结构阻尼比

结构阻尼比（精选8篇）

结构阻尼比 篇1

0前言

在建筑结构模型计算中, 抗震设计是非常重要的一个环节。在抗震计算中, 阻尼是一个很重要的研究对象, 阻尼的研究也是非常复杂的问题。阻尼比跟建筑结构体系的材料有很大的关系, GB50011-2010《建筑抗震设计规范》比较明确指出, 钢结构的阻尼比与混凝土结构不一样, 与混合结构体系阻尼又不一样。在实际工程中, 往往结构体系很复杂, 甚至在不同楼层使用不同的结构体系。本文对建筑结构计算模型的阻尼取值进行探讨。

1 阻尼对单自由度体系的影响

单自由度体系运动中, 在外界激振力作用下, 其运动的方程很好求解。位移与阻尼是指数衰减关系, 由此看出, 阻尼对于减轻由地震引起的结构效应非常重要。

2 阻尼比对反应谱的影响

按6度区, Ⅲ类场地, 设计地震分组第一组, 阻尼比分别取0.05、0.03及0.01, 所得结果见图1。

图1中从上到下, 依次为阻尼比为0.01、0.03及0.05的反应谱图。从图中可以看出在0.1 s到5Tg段三者相差明显, 阻尼比越小, 其谱值也越大, 尤其以0.1 s~T段更为明显。而在长周期段, 三者相差要稍小一些。这表明, 应用反应谱来计算建筑结构的地震效应时, 必须选取适合的阻尼比。

当阻尼取值不同时, 地震效应也不一样, 有时相差很大。所以, 必须针对具体的结构体系所用材料, 选取合适的阻尼比数值, 切不可忽视阻尼比取值, 否者得到的地震效应就可能相差较大。

当忽视结构体系的阻尼比时, 在高烈度区, 甚至计算出来的地震效应可能相差很大。所以, 建立结构计算模型时, 必须搞清楚阻尼比的取值。

3 特殊结构的阻尼选取探讨

3.1 下部框架结构上部门式钢结构

建筑加层时往往会在多层钢筋混凝土框架结构上再做一层轻钢结构, 这时, 不考虑抗震的情况下, 结构的承载力经复核没问题。但是如果考虑地震, 则两种结构体系的阻尼不一样, 则计算的振型都不对, 结构在地震作用下与计算模型相差很远。同时一般这种加层结构是多层结构, 周期较短, 可能正位于0.1~Tg这个周期阶段。加层多在顶层, 顶层地震效应反应比较大, 即通常所说的鞭梢效应, 钢结构的阻尼比较小, 所以我们按一般的混凝土结构体系选取阻尼比, 会使得顶层的钢结构地震反应变小, 与实际情况不符。

在一般情况下, 很多结构计算软件不考虑这种体系。对于这种体系, 必须考虑顶部钢结构的地震放大效应, 而且阻尼比的取值应该考虑按最不利情况来考虑。设计中还要重视概念设计, 即强剪弱弯、强柱弱梁和强节点等措施。尤其是加强钢结构由于计算所受地震效应不够而带来的节点强度不够, 所以, 钢结构的连接节点很重要。按抗震最不利情况计算:可以计算两次, 一次取混凝土结构的阻尼比;一次取钢结构的阻尼比。钢结构的节点设计按钢结构的阻尼比计算结果取值。振型及位移比等按两次计算结果都能满足为止。还有一种是阻尼比在钢筋混凝土和钢结构之间再插值取一次计算。

从结构上这种体系可以在下部一层做成钢与混凝土的混合结构, 使其自然平稳过度, 而不至于突变。

也可参照文献[1]中关于屋顶广告牌的设计方法来处理。还可以进行专家论证或者做振动台实验进一步研究。

3.2 基础埋置较深的小高层框架结构

这类结构往往在一层地面以下负几十cm处设拉梁层, 一般建模, 对于拉梁层取一层, 然后按软件计算。计算承载力的时候可行。但计算振型时, 还是要把嵌固端取在地面以上, 其目的就是更好的模拟实际的地震动。因如果把埋置在地下的一部分也取为一层时, 显然, 阻尼比不一样, 而且下面一层由于受土的嵌固作用, 其抗侧刚度也不一样。所以, 我们必须考虑阻尼比不一样而带来的计算模型问题。

3.3 增设钢结构支撑

对于这种体系, 往往由于抗震加固的需要, 而采取这种措施, 一般钢柱不是主要抗侧体系, 基本可以把它作为原结构体系对待。故可以取与原结构相同的阻尼比。

3.4 混凝土柱钢梁结构

这种体系, 由于钢梁不是主要抗侧构件, 按笔者建议可以取混凝土结构的阻尼比计算。但是这种体系最好不要采用。如果采用了, 节点设计是非常关键的一个问题。梁可以考虑是一刚性杆。但是很多软件并不支持建模计算这种模型。

4 结束语

由于阻尼的取值对结构的地震效应影响大, 对反应谱的影响也大, 所以, 必须结合结构体系选取符合实际的阻尼比取值。

1) 根据结构体系的材料选取合适的阻尼比, 不能盲目按0.05统一选取, 这样会带来很大的错误。

2) 特别是当底部为钢筋混凝土结构, 顶部为门式刚架结构加层时, 这样复杂的结构体系的阻尼比选取更应仔细考虑, 可以做振动台模型深入研究。

3) 结构计算模型的阻尼比是一个复杂的问题, 数值计算就是逼近真实的受力状态, 而实际的结构体系阻尼比更复杂, 这有待于我们的数值计算要做更深一步研究。

4) 结构模型计算是一个方方面面都要注意的问题。对于阻尼比这样一个问题来看, 稍不注意, 所作的结构模型其实已经超出规范内容了, 即结构超限。

参考文献

[1]GB50011-2010建筑抗震设计规范[S].

[2]GB50010-2010混凝土结构设计规范[S].

结构阻尼比 篇2

文[1]提出了用分布式的、实时可调的压电片组建模态传感器及作动器实现准独立模态控制的.方法,为结构的自适应控制提供了物质基础.本文在文[1]的基础上,结合自适应控制技术,进一步进行了基于这种独立模态控制策略的自适应阻尼控制实验研究,在压电板上取得了理想的控制效果.

作 者：姚军 李岳锋 姚起杭 作者单位：姚军(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京,100083)

李岳锋(南京航空航天大学振动工程研究所,南京,210016)

姚起杭(飞机强度研究所,西安,710065)

结构阻尼比 篇3

1 直接采用下部原有结构阻尼比的方法

该方法认为加层后的结构中轻钢加层的层数较少, 下部原有结构不管是砌体结构还是钢筋混凝土结构都仍为加层后的主体结构, 所以此方法一般取加层后新结构的总体阻尼比为0.05。这种方法虽然比较简单直接, 但是直接采用下部原有结构的阻尼比来计算加层后结构的地震反应, 会使计算的结构地震力偏低, 忽略顶部加层结构的“鞭梢”效应, 给结构设计带来安全隐患。

2 采用折算阻尼比的方法

此方法是以结构中具有不同阻尼比构件的刚度为权重算出的整体结构的折算阻尼比。这种方法相对来说也较明了宜采用, 但是和第一种方法有类似的弊端。采用折算阻尼比计算加层结构的地震反应, 会相应的低估结构的动力响应, 也会使顶部加层结构的“鞭梢”效应比实际减小, 同样存在结构设计安全性不足的问题。

3 采用瑞雷阻尼法确定的方法

瑞雷阻尼理论主要用于多自由度体系, 它是假定结构体系的阻尼矩阵[C]为质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]的线性组合, 即:

[C]=a[M]+b[K] (1)

其中, a, b均为常数, a为质量阻尼系数, b为刚度阻尼系数。它们是根据结构参考振型的圆频率和阻尼比求出的:

$a=\frac{2\omega {}_1\omega {}_2(\zeta {}_1\omega {}_2-\zeta {}_2\omega {}_1)}{\omega {}_2^2-\omega {}_1^2}$ (2)

$b=\frac{2(\zeta {}_2\omega {}_2-\zeta {}_1\omega {}_1)}{\omega {}_2^2-\omega {}_1^2}$ (3)

其中, ω1, ω2均为两个参考振型的圆频率;ζ1, ζ2均为两个参考振型的阻尼比。

根据振型的正交条件, 可以确定振型阻尼比:

$\zeta {}_i=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\omega {}_i}+b\omega {}_i\right)(i=1‚2‚3‚\cdots ‚n)$ (4)

因为是通过任意两个振型计算结构的阻尼比, 所以这种方法没有很好的考虑阻尼随频率和振型的变化, 会在较大的频率范围内过大或过小估计了结构的阻尼特性, 会造成对结构抗震性能不合理的评价。

