病态问题分析例题

病态问题分析例题（通用10篇）

病态问题分析例题 篇1

基于虚拟观测的病态问题解法

在大地测量数据处理领域中,处理病态问题的主要方法有:岭估计方法、奇异值分解法(SVD)、Tikhonov正则化方法等,但是这些方法大多数是强调数学上的意义,没有充分联系大地测量的实际情况,因此不利于在测绘领域病态问题本质的理解和研究.为使病态问题的求解具有实际的物理意义,提出了基于虚拟观测的.岭估计方法.该方法将先验约束条件作为一类互相独立的虚拟观测值,从而把病态问题转化为测量平差问题,然后运用Helmert方差估计法来确定岭参数.该方法还可以得到的参数之间的权矩阵,用它来代替虚拟观测值的权矩阵,重新对参数进行计算,则实现了该方法向广义岭估计的推广.实际算例分析的结果表明该方法不仅计算简单而且能保证结果精确.

作 者：冯光财 戴吾蛟 朱建军 陈正阳 FENG Guang-cai DAI Wu-jiao ZHU Jian-jun CHEN Zhen-yang  作者单位：中南大学测绘与国土信息工程系,长沙,410083 刊 名：测绘科学  ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE OF SURVEYING AND MAPPING 年，卷(期)：2007 32(2) 分类号：P22 关键词：病态问题   岭估计   虚拟观测   Helmert方差分量估计  

病态问题分析例题 篇2

师:从题中得到哪些可用信息?

生:2-ax>0.

师:底的条件呢?

生:a>0, a≠1.

师:$\{\begin{array}{l}2-ax＞0‚\\ a＞0‚a\ne 1\end{array}$只是有意义的条件, 如何运用单调减的条件?

师:令u=2-ax, y=logau, u的增减性如何?

生:增函数.

师:y关于u的增减性由谁来确定?

生:a, 所以a>1.

师:还有一个条件[0, 1) 没用, 如何用呢?

生:

师:当x∈[0, 1) 时y=loga (2-ax) 有意义, 即2-ax>0对x∈[0, 1) 成立.如图1, 从其对应的图像线段来看, 最小值是在右端点处取得, 所以只要x=1时满足即可, 2-a>0, 得到a<2.

师:最后的解是什么?

生:1<a<2.

师:从上面可以看出, 一是要考虑意义, 二是要考虑单调性.

案例2f (x) 是 (0, +∞) 上的增函数, 满足$f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$, 若f (6) =1, 求不等式$f(x+3)-f\left(\frac{1}{x}\right)＜2$的解.

师:从所求的不等式思考, 不等式的符号f怎么去掉才能将它化为一般的不等式?

生:本题中f (x) 的表达式不是已知的, 好象也没法求 (不确定) .

师:刚才是从所求思考, 那么从已知信息思考呢?

生:是否可以利用已知的增函数来解决, 即利用增函数的逆来去掉符号f.

师:能直接利用结论吗?

生:不能, 要用增函数逆的结论, 需要将所求不等式变形为f (x1) <f (x2) 的形式.

师:对, 那么怎么才能化为这样的形式呢?

生:左边的两项根据已知可以直接化为f[x (x+3) ].

师:有条件吗?

生:噢, 需要$\{\begin{array}{l}x＞0‚\\ x+3＞0\end{array}$的条件, 否则会与原来范围不同.

师:那右边的2呢?

生1:还有个条件没用, 可以化为2f (6) =f (6) +f (6) .

生2:这样还不够, 需要将f (6) +f (6) 化为一个关于f的函数值.

师:是的, 如果能化到那样的形式, 就能成功了, 那怎么化呢?

生3:已知$f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$, 右边是相减, 而这里是相加的呀.

师:减法与加法能转化吗?

生3:能, 只要将上面形式移项就可得到$f\left(\frac{x}{y}\right)+f(y)=f(x)$.

师:如何运用它来解决上面问题?

生3:取y=6, x=36, 得到f (6) +f (6) =f (36) .

生4:也可以将$f\left(\frac{x}{y}\right)+f(y)=f(x)$变形为f (x) +f (y) =f (xy) , 这样就可以直接代了, 原不等式可化为f[x (x+3) ]<f (36) , 由增函数的逆得到x (x+3) <36, 解此不等式即可.

师:还有问题吗?

生5:范围变化了, 还要加上前面的x>0, x+3>0的条件, 最后可解得…….

师:从本题的解决中, 你可以学到什么?

生6:寻找问题解决的思路要充分利用题中的信息, 有时是所求的, 有时是已知的.

生7:问题解决时经常需要转化, 转化为能用已知和熟悉的问题.

师:转化时要注意什么?

生7:要前后范围一致.

师:对, 这就是数学问题解决时的等价转化思想的引领.

2 思考与评述

2.1 开始切入需要整体把握的问题引导

在案例1中, 零散的条件信息及运用让学生感觉混乱, 并且会让学生被动地跟着走.如果能在开始阶段提出整体的已知信息问题“y=loga (2-ax) 在[0, 1) 上单调减包含了哪些要求?”则能较好地引导学生从有意义和单调减两个途径寻找等价条件, 得到“2-ax>0在[0, 1) 上成立”和“y=loga (2-ax) 在[0, 1) 上单调减”, 再在函数图像和复合函数增减性引导下分别转化条件得解, 这样的从整体到各个具体的问题引导, 更能让学生的思路清晰化, 更能把握解题的方向和过程.

在案例2中, 开始阶段教师提出了3个引导问题:①从所求的不等式思考, 不等式中的符号f怎么去掉才能将它化为一般的不等式?②从已知信息思考呢?③能直接利用结论吗?它们正是从整体上引导学生寻找问题解决的思路, 从所求到已知, 再到需要将不等式转化为两边各为一个关于f (x) 的形式, 学生能自然地参与整个过程, 也能清晰思维的过程.

2.2 中间过程需要方法思想的问题引导

在案例1的问题解决过程中, 学生对每步的解决虽然能听懂但觉得茫然, 特别是为什么要这么做, 是怎么想到这样的办法的, 感觉生硬.其实在解决过程中包含着重要的化归思想和数形结合思想引领, 复合函数y=loga (2-ax) 的增减性化归为两个基本的函数“y=logax”、“y=2-ax”的增减性, “2-ax>0在[0, 1) 上恒成立”通过函数思想转化为y=2-ax在[0, 1) 上的最小值大于0, 再运用数形结合思想画出一次函数在区间[0, 1) 上的图像, 直观得到相应的条件, 如果能从方法思想的角度设计问题引导学生, 则更能让学生容易并自然得到解决的过程.

而在案例2中, 教师较好地从两个方面进行了方法思想的引领:一是一般数学问题如何解题的分析, 引导学生从所求和已知寻找信息, 从而明确需要将不等式进行转化成能运用增函数的逆来解决问题;二是等价转化思想, 包括如何利用条件将两个函数值转化为一个且前后等价, 也包括加和减的转化等.

2.3 反思归纳需要广泛深入的问题引导

在案例1中的最后归纳中, 只是从有意义和增减性两个方面进行了形式上的归纳, 其实例1的解决有比较丰富的归纳价值:一是所解决问题的一般性上, 它是属于复合函数的增减性, 运用的方法是从内到外转化为基本函数, 其中有以形助数的图像法运用, 这样的方法对解决一般复合函数的其它性质都有适用的广泛性;二是蕴含的数学思想归纳, 化归思想、函数思想、数形结合思想等都是较好的渗透机会.

与此相比, 案例2的归纳问题能较好地引导学生从分析问题的一般方法和解决问题过程中蕴含的方法思想的层面进行反思归纳, 并且是在教师引导下的学生自主归纳, 更能保证反思归纳的有效性.

病态问题分析例题 篇3

无论是一元一次方程,还是二元一次方程、分式方程、一元二次方程,它们的应用都必须根据等量关系列出方程(组),而后解该方程(组)。找等量关系既是这部分教学的重点也是难点,如何讲透找数量关系的方法是教学成功的关键,就苏科版初中数学教材七下中的二元一次方程组的第二、第三课时,谈一点自己的个人想法,和大家探讨。

列表和画线性图是找等量关系的基本方法,这一课的教学目标是让学生掌握用列表的方法找数量关系并列出方程组。根据教材安排,第二课时为列表法找等量关系解二元一次方程组,第三课时为画线形图法找等量关系解二元一次方程组。书上的第二课时例题分别是:问题3某厂生产甲、乙两种型号的产品,生产一个甲种产品需要时间8s、铜8g;生产一种乙种产品的型号需要时间6s、铜16g.如果生产甲、乙两种产品共用1h,用铜6.4kg,甲、乙两种产品个生产多少个?

分析:

问题4为了加强公民的节水意识,合理利用水资源。某市采用价格调控手段达到节约水的目的。规定:每户居民每月用水不超过6 时,按基本价格收费,该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示,试求用水收费的两种价格。

大致一看,两道题都有表格,但细细研究会发现问题3,用列表法分析,但没有体现出列表法的优越性,与前一课的题型有雷同的地方。事实上在实际教学中,很多同学都没有列表而是直接根据等量关系列方程组的。问题4就与列表法毫无关系了,表格只是题目已知条件的一部分,根本不是分析问题的方法。这两道题的设置与这节课的教学目标有较大差距。

列表法的优越性最主要体现在两类题型:年龄问题和数字问题。所以我建议把问题3调整为:6年前,爸爸的年龄是小明年龄的8倍,4年后爸爸的年龄是小明的3倍,那么小明和爸爸今年分别是多少岁?

