模糊一致连续性

模糊一致连续性（精选6篇）

模糊一致连续性 篇1

摘要：本文利用直接法证明了单项式函数方程在模糊赋范空间上的稳定性, 并讨论了单项式映射的模糊一致连续性.

关键词：模糊赋范空间,单项式函数方程,Hyers-Ulam-Rassias稳定性,模糊一致连续性

1. 引言

2006 年D. Wolna证明了单项式函数方程在线性赋范空间上的稳定性. 方程稳定性的证明方法一般有直接法与应用不动点定理两种方法. 但是, 不动点定理有限制条件, 因此, 本文利用直接法证明模糊赋范空间上的稳定性.

首先介绍一下单项式方程的基本概念.

定义1.1设X与Y是R上的线性空间, f:X→Y,

定义Δxf (y) =f (x+y) -f (y) , x, y∈X.

当x1=…=xn时, Δx1, …, xnf (y) 记为Δnxf (y) .

由定义1.1建立如下方程.

我们称方程 ( 1. 1) 为单项式函数方程, 简记为M - 方程. 显然, f ( x) = cxn为方程 ( 1. 1) 的一个解. M - 方程的基本概念与基本性质可参考 ( 5) ( 6) ( 7) .

2. 预备知识

这一节, 我们给出模糊赋范空间上的基本概念与基本性质.

定义2. 1 设X与Y是R上的线性空间, 若对x, y∈X, s, t∈R, 隶属映射u: X × R→[0, 1]满足以下条件,

(ⅰ) t≤0, u (x, t) =0;

( ⅳ) u ( x + y, s + t) ≥min{ u ( x, s) , u ( y, t) } ;

(ⅴ) u (x, ·) : (0, ∞) →[0, 1]连续且limt→∞u (x, t) =1.

则 (X, u) 称为模糊赋范空间.

注: 由性质 ( ⅳ) , ( v) 很容易推出u ( x, ·) 在 ( 0, ∞ ) 上单调非减.

例2. 2 设 ( X, ‖·‖) 是R上的线性赋范空间, 定义隶属映射t∈R+, x∈X.

则 ( X, u) 是R上的模糊赋范空间.

定义2. 3 设{xn}是模糊赋范空间X的一个序列. 若对0 < α <1, t > 0, 存在n0∈N, 使得当n≥n0时, u ( xn- x, t) >1 - α 成立, 则称序列{xn}收敛于x, 记为

定义2. 4[2] 设{xn}是模糊赋范空间X的一个序列若对0 < α <1, t >0, 存在n0∈N, 使得当n, m≥n0时, u ( xn-xm, t) >1 - α 成立, 则称序列{xn}为X上的Cauchy列. 若X上的Cauchy列都是收敛的, 则称X为模糊Banach空间. 模糊赋范空间的基本概念与基本性质可参考 ( 2) ( 3) ( 4) .

3. M - 方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.

这一节, 我们讨论方程 ( 1. 1) Hyers-Ulam-Rassias稳定性.

引理3. 1 设X与Y是R上的线性空间, 则对任意映射f: X→Y恒有

其中Fi ( x) = Δxmf ( ix) - m! f ( x) , x∈X; i = 1, …, m + 1.

引理3. 2 设X与Y是R上的线性空间, 则对任意映射f: X→Y恒有

证直接利用数学归纳法即可.

定理3. 3 设X与Y是R上的线性空间, ( Y, u) 是模糊Banach空间. 设映射 φ: X2→[0, ∞ ], 满足 φ ( 2nx, 2ny) =αnφ ( x, y) , ( 0 < α < 2m) , m∈N.

设f: X→Y满足

则存在唯一的M - 映射使得成立.

证证明分三步进行

由引理3. 2, 定义2. 1 ( ⅲ) , ( ⅳ) 可知

由 ( 3. 1) , ( 3. 2) 可得

由 ( 3. 3) 与定义2. 1 ( ⅲ) 及 φ ( x, y) 的齐次性可得

由 φ ( x, y) 的齐次性与定义2. 1 ( ⅲ) 很容易得到

( 3. 4) 中t取为 αkt, 则

由 ( 3. 5) 及定义2. 1 ( ⅳ) 可得

( 3. 6) 中x取为2px, ( p ∈ N) , 则由定义2. 1 ( ⅲ) 及ψ ( x, t) 的性质可得

利用定义2. 1 ( ⅲ) 可得

由0<α<2m可知, 且由ψ (x, t) 的定义可知, 当p→∞时, (3.8) 右边

趋向于1. 因此序列为Cauchy列. 又 ( Y, u) 是模糊Banach空间, 因此序列

现在证明M ( x) 是方程 ( 1. 1) 的解.

由引理 ( 3. 2) , 性质 ( ⅲ) 及 ( 3. 1) 可得

因此由定义2. 1 ( ii) 可得, ΔxmM ( y) - m! M ( x) = 0, ( x, y∈X) .

下一步证明解的唯一性. (3.6) 中t取为可得

在 ( 3. 9) 令n → ∞ 可得

设M' ( x) 是满足 ( 3. 10) 的另外一个解, 则M' ( x) 显然满足又

因此, 由性质 (ⅲ) , (ⅳ) 及φ (x, y) 的齐次性可得

由0 < α < 2m可知当n → ∞ 时, 不等式右边趋向于1.因此, M ( x) = M' ( x) .

推论3. 4设 ( X, ‖·‖) 是实Banach空间, 映射f: X→X满足

‖Δxmf ( y) - m! f ( x) ‖ ≤ ‖x + y‖, ( x, y ∈ X; m ≥ 2, m ∈ N) , 则存在唯一的M - 映射使得

证定理 (3.3) 中令α=2, φ (x, y) =x+y, (t>0) , 则由定理 (3.3) 可知存在唯一的M (x) , 使得

因此, 命题成立.

4. 模糊一致连续性

定义4.1设f是R到 (X, u) 的映射.若对0<α<1, ε>0, 总存在δ>0, 当|s'-s″|<δ时, 总有u (f (s'x) -f (s″x) , ε) ≥1-α成立, 则称f在R上一致连续. (s', s″∈R)

定理4. 2设X与Y是R上的线性空间, ( Y, u) 是模糊Banach空间. 映射f: X → Y满足 ( 3. 1) . 如果映射h: R → Y, ( s ∈ R) 有模糊一致连续性, 则映射s →M ( sx) 也有模糊一致连续性.

证由定理3. 3 可得M ( x) 满足

在 (4.1) 中x取为s'x与s″x可得

因为故对若对0<α<1, ε>0, 总存在n0∈N, δ>0,

使得当|s'-s″|<δ时, 总有又由h (s) 模糊一致连续性可知0<α<1, ε>0,

注:利用类似方法可证明α>2m的情况.

参考文献

[1]Alireza Kamel Mirmostafaee, STABILITY OF THE MONOMIAL FUNCTIONAL EQUATION IN QUASI NORMED SPACES.Bull.Korean Math.Soc.47, No.4, pp.777-785 (2010)

[2]T.Bag, S.K.Samanta, Finite dimensional fuzzy normed linear spaces, The Journal of Fuzzy Mathematics 11 (3) 687-705. (2003)

[3]T.Bag, S.K.Samanta, Fixed point theorems on fuzzy normed linear spaces, Information Sciences 176 2910-2931 (2006) .

