旋转体的体积的计算

2024-06-14

旋转体的体积的计算（共4篇）

旋转体的体积的计算篇1

在高等数学中给出了X型平面图形{ (x, y) |a≤x≤b, f1 (x) ≤y≤f2 (x) }和Y型平面图形{ (x, y) |c≤y≤d, φ1 (y) ≤x≤φ2 (y) }绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式.本文利用坐标系的平移及定积分的换元法等知识, 将旋转体的体积公式加以推广.

引理设D是由曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 所围成的混合型平面图形, 且位于第Ⅰ象限 (如图1所示) , 则平面图形D绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

Vx=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

证明在平面直角坐标系内取一点 (x5, y5) , 使

x5≥max{φ2 (y) |y2≤y≤y4}, y5=y4, 则

Vx=πy $_{3}^{2}$ x3+π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx+πy $_{5}^{2}$ (x5-x4) -

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πy $_{1}^{2}$ x1-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$

$\begin{array}{l} f_{1}^{2} (x) d x - \\ [π y_{5}^{2} x_{5} - π y_{2}^{2} x_{5} + 2 π \int_{y_{2}}^{y_{4}} y φ_{2} (y) d y] \end{array}$

=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

定理设D是由曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 所围成的混合型平面图形, 且位于x轴上侧 (如图2所示) , 则平面图形D绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

证明将坐标系平移, 使得平面图形位于新坐标系x′O′y′的第Ⅰ象限内, 且设曲线y=f1 (x) , y=f2 (x) , x=φ1 (y) , x=φ2 (y) 在新坐标系x′O′y′下的方程分别为

y′=g1 (x′) , y′=g2 (x′) , x′=ψ1 (y′) , x′=ψ2 (y′) ,

则

${\begin{cases} x = x^{'} + x_{0} ‚ \\ y = y^{'} ‚ \end{cases}$

且

Vx=π∫ $_{x_{3}^{´}}^{x_{4}^{´}}$ g $_{2}^{2}$ (x′) dx′-π∫ $_{x_{1}^{´}}^{x_{2}^{´}}$ g $_{1}^{2}$ (x′) dx′+

2π∫ $_{y_{2}^{´}}^{y_{4}^{´}}$ y′ψ2 (y′) dy′-2π∫ $_{y_{1}^{´}}^{y_{3}^{´}}$ y′ψ1 (y′) dy′-

πx′1y′ $_{1}^{2}$ +πx′2y′ $_{2}^{2}$ +πx′3y′ $_{3}^{2}$ -πx′4y′ $_{4}^{2}$

=π∫ $_{x_{3}^{´}}^{x_{4}^{´}}$ f $_{2}^{2}$ (x′+x0) d (x′+x0) -π∫ $_{x_{1}^{´}}^{x_{2}^{´}}$ f $_{1}^{2}$ (x′+x0) ·

d (x′+x0) +2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ y[φ2 (y) -x0]dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ y[φ1 (y) -x0]dy-π (x1-x0) y $_{1}^{2}$ +

π (x2-x0) y $_{2}^{2}$ +π (x3-x0) y $_{3}^{2}$ -π (x4-x0) y $_{4}^{2}$

=π∫ $_{x_{3}}^{x_{4}}$ f $_{2}^{2}$ (x) dx-π∫ $_{x_{1}}^{x_{2}}$ f $_{1}^{2}$ (x) dx+2π∫ $_{y_{2}}^{y_{4}}$ yφ2 (y) dy-

2π∫ $_{y_{1}}^{y_{3}}$ yφ1 (y) dy-πx1y $_{1}^{2}$ +πx2y $_{2}^{2}$ +πx3y $_{3}^{2}$ -πx4y $_{4}^{2}$ .

注类似地可得到位于x轴下侧的混合型平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积公式及位于y轴右 (左) 侧的混合型平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积公式.

