数学教学与一题多解

数学教学与一题多解（共12篇）

数学教学与一题多解 篇1

在高中数学学习过程中, 创造性思维、多变思维非常重要, 在解决数学题目的时候, 一定要注意多变思维的运用, “一题多解”不仅可以提高学生学习数学的兴趣, 而且可以帮助学生从不同侧面、不同角度去思考问题, 培养良好的解决问题习惯, 拓展学生的视野。但并不是所有的数学题目都需要用多种方法来解答, 常规的方法千万不能丢在旁边, 应该用常规中最简洁、易懂的方法去解决, 以常规的不变应万变。

一、一题多解, 实战演练

例题:直线M被两条直线所截, 所得的一条线段的中点为坐标原点, 试求直线M的方程。题中的两条直线为:

思路1:假设直线方程为M:y=kx, 把M与M1和M2的交点分别求出来, 即:再把上述条件中的中点为原点的知识用上去, 就可以了, 求得, 所以直线M的方程为:

思路2:假设M与M1的交点为: (t, p) , 则它与M2的交点为: (-t, -p) , 则有 (1) 4t+p+6=0, 且 (2) -3t+5p-6=0, 解得

思路3:前面与思路2基本相同, 只需要将 (1) + (2) =t+6p, 将p, t分别用x, y代入即得:x+6y=0, 因为这条直线不仅经过点 (t, p) , 又经过原点 (0, 0) , 所以方程即是所要求的方程。

方法1与方法2都是属于常规解法, 都是用的待定系数法, 这是基于学生的基本技能而应有的解题能力, 学生在解题时应当向这个方向去努力。方法3里面就含有一个技巧, 那就是化定元为变元, 充分体现了数学当中设而不求的思想, 但由于其特殊性, 不能也不应当要求所有学生去理解, 只能让那些数学特长生去体会去理解。

二、以点带面, 用一题多解来构建知识网络

数学里面的概念、判断、推理成分很多, 具有很强的逻辑思维能力要求, 对学生知识网络全面性、系统性有着很高的要求, 不是靠一知半解就能达到这个要求的。而要帮助学生构建全面的知识网络, 除了做一些典型的习题、大量的习题之外, 还要对同一道数学题目进行多方面的解剖, 用发散性思维思考问题, 这样便可以帮学生形成系统性的知识网络。

上道数学题目, 如果再加以细致的研究, 再加以深刻的思考, 可能会有第四种、第五种方法解决, 是不是把这些方法都教给学生呢?答案是否定的。原因在于学生的能力有限, 精力有限, 能把一些常规的解法融会贯通就很不错了, 如果一味地教学生多种多样的方法, 既浪费了老师的时间, 也浪费了学生的时间, 容易把学生搞糊涂, 所以滥用过多方法不可取。而且并非所有学生的接受能力都是一样的, 老师要注意引导学生自主探究, 并有选择地把几个典型的例题重点讲解给学生, 把那些典型的方法教给学生, 关键让学生融会贯通, 并且有针对性地对那些有特长的学生进行辅导, 起画龙点睛作用。

前面的两种方法属常规解法, 基于基础, 根于基础, 对于学生的理解力提高、知识点强化有很大的作用, 还可以帮助学生对这个知识点有深刻的理解, 以点带面, 构建系统的知识网络。所以, 在倡导一题多解的时候, 不能为方法而方法, 不能滥用方法, 要注意对典型例题的研究, 典型例题往往具有综合性和概括性, 对于学生知识网络的形成具有不可估量的作用。

三、“一题多解”并不是抛弃常规, 投机取巧

在新《数学课程标准》当中, 明确提出的教学目标就是帮助学生掌握基本的数学知识, 形成基本的解决实际问题的能力。所以, 在数学教学当中, 万不可为了追求更多的方法去解决问题, 而抛弃常规的思维、常规的解题方法, 如果一味地寻求巧方法、巧技能, 最后的结果可能是舍本求末, 很容易形成投机取巧的心理。

所以, 方法要精, 切勿滥用。如上题, 思路3:前面与思路2基本相同, 只需要将 (1) + (2) =t+6p, 将p, t分别用x, y代入即得:x+6y=0, 因为这条直线不仅经过点 (t, p) , 又经过原点 (0, 0) , 所以方程即是所要求的方程。这个方法, 如果学生没有一定的基础, 没有一定的知识积累, 懂也只是懂得皮毛, 也只是对这个题目一知半解。如果我们只是盲目地进行多解, 反而对学生理解不利, 这个题目可能还会有其他的不同方法, 但在所有方法当中, 方法1和方法2, 不仅学生易懂、易于理解, 而且体现了能力上的灵活性要求。

老师在教学实践中, 不仅要帮助学生去解决问题, 而且要注意引导学生运用多种方法去解决, 同时别忘了总结问题, 也不能任何问题都运用多种方法去解决, 那样会让学生走上歧路。根据不同学生的特点, 因材施教, 运用不同的教学方法去引导, 让学生自己去思考, 自主探索, 促进学生认知的发展。

