空间四面体

2024-08-15

空间四面体（精选7篇）

空间四面体篇1

摘要：从艺术形式的意义上而言, 小说不同于绘画或者雕塑, 不属于空间艺术。但是, 如果从小说的内容来看, 空间问题却又是小说的根本问题。优秀的小说一定会构建一个巨大而自由的空间。空间越自由, 小说家运作的能力越强, 小说的价值也就越大。毕飞宇的短篇小说《唱西皮二黄的一朵》在这方面是成功的, 值得细细揣摩品味。本文试图提炼出该小说中存在于奇妙空间的四面“镜子”, 以此为主线分析该小说的主要人物, 从而阐述小说家空间运作能力的重要性。

关键词：小说空间,《唱西皮二黄的一朵》,镜子,人性面貌

客观空间, 独立于我们意识之外, 既是无形的, 也是实在的。它与我们的意识无关, 就像天空大地、高山与河流, 它们各自都在各自的位置上, 我们的意识无法改变它们的位置。而一个小说家却可以稳坐桌前, 根据需要, 任意改变空间位置。

这就是小说家的魅力——很善于在一个自由的空间调动一切, 从而构成小说。

小说的血肉是人物和故事。

应该说, 《唱西皮二黄的一朵》讲述的, 并不是一个新鲜的故事。一个乡下女孩, 成为当红青衣后, 是如何不愿面对、甚至憎恨与自己长得很像的卖西瓜的女人, 竟指使人出手伤害对方。然而, 这个不算新鲜的故事却有很大的新意, 那就是卖西瓜的女人, 或者说故事结尾的不确定性。是真的有“瓜葛”, 还是仅仅只是一个同乡, 就像“疙瘩”和唐素琴?和一朵到底有没有血缘关系?作者并没有在这上面纠缠。通过故事情节的发展, 作者似乎一直在引导读者去“猜”, 使读者产生强烈的心理预期, 以为最后总该有个“真相大白”。毕飞宇曾经说过大体如此的话:短篇小说的结尾就应当像急刹车, 车刹住了, 乘客飞出去了。读者结果等来的就是个“急刹车”式的结尾。然而, 小说的魅力也正在于此。内心隐隐的期待落空了, 但读者已从阅读的过程中获得了极大的满足。

《唱西皮二黄的一朵》中的人物也并不新鲜。像一朵这样, 从村里走出, 在城市获名得利, 外表经历了的蜕变, 内心深处的自卑却是一触即发, 拼命想摆脱自己身上的烙印和标签, 类似的人物形象并不少见。但是, 作者把常见类型的人物演绎得有滋有味, 新意在于, 主人公一朵是一个唱戏的人。还在十二岁、还是个乡下女孩的一朵, 便会“看着自己的身影在金灿灿的土基墙上依依不舍地摇曳”, “命中有一碗毡毯上的饭”。正如她自己所说, “唱戏的人谁还不会演戏”, 她就是太会演戏了。把生活当作戏来演, “把最日常的动态弄成舞台上的做派”, 她一直处在这种状态, 甚至分不清什么是戏、什么是真实。作者不遗余力地用细腻而生动的笔调描述一朵的神态动作, 可以说是“在表现人性内在的隐秘空间或者某些无法言说的情感状态时”“清晰地捕捉到那些细节的关键部位, 并以相当细腻的叙事拓展了某些丰饶的人性面貌。”[2]

因而, 遇到一个与自己长相相似的人, 本用不着大惊小怪, 可是对于一朵们来说, 一展开联想、一添油加醋, 便有了戏的意味, 便有了演戏的兴致。一朵们很快入戏了, 在镜子里的眉来眼去;刘玉华哭着走了之后, 一朵坐在地板上没事人似的, 还“抬头看了大伙儿一圈”, 以及在食堂看到卖西瓜的女人时一朵的表现, 那“只给窗口留下了后脑勺”、“满眼的泪光”、“锐利的闪烁当中有一种坚硬的寒”等等, 都表明一出戏开场了, 一个奇特的空间绚丽般徐徐展开。

一切皆发生于空间, 而空间永在。古希腊哲学家拍拉图曾说过:“任何事物都得占个地方, 地上或空中。对于既不在地上、也不在空中的东西是无法谈论其存在的。”[3]每个人在不同的时空背景之下, 会得到不同的经验, 这是一个常识。在这个世界上, 每个人都是独特的。每个人都有一个只属于他自己的世界。命运、经历、不同的关系网络、不同的文化教育以及天性中的不同因素, 所有这一切交织在一起, 使得每一个人都作为一种个体而存在于世。

从某种意义来说, 一个小说家是否具备足够的优秀, 就在于他在一个自由的空间调动一切的能力。小说家是自由的, 而他之所以能有这种自由, 是那个空间是视觉、触觉与动觉三种形式之下的表象空间, 而并非是几何空间。小说家的空间, 仅仅是一种印象, 或者说是一种投影。但无论是印象, 还是投影, 都不再是空间本身, 它是一种信息。这种信息通过一种奇妙的方式, 转化为符号。应当看到, 符号是没有固定位置的, 可以被意念进行任意编排与组合。

这《唱西皮二黄的一朵》出“戏”中, 一朵无疑是主角。一朵设定情节, 自导自演。在生活之中, 她已是“风尘女子”“九姨太”一类的角色, 但她活在自己一手排演的戏中, 只是她从一开始就没有觉得。戏是波澜起伏的, 因此一朵就把这出戏导演得一波三折。

一直生活在戏中的一朵, 来剧团之前, 在乡村, 金灿灿的土基墙是她的背景;七年后, 光怪陆离的社会生活是她的背景。生活的舞台上, 很多人在同时演出。就像戏是不真实的一样, 一朵的前景也是一直虚幻的。在小说中, 曾经的“金灿灿的土基墙”是第一面“镜子”, 带给一朵的, 是反射的闪耀、迷眼的虚幻;成为当红青衣后, 她的好日子也只是“不远了”, 毕竟还尚未到来。

