二次型模型（共8篇）
二次型模型 篇1
0 引言
1986年,以Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出误差后向传播计算神经网络BP模型(Back Propagation Neural Network)[1],以感知机[2]为出发点的计算神经网络在其后数年间得以迅速的发展。1998年Robert Hecht-Nielson证明了任何在闭区间内的连续函数,都可以用一个隐层的BP网络来对其逼近表达[3],因而一个三层的BP网络可以对输入向量进行从n维到m维输出向量的映射。由于标准三层结构的BP模型在许多应用中存在收敛速度缓慢、隐含层节点数目设置需要经验判断等方面的缺陷,因此,提高BP模型网络收敛速度、合理设置隐层节点数量、解释隐层节点的物理意义,成为长期以来改进BP模型的焦点。函数型连接、高阶连接、二次型连接神经网络的提出[4],极大地提高了BP模型网络的收敛速度,但又受到维数灾难的困扰。
本文以二次型模型为基础,对BP网络结构进行改进,以期得到稳定快速的收敛速度、不受维数灾难的困扰、物理意义较为明显的模型,并给出实现算法。
1 BP算法回顾
假设有输人样本集合trainI={I},向量I是BP模型进行映射的自变量,具有numInputs个分量,每个分量的取值范围均为[-1,1];映射输出结果的教师信号是期望输出样本集合trainO={O},具有numOutputs个分量,每一个分量的取值范围均为[-1,1]。
图1给出了输入层向量I、隐层向量H、输出层向量P的拓扑分层结构图。其中输入层到隐层的WIH矩阵表示I与H每个分量的连接权值;隐层到输出层的WHO矩阵表示H与P每个分量的连接权值。
BP模型有两个核心计算方法,它们分别是正向传播和误差反向传播,简称为反向传播。
1.1 正向传播算法
正向传播的目的在于:根据当前的输入样本I、输入层连接权值WIH、输出层连接权值WHO按照图1所示的传播方向和式(1)和式(2)得到一个预测值向量P。
其中,输入层到隐层的计算公式为:
其中,是值域范围为[-1,1]的s型单调增函数。
隐层到输出层的计算公式为:
1.2 反向传播算法
反向传播的目的在于:根据正向传播得到的预测值P,教师信号0、输出层连接权值WHO、输入层连接权值WIH和输入向量I按照图2所示的计算方向和式(3)、式(4)和式(5),修改WHO、WIH,并期望在下一次正向传播输出时得到P向量与教师信号O向量的误差减少,直至得到一个稳定的、较好的输出结果。
其中,输出层误差对输入层误差的增量影响计算公式为:
输出层到隐层的计算公式为:
隐层到输入层的计算公式为:
2 二次型BP算法
在标准的BP计算神经网络中,由于同一层邻接神经元之间的联系是权值线性作用的,很难通过学习算法对权系数的调整,完成对(如XOR问题)多线性空间的区分。为此,引入二次型的概念对原输入向量进行扩充。其基本思路是:将输入向量a,按一定规则等分为若干子向量,使得a=(a1,a2,…,anumHidden),其中ah是具有维度d>1的子向量;对ah进行二次型运算,提取出其中的协变项,与ah相加,得到新的子向量Ih;由此获得带二次型输入向量I=(I1,I2…,InumHidden),并以此为基础得到新的BP计算神经网络结构与算法。
2.1 原始输入数据的二次型
二次型最一般的运算是双线性运算用符号表示,又时常称为外积运算。例如:设有向量a=(a1,a2,a3),则a与aT的双线性运算,可表达为:
实际上对应于实线性空间V上的双线性函数f=(a,aT),是对称双线性齐次函数[5]。
设有输入向量a=(a1,a2,…,anumHidden),其中ah是具有维度d>1的子向量,并且a的子向量个数与隐节点数刚好相同。对的结果仅仅采用上三角阵中的协变分量,与ah合并得到向量I=(I1,I2,…,InumHidden),其中Ih的维度numIn=d+d×(d-1)/2。
具体算法为:
在输入层中引入具有二阶特性的作用项,具有以下功效:
(1)突出了同层神经元之间的联合激励作用;
(2)由于同一层邻接神经元之间的联系已经通过二次型运算完成,原有隐层的黑箱功能被一组分段线性函数取代;
(3)隐层神经元已经部分失去原有“隐含”的意义,仅对输出层有一定意义。
2.2 正向传播算法
正向传播的目的在于:根据当前带二次型的输入样本I、输入层连接权值WIH、输出层连接权值WHO按照图3所示的传播方向和式(7)、式(2)得到一个预测值向量P。
输入层到隐含层的计算公式为:
隐层到输出层的计算公式与式(2)相同。
通过对比图1、图3正向传播过程图解发现,除了图1的网状结构变为对各个子向的分段线性连接(输入端多了一个表示子向量的维)之外,所有的计算公式均未发生变化。
2.3 反向传播算法
反向传播的目的在于:根据正向传播得到的预测值P,教师信号O、输出层连接权值WHO、输入层连接权值WIH和带二次型的输入向量I按照图4所示的计算方向和式(3)、式(4)和式(8),修改WHO、WIH,并期望在下一次正向传播输出时得到P向量与教师信号O向量的误差减少,直至得到一个稳定的、较好的输出结果。
其中,输出层到隐层的计算公式与式(3)、式(4)相同;隐层到输入层的计算公式为:
通过对比图2、图4反向传播过程图解发现,除了图4的网状结构变为对各个子向量的分段线性连接,所有的计算公式均未发生变化。
3 实验对比分析
用奇偶问题来测试一个计算神经网络的收敛速度,是通常使用的方法。为使奇偶问题变得更困难一些,使用3对奇偶(6元)输入、3个期望输出,用于测试二次型BP模型收敛情况。