[4]T.Bag, S.K.Samanta, Some-xed point theorems on fuzzy normed linear spaces, Information Sciences 177 3271-3289 (2007) .

[5]D.Wolna, The stability of monomial functions on a restricted domain, Aequationes Math.72, no.1-2, 100-109 (2006) .

[6]Y.-H.Lee, On the stability of the monomial functional equation, Bull.Korean Math.Soc.45, no.2, 397-403 (2008) .

[7]Z.Kaiser, On stability of the monomial functional equation in normed spaces over fields with valuation, J.Math.Anal.Appl.322, no.2, 1188-1198 (2006) .

函数一致连续性的判别方法 篇2

函数一致连续性的判定是一致连续学习中的重点和难点.对函数一致连续性的判定一般都是按照定义或使用康托定理.用定义判定比较复杂, 而使用康托定理又限于有限闭区间, 寻找较好的判定方法对判定函数一致连续性非常重要.目前已有大量文献对一致连续判别方法进行了研究, 得到了一系列深刻的结果.

最近文献【1】就有限或无限开区间上的连续函数, 具有单调性的连续函数, 可导的连续函数, 具有渐进性质的连续函数, 以及具有周期性质的连续函数给出了一致连续的充分条件或充要条件;文献【7】给出了用导数判别函数一致连续性的比较判别法;文献【9】研究了函数的一致连续性问题, 提出函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理;文献【12】利用定积分证明了判定单个函数一致连续的定理, 给出并证明了判定2个函数的四则运算的一致连续性的定理;文献【6】对函数一致连续性证明方法进行了研究, 针对函数一致连续证明问题, 给出了证明方法的流程图.

本文在前人已有工作的基础上, 分十二个方面, 系统归纳、分类总结了连续函数一致连续性的判别方法, 分类给出了函数一致连续的充分或充要条件, 是对文献【6】中判定方法的一个完善, 可以更好地解决一致连续性判定问题, 弥补了相关文献资料关于函数一致连续性问题判别方法的一些不足, 大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围, 使得一致连续性的判别方法更系统、更便于应用.

一、函数一致连续性的定义

定义[15]:设f (x) 为定义在区间I上的函数.若对任意的ε>0, 存在δ=δ (ε) >0, 使对任何x′, x″∈I, 只要|x′-x″|<ε, 就有|f (x′) -f (x″) |<缀, 则称函数f (x) 在区间I上一致连续.

二、有限区间上连续函数的一致连续性条件

结论1[1].设f (x) 在有限开区间 (a, b) 上连续, f (x) 在 (a, b) 上一致连续⇔极限存在.

推论1.设f (x) 在有限开区间[a, b) 上连续, f (x) 在[a, b) 上一致连续⇔极限存在.

推论2.设f (x) 在有限开区间 (a, b]上连续, f (x) 在 (a, b]上一致连续⇔极限存在.

结论2[15]. (Cantor定理) 若函数f在区间[a, b]上连续, 则f在[a, b]上一致连续.

三、无限开区间上连续函数的一致连续性条件

结论3[1].设f (x) 在[a, +∞) 上连续, (有限) , 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

推论3.若f (x) 在 (-∞, b]上连续, (有限) , 则f (x) 在 (-∞, b]上一致连续.

推论4.f (x) 在 (a, +∞) 上一致连续的充分条件是f (x) 在 (a, +∞) 上连续且f (a+) 和f (+∞) 都存在.

推论5.f (x) 在 (-∞, b) 上一致连续的充分条件是f (x) 在 (-∞, b) 上连续且f (b-) 和f (-∞) 都存在.

结论4[17].函数f (x) 在上一致连续, 则f (x) 在上一致连续, 其中<, >表示可开可闭区间, a, b可为有限数也可为∞.

四、具有渐进性质的连续函数的一致连续性条件

结论5[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 上连续, 函数g (x) 在[a, +∞) 上一致连续, 且, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论6[3].若连续函数可在无穷远处贴近一个一致连续函数, 则其必一致连续.

特别的, 因为线性函数必一致连续, 所以如果某连续函数在无穷远处贴近一个线性函数, 则其一定一致连续在[a, +∞) 上一致连续.

推论6[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 上连续, 且有斜渐近线y=ax+b, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

五、具有单调性质的连续函数的一致连续性条件

结论7[1].若函数f (x) 在有限或无穷区间 (a, b) 上连续、单调、有界, 则函数f (x) 在 (a, b) 上一致连续.

六、具有可导性质的连续函数的一致连续性条件

结论8[7].f (x) 在区间I (I可开, 半开, 有限或无限) 可导, 且f′ (x) 在I有界, 则函数f (x) 在I上一致连续.

推论7[1].函数f (x) 在上有连续的导函数, 且均存在, 则f (x) 在 (a, b) 上一致连续.

结论8[2].若函数f (x) 在区间I上有定义, 对∀x∈I, f′+ (x) , f′- (x) 都存在且有界, 且有有限个角点, 则f (x) 在I上一致连续.

推论8[2].若f (x) 在区间I上光滑, f′ (x) 有界, 则f (x) 在区间I上一致连续.

结论9[21].若函数f (x) 在开区间I (有限或无穷) 上单调, 拟导数[14]在I内处处存在且有界, 则函数f (x) 在开区间I上一致连续.

推论9[21].若f (x) 是开区间I (有限或无穷) 上的凸函数, 且拟导数存在且有界, 则f (x) 在I上一致连续.

推论10[21].若函数f (x) 是开区间I (有限或无穷) 上满足条件:

(2) ∀x∈I, f- (x) 和f+ (x) 都存在;

(3) 在I上处处拟可导, 且拟导数有界;

则f (x) 在区间I上一致连续.

结论10[7].若f (x) 、g (x) 在I上可导, 且|f′ (x) |≥|g′ (x) |>0, 则

(1) 当f (x) 在I上一致连续时, g (x) 在I上一致连续.

(2) 当g (x) 在I非一致连续时, f (x) 在I上非一致连续.

结论11[3].设f (x) 在[a, +∞) 上可导, 且 (常数或+∞) , 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续⇔λ为常数.

结论12[4].设f (x) 在区间[a, +∞) 上局部可积, 且f (x) 在[a, +∞) 上有界, 则F (x) =ʃaxf (s) ds在区间[a, +∞) 上一致连续.

七、具有周期性质的连续函数的一致连续性条件

结论13[1].连续的周期函数一定一致连续.

八、具有确界或振幅性质的连续函数的一致连续性条件

结论14[1].函数f (x) 在区间 (a, b) 上一致连续的充要条件是, 其中ωf (δ) =sup|f (x1) -f (x2) |, 而x1, x2为 (a, b) 受条件|x1-x2|≤δ限制的任意两点.

推论11.函数f (x) 在区间I (有限或无穷) 上一致连续的充要条件是, 其中ωf (δ) =sup|f (x1) -f (x2) |, 而x1, x2为I受条件|x1-x2|≤δ限制的任意两点.

结论15[5].设f (x) 是区间I上的函数, 那么f (x) 一致连续⇔Ǝr>0, 以及定义在[0, r]上满足的函数g (x) , 使对坌h∈[0, r]和x∈I, 只要x+h∈I, 就有|f (x+h) -f (x) |≤|g (h) |.

