麦克斯韦方程

2024-06-02

麦克斯韦方程（精选5篇）

麦克斯韦方程篇1

时域有限差分方法[finite-difference time-domain (FDTD) method]自1966年由Yee[1]提出来后, 一直是计算电磁学常用的方法之一, 并广泛应用于电磁散射、天线的分析与设计、雷达截口的计算等电子工业与国防工业。但是, 由于FDTD方法是条件稳定的, 即在二维情形下, 时间和空间步长分别为Δt, Δx, Δy;必须满足Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 稳定条件: cΔt≤[1/ (Δx) 2+1/ (Δy) 2]-1/2。其中c是在介质中的光速, ε, μ是介电常数和磁导率。为了解决上述问题, 由文献[2,3]提出了交替方向隐式时域有限差分方法 (ADI-FDTD) 方法, 并用Fourier方法证明了这种格式是无条件稳定的。近年来[4], 将分裂算子方法与FDTD方法结合提出新颖而且简单的分裂算子的时域有限差分方法 (S-FDTD) , 与二维ADI-FDTD相比都是无条件稳定的二阶格式, 但是S-FDTD格式采用算子分裂技术, 所以格式简单, 计算时间短, 并且在模拟一种散射问题时, S-FDTD比ADI-FDTD更精确。麦克斯韦方程的高阶时域有限差分方法已有较多的研究工作[4,5,6,7,8,9], 但是这些方法都没有使用分裂算子技术。

本文将高阶差分与S-FDTD方法相结合提出一种新的方法, 即在分裂后的方程基础上对空间采取四阶中心差分, 从而得到分裂 (splitting) 的高阶 (high-order) 的时域有限差分 (FDTD) 格式SHO-FDTDⅠ;并在此格式的基础上通过增加扰动项减小分裂误差给出它的修正格式SHO-FDTDⅡ, 给出了具体的计算步骤, 然后用Fourier方法证明了这两种格式是无条件稳定的, 并给出这两种格式的数值弥散关系式和数值弥散误差的计算。与条件稳定的高阶FDTD相比, 新方法是无条件稳定的;与高阶的ADI-FDTD相比, 新格式更简单, 易于编程和实现。

1 二维麦克斯韦方程的SHO-FDTD格式

考虑以下二维横向电波:

$\frac{\partial E_{x}}{\partial t} = \frac{1}{ε} \frac{\partial Η_{z}}{\partial y}$ (1.1)

$\frac{\partial E_{y}}{\partial t} = - \frac{1}{ε} \frac{\partial Η_{z}}{\partial x}$ (1.2)

$\frac{\partial Η_{z}}{\partial z} = \frac{1}{μ} (\frac{\partial E_{x}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial x})$ (1.3)

其中 $\vec{E} = (E_{x} (x, y, t), E_{y} (x, y, t))$ 表示电场, $Η_{z} = Η_{z} (x, y, t)$ 表示磁场, ε和μ分别是介电常数和磁导率, Ω=[0, a]×[0, b], t ∈ (0, T]。其边界满足理想导体边界条件: $E_{x} (x, 0, t) = E_{x} (x, b, t) = E_{y} (0, y, t) = E_{y} (a, y, t) = 0$ 。初始条件: Ex0=Ex0 (x, y) , Ey0=Ey0 (x, y) , Hz0=Hz0 (x, y) 。

为了书写的方便, 我们仅讨论常系数的情形, 这里所用的方法容易推广到变系数的情形。对空间区域Ψ以及时间区域[0, T]采取如下剖分:

其中Δx和Δy分别是沿x轴方向和沿y轴方向的空间离散步长, Δt是时间步长, I, J, N为整数。

对于任意一个网格函数F (t, x, y) , 引入以下记号:

F $_{α, β}^{m}$ =F (mΔt, αΔx, βΔy) , $δ_{t} F_{α, β}^{m} = \frac{F_{α, β}^{m + \frac{1}{2}} - F_{α, β}^{m - \frac{1}{2}}}{Δ t},$

$δ_{x}^{2} F_{α, β}^{m} = \frac{1}{Δ x} (\frac{1}{24} F_{α - \frac{3}{2}, β}^{m} - \frac{9}{8} F_{α - \frac{1}{2}, β}^{m} + \frac{9}{8} F_{α + \frac{1}{2}, β}^{m} - \frac{1}{24} F_{α + \frac{3}{2}, β}^{m})$ ,

$δ_{y}^{2} F_{α, β}^{m} = \frac{1}{Δ y} (\frac{1}{24} F_{α, β - \frac{3}{2}}^{m} - \frac{9}{8} F_{α, β - \frac{1}{2}}^{m} + \frac{9}{8} F_{α, β + \frac{1}{2}}^{m} - \frac{1}{24} F_{α, β + \frac{3}{2}}^{m})$ 。

用E $_{v_{α, β}}^{m}$ (v=x, y) 表示电场Ev (tm, xα, yβ) 的近似值。H $_{z_{α, β}}^{m}$ 表示磁场Hz (tm, xα, yβ) 的近似值。将分裂算子的时域有限差分方法[9]与高阶差分方法[4]相结合, 提出如下格式:

第一步:

$\frac{E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}}{Δ t} = \frac{1}{2 ε} δ_{x}^{2} = (Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} + Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n})$ (1.4a)

$\frac{Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} - Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}}{Δ t} = - \frac{1}{2 μ} δ_{x}^{2} (E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n})$ (1.4b)

第二步:

$\frac{E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + 1} - E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}}{Δ t} = \frac{1}{2 ε} δ_{x}^{2} = (Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + \frac{1}{2}} + Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n})$ (1.5a)

$\frac{Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}}}{Δ t} = \frac{1}{2 μ} δ_{y}^{2} (E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n})$ (1.5b)

此格式称为分裂算子 (splitting) 的高阶 (high-order) 时域有限差分方法, 记为SHO-FDTDⅠ。其中, 边界条件为: $E_{x_{i + \frac{1}{2}, 0}}^{n} = E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n} = E_{y_{0, j + \frac{1}{2}}}^{n} = E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n} = 0$ 。初始值:

求解步骤为:先解第一步, 由式 (1.4b) 得:

$Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} = Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n} - \frac{Δ t}{2 μ} δ_{x}^{2} (E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n})$ (1.6)

将式 (1.6) 代入式 (1.4a) 整理得:

显然这是一个七对角的方程组, 系数矩阵元素都是常数而且在每一个时间层上都不变。因此可由一些求解线性方程组的方法如:超松弛迭代法, 共轭梯度法等, 求出 ${E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1}}$ 。然后, 将 $E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1}$ 代入式 (1.6) 显式求出 $Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}}$ 。式 (1.5) 的计算与第一步相似, 但要用到第一步算出的 $Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}}$ 。方程 (1.7) 中的第一个方程和最后一个方程的系数需要调整, 可根据文献[5]中的方法进行, 这里略去。

检查格式SHO-FDTDⅠ的截断误差发现关于时间它的精度不高。为了提高精度, 引入一个扰动项, 得到修正格式SHO-FDTDⅡ如下:

第一步:

第二步与SHO-FDTDⅠ中的第二步相同.

这种格式的初边值条件与式 (1.4) 、式 (1.5) 的初边值条件完全相同, 求解方法也与前一格式相同。为了了解格式SHO-FDTDⅡ的逼近精度, 由式 (1.5a) 、式 (1.5b) 、式 (1.8a) 、式 (1.8b) 消去中间项 $Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}}$ , 可得到SHO-FDTDⅡ的等价格式:

$δ_{t} E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 ε} δ_{y}^{2} (Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + 1} + Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}) (1.9 a)$

$\begin{array}{l} δ_{t} E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 ε} δ_{x}^{2} (Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} + Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}) + \\ \frac{Δ t}{4 μ ε} δ_{x}^{2} δ_{y}^{2} (E_{x_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - E_{x_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}) (1.9 b) \end{array}$

$\begin{array}{l} δ_{t} Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 μ} [δ_{y}^{2} (E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}) - \\ δ_{x}^{2} (E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n})] (1.10) \end{array}$

格式SHO-FDTDⅠ的等价格式与式 (1.9a) 、式 (1.9b) 、式 (1.10) 相似, 只要将式 (1.9) 最右端后一项中的“-”改为“+”。由此可以看出, SHO-FDTDⅡ的摄动误差 (二阶) 比SHO-FDTDⅠ的摄动误差 (二阶) 要高一阶, SHO-FDTDⅡ是关于时间2阶, 关于空间是4阶的式 (2.4) 格式, SHO-FDTDⅠ则是式 (1.4) 格式。

2 稳定性分析与数值弥散分析

用Fourier方法分析这两种格式的稳定性。假定格式的差分解具有下列形式。

$\vec{E}_{α, β}^{n} = \vec{E}_{0} ξ^{n} e^{- i (k_{x} α Δ x + k_{y} β Δ y)}$ ;

H $_{z_{α, β}}^{n}$ =Hz0ξne-i (kxαΔx+kyβΔy) 。

其中 $i = \sqrt{- 1}$ , $\vec{E}_{0} = (E_{x_{0}}, E_{y_{0}})^{Τ}$ 和Hz0是振幅, $\vec{k} = (k_{x}, k_{y})$ 是波矢量, $| k | = \sqrt{k_{x}^{2} + k_{y}^{2}}$ , ξ是增长因子。下面将E $_{α, β}^{n}$ , H $_{z_{α, β}}^{n}$ 代入式 (1.5a) 、式 (1.9) 、式 (1.10) , 化简得:

$(ξ - 1) E_{x_{0}} - i \frac{Δ t}{ε} (ξ + 1) b_{y} Η_{z_{0}} = 0$ (2.1)

$\begin{array}{l} (ξ - 1) E_{y_{0}} + \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (ξ - 1) a_{x} b_{y} E_{x_{0}} + \\ i \frac{Δ t}{ε} (ξ + 1) a_{x} Η_{z_{0}} = 0 (2.2) \end{array}$

$\begin{array}{l} (ξ - 1) Η_{z_{0}} - i \frac{Δ t}{μ} (ξ + 1) b_{y} E_{x_{0}} + \\ i \frac{Δ t}{μ} (ξ + 1) a_{x} E_{y_{0}} = 0 (2.3) \end{array}$

其中 $a_{x} = \frac{(\frac{1}{12} \sin \frac{3}{2} k_{x} Δ x - \frac{9}{4} \sin \frac{1}{2} k_{x} Δ x)}{2 Δ x}, b_{y} = \frac{(\frac{1}{12} \sin \frac{3}{2} k_{y} Δ y - \frac{9}{4} \sin \frac{1}{2} k_{y} Δ y)}{2 Δ y}$ 。由于向量 (Ex0, Ey0, Hz0) 是非零向量, 所以关于Ex0, Ey0, Hz0的方程组的系数矩阵的行列式的值为零。整理得:

(ξ-1) (d0ξ2+2d1ξ+d0) 2=0 (2.4)

式 (2.4) 中

$d_{0} = 1 + \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2};$

$d_{1} = - 1 + \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2}$ 。

解方程式 (2.4) 得: $ξ_{1} = 1, ξ_{2} = d_{0}^{- 1} (- d_{1} + i \sqrt{d_{0}^{2} - d_{1}^{2}}) 。 ξ_{3} = d_{0}^{- 1} (- d_{1} - i \sqrt{d_{0}^{2} - d_{1}^{2}})$ 。显然方程三个根的模都是1, 所以格式SHO-FDTDⅡ是无条件稳定的。对于格式SHO-FDTDⅠ, 同理可得:

c3ξ3+c2ξ2+c1ξ+c0=0 (2.5)

式 (2.5) 中

$\begin{array}{l} c_{3} = 1 + \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2}, \\ c_{2} = - 3 + \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + 3 \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2}; \end{array}$

$\begin{array}{l} c_{1} = 3 - \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + 3 \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2}, \\ c_{0} = - 1 - \frac{(Δ t)^{2}}{ε μ} (a_{x}^{2} + b_{y}^{2}) + \frac{(Δ t)^{4}}{ε^{2} μ^{2}} (a_{x} b_{y})^{2} 。 \end{array}$