分析:

问题4调整为:一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上45,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位数。

年龄问题和数字问题对学生来说是个难以理解的知识点,年龄中的 “6年前”、“4年后”要保证两人的年龄同时增加和同时减少;“十位和个位对调”不仅是数字调换了位置,隐含的条件是数值也发生了变化。如何理清这其中的关系,当然是利用表格列出它们之间存在的联系,这样才能使数量关系一目了然,方便找等量关系,从而简便的列出方程组。

根据实际教学的需要,问题3还可以改编为:爸爸6年前的年龄是小明6年后年龄的2倍,爸爸4年后的年龄比小明4前年龄的7倍,那么小明和爸爸今年分别是多少岁?这样数据之间的关系更错综复杂,表格的优越性更能体现。

调整后的问题3和问题4的分析,关键是要引导学生自己列出表格,必须要说明的是表格的目的是给数据排序,以便找出它们之间的等量关系,所以表格不是画线,有的表格甚至没有条条框框,依然能够表现出题目中的数量关系。

第三课时的例题是问题5:用正方形和长方形的两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒(如图)。如果长方形的宽与正方形的边长相等,150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个?

这个例题的位置放在这里也不适,因为它不是用线形图分析的,而是用表格。

分析如下:

问题5可以调整为:把一些图书分给七(1)班的学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,如果每人分4本,则还缺25本,你能算出这个班有多少学生,这批图书有多少本吗?

这是一道典型的用线形图分析找出数量关系的应用题。分析如下:设这个班有 位学生,这批书共有 本,由题意:

问题6是行程类应用题,用线形图分析是最佳方案。

运用好一个方法可以达到事半功倍的效果;相反,方法不当常常会令学习收效甚微,有时甚至是南辕北辙。应用题原本对学生来说就是一个难点,只有教对了分析问题的方法,让学生尝到了运用方法的“甜头”,学生才会愿意做应用题、想做应用题、做好应用题。

病态问题分析例题 篇4

1 资料与方法

1.1 一般资料

选取该院收治的60例经病理学证实的病态窦房结综合征患者作为观察对象, 其中男性35例, 女性25例, 年龄45~79岁, 平均年龄 (64±4.3) 岁。既往病史:17例患者为冠心病患者, 16例为高血压患者, 7例为心肌炎患者, 其余20例患者没有明显的阳性病史, 入院后有32例患者有胸闷气短、心率减慢的临床表现, 23例有程度不同的眩晕感, 9例发生晕厥, 11例自感胸闷停跳。

1.2 方法

应用动态心电图诊断前3 d患者停用一切可能影响窦房结功能的药物, 选择PI200A全息动态心电图分析系统进行诊断, 监测并记录患者24 h内的各项指标及临床症状变化情况, 24 h后对所得资料进行分析处理, 并打印出完整报告。

1.3 病态窦房结综合征的诊断标准

窦房阻滞;窦性停搏或窦房传导阻滞;窦性心动持续而显著的在50次/min以下;24 h内总窦性心率减少, 不大于8万次;快慢综合征:24 h平均窦性心率减慢至60次/min和室上性心律失常交替出现;双结病变:交界性搏心律>2 s, 60例患者的动态心电图检查结果与电生理检查结果做比较。

2 结果

60例病态窦房结综合征患者中有20例患者为严重持续性窦性心动过缓, 18例窦房阻滞, 12例慢-快综合征, 10例双结病变, 动态心电图检出37例, 其中严重持续性窦性心动过缓12例, 窦房阻滞10例, 慢-快综合征12例, 双结病变5例, 检出率为61.7%。动态心电图显示中60例患者中有33例患者的心率<50次/min, 最慢心率为31次/min, 最快心率95次/min。

3 讨论

病态窦房结综合征的发生是因为窦房结及其周围组织供血不足或有炎症病变等因素引起的功能减退, 产生多种间歇发作的心律失常的综合表现, 早期诊断主要有心电图检查、电生理检查及阿托品负荷试验等方式, 该研究探讨了动态心电图诊断的诊断效果。动态心电图不同于常规心电图检查, 常规心电图只能记录瞬间, 并不能完全记录患者的心电信息, 特别是无法记录患者夜间的心电活动, 容易错失重要的数据, 不利于患者的准确诊断。动态心电图由记录器、分析单元及打印机组成, 是一种可以长时间连续记录并编集分析人体心脏在活动和安静状态下心电图变化的方法, 主要用于捕捉阵发性心律失常, 记录心动过速及早搏发生时间、数量及状体等, 目前这种诊断方式已经在临床上广泛应用, 从仪器磁带式记录发展为固态式记录和闪光式记录, 从单导、双导发展为12导联全记录, 动态心电图完全弥补了常规心电图检查的不足, 可以连续记录患者24h内心电活动的全过程, 捕捉轻微短暂的心电异常情况, 了解心律失常的时间、发生原因、频率、发生规律及与日常活动之间的关系, 在检测过程中患者可随意移动, 并不会对诊断结果造成影响, 根据相对准确的检测结果对患者进行相应治疗, 提高了诊治有效率。

该组研究中经心电生理检查60例病态窦房结综合征患者中有20例严重持续性窦性心动过缓患者, 18例窦房阻滞患者, 12例慢-快综合征患者, 10例双结病变患者, 动态心电图检出37例, 其中严重持续性窦性心动过缓12例, 窦房阻滞10例, 慢-快综合征12例, 双结病变5例, 检出率为61.7%。心动过缓是病态窦房结综合征比较常见的临床表现, 也是多种疾病的早期表现, 多发生于长期从事过量劳动的患者, 其发生原因主要有窦房结的兴奋性降低或有冠心病病史, 在动态心电图中主要表现为心动过缓。动态心电图显示中60例患者中有33例患者的心率<50次/min, 最慢心率为31次/min, 最快心率95次/min。病态窦房结综合征的发生由早期的间歇性心动过缓, 到持续性心动过缓, 再到反复发作的快速型心律失常, 快慢综合征是其主要特点, 根据诊断分型进行对应治疗, 提高患者的治疗效果。

为了提高动态心电图诊断检出率, 在检查过程中需注意动态心电图的放置, 务必保证记录仪将患者24 h内各个时间段的心电波形进行完整录入, 并将录入资料输入电脑综合分析, 动态心电仪固定后患者需做适量运动, 病情严重不适宜进行剧烈运动的患者遵循医嘱;注意保持皮肤的干燥, 因为动态心电仪是在患者的前胸贴10个电极, 皮肤湿润容易造成电极滑落, 进而影响录入结果;磁场对动态心电仪显示的心电波形有一定影响, 为了保证正常准确的心电波形, 受检患者需远离电磁场。最后, 病态窦房结综合征病因复杂, 一定程度上影响了进一步的确诊与治疗, 动态心电图可以提高心律失常的检出率, 可以作为病态窦房结综合征早期的诊断方法。

参考文献

[1]韩素芹, 柴守峰.动态心电图对病态窦房结综合征的诊断价值[J].中国当代医药, 2010, 17 (7) :80-81.

[2]马立青, 刘翠翠, 李飞.动态心电图诊断病态窦房结综合征的临床价值[J].海南医学, 2006, 17 (8) :13-14.

病态问题分析例题 篇5

病态窦房结综合征是缓慢型心律失常中最常见的病因，任何年龄均可发病，以老年人多见。病窦的病因极为复杂，可由心血管系统疾病浸润性疾病，转移性疾病等内在原因导致，也可由药物、电解质异常等外在原因导致，缺血性心脏病是病窦的主要病因。近年來，随着冠状动脉造影技术的开展，发现许多病窦患者窦房结动脉无明显狭窄。因此许多学者对病窦与冠心病的关系提出质疑。本研究通过回顾性分析病窦与心肌缺血的关系。

资料与方法

一般情况：冠心病患者260例，非冠心病患者220例，两组年龄、其他心血管病患病情况、心功能情况基本相同，病窦患者30例，未合并冠心病6例。

诊断标准：①冠心病：病理资料显示任一血管（左主干，右前降支，回旋支，右冠状动脉）病变达3级或3级以上者。②病窦：持久而显著的窦性心动过缓（50次/分以下），窦性停搏与窦房传导阻滞，窦房传导阻滞与房室传导阻滞同时并存，心动过缓过速综合征。综合分析心电图检查结果，符合上述诊断标准中任1条者即诊断为病窦。③其他心血管疾病（高血压、风湿性心瓣膜病、肺心病、老年退行性辩膜病）及非心血管疾病（肿瘤、肺炎等）均以临床资料诊断部分为准。

结 果

在冠心病患者中，病窦患病率9.2%，其中合并心肌梗塞死16例，ST段抬高性心肌梗死8例，非ST段抬高性心肌梗死7例，在ST段抬高性心肌梗死病例中累及前壁3例，前壁+前间壁2例，前间壁1例，下壁+正后壁2例，前侧壁1例，病窦合并冠心病患者血管受累情况为累及左主干7例，左前降支15例，回旋支6例，右冠状动脉8例，非冠心病患者中病窦患病率2.8%，冠心病组较百冠心病组病窦患病率明显增高。

