基本数学思想

2024-11-15|版权声明|我要投稿

基本数学思想(精选12篇)

基本数学思想 篇1

数学的基本思想是指数学学科赖以发展的核心思想, 是能让学生终生受益的重要思想。史宁中教授确定出数学的三个基本思想, 即抽象思想、推理思想、建模思想。《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中, 是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”数学思想是“无形”的、“默会”的知识, 隐含在数学概念、性质、公式、法则等“有形”的知识背后。因此, 学生在学习数学知识时常常只注意到处于表层的数学知识, 忽略处于深层的数学思想。这就需要教师在具体知识的教学中, 通过精心设计学习情境与教学过程, 将隐藏在知识背后的数学思想挖掘出来, 使其显性化、明朗化, 帮助学生在数学学习中体验和领悟数学思想。下面就以《搭配中的学问》为例, 谈谈如何化“内隐”为“彰显”, 感悟数学基本思想。

一、深度研读文本, 挖掘数学基本思想

《搭配中的学问》是“数学广角”的内容, 它不仅以新授课的方式将数学知识传递给学生, 而且还将隐性的数学思想传递给学生。简单事物的组合数为最终目标。其教学目标应该确定为:1.学生通过观察、分析、实验、推理等活动, 找出简单事物的组合数, 理解计算组合数的算理。2.培养学生有顺序、全面地思考问题的意识。3.学生在数学活动中, 体验和感悟抽象思想、推理思想和模型思想。为了更有效地落实教学目标, 教师应该有意识地挖掘隐藏于数学知识背后的数学思想, 创设问题情境, 激发学生探索研究, 让学生在获得知识的同时, 感悟数学基本思想、积累活动经验。

二、精心设计活动, 感悟数学基本思想

小学生以具体形象思维为主, 教师应根据学生思维特点, 精心设计数学活动, 让学生经历知识产生、发展的全过程, 充分体验和感悟数学基本思想。

活动一:动手操作, 建立表象。

1. 摆一摆。出示例题“2件上衣, 3件下装, 一共有多少种不同的穿法?”。学生用学具摆一摆, 自己探索有多少种不同穿法。想想怎样把各种穿法记录下来。

2. 议一议。学生小组中交流连线的体会。

3. 说一说。你是怎样搭配的?怎样连线可以既明了又能保证不重复不遗漏?

4. 捋一捋。一共搭配出几种穿法?可以用什么算式表示?

汇报交流中, 教师发现有的学生用文字表示自己的想法;有的画出衣服的简笔画, 连上线来表示。就以这两种个性化符号表示方法为引子, 引导学生继而开发更新、更简洁的表示方法, 更好地做到有序, 不遗漏, 不重复。由此, 学生想到了用数字、字母、图形等来表示搭配方法。通过观察、实验、分析, 把现实的繁杂的生活问题抽象成数学问题, 学会了用几何直观图 (如下图所示) 清楚地表示搭配过程和方法。

经历具体实物外在形状的抽象, 建立起相应的表象。教师在这个过程中人有意识地向学生渗透了符号思想, 让学生体验到用符号表示的简洁性、直观性, 并发现可以用2×3计算出结果, 引导学生经历“现实情境———建立表象———结构图示———抽象结构”的过程, 体验并感悟抽象思想。

活动二:感悟关系, 理解内涵。

1. 全班学生边用手势和声音“唰”表示每搭配出一种新的方法, 边思考, 从上衣与下装搭配的角度看, 3件上衣能和3件下装搭配几种?4件上衣搭配几种?9件上衣呢?15件上衣呢?

2. 思考:从下装与上衣搭配的角度看, 4件下装能和2件上衣搭配几种?10件下装呢?35件下装呢?100件下装呢?

3. 你能用一个式子表示有几种不同的搭配方法吗?

这个活动, 让学生“从上衣与下装搭配的角度”和“从下装与上衣搭配的角度”两个不同思维角度, 动手、动口、动脑, 并提供多个典型的样本数据, 让学生推测出无论是“从上衣与下装搭配的角度看”, 还是“从下装与上衣搭配的角度看”都是求几个几相加, 经历了类比推理过程, 感知了类比推理方法。学生将搭配中的内在关系抽象表述为“上衣的件数×下装的件数”, 这是从外在形状抽象到内在关系抽象的飞跃。

活动三:提炼简化, 构建模型。

(先连线, 再回答问题)

1. 学校食堂星期四午餐的配菜规定:一份盒饭含一个荤菜和一个素菜。可以有多少种不同的配菜方法?

荤菜:肉丸子、鱼

素菜:白菜、冬瓜、油菜

2. 小华从家出发经过学校到公园有几种不同走法?

数学推理思想存在于数学内部的发展之中, 需要教师通过有针对性地提供足够的材料, 启发和引导学生从不同的现实情境中抽取出共同的、本质的属性。学生在解决问题中, 通过观察、分析“早餐搭配和行走路线问题中, 什么可以看成上衣?什么可以看成下装?这两个问题都可以什么样的图表示?”发现实际都是求2个3或3个2, 从而归纳推理出搭配中内在关系———乘法原理。这一活动有助于学生丰富推理活动经验, 感悟推理思想。

小学数学教学中, 通过一个典型问题的解决, 带动相关问题的解决, 由一个到一类, 渗透一种数学规律的思想, 就可以叫做模型思想。数学模型思想是构建数学与现实世界的联系桥梁, 需要重点关注。以上三个活动, 学生利用数学发现现实世界的问题、提出数学问题, 并加以分析和解决, 主动构建搭配问题中乘法原理的数学模型。

可见, 显性的是活动, 隐性的是通过活动让学生获得经验以及自己独有的体会, 感悟数学基本思想。

三、引导反思提升, 概括数学基本思想

引导学生回顾、反思学习的过程, 有利于加深对数学思想的体会, 使学生逐步完善对数学思想的领悟, 进而培养数学思维能力。如引导学生从:“这节课你学会了哪些知识?”“怎样得出搭配中的规律和计算方法?”“你觉得还有什么收获?”回顾反思学习过程, 进一步体验从具体问题抽象、提炼、构建出乘法原理的数学模型, 体会抽象、推理思想方法的妙用。

四、拓展解决问题, 运用数学基本思想

学生对每种数学思想的认识都是在反复体验和运用中形成的。数学问题的解决过程, 实质是数学思想反复运用的过程。只有经历问题解决的过程, 才能体会到数学思想的作用, 才能理解数学思想的精髓, 才能进行知识的有效迁移。在教学中应突出数学思想在解题中的指导作用, 展示数学思想的应用过程。教师可以出示如下问题让学生分析解答:

1. 妈妈有3双不同的袜子, 3双不同的鞋子, 可以有几种不同的穿法?

2. 用偏旁 “ 氵”“亻” 和部首“青”“每”“又”可以组成几个汉字?

3.学校要从小花、小丽、小英、小玲、强强、明明中挑选当“六一”文艺汇演的节目主持人。

(1) 如果从中任选1人当主持人, 有几种不同的选法?

(2) 如果从中选1个女生和1个男生当主持人, 有几种不同的选法?

(3) 如果从中选1个女生和1个男生当主持人, 要求男生一定是强强, 有几种不同的选法?

4. 从甲地到乙地有2条路, 从乙地到丙地有3条路, 从丙地到丁地有4条路, 从甲地经过乙地、丙地到丁地有多少条不同的路可走?

