中考数学几何一题多解

中考数学几何一题多解（通用13篇）

中考数学几何一题多解 篇1

初中三年级中考复习近平面几何证明题一题多解

如图：已知青AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。

分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主

要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性

质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这

里向初中三年级同学面对中考需对平面几何

证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。

下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好

者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是

一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱：.证法一∧≌∠⊥∥△□°

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二A

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B所以BF=FM，又∠4=∠3∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

F

C

证法三 E

以BC为对称轴作△BDF的对称△BDN，连

接NE，则△DBF≌△DBN，DF=DN，BN=BF，NF⊥BD，∠FBD=∠NBD，又因为∠C=∠FBD

所以∠NBD=∠C。BN∥CE，CE=BF=BN，所以四边形BNCE为平行四边形。故NF∥BC，所以NF⊥NE，因FN衩BD垂直平分，故D

EN是FE的中点，所以FD=DE。（也可证明D是直角△NEF斜边的中点）。

证法四：

证明：在CA上取CG=CE，则CG=BF，AF=AG，所以FG∥DC，又因为∠1=∠2，所以FBCG为等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。

E

证法五

证明：把△EDC绕C点旋转180°，得△GMC，则△EDC≌△GMC

M

CE=GC=BF

连接FG，由于GC=BF，从而AF=AG，∠1=∠AFG FG∥BC，所以FBMG为等腰梯形，所以 FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。证法六

证明：以BC为对称轴作△DCE的对称△DCN，则和△DCE≌△DCN；CN=CE=BF ∠2=∠3；又∠1=∠3，∠B=∠1所以

∠2=∠B，BF∥CN，所以四边形BCNF为平

行四边形，DC ∥FG，∠1=∠4，所以 ∠2=∠4=∠CNG，所以 CG=CN=CE； 故DC是DC是△EGF的中位线。所以 FD=DE。

证法七

证明：延长AB至G，使BG=CE，又因AB=AC，BF=CE则AG=AE

ABAG

ACAE

所以BC∥GE，则BD是△FGE

G

E的中位线。所以FD=DE。

中考数学几何一题多解 篇2

这个定理是任意一个三角形的一个重要性质, 在理论上和实践中都有广泛的应用, 因此学好它并了解它的一些证明方法是很有必要的。

证明这个定理的关键是如何添加辅助线, 而画辅助线的目的是通过做平行线把三角形的三个角移到一起, 这就使辅助线的画法很多, 因此证明方法也很多, 下面就介绍几种这个定理的证明方法:

首先根据定理的内容, 画出图形, 写出已知, 求证。

已知:如图, △ABC求证:∠A+∠B+∠C=180° (下面五种证明方法中的已知, 求证均同上) 。

证法1:分析:如图1, 可以延长一边BC得到一个平角△∠BCD, 然后以CA为一边, 在△ABC的外部画∠ACE, 所画∠ACE=∠B, 即可证明。

证明:作BC的延长线CD, 在△ABC的外部, 以CA为一边, CE为另一边, 画∠1=∠A, 于是, CE∥BA (内错角相等, 两直线平行) 。

∠B=∠2 (两直线平行, 同位角相等)

又∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)

∠A+∠B+∠ACB=180°

证法2:

分析:如图2, 可过点A画DE∥BC, 从而证明∠B=∠1、∠C=∠2。

证明:过点A画DE∥BC, 于是∠1=∠B, ∠2=∠C (两直线平行, 内错角相等) .

又∠1+∠2+∠BAC=180° (平角的定义) 。

∠C+∠B+∠BAC=180°。

证法3:

分析:如图3, 可以过点C作CD∥BA, 利用两直线平行、同旁内角互补证明。

证明:过点C作CD∥BA, 于是∠ACD=∠A (两直线平行内错角相等) 。

而∠B+∠BCD=180 (两直线平行, 同旁内角互补) 。

∠BCD=∠BCA+∠ACD,

∠B+∠BCA+∠ACD=180°,

即∠A+∠B∠BCA=180。

证法4:

分析:如图4, 可以在边BC上取一点D, 过点D画DE∥BA、DF∥CA利用平行线的性质可证。

证明:在BC上取一点D, 过点D分别作DE∥BA、DF∥CA, 于是,

DE∥BA (辅助线作法) ,

∠B=∠2 (两直线平行, 同位角相等) ,

∠3=∠BFD (两直线平行, 内错角相等) ,

又DF∥CA (辅助线作法) ,

∠1=∠C, ∠A=∠BFD (两直线平行, 同位角相等) ,

∠3=∠A (等量代换) ,

又∠1+∠2+∠3=180° (夹角的定义) 。

∠A+∠B+∠C=180°。

证法5:

分析:如图5, 可延长边BC到D, 过点C作CE∥BA, 利用平行线的性质, 得∠B=∠1、∠A=∠2。

证明:延长边BC到D, 过点C作CE∥BA, 于是

∠B=∠1 (两直线平行同位角相等) ,

∠A=∠2 (两直线平行, 内错角相等) ,

又∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ,

中考数学压轴题的一题多解思路 篇3

关键词：中考数学 压轴题 一题多解

在每年的初中升学数学复习时，教师总编较多的数学压轴题让学生练习，其目的是让学生从练习中巩固知识，寻求规律，同时摸索解题思路和方法，积累解答数学的技能。我认为教师编的习题不在于多而在于精，并在精题上通过教师的有效点拨，使学生融会贯通，举一反三。其中一题多解会起到重要的作用：加强一题多解的训练，可以帮助学生从不同的角度来思考问题，活跃学生的解题思路，开阔视野，煅炼学生思维的敏捷性，提高学生的思维能力和灵活运用各种知识解决问题的能力，同时还可以加深对数学过程的理解，激发学生的学习兴趣，从而在复习过程中达到事半功倍之效。下面我就2011年遵义初中第27题用不同的方法简单分析。

27．（14分）如图，已知抛物线 的顶点坐标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）（3分）

∵抛物线的顶点为Q（2，-1）

∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴ ， 即

（2）（7分）分两种情况：

①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令 =0, 得

解之得 ,

∵点A在点B的右边,

∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0)

②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)

∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2=

当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= ,∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称.

