离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（精选11篇）

离散傅里叶变换 篇1

1连续函数的傅里叶变换

一维连续函数f (x) 的傅里叶变换为[1]:

式 (1) 的逆变换为:

公式 (1) 与 (2) 中的j1。傅里叶变换存在的条件是:

傅里叶变换 (1) 将以x为变量的函数f (x) 变换为以u为变量的函数F (u) 。新变量u与新函数F (u) 的物理意义可以由傅里叶逆变换 (2) 看出。式 (2) 表示, 函数f (x) 可以展开为周期函数ej 2ux的线性组合, 组合系数为F (u) , 它由傅里叶变换公式 (1) 决定。u是x的单位间隔内周期函数ej 2ux变化的周期数, 也是cos (2ux) 与sin (2ux) 变化的周期数, 叫做频率。如果x是时间, 则u是单位时间内正弦函数sin (2ux) 变化的周期数。这正是我们熟悉的频率。F (u) 一般为复数F (u) R (u) j I (u) , 它的绝对值。

表示在f (x) 的展开式中频率为u的周期函数ej 2ux的强度, 叫做f (x) 的傅里叶频谱。

2离散数列的傅里叶变换

来实现, 其中 (xnx) 是函数[2], 它有如下性质:

显然, 离散数列傅里叶变换总是存在的。

参考文献

[1]余婉雁.傅里叶变换在通信中的应用[J].现代电子技术, 2004, 27 (1) :71-72.

[2]闵琦.函数的定义及其性质[J].大学物理, 2004, 23 (9) :18-20.

[3]杨忠林, 刘建宝, 欧阳华.取样定理的推导和教学探讨[J].课程教学研究, 2013 (4) :154-155.

离散傅里叶变换 篇2

第一部分 两种变换的背景。

首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。

接下来是拉普拉斯变换的背景。

大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。

说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。

因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。

第二部分

两种变换带来的便利。

首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！

我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。

其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。

下面是最后一部分

两种变换之间的区别

首先是两种变换后得到的信号从频域角度来看是否直观。

以这个信号为例，利用matlab对其进行傅里叶展开。这幅图是其幅度频谱。（在黑板上写出傅里叶展开的f(t)12F(j)ejtd）从这张图以及相位频谱，各位就可以描述

jtF(j)e出F(j)的表达式。又知道，f（t）即由一系列的d加和得到，所以从频域上我们可以直观看出不同频率的各个三角函数分量。这一点是拉普拉斯变换所不能企及的。这也是为什么傅里叶变换多用于针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。

第二个方面是求解微分方程的简易性差别

一方面是可以将时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。这一点个大家都十分清楚，在许多书中也给出了证明。

另一方面是可以将初始状态包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是时域微分性质。这里，我查阅许多资料与书籍发现都没有这个性质的证明，只是告诉我们如何使用，但这里我们需要从最本质的地方探究傅里叶与拉普拉斯在求解微分方程简易程度上的差别，因此课后通过推导，在这里给出证明：

而傅里叶的时域微分性质如下：

可以看到一个包含了初始状态，一个并没有。

最后一个就是拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换，这也是我们最后一个，也是最显著的一个区别。我们稍后再谈。

综上，可以发现拉普拉斯变换在求解微分方程上更占优势

我们来到了最后一个差别，也是最本质的差别，处理的函数范围不同。

在查阅了高等数学教材后，得到了数学上对傅里叶变换成立的收敛定理，如下： 1 函数f(x)在每个有限区间上可积;2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且

lim

f(x)=0。

那么对于一些函数，例如eαtu(t)(α>0)，无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换 下面是利用matlab进行求解的过程，可以看到，对于e^3t这个函数，无法求解出其傅里叶变换。与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。

以斜坡信号tu(t)为例，对其用matlab进行求解，可以看到包含了dirac函数，也就是冲激函数。

因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子et，使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉斯变换式

好的，接下来让我们看看同样的函数，使用拉普拉斯变换看会得到什么样的结果。对于e^3t*u(t)，得到了1/（s-3）； 对于tu（t），得到了1/s^2。

傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在数学领域有着应用，在测试技术及控制工程领域应用更为广泛，搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换的我们极其重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法，在未来给各位带来些许帮助。

离散傅里叶变换 篇3

摘 要：信号与系统课程是一门专业基础课，电信、自动化、网络等专业的本科生在大二的时候都要学习这门课程。本文就其中相关离散傅里叶级数问题进行研究，以图文结合的形式对离散傅里叶级数的时域信号和频域信号的对应关系做了详细分析。

关键词：信号与系统；MATLAB；离散傅里叶级数

一、绪言

信号与系统课程是电子信息类专业的一门专业基础课，其内容涵盖了信号处理、系统分析的基本概念和基本方法，在整个专业学习中起着举足轻重的作用，它为今后进一步学习信号处理、网络理论、通信理论、控制理论等课程奠定基础。

鉴于信号与系统课程十分重要，多年来一线的教育工作者对其进行了一系列改革，使该课程从原先的纯理论性发展到理论和实践并重。理论和实践结合使得信号与系统课程不再那么乏味，尤其是实践的加入，使学生明确了学习方向和学习目的，开阔了学习思路。为了更灵活地应用信号与系统的理论知识指导实践，必须指导学生打牢理论知识的基本功。

二、信号与系统课程中有关离散傅里叶级数问题的研究

信号与系统的频域分析是信号与系统课程的重点部分，它既是一种分析方法，又具有自身的物理意义，在频域中可以看到信号在时域中看不到的一些特点。信号与系统的很多应用都是基于对频域的分析，如信号的调制解调、信号的滤波等。信号与系统的频域分析包括离散信号与离散系统的频域分析和连续信号与连续系统的频域分析，其中包括周期信号的傅里叶级数展开和非周期信号的傅里叶变换。下文就离散周期信号即周期序列的傅里叶级数展开进行讨论。

周期序列的傅里叶级数展开式及其傅里叶系数定义如下，其中N是序列的周期。

1.如何使用MATALAB正确计算离散傅里叶级数对

要想使用MATLAB正确计算出周期信号的离散傅里叶级数对，必须正确理解离散傅里叶级数对的含义，并且熟记巴塞瓦尔能量恒等定理。例如，要计算和显示如图1所示的周期序列的三个周期的傅里叶级数的频域特性及其逆变换，可以使用两种方法对其进行操作：第一种方法，先计算序列一个周期中傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示三个周期的频域特性及其逆变换（结果见图2）；第二种方法，直接计算序列三个周期的傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示（结果见图3）。

如表1的两个程序所示，第一种方法比较直观易懂，计算过程也不容易出错，只是每次在显示结果图的时候都要列写出三个周期；第二种方法只需要对信号进行一次三周期拓展，代码简单，但是计算傅里叶级数的过程不是很直观，学生在使用这种方法的时候容易出错。第二种方法是对信号的三个周期同时进行傅里叶级数展开的，求解逆变换的时候也是如此，为了保持能量守恒，在计算它的频谱和逆变换的时候一定要在原有公式的基础上除以3。

2.离散周期序列的重复周期对频谱特性的影响

图4为周期N=10的序列的不同重复周期对幅频特性的影响，由图可以看出当重复周期数越来越多时，频谱特性越来越集中到某些频率值上，并趋向于离散化。

如表2中程序所示，为了得到图4的正确结果，在计算频谱特性时要保持能量守恒，在原有公式的基础上必须除以序列的重复周期数。同理，在计算傅里叶级数的逆变换时，必须要乘以重复周期数以保证时域和频域的能量守恒，此处也是学生比较容易出错的地方。

三、结论

离散傅里叶级数是信号与系统频域分析的重要部分，离散傅里叶级数变换对的公式给出的仅仅只是一个周期的对应关系，我们要从本质上对它们进行透彻的理解以及挖掘隐藏在它们背后的能量守恒定理。通过MATLAB的计算和显示，有利于我们更直观地观察离散傅里叶级数变换对之间的关系，更好地掌握离散信号的傅里叶级数，在频域中更灵活地对离散信号和离散系统进行分析。

参考文献：

[1]诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号与系统课程教学改革的思考与实践[J].网友世界，2013（Z4）：186-187.

[2]诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号系统课程中数字图像处理教学案例研究[J].宁波工程学院学报，2014，26（4）：79-82.