这些题目尽管情境不同, 但模型的本质相同, 都是把不同的两种量转变成“上衣”和“下装”, 然后用乘法原理的模型解答, 学生在解决问题的过程中用数学思想来分析、推理, 逐步形成组合问题的“数学形式”, 将复杂问题简单化, 积累了数学活动经验, 发展灵活运用数学知识解决问题的一般能力。

数学的知识可以记忆一时, 而数学的思想方法却可以永远发挥作用, 可以终生受益。这是数学教学的精髓, 是数学教育根本目的之所在。应该看到, 对学生数学思想的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的, 而是有一个过程。作为教师应该在教学中见缝插针, 多方渗透, 让学生在提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程中, 逐步“悟”出数学知识、技能中蕴涵的数学思想。

基本数学思想 篇2

根植于儿童学习的数学基本思想

作者:

来源:《江苏教育》2012年第23期

主持人语

课程改革已经进入了“再出发”阶段。任何改革又总在和着时代的脉搏跳动。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确提出了“新四基”的数学课程目标,让学生获得数学基本思想是着力凸显的亮点之一。那何为“数学基本思想”?它有哪些主要的特征?其具体表现形式是什么?为何要将之作为重要的数学课程目标?在日常教学中如何科学、务实、有效地达成这一课程目标……对这些问题作出回答,可以让我们更好地理解数学课程标准修订稿的精神,并让数学教学朝着理想的方向行进。

基本数学思想 篇3

关键词:数学教学 渗透 数学基本思想

中图分类号:G63 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)04(c)-0166-01

2011年版的《数学课程标准》中把传统双基修订为四基,即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。这充分说明了基本思想是数学课程的重要目标之一,是发展学生智力的关键所在,是培养学生数学创新意识的基础,也是一个人数学素养的重要组成部分。

渗透数学基本思想是数学教师中的主要任务之一。数学课程固然应教会学生需要的数学知识,但是绝不能仅仅以此为目标,更重要的是让学生在学习这些结论的过程中去学习数学基本思想,数学基本思想是数学学科发展的根本,是探索和研究數学的基础,也是数学课程教学的精髓。

课堂是学生学习的主战场。笔者认为,在课堂教学中有效地渗透数学基本思想是我们探索的关键。

1 经历参与学习的过程,渗透基本思想

数学概念既是数学思维的基础,又是数学思维的结果。所以概念数学不应简单地给出定义,而应当引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的基本思想。比如负数概念的教学,初一代数上册借助于温度计给出描述性定义,学生对负数概念往往难以透彻理解。若设计一个揭示概念与新问题间矛盾的实例,使学生感到“负数”产生的合理性和必要性,领悟其中的数学符号化思想的价值,则无疑有益于激发学生探究概念的兴趣,从而更深刻、全面地理解概念。笔者在演示温度计时提出这样一个问题:今年冬季某天北京白天的最高气温是零上11℃,夜晚的最低气温是零下6℃,问这一天的最高气温比最低气温高多少度。学生知道应该通过减法来求出问题的答案,但是在具体列算式时遇到了困惑:是“11~6”吗?不对!是“零上11~零下6”吗?似乎对,但又无法进行运算,于是,一个关于“负数”及其表示的思考由此而展开了。再通过现实生活中大量表示相反意义的量,抽象概括出相反意义的量可用数学符号“+、-”来表示,从而解决了实际生活和数学中的一系列运算问题,教学也达到了知识与思想协调发展的目的。

2 提高发现和解决问题的能力,揭示基本思想

数学课堂教学必须充分暴露思维过程,让学生参与教学实践活动,揭示其中隐含的基本思想,才能有效的发展学生的数学基本思想,提高其数学素养。下面以如何激发学生发现问题和解决问题方面发展简要说明。

2.1 要营造民主氛围,促使学生敢问

教师应该对学生多进行感情投资,多深入到学生中去和他们聊天,讲讲数学领域中各种各样的奇闻趣事,帮助学生解答生活中的一些疑难问题;还应营造宽松、自由和民主的教学氛围,建立平等、民主的师生关系,鼓励学生求新求异新,挖掘其可贵之处。这样,学生自然会喜欢老师,进而喜欢这门学科,问题意识就会得以激发。

2.2 创设问题情境,引导学生想问

比如,学习《有理数的乘方》一节时,笔者设置这样一个问题:有一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折一次,厚度是多少?对折2次,厚度是多少?3次呢?20次呢?通过对折,学生就会发现很多的问题,同时,发现他们手中的纸根本就折不了20次。这时,笔者再提出问题,猜猜如果这张纸足够大,那么折完20次后,和珠穆朗玛峰相比,谁高呢?学生的兴趣一下子提了起来,也就顺理成章地进入《有理数的乘方》一课的教学。

2.3 建构自主探索,培养学生会问、善问

教师要注意适时教给学生一些提问的技巧,提高其思维能力;还可以在教学中引导学生针对教科书的客体、重要原理等内容有意识地多问一些“是什么、为什么、怎样做”,促进其思维发展,提高学生发现问题和提出问题的能力。

3 学会分享与合作,激活基本思想

如何提升合作学习的有效性呢?首先可以分组合作,在数学课堂中建立合作学习小组要考虑到学生的学习成绩、学习能力、兴趣爱好等多方面因素,其目的是形成一种互补。建立好小组后,要对每一个成员做出具体明确的分工,要求每个小组成员在组内承担相应的角色。过一段时间,小组内各成员的角色应进行相互调换,以保证所有的组员机会均等,都能在不同的位置上得到一定的体验、锻炼和提高,以充分调动学生的学习积极性。

再者可以任务合作。开展合作学习的任务选择非常重要,即教师须提出合适的问题,然后在此基础上进行。不同的问题是从不同的维度上提出来的,不同维度的问题相互之间不能彼此取代,但能相互补充,以形成全方位考察对象的思维态势。有了这样的系列问题学生就能明确学习的目的;反之,没有问题也就没有讨论的内容,合作学习与交流就会流于形式。所以,必须选择具有一定的挑战性、开放性、探索性的问题才能开展好合作学习。选择具有挑战性的问题,有些问题对于个人而言较难独立完成,在合作中大家共同分析问题,相互交流,教师作适当的指导,使得问题变得越来越清晰,这样相对于个人独立解决问题变得容易而且深刻。选择开放型问题和解决途径多样化的问题,学生可以用不同的方法从不同的角度去解决,基础知识的不同思维方式的差异可得到不同的结论。合作学习形式使学生有机会提出自己的观点和方法,给他人提供展示自己、了解别人的机会,因此能相互促进、共同提高。交流的过程是学生间思维碰撞的过程,时常会有思维的火花闪现。这种火花可能是一种独具特色的解法,也可能是一个富有创意的想法,还可能是富有哲理的话。这样持之以恒,学生的数学思想就会产生质的飞跃。

4 培养科学的态度和科学的道德,概括基本思想

数学教材是采用蕴含披露的方式将基本思想融于数学知识体系中,因此,适时对基本思想做出归纳、概括是十分必要的。概括基本思想方法要纳入教学计划,应有目的、有步骤地引导学生参与基本思想的提炼过程,尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时,将统摄知识的基本思想方法概括出来,可以加深学生对数学思想方法的运用意识,也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解,有利于活化所学知识,形成独立发现、提出、分析、解决问题的能力。

概括基本思想一般可分两步进行:一是揭示基本思想的内容、规律,即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来;二是明确基本思想方法与知识的联系,即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去,从而实现个别性认识上升为一般性认识。

总之,初中数学教学要根植于课堂,着眼于提高,注重基本思想的渗透与培养,这将有助于提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,有助于提高学生的数学能力和水平,从而形成良好的思维品质。

参考文献

中学基本数学思想方法探析 篇4

初中数学中蕴含的数学思想方法很多, 常用到的主要有:

1. 符号与变元思想

使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求, 它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象、简明, 更易于揭示对象的本质.例如:公式 (a+b) (a-b) =a2-b2就是采用符号化语言来表述的, 当a, b为任意数、单项式、多项式等代数式时都成立, 这样的字母表示“变元”.初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合来表示某些一般规律和规则的, 这种用符号表达的过程, 反映了思维的概括性和简洁性.