设直线AC的函数关系式为

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

, ∴

∴

∵D2在 上, P2在 上,

∴设D2( , ), P2( , )

∴( )+( )=0

, ∴ , (舍)

∴当 =2时,= =-1

∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)

∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)

(3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,-1), ∴可令F( ,1)∴

解之得:,

∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1)。

点评：

1、本题以平面直角坐标系为背景，考查了学生对二次函数的理解，主要考查用待定系数法求二次函数的解析式等基础知识、基本技能。此题第一问入口容易，易上手得分。

2、第二问以动带静，考查数型结合思想、分类讨论等。

3、第三问要在第二问的基础上再分类讨论。

4、本题解法多，思路宽，入手易。

下面我们再研究第二问的不同解法。

解法二：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②又AB=2，∠OAD2= ,Q(2，-1)，

作QH⊥AB于H，∴QH=1，

QH=1/2AB=AH=1, ∴∠QAD= ,

∴当点P与点Q重合时

△PAD是直角三角形，

∴P的坐标为P2（2，-1）

解法三：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②连接CQ、AQ，可得

,

∵

∴∠CAQ= ,(勾股定理逆定理)，

即当点P移动到点Q（顶点）时，

有∠CAP(Q)=,

∴△PAD是直角三角形，

∴P的坐标为P2（2，-1）

解法四：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②若∠DAP= ，设DP与OA交于点H，

∵∠OAD= ，∴∠OAP= ,

设AH=HP=x，

∴OH=3-x，则P（3-x,-x）,

点P在抛物线 上，

∴有 ，

解之得

当 时，P（3，0），

与点A重合（舍）；

当 时，P2（2，-1），与Q重合…

解法五：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②过点A作AP⊥CA，交抛物线

于点P，作PD∥ 轴,交OA于H，

设HB= ,AH= ,

显然，DH=AH=PH= ，

OH= ，

∴P（ ， ），

将点P坐标代入 ，

得 ，

解之得，

当 时，P2（2，-1）与Q重合；

当 时，P（3，0）与A重合（舍）

解法六：（利用相似求解）

直线AC:, D(x,-x+3),

DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,

延长DP交OA于点E，

∵A（3,0），E（x,0）

∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=

①当∠DPA=∠COA= 时，

∵PD∥ 轴,

∴△PAD∽△COA, ,

即 ，解之得，

∴P（1，0）与B重合，P（3，0）与A重合（舍）

②当∠DAP=∠COA= 时,

△PAD∽△COA, ,

即 ，解之得，

∴P（2，-1）与Q点(顶点)重合，

∴P1（1，0），P2（2，-1）

中考数学几何一题多解 篇4

通过对以下这道题的多种证法，可以归纳总结出证“垂直”的多种方法，提高了我的论证能力，形成多方面探索思考的良好习惯。

证明如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．

求证：△ABC是直角三角形．

证法1如图1，利用两锐角互余．

∵AD=CD，CD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法2如图2，利用等腰三角形的三线合一．

延长AC到E使CE=AC，连接BE．

∵AD=BD，∴CD是△ABE的中位线．

121∵CDAB，2 ∴CDBE。∴AB=BE．

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．

证法3如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．

过点D作DE⊥BC交BC于点E．

∴CD=BD，1

BEBD1∴，BCAB2 ∴BEBC，∵∠B是公共角，∴△BDE∽△BAC。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法4如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．

取BC中点E，连接DE．

∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线．

∴DE∥AC．

∵CD=BD，CE=BE，∴DE⊥BC．

∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

证法5如图5，构造四边形，并证其为矩形．

延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．

∵AD=BD=CD．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．

证法6如图6，利用勾股定理的逆定理．

设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE．

∴DE是△ABC的中位线． ∴DEACb。

∵CD=BD，∴DE⊥BC。

在Rt△DEB中，∵DE2BE2BD2，111∴bac。222222121

2∴a2b2c2，∴△ABC是直角三角形。

证法7如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD到E使DE=CD，连接BE。

∵AD=BD，∠1=∠2，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠ACD=∠E，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°。

又∵AD=CD，∴AB=CE。

∵BC是公共边，∴△ACB≌△EBC（SSS）。

∴∠ACB=∠EBC。

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法8如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D为圆心，DA长为半径作圆。

∵AD=BD=CD，∴点C、B在圆上，AB是直径。

∴∠ACB=90°。

∴△ABC是直角三角形。

一题多解典型案例张 篇5

张国胜

通过几年初中数学的教学，在解一些数学题时往往一道数学题用几种不同的方法都能解决。有的简单有的稍微要复杂一些，而在解题时复杂的方法浪费时间、简单的方法节省时间。下面我就在初中阶段的一题多解的典型例题分析谈谈我的看法。

在比较大小的数学题中，经常会遇到一题多解的数学题。【比较大小问题】

【例1】 当0

解：∵0x>x2

方法2 作差法：

∵两数相减可以取正数、负数、0，那么用a、b表示两数，能得到三种情况： 当a－b>0时，a>b 当a－b=0时，a=b 当a－b<0时，a

∴此题的解法为x2－x=x（x－1）∵0

1x211同理 x－=<0 综上所述∴>x>x2

xxx

中考数学几何一题多解 篇6

发散思维也叫辐射思维、求异思维 , 其特点就是对一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系去启发诱导同学 , 通过不同的思路去解答同一个问题，引导同学讲述各自解题思路和算理，沟通解与解之间的联系，促进思维发展，从而得出某一问题的大量答案。在平时的教学活动中，对于同一道应用题，由于考虑的角度不同，解题的思路和方法也各异。此时，教师有意识地激发同学思维的发明性、灵活性，使同学在积极主动的状态下探索，为同学的思维发散提供情景、条件和机会。进行一题多解的训练，是培养同学思维的敏捷性，提高同学的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的`方法 , 能促进同学智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。

