案例分析专题辅导讲义

案例分析专题辅导讲义（共6篇）

案例分析专题辅导讲义 篇1

案例分析专题辅导讲义（1）

一、、课程性质及基本要求 《例分析专题》是中央广播电视大学法学专业专科段的选修课程，属于统服性质的课程，即区电大自开课。要求学生在学完本课程后，能够比较全面地了解、掌握我国刑法、民法、婚姻家庭法等的基本内容，并能在此基础上具备基本的对典型案例分析和解决实际问题的能力。为以后参加国家司法考试奠定一定的基础。

二、、学习的基本方法

1、认真阅读主教材；《法学典型案例分析》主编陈军，哈尔滨工程大学出版；

2、、参加适当的面授辅导；

3、学会自主学习；

4、熟读相关的法律、法规；

5、、结合司法实践，学会分析基本的案例方法。

案例来源： 2011司法考试案例分析专题

三、、有关课程考核说明

1、本课程考试命题以课程考核说明为依据，由区电大统一命题；

2、本课程的考试重点就是案例分析；

3、、形成性考核形式为平时作业有两次，网上可以直接下载；期末考试形式为闭卷笔试；期末考试的答题时限为90分钟；

4、试题类型全是主观性试题。主观性主观性试题题型一般为4--5个案例分析题。第一部分刑事案例

一、犯罪构成是指依照中国刑法规定某一具体行为的社会危害性及其程度，为该行为构

成犯罪所必需的一切客观和主观要件的有机统一，是使行为人承担刑事责任的根据。任何一种犯罪的成立都必须具备四个方面的构成要件，即犯罪主体、犯罪主观方面、犯罪客体和犯罪客观方面。

二、受贿罪的犯罪构成及量刑标准

[释义]

受贿罪是指国家工作人员利用职务上的便利，索取他人财物，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的行为。

[刑法条文]

第三百八十五条国家工作人员利用职务上的便利，索取他人财财物的，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的，是受贿罪。国家工作人员在经济往来中，违反国家规定，收受各种名义的回扣、手续费，归个人所有的，以受贿论处。

第三百八十六条对犯受贿罪的，根据受贿所得数额及情节，依照本法第三百八十三条的规定处罚。索贿的从重处罚。

第三百八十八条国家工作人员利用本人职权或者地位形成的便利条件，通过其他国家工作人员职务上的行为，为请托人谋取不正当利益，索取请托人财物或者收受请托人财物的，以受贿论处。

第三百八十三条对犯贪污罪的，根据情如轻重，分别依照下列规定处罚：

（一）个人贪污数额在十万元以上的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，可以并处没收

财产；情节特别严重的，处死刑，并处没收财产。

（二）个人贪污数额在五万元以上不满十万元的，处五年以上有期徒刑，可以并处没收财

产，情节特别严重的，处无期徒刑，并处没收财产。

（三）个人贪污数额在五千元以上不满五万元的，处一年以上七年以下有期徒刑，情节严

重的，处七年以上十年以下有期徒刑，个人贪污数额在五千元以上不满一万元，犯

罪后有悔改表现、积极退赃的，可以减轻处罚或者免予刑事处罚，由其所在单位或者上级主管机关给予行政处分。

（四）个人贪污数额不满五千元，情节较重的，情节较重的，处二年以下有期徒刑或者拘

役；情节较轻的，由其所在单位或者上级主管机关酌情给予行政处分。

第一百六十三条公司、企业的工作人员利用职务上的便利，索索取他人财物或者非法收受他人财物，为他人谋利益为他人谋利益，数额较大的，处五年以下有期徒刑或者拘役，数额巨大的，处五年以上有期徒刑，可以并处没收财产。公司、企业的工作人员在经济往来中，违反国家现定，收受各种名义的回扣、归个人所有的，依照前款的规定处罚。国有公司、企业中从事公务人员和国有公司、企业委派到非国有公司、企业从事公务的人员有前两款行为的，依照本法第三百八十五条、第三百八十六条的规定定罪处罚。

第一百八十四条银行或者其他金融机构的工作人员在金融业务活动中索取他人财物或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的，或者违反国家规定，收受各种名义的回扣、手续费，归个人所有的，依照本法第一百六十三条的规定定罪处罚，国有金国有金融机构工作人员和国有金融机构委派到非国有金融机构从事公务的人员有前款行为的，依照本法第三百八十五条、第三百八第三百八十六条的规定定罪处罚。

第九十三条本法所称国家工作人员，是指国家机关中从事公务的人员。国有公司、企业、事业单位、人民团体中从事公务的人民和国家机关、国有公司、企业、事业单位委派到非国有公司、企业、事业单位、社会团体从事公务的人员，以及其他依照法律从事公务的人员，以国家工作人员论。

第三百九十九条司法工作人员询私枉法、殉情枉法，对明知是无罪的人而使他受追诉、对明知是有罪的人而故意包庇不使他受追诉，或者在刑事审判活动中故意违背事实和法律作枉法裁判的，处五年以下有期徒刑或者拘役；情节严重的，处五年以处五年以上十年以下有期徒刑；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑。在民事、行政审判活动中故意违背事实和法律作枉法裁判，情节严重的，处五年以下有期徒刑或者拘役；情节特别严重的，处五年以上十年以下有期徒刑。

司法工作人员贪赃枉法司法，有前两款行为的，同时又构成本法第三百八十五条规定之罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。

[说明]

一、本罪的犯罪主体只能是国家工作人员，这一点同于贪污罪和挪用公款罪。本罪在主

观方面体现为故意。在客观方面，则表现为利用职务上的便利，索取他人财物，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的行为。关于“利用职务上的便利”问题在修订后《刑法》公布后尚未作出新的司法解释前，可参考“两高”《关于执行（关于严惩贪污罪贿赂罪的补充规定）若干问题的解答》第三条第二项的规定。

二、应当注意，索取他人财物的，不论是否“为他人谋取利益”。均可构成受贿罪；非法收受他人财物，同时具 “为他人谋取利益为”的，才能构成受贿罪。为他人谋取的利益是否正当，是否实现，不影响受贿罪的成立。

三、1988年《补充规定》第四条第三款规定；国家工作人员、集体经济组织工作人员或者其他从事公务人员，在经济往来中，违反国家规定收受各种名义回扣、手续费，归个人所有的，以受贿论。这就人们通常所说的“经济受贿”、现《刑法》已将该内容收纳为第三百八十五条，但将其主体限定为“国家工作人员”。在司法实践中，对经济受贿行为追究刑事责任时刑事责任时，要注意正确界定回扣、手续费的概念。区别回扣与佣金、折扣、奖金的不同，在正确认定“违反国家规定违”的问题。在实行经济改革对外开放中，特别要注意区分受贿罪与非罪的界限，包括受贿行为与正常礼尚往来的界限，受贿行为与获得合理报酬行为的界限，受贿罪与经济上不正之风的界限，受贿罪与一般受贿行为的界限，尽量避免错案的发生。

四、关于“预约受贿”问题，最高法院关于离退休人员事先约定以后收受财物仍以受贿定罪的规定，已经明确，可依此执行。

《中华人民共和国刑法修正案

（七）》简称简称《刑法修正案七》第十三条规定了“利用影响力受贿罪”。如何在司法实践中准确理解和把握利用影响力受贿罪的犯罪构成要件以正确适用法律，有效惩治犯罪，是司法实务工作者必须要认真研究的问题，根据有关法律规定，结合相关法学理论，正确认定犯罪主体。

根据根据《刑法修正案

（七）》的规定，利用影响力受贿罪的犯罪主体应当包括以下三类人员；一是国家工作人员或者离职的国家工作人员的近亲属；二是离职的国家工作人员；三是其他与国家工作人员或者离职的国家工作人员关系密切的人。在司法实践中对上述三类人员应如何界定，我认为既要依据相关的法律规定，同时又要紧密结合我国的国情、社情和司法工作和司法工作的实际，来进行区分和界定。

比如：

一单纯的送礼可否构成受贿罪单纯的送礼可否构成受贿罪�6�1�6�1黄某系某县国税局党组成员黄某系某县国税局党组成员、、副局副局长长。蒋某系该局下属一税务所所长蒋某系该局下属一税务所所长因因蒋某不久前刚从外县调入蒋某不久前刚从外县调入为了搞好和为了搞好和黄某的关系黄某的关系在在20082008年春节送给黄某红年春节送给黄某红包一个包一个内有人民币内有人民币33万元万元。�6�1�6�1问题黄某的行为构成受贿罪问题黄某的行为构成受贿罪。�6�1�6�1构成利用特定关系影响受贿罪构成利用特定关系影响受贿罪�6�1二收受债权凭证能否构成受贿罪�6�1债权人能否实际占有财产或得到满足取决于债务人能否履行债务。因此严格地讲债权作为请求权能否转为财产权债权人是否可以实际获得财物处于一种不太确定的状态故而它是一种相对的权利。在现实生活中债权人的债权有可能是能够实现的实际财产如在约定的时间内由债务人履行债务义务债权人获得财物。也有可能是一种不能实现而空有虚名的财产权如债务主体消亡或债务人因多种原因失去能力而无法履行债务义务。对受贿的债权能否作为犯罪看待要视实际情况而定如果是前一种情况可将受贿债权认定为受贿既遂。因行为人可以通过债务人履行义务获得实际财物只不过是一个时间的迟早问题。如果是后一种情况表明行为人无法占有实际财产其债权的利益就根本无法实现可以认定为受贿未遂。�6�1�6�1三三利用影响力受贿罪利用影响力受贿罪�6�1�6�1““利用影响力受贿罪利用影响力受贿罪””一直是媒体和社会一直是媒体和社会热议的话题热议的话题。这项罪名被业内评价为这项罪名被业内评价为““在理在理论上对传统受贿罪的一次重大突破论上对传统受贿罪的一次重大突破在实践在实践中填补了目前反腐败制度和法律体系存在的中填补了目前反腐败制度和法律体系存在的一个空缺一个空缺””。在我国在我国利用影响力受贿的行利用影响力受贿的行为并不少见为并不少见如国家工作人员的家属利用基如国家工作人员的家属利用基于亲友关系产生的影响力受贿于亲友关系产生的影响力受贿离退休国家离退休国家工作人员利用基于原有职权或地位产生的影工作人员利用基于原有职权或地位产生的影响力受贿响力受贿其他非国家工作人员利用基于感其他非国家工作人员利用基于感情情、、血缘血缘、、地缘地缘、、事务关系产生的影响力受事务关系产生的影响力受贿贿。�6�1�6�1近日河南省检察机关立案侦查并提起公诉的李某涉嫌利用影响力受贿案成为全国首例司法机关办理的利用影响力受贿案件。“利用影响力受贿罪”这一新罪名同时进入公众视野。�6�1据报道2006年深圳某投资公司董事长张某从南阳市某银行得知该银行想处置所持有的一地产股权等资产包便找到时任其公司开发部经理、同时也是南阳市某银行行长贾某妹夫的李某让其利用亲戚关系从中联系收购。2006年10月李某与张某一起找到贾某挑明此事。后深圳某投资公司与南阳市某银行顺利签订了8565万元的资产包转让协议。在仅付了1065万元的情况下贾某即违规将该

资产包全部过户给深圳这家公司。随后深圳这家公司处置了该资产包部分股权获得了巨额利润。张某为感谢李某给其现金200万元和自己开发的部分房产。李某在购买时少付购房款1000万元并于2009年7月办理了过户手续。�6�1基于此为进一步加大反腐败力度2009年2月全国人大常务委员会对《刑法》进行第七次修改将利用影响力受贿行为作为受贿定罪处罚。规定“国家工作人员的近亲属或者其他与该国家工作人员关系密切的人通过该国家工作人员职务上的行为或者利用该国家工作人员职权或者地位形成的便利条件通过其他国家工作人员职务上的行为为请托人谋取不正当利益索取请托人财物或者收受请托人财物数额较大或者有其他较重情节的处三年以下有期徒刑或者拘役并处罚金数额巨大或者有其他严重情节的处三年以上七年以下有期徒刑并处罚金数额特别巨大或者有其他特别严重情节的处七年以上有期徒刑并处罚金或者没收财产。”“离职的国家工作人员或者其近亲属以及其他与其关系密切的人利用该离职的国家工作人员原职权或者地位形成的便利条件实施前款行为的依照前款的规定定罪处罚。”�6�1值得注意的是按民法通则的规定“近亲属”包括配偶、父母、子女、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女。“关系密切的人”是一个包括范围更广的概念“关系”是否“密切”主要是看双方平时的关系如何。因此上述人员有时虽不具有国家工作人员的身份也能构成受贿罪。�6�1�6�1三

三、、正当防卫的界限正当防卫的界限�6�1�6�1我国刑法第我国刑法第2020条的规定“为了使国家、公共利益、条的规定“为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害而采.

案例分析专题辅导讲义 篇2

【背景材料】

2014年8月29日,发改委、工信部等八部委联合印发《关于促进智慧城市健康发展的指导意见》(以下简称《意见》),提出到2020年我国要建成一批特色鲜明的智慧城市。

近年来,我国智慧城市建设取得了积极进展,但也暴露出缺乏顶层设计和统筹规划、体制机制创新滞后、网络安全隐患和风险突出等问题,一些地方出现思路不清、盲目建设的苗头,亟待加强引导。《意见》强调“科学制定智慧城市建设顶层设计”,城市人民政府要从城市发展的战略全局出发研究制定智慧城市建设方案。方案要突出为民、便民、惠民,使公众分享智慧城市建设成果。

智慧城市是运用物联网、云计算、大数据等新一代信息技术,促进城市规划、建设、管理和服务智慧化的新理念和新模式。目前全国有近400个城市宣布建设智慧城市,覆盖东、中、西部地区,经过数年的建设,中国智慧城市已进入实质性建设和推进阶段。

【命题角度】

1.运用《经济生活》知识,说明建设智慧城市对我国经济社会发展的影响。

(1)智慧城市的建设可以促进城市资源的合理配置,推动智慧型产业的发展,促进产业优化升级,创造新的经济增长点。

(2)转变政府的行为方式,提高政府的效率和管理水平。

(3)促进人们消费模式和生产方式的变革和创新,提升城市的综合竞争力。

(4)提高群众生活品质,推动经济社会可持续发展。

2.针对我国智慧城市建设中存在的问题,请为促进智慧城市健康发展提出方法论建议。

(1)系统优化的方法要求我们用综合的思维方式来认识事物。智慧城市建 设要立足 整体,从城市发展的战略全局出发,加强顶层设计和统筹规划。

(2)一切从实际出发,具体问题具体分析。智慧城市建设要有特色、有创新,避免贪大 求全、重复建设。

(3)树立正确的价值取向。智慧城市建设要坚持以人为本,提高政府的社会管理和公共服务能力,提升居民的幸福感受。

3.有人认为,政府加强顶层设计、统筹规划和加大投入就能推进智慧城 市建设。请运 用《经济生活》知识对这一观点加以评析。

(1)宏观调控能有效弥补市场调节的不足。推进智慧城市建设需要政府加强顶层设计和统筹规划,避免建设的盲目性。

(2)财政具有促进资源合理配置和促进经济发展的作用。政府加大投入,促进智慧城市基础设施建设,能为智慧城市的发展奠定良好的基础。

(3)在加强宏观调控的同时,还需要充分发挥市场的决定性作用。广泛聚合 社会各方 力量,共同推进智慧城市建设。该观点只看到了宏观调控的作用,忽视了市场的决定性作用,是不合理的。

【创新试题】

1.运用新一代的信息技术创设城市生活和管理的新模式,建设智慧城市对加快工业化、信息化、城镇化、农业现代化融合,提高城市可持续发展能力具有重要意义。材料表明

1建设智慧城市是人们改造客观规律,为人类造福的表现2人为事物的联系是客观的

3自在事物的种种联系具有主观性4人们可以根据事物固有的联系建立新的联系

A.12B.23

C.24 D.34

2.随着智慧城市建设的不断推进,智慧家居、智慧医疗、智慧交通、智慧教育、智慧物流、智慧水利、智慧旅游等与城市生活密切相关的“大智慧”在未来都将进入每个人的“小时代”。可见建设智慧城市

1是转变政府职能,减少政府管理的必然要求2是改善民生服务、提高生活品质的有效途径3能转变经济增长方式,创造新的经济增长点4能促进人们消费模式的改变,确保安全出行

A.12 B.23

C.14 D.34

参考答案:1.C 2.B

热点2:科学对待文化传统,不忘历史开辟未来

【背景材料】

2014年9月24日,国家主席习近平在纪念孔子诞辰2565周年国际学术研讨会上发表重要讲话。他强调,不忘历史才能开辟未来,善于继承才能善于创新。只有坚持从历史走向未来,从延续民族文化血脉中开拓前进,我们才能做好今天的事业。推进人类各种文明 交流交融、互学互鉴,是让世界变得更加美丽、各国人民生活得更加美好的必由之路。

习近平说,优秀传统文化是一个国家、一个民族传承和发展的根本,如果丢掉了,就割断了精神命脉。我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来、紧密结合起来,在继承中发展,在发展中继承。我们应该科学对待民族传统文化,科学对待世界各国文化,用人类创造的一切优秀思想文化成果武装自己。

【命题角度】

1.从文化传承与创新的角度分析材料给我们的启示。

(1)立足社会实践是文化创新的根本途径。要自觉投身于中国特色社会主义实践之中。

(2)继承传统、推陈出新。中国的文化只有坚持从历史走向未来,从延续民族文化血脉中开拓前进,我们才能做好今天的事业。

(3)面向世界、博采众长。中国的传统文化要善于与各种文明交流交融、互学互鉴,才能让世界变得更加美丽。

(4)在继承中国传统文化的过程中要反对“守旧主义”“封闭主义”“历史虚无主义”和“民族虚无主义”。

2.运用矛盾的观点,说明怎样正确对待不同国家和民族的文明、正确对待传统文化和现实文化。

(1)矛盾就是对立统一,同一性和斗争性是矛盾的两种基本属性。要把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来,在继承中发展,在发展中继承。

(2)矛盾具有普遍性,事物都是一 分为二的,坚持两点论和两分法。一方面要坚持马克思主义的科学学说,一方面反对“历史虚无主义”和“民族虚无主义”。

(3)矛盾的普遍性和特殊性是相互联结的。要把马克思主义基本原理和中国特色具体实际结合起来,用人类创造的一切优秀思想文化成果武装自己。

【创新试题】

1.习近平在纪念孔子诞辰2565周年国际学术研讨会上强调,推进人类各种文明交流交融、互学互鉴,是让世界变得更加美丽、各国人民生活得更加美好的必由之路。材料体现了

1实现文化创新决 定于是否 博采众长2发展本民族文化需要不同民族文化的交流借鉴与融合3文化只有不断创新才能充满生机与活力4不同民族文化平等交流、相互借鉴才能共同推动世界文化的创新