2. 特殊化思想

有些数学题, 我们若能在给定的范围内合理、准确地选取符合题意的一些特殊值或画一些特殊的图形, 往往能化难为易, 得到巧妙解答, 其过程出人意料的简单, 常常收到事半功倍、出奇制胜的效果.

例已知0

分析用符合条件的“特殊值”代入四个代数式计算即可.不妨设a=0.5, b=-0.5, 代入计算便知应选B.

3. 整体思想

整体思想是将题中的某一部分看成一个整体, 从大处着眼, 从整体入手, 善于用“集成”的眼光, 把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 (组) 、几何解证等方面都有广泛的应用.在整体思想的指导下, 往往能找到简捷的解题方法, 提高解题的速度和解题的准确度, 培养学生的大局观和整体思考能力.

例方程组x+x2-2y4y2==13 (2) (1) 的解是________.

分析因为 (1) 左边分解后含有 (2) 左边的这个整式, 把x+2y整体代入可巧解.

4. 分类讨论的思想

所谓“分类讨论”, 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 依据数学对象本质属性的异同将其划分为不同类型, 对每一类型情况逐一讨论.分类讨论应用于应用题、绝对值、方程、函数、三角形、圆等各个方面, 对培养学生思维的严谨性、深刻性和广阔性起着十分重要的作用.中学数学分代数、几何两大类, 采用不同方法进行研究, 就是分类思想的体现.从具体内容上看, 初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类、函数的分类, 等等, 也是分类思想的具体体现.对学习内容进行分类, 降低了学习难度, 增强了学习的针对性.分类思想在初中数学中占有重要的地位, 分类思想对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生全面、周密地分析问题和解决问题能力都起到十分关键的作用.引起分类讨论的因素较多, 归纳起来主要有以下几个方面:

(1) 由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;

(2) 由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;

(3) 由于图形的不确定性引起的讨论;

(4) 由于题目含有字母而引起的讨论.

5. 化归思想

“化归”就是转化和归结, 它是数学解决问题的基本方法.化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题, 而不是用孤立、静止的眼光去看待问题, 它是通过观察、联想、类比等手段, 把问题进行变换、转化, 直到化为已经解决或容易解决的问题.中学数学教材中几乎处处隐含着化归思想, 如把有理数的减法运算转化为加法运算;把异分母转化为同分母;将多元方程转化为一元方程;把复杂图形转化为基本图形;把多边形转化为三角形或特殊四边形, 等等.化归是解决问题的一种最基本的思想, 因此, 在教学中首先要让学生认识到.

6. 数形结合的思想

“数形结合”既是一个重要的数学思想, 也是一种常用的解题策略.一方面, 许多数量关系的抽象概念和解析式, 若赋予几何意义, 往往变得非常直观形象;另一方面, 一些图形的属性又可通过数量关系的研究, 使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻.这种“数”与“形”的相互转换、相互渗透, 不仅可以使一些题目的解决简捷明快, 同时还可大大开拓我们的解题思路.可以这样说, “数形结合”不仅是探求思路的“慧眼”, 而且是深化思维的有力“杠杆”.

“数”和“形”是数学的两大支柱, 数形结合思想方法就是通过“数”与“形” (用数解形, 以形助数) 处理数学问题.如用数轴的点表示数;用数轴上线段的长度表示数的绝对值;用图形表示有理数的四则运算;依靠图形来分析应用题中已知数与未知数的关系;利用方程、函数来解决平面几何中的计算问题, 等等.由“形”到“数”的转化, 往往比较明显, 而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识.因此, 数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.我国著名数学家华罗庚对数形结合思想有这样精辟的论述:“数以形而直观, 形以数而入微.”

例已知一次函数y=kx+b的图像经过 (-1, m) , (m, 1) 两点, 且m>1.则k, b应满足的条件是 () .

A.k>0且b>0 B.k<0且b>0

C.k>0且b<0 D.k<0且b<0

分析本题的一般思路是解关于k, b的方程组, 再由m>1, 判断k, b的取值范围, 这样做运算繁难, 费时费力如果我们设定符合条件的m值作出直线y=kx+b的图像, 再由直线的位置判断k, b的取值范围, 这样解题简捷明了, 得到答案为B.

7. 类比思想

把两个 (或两类) 不同的数学对象进行比较, 如果发现它们在某些方面有相同或类似之处, 那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处.如分式与分数的运算、相似三角形与全等三角形的判定与性质、相似多边形与相似三角形的性质等.

当然, 初中数学学习的思想方法还有很多, 像观察与实验、分析与综合、归纳与类比、函数与方程、等价转化、隐含条件、概率统计等数学思想以及集合论的思想方法、几何变换的思想方法, 等等.数学知识和数学思想方法是数学的核心, 而数学思想方法又是数学的生命和灵魂, 是数学知识的精髓, 是数学素养的重要内容之一, 是把知识转化为能力的桥梁.学生只有领会了数学思想方法, 才能有效地应用知识, 形成能力.

初中数学课堂教学中渗透数学思想方法的时机很多, 我认为可以从以下几个方面做起:

(1) 在问题的情境创设中渗透数学思想方法;

(2) 在数学概念、法则的教学中渗透数学思想方法;

(3) 在定理和公式的探究中挖掘数学思想方法;

(4) 在思维活动过程中揭示数学思想方法;

(5) 在数学问题的解决过程中渗透数学思想方法.

总之, 数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一, 重视数学思想方法的渗透, 能有效实现学生在基本知识、基本技能和基本思想方法、基本体验过程等“四基”上的同步发展.教师在整个教学过程中, 不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用, 而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲, 通过独立思考不断追求新知, 发现、提出、分析并创造性地解决问题.从某种意义上讲, 数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要, 因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益, 更使其终生受益.

参考文献

[1]睢文龙, 廖时人, 朱新春主编.教育学.北京:人民教育出版社, 1994.

[2]韩永昌主编.心理学.上海:华东师范大学出版社, 1992.

基本数学思想 篇5

教学目标:通过典型案例,掌握回归分析的基本步骤。

教学重点:熟练掌握回归分析的步骤。

教学难点:求回归系数 a, b

教学方法:讲练。

教学过程:

一、复习引入:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

二、新课:

1、回归分析的基本步骤:(1)画出两个变量的散点图。(2)求回归直线方程。

(3)用回归直线方程进行预报。

2、举例:例

1、题(略)用小黑板给出。

解:(1)作散点图,由于问题是根据身高预报体重,因此要求身高与体重的回归直线方程,取身高为自变量x。体重为因变量 y,作散点图(如图)

(2)列表求 ,ˆ0.849 b

ˆ85.712a

回归直线方程y=0.849x-85.712

对于身高172cm 女大学生,由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg)预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。316kg

问题:身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。316kg吗?(留下一节课学习)

例2:(提示后做练习、作业)

研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系,测得一组数据如下:

水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 ym/s

(1)求y对x的回归直线方程;

(2)预测水深为1。95m 时水的流速是多少?

