10.1认识二元一次方程组教案

10.1认识二元一次方程组教案（共12篇）

10.1认识二元一次方程组教案 篇1

认识二元一次方程组导学案

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5.1.1认识二元一次方程组

姓名：_________

班级：___________

使用时间：________

【学习过程】

一：复习旧知：

问题1：你能写出一个一元一次方程吗？

问题2：形如

（）叫一元一次方程.二：情境引入：

问题1：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

若设老牛驮了个包裹，小马驮了个包裹。则：

①根据“已知老牛比小马多驮2个包裹”你能得到怎样的方程？

②“如果将马背上的包裹拿掉一个放到牛背上，那么牛驮的包裹数是马的2倍。”这时牛驮了

个包裹，马驮了

个包裹。由此你又能得到怎样的方程？

问题2：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？

三：知识新授：

（一）二元一次方程的概念概括：含有

，并且所含未知数的 的次数都是 的方程叫做二元一次方程。

注意：①含有两个未知数；

②所含未知数的项的最高次数是一次.。

巩固练习1：

.下列方程有哪些是二元一次方程，是的打√，不是的打×：

（1），（）

（2），（）

（3），（）

（4），（）

（5），（）

（6）.（）

2.如果方程是二元一次方程，那么m＝

，n＝

.（二）二元一次方程组概念的概括：

.前面第二题中的两个方程中含义相同吗？

表示

呢？一样吗？

表示，是否同时满足两个方程？

2.二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：

注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.巩固练习2：

（1）

同学们各自写出一个二元一次方程组。.判断下列方程组是否是二元一次方程组：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（三）方程的解的概念

.适合方程吗？呢？呢？你还能找到其他x,y值适合方程吗？

2.适合方程吗？呢？

3.你能找到一组值x,y同时适合方程和吗？

☆适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.例如，x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作

通过前面我们知道是方程的一个解，同时

又是方程的一个解.☆二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例如，就是二元一次方程组的解。

巩固练习3：

.下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？（）

（A）

（B）

（c）

（D）

2.二元一次方程的解有：

……

3.二元一次方程组的解是（）

（A）

（B）

（c）

（D）

4.以为解的二元一次方程组是（）

（A）

（B）

（c）

（D）

5.二元一次方程的正整数解为

.6.如果是的解，那么m＝

，n＝

.7.写出一个以为解的二元一次方程组为

.（答案不唯一）

8.方程在自然数范围的解的个数为

，整数范围呢？

四：小结：这堂课你掌握的知识；

你还有那些不明白的地方？

10.1认识二元一次方程组教案 篇2

一、二元一次方程组的概念

1. 二元一次方程的定义

定义:含有两个未知数(形如x和y),并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

【注解】(1)方程中的“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数;

(2)“一次”是指含有未知数的项的次数是1;

(3)二元一次方程等号的左边和右边都必须是整式.

例1方程:12x-y/3=1;22/x+y =3;35(x+y)=7(x-y);41/x+y=4中是二元一次方程的有______.(填写序号即可)

【分析】1和3是只含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1的整式方程;而2和4中虽然也含有两个未知数,但是左边的代数式不是整式,所以不是二元一次方程.

【答案】13.

2. 二元一次方程的解

定义:适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.

【注解】二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个数值,要用大括号联立起来,即二元一次方程的解通常表示为的形式.

例2下列各组数中,不是方程3x-2y1=0的解的是().

A. x=1,y=1 B. x=2,y=5/2

C. x=0,y=-1/2D. x=2,y=1

【分析】分别把A、B、C、D四个答案代入到方程3x-2y-1=0中,如果左边≠右边,那么这个答案成立.

【答案】D.

3. 二元一次方程组的定义

定义:含有两个未知数(形如x和y)的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组. 要注意的是,组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 例如二元一次方程组

【注解】(1)二元一次方程组的一般形式为(想一想,a,b,d,e的取值有什么限制?)

(2)如果两个一次方程合起来共有两个未知数,那么它们组成一个二元一次方程组.

(3)其中符号“{”表示同时满足,相当于“且”的意思.

