数字平方算法

数字平方算法（共3篇）

数字平方算法篇1

0 引言

在信息战环境下,有源雷达电磁隐蔽性、抗侦查、抗干扰、抗反辐射导弹能力差,远距离探测烧穿功率大等弱点日益呈现。无源定位技术特别是单站无源定位技术因具有隐蔽性强,设备量小,作用距离远,机动性好的特点,更为重要的是避免了复杂的时间同步和多个观测站之间的数据融合而备受重视,对现代信息战有着极其重要的军事意义[1]。

由于多普勒变化率定位方法对波达角变化率这一测量参数测量精度有非常高的限制[1,2],改进的结合相位差变化率和多普勒频率变化率的单站无源定位算法[3]降低了多普勒频率变化率定位方法对实用性的限制,降低了系统对定位系统前端接收机的设计难度,提高了定位精度和收敛速度。

单站无源定位与跟踪系统观测方程的严重非线性决定了定位与跟踪中必须采用非线性滤波技术。EKF及其衍生算法本质上都属于扩展卡尔曼滤波算法,在非线性严重时都存在近似精度低,协方差易出现病态,从而导致滤波器稳定性差,易发散的问题[1,2,3]。基于UT变换的UKF算法并没有近似非线性过程和观测模型,而直接利用真实的系统模型。用一组有效的采样点集去表示状态高斯随机变量(GRV),当状态量通过实际的非线性系统之后,这些样本点能捕获到GRV的均值和协方差,并可以精确到3阶(Taylor展开),且对任何非线性系统都有这一特点。同时,由于不需要推导和计算复杂的Jacoblan/Hessian矩阵,UKF算法更便于实现[3,4,5,6]。

但是,在单站无源定位中,标准的UKF算法由于数值计算舍入误差、可观测性弱(初值误差较大)和观测噪声大等因素影响,可能引起误差协方差矩阵负定,而导致滤波器不稳定,甚至不能工作[3],收敛速度慢和收敛精度低[2]。针对这些问题,文献[7]提出了SRUKF算法,它采用误差协方差阵的平方根代替协方差阵参加递推运算,提高了滤波算法的运行效率和数值稳定性,较好地解决了上述滤波器不稳定的问题,从而提高了算法的稳定性、收敛速度和跟踪精度。

1 定位跟踪模型

本文以角度、相位差变化率undefined和多普勒频率变化率undefinedd的单站无源定位及跟踪方法为研究背景,具体的可观测性分析见文献[3]。在直角坐标系下,以图1中x-y二维坐标为例,观测器在位置(xO,yO)处以(undefinedO,undefinedO)作匀速直线运动,目标辐射源T在位置(xT,yT)以速度(undefinedT,undefinedT)作匀速直线运动,两者之间的径向距离为r,方位角为β。观测器和目标辐射源之间的k时刻相对运动状态变量undefined,则直角坐标系下系统的状态方程和观测方程可表示为:

式中:

undefined

为状态转移矩阵;T为测量周期;G=

undefined

;wk=[wxwy]T为状态噪声;undefined为观测噪声;E[wk]=E[vk]=0,E[wiwTj]=Qkδij,E[vivTj]=Rkδij。

当目标距离观测站很远时,可以认为加速度噪声可以忽略,由运动学原理可得观测变量表达式:

undefined

式中:K=2πd/λ,d为干涉仪间距,λ为信号波长;undefined为观测噪声且相互独立,其协方差阵Rk=diagundefined。

在单站无源定位中,传统的UKF算法由于数值计算舍入误差、可观测性弱(初值误差较大)和观测噪声大等因素的影响可能引起误差协方差矩阵负定而导致的滤波器不稳定甚至发散的问题。为解决以上问题,根据文献[7],本文引入一种基于平方根UKF(SRUKF)算法,通过采用误差协方差阵的平方根代替协方差阵进行递推运算,以提高滤波算法的运行效率和数值稳定性。理论分析和仿真结果表明,该算法比标准EKF和UKF算法具有更好的性能,稳定性明显提高,可有效缩短目标跟踪的收敛时间,提高定位跟踪精度。下面给出SRUKF算法的具体流程。

2 标准的SRUKF算法

(1) 初始化滤波器。利用先验信息或最初几次观测确定初始的状态矢量和协方差估计undefined0和P0:

(2) 采样点计算

式中:Xa=[xTwTvT];La=Lx+Lw+Lv,Lw为状态噪声维数,Lx和Lv分别为状态向量和观测向量的维数;尺度因子λ=α2(La+κ)-La,κ一般取0;α控制采样点的分散程度为一较小的正数,取值范围为10-4～1;β在高斯噪声条件下取2最优[6,7,8]。Chol表示Cholesky分解。