A.12 B.14

C.23 D.24

2.在2014年的教师节期间,习近平总书记去北师大见师生代表时说:我很不希望把我们一些非常经典的古代诗词文化、散文都给去掉,加入一堆什么西方的东西,我觉得去中国化是很悲哀的。之所以反对“去中国化”是因为

1要完整地保留传统文化的内容,不断推动文化形式的创新2中华优秀传统文化已经成为中华民族 的基因,植根在中 国人内心3中华优秀传统文化潜移默化影响着中国人的思想方式和行为方式4要坚持固守本民族的传统文化,积极排斥外来文化

A.12 B.23

C.13 D.34

参考答案:1.D 2.B

热点3:共商文艺繁荣发展大计———习近平主持召开文艺工作座谈会

【背景材料】

2014年10月15日,习近平总书记在京主持召开文艺工作座谈会并发表重要讲话。他强调,实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦,文艺的作用不可替代,文艺工作者大有可为。

推动文艺繁荣发展,最根本的是要创作生产出无愧于我们这个伟大民族、伟大时代的优秀作品。文艺创作方法有一百条、一千条,但最根本、最关键、最牢靠的办法是扎根人民、扎根生活。广大文艺工作者要坚持以人民为中心的创作导向,要志存高远,随着时代生活创新,以自己的艺术个性进行创新。繁荣文艺创作、推动文艺创新,必须有大批德艺双馨的文艺名家。广大文艺工作者要坚持德艺双馨、以德为先,成为时代风气的先觉者、先行者、先倡者,要弘扬中国精神、凝聚中国力量,鼓舞全国各族人民朝气蓬勃迈向未来。

【命题角度】

1.运用“认识社会与价值选择”的知识,说明“坚持以人民为中心的创作导向”的正确性。

(1)人民群众是实践的主体,是历史的创造者。文艺创作应充分发挥人民群众的实践主体作用。

(2)树立群众观点,坚持群众路线。文艺创作最根本、最关键、最牢靠的办法是扎根人民、扎根生活。

(3)正确的价值观要自觉站在最广大人民的立场上。广大文艺工作者坚持以人民为中心的创作导向说明他们树立了正确的价值观,作出了正确的价值判断和价值选择。

2.运用文化创新和文化发展的知识,分析说明如何推动文艺繁荣发展。

(1)社会实践是文化创新的源泉和动力,人民群众是文化创造的主体。广大文艺工作者要扎根于生活,在实践中汲取营养,要坚持以人民为中心的创作导向。

(2)文化创作要推陈出新、革故鼎新。文艺工作者要志存高远,随着时代生活创新,为自己的艺术个性进行创新。

(3)坚持先进文化的前进方向,是推动文艺繁荣发展的根本保证。文艺创作要弘扬中国精神、凝聚中国力量,鼓舞全国各族人民 朝气蓬勃、迈向未来。

(4)加强科学文化修养与思想道德修养的统一。广大文艺工作者要全面提高自身素质,坚持德艺双馨,成为时代风气的先觉者、先行者和先倡者。

【创新试题】

1.习近平强调,人民是文艺创作的源头活水,一旦离开人民,文艺就会变成无根的浮萍、无病的呻吟、无魂的躯壳。能不能搞出优秀作品,最根本的决定于是否能为人民抒写、为人民抒情、为人民抒怀。这告诉我们

1想成为一个有作为的文化工作者,必须自觉投身于中国特色社会主义伟大实践2只有关注最广大人民的根本利益,理解人民群众对文化生活的基本需求,才能创作出无愧于时代的好作品3只有从人民群众主观愿望出发,才能创作出无愧于人民的好作品4文化创新是社会实践发展的重要源泉,也是社会实践发展的必然要求

A.12 B.23

C.13 D.24

2.习近平强调,广大文艺工作者要把满足人民精神文化需求作为文艺和文艺工作的出发点和落脚点,把人民作为文艺表现的主体,把人民作为文艺审美的鉴赏家和评判者,把为人民服务作为文艺工作者的天职。这说明

1我国是人民当家作主的社会主义国家2人民群众是我国国家权力的直接行使者3要树立群众观点,坚持群众路线4人民群众是精神财富的创造者,是社会存在和发展的基础

A.12 B.13

C.24 D.34

3.材料一改革开放以来,中国文艺创作迎来了新的春天,产生了大量脍炙人口的优秀作品。同时,也不能否认,在文艺创作方面,也存在着有数量缺质量、有“高原”缺“高峰”的现象,存在着抄袭模仿、千篇一律的问题,存在着机械化生产、快餐式消费的问题。文艺不能在市场经济大潮中迷失方向,不能在为什么人的问题上发生偏差,否则文艺就没有生命力。

材料二习近平指出,文艺不能当市场的奴隶,不要沾满了铜臭气。广大文艺工作者坚持以人民为中心的创作导向,更好地为人民抒写、为人民抒情、为人民抒怀。要高扬社会主义核心价值观的旗帜,大力弘扬中国精神,聚焦实现中国梦这个时代主题,把追求真善美作为文艺创作的永恒价值。

(1)材料一对我国文艺发展现状的认识,是如何体现矛盾分析法的?

(2)结合材料二,运用文化建设的知识,说明怎样才能做到文艺不当市场的奴隶。

参考答案:1.A 2.B

3.(1)1矛盾具有普遍性,事物都是一分为二的,要坚持两点论和两分法。改革开放以来的中国文艺创作一方面产生了大量脍炙人口的优秀作品,一方面也存在着有数量没有质量等各种问题。2矛盾具有特殊性,坚持具体问题具体分析。文艺创作要鼓励创新,防止出现抄袭模仿、千篇一律的问题。3矛盾的主次方面是辩证统一的,要学会抓主流但不忽 视支流。尽管改革开放以来的中国文艺作品存在着这样那样的问题,但仍然创作了大量脍炙人口的优秀作品,文艺不能在市场经济大潮中迷失方向,否则文艺就没有生命力。

(2)1发展人民大众喜闻乐见的社会主义文化。文艺创作要扎根人民、扎根生活,用优秀的作品创造市场、引领市场,为人民抒写、抒情和抒怀。2坚持先进文化的前进方向,抵制落后和腐朽文化。文艺创作要坚持为人民服务、为社会主义服务这个根本方向。3发展中国特色社会主义文化,奏响主旋律。要弘扬中国精神,聚焦实现中国梦这个时代主题。4加强对文化市场的管理和正确引导,克服市场自身的弱点。文艺作品要把社会效益放在首位,实现社会效益和经济效益的统一。5加强思想道德建设,坚持社会主义核心价值观,不断提高思想道德修养和科学文化修养。广大文艺工作者要高扬社会主义核心价值观的旗帜,把追求真善美作为文艺创作的永恒价值。

热点4:十八届四中全会开启中国法治新时代

【背景材料】

2014年10月20日至23日,党的十八届四中全会在京召开,全会审议通过了《中共中央关于全面推进依法治国若干重大问题的决定》,对全面推进依法治国作出了战略部署,是新形势下全面推进依法治国的纲领性文件。全会提出,全面推进依法治国,总目标是建设中国特色社会主义法治体系,建设社会主义法治国家。实现这个总目标,必须坚持中国共产党的领导,坚持人民主体地位,坚持法律面前人人平等,坚持依法治国和以德治国相结合,坚持从中国实际出发。

党的十八届四中全会是在我们党的历史上首次召开的以依法治国为主题的中央全会,是我国加快法治国家建设征途上的一个重要里程碑。

【命题角度】

1.结合实际,运用《政治生活》的相关知识,说明中国共产党的领导和依法治国的关系。

(1)党的领导和社会主义法治是一致的,社会主义法治必须坚持党的领导,党的领导必须依靠社会主义法治,党要领导立法、保证执法、支持司法、带头守法。

(2)把坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一起来,是我国社会主义法治建设的一条基本经验。

2.运用《政治生活》的相关知识,指出全面推进依法治国的现实意义,并说明如何推进依法治国。

(1)1全面推进依法治国,是解放和增强社会活力、促进社会公平正义、维护社会 和谐稳定、确保党和国家长治久安的根本要求。2全面建成小康社会、实现中华民族伟大复兴的中国梦,全面深化改革、完善和发展中国特色社会主义制度,提高党的执政能力和执政水平,必须全面推进依法治国。

(2)1中国共产党要坚持依宪执政和依法执政,领导立法、带头守法、保证执法,不断推进国家经济、政治、文化、社会生活的法制化、规范化。2全国人大作为最高国家立法机关要按照法定程序举行会议,依法履行职权。3行政机关要严格依法行政,必须根据法律法规的规定依法行使其行政权力,对其行政行为的后果承担相应的责任。4司法机关要公正司法、严格执法,把依法治国落到实处。5广大公民要学法、懂法、用法、守法,依法维护自身的合法权益。

【创新试题】

1.公开向宪法宣誓,是指国家公职人员在上任前举行公开的,宣誓效忠于宪法和国家的就职仪式。党的十八届四中全会提出,“建立宪法宣誓制度,凡经人大及其常委会选举或者决定任命的国家工作人员正式就职时公开向宪法宣誓”。公开向宪法宣誓

1有助于树立宪法权威,全面推进依法治国的实施2表明国家工作人员是依法治国的主体3有助于进一步完善各级人大的人事任免权和监督权4能确保每个公民尊重宪法、维护宪法

A.12 B.23

C.13 D.24

2.党的十八届四中全会提出,“法律的权威源自人民的内心拥护和真诚信仰”。这句话强调的是

A.人具有主观能动性,一个人只要有了坚定的信仰就能成功

B.意识具有反作用,公民的法律意识能决定依法治国的进程

C.人有自觉能动性,树立公民的法治信仰是依法治国的前提

D.意识具有能动作用,公民对法律的认同是法治的力量之源

3.法律是治国之重器,良法是善治之前提。阅读材料,回答问题。

材料一依法治国是中国共产党的庄严选择。从开国大典前夕的《共同纲领》播下法治的“种子”,到民主法制在经历曲折后的艰辛探索;从党的十五大提出“依法治国”基本方略,到十八届四中全会专题研究“全面推进依法治国”,法治是中国共产党的坚定信念和执着追求。

材料二多年来,我国经济领域的诸多问题与矛盾都与法治缺失有关。现实中,立法滞后的现象在经济领域中非常突出,尤其明显的是有关互联网方面的法律、法规明显欠缺,在网店经营、互联网金融等众多领域,法律缺位的现象已经产生了较为严重的负面影响。此外,权钱交易谋求竞争优势、相互勾结获取垄断利润、操纵证券市场、非法骗贷集资、侵吞国有财产、假冒伪劣……种种扰乱市场秩序的行为还时有发生。

(1)指出材料一和图表反映的政治现象。

(2)十八届四中全会提出,社会主义市场经济本质上是法治经济。请针对材料二中存在的问题,谈谈你对这句话的理解。

参考答案:1.C 2.D

3.(1)1中国共产党是我国的执政党,是中国特色社会主义事业的领导核心。2中国共产党坚持科学执政、民主执政和依法执政。3我国坚持中国共产党领导的多党合作和政治协商制度,人民政协积极履行政治协商、民主监督和参政议政职能。4我国政治生活坚持民主集中制原则。

(2)1市场经济是竞争经济,只有依法整顿和规范市场秩序,才能创造公平、公正的市场竞争环境,保护各类市场主体的合法权益。2市场经济是道德经济,只有形成以道德为支撑、法律为保障的社会信用制度,才能克服市场调节的自发性、盲目性和滞后性的弊端,降低运营成本。3市场经济是法治经济,必须以法律保护产权、维护契约、平等交换、有效监管,才能完善法律制度,促进市场经济健康发展。

热点5:APEC北京峰会成果丰硕,中国展现大国责任

【背景材料】

2014年北京APEC会议的主题是“共建面向未来的亚太伙伴关系”,会议就推动区域经济一体化,促进经济创新发展、改革增长,加强全方位基础设施与互联互通建设等三大重点议题达成了广泛而深入的共识,发表了《北京纲领》和《亚太经合组织成立25周年声明》,批准了亚太自由贸易区路线图,勾画了建设亚太互联互通网络的新蓝图。会议推动实现亚太梦想共同致力于亚太繁荣进步,会议为亚太地区长远发展和共同繁荣勾画了新愿景,指引了新方向,注入了新动力。

2014北京APEC,注定因其创新精神及丰硕成果,在亚太区域合作进程中树起一座不朽的里程碑,在全球经济发展进程中烙下深深的“北京印记”。

【命题角度】

1.运用“当代国际社会”的知识,说明中国愿意同本地区各国携手实现亚太美好梦想(简称“亚太梦”)的理论依据。(“亚太梦”就是坚持亚太大家庭精神和命运共同体意识,顺应和平、发展、合作、共赢的时代潮流,共同致力于亚太繁荣进步;就是继续引领世界发展大势,为人类福祉作出更大贡献;就是让经济更有活力、贸易更加自由、投资更加便利、道路更加畅顺,人与人交往更加密切;就是让人民过上更加安宁、富足的生活,让孩子们成长得更好,工作得更好,生活得更好。)

(1)国家间的共同利益是国家合作的基础,而利益对立则是引起国家冲突的根源。实现亚太美好梦想,符合亚太各国的共同利益。

(2)和平与发展是当今时代的主题。实现亚太美好梦想,顺应和平、发展、合作、共赢的时代潮流,反映了当今时代的主题。

(3)我国的国家性质和国家利益,决定了我国一贯奉行独立自主的和平外交政策,坚持独立自主的基本立场,以维护世界和平、促进共同发展为宗旨,以维护我国的独立和主权、促进世界的和平与发展为基本目标,以和平共处五项原则作为发展对外关系的基本准则。实现亚太美好梦想体现了我国的外交政策。

(4)我国是负责任的大国,始终不渝走和平发展道路。中国有责任为本地区人民创造和实现亚太梦想。

2.运用发展社会主义市场经济的知识,说明北京APEC会议正式启动亚太自贸区进 程的必要性及其意义。

(1)是市场经济发展的内在要求。在市场经济条件下,市场在资源配置中起决定性作用。正式启动亚太自贸区进程,有利于充分发挥市场在资源配置中的决定性作用,充分利用国际国内两种资源、两个市场,实现资源的合理优化配置。

(2)是适应经济全球化趋势的 客观要求。当今世界是开放的世界,经济全球化深入发展,各国的经济联系日益紧密。正式启动亚太自贸区进程,有利于实现贸易和投资的自由化,促进商品、服务、资本、技术、人员等生产要素自由流动,为亚太乃至 全球经济 的持久发 展注入新动力。

(3)是我国坚持对外开放的基本国策,提高开放型经济水平的要求。正式启动亚太自贸区进程,有利于我国与亚太各国之间的相互开放、互利合作,把“引进来”和 “走出去”更好 结合起来。

【创新试题】

1.自2013年中国政府提出建设“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的倡议,到中国在北京APEC会上宣布出资400亿美元成立丝路基金,一年来,“一带一路”已从理念设计、总体框架设计、战略规划发展至务实合作阶段。未来,中国将继续与沿线各国一道,重点加强基础设施互联互通、能源、金融、民生等领域互利合作。“一带一路”战略构想的提出和实施

1顺应了和平、发展、合作、共赢的时代潮流2表明我国在国际社会中发挥着主导作用3有利于巩固我国与周边国家建立的结盟关系4会促进我国的对外开放和沿线国家的共同发展

A.12 B.34

C.23 D.14

2.立领、连肩袖、氅衣、对襟为特色,主打海水江崖纹图案的北京APEC领导人特色中式服装,其设计传承中国文化、融汇中西所长,力求简约、典雅、时尚,与APEC北京峰会“共建面向未来的亚太伙伴关系”的会议主题相得益彰。这说明

1文化多样性是文 化创新的 根本途径2文化既是民族的,也是世界的3文化与政治交融,是国家合作的基础4文化借助特定的活动与方式得以传播与继承

A.12 B.23

C.24 D.34

3.2014年11月8日,习近平主席在加强互联互通伙伴关系对话会议上发表题为《联通引领发展、伙伴聚焦合作》的重要讲话,宣布中国将出资400亿美元成立丝路基金,并提出了加强互联互通、深化“一带一路”合作的一系列建议。会议强调要以亚洲国家为重点方向,以经济走廊为依托,以交通基础设施为突破,以建设融资平台为抓手,以人文交流为纽带,深化亚洲国家互联互通伙伴关系,共建发展和命运共同体。

封闭没有出路,开放才能发展。只要亚洲各国齐心协力、加强合作,共同推动互联互通建设,实现人畅其行、物畅其流,一个紧密相连、互通有无、携手并进、合作共赢的亚洲,定能以自身发展造福本地区人民,为推动世界繁荣进步注入生机勃勃的亚洲动力。

(1)运用《经济生活》的相关知识,分析推动互联互通建设的现实意义。

(2)结合材料,运用联系的观点,分析“封闭没有出路,开放才能发展”的正确性。

参考答案:1.D 2.C

3.(1)1经济全球化是当今世界的一个大趋势,各国都非常重视参与国际经济竞争与合作。互联互通有利于促进区域内经济融合,提高资源配置效率,提升地区的竞争力,促进地区经济持续稳定增长。2实行对外开放是我国的一项基本国策。互联互通是提高开放型经济水平的客观要求,有利于促进我国和周边国家的经济社会发展,为中国和亚洲的和平发展创造更加有利条件。

重大时政热点专题辅导 篇3

【背景材料】

2014年8月29日，发改委、工信部等八部委联合印发《关于促进智慧城市健康发展的指导意见》（以下简称《意见》）。《意见》提出，到2020年我国要建成一批特色鲜明的智慧城市。

近年来，我国智慧城市建设取得了积极进展，但也暴露出缺乏顶层设计和统筹规划、体制机制创新滞后、网络安全隐患和风险突出等问题，一些地方出现思路不清、盲目建设的苗头，亟待加强引导。《意见》强调，要加强顶层设计，各地城市人民政府要从城市发展的战略全局出发研究制定智慧城市建设方案。

智慧城市是运用物联网、云计算、大数据、空间地理信息集成等新一代信息技术，促进城市规划、建设、管理和服务智慧化的新理念和新模式。目前全国有400多个城市宣布建设智慧城市，覆盖东、中、西部地区。当前，智慧城市的发展在中国已经不再是一个概念，而是进入了实质性的建设和推进阶段。

【命题角度】

1.运用《经济生活》知识，说明建设智慧城市对我国经济社会发展的影响。

①智慧城市的建设可以促进城市资源的合理配置，推动智慧型产业的发展，促进产业优化升级，创造新的经济增长点。②促进政府转变行为方式，提高效率和管理水平。③促进人们消费模式和生产方式的变革和创新，提升城市的综合竞争力。④提高群众生活品质，推动经济社会可持续发展。

2.针对我国智慧城市建设中存在的问题，请为促进智慧城市健康发展提出方法论建议。

①系统优化的方法要求我们用综合的思维方式来认识事物。智慧城市建设要立足整体，从城市发展的战略全局出发，加强顶层设计和统筹规划。②一切从实际出发，具体问题具体分析。智慧城市建设要有特色、有创新，避免贪大求全、重复建设。③树立正确的价值取向。智慧城市建设要坚持以人为本，提高政府的社会管理和公共服务能力，提高居民的幸福感。.