数学教学与一题多解 篇2

进入高中阶段之后，我们经常会在数学学习时遇到困难。与初中数学相比，高中数学的学习难度比较大，我们需要对数学题目进行深度思考，理清数学题蕴含的逻辑结构。为了提高数学学习能力，提升数学解题效率，我们应该掌握“一题多解”的方法。

一、无法应用“一题多解”方法的原因探讨

(一)基础知识理解不足

我们处在成长的特殊阶段，对抽象知识的理解能力比较弱，对具象知识的理解能力比较强。高中数学知识具有抽象性特征，我们在理解知识时往往会出现认知混淆的问题。基础知识理解能力关乎解题效率，基础知识理解能力越强，解题效率越高;

基础知识理解能力越弱，解题效率越低。高中教材中有很多数学定理、数学公式、数学法则等，题目解析的难度相对较大。我们只有深入理解理论知识，将理论知识应用到解题实践中，才能收获事半功倍的解题效果，才能形成“一题多解”的思路。很多同学对数学知识点的掌握不足，没有将理论知识点和解题实践练习在一起，导致数学学习陷入困境。

(二)没有联系新旧知识

新的数学知识点和旧的数学知识点存在相通之处，只有把握新旧知识点的联系，构建完整的知识逻辑体系，才能在题海中乘风破浪。对数学理论知识进行分析，可以发现大多数数学知识都存在关联性，以代数知识为例，代数知识和几何运算知识相互联系，在开展几何运算时，需要以代数知识作为基础。知识串联有着突出的裨益作用：一方面，知识串联可以加决解题速度，提高解题效率。另一方面，知识串联可以培养严谨的数学解析思维，巩固数学知识结构。很多同学在解题过程中没有联系新旧知识，对新旧知识进行区别对待，导致数学解题效率比较低，“一题多解”无法实现。

二、高中数学“一题多解”的重要性

(一)开拓数学思维

首先，在数学解析中应用“一题多解”方法，可以开拓数学思维。数学问题大多设置了多个“陷阱”，我们需要深入挖掘题目的本质，探索问题的解答方法。“一题多解”可以辅助我们对数学题目展开多层次、多角度分析，培养数学解析能力。在“一题多解”的作用下，创新型的数学思维将逐渐生成，数学解题的正确率将大大提升。

(二)深化数学认知

其次，在数学解析中应用“一题多解”方法，可以深化数学认知。在传统数学认知模式中，知识的独立性比较强，“类型题”禁锢了我们的数学思维，我们经常对在“类型题”的解析中采用僵化方法。僵化方法的确能够解决类型题目，却不能解决复杂性的综合分析题目。“一题多解”可以帮助我们掌握举一反三的技巧，深化我们对数学知识的认知。

三、高中数学“一题多解”的有效方法

(一)等差数列的“一题多解”方法

在解决等差数列问题时，可以应用“一题多解”的重要方法。以下面这道题目为例，已知{an}满足an=n/n+2，并且存在n∈N*，诗比较an与an+1的大小。在对an与an+1进行比较时，我们可以结合之前所学的数学知识，对等差数列的特点进行分析。从作差的角度来看，当an与an+1之差大于0时，说明前者比较大;当an与an+1之差小于0时，说明后者比较大。从作商的.角度来看，当an与an+1的商大于1时，说明an比较大;当an与an+1的商小于1时，说明an+1比较大。在采用作差方法时，可以得出以下的式子：an+1=an=2/(n+2)(n+3)>0，所以an+1大于an。在采用作商方法时，可以得出如下的式子：an/an+1=n2+3n/n2+3n+1<1，所以an+1比^大。

(二)概率问题的“一题多解”方法

在解决概率问题时，也经常要应用“一题多解”的重要方法。一下面这道题目为例：已知箱子里有两个黄色球两个白色球，那么先摸一个黄球不放回，再摸一个黄色的概率是多少。第一种解答方法如下二假设先摸到黄球的概率为事件A，再摸到一个黄球的概率为事件B，那么两次都摸到黄球的事件为A∩B。对上述两个事件发生的概率进行罗列，提取相应的事件个数，A事件的个数是6，A∩B事件的个数是2，那么摸到两个黄球的概率应该是1/3。第二种解答方法如下二假设先摸到黄球的概率为事件A，再摸到一个黄球的概率为事件B，那么两次都摸到黄球的事件为A∩B，P(A)=1/2，P(A∩B)为1/6，P(B/A)为1/3。

教材题目的一题多解与一题多变 篇3

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.

总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.

（责任编辑金铃）endprint

教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.

总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.

（责任编辑金铃）endprint

教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.

总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.