当一朵独处时, 梳妆台的镜子促使她反思。“入戏”太深, 她思考的是如何“演戏”, 而无暇、或者说不愿去思考自身。而镜子让她看到了真实。对一个从没想过真实的人来说, 真实是可怕的, 是恐惧的, 所以她要打碎它。可惜, 镜子碎了还是镜子, 即使只有一块碎片, 也能折射出她的生活。然而, 生活本身是打不碎的, 生活的真实, 是无法用戏的虚幻、戏的预先设定性来处理的。

因此, 我们完全可以想象一朵为什么害怕甚至憎恨卖西瓜的女人。一个非常的偶然性, 会导致一个人前途和命运的转变, 但也正是偶然性, 就给当事人带来打不破的宿命, 导致了前途和命运的不确定性。一朵怕的并不是卖西瓜的女人是自己的亲人, 而是怕自己像卖西瓜的女人, 表明了她自己骨子里透出的不自信。害怕, 正是其本能、真实的一面。改变她的生活的是不真实的戏, 戏让她走红, 让她能够指挥“疙瘩” (也许还有唐素琴) , 能够让刘玉华巴结她, 能够傲视同伴。没有李雪芬偶然遇到一个村庄, 没有戏, 一朵也许就是一个买西瓜的。那卖西瓜的女人也就成了一面“镜子”, 照出了一朵的另一种可能, 所以一朵要不择手段地使她消失。我想, 此处小说已经真正触到所谓“生活的底蕴”, “作家就是要捉住这一个又一个非时间性的主题。”[4]

手机里的张老板在小说结尾戳穿她, 实际上也是一面镜子, 折射出的, 是她的“角色”。一朵在恍惚之间恰恰暴露了自己的真实。她突然醒悟, 自己倒是一直在张老板的“戏”中。正因为真实了, 所以她害怕了;也正因为真实了, 所以她人性了。我们可以发现, 小说中的种种人物, 除了未曾露面的唐素琴 (她也只是“说不上好, 也说不上坏”) , 卖西瓜的女人是对一朵最温情、最亲善的, 但之前“清醒”的一朵一直视其为眼中钉、肉中刺。最后在“茫然”之中, 卖西瓜的女人终于“都像妈妈了”。也就在这真实的时候, 天生能“把最日常的动态弄成舞台上的做派”的一朵, 演砸了。

西皮二黄是京剧声腔里最主要的两种声腔体系, 所以京剧有时也叫“皮黄”。西皮适于表现激昂雄壮、活泼愉快的情感, 叙事性较强;二黄适于表现凄凉沉郁的情感, 抒情性强。一朵唱“皮黄”, 既叙事也抒情, 既激越也沉郁, 构成了她戏内戏外的全部, 这或许是某种暗示或者宿命?

《唱西皮二黄的一朵》中的四面“镜子”, 组成了一个四棱镜。看起来反映的是戏人的生活, 其实反映了当下相当一部分人的生存状态和精神面貌, 正所谓人生如戏、戏如人生。其实, 优秀的小说本身就是一面镜子, 折射出人生百味, 折射出世态炎凉。

从艺术形式的意义上而言, 小说不同于绘画或者雕塑, 不属于空间艺术。但是, 如果从小说的内容来看, 空间问题却又是小说的根本问题。既然它要表现的对象无法离开空间, 那么它也就无法抛弃空间, 并且, 恰恰因为小说在形式上属于时间艺术, 那么, 空间问题格外引人注意:作为时间艺术的小说究竟如何看待空间, 又如何处理空间?空间问题就成了小说家的一门大学问。小说家在进行小说构思时, 盘旋于心头的或者是一个新颖而深刻的主题, 或者是一个乃至几个富有个性的人物, 也可能是一些绝妙的情节。但无论是主题、人物或是情节, 都必须依赖于空间。这个空间, 是属于小说家的——更准确地说, 是属于小说中的人物和事件的。空间越自由, 小说家运作的能力越强, 小说的价值也就越大。《唱西皮二黄的一朵》, 看上去空间不大, 人物微小, 但作家其实构建了一个宏大的空间, 在这样的空间出演的人物, 也变得高大而鲜活。

参考文献

[1]毕飞宇.操场.杭州:浙江文艺出版社, 2002:141-152.

[2]洪治纲.中短篇:在精神漫游中获得安慰.文学报, 2005-01-27.

[3][古希腊]柏拉图著.谢文郁译.蒂迈欧篇.上海:上海人民出版社, 2005, 36.

[4]曹文轩.面对微妙.山东:泰山出版社, 1999, 48.

空间四面体篇2

1. 三维建模的特点

1.1 立体直观, 清楚的展现出建筑原貌

三维模型立体直观, 清楚的展现出建筑原貌, 给人以更强烈的视觉刺激, 震撼程度远远高于二维画面。有了物体的三维数据, 出图时可以生成任意视图, 视图间能保持正确的投影关系, 这为工程生产带来了方便。必要时还能生成透视图和轴侧图, 这在二维系统中是做不到的, 例如某工程立面主入口门位置围护结构是小于75度的倾斜采光顶, 即主入口门构造镶嵌在倾斜采光顶内部, 整个外立面呈现盆梆子一样的不规则形状, 但是建筑图里主入口立面大样极其简单, 只有配合平面图仔细辨别一层和二层幕墙投影线与轴线位置关系, 才能在脑海里呈现幕墙模型, 第一次出施工图的时候, 是按普通二维投影绘制的, 图纸会审时项目经理提出, 为了读图及下料方便, 部分建筑重点位置需要模拟建模出图, 该主入口位置图纸升级为等比例三维模型图。 (如图1) 。