解:(略)

三、小结

四、作业: 例

2、预习。

基本数学思想 篇6

【关键词】 基本思想 初中数学 必要性 教学策略

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711(2015)09-025-010

数学基本思想主要由三种思想组成,分别是数学概念思想、数学逻辑思想以及数学归纳思想,这三种思想在初中数学教学中都有着非常重要的作用,所以初中数学教师应该充分地认识到数学基本思想的重要性,并且将其渗透在课堂教学实践中。

一、在初中数学课堂教学中渗透数学基本思想的必要性

1.提高学生对于数学的思考和应用能力

因为数学基本思想不仅可以提高学生对于概念的理解和记忆能力,还能提高学生逻辑思考能力,所以加强数学基本思想在初中数学课堂教学实践中的渗透将能有效地提高学生对于数学知识的思考和应用能力。通过渗透概念思想,可以提高学生对于数学知识的理解能力;通过渗透逻辑推理思想,可以提高学生对于数学的思考和推理能力;通过归纳思想,可以提高学生对于数学知识的整理和总结,提高学生对于数学的应用。因此,数学基本思想在初中数学教学中有着非常重要的地位,数学教师应该认识到其重要性,并且加强这些思想在教学中的应用和渗透。

2.是初中数学教学的重要组成部分

随着新课程改革的发展,在初中数学教学要求中,所提出的教学要求也是越来越高,所以在新的课程要求下,数学思想也是初中数学教学中重要的组成部分。因此,在初中数学课堂上,教师应该将数学基本思想罗列入教学内容中,并且做好相应的教学计划。

二、在初中数学课堂教学中渗透数学基本思想的教学策略

1.加强数学基本思想在概念教学中的渗透

在进行基本的数学概念教学时,教师就要将数学概念思想融入到教学当中,从而提高学生对于各种数学概念的认识和理解。例如,通过渗透概念思想在初中数学教学中的渗透,就能提高学生对于各种数学知识的分类和对比。如在进行相交线教学时,通过已对学生进行线线垂直的教学,那么教师就可以从垂直的概念中延伸出平行的数学概念,为了更好地提高学生对于垂直和平行概念的认识和理解,教师就可以让学生自己尝试从垂直的定义中总结出平行的概念。要从垂直定义中总结出平行的定义并不是一件难事,首先学生要学会找出垂直与平行之间的相同与不同。首先,两个定义的相同点都是描述线与线之间的关系;其次,两个定义所描述的是不同的两种关系,通过教师对于平行的讲解中,学生就可以从垂直的定义对平行进行概念的阐述,如:垂直的概念是当两条相交线所形成的相交角度是九十度时,那么这两条线就相互垂直;那么平行的概念就可以由此推出:平行的概念是,当两条直线不能进行相交时,这两条直线就相互平行。

2.加强数学基本思想在公式法则教学中的渗透

在公式法则教学中渗透数学基本思想也是非常重要的,因为通过渗透数学基本思想,可以提高学生对于公式法则的进一步的深刻认识,提高学生对于数学知识的深度探究,有效地提高学生的数学素质,如在进行不等式教学时,教师可以尝试让学生在不同的计算中进行总结法则,那么在总结过程中学生就有效地应用了归纳的数学思想。如:教师可以列举一下几个题目来让学生完成:

9>5,那么9+175+17;13>11,那么13-511-5;14<23,那么14+3423+34

通过计算可以得出,9+17>5+17;13-5>11-5;14+34<23+34。也就是说,不等式两边加上或者减去相同的数,不等式的符号是不变的,所以通过对比,学生就能迅速地总结出该法则,从而学生对于数学的知识的总结和应用能力。如,当出现a

3.加强数学基本思想在练习中的渗透

在进行数学练习中,初中数学教师也应加强数学基本思想在教学中的渗透,如教师可以让学生地做不同类型的题目,如在进行全等三角形判断时,教师就可以让学生练习各种不同类型、不同条件的题目,从而让学生更好地总结不同条件时,应该应用哪个判定法则能够迅速地进行全等三角形的证明。通过加强数学基本思想在初中数学练习中的应用,就能有效地提高学生的数学总结能力,从而更好地提高学生的应用能力。

4.加强数学基本思想在总结复习中的渗透

在数学复习和总结阶段中,数学基本思想也是非常重要的,如果能够有效地提高学生对于数学基本思想的掌握,将能有效地提高学生对于所学数学知识的总结和归纳。如在进行分式运算时,学生就可以通过归纳思想来将分式乘除、加减的概念和法则进行总结,从而让自己的数学思维更加地清晰,确保在计算过程中的准确性。还有在进行等腰三角形和等边三角形判定时,学生也可以通过归纳的思想分别将证明等腰三角形和等边三角形的判定法则进行总结,在总结的过程中也应将等腰三角形与等边三角形的判定法则进行对比,从而归类出等腰三角形与等边三角形之间的关系,如所有的等边三角形也是等腰三角形等等。所以,在数学总结复习阶段,教师也要加强数学基本思想在教学中的应用,这样才能更好地提高学生的数学素质,提高学生对于数学知识的认识和理解。

总而言之,数学基本思想不仅能够有效地提高教学效率,提高学生对于所学数学知识的理解和记忆,数学基本思想也是初中数学重要的组成部分,所以初中数学教师应该加强数学基本思想在课堂教学实践中的应用和渗透。

[ 参 考 文 献 ]

[1]周娟. 初中数学中渗透数学思想的教学策略研究[J]. 黑龙江教育(理论与实践),2015,10:95-96.

基本数学思想 篇7

数学思想是数学文化的核心.“一般说来,称解某数学问题的原则为数学思想,而具体途径为数学方法. ”张奠宙认为: “同一个数学思想,当用它去解决别的问题时,就称之为方法,当评价它在数学体系中的自身价值和意义时,就称之为思想. ”本文通过本科数学内容,揭示所隐含的基本数学思想及其应用.

一、抽象思想

什么是数学抽象? 史宁中指出: “数学抽象包括: 数量与数量关系的抽象,图形与图形关系的抽象. 通过抽象得到数学的基本概念,研究对象的定义,刻画对象之间关系的术语和运算方法. 这是从感性具体上升到理性具体的思维过程,这是第一次抽象. 在此基础上可以凭借想象和类比进行第二次抽象,其特点是符号化,得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法. ”其在数学分析和高等代数中大量运用. 数学抽象思想,有第一次抽象,也有第二次抽象.

众所周知,运用“推理思想”可知21/2,31/2,π 和e等不是有理数. 这样一来,如果说直线上布满全体有理数,当用灯光一照时,就会发现间隙,每个尚未布上有理数的点代表一个无理数,如何定义它使其与以前的定义相容? 其“思想” 为: 将这一点左边的有理数全体记为集合M,而将该点右方有理数全体记为集合N,以分割( M,N) 定义该点的数,易知,当该点为有理数时,这种定义与以前的有理数定义相容. 这种思想的实现就有了实数( 有理数和无理数的总称) 的戴德金分割定义.

数学分析中极限定义所遵循的“极限思想”是“抽象思

想”和“逼近思想”的子思想,但这是第二次抽象. 设变量为an( n = 1,2,…) ,固定量a,如果当n“无限”增大时,an到a的距离“想怎么小,就怎么小”时,称当n趋于无穷时, an以a为极限. 将这种“极限思想”用“数学符号”表示出来,就是“ε - N语言”的定义. 初学微积分,理解这种定义很困难,其要点是“极限思想”的领悟.

二、化归思想

化归即转化和归结的意思,通常指把某些未知或较复杂的问题,转化为已知的或较简单的问题,这就是化归思想. 如果将未知的现实问题,化为已知的数学问题,然后,对该数学问题进行分析,得到解析解或数值解,最后以数学解去解释原现实问题的解,这就是“模型思想”. 由此可见“化归思想”应是比“模型思想”更基本的数学思想.