4 能量法

一种能量法是利用复阻尼理论[1]:认为阻尼应力与弹性应力Eε成正比, 而与变形速度ε同相, 所以可得复阻尼应力为irEε, 其中, r为阻尼系数。

设整个结构第j振型向量为[A]j, 则第j振型的阻尼力为:

F=irj[K][A]jqj (5)

其中, qj (j=1, 2, …, n) 为依赖于时间的简单变量, 称为振型坐标。

如结构按j振型振动一周, 结构耗能可用下式表达:

ΔW=∫T0[A]TjqjFdt=∫T0[A]Tj[K][A]jq2jirjdt (6)

对于轻钢加层的复合结构按j振型振动一周, 上部加层结构和下部原有结构分别耗能可表示如下:

ΔW上=∫T0[A]Tj2[K2][A]j2q2jir2dt (7)

ΔW下=∫T0[A]Tj1[K1][A]j1q2jir1dt (8)

其中, [K1], [K2]分别为下部原有结构、上部新加层结构的刚度矩阵;[A]j1, [A]j2分别为下部原有结构、上部新加层结构的振型向量;r1, r2分别为下部原有结构、上部新加层结构的阻尼系数。

由能量守恒定律ΔW=ΔW上+ΔW下得:

∫T0[A]Tj[K][A]jq2jirjdt=∫T0[A]Tj2[K2][A]j2q2jir2dt+∫T0[A]Tj1[K1][A]j1q2jir1dt (9)

分别写出相应的振型向量和刚度矩阵, 可以得出下式:

$r{}_j=\frac{r{}_2[A]{}_{j{}_2}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_2][A]{}_{j{}_2}+[A]{}_{j{}_1}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_1][A]{}_{j{}_1}r{}_1}{[A]{}_j^{\text{Τ}}[{\rm K}][A]{}_j}$ (10)

现在把阻尼系数rj换算成阻尼比ζj, 考虑到最不利的情况, 即发生共振时, ζj=rj/2。所以式 (10) 变为:

$\zeta {}_j=\frac{\zeta {}_2[A]{}_{j{}_2}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_2][A]{}_{j{}_2}+[A]{}_{j{}_1}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_1][A]{}_{j{}_1}\zeta {}_1}{[A]{}_j^{\text{Τ}}[{\rm K}][A]{}_j}$ (11)

其中, ζ1为原结构阻尼比;ζ2为增层部分阻尼比, 这样根据公式与已知振型向量、刚度矩阵及上下结构的阻尼比, 即可求出加层后复合结构任意振型相对应的阻尼比。

还有一种是基于应变能的能量法来计算加层结构的阻尼比[2]:单自由度振动体系中, 具有粘性阻尼特性的阻尼比, 可以定义为谐振动中的耗散能和结构中储藏的应变能的比值:

$\epsilon =\frac{E{}_D}{4\text{π}E{}_s}$ (12)

其中, ED为结构的阻尼耗散能;Es为结构的应变能。

在多自由度体系中, 通过假定结构的变形与振型形状成比例、单元的阻尼与单元的刚度成比例, 可以得出单元的消散能和应变能的计算如下:

下部原有结构由于阻尼消耗的能量和应变能为:

ED (1, j) =2πζ1[A]Tj1[K1][A]j1 (13)

$E{}_s(1,j)=\frac{1}{2}[A]{}_{j{}_1}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_1][A]{}_{j{}_1}$ (14)

同理, 上部新加层结构由于阻尼消耗的能量和应变能为:

ED (2, j) =2πζ2[A]Tj2[K2][A]j2 (15)

$E{}_s(2,j)=\frac{1}{2}[A]{}_{j{}_2}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_2][A]{}_{j{}_2}$ (16)

其中, ED (1, j) , ED (2, j) 分别为下部原有结构, 上部新加层结构在第j振型下阻尼消散的能量;Es (1, j) , Es (2, j) 分别为下部原有结构, 上部新加层结构在第j振型下的应变能。

因为加层后的复合结构阻尼所消耗的能量为上部新加层结构和下部原有结构消耗能量之和, 为式 (13) 和式 (15) 相加, 所以复合结构的应变能为式 (13) 和式 (15) 相加。

组合后结构的阻尼比为:$\zeta {}_j=\frac{E{}_D(j)}{4\text{π}E{}_s(j)}=\frac{\zeta {}_1[A]{}_{j{}_1}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_1][A]{}_{j{}_1}+\zeta {}_2[A]{}_{j{}_2}^{\text{Τ}}[{\rm K}{}_2][A]{}_{j{}_2}}{[A]{}_j^{\text{Τ}}[{\rm K}][A]{}_j}$ (17)

其中, [A]Tj[K][A]j为结构整体应变能, 等于[A]Tj1[K1][A]j1+[A]Tj2[K2][A]j2。K为结构整体刚度。可以看到式 (17) 和式 (11) 两者是完全相同的, 这就说明两种确定轻钢加层结构阻尼比的能量法是殊途同归的, 相对于前面几种确定加层结构阻尼比的方法, 能量法相对来说考虑了结构的阻尼随频率和振型变化的特点, 能够较合理的估算出加层后复合结构的阻尼特性, 从而合理的估算出加层结构在地震作用下的动力响应, 避免了前面几种方法的一些缺陷。但是由于它是一种强迫解耦法, 也会存在一些误差, 相对来说可利用其来设计较为合理经济的结构。

5结语

对于采用了不同材料加层后的复合结构阻尼比确定的问题一直是工程界中尚未完全解决的问题, 前面所列举的方法具有各自的特点, 有的方法简单但是会造成很大误差, 有的方法理论相对精确但计算较复杂, 还未能广泛应用。

参考文献

[1]吕凤伟, 曹双寅, 宗钟凌.轻钢增层阻尼比确定的能量法[J].工程抗震与加固改造, 2008, 30 (5) :100-106.

[2]薛彦涛, 韦承基, 孙仁范, 等.采用不同材料加层时结构阻尼比计算方法 (应变能法) [J].工程抗震与加固改造, 2008, 30 (2) :91-95.

[3]刘昱, 高小旺, 张涛.基于SAP2000的轻钢加层结构的抗震性能分析[J].工程抗震与加固改造, 2008, 30 (6) :100-102.

[4]赵干荣, 金旭, 张建明.阻尼计算方法对轻钢增层结构地震反应的影响[J].四川省建筑科学研究, 2009, 35 (2) :168-171.

[5]田慧, 王依群.混凝土房屋钢结构加层抗震分析[J].天津建设科技, 2009, 2 (2) :23-25.

[6]骆甜.轻钢加层结构的地震反应分析与研究[D].合肥:合肥工业大学硕士学位论文, 2007.

结构阻尼比 篇4

1试验土样和试验方法

1.1 试样

试验所用土样为原状的粘性土样、扰动的粉土和砂样,分别对以上土样进行了试验,同种土样的含水量和干密度相同。其中共振柱试验试样直径为50 mm,高为100 mm,在各向等压力下固结;动单剪试验试样直径为61.8 mm,高为20 mm,在K0状态下固结。

1.2 试验仪器和试验方法

本试验采用DTC-158型共振柱仪,共振柱试验是在一定湿度、密度和应力条件下的土柱上,施加纵向振动,并逐级改变驱动频率,测出土柱的共振频率,再切断动力,测记出振动衰减曲线。然后根据这个振动频率以及试样的几何尺寸和端部限制条件,计算出试样的动模量,根据衰减曲线计算出阻尼比。

动单剪仪测定动模量和阻尼比是对K0状态下圆柱状土样在不同垂直压力下固结,施加水平方向的周期剪应力,直接得出试样的剪切模量和阻尼比。

2试验结果比较及分析

在共振柱试验中,可以测出共振频率和位移,然后通过计算得出剪应变小于10-4时的剪切模量和阻尼比,对于剪应变大于10-4时的剪切模量和阻尼比是通过Hardin-Drnevich模型进行拟合,计算公式如下[6]:

G=G0/(1+γ/γr),

D/Dmax(1-G/G0)。

其中,γr为参考剪应变,由下式计算:

γr=τf/G0。

其中,τf为试样破坏时的最大剪应力,由下式计算[1]:

$\tau {}_f=\left\{\left[\frac{1}{2}(1+{\rm K}{}_0)\sigma {}_v\sin \text{ϕ}+c\text{c}\text{o}\text{s}\text{ϕ}\right]{}^2-\frac{1}{2}(1-{\rm K}{}_0)\sigma {}_v^2\right\}{}^{\frac{1}{2}}$。

其中,K0为静止侧压力系数;σv为竖向压力;Dmax为最大阻尼比,一般取0.3;G0为初始剪切模量,即剪应变为10-6时的剪切模量,G0随试样的平均固结应力σ0增大而增大。