[3]罗贤娟，诸葛霞，袁红星，邓菲，何金保，黄晶.信号与系统课程中使用Matlab的若干问题探讨[J].电子制作，2014（23）：84.

[4]诸葛霞，袁红星，李俊.信号与系统课程教学过程中若干问题的探讨[J].亚太教育，2015（7）：127，141.

离散傅里叶变换 篇4

现代数字信号处理中,由于频域分析比时域分析具有更加清晰的物理概念和深刻含义,因而在数字信息技术领域通过DFT运算进行频谱分析是一种常用的分析手段。由于计算速度和处理工作量以及计算机存储容量等方面的限制,对于无限长数字信号,只能从中选取有限时长的数据样本加以处理,即对信号进行截短,截取的有限长信号相当于原信号与有限长窗函数的乘积,信号截短必然会对数据处理结果造成影响,即产生窗效应,不能完全反映原信号的频率特性。文献[1-2]详细地介绍了DFT原理以及时域加窗对频谱分析带来的影响。不同的窗函数对频谱分析产生的影响不同,文献[3-4]对常用窗函数的特性进行了分析比较,并通过仿真进行了验证;文献[6]就常用窗函数在离散频谱分析校正中的运用做了详细的介绍;文献[7]就汉宁窗在谐波分析中的应用进行了介绍。可见窗函数对于改善频谱泄露和栅栏效应对离散频谱分析的影响非常重要。本文在简要地介绍离散傅里叶变换的频谱泄露现象和栅栏效应的基础上,对5种典型窗函数的性能进行了分析比较。通过仿真结果证明,窗函数的选择要针对不同信号的性质与处理要求,这为工程应用提供了参考依据。

1 加窗DFT

1.1 加窗原理

由于离散傅里叶变换是对有限长序列定义的,因此,对无限长序列x[n],-∞<n<+∞,计算其频谱X(k)时,必须要对x[n]进行截短或分段,这相当于把x[n]与幅度为1,长度为N的矩形序列wN[n]=u[n]-u[n-N]相乘,截短后的N点序列xN[n]为:

这个幅度为1,长度为N的矩形序列wN[n]就是矩形窗函数,这种对信号的截短或分段就是加窗,加窗处理时选择的窗函数不同,给频谱分析带来的影响也不同。

1.2 频谱泄漏

所谓频谱泄漏是指在进行离散傅里叶变换时某一频率的信号能量扩散到相邻频率点的现象。对被测信号进行离散傅里叶变换,信号时域加窗等效于频域卷积,这种截短导致频谱分析出现误差,其效果是使得频谱以实际频率值为中心,以窗函数频谱波形的形状向两侧扩散,产生“泄漏效应”。泄漏效应会增加新的频率成分,并且使谱值大小发生变化。从能量角度来讲,频率泄漏现象相当于原信号各种频率成分处的能量渗透到其他频率成分上,所以又称为功率泄漏。

根据离散时间傅里叶变换的频域周期卷积性质,xN[n]的频谱XN(k)和x[n]的频谱X(k)之间的关系为:

式中:WN(k)是N点单位矩形序列wN[n]的DFT,其表达式为:

显然XN(k)不同于X(k)。

x[n]的N点DFT的系数X[k]是XN(k)的等间隔(2π/N)样本值,即:

而不是X(k)的等间隔(2π/N)样本值。

因此,用N点DFT来表示x[n]的频谱X(k)将带来误差。

连续正弦信号、矩形窗和截短正弦采样信号频域波形,如图1所示。

由图1可以看出,对于连续正弦信号,其频谱在实际频率值处,而经矩形窗截短后的采样信号,其频谱则以实际频率值为中心,并以窗函数频谱波形的形状向两侧扩散。

1.3 栅栏效应

由于X[k]是XN(k)在离散频点k(2π/N)的样本值,没有给出这些频率点之间的频谱内容,就好像通过百叶窗观看窗外的景色,看到的是百叶窗缝内的部分景色,无法看到被百叶窗挡住的景色,这就是所谓的栅栏效应。

由于栅栏效应,如果频谱XN(k)的峰值正好在两个离散频点之间,则X[k]将不能很好地反映XN(k)的峰值,为了把被“栅栏”挡住的频谱分量监测出来,可以采用在原采样序列末端补零的方法,即增大频域采样的N值。补零没有改变x[n]的内容,只是改变了信号的长度或周期,其效果是改变了采样点的位置,相当于移动并增加了“栅栏”的数量,从而改变了透过栅栏的视野,并把频谱的峰点、谷点等显露出来。

以640Hz的采样率对50Hz和55Hz正弦信号采样并进行64点DFT运算后的频谱,如图2所示。从图中可以看出,对于50 Hz的正弦信号,由于频谱分辨率Δf=640/64=10 Hz,谱线的峰值正好在50 Hz处,没有出现频谱泄露的分量;对于55 Hz的正弦信号,由于只能显示10 Hz整数倍上的频谱分量,而无法显示55Hz处的频谱分量,所以出现了频谱泄露现象,为了能够看到其他样本值,将信号补零增加到256点,Δf=640/256=2.5Hz,也就是每隔2.5 Hz显示一个频谱分量,这样就可以看到原来看不到的部分了,如图3所示。

2 窗函数及其特性

2.1 常用窗函数

从前面的分析可以知道,频谱泄漏是DFT所固有的,它与窗函数谱的旁瓣密切相关,如果使旁瓣的高度趋于零,从而使能量相对集中在主瓣,就可以得到较为接近于真实值的频谱。为此,在时间域内常采用不同的窗函数来截短信号。在工程应用中,常用5种窗:矩形窗(Rectangular Window)、汉宁窗(Hanning Window)、海明窗(Hamming Window)、布莱克曼窗(Blackman Window)、布莱克曼-海瑞斯窗(Blackman-harris Window)。5种窗函数的时域和频域对比如图4,图5所示。

表1给出了窗函数长度为256时不同数据窗的特性。

2.2 窗函数性能分析

在工程上,选择窗函数的原则是:一是窗谱的主瓣窄而高,以提高分辨率;二是旁瓣幅值应小,以减小频谱泄露。但通常上述两点难以同时满足。由图4,图5可以看到,当主瓣宽度较窄时,旁瓣幅值较高,能量泄漏较严重;当旁瓣幅度较小时,虽然能够得到比较平坦和匀滑的幅度频率响应,但是主瓣宽度较宽。因此,实际中选用窗函数往往是它们的折中,应根据信号性质和处理要求选择合适的窗函数。

矩形窗的主瓣宽度最窄,为4π/(M-1),但第一旁瓣很高,只衰减了13.3dB,有较大的能量泄漏,由于旁瓣的幅值衰减也很慢,当信号中存在多频率成分时,加矩形窗进行离散傅里叶变换后形成的旁瓣与旁瓣或旁瓣与主瓣之间的干涉影响较大,但如果只要求精确读出主瓣频率,而不考虑幅值精度,则可选用主瓣宽度比较窄而频谱分辨率较高的矩形窗,如测量物体的自振频率等;如果分析窄带信号,且有较强的干扰噪声,则应选用旁瓣幅度较小的窗函数,如汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗,尤其是汉宁窗,第一旁瓣较低,衰减了31.5dB,旁瓣的衰减很快,为18dB/OCT,因此汉宁窗具有较好的特性;布莱克曼-海瑞斯窗DFT运算是一种比较优秀的时频分析工具,其旁瓣衰减达到了92.1dB,惟一的缺点是,布莱克曼-海瑞斯窗的主瓣宽度为16π/(M-1),是标准DFT的4倍,但这并不影响该窗函数在特定条件下性能的发挥,下面的仿真中将予以证明。

3 实验仿真结果

3.1 窗函数频谱分辨率性能仿真

在多频率成分正弦信号分析中,将幅值相等,频率分别为50Hz,60 Hz,65 Hz,70 Hz,75Hz的5个正弦信号叠加在一起,采样频率为640 Hz,分别用长度为256的5个窗函数对信号进行截短,为了便于直观地看到经过DFT运算后频谱的峰点和谷点,将截取的信号补零至数据长度为2 048,由图6可以看出,加矩形窗的频谱图能够清楚地分辨出5个正弦信号,而加汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗和布莱克曼-海瑞斯窗的频谱图因无法看到60Hz,65 Hz,70 Hz,75 Hz这4个正弦信号的峰值,因而无法准确分辨出这4个信号。因此,如果只要求精确读出主瓣频率,主瓣较窄的矩形窗是最合适的。