数学教学与一题多解 篇4

数学知识的综合性学习要结合具体的可操作环节 (如例题) 进行, 学生才能最容易接受。开展“一题多解”的探究, 使学生在解答题目的过程中, 现实的、具体的去综合运用所学知识, 做到有的放矢, 从抽象理论到具体运用, 是综合学习与运用知识的最佳选择。开展“一题多解”的探究, 既能运用到所学的多种知识, 又能使多种知识有机地串联起来, 达到综合学习的目的, 能够起到举一反三、强化记忆、触类旁通、拓展思维的作用和效果。

例1 实数a、b、c 满足等式a = 6-b , c2= ab-9 , 求证 :a = b 。

(用多种方法证明)

证明1:把a=6-b代入c=ab-9, 得c2= (6-b) b-9=- (b-3) 2,

∴ (b-3) 2+ c2=0.

∵ (b-3) 2≧0, c2≧0 ∴ (b-3) 2 = c2= 0, ∴b=3, ∴a = 6-3=3,

∴a = b.

此法运用了代入法, 并运用公式、非负数的性质, 通过求出a、b的值, 达到证明的目的。

证明2:∵a+b=6, 设a=3+x, b=3-x, ∴c2= ab-9= (3+x) (3-x) -9=-x2,

∴c2+x2=0, ∵c2≧0 , x2≧0, ∴c=x=0, ∴a=3, b=3, ∴a=b.

此法引入了一个参数, 利用非负数的性质, 求出a、b的值, 从而得证。

证明3:由题知, a+b=6, ab=c2+9, ∴a、b是方程 “x2-6x+ (c2+9) =0两个实根。∴△= (-6) 2-4 (c2+9) =-4c2≧0, ∴c2≦0, 又c2≧0, ∴c=0

即△=0, ∴方程“x2-6x+ (c2+9) =0”有两个相等的实数根, ∴a = b.

此法运用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式知识, 直接得出了证明。

例2若x2+3x+1=0, 求undefined的值。

解法1:常规思路, 解方程x2+ 3x + 1=0, 得undefined, 所以undefined, 把x1、x2分别代入undefined中, undefined

此方法虽然直接, 但计算步骤较为繁琐, 且计算容易出错。不是解题的最佳选择。

解法2:观察方程中两根之积为1, 互为倒数关系, 设方程x2+3x+1=0的两根分为x1、x2, 则undefined

此法利用方程中根与系数的关系, 结合公式法的应用, 使问题变得简单。

解法3:将方程x2+3x+1=0, 变形得:undefined, 即undefined, 两边平方得:

undefined, 即undefined

所以undefined

此法带有一定技巧性, 是使复杂问题简单化的有效方法, 利用这种方法还可以求诸如undefined的值。

四年级数学应用题一题多解比赛 篇5

（说明：本卷共10题，每题必须要用两种方法解答，满分100分）

1、水波小学每间教室有3个窗户，每个窗户安装12块玻璃，8间教室一共安装多少块玻璃？

2、白塔村计划修一条288米的水渠。前两天一共修了48米，照这样的进度，还要几天能修完？

3、虹光宾馆购进100条毛巾，每条4元。如果用这些钱购买8元一条的毛巾，可以买多少条？

4、生产队在15平方米的土地上共育苗135棵，照这样计算，要育苗1215棵，需要多大面积的土地？

5、有一筐苹果连筐重42千克，卖掉一半苹果后，连筐重22千克，这个筐重多少千克？

6、上衣50元，裤子25元，买4套这样的服装共需要多少元?

7、哥哥有81张邮票，弟弟有75张，哥哥给多少张给弟弟，他们就一样多了。

8、一块正方形木板，钜去一个角，剩余的木板还有几个角？（画出简单示意图）

9、计算1+2+3+4+5+6+……+19+20结果。

别让一题多解淹没数学文化 篇6

试题1（2012年高考湖北卷理科第6题）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=

A. B. C. D.

试题2（2013年高考湖北卷理科第13题）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，则x+y+z=_______.

两道试题主要考查柯西不等式，考生也很容易想到要用柯西不等式.但是文“一道高考题的几种思考视角”[1]却给出试题1的5种解法，文“题不在大 有魂则灵”[2]却给出试题2的8种解法，美其名曰“一题多解”.

这两道试题，有没有必要一题多解呢？

众所周知，一题多解是指对一道试题从多种不同角度进行分析与探究，进而得到多种解法，一题多解的目的在于从多种解法中，探寻最自然的解法和最简单的解法.读完文献[1][2]给出的多种解法，我们不难发现柯西不等式法既是解答这两道试题最自然的解法，又是解答这两道试题最简单的解法，是名副其实的最佳解法，所以对这两道试题完全没有必要一题多解.特别是文[1]的解法4和文[2]的解法8，就像“魔术师的帽子突然变出了兔子”一样，高中生很不容易想到；文[2]的解法6很复杂，高中生很难完成，有点无病呻吟，故弄玄虚之嫌.