在剪应变大于10-4时,动剪模量由修正的Hardin-Drnevich模型G=G0/(1+aγ/γr)得出(a为拟合参数,不同的土对应不同的值),曲线拟合较好。分别对三种土的共振柱试验数据进行分析得出了这三种土的a值,如表1所示。

用修正的Hardin-Drnevich模型对三种土的共振柱数据进行拟合得到剪应变大于10-4时的剪切模量和阻尼比,作出用修正的Hardin-Drnevich模型拟合后的G—γ和D—γ曲线与试验结果曲线对比,如图1～图3所示。从图中可以看出用修正的Hardin-Drnevich模型拟合后的剪应变大于10-4时的G—γ曲线与动单剪试验曲线拟合很好,拟合后的剪切模量比试验值偏小;但差别不大,在8%左右。D—γ曲线与动单剪试验曲线拟合规律较好,数值稍有偏差, 这与Dmax 的选取有关。

3结语

比较分析用Hardin-Drnevich模型对共振柱试验进行拟合得到剪应变大于10-4时的G—γ曲线和D—γ曲线与动单剪试验曲线拟合较好。因此,对于这三类土可以只做共振柱试验,由修正的Hardin-Drnevich模型计算剪应变大于10-4时的剪切模量和阻尼比,求得的剪切模量比动单剪结果偏小,相差8%左右。阻尼比与动单剪结果稍有偏差,这与Dmax 的选取有关。

文中给出的各类土的a值与俞炯奇等[1]给出的砂土和壤土的a值有较大差别,需要进行更多的试验来对比分析;还可以用修正的Hardin-Drnevich模型对动单剪试验结果进行拟合得到剪应变小于10-4时的剪切模量和阻尼比,与共振柱数据进行对比分析验证结果的合理性;提出对试验和工程更为有利的理论依据和参考资料。

摘要：在不同固结压力下分别对原状粘性土样、扰动粉土样和砂样进行了共振柱和动单剪试验,用修正的Hardin-Drnevich模型对共振柱试验结果进行拟合,得出剪应变大于10-4时的剪切模量和阻尼,用此结果与振动单剪仪结果对比发现拟合较好。

关键词：修正的H—D模型,动剪切模量,参考剪应变

参考文献

[1]俞炯奇,郑君,姜朴.Hardin-Drnevich模型的修正[J].浙江水利科技,2002(4):87-88.

[2]尚守平,卢华喜,任慧,等.粉质粘土剪切模量试验对比研究[J].岩土工程学报,2006,3(3):410-414.

[3]阮元成.坝体原状土的动剪切模量[A].第三届全国土动力学学术会议[C].上海:同济大学出版社,1990.165-168.

[4]徐存森,吴俊壁.用扭转单剪、共振柱仪测定空心试样土的动剪切模量[J].大坝观测与土工测试,1992,16(1):37-43.

[5]蒋寿田,王幸辛.郑州地区地基原状土动模量和阻尼比[A].第三届全国土动力学学术会议[C].上海:同济大学,1990.151-155.

[6]钱家欢,殷宗泽.土工原理论与计算[M].北京:中国水利水电出版社,1996.

结构阻尼比 篇5

从工程应用的角度上讲, 阻尼是描述工程结构如何将广义振动的能量转换成可以耗损的能量的术语, 是振动结构能量耗散的各种因素的总称。混凝土是一种弹塑性材料, 其基本组成为胶凝材料 (如水泥) 、水、砂子和石子, 另外还常加入适量的掺合料和外加剂, 它至少包含7个相, 即粗骨料、细骨料、未水化水泥颗粒、水泥凝胶、凝胶孔、毛细管孔和引进的气孔。当混凝土材料受到振动时, 内部质点之间, 甚至相之间产生摩擦和振动, 振动能与内部孔壁发生摩擦等, 使振动能被衰减, 这些都是混凝土产生阻尼的原因。

混凝土材料是土木工程中的主要材料, 良好减振性能 (高阻尼) 的混凝土, 可较好地缓解偶然荷载、风载、海浪、地震等对建筑物引起的危害, 可增强建筑结构的可靠性和舒适性[1], 近年来它的研究内容正在发生重大转变, 新型高阻尼、高强度混凝土材料的研究是当前功能材料领域的一个热点课题[2,3]。

2 混凝土界面与界面弱化的提出

众所周知, 混凝土的物理力学性能及其耐久性主要取决于水泥石、骨料及二者的界面结合性能, 而水泥石与骨料之间的界面粘结区域是混凝土的薄弱环节, 界面的结合情况对混凝土的性能有着重要影响。1962年, J Lyubimove等人[4]首先在细观级上对界面进行深入研究, 提出界面过渡区的概念。他们用显微硬度测试技术发现在靠近骨料表面处, 硬度最小, 向基体方向移动, 硬度逐渐增加, 呈梯度变化, 到100μm以后达到常数。界面过渡区内从骨料表面到水泥浆本体, 孔隙率由大到小、晶体粒子由多到少及择优性逐渐变弱等不利的梯度分布现象的叠加构成了界面薄弱区。可以推断, 骨料-水泥界面同样是影响混凝土阻尼性能的重要因素之一, 本文现就曾有试验数据的基础上对混凝土界面因素的影响机理做出一定分析。

目前主要界面研究文献主要旨于提高混凝土强度性能和耐久性能, 所以改善这一界面的组成、结构与性能, 即界面强化, 是大量研究文献的研究内容。目前改善界面区微观结构的方法主要有两种[5]:一是掺入矿物掺合料;二是从集料表面入手改变这一薄弱的区域。比如用酸碱溶液对集料表面进行处理, 用有机偶合剂或环氧树脂涂抹在集料的表面, 用矿渣作为集料。

如果减弱骨料-水泥石界面的粘结强度, 混凝土抗压强度将降低, 同时增加相之间的摩擦和振动机会, 混凝土消耗能量的能力增加, 则对提高阻尼性能有利。所以, 在不改变普通混凝土的组成成分的条件下, 笔者曾通过试验从骨料界面入手, 提出界面弱化的思想, 以期为配制高阻尼混凝土打下基础, 并研究界面粘结强度与阻尼比的关系。

3 不同类型骨料界面对阻尼比的影响机理

3.1 不同抗压强度的骨料界面机理

混凝土内各相之间的振动和摩擦是产生阻尼的主要原因之一, 骨料与水泥石之间的界面粘结区域是混凝土的薄弱环节, 骨料与水泥石的接触界面越大, 之间振动和摩擦的机会越多, 混凝土阻尼比就越大。

随着混凝土抗压强度的降低, 混凝土试件中的细骨料用量增加, 水泥用量减少, 所以混凝土的密实度降低, 骨料界面的粘结面积增大, 在外界激励下, 混凝土内产生阻尼的机会增加。试验测试结果[6]证明, 混凝土阻尼比值随抗压强度的提高而降低。

注:第*组表示在不同响应频率条件下 (即试件尺寸不同) , 以下同。

3.2 骨料表面特征的影响

界面的粘结强度很大程度上取决于骨料表面的粗糙程度, 表面越粗糙, 水泥石与骨料在界面的剪切强度越大, 同时粘结区面积越大, 当骨料从规则的几何体到毫无规则的几何体时, 界面粘结强度约提高了3倍[7]。

我们以常见的3种粗骨料:碎石、卵石和轻骨料来分析, 其中卵石的表面相对最光滑, 且呈惰性, 混凝土拌合过程中, 骨料表面易形成水膜, 阻碍水泥砂浆在骨料表面的附着, 所以界面粘结强度相对最小;碎石经过破碎加工, 其表面有新鲜的缺陷、扭折和错位以及由于“断健”而存在表面剩余键力, 有利于与水泥浆体进行化学反应形成强粘结的界面;而轻骨料粒径相对最小, 则总粘结表面积最大, 且轻骨料本身多孔, 在新拌混凝土中具有吸水和供水作用, 吸水作用使得轻集料附近处于局部低水灰比状态, 因此减少或避免了集料下部由于内分层作用而形成的“水囊”, 避免了界面处Ca (OH) 2的富集和定向排列, 提高了集料与水泥的界面粘结力, 有试验研究发现[44]:普通高强水泥混凝土界面过渡区板状Ca (OH) 2晶体量多于水泥石基体, 界面区存在Ca (OH) 2富集现象, 界面区存在较多的裂纹和孔洞;而轻集料混凝土界面区水泥水化产物的组成与基体基本相同, 不存在Ca (OH) 2晶体富集和定向排列现象, 界面区基本没有裂纹, 水泥水化产物嵌入轻集料内, 形成了水泥与轻集料“嵌套”在一起的整体结构。所以, 轻骨料与水泥石的粘结强度较前两种骨料高。界面粘结模型如图2所示。

