美式巴黎期权（精选4篇）
美式巴黎期权 篇1
1 引言
巴黎期权是一种强路径依赖期权，近些年关于欧式巴黎期权的研究成果不少，但由于美式巴黎期权更为复杂，研究成果很少。在连续时间框架下，美式巴黎期权定价方法主要有风险中性定价方法和自由边界问题。Chesney和Gauthier[1]系统阐述了各种美式巴黎期权的类型，并通过将美式巴黎期权分解成相同参数的欧式巴黎期权和一块美式溢价部分来求解。他们将期权价格表达为实施边界的函数。这种方法的数值计算相当复杂。Bernard和Bernard和Boyle[2]运用带控制变量的蒙特卡罗方法计算敲入型美式巴黎期权。Jetley和Gustafson[3]的核心是用网格方法确定美式巴黎期权的最优边界，再用蒙特卡罗方法来计算欧式期权。但是这种方法在确定最优实施边界时相当繁琐，需要区别对待各种情况，实施起来有很大难度。Lonstaff和Schwartz[4]开创性地通过最小二乘回归方法求解条件期望并与立即执行该期权的支付进行对比来选择继续持有还是实施该期权。从而解决了蒙特卡罗方法无法计算美式期权的问题。本文正是在原有蒙特卡罗方法计算欧式巴黎期权的基础上借鉴了最小二乘蒙特卡罗方法处理经典美式期权的做法，从而可以将改进后的最小二乘蒙特卡罗方法用于计算美式巴黎期权。
实际应用中的巴黎期权多为美式巴黎期权，例如外汇巴黎期权。此外，一些混合金融工具或结构化金融产品中也有美式巴黎期权特征，例如，可转换债券的赎回条款、回售条款、转股向下修正条款都具有美式巴黎期权特征。研究[5]表明对巴黎期权条款的忽略或简化处理造成了不小的定价偏差，而只有相对准确的美式巴黎期权定价才能促进巴黎期权的实际应用。
本文运用自由边界问题研究连续时间框架下的美式巴黎期权定价，由于该自由边界问题无法得到解析解，因此采用有限差分方法进行数值求解。除此之外还采用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权定价问题。接下来分析了障碍价格、窗口期、波动率等重要参数对期权价格的影响。此外，还验证了向上敲出巴黎期权和向上敲入美式期权的价格之和与经典美式期权价格之间的数值关系。
本文的创新体现在两个方面：在理论方面，首次采用自由边界问题研究了连续框架下的美式巴黎期权问题。在数值方法方面，首次使用隐性差分方法、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗方法计算美式巴黎期权。
2 美式巴黎期权的连续时间模型———自由边界问题
对于美式巴黎期权，按持续时间可以分为连续型、累积型和窗口型三种形式。窗口型美式巴黎期权相当复杂，而与连续型巴黎期权相比，累积型巴黎期权相对比较简单，因此本文主要研究连续型的美式巴黎期权。考虑到看涨期权和看跌期权，美式巴黎期权也有八种形式：向上敲入看涨期权（以下简称APUIC），向上敲出看涨期权（APUOC），向下敲入看涨期权（APDIC），向下敲出看涨期权（APDOC），向上敲入看跌期权（APUIP），向上敲出看跌期权（APUOP），向下敲入看跌期权（APDIP），向下敲出看跌期权（APDOP）。
就美式巴黎期权的敲入或敲出特征和美式期权之间的相互作用而言，如果期权是敲入型的，在期权生效之前，期权不存在，而一旦期权敲入，该期权就是一个经典美式期权。因此对于一个敲入型美式巴黎期权的实施边界就是该期权生效后的相应的经典美式期权的实施边界。因此敲入型美式巴黎期权的定价较为简单。敲出型的期权要比敲入型的期权复杂很多，因为实施期权的动机———美式期权效应和失去期权的风险———敲出期权之间会相互影响。首先对于美式期权的情况，并没有所谓的敲入和敲出的对称性的存在。对于一个向上敲出美式看涨期权，如果障碍水平高于执行价格，却低于相应的经典美式期权的实施边界。这一期权的实施边界一定会严格低于障碍水平，因为一旦达到障碍水平，期权就失效了，变得一文不值。因此向上敲出看涨期权的边界是不同于经典美式期权的，因此经典美式期权的价格会严格高于敲入和敲出期权的价格之和。
对于看涨期权，向上敲出期权比向下敲出期权复杂，这是因为股票价格越高，期权的美式特征会促使该期权的实施，而股价越高期权敲出的风险越大，可以推测这两种作用博弈的结果在这种情况下多半会是期权提前实施，呈现出美式特征。而向下敲出期权时，这两种作用的博弈就没有如此激烈，因为股票价格越高，作为美式期权提前实施的动机越来越大，与此同时期权敲出的风险却越来越小，可以推测这种情况下，向下敲出期权在股票价格较高时会提前实施，但来自于期权敲出的风险的压力却不如向上敲出的期权的情况下那么大。看跌的情况正好相反，向下敲出期权要比向上敲出期权的情况复杂，原因类似。鉴于以上分析，本文研究最为复杂的向上敲出看涨期权。为了验证美式敲入和美式敲出期权价格之和与经典美式期权之间的关系，还需研究向上敲入看涨期权。
美式巴黎期权也是巴黎期权，对于其巴黎期权部分的处理，本文主要遵循Haber,Schonbucher和Wilmott(1997)[2]的思路，并采纳了宋斌等（2013)[6]给出的新的定解区域，将美式期权特征处理为自由边界问题。这里需要指出是由于自由边界问题和后面的两种数值方法有较大的差别，很难统一符号。因此若引入新的符号，将特别说明，未给出说明的，符号意义见前文。
2.1 欧式巴黎期权的偏微分方程（以下简称PDE)
八种类型的美式巴黎期权遵循的PDE各不相同，这里先给出向上敲出欧式巴黎期权的PDE及定解区域。τ表示标的资产价格在障碍水平之上连续时间的长度，那么对于向上的障碍，可以如下定义τ：