3.有人认为，政府加强顶层设计和统筹规划、加大投入就能推进智慧城市建设。请运用《经济生活》的知识对这一观点加以评析。

①宏观调控能有效弥补市场调节的不足，推进智慧城市建设需要政府加强顶层设计和统筹规划，避免建设的盲目性。②财政具有促进资源合理配置和促进经济发展的作用，政府加大投入，促进智慧城市基础设施建设，能为智慧城市的发展奠定良好的基础。③在加强宏观调控的同时，还需要充分发挥市场的决定性作用，广泛聚合社会各方力量，共同推进智慧城市建设。该观点只看到了宏观调控的作用，忽视了市场的决定性作用，是不合理的。

【创新试题】

1.运用新一代的信息技术驱动城市生活和管理的新模式，建设智慧城市对加快工业化、信息化、城镇化、农业现代化融合，提升城市可持续发展能力具有重要意义。材料表明（ ）

①建设智慧城市是人们改造客观规律，为人类造福的表现 ②人为事物的联系是客观的 ③自在事物的种种联系具有主观性 ④人们可以根据事物固有的联系建立新的联系

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

2.随着智慧城市建设的不断推进，智慧家居、智慧医疗、智慧交通、智慧教育、智慧物流、智慧水利、智慧旅游等与城市生活密切相关的“大智慧”在未来都将进入每个人的“小时代”。可见建设智慧城市（ ）

①是转变政府职能，减少政府管理的必然要求 ②是改善民生服务、提高生活品质的有效途径③能转变经济增长方式，创造新的经济增长点 ④能促进人们消费模式的改变，确保安全出行

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④

参考答案：1.C 2.B

热点2：科学对待文化传统 不忘历史开辟未来

【背景材料】

2014年9月24日，国家主席习近平在纪念孔子诞辰2565周年国际学术研讨会上发表重要讲话。他强调，不忘历史才能开辟未来，善于继承才能善于创新。只有坚持从历史走向未来，从延续民族文化血脉中开拓前进，我们才能做好今天的事业。推进人类各种文明交流交融、互学互鉴，是让世界变得更加美丽、各国人民生活得更加美好的必由之路。

习近平说，优秀传统文化是一个国家、一个民族传承和发展的根本，如果丢掉了，就割断了精神命脉。我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来、紧密结合起来，在继承中发展，在发展中继承。我们应该科学对待民族传统文化，科学对待世界各国文化，用人类创造的一切优秀思想文化成果武装自己。

【命题角度】

1.从文化传承与创新的角度分析材料给我们的启示。

（1）立足社会实践是文化创新的根本途径。要自觉投身于中国特色社会主义实践之中。（2）继承传统、推陈出新。中国的文化只有坚持从历史走向未来，从延续民族文化血脉中开拓前进，我们才能做好今天的事业。（3）面向世界、博采众长。中国的传统文化要善于与各种文明交流交融、互学互鉴，才能让世界变得更加美丽。（4）在继承中国传统文化的过程中要反对保守主义、封闭主义，历史虚无主义和民族虚无主义。

2.运用矛盾的观点，说明怎样正确对待不同国家和民族的文明、正确对待传统文化和现实文化。

（1）矛盾就是对立统一，同一性和斗争性是矛盾的两种基本属性。要把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承。

（2）矛盾具有普遍性，事物都是一分为二的，坚持两点论和两分法。一方面要坚持马克思主义的科学学说，一方面不做历史虚无主义和文化虚无主义。

（3）矛盾的普遍性和特殊性是相互联结的。要把马克思主义基本原理和中国特色具体实际结合起来，用人类创造的一切优秀思想文化成果武装自己。

【创新试题】

1.习近平在纪念孔子诞辰2565周年国际学术研讨会上强调，推进人类各种文明交流交融、互学互鉴，是让世界变得更加美丽、各国人民生活得更加美好的必由之路。材料体现了（ ）

①实现文化创新决定于是否博采众长 ②发展本民族文化需要不同民族文化的交流借鉴与融合 ③文化只有不断创新才能充满生机与活力 ④不同民族文化平等交流、相互借鉴才能共同推动世界文化的创新

A.①② B.①④ C.②③ D.②④

2.2014年教师节期间，习近平总书记去北师大见师生代表说：我很不希望把我们一些非常经典的古代的诗词文化、散文都给去掉，加入一堆什么西方的东西，我觉得去中国化是很悲哀的。之所以反对“去中国化”是因为（ ）

①要完整地保留传统文化的内容，不断推动文化形式的创新 ②中华优秀传统文化已经成为中华民族的基因，植根在中国人内心 ③中华优秀传统文化潜移默化影响着中国人的思想方式和行为方式 ④要坚持固守本民族的传统文化，积极排斥外来文化

A.①② B.②③ C.①③ D.③④

参考答案：1.D 2.B

热点3：共商文艺繁荣发展大计--习近平主持召开文艺工作座谈会

【背景材料】

2014年10月15日，习近平总书记在京主持召开文艺工作座谈会并发表重要讲话。他强调，实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦，文艺的作用不可替代，文艺工作者大有可为。

推动文艺繁荣发展，最根本的是要创作生产出无愧于我们这个伟大民族、伟大时代的优秀作品。文艺创作方法有一百条、一千条，但最根本、最关键、最牢靠的办法是扎根人民、扎根生活。广大文艺工作者要坚持以人民为中心的创作导向，要志存高远，随着时代生活创新，以自己的艺术个性进行创新。繁荣文艺创作、推动文艺创新，必须有大批德艺双馨的文艺名家。广大文艺工作者要坚持德艺双馨、以德为先，成为时代风气的先觉者、先行者、先倡者，要弘扬中国精神、凝聚中国力量，鼓舞全国各族人民朝气蓬勃迈向未来。

【命题角度】

1.运用“认识社会与价值选择”的知识，说明“坚持以人民为中心的创作导向”的正确性，

（1）人民群众是实践的主体，是历史的创造者。文艺创作应充分发挥人民群众的实践主体作用。

（2）树立群众观点，坚持群众路线。文艺创作最根本最牢靠最关键的办法是扎根人民、扎根生活。

（3）正确的价值观要自觉站在最广大人民的立场上。广大文艺工作者坚持以人民为中心的创作导向说明他们树立了正确的价值观，做出了正确的价值判断和价值选择。

2.运用文化创新和文化发展的知识，分析说明如何推动文艺繁荣发展。

（1）社会实践是文化创新的源泉和动力，人民群众是文化创造的主体。广大文艺工作者要扎根于生活，在实践中汲取营养，要坚持以人民为中心的创作导向。

（2）文化创作要推陈出新、革故鼎新。文艺工作者要志存高远，随着时代生活创新，以自己的艺术个性进行创新。

（3）坚持先进文化的前进方向，是推动文艺繁荣发展的根本保证。文艺创作要弘扬中国精神、凝聚中国力量，鼓舞全国各族人民朝气蓬勃迈向未来。

（4）加强科学文化修养与思想道德修养的统一。广大文艺工作者要全面提高自身素质，坚持德艺双馨，成为时代风气的先觉者、先行者和先倡者。

【创新试题】

1.习近平强调，人民是文艺创作的源头活水，一旦离开人民，文艺就会变成无根的浮萍、无病的呻吟、无魂的躯壳。能不能搞出优秀作品，最根本的决定于是否能为人民抒写、为人民抒情、为人民抒怀。这告诉我们（ ）

①想成为一个有作为的文化工作者，必须自觉投身于中国特色社会主义伟大实践 ②只有关注最广大人民的根本利益，理解人民群众对文化生活的基本需求，才能创作出无愧于时代的好作用 ③只有从人民群众主观愿望出发，才能创作出无愧于人民的好作品 ④文化创新是社会实践发展的重要源泉，也是社会实践发展的必然要求

A.①② B.②③ C.①③ D.②④

2.习近平强调，广大文艺工作者要把满足人民精神文化需求作为文艺和文艺工作的出发点和落脚点，把人民作为文艺表现的主体，把人民作为文艺审美的鉴赏家和评判者，把为人民服务作为文艺工作者的天职。这说明（ ）

①我国是人民当家作主的社会主义国家 ②人民群众是我国国家权力的直接行使者 ③要树立群众观点，坚持群众路线 ④人民群众是精神财富的创造者，是社会存在和发展的基础

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

3.材料一 改革开放以来，中国文艺创作迎来了新的春天，产生了大量脍炙人口的优秀作品。同时，也不能否认，在文艺创作方面，也存在着有数量缺质量、有“高原”缺“高峰”的现象，存在着抄袭模仿、千篇一律的问题，存在着机械化生产、快餐式消费的问题。文艺不能在市场经济大潮中迷失方向，不能在为什么人的问题上发生偏差，否则文艺就没有生命力。

材料二 习近平指出，文艺不能当市场的奴隶，不要沾满了铜臭气。广大文艺工作者坚持以人民为中心的创作导向，更好地为人民抒写、为人民抒情、为人民抒怀。要高扬社会主义核心价值观的旗帜，大力弘扬中国精神，聚焦实现中国梦这个时代主题，把追求真善美作为文艺创作的永恒价值。

（1）材料一对我国文艺发展现状的认识，是如何体现矛盾分析法的？

（2）结合材料二，运用文化建设的知识，说明怎样才能做到文艺不当市场的奴隶？

参考答案：1.A 2.B

3.（1）①矛盾具有普遍性，事物都是一分为二的，要坚持两点论和两分法。改革开放以来的中国文艺创作一方面产生了大量脍炙人口的优秀作品，一方面也存在着有数量没有质量等各种问题。②矛盾具有特殊性，坚持具体问题具体分析。文艺创作要鼓励创新，防止出现抄袭模仿、千篇一律的问题。③矛盾的主次方面是辩证统一的，要学会抓主流但不忽视支流。尽管改革开放以来的中国文艺作品存在着这样那样的问题，但产生了大量脍炙人口的优秀作品，文艺不能在市场经济大潮中迷失方向，否则文艺就没有生命力。

（2）①发展人民大众喜闻乐见的社会主义文化。文艺创作要扎根人民、扎根生活，用优秀的作品创造市场、引领市场，为人民抒写、抒情和抒怀。②坚持先进文化的前进方向，抵制落后和腐朽文化。文艺创作要坚持为人民服务、为社会主义服务这个根本方向。③发展中国特色社会主义文化，奏响主旋律。要弘扬中国精神，聚焦实现中国梦这个时代主题。④加强对文化市场的管理和正确引导，克服市场自身的弱点。文艺作品要把社会效益放在首位，实现社会效益和经济效益的统一。⑤加强思想道德建设，坚持社会主义核心价值观，不断提高思想道德修养和科学文化修养。广大文艺工作者要高扬社会主义核心价值观的旗帜，把追求真善美作为文艺创作的永恒价值。

热点4：十八届四中全会开启中国法治新时代

【背景材料】

2014年10月20—23日，党的十八届四中全会在京召开，全会审议通过了《中共中央关于全面推进依法治国若干重大问题的决定》，对全面推进依法治国作出了战略部署，是新形势下全面推进依法治国的纲领性文件。全会提出，全面推进依法治国，总目标是建设中国特色社会主义法治体系，建设社会主义法治国家。实现这个总目标，必须坚持中国共产党的领导，坚持人民主体地位，坚持法律面前人人平等，坚持依法治国和以德治国相结合，坚持从中国实际出发。

党的十八届四中全会是在我们党的历史上首次召开的以依法治国为主题的中央全会，是我国加快法治国家建设征途上的一个重要里程碑。

【命题角度】

1.结合实际，运用《政治生活》的相关知识，说明中国共产党的领导和依法治国的关系关系。

（1）党的领导和社会主义法治是一致的，社会主义法治必须坚持党的领导，党的领导必须依靠社会主义法治，党要领导立法、保证执法、支持司法、带头守法。

（2）把坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一起来，是我国社会主义法治建设的一条基本经验。

2.运用《政治生活》的相关知识，指出全面推进依法治国的现实意义，并说明如何推进依法治国。

（1）①全面推进依法治国，是解放和增强社会活力、促进社会公平正义、维护社会和谐稳定、确保党和国家长治久安的根本要求。②全面建成小康社会、实现中华民族伟大复兴的中国梦，全面深化改革、完善和发展中国特色社会主义制度，提高党的执政能力和执政水平，必须全面推进依法治国。

（2）①中国共产党要坚持依宪执政和依法执政，领导立法、带头守法、保证执法，不断推进国家经济、政治、文化、社会生活的法制化、规范化。②全国人大作为最高国家立法机关要按照法定程序举行会议，依法履行职权。③行政机关要严格依法行政，必须根据法律法规的规定依法行使其行政权力，对其行政行为的后果承担相应的责任。④司法机关要公正司法、严格执法，把依法治国落到实处。⑤广大公民要学法、懂法、用法、守法，依法维护自身的合法权益。

【创新试题】

1.公开向宪法宣誓，是指国家公职人员在上任前举行公开的，宣誓效忠于宪法和国家的就职仪式。党的十八届四中全会提出，“建立宪法宣誓制度，凡经人大及其常委会选举或者决定任命的国家工作人员正式就职时公开向宪法宣誓。”公开向宪法宣誓（ ）

①有助于树立宪法权威，全面推进依法治国的实施 ②表明国家工作人员是依法治国的主体 ③有助于进一步完善各级人大的人事任免权和监督权 ④能确保每个公民尊重宪法、维护宪法

A.①② B.②③ C.①③ D.②④

2.党的十八届四中全会提出，“法律的权威源自人民的内心拥护和真诚信仰。”这句话强调的是（ ）

A.人具有主观能动性，一个人只要有了坚定的信仰就能成功

B.意识具有反作用，公民的法律意识能决定依法治国的进程

C.人有自觉能动性，树立公民的法治信仰是依法治国的前提

D.意识具有能动作用，公民对法律的认同是法治的力量之源

3.法律是治国之重器，良法是善治之前提。

材料一 依法治国是中国共产党的庄严选择。

从开国大典前夕的《共同纲领》播下法治的“种子”，到民主法制在经历曲折后的艰辛探索；从党的十五大提出“依法治国”基本方略，到十八届四中全会专题研究“全面推进依法治国”，法治是中国共产党的坚定信念和执着追求。

（1）指出材料一和图表反映的政治现象。

材料二 多年来，我国经济领域的诸多问题与矛盾都与法治缺失有关。现实中，立法滞后的现象在经济领域非常突出，尤其明显的是对于互联网方面的法律、法规明显欠缺，在网店经营、互联网金融等众多领域，法律缺位的现象已经产生了较为严重的负面影响。此外权钱交易谋求竞争优势、相互勾结获取垄断利润、操纵证券市场、非法骗贷集资、侵吞国有财产、假冒伪劣……种种扰乱市场秩序的行为还时有发生。

（2）十八届四中全会提出，社会主义市场经济本质上是法治经济。请针对材料二中存在的问题，谈谈你对这句话的理解。

参考答案：1.C 2.D

3.（1）①中国共产党是我国的执政党，是中国特色社会主义事业的领导核心。②中国共产党坚持科学执政、民主执政和依法执政。③我国坚持中国共产党领导的多党合作和政治协商制度，人民政协积积极极履行政治协商、民主监督和参政议政职能。④我国政治生活坚持民主集中制原则。

（2）①市场经济是竞争经济，只有依法整顿和规范市场秩序，才能创造公平、公正的市场竞争环境，保护各类市场主体的合法权益。②市场经济是道德经济，只有形成以道德为支撑、法律为保障的社会信用制度，才能克服市场调节的自发性、盲目性和滞后性的弊端，降低运营成本。③市场经济是法治经济，必须以法保护产权、维护契约、平等交换、有效监管，才能完善法律制度，促进市场经济健康发展。

热点5：APEC北京峰会成果丰硕 中国展现大国责任

【背景材料】

2014年北京APEC会议是继2001年在上海举办后时隔13年重回中国。本次会议的主题是“共建面向未来的亚太伙伴关系”，会议就推动区域经济一体化，促进经济创新发展､改革增长，加强全方位基础设施与互联互通建设等三大重点议题达成了广泛而深入的共识，发表了《北京纲领》和《亚太经合组织成立25周年声明》，批准了亚太自由贸易区路线图，勾画了建设亚太互联互通网络的新蓝图，会议推动实现亚太梦想共同致力于亚太繁荣进步，会议为亚太地区长远发展和共同繁荣勾画了新愿景，指引了新方向，注入了新动力。

2014北京APEC，注定因其创新精神及丰硕成果，在亚太区域合作进程中树起一座不朽的里程碑，在全球经济发展进程中烙下深深的“北京印记”。

【命题角度】

1.运用“当代国际社会”的知识，说明中国愿意同本地区各国携手实现亚太美好梦想的理论依据。（注：“亚太梦”就是坚持亚太大家庭精神和命运共同体意识，顺应和平、发展、合作、共赢的时代潮流，共同致力于亚太繁荣进步；就是继续引领世界发展大势，为人类福祉作出更大贡献；就是让经济更有活力、贸易更加自由、投资更加便利、道路更加畅顺，人与人交往更加密切；就是让人民过上更加安宁、富足的生活，让孩子们成长得更好，工作得更好，生活得更好。）

（1）国家间的共同利益是国家合作的基础，而利益对立则是引起国家冲突的根源。实现亚太美好梦想，符合亚太各国的共同利益。

（2）和平与发展是当今时代的主题。实现亚太美好梦想，顺应和平、发展、合作、共赢的时代潮流，反映了当今时代的主题。

（3）我国的国家性质和国家利益，决定了我国一贯奉行独立自主的和平外交政策，坚持独立自主的基本立场，以维护世界和平、促进共同发展为宗旨，以维护我国的独立和主权、促进世界的和平与发展为基本目标，以和平共处五项原则作为发展对外关系的基本准则。实现亚太美好梦想体现了我国的外交政策。

（4）我国是负责任的大国，始终不渝走和平发展道路。中国有责任为本地区人民创造和实现亚太梦想。

2.运用发展社会主义市场经济的知识，说明北京APEC会议正式启动亚太自贸区进程的必要性及其意义。

（1）是市场经济发展的内在要求。在市场经济条件下，市场在资源配置中起决定性作用。正式启动亚太自贸区进程，有利于充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，充分利用国际国内两种资源、两个市场，实现资源的合理优化配置。