同样, 试验数据[6]证明:在抗压强度相近的条件下, 卵石混凝土阻尼比>碎石混凝土阻尼比>轻骨料混凝土阻尼比。所以, 界面粘结强度对混凝土阻尼比有重要的影响, 阻尼比随骨料粘结强度的减小而提高, 进一步设想, 如果对各骨料的表面进行弱化处理, 阻尼比应该提高。

3.3 骨料表面涂油对阻尼比的影响机理

对粗骨料表面进行弱化处理有多种方法, 从经济角度出发, 可尝试采用在骨料表面涂抹普通机油的方法。对粗骨料涂油, 至少产生两个方面的影响:第一, 机油包裹骨料表面形成油膜, 阻碍了骨料的吸水作用, 使骨料表面更容易生成水膜, 从而阻碍了骨料与水泥石之间化合作用, 使骨料与水泥石之间的化学结合层变薄、变弱;第二, 涂油后的骨料表面变光滑, 与水泥石的机械啮合力减小。随着界面粘结强度的减小, 涂油后混凝土抗压强度下降, 骨料与水泥石之间的滑动摩擦和振动增加, 提高了混凝土消耗能量的能力。

从试验测得的数据[8]得出, 在配合比不变的情况下, 对粗骨料 (以卵石为例) 涂油后, 混凝土试件抗压强度下降, 而阻尼比明显提高, 结果验证, 界面弱化后阻尼比提高的理论是正确的。

然而弱化界面导致混凝土力学性能下降, 这与提高阻尼比形成一对矛盾, 混凝土作为土木工程中承重结构材料, 研究混凝土阻尼特性时, 必须兼顾其抗压强度和弹性模量等力学性能。试验[6]也曾选取强度相近的混凝土试件做比较, 其中粗骨料涂油试件阻尼比略高于普通试件阻尼比, 这体现了高阻尼混凝土的一定优势, 但还不够理想、明显。所以, 如何通过改变骨料界面来配制高阻尼高性能的混凝土, 将是混凝土阻尼研究以后的目标, 比如对骨料表面进行涂抹环氧树脂、沥青、固化剂、羧基丁苯胶乳等高分子材料。

4 结语

混凝土作为主要的承重结构材料, 广泛应用于各种土木工程中, 高阻尼混凝土对建筑物的防震减灾, 以及降低城市噪声污染和桥梁风振危害等方面有重要意义, 另外随着高新技术飞速发展, 在航空航天、核技术工程和高精密机床等设备安装方面, 建造有良好减振性能的混凝土基础和构件, 减少外界干扰的影响, 确保安装在混凝土上的仪器设备高精度运行, 亦具有极其重要的作用。

高阻尼混凝土材料的研究是从材料的角度出发, 通过提高结构材料的阻尼提高结构自身阻尼, 达到改善结构物的动力性能的目的, 从而有效地抵抗地震等外部冲击。骨料-水泥界面同样是影响混凝土阻尼性能的重要因素之一, 当前, 从各种角度探寻高阻尼混凝土的研究已悄然兴起, 可以相信, 这将成为未来混凝土的一个重要发展方向。

参考文献

[1]Sezan Qrak.Investigation of vibration damping on polymer concrete with polyester resin[J].Cement and concrete research, 2000, (30) .

[2]张照宇, 吴芳.聚合物水泥高性能混凝土的研究[J].苏州城建环保学院学报, 1998, 11 (4)

[3]杨志强, 王东.聚合物对混凝土结构和性能影响的研究[J].混凝土与水泥制品, 1995, (1) .

[4]J.C T Y Lyubimove, E R Pinns.Crystallization Struc-ture in Concrete Contact Zone between aggregate and cement in concrete[J].Colloid T, 1962 (24) .

[5]张勇, 丁庆军, 于发洲等.轻集料混凝土的界面结构研究[J].混凝土, 2002 (10) .

[6]张海捷.骨料界面弱化处理对混凝土阻尼性能影响的试验与研究[D]南华大学, 2007.

[7]杜庆檐.骨料对混凝土强度影响的研究[J].云南建材, 1996 (4) .

结构阻尼比 篇6

风积土是风所搬运的碎屑物质,因风力减弱或途中遇到障碍物时,沉积下来而形成.在中国这种土主要分布于东北、内蒙古、西北等地区,特别是辽宁西部地区分布着大量风积土.随着这一地区交通事业的快速发展,对辽西地区风积土动力学的研究工作显得尤为必要.但是,目前对辽西风积土动力特性的研究还不是很充分.笔者在另文中对辽西风积土的动强度特性进行了研究工作[1]研究表明辽西风积土在低围压、低固结比情况下其动强度极为不足,很容易发生振动液化,当加入适量的粉煤灰、石灰后,其动强度有明显提高.

对辽西风积土进行动力分析离不开其动本构模型,其中风积土的动剪切模量和阻尼比是土动力学计算与分析最重要的参数,是土层和地基地震反应分析中必备的动力参数,也是场地地震安全性评价中必不可少的内容[2].为了确定土的动剪切模量和阻尼比,从20世纪60年代开始,国内外学者对这两个参数进行了广泛的研究,并取得了许多有价值的研究成果.Hardin等[3,4,5,6]最早对动三轴设备进行了改进,在大量试验数据的基础上,对影响土动力特性的因素进行了研究,并给出了计算土动剪切模量和阻尼比的公式;翟瑞彩[7]建立了动剪切模量随深度变化的函数关系,运用模糊概率对动剪切模量进行评述;梁旭等[8]通过水泥土复合试样的动力试验,研究了掺入比、围压等因素对复合试样动剪切模量和阻尼的影响.

土的动剪切模量和阻尼比分析十分重要,但是由于土本身的多变性及仪器设备水平的限制,使这一问题研究起来很复杂.影响土的动剪切模量与阻尼比的因素很多[9],包括土的密实度、塑性指数、孔隙比、围压、循环应变幅、加载历史、饱和度等.其中,围压、固结比、振动频率是影响土的动剪切模量与阻尼比的主要因素[10].本文通过一系列动三轴试验,分析了围压、固结比、振动频率对辽西风积土的动剪切模量与阻尼比的影响情况,并对其机理作一些探讨.

1 试验概况

1.1 试验土样

土样取自辽宁阜新市六家子地表以下2m处,其物理、力学性质如表1所示,具体试验步骤见文献[11].由表2可知,土颗粒粒径小于0.05 mm占总质量的88.8%,塑性指数为11.9,根据GB50007-2002建筑地基基础设计规范,土的工程分类可认定为粉质黏土,是典型的风积土.但是,根据对辽西地区风积土的研究表明[12],其物理力学性质与其他风积土(如兰州黄土)有本质上的区别,其湿陷性不明显,颗粒极细,比较密实,有明显的结构性.

1.2 试验方案

为了研究围压、固结比、振动频率对风积土的动剪切模量与阻尼比的影响情况,本文需要在不同试验围压、固结比、振动频率进行动三轴试验.试验内容为:围压σ3c=100 kPa,150kPa,200kPa,固结比kc=1,1.5,振动频率f=1 Hz,5 Hz.

根据上述试验方案,在取土点用取土钻取试验土样至少12份,土样规格为直径3.91 cm、高8cm.取土时应尽量维持其原始状态,不能扰动土样,并用保鲜膜包裹.取完土样后,要尽快对其进行真空饱和,再装入三轴压力室进行反压饱和,饱和度均达到95%以上.然后在预定压力下固结土样,固结后的试样在不排水条件下,分15级由小到大以等差方式逐级加大动载荷,并在每一级动荷大小保持不变的条件下进行振动试验.为了消除前一级动载荷产生的孔压对后一级载荷的影响,在每级动载荷下的振动试验结束后,快速开关排水阀门一次,以消除孔压增量.本试验每级载荷振动8周,测记绘制σd-εd滞回圈,将所有试样的结果合成以便求取动力参数.试验仪器采用DDS-70微机控制电磁式振动三轴仪.

1.3 动剪切模量与阻尼比的定义

确定土动剪切模量的方法有两种,一种是通过动单剪试验直接获得,另一种是通过动三轴试验间接得到.本文使用的是动三轴仪,因此需要通过公式换算得到动剪切模量.Ed,εd与Gd,γd的换算关系为[13]

式中,μ为泊松比,饱和土取0.5[14].

在土动力学研究中,阻尼比计算公式一般为

式中,A0,A分别为为动应力-应变关系曲线滞回圈的面积与原点到最大幅值点连线下的三角形面积,如图1所示.

2 试验结果及分析

试验过程中,拉压力传感器和位移传感器分别测记动应力、动应变,经动态放大器放大后,由数据采集板将试验数据存储于微机,再由微机的数据处理系统绘出Ed-lnεd关系曲线,通过式(1)将Ed,σd换算成Gd,-γd,然后绘出Gd-lnγd关系曲线,如图2所示.