既然这两道试题完全没有必要一题多解，那么湖北命题组为什么会连续两年考查同一问题呢？

我们一起来探寻这两道试题的价值.柯西不等式是新课程新增加的教学内容，因为“高考支持课程改革”，所以考查.此外，《普通高中数学课程标准（实验）》已经将“体现数学的文化价值”作为高中数学课程的基本理念之一，而柯西不等式有着重要的文化价值.

柯西不等式虽然形式上比较简单，但在数学各个分支里都有着极其广泛的应用.它在不同的领域有着不同的表现形式，充分体现了数学各领域的內通性、渗透性和统一性.

柯西不等式在各领域中常见的表现形式如下：

命题1 ∀ai，bi∈R，i=1，2，…，n，有

aibi≤[a2][i][bi][2] . 当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1ai+k2bi=0，i=1，2，…，n时，等号成立.

命题2 ∀f（x），g（x）∈C[a，b]，有

f（x）g（x）dx≤f2（x）dx·g2（x）dx. 当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1f（x）+k2g（x）=0时，等号成立.

命题3 ∀向量α，β，有（α，β）≤αβ.当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1α+k2 β=0时，等号成立.

命题4 ∀随机变量ξ，η，若Eξ2，Eη2存在，则有[Eξη]2≤Eξ2·Eη2.当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得P（k1ξ+k2η=0）=1时，等号成立.

命题1是高中数学形式，命题2是大学数学分析形式，命题3是大学高等代数形式，命题4是大学概率论形式，虽然问题的涉及角度不同，但表现形式极其相似，命题1～4的左右两边结构及各变量之间涉及的运算是多么地对偶、和谐、统一.

命题1～4虽涉及的数学对象不同，但其本质都反映了不同变量间的某种不等关系，且等式成立都体现了它们之间的线性关系.在不同领域，证明方式纷呈多样，但其证明均与b2-4ac≤0有着类似的地方，故构造一个非负的二次函数，利用判别式法是证明的通法.

命题1～4不仅形式对称，证法统一，而且相互之间渗透着内在联系.命题1和命题2只不过是命题3在不同向量空间中的具体表述，也只不过是命题4在不同测度空间中的具体表述，命题3和命题4更具有一般性和抽象性.它体现了代数与分析，概率与分析，高等数学与初等数学之间相互渗透，相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.”

数学家的故事是数学文化的一种重要展示形式，人教A版课本选修4-5特别安排了“阅读与思考”《法国科学家柯西》.柯西最重要的贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面.在微积分方面，他率先定义了级数的收敛性，数列和函数的极限，并给出了级数收敛准则和一些判别法；提出关于极限理论的ε-δ（ε-N）方法，给出了函数连续性的概念、定积分的第一个确切定义，以及广义积分的定义等等.在复变函数方面，他系统地总结了复数理论，探讨了柯西—黎曼条件，建立了柯西积分定理和公式；定义了留数，建立了留数定理.在微分方程方面，他研究了微分方程解的存在唯一性定理，开创了微分方程研究的新领域.柯西一生共出版7部著作和800多篇论文，数学中许多公式和定理都以他的名字命名.

综上所述，上述两道试题是我们进行关于柯西不等式研究性学习的极好素材，对于我们领悟数学思想方法，认识数学文化价值有着重要意义.试题的文化价值是试题的灵魂，我们在研究高考试题时，千万不能片面追求一题多解，而忽视了试题的文化价值，否则，就会舍本逐末，得不偿失.

参考文献：

[1] 黄清波.一道高考题的几种思考视角[J].中学数学（高中版），2012（11）：84.

高中数学一题多解教学的误区 篇7

一、重个体、轻整体

一题多解教学对学生的思维能力有一定的要求,思维能力水平较差的学生很难跟上教师的教学思路.而学生的学习方式、思维方式、已有的知识水平及知识结构存在差异,一题多解教学只能兼顾部分学生的需求,无法满足所有学生的需求.

从解题过程上看,解法1利用三角函数的最高点或最低点特征进行求解,讲解过程中应重点分析切入点,让学生吃透.教师板书也应详细规范,让学生能够基本掌握关键知识点.而解法2的解答过程很简单,但是对学生的理解能力有较高的要求,只适合部分基础扎实的学生,多数学生只能靠死记硬背.

二、增加学生的负担

一题多解体现了解题的不同思维和思想方法,但是教学大纲并未包含所有解题思想方法.教师将超大纲的知识作为解题方法,虽然可以拓展学生的知识面,但是也在无形中增加了学生的负担.

该例题主要利用正余弦定理进行边角转化.解法1主要考查学生已学的知识,学生可以清楚地了解解题思路,明确解题过程.而解法2虽然从新的角度解答问题,但是对学生的要求更高,需要用到“差化积公式”相关内容,学生使用解法2解题时容易“摸不着头脑”,使得教学活动成为教师的个人活动.