例3下列方程组中,不是二元一次方程组的为().

A.(1)(2) B.(2)(5)

C.(3)(5) D.(2)(4)

【分析】(1)(3)(5)方程组中含有两个未知数,并且每个方程中未知数的次数都是1.方程组(2)和(4)虽然都含有两个未知数,但(2)中的第二个方程的次数是2,(4)中第二个方程是分式方程,所以它们都不是二元一次方程组.

【答案】D.

4. 二元一次方程组的解

定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

【注解】(1)方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程,所以检验是否方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一个解不一定是方程组的解;

(2)方程组的解要用大括号联立;

(3)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,如方程组无解,而方程组的解有无数个,同学们可以思考一下为什么.

例4下列各组数中,既是方程2x+3y=6的解,又是方程3x+2y=-1的解的是().

【分析】可以将A、B、C、D四个答案分别代入到方程2x+3y=6和方程3x+2y=-1中,如果每个方程都成立,那就是两个方程的解.

【答案】B.

二、二元一次方程组的解法

1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程

例5用代入消元法解方程

【分析】(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有y(或x)的代数式表示x(或y),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;

(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程(不能代入原变形方程)中,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元一次方程.

解:由2,得

y=x+5,3

将3代入1,得

2x+3(x+5)=40,

解这个一元一次方程,得x=5,

将x=5代入3,得y=10.

∴原方程组的解是

【注解】(1)用代入法解二元一次方程组时,应先观察各项系数的特点,尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形.

(2)变形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程组中的另一个方程.

(3)要善于分析方程的特点,寻找简便的解法. 如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示,代入另一个方程,或直接将某一方程代入另一个方程,这种方法叫做整体代入法. 整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一,它的运用可使运算简便,提高运算速度及正确率.

2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程

例6用加减消 元法解方 程组 :

【分析】(1)根据“等式的两边都乘(或除以)同一个不等于0的数,等式仍然成立”的性质,将原方程组化成其中一个未知数的系数的绝对值相等的形式;

(2)根据“等式两边加上(或减去)同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程”的性质,将变形后的两个方程相加(或相减),消去一个未知数,得到一个一元一次方程.

解:由2×3,得

3x-3y=-15,3

1+3,得5x=25,

解这个方程得x=5,

将x=5代入2得y=10.

∴原方程组的解是

【注解】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时,用加减消元法较简单.

三、用方程组解决实际问题

例7某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图1),利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片,长方形的宽与正方形的边长相等. 150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒,可以做成甲、乙两种小盒各多少个?

【分析】甲种纸盒用正方形纸片1张,长方形纸片4张;乙种纸盒用正方形纸片2张,长方形纸片3张.

解:设可供制作甲种纸盒x个,乙种纸盒y个.

根据题意,得

解这个方程组,得

答:可供制作甲种纸盒30个,乙种纸盒60个.

【注解】(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;

(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;

(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组;

10.1认识二元一次方程组教案 篇3

一、 二元一次方程组的概念

1. 二元一次方程的定义

定义：含有两个未知数（形如和），并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

【注解】

（1） 方程中的“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；

（2） “未知数的次数为1”是指含有未知数的项“单项式”的次数是1.

（3） 二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

例1 方程中：①2-y3=1；②2x+y=3；③5（x+y）=7（x-y）；④1x+y=4中是二元一次方程的有______. （填写序号即可）

【分析】①和③方程中只含有两个未知数，并且未知数的次数都是“1”的整式方程；而②和④中虽然也含有两个未知数，但是左边的代数式不是整式，所以不是二元一次方程.

【答案】①和③方程是二元一次方程.

【点评】此题主要考查了二元一次方程的概念.

2. 二元一次方程的解

定义：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.

【注解】二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为x=a，

y=b.的形式.

例2 下列各组数中，不是方程3x-2y-1=0的解是（ ）.

A. x=1，y =1

B. x=2，y=52

C. x=0，y=-12

D. x=2，y=1

【分析】分别把A、B、C、D四个答案代入到方程3x-2y-1=0中，如果左≠右，那么这个答案成立.

【答案】选D.