再根据连续巴黎期权的定义，可得
通过以上的分析可知，巴黎期权的价格可以表示为V(S,t，τ），巴黎期权价格所满足的PDE。
当S<L时，用V1(S,t）代替V(S,t，τ），
当S>L时，用V2(S,t，τ）代替V(S,t，τ），
方程（3）、方程（4）即为连续欧式巴黎期权价值满足的PDE。
根据宋斌等（2013)[6]可以得出连续向上敲出看涨巴黎期权的PDE，即方程（5）。
2.2 美式巴黎期权期权的自由边界问题
自由边界问题是指在期权定价中需要一个确定的分界线，把区域{0≤S<∞，0≤t≤T}分成两个部分，S(t）≤S的表示继续持有区域，另一部分S(t）≥S的是执行区域，其中S表示股票价格，T表示期权到期时间，t表示当前时间。对于有效期t=T的美式巴黎向上敲出看涨期权（以下简称APUOC），在持有区域内，其满足方程（3）和方程（4）。在执行区域满足V(S,t，τ）=（S-K）。即APUOC的定价，就是在持有区域内，找到一对函数V(S,t，τ）和S(t）使它们适用于定解问题，其中S(t）为自由边界。由于自由边界必须作为方程的一部分进行求解，APUOC的定价变成复杂的非线性问题。
在t时刻期权的支付函数V*=max(St-K,0），此时只有当V*大于等于理论期权价值V(S,t，τ）时，持有者才会提前执行期权，执行期权后V(S,t，τ）=V*，当期权价值V(S,t，τ）>V*时，则期权不会被实施。如在该时刻选择继续持有期权，当S<L时，期权价格满足方程（6):
在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：
当美式期权存在于持有区域时，不等式（7）中的等式成立。另一方面美式期权的价值总是高于其内涵价值，在持有区域，高于其内涵价值，在执行区域等于其内涵价值。也就是说在其执行区域，不等式（8）中的等式成立。既然股票价格不是在持有区域就是在执行区域，因此上述这组变分不等式中总有一个等式成立，因此可以得出：
当S>L时，期权价格满足方程（10):
同理可以得出，在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：
这类问题可以通过有限差分方法来计算。在后面的数值计算中采用隐性差分方法来计算美式巴黎向上敲出看涨期权。
2.4 数值分析———隐性差分方法
下面计算美式巴黎向上敲出看涨期权的价格。具体参数见表1。为了便于比较各种数值方法，后续计算均采用这一组参数。
当期权的敲出条件和和期权的提前实施条件同时满足时，假定美式期权的提前实施要先于期权的敲出。运用Matlab软件计算期权价格，可以得到当初始股价为16元时，美式向上敲出看涨期权的价格为8.2205元，而相应的欧式向上敲出看涨期权的价格仅为2.9349元，相同参数下的经典美式看涨期权的价格为8.3902元。为了便于比较，图1绘制了经典美式期权、向上敲出美式巴黎期权和向上敲出欧式巴黎期权，图中的横轴是股票价格，纵轴是期权价格。从图1可以看到，当股票价格在10元以下时，三种期权的价格几乎一样。在此之后，美式巴黎期权和经典美式期权价格随着股价上升而上升，相差很小，直到16元附近，两者才有一些差距。由此可见，对于向上敲出美式巴黎期权，其美式期权的特征要远远明显于它的巴黎期权特征。而对于欧式巴黎期权，由于无法提前实施，在股价处于13元和14元之间的某个价格时，期权价格达到一个最高值，随后随着股价的上升，敲出风险越来越大，期权价格呈现不断下降趋势。
3 美式巴黎期权的数值方法
3.1 前向打靶网格方法
下面采用前向打靶网格方法计算美式巴黎期权。由于前向打靶网格方法是对三叉树模型的改进，因此也可以将前向打靶网格方法称之为美式巴黎期权的离散模型，由于后面还要阐述最小二乘蒙特卡罗方法，因此将其统称为美式巴黎期权的数值方法。巴黎期权是强路径依赖期权，在运用三叉树模型进行数值计算时，需要考虑路径因素。这里引入路径函数Ft=F(S,t），这个函数规定了路径依赖的特征。为了反映路径相关性对于期权价格的影响，需要找出每个节点上所有可能的Ft对应的期权价格。由于路径函数具有马尔科夫性，可以利用Ft和St+Δt计算出。这里需要指出的是F(S,t）不能随着三叉树步长数目的增加而增长太快，否则将影响数值格式的计算效率。这种方法就是Hull和White[7]提出的前向打靶网格方法，在树的每个节点增加一个辅助向量来模拟Ft和St的相关变化。
这里主要改进Kwok和Lau[8]中的前向打靶网格方法并用来计算美式巴黎期权，采用的是三叉树模型，pu,pm和pd分别表示股票价格向上、不变和向下的概率。用Vjn,k表示第n个时间节点上巴黎期权的价格。j表示股票价格从初始时刻之后的n步变化中向上跳的次数，而k表示增加的状态变量，Ft表示三叉树节点上（n,j）新增状态变量Ft各种可能取值的数目。令A表示Ft和St在Δt时间内的相关性的函数，即
令a(k,j;n）为网格函她，它是相关性函数的离散版本。前向打靶的三叉树格式可以表示
前向打靶网格算法的关键是明确网格函数。对于连续型巴黎期权，设M表示离散状态下巴黎期权需要达到的触碰次数，是巴黎期权窗口期的离散计数，以判断期权是否敲入或敲出。令k表示到目前为止的触碰数，是一个正整数。B表示向下敲出期权的障碍水平。如果在一个时间不长内股票价格下穿障碍水平，k就增加1，否则保持不变。而且这里只统计股票价格在敲出区域的连续次数，一旦股票价格离开敲出区域，计数就清零，因此恰当的网格函数为：