讨 论

病窦是临床常见病，有资料显示其发生率统计3/3000，任何年龄均可发病，以老年人多见65岁以上，心血管病患者发病率约1/500，男女发病率大致相等，两本组资料患病率明显高于以往统计资料，可能与以下因素有关。①本组高龄平均年龄79岁，80岁以上215例，间质增多，心脏传导系统功能逐渐减退；②本组资料均为住院患者，冠心病及其他心血管疾病发生率明显高于一般人群，而病窦与冠心病有一定相关性。

病窦病因谱很广，研究分析病窦与冠心病的关系后发现，冠心病患者病窦患病率明显高于非冠心病患者以往亦有多项研究探讨两者的关系，一部分研究提示两者存在相关性，急性下壁心肌梗死出现病窦的患者进行冠状动脉造影后发现11例，出现窦房结动脉的明显狭窄，急性下壁心肌梗死后未出现病窦7例。随着窦房结动脉狭窄程度的增高，窦房结功能进行减退，有文献报道，对老年冠心病患者，老年及青年健康者进行窦房结功能测定，显示老年冠心病与老年健康者的窦房结功能，均较青年人降低。

病窦与冠心病具有一定的相关性，本研究的局限性在于未能对窦房结动脉及窦房结本身进行病理检查，从而不能为两种疾病的相关性提供更有力的证据，有待于在以后的工作中进一步研究。

参考文献

1 罗斌.窦房结主间质形态学改变与年龄的相关研究.中华心血管病杂志，2008，29（22）：288-291.

2 陈振云.老年冠心病患者窦房结功能改变抽制探讨.中华老年医学杂志，2007，13（8）：149-150.

分析典型例题 提升解题能力 篇6

一、关于商品的价值量的计算

【典型例题】（2009年湖北卷第24题）某小型企业生产一件甲种商品的劳动耗费价值8元，产量为10万件，甲种商品的社会必要劳动时间价值6元。如果该企业2009年的劳动生产率提高10%，其他条件不变，那么，该企业2009年甲种商品的销售收入与2008年相比：

A.增加8万元 B.增加6万元

C.减少14万元 D.不变

解析：通过读题，从“某小型企业……劳动消耗……”是指个别劳动时间，甲种商品的社会必要劳动时间应理解为该商品的单位商品的价值，所以某小型企业生产的甲种商品只能按6元出售。2008年的销售收入为10万×6元=60万元，又因为该企业2009年劳动生产率（个别）提高10%，即单位时间内生产商品的数量增加10%，即10万件×（1+10%）=11万件，（其他条件不变，社会必要劳动时间没变，货币价值没变），所以，该企业2009年销售收入为11万件×6元=66万元，两年相比，比上年度销售收入增加了（66万-60万）6万元。所以本题正确选项是B。

【盘点知识】这类题涉及的相关理论知识包括：单位商品价值量是由生产商品的社会必要劳动时间决定，不是由个别劳动时间决定；社会劳动生产率提高，同一劳动在同一时间内创造的商品价值总量不变；社会劳动生产率与单位商品价值量成反比；劳动生产率（个别、社会）与商品数量（使用价值）成正比。

【计算方法】计算这类题目要把握一个基本等量关系，即社会劳动生产率提高前后，商品价值总量相等（商品价值总量=商品数量×单位商品价值量）。

用公式表示：商品数量×单位商品价值量（前）=商品数量×单位商品价值量（后）

【举一反三】某商品生产部门的劳动生产率是每小时生产一件商品，价值用货币表示为260元。该部门今年的劳动生产率提高了30%。假定甲生产者今年的劳动生产率是每小时2件商品，在其他条件不变的情况下，甲生产者一小时内创造的价值总量用货币表示为：

A.364元 B.400元

C.520元 D.776元（答案B）

二、关于货币发行量的计算

【典型例题】(2007年·四川文综·26题)某国去年的商品价格总额为16万亿元，流通中需要的货币量为2万亿元。假设今年该国商品价格总额增长10%，其他条件不变，理论上今年流通中需要的货币量为：

A.1.8万亿元 B.2万亿元

C.2.2万亿元 D.2.4万亿元

解析：第一步，计算出某国货币流通速度，根据货币流通规律可求得，某国货币流通次数为（16万亿元÷2万亿元）=8次。第二步，其他条件不变即今年货币流通速度为8次，今年商品价值总额增长了10%，即16万亿元×（1+10%）=17.6万亿元，求得今年流通中需要的货币量为（17.6万亿元÷8）=2.2万亿元。答案为C。

【盘点知识】这类题涉及的知识主要包括：货币流通规律，流通中实际需要的货币量与待售商品价格总额成正比，与货币的平均流通速度成反比。纸币发行量应该与流通中的实际需要货币量相一致，如果纸币发行量超过这个限度，每一单位纸币所代表的货币价值量就会减少，纸币就会贬值，物价上涨。

【计算方法】流通中实际需要量计算公式是：实际需要货币量=待售商品价值总额（待售商品数量×商品价格水平）÷货币的流通速度。

纸币贬值率计算公式是：纸币贬值率=（1-流通中所需的金属货币量÷纸币发行量）×100%。

物价上涨率计算公式是：物价上涨率=（纸币发行量÷流通中所需金属货币量-1）×100%。

做好这类题首先要理解公式的内涵，其次对这些公式要学会变形，还要注意货币发行量与商品价值量、利息率、汇率问题等综合起来计算，这样难度就会加大。如有这样一道高考试题（2008年·全国卷Ⅰ·25题）假设2007年某国一单位M商品，其价值用该国货币表示为15元。如果2008年生产M商品的社会劳动生产率提高50%，且该国的货币价值下降（贬值）20%，在其他条件不变的情况下，2008年一单位M商品的价值用货币表示为：

A.12元B.12.5元

C.18元D.18.75元

解析：第一步，先不考虑货币贬值的情况下，计算出2008年该国一单位M商品的价值量，根据单位商品价值量计算公式我们可以求得2008年一单位M商品价值量用货币表示为15元÷（1+50%）=10元。第二步，考虑货币贬值情况，该国的货币价值下降（贬值）20%，2008年该国一单位M商品的价值量用货币表示为10元÷（1-20%）=12.5元。答案为B。

【举一反三】（2010年·武汉市四月调考·24题）通货膨胀对居民的存款储蓄收益影响巨大。假如某人存入1万元一年定期储蓄，年利率为3%，若这一年间的通货膨胀率为5%，其他条件不变，则到期可获本息相当于一年前的______元。

A.约9810 B.9800

C.9785D.10815（答案A）

三、关于企业利润、经济效益的计算

【典型例题】（2008年·重庆文综·27题）我国某企业在国际市场上，按10美元/件的价格售出100万件某商品，该企业生产该商品的成本为人民币14元/件。假设结算当日的汇率是1美元兑换人民币7元，则该企业可以获得利润为人民币：

A.1400万元B.5600万元

C.7000万元D.9800万元

解析：这是一道有关企业利润与汇率的综合计算的题目，试题最后要求的是用人民币表示该企业利润，因此，第一步先将美元换算为人民币，每件商品价格为10美元，1美元兑换7元人民币，则该商品的价格为70元。第二步，计算该企业的利润，企业利润=生产总值-生产成本。生产总值是100万件×70元=7000万元，生产成本是100万件×14元=1400万元，得出该企业利润是7000万元-1400万元=5600万元。答案为B。

【盘点知识】这类题涉及的主要知识包括：企业的经济效益是指企业的生产总值同生产成本之间的比例关系；企业利润是企业生产总值与生产成本之间的差额；企业利润与企业经济效益是两个不同的概念，企业利润增加不一定企业经济效益就提高。

【计算方法】

企业经济效益计算公式是：企业经济效益=（生产总值÷生产成本）×100%

企业利润计算公式是：企业利润=生产总值-生产成本

企业生产总值计算公式是：生产总值=企业利润+生产成本

【举一反三】某企业去年的经济效益为120%，利润为100万元，今年由于市场需求下降，生产萎缩，生产总值减少了20%，要保证经济效益不下降，在其他条件不变的情况下，则该企业至少要降低成本

A.80万元B.200万元

C.100万元D.400万元 （答案D）

四、关于股票价格的计算

【典型例题】（2006年·全国文综Ⅱ·25题）股票W的票面金额为1元，预期一年后可获得5%的股息，同期银行年利率为4%。一投资者若以10000元购买股票W，不考虑其他因素，理论上最多能够购买股票W的数量为

A.12500股 B.10000股

C.8000股 D.7500股

解析：第一步，计算出一年后每股股票价格是：1×5%÷4%=1.25元，第二步，计算购买该股票的数量是：10000÷1.25元=8000股。答案为C。

【盘点知识】这类题涉及的主要知识包括：股票价格的高低，主要取决于两个因素：预期股息和银行存款利率，股票价格与预期股息收入成正比，与银行利息率成反比；此外，股票价格还受供求关系、政治、经济等各方面因素的影响；股票票面金额与股票价格是不同的，股票票面金额是投资人投资入股的货币资本额，是固定不变的，而股票价格是经常变动的。