3.2 窗函数谱泄露性能仿真

在扩频通信系统中,为了抗干扰,除了依靠本身的扩频系统,往往还需要对强干扰信号进行抑制,即将DFT运算后高于扩频信号主瓣的干扰分量置零后再进行反DFT运算,这时DFT运算导致主瓣变宽是次要的,而旁瓣过高所造成的能量泄漏是主要的,这会导致较严重的皱波效应。如图7所示,将扩频信号和单音干扰信号、窄带干扰信号叠加在一起,经过加矩形窗的DFT运算后,扩频信号明显淹没在单音干扰信号和窄带干扰信号中。如果经过加布莱克曼-海瑞斯窗的DFT运算,旁瓣下降幅度超过90dB,单音干扰信号和窄带干扰信号的旁瓣位于扩频信号的主瓣下方,这时只需将干扰信号主瓣所在的分量置零后再做逆运算即达到抑制干扰信号的目的。

4 结语

在简要介绍加窗DFT产生频谱泄漏现象和栅栏效应的原因基础上,分析了窗函数对频谱分析的影响,并对5种典型函数窗特性进行分析比较,通过仿真进行了验证。实验结果表明,如果按照频谱分辨率来排序,性能由高到低依次是矩形窗、汉宁窗和海明窗、布莱克曼窗、布莱克曼-海瑞斯窗;如果按照最大旁瓣幅度(能量泄漏程度)来排序,性能由高到低依次是布莱克曼-海瑞斯窗、布莱克曼窗、汉宁窗和海明窗、矩形窗。工程实践中,应根据信号的性质和信号处理的需求,选择合适的窗函数,以减小频谱泄露和栅栏效应对信号分析的影响。

参考文献

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[3]RAPUANO S,HARRIS F J.An introduction to FFT andtime domain windows[J].IEEE Instrumentation&Mea-surement Magazine.2007,10(6):32-44.

[4]HARRIS F J.On the use of windows for harmonic analysiswith the discrete fourier transform[J].Proceedings of theIEEE,1978,66(1):51-83.

[5]乔新愚,肖建红,郑术力.动态信号测量中的周期截短与加窗技术[J].计量检测,2005(z1):158-160.

[6]丁康,谢明,杨志坚.离散频谱分析校正理论与技术[M].北京:科学出版社,2008.

离散傅里叶变换 篇5

光学分数傅里叶逆变换的单透镜模式

用波前相因子判断法 ,将球面波照明物体的自由空间菲涅耳衍射光场分布,与分数傅里叶逆变换的标准频谱分布进行位相比较,提供了球面波照明条件下光学分数傅里叶逆变换的.单透镜模式,给出了其光学实现基本单元参量选择的判定法则.计算机模拟了实验证明了结论的可靠与可行.

作 者：杨虎 杨培林 作者单位：山西师范大学物理系,山西,临汾,041004刊 名：光电子・激光 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF OPTOELECTRONICS・LASER年，卷(期)：13(6)分类号：O438.2关键词：分数级 傅里叶 光学变换

离散傅里叶变换 篇6

关键词：傅里叶变换光谱仪； 光谱反演； 拟合算法； 可见光谱

中图分类号： TP 911.73 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.06.007

Abstract：In the Fourier transform spectrometer （FTS）， obtaining the optical path difference of each sampling points accurately is the key of data processing. The velocity fluctuation of moving mirror will cause equaltime sampling error， and traditional equal optical path difference sampling method can not be used for visible wavelengths. The influence of speed fluctuation is analyzed and a method to calculate the optical path difference of each sampling points based on fitting algorithm is developed. The method is verified by processing the interference signal of visible light with large velocity fluctuation. The experimental results verify its correctness and effectiveness. This method can also be used in any kind of Fourier transform spectrometer.

Keywords： FTS； spectrum recovery； fitting algorithm； vis spectrum

引 言

傅里叶变换光谱仪（FTS）因其具有高光谱分辨率、高光通量[12]、杂散光影响小、波数精确度高等优点在化学分析、大气探测等领域应用越来越广泛。其中可以获得非常高的光谱分辨率是傅里叶变换光谱仪最重要的优点，而光谱分辨率虽然受限于仪器自身，但是干涉信号采样误差和反演算法带来的误差同样会影响最终的光谱分辨率[34]。在傅里叶变换光谱仪中，随着动镜的移动，两干涉光束产生光程差，从而产生一个随光程差变化的干涉信号。干涉信号和光谱数据是一对傅里叶变换对[4]，对获取到的干涉信号以光程差为变量做傅里叶变换即可得到入射光的光谱数据，因此要进行光谱反演就需要在采样干涉信号的同时能精确地获取每个干涉信号采样点处的光程差。

如果动镜运动速度为绝对匀速，那么对干涉信号进行等时间采样等同于等光程差采样。但在实际情况中，动镜速度不可能是绝对匀速的，如果继续采用等时间采样则不可避免会导致非常大的采样误差，从而在得到的光谱图中产生误差[5]。常用的方法是采用激光作为参考信号，对其进行滤波整形后作为干涉信号采样的触发信号，这种方法只适用于目标光源波长大于参考激光两倍的傅里叶变换光谱仪中，例如中长波红外傅里叶变换光谱仪，当目标光源在近红外和可见光波段时，继续采用上述方法则会因不满足奈奎斯特采样定理而无法从离散的干涉信号中复原出光谱数据。本文基于曲线拟合算法提出了一种精确获取每个干涉信号等时间采样点处光程差的方法，仍然采用激光作为参考信号，对于波长在可见光波段甚至紫外波段的目标光源，即使速度波动较大，只要等时间采样频率满足采样定理，本方法都可以获取每个数据点处的光程差，从而对干涉信号进行精确反演获取光谱数据。

1 傅里叶变换光谱仪干涉信号分析

傅里叶变换光谱仪属于调频的干涉光谱仪，主要用来观测光谱信息，常用的傅里叶变换光谱仪采用的是经典迈克尔逊结构，光程差是动镜行程的两倍，其光学结构如图1所示。动镜采用角镜，这样可以消除动镜倾斜造成的影响[6]，而且在相同的动镜行程下可以获取四倍的光程差，从而得到更高的光谱分辨率。入射光被分束器分成强度相等的两束光，经分束器反射的光束经过左侧的定镜1和定镜2到达角镜左侧，然后反射回来，经分束器反射和投射分别到达探测器2和探测器1；而经分束器透射的光束经右侧的定镜3和定镜4到达角镜右侧，然后反射回来，经分束器反射和投射到达探测器1和探测器2。当动镜沿着光轴来回做直线运动时，在探测器上汇合的两光束的光程差发生周期性变化，形成干涉信号。在傅里叶变换光谱仪中，动镜作匀速扫描的过程，相当于在整个采样过程中以速度u对干涉光信号进行调制，其结果是把频率很高的光波调制成频率很低的电信号[7]。干涉信号被红外探测器转换为电信号，经过放大器和模拟滤波器，进入模数转换器进行等光程差采样，得到数字干涉图。

式（6）中后两项就是所谓的鬼线。如果采用等时间采样采集上述干涉信号，再直接对其做傅里叶变换，在所得到的光谱数据中会有额外的尖峰出现。如果入射光源为连续光谱，则所得到的光谱图会有很多鬼线出现。常用的方法是采用稳频激光作为参考信号，这是因为激光单色性好而且波长λ0已知，动镜每移动λ0/4便产生一个干涉信号周期，即每当激光干涉信号出现过零点时就知道光程差变化了λ0/2，因此只要以参考激光干涉信号过零点作为采样触发信号即可实现等光程差采样[9]。然而从采样点中复原出原谱线必须保证采样频率满足奈奎斯特采样定理，如果目标光源的波长λ全都大于激光波长的两倍，那么当光程差每变化一个λ，激光干涉信号已经至少出现了4个过零点，此时满足奈奎斯特采样定理；但是当目标光源的波长小于激光波长的两倍时，光程差每变化一个λ，激光干涉信号只出现一个过零点，甚至不出现。即对于工作波段为0.4～1.0 μm的傅里叶变换光谱仪，继续采用上述方法进行等光程采样则会造成干涉信息丢失，无法得到完整干涉信号，更无法得到光谱信息，因此如何对可见光干涉信号进行等光程差采样是能否反演出可见光光谱的关键。