三、推理思想

“推理”是基本数学思想,含“演绎推理”和“归纳推理”. 基本的数学思想下往往包含着子数学思想. 因为这种思想应用面相对较广,如果称之为方法会让人感觉片面,况且在整体的数学思想中还存在着其他与之并列或等价的数学思想. 例如同构思想和模型思想就可称之为化归思想的子思想. 而“演绎推理”又是“推理思想”的子思想.

下面我们来说一下推理思想. 当然,进行“逻辑推理” 时,一般需几种“数学思想”并用. 下面举一个日常例子.

结束语

数学分析和高等代数里所蕴含的数学思想和方法在人类的数学史上起着重要作用. 许多思想和方法被当作工具应用于物理、化学等其他学科,对人类科技的进步起着奠基的作用. 古人云: “授人以鱼,不如授之以渔. ”这句话道出了思想和方法的重要性. 数学思想是对数学知识、数学方法的本质认识. 数学思想源于数学方法但高于数学方法,思想凌驾在方法之上,如果没有思想就不会有相应的方法去解决问题. 如果把方法比作躯体,那思想就是灵魂和意识.

摘要:本文通过数学本科基础课的数学内容,谈三种“数学基本思想”:抽象、推理、化归(模型)思想的认识,并指出其具体应用.

基本数学思想 篇8

一、数形结合思想

数与形是数学研究的两类基本对象, 两者结合的数形结合思想, 可使某些抽象的问题直观化、简单化, 能够变抽象思维为形象思维。三角部分, 利用三角函数线、函数图象求函数的定义域、值域、最值、函数的单调区间、解不等式等, 都体现了数形结合思想。例如:关于x的方程sinx+cosx+a=0在区间[0, 2π]上有且只有两个不同的实根。

(1) 求实数a的范围; (2) 求这两个实根的和。

二、分类讨论思想

分类讨论的思想方法在数学中较为普遍, 它主要是依据对象的不同属性, 将数学对象分为不同情形并对其进行研究的一种思想方法。正确地分类, 可以使大量繁杂的知识条理清晰。三角中主要体现在给值求值、给角求值、给值求角以及含参数的三角函数的最值问题等。

例如:已知tanα=2, 求4sin2α-3sinαcosα-5cos2α的值。

解:tanα=2, 易知α为第一或第三象限角。

三、方程与函数思想

方程与函数思想是在解决问题的过程中, 把已知量与未知量之间的关系抽象成函数关系或者通过建立方程或方程组, 求出变量的值, 达到解决问题目的一种思想方法, 体现在求值、证明等方面。

例如:在△ABC中, 内角A、B、C的对边分别是a、b、c, 已知

(1) 若△ABC的面积等于, 求a、b的值;

(2) 若sin C+sin (B-A) =2sin2A, 求△ABC的面积。

(2) 由题意得sin (B+A) +sin (B-A) =4sin Acos A,

四、整体思想

将研究对象的一部分或全部看成一个整体, 找出内在的有机联系, 往往能起到化繁为简、化难为易的效果。常用于化简求值、研究函数性质等。

五、化归思想

研究问题时, 将一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思维方法称为化归转换的思想。化归思想在三角函数中应用非常普遍, 主要体现在:化多角的形式为单角;化多种函数名称为一种函数;化未知角为已知角;化高次为低次;化特殊为一般。

例:已知tanα=2, 求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值。

摘要:三角函数是高中数学的重要内容之一, 本文浅谈了几种基本数学思想在高中三角函数部分的体现。

基本数学思想 篇9

我们所学的基本不等式形式多种多样, 证明方法也灵活多变, 它的知识本质我概括为:“正”“定”“等”“同”四个字。“正”:基本不等式成立要求各项都为正值;“定”:要求“和”或者“积”为定值, 当然也注意在考试时要证明两个含未知数式的大小关系时, 不要求定, 定只是用于求取值范围, 求最值;“等”:要探究等号条件是否成立;“同”:在多次取等号是, 是否每次取等都满足, 还有分为几部分取等时要求同时满足, 这个教师很少提及但是该注意它。

很多教师将基本不等式的数学思想分为很多类, 正用:由“积式”向“和式”的转化;逆用:由“和式”向“积式”的转化;叠用:连续多次使用基本不等式等等。而我觉得这样的分类只是根据形式而言, 根本没有考虑数学本质和思想问题, 以上分类我都归纳为一种配凑法, 需要什么配什么。这就是基本不等式的数学思想。

接下来我来举些例子来让大家看到数学本质和数学思想的妙用, 让大家知道为什么要这么做。

解法二:求解如下:

对比解法一和解法二, 你觉得解法一能够想到吗?而解法二正是很自然的方法, 这就是本质。这道高考题中规中矩, 很多学生都会, 但是面对我的这个变试题很多人无从下手, 其实也很简单, 这就说明学生没有领悟到数学的本质和思想。

记住我们的本质是数学知识“一正、二定、三相等”, 而思想就是配凑法, 需要什么造什么。看原高考题直接有了, 无需配凑学生都会, 而对于变式就是需要什么构造什么, 利用加一个减一个, 运用简简单单的思想就能解决所有的问题。

证毕

我们可以看到这完全是我们高中一般的学生能够做的题, 主要需要的是基本不等式的本质和配凑思想。

通过上面两个奥赛题的分析, 我们最终发现了再难的题考得也是最本质的思想。

数学思想培养是数学学科教学的根本任务, 高中数学教师应该结合学生的思维能力发展规律, 使学生学有所思、学有所悟、学有所得, 同时教师也该通过自我领悟, 自我反思, 自我总结来培养自己的数学思维能力水平。希望每个教师能领悟数学思想, 领悟数学本质, 传授给每个学生数学思想和本质!

摘要:高中基本不等式这节内容应用很广, 技巧方法也很多, 如果缺少数学思想方法和数学本质的学习, 就会让学生学习起来困难。从数学思想和数学本质的角度来分析基本不等式, 将杂乱的技巧方法统一起来, 让学生在探究中明白为什么要这么做, 这么做的思想是什么, 甚至能让学生感觉到其本质, 最后再举出例子让学生看到其思想是“配凑法”, 其本质是“一正、二定、三相等”, 这样才能让学生真正地学会运用基本不等式来解决问题。

关键词:基本不等式,数学思想,配凑法

参考文献

[1]史宁中.数学思想概论.东北师范大学出版社, 2008.

基本数学思想 篇10

一、初中生需感悟的数学基本思想

原东北师范大学校长史宁中指出: “数学基本思想主要指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想. ”由数学基本思想派生出来的基本思想很多,但初中阶段学生最需了解转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等四种数学基本思想.

二、教师如何在教学中渗透数学基本思想

2011版《数学课程标准》指出: “数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括. 学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想. ”所以,教学中渗透数学基本思想,这并非一招一日之功,需要在“过程”上着手.

( 一) 在概念中渗透数学基本思想

在教学中,教师应挖掘概念中的数学思想,在过程中渗透数学思想,在总结中提炼数学思想. 如: 相反数和绝对值的概念的教学,教师应先挖掘出概念中的数形结合思想,通过学生画数轴,感受点表示的数的位置特征,这便具有了几何意义,其后,提炼互为相反数的两个数在数轴上实质是它们到原点的距离相等,方向相反. 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离. 对于学生“求绝对值等于5的数有几个?”这样问题的答案就很清楚很具体,便于学生理解和掌握. 又如,乘方的概念是把未知的乘方转化与化归为已知的乘法问题来解决,概念中蕴含了转化与化归的思想,概念通过上述方法的学习,肯定能收到事半功倍的效果.