由于有6元输入,每一元可能的取值是{-1,1},故可能的样本量为26=64个。输出的教师信号按配对的奇偶规则(两数符号相异则为1,否则为-1),可逻辑推出64个3输出结果作为迭代教师信号。
如果采用标准的BP模型,输入层权值矩阵的维度是:7×3=21(其中输入层中,需要一个输入值为常量=1的单元);对于带二次型输入的BP模型,输入层权值矩阵的维度是:3×3×3=9,比标准的BP模型的系数少12个,由于采用分段函授描述中间层作用,每一子向量的作用大小,也容易发现。
将输入样本带入如图5所示的二次型BP模型,得到如图6左所示的误差收敛图;同样将此64个样本带入标准的BP模型,得到如图6右所示的误差收敛曲线。
图6中:左图为二次型BP模型收敛图,右图为标准BP模型收敛图,两图相比较不难发现,二次型BP模型经过5次迭代,就已经完全达到精度。而标准的BP模型,经过大约30次迭代后,陷入震荡,难以收敛到理想效果。
4 二次型BP模型的应用效果
将二次型BP模型应用于全国12省市短期气象预报业务实践,已经有15年的历史。这里将每天由气象高空报文诊断计算产生的(850hPa到500hPa的高度、温度、涡度、水汽通量……)物理量场,进行切氏多项式特征提取[6],以所在省(吉林、辽宁、甘肃、陕西、云南、四川……)的各县预报对象(降水、温度、寒潮……)为多输出教师信号。应用二次型BP模型(如图7所示),得到预报工具。该工具不仅完成每日逐气象站的天气预报,而且实现预报工具的逐步更新。
1993年,该模型在仅有1M内存的Windows环境下,使用Turbo Pascal For Window实现。由于恰当地对输入场分段,并且使用一点二次线性扩充,不仅没有发生由于二次型可能带来的维数灾难,而且避免了由于标准BP模型带来的输入层权值矩阵巨大的压力。更进一步,由于每个子向量与物理量场一一对应,容易发现对学习影响不大、甚至产生负面的物理量场。
例如:在实际降水建模过程中,通过对输入/隐含层中每个分段函数输出绝对值合计的大小进行比较,发现500hPa散度场对于短期降水预报贡献很小,于是在降水预报业务模型中去掉该项物理量。结果表明,通过发现并去除对学习影响不大的物理量场,不仅在保证工具质量的前提下提高了运行速度,也使得预报模型的物理量分析重点发生了改变。
该模型于1996年获得云南省科技进步三等奖。至今,仍在重庆、湖北等省市气象业务中发挥作用。
5 结论
本文提出一种二次型神经网络模型,将输入向量按照一定规则分为若干子向量,子向量的个数刚好就是隐含节点的个数,并对各个子向量进行二次型运算。实践表明,这种神经网络模型带来如下好处:
(1)收敛速度得到明显改善,印证了关联激励的作用;
(2)隐含层的设定与输入层子向量个数相等,使隐含节点的设定不再具有随意性;
(3)便于分析各个子向量的作用,去掉不良子向量。
基本避免了维数灾难问题。
当然,如果所遇到的问题,不便于划分为若干子向量,本模型的应用就会受到限制。
摘要：提出一种基于二次型运算和BP算法的计算神经网络模型。通过将输入向量分为若干等份的子向量,并运用二次型运算解决多线性空间的相互区分问题,消除了输入-隐含层的复杂网状连接结构,突出隐含神经元物理意义,从而实现了对传统三层BP神经网络结构的设计改进。试验对比结果显示,经过改进的模型较标准BP收敛更快并且稳定。
关键词：二次型,神经网络,反向传播,天气预测
参考文献
[1]Rumelhart D E,Hinton G E,Williams R J.Learning internal representation by error propagation[M]//D E Rumelhart,J L McClelland.Explorations in The Microstructures of Connition,Vol 1.Foundations,MIT Press,Cambridge,MA,1986:318-362.
[2]http://en.wikipedia.org/wiki/Perceptron.
[3]Robert Hecht-Nielson.Theory of the backpropagation neural network. IJCNN,1989:583-604.
[4]Yoh-Han Pao.Adaptive Pattern Recognition and Neural Networks.1989.
[5]王萼芳.高等代数教程[M].清华大学出版社:267-315.
[6]周家斌.车贝雪夫多项式及其在气象中的应用[M].气象出版社,1990.
用初等变换法判断实二次型的类型 篇2
1初等合同变换的定义及结论
1.1定义1对于矩阵A, 称以下三种初等变换为A的初等合同变换
由定义知, 任意的实对称矩阵经过初等合同变换后仍然是实对称矩阵, 且任意实对称矩阵都可以经过若干次初等合同变换化为对角矩阵。
1.2定理
2用初等变换法判断实二次型类型的应用
将该二次型的矩阵A进行初等合同变换:
将该二次型的矩阵A进行初等合同变换:
解:该二次型的矩阵为:
将该二次型的矩阵A进行初等合同变换:
总之, 用初等合同变换法判断实二次型的类型比较简单, 该方法只涉及矩阵的初等变换, 所以步骤单一、运算量小、易于掌握, 最有效、最实用。
参考文献
[1]张禾瑞, 郝鈵新.高等代数[M].5版, 北京:高等教育出版社, 2007, 6.
[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].2版.北京:高等教育出版社, 1988, 3.
[3]徐仲, 陆全, 张凯院, 等.高等代数——导教、导学、导考[M].西安:西北工业大学出版社, 2004, 3.