方程 (2.5) 的根的表达式非常复杂 (为了简单, 这里省略) , 通过对根的表达式的研究发现 $| ξ | = 1 + Ο (Δ t)$ , 因此格式SHO-FDTDⅠ是耗散的无条件稳定的。为了直观的感受 $| ξ |$ , 下面给出它在不同情况下的变化曲线图。设kx=kcos φ。ky=ksin φ。其中k, φ。是向量k的圆柱坐标, 再设 $Ν_{λ} = \frac{λ}{h}, ω = c k, ω$ 是频率, λ是波长, Δx=Δy=h, 则Nλ是一个波长内的节点个数。

令 $S = \frac{c Δ t}{h}$ , 由CFL的定义可知

$c Δ t \sqrt{\frac{1}{Δ x^{2}} + \frac{1}{Δ y^{2}}} = \frac{c Δ t}{h} \sqrt{2} = \sqrt{2} S$ 。因此, 不妨称S为CFL数。由方程 (2.4) 或式 (2.5) 及其系数的表达式可知, 增长因子ξ是关于S, φ, Nλ的函数。例如, 可推出 $\sin \frac{3}{2} k_{x} Δ x = \sin (\frac{3 π}{Ν_{λ}} \cos φ)$ 。方程 (2.5) 的根的表达式比较复杂。下面我们用Matlab求出它的近似解, 并画出不同情况下它的根的变化曲线。

图1是在S=0.35, Nλ=10情况下给出了根 $| ξ |$ 随角度φ的变化曲线。上边的曲线是方程复数根的模, 下边的曲线是实数根的绝对值。很容易看出复数根的模比1大, 但是 $| ξ | = 1 + Ο (Δ t)$ , 其中, $Δ t = S \times \frac{1}{Ν_{λ}} = 0.035$ 。从图1中显然可以看出曲线位于: y=1±0.035两条直线之间, 这就表明SHO-FDTDⅠ格式是无条件稳定的。

图2和图3分别是在S=1.5, φ=35°和Nλ=10, φ=65°情况下, 方程 (2.5) 的根的模分别随着Nλ和S的变化情况, 从这两个图中同样可以看出SHO-FDTD格式是无条件稳定的。

2.2 数值弥散关系

假设麦克斯韦方程的差分解为: $\vec{E}_{α, β}^{n} =$ $\vec{E}_{0} e^{i (k_{x} α Δ x + k_{y} β Δ y - ω n Δ t)}$ , H $_{z_{α, β}}^{n}$ =Hz0ei (kxαΔx+kyβΔy-ωnΔt) , 其中, ω, kx, ky, $\vec{E}_{0}$ 和Hz0与2.1节的符号相同。将E $_{α, β}^{n}$ , H $_{z_{α, β}}^{n}$ 代入SH-FDTDⅡ的等价格式 (1.5a) 、式 (1.9) 、式 (1.10) , 类似于2.1节对增长因子ξ的推导, 可得:

$\begin{array}{l} \sin^{2} (\frac{1}{2} ω Δ t) = (c Δ t)^{2} [a_{x}^{2} + b_{y}^{2} + (c Δ t)^{2} a_{x}^{2} b_{y}^{2}] \\ \cos^{2} (\frac{1}{2} ω Δ t) (2.6) \end{array}$

式 (2.6) 中 $c^{2} = \frac{1}{ε μ}$ , 式 (2.6) 就是SHO-FDTDⅡ的数值弥散关系式。

同理可得SHO-FDTDⅠ格式的数值弥散关系式:

$\begin{array}{l} \sin^{2} (\frac{1}{2} ω Δ t) = (c Δ t)^{2} [a_{x}^{2} + b_{y}^{2} + (c Δ t)^{2} a_{x}^{2} b_{y}^{2} \times \\ \cos (\frac{1}{2} ω Δ t) \sin^{- 1} (\frac{1}{2} ω Δ t)] \times \\ \cos^{2} (\frac{1}{2} ω Δ t) (2.7) \end{array}$

由于 $\lim_{x \to 0} a_{x} = \lim_{x \to 0} a_{x}^{2} = \frac{k_{x}^{2}}{4}, \lim_{x \to 0} b_{y} = \lim_{x \to 0} b_{y}^{2} = \frac{k_{y}^{2}}{4}$ ;所以当Δx, Δy, Δt趋于0时, 数值弥散关系式 (2.6) 、式 (2.7) 趋向于理想的数值弥散关系: ω2=c2[k $_{x}^{2}$ +k $_{y}^{2}$ ]。此外, 比较式 (2.6) 、式 (2.7) 容易看出SHO-FDTDⅠ和SHO-FDTDⅡ的格式在时间上的精度分别是一阶的和二阶的, 并且SHO-FDTDⅡ比SHO-FDTDⅠ的数值弥散误差要小得多。

2.3 数值弥散误差

下面通过试验求出格式SHO-FDTDⅠ和格式SHO-FDTDⅡ的数值弥散误差, 并与理论结果进行对比分析。令ξ=eiωΔt是方程式 (2.1) 、式 (2.4) 的根。ω=ωR+iωI, 则ξ=e-ωIΔt[cos (ωRΔt) +isin (ωRΔt) ]从而, $\tan (ω_{R} Δ t) = \frac{Ι_{m} (ξ)}{R_{e} (ξ)}$ ; 其中Im (ξ) , Re (ξ) 分别表示ξ的虚部与实部。波的数值相速vp与光速c的比的数值弥散误差: $\frac{v_{p}}{c} = \frac{ω_{R}}{k c} = \frac{1}{c k Δ t} \arctan \frac{Ι_{m} (ξ)}{R_{e} (ξ)} = \frac{Ν_{λ}}{2 π S} \arctan \frac{Ι_{m} (ξ)}{R_{e} (ξ)}$ , 其中S是CFL数, Nλ是一个波长内的节点数, k是波长值。