根据试验结果按式(2)整理得到的试验点离散性较大,且小应变时经常出现较大阻尼的现象,因此计算全应变范围内的阻尼比λ.并绘出λd-lnγd关系曲线,如图3所示.

2.1 围压对动剪切模量和阻尼比的影响

由图2可知,在固结比kc、振动频率f相同而围压σ3c不同时,风积土的动剪切模量Gd随围压σ3c的增大而增大.原因是风积土在低围压下塑性应变发展得更快,而高围压延缓了塑性应变的发展.动剪切模量Gd增长幅度与动切向应变幅值γd有关,γd越小,Gd增长幅度越大;反之,增长的幅度越小.围压不同的3条Gd-lnγd关系曲线随着动剪应变幅值的增加相互靠拢,表明在较大切向应变情况下,围压对动剪切模量的影响很小.

由图3可知,其他条件不变,当围压σ3c增大时,阻尼比λd随之减少.这是因为在土动力学中,能量的损耗量用阻尼比来表示.当围压增大时,风积土颗粒之间的接触更加紧密,波的传播路径也随之增多,因而波在传播的过程中能量消耗将会减少,显然阻尼比减小.减少的幅度同样与动剪应变幅值有关,动剪应变幅值越大,其减少的幅度越大;反之,减少的幅度越小,甚至出现围压不同的3条λd-lnγd关系曲线在应变很小的时候几乎相互重合.

2.2 固结比对动剪切模量和阻尼比的影响

由图2可知,在其他条件相同而固结比不同的情况下,动剪切模量随着kc的增加而增加.这是因为风积土是一种黏粒含量很少的松散粉质黏土,有很明显的结构性[12],在较大初始剪应力作用下,风积土土粒很容易发生滑移,土骨架变形趋于更加稳定的状态.在围压一定的情况下,固结比增大,即试样的平均应力σm=1/3(σ1c+2σ2c)增大,动剪切模量也随之增大.

同理,由图3可知,阻尼比λd随kc增加而减少,减少的幅度随动应变幅值的增加而迅速增大.

2.3 频率对动剪切模量和阻尼比的影响

从图2可以看出,频率越高,动剪切模量越大,这是因为在相同的振动载荷σd作用下,频率越低,切向变形越能充分展开,从而导致动剪切模量愈小.但是,动剪切模量随振动频率增长的幅度并不是很大,即振动频率对动剪切模量的影响不如上两个因素大.

从图3可以看出,频率越高,同一应变幅值所对应的阻尼比越大,而且阻尼比增长的幅度随动应变幅值的增大而增大.

3 结论

结构阻尼比 篇7

小干扰安全域(small signal security region,SSSR)[1,2]是电力系统安全稳定研究中重要的概念。不同于一般基于状态空间的小干扰稳定性分析方法,SSSR是在可调参数空间(或注入空间) 中构造的一个域,所有在该域内的运行点都是小干扰稳定的。SSSR可为小干扰稳定分析与监控提供一个可视环境,调度员可根据运行点与安全域边界的距离,直观地评估系统的安全裕度。一旦系统发生小干扰安全问题,调度员还可直接获得合理的调整方向,从而实现监视控制一体化。因此,SSSR可以成为指导电力系统安全运行的有力工具。

传统的SSSR边界对应动态系统的临界稳定状态,与Hopf分岔点直接相关[3]。Hopf分岔是指系统动态方程的Jacobian矩阵有一对共轭复特征值穿过虚轴时,发生的对应周期解的分岔。已有许多文献对Hopf 分岔边界计算方法进行了研究[4,5,6,7,8]。然而,电力系统的安全稳定运行要求系统具有一定阻尼,以防止低频振荡的激发。因此,仅研究Hopf分岔是不够的。鉴于此,本文从阻尼比角度研究SSSR,以求取系统在某个给定阻尼比下的安全边界[9]。

目前仅有少量文献研究基于阻尼比的小干扰安全域(damping-ratio-based small signal security region, D-SSSR)边界问题,主要方法是通过优化搜索或数值迭代求解一系列的点来刻画D-SSSR边界[9,10],即所谓的描点法。由于需要逐次计算边界上的多个离散点,这类方法通常需要大量运算,耗时较长;另一方面,若采用离散点来刻画边界,一般只能应用于低维参数系统(如2维或3维),对于高维系统则难以适用;此外,由于缺少显式表达,这类方法求取的D-SSSR边界难以作为约束条件直接用于与阻尼相关的优化问题。上述问题的关键在于是否能高效地求得D-SSSR边界的解析表达式。由于D-SSSR边界在数学上由一组非线性方程来描述,故一般无法求得其准确的解析表达式。为此,本文考虑求取D-SSSR边界的近似解析表达式。

本文通过旋转坐标变换,将计算临界阻尼特征值问题转化为求解零实部特征值(Hopf分岔)问题,有效地减少了建模和计算工作量。在此模型基础上,在边界上的某个运行点处采用Taylor展开方法,即可得到D-SSSR边界的多项式近似表达式。为得到多项式近似的各项系数,本文通过隐函数求导法则[11,12],将近似系数的求解问题转化为一组线性方程组的求解问题。综合上述步骤即可快速算出系统的D-SSSR边界多项式近似的表达式。

一般而言,多项式近似仅在展开点的邻域内有效。为保证边界近似的可靠性,本文进一步研究了近似边界的可信域,提出了一种两步优化方法,以确定在给定边界误差容忍度的情况下D-SSSR近似的最大范围。

1D-SSSR边界的数学模型

1.1 D-SSSR及其边界的定义

带有参数的电力系统微分代数方程可表示为:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}{}_1=\mathit{F}(\mathit{x}{}_1,\mathit{y}{}_1,\mathit{\mu })\\ 0=\mathit{G}(\mathit{x}{}_1,\mathit{y}{}_1,\mathit{\mu })\end{array}(1)$

式中:x1∈Rp,为状态向量;y1∈Rq,为代数向量;μ∈Rm,为参数向量。

式(1)可简化为:

$\mathit{{\rm T}}\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{\mu })(2)$

式中:x=(x1,y1)T,为由状态变量和代数变量组成的向量;T为相应维数的对角阵,其中前p个对角元素为1,与状态变量相对应,后q个对角元素为0,与代数变量相对应;f=(F,G)T。

将式(1)线性化,可得:

$\{\begin{array}{l}\text{Δ}\dot{\mathit{x}}{}_1=\mathit{F}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })\text{Δ}\mathit{x}{}_1+\mathit{F}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\text{Δ}\mathit{y}{}_1\\ 0=\mathit{G}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })\text{Δ}\mathit{x}{}_1+\mathit{G}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\text{Δ}\mathit{y}{}_1\end{array}(3)$

若Gy1(μ)非奇异,则可消去Δy1,式(3)简化为:

$\text{Δ}\dot{\mathit{x}}{}_1=\mathit{A}{}_{\text{s}\text{y}\text{s}}\text{Δ}\mathit{x}{}_1(4)$

式中:Asys=Fx1(μ)-Fy1(μ)Gy1(μ)-1Gx1(μ),为系统的状态矩阵。

Asys有p个特征值,设每个特征值为λi(i=1,2,…,p),Re λi为每个特征值的实部。若只考虑Hopf分岔,SSSR边界可以定义为:

BSSSR={μmin(Re λi)=0} (5)

为考虑系统的弱阻尼振荡问题,D-SSSR对传统SSSR做了以下改进 [9,10]:设Asys的每个特征值的阻尼比为zi(i=1,2,…,p)。系统正常运行时,状态矩阵Asys的特征值都在临界阻尼线的左侧,如图1(a)阴影部分所示。

如此,D-SSSR可定义为:

ΩD-SSSR={μmin zi<ζ} (6)

式中:ζ为临界阻尼比。

随着系统的参数μ的不断变化,系统状态也相应发生改变。当状态矩阵Asys特征根的最小阻尼比等于临界阻尼比ζ(相应的特征根位于临界阻尼线上),该系统就处于小干扰稳定的临界状态。此时对应的参数μ就组成了参数空间上的D-SSSR边界,如图1(b)所示。图1(b)是参数空间D-SSSR示意图,这里以二维空间为例。相应地,D-SSSR边界定义为:

BD-SSSR={μmin zi=ζ} (7)