2 利用曲线拟合算法获取光程差

在现在智能的控制方案下，虽然动镜往复运动的实际速度是不断变化的，但其速度不会存在突变的现象，因此在傅里叶变换光谱仪中，不可能存在动镜移动0.10～0.25 μm（λ/4）的过程中速度发生很大变化的情况，一般在动镜移动这么短的距离过程中，速度基本可以看作是匀速的。那么在光程差变化一个激光波长的过程中，产生的激光干涉信号应该是一个标准的带有初始相位的单频率正弦信号。

对于采集到的离散信号，很少能直接求得其函数表达式，一般是采用插值和拟合的方法，利用采集到的离散数据点来得出一条近似正确的连续的曲线。如果采样得到的离散信号点没有误差则采用插值方法，如果采样得到的离散信号点与真实值有差距则采用曲线拟合方法。常用的获取曲线的方法有样条插值、多项式插值、多项式拟合、基于遗传算法的拟合算法等，其中多项式拟合是最小二乘拟合的一种常用形式。最小二乘法是应用最广泛的曲线拟合算法，其核心思想是寻找合适的函数参数使得函数与所采样得到的数值之间的误差平方和达到最小[10]，即使下式达到最小值：

式中：N为采样总数。当用标准正弦信号去拟合时，即f（x）=Asin（2πfx+φ）+B，其中幅值A、频率f、相位φ、直流分量B四个参数都是未知的[11]，而且误差平方和是这四个参数的非线性函数，因此无法求出误差平方和的闭合解，只能用迭代法求出每个参数的局部最优解。

本文基于最小二乘法用f（x）=a+bsin（cx）+dcos（cx）对每个激光干涉信号周期进行正弦拟合，求出每个周期对应正弦信号的四个参数和拟合误差，如果能用该方法拟合出结果而且拟合误差非常小，则可近似认为：在光程差变化一个激光波长的过程中，产生的激光干涉信号是一个标准的单频率正弦信号。在傅里叶变换光谱仪中，由于参考激光干涉信号和目标光源干涉信号所经过电路的延迟不同，即使是采用等光程差采样仍然会有采样误差产生，根据文献[1213]的计算，只要速度波动的相对误差小于2%，这种误差对光谱的影响基本可以忽略。因此只要每个干涉信号周期的拟合误差小于2%，则基本可以忽略。对一个完整干涉信号的拟合流程图如图2所示。

3 实验验证

为验证本文所提出的方法，对所用傅里叶变换光谱仪进行速度开环控制，在速度有较大波动的情况下进行干涉信号采样。动镜采用无刷直流电机驱动，电机本身速度较快，经过减速箱减速，动镜运动的平均速度控制在3 cm/s，根据干涉信号频率和速度、波数的关系，可得干涉信号的频率范围为100～400 kHz，因此选择采样频率为2 MS/s，采样位数为16位。

参考激光采用波长为0.685 2 μm的稳频氦氖激光器，因对可见光波段气体的吸收率较低，为方便进行结果对比，目标光源分别采用波长为0.659 8 μm的红色激光和波长为0.532 μm的绿色激光。对动镜移动一个单程所获得的数据进行处理可以得到实际速度波动情况，如图3（a）所示，计算其波动的相对误差值为10.04%。拟合误差如图3（b）所示，最大拟合误差为1.30%，拟合误差的平均值为0.37%，满足误差小于2%的要求。图4和图5分别为用本文提出的算法对波长为0.659 8 μm和波长为0.532 μm的光源进行光谱反演的结果，并给出峰值光谱处的细节，从实验结果中可以看出，当速度变化较大时，采用本文所用的方法所得到的反演结果波数准确度高，而且基本可以达到仪器自身的光谱分辨率0.05 cm-1。

4 结 论

傅里叶变换光谱仪的动镜速度不可避免地会有波动，对等时间采样的干涉信号直接进行傅里叶变换将会产生很大的光谱误差。当目标光源为中长波红外光时，可以用参考激光干涉信号触发采样以实现等光程差采样，但是当目标光源的波长较短时，无法直接进行等光程差采样。本文提出了一种基于曲线拟合的光程差获取算法，能在速度波动较大时仍然能准确地反演出光谱图，而且适用于任何波段的目标光源，同时对速度均匀性无严格要求，降低了对控制系统精度的要求。

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离散傅里叶变换 篇7

随着计算机信息技术的飞速发展, 图像作为一类重要信息载体被广泛使用, 信息安全性也越来越受到人们的关注, 于是对信息安全研究的意义也变得重大。图像加密技术已经成为信息安全的一个重要组成部分, 并应用在工程、工业和医疗等诸多领域中。因此, 为了确保图像信息在计算机中的传播和存储的可靠性及安全性, 寻求高效、安全的图像加密方法已成为研究热点[1,2,3]。传统的经典加密算法, 如数据加密标准DES、IDEA算法以及RSA算法等, 在面对大数据容量、高冗余度的图像时, 往往存在着许多缺陷, 如密钥相对简单、密钥空间小及确定序列的参数相对较小, 并且系统的安全性能较低。因此将其应用于图像加密会存在较大的弊端。

超混沌系统作为图像加密中的一种新的技术手段, 已经在信息安全领域中广泛应用。它具有较强的初值敏感性和伪随机性的等特点, 且有两个或两个以上的Lyapunov指数, 能给加密算法提供巨大的密钥空间、较强的密钥敏感性和抗攻击能力以及好的安全性能, 能够很好地适应密码加密系统的要求[4,5,6,7]。许多研究提出了将加密系统运用到数字图像的空间域和频率域中, 以提高信息的安全性。如刘红[8]等提出一种改进的基于混沌的图像加密算法, 将原图像做分块处理, 并采用基于位运算的像素混淆算法对图像块进行处理, 使每个分块图像内的所有像素充分扩散到其他各个图像块中。实验结果表明该加密算法有效地削弱了图像相邻像素相关性, 比均匀置乱和二维混沌加密算法具有更强的抵御差分攻击的能力。Guo[9]等提出了一种新颖的加密技术, 将图像加密算法运用到空间频率域中, 通过随机改变原始图像的相位谱, 并将一个二进制相位谱的伪噪声图像添加到原来的相位谱当中。实验结果表明, 该算法能够有效提高其安全性。

从上可知, 在当前对图像进行加密算法研究中, 大部分的图像加密算法只是单独运用到空间域或者频率域中来完成图像的加密, 而同时对图像的频率域和空间域进行加密的研究内容相对较少, 急待深入研究。

为了提高加密系统的安全性, 增大其密钥空间, 本文提出一种基于离散傅里叶变换和双混沌映射的图像加密算法, 对图像的频率域和空间域同时进行加密, 充分利用了图像在频率域和空间域加密的优势。并对该图像加密新算法的安全性能进行了仿真实验验证。

1 二维离散的傅里叶变换

本文利用二维离散的傅里叶变换将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数, 傅立叶逆变换将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数, 并对图像频率域中的幅度和相位进行移位处理。输入一个矩形边长为M×N的图像, 并用二维离散傅里叶函数f (x, y) 中的x、y设定图像的空间域, F (u, v) 中u、v设定图像的频率域。则2D离散傅里叶正变换模型如下[10]:

其中, u、v为频率变量 (其中u=0, 1, 2, …, M-1;v=0, 1, 2, …, N-1) ;x、y为空间变量 (其中x=0, 1, 2, …, M-1;y=0, 1, 2, …, N-1) 。对式 (1) 进行逆变换, 可得二维离散傅里叶逆变换:

其中的x=0, 1, 2, …, M-1, y=0, 1, 2, …, N-1。另外, 由式 (1) 可知, 图像经傅里叶变换后得到的是复数形式, 很难表示图像的信息, 因此分别用R (u, v) 和I (u, v) 来表示F (u, v) 的实数部分和虚数部分, 其中, 幅度或频率谱为式 (3) , 相角或相位谱为式 (4) :