例求由曲线y=x3-3x2+2x+1 (1≤x≤2) , y=-x3+6x2-11x+8 (2≤x≤3) , x=2y3-6y2+5y (1≤y≤2) , x=y2-2y+3 (1≤y≤2) 所围成的平面图形 (如图3所示) 绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

解可求得交点坐标分别为

(1, 1) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 2) ,

则Vx=π∫ $_{2}^{3}$ (-x3+6x2-11x+8) 2dx-π∫ $_{1}^{2}$ (x3-3x2+

2x+1) 2dx+2π∫ $_{1}^{2}$ y (y2-2y+3) dy-2π∫ $_{1}^{2}$

$\begin{array}{l} y (2 y^{3} - \\ 6 y^{2} + 5 y) d y - π \times 1 \times 1^{2} + π \times 2 \times 1^{2} + π \times 2 \times \\ 2^{2} - π \times 3 \times 2^{2} \\ = \frac{83}{15} π . \end{array}$

摘要：本文在X型平面图形和Y型平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式的基础上, 利用坐标系的平移变换及定积分的换元积分法等知识, 推广了混合型旋转体的体积公式, 并给出了相应的证明.

关键词：平面图形,混合型旋转体,体积公式,换元积分法,坐标系平移

参考文献

杨万禄等.高等数学 (上册) (第一版) [M].北京:高等教育出版社, 1997.

旋转体的体积的计算篇2

教学内容：教科书第44页的例5，完成第44页;“做一做”的第2题和练习十一的第3―7题。

教学目的：使学生掌握圆柱体积的计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。

教具准备：一个圆柱形物体，一个圆柱形杯子。

教学过程()：

一、复习

1.口算。

出示练习十一的第3题(可以用卡片或用投影出示)：

4.5十0.37 0.25×8 5.8十2.9

7.2÷9 6.1―4.8 十

- ÷ ×

2，复习圆柱的体积。

教师：我们是怎样得到圆柱体积的计算公式的?圆柱体积的计算公式是什么?

指名学生叙述一下圆柱体积计算公式的推导过程，使学生明确求圆柱的体积是通过切拼成长方体来求得的。圆柱体积的计算公式是“底面积×高”，即：V=SH.

二、新课

1.教学圆柱体积公式的另一种形式。

教师：请大家想一想，如果已知圆柱底面的半径r和高H，圆柱体积的计算公式

应该怎样表达?

引导学生根据底面积S与半径r的关系可以知道：S=∏×R × R，所以圆柱体积的计算公式也可以写成：V=∏×R×R×H。

2.教学例5。

出示例5。

(1)教师提出下面问题帮助学生理解题意：

①这道题已知什么?求什么?

②求水桶的容积是什么意思?根据什么公式?为什么?

要使学生理解水桶的容积就是水桶能容纳物体的体积，求水桶的容积就是求这个圆柱形水桶内部的体积。所以可以根据圆柱体积的计算公式来计算。

⑧要求水桶的容积应该先求什么?

要使学生明确，水桶的底面积在题中没有直接给出，因此要先求水桶的底面积，再求水桶的容积。

①水桶的底面积应该怎样求?

(2)让学生叙述解答过程，教师板书。

求出水捅容积之后，教师提问：最后结果应该怎样取值?

使学生明确要把计量单位改写成立方分米，取近似值时要采用去尾法。

(3)做第44页。做一做”的第2题。

让学生独立做在练习本上，做完后集体订正。

三、课堂练习

1.做练习十一的第4题。

这是一道实际测量、计算的`题目，可以分组进行测量和计算，每组的茶杯可以是不一样的。教师可以先让学生讲一下自己的测量方法，再进行测量和计算。

学生测量时，教师行间巡视，注意察看学生测量的方法是否正确，对有困难的学，生要及时给予指导。

做完后集体订正，要注意强调不能只计算出茶杯的体积，还要计算出可以装多少克水，以及取近似数的方法。

2.做练习十一的第5题。

读题后.教师可以先后提问：

“这道题要求的是什么?”

