利用错解

利用错解（共7篇）

利用错解 篇1

在数学课堂上, 学生的错误解答是重要的教学资源。学生出现课堂错解是极其正常的, 出差错不是什么不幸的事情。没有缺陷, 没有矛盾, 就没有发展的动力和方向。学生解题的错误, 是学生概念不清、推理不严、理解不透、解法不当的反映。课堂中如果抓住学生发生错解的契机, 分析学生产生错解的原因, 利用学生课堂错解的资源, 就可以贯通学生的思想, 拓宽学生的视野, 让学生在差异中互动, 共同完善, 一起成长。作为一名教研员, 下面把听课“拾”来的相关教学案例介绍如下:

作为数学老师, 课堂中碰到学生解答错误是司空见惯的家常事, 有的老师简单地划了个“Χ”, 有的老师急于直接把正确的答案给学生, 有的老师置之不理敷衍了事。老师采取不同策略产生的效应是不相同的。失败是成功之母, 学生出现错误是正常的, 老师要引导学生发现错误并及时纠正过来, 同时把它作为全班同学的财富, 供全班同学一起交流、讨论, 使一个人吃一堑, 大家长一智, 避免重蹈覆辙。

笔者在听一位教师上华东师大版教材的《直线和圆的位置关系》时, 教师精心准备了课件和习题。先从海上日出的现象引导学生形象直观地认识了生活中太阳和海平面的位置关系, 又抽象为圆和直线的位置关系, 同时还请学生思考、讨论, 要求学生画图示意直线和圆的位置关系。在学生上台展示中, 发现有一位学生画了下面的图形:

看到学生画出模棱两可的图形, 我的第一反应是:学生不认真, 画出错误的图, 教师可能会狠狠地批评他;第二反应是:直线与圆是相交还是相切, 难以看出。后来, 教师把问题抛给学生, 让学生自己解决问题, 问:你认为直线与圆是什么位置关系?

果然, 学生的答案有争论:第一种认为是相切;第二种认为是相交;第三种是当认为直线与圆相切, 那么它们就有一个交点, 当认为直线与圆相交, 那么它们就有两个交点;第四种认为是错题;还有一种观点更奇特:直线和圆有公共一条线段, 许多公共点。……

最后, 师生在交流、讨论中形成共识:这幅图由于画得不够精细, 我们用肉眼没办法清晰分辨出直线与圆究竟有1个交点还是2个交点, 但直线与圆的公共点只有三种:0个交点、1个交点、2个交点。 (1) 当直线与圆有0个交点时, 直线与圆相离, (2) 当直线与圆有1个交点时, 直线与圆相切, (3) 当直线与圆有2个交点时, 直线与圆相交。直线与圆的公共部分不可能是一条线段。

师:直线与圆的位置关系的识别还有没有其他方法呢?

教学活动自然而然过渡到从数量上来判断直线与圆的位置关系:

(1) 当d>r时, 直线与圆相离; (2) 当d=r时, 直线与圆相切; (3) d

在数学课堂中, 经常看到老师受教案意识的牵制, 急于把预设好的教学思路延续下去, 继续往下讲老师的问题, 往往忽略学生的思维过程, 忽视学生的课堂错解。其实在课堂上如果用平常之心关注学生的思维, 还给学生时间和空间, 让学生充分讨论自己的错解, 引导学生积极思考, 有时错解反而成了承上启下的“妙题”, 成为师生、生生互动, 不断生成新知识点的最有价值的课堂资源了。

笔者认为:钻“牛角尖”多好!犯规越雷也可以!鼓励学生挑战权威, 鼓励学生问倒老师, 不仅增强学生积极性, 满足学生的荣誉感, 更主要的是全体学生都会朝求异方向发展, 学生的思路将更开阔, 答案将丰富多彩, 学生在这种氛围中, 创新精神得以潜移默化地培养, 科学研究意识将伴随终生。

一个“错解”引发的探究 篇2

当且仅当b=c时, 等号成立.