1.2 D-SSSR边界求解的建模

本文采用坐标旋转的方法,将计算临界阻尼比ζ的问题转化为计算纯虚根(对应Hopf分岔)的问题,以得到D-SSSR边界的求解模型。

设Asys具有临界阻尼比ζ时的特征根是λ=σ±jω,则式(8)成立。

$\frac{\sigma }{\sqrt{\sigma {}^2+\omega {}^2}}+\zeta =0\omega >0(8)$

设坐标旋转后的状态矩阵为$\tilde{\mathit{A}}$sys。若将Asys的特征根逆时针旋转角度θ,则得到$\tilde{\mathit{A}}$sys的特征根,θ=arcsin ζ。当$\tilde{\mathit{A}}$sys的最右特征根位于虚轴上时,对应Asys特征根的最小阻尼比即为ζ,如图2所示。设$\tilde{\mathit{A}}$sys的最右特征根为-jωt。如此,可以方便地采用常规Hopf 分岔边界计算方法来计算D-SSSR边界。

注意到Asys和$\tilde{\mathit{A}}$sys都是稠密矩阵,当系统维数很高的时候,Gy1(μ)-1的计算非常耗时,严重影响计算效率。为保留系统的稀疏性,计算中直接采用增广状态矩阵:

$\mathit{f}{}_{\mathit{x}}=\left[\begin{array}{cc}\mathit{F}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })& \mathit{F}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\\ \mathit{G}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })& \mathit{G}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\end{array}\right](9)$

设v1是Asys的特征值λ对应的右特征向量,定义v2=-Gy1(μ)-1Gx1(μ)v1,则有下式成立[3]:

$\left[\begin{array}{cc}\mathit{F}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })& \mathit{F}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\\ \mathit{G}{}_{\mathit{x}{}_1}(\mathit{\mu })& \mathit{G}{}_{\mathit{y}{}_1}(\mathit{\mu })\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{v}{}_1\\ \mathit{v}{}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda \mathit{v}{}_1\\ 0\end{array}\right](10)$

设v=(v1,v2)T,则有:

(fx-λT)v=0 (11)

vk=1 (12)

式(12)表示特征向量v的第k个分量为1,旋转后式(11)和式(12)仍成立。

设旋转后fx为$\tilde{\mathit{f}}{}_{\mathit{x}}=\mathit{f}{}_{\mathit{x}}(\cos \theta +\text{j}\sin \theta )$,令tr=cos θ,ti=sin θ,则有$\tilde{\mathit{f}}{}_{\mathit{x}}=\mathit{f}{}_{\mathit{x}}(t{}_{\text{r}}+\text{j}t{}_{\text{i}})$。$\tilde{\mathit{A}}$sys的最右特征根是-jωt。如此,式(11)和式(12)转换为:

[fx(tr+jti)+jωtT]vt=0 (13)

vt,k=1 (14)

求解式(13)和式(14),以及系统平衡方程f(x,μ)=0组成的方程组,即可求得D-SSSR边界。将vt写成复数形式,vt=vt,r+jvt,i,计算D-SSSR边界的模型可以写成:

$\{\begin{array}{l}\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{\mu })=0\\ \mathit{f}{}_{\mathit{x}}(t{}_{\text{r}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}-t{}_{\text{i}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}})-\omega \mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}=0\\ \mathit{f}{}_{\mathit{x}}(t{}_{\text{i}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}+t{}_{\text{r}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}})+\omega \mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}=0\\ v{}_{\text{t},\text{r},k}=1\\ v{}_{\text{t},\text{i},k}=0\end{array}(15)$

式(15)是一组复杂的非线性方程,在数学上很难直接求出D-SSSR边界的解析表达式。本文应用隐函数求导法求解D-SSSR边界的多项式近似表达。

2 D-SSSR 边界的多项式近似

设F(μ)=0是由式(15)确定的D-SSSR边界的隐式表达式。同时设F(μ)=F(μ1,μ2,…,μi,…,μm)在点μc=(μc1,μc2,…,μci,…,μcm)T附近有n阶连续导数,且Δμi=μi-μci,则F(μ)在μc点展开的Taylor公式为:

$\begin{array}{l}0={\displaystyle \sum _{l=1}^{n-1}\frac{1}{l!}}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\text{Δ}}\mu {}_i\frac{\partial }{\partial \mu {}_i}\right){}^{(l)}F(\mathit{\mu })|{}_{\mathit{\mu }=\mathit{\mu }{}_{\text{c}}}+\\ \frac{1}{n!}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\text{Δ}}\mu {}_i\frac{\partial }{\partial \mu {}_i}\right){}^{(n)}F(\mu {}_1+\upsilon \text{Δ}\mu {}_1,\mu {}_2+\\ \upsilon \text{Δ}\mu {}_2,\cdots ,\mu {}_m+\upsilon \text{Δ}\mu {}_m)0<\upsilon <1(16)\end{array}$

利用隐函数求导法则,F(μ)=0的多项式近似表达式可进一步写为:

$\begin{array}{l}\text{Δ}\mu {}_1={\displaystyle \sum _{i{}_1=2}^{m}C}{}_1\text{Δ}\mu {}_{i{}_1}+{\displaystyle \sum _{i{}_1=2}^m{\displaystyle \sum _{i{}_2=2}^{m}C}}{}_2\text{Δ}\mu {}_{i{}_1}\text{Δ}\mu {}_{i{}_2}+\cdots +\\ {\displaystyle \sum _{i{}_1=2}^m{\displaystyle \sum _{i{}_2=2}^m\cdots }}{\displaystyle \sum _{i{}_m=2}^{m}C}{}_m\text{Δ}\mu {}_{i{}_1}\text{Δ}\mu {}_{i{}_2}\cdots \text{Δ}\mu {}_{i{}_m}(17)\end{array}$

式中:C1,C2,…,Cm为多项式系数。

式(17)的符号说明和推导过程见附录A。为计算简便,本文只考虑二阶以下的近似。具体地,根据式(17),F(μ)=0的一阶多项式近似为:

$\text{Δ}\mu {}_1={\displaystyle \sum _{i=2}^n\frac{\partial \mu {}_1}{\partial \mu {}_i}}\text{Δ}\mu {}_i(18)$

F(μ)=0的二阶多项式近似为:

$\text{Δ}\mu {}_1={\displaystyle \sum _{i=2}^m\frac{\partial \mu {}_1}{\partial \mu {}_i}}\text{Δ}\mu {}_i+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=2}^m{\displaystyle \sum _{j=2}^m\frac{\partial {}^2\mu {}_1}{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}}}\text{Δ}\mu {}_i\text{Δ}\mu {}_j(19)$

本文D-SSSR边界近似方法思路部分来源于文献[11],但本文的推导过程与文献[11]有较大的不同,主要有:①两者模型不同,文献[11]方法仅适用于代数方程(潮流方程),而本文针对微分代数方程;②文献[11]针对鞍结分岔,对应系统零特征根,而本文针对的是Hopf分岔,对应系统的纯虚根;③文献[11]仅给出了边界多项式近似的一个特例——二次近似,本文则给出了边界多项式近似的一般形式。

2.1 D-SSSR边界的一次近似算法

显然,当边界的线性度较高时,一阶近似即可满足要求。设μc是展开点,由式(17)可知,求取一次近似边界需要计算∂μ1/∂μi(i=2,3,…,m)在μc处的值。具体方法是将式(15)两端同时对μi求导,可得:

$[\begin{array}{ccccc}\mathit{f}{}_{\mathit{x}}& \mathit{f}{}_{\mu {}_1}& 0& 0& 0\\ \mathit{\phi }{}_{\text{r}}^{\text{Τ}}[\begin{array}{c}\nabla {}^{2}f{}_1\\ ⋮\\ \nabla {}^{2}f{}_n\end{array}〗& \frac{\partial f{}_x}{\partial \mu {}_1}\mathit{\phi }{}_{\text{r}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{r}}& -\mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{i}}-\omega \mathit{{\rm T}}& \mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}\\ \mathit{\phi }{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}[\begin{array}{c}\nabla {}^{2}f{}_1\\ ⋮\\ \nabla {}^{2}f{}_n\end{array}〗& \frac{\partial f{}_x}{\partial \mu {}_1}\mathit{\phi }{}_{\text{i}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{i}}+\omega \mathit{{\rm T}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{r}}& -\mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}\\ 0& 0& \mathit{e}{}_k^{\text{Τ}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathit{e}{}_k^{\text{Τ}}& 0\end{array}$

$[\begin{array}{l}\frac{\partial \mathit{x}}{\partial \mu {}_i}\\ \frac{\partial \mu {}_1}{\partial \mu {}_i}\\ \frac{\partial \mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}}{\partial \mu {}_i}\\ \frac{\partial \mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}}{\partial \mu {}_i}\\ \frac{\partial \omega }{\partial \mu {}_i}\end{array}$