所谓一题多解，主要体现在没有唯一的、固定的模式，而是以其多样化的答案为明显的特征。可以通过纵横发散、知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。是培养同学发散思维的好方法。解题时，教师引导同学从一个问题动身，根据所给条件，突破固有的解题思路和思维定势，去寻找不同的解题方法，才干达到预期效果。下面分别举出同学在练习中出现的几种解题思路。

例题：两箱茶叶共重 176 千克，已知甲箱比乙箱多 12 千克，两箱茶叶各多少千克？

［解法一］从疏理解题思路入手 , 善于抓住解题关键，根据问题，理解甲箱比乙箱多 12 千克 ，反之乙箱就比甲箱少 12 千克 。

甲箱：（ 176 ＋ 12 ）÷ 2 ＝ 94 （千克）

乙箱：（ 176 － 12 ）÷ 2 ＝ 82 （千克）

［解法二］将总重量减去甲箱多的 12 千克 后求平均 , 得出乙箱重量 , 再加 12 千克 求出甲箱重量。

176 － 12 ＝ 164 （千克）

乙箱： 164 ÷ 2 ＝ 82 （千克）

甲箱： 82 ＋ 12 ＝ 94 （千克）

［解法三］对数量关系进行逆考虑：将总重量求出平均数，甲箱加 6 千克和乙箱减 6 千克后，得出甲箱比乙箱多 12 千克。

176 ÷ 2 ＝ 88 （千克）

甲箱： 88 ＋ 6 ＝ 94 （千克）

乙箱： 88 － 6 ＝ 82 （千克）

通过多角度、多方面的变化问题，可提高同学分析问题，灵活运用已有知识，全面观察问题的能力。以上的解法，同学认识到：解应用题最关键是找出己知条件，要求的问题，弄清解题思路，对各步算式表示的意义准确地写出来，并结合学过的知识进行多种考虑，就会找到不同的解法。在这些解法中，有的比较具体，有的比较笼统。凡遇到复杂应用题时，可应用假设法、分析法、逆转法、代换法进行转化，化难为易，化繁为简，化生为熟，然后找出合理、简捷的解题途径。这样可以大大提高同学解题的速度和能力。

可见发散思维是多角度、多层次、多结构的。它对探究问题和解决问题可能提供多种多样的思路和方法。模糊的思维方式通过反复练习可以转变为清晰的有序的思维，分析能力就会加强。发散思维思路广阔，同学处在一个积极主动的探索状态，体现了一种发明精神。

中考数学几何一题多解 篇7

一、一题多解有效地锻炼了学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和创新性

一题多解一是锻炼了学生思维的广阔性。在课堂教学中, 通过对学生不同的启发与提示, 引导学生进行“一题多解”的训练, 能较好地锻炼学生思维的广阔性。二是锻炼了学生思维的深刻性。这一点主要表现在审题时能发现和抓住问题的基本特征, 挖掘出隐含条件, 从而找到解题途径, 还表现在解题之后, 能主动总结反思, 及时总结规律。三是锻炼了学生思维的灵活性。数学问题变化多样, 可以通过一题多解, 锻炼学生思维的灵活性, 不受制于思维定势, 及时地提出富有个性的设想和解题方案。四是锻炼学生思维的创新性。通过一题多解, 可以激发学生的学习兴趣, 树立学好数学的信心, 同时从别人的解题方法中得到启发, 形成自己的解题思路, 锻炼了创新思维。

在初三《相似三角形》教学过程中有这样一道题, 学生对它的分析过程, 让我由衷的佩服他们的一题多解的思维能力。

例题:如图,

已知Rt△ABC与Rt△DEF不相似, 其中∠C、∠F为直角, 能否分别把这两个三角形各分割成两个三角形, 使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形对应相似?能的话, 请设计出分割方案。

经过几分钟的思考后, 课代表同学首先说出了她的想法:“我觉得首先要确定分割形式, 也就是要将每一个三角形分割成两个三角形。虽然不经过三角形的内角顶点也能将三角形分成两个部分, 但是那样分成的两部分是一个三角形和一个四边形, 这种分割不符合题目要求, 因此分割形式就只能是经过三角形的一个顶点才行。”在我肯定了她的想法之后, 又一位学生发言了:“按照这种分析, 那到底是要经过直角顶点还是锐角顶点呢?我想有必要对过锐角顶点和过直角顶点两种可能的直线分割进行分类讨论了。”

一个学生的思维火花能激发更多学生的探索欲望, 启迪别人的智慧, 我预感到这道并不简单的试题将会有不同的解答方法。果然, 又有一位学生站起来说:“如果这两个直角三角形都是过直角顶点的分割, 那分成的四个锐角都要用上来, 但是因为原来的两个直角三角形不相似, 所以其中一个三角形中的任意一个锐角就不可能和第二个直角三角形中的任意一个锐角相等了。所以我想到, 应该可以过一个直角三角形的顶点画直线构建和另一个直角三角形中的锐角相等的角。这样的话, 我就将一个直角三角形中的直角分割成分别和第二个直角三角形的两个锐角相等的两个角。”对此, 我即时给予肯定。