解法1由正弦定理, 得

解法2需要将bc变成某个变量的函数, 显然b或c都不可行, 所以引入一个新变量

这是关于t的函数f (t) , 利用导数去研究这个函数, 得

比较以上两种方法, 显然边化角, 变成三角函数的最值问题更容易解决.

探究1在锐角△ABC中, 已知∠A, a, 求bc的范围.

所以π-A<A+2B<π+A.

在锐角三角形中, bc有最大值, 无最小值, 那么在钝角三角形中是不是如此呢?

探究2钝角△ABC中, 已知钝角∠A, a, 求bc的范围.

(1) 当A+2B=A或2π-A, 即B=0或π-A时, bc最小, 但取不到.

探究3钝角△ABC中, 已知锐角∠A, a, 求bc的范围.

解不妨设B为钝角.

综上可得到如下结论:

(1) 在锐角△ABC中, 已知∠A, a, 则

(2) 钝角△ABC中, 已知钝角∠A, a, 则

(3) 钝角△ABC中, 已知锐角∠A, a, 则

函数问题错解钩沉 篇3

一、与函数概念有关的错解

例1如果关于x的函数是二次函数, 则m的值一定是 () .

A. 0B. 3C. 2D. 0或3

【错解】由m2-3m+2=2, 解之得m1=0, m2=3, 故选D.

【正解】没有考虑到二次项系数m-3≠0, 即m≠3, 故选A.

二、与函数图像有关的错解

例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:

写出该抛物线的对称轴.

【错解】由表中观察可得该抛物线的对称轴为直线x=1.

【正解】实际上, 点 (0, 1) 与点 (3, 1) 和直线x=1并不“等距”, 正确的答案为:该抛物线的对称轴为直线

例3若函数y= (m-1) x2+6x+1的图像与x轴只有一个交点, 求m的值.

【错解】因为函数y= (m-1) x2+6x+1的图像与x轴只有一个交点, 所以判别式Δ=0, 由62-4× (m-1) ×1=0, 得m=10.

【正解】实际上, 题中并没有指明该函数为二次函数, 因此, 不存在m-1≠0 (即m≠1) 这样一个前提条件, 当m=1时, 直线y=6x+1的图像与x轴也只有一个交点, 故m的值为10或1.

我们知道, 若m-1≠0, m-1 越小, 抛物线y= (m-1) x2+6x+1的开口越大, 当m-1趋近于0时, 抛物线趋近于一条直线, 因此, 抛物线向直线的渐变也是一个量变到质变的过程.

例4 如图1, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=x2+bx+c过A (1, 2) 、B (3, 1) 两点, 若在该抛物线上找一点P, 使△ABP为等腰三角形, 则这样的点P共有_______个.

【错解】分别以A、B为圆心, AB长为半径作弧, 均与抛物线相交, 得到2个满足条件的点;作线段AB的垂直平分线, 与抛物线相交, 得到满足条件的第3个点.因此, 满足条件的点共有3个.

【正解】还存在满足条件的第4个点, 理由如下:首先, 求出抛物线的解析式为, 直线AB的解析式为, 设

直线AB和x轴、y轴分别交于点E (5, 0) 、, 线段AB的垂直平分线l分别交AB和x轴于点C、D, 根据A、B两点的坐标, 可求点C坐标为, 利用△ECD∽△EOF, 可求点D坐标为, 从而求出直线l的解析式为y=2x-5/2, 和抛物线的解析式联立, 消去y, 整理得关于x的一元二次方程, 该方程的判别式Δ=41/4>0, 所以直线l和抛物线有两个交点.

三、与函数性质有关的错解

例5 已知一次函数y=kx+b, 当1≤x≤4时, 3≤y≤6, 求k、b的值.