【计算方法】

股票价格=预期股息÷银行利息率（存款）（每一元股票价格）

股票价格=股票票面金额×股票价格（每元）（每一股股票价格）

股票价格=股票数量×每股股票价格（股票总

价格）

【举一反三】王某购买了某股份有限公司上市发行的股面额为10元的股票1000股，预期每年可得5%的股息，而当年的银行存款利率为4%。如果没有其他因素的影响，那么，一年后王某所持股票的总价格为

A.10000元 B.12000元

C.12500元 D.15000元（答案C）

五、关于汇率的计算

【典型例题】（2009年·四川文综·26题）小张按1美元兑换8元人民币的汇率换得1000美元，两年后美元兑换人民币的汇率下跌了20%，小张又将1000美元换回人民币。在不考虑其他因素的条件下，小张

A.损失了人民币1600元

B.减少了人民币损失1600元

C.损失了美元160元

D.减少了美元损失160元

解析：此题为人民币与美元兑换的计算题。第一步，可先将美元换算为人民币，两年前小张1美元兑换8元人民币换得1000美元，即用了8×1000=8000元人民币。第二步，两年后小张又将1000美元换回人民币，此时美元兑换人民币的汇率下跌了20%，小张能换回的人民币为：1000×8×（1-20%）=6400元。两次兑换之差是：8000元—6400元=1600元。故选A。

【盘点知识】这类题涉及的主要知识包括：汇率，又称汇价，是指两种不同货币之间的比率。汇率有两种表现形式：一是本币汇率，即以一定数量的本国货币为标准，折算成一定数量的外国货币；二是外汇汇率，即以一定数量的外国货币为标准，折算成一定数量的本国货币。我国通常采用100单位外币作为标准，折算一定数量的人民币，即为人民币的外汇汇率，若100单位外币可以兑换更多的人民币，说明外汇汇率升高，人民币贬值；反之，说明外汇汇率跌落，人民币升值。本币升值有利于进口，不利于出口。

【计算方法】本币=外币×外汇汇率

【举一反三】小华有人民币7700元，如果按1美元

兑换7.7元人民币，人民币存款利率是3%，美元是4%，预计一年后人民币升值到1美元兑换7.5元人民币，小华可行的最佳理财方案是

A.用人民币存款，一年后可得8142元

B.用人民币存款，一年后可得7931元

C.用美元存款，一年后可得1057美元

D.用美元存款，一年后可得1040美元（答案B）

六、关于存款、贷款利息的计算

【典型例题】（2007年·天津文综·29题）如果你以7.70的汇率卖出1万美元，并将换得的人民币存入银行，存期为3年，年利率为4%，利息税为20%，存款到期应得本息为

A.7392元 B.79464元

C.84392元 D.86240元

解析：此题第一步先计算出1万美元=77000元人民币；第二步计算出存入银行三年应得到的利息为77000×4%×3=9240元；第三步计算出税后利息为9240-9240×20%=7392元；第四步计算出本息合计为利息7392+本金77000=84392元。故选C。

【盘点知识】这类题涉及的主要知识包括：存款储蓄是公民的一种重要的投资方式；存款储蓄利国利民，对国家经济与人民生活起着重大作用；利息率是一定期限内利息与本金的比率；按照利率计算的时间单位，利率有年利率、月利率、日利率三种，%表示为年利率、‰表示为月利率、‰0表示为日利率；利息率也是国家对经济宏观调控的一种重要经济手段。

【计算方法】利息（存、贷）=本金×利息率×时间，如果试题涉及利息税，还应扣除利息税的税款。

【举一反三】储蓄作为一种投资方式，其收益主要是银行利息。假设某储户有5万元的活期存款，年利率为2.2%（利息税20%）。当年居民消费品的价格上涨了5%，则该储户的存款收益的实际购买力是

A.880元B.924元

C.1100元 D.836元 （答案D）

七、关于个人所得税的计算

【典型例题】（2007年·宁夏文综·14题）我国现行税法规定，工资薪金收入的个人收入所得税“起征点”为1600元；全月应纳税所得额不超过500元（含）的部分，税率为5%；超过500元至2000元（含）的部分，税率为10%；超过2000元至5000元（含）的部分，税率为15%。小明的爸爸月工资为3500元，则每月应纳的个人收入所得税为

A.165元 B.190元

C.400元D.525元

解析：本题考查应税额的计算，可以分三步解决。第一步，计算应税收入，即应该纳税的部分：3500-1600=1900元。第二步，分段计算纳税额。应税额1900元中的500元适用5%的税率，余1900-500=1400元，适用10%的税率，所以总纳税额应为500×5%+（1900-500）×10%=165元。所以答案应为A。

【盘点知识】这类题涉及的主要知识包括：个人所得税的含义、征税范围、纳税人；征收个人所得税对调节个人收入、增加财政收入具有重要作用；个人所得税的显著特点是“高收入者多纳税，低收入者少纳税”。

【计算方法】个人所得税的计算方法一：月收入扣除起征点基数，分段计算（如典型例题解析方法）；个人所得税的计算方法二：速算扣除法，应缴所得税=全月应纳所得税额×税率-速算扣除数（速算扣除数见下表）

注意：扣除标准：2008年3月份起，个税按2000元/月的起征标准算；全月应纳税所得额＝应发工资－四金（基本养老保险金、医疗保险金、失业保险金、住房公积金）－2000如果试题当中未涉及四金，全月应纳税所得额＝应发工资－2000

【举一反三】技术工人王某2009年5月上交个人所得税475元，受全球金融危机影响，2009年12月上交个人所得税减为250元。据此判断王某12月与5月相比，月收入减少

注：个人所得税起征点为2000元

A.830元 B.2250元

C.1500元D.1000元（答案C）

病态问题分析例题 篇7

结合平时的教学工作, 笔者多次尝试从课堂例题教学中寻求例题教学的有效策略以提高课堂教学效率。

一、课堂例题教学的误区

1. 目标定位不准确

数学教材例题具有典型性、示范性、科学性、指导性, 是实施教学的“蓝本”与“素材”。教学中部分教师对教材的理解不够, 盲目选择一些怪题、难题、偏题, 导致与当前所学内容脱节, 题目太难, 太技巧化, 课堂收效甚微。

2. 教学方式不丰富

课堂中部分教师采用“满堂灌”, 忽视了学生的主体地位, 单一的教学方式让学生缺乏思考, 若题目与讲解的习题较为相近, 学生尚可勉强作答, 若题目有些许改动, 学生便会觉得无从下手, 难以解决。

3. 反思归纳不及时

教学活动中部分教师仅注重对例题的讲解, 以为如此便完成了教学任务, 而没有做到举一反三, 充分挖掘例题所涉及的知识点, 并且未能及时引导学生归纳反思, 使学生缺乏反思的意识, 难以培养学生题后反思的习惯。

例题是一堂课的精髓, 也是课后学生练习的模板, 更是一个发展学生“四基”的平台。课堂教学中教师要重视课堂例题教学, 要善于挖掘教学素材, 选好例题, 引导学生能从例题得到启发并找到解题途径, 使学生对所学知识条理化、系统化, 让学生能在例题的探索中优化数学思维, 发挥最大效能。

二、课堂例题的问题设计策略

1. 合理设计例题题型, 凸显学生的基础知识

在讲解基础知识时, 例题的选择至关重要, 好的例题能让学生更好地熟悉与理解所学知识点。例题的选择要遵循从易到难的原则, 通常要选择典型的、符合教学目标的并且包含一定数学思想的例题, 此外, 教师还要及时了解班级学生对知识点的掌握情况, 并据此确定是否需要修改课本例题或额外补充其他例题进行讲解。

策略1:善用情境, 改编例题

例题在初三数学第一、二轮复习或专题复习课中占有很重要的位置, 因为没有现成的教材来反映这一课堂的素材, 因此在例题设计上具备较大的选择空间, 选准、选好例题, 甚至可以适当改编例题。

案例1如图1, 某服装加工厂有一块三角形余料ABC, 它的边长BC=120 mm, 高AD=80 mm, 要把它加工成正方形图案, 使得正方形的一边在BC上, 另外两个顶点在AC和AB上, 问加工成的正方形零件的边长为多少mm?

此题主要涉及知识点为相似三角形的性质, 是一道很好的探究题, 因此教学时可以将此题作为应用类型问题探究的模板进行专题研究。

教师对例题进行改编后和学生的日常生活紧密相连, 如此不但能够调动学生学习的积极性, 而且还能够培养学生的创新思维与动手能力。

策略2:以例导思, 一题多问

一道例题能否激发学生的兴趣, 让学生积极参与, 取决于提出的问题能否引起学生的认识冲突与思想上的共鸣。教师在例题教学过程中提出一系列分层次的问题, 这样可以让每一名学生在学习中获得相应的知识和成功的喜悦, 同时又可以揭示出数学的本质, 发展学生的数学思维。

案例2如图2, 已知C为AB上一点, △ACM和△CBN为等边三角形, 求证:AN=BM。

这是一道特殊三角形结合全等三角形知识的一道例题, 可设计如下问题:提问1:题目中, 是否有其他相等的边、特殊角及特殊图形或者全等的三角形?如有, 请予以证明。

提问2:若A, B, C三点不在一条直线上, 其他条件均相同, 那么AN与BM是否相等呢?