1.2 提高幕墙设计方案

三维模型图能帮助设计师更好的理解建筑的形态, 优化设计方案, 提高服务水平。建筑工程中经常会遇到一些复杂不规则图形, 斜面与斜面、旋转体与旋转体的交接位置, 这些部位处理不好很容易引起外幕墙的变型, 漏雨甚至是塌方。然而, 这些复杂的建筑, 某些特殊部位, 往往面积小, 位置隐蔽, 在二维图中, 一般体现不出来, 容易被忽视, 倘若在三维的模型图中, 这些面与面的交接位置, 体与体的转接过程, 通过三维模型的实时动态观察等命令可对建筑全视景、多角度, 形象逼真的看到, 从而引起设计师们足够的重视, 尽量不遗忘每一个细节的设计, 优化设计方案。三维模型在工程的招投标过程中, 在给甲方汇报方案过程中, 都有着较高的说服力, 同时提高了企业自身的服务水平, 如图2图3为某工程立面放样图和定位详图。立面放样图可以看清楚该建筑立面的大体轮廓, 也可以通过软件测量, 能对每个倾斜面顶点定位, 加深施工各方技术员对该建筑整体上的把握, 而定位详图主要用来帮助设计人员对重点难点位置深化设计, 帮助项目部技术人员排版计划材料, 帮助施工队测量放线等。

1.3 有助于施工管理

1.3.1 简化施工主体各方的识图过程

由于现代建筑的复杂性, 不规则建筑投放到二维图纸上, 线条交叉错乱, 重叠在一起, 图纸很难识别清楚, 导致施工队识图困难很难, 加上工人识图能力薄弱, 甚至是把建筑形态理解错误, 照成费时费力误工耗材等现象。利用三维建模技术, 可以很好的解决这些问题, 再复杂的建筑造型, 通过三维模型都能简单直观的表现出来, 简化看图过程, 让施工人员快速掌握建筑外形, 进而制定相应的施工措施。

1.3.2 提高施工管理效率

1) 精准建模, 精准定位

计算机三维模型建造技术以建筑原始控制点为基准点, 按照1:1的比例建造三维模型, 可以精确提供每道工序关键构件的三维坐标。结合放样点三维坐标和原始控制点形成测区控测网, 严格控制测量误差, 提高测量定位的精确度, 避免建筑外形与原设计产生较大的差异, 如图2所示, 某工程立面是由12个倾斜面单体组成, 通过CAD建模放样, 每个倾斜面顶点坐标都可以精确定位, 方便建筑施工测量放线。

2) 精细排版布料, 制定材料计划, 精确测定工程量

通过运用计算机三维模型建造技术, 在三维模型上均可获取每一块面板的形状和关键尺寸参数, 精确控制面板的加工精度, 能准确制定材料计划, 浪费少, 且误差小, 使建筑幕墙整体建筑效果得到保证, 同时缩短了面板材料采购和加工的工期, 还可以精确的测量出工程面积, 为结算提供依据。结合某工程, 由于工期紧, 施工下料期间, 采用了对模型进行板材统计命令, 统计出标准板块的数量, 边角部位异性板块, 则单独下材料, 大大减少了工作量, 提高了工作效率 (如图4) 。

3) 计算结构力学

如果是在PKPM、3D3S、MTS、SAP2000里建模, 三维模型可以通过软件力学分析技术, 计算出建筑物自身结构的稳定性, 计算装饰面板分格尺寸大小, 龙骨及构件的截面参数, 节点的连接处理形式等, 最大限度的提高工程的整体成本。

4. 结束语

随着经济社会的高速发展, 越来越多的基础性建设, 改善性建设, 民生性建设拔地而起, 从事装饰设计的队伍目前百分之八十到九十还停留在二维制图间段, 已经远远跟不上发展的速度, 只有百分之十到二十的人会运用三维软件, 精确建模, 来辅助设计施工, 三维建模还未来得及普及发展, 虚拟现实技术已经兴起, 未来的建筑行业更先进发达。

参考文献

[1]《浅谈三维模型建造对当代建筑的影响》《建筑工程技术与设计》2014年第12期曾泽明

四面体性质的探究篇3

1.若一个四面体的四个面的面积相等, 则此四面体为四面全等的四面体

证明:如图, 设所给四面体为A1A2A3A4, 设四个面的三角形面积均为S, 由A1引△A2A3A4的垂线A1O, 其垂足为O, 连A2O, A3O和A4O.设以AiAj为棱的二面角的平面角为θij, 1≤i≤j≤4.

同理A1A4=A2A3, A1A3=A2A4.故四面全等.

证明:如图, 在四面体S-ABC中, 四面均为全等等腰三角形, 其中底边SA, BC长为a, 底角为θ, 取BC的中点M,

连接AM, SM, 过点S作SO⊥面A, 垂足为O,

易证O在AM上, 且cos∠SAB=cos∠SAO·cos∠BAM.

过S作SD⊥AB于D, SE⊥AC于E, 连接OD, OE, 则∠SDO, ∠SEO分别为二面角S-AB-C、二面角S-AC-B的平面角, 且∠SDO=∠SEO, 记为α, 显然α为锐角.

又∠SMO为二面角S-BC-A的平面角, 记为β.

由面积射影定理得

∵四面全等,

显然上等式成立需满足

由此可知四面皆为全等的等腰直角三角形的四面体是不存在的.仔细探索四面体的性质真的会得到些有趣的结论.

摘要：类比推理是讲解数学的一种常用的方法.欧拉曾说“类比是大胆的创造”.类比既能培养学生提出问题的勇气, 更能培养其创造精神.

介绍一个四面体体积公式篇4

计算四面体的体积. 因为需要计算一个五阶行列式,所以计算过程比较麻烦. 那么能不能寻找一个更方便的计算公式呢? 为了解决这个问题,笔者按照下列步骤进行了推证.