【错解】由题意知直线y=kx+b过点 (1, 3) 和 (4, 6) 两点, 将这两点的坐标代入解析式, 即可求出k=1, b=2.

【正解】上述的解法是想当然地认为y随x的增大而增大, 实际上也可能y随x的增大而减小, 这时将两点的坐标 (1, 6) 和 (4, 3) 代入解析式, 即可求出另一组值:k=-1, b=7.所以, 正确的答案为:k=1, b=2或k=-1, b=7.

例6已知函数y=x2-4x+3, 当-1<x<3时, 求y的取值范围.

【错解】把x=-1和x=3分别代入解析式, 得y的相应值为8和0, 所以y的取值范围为0<y<8.

【正解】因为y=x2-4x+3= (x-2) 2-1, 该抛物线的对称轴为直线x=2, 而x的取值范围-1<x<3在对称轴的两侧, 其增减性不同, 因此, y的取值范围包含最小值-1, 所以, 正确的答案为:-1≤y<8.

四、与函数自变量取值范围有关的错解

例7已知抛物线y=x2-2mx+m2+m+2与x轴的交点为 (a, 0) , (b, 0) , 求a2+b2的最小值.

【错解】因为, 所以, 当m=1/2时, 所求最小值为-9/2.

【正解】上述的错解是忽视了抛物线与x轴有交点的条件, 即要判别式Δ≥0, 正确的解法应当是:由题意得 (-2m) 2-4 (m2+m+2) ≥0, 解得m≤-2, 在抛物线的对称轴m=1/2左侧函数值随自变量的增大而减小, 所以, m=-2时, a2+b2的最小值为8.

例8 如图2, 在矩形ABCD中, 点P是边AD上的动点, 连接BP, 线段BP的垂直平分线交边BC于点Q, 垂足为点M, 连接QP.已知AD=13, AB=5, AP=x, BQ=y. 求y关于x的函数解析式, 并写出x的取值范围.

【错解】∵∠A=90°, AB=5, AP=x, , 易证△ABP∽△MQB, ∴, 化简得, x的取值范围是0<x≤13.

分式错解归类例析 篇4

一、分式化简求值

分式化简是初中数学基础知识中的重要组成部分,学好分式化简,可以帮助同学们打好数学基础,提高逻辑思维的能力.但在进行分式化简的过程中,有些同学总会出现一些高频性的解题错误,因此,对此进行探究、总结和分析很有必要.

误区一:违背运算顺序.

误区二:通分时误去分母,与解方程时去分母混淆.

【反思与总结】本题主要考查基本计算能力,涉及的知识有因式分解、分式的乘除、倒数、约分、通分等. 一道好的例题,一定蕴含着若干个闪光点,聪明的你发掘出来,解决问题的功力就会大大增强. 这个例题旨在告诉我们,分式化简不能忽视以下几点:

1. 注意分式的混合运算的顺序:先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇到括号,先算括号内的. 如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.

2. 分式化简每一步变形用的都是分式的基本性质,通分要保留分母,而不是去分母.

3. 不能忽视分数线的双重作用,当分母不变分子相减时要关注符号.

【错解分析】上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x-2)可约分,应继续化简.分式化简的结果要化为最简分式.

二、解分式方程

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程. 这种转化的具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,

误区一:最简公分母不是最简.

【错解1】原方程两边同乘(x-2)(3x-6),得(5x-4)(3x-6)=(4x+10)(x-2)-(x-2)·(3x-6).

误区二:等式基本性质的使用时漏乘常数项.

【错解2】方程两边同乘3(x-2),得

3(5x-4)=4x+10-1.

误区三:解完方程没有验根.

【错解3】方程两边同乘3(x-2),得

3(5x-4)=4x+10-3(x-2).

解得:x=2.

所以,原分式方程的解为:x=2.

【反思与总结】这个例题告诉我们,解好分式方程不能忽视三点:

第一,最简公分母一定要做到最简;

第二,等式基本性质的使用一定要公平;

第三,解完方程一定要验根.