“老师, 第二种情况我来分析吧。假如把这两个直角三角形都进行过锐角顶点的直线分割, 那它们都会留下一个直角和一个锐角。所以, 一个直角三角形中所留下的锐角就一定要和第二个直角三角形分割后所得的一个锐角相等。同样道理, 对另外一个直角三角形进行一样的处理。这样就能构造出两组相似三角形, 完成符合条件的分割。最后一步就是要证明分成的两组三角形相似了。”第四位学生的分析发言更让全班同学啧啧称赞。我想不到学生的分析这样到位, 这样有条理。在充分肯定他们的课堂表现之后, 我又让他们把具体的解题过程书写出来, 顺利解决问题, 运用一题多解锻炼了他们的解题思维, 也提高了他们的分析问题能力。

二、一题多解增强了学生分析和解决问题能力, 加深了对知识的理解

从对一题多解的研究, 我还想到数学课堂中的一个问题的多种提问方式, 以及各种变式训练。例如, 在做选择题时, 不仅要求学生能找出正确的答案, 对于其他的备选项也要仔细分析。我从教学实践中发现, 问题的呈现方式不同, 学生的解题结果也会有差别, 实际还是对问题不能真正理解。特别是变式训练, 有经验的教师会十分注重这一点。

对“一题多解”不能过于追求“多解”, 更不能把某些比较简单的题目也化简为繁, 变直为弯, 这样教学效果反而会打折扣。这是因为:一是违背“因材施教, 面向全体”的教育原则。一题多解还是更多地针对学有余力的学生, 课堂中的使用不宜太多太滥。二是淡化了“教学重点”。数学教学还是要夯实“双基”, 突出重点, 集中基本知识点的学习上和基本技能的训练。三是弱化“最优解法”。任何一种解题方法都应重在揭示基本数学思想和方法, 帮助学生掌握学习方法, 对解题方法的盲目求多只是在作表面文章, 不利于学生真正掌握知识。

谈谈数学作业中的一题多解 篇8

一、结合实际，探索解决问题方法的多样性

例如，滨海到南京的公路长357公里，一辆轿车从滨海开出，同时有一辆货车从南京开出，两车相向而行，经过3小时相遇，轿车平均每小时行79公里，货车平均每小时比轿车少行多少公里？题目出示后，要组织学生反复阅读，抓住题目中的不变量展开思考，从而得到一题多解的效果。

解法（一）：[357-（79×3）]÷3

=[357-237]÷3

=120÷3

=40（公里）

即货车平均每小时行40公里，已知轿车平均每小时行79公里，所以，货车平均每小时比轿车少行多少公里就是：

79-40=39（公里）

答：货车平均每小时比轿车少行39公里。

解法（二）：79-（357÷3-79）

=79-（119-79）

=79-40

=39（公里）

答：货车车平均每小时比轿车少行39公里。

解法（三）：设货车平均每小时行x公里

79×3+3x=357

3x=357-237

3x=120

x=40（公里）

79-40=39（公里）

答：货车平均每小时比轿车少行39公里。

二、抓住不变量，进行一题多解

例如，1.修一条300米长的水渠，前6天完成了五分之二，照这样计算，修完这条水渠还要多少天？

读题后，要紧紧抓住“照这样计算”这个不变量，引导学生进行思考，从而会得出几种不同的解法：

解法一：300÷5×2=120（米）

120÷6=20（米）

300-120=180（米）

180÷20=9（天）

答：修完这条水渠还要9天。

解法二：把五分之二化成小数就是0.4

300×0.4=120（米）

120÷6=20（米）

300-120=180（米）

180÷20=9（天）

答：修完这条水渠还要9天。

三、趣味题目，莫忘多解

例如，李大爷家有若干只鸡和兔子，把它们放在同一只笼子里，已知共有14只头，48只脚。求鸡与兔各多少只？

解法一：假设法

假设全是鸡：2×14=28（只）

鸡脚比总脚数少：48-28=20（只）

兔：20÷（4-2）=10（只）

鸡：14-10=4（只）

解法二：用方程解

設兔有x只，则鸡有（48-x）只。

4x+2（14-x）=48

4x+28-2x=48

2x=48-28

2x=20

x=10

则有鸡：14-10=4（只）

中考数学几何一题多解 篇9

一、“一题多解”与“多题一解”的教学原则

1.打造数学知识情境。利用知识情境帮助学生发现问题中的知识点，而这种知识情境主要來源于实际的生产、生活环境，然后衍生出各种问题，而且依据已知的问题产生全新的问题。利用“一题多解”与“多题一解”这种变式教学方式依据实际情况设定知识情境，根据学生认知特点和基础能力，激发他们对于新知识的兴趣，这样学生就可以在教师设置的情境内理解知识架构、体会新旧知识的联系，并有效地完成所期望的思考和研究，同时能够产生“为什么”和“如何解决”的想法，就会为整个教学过程奠定良好的基础。

2.变中求活，拓展实践。教学过程中要理解学生对新知识的理解和吸收是一个循序渐进的过程，首先需要通过教师合理的引导，以及结合精彩知识情境，让学生能够主动自发的去对知识进行探寻，然后仅需深入的理解和消化新知识，从而帮助学生建立自己的知识体系以及与已知知识的桥梁。正是通过“一题多解”与“多题一解”帮助学生拓展和迁移所学知识，从而能够升华学生的数学逻辑思维能力。然后依据应用拓展训练，围绕课程的重点，让学生能够利用变式教学方式逐步地消化和吸收知识点，而且在拓展实践中，利用阶梯式教学题组，让学生能够主动实现巩固知识并训练结题思维。

二、“一题多解”与“多题一解”的价值及提升建议

教学改革的探索之路是永无止境的，还需要进一步对“一题多解”与“多题一解”的教学方式进行深入研究和解读。

首先教学过程的设计要注意四个“有效性”：一是探究问题的有效性，二是巩固训练的有效性，三是创设情境的有效性，四是例题将析的有效性以及知识构建的有效性。而且设定情境环节时也要依据学生的基本生活经验和认知水平，有效利用他们感兴趣的案例来完成引导任务。