( 二) 在公式、法则、性质中渗透数学基本思想

新课程“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开,也就是说,公式、法则、性质等的教学应让学生去阅读、观察比较、发现规律、得出结论,要揭示数学的形成过程和数学基本思想. 如: 不等式的性质中蕴含分类讨论思想,我以不等式性质的教学为例,做如下设计:

观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式具有什么性质吗?

思考: 如果加上( 或减去) 的是同一个整式,上述结论还成立吗?

问题2: 将不等式5 > 2的两边都乘以( 或除以) 同一个数,比较所得结果的大小,用“>”“< ”或“= ”号填空:

观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式还具有什么性质吗?

学生在整个性质的探索过程中,进行分类、归纳,感悟了数学中的分类讨论思想. 如果在公式、法则、性质的推导过程中,老师的问题分类引导准确,学生自然会参与其中,那么学生观察、探索和逐步感悟数学思想的能力一定会提高.

( 三) 在例题、习题中渗透数学基本思想

例题、习题的教学是学生假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程,为了让学生积极参与“过程”,感悟数学思想,设计例题、习题采用“鹰架”理论,搭建脚手架,分步完成. 举几个例子说明:

例1: ( 1) 一个等腰三角形中,顶角为50°,求另外两个角是多少度?

( 2) 一个等腰三角形中,一个角为50°,求另外两个角是多少度?

( 3) 一个等腰三角形中,一个角为100°,求另外两个角是多少度?

例2: ( 1) 一个等腰三角形中,底边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?

( 2) 一个等腰三角形中,一边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?

( 3) 一个等腰三角形中,一边长为2,一边长为4,求等腰三角形的周长?

题目由“顶角”变式成“一个角”,“底边”变式成“一边”,设计有梯度的问题,学生自然会把已知角按顶角或底角分类,已知边按底边或腰分类. 所以设计针对性的分步问题,对于学生感悟数学思想至关重要.

( 四) 在小结和复习中提炼概括数学基本思想

由于同一内容可表现为不同的数学思想,而同一数学思想又常常分布在许多不同的知识点里,因此,在单元小结或复习时,对数学思想应做系统的提炼概括. 例如: 在学完二元一次方程组、三元一次方程组、分式方程、一元二次方程后,老师可提炼概括这些方程组和方程都可以运用转化与化归思想,把它们等价或非等价转化成一元一次方程求解.

基本数学思想 篇11

关键词:西师版小学数学;数学教学;数学思想初探

中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2016)12-370-01

西施版小学数学课程标准在总体目标中明确提出:“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这一总体目标贯穿于小学和初中,这充分说明了数学思想方法的重要性。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些,而数学方法的实践性更强一些。数学思想方法是数学的灵魂,那么,要想学好数学、用好数学,就要深入到数学的“灵魂深处”。 我们在小学数学教学中应注重一般性数学方法的教学渗透,为学生有效地获得数学知识、建构数学认知、形成数学思想奠定基础。一般性数学方法的常见类型有归纳推理、数学化归、数学模型、数形结合等。

一、归纳推理———数学发现的基本思想方法

归纳推理是根据已有事实和正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在解决问题的过程中,归纳推理为猜测、探索提供思路。或是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,其中部分对象所具有的某些特征的发现是关键的,教学中应该注重如何去发现特征

二、数学化归——数学难易转化的思想方法

所谓“化归”,就是转化和归结。在解决数学问题时,人们常常将待解决的问题甲,通过某种转化过程, 归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙,然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答,这就是 化归方法的基本思想。化归方法的要素:化归对象,即对什么东西进行化归;化归目标,即化归到何处去;化归途径,即如何进行化归。下面举例说明如何在教学中应用这一思想的几种方法。

1、通过特殊值法实现化归。“特殊值法”,就是求解一个较一般数学问题遇到困难时,先考虑这个问题的一种特殊情况,找出一种简单情形进行解决,利用特例的结论再来求解一般问题。

例如:求解甲比乙多1/7,乙比甲少几分之几?

一般解:根据条件乙为1,甲为1+1/7;先求乙是甲的几分之几?1÷(1+1/7)=7/8;再求乙比甲少几分之几,即1-7/8=1/8。条件和问题中单位“1”发生变化,相应甲乙所对应的数值也随之变化,学生解答时往往会产生混淆,容易出现计算错误。

化归解:根据条件,先假设甲为8,乙为7;再求乙比甲少几分之几?(8-7)÷8。用特殊值法解,在始终把握基本数量关系的前提下,使得复杂的数据换算得以简单化。

2、通过语义转换实现化归。一个数学符号式子的最初意义或常用意义容易被固化,而在问题解决中,式子意义解释的寻求和提取因环境而异,不同的问题环境会激活不同的意义解释,不同的意义理解造成问题解决的不同思路和不同难度。

三、数学模型———数学应用的基本思想方法

数学模型方法就是对所研究的问题构造出相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决原型问题的方法。从广义的观点看,数学概念、性质、法则、公式都是数学模型。从狭义的观点看,解决小学数学中的具体的数学问题,特别是解答应用题都需要构建数学模型来解决。

1、数学概念(方法)的建立。数学概念建立或数学方法归纳的过程实质就是建立数学数学模型的过程。学生通过操作、比较、归纳、分析和综合,在对对象的各个属性形成较为清晰的表象后,教师引导学生将这些对象属性进行剖析,将对象的本质属性抽象出来,并将这种本质属性概括到同类事物当中去,于是就形成关于对象的数学属性的基本模型。

在教学过程中,教师要先让学生独立思考,提出个性化的解决问题的策略,从多个角度,多种途径进行解释,理解在正方形四周植树的计算方法。然后教师引导学生比较求同,在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法,进而体会到解决问题的一般数学模型:“每条边上树的棵数×边数- 顶点的个数。”在这种思想方法的指引下,学生掌握了多边形各边植树的计算方法。

2、运用数学问题的解决。解决数学问题的关键步骤就是通过分析数量关系,把题中的实际问题抽象成一个数学的关系结构,从而构成数学模型,依据该数学模型固有的解决问题的策略进行运算。

四、数形结合———数学理解的基本思想方法

数形结合是指将数(或量)与形(或图)结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,即根据问题的需要,把数量关系的问题转化为图形的性质和特征来研究,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究,从而利用数形的辩证法和各自的优势,得到解决问题的方法。

1、以形直观的表达数。其实质就是抽象对象或关系的“可视化”,将抽象的东西“原型化”,有利于利用形象思维和直观思维。

借助“形”的直观建立数学概念。由于概念的抽象与概括性,教学时要向学生提供大量感性材料,而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数,在等分图形中认识分数、小数;利用交集图理解公因数与公倍数,等等。借助“形”的操作形成数学规则。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义,不仅仅在于理解算理,更重要的在于学会学习,实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度,让学生有信心和能力归纳出法则。

2、以数精确地研究形。“形”具有形象直观的优势,但也有其粗略和不便于表达的问题,需要以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达,才能使学生更准确地把握“形”的特征。

借助数学语言的描述认识图形的特征。如,在二年级上册,学习乘法与除法的意义时,通过数与物(形)的对应结合,帮助学生理解掌握乘法与除法的意义,并抽象地运用于整个数学学习中。在三年级上册分数的初步认识中,通过具体的形的操作于实践,让学生充分理解“平均分” ,几分之一,几分之几 等数学概念,掌握运用分数的大小的比较,分数的意义,分数的加减等,使数形紧密地结合在一起,把抽象的数学概念直观地呈现在学生的面前,帮助学生理解分数的知识。