推论12[5].若, 则f (x) 在I上非一致连续.

九、一般函数的一致连续性条件

结论16[1].若对于定义在区间X上的函数f (x) 和g (x) , ƎL>0, ∀x′, x″∈X且|f (x′) -f (x″) |≤L|g (x′) -g (x″) |成立, 则f (x) 在X上也一致连续.

推论13[1]. (Lipschitz条件) 若函数f (x) 在区间X上满足下述Lipschitz条件, 即埚L>0, ∀x′, x″∈X, 有

|f (x′) -f (x″) |≤L|x′-x″|成立, 则f (x) 在X上一致连续.

推论14[3].若f (x) 在区间I可导, 且f′ (x) 有界, 则函数f (x) 在区间I上一致连续.

结论17[5].设f (x) 是区间I上的函数, 那么f (x) 一致连续⇔Ǝr>0, 以及定义在[0, r]上满足的函数g (x) , 使对∀h∈[0, r]和x∈I, 只要x+h∈I, 就有|f (x+h) -f (x) |≤|g (h) |.

推论15[5].若, 则f (x) 在I上非一致连续.

结论18[6].设区间I1的右端点c∈I1, 区间I2的左端点c∈I2, 若f (x) 分别在区间I1, I2上一致连续, 则f (x) 在I=I1∪I2上也一致连续.

结论19[20].设函数f (x) 在[a, +∞) (a为任意实数) 上连续, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续的充要条件是在[a, +∞) 上存在一个一致连续的函数g (x) , 使得.

结论20[3].若连续函数可在无穷远处贴近一个一致连续函数, 则其必一致连续.

特别的, 因为线性函数必一致连续, 所以如果某连续函数在无穷远处贴近一个线性函数, 则其一定一致连续在[a, +∞) 上一致连续.

推论16[4].设函数f (x) 在[a, +∞) 连续, 且有斜渐近线y=ax+b, 则函数f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论21[16].设则函数I为有限区间, f (x) 在I上有定义, f (x) 在I上一致连续的充要条件是f (x) 把Cauchy序列映射为Cauchy序列 (即当{xn}为Cauchy序列时, {f (xn) }亦为Cauchy序列) .

结论22[19].函数f (x) 在I上一致连续⇔∀{xn}, {yn}⊂I, 只要.

推论17[11].设f (x) 在 (-∞, +∞) 上有定义, 若Ǝη>0, 又存在两个均由不同的数组成的数列{xn}, {xn′}, 使得|xn′-xn|=η, (n=1, 2…) , 且, 则f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

结论23[8].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ∀x′, x″∈I, ƎN>0, 使当|f (x′) -f (x″) |>N|x′-x″|时, 恒有|f (x′) -f (x″) |<ε.

结论24[19].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ∀x1, x2∈I, ƎN>0, 当, 有|f (x1) -f (x2) |<ε.

结论25[17].若{fn (x) }一致收敛于f (x) , f (x) ∈ (-∞, +∞) , 且每个fn (x) 都在R上一致连续, 则f (x) 也在R上一致连续.

结论26[19].设f (x) 定义在[a, b]上, 且任给闭区间[x1, x2]⊂[a, b], 对介于f (x1) 与f (x2) 的任意常数l, 方程在[x1, x2]上有且仅有有限个解, 则f (x) 在[a, b]上一致连续.

结论27[17].设f (x) 在[a, +∞) (a>0) 上满足lipschitz条件, 即ƎM>0, ∀x, y∈[a, +∞) , 有|f (x) -f (y) |≤M|x-y|, 则在[a, +∞) 上一致连续.

结论28[16].设f (x) 在[0, +∞) 上满足Lipschitz条件, 则设f (xα) (0<α<1为常数) 在[0, +∞) 上一致连续.

结论29[10].函数f (x) , g (x) 在区间I=[a, +∞) 上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论30[10].函数f (x) , g (x) 在区间I= (a, b]上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论31[10].函数f (x) , g (x) 在区间I=[a, b) 上连续, 若满足成立 (其中:A为非零定值, B为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论32 (10) .函数f (x) , g (x) 在区间I= (a, b) 上连续, 若满足成立 (其中:A, C为非零定值, B, D为定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论33[4].设f (x) , g (x) 均在[a, +∞) 上连续, 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论34[4].设f (x) 在[a, +∞) 上连续, g (x) 在[a, +∞) 上一致连续且, 则f (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论35[10].函数f (x) , g (x) 在I=[a, +∞) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论36[10].函数f (x) , g (x) 在I= (-∞, b]上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论37[10].函数f (x) , g (x) 在I= (-∞, +∞) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论38[10].函数f (x) , g (x) 在I=[a, b) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论39[10].函数f (x) , g (x) 在I= (a, b]上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论40[10].函数f (x) , g (x) 在I= (a, b) 上连续, f (x) , g (x) 满足:

(2) f (x) , g (x) 在I上可导, 且g′ (x) ≠0;

若 (A, B为非零定值) , 则f (x) , g (x) 有相同的一致连续性.

结论41[11].函数f (x) 在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0, ƎA>0, 使得∀x′, x″∈I, 恒有|f (x′) -f (x″) |≤A|x′-x″|+ε.

结论42[11].若f (x) 在 (-∞, +∞) 上可微, 若, 则f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

结论44[11].设函数f (x) , g (x) 在 (-∞, +∞) 上有定义, 且满足:

(1) f (x) 是周期函数, 且存在x0, 有f (x0) =0;

(2) , 则F (x) =g (x) ·f (x) 在 (-∞, +∞) 上不一致连续.

十、两个函数四则运算的一致连续性的判定定理

结论45[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上有有界的导数, 则f (x) ±g (x) 在区间I上一致连续.

结论46[13].设φ (x) 与ψ (x) 在区间I上一致连续, 则αφ (x) +βψ (x) 在区间I上一致连续 (其中α, β是任意的常数) .

结论47[12].函数f (x) , g (x) 都在闭区间I上有有界的导数, 则f (x) g (x) 在I上一致连续.

结论48[13].设φ (x) 与ψ (x) 在区间I上一致连续且有界, 那么φ (x) ψ (x) 在区间I上一致连续.

结论49[17].设f (x) ∈C[a, +∞) , 在[a, +∞) 上有界, 则f (x) g (x) 在[a, +∞) 上一致连续.

结论50[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上一致连续, 且在I内有界, 则在区间I上一致连续.

推论18[12].函数f (x) , g (x) 都在区间I上一致连续, f′ (x) , g′ (x) 在I内有界, 且存在α>0, β>0, 使得对于任意x∈I, 有|f (x) |≤α, |g (x) |≤β, 则在区间I上一致连续.

推论19[19].设f (x) 在区间I上一致连续, 且在I上也一致连续.

十一、复合函数一致连续性的判定

结论51[17].设f (x) 在上一致连续, 且∀x∈, f (x) ∈, 又g (y) 在上一致连续, 则复合函数F (x) =g (f (x) ) 在上一致连续.

结论52[16].设z=g (y) 于J, y=f (x) 于I都是一致连续的, 且f (I) ⊂J, 则z=g (f (x) ) 在I上一致连续.