教学中要善于以例导思, 使学生能够积极参与整个解题过程, 从而激发学生的学习热情, 积极思考, 学生的基础知识也在参与中得到巩固, 如此便可大幅改善学习效果, 提高课堂教学的有效性。

2. 灵活选择例题教学, 凸显学生的基本技能

数学例题教学中教师要重视学生数学思维过程的指导, 暴露学生如何想, 揭示怎样做, 学生逐步形成自己对数学问题的理解, 从而形成分析问题、解决问题的能力。

策略3:适时引导, 点拨方法

学生在例题解决过程中往往会出现这样或那样的错误, 对问题认识会有一定的思维障碍, 教师应适时引导, 拨动学生的思维之弦, 找出问题关键, 让学生冲破混沌状态, 思维顺畅。

案例3如图3, 已知AB∥CD, ∠B=35°, ∠D=32°, 求∠BED的度数。

学生探究解法中的思维障碍是:什么情况要添辅助线?为什么要添?如何添?添辅助线对学生的能力要求较高, 此时教师应给予适时的引导:在图形上添一条直线, 使得图形满足“两条平行直线被第三条直线所截”的条件。学生尝试添第三条直线可以画出如图4的几种图形, 问题就可以顺利地解决了。

教师适时地引导, 犹如雪中送炭, 学生可以很快从困惑中走出来, 这样的例题教学有效性就提高了。

3. 适当进行例题变式, 凸显数学的基本方法

例题教学可将一道题目改编为多个题目, 由易到难, 层层深入, 不但能够使学生对原例题所涉知识点的认识和掌握有质的提升, 而且能够使学生的解题思路更为灵活, 培养他们的发散思维能力, 从而实现举一反三、融会贯通的效果。

策略4:拓展思维, 一题多变

通过变换问题中的条件或结论, 转化问题的形式或内容, 可以帮助学生理解数学知识的本质属性。一题多变能够逐渐削弱学生学习过程中的思维定势, 并逐步培养他们的发散思维。

案例4如图5, ⊙O中弦AB的长为8, 弦AB的弦心距为3, 求⊙O的半径。

变式1:如图6, ⊙O中两平行弦AB与MN的长分别为8和9, ⊙O的半径为5, 求两平行弦间的距离。

变式2:如图7, ⊙O中两弦AB、MN互相垂直于E, 且AE=2, BE=6, ⊙O的半径为5, 求ME、NE的长度。

通过例题的层层变式, 问题得到了进一步深化, 培养学生从特殊到一般, 由具体到抽象地分析问题、解决问题的能力, 逐渐培养他们的数学能力。

策略5:归纳通法, 一解多题

“例题千万道, 解后抛九霄”, 教学中灵活进行一解多题, 可以引导学生在解题时自觉发现、摸索、总结、应用解题规律, 帮助学生从解题过程中提炼通法, 优化解题方法, 总结解题规律, 使学生逐渐掌握数学通法, 从而达到轻负高质的效果。

案例5在同一平面内有不重合的2条直线, 只有一个交点, 3条直线两两相交最多有3个交点, 4条直线两两相交最多有______个交点, 5条直线两两相交最多有______个交点, 请你猜想n条直线两两相交最多有______个交点。

案例6某校初二 (1) 班学生在学习之余, 相互关心, 一星期的时间里每名学生都有过一次电话交流, 关心彼此。若初二 (1) 班共有50名学生, 问他们之间通电话的次数为多少?若学生人数为n, 此时他们之间通电话的次数又是多少呢?

这两道例题一道是几何题, 一道是代数题, 看似毫无相关, 但分析之后可用同一个排列原理来进行解答, 教师可以引导学生抓住问题的相关联性, 寻求通法。

教学中教师要通过学生解题策略的归纳, 可以加深学生的思维深度, 分析问题时能由表及里, 抓住问题的本质, 从而找出知识与问题的内在联系。

4. 巧妙安排例题探究, 凸显学生的基本活动经验

新课程提出新的理念:以生为本, 培养学生的基本活动经验。数学教学不仅是数学活动的教学, 也是学生思维活动的教学。学生进行数学材料的具体操作和形象操作的探究活动, 经历动手操作、抽象思维、逻辑推理、解题等学习活动经验, 感性认识升华到理性认识, 自然而然达到知识生成的目的。

策略6:培养思维, 一题多解

波利亚说过, 如果你走运的话你或许能找到另一个念头, 在这个过程中, 至少你会增进对问题的认识与理解。对于同一个数学问题, 若从不同的角度去思考, 便会有多种思路和解法。在例题教学中, 教师要善于注重一题多解, 便可使学生更好地掌握所学知识, 逐渐削弱学生的定势思维, 提高学生的发散思维和解题能力, 一改往日饱受诟病的“重结论轻过程”的教学方式, 并逐渐发展为“过程与结果”并重, 使学生挖掘隐含问题的本质属性, 从而达到“做一题, 通一类, 会一片”的效果。

案例7如图8, 已知AD为⊙O的直径, 弦AB=AC, 求证:AD平分∠BAC。

此例题是一道较为简单的圆证明题, 但解法较多, 可放手让学生进行探究交流各种解法。

学生的活动经验积累的过程需要学生从已有的经验和直观认识开始, 让学生经历思考的过程, 然后提出问题, 并经历和感悟归纳推理和演绎推理的过程, 久而久之, 学生数学基本活动经验不断积累。

总之, 数学教学中教师要精心以数学教学内容或相关的例题为载体, 适当引导学生将学习过程中的发现、探究等活动呈示出来。在教学活动中体现学生能够参与发现问题、分析问题和解决问题的各个过程, 帮助学生理解和掌握基础知识, 形成数学基本技能, 掌握数学思想和方法, 有效地培养学生数学思维的深刻性、广阔性、发散性和灵活性, 从而真正使我们的课堂教学充满生命活力。

参考文献

[1]钱云详, 张锋.初中数学课堂教学设计透视与导引[M].北京:世界图书出版社, 2010.

[2]屠丰庆.例题教学有效性的现状、分析和思考[J].数学教育研究, 2009 (5) .

病态问题分析例题 篇8

例1 求的极值.

解f ( x) 的定义域为 ( - ∞ , + ∞ ) , 在整个定义区间上连续.令f' ( x) = 0, 得驻点x = 9. 在x =1 处导数不存在. 点x = 1 及x = 9 将定义域分成三个区间.在区间 ( - ∞ , 1) 内, f' ( x) > 0; 在区间 ( 1, 9) 内, f' ( x) < 0; 在区间 ( 9, + ∞ ) 内, f' ( x) > 0. 根据极值的第一充分条件, f ( x) 在x = 1 处取极大值f ( 1 ) = 1, 在x = 9 处取极小值f ( 9) = - 3.

其他教材上的极值例题与此题类似. 对于这样的例题, 在讲授中学生可能会产生以下疑问, 现一一阐释.

问题一对于初等函数, 由导数的四则运算法则及复合函数的求导法则计算出的导函数一般表达式中, 有定义的点必为可导点, 没有定义的点即为函数的不可导点?

在计算初等函数导函数问题中, 利用导数求导法则计算出的导函数的一般表达式有定义的点即为可导点, 导数即为导函数的函数值, 即但导数一般表达式无定义的点可能是不可导点, 如例1, 但也可能是可导点. 如利用导数求导法则计算出的导函数的一般表达式为在x = 0 点利用导数的定义有

除了用导数的定义外, 还可以利用导数极限定理[2]的推论判断导函数无定义的点是否是可导点.

导数极限定理的推论设函数f ( x) 在x0的某邻域U ( x0) 内连续, 在U° ( x0) 内可导, 若极限存在 ( 包括∞ ) , 则有若极限存在 (包括∞) , 且

对函数由于利用导数极限定理的推论, 有f ( x) 在x = 1 处不可导; 对故g' ( 0) = 0, 这样不用导数的定义也可以得到结论.

问题二: 初等函数在某区间上极值的存在性及个数问题.

对于极值的存在性问题, 初等函数在某区间上可能没有极值点, 例如严格单调函数; 可能无极大值点, 有极小值点, 例如y = x2 ( x∈R) ; 可能无极小值点, 有极大值点, 例如y = - x2 ( x∈R) ; 可能既有极大值也有极小值, 如例1.

对于极值的个数问题, 在我们见到大多数教材的例题中, 极值点都是有限多个. 但有的函数有无穷多个极值点, 如y = sinx ( x∈R) .

除了在无限区间上有无穷多个极值点, 也有在有限区间上也有无穷多个极值点的例子, 如驻点为无穷多个, 且由极值第一充分条件易证, x2n为极大值点, x2n+1为极小值点.

上面的例子是无穷多个驻点是极值点, 再举一个有无穷多个不可导点是极值点的例子, 如为不可导点, 事实上, 有f'- ( x2n) = π, f'+ ( x2n) = - π, 故x2n为不可导点, f'- ( x2n + 1) = π, f'+ ( x2n + 1) = - π, 故x2n + 1为不可导点. 根据极值第一充分条件, 易判断x2n极大值点, x2n + 1为极小值点.