根据上述算法可以算出每个节点上的欧式巴黎期权。由于是三叉树离散模型，因此只需要在每个节点上将计算出的欧式巴黎期权与立即执行期权的支付相比后取较大值，再递推到期初，就可以得到相应的美式巴黎期权的价格。同样采用上述的参数，当把时间步长剖分为30格时，运用Matlab编程计算得出股票初始价格为16元时，向上敲出美式巴黎期权的价格为8.0000元。比有限差分算出的价格8.4925元略低。如果增加三叉树模型的期数，也就是将网格剖分的更细，结果会更接近有限差分的计算结果。但采用打靶网格的三叉树模型计算时时间步长过细，会大大增加计算量。由此可见，前向打靶网格的三叉树模型是不太适合计算具有强路径依赖特征的美式巴黎期权的，呈现出明显的“高维诅咒”现象。
3.2 改进的最小二乘蒙特卡罗方法
通过改进最小二乘蒙特卡罗方法可以将其用于美式巴黎期权定价。使用经典最小二乘蒙特卡罗方法生成一定数量的样本路径后，依然采用逆向求解思路，在每一个时点处比较立即行权收益与继续持有期望收益以找到最优实施时点。只是巴黎期权特征的存在，使得要时刻关注期权是否被敲入或被敲出。在计算每个时点处立嫉执行的收益时，需要判断巴黎期权是否被敲入敲出，若期权尚未敲入（已敲出），则立即执行的收益确定为0。例如，对于一个美式巴黎向上敲出看涨期权，在任意一个tj时刻，立即执行期权的收益为．虽然相比经典的美式期权，敲入敲出的行权条件会明显影响期权的实施，但将未敲入（已敲出）的期权执行收益确定为0，最小二乘蒙特卡罗法通过比较立即执行收益与继续持有期权收益取优，会确保敲入型巴黎期权在敲入后才被实施，而尽可能使敲出型的期权在敲出前在一个相对最优时刻就被实施。为了得到更精确的估计结果，在使用最小二乘蒙特卡罗方法对条件期望进行估计时，只需保留实值路径及已敲入（未敲出）路径。改进后的最小二乘蒙特卡罗法可以用于计算各种美式巴黎期权，表现出很大的灵活性，而且不存在高维诅咒问题，因此该方法是计算美式巴黎期权良好选择。
4 数值方法比较与敏感性分析
4.1 数值方法比较
现在比较分析隐性差分、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗三种数值方法的计算结果，并分析不同参数变化对美式巴黎期权价格的影响。为了清晰反映欧式巴黎期权和昧式巴黎期权的差别，对每种方法均都给出欧式巴黎期权和美式巴黎期权的计算结果。只是在计算欧式巴黎期权时采用的是标准蒙特卡罗方法。具体计算结果见表2。
和理论分析一样，由于是向上敲出看涨巴黎期权，无论是欧式期权还是美式期权，期权的价格都随着障碍价格的上升而使得期权敲出的风险下降，因此期权价格上升。与此类似，窗口期越长，期权越不容易满足敲出要求，因此期权价格越贵。只是美式巴黎期权对窗口期的增加不如欧式巴黎期权那么明显。对于波动率而言，其他参数相同的情况下，由于计算的是向上敲出美式看涨期权，波动率越大，敲出的风险越大，因此期权价格越低。此外，其他参数相同的情况下，美式期权都要高于欧式期权，而且两者的差距十分明显。
4.2 敏感性分析———向上敲入美式巴黎期权
下面分析障碍价格，窗口期对向上敲入看涨美式巴黎期权的影响，与有限差分和前向打靶网格方法相比，最小二乘蒙特卡罗方法最为灵活，适用于各种类型的美式巴黎期权，因此这里采纳最小二乘蒙特卡罗方法进行数值计算。具体计算结果见表3。其他参数与表1的参数保持一致。
从表3的计算结果可知，障碍价格越高，期权越不容易敲入，因此期权价格越便宜。其他条件相同，窗口期越长，期权敲入的条件越不容易满足，越不容易敲入，因此期权价格越低。由此可见，障碍价格和窗口期和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格呈现反向关系。为了形象地看到敲入型和敲出型看涨美式巴黎期权的区别，分别绘制障碍价格，窗口期对向上敲出看涨美式巴黎期权期权和向上敲入看涨美式巴黎期权期权的敏感性分析图形。具体见图2和图3。
4.3 验证敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和与经典美式期权之间的关系
下面验证向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和是否等于相同参数下的经典美式期权价格，其他参数如表1，具体计算结果对比见表4。
从表4的计算结果可知，无论障碍价格是低于还是高于初始股价16元，向上敲入和向上敲出看涨美式巴黎期权的价格之和都大于经典美式期权的价格。只是两者价格的差距随着障碍价格的上升而越来越小。原因在于障碍价格越高，向上敲入期权的价格越来越小，而向上敲出期权，由于执行价格低于初始价格，其美式期权特征十分明显，提前实施的可能性极大，因此价格十分接近于经典美式期权，从而两者的价差逐步减小。本文得出的美式巴黎期权的这一价格关系与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。该文认为经典美式期权价格严格大于向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和。为了排除数值方法的问题，采用同样的方法验证了向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格之和等于相同参数下的经典欧式期权价格。相同情况下，向上敲出看涨欧式巴黎期权的价格为2.7838元，向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格为5.6640元。两者的之和为8.4706元。而相同参数下的经典欧式期权为8.3902元。两者的结果相当接近，考虑到计算误差，可以认为两者是一致的。这可以侧面证实本文的数值方法的合理性。这里需要指出的是Jetley和Gustafson[3]中研究了向下敲入和向下敲出看跌美式巴黎期权的价格，数值计算结果表明两者之和同样大于经典美式看跌期权，与本文的研究结果是一致的，由此可以质疑Chesney和Gauthier[1]的结论。也许是关于美式巴黎期权的内涵不同，导致了不同的结论。本文中巴黎期权没有敲出之前，美式期权是时刻存在的，这符合美式巴黎期权的本质，也进一步反映出了敲出美式巴黎期权的复杂性。