$=[\begin{array}{cccc}-\mathit{f}{}_{\mu {}_i}& -\frac{\partial \mathit{f}{}_{\mathit{x}}}{\partial \mu {}_i}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}& -\frac{\partial \mathit{f}{}_{\mathit{x}}}{\partial \mu {}_i}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}& 0\end{array}$T (20)

式中:φr=(trvt,r-tivt,i);φi=(tivt,r+trvt,i);ek=(0,…,0,1,0,…,0)T,第k个元素为1,其他元素为0;∇2为Hessian矩阵算子。

将求解线性方程组(式(20))得到的∂μ1/∂μi的值代入式(18),即可得到D-SSSR边界的一次近似表达式。注意到对于不同的μi,该线性方程组的系数矩阵保持不变,只有方程右侧的向量发生改变。因此,即使是在多维参数空间情形,系数矩阵的求逆运算(一般先做LU分解)也只需1次。此外,由于上述一次近似算法只涉及∂μ1/∂μi的值,故其他元素并不需要求出,如此则计算量可进一步降低。

2.2 D-SSSR边界的二次近似算法

由于一次近似的精确性较低且不能确定边界的凹凸性,因此在很多情况下需要求解D-SSSR边界的二次近似。由式(19)可得,求取二次近似边界还需要计算∂2μ1/(∂μi∂μj)(i=2,3,…,m;j=2,3,…,m)在μc处的值。具体方法是将式(20)两端同时对μj求导,可得:

$[\begin{array}{ccccc}\mathit{f}{}_{\mathit{x}}& \mathit{f}{}_{\mu {}_1}& 0& 0& 0\\ \mathit{\phi }{}_{\text{r}}^{\text{Τ}}\left[\begin{array}{c}\nabla {}^{2}f{}_1\\ ⋮\\ \nabla {}^{2}f{}_n\end{array}\right)& \frac{\partial \mathit{f}{}_{\mathit{x}}}{\partial \mu {}_1}\mathit{\phi }{}_{\text{r}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{r}}& -\mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{i}}-\omega \mathit{{\rm T}}& \mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}\\ \mathit{\phi }{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}[\begin{array}{c}\nabla {}^{2}f{}_1\\ ⋮\\ \nabla {}^{2}f{}_n\end{array}〗& \frac{\partial \mathit{f}{}_{\mathit{x}}}{\partial \mu {}_1}\mathit{\phi }{}_{\text{i}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{i}}+\omega \mathit{{\rm T}}& \mathit{f}{}_{\mathit{x}}t{}_{\text{r}}& -\mathit{{\rm T}}\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}\\ 0& 0& \mathit{e}{}_k^{\text{Τ}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathit{e}{}_k^{\text{Τ}}& 0\end{array}$

$[\begin{array}{l}\frac{\partial {}^2\mathit{x}}{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}\\ \frac{\partial {}^2\mu {}_1}{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}\\ \frac{\partial {}^2\mathit{v}{}_{\text{t},\text{r}}}{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}\\ \frac{\partial {}^2\mathit{v}{}_{\text{t},\text{i}}}{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}\\ \frac{\partial {}^2\omega }{\partial \mu {}_i\partial \mu {}_j}\end{array}$

$=[\begin{array}{cccc}\mathit{b}{}_1& \mathit{b}{}_2& \mathit{b}{}_3& 0\end{array}$T (21)

式中:b1,b2,b3为系数向量,具体公式见附录B。

观察式(20)和式(21)可以发现,2个方程的系数矩阵完全一样。所以,一次近似的系数矩阵可以直接在二次近似计算中使用。该方法的一个副产品是可利用Hessian矩阵(∂2μ1/(∂μi∂μj))(m-1)×(m-1)确定D-SSSR边界的凹凸性。具体地,若该矩阵负定,则D-SSSR边界在该点处是凸的;若该矩阵正定,则D-SSSR边界在该点处是凹的。

2.3 计算量分析

为了研究所提算法的计算量,本文以二维边界为例简单分析多项式近似计算所需的浮点运算次数,并与文献[9]中使用的曲线追踪法进行对比。

由文献[13]可知,用Gauss消去法求解普通线性方程组AX=b(A∈Rs×s,b∈Rs)所需的浮点运算次数为s3/3次。求解s维系统Jacobi矩阵所需的浮点运算次数一般为s3/3次。按照本文所提出的算法,求解一次近似系数需要进行1次线性方程组和1次Jacobian矩阵的运算。求解二次近似系数需要2次线性方程组和2次Jacobian矩阵的运算。设t=p+q,则式(15)所代表的系统维数是s=3t+2。采用多项式近似算法计算整个近似边界所需的浮点计算次数是2(3t+2)3/3次(一次近似)或4(3t+2)3/3(二次近似)次。

文献[9]采用基于优化算法的曲线追踪法计算D-SSSR边界,如果采用牛顿类方法进行优化运算,每次迭代所需的运算次数为(3t+2)3/3次。一般计算每个点所需的迭代次数γ为3～4次。因此,描点法计算D-SSSR边界上一个离散点需要的浮点计算次数是γ(3t+2)3/3次。

综上,本文所提算法在计算整个近似边界时,计算量大约仅相当于用曲线追踪法计算D-SSSR边界上的一个点所需的计算量。

3D-SSSR 多项式近似边界的可信域

由于D-SSSR多项式近似边界仅在展开点μc的邻域内有效,在实际应用中,有必要确定近似边界的有效范围。以下简要分析近似边界在给定误差允许范围内的可信域,如图3所示。

图3中:μ0为系统的正常运行点;μc为展开点;μ为近似边界上的点;μr为精确边界上的点。μ和μr都在从μ0出发的同一条射线上。定义点μ和点μr之间的距离‖μ-μr‖2为近似边界和精确边界之间的误差。设给定的最大可容忍误差为ε。若点μ和点μc之间近似边界的误差都小于ε,则点μ和点μc之间距离‖μ-μc‖2可定义为近似边界的可信域半径。图3中阴影部分所包含的近似边界即为可信域。

从可信域的定义看,它可以转化为一类优化问题,即在近似边界上寻找满足容忍误差条件‖μ-μr‖2=ε且距离展开点μc最近的点μ,以此来确定可信域半径。基于此,本文提出一种两步优化算法来求取D-SSSR近似边界的可行域半径。具体算法如下。

1)确定可信域

设给定的最大可容忍误差为ε>0,可信域的求解可以用如下优化问题表示:

$\underset{\mathit{\mu }}{{\displaystyle \min }}\parallel \mathit{\mu }-\mathit{\mu }{}_{\text{c}}\parallel {}_2(22)$

s.t.

‖μ-μr‖2=εk1 (23)

μ=μ0+k1(μr-μ0) (24)

F(μ)=0 (25)

B(x,μr,v,ω)=0 (26)

式中:k1为系数。

其中:式(26)是式(15)的简化形式;式(24)表示μ和μr在同一个射线方向上;式(25)和式(26)表示点μ和μr分别在近似边界和精确边界上。显然可见,由于μ-μr具有连续性,式(22)和式(23)可以保证可信域内误差小于ε。

上述优化问题可用多种最优化算法求解,比如内点法、遗传算法和信赖域反射优化算法等。本文采用信赖域反射优化算法来解决该优化问题[14]。

2)验证可信域

由于式(22)是一个非线性的优化问题,算法有可能陷入局部最优解,故需要检验第1步所求得的可信域半径‖μ-μc‖2是否确实最小。设第1步所得到的优化结果是min‖μ-μc‖2=R1,可采用以下优化模型来进行验证。

$\underset{\mathit{\mu }}{{\displaystyle \max }}\parallel \mathit{\mu }-\mathit{\mu }{}_{\text{r}}\parallel {}_2(27)$

s.t.