月球软着陆的二次型最优制导方法 篇3
月球软着陆的二次型最优制导方法
为实现在月球表面指定区域的精确软着陆,研究了月球软着陆的线性二次型最优制导方法.利用简化的轨道动力学模型,给出了一种基于状态和能耗最优的软着陆二次型制导方法.由于制导律要求同时提供3个方向的时变推力,所以需要通过变推力发动机和姿态机动来实现.该制导方法虽能满足精确软着陆的需要,但对姿态变化的要求超出了着陆器姿态机动能力.因此,本文修正了二次型最优制导方法,取消了对轨道参数的过程约束,仅对其终端进行约束,通过求解着陆指定目标点的能耗最优两点边值问题,得到了发动机推力大小和方向的`显式表达式.研究结果表明,利用一定的姿态机动能力,修正的制导方法能够满足精确软着陆的需要.
作 者：黄翔宇 王大轶 关轶峰 Huang Xiangyu Wang Dayi Guan Yifeng 作者单位：空间智能控制技术国家级重点实验室,北京控制工程研究所,北京,100080 刊 名：航天控制 ISTIC PKU英文刊名：AEROSPACE CONTROL 年，卷(期)：2006 24(6) 分类号：V4 关键词：月球软着陆 制导 线性二次型最优二次型模型 篇4
MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境，是常用的控制系统分析与设计工具。MATLAB仿真程序的编写不需要掌握很深的编程知识，只需要很少的代码就能完成控制系统的仿真实验。同时其具有很多专用的工具箱，使得编程变得很容易，这样研究人员就能很直观、方便地进行分析、计算及设计工作，从而大大节省了时间，提高了效率。
本文以一级直线型倒立摆系统为研究对象，建立了其状态空间模型，利用MATLAB求解、设计该系统的二次型最优调节器(LQR)，同时进行了MATLAB的仿真实验。仿真结果表明了该二次型最优调节器的有效性。
1 一级直线型倒立摆系统组成与工作原理
一级直线型倒立摆系统即图1所示的小车倒立摆系统。它由质量为M的小车，长为l的倒立摆构成。倒立摆质量为m，铰接在小车上。小车在控制函数u的作用下，沿着滑动轨道在x方向上运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。
一级直线型倒立摆的工作原理可简述为：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回跑动，从而使摆杆在垂直平面内稳定下来。这样的系统也就是倒立摆控制系统。通过图1可以看出，若小车不动，摆杆会由于重力倒下来;若在水平方向上给小车一个力，则摆杆会受到一个力矩，这个力矩使摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过规律性的改变小车的受力方向使得摆杆在竖直方向上左右摆动，从而就实现摆杆在竖直方向上的动态平衡。
2 一级直线型倒立摆系统建模
考虑图1所示的倒立摆控制系统。在这里，只考虑摆和小车在图面内的运动，我们希望尽可能地把倒立摆保持在垂直的位置上。规定杆偏离垂线的角度为θ，同时规定摆杆重心在(x,y)坐标系中的坐标为(xg,yg)。于是
摆杆围绕其重心的转动运动可以用下式描述：
式中，I为摆杆围绕其重心的转动惯量。
摆杆重心的水平运动有下式描述：
摆杆重心的垂直运动为:
小车的水平运动由下式描述:
因为我们必须保持倒立摆垂直,所以我们可以假设倒立摆的角度为θ及其角速度量值很小,因此。于是式(3)-(5)可以被线性化。线性化后的方程为:
整理式(7)-(9),可得:
在这个系统中,因为质量集中在杆的顶端,所以重心就是摆球的中心。在这种情况下,倒立摆围绕其重心的转动惯量是很小的,因此可令式(11)中I=0,于是系统的数学模型为下列形式:
假设M,m,l的数值给定为:
代进给定的数值后,可得:
定义状态变量x1,x2,x3,x4为
把小车位置x视为输出量,得到该倒立摆系统的方程如下[2]:
其中:
3 MATLAB求解二次型最优调节器问题
在MATLAB中，命令lqr(A,B,Q,R)可以用来求解连续时间和线性二次型最优调节器问题，还可以用来求解相关的黎卡提方程[3]。这个命令在计算最优反馈增益矩阵K时，使得反馈控制：μ=-Kx
在约束方程：x觶=Ax+Bμ的条件下，使下列性能指标达到极小值[4]：
其中Q为正定(或半正定)厄米特或实对称矩阵,R为正定厄米特或实对称矩阵，Q和R分别表示了误差和能量损耗的相对重要性。
另一个命令：[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)
可以把增益矩阵K、特征值向量E和与下列黎卡提方程：
相关的唯一正定解矩阵P联系在一起。如果A–BK为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵P。特征值向量E给出了A-BK的闭环极点。
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr(A,B,Q,R)就可以得到反馈矩阵K的值。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。在本文中，选取Q,R为：
利用MATLAB命令lqr(A,B,Q,R)，可以计算出K值为：K=[-51.1739-11.3316-1-2.5165]
根据计算出来的反馈矩阵K值，利用MATLAB可以很方便地进行仿真[5]。假设初始条件为x0=[0.4 0 0 0]'。图2为在该二次型调节器下小车位置对于给定初始条件的响应曲线，图3为在给定初始条件下摆杆摆角的响应曲线。
从仿真曲线可以看出该二次型最优调节器(LQR)对小车的位置和摆杆摆角都有良好的控制效果。经历了较短的过渡过程后，小车和摆杆能够保持稳定。仿真结果表明了利用MATLAB设计的该二次型最优调节器的有效性。
4 结论
本文以小车倒立摆系统为研究对象，推导了该系统的状态空间方程，并利用MATLAB求解、设计了该系统的二次型最优调节器(LQR)，同时进行了MATLAB的仿真实验。小车位置和摆杆摆角的仿真曲线表明了该二次型最优调节器的有效性。
参考文献
[1]潘健,王俊,汤才刚.基于倒立摆的两种控制策略的研究[J].现代电子技术,2008(1):129-131.