5 结论与展望
本文系统研究了美式巴黎期权的定价模型及其相应的数值方法。美式巴黎期权的自由边界问题由于需要分别推导不同类型的巴黎期权，显得比较繁琐。前向打靶网格方法来源于三叉树模型，比较直观，但在计算美式巴黎期权这种强路径依赖期权时，需要处理额外的路径函数，计算量很大。当路径函数涉及到的状态很多时，计算效率迅速下降，实用性很差。最小二乘蒙特卡罗方法起源于美式期权，虽然它的收敛性较差，但它用于计算美式巴黎期权时较好地回避了路径函数的处理问题，思路简洁明了，利于算法和编程实现。该方法最大的优势在于适用于计算各种类型的美式巴黎期权。
对于向上敲出看涨美式巴黎期权，股票价格、障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系，和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权，结论正好相反。研究结果还表明，向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格，这与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。采用相同数值方法计算向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权价格，两者之和等于相同参数下的经典欧式期权价格，验证了本文中数值方法的正确性。此外文中的三种数值方法的计算结果比较接近，也从侧面验证了各个数值方法的合理性。篇幅所限，本文没有深入研究各个数值方法的收敛性、计算精度和计算成本，留待以后详细研究。
摘要：给出了连续时间框架下美式巴黎期权的自由边界问题的表达式并运用有限差分进行计算,此外还运用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权的定价问题。计算结果表明向上敲出看涨美式巴黎期权价格与障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系,和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权,结论正好相反。研究结果还表明,向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格,三种数值方法的计算结果都比较接近,验证了各个数值方法的合理性,为美式巴黎期权的进一步应用奠定了基础。
关键词：美式巴黎期权,有限差分,前向打靶网格,最小二乘蒙特卡罗
参考文献
[1]Chesney M,Gauthier L.American Parisian options[J].Finance and Stochastics,2006,10(4):475~506.
[2]Bernard C,Boyle P.Monte Carlo methods for pricing discrete Parisian options[J].The European Journal of Finance,2011,17(3):169~196.
[3]Jetley G,Gustafson M.A hybrid approach to valuing American parisian options[Z].Available at SSRN 998599(2007).
[4]Longstaff F A,Schwartz E S.Valuing American options by simulation:A simple least-squares approach[J].Review of Financial Studies,2001,14(1):113~147.
[5]龚朴,蒙坚玲,何志伟.具有巴黎期权特性的可转债有限元定价和策略分析[J].系统工程,2007,25(12):63~69.
[6]宋斌,周湛满,魏琳,张冰洁.巴黎期权的PDE定价及隐性差分方法研究[J].系统工程学报,2013,28(6):764~774.
[7]Hull J C,White A D.Efficient procedures for valuing European and American path-dependent options[J].The Journal of Derivatives,1993,1(1):21~31.
[8]Kwok Y K,Lau K W.Pricing algorithms for options with exotic path-dependence[J].Journal of Derivatives,2001,9(1):28~38.