（2）是适应经济全球化趋势的客观要求。当今世界是开放的世界，经济全球化深入发展，各国的经济联系日益紧密。正式启动亚太自贸区进程，有利于实现贸易和投资的自由化，促进商品、服务和资本、技术、人员等生产要素自由流动，为亚太乃至全球经济的持久发展注入新动力。

（3）是我国坚持对外开放的基本国策，提高开放型经济水平的要求。正式启动亚太自贸区进程，有利于我国与亚太各国之间的相互开放、互利合作，把“引进来”和“走出去”更好结合起来。

【创新试题】

1.自2013年中国政府提出建设“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”倡议以来，到中国在北京APEC会上宣布出资400亿美元成立丝路基金，一年来，“一带一路”已从理念设计、总体框架设计、战略规划发展至务实合作阶段。未来，中国将继续与沿线各国一道，重点加强基础设施互联互通、能源、金融、民生等领域互利合作。“一带一路”战略构想的提出和实施（ ）

①顺应了和平、发展、合作、共赢的时代潮流 ②表明我国在国际社会中发挥着主导作用 ③有利于巩固我国与周边国家建立的结盟关系 ④会促进我国的对外开放和沿线国家的共同发展

A.①② B.③④ C.②③ D.①④

2.立领、连肩袖、氅衣、对襟为特色、主打海水江崖纹图案的北京APEC领导人特色中式服装，其设计传承中国文化、融汇中西所长，力求简约、典雅、时尚，与APEC北京峰会“共建面向未来的亚太伙伴关系”的会议主题相得益彰。这说明（ ）

①文化多样性是文化创新的根本途径 ②文化既是民族的，也是世界的 ③文化与政治交融，是国家合作的基础 ④文化借助特定的活动与方式得以传播与继承

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

3.2014年11月8日，习近平主席在加强互联互通伙伴关系对话会议上发表题为《联通引领发展、伙伴聚焦合作》的重要讲话，宣布中国将出资400亿美元成立丝路基金，并提出了加强互联互通、深化“一带一路”合作的一系列建议。强调要以亚洲国家为重点方向，以经济走廊为依托，以交通基础设施为突破，以建设融资平台为抓手，以人文交流为纽带，深化亚洲国家互联互通伙伴关系，共建发展和命运共同体。

封闭没有出路，开放才能发展。只要亚洲各国齐心协力、加强合作，共同推动互联互通建设，实现人畅其行、物畅其流，一个紧密相连、互通有无、携手并进、合作共赢的亚洲，定能以自身发展造福本地区人民，为推动世界繁荣进步注入生机勃勃的亚洲动力。

（1）运用《经济生活》的相关知识，分析推动互联互通建设的现实意义。

（2）结合材料，运用联系的观点，分析“封闭没有出路，开放才能发展”的正确性。

参考答案：1.D 2.C

3.（1）①经济全球化是当今世界的一个大趋势，各国都非常重视参与国际经济竞争与合作。互联互通有利于促进域内经济融合，提高资源配置效率，提升地区的竞争力，促进地区经济持续稳定增长。②实行对外开放是我国的一项基本国策。互联互通是提高开放型经济水平的客观要求，有利于促进我国和周边国家的经济社会发展，为中国和亚洲的和平发展创造更加有利条件。

案例分析专题辅导讲义 篇4

华图公务员考试研究中心

研究员：吴昊 2013年4月28日

资料分析教程

 资料分析试题着重考察考生对文字、图形、表格三种形式的数据性、统计性资料进行综合分析推理与加工的能力。针对一段资料一般有若干个问题，考生需要根据资料所提供的信息进行分析、比较、计算，才能从问题后面的四个备选答案中选出符合题意的答案。资料分析教程

资料分析在考卷的最后部分，难度适中。但考生整体得分率不高，这种情况有心理学的解释。建议时间为25-30分钟解决20道题。

试题历年变化相对固定，包括题型、题量和难度。应该说，考生可以相对容易通过对现有问题的充分学习和训练获得比较满意的成绩。

出题趋势：增大计算量和提高计算难度。

资料分析教程

资料分析题目的基本题型包括三种：文字资料、统计表和统计图。三种类型题目的着重点有所不同。有时候，还会出现混合题型，如文字资料和统计表的混合；或者文字资料与统计图的混合。

文字资料主要考察考生在短时间内文字阅读能力，以及快速发现核心问题的能力。统计表更多的涉及到数字的比较运算能力，相对来说，计算量较大。

统计图的考核对考生在估计和预测方面提出要求。另外，由于统计图形式多样，考试中也会在一定程度上测试考生的应变能力和心理素质。资料分析教程：专用术语 百分数

完成数占总量的百分之几=完成数 总量100% 比去年增长百分之几=增长量 去年量100% 百分点

和百分数基本类似，但百分点不带百分号！成数

相当于十分之几

资料分析教程：专用术语 倍数

例：某地最低生活保障为300元，人均收入为最低生活保障的4.6倍。则人均收入为3004.6 =1380元。翻番

翻一番为2倍；翻两番为4倍；依此类推，翻n番为2n倍。

1980年国民生产总值为2500亿元，到2010年要达到国民生产总值翻三番的目标，即250023=20000亿元。

资料分析教程：专用术语 增长率

增长率=增长量基期量100% 某校去年招生人数2000人，今年招生人数为2400人，则增长率为4002000100%=25% 年平均增长率（复合增长率）

期望值=基期值(1+增长率)n，其中n为相差年数 某公司1999年固定资产总值4亿元，固定资产年平均增长率为20%，则其2002年固定资产总值为4(1+20%)3=6.912亿元。增速

增长速度=增长量基期量

增长了几个百分点=增速-基期增速

资料分析教程：专用术语 同比：与历史同期相比较

去年三月完成产值2万元，今年三月完成2.2万元，同比增长(2.2-2)2100%=10% 环比：现在统计周期和上一个统计周期相比较，包括日环比、月环比、年环比。今年三月完成产值2万元，四月完成2.2万元，环比增长(2.2-2)2100%=10%

资料分析教程：专用术语

指数：用于衡量某种要素变化的，指标的相对量，一般假定基期为100，其他量和基期相比得出的数值。常见指数包括：纳斯达克指数、物价指数、上证指数和区域价格指数。

某地区房地产价格指数，1998年平均价格4000元为基准指数100。到2005年，平均价格为8400元，则当年的房地产价格指数为84004000100=210。

资料分析教程：专用术语 基尼系数

用来衡量收入差距，是介于0-1之间的数值，基尼系数越大，表示不平等程度越高；基尼系数为0表示绝对平等，为1表示绝对不平等。一般来说：0.2以下表示绝对平均，0.3-0.4之间表示比较合理，0.5以上表示差距悬殊 资料分析教程：专用术语 恩格尔系数

指食品支出总额（生活必需品，非奢侈品）占家庭或个人消费支出总额的百分比例，是国际上通用的、用以衡量一个国家或地区人民生活水平的常用指标。联合国粮农组织提出的标准为：恩格尔系数在59%以上为贫困，50-59%为温饱，40-50%为小康，30-40%为富裕，低于30%为最富裕。资料分析教程：专用术语

平均数：一组数的和，和它们的个数之间相除；即位数字总和 数字个数。最大、最小值

中位数：将一组数从小到大排列，若个数为奇数，则中位数就是中间那个数；若个数为偶数，则中间两个数的平均数就是中位数。

资料分析教程：专用术语

例：以下一组数字8, 9,6,1,3, 重新排列后为1,3,6,8,9共5个。平均数为(1+3+6+8+9)5=275=5.4 最大值为9，最小值为1，中位数为6。

资料分析教程：文字资料（综述）

文字资料分析题是用文字陈述的方式将一系列相关信息罗列出来，要求考生对所提出的问题给与解答。它考察考生的阅读理解、逻辑分类、数据整理和快速计算方面的能力。其中，以理解和分类能力为主。资料分析教程：文字资料（综述）文字资料的基本解题技巧

（1）理解基本内容，明确核心问题。（2）关键词作出明显的记号。

（3）寻找文章中描述不同内容的相似结构。（4）阅读顺序为：文字资料（标记），题目，然后根据题目寻找相应的文字资料。（5）掌握比较对象，注意起止时间，计算单位等要素。（6）从资料出发，就事论事，以资料表达的内容为准。（7）每道小题一定要当时做完。资料分析教程：文字资料（综述）

例题：某地区的全年财政收入完成6.97亿元，完成年度计划的110.6％，按可比口径计算比上年增长20.6％。其中营业税2.89亿元，增长18.9％，占全区财政收入的41.5％，拉动财政收入增长8个百分点；房产税1.2亿元，增长32.3％，占全区财政收入的17.2％，拉动财政收入增长5.1个百分点；增值税0.75亿元，增长3.2％，占全区财政收入的10.8％，拉动财政收入增长0.4个百分点；企业所得税0.71亿元，增长15.1％，占全区财政收入的10.2％，拉动财政收入增长1.6个百分点；其它科目合计1.42亿元，增长29.6％，占全区财政收入的20.3％，拉动财政收入增长5.5个百分点。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2004年A类C（P162）

– 首先给大家作一道“ 热身题”。这道题是文字资料中最基本的题型，所有的难度都已经被去掉。包括资料中已经人工的分段，给出每段落的关键字。只需要做很少的计算即可完成。

– 对于本题，考生首先需要学会如何完成资料分析类的题目：即到资料中去寻找答案。

– 完成本题后，考生需要逐步学会包括明确核心问题、分段、找关键字、找相似结构、快速计算等方面的内容。这将在后面的例题中逐渐展开。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2004年A类C（P162）

习题116：本题的关键字为“房屋竣工面积”，对应于文章的第二段。阅读可得：今年（03年）增幅为40.4%，比去年多20个百分点。因此去年（02年）为40.4%-20%=20.4%，选C。

习题117：注意本题要求找到增幅最大的指数，表比例关系。竣工面积增长量7.42，去年量为111.46-7.42=104.04，因此增幅为7.42/104.04；商品房销售价格（3.73/93.98），资金来源（4.68/103.79），土地开发面积（-2.60/118.57）。因此，增幅最大的指数为A。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2004年A类C（P162）

习题118：直接读文字即可得到。下降的指数为D.土地开发面积分类指数（-2.60）

习题119：类似习题117，直接读文字得到降幅最大的指数是C.销售价格分类指数（-1.23/(96.52+1.23)）习题120：由题意，2003年上半年商品房平均销售价格为2424元/平方米，比去年增长5.4%，而去年同期下降0.1%。因此，2001年上半年的销售价格为：

2424(1+5.4%)=2299.8，选B。资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年A类四（P156）

– 完成前一道例题后，有两种难度上的拓展。一种为给一段比较复杂的文字。要求考生比较快的寻找中心、分段和关键字。另一种为给出复杂的数量关系，要求考生完成大量的计算。

– 本题的核心难度在于寻找关键字。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年A类四（P156）– 首先，花5-10 秒时间，我们对全文过一遍。很快可以知道，本文的中心是描述通信及其相关业务在2002 年1-6 月的基本情况。

– 它有部分描述了不同的内容。第一部分（1-2 句）是整体情况介绍；第二部分（3-6 句）是各项业务情况；第三部分（7-11）描述电话业务及普及现状。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年A类四（P156）

– 各项业务的内容包括长途、国际、移动、网通、数据和IP。其结构均为收入X 亿元，增长X%。最后描述他们占电信业务收入的比重。

– 电话业务描述了整体、固定、移动、城市、农村。基本结构为新增X 万户，达到X 万户。最后谈及不同地区的用户数量的普及情况。

– 有了以上的理解基础。大家可以把文章仔细阅读一遍，随后完成。我们将继续分题讲解。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）

– 本题是另一种难度上的拓展，即增加计算量。这种题目没有太多阅读上的困难。但是，其计算过程会比较复杂。

– 这里，我们主要强调一些解题的一般性注意事项。关于快速计算的技巧，将在“ 统计表” 部分作详细的讲解。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）

– 看到这题以后，特别是读完小题以后。我们注意到本题具有一个特点。就是所有的数据都是拿01 年的和97 年的相比。因此，需要把01 年和97 年的数据放在写在稿纸显眼的地方，随时使用（题中没有具体给出97 年的数据）：01 年（328.1 万人），97 年（229.9 万人）

– 为了简化问题难度，对于大多数问题，只需要看01 年（330），97 年（230）。这样忽略的小量不多，但计算上经济了很多。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）习题121：直接计算得到

A.15-59岁 33090.8%-23091.4%=89 B.60岁以上 3301.8%-2301.9%=1.6 C.探亲 3302.0%-2303.4%=-1.2 D.3-6个月 3304.4%-23010.7%=-10 由此可知，答案选B 资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）

习题122：直接计算得到，01年和97年在京务工经商人员数量分别为：

01年：33078.1%=250 97年：23078.7%=180 易见是增加了，答案选A。

习题123：由题可知，两个稳定（变化较少）的年龄段应为15-39岁人口和60岁以上人口。他们在01年的人口比例之和为：80.1%+1.9%= 82%，因此人口数量为33082%=270，答案选C。资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）习题124：直接计算可以得到，01年短期留京人数为33015.5%=51万人，97年短期留京人数为23025.7%=59万人。因此减少了8万人，选D。

资料分析教程：文字资料（例题选讲）2003年B类三（P159）

习题124：答案选D，易见来京人数增加了（230万人到330万人），半年以上比例也升高了（上升16.5个百分点）。

A.01年更不均衡（半年以上63.6->80.1）

B.总量变化很大（230万->330万）

C.97年人数23063.6%=146万人，01年人数33080.1%=264万人

比例为146:264=1:1.8 资料分析教程：文字资料（习题一览）2002年A类一（P147）2002年B类三（P151）2003年A类四（P156）2003年B类三（P159）2004年A类C（P162）

2004年B类D（P166）——练习2005年二类二（P171）——重点练习资料分析教程：文字资料（习题一览）2005年二类三（P172）

2005年北京录用二（P231）——练习2005年北京社招四（P266）

资料分析教程：统计表（综述）

统计表是一种把获得的数字资料经过汇总整理后，按顺序填列于一定的表格内的统计形式。其主要特点是一目了然。

统计表问题一般具有三种难度（1）直接从表上查阅答案（2）结合几个因素，进行计算

（3）对数据进行判断和分析，需要做大量计算 资料分析教程：统计表（综述）统计表的基本解题技巧

（1）看清试题要求、计算单位和统计表中文字的含义。（2）仔细阅读问题，并带着问题阅读统计表。

（3）利用平时训练的快速计算的知觉进行有针对性的计算。

（4）答题是注意区别常识错误和资料错误的区别。对于常识错误的问题，要打个问号，不要急于下结论。（5）注意节省时间，对于难度较大，计算时间较长的题目，可以暂时不做。等检查时再作，或者猜。资料分析教程：统计表（例题讲解）2002年A类二（P148）

–本题属于统计表中的“送分题”，其数据清楚，没有附加说明和单位，计算中难度较小，建议考生在较短时间内完成。习题121：本题给出了一系列描述性语句，需要考生自行判断。这里的限定性要求为“最不恰当”。A没有参考对象不确定，C和D是正确的。只有B，认为“全球经济进入衰退”是明显最不恰当的。

习题122：本题较简单，直接读表可知为日本1.5-0.5 0.2，选C。关键点为先分别按年份比较，如果找不到，则取平均值。

资料分析教程：统计表（例题讲解）2002年A类二（P148）

习题123：本题“从上面的数据表可以得出”，要求考生严格从统计表回答问题，不可自作主张。答案为D。

选项A：衰退的定义是什么，美国经济没有负增长；

选项B：同样不明确衰退的定义，数据只有3年的，更无法判断今后的趋势；

选项C，从常识来说是正确的，但这里并没有给出相应的经济规模数据，因此不能判断。资料分析教程：统计表（例题讲解）2002年A类二（P148）

习题124：本题涉及到简单的计算。可以通过排错法得到，中国三年的经济增长为8,7.5和7.1。明显A（8.1比三者都大）、D（6.2比三者都小），而C也差别较大，因此选B。注：标准的计算方法，中国三年的平均经济增长率为

(1+8%)(1+7.5%)(1+7.1)=(1+x)

3解得x=7.5%习题125：全球经济增长率，两头高（4.7, 3.5），中间低（2.6）。因此选A。资料分析教程：统计表（例题讲解）2002年B类一（P150）

–本题也较简单。但要注意题目说明中的限定性词汇：“以下是某市通过1038份网上问卷对……”

习题129 ：答案D 是明显不妥的，“ 该调查结果反映了全市 的购物倾向” 与题意的“ 网上” 属于不同的限定范围。需要特别注意。

资料分析教程：统计表（例题讲解）2003年A类一（P152）

–本题需要特别注意单位的换算。在题目中，给的是“万人”。表格中，给的是人群的具体数量。

习题111：选项中的单位是“人/万人”，即每一万人劳动力中，有多少人的学历是大中专以上文化程度的。这是一个比例关系。

正确解法：该地区大中专以上文化程度的人数为15+15=30万人，总人数为750人。因此，答案为30万人/750万人*1万人=0.04万人=400人，选B。资料分析教程：统计表（例题讲解）2005年一类三（P169）

– 本题的关键点在于对概念的不同定义。本题中，“ 指数” 的计算方法与常识的计算方法有所不同。解题时，必须根据题目所给的方法完成。

习题126 ：根据本题中“ 指数” 的定义，立刻可以得到200111.7=223.4 亿元。因此答案选D。

一个错误 的答案：根据常识的“ 指数” 定义，答案应该为200111.7107.6=207.6 亿元。

资料分析教程：统计表（例题讲解）2005年一类一（P167）

–本题是到现在为止统计表类型题中所出过最难的一道。它充分利用的统计表数据量大的特点。需要考生对数据进行整体的计算和比较，并结合大量的概念知识，对考生予以考察。需要考生拥有正确理解概念并同时进行快速计算的能力。

习题116：本题较简单。直接读表可知，2002年工学在校生数量为3085.0千人，总在校生为9033.5千人。因此比例为3085.09033.5100%=34%，选C 注记：本题具有快速计算的技巧。直接计算3085.09033.5计算量较大，可以考虑经过舍尾后的计算3090，立刻

得到所需答案。

资料分析教程：统计表（例题讲解）2005年一类一（P167）

习题117：这道题首先要分别计算毕业生增长率，标准方法为：

教育学(79.8-52.6)52.6100%=52%，经济学(65.6-57.3)57.3100%=14%，管理学(193.2-139.9)139.9100%=38%，医学(79.5-62.6)62.6100%=27%。