图4—图6给出了Vp/c在不同情况下的变化曲线。图4给出了SHO-FDTDⅠ与SHO-FDTDⅡ的Vp/c在S=0.35, Nλ=10的条件下随着角度φ的变化图, 从图4中可以看出SHO-FDTDⅡ格式的Vp/c更接近于1。图5给出了两种格式在S=2.4, φ=120°的条件下Vp/c随着Nλ的变化图, 从图5中可以看出SHO-FDTDⅡ格式的数值弥散误差小于SHO-FDTDⅠ的误差。图6是两种格式在φ=65°, Nλ=10的条件下Vp/c随着S的变化图, 从图6中可以看出随着S的增大, 数值弥散误差变得越来越大, 但是在所有的情况下, SHO-FDTDⅡ格式的数值弥散误差比SHO-FDTDⅠ格式的误差要小得多。

参考文献

[1] Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems invol-ving Maxwell’s equations in isotropic media.IEEE Trans Antennasand Propagation, 1966;14:302—307

[2] Zheng F, Chen Z, Zhang J.Toward the development of a three-dimen-sional unconditionally stable finite—difference time—domain method.IEEE Trans Microwave Theory Tech, 2000;48:1550—1558

[3] Namiki T.AnewFDTD algorithmbased on alternatingdirection implicitmethod.IEEE Trans Microwave Theory Tech, 1999;47:2003—2007

[4] Turkel E, Yefet A.Fourth order compact method for the Maxwell e-quations with discontinuous coefficients.Applied Numerical Mathe-matics, 2000;33:125—134

[5] Shang J S.Higher-order compact difference schemes for time depend-ent Maxwell’s equations.Journal of Computational Physics, 2003;153:312—333

[6] Xu L J, Yuan N C.高阶ADI-FDTD算法的数值色散分析.电子信息学报, 2005;27 (3) :1662—1665

[7] Xie Z Q, Zhang B, Chan C H.An explicit fourth-order staggered finitedifference time-domain method for Maxwell’s equations.Journal ofComputational and Applied Mathematics, 2002;147:75—98

[8] Manry C W, Broschat S L, Scneider J B.Higher-order FDTD meth-ods for large problems.J Applied Computational Electromagnetics So-ciety, 1995;10:17—29

[9] Gao L P, Zhang B, Liang D.The splitting finite-difference time-do-main methods for Maxwell’s equations in two dimensions.science di-rect.Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007;205:207—230

麦克斯韦方程篇2

麦克斯韦16岁就到爱丁堡大学攻读数学物理，后又至伦敦剑桥大学深造。他学习非常刻苦勤奋，博览群书，尽情地在知识海洋里遨游。但由于缺乏名师指点，他的学习缺乏系统性和计划性。此时，幸运之神降临到了他的身边。一天，著名数学家霍普金斯教授到图书馆借一本高深的数学专著，却被告知书被一个叫麦克斯韦的学生借走了。教授既惊讶又好奇，因为这本书一般人是看不懂的。他找到了麦克斯韦，见他正认真地看书，同时也发现了他的弱点，就对麦克斯韦进行了热心的指点，并收他做自己的研究生，同时还介绍另一位著名的数学家斯托克斯当麦克斯韦的导师。麦克斯韦在两位导师的指点下，认真学习，学业大进，最后终于成为著名的物理学家。

麦克斯韦方程篇3

时域有限差分方法 (finite-difference time-domain (FDTD) method) 是由Yee在1966年[1]提出, 在计算电磁学领域中是一种非常有效的数值计算方法之一, 已广泛应用于电磁散射、天线、电磁兼容、生物电磁场以及电波传播等问题的计算与模拟中。然而这种方法是条件稳定的, 要受到Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 稳定性条件的限制 (即: $c Δ t \leq [\frac{1}{(Δ x)^{2}} + \frac{1}{(Δ y)^{2}}]^{- \frac{1}{2}}$ , 其中:c是光的速度) [2]。因此当要模拟的物体具有细微结构时, 为了准确模拟其电磁特性, 空间步长必须足够小。这时为了保证解的稳定性, 时间步长也要相应地取得很小, 将使计算的时间大大延长, 有时甚至不可实现。

为了克服这一限制条件, 无条件稳定的交替方向的时域有限差分方法 (ADI-FDTD) [3,4]被提出来, 并得到电磁学界的高度关注和广泛研究[5]。最近, 文献[6]运用分裂算子的方法提出了电导率为零的麦克斯韦方程的分裂时域有限差分方法 (S-FDTD) , 该方法比二维ADI-FDTD更简单、运算时间更短, 在模拟一种电磁散射问题时更精确。

考虑电导率非零的麦克斯韦方程的分裂时域有限差分方法。提出了S-FDTDI和S-FDTDII两种格式, 分析了它们的截断误差, 得出逼近精度, 其中S-FDTDI、S-FDTDII关于时间分别为一阶、二阶, 关于空间都是二阶的差分方法。用S-FDTDI、S-FDTDII及ADI-FDTD方法给出一种矩形波导问题的计算结果和分析。数值试验表明, 文献[2]中提及的优点在解决非零电导率的电磁问题中仍然存在。

1 麦克斯韦方程、分裂格式及求解过程

考虑如下的Maxwell方程

$\frac{\partial E_{x}}{\partial t} = \frac{1}{ε} (\frac{\partial Η_{z}}{\partial y} - σ E_{x})$ (1)

$\frac{\partial E_{y}}{\partial t} = \frac{1}{ε} (- \frac{\partial Η_{z}}{\partial x} - σ E_{y})$ (2)

$\frac{\partial Η_{z}}{\partial t} = \frac{1}{μ} (\frac{\partial E_{x}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial x})$ (3)

其中E= (Ex (x, y, t) , Ey (x, y, t) ) 表示电场, Hz=Hz (x, y, t) 表示磁场, (x, y) ∈Ω=[0, a]×[0, b], t∈ (0, T]。∂Ω为Ω的边界, $\overset{⇀}{n}$ 为∂Ω的外法向量, ε为介质介电常数, μ为磁导系数, σ为电导率。并且满足如下的良导体边界条件:Ex (x, 0, t) =Ex (x, a, t) =0, Ey (0, y, t) =Ey (b, y, t) =0和初始条件:E0= (Ex0 (x, y) , Ey0 (x, y) , Hz0=Hz0 (x, y) ) 。