由式 (3) 、式 (4) 可以求得F (u, v) :

因此, 根据二维傅里叶变换特性, 通过式 (2) 、式 (3) 、式 (4) 就可以对频率域u-v平面坐标系的频率点进行处理, 得到幅度谱和相位谱;通过式 (1) 、式 (5) 实现逆转换处理, 将频率域转换成空间域。

2 两分段Tent映射

为了提高序列的伪随机性能, 本文采改进的两分段Tent映射来对图像频率域中的相位及幅度进行置乱操作。混沌Tent映射的迭代方程式如下:

其中, a∈ (0, 1) 为混沌映射参数, k为迭代次数, y (k) 是混沌序列x (k) 的中间变量, 并且给定的初始值x0、y0必须满足:x0∈ (-0.5, 0.5], y0∈ (0, 1]。由式 (6) 经K次迭代产生混沌序列{xk, k=1, 2, …, K}。

由上可知, 本文提出的两分段Tent映射数学模型简单, 很容易产生混沌序列。经大量仿真实验表明, 该映射法与一般的Tent映射相比, 产生的扩频码分布均匀, 相关性也很好, 并且Lyapunov指数更大、混沌程度更高。因此, 该映射能够获得很好的加密效果, 被广泛应用于保密通信和数据安全等领域中。

3 混沌Bernoulli移位映射

本文采用改进的混沌Bernoulli移位映射来对图像空间域中的灰度值进行扩散操作。Bernoulli映射为:

式中, b为Bernoulli参数, 应满足条件1.4

4 基于离散傅里叶变换和两混沌映射的图像加密算法研究

本文提出的置乱与加密算法流程如图所1示。

步骤1对待加密的明文图像进行二维离散的傅里叶正变换。

(1) 输入一个矩形边长为M×N的图像, 用傅里叶函数f (x, y) 来设定图像的灰度值。

(2) 经傅里叶正变换, 将图像的灰度分布函数f (x, y) 变换为图像的频率分布函数F (u, v) , 并获得图像频率域中的幅度谱|F (u, v) |和相位谱Φ (u, v) 。

步骤2利用改进的Tent映射对频率幅值和相位进行置乱操作。

(1) 给定初始值 (x0, y0) 和 (x'0, y'0) , a0作为密钥I, 其中x0, x'0∈ (-0.5, 0.5];y0, y'0∈ (0, 1], a∈ (0, 1) 。

(2) 利用改进的Tent映射经K次迭代产生混沌序列{xk, k=1, 2, …, K}及{x'k, k=1, 2, …, K}。

(3) 将上述产生的混沌序列分别对步骤1 (2) 获得的图像幅值和相位进行置乱处理, 从而获得新的频率幅值及新的相位。新幅值与原幅值及帐篷序列值的关系式为:

其中pij为新幅值, p'ij为原幅值, xij为帐篷序列值, L为图像的尺寸。

同理, 新相位与原相位及帐篷序列值的关系式为:

其中Mij为新相位, M'ij为原相位, x'ij为帐篷序列值, L为图像的尺寸

步骤3进行二维离散的傅里叶逆变换。将新的频率幅值及相位进行DCT操作, 使图像的F (u, v) 变换为f (x, y) , 从而获得置乱图像。

步骤4利用改进的Bernoulli映射对图像进行像素值替换操作。

(1) 给定初始值x″0, b0作为密钥Ⅱ, 其中

(2) 利用混沌Bernoulli移位映射迭代N次, 产生混沌序列{x, n=1, 2, …, N}。为了消除瞬态效应, 去掉前面的K个值, 将K+1以后的混沌序列产生一个 (M+N) 的混沌实值序列{x1, x2, …, xM+N}。

(3) 用混沌序列{x1, x2, …, xM+N}对置乱后的图像进行灰度值替代操作, 最终获得密文图像。

步骤5最后根据明文图像的加密要求 (包括抗穷举攻击、抗明文攻击以及抗差分攻击等) , 反复执行上述所有的步骤。

解密过程为加密过程的逆过程。本文不作详细介绍。

5 仿真实验及结果分析

借助仿真实验对本文提出的基于傅里叶转换和双混沌映射的图像加密新算法的安全性能进行验证与分析。输入一个256×256大小的明文图像LEAK, 色灰度256, 在MTLAB软件平台上进行仿真实验。文中分别给出了原始图像, 置乱图像, 和密文图像以及各自对应的直方图。仿真结果如图2、图3所示。图2纵坐标代表像素点数量, 横坐标代表灰度等级。从图3中可以看出, 原始图像直方图波动程度较大, 其随机性以及冗余性较低, 很容易被攻击者获取图像相关信息。而经过本文提出的算法加密后的图像灰度直方图产生了显著地变化。如图3 (c) 所示, 与前面 (图3 (a) 、 (b) ) 的分量直方图相比, 其灰度表现出均匀状态, 拥有较高的图像冗余性与伪随机性。这显示本文算法具有较好加密质量, 扩散和混乱特性好, 安全性高。

5.1 相邻两个像素点的相关性分析

相关实验表明, 加密后图像的两个相邻像素点的相关性越低, 则表明安全性越好[11]。本文任意择取加密前与加密后的图像中的1 800对相邻像素点, 根据式 (10) 求得相关系数rxy。

其中, x和y代表的是图像中相邻的两个像素点的灰度值, n为选取的相邻点数量, E (x) 为数学期望。

图4为加密前与加密后图像的任意两个相邻像素点在X轴方向的相关性测试结果。从图4 (a) 可知, 明文图像的相邻像素值变为一条对角线, 表明其具有较强的相关性;而经过本文提出的图像加密系统加密后, 像素值均匀地布满了整个灰度平面 (如图4 (b) ) , 其相关性显著降低。

其他两个方向的测试结果如表1所示。从表1也可以看到, 明文图像具有较高的相关性, 水平方向达到0.9418, 其值很接近1, 因此容易受到统计攻击;而经过本文提出的加密方法之后的密文图像的水平方向相关性约为0.0064, 几乎接近于零, 说明任意两个相邻的像素点几乎不相关。

因此, 该研究结果表明, 本文提出的加密方法能够有效地消除图像的相关性, 使加密后的图像具有良好的扩散性及较强的抗统计攻击能力。

5.2 密钥空间分析

较大的密钥空间能够有效抵抗穷举攻击。因此加密系统的密钥空间越大, 其安全级别也就越高[12]。混沌序列产生过程中密钥空间控制参数包含了初始值 (x0, y0) , (x0', y0') , x0″, 以及参数a0, b0;根据本文算法描述可知, 其密钥空间包括密钥I和密钥Ⅱ。假设本文算法的计算精度确定到10-15;则密钥I的空间大小为 (1015) 3× (1015) 3=1090, 密钥Ⅱ的空间大小为 (1015) =1030。由于这两个密钥是独立的, 因此密钥总空间为1090×1030=101201060。另外, 加之每次循环过程中的初始值不一样, 使得密钥空间更大。如此巨大的密钥空间足以抵抗穷举强力攻击。

5.3 信息熵

信息熵是衡量加密系统的显著指标之一。由于图像像素值有28种可能, 因此信息熵达到最大理想值为8。信息熵的计算公式如下:

其中, L为像素值, p (mi) 为mi出现的概率。经过本文加密后, 通过式 (11) 计算得到图像的H (m) =7.9984。该值非常接近8。表明本文算法在加密过程中基本没有丢失信息, 具有较强的抗熵攻击性能。

5.4 密钥敏感性测试分析

高效的加密系统应该具有敏锐的密钥敏感性。图5是图像在加密时的该性能的仿真测试状况, 图5 (a) 是正确解密的密文图像;图5 (b) 是密钥微小扰动后解密图。为了测试本文提出的算法的密钥敏感性, 将其中任何一个初值发生极其微小的变化 (取Δ=10-5) , 例如对y0进行微小的改动后, 其所产生的解密图像与正确解密的密文图像完全不同。可见, 该新算法具有敏锐的密钥敏感性。