μ=μ0+k2(μr-μ0) (28)

‖μ-μc‖2=k1 (29)

同式(25)、式(26)

式中:k2为系数。

式(29)表示第1步得到的可信域边界;式(27)用来寻找在该可信域内,精确边界和近似边界之间的最大误差。设σ为一个很小的正数。如果min‖μ-μr‖2-ε>σ,则表示第1步所得到的可信域是不可靠的。此时,将对应max‖μ-μr‖2的μ1=μ作为新的初值,重复第1步,继续计算。反之,则证明第1步运算结果正确。

4 算例分析

本节采用IEEE-118节点系统(见附录C)作为算例来计算D-SSSR边界及其可信域。该系统有19台发电机,118个节点。发电机方程采用3阶模型,励磁动态采用IEEE DC1A型模型,可用4阶方程描述。整个模型可以用微分代数方程来表示。系统状态变量x1和代数变量y1的总维数为350。

4.1 多项式近似边界的求取

选取发电机15和发电机19的机械功率Pm015和Pm019作为可调参数,即μ=(Pm015,Pm019)T。在计算近似D-SSSR边界之前,需要先得到多项式近似的展开点。具体方法是:先确定参数空间中一个工作点μ0,作为搜索的初始点;在参数空间中,从该初始点出发,沿某一射线方向以一定的步长改变参数变量,重新求解系统平衡点,并且计算系统特征值,直至系统有特征值满足$\sigma /\sqrt{\sigma {}^2+\omega {}^2}+\zeta =0$,此时的参数值即为D-SSSR边界上的一个点。选取该点作为展开点μc,即可计算D-SSSR的一次和二次近似边界。为了验证近似效果,给出了文献[9]中的描点法计算得到的D-SSSR精确边界,见图4。

4.2 多项式近似边界的可信域

选择系统稳定工作点μ0和展开点μc之间距离的5% 作为最大可容忍误差ε。计算可得ε为0.071 1 (标幺值)。通过使用近似D-SSSR边界可信域的两步优化算法,可以得到一次边界的可信域为‖μ-μc‖2≤1.708 2和二次边界的可信域为‖μ-μc‖2≤1.993 3。图4中一次近似边界上从b到c的部分,是一次近似的可信域,二次近似边界上从a到d的部分就是二次近似的可信域。可以看出,二次近似的可信域更大,因此近似效果也更好。在较大范围内二次近似边界的精确性是令人满意的。如果参数可调范围较大,可信域不能满足要求,则可以将不同展开点的多个近似边界拼接起来,以满足应用要求。

4.3 结果分析

为了进一步验证近似的有效性,本文在二次边界上随意选取一个点,(Pm015,Pm019)=(13.469,4.131),在该点处计算系统特征值,结果见图5。图5(a)是坐标旋转后的特征根图,图5(b)是未旋转的特征根图。从图5(a)观察可得,系统的最右特征值靠近虚轴。图5(b)中的最右特征值与临界阻尼

线非常近,而且其他的特征根都在临界阻尼线左侧。图5证实二次边界上的点满足阻尼比条件,同时展示了2.2节所描述的特征根旋转方法的实际效果。

为了验证可信域计算结果的正确性,以下对可信域内的一次、二次近似边界上的点进行采样计算。表1和表2列出了与采样点对应的最小阻尼比DR、近似误差以及与展开点的距离‖μ-μc‖。

从上表可以看出,表中每个点的最右特征值阻尼比都与设定值5%非常接近。这一事实验证了可信域计算结果的正确性,同时也验证了多项式近似算法的有效性。

5 结语

本文首先给出了参数空间D-SSSR边界的多项式近似算法,详细推导了一次和二次近似边界的计算过程,对比了描点法和多项式近似法的计算量,证明后者简洁高效。其次,由于多项式近似边界仅在局部有效,本文提出两步优化法来确定多项式近似边界的可信域,以保证近似边界的可靠性。最后,用算例验证了多项式近似算法及其可信域计算的有效性。

本文所提算法不仅为实现小干扰安全域可视化工程应用奠定了基础,而且还可以实现多项应用。一方面,该方法可直接用于高维参数系统,也可通过投影的方法,获得任意参数变量组成的低维D-SSSR边界;另一方面,通过变量代换,参数空间的D-SSSR边界还可以转化为割集空间中的小干扰安全域边界,此结果可用于重要输电走廊的低频振荡监控;此外,由于本文算法给出的是D-SSSR的显示表达式,因此可作为约束直接引入其他优化问题(如最优潮流)中,从而能够方便地解决与低频振荡约束相关的优化问题。关于D-SSSR边界的应用问题将在接下来的工作中进行研究。

附录见本刊网络版(http://aeps.sgepri.sgcc.com.cn/aeps/ch/index.aspx)。

相邻结构阻尼器优化布置研究 篇8

地震是一种威力巨大的地质灾害现象。1976年的唐山大地震给唐山带来了毁灭性的灾害, 2008年的汶川地震也是同样几乎摧毁了一切。地震发生后, 城市建筑物都无法再使用, 这不仅仅是由于地震作用使得建筑物倒塌, 也有相当一部分是在地震发生时, 建筑物之间相互碰撞使建筑物损伤, 不再符合使用要求。我国大部分区域都是处在地震带上, 地震时有发生, 为更好保证相邻结构之间不因碰撞而产生更大的损伤, 已经有专家研究在相邻结构之间布置阻尼器起到耗能减震作用, 但并未形成完整理论。我国采用的基于规范的设计要求可以保证单栋建筑在设定的大震作用下不发生倒塌, 保障人们的生命财产安全;中震作用后经过一定的修缮和加固后仍可继续使用, 减小经济损失;小震作用下建筑物不发生损坏, 不影响人类的正常生活生产。这些抗震设计要求和所采取的措施可以满足生命安全要求, 一定范围内可以减小经济财产损失, 但在建筑功能多样化的城市, 简单的三级设防无法满足所有建筑的抗震需求。因此, 笔者在导师带领下, 开始进行相邻结构阻尼器优化布置研究。

2研究现状

本文主要研究相邻结构在配置阻尼器的情况下对地震作用的响应。首先, 建立一个10层 (结构一) 与6层 (结构二) 的相邻的有限元结构模型。并对模型做了一些假设: (1) 结构质量集中在楼层, 楼层刚度无穷大, 相邻结构都简化成多自由度剪切型模型; (2) 两结构平面对称, 只考虑水平向沿结构对称面的地震波作用; (3) 结构各层高度一致, 且阻尼器在同一层高楼板处将相邻结构水平连接; (4) 由于两结构之间的间距很小, 忽略地震波空间变化特性, 假设两结构地震波输入相同。

本文所用模型为西安某高校行政办公楼, 结构1为10层混凝土框架, 结构2为6层混凝土框架, 结构平立面布置均匀, 为简化计算两结构各取其中一榀框架建立二维模型。如图1。

所用到的处理数据运用到的主要工具———Opensees程序。Opensees建立的结构模型是由节点、约束、材料、纤维单元、荷载和质量集合而成。将我们建立的模型按照程序的要求, 分解为上述要素, 编写程序。

接着, 运用优化设计两步法, 先确定阻尼器数量不变, 分别为布置1层、2层、3层、4层、5层、6层6种情况, 然后用排列数列举出在不同位置配置阻尼器的方式。在此基础上, 穷举出所有阻尼器布置方式。接下来, 运用Opensees计算机程序, 分别计算从布置1层到布置6层的不同布置位置的情况, 我们选取了10条地震波, 每条地震波有0.1g到2.0g连续20个强度, 对应的地震信息如表1。

然后分别对每种阻尼器布置方式进行激励, 计算出结构的刚度 (stiff) 、力 (force) 、顶层位移 (disp) 、层间位移角 (drift) 、加速度 (accel) 以及阻尼器性能 (damper) 等。然后进行数据处理, 现阶段, 主要处理顶层位移及层间位移角, 分别比较结构一与结构二在不同地震波作用及不同配置阻尼器方式下结构的响应, 试选取其中10条地震波, 每条选取一个中震 (1.0g) 一个大震 (2.0g) , 在相同的方向移动, 在相同的地震波及强度下比较同种数量不同布置位置的最优方式。

以层间位移角为损伤指标, 选取比较具有代表性的1.0g和2.0g地震强度。布置1个阻尼器时, 布置在结构1第4、6层具有一定减震耗能作用;在结构2第4、5层具有一定减震耗能作用。

以相同的实验方法, 分别在布置2~5个阻尼器时, 结果如下:布置2个阻尼器时, 在结构1布置16层具有一定减震耗能作用, 在结构2布置25、26层具有一定减震耗能作用, 如图2、图3。

同时, 我们也对其他布置情况做出相关计算, 并将以上数据制成表格, 对以上各布置不同层数的的最优结果见表2。

3结论

通过比较不同布置数量得出更优布置方式, 我们认为布置数量越多减震耗能效果越不明显, 宜选择较少布置层数, 而且在底层以及顶层都布置有阻尼器时减震耗能作用效果更优, 从而总结出两点:一、以层间位移角为损伤指标时, 在相同的阻尼器布置数量情况下, 一般情况下, 在不同的布置数量之间可看出, 在底层和顶层同时布置有阻尼器, 是更优的选择。

摘要：现代城市建筑物之间紧密相连, 当发生地震灾害时, 建筑物之间就会相互碰撞, 造成更大的损失。因此, 如何防止相邻结构之间碰撞具有重要意义。在结构之间加上减震耗能的阻尼器装置, 比较结构在控制与未控制条件下结构的各项性能, 从而得出最优化的阻尼器布置方式。

关键词：顶层位移,层间位移角,阻尼器

参考文献

[1]Maxwell模型连接相邻结构地震易损性研究.

[2]张挣鑫.斜拉桥拉索参数振动的半主动控制及MR阻尼器优化布置研究[D].中南大学, 2013.