推论20[11].设f (x) 是连续的周期函数, φ (x) 是可微函数, 且, 则复合函数f (φ (x) ) 在 (-∞, +∞) 上一致连续.

十二、等度连续函数列的一致连续性的判定

结论53[17].设{fn (x) }在区间I上等度连续[17], 则对∀n, {fn (x) }在I上一致连续.

一致连续函数的探讨与研究 篇3

一、一致连续函数与连续函数的定义的区别

对一致连续函数的研究应当始于对其和连续函数的定义探析上, 从而更好地对一致连续函数进行理解.

1. 一致连续函数 f ( x) 的定义

设f ( x) 是D上的单变量函数. 若存在任意常数k > 0, r > 0, 使得当x1, x2∈D, 且| x1- x2| < k时, | f ( x1) - f ( x2) |< r总会成立, 则将称f ( x) 为D上的一致连续函数. 即一致连续的本质在于当该区间内两个极其靠近的点的差值可以任意小, 而且函数的一致连续性的定义域必须是区间, 不能是孤立某个定点.

2. 连续函数的定义

首先, 函数f ( x) 在定点x处连续的定义. 即设若f ( x) 在点x0的某一邻域内有定义, 并且满足) , 则0称f ( x) 在点x0处连续. 也就是函数在点x0处的极限值与函数值相等时, 点x0是函数的连续点, 表现在函数的图像上就是函数在这一点的图像是没有断开的, 与其他点的图像接连在一起的. 函数在一点只能是连续或不连续, 不能是一致连续的.

其次, 函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内连续的定义, 即若f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每一点上都连续. 函数f ( x) 在开区间内连续, 并不一定在开区间内是一致连续的.

再次, 如果f ( x) 在 ( a, b) 内连续并且在开区间的左端点a是右连续而在右端点b是左连续, 这时可以说f ( x) 在闭区间[a, b]是连续的.

f ( x) 在[a, b]内连续, 则f ( x ) 在[a, b]内是一致连续的.

二、一致连续函数的运算性质

在一致连续函数中其运算和性质的联系较为紧密, 因此以下从几个方面出发, 对一致连续函数的运算和性质进行分析.

性质1设函数f ( x) 与g ( x) 在区间I上具有一致连续性, 并且a, b为任意常数, 则af ( x) + bg ( x) 在区间I上具有一致连续性. 即一致连续函数的线性组合还是一致连续的.这个性质与连续函数的性质是类似的, 比较容易理解.

性质2设函数f ( x) , g ( x) 在区间I上具有一致连续性并且具有有界性, 则f ( x) ·g ( x) 在区间I上也具有一致连续性.

性质2中, f ( x) 与g ( x) 的有界性是必不可少的条件, 如若缺少, f ( x) ·g ( x) 不一定是一致连续的. 例如, y = xμ, μ∈ ( 0, 1]是[1, + ∞ ) 上的一致连续函数. ( 证: 对于任意的1≤x1≤x2, 存在不等式x1- x1μ= x1 ( 1 - xμ - 11) ≤x2- xμ2= x2 ( 1 xμ - 12) , 即| xμ2- xμ1|≤| x2- x1| . 故存在任意的k > 0, 令r =k > 0, 则当x1, x2∈ [1, + ∞) 且x2- x1≤r时, | xμ2- xμ1|≤| x2- x1| < r总是成立的. )

若μ = 1时, y = f ( x) = x在[1, + ∞ ) 上连续但是不具有有界性, 则f ( x) ·f ( x) = x·x = x2在[1, + ∞ ) 上并不存在一致连续性.

性质3设函数f ( x) 在区间I上具有一致连续性并且0) , 那么f- 1 ( x) 在区间I也具有一致连续性.

通常来说, 一致连续函数的反函数往往不具有一致连续性. 但若果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上是严格单调连续的函数, 则其反函数具有一致连续性.

例如, 函数, x∈ ( 0, + ∞ ) 在 ( 0, + ∞ ) 单调, 一致连续, 且, 所以反函数y = lnx, x∈ ( 1, + ∞ ) 在 ( 1, + ∞ ) 内一致连续.

性质4在计算一致连续函数的复合运算时, 如果函数u = v ( x) 在区间D上具有一致连续性, 则函数y = f ( u) 在U = { u u = v ( x) , x∈D} 上具有一致连续性, 并且其复合函数y = f[v ( x) ]在区间D上也具有一致连续性.

例如, 当函数u = sinx, 这一函数在 ( - ∞ , + ∞ ) 上具有一致连续性, 复合函数y = u2在 ( - 1, + 1) = { u | u = sinx, x∈ ( - ∞ , + ∞ ) } 上具有一致连续, 即y = sin2x在 ( - ∞ , + ∞ ) 这一区间上具有一致连续性.

在研究这一性质和运算规律时应当注意, u = v ( x) 和y = f ( u) 都必须在各自相应的区间内一致连续, 若这两个函数至少有一个在相应的区间上并不一定具有一致连续性, 则其复合函数y = f[v ( x) ]并不一定具有一致连续性.

三、结 语

本文通过对一致连续函数定义与连续函数定义进行比较, 并且对一致连续函数的运算性质进行了简单的探讨和分析.

参考文献

[1]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社, 1981.

[2]陈纪修, 等.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2000.

[3]胡雁军, 李育生, 邓聚成.数学分析中的证明方法和难点选题[M].郑州:河南大学出版社, 1989.

模糊一致连续性 篇4

在进行计算机使用的过程中,通信算法是提升计算机设备运行质量的重要因素,在通信信息存在模糊状态的情况下,计算机设备的计算方法优化至关重要。

1 构建通信信息模糊一致的矩阵

1.1 明确通信信息矩阵的属性

在进行通信算法优化的过程中,要将矩阵的构建作为重要的内容,首先,要对构建的矩阵属性进行保证,使矩阵能够完全适应通信数据的具体特点。要在开始设计矩阵基础数据之前,对矩阵的信息是否完全模糊一致进行确定,以便操作团队能够更好的对模糊矩阵进行信息控制[1]。要保证矩阵的状态为模糊状态,使计算机设备在运行的过程中能够保证信号不受到较大的影响,如果计算机的信号能够根据划分的特点实行信息的有效控制,则需要对现有的计算机信号实施多层次的划分,以便计算机能够保证模糊一致的特点。在进行层次区分的情况下,模糊一致的矩阵需要更好的同计算机基础性数据进行有机结合,如果信息能够通过各项基础性要素实施统计,则可以按照描述环节的具体特点,对干扰信号进行有效的管理,使矩阵的属性达到预期的要求。

1.2 分析通信信息矩阵的构成要素

可以通过指标分析的方法对矩阵的构成元素进行研究,以便矩阵可以实现评价环节的优化处理,如果评价指标可以按照评价活动的需要实施重要程度的保证,则可以通过评价活动的要求,对矩阵的各类属性进行说明,使矩阵可以通过重要程度的提高实现活动密集型的增强。可以通过重要度的判断实现模糊一致状态的判定,使模糊矩阵的重要程度可以得到有效的划分[2]。要按照矩阵构建过程中的说明情况,对重要度的划分科学性进行判断,以便不同状态的重要程度可以更好的实现模糊矩阵的有效构建,如果矩阵能够通过定义的特点对矩阵实施干预,则可以按照模糊一致的具体需要,对信息的各类指标实施有效的管理,使信息指标能够更好的保证干预数据的完全一致。