三、过于重视解题技巧

解题思路体现出解题的技巧,通性通法可以检验学生对知识的掌握程度,还能检验学生的数学思维和数学方法.但是,课堂教学过程中过于重视解题技巧、忽视基础知识与技能的教学行为属于本末倒置,容易导致学生对数学失去兴趣.因此,一题多解教学如果过于重视解题技巧,则难以收到预期效果,教学质量也难以提升.

【例3】在等差数列{an}中,Sn为等差数列的前n项和,已知S6=7,S15=16,求a11.

解法1:根据等差数列公式中a1、an、d、S、n之间的关系,结合通项公式和等差数列前n项和公式,根据条件S6=7,S15=16,即可求出a11的值.

解法2:将S6、S15作差,S15-S6=a7+…+a15=9,在根据,可求得9a11=9,a11=1.

数学教学与一题多解 篇8

一、一题多解有效地锻炼了学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和创新性

一题多解一是锻炼了学生思维的广阔性。在课堂教学中, 通过对学生不同的启发与提示, 引导学生进行“一题多解”的训练, 能较好地锻炼学生思维的广阔性。二是锻炼了学生思维的深刻性。这一点主要表现在审题时能发现和抓住问题的基本特征, 挖掘出隐含条件, 从而找到解题途径, 还表现在解题之后, 能主动总结反思, 及时总结规律。三是锻炼了学生思维的灵活性。数学问题变化多样, 可以通过一题多解, 锻炼学生思维的灵活性, 不受制于思维定势, 及时地提出富有个性的设想和解题方案。四是锻炼学生思维的创新性。通过一题多解, 可以激发学生的学习兴趣, 树立学好数学的信心, 同时从别人的解题方法中得到启发, 形成自己的解题思路, 锻炼了创新思维。

在初三《相似三角形》教学过程中有这样一道题, 学生对它的分析过程, 让我由衷的佩服他们的一题多解的思维能力。

例题:如图,

已知Rt△ABC与Rt△DEF不相似, 其中∠C、∠F为直角, 能否分别把这两个三角形各分割成两个三角形, 使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形对应相似?能的话, 请设计出分割方案。

经过几分钟的思考后, 课代表同学首先说出了她的想法:“我觉得首先要确定分割形式, 也就是要将每一个三角形分割成两个三角形。虽然不经过三角形的内角顶点也能将三角形分成两个部分, 但是那样分成的两部分是一个三角形和一个四边形, 这种分割不符合题目要求, 因此分割形式就只能是经过三角形的一个顶点才行。”在我肯定了她的想法之后, 又一位学生发言了:“按照这种分析, 那到底是要经过直角顶点还是锐角顶点呢?我想有必要对过锐角顶点和过直角顶点两种可能的直线分割进行分类讨论了。”

一个学生的思维火花能激发更多学生的探索欲望, 启迪别人的智慧, 我预感到这道并不简单的试题将会有不同的解答方法。果然, 又有一位学生站起来说:“如果这两个直角三角形都是过直角顶点的分割, 那分成的四个锐角都要用上来, 但是因为原来的两个直角三角形不相似, 所以其中一个三角形中的任意一个锐角就不可能和第二个直角三角形中的任意一个锐角相等了。所以我想到, 应该可以过一个直角三角形的顶点画直线构建和另一个直角三角形中的锐角相等的角。这样的话, 我就将一个直角三角形中的直角分割成分别和第二个直角三角形的两个锐角相等的两个角。”对此, 我即时给予肯定。

“老师, 第二种情况我来分析吧。假如把这两个直角三角形都进行过锐角顶点的直线分割, 那它们都会留下一个直角和一个锐角。所以, 一个直角三角形中所留下的锐角就一定要和第二个直角三角形分割后所得的一个锐角相等。同样道理, 对另外一个直角三角形进行一样的处理。这样就能构造出两组相似三角形, 完成符合条件的分割。最后一步就是要证明分成的两组三角形相似了。”第四位学生的分析发言更让全班同学啧啧称赞。我想不到学生的分析这样到位, 这样有条理。在充分肯定他们的课堂表现之后, 我又让他们把具体的解题过程书写出来, 顺利解决问题, 运用一题多解锻炼了他们的解题思维, 也提高了他们的分析问题能力。

二、一题多解增强了学生分析和解决问题能力, 加深了对知识的理解

从对一题多解的研究, 我还想到数学课堂中的一个问题的多种提问方式, 以及各种变式训练。例如, 在做选择题时, 不仅要求学生能找出正确的答案, 对于其他的备选项也要仔细分析。我从教学实践中发现, 问题的呈现方式不同, 学生的解题结果也会有差别, 实际还是对问题不能真正理解。特别是变式训练, 有经验的教师会十分注重这一点。

对“一题多解”不能过于追求“多解”, 更不能把某些比较简单的题目也化简为繁, 变直为弯, 这样教学效果反而会打折扣。这是因为:一是违背“因材施教, 面向全体”的教育原则。一题多解还是更多地针对学有余力的学生, 课堂中的使用不宜太多太滥。二是淡化了“教学重点”。数学教学还是要夯实“双基”, 突出重点, 集中基本知识点的学习上和基本技能的训练。三是弱化“最优解法”。任何一种解题方法都应重在揭示基本数学思想和方法, 帮助学生掌握学习方法, 对解题方法的盲目求多只是在作表面文章, 不利于学生真正掌握知识。

高中数学中的一题多解问题 篇9

学习数学, 自然需要解题, 波利亚的观点: “数学技能就是解题能力———不仅能解决一般的问题, 而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性想象力的问题. 所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练. ”解题是实践性的技能, 在数学解题教学中, 教师要让学生学会审题, 养成验算的良好习惯, 懂得反思总结.