【点评】本题考查了二元一次方程解的情况及解成立的条件.

3. 二元一次方程组的定义

定义：含有两个未知数（形如x和y）的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如二元一次方程组3x+4y=5，

x=2.

【注解】（1） 二元一次方程组的一般形式为（a，b，d，e不能同时为0）.

（2） 如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组.

（3） 其中符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思.

例3 下列方程组中，不是二元一次方程组的为（ ）.

（1） x+y=2，

2x-2=3.

（2） x+y=4，

xy=3.

（3） 3x+y=5，

x-3y=4.

（4） 12x+y=0，

3x-2y=1.

（5） y=1，

x=2.

A. （1）（2）

B. （2）（5）

C. （3）（5）

D. （2）（4）

【分析】（1）、（3）、（5）方程组中含有两个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是“1”，而（2）和（4）虽然方程组中都含有两个未知数，但（2）中的第二个方程的次数是“2”，（4）中第二个方程是一个分式方程，所以也不是二元一次方程组.

【答案】D.

【点评】本题考查的是对二元一次方程组定义的理解.

4. 二元一次方程组的解

定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

【注解】（1） 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

（2） 方程组的解要用大括号联立；

（3） 一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2x+y=5，

2x+y=6.无解，而方程组x+y=-1，

2x+2y=-2.的解有无数个.

例4 既是方程2x+3y=6，又是方程3x+2y=-1的解是（ ）.

A. x=3，

y=-2.

B. x=-3，

y=4.

C. x=3，

y=2.

D. x=-3，

y=2.

【分析】可以将A、B、C、D四个答案分别代入到方程2x+3y=6和方程3x+2y=-1中，如果每个方程都成立，则就是两个方程的解.

【答案】B.

【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

二、 二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法思想

1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 将y=ax+b（或x=ay+b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于y（或x）的一元一次方程；

（3） 解这个一元一次方程，求出y（或x）的值；

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（4） 把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求x（或y）的值；

（5） 用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

【注解】（1） 用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；

（2） 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；

（3） 要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.

例5 用代入消元法解方程2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示x（或y），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 将y=ax+b（或x=ay+b）入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去x（或y），得到一个关于x（或y）的一元一次方程.

解：由②，得

y=x+5，③

将③代入①，得

2x+3（x+5）=40，

解这个一元一次方程，得

x=5，

将=5代入③，得

y=10.

∴原方程组的解是x=5，

y=10.

【点评】本题主要考查如何用代入法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形.

2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：

（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；

（3） 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

（4） 把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值.

（5） 将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.

【注解】当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.

例6 用加减消元法解方程组：2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

（2） 根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元 一次方程；

解：由②×3，得

3x-3y=-15，③

①+③，得

5x=25，

解这个方程得

x=5，

将=5代入到②中得

y=10.

∴原方程组的解是x=5，

y=10.

【点评】本题主要考查如何用加减法解二元一次方程组，最重要的是从方程组中选定一个系数比较简单的项，然后利用加减消元法消掉未知数，使方程组变成一元一次方程来解.

三、 用方程组解决实际问题

【注解】1. 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

2. “设”、“答”两步，都要写清单位名称；

3. 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

例7 某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等. 规格150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？

【分析】甲种纸盒用正方形纸片1张，长方形纸片4张；乙种纸盒用正方形纸片2张，长方形纸片3张.

解：设可供制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.

根据题意，得x+2y=150，

4x+3y=300.

解这个方程组，得x=30，

y=60.

答：可供制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个.

【点评】列方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题是一样的，要注重：1. 审题；2. 找题目中的相等关系；3. 设相应的未知数；4. 列方程组；5. 解方程组；6. 检验；7. 写出答案.