1.3 实施信息数据一致性管理

可以按照不同信息数据的重要程度,对信息的一致性进行管理,使矩阵可以通过对角线状态的控制实现信息基础的增强,要按照信息数据的对角线状态,对对角线的具体信息数据实施区分,以便计算机设备可以根据数值的情况对矩阵的状态进行研究[3]。在进行矩阵状态检验的过程中,要根据数据的实际状态对矩阵是否具备模糊一致状态进行研究,使不同层次的矩阵数据可以实现相同方位的有效管理,当不同属性的信息能够在相同的位置进行设计的情况下,要根据信息数据的常数特点,对数据的相同位置进行设置,使信息数据能够同矩阵的方位相适应。

2 通信信息的熵计算和干扰信号分析

2.1 提升信号资源的控制力

首先,在进行信息优化的状态下,要使用熵计算作为提升干扰信号控制力的有效手段,可以在通信系统正在运转的过程中,使用指标控制的方法对熵计算实施管理,以便信息系统可以按照指标的状态实施计算体系的控制。可以使用指标体系判定的方法对体系中各项信息的重要度进行研究,使信息数据可以实现干扰信号的有效管理。可以按照不同指标之间的重要程度,对信息资源的分析层次进行认定,使信息系统能够更好的根据分析方案进行信息的管理,并根据熵计算的原理,对信息的通信方法进行优化流程的制定。在进行流程认证的过程中,要正确使用层次分析的原理对方法进行规划,使信息当中的各类信息资源能够实现高水平的熵计算。在层次分析的状态下,可以按照信息资源的基础性信息,对各类信息系统实施指标数据的研究,使计算机系统可以按照指标数据的状态实施运算模式的确立。

2.2 根据指标数据进行信息资源研究

在信息系统能够保证对信息资源进行运算的过程中,可以根据信息数据的量化情况,对指标数据的信息实施研究,使信息能够在系统运作的过程中实现指标数据的有效管理。要按照相同状态下的指标数据情况,对已经完成的信息矩阵进行质量分析,以便数据能够按照指标的实际状态进行量化信息的研究,如果已经获取的信息资源能够实现系统整体方案的构建,则可以按照系统运行重要度的情况,对信息系统的各类指标实施统一调整,使信息数据可以按照矩阵的要求进行正确的排列,确保对模糊一致的信息资源的适应。可以使用熵计算的方法对信息资源进行合理控制,如果信息资源可以在模糊一致的原则下实现运算矩阵的管理,则可以使用矩阵当中的一致性方案,对信息数据进行模糊一致的系统设计,如果矩阵当中已经能够对计算机信息进行通信算法的有效构建,则可以使用重要度分析的方法对计算机基础性信息进行研究,使信息数据可以通过重要度研究实现数据信息资源的分析。

2.3 增强信息数据的管理分析质量

要按照矩阵的具体运行模式,对信息资源的各项数据实施有效管理,以便信息资源能够在矩阵的运行过程中,实现大量数据的有效分析,如果数据的分析可以通过重要度的不同进行有效的层次划分,则可以使用以上数据进行通信算法的辅助性管理,并提升信息资源的构建质量。可以通过设置训练集的方式,对信息资源的类别进行判断,使信息资源可以通过不同子集的划分,实现资源描述能力的增强。要按照具体的描述方法,对信息资源的各类属性进行有效的管理,使信息系统可以更好的进行运行方案的选择。在进行信息数据合理化控制的过程中,可以使用信息属性的特点,对信息资源的各类存在状态经研究,使信息资源可以保证具备各自独立的特点。在进行各类子集信息划分的过程中,要根据不同信息资源的独立情况,对信息的各项数据进行研究,以便信息资源的各类基数能够实现数据集的控制。要按照信息资源的例子情况,对信息系统的各项例子数进行研究,以便信息系统可以实现例子资源的合理控制,如果信息能够利用各种类别进行研究和管理,则需要时会用训练集研究的方式进行独立性数据的管理和区分。

3 通信算法优化过程中的模糊一致性判定

3.1 采用一致性管理提升信息资源准确度

可以使用矩阵研究的方式,对通信信息的质量进行研究,如果信息资源可以利用判定的方式实现一致性的管理,则可以使用测试的方法对矩阵的属性进行管控。要利用矩阵的运行准则,对信息资源进行归属判断,以便信息资源可以更好的通过运行准则实现资源利用质量的提升。如果信息资源具备相似性特点,则要按照矩阵的调整准则,对信息数据的各类资源环境进行研究,使信息系统能够更好的实现矩阵构建方案的确定。可以使用一次性调整的方法,对矩阵的研究流程进行管理,如果信息资源具备差异化特点,要根据信息的具体更改情况,对信息资源的一致性特点进行明确,使信息系统能够更好的完成对信息资源的一致性设计。

3.2 控制信息优化程序调整方案

可以使用矩阵管理的手段,对信息资源实施调整方案的确定。要使用矩阵管理的方法,对当前存在的具备差异性特点的信息实施顺序的排列,以便通信算法在运行的过程中,能够按照一致性特点对信息系统实施管理内容的调整,使信息资源可以更好的利用调整数据实施矩阵质量的判定。优化方案在设计过程中,要按照一致性特点,对信息资源的判断程序进行管理,以便资源能够按照叙述的流程进行管理内容的控制,当信息资源能够实现运算准则的确定时,则需要使用一次性判断的程序实行判断程序的控制,使程序可以更好的利用信息资源实现运算方法的明确。指标的研究需要按照运行的需要进行管理,如果信息资源可以保证运算流程的正规性,可以使用一致性指标对信息质量进行研究,使信息资源可以利用随机选取的方式进行一致性的确立。要按照随机抽取的方式对信息资源的质量质量进行研究,以便操作人员能够在制定优化方案的过程中对信息数据进行充分的考虑,如果信息资源可以使用矩阵计算的方式进行计算程序的判断,则可以按照指标的运行需要对随机获取的信息数据实施管理方案的确定,使指标信息可以实现同优化方案的适应。

4 通信算法优化的系统模型和仿真系统研究

4.1 明确测试环节运行程序

在进行计算机使用的过程中,要正确使用仿真技术提升通信算法的科学性,要利用仿真方法对测试环节进行设置,使测试工作能够在通信系统运行的过程中实现通信质量的提升。要利用计算机方法对信息资源进行运行质量的控制,使信息资源能够在保证模糊一致的状态下进行运行程序的控制。要按照有效性分析的方法对信息资源实施计算方案的明确,以便信息数据能够通过计算的程序实现运行性能的提升。要使用有效性分析的方法,对信息仿真系统进行质量判断,以便信息系统可以通过通信算法的管理促进预算性能的增强。在进行模糊一致准则判断的过程中,要使用计算方法判断的方式进行传统算法的确定,以便计算环节可以使用传统的计算方案进行有效性分析,并提升计算环节的正确性。