[2](美)Richard C.Dorf,Robert H.Bishop.现代控制系统[M].10版..北京:科学出版社,2003.
[3](美)绪方胜彦.现代控制工程[M].4版.卢伯英,于海勋,译.北京:电子工业出版社,2003.
[4]胡寿松.自动控制原理[M].4版.北京:科学出版社,2001.
二次型模型 篇5
一、什么是二次型
含n个变量x1, x2，…，xn的二次齐次多项式f (x1, x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+…+annx2n称为x1, x2，…，xn的一个n元二次型函数，简称二次型。而二次型矩阵表为：
设aij (i, j=1, 2，…，n;i≤j)均为实常数，称关于n个实变量x1, x2，…，xn的二次齐次多项式函数
为一个n元实二次型，简称为n元二次型。
令aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，再令矩阵A=(aij) n×n, x=(x1, x2，…，xn) T，则A为实对称矩阵，且可将二次型写成
称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A为二次型f的矩阵，并称A的秩为二次型f的秩.
二、二次型的解法
用配比法化二次型为标准型的要点是用完全平方公式和两数平法差公式逐步消去非平方项并构造新的平方项.具体而言：
(1)如果二次型中含x1的平方项和交叉项，则把含x1的交叉项集中，按x1配成平方项，对其他变量也做类似处理，直到都配成平方项为止.
(2)如果二次型中交叉，但不含x1的平方项，则作可逆线变换x1=y1-yj，使二次型出现平方项，再按上面的方法配方.
三、二次型的正定和负定性
1. 二次型正定判别法
二次型为正定的充要条件是下列条件之一成了：一是f的标准形中的n个系数全为正，二是正惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值权大于0，四是对称矩阵A的各阶顺序主子全大于0.
有二次型f (x)=xTAx，它的秩为r，有两个满秩线性变换x=C1y和x=C2z, f经上述两个满秩线性变换化成的标准形分别为
则d1, d2，…，dr中正(负)数的个数与k1, k2，…，kr中正(负)数的个数相等.
我们这样认为：称f的标准形中系数为正的平方项的个数为f的正惯性指数，称f的标准形中系数为负的平方项的个数为f的负惯性指数，由惯性定理可见，f的标准形虽然不唯一，但的正惯性指数p及负惯性指数r-p(其中r为f的秩)却是由f本身唯一确定的.它们不随满秩线性变换的不同而改变.因此，f的规范形中系数为1的平方项的个数及系数为-1的平方项的个数也是由f本身唯一确定的，从这个意义上讲，可以说二次型的规范形是唯一的.
假设定义(正定、半正定、负定、半负定及不定二次型)设有n元二次型f (x)=xTAx (A为实对称矩阵)，如果对任意n维非零向量x，都有：
(1) f (x)>0，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵;
(2) f (x)≥0，且x≠0，使f (x)=0，则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵;
(3) f (x)<0，则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵;
(4) f (x)≤0，则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵.
2. 二次型负定判别法
二次型为负定的充要条件是下列条件之一成立：一是f的标准形中的n个系数全为负.二是负惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值全小于0，四是对称矩阵A的个阶顺序主子式中，偶数阶全大于0，奇数阶全小于0.
摘要：线性代数中的二次型在当今社会各个领域都有广泛的运用, 关于二次型的问题也是高等数学学习和研究生考试的重点和难点。由于二次型问题与线性代数知识存在着密切的联系, 分析和研究二次型问题的题型和解法对深入学习线性代数具有重要的基础作用。本文以高等数学试题中提供的关于二次型问题为例探讨了二次型题型的一般类型, 以及相应的解法, 为高校学生学习线性代数提供一些参考。
关键词：线性代数,二次型,题型,解法
参考文献
[1]刘三阳, 王世儒等.高等数学辅导[J].西安:西安电子科技大学, 2010, (06) .
[2]张禾瑞.高等代数[J].北京:高等教育出版社, 2009, (05) .
[3徐仲.理工科线性代数[J].西安:西北工业大学, 2007, (01) .