二元一次方程组教案2 篇4

学生:一年四班

学习目标:

1、让学生进一步理解消元的思想

2、掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

重点:用加减法解二元一次方程组

难点:两个方程相减消元是要对被减方程各项做变号处理

教学过程:

一、板书课题,出示教学目标

上节课我们学习了利用代入法解二元一次方程组,那么下面请同学们观察方程组有没有新的消元方法,也可以消去一个未知数,达到“二元”化“一元”的目的学习目标(投影)

1、让学生进一步理解消元的思想

2、掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

二、自学指导1 本节课的学习目标实现需要靠同学们的积极动脑思考、动笔练习。请看大屏幕自学指导

自学指导

请同学们认真看P107~P108例3上面完了,边看边理解什

么是加减消元法,怎样消元。会做书中的思考题以及与其类似的习题

三、学生自学

1、教师巡视,学生认真看书思考

2、找学生到黑板板演解方程组,一共同学们交流参考

四、自学指导2

1、自学书中例3,注意此时的方程组与前面所作的方程组有什么区别与联系

2、思考想一想中提出的问题,灵活运用加减法解二元一次方程组

五、学生自学,教师巡视

学生认真自学,观察方程组的特点,选择适当的未知数进行消元,从而求出方程组的解

六、课堂训练:

P112 3

七、课堂小结

1、易错点:在用加减法消元时,符号出现错误

2、用加减法解二元一次方程组的条件:某一未知数系数的绝对值相等

七年级数学二元一次方程组教案 篇5

1.会列出二元一次方程组解简单应用题，并能检验结果的合理性。

2.知道二元一次方程组是反映现实世界量之间相等关系的一种有效的数学模型20xx年-20xx学年七年级数学下册全册教案(人教版)20xx年-20xx学年七年级数学下册全册教案(人教版)。

3.引导学生关注身边的数学，渗透将来未知转达化为已知的辩证思想。

教学重点

1.列二元一次方程组解简单问题。

2.彻底理解题意

教学难点

找等量关系列二元一次方程组。

教学过程

一、情境引入。

小刚与小玲一起在水果店买水果，小刚买了3千克苹果，2千克梨，共花了18.8元。小玲买了2千克苹果，3千克梨，共花了18.2元。回家路上，他们遇上了好朋友小军，小军问苹果、梨各多少钱1千克?他们不讲，只讲各自买的几千克水果和总共的钱，要小军猜。聪明的同学们，小军能猜出来吗?

二、建立模型。

1.怎样设未知数?

2.找本题等量关系?从哪句话中找到的?

3.列方程组。

4.解方程组。

5.检验写答案。

思考：怎样用一元一次方程求解?

比较用一元一次方程求解，用二元一次方程组求解谁更容易?

三、练习。

1.根据问题建立二元一次方程组。

(1)甲、乙两数和是40差是6，求这两数。

(2)80班共有64名学生，其中男生比女生多8人，求这个班男生人数，女生人数。

(3)已知关于求x、y的方程，

是二元一次方程。求a、b的值。

2.P38练习第1题。

四、小结。

小组讨论：列二元一次方程组解应用题有哪些基本步骤?

五、作业。

P42。习题2.3A组第1题。

后记：

初一数学教案6二元一次方程组 篇6

时间：2014年7 月 7 日秦老师电话：***

一、兴趣导入（Topic-in）: 统计学家的故事-----有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下四个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写着：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次。”

数学小故事----找零钱：一家手杖店来了一个顾客，买了30元一根的手杖．他拿出一张50元的票子，要求找钱．店里正巧没有零钱，店主到邻居处把50元的票子换成零钱，给了顾客20元的找头。顾客刚走，邻居慌慌张张地奔来，说这张50元的票子是假的．店主不得已向邻居赔偿了50元．随后出门去追那个顾客，并把他抓住说：“你这个骗子，我赔给邻居50元，又给你找头20元，你又拿走了一根手杖，你得赔偿我100元的损失．”这个顾客却说：“一根手杖的费用就是邻居给你换零钱时你留下的30元，因此我只拿了你70元．”请你计算一下，手杖店真正的损失是多少？这里要补充一下，手杖的成本是20元．如果这个顾客行骗成功，那么共骗得了多少钱？ 学前测试(Testing):