一道中考题的错解分析 篇5

本人在批阅试卷时发现有的学生错解为:当电阻丝用胶布粘贴后使接触处的电阻丝变粗, 从而电阻变小, 电流变大, 根据焦耳定律

Q=I2rt 可知, 在相同时间内通过接触处电阻丝的热量大, 温度较高, 所以过一段时间又接头下的胶布被烧焦.

错解分析:第一、该同学没有真正理解电阻丝“接触”的含义, 电阻丝断后又用胶布缠绕, 接触处的电阻没有变粗, 而实际上是由原来一根完整的电阻丝变成了两部分简单的相接, 相接的部分只是“点”而已, 使接触面积大大变小了, 这就使接触处的电阻变细了, 从而电阻变大了;第二、没有真正理解欧姆定律的含义, 实际上这部分的电阻丝与其它部分是串联, 通过这部分电阻的电流和其它部分相同, 并不是因为接触处电阻变小使通过这部分电阻的电流变大, 因为接触处电阻的两端电压并不是固定不变的.

正确解释:接头处的面积小, 使接触处的电阻丝变细, 电阻变小, 由焦耳定律 Q=I2rt 可知, 在电流与通电时间相同的情况下, 电流通过该处产生的热量偏多, 温度偏高, 所以经过一段时间后接头处绝缘胶布被烧焦.

在实际教学和生活中, 我们还经常会遇到类似的问题:

例1:白炽灯的灯丝断了重新搭接后, 为什么灯会更亮?搭接后的灯丝能使用长久吗?

分析:灯丝重新搭接后, 灯丝变短, 电阻变小, 而灯丝两端电压不变, , 由 P=U2/R 可知, 灯丝的实际功率偏大, 所以变亮了.但由于搭接处的灯丝的接触面积小, 该处的电阻比其它部分灯丝的大, 根据焦耳定律可知, 在电流和通电时间相同的情况下, 电流在该处产生的热量会更多, 所以过不久灯丝还会在搭接处重新烧断.

例2:家里厨房中墙上的三孔插座, 用了一段时间后, 往往会在插孔处烧焦或熔化, 试分析原因:

分析:在使用插座时, 由于插头与插座接触不良, 接触面积小, 使接触处电阻偏大, 由焦耳定律可知, 在与导线流过相同的电流下, 在相同时间内在插孔处产生的热量多, 在长时间这样的使用情况下, 造成插孔处烧焦或导致熔化.

例3:在引导学生做电学实验时, 我们会经常遇到这样的情况, 学生在连接串并联电路时, 尽管用了几节新电池, 当闭合开关后, 小灯泡发光仍很暗, 请你帮助查找一下原因.

分析:在实验中出现上述现象后, 我在帮助学生查找原因时经常发现有很多学生在导线连接处只是把两根导线的接触部分简单地搭在一起, 至使导线的接触面积过小, 电阻偏大, 分得的电压偏多, 小灯泡分得的电压偏小, 小灯泡的实际功率偏小, 所以发光较暗.

解决办法:只要把导线的连接处交叉一部分并拧成一股, 使连接部分充分接触, 灯泡就变亮了.当然, 灯泡暗还有其它原因, 请同学自己分析研究.

一道三角题的错解探究 篇6

解析因为已知条件比较简单, 故求解时应该注意题中的隐含条件.

错解原因忽视了在条件时, sin (α+β) 的范围不应是[-1, 1]这一点, 出现错解.

因为-1≤sin2αsin2β≤1, 所以-1≤cos2αsin2β≤1.

错解原因忽视了sin2αcos2β取最大值1或最小值-1, 应该是|sin2α|=|cos2β|=1时才能达到, 而本题是不可能的.

错解原因忽视了已知条件中, 当时, sin2α+cos2β不可能为0的隐含条件.