其次是复习课的教授过程必须依据学生所了解的知识模块来设计和制定对应的教学策略，除了利用纯粹的“一题多解”完成教学任务外，还可以有意识地利用阶梯性难度的变式题组让学生在“多题一解”中充分掌握知识，从而能够帮助学生在更多的实践中掌握题目的本质。当然不是所有的问题都可以用这种方式来解决，还需要教师依据具体的教学内容和目标，利用变式设计完成教学内容。

最后要掌握好所设置的题组的难易程度，不能忽视变式教学的根本目的，要以学生的基础完成有意义的重复训练。所以“一题多解”与“多题一解”的教学题组要设置于学生的“最近发展区”，让学生可以感受到学习的挑战性，且不会产生很强的厌烦心理。因此必须把握好难度的程度，根据具体的课程、学习情况进行调整和该表。

中考数学几何一题多解 篇10

数学是一门技巧性的学科, 最新的《数学课程标准》中指出学生更需要掌握的是数学的一般思维方法和数学思想, 这样的改革要求在基础教育中更加注重学生数学思维的培养同时为了调动学生学习数学的兴趣, 使不同层次学生的数学思维能力都得到提高, 一题多解在数学教学中就起到了十分重要的作用.一题多解可以向学生展示不同的思考过程, 培养学生思维的开放性, 促进创新思维的发展, 是数学教学中十分重要的一环.

鸡兔同笼问题, 是我国古代著名趣题之一, 早在《孙子算经》中就有了记载:“今有雉兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问:雉兔各几何?”意思是:有若干只鸡和兔同在一个笼里, 从上面数, 有35个头;从下面数, 有94只脚.问:笼中各有几只鸡和兔?这个问题经过人们多年的研究, 发现了多种解法, 下面就从中挑选比较典型的三种方法, 以说明一题多解对学生数学思维能力的锻炼.

第一种解法:列表法, 也叫“尝试法”“穷举法”, 即根据题目要求按顺序分类, 列出所有数据组, 试出答案.通过这种不断列举、尝试、调整, 最终是能解决问题的.列表法更为直接明了, 同时能从中找到规律, 这种方法是大部分学生都能掌握的.但列表法的缺点也很显而易见, 如果数据较大, 那么我们的尝试、穷举也就越多, 因此它并不具备普遍性.列表法可以更加直观地帮助学生解决问题, 对大多数学生来说是一种可以掌握的解决问题的策略.

第二种解法:假设法.假设法需要的逻辑思维水平较高, 作为实用性较强的一种解题策略, 对于有一定数学思维基础的学生来说是可以掌握的.在上面的问题中, 有鸡和兔两个未知量, 它们地位同等且相互关联, 所以我们可以任意选择一个进行假设.

如果假设35只全是兔子, 就会有140只腿, 多出了46只, 为什么会多46只腿?怎样把多的这些去掉?成为假设法解决问题的关键之处.

为了解决这多出的46只腿, 那么就需要把兔换成鸡.怎么换?换的过程中要注意什么?是在教学中要重点讲解的, 首先, 必须一一对应, 一只兔换一只鸡, 这样才能保证总数不变其次, 每换一次, 腿的数量就由4只变为2只, 少了2只, 那么减少46只腿要换多少次呢?用除法就可以解决了.

假设法最后需要强调的是求出的23和12, 谁是鸡的只数, 谁是兔的只数, 这需要学生充分理解刚刚是如何将兔换成鸡的, 换的过程中数量是如何变化的.

用假设法解题首先需要假设题中的情节发生了变化, 然后在假设的基础上推理, 调整由于假设而引起的数量变化假设法是一种重要的数学思维方法, 有着广泛的应用, 假设法能使复杂的数量关系明朗化、简单化, 从而帮助我们解决问题.假设法对逻辑思维能力要求较高, 理解上有一定难度, 但实用性较强, 可以对有一定数学能力的学生作出要求.

第三种解法:方程法.方程是代数思维最直观的体现, 也是学生进入初中以后会重点学习的一种思维方法.在小学阶段, 部分学生可以列出方程, 但难以解出方程, 限制了学生用方程解决问题.不过, 方程作为一种重要的思维方法, 也可以适当介绍给学生, 拓展学生解题思路.

用方程解决该问题有两点需要注意.第一, 设哪一个量为未知数.由于两个未知量相互关联, 所以设兔子和鸡都可以.第二就是解方程, 这也是用方程解决问题最困难的地方, 对小学生来说需要一定的代数思维能力才能解决.尤其是展开2 (35-x) 这样的式子时, 虽然学生学习过了乘法分配律, 但总会有部分学生只将2乘35, 而不乘x.但是方程思路简单, 且具有一般性, 可以为学生解决其他问题带去方法.

以上三种方法各有优劣.列表法通过逐一列举、实验、调整, 最后得到答案, 非常直观, 便于观察, 容易理解, 是一种朴素的思想方法, 也是非常实用的解决问题的策略, 是学生由形象思维过渡到抽象思维的一座桥梁, 但受到数据大小的限制, 不能广泛用之.假设法在推理时会导致思路不清, 容易出错, 这也为学生学习、使用这种方法设置了障碍.所以在假设时要使题意明朗化、简单化, 要按照题目中的已知条件进行推算, 把假设的结果加以调整, 直到符合题目条件, 得到正确答案, 此种方法使用范围更广, 更加具有一般性.在教学时教师需及时指导学生写好推导过程, 避免问题出现.方程的思想是将题目中的信息“翻译”成代数语言, 需要学生根据题中的已知条件和未知数之间的关系, 建立一个等式, 通过这个等式算出答案.方程思路比较简单, 具有一般性, 而且小学高年级的学生已有了一些方程的基础知识, 所以这个方法能理解的学生也有一些.但这方面的知识, 小学生掌握的并不多, 运用起来也不熟练, 所以使用的学生并不多.