“题目只告诉了圆柱形粮食囤的底面半径和高，要求这个粮囤能装稻谷多少立方米，应该先求什么?怎样求?”

指名学生回答后，再让学生独立做在练习本上，教师巡视。

做完后集体订正，强调得数的取舍方法。

3.做练习十一的第6题。

教师：这道题已知什么?求什么?

指名学生回答后，再问：应该怎样求?

引导学生从圆柱的体积计算公式入手，可以直接用算术方法计算，也可以列方程来解答。

4.做练习―十一的第7题。

读题后，教师可提出以下问题：

“这道题要求的是什么?”

“怎样利用已知条件求出这个油桶的容积?”

“题目中的条件和问题的单位不统一。应该怎样改写更简便?”分别指名学生回答。要使学生明白，这里可以先将40厘米和50厘米分别改写成4分米和5分米计算更简便。

让学生独立做在练习本上，教师行间巡视，注意察看学生对圆柱体积计算方法是否掌握，计量单位是否按照题目的要求进行改写，最后得数的取舍是否正确。

旋转体的体积的计算篇3

一般高等数学、数学分析教材中, 只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 但是, 根据几何体体积的积分公式可以推证, 平面曲线y=f (x) 上介于M, N两点间的曲线段绕同平面直线L:Ax+By+C=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为:

$V = \frac{π}{(A^{2} + B^{2})^{\frac{3}{2}}}$ ∫ $_{a}^{b}$ [Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx. (a)

其中a, b分别为M, N两点所对应的x值.

依此公式, 不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算, 同时, 坐标轴作为坐标平面直线L的特殊形式, 由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 自然也可作为公式 (a) 的特殊形式而得到.公式 (a) 的推导有多种方法, 通过坐标变换推导, 不失为其中方法之一.

一、公式的坐标变换法推导

在直线L:Ax+By+C=0的任意一条垂线与曲线y=f (x) 至多有一个交点的假定条件下, 若B≠0, 直线L与y轴的交点为 $(0, - \frac{C}{B})$ , 设直线L在坐标系xOy上的倾斜角为θ, 则 $\tan θ = - \frac{A}{B}$ , 且

(1) 若A≥0, B>0, 则

(2) 若A<0, B>0, 则 $\sin θ = - \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}, \cos θ = \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ ;

(3) 若A≥0, B<0, 则

(4) 若A<0, B<0, 则 $\sin θ = - \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}, \cos θ = \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

在 (2) (3) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一锐角或为零角, 通过坐标轴移轴、转轴的复合变换

${\begin{cases} \bar{x} = x c o s θ + (y + \frac{C}{B}) \sin θ, \\ \bar{y} = - x s i n θ + (y + \frac{C}{B}) \cos θ, \end{cases}$

可使直线L与 $\bar{x}$ 轴重合.而在 (1) (4) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一钝角, 通过变换

${\begin{cases} \bar{x} = x c o s [- (π - θ)] + (y + \frac{C}{B}) \sin [- (π - θ)], \\ \bar{y} = - x s i n [- (π - θ)] + (y + \frac{C}{B}) \cos [- (π - θ)] ‚ \end{cases}$

即

${\begin{cases} \bar{x} = - x c o s θ - (y + \frac{C}{B}) \sin θ, \\ \bar{y} = x s i n θ - (y + \frac{C}{B}) \cos θ ‚ \end{cases}$

也可使直线L与 $\bar{x}$ 轴重合.