在教材中, 由于篇幅有限, 例题的选择不可能将所涉及的知识点全部涵盖, 然而作为教师, 需要对学生可能的疑问甚至可能出现的误解要明晰并加以说明, 这样既有助于学生正确全面理解知识点, 并且有助于帮助学生学会触类旁通, 养成严谨的思维习惯.

摘要：一道现行教材中常见的极值例题在教学中学生常见的问题给出解答.

关键词：极值点,导数,极值的第一充分条件

参考文献

[1]同济大学, 天津大学, 浙江大学等.高等数学:上册[M].北京:高等教育出版社, 2008:111.

[2]华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社, 2001:122.

初中数学例题教学的有效性分析 篇9

[关键词]初中数学 例题教学 有效性

引言

在初中课堂教学当中，例题是教学活动开展所不可或缺的教学内容，是教师向学生们展示、输送知识解决学习问题的重要窗口，也是向学生们灌输数学思想、讲解解题技巧的主要途径。因为，通常学生们对于例题的理解程度，直接对其课堂教学的质量及学生本身解题的能力造成影响。所以就要求教师必须精选例题教学内容，采取科学化的教学方式和技巧，由此充分激发出学生们的学习兴趣，促使学生积极、大胆地深入探索数学知识，最终有效提升教学效率。而怎样设计例题教学，发挥其有效性是当下进行研究的主要问题。

1.初中数学例题教学中的问题分析

1.1学生学习认知偏差

数学学科本身和现实生活具有较大的联系，应用数学知识能够有效解决现实生活当中的多数问题。然而，也正是因为此类原因，导致多数高等院校都直接将数学当作独立化的专业加以设置，因为相对于多数初中学生而言，其并没有对数学从根源上加以了解，通常情况下都只是单纯的针对数学学习中如何高效的解题，对其所具备的实用性作用了解不足。甚至有的学生认为数学学习就是用来解题，和现实生活严重脱节，因而由此导致学生学习效率不高的情况。

1.2教学观念影响

由于传统教育观念根深蒂固，多种传统的教学方式至今仍被采用，导致学生们在课堂学习当中，通常处于一种被动接受的状态。从数学教材的角度来看，例题的设置本身是为了能够帮助学生们更好地掌握数学的概念及原理，然而在多数实际教学当中，教师们通常忽视例题教学的功能作用，更多的只是单纯的为学生们进行解题步骤的讲解，甚至直接督促学生们进人到一种死记硬背的状态。此外，多数教师由于过度对分数的重视，导致数学知识的实际应用被忽视，难以有效的和现实生活结合起来。

2.初中数学例题教学有效性的提升策略

2.1切合实际，因材施教

虽然数学教材例题当中总结出了很多具体的解题方法及思路，然而在实际教学中却并不是任何解题方式都适合，这就必须要求教师们应当切合学生们的学习实际来科学合理化的选择解题的方式。例如，教师精选题目，条件为a>0，b

2.2采取多种解法，培养学生发散性思维

在初中数学教学当中，多数例题都附有多种解题的方式，因此就要求教师必须针对例题进行深入的了解，在为学生们进行讲解的过程中，采取多方面的思考，不断的找出例题当中所包含的信息和条件，从而由此为多种解题的方式提供更为实时的解题条件。并且这种一题目多解的形式还将真正帮助学生们发散性思维的培养，通过此种教学的方式，学生们也将从中找出真正适合自身的解题技巧。例如，在学习一元二次函数图像的知识时，图像过点（-2，0），函数图像的定点坐标为（1，18），以此来求得函数解析式。针对此类题目，最为常见的解题方式主要是通过顶点，再结合顶点式来获取到二次函数的公式y=a（x-1）2+18，由于图像过点（-2，0），因此可以将该点直接代入至表达式当中，由此求出a=-2值，则函数的解析式为y=-2（x-1）2+18。这是一种非常普遍的解题方式，可以充分结合题目本身的已知条件，并由此获知二次函数的对称轴x=1，然而因為该函数图像本身和x轴相交于（-2，0），所以结合相互间的对称联系，可以推断出另外交点为（4，0），对两点加以明确，可将二次函数补充为y+a（x+2）（x-4），将顶点坐标代入公式当中，最终求得a=-2，最终函数解析式为y=-2（x+2）（x-4）。学生们通过对此种教学方式的理解和应用，其思维将变得越来越活跃。

3.结语

综上所述，例题教学法对于初中数学教学有效性的提升而言，作用非常明显。在实际的教学当中，要求教师在开展例题教学时，必须对学生们的学习状况加以考虑，选出真正适合的例题来进行讲解，并采取因材施教、一题多解的方式，由此促使学生解题能力的提升。

病态问题分析例题 篇10

例题 过双曲线$\frac{x{}^2}{3}-\frac{y{}^2}{6}=1$的右焦点F2, 倾斜角为30°的直线交双曲线于A, B两点, 求|AB|. (人教A版教材《选修2-1》第60页例6)

为说明问题, 把教材的解答摘录如下:

解 直线AB的方程为

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3).(*)$

由

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3),\\ \frac{x{}^2}{3}-\frac{y{}^2}{6}=1,\end{array}$

消去y, 得5x2+6x-27=0.解这个方程得

$x{}_1=-3,x{}_2=\frac{9}{5}.$

将x1, x2的值代入 (*) , 得

$y{}_1=-2\sqrt{3},y{}_2=-\frac{2\sqrt{3}}{5}.$

$\begin{array}{l}\text{于}\text{是}‚A,B\text{两}\text{点}\text{的}\text{坐}\text{标}\text{分}\text{别}\text{为}(-3,-2\sqrt{3}),\left(\frac{9}{5},-\frac{2\sqrt{3}}{5}\right).\\ |AB|=\sqrt{(x{}_1-x{}_2){}^2+(y{}_1-y{}_2){}^2}\\ =\sqrt{\left(-3-\frac{9}{5}\right){}^2+\left(-2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{5}\right){}^2}\\ =\frac{16}{5}\sqrt{3}.\end{array}$

笔者听课中发现, 老师们对本例题的教学多采用以下方式:首先让学生自己看书, 教师指责教材的解答运算量大, 其次提出如何简化运算并引导学生推导弦长公式.设圆锥曲线C:f (x, y) =0与直线l:y=kx+m相交于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 则弦长

$\begin{array}{l}|AB|=\sqrt{(x{}_1-x{}_2){}^2+(y{}_1-y{}_2){}^2}\\ =\sqrt{1+k{}^2}|x{}_1-x{}_2|\\ =\sqrt{(1+k{}^2)[(x{}_1+x{}_2){}^2-4x{}_{1}x{}_2]}\\ =\frac{\sqrt{\text{Δ}}}{|a|}\sqrt{1+k{}^2}.\end{array}$

最后, 再让学生运用弦长公式解答本题, 并出示几道求弦长的题目练习.教研评课中, 教师们都不约而同地认为教材编写本例的主要意图是训练学生“运用韦达定理, 整体代入, 设而不求”等简化运算的能力, 从而熟练掌握如上弦长公式.

实事求是地讲, 笔者以往的教学也是这样做的.但随着对新《课程标准》和对课标教材的学习与思考, 不禁要问:以上老师们的共识是否是教材的真正意图?若是的话, 教材为什么不像处理其它内容一样, 设置一个思考问题来暗示一下呢?譬如, 提出“你能对解答简化一下运算吗?”或“能不能不通过求交点坐标, 而求弦长呢?”等等.我们知道教材是专家们反复思考、精心打磨编写而成的.作为直线与圆锥曲线相交这样的典型问题选择什么方法做出解答, 我想专家们也会站在学科系统的高度深思熟虑的.这样看来, 教材对本例的示范性解答应该另有它因, 至少老师们的一致看法可能不是唯一的编写意图!

2 教材的真正意图是什么?

我们回到解析几何解决问题的本质方法——坐标法, 即笛卡尔的解题模式:第一, 把任何问题转化为数学问题;第二, 把任何数学问题转化为代数问题;第三, 把任何代数问题归结为解方程.事实上, 新《课标》构建的解析几何体系, 是以坐标法为核心, 依“直线与方程—圆与方程—圆锥曲线与方程—极坐标系与参数方程”为顺序, 螺旋上升, 循序渐进地展开内容.教材中始终贯穿坐标法、随时随地强调坐标法的基本思想, 突出坐标法的核心地位, 强调形数结合的思想方法.实际上, 本例题的本质是研究直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 根据坐标法等价于研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.那么解方程或方程组问题, 应是解决本例题的本质方法.这样看来, 教材的真正编写意图是为了更加突出、强调通过解方程 (组) , 即方程的思想方法来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.换句话说就是遵循“设—列—解”的程序化运算原则, 提高用方程思想解题的意识, 这才是教材编写的真正意图.

当然, 针对本题求|AB|, 老师们提出研究简化运算的策略、技巧以及弦长公式, 也无可厚非, 只是切勿避重就轻, 偏离教学的核心目标、主要任务以及教材编写本道例题的真正意图和失去了它应有的价值.