二次型模型 篇6
关键词：振动控制,LQR,最优控制
0 引言
振动控制是振动研究领域内一个重要分支,是振动研究的出发点和落脚点。振动控制包括两个方面的内容:一是振动的利用,即充分利用有利的振动如各类振动机器;另一内容是振动的抑制,尽量减小有害的振动,因为振动加速机械设备的磨损,缩短产品与结构的寿命,使人易于疲劳,使仪器易于失灵与损坏。此处所讨论的振动控制只是振动的抑制。振动控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动水平满足人们的预定要求。振动主动控制是主动控制技术在振动领域中的一项重要应用,是当前振动工程领域内的高技术,是动力学、自动控制、计算机、电气及材料科学等诸多学科的综合。和振动被动控制相比,由于它具有振动控制效果好、适应性强等优越性,目前已成为国内外振动工程领域的研究热点,并在船舶海洋工程、航空航天、车辆工程及土木建筑领域得到了初步应用。一个振动系统主要由受控对象、作动器、控制器、测量系统、输入能源、附加子系统等几个环节组成。其中控制器(控制律)的设计是中心环节,作动器的设计是关键。
区别于被动控制,振动主动控制主要是需要独立的控制体系从外界获得控制所必需的控制能量,按某种控制规则提供给受控对象以控制力,改变整个系统的动态特性,有效地减少受控结构体的振动幅度以及改变振动体的振动加速度,从而达到减振的目的。因此线性二次型最优控制属于主动控制中的一种。
结构主动控制主要是需要实时测量结构反应和环境干扰,采用现代控制理论的主动控制算法,在结构模型的基础之上运算和决策最优控制力,最后作动器在很大外部能量输入下实现最优控制。[1]本文主要介绍了二次型最优控制算法的原理,选取研究对象,采用数值计算和数学仿真,对其振动控制的效果进行了检验,对其性能进行了评价。
1 振动系统数学方程
N个自由度刚体结构在外力F(t)的作用下的运动方程表达式为:
式(1)中,X(t)∈Rn是结构的位移向量;M、C和K∈Rn×n分别是振动结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;Ds∈Rn×r是外力作用的位置矩阵;X(t)、X'(t)∈Rn分别是结构的初始位移向量和初始速度向量。
2 主动控制的流程
运用结构主动控制对振动结构体进行减振,需要实时测量结构反应或者外部环境的干扰,采用了控制理论的主动控制在精确的结构模型基础上计算,得到最优控制力,其大小根据系统反馈(和外部干扰力有关)时的变化[2],如图一所示。
3 利用线性二次型最优控制法计算控制力
振动系统方程表达式如下:
为了控制结构的振动,在振动结构体上安装q个控制装置,如图二所示。设作动器在结构体施加的作动力为U(t)∈Rq,相应的作用位置矩阵为Rs∈Rn×q,于是受控振动系统方程表达式就变为:
式(3),中动态系统的位移X(t)和速度X'(t)都是独立向量。设:
于是受控振动可以描述为下面的状态方程:
式(4)中:
输出方程:
式(5)中,Y(t)∈Rm输出向量;C0∈Rn×2n为输出矩阵;B0∈Rm×r,D0∈Rm×q为传递矩阵。
式(6)中,Q∈Rn×n为半正定矩阵,R∈Rq×q为正定矩阵。
第一项T1代表振动系统振动所具有的能量,第二项T2代表系统趋于振动稳定状态所要消耗的控制输入能量。当Q相对R较大时,表示指标J的性能更重于控制能量的消耗。当R=0时,二次最优控制问题称为最短响应时间问题,例如防空导弹的控制问题。
反之,当Q相对R较小时,则表示指标J的性能更重于节约控制能量的损耗。当Q=0时,二次最优控制问题称为最少“燃料消耗”问题,比如远距离航天飞行器的控制问题。
系统控制的任务是,当系统由于外部干扰力的作用而偏离平衡状态时,作动器立即开始作用,施加控制输入,使振动结构体趋于平衡状态。系统最优控制问题就是在时间区域[t,∞)寻找最合适的U(t),使振动体由状态Z0趋近于平衡状态,并且使性能泛函J取得极小值,则该问题就演变成条件变分问题。即:
用拉格朗日乘子法构造新的泛函:
由条件变分求极值,具体见参考文献[3],可以得到控制力U(t)的大小为:
其中称G(t)是最优状态反馈增益矩阵。
P(t)是对称矩阵,其是Riccati矩阵代数方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解。
当t→∞时,即所谓的无限时间最优控制,有P'(t)=0,因而P(t)=P,所以P是常矩阵。
所以Z'(t)=(A-BR-1BTP)Z(t)+DF(t)
权矩阵是通过试算的方法给出的,到目前为止还没有一个通用的算法准确地算出,这给最优控制力的计算带来不便,增加了计算的工作量。但是线性二次型最优控制设计时,权矩阵Q、R对控制的效果和控制力有显著影响,因此选取权矩阵比较关键;一般来说,Q越大,受控结构的反应越小,控制效果越好;R越大,则控制输入越小,控制效果越差。这为我们选取Q和R提供了一定依据,可以减小工作量。一般取,R=αIn,其中α、β为常系数。
4 算例结果及其分析
对于图示三层振动系统:
它是一个振动系统的简化图[4],已知质量m1=m2=m3=5×105Kg,k1=k2=k3=2×108N/m,c1=1.278×106N·s/m,c2=1.244×106N·s/m,c3=0.088×106N·s/m,环境干扰力F(t)=[1000sin(t)0 0]T,振动的计算数据为:
由函数LQR得到控制力状态反馈增益矩阵,即:
则最优控制力:U=-GZ
结构状态方程:Z'(t)=(A-BG)Z(t)+DF(t)
输出状态方程:y0(t)=C0Z(t)
C0、D0是观测输出矩阵。对于LQR最优振动控制算法而言,y0与z是相同的,此时C0取单位矩阵。LQR最优控制是全状态反馈,因此D0取零矩阵,t是外力作用的时间向量,y0是输出向量。
无控时第一层振动结构体的位移为:
无控时第三层振动结构体的位移为:
从图四至图九的仿真计算结果可以看出:振动结构体在线性最优二次型主动控制作用下,结构的振动位移和振动加速度都得到有效的降低。第一层结构体在受控作用下最大振动幅度降为原来无控时的14.33%,受控时的加速度降低为原来无控时的69.05%。在振动的整个过程中,由于线性二次型最优控制需要实时测量结构反应和环境干扰,主动控制算法在结构模型基础上运算得到最优控制力,在作动器能量输入作用下实现最优控制,这样一来可以避免发生共振。
5 结束语
从上文仿真计算结果可以看出,线性最优二次型控制方法,对于振动结构体振动幅度及加速度控制是行之有效的,其对振动结构体可以进行时时控制,振动体的振动幅度及加速度降低了,其自身的所包含的能量也就减小了,结构振动辐射噪声也会随之降低。因此,线性二次型最优控制对结构振动控制的效果是显著的,同时也可有效地控制振动噪声。
参考文献
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[2]孙国春,史文库.振动主动控制技术的研究和发展[M].北京:北京工业出版社,1995.