由上可知，毕业生增长率最大的为教育学为52%，选A。

注记：本题无需作大量计算。事实上，直接观察四组数据，我们做完括号内的减法得到：教育学27.2/52.6，经济学8.3/57.3，管理学53.3/139.9，医学16.9/62.6。观察上面几组数据，只有教育学超过了一半，因此选A。资料分析教程：统计表（例题讲解）2005年一类一（P167）

习题118：本题如果按照直接法计算，需要先分别计算每个学科的在校生增长率，然后分别比较，超过20%的计数，最后得到答案为B。

注记：上面计算方法非常费事，没有意义。这里结合口诀“多乘少除”以及利用排除法可以较快得到答案。所谓“多乘少除”在这里的运用：我们可以利用2001年的在校生人数乘以（1+20%）得到x，把他和2002年在校生人数y相比。若x

资料分析教程：统计表（例题讲解）2005年一类一（P167）

习题119：本题的关键在于搞清楚各种数量间的关系。首先：2001年在校生（大

一、大二和大三）有7190.8千人，他们在2002年升到大

二、大三和大四。

2002年毕业生（大四）为1337.2千人，因此2002年大二和大三学生共有7190.8-1337.2=5853.6千人。

2002年在校生（大

一、大二和大三）为9033.5千人。因此2002年招生人数（大一）为9033.5-5853.6=3179.9千人，约为318万人，选C。

习题120：本题利用类似于119题的分析方法和类似117题的快速计算方法。可以解得答案为B。

资料分析教程：统计表（习题一览）2002年A类二（P148）2002年B类一（P150）

2002年B类二（与2002年A类二重复）2003年A类一（P152）

2003年B类一（P157）——重点练习2003年B类二（P158）2004年A类A（P161）

资料分析教程：统计表（习题一览）2004年A类D（P163）——练习2005年一类一（P167）2005年一类三（P169）

2005年二类一（与2005年一类一重复）2005年北京录用四（P234）——练习2005年北京录用五（P234）2005年北京社招三（P265）资料分析教程：统计图（综述）

统计图是根据统计数字，用几何图形、事务形象来表示现象之间的关系。统计图使复杂的数字简单化、形象化，使人一目了然。

在对考生进行考察时，实际上要求考生具有两个方面的能力：正确读图的能力和掌握用不同统计图反应不同数据的能力。

统计图根据反应的关系主要分为3个部分：表比例关系的（如饼图、扇形图），表数据的（如条形图）和表趋势的

（如直线图、曲线图）。

资料分析教程：统计图（综述）

统计图的考察要点分成基础部分和高级部分

基础部分需要考生能够正确地根据图形读取（或估计）数据，对数据进行计算、比较和预测，以及对图形和数据进行整体评价。

高级部分需要考生能够根据现有经验和知识，判断、学习、分析和掌握全新的统计图式。这种图示可能是以前从未出现过的，需要考生根据图形和题目信息加以猜测。高级部分更多的测试考生的应变能力和心理素质。资料分析教程：统计图（综述）统计图的基本解题技巧

（1）根据已有经验，熟练读图，理解统计图的含义。

（2）仔细阅读问题，并带着问题阅读，在统计图附近适当标记数据。（3）注意单位不同，特别针对一道题目中包含多个统计图的情况。（4）注意统计图中给出的定性结论，熟练掌握“排除法”。

（5）对于没有见过的统计图，不要着急。学会从题目中寻找信息。资料分析教程：统计图（比例图）表比例关系的：饼图、扇形图 – 描述：这类图形的形式是通过一个圆分成几个不同颜色（阴影）的部分表达某种因素在全部因素中的占有状况（如某地区不同学历的人员在全部人员中的构成）。有时，还会在阴影附近标记出比例数据。

– 特点：通过观察，我们可以在直观上判断出不同因素的占有大小情况。进一步的，我们也可以得到更为具体的比例数据。

资料分析教程：统计图（比例图）表比例关系的：饼图、扇形图

– 计算与比较型考核：给出总数或某种因素的数量，根据比例关系，得到要求因素的数量(P155 题121)，找出占有率排名及变化（P160 题126），计算几种因素的和差等数量关系（P155 题122）

– 观察和综合型考核：描述某个饼图的特点（P155 题125），比较不同饼图中因素的相似或不同（P155 题124），给出判断性语句进行综合判断（P155 题123）。

资料分析教程：统计图（比例图）表比例关系的：饼图、扇形图 – 典型题型

–2003 年A 类三（P155）

–2003 年B 类四（P160）—— 练习

–2005年二类四（P173）—— 重点练习

– 特别提示：P160 题128 是一道易错题（考察点：常识判断和题目信息判断）。

资料分析教程：统计图（数据图）表数据的：柱形图、条形图

– 描述：这类图形的形式一般有两个方向的坐标轴。一个坐标轴用于区别不同类型的事物，另一个坐标轴用于给出数据信息。然后，在对应的事物上画出用以反映事物数量多少的柱形或者条形。有时还会在图形上标记具体数据。

– 特点：我们可以通过观察某事物相应柱形（或条形）的高矮长短，从而得到和其他事物相比的大小。对比坐标轴上标记的数据，我们也可以得到他的数量信息的基本情况。

资料分析教程：统计图（数据图）表数据的：柱形图、条形图

– 观察和比较型考核：通过观察要求给出某组数据的一般性信息（P170 题131），比较一系列数据经过简单运算后的信息（P170 题133，P170 题134）

– 分析和综合型考核：需要通过分析和比较复杂的计算得到相关信息（P164 题106，P164 题107），给出一系列对数据的描述型语句要求对他们进行分析和判断的（P170 题135）

资料分析教程：统计图（数据图）表数据的：柱形图、条形图 – 典型题型

–2004 年A 类B（P162）—— 重点练习！

–2004 年B 类A（P164）

–2005 年一类四（P170）

–2005 年北京社招二（P264）—— 练习

– 特别提示：P264 题124、125，题目有误

资料分析教程：统计图（趋势图）表趋势的：散点图、折线图

– 描述：和柱形图、条形图类似，散点图、折线图也有两个坐标轴，描述不同信息。但是，散点图和这些图表达数据的形式是单点或者将点连成直线。

– 特点：散点图比柱形图读图难度较大，因为它除了可以表达数据，更有表达发展趋势的成分。另外，散点图因为占用空间小，可以在一张图内提供更丰富的数据。这将在一定程度上增加解题的复杂度。

资料分析教程：统计图（趋势图）表趋势的：散点图、折线图

– 类似于柱形图、条形图的考核方式：P149 题126，P149 题127，P154 题116 – 特有的考核方式：需要考生根据趋势进行比较判断，检查增长或减少的速度情况（P149 题128，P149 题129），分析整体的变化趋势（P149 题130），以及给出整体描述进行综合型判断（P231 题118）

资料分析教程：统计图（趋势图）表趋势的：散点图、折线图 – 典型题型

–2002 年A 类三（P149）

–2003 年A 类二（P153）—— 重点练习

–2005 年北京录用一（P231）

–2005 年北京录用三（P232）

–2005 年北京社招一（P263）—— 练习

资料分析教程：统计图（特殊题型）

统计图的试题中，还有两种特别的考核方式：

（1）反向考核：即要求考生能够根据已有数据信息，选择合适的统计图进行描述，并正确的给出统计图形。（2）新图示的读法：给出以往从未出现过的全新图示，要求考生能够根据题目信息充分理解图示，正确答题。资料分析教程：统计图（反向考核）

反向考核的关键在于活用我们对不同统计图示的理解：如表比例应该用饼图、扇形图；表数据应该用柱形图、条形图；表趋势应该用散点图、折线图。

同时，要注意不同图形上的细节特征，为了正确反映数量关系，需要考生完成一定量的计算。资料分析教程：统计图（反向考核）典型题型

–P148习题125 –P149习题130 –P152习题140 –P153习题114 –P154习题120 –P156习题125 –P157习题113 资料分析教程：统计图（新图示）

例：下图是某地城市、郊区、农村的企业分布状况。图中Ａ代表国有企业，Ｂ代表集体企业，Ｃ代表民营企业，Ｄ代表私营企业，Ｅ代表三资企业。根据图回答下列问题。资料分析教程：统计图（新图示）

1、在城市分布最少的是（）

A．国有企业

B．集体和私营企业

C．民营企业

D ．私营企业

2、在农村分布最多的是（）A．国有企业

B．民营企业

C．私营企业

D．三资企业 资料分析教程：统计图（新图示）

3、私营企业和三资企业分别在什么地方分布最多（）A．城市-郊区

B．农村-城市

C．城市-城市

D．农村-郊区

4、在城市，集体企业和国有企业分布率相差（）A．60%

B．40%

C．20%

D．10% 资料分析教程：统计图（新图示）

5、下列判断正确的是（）A.在郊区分布最少的是国有企业

B.在郊区分布率相同的是国有企业和集体企业 C.国有企业和民营企业在农村分布率不相同 D.国有企业和集体企业在郊区分布率相同 资料分析教程：混合题型

混合题型是文字资料、统计表和统计图之间的混合出题。

在混合题型的考核，主要是要求熟练掌握三种形式，并熟悉他们的内在关系，快速切换。

一般来说，文字资料具有一个中心含义，给出概述性的表述；统计表相对具体，数据清晰；统计图直观，适合定性描述。

资料分析教程：混合题型 2004年B类B（P165）

习题111：直接读表可知答案为C。3月有一半以上的增幅为正，即使有增幅为负的情况，减少的也非常有限，而4月大多数地区的增幅都减到了-50%以下。

习题112：本题要求的是“影响最长”，因此选A.泰国（2月-5月合计四个月为负），而香港、澳门和日本均只有两个月增幅为负。

资料分析教程：混合题型 2004年B类B（P165）

习题113：答案选C，因为从三月到四月的变化最大。四月份时，已经很少有人出境，故对五月份的影响较小。描述不正确。

A.北京到新西兰的五个月中，5月降幅为-94.4%，最大，描述正确。

B.北京到香港、澳门三月份的人数增幅分别为92.5和11.4均在增加，描述正确。D.五月份所有幅度都为负，因此描述正确。资料分析教程：混合题型 2004年B类B（P165）习题114：答案选C.日本，注意日本前三个月都超过了100%，特别是第三个月是676.1%，接下来为-25.4%和-38.3%，变化幅度相当之大。

习题115：答案选B。日本和澳大利亚均是前三个月增加（为正），后两个月减少（为负）。资料分析教程：混合题型 2004年B类C（P165）

习题116：本题必须认真阅读文字资料，并看清统计表中提供的描述信息。本题要求的是总投资居于第三位的。而统计表中只有房地产投资情况。在文字资料中可以读出“房地产投资占总投资比重”，在统计表中可以读出房地产投资情况，从而可以计算2003年第一季度各地的总投资情况：北京11854%=219，天津30.524.4%=125，上海139.838.3%=365，重庆43.725.4%=172，广州70.747.7%=148，因此重庆居于第三位，选B。资料分析教程：混合题型 2004年B类C（P165）习题117：2003年一季度天津房地产投资总额为30.5，增速为50.1%。由题意，2004年一季度为30.5(1+50.1%)=45.78，选B。

习题118 ：答案选D。A 错在天津最大，B 错在上海投资增长绝对量最大，C 错在2.1，8.8 的增幅，不算平稳。

资料分析教程：混合题型 2004年B类C（P165）

习题119：直接读表可得，增速最慢的地区为广州（2.1），选C。

习题120：将03年一季度绝对量和02年相减可得，北京118-98.1=19.9，天津10.2，重庆12.7，上海31.9。因此答案为上海，选D。

资料分析教程：混合题型 2005年一类二（P168）

习题121：本题B、C和D均可以从文字中读得，答案选A。

习题122：河北为723910153100%=68%，北京1388336613100%=38%，天津103132857436%=68%。因此，正确的排序为：河北、北京、天津，选D。

资料分析教程：混合题型 2005年一类二（P168）

习题123：由题意知，2003年天津固定资产投资增长率为20.9%，2002年天津固定资产投资为5000万元。因此2004年天津固定资产投资为5000(1+20.9%)2=7300，选C。

习题124 ：由常识可知，B 选项“ 合理形成各区域的职能分工” 河北单方面无法达成，这需要北京、天津的协调。

资料分析教程：混合题型 2005年一类二（P168）

高中数学导数专题讲义（答案版） 篇5

汇总

导数专题一、单调性问题

【知识结构】

【知识点】

一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；

二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：

第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；

第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：

1.最高次项系数是否为0；

2.导函数是否有极值点；

3.两根的大小关系；

4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；

（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；

（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法

（1）参变分离；

（2）导函数的根与区间端点直接比较；

（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。

七、求解函数单调性问题方法提炼：

（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；

（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；

（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

【考点分类】

考点一、分类讨论求解函数单调性；

【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

【答案】（Ⅰ）函数的定义域为．．

（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；

（2）当时，令，得．

当时，函数为减函数；

当时，函数为增函数．

综上所述，当时，函数的单调递增区间为．

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，显然函数在区间上恒大于零；

（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．

依题意有，解得，所以．

（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．

依题意有，解得，所以．

综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．

（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．

因为切线过点，则．

即．

………………①

令，则

．

（1）当时，在区间上，单调递增；

在区间上，单调递减，所以函数的最大值为．

故方程无解，即不存在满足①式．

因此当时，切线的条数为．

（2）当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为．

取，则．

故在上存在唯一零点．

取，则．

设，则．

当时，恒成立．

所以在单调递增，恒成立．所以．

故在上存在唯一零点．

因此当时，过点P存在两条切线．

（3）当时，显然不存在过点P的切线．

综上所述，当时，过点P存在两条切线；

当时，不存在过点P的切线．

【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

(Ⅲ)

求证：直线不是曲线的切线.【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，当变化时，的变化情况如下表：

递减

极小值

递增

函数在上的极小值为，所以的最小值为

（Ⅱ）解：函数的定义域为，由（Ⅰ）得，所以

所以的单调增区间是，无单调减区间.（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线.设切点为，则，即

又，则.所以,得，与

矛盾

所以假设不成立，直线不是曲线的切线

【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且.(Ⅰ)

求的值及的单调区间；

(Ⅱ)

若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：.【答案】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得.故，.令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：

0

0

↘

↗

所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）解：方程，即为，设函数.求导，得．

由，解得，或.所以当变化时，与的变化情况如下表所示：

0

↘

↗

所以函数在单调递减，在上单调递增.由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，所以.同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即

.【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）

…………1分

由已知，解得.…………3分

（II）函数的定义域为.（1）当时,，的单调递增区间为；……5分

（2）当时.当变化时，的变化情况如下：

+

极小值

由上表可知，函数的单调递减区间是；

单调递增区间是.…………8分

（II）由得，…………9分

由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分

令，在上，所以在为减函数.,所以.…………14分

【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；

（Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－

＋

↘

极小值

↗

则.所以函数不存在零点.（Ⅲ）

.当，即时，－

＋

↘

极小值

↗

当，即时，的单调增区间是，；

当，即时，＋

－

＋

↗

极大值

↘

极小值

↗

当，即时，＋

＋

↗

↗

＋

－

＋

↗

极大值

↘

极小值

↗

综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是;

当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．

∵，∴

解得．

∴．

（Ⅱ），令，得或；

令，得．

∴的单调递增区间为，；单调递减区间为．

…8分

（Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴．

由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴．

∵，∴．

①

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．

∵，且，∴或，∴或，即或．

又∵，∴．

②

当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为

．

∵，且，∴，∴，即．

综上所述：或．

【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)

函数的定义域为,.（1）

当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为

令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）

当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为；

令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）

当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（4）

当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；

令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件；

若，则由得，或；

由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以；

若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件；

综上，.【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）,定义域为，令

极小值

所以的增区间为，减区间为。

（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为

（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分

（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;

（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数．

（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求的单调区间；

（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，，．

方程为．

（Ⅱ），．

当时，对于，恒成立，所以

Þ；

Þ

0.所以

单调增区间为，单调减区间为

．

（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．

令

Þ

Þ

.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以

当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：

0

0

递减

极小值

递增

所以

当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．

综上，的取值范围为．

【练1-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当

时，所以，函数在点处的切线方程为

即：

(Ⅱ)函数的定义域为：

当时，恒成立，所以，在和上单调递增

当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有

在上恒成立。

所以，令，则.令则

若，即时，函数在上单调递增，又

所以，在上恒成立；

若，即时，当时，单调递增；

当时，单调递减

所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为

又因为，所以恒成立

综上知，的取值范围是.考点二、已知函数单调求参数范围；

【例2-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，．

（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：

0

+

极小值

所以时,函数的最小值为.所以成立.【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为，所以曲线经过点，又，所以，所以.当变化时，的变化情况如下表

0

0

极大值

极小值

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

.（Ⅱ）

因为函数在区间上单调递增，所以对成立，只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为，当时，在上的最小值为，解，得或，所以此种情形不成立

当时，在上的最小值为，解得，所以，综上，实数的取值范围是.【练2-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【练2-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

（ⅰ）令，得．

令,得，所以函数在单调递增．

令,得，所以函数在单调递减．

所以，．

所以成立．

（ⅱ）由（ⅰ）知，所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；

所以，即．

所以，即．

所以，方程没有实数解．

【练2-4】（2015-2016海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为．

（Ⅰ）若直线的斜率为，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

因为直线的斜率为

所以

所以

所以

令解得

所以当和时，当时，所以的单调增区间为和，单调减区间为

（Ⅱ）要使在上单调

只需或在恒成立

（1）在恒成立等价于，即

解得

（2）在恒成立，当时，即，解得（舍）或（舍）

当时，即，解得

综上所述

考点三、已知函数不单调求参数范围；

【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围.【答案】解法一：∵

令，解得，因为在区间上不单调，所以区间上存在极值点，所以，或

即，或

所以或

∴.解法二:∵

因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.令，解得，区间长为，∴在区间上不可能有个零点.所以

即：

∵，∴，又∵，∴.【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围

【答案】

考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；

【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围.【答案】解法一：

设，依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可

由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以.设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；

由解得.所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，所以，所以实数的取值范围是.【例4-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