读审题是一种综合能力, 它包括认真细致的态度等多种非智力因素, 也包括阅读、理解、分析等多种智力因素.

一个题目包含的信息有时是比较隐蔽的, 甚至隐藏得很深, 这就需要我们去发现、发掘、辨别、分析, 这是一种能力, 也是解题的关键点. 读题是解题的基础, 是正确、迅速解题的前提. 为此在解题时要注意审视题目的条件、结论、结构, 充分挖掘题目显性和隐性的信息, 引导学生分析题目中各个量的特点、联系, 调动既有知识体系中关联知识点实现解题.

验算是解决数学问题不可缺少的环节, 是初步完成解题后不可或缺的一步, 它可以进一步检查、更正、补充学生在初次解题中存在的错误和缺失, 是保证题目正确解决的必要步骤和手段. 掌握验算的方法, 养成验算的习惯是学好数学的重要条件之一.

学会反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考. 学会反思, 对学生思维品质等各方面的培养都有积极的意义.

数学知识之间联系纵横交错, 解题思路灵活, 解题方法多样, 但终却能殊途同归. 即使一次性解题合理正确, 也未必就是最佳思路, 未必就是最优最简洁的解法.

例在△ABC中, b = 2, B = 45°, 求边a的取值范围.

分析题目已知一角和对边, 求另一边的范围, 故考虑用正弦定理求解.

解完题应该进一步反思, 探求一题多解、多题一解的问题, 开拓思路, 沟通知识, 掌握规律, 权衡解法优劣, 在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结, 使自己的解题能力更胜一筹. 如上例题, 再次分析一下题意, 考虑试用余弦定理求解, 见下.

进一步考虑采用几何法或者叫数形结合的方法求解, 详见下.

【轨迹定理】和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹, 是以已知线段为弦, 所含圆周角等于已知角的两段弧 ( 端点除外) .

一题多解, 每一种解法会用到不同章节的知识, 这样可以复习相关知识, 掌握不同解题技巧, 同时每一种解法又能解很多道题, 然后比较众多解法中哪一种最简洁. 把每一种解法和结论进一步推广, 既可实现知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用, 又可总结出一般方法和思路. 善于总结, 掌握规律, 探求共性, 再由共性指导我们去解决碰到的这类问题, 这对提高解题能力尤其重要.

解题之后, 要反复探究问题的知识结构和系统性. 对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究, 加强知识的横向联系, 把问题所蕴含孤立的知识“点”, 扩展到系统的知识“面”.通过不断地联系、拓展, 加强对知识的理解, 进而形成认知结构中知识的系统性. 要让学生明白, 问题之间不是孤立的, 许多看似无关的问题却有着内在的联系, 解题不能就题论题, 要寻找问题与问题之间本质的联系, 要质疑为什么有这样的问题, 它和哪些问题有联系, 能否受这个问题的启发. 将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合, 创造性地设问, 让学生在不断的知识联系和知识整合中, 丰富认知结构中的内容, 体验“创造”带来的乐趣, 这对培养学生的创造性思维是非常有利的. 点滴的发现, 能唤起学生的成就感, 激发学生进一步探索问题的兴趣. 长期的积累, 更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成, 并增加知识的存储量.

数学教学与一题多解 篇10

解法1: (赋值法)

∴本题选D

点评:本方法利用等差数列的通项及前n和公式, 分别取n=1, 2, 3, 代入已知关系式得到三个方程 (1) (2) (3) , 解方程组后用a1分别表示b1, d1, d2, 然后计算出结果。方程 (组) 的数学思想在数列部分应用很广泛, 一定要注意应用。

解法2: (基本量元素运算法)

设等差数列{an}, {bn}的公差分别为d1和d2, 则

点评:a1, d是等差数列的基本元素, 通常是先求出基本元素a1, d在解决其它问题, 但本题解法关键是观察 (1) 中取n=9即可, 使本题解得通畅、简捷.这种设而不求的“整体化”思想, 在解有关数列题目中要注意运用和掌握。

解法3: (等差中项法) (略)

解法4: (前n和公式特征法)