4.2 合理管控信息资源的损耗情况

可以加强对信噪比的研究,通过信息的损耗情况,对仿真系统的质量进行有效的测算,以便信息资源可以通过测试实现仿真性能的增强。可以使用实验的方法对算法进行管理,以便不同时间段的算法能够实现对比,仿真方法是最为常见的方法,测试活动的具体细则可以通过仿真方法进行判断和设计,如果计算方法已经被证明具备较强的有效性,则可以使用对比计算的方式进行传统算法的研究,使算法能够根据测试活动的要求进行管理,在进行仿真测试的过程中,测试环节可以借鉴传统算法的形式对错误代码进行管理,使错误信息不会较大程度上破坏计算机的仿真性能。如果信息资源可以根据信噪比的状态进行变化情况的设计,则需要利用多种算法相结合的方式进行计算质量的提升。实验活动后可以通过仿真计算的形式进行测算,如果测算过程能够保证对错误代码的信息进行有效的管理,要根据信噪比的具体情况,对仿真系统的变化状态进行控制,使各项算法能够实现计算质量的提升。

4.3 正确进行信息资源的损耗管理

要按照各项理论值的基础性数据,对信息资源的曲线进行研究管理,以便信息系统能够通过计算实现损耗程度的控制,如果信息资源的损耗状态能够保证计算数据的相同,则需要对当前拥有的信息数据实施重新构造,使信息资源可以更好的进行更改,提升信息资源转换质量。当信息能够在既定的系统中实现转化时,可以按照信息资源转换的需要,对信息数据进行稳定性的判断,以便信息资源可以通过稳定性的判断实现信息价值的提升。要频繁的更换通信算法的具体运行路径,使算法的质量能够更大程度上适应通信信息的运行需要,如果信息数据能够通过变换的形式实现计算地域的切换,则可以利用信号的具体信息,对通信资源进行变化方案的明确,使信息数据可以更好的利用计算系统实现稳定性的增强。如果信息的通信算法的运行的过程中能够适应对多种因素干扰状态的控制,要使用传统方法与现代方法相结合的方式进行干扰系统的构建,使信息系统可以更好的通过通信质量的研究提升系统的优化质量。

结论:

在保证对窄带信号有效控制的基础上,对计算机进行随机信号的控制,使计算机设备的通信算法能够得到更高水平的优化。

摘要：计算机的通信算法是提升计算机使用性能的重要因素,而当前计算机设备大多存在通信节点分布不均的情况,本文深入的分析了计算机设备的通信节点具体设置情况,并根据计算机设备的分布随机性特点,对计算机周边位置的随机信号进行了研究。

关键词：通信信息,模糊一致,优化通信算法

参考文献

[1]孙鑫.面向云环境数据中心的高效资源调度机制研究[D].北京邮电大学,2012.

[2]姚远.交通CPS环境下车辆主动式安全通信性能分析与协议优化[D].西北工业大学,2015.

模糊一致连续性 篇5

设函数f( x) 在区间I有定义,若对于无论怎样小的正数 ε,总存在另一个正数 δ,使得对区间I上任意彼此相距小于 δ 的数x1和x2,都有| f( x1) - f( x2) | < ε. 则称函数y = f( x) 在区间I上为一致连续的. 而函数在区间I上连续是指对于x0∈I,对于ε > 0,存在一个正数 δ,使得对于x0的 δ 邻域内的点x都满足| f( x0) - f( x) | < ε.

可以看出这两个定义是不同的. 前者力求描述函数在整个区间上的特性,即在区间上任意充分接近的两点处其函数值也应该是任意接近的; 而后者仅仅是对区间上任何个别点的描述.

显然在区间I上一致连续的函数,必然在此区间的每一点处连续,从而在整个区间上连续. 因为由一致连续性, 从| x - x0| < δ 可推知| f( x) - f( x0) | < ε,即对于f( x0) 的任何邻域V: ( f( x0) - ε,f( x0) + ε) ,可以找到x0的一个邻域U: ( x0- δ,x0+ δ) ,使得当x∈U就能推出f( x) ∈V. 这就表明函数f( x) 在x0点连续. 反之若函数连续不一定有一致连续的性质.

例1证明函数f( x) =1/x在( 0,1) 上非一致连续.

二、介绍一些判别函数一致连续的方法

从闭区间上的连续函数开始首先介绍康托定理:

定理1( 康托尔定理)闭区间[a,b]上的连续函数f( x) 一定在[a,b]上一致连续.

对于开区间结论不一定成立,如例1. 对于有限开区间, 若函数在区间端点连续,那么补充定义函数在端点的值,可使得函数在闭区间连续,从而在开区间也是一致连续的. 于是有如下定理:

定理2 ( a,b) 上的连续函数f( x) ,若f( a + 0) 和f( b 0) 存在,则f( x) 在( a,b) 上一致连续.

更进一步,对于有限开区间( a,b) ,“f( a + 0) 和f( b 0) 存在”是f( x) 在( a,b) 上一致连续的充要条件. 从而有限开区间( a,b) 上一致连续的函数一定是有界的.

定理3有限开区间( a,b) 上的无界函数非一致连续.

对无限区间有类似定理:

定理4[a,+ ∞ ) 上的连续函数f( x) ,若f( + ∞ ) 存在,则f( x) 在[a,+ ∞ ) 上一致连续.

但对于[a,+ ∞ ) 上的连续函数f( x) ,“f( + ∞ ) 存在” 是f( x) 在[a,+ ∞ ) 上一致连续的充分非必要条件.

例2证明函数f( x) = sinx在[0,+ ∞ ) 上一致连续.

故对于任何正数 ε,取 δ = ε,那么当| x1- x2| < δ 时, | sinx1- sinx2| ≤ | x1- x2| < δ = ε. 结论得证.

又如果函数在区间I上可导,可以证明:

定理5若f( x) 在区间I上连续可导,并且导数有界, 则f( x) 在区间I上一致连续.

定理6若f( x) 在[a,+ ∞ ) 连续可导,并且f'( + ∞ ) = + ∞ ,则f( x) 在[a,+ ∞ ) 上非一致连续.

利用上述定理可以相对简便地判断出在 (0,+∞) 上一致连续; xlnx在(0,+∞) 上非一致连续; arctanx在 (-∞ ,+ ∞) 上一致连续; tanx在(0,π/上非一致连续等.(

三、引导学生发散思维,激发学习兴趣

上面介绍了一些一致连续的判别法,但是还有很多函数不能用上述方法判别. 例如:y=sinx2在(-∞,+∞) 上是否一致连续? 再比如虽然可以用上述判别方法判别tanx在(0,π/2)上非一致连续,是否能用定义给出严格证明? 还有连续函数加减乘之后都连续,那么一致连续函数是否有这样的性质? 通过这样一些问题引导学生发散思维,独立思考,不仅能加深对概念的理解,也激发了学生的学习兴趣,从而使学生在有限的课堂时间里得到更多的收获,达到理想的教学效果.

摘要：一致连续是数学分析课程中一个比较抽象的定义,对于刚接触高等数学的学生来说是比较难理解的.为了帮助学生在有限的课堂时间里更好的了解函数一致连续这一概念,在教学过程中笔者首先通过比较连续与一致连续的定义使学生初步了解这一概念;……其次学会用定义判断函数是否一致连续,选择一些比较具有代表性的结论作为例子讲解,使学生能够掌握一些简单的判别法;最后引导学生发散思维,鼓励学生独立思考,激发学生的学习兴趣,从而达到理想的教学效果.