美式期权外汇的定价研究 篇2
美式外汇期权有提前履行的特点, 所以对于其他各要素均相同的欧式外汇期权来说, 美式 外汇期权的价值大于或等于欧式外汇期权的价值。因为履约时间的不确定性, 美式外汇期权得不到解析定价公式, 但我们可以用二项式期权定价原理为美式外汇期权定价。
这里我们以一个USD Call/JPY Put美式外汇期权为例, 说明如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。
假设目前日元对美元汇率是S=120, 未来每一期汇率变动的可能是上涨为原来的u倍或下跌为原来的d倍 (设u=l.02, d=0.98) , 期权有效期为一个月, 在期权有效期内, 日元的一个月定期年利率是rd=0.01%, 美元的一个月定期年利率是rd=0.5%, 设一个月期的USD Call/JPY Put美式期权 (期权合约面值l美元) 的协定汇率是120。
现在我们根据二项式定价模型计算该美式买权的初始价值:
(l) 期权有效期分为两期:t=0至t=1和t=l至t=2。首先计算美元在未来两期的可能变动情况, 见图1所示:
(2) 根据美元的可能变动情况与协定汇率计算该美元买权的执行价值 (执行价值是结束美式期权的价格, 执行价值=max (S-X, O) ) , 见图2所示:
(3) 根据第二步骤的执行价值, 计算该美元买权的合理价格 (合理价格是活着的价格, 即不被执行的价格, 等于下一期期望价格的贴现值) 。其中所采用的上涨、下降的概率如下面的公式:
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现证明如下:
首先利用期权和美元债券建立一个无风险投资组合。假设某投资者期末持有一单位美元债券多头和H个美元买权空头, 那么, 以日元衡量的套期保值组合的期末价值Vt, 其结果参见下表1:
为了使套期保值组合的期末总价值中性, 则必须要求Vt不随St变化而变化, 即保持期权组合风险中性, 则必须要求
Vt=uS-H×Cu=dS-H×Cd
解方程即得:
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其次, 计算一下该投资者期初总支出Vo。期末一单位美元债券多头贴现回期初, 以美元计价的债券期初价格为1×e-rft, 投资者当时所支出日元则为1×e-rft×S;投资者期初同时卖出H个美元Call期权, 每个Call期权价格为Co (以日元计价) , 所收取的日元为H×Co, 这样就减少了期初的日元支出, 则以日元衡量的套期保值组合期初总支出Vo为
Vo=Se-rft-H×Co
再次, 通过构造无风险投资组合, 求出美元Call期权价值。显然, 只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于日元资金市场上无风险收益率时, 这种组合就不存在超额无风险利润 (若期末价值与期初价值之比不等于日元无风险收益率, 就会有获取超额无风险利润的套利机会) , 即:
undefined
最后解得
C0= (p×Cu+ (1-p) ×Cd) e-rft
其中
undefined
利用反证法, 我们可以证明:
己知在利率平价状态下, 该期末的远期汇率
F=Se (rd-rf) t
把F=Se (rd-rf) t式代入undefined式得
p= (F/S-d) / (u-d)
若p<0, 由上式可知F
同样, 若p>1, 即F>uS, 则套利者可通过借日元, 买美元, 投资美元, 卖出远期美元的抛补套利, 获得额外无风险利润。由于市场套利的力量, 将使p维持在0和1之间。
如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概率过程, 那么这个p值可理解为期初即期汇率S上升到期末即期汇率us的概率;当然从S下降到ds的概率为 (1-P) 。特别要指出的是, 只有当这个p值与u、d的关系满足式 (3-19) 时, 才有可能构造无风险投资组合, 该组合既不存在汇率变动风险, 也不存在获取超额无风险利润的套利机会;并且, 当式 (3-19) 满足时, 则在p、u和d三个变量中, 一个变量可由另外两个变量所确定。
将各参数代入上式得:
undefined
q=1-0.49=0.51
根据图1内t=2的执行价格, 计算在t=l时该美元买权的合理价格:
Cu= (0.49×4.85+0.51×0) ×e-rdt=2.3765×e0.0001/12=2.3765<2.4⇒Cu=2.4
Cd= (0.49×0+0.51×0) ×erft=0
在t=l时, 当美元上升至122.4时, 该美元的合理价格2.3765, 低于执行价格2.4, 故应在此时提前执行该美元买权较有利。
(4) t=0时, 该美元买权合理价格的计算应以在t=l的理性执行策略为主:
在t=l时, 该买权的可能合理 (这里的可能合理是基于概率意义上的理性合理) 价格为2.4 (=Cu) 与0 (=Cd) , 故在t=0时该美元买权的合理价格为:
C= (0.49×2.4+0.51×0) =1.176
到此, 我们已经推算出该美式美元买权的初始价格为C=1.176 (日元) 。
在外汇市场中应用的期权定价模型一般分为欧式外汇期权定价和美式外汇期权定价。本文从二项式期权定价模型入手, 结合了外汇期权自身的特点, 在二项期权定价模型基础上推导出了美式外汇期权的定价公式, 并以USD Call/JPY Put美式外汇期权为例, 说明了如何利用二项树模型为美食外汇期权定价。
在美式外汇期权定价中, 当将有效期划分的期数越多的时候, 计算出的期权价格精确度会变得越高。以上所推演的美式外汇买权二项式定价模型同样适用于美式卖权的定价, 与计算美式买权唯一不同的是美式卖权的执行价值应为max (X-S, 0) 。
摘要：外汇期权属于期权家族中的一种, 它与其他种类的期权有共同点, 也有不同点, 外汇期权涉及的是两种货币, 牵扯到两种货币利率的问题。这里我们针对美式期权的定价做一探讨:以一个USDCall/JPYPut美式外汇期权为例, 说明如何利用二项式模型为美式外汇期权定价。
关键词：外汇期权,期权定价,美式外汇期权定价
参考文献
[1]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版社, 2003.