如图1, 经过上述坐标变换, 设曲线y=f (x) 上M, N两点所对应的x值分别为a, b, 所对应的 $\bar{x}$ 值分别为α, β, 根据已有的已知截面面积A (x) 的几何体体积公式V=∫ $_{a}^{b}$ A (x) dx可知, M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积为V=∫ $_{α}^{β}$ $π \bar{y}^{2} d \bar{x} .$

其中 $| \bar{y} |$ 为曲线上的点P到 $\bar{x}$ 轴的距离, 也是P点到直线L的距离, 即

$| \bar{y} | = \frac{| A x + B y + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| A x + B f (x) + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

在 (2) (3) 情形的变换下 $d \bar{x} = [\cos θ + f^{'} (x) \sin θ] d x .$

而在 (1) (4) 情形的变换下 $d \bar{x} = [- \cos θ - f^{'} (x) \sin θ] d x .$

以不同情形下的sinθ, cosθ的值分别代入, 有

$(1) d \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} [B - A f^{'} (x)] d x;$

$(2) d \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} [B - A f^{'} (x)] d x;$

$(3) d \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} [- B + A f^{'} (x)] d x;$

$(4) d \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} [- B + A f^{'} (x)] d x .$

综上, 有

$d \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} | A f^{'} (x) - B | d x .$

从而

$\begin{array}{l} V = \int_{α}^{β} π \bar{y}^{2} d \bar{x} \\ = \frac{π}{(A^{2} + B^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{array}$

∫ $_{a}^{b}$ [Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx.

若B=0, 直线L的方程为Ax+C=0, 即 $x = - \frac{C}{A}$ , 如图2, 不难看到, 曲线段绕直线L旋转所得的旋转体的体积为

∫ $_{a}^{b}$ [Ax+0·f (x) +C]2|Af′ (x) -0|dx.

于是 $V = \frac{π}{(A^{2} + B^{2})^{\frac{3}{2}}}$ ∫ $_{a}^{b}$ [Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx便可作为曲线y=f (x) 上M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积的一般积分公式.

特别地, 若直线L为x轴, 直线方程为y=0, 即A=0, B=1, C=0, 由以上公式有

V=∫ $_{a}^{b}$ πf2 (x) dx. (b)

而当直线L为y轴时, 直线方程为x=0, 即A=1, B=0, C=0, 则有

V=∫ $_{a}^{b}$ πx2|f′ (x) |dx. (c)

二、应用举例

例1 求由y=x, y=x2所围的图形绕直线L:x+y+1=0旋转而成的旋转体的体积.

解如图3, y=x与直线L:x+y+1=0垂直, y=x2在点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ 处的切线与y=x平行, 所以

例2 求由y=x2及y=0, x=1所围成的区域绕x=1旋转所得旋转体的体积.

解旋转轴方程为x-1=0, 如图4, 由公式 (a) 即得

V=π∫ $_{0}^{1}$ (x-1) 2|2x|dx

$\begin{array}{l} = π \int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x + 1) 2 x d x \\ = \frac{1}{6} π . \end{array}$

例3 求由y=sinx, y=0 (0≤x≤π) 所围成的区域绕y轴旋转所得旋转体的体积.

解如图5, 由公式 (c) 得

作为更一般的例子, 由y=f (x) , x=a, x=b及y=0所围成区域绕y轴旋转所得旋转体体积公式, 也可由 (c) 推出.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]复旦大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]陈抚良, 张振兰, 黄浩然.解析几何[M].北京:科学出版社, 2005.

[4]龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安:西安交通大学出版社, 2000.

旋转式滗水器设计的动力学计算篇4

旋转式滗水器设计的动力学计算

摘要：在对旋转式滗水器进行了水力学和运动学计算的`基础上,对旋转式滗水器进行了动力学计算,给出了其动力学计算公式,与水力学和运动学计算公式一起,共同给出了旋转式滗水器完整的设计计算公式.作者：盛义平王秀丽李峥 Sheng Yiping Wang Xiuli Li Zheng 作者单位：燕山大学环境与化学工程学院,秦皇岛,066004期刊：环境污染治理技术与设备 ISTICPKU Journal：TECHNIQUES AND EQUIPMENT FOR ENVIRONMENTAL POLLUTION CONTROL年，卷(期)：,7(12)分类号：X703.3关键词：旋转式滗水器动力学计算设计

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