不等式错解之探究 篇7

【例1】 已知a, b∈ (0, +∞) , 且a+b=1, 求证:

$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\ge 9.$

错解:$\because a,b\in (0,+\infty )‚\therefore 1+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}}‚1+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{1}{b}}.\therefore (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\ge 4\sqrt{\frac{1}{ab}}$.又$\because \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}‚\therefore \frac{1}{ab}\ge 4$, 即$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\ge 4\sqrt{4}=8.$

错解分析:不难看出$1+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}}$, 当且仅当$1=\frac{1}{a}$, 即a=1时取等号, 这就使得b=0, 与已知矛盾.

$\begin{array}{l}\text{正}\text{解}:\because \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}‚\therefore \frac{1}{ab}\ge 4.\\ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a+b}{ab}=1+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 1+4\sqrt{\frac{1}{ab}}\ge 1+4\sqrt{4}=9(\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a=b\text{时}\text{取}\text{等}\text{号}).\end{array}$

小结:不等式a2+b2≥2ab (ab∈R) 与不等式$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a,b\in \mathbf{R}{}^{+})$成立的条件是不同的:前者只要求a、b都是实数, 而后者a、b要求都是正实数, 当且仅当a=b时取“=”号.因此在运用这两个不等式时, 应注意其成立的条件和正确变形.

【例2】 若x, y∈ (0, +∞) 且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$, 则x+y的最小值为多少?

错解:$\because x‚y\in (0,+\infty )‚\therefore 1=\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\ge \frac{6}{\sqrt{xy}}‚\therefore xy\ge 36‚\therefore x+y\ge 2\sqrt{xy}\ge 12$, 故x+y的最小值为12.

错解分析:在运用中的等号是即y=9x时取得;而中的等号是在x=y时取得, 很明显, 这两个不等式取等号的条件不一致, 故此解为错.

正解:当且仅当时, 即x=4, y=12时, x+y=16.

小结:本题是利用“均值不等式”求最值的问题, 当中要运用的两个不等式都是带有“≥”的不等式, 因此对其中的“当且仅当……时取`='号”这句话的含义要清楚, 在同一问题条件下两个不等式同时取等号的条件要一致.

【例3】设a≥0, b≥0，求的最大值.

错解:

错解分析:在非定值.

正解:

当且时, 即时, 的最大值为

小结:在利用均值不等式求解时, 应根据不等式的意义、性质, 正确运用重要不等式, 应用化归思想适当进行“拼、配、凑”, 即化未知为已知, 化复杂为简单, 化一般为特殊的方法, 使之出现我们所需的定值, 从而得解.

【例4】已知a, b∈ (0, +∞) , 且a+b=1, 求的最大值.

错解:的最大值为

错解分析:事实上因为上面应用均值不等式时等号成立的条件为a+2=1, 且b+2=1, 解得a=-1, b=-1, 这显然与a+b=1矛盾.

正解:a2+b2≥2ab, ∴2 (a2+b2) ≥ (a+b) 2, 当且仅当即a=b时等号成立.又a+b=1, 时, 取得最大值

小结:在应用均值不等式求最值时应注意以下几个条件: (1) 两个变量必须是正变量; (2) 当它们的和为定值时, 其积取得最大值;当它们的积是定值时, 其和取得最小值; (3) 当且仅当两个数相等时取最值, 即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件, 才能求得最值.在求某些函数的最值时, 还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.

【例5】解不等式

错解1:

错解2:

正解:原不等式可化为:lgx (lgx-1) (lgx+1) <0或lgx=0.∴lgx<-1或0≤lgx<1, ∴0<x<0.1或1≤x<10.

∴原不等式的解集为{x 0<x<0.1或1≤x<10}.

小结:解对数不等式除了应用不等式的基本解法外, 往往还要用到对数函数的单调性质或其他相关变换思想将问题转化为代数不等式问题来解, 在变形过程中应注意变形的恒等性.