1、有哪些解方程的方法？

2、列方程解应用题一般有哪些步骤？ 知识讲解(Teaching)： 二元一次方程

含义：把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

(1)代入消元法

例：解方程组x+y=5①

6x+13y=89②

解：由①得

x=5-y③

把③带入②，得

6(5-y)+13y=89

y=59/7

把y=59/7带入③，x=5-59/7

即x=-24/7

∴x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

加减消元法

例：解方程组x+y=9①

x-y=5②

解：①+②

2x=14

即

x=7

把x=7带入①

得7+y=9

解得y=-2

∴x=7

y=-2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解:如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解

2.有无数组解:如方程组x+y=6① 2x+2y=12② ,因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解:如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为 x+y=5,这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法

(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41(1)

14x+13y=40(2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1(3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

所以:x=1，y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为m+n=8

m-n=4

解得m=6，n=2

所以x+5=6，y-4=2

所以x=1，y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

（三）另类换元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t, y=4t

方程2可写为：5t+6*4t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4 二元一次方程组的解

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。注意：

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！

也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

★重点★

一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆内容提要☆

一、基本概念 1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加减法

五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法

2．无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！）②换元法⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

二.常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动），基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)：

⑵追及问题（同时出发）

⑶水中航行：;

2．配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。三注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、„„

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。

五、注意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

四、强化练习(Training)

1．下列方程中，是二元一次方程的是（）

A．3x－2y=4z

B．6xy+9=0

C． +4y=6

D．4x=

2.二元一次方程5a－11b=21（）

A．有且只有一解

B．有无数解

C．无解

D．有且只有两解

3.下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③ +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y

⑦x+y+z=1

⑧y（y－1）=2y2－y2+x

A．1

B．2

C．3

D．4

4．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．

5．在二元一次方程－ x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．

6．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

7．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．

8．根据题意列出方程组：

（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？

9．甲、乙、丙三个班的学生共植树66棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的2倍，丙班与乙班植树棵数比为2∶3，求三个班各植树多少棵?

五、训练辅导(Tutor):

1、下列不是二元一次方程组的是（）

+ y =4

4x+ 3y =6 x-y =1

2x+ y =4

x+ y= 4

3x+ 5y =25 x-y=1

x+ 10y =25

2、由-=1，可以得到用x表示y的式子（）（A）y=（B）y=-（C）y=-2

（D）y=2-3x+2y=7 4x-y=13 x=-1

x=3 y=3

y=-1

x=-3

x=-1

y=-1

y=-3

4、在3x+4y=9中，如果2y=6，那么x=__________ x=1 y=-8 x=1

x=2 y=1

y=-1

7、如果︱x－2y+1︱=︱z+y-5︱=︱x－z-3︱=０，那么x=＿＿，ｙ＝＿＿＿＿＿＿＿＿，ｚ＝＿＿＿＿＿＿＿＿

六、反思总结(Thinking)：

堂堂清落地训练----坚持堂堂清，学习很爽心

(每题20分，共100分）

1、已知梯形的面积是42㎝2，高是6㎝，它的下底比上底的2倍少1㎝，求梯形的上下底？

2、如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

3、甲乙两地相距２０千米，Ａ从甲地向乙地方向前进，同时Ｂ从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前进，Ａ回到甲地时，Ｂ离甲地还有２千米，求Ａ、Ｂ二人的速度。

4、初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐４５人，那么有１５个学生没有座位；如果每辆汽车坐６０人，那么空出１辆汽车。问一工多少名学生、多少辆汽车。

5、某校举办数学竞赛，有１２０人报名参加，竞赛结果：总平均成绩为６６分，合格生平均成绩为７６分，不及格生平均成绩为５２分，则这次数学竞赛中，及格的学生有多少人，不及格的学生有多少人。

家庭作业

1、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，2、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子就一样多了。”你知道树上，树下各有多少只鸽子吗？

3．三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数．

4、现有A、B、C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B、C两箱共106个，求每箱各有多少个？

10.1认识二元一次方程组教案 篇7

教材探究一系列问题（和差倍分问题，材料分配问题）

教学目标：

1、通过学习，要求学生会弄清和差倍分关系，调配前后数量的变化，找等量关系，运用译式法等方法设未知数，列出二元一次方程组解应用题；

2、理清解应用题的几个常见步骤，能用规范的格式完成列方程组解应用题的过程；

3、能够根据具体问题中数量关系，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型； 教学重点、难点：探索实际问题中的等量关系，列出方程组加以解决。教学过程： 一． 引入：实际上，在很多问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.这种处理问题的过程可以进一步概括为：