基本数学思想 篇12

一、“导学思考”设计的误区及反思

在实施“先学后教、反馈矫正”课题的过程中,我们发现要落实“以学定教”的理念,导学案的编写至关重要。在整个课改实验中,导学案起着“抓手”的作用,学情的获得、讨论的聚焦、落实的依托,都有赖于导学案的质量。而“导学思考”的设计,则是导学案编写质量好坏的关键。

目前我区所用的导学案,是集中骨干教师精心编写的成果。主要优点有 :1环节完备 ;2容易上手 ;3不易偏差。这些优点,为《先学后教,反馈矫正》课题实验的顺利推进,起到了重要的作用。不足之处主要是“重技能轻思维、重结果轻过程”。由于参与编写的教师开始接触课改,对课标的理念把握不够到位,加上时间仓促且缺乏实践反馈,这份导学案相当多的“导学思考”缺乏有效的设计,甚至停留在内容搬家的低层次上,有些问题甚至简单地等同于习题。缺乏知识的发生、发展的过程。教师和学生,课堂聚焦的焦点,往往不自觉地集中在“解题的技能”上。由于没有经验,编写者缺乏对教材深刻的解构,学生在使用导学案时,就难以形成属于自己的建构。有些问题虽有设计,但缺乏梯度上和指向上的考虑,没有考虑到一个教学班级学生学习基础和思维层次上的诸多差异。这些不足直接影响到获得学情的准确性和全面性,致使教学主动性出现迷失。一方面,有些教师容易囿于导学案的框架,认为只要完成导学案预设的任务就符合要求了,忽视对教学中生成性问题的主动思考和探索,导致教师主导性的被动化。另一方面,由于设计方面的缺失和分层方面考虑的不足,学生学习的主动性也逐渐受到消极的影响。学有余力的同学感受不到相应的挑战,思维上也得不到有效的发掘,而基础较差的同学又往往缺少足够的成功体验以及成功体验之后的拾级而上。

由此,要依托导学案进一步推动新一轮课改,在“导学思考”的设计上,编写者就应站在更高的角度去思考问题。不仅要考虑知识与技能的落实,还要考虑其发生与发展的过程,也要注重数学思想的渗透。同时,在问题的设计上,还要充分体现层次,让不同层次的学生都能够主动预习,反馈给教师各层次的学情,以便更好地聚焦目标。

二、改进的策略

要想从根本上改进目前导学案设计中存在的“重技能轻思维、重结果轻过程”的弊端,编写者必须对课标的变化有深刻的领会。2011版新课程标准在实验稿基础上,将双基拓展为四基,即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这种变化体现了对于数学课程价值的全面认识,学生通过数学学习不仅获得必需的知识和技能,还要在学习过程中积累经验、获得数学发展和处理问题的思想。创新精神的培养需要三个基本要素 :创新意识、创新能力和创新机遇。其中,创新意识和创新能力的形成,不仅需要必要的知识和技能的积累,更需要思想方法、活动经验的积累。以数学的基本思想为主线,进行“导学思考”的设计,可以从数学课堂的源与流入手,通过设计“好的活动”与“好的问题”,既兼顾基础知识、基本技能,又从学生的可持续发展的需求出发,落实基本思想和积累基本活动经验,从而克服这种弊端。

究竟什么是初中数学的基本思想呢? 常见的一种观点认为,初中数学思想主要是 :分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想 ;也有人认为,初中数学思想主要指 :函数思想、换元思想 (代换思想)、数形结合思想、等效思想、优化思想 ;还有人认为,初中数学思想包括等量替换、数形结合、分类、递归、转化、换元、配方等。笔者采用史宁中先生的观点,他认为初中数学具备三个基本思想 :数学抽象思想、数学推理推理、数学模型思想。人们通过抽象,从客观世界中得到数学的概念和法则,建立了数学学科 ;通过推理,进一步得到更多的结论,促进数学内部的发展 ;通过建模,把数学应用到客观世界中,沟通了数学与外部世界的桥梁。

下面笔者结合实际案例,重点谈谈如何以数学抽象思想、数学推理思想、数学模型思想为主线,进行初中数学导学案的“导学思考”设计。

(一)以抽象思想为主线

所谓的数学抽象思想,就是把与数学有关的知识引向数学的内部。数学抽象有两类 :数量与数量关系的抽象、图形与图形关系的抽象。数学抽象分为两个层次 :直观描述与符号表达。与此相关的课标中的关键词是数感、符号意识、空间观念、几何直观。

1. 数感与符号意识 (案例 :二次函数数学活动) 。在数量与数量关系的抽象中,侧重关注数感与符号意识的培养。数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。符号意识主要指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律 ;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。数感与符号意识的培养,主要还是要让学生通过精心设计的数学活动去积累经验,在积累经验的基础上,逐渐上升到感悟的层次。

例1 :《二次函数的数学活动部分》

导学思考 :

问题1. (1)观察下列两位数的和与积,看看有什么规律 :

11×19, 12×18, 13×17, 14×16, 15×15,16×14,...19×11。

(2)观察下列两位数的和与积,看看有什么规律 :

21×29, 22×28, 23×27, 24×26, 25×25,26×24,...29×21。

(3)你能再写一组这样的两位数的乘积吗?并用二次函数的知识解释你所写的式子也符合上面的规律。

(4)按照这个规律,补全下列乘积式

101×199,102×198,103×____,104×____,___×___,... ___×101。

其中,乘积最大的式子是____________;

701×799,702×798,703×____,704×____,___×___,... ____×701。

其中,乘积最大的式子是____________;

101×299,102×298,103×____,104×____,___×____,... ___×101。

其中,乘积最大的式子是____________;

反思 :若两个正数的和_________,则当这两个正数______时,它们的乘积最大。

*你会用字母表示这个规律吗?

(5)你能否用二次函数的知识证明你的发现? 和同学交流下,看看谁的方法好。

该案例的设计,主要立足于让学生通过几组数的乘积去发现规律、感悟规律、运用规律、证明规律。从计算到观察,再到补全规律,然后是运用规律写出符合规律的一组乘积式,最后在运用所学的二次函数的方法进行规律的验证。通过这一连串活动的设计,让学生在充足的数的规律的积累的基础上,上升到用字母表示规律、用函数知识证明规律,这就是一种循序渐进的数感与符号意识的培养。

2. 空间观念和几何直观。在图形与图形关系的抽象中,编写者要特别注重空间观念和几何直观这两个关键词。空间观念主要指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的具体物体,想象出物体的方位和相互之间的位置关系,描述图形的运动和变化,根据语言的描述画出图形等。几何直观主要指利用图形描述和分析问题,几何直观在整个的数学学习过程中,都发挥着重要作用。就初中学生的思维特点来说,多动手操作、动手实践是一种重要的培养空间观念和几何直观的途径。教学中应让学生在动手中去观察、辨别、猜想、验证和运用,而不是依靠教师强行的灌输。

例2《:圆周角与圆心角1》导学思考 :

问题1 :怎么定义圆周角?

1. 动手试一试 :如图,在⊙O上任取两点A、B,则∠AOB是⊙O的一个圆心角。试着画一画,把角的顶点从圆心往外移动,你可以画出几类不同的角?

(教师指出,像...这样的角,就是我们要研究的圆周角)

2. 有人说,顶点在圆心的角叫做圆心角,顶点在圆周上的角就叫做圆周角。你同意吗?