【答案】

【练4-1】已知函数，．函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

【答案

当时，令，解得

则在上单调递增区间，满足题意.当时

当，即时，在上单调递减(舍）

当，即，且时

令，解得：，当时，则在上单调递增区间，满足题意

当时，要使在上存在单调递增区间，则，即，解得

所以

综上所述得：的取值范围为：

解法二：

在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立

设

当时，则

所以，的取值范围为：

考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；

【例5-1】（2012-2013西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）的定义域为，且

．

………………2分

①

当时，故在上单调递增．

从而没有极大值，也没有极小值．

………4分

②

当时，令，得．

和的情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

从而的极小值为；没有极大值．

…………6分

（Ⅱ）解：的定义域为，且

．

…………8分

③

当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．

………………9分

④

当时，在上单调递减．

当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．

……………11分

当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．

综上，的取值范围是．

…………13分

【例5-2】已知函数，其中．若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．

【答案】的定义域为，当，在单调递减，当时，在单调递减，单调递增,的定义域为，且

．

当时，显然，从而在上单调递增．

此时在上单调递增，符合题意．

当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．

当时，令，得．

和的情况如下表：

↘

↗

当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．

当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．

综上，的取值范围是．

导数专题二、极值问题

【知识点】

一、函数的极值定义

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．

极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。

极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。

极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：

1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。

2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。

3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。

4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。

三、求函数极值的三个基本步骤

第一步、求导数；

第二步、求方程的所有实数根；

第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．

【考点分类】

考点一、分类讨论求函数极值（点）；

【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的零点和极值；

(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】

（Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。

（Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。

（Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。

【例1-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）求函数的极值点.【答案】

考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；

【例2-1】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为

（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分

（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;

（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数．

（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求的单调区间；

（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，，．

方程为．

（Ⅱ），．

当时，对于，恒成立，所以

Þ；

Þ

0.所以

单调增区间为，单调减区间为

．

（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．

令

Þ

Þ

.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以

当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：

0

0

递减

极小值

递增

所以

当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．

综上，的取值范围为．

【练2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）当时，定义域为

令，得

0

递增

递减

极小值

递增

（Ⅱ），因为

所以令，只需

设，若在区间上有两个极值点，则在区间上有两个零点

要使在区间上有两个零点，的唯一根必须在区间

所以令，得，且

解得：

【练2-2】已知函数，（为常数）.若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】

由题意可知，解得

所以，实数的取值范围为.【练2-3】已知函数，其中且.若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-4】已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；

（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.，又

在处的切线方程为.令，整理得.或，与切线有两个不同的公共点.--7分

（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-5】（2013-2014海淀二模文18）已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；

（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.---------------------------------1分，---------------------------------2分

又

在处的切线方程为.---------------------------------4分

令，整理得.或，-----------------------------------5分，----------------------------------------6分

与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分

（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，---------------------------9分

由二次函数图象性质可得，-------------------------------------10分

即，解得或，----------------------------12分

综上，的取值范围是.-------------------------------13分

【练2-6】（2009-2010年北京高考文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；

（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。

【答案】由

得

因为的两个根分别为1,4，所以

（*）

（Ⅰ）当时，又由（*）式得

解得

又因为曲线过原点，所以

故

（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得。

又

解

得

即的取值范围

考点三、已知函数极值求参数值；

【例3-1】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）的定义域为.，即

.令，解得：或.当时，故的单调递增区间是.当时，随的变化情况如下：

极大值

极小值

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，随的变化情况如下：

极大值

极小值

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的极大值等于.理由如下：当时，无极大值.当时，的极大值为，令，即

解得

或（舍）.当时，的极大值为.因为，所以

.因为，所以的极大值不可能等于.综上所述，当时，的极大值等于.【例3-2】已知函数在处有极值10，求的值.【答案】

依题意得方程组

解得.当a=-3,b=3时，令得x=1.(-∞,1)

(1,+∞)

+

0

+

↗

无极值

↗

显然不合题意，舍去.当时，令得或.x

（1，+∞）

+

0

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

在处有极小值10，合题意，∴.导数专题三、最值问题

【知识结构】

【知识点】

一、求解函数最值问题的步骤：

对于函数的最值问题主要建立在前面的极值问题的基础上；一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

第一步、求函数在内的极值；

第二步、将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、主要的问题类型：

1.分类讨论求函数最值；

2.已知函数最值情况求参数范围；

3.已知函数最值求参数值；

4.其他的情况转化为最值问题；

【考点分类】

考点一、分类讨论求函数最值；

【例1-1】（2015-2016东城一模文19）

已知函数，（1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立.【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得

（2）

1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为

2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为

3）当时，-

0

+

减

极小值

增

所以在该区间的最小值为

综上所述，当时，在的最小值为1；

当时，在的最小值为.（3）由已知得，所以在时，恒有

若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立.令

令，有

当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立.【例1-2】（2014-2015丰台一模理18）设函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；

（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．

【答案】（Ⅰ）当时，，所以．

因为，即切线的斜率为，所以切线方程为，即

．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．

令，则．

当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当时，函数最小值是．命题得证.（Ⅲ）因为，所以．

令，则．

当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．

所以当，在上单调递减；

当，在上单调递增．

所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以．

由（Ⅱ）知在恒成立，所以在上单调递增．

又因为，所以在恒成立，即．

所以当时，在上的最大值为．

【练1-1】（2015-2016西城期末文19）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以．

令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的单调减区间为；单调增区间为．

所以当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为；

当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为.所以函数在上的最小值为

【练1-2】（2015-2016海淀期末文18）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）

求的值

（Ⅱ）求在区间上的最小值.【答案】（I）因为所以在函数的图象上

又，所以

所以

（Ⅱ）因为，其定义域为

当时，所以在上单调递增

所以在上最小值为

当时，令，得到(舍)

当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为

当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为

当,即时,对成立,对成立

所以在单调递减,在上单调递增

其最小值为

综上，当时，在上的最小值为

当时，在上的最小值为

当时,在上的最小值为.【练1-3】（2015-2015丰台一模理18）已知函数，.(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当，且ab=时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，1

则，3

h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或6

(Ⅱ)记(x)=，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),ab=，所以，(x≠-a)，令，得，或,因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，,，①

当，即时,(x)在[-2,-1]单调递增,(x)在该区间的最小值为，②

当时,即,(x)在[-2,单调递减,在单调递增，(x)在该区间的最小值为，③当时,即时,(x)在[-2,-1]单调递减,(x)在该区间的最小值为，综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.（不综述者不扣）

【练1-4】（2013-2014延庆一模理18）已知函数.(Ⅰ)

讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值.【答案】函数的定义域为，1

(Ⅰ)，4

（1）当时，所以在定义域为上单调递增；

（2）当时，令，得（舍去），当变化时，的变化情况如下：

此时，在区间单调递减，在区间上单调递增；

（3）当时，令，得，（舍去），当变化时，的变化情况如下：

此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（1）当，即时，在区间单调递减，所以，；

（2）当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，（3）当，即时，在区间单调递增，所以.【练1-5】（2013-2014东城期末理18）已知，函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最小值．

【答案】（Ⅰ）当时，，所以，.2

因此．

即曲线在点处的切线斜率为.4

又，所以曲线在点处的切线方程为，即．6

（Ⅱ）因为，所以．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．

②若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．

③若，则当时，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

【练1-6】（2014-2015西城二模理18）已知函数，其中．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】的定义域为，且

．

当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即

．

（Ⅱ）解：方程的判别式为．

（ⅰ）当时，所以在区间上单调递增，所以在区间

上的最小值是；最大值是．6

（ⅱ）当时，令，得，或．

和的情况如下：

↗

↘

↗

故的单调增区间为，；单调减区间为．

①

当时，此时在区间上单调递增，所以在区间

上的最小值是；最大值是．

②

当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是

．

因为，所以

当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．

③

当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．

综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是．

【练1-7】（2014-2015丰台一模文19）已知函数,.(1)设函数,且求a,b的值;

(2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,m]

()上的最大值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},则,因为所以解得,或

(Ⅱ)记(x)=,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),因为a=2,b=4,所以(x≠-2)，令,得,或,当,或时，当时，函数的单调递增区间为,单调递减区间为,①当-2

【练1-8】（（2013-2014大兴一模文18）已知函数.(I)求函数的单调区间;

(Ⅱ)当时,求函数在区间上的最小值.【答案】定义域为R

(Ⅰ)①当时，则的单调增区间为

②当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为

③当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为

(Ⅱ)

①当时,即

当时,在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为

②当时,即

当时,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为

综上:

当时,在区间[-2,0]上最小值为

当时,在区间[-2,0]上最小值为

考点二、已知函数最值情况求参数范围；

【例2-1】（（2015-2016昌平期末文20）已知函数．

(Ⅰ)

求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为

当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下：

0

+

0

↗

极大值

↘

因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016东城一模文20）已知函数

.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)讨论的单调性;

(III)若存在最大值,且,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,..所以.又,所以曲线在点处的切线方程是,即.(Ⅱ)函数的定义域为,.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递减.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递增.当时,由,得,由,得,此时在区间内单调递增,在区间内单调递减.(III)由(Ⅱ)知函数的定义域为,当或时,在区间上单调,此时函数无最大值.当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减,所以当时函数有最大值.最大值.因为,所以有,解之得.所以的取值范围是.【练2-1】（15-2016大兴区一模理18）已知函数，．

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（I），.由，得，或.①当，即时，在上，单调递减；

②当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减.综上所述：时，的减区间为；

时，的增区间为，的减区间为.（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；

（2）当时，若，即时，在上单调递减，不存在最小值；

若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，所以时，.又因为，所以当，即时，有最小值；，即时，没有最小值.综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值.考点三、已知函数最值求参数值；

【例3-1】（2015-2016朝阳期中文20）已知函数(其中，),函数的导函数为，且．

(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若函数在区间上的最小值为，求的值．

【答案】因为，所以．

因为，所以．

所以．

(Ⅰ)当时，时，所以曲线在点处的切线方程为．

即．

(Ⅱ)由已知得，所以．

（1）当，即时，令得，或；

令得，．

所以函数在和上单调递增，在上单调递减．

所以函数在区间上单调递增．

所以函数在区间上的最小值为．

解得．显然合题意．

（2）当时，即时，恒成立，所以函数在上单调递增．

所以函数在区间上单调递增．

所以函数在区间上的最小值为．

解得．显然不符合题意．

（3）当时，即时，令得，或；

令得，．

所以函数在和上单调递增，在上单调递减．

①若，即时，函数在区间上单调递减．

所以函数在区间上的最小值为．

解得．显然合题意．

②若，即时，函数在在上单调递减，在上单调递增．

此时，函数在区间上的最小值为．

解得．显然不合题意．

综上所述，或为所求．

【例3-2】（2015-2016朝阳期中18）已知函数(其中是常数，)，函数的导函数为，且．

(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，若函数在区间上的最大值为，试求的值．

【答案】因为，所以．

因为，所以，即．

(Ⅰ)当时，．又，所以曲线在点处的切线方程为．

即．

(Ⅱ)由已知得．

所以．

因为，．

因为，所以．

令得，；

令得，或．

所以函数在上单调递增，在和上单调递减．

①若，即时，函数在区间上单调递增．

所以函数在区间上的最大值为．

解得．显然符合题意．此时，．

②若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减．

所以函数在区间上的最大值为．

又因为，所以，．

所以．

所以．

不满足函数在区间上的最大值为

综上所述，为所求．

【练3-1】（2015-2016海淀一模理18）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I)

当时，求的单调区间；

(II)

若在上的最大值为，求的值.【答案】（I）因为所以2

因为函数在处取得极值

当时，，随的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以的单调递增区间为,单调递减区间为

(II)因为

令,因为在处取得极值，所以

当时，在上单调递增，在上单调递减

所以在区间上的最大值为，令，解得

当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增

所以最大值1可能在或处取得

而

所以，解得

当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增

所以最大值1可能在或处取得

而

所以，解得，与矛盾

当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾

综上所述，或.【练3-2】（2013-2014朝阳一模理18）已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．

【答案】函数的定义域是，．

（Ⅰ）（1）当时，故函数在上单调递减．

（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．

（3）当时，令，又因为，解得．

①当时，所以函数在单调递减．

②当时，所以函数在单调递增．

综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．

（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．

（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．

②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．

③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．

综上所述，．

导数专题四、零点问题

【知识结构】

【知识点】

一、零点的定义：定义：

一般地，如果函数在处有实数根，即，则叫做这个函数的零点.1.函数值为零时的值；

2.函数为零时，方程的解；

3.函数的图象与轴交点；

4.两个函数的交点；

二、零点问题主要包括的题型包括：

1.是否有零点；

2.判断零点个数；

3.已知零点求参数

三、函数零点的判定：

方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点

【考点分类】

考点一、分类讨论求零点个数；

【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，．

（Ⅱ）

当时，讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点；

（ⅱ）当时，即时，有一个零点；

（ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(3)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数．

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．

若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；

又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法：

综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点.【练1-1】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；

（Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－

＋

↘

极小值

↗

＋

－

＋

↗

极大值

↘

极小值

↗

则.所以函数不存在零点.（Ⅲ）

.当，即时，－

＋

↘

极小值

↗

当，即时，＋

－

＋

↗

极大值

↘

极小值

↗

当，即时，＋

＋

↗

↗

当，即时，综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是;

当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-2】（2015-2016西城期末文20）已知函数，直线

：

.（1）求函数的极值；

（2）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（3）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由。

【答案】（1）（x≠0）

∴

令，得x=1，列表，得：

x

（0，1）

（1，+∞）

0

+

极值

∴在x=1处，有极小值为。

（2）假设是一条切线，设切点为。

∴

有

将②代入①中，得

即

不成立

∴

对于任意，直线都不是曲线的切线。

（3）解法一、令

整理得

令

∴，∴

g（x）是一个减函数。

令g（x）=0得x=-1，∴

有当x＜0时，g（x）＜2，且x，g（x）-∞；

当x＞0时，g（x）＞2，且x，g（x）+∞；

∴

当k=2时，没有交点；当k≠2时，有一个交点。

解法二、令，有，当时，恒正，即无零点。

当时，即在时恒正，无零点。

当时，为减函数，取，有；

当时，而，此时，所以有一个零点，即曲线与直线有一个交点。

当时，当时，恒正，无零点；

当时，为增函数，取，有；

当时，而，此时；

因此，在有一个零点，即曲线与直线有一个交点。

综上所述，当

时，曲线与直线没有交点；当

时，曲线与直线有一个交点。

【练1-3】（2015-2016大兴期末文19）已知函数．

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数．

【答案】（Ⅰ）

曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)设，则

令，解得：

当在上变化时，的变化情况如下表：

+

0

↗

↘

由上表可知，当时，取得最大值

由已知对任意的，恒成立

所以，得取值范围是。

(Ⅲ)令得：

由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点；

当或时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上有2个零点

【练1-4】（2013-2014西城期末理18）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以．

………………

2分

令，得．

………………

3分

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

………………

5分

故的单调减区间为；单调增区间为．…………

6分

（Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点.………………

7分

理由如下：

由，得方程，显然为此方程的一个实数解.所以是函数的一个零点.………………

9分

当时，方程可化简为.设函数，则，令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

即的单调增区间为；单调减区间为．

所以的最小值.………………11分

因为，所以，所以对于任意，因此方程无实数解．

所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点.………………13分

【练1-5】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【答案】（Ⅰ）

…………………1分，所以切线的方程为，即．

…………………3分

（Ⅱ）令则

↗

最大值

↘

…………………6分，所以且，，即函数的图像在直线的下方．

…………………8分

（Ⅲ）令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分

若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点.…………………13分

【练1-6】（2014-2015东城高一模理18）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增,求的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅰ）因为，由已知在处取得极值，所以.解得，经检验时，在处取得极小值.所以.……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.所以.……8分

（Ⅱ）因为，所以，.令得，令，..当时，在上单调递增，时，在上单调递减.所以.综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.考点二、已知函数存在零点情况求参数范围；

【例2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）

令

得

变化情况

+

减

增

所以

函数在区间为减函数，在区间为增函数

（Ⅱ）解法一（分离参数法）：

主要的步骤如下：

1写定义域：求出函数的定义域

2分离参数：将等式转化为参数放在等号一边，等号另外一边为一个函数g（x）

3画图象：准确画出g（x）的图象

4移直线：将直线y=b的直线由上往下移动观察交点个数

下面是每一步的注意事项：

1写定义域：一定要先写出函数的定义域

2分离参数：分离参数的时候也要注意对等式变化的时候定义域的改变

3：画图像：这里涉及到画出准确函数图像的注意事项

A：首先通过求导研究函数的单调性（在定义域范围内）

B：画出各极值点

C：画断点（定义域内取不到的值的走势）-----找渐近线1

D:画正负无穷处的点----------找渐近线2

E：将各处用光滑的曲线连接起来

4：移直线：移动的时候看交点要注意所取点空心和实心。

解法一（分离参数法）：直线与曲线没有公共点，等价于

方程无实数解，不是该方程的解，所以等价

方程无解

设

则

令

得

在区间上，在区间上，在区间上

所以

在上递增，在上递减，在上递减

所以，当时，取得极大值

当无限增大时，无限趋近于1

所以的值域为

方程无解，则的取值范围为

解法二：构造新函数法（略）

解法三（转化为过某一定点直线和曲线的交点）：

因为直线与曲线没有公共点，所以方程，即无实数解

所以直线与曲线没有公共点，设过点的直线与曲线相切于点

因为，所以直线的斜率

所以直线的方程为

因为直线过点，所以，所以

因为直线与曲线无交点

所以，即

【例2-2】（2015-2016海淀期末文19）已知函数，其中.当时，求函数的单调区间和极值；

若关于的方程有解，求实数k的取值范围.【答案】由题可知函数定义域为：

当时，令得。

当变化时，和的变化如下表：

X

—

0

+

极小值

∴的单调递增区间为：的单调递减区间为：

∴在时存在极小值：

由题意得，方程有解即为有解，令，令得

（1）当时，令得

令得

在上单调递减，在上单调递增

∴

①当时，,函数有一个解。

②当时，且

（2）当时，恒成立，在上恒减

且当时，综上所述：。

【练2-1】（2015-2016丰台期末理18）已知函数.（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ），令得，.x

0

+

0

_

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴函数的极大值为；

极小值为.(Ⅱ)

若存在，使得，则

由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）.（图1）

（图2）

于是可得.【练2-2】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【练2-3】（2015-2016丰台二模文19）设函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），（1）若，则在区间上，单调递增.所以当时，的单调递增区间为，没有极值点.（2）若，令，即，解得，因为函数在区间是递增函数，所以在区间内，单调递减；在区间内,单调递增.所以当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为所以当时，函数有极小值为.（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递增，因为，令，得.所以当时，在区间上上存在唯一零点.（2）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点

因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则只能是：

①，或②.由①得；由②得.综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，则或.【练2-4】（2015-2016海淀二模文19）已知函数

（1）当时，求函数的单调区间;

（2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围；

（3）若存在，使得既是函数的零点，又是函数的极值点，请写出此时的值.（只需写出结论）.【答案】（1）当时，令，从而和时，时

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，令，得到.当时，即时，在区间上单调递增，为上最小值

所以有，即，解得或，所以有；

当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以为上最小值，所以有，即，解得，所以.综上，得.法二：（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，所以当，即时