基于以上思考, 下面我们运用解方程 (组) 的方法解答人教A版教材选修2-1中的一道习题.

例1 (第62页的B组第4题) 已知双曲线$x{}^2-\frac{y{}^2}{2}=1$, 过点P (1, 1) 能否做一条直线l, 与双曲线交于A, B两点, 且点P是线段AB的中点?

解法1 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 根据点与坐标以及曲线与方程的对应关系, 题目所给几何条件等价地转化为

$\begin{array}{l}x{}_1^2-\frac{y{}_1^2}{2}=1,(1)\\ x{}_2^2-\frac{y{}_2^2}{2}=1,(2)\\ 1=\frac{x{}_1+x{}_2}{2},(3)\\ 1=\frac{y{}_1+y{}_2}{2},(4)\end{array}$

这样, 直线l是否存在⇔A, B两点坐标是否存在⇔由 (1) (2) (3) (4) 成的方程组是否有实数解.

由 (3) 解出x2=2-x1, 由 (4) 解出y2=2-y1, 并将x2, y2代入 (2) 并整理得

2x${}_1^2$-y${}_1^2$-8x1+4y1+2=0. (5)

联立 (1) 与 (5) 消去y1并整理得

2x${}_1^2$-4x1+3=0. (6)

显然, 方程 (6) 无实数根, 所以原方程组无实数解, A, B两点不存在, 直线l不存在.

说明 从上述解答可以看出, 整个过程实施了以下等价转化:直线l是否存在⇔A, B两点坐标是否存在⇔由 (1) (2) (3) (4) 组成的方程组是否有实数解⇔ (5) 与 (1) 组成的方程组是否有实数解⇔ (6) 是否有实数根.因为 (6) 无实数根, 所以直线l不存在.即通过解方程组来判断直线l是否存在.

本题实际上为1981年全国高考题, 也是师生们非常熟悉的用“点差法”求解的“中点弦”问题.文[1]中总结了解决本类问题的3种方法:方法1, 设出直线的点斜式方程, 用判别式+韦达定理来解, 并称为通法;方法2, “点差法”+验证Δ, 并指出与方法1本质一致, 也是通法, 但运算量较小;方法3, 首先判断定点所在的区域, 从而确定满足条件的直线是否存在, 再用“点差法”求其方程, 没有必要再验证Δ了. 笔者不完全统计, 截止2010年底全国各种中学数学杂志围绕本问题刊发了近20余篇文章, 大概也是这3种方法.所用的3种方法都是等价地转化为判断直线的斜率是否存在或求出斜率问题, 我们称为思路1.并把用本解法1解题的思路称为思路2.

3 两种解题思路殊途同归, 解法的本质完全相同

我们仍以例1为例, 先用思路1解答, 再探讨解法的本质相同.

解法2 由题设知直线l的斜率存在, 设所求直线方程为y=k (x-1) +1, 代入双曲线方程, 整理得:

(2-k2) x2+ (2k2-2k) x-k2

+2k-3=0. (7)

设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则x1, x2是 (7) 的两个不等实数根, 则直线l与双曲线交于A, B两点, 且点P是线段AB的中点

$\iff \{\begin{array}{l}2-k{}^2\ne 0,\\ \text{Δ}=(2k{}^2-2k){}^2\\ -4(2-k{}^2)(-k{}^2+2k-3)>0,\\ \frac{x{}_1+x{}_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2k{}^2-2k}{k{}^2-2}=1.\end{array}$

解$\frac{2k{}^2-2k}{k{}^2-2}=2$得k=2, 但k=2不满足

$\{\begin{array}{l}2-k{}^2\ne 0,\\ \text{Δ}>0.\end{array}$

所以混合组无解, 满足题中条件的直线l不存在.

本解法因其规范和严密性是老师们向学生重点讲解的通法.从表现形式上看, 与解法1比较, 似乎是两种不同的方法.本解法中, 直线l是否存在取决于混合组有无实数解, 最终归结为求得参数k后, 要验证Δ= (2k2-2k) 2-4 (2-k2) (-k2+2k-3) >0是否成立, 也就是方程 (7) 是否有实数根, 将k=2代入后, 即2x2-4x+3=0有无实根.而前面的解法1中, 直线l是否存在取决于方程 (6) 有无实根.所以, 本质上两种解法都归结为对2x2-4x+3=0有无实根的判断.如果说不同的话, 正如前面的分析, 解法1是用两点式求直线方程;而解法2则是用点斜式求直线方程.两种解法只是选择的求直线方程的形式不同而已.

4 用“点差法”解题必须验证Δ的根本原因

首先回顾运用“点差法”求解例1的过程.

第1步:由 (1) 式减去 (2) 式, 整理得

$\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}=2\cdot \frac{x{}_1+x{}_2}{y{}_1+y{}_2}.$

第2步:将 (3) , (4) 代入上式得

$k=\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}=2.$

从上述求解过程可以看出, “点差法”虽然也列出了4个方程 (1) , (2) , (3) , (4) , 但并没有解4个方程 (1) , (2) , (3) , (4) 组成的方程组去求x1, y1, x2, y2, 而是把$\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}$作为整体目标直接求出斜率k.与解法1或解法2的解答比较, 实际上并没有对方程 (6) 是否有实数根作出判断.因为方程 (6) 没有实数根, 也就求不出实数根x1, y1, x2, y2, 直线l也就不存在.

那么, 为什么没有解出实数根x1, y1, x2, y2, 而又能求出$\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}$即斜率呢?事实上, 方程 (6) 有一对复数根$x{}_1=\frac{2+\sqrt{2}\text{i}}{2}‚x{}_2=\frac{2-\sqrt{2}\text{i}}{2}$, 从而$y{}_1=1+\sqrt{2}\text{i}‚y{}_2=1-\sqrt{2}\text{i}$.于是

$\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}=\frac{1-\sqrt{2}\text{i}-(1+\sqrt{2}\text{i})}{\frac{2-\sqrt{2}\text{i}}{2}-\left(\frac{2+\sqrt{2}\text{i}}{2}\right)}=2.$

事实上, 无论一元二次方程是否有实数根, 韦达定理总成立.同样的, 在处理解析几何中曲线的交点问题时, 直接“整体代入”求解, 往往容易忽视方程有无实根的条件.由于曲线交点坐标必须是实数, 所以整体求解所得结果不一定是符合题意的.这也是“点差法”解题必须检验Δ=0的根本原因.

5 从解方程 (组) 的角度入手, 解决直线与圆锥曲线位置关系的有关问题

分析例1的求解过程, 我们发现由 (1) (2) (3) (4) 组成的方程组是否有实数解⇔ (5) 与 (1) 组成的方程组是否有实数解, 即由解四元x1, y1, x2, y2方程组转化为解二元x1, y1方程组, 这就启发我们本题可以直接构建两个未知数x1, y1的两个方程组成方程组来解.事实上, 是我们熟知的如下方法:设A (x1, y1) , 因为P (1, 1) 是线段AB的中点, 所以B (2-x1, 2-y1) , 代入双曲线方程即得 (1) 与 (5) 组成的方程组, 再解这个方程组.

但笔者在多年的教学实践中, 发现如果采用下面对A, B, 两点坐标的设法, 不仅体现出数学的对称美, 而且, 也往往起到简化运算的作用.

设A (1+Δx, 1+Δy) , B (1-Δx, 1-Δy) , 于是有

$\{\begin{array}{l}2(1+\text{Δ}x){}^2-(1+\text{Δ}y){}^2=2,(8)\\ 2(1-\text{Δ}x){}^2-(1-\text{Δ}y){}^2=2.(9)\end{array}$

由 (8) + (9) , (8) - (9) 得

$\{\begin{array}{l}2(\text{Δ}x){}^2-(\text{Δ}y){}^2=1,(10)\\ \text{Δ}y=2\text{Δ}x.(11)\end{array}$

解 (10) 与 (11) 得$(\text{Δ}x){}^2=-\frac{1}{2}$无解, 从而直线不存在.

其实, 这种对A, B两点坐标的设法, 还基于$\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$为直线的斜率思考而来的, 限于篇幅, 不再赘述.

例2 过双曲线$\frac{x{}^2}{3}-\frac{y{}^2}{6}=1$的右焦点F2作直线l交于A, B两点, 已知$\overrightarrow{AF{}_2}=5\overrightarrow{BF{}_2}$, 求直线l的方程.

分析 本题是笔者根据教材例题 (即本文例题) 改编的变式训练题.试图训练学生用本文的解法1、解法2解决问题的能力, 以下只给出上面提到的简化运算的方法求解.

解 设A (3+5Δx, 5Δy) , B (3+Δx, Δy) , 则

$\{\begin{array}{l}\frac{(3+5\text{Δ}x){}^2}{3}-\frac{(\text{Δ}y){}^2}{6}=1,\\ \frac{(3+\text{Δ}x){}^2}{3}-\frac{(5\text{Δ}y){}^2}{6}=1.\end{array}$

解方程组得

$\{\begin{array}{l}\text{Δ}x=-\frac{6}{5},\\ \text{Δ}y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{5}.\end{array}$

所以点$B\left(\frac{9}{5},\pm \frac{2\sqrt{3}}{5}\right)$.根据焦点F2坐标和B点坐标, 利用两点式方程求得直线l的方程为$x\pm \sqrt{3}y-3=0.$

说明 注意本题与“中点弦”问题是一般与特殊的关系.