要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应该根据具体问题灵活选用.具体步骤为：

（1）审题：明确已知什么，未知什么，弄清题意和其中的数量关系；（2）设未知数：用字母表示适当的未知数（直接或间接设法，注意单位）；

（3）列方程组：根据题目中给出的等量关系，列方程组（方程个数与未知数个数要一致）；（4）解方程组：求出未知数的值；

（5）检验答案：分别代入原方程组及原应用题检验；（6）答题：写出答案（包括单位名称）。

简记为：审，设，列，解，验，答。前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。

探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg。饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18-20kg，每只小牛1天约需饲料7-8kg。你能否通过计算检验他的估计？ 分析：设每只大牛和每只小牛1天各约用饲料xkg和ykg，根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，这就是说，每只大牛1天约需饲料 kg，每只小牛1天约需饲料 kg，因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计，对小牛的食量估计。列方程组

_______________

_______________x 答：略.y解这个方程组，得

例2（和差倍分问题）据统计2013年厦门市生产营运用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产营运用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产营运用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

解：设生产营运用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米。

分析：根据题中的两个等量关系：

1、生产营运用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米

2、居民家庭用水比生产营运用水的3倍还多0.6亿立方米

列方程组

_______________x  解这个方程组，得  答：略._______________y注：这种将题目中的关键性语言或是数量及数量间的关系译成代数式，然后根据各代数式之间的内在联系找出等量关系列出方程的方法叫译式法。

例3（数字类和差倍分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，题中的两个相等关系：

1、个位数字=-5

2、新两位数= 列方程组

_______________

_______________x 答：略.y解这个方程组，得

例4（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？

解：设有

题中的两个相等关系 ：

1、制作桌面的木材+ =

2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数= 列方程组

_______________ 配套问题关键是要弄清谁是谁的倍数关系，相应多少倍。

_______________x 答：略.y解这个方程组，得

随堂练习：教材P101-102页2,3,4,5题 小结：（1）列方程解应用题的基本步骤：简记为：审，设，列，解，验，答；

（2）寻求具有等量关系的关键语句把它们翻译成代数式——译式法，是列方程组的重要方法

10.1认识二元一次方程组教案 篇8

一、教学目标

（1）知识目标：进一步了解加减消元法，并能够熟练地运用这种方法解较为复杂的二元一次方程组。

（2）能力目标：经历探索用“加减消元法”解二元一次方程组的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力和创新意识。

（3）情感目标：在自由探索与合作交流的过程中，不断让学生体验获得成功的喜悦，培养学生的合作精神，激发学生的学习热情，增强学生的自信心。

二、教学重点难点

（1）教学重点：利用加减法解二元一次方程组

（2）教学难点：二元一次方程组加减消元法的灵活应用

三、教学方法 启发引导法、演示法

四、教学准备：小黑板

五、教学过程

（一）复习旧知

解二元一次方程组的基本思想是什么？（消元）

（二）探究新知

1、情境导入（利用小黑板）

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，问：梨每千克的售价是多少元？

凭借学生的经验估计他们会在列出二元一次方程组后马上想到用代入法解方程组，进而解决问题。这时教师出示两种算法让学生加以比较，通过比较学生不难发现第二种算法是解决这个问题更简单的方法。

师：算法一是代入消元法，算法二就是今天我们将要学习的加减消元法。复习加减消元法的定义：利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法

2、例题讲评

5x2y12 例①解方程组：3x2y6解：⑴－⑵，得

2x=6

x =3 把x =3代入⑴得

532y12

⑴ ⑵3 2x33 ∴原方程组的解为y-2解这个方程得y =练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。