[3]欧进萍.结构振动控制[M].北京:科学出版社,2003.
二次型模型 篇7
随着能源需求的日益增加, 传统化石能源的日趋枯竭, 以及传统化石能源所引起的环境问题日趋严重, 使得人们开始关注新型能源的发展和利用, 太阳能因其可再生、无污染、资源丰富、安全等特点, 被认为是理想的绿色能源[1], 最近几年光伏发电系统的应用取得了快速发展, 光伏发电系统是利用光伏电池将光能转化为电能, 由于光伏电池输出电压和输出电流易受光照和温度等环境因素的影响而具有非线性特性, 即在不同的环境条件下, 光伏电池都会有不同的最大输出功率点, 为了获取光伏电池的最大输出功率, 在光伏发电系统中, 会用到最大功率跟踪模块对光伏电池的最大功率点进行跟踪[2]。
通常实现最大功率跟踪的DC-DC变换器主要有Buck, Boost, Buck-Boost等, 文献[3]分析了应用这三种变换器实现光伏电池最大输出功率点跟踪的特点, 由分析可知, 虽然在实际的应用中Boost变换器应用的最广泛, 但由于受其等效阻抗变化范围的影响, 不能实现最大范围的最大功率跟踪, 而这几种变化器中, BuckBoost可以实现最大范围的最大功率跟踪, 文献[4][5]分别分析了利用不同形式的Buck-Boost变换器实现最大输出功率跟踪, 文献[6]提出了一种双级的DC/DC变换器, 前级是Boost电路, 后级则是Buck-Boost变换器, 二者级联在一起, 由两个控制回路实现级联变换器控制, 前级主要作用是升压, 后一级则是实现最大功率跟踪, 但这几类应用的共同缺点是控制回路复杂, 文献[7][8]也分析了将Buck-Boost应用到光伏并网系统中实现最大功率跟踪, 利用Buck-Boost变换器在断续模式下具有的无损电阻特性, 可以保证DC/DC环节的等效阻抗与输出负载无关, 这样就保证了负载变化时不影响最大功率跟踪部分已确定的控制信号, 降低了对系统稳定性的影响, 但这种实现方式与Boost变换器类似, 受占空比变化范围的影响, 不能实现最大范围的最大功率跟踪。
本文分析了利用单开关二次型Buck-Boost变换器实现最大功率点跟踪, 单开关二次型变换器的特点就是利用单个开关管实现两个变换器的级联, 简少了控制回路, 而且与传统非隔离型变换器相比, 二次型变换器具有更宽的输入输出特性, 相比于隔离型变换器, 无需高频变压器便可拓宽输入输出电压范围, 电路结构简单, 便于控制[9]。
由于单开关二次型Buck-Boost变换器包含两个电感, 所以其存在四种工作模式, 本文分析了单开关二次型Buck-Boost变换器工作于连续—断续导电模式 (Continuous Conduction Mode-Discontinuous Conduction Mode, CDCM) 的工作原理, 通过分析不同工作模式下二次型Buck-Boost变换器的工作原理, 可得在连续—断续 (CDCM) 模式下二次型Buck-Boost具有无损电阻特性, 本文提出了利用二次型CDCM Buck-Boost的无损电阻特性实现宽范围的最大功率跟踪, 提高了变换器的跟踪效率[6], 并且消除了负载变化对最大功率跟踪的影响。
1 单开关二次型Buck-Boost变换器
1.1 工作过程
单开关二次型Buck-Boost变换器拓扑如图1所示, 它是由电感L1, L2, 电容C1, C2, 开关管S及二极管D, D1, D2, D3构成的四阶电路, 其中Ug为输入电压, R为负载。
为了简化分析, 假设开关管、二极管、电感、电容均为理想元件, 开关变换器的开关频率fS远大于开关变换器的最大特征频率, 则在一个开关周期TS=1/fS内, 输入电压保持不变。设在一个开关周期内, D为开关导通时间占空比, DΔ1为电感L1的放电时间占空比, DΔ2为电感L2的放电时间占空比。
单开关二次型CDCM Buck-Boost变换器在一个开关周期内存在三个开关工作状态, 如图2所示。
工作状态1:
当0≤t≤DTS时, 如图2a) 所示, 开关管S导通, 输入电压Ug为电感L1充电, 电感电流iL1线性上升, 二极管D2承受正向压降导通, 电容C1为电感L2充电, 电感电流iL2线性上升, 二极管D1, D3承受反向压降关断。
工作状态2:
当DTS≤t≤ (D+DΔ2) TS时, 如图2b) 所示, 开关管S关断, 二极管D1导通, 电感L1向电容C1放电, 电感电流iL1线性下降, 由于电源端二极管D作用, 二极管D2关断, 电感L2向电容C2及负载放电, 电感电流iL2线性下降。
工作状态3:
当 (D+DΔ2) TS≤t≤TS时, 如图2c) 所示, 开关管S仍处于关断状态, 由于电感电流iL1工作在连续状态, 所以二极管D1继续导通, 电感L1继续向电容C1放电, 电感电流iL1线性下降, 而电感电流iL2工作在断续状态, 所以在工作状态2结束时, 电感电流iL2已下降到0, 所以在此阶段电容C2向负载放电, 二极管D2, D3关断。
1.2 稳态特性分析
根据时间平均等效原理[10], 可得二次型Buck-Boost变换器的直流稳态等效电路如图3所示。
在CCM模式下, 由稳态分析可得:
当电路工作在直流稳态时, 电容可以看作开路, 电感可以看作短路, 可得单开关二次型Buck-Boost变换器工作在CCM模式时各变量之间的关系:
则可以得到:
同理可求得其余三种模式下的输入电阻, 如表1所示。
其中, 在断续模式下, 电感放电时间占空为:
由表1可知, 当二次型Buck-Boost变换器工作在CCM模式时, 其输入电阻与负载有关, 而当二次型Buck-Boost变换器工作在CDCM, DCCM, DCM这三种模式下, 其输入电阻与负载R0无关, 而是由电感量L2及周期TS确定, 即无损电阻特性[11]。
2 光伏电池模型及最大功率跟踪原理分析
光伏电池的数学模型[12]如图4所示。
根据电感L2处于临界导电模式时, 临界电感LC2与电阻R及占空比D之间的关系可得:
式中:Iph———光伏电流;
Io———二极管反向饱和电流;
Rsh———等效并联电阻;
Rs———等效串联电阻;
q———电子电荷, q=1.6×10-19;
k———玻尔兹曼常数, k=1.38×10-23;
T———太阳能电池温度。
由式 (11) , 式 (12) 可得到太阳能电池模块的输出电流:
根据电路理论, 将光伏电池等效为一个电流源与一个等效内阻Rg并联, 当等效负载Ri与等效内阻Rg相等时, 此时光伏电池的输出功率最大, 如图5所示。
由上述分析可知, 当Rg=Ri=f (D) ×RL时, 太阳能输出最大功率, Req为DC/DC变换器的等效负载, D为导通占空比, f (D) 为以D为变量的函数, 对应不同变换器、不同工作模式下, f (D) 有不同的表达形式, 当外界环境因素发生变化时, 太阳能电池最大输出功率点随之变化, 通过调节占空比D以保证等效负载Ri能够跟随Rg的变化, 保证太阳能电池输出最大功率。
由表1可知, 二次型CCCM Buck-Boost变换器相对于电源的等效负载Ri与变换器输出端所连接的负载R0有关, 所以若应用其进行最大功率跟踪, 当负载变化时, 会影响到最大功率跟踪, 需要重新调整占空比, 保证最大功率输出;而二次型Buck-Boost变换器工作在其他三种工作模式时, 其等效负载Ri与变换器输出端所连接的负载R0无关, 当电感L2、周期TS等参数确定时, 等效负载只与占空比D有关, 所以通过控制占空比D就可以实现最大功率跟踪, 负载R0的变化不会影响到最大功率点的跟踪, 文献[9]中提到传统DCM Buck-Boost变换器的等效电阻为:
通过比较可知其形式与工作在DCCM, DDCM两种工作模式下的二次型Buck-Boost变换器的等效电阻基本相同。
设负载曲线的斜率角为θ, Req=2Leq/TS则可得传统DCM Buck-Boost的斜率角θ为:
由于占空比D在[0, 1]之间变化, 则其斜率角θ的变化范围为:
其变化范围如图6所示, 即只有Req≥Rg时, 可以实现最大功率点的跟踪。
同理可得工作在DCCM及DCM两种模式下的二次型BuckBoost变换器的跟踪范围, 与其基本相同。
二次型CDCM Buck-Boost变换器的等效电阻如表1所示, 则其负载曲线的斜率角θ为:
由于占空比D在[0, 1]之间变化, 则其斜率角为θ的变化范围为:
其变化范围如图7所示, 则可知二次型CDCM Buck-Boost变换器等效电阻将不受占空比变化范围的限制, 可以实现更大范围内的最大功率跟踪, 具有很高的跟踪效率, 且其负载RL由参数电感量L2及周期TS确定, 不受实际负载变化的影响。
由以上分析可知, 相比于传统DCM Buck-Boost变换器, 及工作在DCCM, DCM两种模式下的二次型Buck-Boost变换器, 二次型CDCM Buck-Boost变换器更适合最大功率跟踪, 因其具有无损电阻特性, 所以不受负载变化的影响, 又可以实现宽范围的最大功率跟踪, 具有很高的跟踪效率。
3 仿真分析
为验证单开关二次型CDCM Buck-Boost变换器的理论分析结果, 采用如表2所示主电路参数验证无损电阻特性。
由图8可知, 在t=0.3 s时, 负载由50Ω突变到30Ω时, 占空比保持不变, 最大输出功率不变, 只是输出电压发生变化, 与理论分析相符。
由图9可知, 当光伏电池的等效内阻Ri=0.21, 等效负载电阻RL=0.4时, 传统DCM Buck-Boost变换器不能实现最大功率跟踪, 如图9a) 所示, 而二次型CDCM Buck-Boost变换器可以实现最大功率跟踪, 如图9b) 所示。
4 结语
由理论分析可知, 传统DCM Buck-Boost变换器在光伏等效阻抗小于无损阻抗时, 不能实现最大功率跟踪, 本文提出利用二次型Buck-Boost工作在CDCM模式下可以实现最大功率跟踪, 仿真结果验证了理论分析的正确性。
摘要：介绍了单开关二次型Buck-Boost变换器在连续—断续导电模式下的工作状态, 研究了光伏电池模型及最大功率跟踪原理, 通过仿真分析, 得出将二次型CDCM Buck-Boost变换器应用到光伏发电系统中可实现最大功率点跟踪与宽范围的最大功率跟踪, 并且不受负载变化影响。
二次型模型 篇8
1黏弹性阻尼器计算模型
目前, 有关学者已提出了多种黏弹性阻尼器的恢复力模型。主要有Kelvin模型、Maxwell模型、标准线性固体模型、等效标准固体模型、等效刚度和等效阻尼模型等。为符合振动过程中黏弹性材料的性质特征, 同时考虑数学上处理方便, 结合我国抗震规范［8］中的条文, 本文采用的等效刚度和等效阻尼模型如图1所示。