6 结语

为了充分利用在图像频率域和空间域加密的优势, 本文设计了2D离散的傅里叶变换融合双混沌的图像加密算法;通过二维离散的傅里叶变换将图像的空间域转换成频率域, 并采用分段的Tent映射对频率域中的幅值和相位进行置乱处理, 获得置乱图像;然后利用混沌Bernoulli移位映射对图像进行扩散处理, 最终得到加密图像。本文算法实现了同时对图像频率域和空间域的双加密过程, 显著地提高了加密算法的安全性。并对该算法进行仿真实验, 结果表明该算法高度安全, 拥有较大的密钥空间、抗统计攻击能力强。

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离散傅里叶变换 篇8

对采样信号实处理时, 尤其是周期信号测量护理过程, 离散傅里叶变换有着广泛应用。离散傅里叶变换是否准确与以下几个因素有关:是否满足奈奎斯特采样定理的要求;在整数采样周期内是否正好存在整数个采样点。如果被检测的信号频率发生波动, 采样频率、采样总点数也会随之改变, 此时, 离散傅里叶变换计算结果也会发生误差。文中根据离散傅里叶变换计算结果误差展开分析, 通过实例介绍各项误差发生原因及解决方案。

1离散傅里叶变换的相关理论

目前, 离散傅里叶变换 (DFT) 逐渐形成了一个变换家族, 主要包括连续傅里叶变换 (FT) 、离散时间傅里叶变换 (DTFT) 、离散傅里叶变换 (DFT) 和快速傅里叶变换 (FFT) 等, 其中DFT在时域、频域均是离散的, 使得DFT可以借助计算机计算来实现。因此, 在机械工程、电学、物理学等领域运用离散傅里叶变换计算具有重要意义。但DFT存在较大的误差, 会带来严重错误的结果。DFT误差是根据系统特性与窗函数卷积进行解释, 文中从函数阶段、被分析卷积关系等角度展开研究, 从而掌握DFT误差的特性并认识产生误差的根源, 为减小DFT计算误差提供基础。如果采样频率和采样点数处于不变状态, 而被测信号频率发生波动时, DFT理论如下:

Xa (t) 是周期为T0的带限模拟信号, 其复指数形式表达式为:

2离散傅里叶变换结果误差及具体解决方法

2.1信号的频谱混叠误差

如果要对模拟信号xa (t) 实施采样操作, 则必须满足奈奎斯特采样定理相关要求, 即fs≥2fh, 此时才能在频域上无失真地恢复出原信号的频谱。图1和图2是用Matlab进行的抽样仿真波形, 其中图1是fs>2fh时原信号xa (t) 经过采样后的频谱, 图2是fs=2fh时, 即临界满足采样定理时xa (t) 经过采样后的频谱, 可以推断当fs<2fh时, 频谱在周期延拓时将会产生混叠现象。

根据上文分析, 时域有限信号必然会出现高频杂散信号分量, 所以在对信号进行采样操作前, 需要对模拟信号进行滤波操作, 滤除不必要的高频杂散信号, 减小误差。比如假设采样频率fs=2KHz, 若fs=5KHz时, 则采样信号的频谱混叠较小, 基本不会混叠;如果采样频率fs为1KHz时, 那么采样信号在频域上将会产生严重的混叠。分析折叠频率fs/2处, 当频谱幅度T分别为0.2ms、1ms时的混叠情况, 这个位置k=256, 对系统输入Matlab语句, 得到:

在fs位置, 模拟信号的幅度比值ans=0.0067。表明随着采样频率不断减小, 便不再满足奈奎斯特采样定理, 频谱混叠情况更严重。因此, 想要减小混叠现象, 就必须根据采样信号各项的要求, 实施采样前先进行预滤波操作, 滤除超过折叠频率fs/2的成分, 通常使用的采样频率为fs≥ (3-5) fc

2.2栅栏效应产生信号误差

3结语

在使用离散傅里叶变换 (DFT) 对采样信号频率进行分析时, 如果被采用信号频率发生波动, 那么其离散傅里叶变换的结果便容易出现误差, 本文对造成误差的两个因素:频谱混叠、栅栏效应分别进行了深入的分析, 并提出减小误差的具体解决方案。

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基于短时傅里叶变换测向技术 篇9

关键词：STFT,时频分析,门限判决,测向

0 引言

通常采用常规FFT频域变换提取信号信息, 并结合测向算法得到信号示向度的方法, 对于短时信号的测向已显现出不足。因为它们不能描述期望信号在时间上的频谱分布情况。另外, 日益复杂的外界电磁环境以及信号背景引入的其他信号也会对我们期望测向的短时信号产生影响。因此对于这种具有瞬变性的非平稳信号进行分析时, 需要采用可以描述分析信号时频联合特征的时频分析方法[1]。从信号的实时性考虑, 短时傅里叶变换具有算法简单、处理时间短、易于实现的优点;同时, 其频谱反映了信号的局部属性, 可以有效地降低噪声。该文提出了一种基于短时傅里叶变换的短时信号测向方法, 应用短时傅里叶变换, 将干扰信号去掉的同时尽可能地提取期望信号的信息, 从而实现对短时信号的测向[2]

1 短时信号测向算法

1.1 短时傅里叶变换

短时傅里叶变换的基本思想:假定非平稳信号x (t) 在分析窗函数g (t) 的一个短时间内是平稳 (近似平稳) 的, 并滑动分析窗函数, 使x (t) g (t-τ) 在不同的有限时间宽度内是平稳信号, 从而计算出各个不同时刻的功率谱。信号x (t) 的STFT定义为:

短时傅里叶变换的时频分辨率依赖于所选窗函数的时频跨度。由于g (t) 是一实偶函数, 故gf, τ (t) =g (t-τ) e-j2πft以τ为中心、沿τ的时间跨度不依赖于和即

而gf, τ的傅里叶变换为, 它是频域窗的2πf个单位平移, 所以其中心频率为f。它以f为中心的频率跨度为:

这说明在分析窗口长度一定的情况下, 短时傅里叶变换在时频平面上有不变的分辨率。为了方便计算机处理和快速运算, 需将傅里叶变换离散化。选窗函数g (n) , 使得它是一个周期为M的对称离散信号, 则信号f的离散短时傅里叶变换[4]为:

由于STFT可以理解为信号x (t) 在分析时间t附近的傅里叶变换, 故而这种傅里叶变换能够体现信号x (t) 的局部频谱特征。

1.2 门限判决

通过STFT的滑窗处理可以得到信号x (t) 在分析时间t内的局部频谱PM (i) , 进一步得到该时间内的频率和功率的关系:f～P (f, t) 。对于期望的短时信号 (假设频率为f0) , 通过上述频谱处理, 可以得到期望的短时信号f0在整个信号生存时间内的信号平均功率, 以此作为门限判决的依据, 同时结合门限因子K, 得到合理的判决门限U。这里的门限因子K正比于信噪比SNR。对于每一帧采集的信号序列, 如果SNR一定, 相应的门限因子K也就确定了。通过门限判决可以获得短时信号的生存时间及相应的频谱信息等。这种门限判决方法自动跟随输入信号强度变化, 合理设置检测门限以提高目标信号的提取性能[5,6]。基于STFT滑窗处理的门限判决流程如图1所示。

2 算法实现步骤

利用窗函数的滑动将信号分成一系列相互重叠的子段, 并假定每个信号子段都是平稳的。通过对每个子段的信号加窗, 以减少由于时间截断而产生的旁瓣泄露效应, 然后对每一段进行离散傅里叶变换, 这样得到的STFT的频谱即可表征信号的时频分布特征[1]。运用离散短时傅里叶变换, 对于采集到的信号序列, 该文提供的算法实现步骤如下:

(1) 把信号序列x (n) 分解成L段, 每一段包含M个样本数据x (i) (n) , 这些子序列配置成彼此错开M×α个采样, 即在相邻的各段之间存在M×α的数据重叠;

(2) 每一个子序列x (i) (n) 都乘以长度为M的非矩形窗函数w (n) (比如Kaiser窗等) , 产生出“窗口化信息段”xM (i) (n) 。其中xM (i) (n) =x (i) (n) *w (n) , n=0, 1, …M-1;

(3) 计算第i个数据段内的功率谱图为:

式中, 为窗序列w (n) 中平均功率的正规因子;