模糊一致连续性 篇6

在决策分析中, 需要决策者对方案进行两两比较, 并构造判断矩阵。判断矩阵按其元素的构成方式可分为:互反判断矩阵和互补判断矩阵。与互反判断矩阵相比, 互补判断矩阵更符合人类决策思维的心理特性[1]。因而, 更容易为决策者掌握和使用。目前, 关于判断矩阵中元素为确定值的互反判断矩阵与互补判断矩阵的研究已趋于成熟[2,3,4,5,6,7]。文[8]还详细研究了互反判断矩阵和互补判断矩阵之间的转换关系。然而, 在实际决策过程中, 由于客观事物的复杂性, 人类思维的模糊性, 造成专家判断的不确定, 给出的判断值常常是不确定的数值, 以三角模糊数等模糊形式给出。因此, 关于此类不确定数互补判断矩阵的一致性和排序方法研究, 具有重要的实际应用价值。

目前, 关于三角模糊数互补判断矩阵的一致性及排序研究, 虽然已取得一些进展[9,10,11,12,13,14,15,16,17,18], 但还存在缺陷和不足。从已掌握的文献来看, 国内关于三角模糊数互补判断矩阵的排序方法主要可分为四类, 第一类是将三角模糊数互补判断矩阵转化成精确数互补判断矩阵, 继而求出权重向量[9,10,11,12], 第二类是基于信息集结算子的排序方法[13], 第三类是仿照传统层次分析法中按行求和归一化法求得方案的权重向量[14,15,16], 第四类则根据三角模糊数互补判断矩阵的乘性一致定义, 从最优化角度, 建立线性目标规划或非线性规划模型, 通过求解该模型得到判断矩阵的权重向量[17,18]。后三类方法求得的权重向量都是三角模糊数, 难以直接比较大小, 为此引入三角模糊数期望值公式[19]和可能度概念[14,15], 通过计算出的期望值或可能度进行权重向量的大小比较。关于第三类方法求得的权重向量差别不大, 一般不易区别。第四类方法, 基于乘性一致性角度构建的优化模型, 存在着三角模糊数上界值逼近于中值的趋势, 因而在使用LINGO软件求解时, 为使目标函数最小化, 求得的三角模糊数权重向量, 其上界与中值总是相等, 这与实际情况不符。

基于此, 本文从加性一致性角度, 讨论了三角模糊数互补判断矩阵与三角模糊数互反判断矩阵之间的相互转换关系, 基于最小二乘法, 构建了多层次非线性规划模型, 从而求得权重向量。最后, 算例分析表明该排序方法的可行性和有效性。

2 预备知识

设X={x1, x2, …, xn}为方案集, 记N={1, 2, …, n}。专家对决策方案进行两两比较, 按互反型标度或互补型标度赋值, 则给出互反判断矩阵或互补判断矩阵[8]。

定义1 设矩阵A= (aij) n×n, 若满足条件:aij>0, aij=1/aji, aii=1, i, j∈N, i≠j, 则称其为互反判断矩阵[17]。

定义2 设A= (aij) n×n是互反判断矩阵, 若满足条件:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互反判断矩阵[18]。

定义3 设矩阵B= (bij) n×n, 若满足条件:bij>0, bij+bji=1, bii=0.5, i, j∈N, i≠j, 则称其为互补判断矩阵[17]。

定义4 设B= (bij) n×n是互补判断矩阵, 若满足条件:bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互补判断矩阵[6]。

定理1 互补判断矩阵B= (bij) n×n与互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过下列公式[20]相互转化:

$\begin{array}{l}b{}_{ij}=0.5+0.2\log {}_{3}a{}_{ij}(1)\\ a{}_{ij}=3{}^{5(b{}_{ij}-0.5)}(2)\end{array}$

定理2 一致性互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过公式 (1) 、 (2) 相互转化。

设A= (aij) n×n是一致性互反判断矩阵, w= (w1, w2, …, wn) T是其权重向量, 其中, $w{}_i>0,{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w}{}_i=1,i\in {\rm N}$, 则有aij=wi/wj, i, j∈N. 将其代入式 (1) , 则有bij=0.5+0.2log3wi/wj, i, j∈N. 把该式代入bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则等式成立, 即B是一致性互补判断矩阵。因此, 若设B= (bij) n×n是一致性互补判断矩阵, v= (v1, v2, …, vn) T是其权重向量, 其中, $v{}_i>0,{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_i=1,i\in {\rm N}$, 则有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N.

3 三角模糊数判断矩阵

定义5 若a= (al, am, au) , 其中0<al≤am≤au, 且al和au分别为a所支撑的下界和上界, 它们表示模糊的程度, 且au-al越大, 模糊程度越强, am为a的中值, 则称a为一个三角模糊数, 其隶属函数可表示为[18]

$\mu {}_a(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x-a{}_l}{a{}_m-a{}_l},& a{}_l\le x\le a{}_m\\ \frac{x-a{}_u}{a{}_m-a{}_u},& a{}_m\le x\le a{}_u\\ 0,& \text{其}\text{它}\end{array}$

三角模糊数有以下运算性质[21]:设a= (al, am, au) , b= (bl, bm, bu) , 则

(1) a♁b= (al, am, au) ♁ (bl, bm, bu) = (al+bl, am+bm, au+bu) ;

(2) λ♁a= (λ, λ, λ) ♁ (al, am, au) = (λ+al, λ+am, λ+au) ;

(3) a·○b= (al, am, au) ·○ (bl, bm, bu) = (albl, ambm, aubu) ;

(4) λ·○a= (λ, λ, λ) ·○ (al, am, au) = (λal, λam, λau) ;

(6) ln (a) ≅ (ln (al) , ln (am) , ln (au) ) ;

(7) exp (a) ≅ (exp (al) , exp (am) , exp (au) ) 。

定义6 设判断矩阵A= (aij) n×n, 其中aij= (alij, amij, auij) 为三角模糊数, 并且0<alij≤amij≤auij, ∀i, j∈N, 若矩阵A满足:

(1) alii=1, amii=1, auii=1, ∀i∈N,

(2) alijauji=auijalji=amijamji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵A为三角模糊数互反判断矩阵[17]。

定义7 设判断矩阵B= (bij) n×n, 其中bij= (blij, bmij, buij) 为三角模糊数, 并且0<blij≤bmij≤buij, ∀i, j∈N, 若矩阵B满足:

(1) blii=0.5, bmii=0.5, buii=0.5, ∀i∈N,

(2) blij+buji=bmij+bmji=buij+blji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵B为三角模糊数互补判断矩阵[18]。

定义8 设A= (aij) n×n是三角模糊数互反判断矩阵, 若矩阵A满足:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称矩阵A为一致性三角模糊数互反判断矩阵[18]。

定义9 设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 若矩阵B满足:

(1) bmij+bmjk+bmki=1.5,

(2) blij+bljk+blki+buij+bujk+buki=3, ∀i, j, k∈N,

则称矩阵B为一致性三角模糊数互补判断矩阵[20]。

定理3 三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

定理4 一致性三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

4 排序方法

设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 其中, bij= (blij, bmij, buij) , 设v= (v1, v2, …, vn) T是判断矩阵B的权重向量, 其中vi= (vli, vmi, vui) , i∈N, 则当B是一致性三角模糊数互补判断矩阵时, 有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N, 即