为了简单起见, 只考虑ε, μ, σ为常数时的情况, 此种方法可以推广到变系数的情形。

对Ω采用与Yee相同的离散方法称为交错网格剖分[1]。设 $Ι = \frac{a}{Δ x}, J = \frac{b}{Δ y}$ 为正整数, 令

设Δt为时间步长, $Ν = \frac{Τ}{Δ t}$ 为正整数, 对[0, T]进行等距剖分, 令

$\begin{array}{l} t^{n} = n Δ t, t^{n + \frac{1}{2}} = (n + \frac{1}{2}) Δ t, n = 0, 1, \dots, Ν - 1, \\ t^{Ν} = Ν Δ t = Τ 。 \end{array}$

为书写简单, 对函数F (x, y, t) , 令F $_{α, β}^{m}$ =F (mΔt, αΔx, βΔy) , 现定义一些差分算子

设 ${E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{m}}, {E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{m}}, {Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{m}}$ 分别表示真解Ex, Ey, Hz在tm时刻和离散点 $(i + \frac{1}{2}, j), (i, j + \frac{1}{2}), (i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2})$ 上的近似值。

根据文献[6]中的方法, 对方程 (1) —方程 (3) , 定义如下的格式S-FDTDI:

I-Stage 1:

${\begin{cases} \frac{E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}}{Δ t} = - \frac{1}{2 ε} δ_{x} (Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{*} + Η_{z_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}) - \\ \frac{σ}{2 ε} (E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}) \\ \frac{Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{*} - Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}}{Δ t} = \frac{1}{2 μ} δ_{x} (E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}) \end{cases} (5)$

I-Stage 2:

${\begin{cases} \frac{E_{x_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}}{Δ t} = - \frac{1}{2 ε} δ_{y} (Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + 1} + Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}) - \\ \frac{σ}{2 ε} (E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + 1} + E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}) \\ \frac{Η_{z_{i + \frac{1}{2} j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{*}}{Δ t} = \frac{1}{2 μ} δ_{y} (E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}) \end{cases} (6)$

如果去掉中间层上的值 $Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{*}$ , 可以发现式 (5) 和式 (6) 等价于带有一阶摄动项的Crank-Nicolson格式。因此, 为了提高精度, 在I-Stage 1中加入扰动项, 得到修正格式, 记为S-FDTDII:

II-Stage 1:

II-Stage 2:

从式 (5) —式 (8) 可以看到, S-FDTDI和S-FDTDII的每一个Stage包含两个方程, 要比每一个Stage包含三个方程的ADI-FDTD[4,5]方法简单, 更利于程序计算。下面以格式S-FDTDII为例说明计算步骤。

对式 (7) 中的第二式进行变形得到

$\begin{array}{l} Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j \frac{1}{2}}}^{*} = Η_{z_{i} + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}^{n} - \frac{△ t}{2 μ △ x} (E_{y_{i + 1, j + \frac{1}{2}}}^{n^{+} 1} - \\ E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{y_{i + 1, j + \frac{1}{2}}}^{n} - E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}), (9) \end{array}$

然后将此表达式代入式 (7) 中的第一式, 变形可以得到:

$\begin{array}{l} - \frac{△ t^{2}}{4 μ ε △ x^{2}} E_{y_{i - 1, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + (1 + \frac{σ △ t}{2 ε} + \frac{△ t^{2}}{2 μ ε △ x^{2}}) E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} - \\ \frac{△ t^{2}}{4 μ ε △ x^{2}} E_{y_{i + 1, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} = \frac{△ t^{2}}{4 μ ε △ x^{2}} E_{y_{i - 1, j + \frac{1}{2}}}^{n} + \\ (1 - \frac{σ △ t}{2 ε} - \frac{△ t^{2}}{2 μ ε △ x^{2}}) E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n} + \frac{△ t^{2}}{4 μ ε △ x^{2}} \times E_{y_{i + 1, j + \frac{1}{2}}}^{n} - \\ \frac{△ t^{2}}{2 μ ε △ x^{2}} (E_{x_{i + \frac{1}{2}, j + 1}}^{n} - E_{x_{i - \frac{1}{2}, j + 1}}^{n} - \\ E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n} - E_{x_{i - \frac{1}{2}, j}}^{n}) - \frac{△ t}{ε △ x} (Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n} - Η_{z_{i - \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}) (10) \end{array}$

这是一个关于 $E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}, (i = 1, 2, \dots, Ι - 1)$ 的线性代数方程组, 未知量沿x方向排列, 可认为是沿x轴方向计算。其系数矩阵为三对角阵, 可用追赶法直接求出 ${E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1}}$ , 然后代入H*z的表达式式 (9) , 显式求出 ${Η_{z_{i + \frac{1}{1}, j + \frac{1}{2}}}^{*}}$ 。将H*z的值代入 II—Stage 2中, 采用与II—Stage 1相同的方法, 求出 ${E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n + 1}}$ 和 ${Η_{z_{i + \frac{1}{1}, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1}}$ 。

2 误差分析

式 (8) 中的第二个方程减去式 (7) 中的第二个方程得出 $Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{*}$ 的表达式, 代入式 (7) 和式 (8) 的第一个方程得到S-FDTDII的等价格式:

将式 (11) 中第二个方程最右端的一项改为 $\frac{△ t}{4 μ ε} δ_{x} δ_{y} (E_{x_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n + 1} + E_{x_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n})$ , 就得到S-FDTDI的等价格式。从上述方程可以推出S-FDTDII的截断误差。令 $ζ_{i + \frac{1}{2}, j}^{n + \frac{1}{2}}$ , $ξ_{i, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}}$ , $η_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}}$ 分别表示上述等价格式中每个方程的截断误差, 根据泰勒公式可以导出它们的表达式为

$\begin{array}{l} ζ_{i + \frac{1}{2}, j}^{n + \frac{1}{2}} = Δ t^{2} [\frac{1}{24} \frac{\partial^{3} E_{x}}{\partial t^{3}} (τ_{11}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{j}) + \frac{1}{8 ε} \frac{\partial^{3} Η_{z}}{\partial t^{2} \partial x} \times \\ (τ_{12}, x_{11}, y_{j}) - \frac{σ}{8 ε} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} (τ_{13}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{j})] + \\ \frac{Δ y^{2}}{24 ε} \frac{\partial^{3} Η_{z}}{\partial y^{3}} (t^{n + \frac{1}{2}}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{11}); \end{array}$