(3) 时间更新。对采样点进行非线性变换,对状态向量和观测向量进行时间更新。

(4) 测量更新。计算互协方差矩阵Pundefined,进而求出滤波增益ρk,完成量测更新,进而得出状态向量的滤波值及误差协方差阵的平方根。

在算法中:undefinedk和Pk为k时刻状态矢量和协方差的估计值;Sk为Pk的平方根;undefinedundefined,Pundefined和Sundefined分别为k时刻undefinedk,Pk和Sk带状态噪声和观测噪声的扩维矩阵;Sundefined和Sundefined分别表示k时刻状态向量和观测向量误差协方差矩阵的平方根。另外qr,chol和cholupdate分别表示QR分解、Cholesky分解和Cholesky一阶更新,为标准的Matlab指令。

3 仿真实验与结果分析

仿真场景:观测站固定位于原点,目标初始状态为[100 km 120 km -260 m/s 100 m/s],系统误差为wx=wy=1 m/s2。本文提出的算法(SRUKF)在不同的观测精度1:{2 mrad,0.1 rad/s,0.5 Hz},观测精度2:{5 mrad,0.3 rad/s,1 Hz},观测精度3:{0.01 rad,0.5 rad/s,2 Hz}条件下对比EKF、标准的UKF算法性能进行测试,采样周期T=1 s,目标辐射源频率fT=10 GHz,观测精度σundefined=1 MHz,在观测精度1,2中观测次数N=120,在观测精度3中N=200,性能指标用相对距离误差RRE来测度。

每一组做100次Monte Carlo实验,在定位跟踪结束时刻RRE<15%,则视本次试验收敛,否则视为发散。定位精度为跟踪结束时刻RRE的平均值,仿真结果如表1和图2所示(各图中已剔除不收敛的实验结果)。

由表1和图2可知,在高精度观测时,各算法的性能均能有较好的表现,但随着观测精度的逐渐降低,各算法的性能开始发生变化,收敛速度变慢,滤波发散次数开始增多,稳定性下降,相比之下UKF在收敛速度、收敛精度、稳定性上均优于EKF。但是随着观测误差的进一步加大,UKF算法由于存在数值计算舍入误差引起误差协方差矩阵负定的问题,稳定性开始大幅下降。SRUKF算法采用误差协方差矩阵的平方根代替协方差阵参加递推运算,提高滤波算法的运行效率,保证了数值稳定性。仿真结果表明,SRUKF算法的性能优于UKF算法。

4 结语

采用相位差变化率、多普勒变化率相结合的定位方法降低了采用单一多普勒频率变化率定位方法实用性的限制,使得对测量精度的要求降低。计算机仿真表明,平方根UKF算法提高了收敛速度、定位精度和稳定性,且计算量较标准的UKF算法没有显著增加。因此结合以上的定位方法和算法在单站无源定位与跟踪系统工程化有一定的参考价值,同时也较容易推广到其他无源定位领域中。

参考文献

[1]孙仲康,郭福成,冯道旺.单站无源定位跟踪技术[M].北京:国防工业出版社,2008.

[2]龚享铱.利用频率变化率和波达角变化率单站无源定位与跟踪的关键技术研究[D].长沙:国防科学技术大学,2004.

[3]占荣辉.基于空频域信息的单站被动目标跟踪算法研究[D].长沙:国防科学技术大学,2007.

[4]JULIER Simon,UHLMANN Jeffrey,DURRANT-WHYTE Hugh F.A new approach for filtering nonlinearsystems[C]//Proceeding of the American ControlConference.Washington:[s.n.],1995:1628-1632.

[5]JULIER Simon,UHLMANN Jeffrey,DURRANT-WHYTE Hugh F.A new method for the nonlinear trans-formation of means and covariance in filters and estimators[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2000,45(3):477-482.

[6]JULIER Simon,UHLMANN Jeffrey.Unscented filteringand nonlinear estimation[J].Proceedings of IEEE,2004,92(3):401-422.

[7]MERWE R V D,WAN E A.The square root unscentedKalman filter for state and parameter estimation[C]//Pro-ceedings of IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing.New York:IEEE,2001:3461-3464.

[8]隋红波,王鼎,吴瑛.基于运动学原理的单站无源定位改进算法[J].信息工程大学学报,2008,9(1):66-69.

[9]李丹,刘建业,熊智,等.基于最小偏度采样的卫星自主导航SRUKF算法[J].南京航空航天大学学报,2009,41(1):53-58.