$\begin{array}{l}(b{}_{lij},b{}_{mij},b{}_{uij})=0.5+0.2\log {}_3(v{}_{li},v{}_{mi},v{}_{ui})/(v{}_{lj,}v{}_{mj},v{}_{uj})\\ =0.5+0.2\log {}_3(v{}_{li}/v{}_{uj},v{}_{mi}/v{}_{mj},v{}_{ui}/v{}_{lj}),i,j\in {\rm N}\end{array}$

也即

$\begin{array}{l}b{}_{lij}=0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{li}/v{}_{uj}\\ b{}_{mij}=0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{mi}/v{}_{mj}\\ b{}_{uij}=0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{ui}/v{}_{lj}\\ i,j\in {\rm N}(3)\end{array}$

然而, 由于决策者在实际决策过程中所给出的三角模糊数互补判断矩阵往往是非一致性的, 因此式 (3) 一般不成立。为此引入偏差函数

$\{\begin{array}{l}f{}_{lij}=[b{}_{lij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{li}/v{}_{uj})]{}^2\\ f{}_{mij}=[b{}_{mij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{mi}/v{}_{mj})]{}^2\\ f{}_{uij}=[b{}_{uij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{ui}/v{}_{lj})]{}^2\\ i,j\in {\rm N}\end{array}$

显然, 为了得到合理的权重向量v= (v1, v2, …, vn) T, 上述偏差函数总是越小越好, 因此建立下列多目标优化模型:

$\{\begin{array}{l}\min f{}_{lij}=[b{}_{lij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{li}-0.2\log {}_{3}v{}_{uj})]{}^2\\ \min f{}_{mij}=[b{}_{mij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{mi}-0.2\log {}_{3}v{}_{mj})]{}^2\\ \min f{}_{uij}=[b{}_{uij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{ui}-0.2\log {}_{3}v{}_{lj})]{}^2\\ 0<v{}_{li}\le v{}_{mi}\le v{}_{ui}\le 1\\ 0<{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_{li}\le 1\le {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_{ui},i,j\in {\rm N}\end{array}$

为了求解该优化模型, 由于每个目标函数希望达到的期望值均为0, 且根据三角函数的定义可知bmij为最可能值, 其隶属度为1, 因而在寻求最优解时, 应优先使fmij最小, 优先求得vmij, 可建立下列多层次非线性规划模型:

$\begin{array}{l}\text{m}\text{i}\text{n}J={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle \sum _{j=1}^n\{\begin{array}{l}{\rm P}{}_1[b{}_{mij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{mi}-0.2\log {}_{3}v{}_{mj})]{}^2\\ {\rm P}{}_2\{[b{}_{lij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{li}-0.2\log {}_{3}v{}_{uj})]{}^2\\ +[b{}_{uij}-(0.5+0.2\log {}_{3}v{}_{ui}-0.2\log {}_{3}v{}_{lj})]{}^2\}\end{array}}}\\ \text{s}.\text{t}.0<v{}_{li}\le v{}_{mi}\le v{}_{ui}\le 1\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_{mi}=1\\ 0<{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_{li}\le 1\le {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v}{}_{ui}\\ i,j\in {\rm N}\end{array}(4)$

其中, P1, P2表示优先等级, P1>P2. 可使用LINGO软件先求解P1层次目标函数, 得到解vmi (i∈N) , 然后将其作为约束条件, 求解P2层次目标函数, 得到解vli, vui (i∈N) 。由于vi (i∈N) 是三角模糊数, 不便直接比较其大小, 因此, 采用文献[19]中的公式:

$\begin{array}{l}v{}_i^{(\alpha )}=\frac{1}{2}[(1-\alpha )v{}_{li}+v{}_{mi}+\alpha v{}_{ui}],\\ 0\le \alpha \le 1,i\in {\rm N}(5)\end{array}$

计算三角模糊数的期望值, 其中α值的选择取决于决策者的风险态度。当α>0.5时, 称决策者是追求风险;当α=0.5时, 表示决策者是风险中立的;当α<0.5时, 称决策者是厌恶风险的。由v (α) i (i∈N) 的值可得相应方案排序结果。

5 算例分析

设决策者针对方案集合{x1, x2, x3, x4}给出的三角模糊数互补判断控阵为[16]

$\begin{array}{l}B=\\ \left[\begin{array}{l}(0.5,0.5,0.5)(0.4,0.6,0.7)(0.1,0.7,0.7)(0.3,0.5,0.5)\\ (0.3,0.4,0.6)(0.5,0.5,0.5)(0.1,0.3,0.4)(0.3,0.5,0.7)\\ (0.3,0.3,0.9)(0/6,0.7,0.9)(0.5,0.5,0.5)(0.2,0.4,0.6)\\ (0.5,0.5,0.7)(0.3,0.5,0.7)(0.4,0.6,0.8)(0.5,0.5,0.5)\end{array}\right]\end{array}$

根据模型 (4) , 利用软件LINGO求解可得矩阵B的三角模糊数权重向量:

$\begin{array}{l}v{}_1=(v{}_{l1},v{}_{m1},v{}_{u1})=(0.155,0.36,0.36)\\ v{}_2=(v{}_{l2},v{}_{m2},v{}_{u2})=(0.135,0.158,0.243)\\ v{}_3=(v{}_{l3},v{}_{m3},v{}_{u3})=(0.208,0.208,0.636)\\ v{}_4=(v{}_{l4},v{}_{m4},v{}_{u4})=(0.268,0.274,0.483)\end{array}$

利用式 (5) 可得

$\begin{array}{l}v{}_1^{(\alpha )}=0.2575+0.0525\alpha \\ v{}_2^{(\alpha )}=0.1465+0.054\alpha \\ v{}_3^{(\alpha )}=0.208+0.214\alpha \\ v{}_4^{(\alpha )}=0.271+0.1075\alpha \end{array}$

显然, 对任意0≤α≤1, 均有v (α) 4>v (α) 1>v (α) 2及v (α) 3>v (α) 2. 当0≤α<0.3065时, 有v (α) 1>v (α) 3, 当0.5915<α≤1时, 有v (α) 3>v (α) 4, 因此有:

(1) 若0≤α<0.3065, 则有v (α) 4>v (α) 1>v (α) 3>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x1≻x3≻x2.

(2) 若α=0.3065, 则有v (α) 4>v (α) 1=v (α) 3>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x1～x3≻x2.

(3) 若0.3065<α<0.5915, 则有v (α) 4>v (α) 3>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x3≻x1≻x2.

(4) 若α=0.5915, 则有v (α) 4=v (α) 3>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4～x3≻x1≻x2.

(5) 若0.5915<α≤1, 则有v (α) 3>v (α) 4>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x3≻x4≻x1≻x2.

由以上结果可知, 方案的排序结果受决策者风险态度的影响。

本文结果与文[16]结果相比, 取α=0.5时, 得权重向量为:v= (0.2838, 0.1735, 0.315, 0.3248) T, 各权重值之间有明显的差别, 方案排序结果与文[16]结果相一致。