满足题意，当时，因为，令，得到，因为，所以在区间上的单调递增，所以在区间上的最小值为，所以，根据上面得到，矛盾.综上，.（Ⅲ）

【练2-5】（2015-2016丰台二模理18）设函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间内的最大值；

（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）当时，与、之间的关系如下表：

+

0

增函数

极大值

减函数

函数在区间内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点，---4分

最大值.（Ⅱ）

（1）当时，显然在区间内没有两个零点，不合题意.(2)当时，.①当且时，函数区间上是增函数，所以函

数

区间上不可能有两个零点，所以不合题意；

②当时，在区间上与、之间的关系如下表：

+

0

增函数

极大值

减函数

因为，若函数区间上有两个零点，则，所以，化简.因为，,所以.综上所述，当时，函数在区间内有两个零点.【练2-6】（2015-2016房山一模理18）已知函数，其中

（Ⅰ）当，求函数的极大值；

（Ⅱ）若在区间上仅有一个零点，求实数的取值范围是。

【答案】（Ⅰ）a=-2时，f（1）=

a

–

=

-（-2）-1为极大值1。

（Ⅱ）

当

时，f（x）在所以f（1）=0

即-a-1=0，a=-1。或者

但无解舍

当

由f(1)=-a-1<0知

只需f（e）>0

解得

所以，f（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，且

f（1）此时（0，e）上不可能有零点

综上a=-1或者

【练2-7】（2015西城二模文）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；

（Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论)

【答案】（Ⅰ）解：当时，函数，求导，得，………………2分

因为，………………3分

所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分

（Ⅱ）证明：当时，的定义域为.求导，得，………………5分

令，解得，………………6分

当变化时，与的变化情况如下表：

+

0

0

+

↗

↘

↗

………………8分

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，当时，；当时，所以当时，；当时，.记，其中为两数，中最大的数，综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式

恒成立.………………10分

（Ⅲ）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅

有负实数解.………………13分

考点三、已知函数不存在零点求参数范围；

【例3-1】（2015-2016石景山一模文19）已知函数．

（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ），令解得，易知在上单调递减，在上单调递增，故当时，有极小值

（Ⅱ）令，则，由（Ⅰ）知，所以在上单调递增，所以，所以.（Ⅲ）方程，整理得，当时，.令，则，令，解得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以时，有最小值，而当越来越靠近时，的值越来越大，又当，方程无解，所以.【例3-2】（2013-2014海淀期末理18）已知关于的函数

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.【答案】（Ⅰ），.------------------------------------------2分

当时，,的情况如下表：

0

↘

极小值

↗

所以，当时，函数的极小值为.-----------------------------------------6分

（Ⅱ）.①当时，的情况如下表：

0

↘

极小值

↗

--------------------------------7分

因为,------------------------------8分

若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分

所以此时；

-----------------------------------------------10分

②当时，的情况如下表：

0

↗

极大值

↘

--------11分

因为,且,---------------------------12分

所以此时函数总存在零点.--------------------------------------------13分

综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-1】（2013-2014朝阳一模文18）设函数，，记.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】(I)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即

………………4分

（Ⅱ），（）.①当时，在区间上单调递增；

②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是.………………9分

（Ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解.由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为.…………………………………………………13分

综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-2】（2014-2015通州期末理18）已知函数，（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若方程没有实数根，求取值范围．

【答案】（Ⅰ）因为函数，所以…………………

1分

（1）当时，所以的递增区间是，无递减区间.……

3分

（2）当时，令，得，令，得

所以的递增区间是，递减区间是

……………………

5分

综上，当时，的递增区间是，无递减区间，当时，的递增区间是，递减区间是

（Ⅱ）（1）当时，在上显然无零点，所以方程没有实数根.……………………

6分

（2）当时，在上单调递增，因为，所以

所以在上有零点.所以方程有实数根.……………………

8分

（3）当时，的递增区间是，递减区间是，所以是的极小值，也是的最小值.所以没有实数根等价于

……………………

11分

所以所以

所以所以.……………………

12分

综上，的取值范围是

……………………

13分

考点四、证明函数零点情况；

【例4-1】（2015-2016海淀期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）

【答案】（Ⅰ）因为,所以，当时，.令，得，所以随的变化情况如下表：

极大值

极小值

所以在处取得极大值，在处取得极小值.函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为

（Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得.因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；

当时，随的变化情况如下表：

↘

极小值

↗

所以函数在区间上的最大值为或.此时,，所以

.综上，当时，关于的不等式在区间上无解.【例4-2】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程；

（II）求的单调区间

（III）设，其中，证明：函数仅有一个零点

【答案】（I）

其中，所以曲线在处的切线方程

（II）的定义域为，令，解得

令，解得

所以，的单增区间为，单减区间为

（III），定义域为

又

①

当时，恒成立，即在上单调递增

又

即

可知函数仅有一个零点

②

时，令，解得或

令，解得

所以，在，上单调递增，在上单调递减

又

又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点

综上所诉，函数仅有一个零点

【练4-1】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程；

（II）求的单调区间

（III）设，其中，证明：函数仅有一个零点

【答案】（I）

其中，所以曲线在处的切线方程

（II）的定义域为，令，解得

令，解得

所以，的单增区间为，单减区间为

（III），定义域为

又

①

当时，恒成立，即在上单调递增

又

即

可知函数仅有一个零点

②

时，令，解得或

令，解得

所以，在，上单调递增，在上单调递减

又

又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点

综上所诉，函数仅有一个零点

考点五、函数交点问题；

【例5-1】（2015-2016东城期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的方程；

（Ⅱ）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可）

【答案】（Ⅰ）当时，.当时，又，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得.当时，此时在上单调递增.当时，当时，所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；

当时，令，得.与在区间上的情况如下：

极大值

若曲线与轴有且只有一个交点，则有，即.解得.综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点.（Ⅲ）曲线与曲线最多有4个交点.【例5-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【练5-1】（2015-2016西城期末理18）已知函数

(,为自然对数的底数).（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值．

【答案】(Ⅰ)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时，为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值

当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二:

(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:

(*)

在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表:

递减

递增

当时，同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.【练5-2】（2014-2015丰台期末理18）已知函数．

（Ⅰ）求函数的极小值；

（Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）函数的定义域为R．

因为，所以

．

令，则．

0

0

+

↘

极小值

↗

所以

当时函数有极小值．

………………6分

（Ⅱ）函数．

当时，所以要使与无交点，等价于恒成立．

令，即，所以

．

①当时，满足与无交点；

②当时，而，所以，此时不满足与无交点．

③当时，令，则，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，．

由

得，即与无交点．

综上所述

当时，与无交点．

导数专题五、恒成立问题和存在性问题

【知识结构】

【知识点】

求解函数的恒成立问题和存在性问题首先转化为函数的最值问题，主要的方法提炼：

一、已知不等式恒成立，求参数取值范围：分参法；

（1）分离参数，使不等式转化为（）恒成立；

（2）求导函数；

（3）找出的最大（小）值（）；

（4）解不等式（），得出参数取值范围．

二、已知不等式恒成立，求参数取值范围：讨论法；

（1）构造新函数，使不等式转化为（）恒成立；

（2）求导函数，判断函数的单调性；

（3）找出的最小（大）值（）；

（4）解不等式（），得出参数取值范围．

【考点分类】

考点一、单变量单函数的不等式型；，即求，即求

【例1-1】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，．

（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：

0

+

极小值

所以时,函数的最小值为.所以成立.【例1-2】（2015-2016海淀二模理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）．

【答案】（Ⅰ）时且，令则或；令则，递增区间为和；递减区间为。

（Ⅱ）在有解，在有解，令，则在有解，即，且，①

当即时

在上递增，在上递减，在上递增，Ⅰ．若，则，则，则在上递减，在上递增，则恒成立，满足条件。

Ⅱ．若，则，则，则在上递增，则，，又，②

当即时，在上递增，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，③

当即时，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，综上所述：．

（Ⅲ）。

【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，．

【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得

－

+

↘

↗

所以

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，．

（Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立．

设，得，当时，所以　在上单调递减，所以　时，．

因为恒成立，所以．

（Ⅲ）当时，等价于．

设，．

求导，得．

由（Ⅰ）可知，时，恒成立．

所以时，有．

所以

．

所以在上单调递增，当时，．

因此当时，．

【练1-2】（2015-2016东城二模文20）设函数

（1）若，求在区间上的最大值；

（2）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；

（3）若对任意的，均有成立，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，+

0

单调增

极大值

单调减

所以在取得最大值，（2）设切点坐标为，有，以及

联立化简得到，易知为单调递增函数

因此，与直线有且只有一个交点，因此切点只有一个，因此，当时，过点有且只有一条直线与曲线相切。

（3）易知当时，满足条件

当时，1）当时，满足条件

2）当时，有，整理得到

因此有，因为，所以，所以

3）当时，有

令，有

设，有，当时，因此当时，所以当时，单调递增，最小值为，因此

综上所述，的取值范围为

【练1-3】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．

所以．

……………3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，的单调减区间是．

……………8分

（Ⅲ）当时，成立，．

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以．

又因为，所以实数的取值范围．

……………13分

（Ⅲ）另解：

（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时，可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．

当时，要使成立，只需，解得．所以．

综上所述，实数的取值范围

【练1-4】（2010-2011海淀一模文18）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（I）因为，…………………2分

当，令，得，…………………3分

又的定义域为，随的变化情况如下表：

0

极小值

所以时，的极小值为1

.…………………5分的单调递增区间为，单调递减区间为；

…………………6分

（II）解法一：

因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.…………………7分

（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即

…………………9分

（2）当，即时，①

若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立

…………………11分

②

若，即时，则有

极小值

所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即.…………………13分

综上，由(1)（2）可知：符合题意.…………………14分

解法二：若在区间上存在一点，使得成立，即，因为,所以，只需

…………………7分

令，只要在区间上的最小值小于0即可

因为，令，得

…………………9分

（1）当时：

极大值

因为时，而，只要，得，即

…………………11分

（2）当时：

极小值

所以，当

时，极小值即最小值为，由，得，即.…………………13分

综上，由(1)（2）可知，有

.…………………14分

【练1-5】（2013-2014房山一模文18）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵f（x）=ex（x+1），∴f′（x）=ex（x+1）+ex=ex（x+2），∴f′（0）=e0•（0+2）=2，又f（0）=1，∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：

y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；

（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：

x

（-∞，-2）

（-2，0）

f′（x）

0

+

f（x）

↘

极小值

↗

∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增，∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e-2．

∴-e-2＞k，即k＜-e-2．

∴k的取值范围是（-∞，-e-2）．

【练1-6】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)

函数的定义域为,.（5）

当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为

令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（6）

当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为；

令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（7）

当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（8）

当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；

令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件；

若，则由得，或；

由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以；

若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件；

综上，.考点二、单变量双函数的不等式型；，构造新函数，即求；，构造新函数，即求；

【例2-1】（2015-2016昌平期末文20）已知函数．

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为

当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下：

0

+

0

↗

极大值

↘

因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016丰台一模理18）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）设切线的斜率为

因为，切点为.切线方程为，化简得：.（Ⅱ）要证：

只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时

在恒成立

所以.（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立

因为==

①当时，不满足题意

②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；

时，在上单调递增；

当时

当时，满足题意

所以，得到的最小值为

【练2-1】（2015-2016石景山一模理18）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．

【答案】

（Ⅰ），．

所以切线方程为．

（Ⅱ）令，则，当时，设，则

所以在单调递减，即，所以………6分

所以在上单调递减，所以，所以．

（Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，………9分

令，则．

易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以．

综上所述，的最大值为

．

【练2-2】（2015-2016大兴期末文19）已知函数．

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数．

【答案】（Ⅰ）

曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)设，则

令，解得：

当在上变化时，的变化情况如下表：

+

0

↗

↘

由上表可知，当时，取得最大值

由已知对任意的，恒成立

所以，得取值范围是。

(Ⅲ)令得：

由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点；

当或时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上有2个零点

【练2-3】（2015-2016东城二模理18）已知

（I）求的单调区间

（II）当时，求证：对于恒成立；

（III）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围。

【答案】（I）的定义域是，令，得：，（舍）

+

0

单调增

极大值

单调减

（II）设，由题意只需证明：即可。，可得，在上，且在单调递减，所以对于恒成立，得证。

（III）由（II）得：

当时，所以，又因为当时，所以，则此时没有满足条件的当时，令

则，令，因为，又因为，所以，存在满足题意。

综上，的取值范围是。

【练2-4】（2015-2016朝阳二模理18）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时,，．

．

则，而．

所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即．

（Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立．

设，．

所以．

（1）当，即时，当时，为单调减函数，所以．

依题意应有

解得所以．

（2）若，即时，当，为单调增函数，当，为单调减函数．

由于，所以不合题意．

（3）当，即时，注意到，显然不合题意．

综上所述，．

【练2-5】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分

解得，-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分

令，----------------------------------------7分

①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；

----------------------------------------8分

②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，-------------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是；

综上，实数b的取值范围是．

--------------------------------------13分

法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分

令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分

由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，------------------------------------------12分

实数b的取值范围是．

--------------------------------------------13分

【练2-7】（2015-2016西城一模文19）已知函数，且

(Ⅰ)求的解析式

(Ⅱ)若对于任意，都有，求m的最小值

(Ⅲ)证明：函数的图像在直线的下方.【答案】对求导，得，所以，解得，所以.（Ⅱ）解：由，得，因为，所以对于任意，都有.设，则

.令，解得.当x变化时，与的变化情况如下表：

极大值

所以当时，.因为对于任意，都有成立，所以

.所以的最小值为.（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证.由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.所以只要证明当时，即可.设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数.所以，即.所以.故函数的图象在直线的下方.【练2-8】（2015-2016东城一模文19）

已知函数，（1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立。

【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得

（2）

1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为

2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为

3）当时，-

0

+

减

极小值

增

所以在该区间的最小值为

综上所述，当时，在的最小值为1；

当时，在的最小值为。

（3）由已知得，所以在时，恒有

若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立。

令

令，有

当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立。

【练2-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当

时，所以，函数在点处的切线方程为

即：

(Ⅱ)函数的定义域为：

当时，恒成立，所以，在和上单调递增

当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有

在上恒成立。

所以，令，则.令则

若，即时，函数在上单调递增，又

所以，在上恒成立；

若，即时，当时，单调递增；

当时，单调递减

所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为

又因为，所以恒成立

综上知，的取值范围是.【练2-10】（2012-2013海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【答案】（I）当因为,…………………2分

若函数在点处的切线与函数在点

处的切线平行，所以，解得

此时在点处的切线为

在点

处的切线为

所以

…………………4分

（II）若，都有

记，只要在上的最小值大于等于0

…………………6分

则随的变化情况如下表：

0

极大值

…………………8分

当时，函数在上单调递减，为最小值

所以，得

所以

…………………10分

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为最小值，所以，得

所以

………………12分

综上，………………13分

【练2-11】（2015-2016昌平期末理18）已知函数.（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；

（Ⅱ）求证：当时，；（其中）

（Ⅲ）确定非负实数的取值范围，使得成立.【答案】定义域为，.由题意，所以，即切点的坐标为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为

当时，恒成立.设，所以原问题转化为当时，恒成立.所以.令，则（舍），.所以，变化如下：

0

+

0

↗

极大值

↘

因为，所以.当时，成立.（Ⅲ）解：，可转化为

当时，恒成立.设，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，⑵当，即时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.⑶当，即时，则（舍），.所以，变化如下：

0

0

+

↘

极小值

↗

因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为.考点三、双变量双函数的不等式型；；

；

。

【例3-1】（2015-2016西城二模文15）已知函数

（I）若，求a的值

（II）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围

【答案】

(Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得

所以

解得

(Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或

随着的变化，与的变化情况如下表：

0

不存在极小

不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【例3-2】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的零点和极值；

(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】

（Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。

（Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。

（Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。

考点四、双变量双函数的绝对值不等式型；

（一）（1）对于任意的，，等价于且；

（2）对于任意的，，等价于或者；

（3）对于任意的，，等价于；

（二）（1）若存在，存在，使得，等价于且；

（2）若存在，存在，使得，等价于或者；

（3）若存在，存在，使得，等价于；

（三）（1）对于任意的，存在，使得，等价于且；

（2）对于任意的，存在，使得，等价于或者；

（3）对于任意的，若存在，等价于；

【例4-1】（2011-2012海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.（Ⅱ）

任意，使恒成立的实数的最小值为

【例4-1】（2016湖北理21）设是函数的一个极值点。

（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）、设。若存在使得成立，求的取值范围。

【答案】（Ⅰ）f

`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a

]e3－x,由f

`(3)=0，得

－[32＋(a－2)3＋b－a

]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则

f

`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a

]e3－x

＝－[x2＋(a－2)x－3－3a

]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f

`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f

`(x)<0，f

(x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f

`(x)>0，f

(x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f

`(x)<0，f

(x)为减函数。

当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f

`(x)<0，f

(x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f

`(x)>0，f

(x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f

`(x)<0，f

(x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f

(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f

(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f

(0)，f

(4))，f

(3)]，而f

(0)＝－（2a＋3）e3<0，f

(4)＝（2a＋13）e－1>0，f

(3)＝a＋6，那么f

(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须

（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0

【例4-2】【2013届山西省第四次四校联考】已知函数

（I）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分

所以当时，．………………2分

又，………4分

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．

…………………………6分

（2）命题“若使成立”等价于

“当时，有”．

由（1），当时，．

问题等价于：“当时，有”．

………………………8分

当时，≤0,在上为减函数，则=，故．

………10分…

当0<时，>0,由于在上为增函数，故的值域为，即．

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，为减函数；当时，为增函数；

由=，．

所以，与矛盾，不合题意．

综上，得．

…………………………12分

【例4-3】【2013～2014年衡水中学高三上学期二调】已知函数；

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数单调递增区间；

（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围.【例4-4】（2015-2016年昌平二模理18）已知函数，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线.设.（I）求的值，及的关系式；

（II）求函数的单调区间；

（III）设，若对于任意，都有，求的取值范围．

【答案】（I）因为函数，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即

（II）由已知，.所以.设，所以，R，所以在上为单调递增函数.由（I）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点0．

所以及符号变化如下，-

+

↘

极小值

↗

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（III）由（II）知当

时，是增函数.对于任意，都有等价于，等价于当时，因为，所以在上是增函数，又，所以.【练4-1】（2013房山二模理）已知函数().(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;

(Ⅱ)当时,取得极值.（1）若,求函数在上的最小值;