7x4y4练习1．解方程组： 5x4y4解：⑴－⑵，得

2x＝4－4，x＝0 把x＝0代入⑴得

704y4

⑴ ⑵解这个方程得y1

x0∴原方程组的解为

y1例②解方程组：3x5y21⑴

2x5y11⑵解：⑴﹢⑵，得

5x＝10

x＝2 把x＝2代入⑴得

3×2+5y=21 解这个方程得y=3

x2∴原方程组的解为

y3练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。

3x4y14练习②解方程组5x4y2解：⑴－⑵，得

－2x=12

x =－6 把x =－6代入⑴得

5(6)4y2

⑴ ⑵解这个方程得y = 8

x6∴原方程组的解为

y82x5y6例③解方程组：3x6y4解：由⑴3得

6x15y18

⑶

⑴ ⑵由⑵2得

6x12y8

⑷

由⑶-⑷得

27y10

解这个方程得y把y10代入⑵得 27102x56

2710 27解得x56

x∴原方程组的解为y5627 1027练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。

2x5y0练习③解方程组x3y11解：由⑵2得

2x6y1

1⑶

⑴ ⑵由⑴-⑶得

11y11

解这个方程得y1 把y1代入⑵得

x3(1)11

解得x14

x14∴原方程组的解为

y1

六、小结

掌握加減消元法应注意两点：(1)加减消元的根据是等式两边都加上或减去同一个数或同一个等式，等式不变。(2)相等两数的差为零，互为相反数的和为零。因此，当两个方程中的同一个未知数的绝对值相等时，可以把两个方程相加或相减使这个未知数的系数化为零，从而达到消元的目的。

七、布置作业

练习3.3第2题(1)(2)，第（3）选做。

八、板书设计

(1)复习旧知(2)例题讲评

例①解方程组：5x2y123x2y62x5y63x6y4⑴3x5y21⑴ 例②解方程组： ⑵2x5y11⑵⑴

10.1认识二元一次方程组教案 篇9

教学目标：

使学生会探索事物之间的数量，通过方程（组）这个数学模型解决简单的实际问题。教学重点难点

重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题。

难点：正确找出问题中的两个等量关系。课时安排 3课时

教与学互动设计

第1课时

（一）创设情景，导入新课

养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只牛1天约需饲料18~20kg，每只小牛1天约需饲料8~8kg，你能否通过计算检验他的估计？

（二）合作交流，解读探究

1.题中有哪些已知量？哪些未知量？ 2.题中

（三）应用迁移，巩固提高

（四）总结反思，拓展升华

小结 用二元一次方程组解实际问题的思路与用一元一次方程组解实际问题是一样的，包括：（1）审题，分析题目中的以知与未知；（2）找出数量关系；（3）设未知数列方程组；（4）求解方程组；（5）检验；（6）写出答案.拓展 在“五.一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到象鼻山游玩，收费标准是：成人35元/张，学生票按成人票五折优惠，团体票（16人以上含16人）按成人票6折优惠。下面是购票时小明与他爸爸的对话。爸爸：大人门票每张35元学生门票对折优惠，我们共有12人，共需350元.小明：爸爸，等一下，让我算算，换一种方式买票是否可以更省钱。

（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？

（2）请你帮小明算算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由.（五）课堂跟踪反馈

1.班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程为

2.甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为

二元一次方程组教学反思 篇10

南山初中 刘承乐

一、反思的问题对二元一次方程的解法运用不够熟练

1、发现的问题：在解方程的时候，不知从何处下手，对数学中“化未知为已知”的化归思想掌握不透彻。对方程的多种解法不能灵活的运用，导致有关方程的解题速度较慢。

2、解决问题的过程：本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

3、教学反思：优化课堂教学过程的最终目的是为了提高课堂教学的效率。一节课只有45分钟，要完成教学目标，又要使每个学生在原有基础上都有新的收获，教师就必须具有效率意识。另一方面，学数学，离不开解题。特别是对数学的基础知识，不仅要求要形成一定的技能，还要在运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力方面达到一定的要求，这些离开必要的训练是不行的。所以要真正提高课堂教学效率，教师必须有训练意识，提供足够的练习时间和练习量。