鸡兔同笼问题很好地诠释了一题多解给学生思维带来的广阔性, 在不同的解法中蕴含了不同的数学思想, 甚至在同一种方法中也包含了不同的数学思想.通过这一典型例题可以让学生学习到这三种不同的方法, 通过对这三种方法的比较, 可以让学生掌握解题的一般步骤, 熟悉解题技巧, 更重要的是可以让不同层次的学生的数学思维能力得到提高, 而不仅仅是针对个别优秀学生.

三种方法反映了三种不同的数学思维, 从这一典型例题的学习中, 可以很好的帮助学生从多个角度观察、思考、概括, 并获得多种解题途径.一题多解在一定程度上不仅开阔了学生的视野, 也开阔了学生的数学思维, 开发了学生的创新意识, 对学生提高学习数学的兴趣有很大的帮助.

摘要：学习数学, 离不开思维, 数学中的各种内在联系和相互关系只有通过思维才能深刻理解, 牢固掌握.本文立足于开阔不同层次学生的数学思维, 培养和发挥学生的创造性.文章通过对鸡兔同笼这一经典问题的研究, 向学生展示不同的思维过程, 让不同层次学生的数学思维能力得到提高, 激发学生学习数学的兴趣.

中考数学几何一题多解 篇11

题目: 如图1, 半圆的直径AB =2, 点C从点A向点B运动沿着半圆运动, 速度为每秒π/6 , 运动时间为t ( 秒) , D是弧BC的中点, 连结AD, BC相交于点E, 连结BD.

( 1) 如果OC∥BD, 求t的值及BD /AE的值;

( 2) 当t =3时, 求BD/ AE的值.

本题的第 ( 1) 问相对比较简单, 这里就不展开介绍, 给出一种参考答案如下: 解: ( 1) 如图1, OC∥DB, ∴∠DBC = ∠C∠CBA, ∴弧DC = 弧AC, 又点D平分弧BC

∴∠DBC = ∠C = ∠CBA = 30°∴弧AC = 1/3π , ∴t = 2;

在 Rt△ABD 中, ∠D =90°, AB = 2, ∴ DB = 1, AD = 3 1/2,

在 Rt△BDE 中, ∠D =90°, BD =1, ∴

第 ( 2) 问解法一:

分析: 由已知条件直径AB =2, 再利用角平分线性质过点E作EF⊥AB于点F, 根据勾股定理、三角形相似可求出相应线段长度及关系。

解如图2, 过点E作EF⊥AB于点F

理由: 当t =3时, 弧AC =1/2π , ∠ABC = 45°

解法一从角平分线的性质入手, 通过三角形相似把线段DB用AC、BE、AE的关系表示出来, 从而达到直接求解BD/AE的目的, 培养了学生一种“整体思想”。

解法二:

分析: 如图3, 可以找AE中点M, 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AE =2CM, 然后作CH⊥AE根据相似求得BD = 21/2 CE , 再由CM、CE之间的关系求出答案。

解: 如图3, 找AE的中点M且连接AM, 作CH⊥AE交AE于点H,

∵AB是直径, ∴AC⊥BC, ∴Rt△ACE中AE = 2CM , AM = CM,

又∵CH⊥AE, AD⊥BD∴CH∥BD∴△CHE ~ △BDE ,

又∵AD平分CAB , ∴

又∵Rt△MHC中∠CMH = 22. 5 o×2 = 45 o , ∴

解法二巧妙地利用相似找出DB与CH的关系, 由CH与CM的关系发现CM = DB, 再通过直角三角形斜边上的中线的性质得出AE是CM的2倍, 从而得到BD/AE的比值。这里利用线段CE、CM为桥梁, 培养了学生一种“转化思想”。

解法三:

分析: 如图4, 连接OD交CB于点P, 根据OD∥AC可以推得

△CAE ~ △BDP, 则可由DB /AE=BP /AC求的要求的值。

解: 连接OD交CB于点P, ∴OD∥AC ,

∴∠DPB = ∠ACB = 90°又∵∠DBP = ∠CAE∴△CAE ~ △BDP

∴DB /AE=BP /AC , ∵等腰Rt△OPB中, OP = PB =1 2AC, ∴DB AE=BP AC=1 2

解法三利用垂径定理的推论找出Rt△BDP, 从而把要求的BD/ AE里的BD、AE分别放到两个直角三角形的斜边上, 直接通过相似求出比例, 培养了学生一种“化归思想”。

解法四:

分析: 我们可以先把△ACE独立出来, 在Rt△ACE中求出tan22. 5°的值, 然后根据三角函数值直接计算出相应线段的长度, 这种先求出基本图形的函数值再求解的方法在解题中应用比较广泛, 值得我们所关注。

解: 如图5, 在Rt△ACB中因为AE平分∠CAB,

设 BD = x,

在 Rt△EBD 中, DE /BD= tan∠EBD = tan22. 5°

解法四把复杂图形简单化。根据这个图形里面都有22. 5°的Rt△, 我们先把这个22. 5°的Rt△从中抽象出来, 然后由这个基本图形的模型分析出他们对应的数量关系, 再把这些数量关系带回到原有图形中求出BD/ AE的值, 培养了学生一种“建模思想”。