美式巴黎期权 篇3
关键词：回望期权,最小二乘蒙特卡罗模拟,跳跃扩散,路径依赖,二叉树图
1 引言
回望期权是一种新型期权, 是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品, 在场外交易。回望期权的收益依附于期权有效期内股票达到的最大或最小价格。回望期权一般可分为固定执行价格回望期权和浮动执行价格回望期权。具有浮动执行价格的回望期权就是在期权到期日持有人以最后标的资产价格与标的资产在有效期内达到的最低价格和最高价格的差价作为收益, 另一种回望期权是具有固定敲定价格的回望期权, 应用价值较小, 本文讨论的都是前者。
欧式回望看涨期权的收益等于最后股票价格超过期权有效期内股票达到的最低价格的那个量, 欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内股票达到的最高价格超过最后股票价格的那个量。关于欧式回望期权, 其定价的解析式已经推导出来了。美式回望期权能在规定的到期日以前 (包括到期日) 的任何一个工作日执行, 执行时间也依赖于股票价格路径, 具有不确定性, 因此, 很难给出其定价方法。
国外Goldman等 (1979) 最早对回望期权进行了定价研究, 在标的资产遵循几何布朗运动的假设下, 对股票价格进行连续监测, 给出了欧式回望期权的定价公式[1], 然而标的资产遵循几何布朗运动与实际市场情况不符, 不能反映“隐含波动率微笑”的现象, 为了克服这个缺陷, 引入不变方差弹性过程 (CEV) , Boyle和Tian (1999) 分别通过数值计算和蒙特卡罗模拟为CEV模型下欧式回望期权定价[2]。Davydov和Linetsky (2001) [3]以及Vanni Petrella和Steven Kou (2004) [4]借助拉普拉斯变换回望期权进行了定价研究, Vadim Linetsky (2004) 在其基础上给出了一种更精确地求解回望期权的定价方法, 这种方法考虑了更多实际因素, 通过谱展开分析法计算出CEV模型下欧式回望期权定价的解析式[5]。另外, S.G.Kou和Hui Wang (2002) 考虑了双指数跳跃扩散模型下为路径依赖型期权 (回望期权、障碍期权、美式期权等) 定价[6]。Peter Buchen等 (2003) 给出了一种新的为欧式回望期权的定价方法[7]。国内徐承龙 (2004) 利用Fourier变换方法给出了带一般受益函数的欧式回望期权的定价公式[8]。袁国军等 (2005) 考虑了跳—扩散模型中欧式回望期权的定价[9]。
目前国内外对于回望期权的定价研究大多是基于欧式回望期权, 美式回望期权的执行时间不确定, 要给出其定价公式, 首先要确定其最优执行时间。Dai Min等 (2006) 对美式回望期权以及亚式期权的最优停时 (最优执行时间) 进行了研究, 为期权的定价奠定了基础[10]。经典的计算美式回望期权的方法是构造二叉树方法[11], Lishang Jiang (2004) 等指出这种方法具有很好的收敛性[12]。然而, 无论是普通的二叉树方法还是改进的二叉树方法, 都有两个缺陷:一是耗费大量的时间;二是都是在布朗运动的假定下进行, 对于布朗运动以外的情形无法应用。
标的资产遵循几何布朗运动的假设, 只反映了价格的连续变化, 没有考虑到标的资产价格可能会出现间断的“跳跃”情况, 这与实际金融市场情况不相符。很多金融实践也表明, 标的资产价格可能会出现间断的不频繁的“跳跃”情况。这些“跳”主要是由一些突发事件引起的, 比如, 破产、政变、政策调整、人为投机等等都会引起资产价格的大幅涨落。假设价格的跳跃以Possion跳跃过程到来, 为了更贴近实际金融市场的情况, 将几何布朗运动与Possion跳跃过程结合起来考虑价格的变化过程, 即假设资产的价格变化过程服从Possion跳—扩散过程。几何布朗运动描述了价格连续正常变化的情况, Possion过程描述了价格变化过程中的异常情况, 因此, Possion跳-扩散过程比较准确地刻画了实际市场中资产价格的变化情况。
本文主要工作是在资产价格服从跳跃-扩散过程的情况下, 给出美式回望期权的定价方法。假设股票价格服从Possion跳跃-扩散过程, 改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13]得到新方法:总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) , 并应用TLSM为美式回望期权定价。将其计算结果与利用构造二叉树图方法所得结果进行比较, 得出:TLSM比较稳定, 计算结果接近期权的真实值;而且所用时间较短。
本文结构安排如下:第2节介绍改进的最小二乘蒙特卡罗模拟的方法;第3节利用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为带跳市场下的美式回望期权定价;第4节介绍构造二叉树图方法, 为美式回望期权定价, 并将其与TLSM比较, 进而给出总结。
2 总体最小二乘蒙特卡罗模拟
改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) , 将其中使用的普通最小二乘改用总体最小二乘, 得到总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) 。
2.1 最小二乘蒙特卡罗模拟
Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) 的基本思想是构造一族基函数, 期权的未来期望收益由这组基函数的线性组合表示出来[13]。在概率空间 (Ω, F, P) 下, 期权的有效执行时间为 (0, T], 到期日为T, 假设期权只在K个离散的时间点0<t1≤t2≤t3≤…≤tK=T执行。C (ω, s;t, T) 表示期权的价格路径, t<s≤T, 期权在t时刻以前以及t时刻都不会执行。LSM方法的目标是提供一个近似计算方法顺向求出最优停时, 从而使得在这个时刻执行期权获得的收益最大。具体步骤如下:
在tk时刻, 期权的立即执行价格是C (ω, s;tk, T) , 继续持有的价值为F (ω;tk) ,
其中, Q为等价于市场测度的风险中性测度, r (ω, t) 是无风险利率。然后选择一组基函数来近似计算F (ω;tk) 的值, X代表期权标的资产的价格, 常用的一组基函数为
则F (ω;tk) 可以表示为F (ω;
2.2 总体最小二乘方法
最小二乘法作为一种最常见的拟合准则, 其参数估计比较简单, Longstaff和Schwartz最早提出将其用于美式期权定价中[13], 然而由于普通的最小二乘法 (Ordinary Least Square) 要求解释变量均为精确无误差的, 或者其测量误差与模型的因变量的测量误差相比可以忽略不计, 即所有误差均来自于因变量。然而, 考虑到期权的标的资产股票价格和期权持有价值均为随机模拟值, 都存在一定的误差或扰动, 因此本文使用同时考虑了解释变量和被解释变量误差的估计方法, 即总体最小二乘 (Total Least Squares) 方法[14]。
对于解释变量和被解释变量数据矩阵均含有误差的回归估计问题, TLS可以表述为对如下矩阵方程求普通最小二乘解:
其中, A是n×p维的解释变量数据矩阵, E为矩阵A的误差扰动, b是n×1维的被解释变量数据向量, e为向量b的误差向量。
为了说明TLS与OLS方法的区别与联系, 本文假设了两数据列向量X和Y, 分别利用OLS和TLS方法进行回归分析。即求如下的回归方程:
其中, β0、β1分别是常数项和一次项的系数, e和d分别是列向量Y和X的扰动.