（2）求证:对任意,都有.【答案】（Ⅰ）

…………1分

当时，解得或,解得

……………2分

所以单调增区间为和，单调减区间为………3分

（Ⅱ）①当时，取得极值，所以

解得（经检验符合题意）

……………4分

+

0

0

+

↗

↘

↗

所以函数在，递增，在递减.……5分

当时，在单调递减，………………6分

当时

在单调递减，在单调递增，.………………7分

当时，在单调递增，……………………8分

综上，在上的最小值

……………………9分

②令

得（舍）

因为

所以

……………11分

所以，对任意，都有

【练4-2】（2012-2013房山二模文18）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）求证：对任意，都有.【答案】（Ⅰ）

……………1分

由已知得即

……………2分

解得：

…………………………3分

当时，在处函数取得极小值，所以

（Ⅱ），.-

0

+

减

增

所以函数在递减，在递增.……………………4分

当时，在单调递增，.………………………5分

当时，在单调递减，在单调递增，.…………………………6分

当时，在单调递减，…………………………7分

综上

在上的最小值

………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.令

得

因为

所以

……………11分

所以，对任意，都有

【练4-3】（2013-2014年东城零模文18）设函数

（Ⅰ）设，证明：在区间内存在唯一的零点；

（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当

．

又当，．

．．．．．．6分

（Ⅱ）当时，．

对任意

上的最大值

与最小值之差,据此分类讨论如下：

（ⅰ），．

（ⅱ），．

（ⅲ），．

综上可知，．

．．．．．．14分

考点五、双变量双函数的等式型；

（一）对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即；

（二）存在，存在，使得，则的值域是值域有非空交集，即

【例5-1】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．

∵，∴

解得．

∴．

（Ⅱ），令，得或；

令，得．

∴的单调递增区间为，；单调递减区间为．

…8分

（Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴．

由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴．

∵，∴．

①

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．

∵，且，∴或，∴或，即或．

又∵，∴．

②

当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为

．

∵，且，∴，∴，即．

综上所述：或．

【例5-2】（2014-2015海淀二模文19）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的，总存在，使得，求实数值.【答案】（Ⅰ）

………………2分

当时，对，所以的单调递减区间为；

………………4分

当时，令，得.因为

时，；时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.………………6分

（Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值.当且时，由（Ⅰ）知：在上，是减函数.所以

.因为

对任意的，，所以对任意的，不存在，使得.………………8分

当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数，在上，是减函数.所以

.因为

对，，所以

对，不存在，使得.………………10分

当时，令.由（Ⅰ）知：在上，是增函数，进而知是减函数.所以,，.因为

对任意的，总存在，使得，即，所以

即

所以，解得.………………13分

综上所述，实数的值为.【练5-1】（2008天津文10）10．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（B）

A．

B．

C．

D．

【练5-2】（2008天津理16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为

.a=2

考点六、其他的函数单调性问题、极值问题、最值问题、零点问题转化为恒成立问题和存在性问题；

【例6-1】（（2015-2016房山二模文19）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）,定义域为，令

极小值

所以的增区间为，减区间为。

（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

导数专题六、渐近线和间断点问题

【知识结构】

【知识点】

对于函数的渐近线问题和间断点问题是函数问题中的特殊类型，渐近线问题主要是涉及到函数在无穷处的极限值会等于定值，这样的函数类型主要类型有如下的形式；

几种特殊函数的渐近线:

1.时；

（1）（幂函数的增长快于对数函数增长）；

（2）（高阶增长快于低阶增长）；

（3）（指数函数增长快于幂函数和对数函数增长）

2.时；

（1）（高阶增长快于低阶增长）；

（2）（可转化为形式）

【考点分类】

考点一、函数的渐近线问题；

【例1-1】（2015-2016海淀一模文20）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）因为，.所以..因为，所以曲线在处的切线方程为...（Ⅱ）令，解得，所以的零点为..由解得，则及的情况如下：

0

极小值

.所以函数在时,取得极小值

.（Ⅲ）法一：

当时，.当时，..若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，.所以“对任意，有恒成立”等价于

即，解得.所以的最小值为1.法二：

当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，令，则

而，不符合要求，所以.当时，,所以，即满足要求，综上，的最小值为1..法三：

当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，即时，令则任取,有

所以对成立，所以必有成立，所以，即.而当时，,所以，即满足要求，而当时，求出的的值，显然大于1，综上，的最小值为1.【例1-2】（2016-2017海淀期中理19）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值.【答案】

【例1-3】（2009-2010西城一模理19）

已知函数，其中，其中

（I）求函数的零点；

（II）讨论在区间上的单调性；

（III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存

在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）解，得，所以函数的零点为.（Ⅱ）函数在区域上有意义，令，得，因为，所以，.当在定义域上变化时，的变化情况如下：

↗

↘

所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.（Ⅲ）在区间上存在最小值.证明：由（Ⅰ）知是函数的零点，因为，所以，1

由知，当时，1

又函数在上是减函数，且，所以函数在区间上的最小值为，且，所以函数在区间上的最小值为，计算得.【练1-1】（2009-2010西城一模文20）已知函数其中。

（I）若函数存在零点，求实数的取值范围；

（II）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【答案】（I）或；

（II），得或，在，单调增加；在单调减少，此时，存在最小值.的极小值为，根据的单调性，在区间上的最小值为.解=0，得的零点为和，结合，可得在区间和，因为，所以；

并且，即.所以，当时，存在最小值，最小值为.【练1-2】（2011-2012西城二模理19）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）解：当时，．

由，得曲线在原点处的切线方程是．

（Ⅱ）解：．

①

当时，．

所以在单调递增，在单调递减．

当，．

②

当时，令，得，与的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．

③

当时，与的情况如下：

↗

↘

↗

所以的单调增区间是；单调减区间是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意．

当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．

设为的零点，易知，且．从而时，；时，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是.【练1-3】（2008-2009海淀二模18）已知：函数（其中常数）.（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）函数的定义域为..由，解得.由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，.（Ⅱ）由题意可知，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立.若即时，x

a+1

0

+

↘

极小值

↗

∴在上的最小值为．

则，得．

若即时，在上单调递减，则在上的最小值为．

由得（舍）．

综上所述，．

例7.（12西城二模理科19）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．

【答案】当时，．

由，得曲线在原点处的切线方程是．

（Ⅱ）解：．

①

当时，．

所以在单调递增，在单调递减．

当，．

②

当时，令，得，与的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．

③

当时，与的情况如下：

↗

↘

↗

所以的单调增区间是；单调减区间是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意．

当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．

设为的零点，易知，且．从而时，；时，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是．

考点二、函数的间断点问题；

【例2-1】（2015-2016西城二模理18）设,函数；

（1）若函数在（0，f(0)）处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值

（2）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围；

【答案】（Ⅰ）证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以.求导，得.由题意，得，解得.验证知符合题意.（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”．

①

当时，由，得无最小值，符合题意．

②

当时，令，得

或

.随着x的变化时，与的变化情况如下：

不存在0

↘

不存在↗

极大

↘

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

9分

因为当时，当时，所以只要考虑，且即可．

当时，由在上单调递减，且，得，所以存在，使得，符合题意；

同理，当时，令，得，也符合题意；

故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立．

③

当时，随着x的变化时，与的变化情况如下表：

0

不存在↘

极小

↗

不存在↘

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

因为当时，当时，所以．

所以当时，不存在使得．

综上所述，a的取值范围为.【例2-2】（2015-2016西城二模文19）已知函数

（1）若，求a的值

（2）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围

【答案】(Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得

所以

解得

(Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或

随着的变化，与的变化情况如下表：

0

不存在极小

不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【练2-1】（2012-2013海淀期末理18）已知函数

（I）

当时,求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】当时，又，所以在处的切线方程为

（II）

当时，又函数的定义域为

所以的单调递减区间为

当

时，令，即，解得

当时，所以，随的变化情况如下表

无定义

0

极小值

所以的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，所以，随的变化情况如下表：

0

无定义

极大值

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，【练2-2】（2012-2013门头沟一模文16）已知函数，其中．

（Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间．

【答案】（Ⅰ）．

依题意，由，得．

经检验，符合题意．

（Ⅱ）①

当时，．

故的单调减区间为，；无单调增区间．

②

当时，．

令，得，．

和的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间为，；单调增区间为．

③

当时，的定义域为．

因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间．

【练2-3】（2012-2013西城期末理18）已知函数，其中．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）①

当时，．

故的单调减区间为，；无单调增区间．

②

当时，．

令，得，．

和的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间为，；单调增区间为．

③

当时，的定义域为．

因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间．

（Ⅱ）解：因为，所以

等价于，其中．

设，在区间上的最大值为．

则“，使得

”等价于．

所以，的取值范围是．。

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题

【知识结构】

【知识点】

一、超越函数的定义

超越函数：指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数，指数函数等就属于超越函数。

二、判断超越函数零点存在性的方法

1.图像

根据基本初等函数的图像是否存在交点判断。

2.特殊点

带入特殊点判断：如

0，1，-1，e等

3.单调性与切线

利用单调性和切线判断

4.极限

通过函数的极限判断

特殊点的取法与目的【考点分类】

考点一、利用特殊点法求解（无参数的超越函数）

含有的函数：常取等

含有的函数：常取等

终极目的：消参，有理化，最终简单化

【例1-1】求的零点。

【例1-2】求的零点。

考点二、取特值法解不等式（含参，可以参变分离）

【例2-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

解：设切点为，则切线斜率，切线方程为．

因为切线过点，则．

即．

令，则

．

当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为．

令>0,解得

取，则．

故在上存在唯一零点．

不等式放缩部分（解法探究）

标答

取，则

．

设，则．

当时，恒成立．

所以在单调递增，恒成立．所以．

故在上存在唯一零点．

因此当时，过点P存在两条切线．

（3）当时，显然不存在过点P的切线．

综上所述，当时，过点P存在两条切线；

当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分

考点三、利用切线求解；

【例3-1】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数．

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．

若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；

又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法：

综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点.考点四、利用函数放缩求解；

【例4-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，．

（Ⅱ）

当时，讨论函数的零点个数.解：（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点；

（ⅱ）当时，即时，有一个零点；

（ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(4)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

（ⅰ）令，得．

令,得，所以函数在单调递增．

令,得，所以函数在单调递减．

所以，．

所以成立．

（ⅱ）由（ⅰ）知，所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；

所以，即．

所以，即．

所以，方程没有实数解．

【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，．

【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得

－

+

↘

↗

所以

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，．

（Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立．

设，得，当时，所以　在上单调递减，所以　时，．

因为恒成立，所以．

（Ⅲ）当时，等价于．

设，．

求导，得．

由（Ⅰ）可知，时，恒成立．

所以时，有．

所以

．

所以在上单调递增，当时，．

因此当时，．

【练1-2】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．

所以．

……………3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，的单调减区间是．

……………8分

（Ⅲ）当时，成立，．

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以．

又因为，所以实数的取值范围．

……………13分

（Ⅲ）另解：

（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时，可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．

当时，要使成立，只需，解得．所以．

综上所述，实数的取值范围

【练1-3】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分

解得，-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分

令，----------------------------------------7分

①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；

----------------------------------------8分

②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，-------------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是；

综上，实数b的取值范围是．

--------------------------------------13分

法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分

令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分

由得，----------------------------------------9分的情况如下：

0

0

+

极小值

-----------------------------------------11分

所以的最小值为，------------------------------------------12分

实数b的取值范围是．

--------------------------------------------13分

【练1-4】若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决．

解：原不等式等价于．当时，显然成立；

当时，因为，所以，则有恒成立，只需．

因为,当，即时取“=”，即，所以．

评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件．

【练1-5】（2012-2013西城第一学期期末18）已知函数，其中．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．

【答案】分析：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？

我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法：

（Ⅱ）解：因为，所以

等价于，其中．

…………9分

设，在区间上的最大值为．…………11分

则“，使得

”等价于．

所以，的取值范围是．

………………13分

小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。

【练1-6】（2012-2013朝阳期末18）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固）

【练1-7】（2006天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】

考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论；

【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围．

【答案】分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可．

解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有．

评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益．

【例2-2】（2012-2013通州期末19）已知函数

（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．

【答案】分析：该题（Ⅱ）初步转化为

对任意，都成立

多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。

【答案】分析：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围

多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

例2-4.（2010崇文一模理）设奇函数上是增函数，且，若函数

对所有的都成立，当时，则t的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

导数专题九、公切线解决导数中零点问题

【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。

考点一、无零点

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函数

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

【练

1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点

【例

2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增;

且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增;

又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点

【练

2-1】（2012年房山一模18）已知函数．

（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点．

………10分

当时，由（II）问知，又，为的一个零点．

……11分

若在恰有两个零点，只需

即

………13分

【练

2-2】（13年昌平二模理科）已知函数

(Ⅱ)求在区间上的最小值;

(III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则

∴

即,此时,.所以,的取值范围为

考点三、两个零点

【例

3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】

【练

3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

考点四、线上下线问题

【例

4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；

方程为

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下：

0

0

+

极小值

所以的最小值为，实数b的取值范围是．

导数专题十、极值点偏移问题

【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，则（B）

A．当时，B.当时，C.当时，D.当时，【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（D）

A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（B）

A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例4】（2010东城二模）已知函数．

(Ⅰ)

若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(Ⅱ)

设，且，求证：．

解：(Ⅰ)

．………………………………………3分

因为在上为单调增函数，所以在上恒成立．

即在上恒成立．

当时，由，得．

设，．

．

所以当且仅当，即时，有最小值．

所以．

所以．

所以的取值范围是．…………………………………………………………7分

(Ⅱ)不妨设，则．

要证，只需证，即证．

只需证．……………………………………………………………11分

设．

由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，所以．

即成立．

所以．………………………………………………………………14分

【例5】（2010天津）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，.（Ⅲ）如果，且，证明：.解：f’

令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表

X

()

()

f’(x)

+

0

f(x)

极大值

所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）

若

（2）若

根据（1）（2）得

由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，所以>,即>2.【例6】（2011辽宁）已知函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，证明：当

时，；

（Ⅲ）若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.解：（I）

（i）若单调增加.（ii）若

且当

所以单调增加，在单调减少.………………4分

（II）设函数则

当.故当，………………8分

（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得

从而

由（I）知，………………12分

【例7】（2013湖南文）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：当

时，.解:

(Ⅰ)

.所以,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x)

f(-x)即可...【例8】（2016新课标I）已知函数有两个零点.(I)求的取值范围；

(II)设是的两个零点，证明：

解：（Ⅰ）．

（i）设,则,只有一个零点．

（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．

又，取满足且,则,故存在两个零点．

（iii）设,由得或．

若,则,故当时，因此在上单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

综上,的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知，在上单调递减,所以等价于,即．

由于,而,所以

．

设,则．

所以当时，而,故当时,．

从而,故．

【例9】已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；

（2）若有两个零点，证明：

【例10】设函数．

（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：．

【例11】设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．

（1）求的取值范围；

（2）证明：（为函数的导函数）

【例12】已知函数，（1）若，求证：函数有极值；

（2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证：

【例13】已知函数，求证：有唯一零点的充要条件a=e

【例14】函数的图像与x

轴交于不同的两点、，求证：

【例15】已知函数

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）当

时，函数的图像与x

轴交于不同的两点、，且，又

是的导函数。若正常数α、β满足条件。证明：

导数专题十一、构造函数解决导数问题

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(5)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(6)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(7)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(8)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(9)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(10)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数；

时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(11)

当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；

有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

要使，必须，即.所以

.当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以

当时，.所以

.所以

在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为

在内是减函数，在内是增函数，所以

.综上所述，的取值范围是.因为，所以

.特值探究

令.则.不等式放缩：

因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以

.因为,所以，.所以

.【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）

已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线

解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以

存在唯一的，使得.当时，.所以

曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元

【知识结构】

【知识点】

用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】

考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)

（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或

当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:

+

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

要使有三个零点,故需,即,解得

所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数

（1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为

（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立

1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值

令，有

所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值

由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点

即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0

因此恒大于0，所以舍去

2、当时，解得，1

0

+

0

减

极小值

增

极大值

减

易知，而当时，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得，1

0

+

减

极小值

增

当时，所以若只有一个零点，必须有

即，综上所述，的取值范围为和

【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．

（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．

【答案】函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则

11届高三作文辅导讲义 篇6

流经心灵的永恒 65

孟子曰：“数罟不入洿池，鱼鳖不可胜食也。”同样丹麦人把钓起的不够尺寸的小鱼放回河里，实则是给小鱼更多时间来生长，彼时收获的才会更多。

而今，随着都市人的脚步越来越快，“等待”似乎已被现代人从大脑中删除，越来越快的生活压得我们喘不过气，越来越快的改变让我们目不暇接。但往往我们看到是那些并不成熟的思潮在涌动，铺天盖地的快餐文化早已没有了其营养。

我们不需要等待吗？显然不是！

更多的文化思想需要时间的浸润。快捷的现代通讯让我们少了“为客当在无雁处，故国难道有书来”的焦急等待，冷冷冰冰的键盘代替了拥有独特个性的手写字体。但我们失去的恰恰是家书传载的文化之厚、温情之重。还记得傅雷在家书中教导傅聪：“永远保持赤子之心，到你老也不会落伍，永远能够与普天下的赤子之心相接、相契、相抱。”这让一个严父的爱变得细腻，让一种精神的力量变得深沉。这怎是如今爆炸了的短信、电子邮件可比？

引领新思想、新文化、新的发展方向的或许是一部或是几部著作，而更重要的乃是有着大智慧的大师。

更多的大师需

要时间的磨砺。可以说，学者成长到大师的道路是漫长而艰苦的。大师之大不是因为职位大、袍子大、帽子大，而是因为大智慧、大境界、大人生。学术积累需要时间的沉淀。季羡林耗废十年进行世界上最大规范的吐火罗文研究；陈寅恪在双目几近失明的状态下，十年如一日写出《柳如是别传》；曹雪芹更是穷其一生叙写大观园里的《红楼梦》。而相比之下余秋雨的一本《文化苦旅》竟有上百余处错误，这不禁让我们反思，我们还有这些大儒们享受寂寞，默默等待，专于学术的劲头吗？

反观如今的文化产业，“复制能力强大，思考能力低下”已成常态。这是我们这一代不会思考吗？虽然不是！我们过于急切地想把新点子转化为实实在在的金钱物质，这就让我们看到令人咋舌的出书速度，一年一本，更有甚者一年几本！同样歌手的专辑、导演的电影都是如此。这些文化作品犹如压缩饼干，将精神的水分挤出，卡路里虽已足够，但滋味却没有了。

等待也是种智慧，待小鱼长到大鱼，收获亦可颇丰。过早的展露头脚并非好事，何不让生命的宽度更加宽广后，再来横向地展示其博大精深。

等待后的果实可凝成流经心灵的永恒，幻化出一种明亮而不刺眼的光辉，引领我们达到一种无需伸张的厚实和一种并不陡峭的高度。