假设四面体V - OAB的各条棱长分别为a,b,c,r,p和q( 如图一) 所示,四面体的一个顶点O在坐标原点,底边OA与OX轴重合,底面OAB和XOY平面重合,很显然,A点的坐标为( r,0,0) ,设B点的坐标为( x0,b0,0) ,V点的坐标为( x1,b1,z1) .

在XOY平面内,圆心在原点,半径为q的圆的方程为: x2+ y2= q2,圆心在A

半径为p的圆的方程为: (x - r)2+ y2= p2,B点为两圆

因为四面体的体积为:,所以:

其中a与p,b与q,r与c分别为四面体的三组对棱,Δ1和Δ2分别为以四面体的棱r为一条边的两个侧面的面积.在用此公式进行计算时,通常选择两个侧面面积容易计算的侧面所夹的边为r. 用此公式进行计算,要比用上述五阶行列式简捷得多.

例计算棱长为a的正四面体的体积

解方法一边长为a的等边三角形的面积为所以

在第一象限内的交点,所以

分别以原点A点和B点为中心,以a,b和c为半径的球的方程为:

很显然顶点V为三球的交点. V点的坐标Z1的长度即为四面体的高,我们只要求出四面体的高,四面体的体积就可以计算出来了. 为此,我们将方程( 1) ,( 2) 和( 3) 联立求出交点( X1,Y1,Z1) ,方程( 1) —( 2) 得: 2rx1 = r2+ a2- b2

因为三角形OAV的面积为:

将( 4) 式和( 5) 式代入( 3) 式,可以求出:

将x1和y1的值代入( 1) 式,可以求出四面体的高:

空间四面体篇5

一、一般四面体的性质

1.在任一三面角中, 两个面角之和大于第三个面角;

2.在任一三面角中, 三个面角之和小于360°;

3.四个面上的三角形的重心与相对顶点的连线交于一点 (即四面体的重心) ;

4.过四面体四个面三角形的外心作垂直于该面的垂线, 则四条垂线相交于一点 (即四面体的外接球球心) ;

5.平分四面体的六个二面角的六个平面相交于一点 (即四面体的内切球球心) ;

6.在四面体A-BCD中, 异面直线AC、BD所成的角为θ, 则

$\cos θ = | \frac{A B^{2} + C D^{2} - A D^{2} - B C^{2}}{2 A C \cdot B D} | .$

下面证明第 (6) 个结论.

证明:设MN为异面直线AC、BD的公垂线段, 异面有向线段MA、NB所成的角为α, 则

AB2=MN2+MA2+NB2-2MA·NBcos α,

AD2=MN2+MA2+ND2+2MA·NDcos α,

∴AB2-AD2=NB2-ND2-2MA·BDcos α, (1)

CB2-CD2=ND2-NB2-2MC·BDcos α, (2)

由 (1) + (2) 得,

$\cos α = \frac{A D^{2} + B C^{2} - A B^{2} - C D^{2}}{2 A C \cdot B D} .$

但AC、BD所成的角θ满足 $\cos θ = | \cos α |,$

所以 $\cos θ = | \frac{A B^{2} + C D^{2} - A D^{2} - B C^{2}}{2 A C \cdot B D} | .$

另外, 在一般四面体中还具有和平面几何相类似的角平分线定理, 下面进行证明.

求证:四面体的二面角的平分面分对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比.

证明:如图所示, 设平面ASD为二面角B-SA-C的平分面, 交BC于D, 则 $\frac{V_{D - S A B}}{V_{D - S A C}} = \frac{S_{1} \cdot D F}{S_{2} \cdot D G}$ , 其中DF、DG分别为点D到面SAB、面SAC的距离, S1、S2分别是△SAB、△SAC的面积,

∵D在二面角BSAC的平分面上, ∴DF=DG, 即 $\frac{V_{D - S A B}}{V_{D - S A C}} = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ,

又 $∵ \frac{V_{D - S A B}}{V_{D - S A C}} = \frac{V_{A - S B D}}{V_{A - S C D}} = \frac{S_{3} \cdot A E}{S_{4} \cdot A E} = \frac{S_{3}}{S_{4}} = \frac{B D}{C D},$

其中S3、S4分别是△SBD、△SCD, AE为A点到面SBC的距离,

$∴ \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{B D}{C D}$ , 因此四面体的二面角的平分面分对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比.

二、三对相对棱分别相等的四面体 (即等腰四面体) 的性质

1.四个面三角形是全等的三角形;

2.四个面三角形均是锐角三角形;

3.若AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c, 则它的体积为

$V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{2 (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \cdot (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \cdot (c^{2} + a^{2} - b^{2})}}{12}$ ;

4.以两条相对棱为棱的二个二面角相等;

5.三对相对棱的中点的连线共点, 同时互相垂直平分且为对棱的公垂线.

下面证明第4个结论.

证明:在四面体A-BCD中, 设AB=CD, AC=BD, AD=BC, 以BC、CD、DB、AB、AC、AD为棱的二面角分别为α, β, γ, x, y, z, 过A作面BCD的垂线, 由射影定理可知,

${\begin{cases} \cos α + \cos β + \cos γ = 1 (1) \\ \cos α + \cos x + \cos y = 1 (2) \\ \cos β + \cos y + \cos z = 1 (3) \\ \cos γ + \cos x + \cos z = 1 (4) \end{cases}$

由 (2) + (3) + (4) 式可得cosx+cos y+cos z=1 (5)

由 (2) ～ (5) , cos α-cos z=0, α, z∈ (0, π) , ∴α=z;

同理可得, β=x, γ=y.

即以相对棱为棱的二面角相等.

三、三条侧棱两两垂直的四面体 (即直角四面体) 的性质

1.直角四面体三个侧面两两垂直;

2.底面为直角三角形;

3.顶点在相对面上的射影是该面上三角形的垂心;

4.若三条互相垂直的侧棱长为a, b, c;S1, S2, S3, S分别表示侧面面积与底面面积, 则此四面体的内切球的半径 $r = \frac{S_{1} + S_{2} + S_{3} - S}{a + b + c}$ , 外接球的半径 $R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{2};$

5.三个面为直角三角形的面积的的平方和等于第四个三角形面积的平方.