由此例可见, 在平时的数学教学中, 教师不但要教会学生常规解题的方法, 还应向学生提出“一题多解”的问题。这道例题第二小问的六种解法或利用了三角形角平分线的性质、三角形中线的性质、三角形相似的性质、角平分线的性质等求解, 或利用了添加不同的辅助线、利用不同的已知条件求解。在这种多种几何图形组合的问题中, 往往蕴含着多种几何性质, 由此必然蕴含着多种解题思路。

通过对一道题探究多种解法的训练, 不仅能够激发学生的学习热情, 还提高了学生的思维发散能力, 加深了对知识深层次的理解, 同时也给学生提供了合作交流与竞争的平台。这样的课堂是高效的课堂, 是一种精神与思想的陶冶与洗礼的课堂, 对师生均是一种享受。这样的课堂不仅巩固了学生平时所学的基础知识, 也对这些知识进行了灵活的综合运用, 同时又培养了学生的独创思维, 拓宽了解题思路, 提高了数学能力。另外, 一题多解对促进分层教学也是一种有益的尝试, 班级授课通常采用的单一解法有时不能满足学生个性化的需求, 一题多解正好能够弥补这方面的不足。

总之, “一题多解”指导思想的根源在于引导学生多反思题境, 多总结方法并对所涉及的知识进行剖析、归纳、总结, 就能在头脑里形成一个比较完整的知识体系, 从而提高运用知识、驾驭知识的能力从而达到提高课堂复习的效率。“学而不思则罔”, 只有通过学生尽可能多的反思自己的解题, 才能促进学生提高解决实际问题的能力。

摘要：“一题多解”是培养学生各种能力的好方法。初中数学教学实践中, 要注意让学生扩大知识面, 做好解题总结, 从而提高学生的判断能力, 形成创新思维的习惯。通过“一题多解”的练习, 学生的思路能够开阔, 对各种问题能从更深层次进行思考。

关键词：高效课堂,中学几何,一题多解,发散思维

参考文献

[1]周红曼.一题多解, 提高复习的效率[J].中学生数理化?教与学, 2011, (4) .

[2]王育财.拓宽思路一题多解[J].数学教学与研究, 2012, (5) .

中考数学几何一题多解 篇12

【关键词】高中数学 一题多解 多题一解

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0252-02

新课程理念告诉我们：教学的目的不是把学生当做接受知识的器皿”，应是成为点燃的“火炬”，而教师的教学方式也不再是“填鸭”式的机械重复，而是要成为点燃学生思维的火源。解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式，在高中数学教学中开展“一题多解，多题一解”教学，不仅可以训练学生的知识和迁移能力，还能帮助学生更好地建构知识体系，更能培养学生的各种思维能力。下面就“一题多变，多题一解”的教学进行几点探索。

一、例题设置中“一题多解”与“多题一解”的运用

例题设置是教学的重要环节，它肩负着整个教学过程的发展重任。课程标准指出：应为学生设立“数学探究”学习活动，让学生在体验数学发现和创造的过程中，发展学生的创新意识。“一题多解”与“多题一解”等变式教学为高中数学课堂教学注入了“探究性学习”的活水，更加凸显了学生的主体性，让数学学习充满了探究的乐趣。在例题设置这一环节，首先，应从学生的学情出发，选择恰当的点选编和设置例题和变式题（组），让学生产生认知冲突，激起其探究学习的欲望，然后通过变式（典型的变式例题），为学生提供实践和交流的机会，让学生实现自主探究性学习。

片断1：的图像和性质

① 的图像怎样变换得到的？

② 的图像怎样变换得到的？

③ 的图像怎样变换得到的？

④ 的图像怎样变换得到的？

⑤ 的图像怎样变换得到的？

①②③小题由学生独立解决，对于有困难的学生进行单一的引导。

师：④题答案是什么呢？

生1：的图像可以将的图像向右平移1个单位得到。

生2：的图像可以将的图像向右平移 个单位得到。

师：大家认为谁做的对啊？（鼓励学生“一题多解”）

生3：生2是对的，可以用“五点作图法”进行验证。

⑥ 的图像怎样变得？

⑦ 的图像怎样变得？

二、启发探究，引导学生思维形成中“一题多解”与“多题一解”的运用

课堂教学中启发探究是通过启发引导，鼓励学生尝试解题，学生在自主探究中更能感受到数学学习的价值，而这势必会提高学生对数学学习的热情。课堂教学中教师还应牢牢抓住学生的思维动向，通过“一题多解”让学生的思维“发散”，通过“多题一解”让学生的思维"会聚”，也可以通过“一题多解”与“多题一解”的交叉使用，让学生的思维在“发散——会聚——发散……”交替呈现，提高学生的思维能力。

师：非常好，运用了刚学生的公式与方程的思想解决了问题，那么还有其他的解法吗？（“一题多解”启发学生，让学生的思维发散）

生2：对原式进行等价变形，分子分母同时除以即可得出。

生3：利用“商数关系”以及“弦切互化”得出：，再带入原式即可。

师：大家做的非常好，现在我将原式加以变式（“多题一解”启发学生思维会聚）

三、变式训练中的“一题多解”与“多题一解”的运用

“變式训练”中“一题多解”与“多题一解”的运用是为了提高学生的学习效果促使学生把所学到的内容明确化和系统化，从而自发地吸收知识，提高思维能力。变式巩固训练中设置一定梯度的变式训练题，鼓励学生运用所学的知识多方位的思考问题、解决问题，让学生在解题过程中潜移默化的巩固知识，形成知识体系。此外，通过设置一定的题组训练，让学生一定的循环渐进的训练过程中激活学生的思维，让学生得到数学思维的训练。

片断3：过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于两点，，求证。设计如下可选变式题组：

题组中的问题深度逐渐提高，但都是通过抛物线的相关性质进行解决的，借助题组达到巩固抛物线知识的目的，教学中教师应根据具体学情编制，选择适当的问题进行变式训练，达到巩固知识的目的。