总体最小二乘法与普通最小二乘法的区别在于, 普通最小二乘法度量的是在变量X有精确数据, 只考虑变量Y存在扰动的情况下, 将回归之后的系数β0、β1代入回归方程, 使得 估计值
为了比较两种方法, 本文讨论二维平面上确定拟合直线的情形。假设原始直线方程为y=b+kx, 其中b=0.4, k=1, 围绕这条直线产生两组随机数据, 然后分别用普通最小二乘和总体最小二乘法确定回归系数, 并进行比较。
为了进一步比较, 在图1中虚线表示原始的直线方程, 实点表示围绕这条直线产生的一组随机数, 实线表示按照普通最小二乘法和总体最小二乘法确定的直线。
从图1可以看出, 总体最小二乘法得到的回归直线与原始直线几乎重合, 而普通最小二乘法与原始直线的差别较大。
3 利用TLSM为美式回望期权定价
3.1 跳跃—扩散模型
设市场的概率空间为 (Ω, F, P) , 资产的价格为 (St) t∈[0, T], (Ft) t∈[0, T]为资产历史价格的信息流。将带跳过程用于期权定价是Robert Merton首次提出。Meton考虑的跳跃—扩散模型在概率测度P下标的资产的价格满足如下方程:
其中, W= (Wt) 为标准Brown运动, N= (Nt) 是强度为λ的、与W独立的Poisson过程, (Uj) j≥1是独立同分布的随机变量序列, 取值于 (-1, +∞) 。
上式也可以表示为
其中, S0+∫t0Xs (μds+σdWs) 表示标的资产的价格连续变化,
3.2 用TLSM为美式回望期权定价
本文以基于无红利支付股票的美式回望看跌期权为例来说明这种定价方法, 回望看涨期权的定价类似可做。
设当前的时间为0, 回望看跌期权的到期日为T, 将这段时间分成等长的K段, 0=t0<t1<t2<…<tK=T, 标的资产的价格变化过程遵循Poisson跳跃-扩散过程。TLSM方法的关键是确定出每条路径上期权的最优执行时间。按照下面的步骤应用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法计算跳跃扩散模型下美式回望看跌期权的价格:
步骤1:从当前的股票价格S0出发, 根据式 (1) 模拟M条股票价格的路径Spi, 其中p代表第p条路径, p=1, 2, …, M, i是时间指标, i=0, 1, 2, …, K.
步骤2:用Xk (St) , k=1, 2, 3, 近似计算出期权在各个时间点继续持有的价值Yp, Yp=a1X1 (St) +a2X2 (St) +a3X3 (St) , p=1, 2, …, M. 在到期日T, 每条路径的执行时间都取为τpK=T, p=1, 2, …, M.
步骤3:到期日T, 第p条路径期权的价值是
, 贴现至tK-1时刻, 贴现值记为Ypj, 选取所有立即执行期权价值为正的路径, 假设共有L条这样的路径, 指标为p1, p2, …, pL, 在每条路径上计算出tK-1时刻立即执行时, 期权的现值
步骤5:按照步骤4倒推直至t1时刻, 就得到了当前时刻期权的价值
4 算例分析
本节应用TLSM方法为实际金融市场中的美式回望期权定价, 并将其计算结果与构造树图[11]所得结果进行比较, 发现利用TLSM方法估值结果更接近期权的真实值。
4.1 构造二叉树图法
仍然是对基于无红利支付股票的美式回望期权进行估价, 当期权被执醒时, 它的收益等于最高股票价格超出股票现价的超额部分。定义F (t) 为到时间t为止的最高股票价格, 并且设定Y (t) =F (t) /S (t) 。初始Y等于1, 因为在零时刻点F=S. 如果在第一个时间步长时, S有一个向上的运动趋势, 那么F和S同时按比例上升u, 则Y仍为1。如果在第一个时间步长, S有一个向下的运动趋势, F保持不变, 那么Y=1/d=u. 继续这种形式的讨论, Y的取值情况就变成如下形式的树图。
确定树图几何形状的规则为: 当时刻t是Y=1, 那么在时间t+Δt时, Y或者为1或者为u; 当时刻t时Y=um, 且m≥1, 则在时间t+Δt时Y或者为um+1或者为um-1.