下面来证明第5个结论.

证明:在四面体A-BCD中, 若AB、AC、AD两两垂直, 且AB=a, AC=b, AD=c,

所以, $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} = \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}{4}$ , 过B作CD的垂线, 垂足为H, 由题意可知

$\begin{array}{l} A Η ⊥ C D ‚ ∠ B A Η = 90 ° ‚ \\ C D = \sqrt{b^{2} + c^{2}}, A Η = \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}, B Η = \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} \end{array}$

四、正四面体 (设棱长为a) 的性质

1.侧棱与底面所成的角都等于 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$ ;

2.相邻两个面所成二面角都等于 $\arccos \frac{1}{3}$ ;

3.相对棱互相垂直, 它们间的距离为 $\frac{\sqrt{2} a}{2}$ ;

4.外接球的半径为 $\cos ∠ Μ Ν Κ = \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{6} a}{4}$ , 且外接球的球心与四个顶点所组成的四条射线两两构成 $π - \arccos \frac{1}{3}$ ;

5.内切球的半径为 $\frac{\sqrt{6} a}{12}$ .它的外接球球心与内切球球心重合.

下面例举与正四面体相关的例题, 加深对其性质的理解.

例1:设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点, 求二面角C-FG-E的大小.

解:取AD的中点为H, 由题意可知过E、F、G三点的截面为矩形EFGH, 取BD的中点为K, 连接AK、CK, 分别交EH、FG于M、N, 连接MN, 可证∠MNK就是二面角C-FG-E的平面角, 设正四面体的棱长为 $a ‚ Μ Ν = Ν Κ = \frac{\sqrt{3} a}{4} ‚ Μ Ν = \frac{a}{2}$ , 所以 $\cos ∠ Μ Ν Κ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , 即二面角C-FG-E的平面角为 $π - \arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

例2:在正四面体ABCD中, E在棱AB上, F在棱CD上, 使得 $\frac{A E}{E B} = \frac{C F}{F D} = λ ‚ λ \in (0, + \infty)$ , 记 $f (λ) = α_{λ} + β_{λ}$ , 其中αλ表示EF与AC所成的角, βλ表示EF与BD所成的角, 试求 $f (λ)$ 的解析式.

解:在BC边上取一点G, 使得 $\frac{C G}{G B} = λ$ , 连接EG, FG, 由题意可知, EG//AC, FG//BD, ∵AC⊥BD, ∴EG⊥FG, 但

$\begin{array}{l} α_{λ} = ∠ G E F, β_{λ} = ∠ G F E, \\ ∴ α_{λ} + β_{λ} = \frac{π}{2} ‚ 即 f (λ) = \frac{π}{2}, λ \in (0, + \infty) \end{array}$

五、四面体中的几个“心”的性质

1.若四面体的顶点到相对底面三角形三个顶点的距离相等, 则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心;

2.若四面体的顶点到相对底面三角形三边的距离相等, 则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心或旁心;

3.若四面体有两对相对棱相互垂直, 则顶点在相对底面上的射影是底面三角形的垂心.

通过以上对四面体性质的分析, 可以更进一步对某些性质进行灵活运用.更能以四面体为载体解决一些多面体中涉及的距离, 体积等问题.这里以两个经典例题进行分析.

例3:圆柱的直径为4R, 高为22R, 则此圆柱最多能装半径为R的球多少个?

解:由题意可知, 每一层的两个球与它上面一层的两个球的四个球心O1, O2, O3, O4是一个棱长为2R的正四面体的四个顶点, 异面直线O1O2, O3O4之间的距离为 $\sqrt{2} R$ , 若可放 n层, 则

$\begin{array}{l} 2 R + (n - 1) \sqrt{2} R \leq 22 R ‚ \\ ∴ n \leq 1 + 10 \sqrt{2} \end{array}$

, 因此最多能放半径为R的球30个.

例4:已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且六面体的最短棱长为2, 求最远的两顶点和距离.

解:设正三棱锥的底面边长为2a, 侧棱长为b, 取BC的中点M, 连结AM、EM、AE, 则∠AME就是二面角A-BC-E的平面角, 过B作AC的垂线, 垂足为N, 连结DN, 则∠BND就是二面角B-AC-D的平面角, 经计算得, $A Μ = \sqrt{b^{2} - a^{2}}, B Ν = \frac{2 a \sqrt{b^{2} - a^{2}}}{b}, A E = 2 \sqrt{b^{2} - \frac{4 a^{2}}{3}}$ ,

由题意可知, $△ A Μ E ∽ △ B Ν D \Rightarrow \frac{A Μ}{B Ν} = \frac{A E}{B D}, \Rightarrow b = \frac{4 a}{3}$ ,

所以, BC>AB, AB=AE, 因此AB最短, 即b=2, 2a=3,

因此最远两顶点间的距离为3.