$\begin{array}{l} ξ_{i, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} = Δ t^{2} [\frac{1}{24} \frac{\partial^{3} E_{y}}{\partial t^{3}} (τ_{21}, x_{i}, y_{j + \frac{1}{2}}) + \frac{1}{8 ε} \frac{\partial^{3} Η_{z}}{\partial t^{2} \partial x} \times \\ (τ_{22}, x_{12}, y_{j + \frac{1}{2}}) + \frac{σ}{8 ε} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} (τ_{23}, x_{i}, y_{j + \frac{1}{2}})] - \\ \frac{Δ x^{2}}{24 ε} \frac{\partial^{3} Η_{z}}{\partial x^{3}} (t^{n + \frac{1}{2}}, x_{13}, y_{j + \frac{1}{2}}); \end{array}$

$\begin{array}{l} η_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} = Δ t^{2} [- \frac{1}{24} \frac{\partial^{3} Η_{z}}{\partial t^{3}} (τ_{31}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{j + \frac{1}{2}}) + \\ \frac{1}{8 μ} \frac{\partial^{3} E_{x}}{\partial t^{2} \partial y} (τ_{32}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{12}) - \\ \frac{1}{8 μ} \frac{\partial^{3} E_{x}}{\partial t^{2} \partial x} (τ_{33}, x_{31}, y_{j + \frac{1}{2}})] + \\ \frac{1}{24 μ} [Δ y^{2} \frac{\partial^{3} E_{x}}{\partial y^{3}} (t^{n + \frac{1}{2}}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{32}) + \\ Δ x^{2} \frac{\partial^{3} E_{y}}{\partial x^{3}} (t^{n + \frac{1}{2}}, x_{32}, y_{j + \frac{1}{2}})] (12) \end{array}$

式 (12) 中tn≤τ1k, τ2l, τ3m≤tn+1; $x_{i - \frac{1}{2}} \leq x_{2 k}, x_{3 l} \leq x_{i + \frac{1}{2}}$ ; $y_{j - \frac{1}{2}} \leq y_{1 k}, y_{2 l}, y_{3 m} \leq y_{i + \frac{1}{2}}$ ;k, l, m=1, 2, 3。因此只要真解Ex, Ey, Hz足够光滑, 则有

$\begin{array}{l} | ζ_{i + \frac{1}{2}, j}^{n + \frac{1}{2}} | + | ξ_{i, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} | + | η_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}^{n + \frac{1}{2}} | \leq \\ C_{μ ε} Μ (Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ t^{2}) 。 \end{array}$

其中: $C_{μ ε} = \frac{1}{24} + \frac{1}{8 ε} + \frac{σ}{8 ε} + \frac{1}{8 μ} + \frac{1}{24 ε} + \frac{1}{24 μ}$ , M为常数, 与Ex, Ey, Hz的导数有关。类似地, 可推出格式S-FDTDI的截断误差界为CμεM′ (Δx2+Δy2+Δt) 。因此S-FDTDI关于Δt是一阶的, 修正格式S-FDTDII关于Δt是二阶的.所以修正格式S-FDTDII的精度比S-FDTDI高一阶。

3 数值验证

为了验证所提出的格式的有效性和与理论分析的一致性, 现用这两种格式来求解一个具体问题方程 (1) — (3) , 其中初始条件为Ex0=cosπxsinπy, Ey0=-sinπxcosπy, Hz0=-2cosπxcosπy, ε=1, μ=1, σ=3π可以验证这种具体问题的真解为

Ex=e-πtcosπxsin πy,

Ey=-e-πtsinπxcosπy,

Hz=-2e-πtcosπxcosπy。

设 $E_{x} (t^{n}, •) = E_{x} (t^{n}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{j}), E_{y} (t^{n}, •) = E_{y} (t^{n}, x_{i}, y_{j + \frac{1}{2}}), Η_{z} (t^{n}, •) = Η_{z} (t^{n}, x_{i + \frac{1}{2}}, y_{j + \frac{1}{2}})$ 表示真解, 定义差分解 ${E_{x_{i + \frac{1}{2}, j}}^{n}}, {E_{y_{i, j + \frac{1}{2}}}^{n}} {Η_{z_{i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}}}^{n}}$ 误差:

在下列表格中, 令Err-E=‖E (tn) -En‖, Err-H=‖Hz (tn) -H $_{z}^{n}$ ‖表示差分解的绝对误差, Ra-E、Ra-H分别表示:En、H $_{z}^{n}$ 的收敛阶, CPU表示运算时间 (以秒为单位) , h=Δx=Δy表示空间步长, Δt表示时间步长。

表1—表3给出了一些计算结果:

表1给出了T=1, Δt=0.001时, S-FDTDI和S-FDTDII的绝对误差、收敛阶和运算时间, 由此看出两种格式在空间上收敛阶都能达到二阶。当Δt比较小时, 格式S-FDTDII的结果更好一些。

表2给出了T=1, h=0.001时, 格式S-FDTDI和S-FDTDII在不同时间步长下的绝对误差和收敛阶, 由此可以看出S-FDTDI在时间上的收敛阶为一阶, 而S-FDTDII在时间上的收敛阶为二阶。而且格式S-FDTDII的误差比S-FDTDI的误差小的多。

从表3可以看出, 在处理σ=0的简谐问题时, 两种格式的误差相同, 运算所耗费的时间, S-FDTDII比ADI-FDTD要少很多;而且当处理非0电导率的波导问题时, S-FDTDII方法所产生的绝对误差比ADI-FDTD小, 运算时间快了38.7%, 因此S-FDTDII比ADI-FDTD好。

参考文献

[1] Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems invol-ving Maxwell’s equa-tions in isotropic media.IEEE Trans Antennasand Propagation, 1996;14:302—307

[2] Courant R, Friedrichs K, Lewy H.On the partial difference equationsof mathematical physics.IBMJournal, 1967;11:215—234

[3] Namiki T.A new FDTD algorithm based on alternating direction im-plicit method.IEEE Trans Microwave Theory Tech, 1999;47:2003—2007