Y的向上运动趋势与股票的向下运动趋势一致, 反之亦然。Y的向上运动的概率通常为1-p, 向下运动的概率通常为p. 运用树图为美式回望期权进行估价, 以股票价格为单位而不是以美元为单位。用美元表示, 期权的收益为SY-S, 以股票价格为单位表示, 期权的收益为Y-1。对树图进行滚动倒推, 记fi, j为时间iΔt第j个节点的回望期权的价值, 当j≥1, 滚动倒推过程给出
当j=0时, 滚动倒推过程给出:
4.2 结果比较与方法分析
考虑美式回望看跌期权, 期限不超过一年。Hull[11]研究了随机波动率对期权定价的影响, 他指出, 对于持有期小于一年的期权, 由随机波动率引起的期权定价偏差从绝对值上看是非常小的;随着期权有效期增加, 偏差会增大许多。这里考虑的是期限不超过一年的回望期权, 因此标的资产的波动率σ可以假设为常数, 无风险利率r也可以假设为常数。
下面以期限为六个月的美式回望看跌期权为例, 分别用总体最小二乘蒙特卡罗模拟和二叉树图的方法给出定价, 并对两种方法的定价结果进行比较分析。
对于构造二叉树图的方法, 初始股票价格S=100, 股票的年收益率为0.1, 年波动率为0.3, 用Matlab编程实现时, 以年为时间单位, 则到期日T = 0.5, 下表给出了把时间区间[0, 0.5]分别分成1000段, 5000段, 1万段, 2万段, 5万段, 10万段, 20万段, 50万段, 100万段时的计算结果。
对于总体最小二乘蒙特卡罗模拟, 参数的选取与二叉树图中的参数保持一致, 初始股票价格S=100, 在Matlab编程实现时, T=180天, 并将到期期限分为1000段, 换算后, 股票的波动率为σ=0.0093, 收益率为r=0.001。股票价格发生跳跃单位时间随机到来的均值λ=2.24, 蒙特卡罗模拟10000次。共运行100次, 得到100个结果, 画出散点图如图2所示。
从这100个数据中列出14个如表2。
从表中计算结果可以看出:
①用TLSM计算出的期权价格很接近二叉树的计算结果, 误差很小。这说明用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为跳跃扩散模型中的美式回望期权定价是合理的。
②二叉树图方法中时间段越细, 定价结果越精确, 将到期期限分为50万段和100万段时, 结果均为16.23.再由二叉树方法的收敛性, 得出期权的真实值为16.23.然而期限分为50万段时, 程序运行需要3个小时13分钟得到结果。
③从用TLSM模拟得到的结果可以看出, 期权的价格都落在区间[16.1406, 16.3761]之间, 与期权的真实值16.23的浮动误差率小于0.91%.
④从散点图明显看出:TLSM计算的结果数据比较集中, 大多分布在16.25附近, 说明TLSM算法稳定。
⑤用二叉树图方法, 程序运行需要3个小时13分钟才得到结果16.23;而用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法, 只需要12分钟就可以得到较精确的结果。
5 结论
本文改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13], 将LSM方法中的普通最小二乘改为总体最小二乘, 使得计算过程中的误差减小, 计算结果更准确。然后应用改进后的方法TLSM为美式回望期权定价, 标的资产的价格变化用跳跃扩散模型刻画, 考虑了更多实际因素, 无风险收益率的取值以及金融资产价格的大幅降落等情况都一一考虑到了, 使得模型本身与实际金融市场更加接近。本文为跳跃扩散模型下美式回望期权定价, 模型的建立是适合实际金融市场情况的, 所得的定价结果比较稳定, 说明TLSM方法定价的合理性。最后, 本文还将用TLSM定价结果与用二叉树的定价结果进行比较, 发现TLSM定价方法稳定性较好;其结果与二叉树图定价结果误差较小, 并且时效性上优于二叉树图的方法。
美式巴黎期权 篇4
美式期权是指“在期权的到期日之前的任何时刻, 期权的持有者均可执行的期权”。当今金融衍生品市场发展非常迅速, 金融衍生品种类繁多, 并且美式期权由于其本身的优势, 交易非常常见。其交易有助于投资者进行套期保值规避风险, 有助于适应投资者多样性的投资动机, 有助于投资者开拓投资渠道, 获得较高收益。对于美式期权的定价问题, 我们尚不能得到美式期权价格的解析解, 其困难的根源是美式期权允许在到期前的任何时刻被执行。解决美式期权定价问题当今主流主要有PDE, 蒙特卡洛模拟和叉树方法进行求解。本文通过对三叉树模型的推导及具体算例来应用解决基于三叉树模型的美式期权定价的问题。
二、三叉树模型介绍
r是利率, σ是资产价格的波动率, dW代表了一个维纳过程。考虑一个[0, T]时刻的期权, 它的收益为:
K是执行价格。为了简单起见, 我们假设P是一个鞅测度。考虑一个时间步长为 (35) t/2的CRR二叉树模型, 在风险中性的情况下, 概率p, bu和db定义如下:
结合CRR二叉树模型的两步, 下面我们进行三叉树模型的第一步, 令 (35) t (28) T/N。记Vn (S) 为标的资产价为S, 时间为n (35) t时的期权价格, 下面我们得到一个欧式期权的三叉树模型:
从递推式 (3) 和最后条件 (8) , 我们可以倒推期权价格。对于美式期权, 我们把 (3) 式换成:
三、具体案例应用
下面以美国纳斯达克某上市公司为例来应用三叉树模型为美式期权定价的问题。2010年12月8日股票为9.19美元, 无风险收益率为0.022251, 其看涨期权存续期为0.512328年, 波动率的标准差为0.436522, 不发放红利, 该标的股票行权价格为12.16美元, 该期权12月8日的收盘价为1.554美元。
调用相关计算程序结果为:
由以上结果可知, 3.0533为该期权的价格, 但12月28日的实际收盘价为1.544美元, 该期权被低估了, 建议买入, 因为该期权是无红利类型, 提前执行没有意义, 因此建议到期日再执行。
摘要：本文对三叉树模型的推导及美式期权进行了详细介绍, 相对于二叉树模型而言, 三叉树模型用更多的状态分布来逼近标的物价格走势的连续分布, 相比与二叉树而言, 其准确性会更高。后半部分运用数值计算方法对于具体案例运用三叉树模型进行定价, 得出相关结果。
关键词：三叉树,美式期权定价
参考文献
[1]约翰·赫尔.期权期货及其他衍生产品 (第六版) [M].人民邮电出版社, 2010.
[2]姜礼尚.期权定价的数学模型及方法 (第二版) [M].高等教育出版社, 2008.
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