二、反思的问题二元一次方程组的应用

1、发现的问题：学生在接触新的知识时老是和以前的知识联系起来，这样很好，但很多时候是乱戴帽子，包新的法则当成旧的知识，闹出了不少的笑话。

2、解决问题的过程：数学源于现实，寓于现实，又用于现实。我们在数学生活化的学习过程中，教师要注重引导学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的道理，有些数学知识完全可以让学生在实践活动中感知，让他们学会通过实践活动解决数学问题。

3、教学反思：在每堂课都设置小组交流这一环节，交流的内容有对新知识的探究、对问题的理解、计算方法及体会、学生相互纠错等（避免满堂交流，没有目的的交流，教师要给予必要的引导，让学生在有价值有目标的交流，关注每个学生的参与情况，并给以指导）。通过学生学习小组交流，增强了每个学生的参与意识，同时通过解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达加深对概念和原理的理解，学生之见的合作交流，不仅是使学生获取必要的学科知识，对于提高每个学生的口头表达能力及数学语言的规范及交际能力、合作意识的培养起到了很大的作用

三、反思的问题学生对二元一次方程组学习感到枯燥

1、发现的问题：在学习《二元一次方程组》时，学生对本节课的内容和前面学习的一元一次方程有点类似，学生学习起来感到枯燥无味。课堂气愤涣散，效率不高。

2、解决问题的过程：在学习二元一次方程组时，可以用中国古代著名数学问题“鸡兔同笼”或“百鸡百钱”问题作为引入。学生被这种有趣的问题吸引，积极思考问题的答案，以“趣”引思，使学生处于兴奋状态和积极思维状态，不但能诱发学生主动学习，而且还能增长知识，了解了我国古代的数学发展，培养学生的爱国主义精神。

3、教学反思：一堂成功的数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受，在数学教学中，我们要紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。让学生接触与生活有关的数学问题，势必会激发学生的学习兴趣，从而有效的提高课堂教学效率，使学生真正喜欢数学、学好数学、用好数学。

四、反思的问题学生不敢或不愿提出问题

1、发现的问题：好奇心人皆有之，但由于受传统教育思想的影响，学生虽有一定的问题意识，但怕所提问题太简单或与课堂教学联系不大，被老师和同学认为知识浅薄，怕打断老师的教学思路和计划，被老师拒绝，所以学生的问题意识没有表现出来，是潜在的状态。

2、解决问题的过程：沟通师生感情，营造平等、民主的教学氛围。渗透事例教育，认识“问题”意识。创设问题情况，激活提问兴趣。开展评比活动，激发提问兴趣。强化活动课程，促进自主学习。

《二元一次方程组》教学反思 篇11

问题:1. 用代入法解方程时, 用一个未知数表示另一个数时容易 出错,且在代入时如果有另一个未知数有系数容易不带括号。 2用加减法解二元一次方程组时,对“同号相减,异号相加”容 易混淆,且在减去一个负数时容易出错。

解决问题

二元一次方程组教学反思 篇12

在学本章之前，就有学生问我：“老师，二元一次方程组难吗?”说明还没学，学生已经产生了对本章的畏惧心理。为此，在引入本章的时候，我用了“鸡兔同笼”的问题。因为，“鸡兔同笼”的问题在小学学过，那是是用算术的方法;在初一上学期学过，是用一元一次方程来解决的，这次我让学生在对比中学习二元一次方程，让学生在已有的认知结构中逐步接受二元一次方程，消除畏惧心理。并且数字简单，学生易找出方程组的解，从而又引出了什么是二元一次方程的解，什么是二元一次方程组的解。为了让学生更好的接受二元一次方程，我在最后给学生留了一道类似的问题：

小松鼠妈妈采松子，晴天采20个松子，雨天采12个松子，一连共采了112个松子，问：这几天共有几天是雨天?

还没等我走出教室，就有同学已经列出了方程。我对他们的答案坐车了肯定，并给予表扬，学生的学习兴趣就更浓了，甚至让我给他们出更多的问题让他们解决。但同时还是有部分同学并没完全掌握，所以在下午的习题课中，我前半节课，练习了方程和解问题，后半节课我着重让同学们找问题中的已知量，未知量和等量关系，使他们能列出简单的二元一次方程(组)。