(4) 计算这些周期图的均值[3], 即

(5) 假设信号采样率为fs, 已知期望的短时信号f0, 由式 (6) 可以得到该频率下信号的平均功率P (f0/fs) , 根据信号信噪比结合门限因子K, 得到期望信号的提取门限;

(6) 提取信号信息后处理, 结合MUSIC测向算法得到期望信号的示向度。

3 性能仿真分析

该文采用24单元均匀圆阵, β=R/λ=2.58, 期望信号的真实角度为103°, 采样点数为4 096。其中M=256, α=0.85, L=31, 其中门限因子K=1。

测试信号示意图如图2所示, 其中包含连续时间信号和期望的短时信号, 其信噪比SNR=20, 如果单从时间—幅度关系中, 得不到期望信号的任何有效信息。

通过STFT, 可以得到如图3所示的变换后的测试信号时频分布图从中可以清楚地知道期望目标信号的生存时间区间在0～0.05 s和0.11～0.17 s;STFT后信号门限判决示意图如图4所示。通过计算机仿真得到基于平均功率和门限因子K的判决门限为78.57 dB, 根据该门限提取这2个时间区间内的期望信号信息, 对提取到的目标信号信息, 采用常规MUSIC算法, 进行仿真, 并与没有提取信号之前的数据仿真结果进行对比。

应用该文测向算法与常规MUSIC算法的测向结果归一化均方根 (RMSE) 曲线对比图如图5所示, 由图可以看到尽管在一些时间点上测向结果与真实方位有一些大的偏差, 但运用了该文方法后的测向结果RMSE曲线较之前有很大改善, 从一个侧面也说明了该算法的可行性, 如果结合统计算法, 相信会得到更为理想的测向结果。

4 结束语

提出的基于STFT的测向算法, 通过对实际采集的外界信号的数据仿真可以看到, 如果在处理数据中存在的干扰不是全频域的, 采用的方法及基于STFT的门限判决是可行的, 在避开干扰信号的同时能够有效地提高短时信号的测向准确度。由于采用的是固定窗口的STFT, 时域分辨率较低。另外, 如果应用的窗口长度越小, 计算量就会相应增加。这些都是该算法在工程应用上有待进一步完善的地方。

参考文献

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离散傅里叶变换 篇10

1 SURF算法

SURF算法利用两幅图像间共同的特征从而实现图像的匹配,通常包括特征提取、特征关联、参数优化求解以及图像重采样等环节。

1.1 SURF角点提取算法提取特征

SURF算法利用海森矩阵的行列式来确定特征点的位置,Lxx(x,y,σ)、Lxy(x,y,σ)、Lyy(x,y,σ)分别是输入图像卷积高斯函数的二阶导数形成的[5]。海森矩阵的表达式如下

为简化计算海森矩阵的行列式,用式(2)计算[6]

利用式(2)求出每个点的海森矩阵行列式后,在某点3×3×3的立体区域进行非极大值抑制。通过比较本尺度某点周围8个点以及上下尺度9个点共26个邻域值,取最大或最小的作为特征点[7]。

1.2 特征关联

计算在以每一个特征点为中心,半径为6(为该特征点对应的尺度)的圆形区域内点的哈尔小波响应,并给这些响应值分配高斯权值,以特征点为中心,滑动角度范围为π/3的扇形窗口,将角度范围为π/3的扇形区域里经过加权的响应值全部相加得到一个合成矢量。选取模值最大的矢量方向为该特征点的主方向。

以每一个特征点为中心,以其主方向为一个坐标轴,选取边长为20σ(σ为特征点的尺度)的正方形区域,将该区域分成4×4的子区域,计算每个子区域内的水平方向哈尔小波响应dx和垂直方向哈尔小波响应dy,并给每个响应值赋高斯权值,然后将每个子区域的响应值相加得到∑dx和∑dy。将每个子区域的响应值的绝对值相加得到∑|dx|和∑|dy|。每个子区域可以用一个四维向量表示v=(∑dx,∑|dx|,∑dy,∑|dy|),因此,对于每一个特征点,形成维特征向量,对向量进行归一化处理。

计算待匹配图像中特征点的特征向量与参考图像中特征点的特征向量的距离,利用最近距离比次近距离的方法进行特征关联[7]。

1.3 参数优化求解

利用关联好的特征点对的坐标,使用最小二乘法求出变换模型的参数。

1.4 图像重采样

利用双线性插值算法进行插值,最终得到匹配图像。

2 基于傅里叶梅林变换的SURF算法

2.1 算法原理

基于傅里叶梅林变换的SURF算法,先利用傅里叶梅林变换[8]的相关知识求得待匹配图像和参考图像间的旋转角度,然后利用求出的旋转角度矫正待匹配图像,得到初步匹配图像,进而利用SURF算法匹配得到的初步匹配图像和参考图像,从而得到最终的匹配图像。

2.2 傅里叶梅林变换

假定待匹配图像为f2(x,y),参考图像为f1(x,y),f1(x,y)与f2(x,y)之间的关系如式(3)所示。

式(3)中,a为尺度变换因子,θ0为待匹配图像和参考图像间的旋转角度,Δx和Δy为f(x,y)与f2(x,y)间的水平平移量和垂直平移量。

令λ=lgρ,b=lga,并定义rp1(θ,λ)=rp(θ,ρ),sp1(θ,λ)=sp(θ,ρ),则有

对式(6)运用傅里叶变换,并利用交叉能量谱公式即可求出θ0。

2.3 SURF算法再匹配

求出待匹配图像和参考图像间的旋转角度之后,利用求出的角度矫正待匹配图像,得到初步匹配图像,然后使用SURF算法对得到的初步匹配图像和参考图像进行匹配,从而得到最终的匹配图像。

3 实验结果及分析

为验证本文提出的算法的有效性,分别使用SIFT(Scale Invariant Feature Transform)算法、SURF算法以及本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法对待匹配图像和参考图像在不同旋转角度差下进行了实验。本文使用相关系数来衡量匹配方法的匹配精度。

假设图像A和图像B的尺寸为m×n,则图像A和图像B的相关系数CAB定义如下

图1为用于实验的待匹配图像和参考图像。

将SIFT算法、SURF算法以及本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法的匹配结果列于表1和表2中,表1为3种匹配方法处理待匹配图像和参考图像在不同旋转角度差下的匹配精度表,表2为3种匹配方法的匹配时间表。

/s

图2是待匹配图像和参考图像间旋转角度为50时,3种匹配算法的匹配结果图。

从表1中可看出,本文提出的算法可以有效解决图像间存在较大旋转角度的匹配,且匹配精度基本在0.96以上。SIFT算法和SURF算法在处理图像间旋转角度>20°的匹配时,匹配精度都<0.9,且随着角度的增大,匹配精度呈下降趋势。

从表2中可看出,本文提出的算法匹配时间基本和SURF算法相当,且远低于SIFT算法的匹配时间。

4 结束语

当前基于特征的图像匹配算法中较为常用的SIFT算法和SURF算法,在处理旋转角度较大的两幅图像间的匹配时,匹配效果不是很好,通常需要后续的去误匹配算法来矫正匹配效果,但有些去误匹配算法矫正效果并不理想,且增加了去误匹配算法会延长整个算法的匹配时间。

因此,本文提出了一种无须增加误匹配算法也可处理图像间存在较大旋转匹配的算法———基于傅里叶梅林变换的SURF算法。该算法利用傅里叶梅林变换先求出两幅图像间发生的旋转角度,从而首先矫正两幅图像间发生的旋转,然后利用SURF算法匹配初步得到的匹配图像和参考图像,最终完成两幅图像间的匹配。实验结果证明,本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法,不仅可处理图像间旋转角度较小的匹配,还能有效处理图像间旋转角度较大的匹配,且比起已有的SIFT和SURF算法,具有更好的匹配效果。

摘要：针对加速鲁棒性特征算法,在没有后续去误匹配等处理的情况下,对存在较大旋转角度的两幅待匹配图像,匹配精度较低的问题,提出了一种基于傅里叶梅林变换的SURF算法。该算法通过对待匹配图像和参考图像实施傅里叶变换和梅林变换,利用能量谱求出两幅图像发生的旋转角度,并利用SURF算法找出图像间发生的平移和尺度变化,实现了图像间的匹配。实验结果表明,该算法可有效地实现图像间存在较大旋转角度时的几何匹配,且相比已有的SIFT和SURF算法,具有更好的匹配效果。