[4] Zheng Fenghua, Chen Zhizhang.Numerical dispersion analysis of theunconditionally stable 3-D ADI-FDTD Method.IEEE Trans on Micro-wave Theory Tech, 2001;49 (5) :1006—1009

[5] Taflove A, Hagness S.Computational electrodynamics:the finite-differ-ence time-domain method, (second ed) .Boston, MA:ArtechHouse, 2000

麦克斯韦方程篇4

毫无疑问，科学是认真的、严谨的、实事求是的。科学家提出的新的理论是不能与实验事实相悖离的。“我们追求事实，但我们在追求事实的同时却也陷入了一个误区，缺失了追寻科学本身的原动力”。霍金曾经提过，科学理论除了来自人类的直接实践经验外，同样不可缺失的是以数学为基础的数学逻辑或自然科学哲理的发展，这些东西出自人们的实践活动，却要高于人们的实践认识，它们是实践活动的科学总结。

麦克斯韦便是这样一个获得了科学原动力的科学家，他在总结前人的经验的基础上还作出了许多开创性的工作，譬如：电磁场、电磁波理论的提出，对光本质的探究。他的工作使一个新的科技时代得以提前到来。实际上，就目前对生活的影响而言，他的成就是要远胜于爱因斯坦的。

（一）麦克斯韦方程组基础的确立

众所周知，麦克斯韦是在19世纪50～60年代经过对电磁理论的反复探索，最终建立了完整电磁理论的。在此之前，电磁理论领域已确立了三大基本实验定律，即：库仑定律、毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律和法拉第电磁感应定律。截至1850年人们对电和磁的基本性质已经有了相当深入的了解，但是对于二者的联系却还是仅仅停留在起步阶段，科学界急需一种能够统一电与磁的理论出现，来揭示长期以来科学家们希望知道的电与磁的联系规律。

在以往的长期实验经验中，人们提出了诸多理论试图来联系电与磁，却不久又被新的发现所不容，几代人的反复努力却只换来细微的进步，电与磁始终不愿揭开自己神秘的面纱。实际上，这也是当时的客观条件所造成的，数学工具的缺乏使得当时的诸多猜想趋于流产，思维的僵化使得探索停步不前，这个问题不得不一搁再搁。终于，一个人站了出来，他毅然挑起了重担，大刀阔斧地开辟道路，取得了让人惊叹的巨大成就：电与磁的统一——麦克斯韦方程组。

（二）麦克斯韦的假设

在麦克斯韦整理电与磁的理论时，他发现，由安培环路定律导出的▽·J≡0，这与时变条件下由电荷守恒得到的电流连续性方程：▽·J≠0是相互矛盾的，问题究竟出在什么地方呢?

麦克斯韦在查阅了大量前人的研究资料后，发现这个问题用以往的理论是无法解决的，实验条件的约束也使他几乎陷入绝境中。在经过一番探索后，他认为，后者是由电荷守恒推得的，应该具有理论普适性，这样问题就大有可能出现在推广到时变条件下的安培环路定律上了，如果这样成立的话，那么又应该如何去修正这一定律呢?

在经过对恒定和非恒定电流情况下电和磁现象的分析，麦克斯韦决定对安培环路定律做时变条件下的修正，为此他提出了当时震惊科学界的假设，即：位移电流的假设和涡旋电场的假设，从而使得电学和磁学合二为一。

他假定，非恒定电流引起的变化电场又产生了一种新的其他类型的电流，他称之为位移电流(displacement current)，就是它使得时变场下的安培环路定律不再适用。在引入了位移电流后，安培环路定律可以改写为一般时变场下适宜的模式，从而解决了这一难题。麦克斯韦另一假设是涡旋电流的假设。法拉第电磁感应定律指出了变化的磁场能够在导体回路中产生感应电动势及感应电流的规律，当时实验表明：当磁通量变化时，导体回路上产生的感应电动势及其感应电流完全与回路导体的种类和性质无关。但科学家们是不会仅仅满足回路媒质是导体这一局限的，当回路媒质变化了或者回路不存在了，怎么办?当时试验时无法确知的，于是人们转向了理论方面。麦克斯韦认为，即使导体回路不存在了，变化的磁场也能在周围空间激发出感应电场。他大胆假设，这种电场的电场线是闭合的，即感应电场呈涡旋场分布形式。同时他还指出，这种场是不同于以往静电场的，它是一种非保守场。

麦克斯韦的两个假设使得数百年电与磁第一次得到统一，即变化的电场与磁场是能够相互激发的。这一理论的提出现在看来是很容易的，但在当时却是困难重重的，它夹杂着巨大的艰辛和大量的汗水，麦克斯韦做出这一大创举是相当不易的，也正如前文著名科学家霍金所言“科学本身的原动力”，这便是实践与思维的伟大交融。

（三）麦克斯韦电磁理论的确立

麦克斯韦在提出了两个假说后，第一次将电与磁这两个看似不同的同胞姐妹统一在一起了，这和他应用了新的数学理论成就是分不开的。麦克斯韦在他的电磁场理论中创造性地引入了哈密顿在1834年时建立四元数论时所采用的数学方式，并引入了哈密顿算符来表达场的聚度(散度的负值)和旋度。于是，一个令人叹奇的成就——麦克斯韦方程组横空出世，其影响是相当巨大和持久的，以至于后来爱因斯坦在自传中这样写到，特殊的相对论源于麦克斯韦的电磁场方程组。1931年在纪念麦克斯韦诞辰100周年时，爱因斯坦称麦克斯韦的电磁场的贡献为“自牛顿时代以来物理学所经理的最深刻最有成效的变化”。

卓然如是，麦克斯韦在他的电磁场方程组理论中还提出了无线电波(即电磁波)存在的预言，遗憾的是在他的有生之年未能得到认证。在他去世9年后，由赫兹通过试验研究向人们演示了电磁波的直接发生，从而促使了无线电波和雷达的诞生，揭开了现代信息新时代的序幕。