(通过反例进行概念的辨析)

问题2 :圆周角定理的发现与证明

1. 你刚才画的圆周角和圆心角在位置上有什么共同点?

(都是同弧所对的角)

2. 再画几个这条弧所对的圆周角,量量这些角的度数。有什么发现?

把你的发现用猜想的形式写下来 :

3. 观察你们小组所画的图形,圆心和圆周角有几种位置类型?

选择你认为最简单的一种,证明你的猜想。(引导学生选择圆心在圆周角一边的情形)

4. 怎么证明另外的情形呢? 想一想,和同学交流下。

5. 再举几个例子说明你的发现。

反思归纳 :________________________________________________.

该案例的设计,立足点在于让学生从已有的圆心角的概念出发,通过角的顶点的位置变化,感受到圆周角的存在和研究的必要 ;继而通过具体的测量猜想同弧所对的圆周角和圆心角的关系,然后运用转化的思想引导学生进行证明。在学生完成知识建构的过程中,不断地动手画图、测量、观察,遵循由具体的数量抽象出由位置关系决定的角度的关系(用一般性的符号表示),从而达到空间观念和几何直观的培养。

(二)以推理思想为主线

所谓的数学推理思想,就是指数学推理是一种基本思维方式,贯穿于整个数学学习的始终。它包括归纳推理和演绎推理。归纳推理命题由小到大,结论是或然的 ;演绎推理命题从大到小,结论是必然的。归纳推理的功能在于发现结论 ;演绎推理的功能在于验证结论,二者相辅相成。以数学推理思想为主线,进行导学设计,就是从数学的基本思维方式入手,从数学带给学习者的最持久的收获入手,这也是数学思考和问题解决的需要。

1. 演绎推理。

例3 : 《二次函数的数学活动部分》

导学思考 :

问题2.

在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),在x轴上任取一点M,连接AM,作线段AM的垂直平分线l1,过点M作X轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P。

1. 请同学们观察几何画板,当老师拖动点M时,点P形成的曲线是什么形状?

2. 设点P的坐标为(x,y),如何求该曲线相应的函数解析式呢?

(1)要求函数解析式,就是求x与y的关系 ;

( 2 ) 由垂直平 分线的性 质 ,可以得到___________=___________;

(3)能否用含x,y的式子表示上面的等量关系呢?

(4)把上面的等式化成y=…的形式

3. 能验证前面我们的猜想了吗?

4. 如果把点A的坐标改为(0,4),其余作图步骤不变,你会求点P运动所成的曲线相应的函数关系式了吗? 试一试。

反思 :到定点的距离与到定直线的距离相等的点,形成的曲线是_________.

该案例的设计先让学生动手操作,再以几何画板课件进行演示,让学生通过观察发现奇妙的结论,引发学生的好奇心理,再步步为营进行引导,通过列方程的方法证明y与x之间的函数关系确实是二次函数。该设计侧重让学生学会用演绎的方法去验证猜想的正确与否。

2. 归纳推理。

例4 : 《平方差公式1》

导学思考 :

由2个单项式组成的多项式称为二项式。两个二项式相乘,结果会是几项呢? 写出几个这样的乘积式,并把结果写出来。

(一)探索

1. 各小组整理上面所列的乘积式,讨论下,从结果看可以分成几类?

2. 从结果看,你最喜欢哪一类? 为什么?

3. 请你再写两个这样的乘积式.

(二)发现

1. 这些式子的左右两边分别有什么特征?

2. 你能否用一个简洁的式子表示上面的规律?(用字母a、b表示)

(三)应用

请你画一长方形,使它的面积等于阴影部分的面积。

探索是数学思考的一个重要载体。也是衡量一节数学课有没有数学味的一个指标。课程标准上这么描述数学思考 :在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践中,发展合情推理(即归纳推理)和演绎推理能力,清晰表达自己的想法。如何在我们日常的教学中抓住时机,去设计、去让学生感受感悟呢? 就如本节平方差公式,如果只是为了达到一种技能的目的,传统的设计与算法可能一点也不逊色。但数学课堂到底要给学生什么东西呢? 知识只是学生进一步学习的平台,思考才是相伴一生的。基于此,本节的导学设计站在数学推理思想的高度,以观察、猜想、验证入手,以观察、猜想、验证收尾,让学生在课堂中充分思考、充分表达,力图凸显对数学思考的理解。另外,在突破掌握平方差公式特点这一难点时,采用从特殊→一般→再到特殊的认知方式,尽量考虑初二学生的认知特点。至于问题解决,则对教材用图形面积解释平方差公式进行了重构,培养学生灵活运用所学知识解决问题的意识。

(三)以模型思想为主线

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。这种模型思想,从宏观的角度讲,是将现实生活中抽象出的数学问题,用数学符号来研究数量关系和变化规律的思想 ;从微观的角度讲,运用某种提供的模型或策略解决类似问题的做法,也可以说是一种模型思想的运用。下面通过微观和宏观两个案例谈谈笔者具体的策略。

例5 : 《三角形的中位线2》

导学思考 :

问题 :如图点D、E、F分别是△ABC各边的中点,线段AD和EF有什么特殊关系?

分析 :1. 两条线段的关系通常是平行、垂直、平分、倍数等关系。由图可知,不可能平行 ;通过改变图形的形状,也容易探究出不可能垂直或存在固定的倍数关系 ;于是我们可以大胆猜想 :AD和EF互相平分。

2. 如何证明两条线段互相平分呢? 通过平行四边形的性质来证明是一种重要的途径。

3. 题中有丰富的中点的资源,这就给我们利用中位线定理提供了基础。

请你根据以上分析,写出解答过程。

根据以上解决问题的模型继续探究 :

如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,连接EG和FH.

求证 :EG和FH互相平分。

反思 :利用中位线定理解决线段间的数量和位置关系,是一种常用的方法。要点是 :有三角形找中点,有中点找三角形。

该案例从微观的层面呈现了模型思想在导学设计上的渗透。给出的问题在三角形中位线背景下,通过平行四边形的模型去处理两条线段互相平分的结论。待解决的问题则是在四边形各边中点的条件下,探究类似的结论。通过对问题的剖析,逐渐深入到模型的本质,从不知模型到感知模型,再到运用模型。

例6 : 《最短路径问题2——造桥选址问题》

导学思考 :

问题 :A、B两地在一条河的两岸。现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(河的两岸式平行的直线,桥与河垂直)

分析 :

1. 请你画出从A到B的路径示意图 ;

2. 路径的长指的是哪些线段的和?

3. 路径最短取决于什么?

4. “AM+BN最短”,与前面我们学过的最短路径问题有什么区别联系?

5. 那么,我们如何把不共端点的线段的和最小,转化为共端点的线段的和最小?

6. 请你画出路径最短时点N的位置。

解决问题 :

设m>0,A(-8,m+1)、B(4,m),线段MN⊥x轴于N,MN=1。若点N(a,0),求当AM+MN+BN最小时,a的值。

该案例的设计从宏观的层面呈现了模型思想的导学设计。设计者在对“造桥选址”的问题进行深入探究后,认为其本质是如何把没有公共端点的两条线段的和最小的问题,转化为有公共端点的两条线段和最小的问题。设计中侧重引导学生分析问题、感知模型、提炼模型、解决问题,并通过变式创设了一个以动点为背景的“造桥选址”问题,体现了这种模型思想的进一步延拓。

摘要:本文主要探讨了如何以基本数学思想为主线,进行初中数学导学设计,从而克服目前导学案存在的重技能轻思维、重结果轻过程等弊端。

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