∵等差数列前n项和Sn=an2+bn, 即

∴根据已知, 可设Sn=7nkn, Tn= (n+3) kn

点评:等差数列前n和公式特征:Sn=an2+bn (a, b为常数) , 其中二次项系数a恰好是公差的一半, 换言之, 前n和是关于n的二次函数且常数项为0, 若d=0, 则Sn=na1是关于n的正比例函数, 此时数列是常数列。比较, 显然解法2要优于其它解法。

教学中, 在解决一些常见的数学问题时, 除掌握一些常规数学方法之外, 可以适当增加一些一题多解, 同时也丰富解题技巧与方法训练, 以利于培养与提高学生的创新思维能力.学生应树立全方位、多角度审视问题的观念, 养成良好的思维习惯, 调动一切积极因素, 尽可能的寻求多种思路.平时解题, 多思多想, 是否可用已掌握的基本技能、思想方法和“科学理论”来解, 不要简单地满足于求出结果, 而忽视回顾总结。高考试题的设计强调知识的综合和知识的内在联系, 坚持不懈地做到这些, 积累经验, 逐步地把分析思维转化为直觉思维, 学生的实践能力与创新精神的培也就落在了实处, 学生必能从容地面对学习及激烈的高考竞争。

通过运用不同的讲解方法, 引导学生进行数学思考.讲解区别灌输就在于充分重视讲解引导思维、发展思维、开发智力目标的实现。当然要实现上述目标, 教师在设计讲解时要深钻教材, 把握知识, 同时要分析学生的学习现状和课堂心态, 努力使讲解内容句句叩击学生的心扉、抓住学生的思维, 以使教师的课堂讲解达到内容与学生求知渴望合拍、思维与学生的探寻心理沟通, 在已知和未知之间为学生架通思维的桥梁。

参考文献

[1]蔡敷斌.课堂讲课技能的探讨[J].北京教育学院学报.1994, (03) .

[2]徐梅荣.浅谈高师中学教学法课的指导性[J].山东师大学报.1992, (01) .

巧用一题多解加强学生数学思维 篇11

怎样上一题多解训练课?下面仅就多步应用题教学过程中的一题多解训练课，初略地介绍一下我的基本做法。

一、进行一题多解的实际练习

(一)一般的一题多解的练习。题目是由浅入深，由易到难。解法、时间、速度等要求逐步提高。

题1：南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里?

解法1：[357-(79×3)]÷3=[357-237]÷3=120÷3=40(公里)

即慢车平均每小时行40公里，已知快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里就是79-40=39(公里)答：略。

解法2：79-(357÷3-79)=79-f1 19-79)=79-40=39(公里)答：略。

解法3：设慢车平均每小时行x公里，列出方程79×3+3x=357，解得x=40(公里)

79-40=39(公里)答：略。

(二)看谁的解法多。一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。我们就越应当给予肯定和鼓励。对于学生“别出心裁”、“独辟蹊径”的解题方法，我总是给以表扬和鼓励。这对激发学生的学习兴趣，调动一题多解的积极性是很有好处的。

例如：上面的题1，除了那三种解法之外，学生还想出十几种解法。一道应用题，学生能够想出这么多的解法，表明学生的思路很开阔，思维很灵活。智力发达的同学争先恐后，智力较差的同学也积极动脑。全班同学都进入积极的思维状态，互相启发，不甘落后，课堂气氛很活跃，学生的学习积极性都可以调动起来。

二、口述不同的解题思路和解题方法

口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的(或叫新的)解题思路和解题方法，不用具体解答。它是进行一题多解实际练习的另一种形式。这种练习和前一种练习所不同的地方是：前一种练习偏重于学生动脑动手，进行一题多解的实际练习；这种练习偏重于学生动脑动口，寻求新的解题思路和不同的解题方法。进行这种训练，主要是为了使学生在单位时间内更多地、更好地认识和掌握应用题的多种解法，提高一题多解训练的课堂教学效率。

题2：两地相距383公里，甲乙两人从两地相向而行，甲先走1天，一共走5天才和乙相遇，已知每天甲比乙多走10公里，问甲乙两人每天各走多少公里?

口述1：甲走5天，乙仅走5-1=4(天)。假如甲每天比原来少行10公里，则与乙的速度相等。那么甲行5天，乙行4天，就相当于乙行5+4=9(天)，这时两人还相距10×5=50(公里)。乙9天共行383-50=333(公里)，乙每天走的就可以求出来了。乙每天走多少公里知道了，甲每天走的也就可以知道了。

口述2：甲行5天，乙行4天，假如乙每天比原来多行10公里，则与甲的速度相等。那么甲行5天，乙行4天，就相当于甲行5+4=9(天)，这样两人所走的路程的和就要多出10×4=40(公里)。即甲9天共行383+40=423(公里)，所以甲每天走的就可以求出来了。甲每天走的知道了，乙每天走的也就可以知道了。

口述3：除上述两种方法外，本题还可以用列方程来解。设甲每天行x公里，那么乙每天行的就是(x-10)公里，已知甲行5天，乙行4天，两地相距383公里，则可列出方程：5x+4×(x-10)=383，解方程，就可以求出甲每天行多少公里，甲每天行的求出来了，乙每天行的也就可以求出来了。

三、引导学生自己找出最简便的解法

引导学生自己找出最简便的解法，就是在上面两步练习的基础上，在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在分析比较，相互讨论、相互争论的过程中，找出最简便的解题方法。

例1幸福小学原计划买12个篮球，每个72元，从买篮球的钱中先拿出432元买足球，剩下的钱还够买几个篮球?