一个新时代的开辟，总是伴随着一个巨人的身影，麦克斯韦这个天才的科学家便成为了我们现在的这个信息时代的开拓先锋。而也正因为这样，他的英名得以与牛顿和爱因斯坦列在一起。

（四）麦克斯韦其他的贡献及其理论的不足

与20世纪以前的其他科学家一样，麦克斯韦也是一个涉猎面比较广泛的科学家，其广度和深度是可以与爱因斯坦相比拟的。麦克斯韦在具有很大的物理学天赋的同时也有很强的数学才能，早在15岁他便在当时的爱丁堡学院的学报上发表了一篇科学论文。麦克斯韦在自然科学的疆场上纵横驰骋，在数学、彩色视学、气动力学、光学等诸多领域都有很大的建树。这里特别突出的是关于光的本质是电磁波的预言，这对光学发展的影响无疑是巨大的。

虽然麦克斯韦是一个伟大的科学家，但时代的局限性使得他的一些理论也存在着诸多的不足。这里着重要说的是麦克斯韦方程组的自洽性的问题，在当时麦克斯韦方程组是无法求解的。这个方程组从建立以来，人们一直致力于麦克斯韦方程组的精确求解方法的研究。但是经过一百多年的努力，这一问题仍未得到完美解决，其数学上的不自洽性使得求出精确的解相当困难。目前人们也仅仅只能从一些较为特殊的情况入手，其数学自洽性和精确求解的问题还有待我们进一步研究和发展。

摘要：麦克斯韦不仅构筑了电与磁的统一, 而且引领人们进入了一个新的时代, 即信息时代。文章主要通过介绍他在电磁理论方面做出开拓性贡献期间他的思维历程来展示科学本身的原动魅力, 同时也阐明他的理论对信息时代的开拓意义。最后文章还介绍了麦克斯韦方程组存在的问题和解决现状。

关键词：麦克斯韦,麦克斯韦方程组,电磁场,爱因斯坦

参考文献

[1]《电磁波传播研究》编委会.电磁波传播研究[M].吕保维院士八十寿庆纪念文集, 北京科学出版社, 1998.

[2]宋文淼, 张晓娟, 徐诚.电磁波基本方程组[M].北京:科学出版社, 2003.

[3]刘乃汤.现代物理学天才人物--麦克斯韦[J].物理通报, 1997, (1) .

[4]李承祖, 赵凤章.电动力学教程[M].长沙:国防科大出版社, 2005.

麦克斯韦方程篇5

可以说麦克斯韦妖是一个“无中生有”的思维产物。我们不去论证是否在宇宙中真的存在这么一个妖怪, 假设真的存在, 那么, 是否就真如麦克斯韦妖操纵的那样, 导致有关热的反应都具有可逆性了呢?都知道, 事实和结果才是检验真理的唯一标准, 那么, 和文章开头中提到的生活事实相悖的麦克斯韦妖, 错误又出在什么地方呢。

看看前人的描述, 后来的科学家普遍认为麦克斯韦妖不可能只是个简单的自动装置, 而必须是有智力的存在物, 以便能不断地从分子获得信息。它要发挥作用, 就必须和分子系统发生联系, 这样以来, 整个热力学系统就不再是孤立封闭系统。这时气体的熵减小, 并不违背熵增加原理, 因为它的熵局部减小是以麦克斯韦妖的熵增加为代价的, 因为小妖要分辨分子的运动, 就要增加所谓的信息熵。

那么, 我们抛开斯莫卢霍夫斯基, 布里渊等科学家关于信息熵的假设, 我们认为小妖是个“瞎子”, 它不需要刻意判别分子的运动状态, 它的开闸门, 关闸门的过程, 仅仅是随机的, 并且, 它的运气很好, 每次开闸门, 都会恰巧遇到右边的低速分子向闸门左边运动, 左边的高速分子, 像闸门的右边运动。再经过无数次的这种好运气之后, 得到的结果是:小妖同样的让所有高速的分子到了闸门右边, 所有低速分子到了阀门左边, 顺利的让这些分子都分离开来。因为不必去观测每个分子的运动, 没有了信息熵, 那么, 小妖的熵是不增加的, 这是, 麦克斯韦妖的假设是否就成立了呢?

其实不然, 因为按照统计学的原理, 不管小妖的运气如何, 这个运气的好坏始终是建立在概率上的。但是, 这个小妖所处的环境, 恰恰是不满足这个条件的。我们知道气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞, 每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻, 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的。但对大量分子的整体, 在一定条件下, 实验和理论都证明气体分子的速率分布遵从一定的统计规律。麦克斯韦假设是因为小妖的控制闸门, 将使原来的高概率 (无序) 态转变为低概率 (有序) 态, 这与第二定律相违背。如果这个小妖不存在了, 那么快速分子聚集一边的概率很小, 而均匀分布的概率极高, 气体趋于均匀分布。因为在这个运气成分假设中, 这个小妖对环境没有熵值的增加, 就等于这个小妖对于环境来说是不存在的, 这时, 这个环境里面的气体分子是按照概率统计分布的, 分子的概率统计分布就不可能产生温差。这样就说明了, 这些分子并不是简单的以随机概率的分布特点存在的。也就是说, 这个小妖每次开闸放分子通过, 并不是一个单纯的概率问题, 所以它也就不能靠着所谓的非凡的运气, 来使得高低速度的分子都能分开。

因此, 无论这个小妖的条件如何变更, 只要它能够操纵这些分子, 就会让系统变得不再是孤立系统, 或者说, 小妖如果不通过自身的熵增加, 是无法操控这些分子的。因此麦克斯韦妖的推论来说明热力学第二定律不成立这一论断是有问题的。

正如开头提到的一样, 任何理论和理化现象, 都直接证明的热力学第二定律的正确性!

摘要：麦克思维妖是麦克斯韦 (Maxwell) 假想了一个可以能探测并控制单个分子运动的“类人妖”或功能相同的机制, 希望借此来说明违反热力学第二定律的可能性。但是麦克斯韦妖要发挥作用, 就必须和分子系统发生联系, 这样以来, 整个热力学系统就不再是孤立封闭系统。热力学第二定律仍然成立。

关键词：麦克斯韦妖,热力学第二定律,信息熵,统计原理

参考文献

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