总之，在高中数学教学中巧用“一题多解”与“多题一解”可以引导学生更加准确的把握住知识的本质，又能在“一题多解”与“多题一解”的解题过程提高思维能力，达到一箭多雕的作用。

参考文献：

[1] 高山林. 一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用问题探讨[J]. 高考（综合版）. 2014（10）

中考数学几何一题多解 篇13

关键词：小学数学教学；课堂教育模式；解题能力的养成；问题分析

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-359-01

一、学生数学解题能力的培养

数学教育本质的特点就是思维判断能力的养成，小学数学教育作为这种习惯养成的初始阶段对以后学生自我价值观的发展有着重要的影响。小学生数学解题能力的培养不仅仅是依赖于学生学习兴趣而形成的课堂教学模式，而是针对学生数学逻辑思维能力的提高而形成的一种课堂教学引导或者是学生独立思考能力升华。数学题按其本质定义来说是在同一环境下不同元素影响的作用下找出其内在的逻辑关系对照，进而抽象出统一的问题解决模式对要求判定的问题进行已知结果的度量，进而解决问题。努力的激发学生的兴趣，提高学生的能力，不断地促进学生提升自身的学习兴趣，增强素质协调能力。同时小学生的素质化教育对于培养学生的世界观和人生观有着重要的作用，加强课堂的素质感受体验，对于提升学生的学习兴趣有着非常重要的作用，课堂的感官体验作为学生兴趣培养的第一要务可以激发学生的创新潜力，激发学生的学习欲望，提升学生的综合能力。教学理念的转变和教学资源组成上的优化搭配，在教学理念上的转变不光是教师的思想要跳出于传统的教学思想的束缚，还要与新时代教学理念进行融合，要从思想逻辑的角度对教学理念进行深刻的判断，要把高效的教育方式与卓越的教学思路进行分化协调，按照稳妥创新的思路对课堂的教学特点进行深刻的认知，制定出符合学生实际特点的教学方案进行人性化多维度的系统教学。在教学资源的优化搭配方面各个学科要根据传统的教育教学要求，结合于学科自身的特点建立多元化的个性教学体系，运用不同的教学资源与教育手段与现代科技相融合，对学生进行多方式的知识传授，让学生感受到不同的学习乐趣。

二、学生逻辑思维习惯的培养

学生数学解题能力的提高不仅来源于学生认知能力的形成还来源于学生形成正确的逻辑思维习惯，思维的范围和思考的深度决定着学生对于数学问题的看法，对于数学的形象感知能力，但是正确而有效的思考习惯也不是一朝一夕可以形成的，主要也在于学生在感知数学概念时候形成的习惯和数学题目解答过程中的点滴积累，有效的数学问题思考和解答才能促进促进学生形成自己的逻辑思维，才能有效的判定数学题目的解决方法。教学理念的转变和教学资源组成上的优化搭配，在教学理念上的转变不光是教师的思想要跳出于传统的教学思想的束缚，还要与新时代教学理念进行融合，要从思想逻辑的角度对教学理念进行深刻的判断，要把高效的教育方式与卓越的教学思路进行分化协调，按照稳妥创新的思路对课堂的教学特点进行深刻的认知，制定出符合学生实际特点的教学方案进行人性化多维度的系统教学。在教学资源的优化搭配方面各个学科要根据传统的教育教学要求，结合于学科自身的特点建立多元化的个性教学体系，运用不同的教学资源与教育手段与现代科技相融合，对学生进行多方式的知识传授。在课堂素质教学中，小学生要体验什么，探究什么，“课程目标”中都有具体的体现。新课程理念下的教学过程，不仅承载着传授知识、训练技能的使命，更是教师与学生，学生与学生之间相互信息传递、情感交流、思维碰撞的批判性、创造性的过程。努力的激发学生的兴趣，提高学生的能力，不断地促进学生提升自身的学习兴趣，增强素质协调能力。

三、立体化数学课堂教育模式的形成

对于班级数学课堂教育模式的打造还是趋向于多元化数学授课模式的变换，教师讲课的过程中不仅要开展教与学的有机结合更要促进学生兴趣的培养和学生学习素质的提高；学生的综合学习素质决定着学生的学习能力和数学问题的探讨和解决能力，更能有效的促进学生学习潜能的激发和学生自我独立思考能力的形成。在小学数学的课堂模式的构建中，要着重培养学生的创新潜质，加强培养学生创新能力和创新精神，开发自身的创新思维。新教育理念下的小学生数学综合素质的培养不仅老师不仅要全面的提高自己的教育素质同时也要全面的落实数学的课堂教育模式，在促进学生正确逻辑思维习惯盐城的同时也要制定符合于学生自身学习情况的教学方案，开展教与学的有机结合。在实际的课堂知识传授的过程中，老师要坚持根据学生实际学习的特点做出教学规划，没有调查就没有发言权，小学数学老师只有充分结合学生学习的实际特点才能够最大化的激发学生学习的潜能，促进学生素质的全面提升，进而提高课堂的效率。

四、结语

要想全面提高小学生的逻辑思维能力，不仅需要老师对学生的学习习惯进行针对性的引导；还需要对学生进行个性化的辅导；全面培养学生的逻辑思维能力，促进学生学习素质的提高，针对学生的学习情况进行全面立体化的教学，全面提高学生的综合素质，促进课堂效率的提高。

参考文献：

[1] 王延文，冯美玲. 数学“双基”教学的现状与思考[J]. 天津师范大学学报（基础教育版）. 2003（02）

[2] 高向斌，王淑清. 解读《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[J]. 教育科学研究. 2003（06）

[3] 何文忠. 基础教育数学课程改革的趋势——数学需要“文”化[J]. 学科教育. 2003（05）