空间四面体篇6

在医学领域,一些医疗设备根据人体器官病变部位的外形数据,进行三维数字化模型重建,为医生指定医疗方案提供依据[2]。在有限元法的人体器官建模过程中,需要能够模拟人体器官发生的动态形变,采用四面体网格单元划分人体器官实体模型,可以逼近较复杂的几何形状,并按需要在局部区域随意加密或变稀网格,而人体器官的几何形状比较复杂、不规则的,适于用四面体网格单元划分。

在三维模型重构时Delaunay四面体网格算法[3]是Delaunay三角化在三维情况下的扩展应用,用三角剖分原理,采用经过改进与修改的适应于有限元法人体器官建模的Delaunay四面体网格算法,其优点是得到的四面体形状比较规则,同时防止了体单元网格的退化问题。

1 有限元法三维表面重建算法方程

1.1 有限元法的四面体网格算法的应用原理

有限元法四面体元网格是既有局部坐标又有总体坐标的三维有限元,常被称为常应变四面体元。每个四面体称为一个单元,每个单元有4个节点且每个节点有3个自由度。单元刚度矩阵:

式(1)中V是单元体积,矩阵[B]由形态函数N1,N2,N3,N4分别对x,y,z的一阶导数组成的矩阵,矩阵[D]是关于弹性模量与泊松比形成的矩阵,很显然四面体元有12个自由度,每个节点有三个自由度。因此,对一个有n个节点的结构而言,其整体刚度矩阵K是3n×3n的。可用高斯消去法和分解法求解方程组:[K]{δ}={F},δ是结构节点位移矢量,F是结构节点载荷矢量。一旦求得未知的位移与节点力矢量,就可以用下式求得每个单元的应力矢量[4,5]:

式(2)中,σ是6×1的单元应力矢量,δ是12×1的单元节点位移矢量,每个单元的σ形式为

1.2 有限元法三维表面重建的动态方程1

弹性力向量可用节点位移{δ}和刚度矩阵[K]的乘积表示:{Fs}=[K]{δ};弹性向量可用节点加速度{δ咬}和质点矩阵[M]的乘积表示:{Fi}=[M]{δ咬};阻尼向量可用阻尼矩阵(其中u为阻尼系数)和节点速度的乘积表示:从而运动方程为[6]:

式(3)中质量矩阵ρ为质量密度,[N]为形态函数矩阵。式中位移向量{δ}是时间t的函数,速度向量和加速度向量分别是位移向量对时间的一阶和二阶导数,载荷向量{F}为时间的已知函数。求解方程组(3)就可得到整个结构的所有节点的位置矢量,由形态函数可得到表面上任一点的位置。

2 有限元法Delaunay四面体网格算法思路分析

在计算机图形学和几何造型中,三维模型重构时Delaunay四面体化算法是经常用到的算法,Delaunay四面体化是Delaunay三角化在三维情况下的扩展应用,Delaunay四面体化算法要满足的基本准则是:曲面三角网格中的每个三角形单元若能存在于后续的四面体化结果中,就应保证每个三角形单元至少存在一个不包含曲面上其他网格顶点的空外接球[3]。在基于有限元法的Delaunay四面体网格中,重新改造与修正其建立Delaunay四面体网格的基本原理方法。其改造与修正算法、思路与构造步骤如下:

2.1 有限元法的Delaunay四面体网格算法分析

有限元法Delaunay四面体网格规则在在二维情况下网格符合空圆原则,即每个三角形的外接圆弧内不包含其他点,三维情况下网格符合空球原则,即每个四面体外接球面内不包含其他点[7,8]。

2.2 有限元法的Delaunay四面体网格算法基本思路

其算法基本思路为:利用一个不断收缩的框和一个不断扩展的框来动态的缩小搜索范围,从而达到局部搜索的目的。层层搜索在扩展框外面并且在收缩框里面的单元格,每搜索完一层,扩展框就自动更新为把这一层围起来的框,直到找到一个点为止,计算这个点与当前三角形构成的四面体的外接圆圆心和半径,用一个长方体把此外接圆包在里面,且长方体的边界都是单元格的边界。更新收缩框为这个长方体和原收缩框的交集,这样我们再用更新过的扩展框和收缩框进行下一次的搜索,依次不断循环,直到扩展框和收缩框重合,找到的点就是与当前三角形构成有限元法Delaunay四面体的第四个点。

3 有限元法Delaunay四面体网格算法构造步骤与实现伪码

建立四面体网格的过程包括:预处理数据点、找四面体网格的起始点、找最近点构成起始边、建立第一个三角形、根据三角形找点组成四面体、建网六个步骤。

3.1 有限元法Delaunay四面体网格算法构造步骤

从一个三角面出发,寻找一个点,使组成的四面体满足有限元法Delaunay准则,计算这个点与当前三角形构成的四面体的外接圆圆心和半径,用一个长方体把此外接圆包在里面,且长方体的边界都是单元的边界。为了保证有限元法四面体网格的完整性和正确性,这里采用的方法是先找到第一个四面体,然后由它的各个面为底面,建立新的四面体,再逐层建网直到完成所有四面体网格的生成。

为控制建网的过程,采用动态更新的三角面的链表,先把已找到的第一个四面体的四个面存储在双链表中,双链表初始化之后,开始建立四面体网格。步骤如下:

1)考虑位于链表最右端的三角面,以它为已知三角面,在面的右侧查找第四个点,建立新的四面体。

2)如果上述操作没有找到符合条件的点,说明该三角面是一个位于边界的面,从链表中把该三角面删除。

3)如果找到了第四个点,先检查这个新建的四面体是否与先前的那些四面体有相交情况,即检查第四个点的是否已用过,如果用过,说明这个点被别的四面体用过了,那么新建的四面体与先前的四面体必然有相交的点,或边,或面;否则,一定没有与先前建立的四面体相交。以下要分情况讨论:

1)如果此点没有用过,删除当前三角面(用来寻找第四个点的面,即现正位于表尾的节点),添加三个新的三角面(新建四面体的其他三个面)到双链表的尾端。

2)如果此点用过,则新四面体与先前的四面体有相交部分。以下三种情况是会对结果造成影响的,现在分情况讨论;其他如仅顶点相交,仅有边相交等不会对结果产生任何影响,所以不做任何处理。

(1)有一个三角面相交。在这种情况下,删除当前面的同时,还要删除与第四点的共面。添加的是出去相交的面以外的两个面。

(2)有两个三角面相交。删除当前面和与先前四面体共用的两个面,只添加剩下的一个新面到双链表里面去。

(3)有一条边和一个三角面相交,当前三角面找到的新点,由于新点已用过,经查找,有面和边共用。为了防止空洞的形成,只有等到新四面体建立之后,再建此四面体,在这种情况下,应该跳过当前面,先处理它前面的节点。