例3 已知椭圆C:$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1$, 试确定实数m的取值范围, 使得对于直线l:y=4x+m, 椭圆C上有不同的两点A, B关于直线l对称.

解法1 设点M (x0, y0) 为线段AB中点, 则A (x0+Δx, y0+Δy) , B (x0-Δx, y0-Δy) 为椭圆C上关于直线l:y=4x+m对称的不同两点⇔关于Δx, Δy的方程组

$\{\begin{array}{l}3(x{}_0+\text{Δ}x){}^2+4(y{}_0+\text{Δ}y){}^2=12,(1)\\ 3(x{}_0-\text{Δ}x){}^2+4(y{}_0-\text{Δ}y){}^2=12(2)\end{array}$

有两组不同实数解.

由 (1) + (2) 得

3 (x${}_0^2$+Δx) 2+4 (y${}_0^2$+Δy) 2=12. (3)

由 (1) - (2) 得

3Δxx0+4Δyy0=0. (4)

又因为点M (x0, y0) 在直线l:y=4x+m上, 所以$y{}_0=4x{}_0+m‚\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{4}$, 将这两式代入 (4) 解得

$\{\begin{array}{l}x{}_0=-m,\\ y{}_0=-3m.\end{array}(5)$

将$(5)‚\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{4}$代入 (3) 消去x0, y0, Δx得

20Δy2=12-39m2. (6)

那么, Δx, Δy的方程组有两组不同实数解⇔关于Δy的方程 (6) 有两个不同实数根⇔12-39m2>0.解得实数m的取值范围为$\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{2\sqrt{13}}{13}\right).$

说明 文[2]对本题的解答 (也是目前老师们的解答) 都是当求得 (5) 式后, 运用点M (x0, y0) 在椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$内的充要条件$\frac{x{}_0^2}{a{}^2}+\frac{y{}_0^2}{b{}^2}<1$构造关于m的不等式来解, 虽然可类比点在圆内结论易得, 但笔者认为用教材没出现的结论解题不仅加重学生的记忆负担 (关于抛物线尤其是双曲线的结论更复杂, 老师们是有体会的) , 而且与新课程理念所倡导的返璞归真, 把握学科本质, 力求寻找问题的本质解法都是相悖的.

事实上, 关于Δy的方程 (6) 有两个不同实数根⇔12-39m2>0与M (-m, -3m) 在椭圆C:$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1$内$\iff \frac{(-m){}^2}{4}+\frac{(-3m){}^2}{3}<1\iff 3m{}^2+36m{}^2<12\iff 12-39m{}^2>0$是等价的.

解法2 在解法1求得

$\{\begin{array}{l}x{}_0=-m‚\\ y{}_0=-3m\end{array}$

后, 可以写出直线AB的方程为$y+3m=-\frac{1}{4}(x+m)$.这样, 椭圆C上有不同的两点A, B关于直线l对称⇔直线AB的方程代入椭圆方程消去y得到关于x的方程, 一元二次方程有两个不同实根⇔Δ>0, 求得m的取值范围.但运算量相比解法1略大一些.

例4 已知A, B是双曲线$x{}^2-\frac{y{}^2}{3}=1$上关于动直线l:y=kx+4对称的两点, 求线段AB的中点M的轨迹方程.

解 设点M (x0, y0) 为线段AB的中点, 易知k≠0, A (x0+Δx, y0+Δy) , B (x0-Δx, y0-Δy) 为双曲线C上关于直线l对称的不同两点⇔关于Δx, Δy的方程组

$\{\begin{array}{l}3(x{}_0+\text{Δ}x){}^2-(y{}_0+\text{Δ}y){}^2=3,(1)\\ 3(x{}_0-\text{Δ}x){}^2-(y{}_0-\text{Δ}y){}^2=3(2)\end{array}$

有两组不同实数解.

(1) + (2) 整理得

3x${}_0^2$+3Δx2=3+y${}_0^2$+Δy2. (3)

(1) - (2) 整理得

3x0Δx=y0Δy. (4)

由 (4) 及$\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{k},y{}_0=kx{}_0+4$解得

$x{}_0=-\frac{1}{k},y{}_0=3.$

即点M的坐标$\left(-\frac{1}{k},3\right).$

将$x{}_0=-\frac{1}{k},y{}_0=3,\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=-\frac{1}{k}$代入 (3) 整理得

$3\left[\left(-\frac{1}{k}\right){}^2-4\right]=\left[\left(-\frac{1}{k}\right){}^2-3\right]\text{Δ}x{}^2.(5)$

那么, 关于Δx, Δy的方程组有两组不同实数解⇔关于Δx的方程 (5) 有两个不同实数根$\iff \frac{\left(-\frac{1}{k}\right){}^2-4}{\left(-\frac{1}{k}\right){}^2-3}>0\iff -\frac{1}{k}<-2$或$-\sqrt{3}<-\frac{1}{k}<\sqrt{3}$或$-\frac{1}{k}>2.$

又因为$x{}_0=-\frac{1}{k}\ne 0$, 所以$x{}_0\in (-\infty ‚-2){\displaystyle \cup (}-\sqrt{3},0){\displaystyle \cup (}0,\sqrt{3}){\displaystyle \cup (}2,+\infty )$.故所求中点M的轨迹方程$y=3(x\in (-\infty ‚-2){\displaystyle \cup (}-\sqrt{3},0){\displaystyle \cup (}0,\sqrt{3}){\displaystyle \cup (}2,+\infty )).$

说明 本题求解的难点在于求出x0或$-\frac{1}{k}$的取值范围, 相比文[3]的解答, 本解法从求讨论方程有解的条件入手分析、解决问题, 既避免了分类讨论, 又无需学生记忆结论, 思路清晰, 操作性强. 可见, 最朴素、平凡和最本质的解法, 也往往是最重要的和最简单的方法[4].

例5 (2008年广东高考题) 设b>0, 椭圆方程为$\frac{x{}^2}{2b{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$, 抛物线方程为x2=8 (y-b) .如图1所示, 过点F (0, b+2) 作x轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为G, 已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

(Ⅰ) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(Ⅱ) 设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点P, 使得△ABP为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标) .

解 (Ⅰ) 椭圆和抛物线的方程分别为$\frac{x{}^2}{2}+y{}^2=1$和x2=8 (y-1) .

(Ⅱ) 因为过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, 所以以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个.同理, 以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.

若以∠APB为直角, 设P点坐标为$\left(x,\frac{1}{8}x{}^2+1\right)‚A,B$两点的坐标分别为$(-\sqrt{2},0)$和$(\sqrt{2},0)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm P}A}\cdot \overrightarrow{{\rm P}B}=x{}^2-2+\left(\frac{1}{8}x{}^2+1\right){}^2\\ =\frac{1}{64}x{}^4+\frac{5}{4}x{}^2-1.\end{array}$

所以, ∠APB为直角$\iff \overrightarrow{{\rm P}A}\cdot \overrightarrow{{\rm P}B}=0\iff \frac{1}{64}x{}^4+\frac{5}{4}x{}^2-1=0$, 因为这个关于x2的二次方程有一大于零的根, 所以x有两解, 即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个.

综上所述, 抛物线上存在4个点使得△ABP为直角三角形.

说明 第2小问的求解遵循笛卡尔的解题模式, 把几何问题转化为代数方程问题, 通过方程解的讨论使原问题获解.

数学教学的根本任务, 是引导学生建构良好的数学认知结构, 以满足其后继学习的需要.教学过程应该重视对数学思想、方法的归纳提炼, 认识和把握最本质的因素, 这样远比死记硬背几条性质更有效.若只会机械地套用现成的公式, 而不知其所以然, 那就背离了新课标所倡导的“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”, “使学生理解数学结论逐步形成的过程, 体会蕴含其中的思想方法”, 这也就是所谓的“授之以鱼, 不如授之以渔”.为此, 教师应该经常引导学生站在学科的高度、系统的高度和自我监控的高度思考问题.“站在学科的高度”是指在一定的数学观、数学解题观及数学思想的指导下, 去理解数学理论知识和数学方法.“站在系统的高度”是指所学的每一节内容要放到一定的知识体系中去理解, 注重知识的前后联系.“站在自我监控的高度”即充分调动学生的内省机制, 使学生从数学问题中“跳出来”, 对自己的思维状态和思维方法进行反思和监控, 并学会总结一些适合自己的数学经验性知识.总之, 要引导学生注重数学本质方法的把握, 淡化衍生性质的记忆, 这样学生才能真正跳出题海, 减负增效, 不辜负新一轮课程改革赋予我们中学数学教师的历史重任!

参考文献

[1]索云旺, 王贵军, 等.对《错题集》中一处概括的思考[J].数学教学, 2005, (9) .

[2]江福贵, 江多娇.圆锥曲线上两点关于直线对称问题巧解[J].数学通报, 2006, (8) .

[3]李波文, 王岑.也谈“点差法”的改进[J].中学数学 (高中版) , 2010, (4) .