与图1的黏弹性阻尼器简化模型对应的黏弹性阻尼器的恢复力为:
式 ( 1) 中, X·和X为阻尼器的相对速度和位移。
2 LQR控制理论
已知受控线性定常系统的状态方程为:
式 ( 2) 中, Z ( t) 为状态向量; U ( t) 为控制力向量; B为输入矩阵; Y ( t) 为输出向量; C0为输出矩阵。
定义系统的二次型性能泛函为:
式 ( 3) 中, Q为半正定矩阵; R为正定矩阵。
系统控制的任务是, 当系统状态由于某种原因偏离初始状态时, 求控制输入在不消耗过多能量的情况下, 使系统趋于初始状态。最优控制的目标就是寻求最优控制力U ( t) , 使系统趋于初始状态, 并使得性能泛函取最小值。
对于这个最优化问题的求解, 一般采用变分法求解。设 λ ( t) = P ( t) Z ( t) , 则可以得到:
式中, P ( t) 可由式 ( 5) 求得, 该方程就是著名的Riccati方程。
3黏弹性阻尼器的参数优化设计
由式 ( 4) 可知基于LQR算法的主动控制力为:
黏弹性阻尼器控制力也可表示为:
式 ( 7) 中: U' 为黏弹性阻尼器控制力; Δx ( t) 和 Δ·x ( t) 分别为VED的相对位移和相对速度; G' 为VED控制力增益矩阵; Kd和Cd为VED的等效刚度和等效阻尼。
假设结构相对状态向量和绝对状态向量存在如下的关系:
式 ( 8) 中, Cm为绝对状态向量与相对状态向量的转换矩阵, 可表示为如下的矩阵:
由式 ( 6) ~ 式 ( 9) 可知, 被动VED控制要逼近最优主动控制, 需要G' 逼近G, 即:
式 ( 10) 中 ‖·‖2表示2范数。
由式 ( 6) ~ 式 ( 8) 可知:
对式 ( 11) 两边分别取转置得:
式 ( 12) 中, T表示矩阵转置。
要使式 ( 10) 成立, 由最小二乘法［9］得到:
由式 ( 13) 求得的矩阵G' 就是VED控制力增益矩阵。由式 ( 7) 可知:
将G' 分解成KdCd的形式, 根据矩阵特征值与特征向量的定义A{ { xi} } = [λi]{ { xi} } , 将Kd和Cd对角化为, 则可取黏弹性阻尼器刚度和阻尼矩阵为:
式中, kd1~ kdn为各层VED等效刚度; cd1~ cdn为各层VED等效阻尼。
4数值仿真验证分析
某3层钢筋混凝土框架结构, 各层质量和刚度分别为mi= 3. 5 × 105kg和ki= 1. 8 × 108N / m ( i =1, 2, 3) ［10］。结构阻尼按照瑞雷阻尼确定, 阻尼比取为5%。结构的干扰力为EL Centro ( NS, 1940) 地震波, 地震波输入峰值调幅为200 gal。最优控制算法采用LQR算法, 假设每层均安装有VED减震装置。
采用Matlab编制LQR算法程序, 基于式 ( 6) ~ 式 ( 16) 所示参数优化过程, 并编制相应的参数优化程序, 对所给算例进行结构动力响应计算。图2为黏弹性阻尼器经参数优化后的计算结果, 即每一楼层所需总的等效刚度及等效阻尼; 图3 ~ 图6为结构在无控、最优控制和VED控制下的结构动力响应计算结果。
对比图3和图4计算结果可知: 与未加VED计算结果相比, 加入VED后结构动力响应明显得到了控制。其中, 采用LQR算法控制的计算结果中位移幅值从4. 6 cm减小至2. 55 cm, 位移峰值降低了44. 6% , 加速度峰值也从7. 3 m / s2减小至4. 46 m/ s2, 加速度峰值削减了38. 8%; 另外, LQR控制与VED被动控制相比较, 经过优化的VED控制与LQR控制结果较为接近, 这表明本文所采用的优化方法是可靠和有效的。
图5和图6为结构动力反应的包络图, 从图中可以看出: 与无控结构动力响应结果相比, 最优控制 ( LQR) 和VED控制下的结构响应都有较大幅度减小, 说明采用VED对结构进行减震, 具有明显的控制效果。其中, 采用最优控制算法与优化算法下的结构响应包络线在很大程度上是接近的, 这说明对VED进行参数优化的结果在一定程度上达到了最优控制的效果。最优控制算法的结果优于对VED参数进行优化的控制效果, 这表明本文所采用的优化方法是正确的, 因为该方法的目的是逼近最优控制效果, 而并非达到, 这也是由被动控制的局限性所决定的———被动控制无法达到全状态最优增益反馈的控制力。
5结论
鉴于VED对结构减震控制的局限性, 本文通过对其采用逼近最优控制算法的方法对其参数进行优化, 通过对算例进行数值分析, 验证该方法的有效性, 得出如下的结论。
( 1) 本文提出的VED参数优化方法能够使结构动力响应得到有效的控制, 该方法的控制效果与采用最优控制算法的计算结果较为接近, 甚至在一定程度上可能达到最优控制算法的效果。
( 2) 利用上述方法优化VED参数对结构的控制效果无法达到主动控制的效果, 即经过优化后的动力反应逼近最优控制算法的结果, 这是由于被动控制的局限性所决定的———VED是典型的被动控制器, 具有控制结构约束, 故只能逼近最优控制, 而无法达到全状态最优增益反馈的控制力。故本文所采取方法是相对简单、有效的。
参考文献
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