关键词：图像处理,图像匹配,傅里叶梅林变换

参考文献

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离散傅里叶变换 篇11

关键词：含酚废水,傅里叶变换红外光谱法,萃取,分析

酚类化合物是重要的化工原料之一。煤气厂、焦化厂、炼油厂、石油化工厂、树脂厂、染料厂、制药厂、农药厂等在生产过程中均会产生含酚废水。酚类化合物毒性极大, 也是世界各国规定的主要排放监测污染物之一。目前, 测定酚类化合物的方法很多[1~5], 但用傅立叶变换红外光谱法 (FTIR) 测定酚类化合物的方法报道较少。

本工作先采用有机溶剂萃取模拟含酚废水中的酚类化合物[6,7], 再用FTIR法测定含酚废水的吸光度, 由标准曲线求得废水中的酚质量浓度。采用FTIR法测得的实际废水中的酚质量浓度与GB7491—87《水质挥发酚的测定蒸馏后溴化容量法》测得的废水中的酚质量浓度非常接近。

1 实验部分

1.1 材料、试剂和仪器

实验用水为无酚水。活性炭粉末:过250目筛的木质活性炭;苯酚、三氯化碳:分析纯。

MB 154S型FTIR仪:加拿大波曼公司。

1.2 实验方法

无酚水的配制:将0.2g经200℃活化30min的活性炭粉末加入1L蒸馏水中, 充分振荡摇匀后, 放置过夜, 用双层中速滤纸过滤, 将滤液移入全玻璃蒸馏器中加热蒸馏, 收集馏出液即为无酚水。无酚水贮于玻璃瓶中, 取用时避免与橡胶制品 (橡胶塞或乳胶管等) 接触。

苯酚标准贮备液的配制:称取10.00g苯酚溶于无酚水中, 移入1 000mL容量瓶中, 用无酚水稀释至标线, 置于冰箱中保存至少一个月。此溶液需采用GB 7491—87《水质挥发酚的测定蒸馏后溴化容量法》进行标定。

苯酚标准使用液的配制:取适量苯酚标准贮备液, 用无酚水配制成质量浓度为1.0g/L的苯酚标准使用液。使用时当天配制。

含酚废水酚含量的测定:将适量用苯酚配制的含酚废水置于比色管中, 加入一定量的三氯化碳萃取, 充分振荡2min, 静置5min。将比色管中的上层水溶液移去, 用微量进样器移取50μL三氯化碳萃取液, 注入固定式液体吸收池中, 用FTIR仪测定吸光度, 由苯酚标准曲线求出废水的酚质量浓度。

空白试样的测定:用无酚水代替含酚废水, 按照测定含酚废水的相同步骤进行测定。

1.3 苯酚标准曲线的绘制

取苯酚标准使用液2.00, 4.00, 6.00, 8.00, 10.00mL分别置于10.00mL容量瓶中, 用无酚水稀释至刻度并摇匀。然后各取2.00mL分别置于15mL比色管中, 加入体积比为1∶1的三氯化碳与无酚水配制的萃取液, 振荡, 静置。用FTIR仪测定吸光度, 绘制苯酚标准曲线, 见图1。由图1可见, 此标准曲线的线性较好, 线性回归方程为:

A=0.054 39+0.000 0198ρ (苯酚) , 相关系数为0.998 5。

2 结果与讨论

2.1 测定波长的选择

通过查找苯酚和三氯化碳的“Sadtler”标准谱图, 基本不受溶剂峰影响的苯酚特征峰的波数为为:1 605, 1 598, 522, 500cm-1。其中1 605cm-1和1 598cm-1处的峰相对较强, 但1 605cm-1处的峰在低浓度时受溶剂峰影响较大, 而1 598cm-1处的峰基本不受溶剂峰的影响, 能较好地反映出苯酚在高、低浓度时的吸光度。故选用1 598cm-1为测定波长。

2.2 含酚废水与三氯化碳体积比的确定

当废水中酚质量浓度大于100.0mg/L时, 含酚废水与三氯化碳体积比对酚质量浓度测定结果的影响见表1。由表1可见, 含酚废水与三氯化碳体积比为1∶1时, 萃取效果最好, 酚质量浓度测定的相对误差小于2%。

当废水中酚质量浓度为10.0~50.0mg/L时, 含酚废水与三氯化碳体积比对酚质量浓度测定结果的影响见表2。由表2可见, 含酚废水与三氯化碳体积比为10∶1时, 萃取效果最好, 酚质量浓度测定的相对误差小于5%。

2.3 检出限的计算

当废水中酚质量浓度大于100.0mg/L时, 取含酚废水与三氯化碳体积比为1∶1, 空白试样5次平行测定值分别为33, 36, 36, 33, 36mg/L, 平均值为34.8mg/L。

根据检出限 (L) 计算公式

式中:f为自由度, 其值为5;tf (0.05) 为显著性水平为0.05 (单侧) , 自由度为f的t值[8];Sb为空白试样平行测定的标准偏差。

故

用FTIR法测定废水中酚的质量浓度, 当酚质量浓度大于100.0mg/L时, 检出限为11.95mg/L;当酚质量浓度为10.0~50.0mg/L时, 检出限为1.19mg/L。

式中, n=f故

当酚类化合物质量浓度为10.0~50.0mg/L时, 含酚废水与三氯化碳体积比为10∶1, 空白试样5次平行测定值分别为5.7, 5.8, 6.0, 6.0, 6.1mg/L, 平均值为5.92mg/L。

2.4 精密度

采用FTIR法对配制的酚质量浓度为792mg/L含酚废水平行测定5次, 考察本方法的精密度, 结果见表3。由表3可见, 5次测定的标准偏差平均为2.83mg/L, 相对标准偏差平均为0.354%, 由此可见, 本方法的精密度较高。

2.5 加标回收率

配制酚质量浓度为259.4mg/L的含酚废水, 取此废水1mL用无酚水稀释20倍后, 加入一定质量的苯酚, 用FTIR法测定加标溶液的酚质量, 计算加标回收率, 结果见表4。由表4可见, FTIR法的加标回收率为101.7%~103.2%。

2.6 与蒸馏后溴化容量法的比较

FTIR法与蒸馏后溴化容量法的操作条件、检出限及相对误差等的比较见表5。由表5可见, FTIR法具有操作简便、适用范围广、检出限低、耗时短、干扰少、相对误差小等优点。

2.7 实际废水的测定结果

取某酚醛树脂厂的含酚工业废水, 分别用FTIR法和蒸馏后溴化容量法测定其中酚含量, 平行测定5次的平均酚质量浓度见表6。

表6中废水原液是指未经处理的含酚工业废水;A液是指经合成法废水处理工艺处理后的含酚工业废水;B液是指经合成法废水处理工艺处理后再经活性炭吸附处理后的含酚工业废水。由表6可知, FTIR法测得的废水中酚质量浓度与GB 7491—87《水质挥发酚的测定蒸馏后溴化容量法》测得的废水中酚质量浓度非常接近, 说明FTIR法所测定的废水中的酚质量浓度结果真实、可靠。

3 结论

a) 以三氯化碳作萃取剂, 先萃取模拟含酚废水, 再采用FTIR法测定废水中的酚含量。当废水中酚质量浓度大于100.0mg/L时, 含酚废水与三氯化碳体积比为1∶1时, 萃取效果最好, 酚质量浓度测定的相对误差小于2%;当废水中酚质量浓度为10.0~50.0mg/L时, 含酚废水与三氯化碳体积比为10∶1时, 萃取效果最好, 酚质量浓度测定的相对误差小于5%。

b) 当废水中酚质量浓度大于100.0mg/L时, FTIR法的检出限为11.95mg/L;当废水中酚质量浓度为10.0~50.0mg/L时, 检出限为1.19mg/L。该方法的相对标准偏差平均为0.354%, 加标回收率为101.7%~103.2%。

c) 采用FTIR法测定含酚工业废水中的酚质量浓度与GB 7491—87《水质挥发酚的测定蒸馏后溴化容量法》测定结果非常接近, 但FTIR法操作简便、适用范围广、检出限低、耗时短、干扰少、相对误差小。

参考文献

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