解法1：(72×12-432)÷72=432÷72=6(个)答：略。

解法2：12-432÷72=12-6=6(4)

答：略。

解法3：设剩下的钱可以买x个篮球，列出方程72x=12×72．432，解得x=6答：略。

解法4：设剩下的钱可以买x个篮球，列出方程72x+432=72×12，解得x=6答：略。

本题上述多种解法，思维分析过程不同，解法和运算过程也不同。解法1是一般的思维和一般的算术解法；解法3和解法4是列方程的解法。解法2也是算术解法，但解题思路新，解答方法、解题过程简便。当一个学生说出这个解题思路：“把拿出432元买足球的钱看作是少买了几个篮球的钱，再用计划买的12个篮球数减掉少买的篮球数所得的差，就是所求的答案。”列出：“12-432÷72”这个式子后，全班同学连连点头，纷纷称赞这位同学的解题思路独特又有新意，解题方法简便，解题过程简单。

农村高中数学课堂一题多解的误区 篇12

误区一: 过多关注个体, 忽视全体, 课堂成为部分学生的辅导课

农村高中学生在重点校的层层筛选下, 大部分学生原有知识水平结构不全面, 学习方法欠缺, 理解力不强。

解法一利用最高点或最低点的方法应该重点讲解, 要讲透, 板书详细规范, 让大部分学生能够理解掌握。解法二看起来很简便, 但学生不易理解, 只能靠死记下来。

误区二: 追求多解却增加了学生的学习负担

课堂教学时为了体现多角度解题的思想方法, 在已有知识不能解决的情况下, 不得不补充些教学大纲不做要求的知识内容, 无形中增加了学生的学习负担, 进一步加深学生害怕学数学的心理因素。

分析过程: 三角恒等式证明常有三种思路: 证左边 = 右边、证右边 = 左边、两边凑。

证法一: 证右边 = 左边

证法二: 证左边 = 右边

本题的证明主要是利用正余弦定理, 进行边与角的互化, 证法一是角化边, 所用知识学生理解并能掌握, 若教师为了体现思路的多角度, 不考虑学生的学情, 在证法二上花了大量的时间精力补充和差化积公式的有关知识, 学生听得费力又消化不了。课堂成了教师的独角戏, 学生无法参与教学之中, 更谈不上能多角度思考问题。

误区三: 眼高手低过于注重解题技巧

通性通法的解题方法能有效地检测学生对学数学知识中所蕴含的数学思想和方法掌握程度。要是课堂上过于注重解题技巧, 人为地制造数学的神秘感, 使学生觉得数学深不可测、捉摸不透, 这样学生会慢慢的对数学失去兴趣。课堂上再多、再好的解法, 最终还是竹篮打水一场空, 教学效果是很低的。

例3、在等差数列 {an}中, sn是数列 {an}前n项和, 已知s6=7, s15= 16求a11

解法一: 利用等差数列的五个基本量a1, d, n, sn, an, 根据等差数列的前n项和公式列出方程组, 求出a1和d , 即可求出a11的值。

解法二: s15- s6= a7+ a8+ … + a14+ a15= 9再利用等差数列的下标之和性质得。

9a11= 9 , 求出a11= 1

解法二看起来很简单, 但技巧性强, 学生没办法一下子想到, 如果不是求a11而是求a10或其它的, 就不能用此法。解法一的通性通法倒是体现数列基本量的解题方法, 体现函数与方程的数学思想, 能提高学生基本的解题能力, 只是运算量会大些, 实际上现在的学生运算能力都偏弱, 更需要平时训练加强, 教师不能为了避繁而设计技巧性强的题目让学生练习, 淡化通性通法的熟练掌握, 这样做得不偿失, 也背离了数学教育的目的。

摘要：当前很多教师热衷于“一题多解、一题多证”的课堂教学, 总想把课后自己或别人研究的多种解法在课堂一一展示。对重点高中来说可以多多益善, 而那些薄弱的农村高中数学课堂过多的“一题多解”教学, 会存在些弊端:如过多关注个体, 忽视全体;追求多解法却增加了学生的学习负担;过于注重解题技巧, 淡化通性通法的熟练掌握等。

关键词：高中数学,一题多解,误区

参考文献

[1]陈信云.对数学教学中一题多解的选取, 中学数学教学参考[J], 2006. (17)