《数列》教学后

《数列》教学后（共3篇）

《数列》教学后 篇1

1 问题的提出

极限理论与计算是高等数学教学的重要基础性内容, 而数列极限则是高等数学最早研究的极限问题, 对数列极限的理解程度将直接影响到极限过程的把握甚至高等数学的学习。收敛数列重新排列后仍收敛是文献[1]的一个命题, 该命题揭示了收敛数列的重要特征。对该命题的深刻理解将有助于学生掌握极限理论及后续知识点, 本文给出了该命题的详细证明, 以期学生更好的理解和把握数列极限理论。

2 相关引理

引理1:柯西收敛准则[2]

证明:必要性

充分性

特别的, 对ε=1, ∃N1并取m=N1+1, 对∀n>N1有an-am<1即an-aN1+1<1。

故数列{an}有界, 有界数列必有收敛子列[3], 设为{akn}

对于上述ε, ∃N′, ∀n>N′,

令N=max{N′+, 1nK+}1, 则nN≥N>N′, N>nK≥K

当n>N时有,

引理2:数列{an}的任意一个重新排列对应于N上的一个一一变换[4]。

证明:首先构造由数列{an}的所有排列所构成的集合到NN上的一一映射:

即数列{an}的一个排列对应于自然数的一个排列。

设ϕ是N上的一一变换:

则自然数的一个排列对应于自然数集N上的一个一一变换ϕ。

综合以上两点, 数列{an}的任意一种重新排列{aϕn}

对应于N上的一个一一变换ϕ。

3 命题及证明

命题:若数{an}列收敛到a, 则数列{an}任意重新排列后得到的数列收敛到。

证明一:数列{an}的任意一种重新排列对应于N上的一个一一变换:

{an}重新排列后得到的数列记为{nb}, 其中ai=bϕi。

若, 由柯西收敛准则知:

令N′=max{ϕ1, ϕ2, L, ϕN},

∀n′, m′>N′则有, ϕ-1 (n′) >N, ϕ-1 (m′) >N故有下列结论

由柯西收敛准则, 数列{nb}收敛。

下面证明

反证法, 若且b≠a不妨设a

即:在外至多有{bn}的N项,

又{bn}是{an}重新排列后得到的数列, 故在外至多有{an}的N项, 而, 取, 则在中有{an}的无穷多项, 矛盾。故

证明二:

数列的重新排列对应于N上的一个一一变换ϕ, ϕ的定义如证明一所示。令N′=max{ϕ1, ϕ2, L, ϕN}, 对于∀n′>N′则有, ϕ-1 (n′) >N, 故有如下结论:

4 结语

本文证明了数列的任意一个重新排列对应于自然数集N上的一个一一变换, 在此基础上证明了收敛数列重新排列后仍然是收敛数列这一命题, 希望能帮助初学者和数学爱好者更深入的理解收敛数列的性质。

参考文献

[1]许绍溥, 姜东平, 宋国柱, 等.数学分析教程 (上册) [M].南京:南京大学出版社, 1990.

[2]施学瑜.高等数学教程[M].北京:清华大学出版社, 1986.

[3]陈传璋.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[4]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:人民教育出版社, 1983.

《数列》教学后 篇2

针对数列问题的考试重点及学生的薄弱环节，《数列求和》的系列专题复习课《数列求和1》的教学重点放在了数列求和的前两种重要方法：

1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）；

2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和。

从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。

1、注重“三基”的训练与落实

数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。

2、例、习题的选配典型，有层次

一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。

3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清求和的项数上，因而在求和的项数上做了文章，有意设计了求和而非求，并且通过这两道题特别强调了算清项数、如何算清项数等问题，抓住了学生解决这类问题的软肋。

4、教学过程中充分关注到了学生的反应和状态

在解题教学中比较注意启发引导学生，通过自然习得，从而顺理成章达到水到渠成。从题目的设计到解题思路的分析都考虑到了学生的接受能力，从具体到抽象，通常是把问题摆出来、提一句、点一下，尽量不包办代替，努力引发学生的体验和思考，比较注重知识形成过程的教学。同时注意通过多种途径，多种角度，一题多解解决问题，杜绝直接把结果强加给学生，使学生不知所云。

当然这节课的教学也存在着这样那样的不足，比较典型的有以下两点。

1、对于基本公式的掌握仍需加强落实

部分同学公式的记忆仍成问题，本以为课上可以一带而过，不成想主动举手、信心满满、自以为可以完美表现的同学站起来仍然把等比数列的公式说错了，可想而知其他同学的情况了，恐怕也不容乐观，可见连基本公式的强化记忆都是需要老师不厌其烦加以督促的。

数列求和教学反思 篇3

本节课是高三一轮复习课，主要是对特殊数列求和。对于数列的复习，我觉得主要是复习好两个方面，一个是如何求数列的通项公式，另一个是如何求解数列的前n项和。

这里的求和，对学生来说是一个难度很大的内容，因为此前学生一直是使用等差和等比数列的求和公式进行计算的，让他们忽然去理解和掌握错位相减和裂项相消等方法去求和，难度可想而知，所以这堂课不仅仅是复习课，而且也是一堂新课，课题是求和，学生一看就明白，但求和的对象变了，求和的方法变了。我在教学时，尊重学生的理解和掌握能力，循序渐进，不赶进度，学生要是不能掌握，那就再来一遍，特别是错位相减法，学生知道什么样的数列可以用错位相减法，但算不出正确的结果，所以课堂上在学生板演的基础上我再归纳一下做错位相减法的题目时要注意的地方，什么地方容易错，什么地方要注意等，争取在做作业时不要再犯同样的错误。而且在经后的教学过程中要多培养学生的运算能力以及解题能力，提高他们的动手能力，思维逻辑能力和分析问题的能力，数列求和在整个数列知识中试比较综合的内容，知识点多，方法也多，在做题时首先要思考一下该用什么方法，然后再着手，加上细心才能把题目做对，而现在的学生就是缺乏这点耐心和细心，总想着花最少的时间做较多的事，有时还不检验最后的结果，这是我们教师在教学过程中要渗透的地方，教会学生耐心、细心地做题，确保题目的正确率，在今后的教学中我会在这方面加强培养学生，同时在备课的时候加强培养学生的动手、动脑能力。