是指该能耗活动没有子模型,而抽象型能耗活动是指该能耗活动为嵌套型能耗活动。能源仓库主要用来存放能耗过程中的能源物质或非能源物质以及产品等。状态或消息位置主要用来反映能源消耗系统中各设备的工作状态或贯穿于能耗过程中的消息,而逻辑控制则主要用来控制状态的变化或消息的传递,体现一些离散型的操作动作,比如设备的启、停操作等。能源传输管道作为连接弧,用于连接能源仓库与能耗设备,体现能源在传输管网中的流动,而状态流则用于连接状态或消息位置与逻辑控制,体现消息或状态的传递过程。

模型构造主要实现建模元素的属性设置,并完成能耗系统模型的定义。它支持能耗过程模型的构造、能耗设备模型的配置、能源传输管网模型的构造,并可以导入资源信息对相关能源或物料进行描述。通过严格定义各类组成元素的属性特征,扩展模型语义,从而提高了模型元素的描述能力。

EEC Mod&Sim对系统模型的保存采用XML的形式化语义描述方式。将模型所含语义信息进行描述:一种是基本网结构所表示的事件间的并发关系,另一种是各网元素及其约束所表示的语义信息。这样,有利于系统的封装与对外接口的统一,从而提高软件的标准化与兼容性。XML文档的反向解析,即为模型的读取,从形式化语义描述转换为软件内部的图形化描述,便于用户对能耗系统模型的编辑与修改。

3 EEC Mod&Sim模型构造器实现的关键技术

3.1 建模元素的类结构设计

EEC Mod&Sim模型构造器的核心思想是用表层设计器构造流程图,将图中的建模元素映射到内部可处理的数据结构。以便下一步的仿真算法对模型进行遍历,并在遍历过程中触发活动,在活动代码处理完成后对节点数据进行修改,循环遍历,直到仿真结束。因此设计和合理的类结构关系和数据结构是关键之一。

1)底层类设计

根据模糊Petri网理论,EEC Mod&Sim模型元素抽象型能耗活动、原子型能耗设备(能耗活动)、能源仓库、逻辑控制、能源传输管道,以及状态或消息流六大类,程序中设计了一个基类作为PetriElement,包含各类的共有属性(如ID和Name属性),其他所有类(ConsumEquipCs,InfoStreamCs,TriggerCs,EnergyStoreCs,DiscreteConsumCs,EnergyStream)从这个基类中派生,每个类都包括各自的属性和读取方法。

以EnergyStoreCs类为例:它对应了petri网中的库所。除去从基类中继承的ID和Names等属性,库所作为存储资源的场所,有容量(Capacity),当前值(Token)属性,并进一步扩展了时延,表达公式等属性。同时库所对应一组访问属性的行为,如:ReadProperty(),SetProperty()。

2)表层类设计

表层类作为用户和程序的交互层,要具有建模工具栏上的图标表现功能,并要记录各个建模元素的拓扑结构,同时实例化对应建模元素底层类对象。以EnergyStoreStructCs类为例,属性包括图形对象(image),能源名称(name),能耗状态(state),底层类对象(energyStoreCs),图形位置信息对象(port,Port是程序中设计用来记录图形元素间拓扑结构的类,在下一节阐述)。方法包括读取图形位置(getPort()),获取前后图标(getNextItem())等。

3)图形元素间的拓扑结构表示

EEC Mod&Sim中元素间的关系实质是有向图连接:将图元定义为一个cell,每个cell可以是一个顶点(vertex)或者边(edge)。顶点有邻接的顶点,它们通过边相联系,边联接的两个端点称为目标和源。为了更方便描述,程序中构造了Port(节点)类,用来记录坐标位置和建模元素的ID。每一条边有两个Port对象,用来记录目标节点和源节点。而一个活动可以有多个分支,即顶点(vertex)可以与多条边(edge)相连,于是每个顶点设计一个Arraylist动态记录连接到顶点的Port对象。

图2是一个连接示意图,包括两个顶点(ConsumEquip,EnergyStore)和一条边(EnergyStream),能源从能源仓库流向能耗设备。

下面的代码为ConsumEquip顶点建立port对象:

下面对代码构建了EnergyStream中的port对象:

这样的数据结构使得转移与活动的关系变得简洁明了。当元素移动时,元素port的坐标信息被修改,同时边通过setSoucePor和setTargetPort方法修改坐标信息,从而使连接边随着元素移动。上图之间的数据结构可以用图3来表示:

3.2 模型的图层表现

EEC_Mod&Sim模型构造器在元素的可视化表示上,利用了.NET框架提供的GDI+应用程序编程接口(API)。它是Windows Graphics Device Interface(GDI)的高级实现。通过使用GDI+,可以创建图形、将图形图像作为对象操作。以下步骤和代码说明了程序中主要的图形操作:

1)定义一个ResourceManager对象,管理程序中的图像资源,代码如下:

ResourceManager resource=null;//图像资源管理器

resource=new ResourceManager(typeof(Resource1));//Resource1是新建的资源文件,包含建模元素的图形元素。

2)当触发工具栏按钮Active事件时,通过图像资源管理器创建相应工具栏的图形对象到相应的表层类,代码如下:

itemImage=(Image)(resource.GetObject("Discrete_Place1"));//通过资源名称,设置资源图片

3)调用DrawImage()函数以呈现图像,调用.DrawLine()函数绘制连接线段。

Graphics.DrawImage(itemImage,itemPosition);//在相应控件上绘制图像

Graphics.DrawLine(pen,startPoint,endPoint);//绘制图箭头

4)需要删除图像时调用dispose()方法。

Graphics.Dispose();

3.3 用xml格式器保存读取模型数据

一个能耗系统基本上都由一定数量的子系统构成,因此描述整个能耗系统需要建立多个视图模型。考虑到多个视图模型下各建模元素的ID重名,寻求良好的互操作性和可读性,采用“序列化(Serialization)”和“反序列化”(Deserialization)的XML格式器保存和读取模型。