由此可见,当检测到新建四面体中有一个面使用过的时候,还要判断是否有边共用,然后分别按照(1)和(3)两种情况进行相应处理。

4)当双链表变成空表的时候,建网结束。

3.2 有限元法Delaunay四面体网格算法实现伪码

有限元法Delaunay网格生成算法能更好的提高精度,但相应增加了它的时间复杂度,由三角面构建有限元法Delaunay四面体网格的算法伪码如下:

4 结束语

本方提出一种基于有限元法的Delaunay四面体网格算法,建立了人体器官三维表重建的动态有限元方程,为有效实现由Delaunay四面体网格单元求三维应力及得到所有节点的新位置矢量的计算提供了方便。该方法能较好的从空间数据点重建人体器官表面的三维图象,能较好地逼近复杂的几何外形,同时也可用于对其它形状的凸壳状表面进行恢复与重建,比较适合体绘制,可提高精度,这种方法同样也可以生成其它形变物体表面的四面体网格单元。

摘要：针对目前通过医学成像技术获得人体器官序列图像来提取相关人体器官结构参数,判断人体器官的功能的热点问题,提出了一种基于有限元法Delaunay四面体网格的建模方法,利用有限元与生物力学原理构建人体器官表面重建的有限元方程,以满足单元的应力矢量及单元节点位移矢量计算的需要,为模拟重建人体器官运动奠定基础。

关键词：人体器官建模,有限元方法,Delaunay四面体网格

参考文献

[1]Alejandro F.Frangi,Wiro J,ed al.Three-Dimensional Modeling for Functional Analysis of Cardiac Images:A Review[J].IEEE Transactionson Medical Imaging,2001,20(1):2-25.

[2]王元全,周则明,等.带标记的人体器官核磁共振图象分析综述[J].中国图象图形学报,2003,8(11):1233-1241.

[3]赵建军,王启付.边界一致的Delaunay四面体网格稳定生成算法[J].机械工程学报,2004,40(6):100-106.

[4]Kattan P I.MATLAB有限元分析与应用[M].韩来彬,译.北京:清华大学出版社,2004.

[5]王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法[M].北京:清华大学出版社,1996.

[6]肖鹏飞,黄芳,李显良.基于快速建立四面体网格的有限元心脏建模[J].计算机仿真,2008,25(9):223-230.

[7]周培德.计算几何:算法设计与分析[M].北京:清华大学出版社,2005:43-215.

空间四面体篇7

三甲基硅烷化 (TMS) 结合气相色谱分析方法是首先采用三甲基硅烷化技术使硅酸盐结构单元转变成三甲基硅脂, 然后再用气相色谱法进行测定, 已有学者将其用于硅酸盐水泥、玻璃、粉煤灰、粉煤灰-水泥浆以及粉煤灰-石灰-水压蒸系统中[Si O4]4-四面体聚合状态的研究[1,2,3,4], 但是对于具有微弱活性的钢渣中[Si O4]4-四面体聚合状态的研究却不多见。有研究指出[5], 胶凝材料中[Si O4]4-四面体单体含量与该物质胶凝活性的大小呈线性关系。鉴于此, 本试验采用三甲基硅烷化技术结合气相色谱分析方法, 通过对比测试钢渣、矿渣、水泥水化前后[Si O4]4-四面体聚合状态, 并测试[Si O4]4-单体的含量以评价钢渣的水化活性。

2 试验

2.1 试验试样及试剂

由于纯活性矿物β-C2S中硅酸盐阴离子为[Si O4]4-四面体单体[6], 因此试验采用纯β-C2S作为[Si O4]4-四面体单体标样, 通过气相色谱图对比分析钢渣、矿渣、水泥水化前后[Si O4]4-四面体单体含量的变化。由于钢渣和矿渣水化活性低, 试验掺入10%的氢氧化钙作激发剂, 以激发钢渣、矿渣的活性。试样主要有原粉状的钢渣、矿渣、水泥, 以及含有碱激发剂的钢渣、矿渣、水泥水化28d后的磨细粉。试验试剂有:六甲基二硅醚 (CP) ;N, N-二甲基甲酰胺 (AR) ;甲醇 (AR) ;正十四烷 (AR) ;三甲基氯硅烷 (CP) ;β-C2S单体标样。

2.2 试验方法

试验首先采用三甲基硅烷化技术对各粉状样品进行处理, 步骤如下:在磨口三角瓶中移入9ml六甲基二硅醚、6ml甲醇、3ml三甲基氯硅烷、3ml二甲基甲酰胺、1ml正十四烷, 在室温下搅拌数分钟后, 加入0.2000g粉状样品, 继续搅拌4h。然后将此混合物用分液漏斗分离, 弃去下层液, 将上层液用水洗涤3次, 经无水Ca Cl2干燥后制得三甲基硅烷化产物。

将所得三甲基硅烷化产物用GC4000A型气相色谱仪作定性和定量分析, 内装Φ0.32×50000mm SE-30型石英毛细管色谱柱, 以N2为载气, H2为燃烧气, 空气为助燃气。色谱峰由A5000气相色谱工作站记录并给出峰面积。色谱图采用内标法定量, 选正十四烷为内标。其它操作参数见表1。

2.3 试验结果与分析

2.3.1 气相色谱峰的定性

试验采用与标准样品 (β-C2S单体标样) 中[Si O4]4-四面体单体峰出现位置对比的方法对各试样色谱峰进行定性分析。取正十四烷1ml用21ml乙醇稀释, 制成内标样品, 将该样品与纯β-C2S单体标样分别进行TMS技术处理, 并用气相色谱仪测其色谱图。

图1-图5分别为水泥、钢渣、矿渣、内标样以及β-C2S单体标样经TMS反应后产物的气相色谱图, 各图中峰1均为溶剂峰, 其他各峰的鉴定如下:

与内标样色谱峰 (图4) 和标准样色谱峰 (图5) 对比可知, 各图中峰2、4分别对应于[Si O4]4-四面体单体和内标物流出峰。由于气相色谱可以分离经三甲基硅烷化反应后易挥发的低分子硅烷化产物, 所以水泥样品中出现的峰3可能为相应的低分子聚合物峰。

2.3.2 色谱峰中[Si O4]4-四面体单体的定量分析

由于硅酸盐物质中, [Si O4]4-四面体单体经TMS反应后形成单硅酯, 因此计算出单硅酯的含量, 就能够确定[Si O4]4-四面体单体的含量。对硅酸酯类物质来说, 混合物中单个化合物的FID (氢火焰离子化检测器) 响应值是对气相色谱作定量计算的基础, 不同化合物的FID值不同。为此要定量计算化合物中单硅酯的含量, 首先要用标样来测定单硅酯的FID响应值。测定方法如下:

分别精确称取40、60、80、100、120、140、160mgβ-C2S单体标样, 用TMS技术制得单硅酯。然后用气相色谱仪测定它们在色谱图中的峰面积 (A1) 与内标峰面积 (AS) 的比值。以称样量为自变量 (X) , 峰面积比为函数 (Y) , 作回归分析可得一直线。该直线的斜率即为单位标样量的峰面积比, 以K表示, 结果见表2。

利用K值, 可按式1和式2计算FID响应值:

式中, m1为C2S单体标样分子量172;ms为内标分子量198;ωs为内标量20mg。得到FID响应值s1m、a以后, 利用公式 (Ax为各样品中单硅酯的峰面积, AS为内标峰面积) 便可得出样品中单聚体的绝对量 (Si O2计) 。具体计算结果如表3。

由表3可知, [Si O4]4-单体含量相比, 水泥>矿渣>钢渣, 并且在加入氢氧化钙以后, 单体含量均有所降低, 这可能是由于Ca (OH) 2参与了TMS, 影响了单硅酯的形成, 导致测出的数值较低。在制作净浆试块时, 为了更好的激发钢渣和矿渣的活性, 加入了10%的Ca (OH) 2作为激发剂, 从试块的凝结效果来看, 水泥凝结速度较快强度较高, 矿渣次之, 钢渣最弱。这表明水泥、矿渣、钢渣活性大小的规律与其单体含量多少的规律一致。从另一个角度讲, 单体含量的多少可以表征胶凝材料活性的大小, 单体含量越多, 胶凝物质活性越大。

为了进一步了解样品水化反应后其[Si O4]4-单体含量的变化, 特将原粉状样品制成的净浆试块在标准条件下养护28d。经磨细后参与TMS反应, 采用气相色谱分析方法进行定量, 具体结果见表4和图6。

由图6可以很直观的看出, 未水化水泥与水化28d后的水泥色谱峰相比, 峰3消失, 同时表征[Si O4]4-单体的峰2的面积已减小至仪器无法测出。这表明水泥水化的过程中硅氧四面体结构发生变化, 从单体的变化情况来看, 未水化时水泥中[Si O4]4-单体含量占到50.5%, 而水化28d后已经无法由峰面积计算其含量。这从另一个角度说明, 在水泥水化的过程中, [Si O4]4-单体含量在逐渐降低, 同时受仪器和标准样的限制而未测到的[Si O4]4-高聚物的含量在逐渐增加。这种硅氧四面体结构上的变化必然导致宏观性质上的变化。水泥石活性单体的这种变化趋势, 反映在水泥石强度的性能变化上, 表现为强度由低到高变化。

在掺10%Ca (OH) 2以后, 钢渣和矿渣水化28d后的单体含量与其原粉 (未水化) 时的相比也有所降低, 但变化不大。一方面说明了单体含量随水化过程而降低的趋势, 另一方面说明钢渣和矿渣的活性较低, 即使加入10%Ca (OH) 2作碱激发剂, 其活性反应也难以快速激发。

综合上述试验可知, 水泥水化时, 其硅氧四面体结构将发生变化, 从单体的变化情况来看, 低聚物的[Si O4]4-随水化的进行逐渐降低。胶凝材料活性与其[Si O4]4-单体含量及其水化时[Si O4]4-结构的变化有关, 单体含量越多, 且随水化龄期的增加[Si O4]4-结构变化越快时, 胶凝材料水化活性越强。

3 结论

⑴钢渣、矿渣中均含有与水化活性有关的[Si O4]4-四面体单体, 且矿渣中[Si O4]4-四面体的单体略大于钢渣。

⑵胶凝材料的活性与其[Si O4]4-单体含量的多少和水化时[Si O4]4-聚合结构的变化有关。当[Si O4]4-单体含量越多, 并且随水化龄期的增加[Si O4]4-结构变化越快时, 胶凝材料水化活性越强。

参考文献

[1]王晓钧, 陈悦, 周洪庆, 等.粉煤灰机械研磨过程中硅氧四面体结构的变化趋势[J].硅酸盐学报, 2001, 29 (4) :389-391.

[2]王晓钧, 陈悦, 钟白茜, 等.水泥中[Si O4]4-四面体聚合结构与抗压强度的关系[J].钻井液与完井液, 1997, 14 (2) :12-14.

[3]蒋林华.粉煤灰-水泥浆体中[Si O4]4-四面体聚合结构和分形结构研究[J].粉煤灰综合利用, 1998, (1) :35-37.

[4]W.Mozgawa, J.Deja.Spectroscopic studies of alkaline activated slag geopolymers[J].Journal of Molecular Structure, 2009:434–441.

[5]王晓钧, 霍明江, 闫继娜, 等.用硅烷化双聚体结构分析胶凝物质的聚合趋向[J].硅酸盐学报, 2000, 28 (6) :575-577.

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