二面角简单练习题（共11篇）
二面角简单练习题 篇1
立体几何二面角求法练习题
1、正方形ABCD-A1B1C1D1中二面角B-A1C-A的大小为____
2、将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠使A、C的距离等于BD则二面
角A-BD-C的余弦值是__
3、正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1
8BD1与侧面B1BCC所成的为30°则二面角C1—BD1—B1的大小为______
4、从点P出发引三条射线PA、PB、PC每两条的夹角都是60°则二面角B-PA-C的余弦值是______
5、二面角α-l-β的平面角为120°A、B
∈lACαBDβAC⊥lBD⊥l若AB=AC=BD=1则CD的长______
6、ABCD为菱形∠DAB60°PD⊥面ABCD且PDAD则面PAB与面
PCD所成的锐二面角的大小为______。
7、空间三条射线CA、CP、CB
∠PCA=∠PCB=600ACB=900 ∠求
二面角简单练习题 篇2
求二面角的常用方法有：
(1)定义法：作棱的垂线：从棱上一点分别在两个平面内作棱的垂线，所成夹角即为二面角的平面角。
(2)利用三垂线定理或逆定理：“两垂线一连结”。
(3) 面积射影公式:
(4)向量法：建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量n1和n2，则n1和n2的夹角或其补角即为二面角的大小。
教师怎样才能让学生掌握上面的几种方法?我发现在《成材之路》第76页有这样一题：如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, ，求SC与平面ABCD所成的角。
我把此题改编为：求面SBC和面SAB所成的二面角。
此题为无棱二面角，首先找棱。
我提示：要找棱，只要再找到棱上的另一点而延伸平面，实际是延伸平面内的直线。那么延伸两平面内的哪两条直线才合适?
通过同学之间的交流，学生很容易就得到图1。
紧接着我提示：大家回忆一下，找二面角的平面角通常有哪些方法?
学生通过互相交流，马上说出前文所述的四种方法，然后我说：“我们分四个小组打一个擂台赛，看哪一组做得又快又准。”学生的积极性马上被调动起来。“投影法”这一小组的学生最先完成，其次“向量法”小组，再次“三垂线”小组，最后是“定义法”小组(在我的提示下完成)。
四组学生使用不同方法用的时间长短不同。我总结如下：此题四种常用方法都适用，所以此题不失为求二面角的一道典型题。对此题我总结如下：
一、用投影法做此题，大家要注意，做题的时候一定要对公式进行说明。
二、向量法是我们必须掌握的方法，建系设点是我们新教材中解决立体几何难点的重要手法，向量是工具，它能把几何问题转化为代数计算问题，所以我们必须掌握利用向量法解决几何问题。
三、三垂线法是我们解决立体几何的几何方法，它主要考查的是三垂线定理、逆定理的应用，也是求二面角的一种重要手段，同时考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力。
四、定义法也是常用的方法，但是要注意：当题中给的数据比较多时，我们不妨从小处着眼，看看图形中边长数据之间的关系，观察它们的特点，进而直接在图形当中找到二面角。此题做得最慢的一组学生为什么没有做出来，关键是如图2，图中的∠SBC本身是直角，但很多学生证不出来，并且图中∠CSB就是面SCD和面SAB的二面角，我们只需通过边的数据，证明即可。但是很多学生都在二面角的棱上找一个点去作二面角的平面角，这样就使简单问题复杂化了。
“简单机械”易错题练习 篇3
A.省力杠杆.省力杠杆
B.省力杠杆.费力杠杆
C.费力杠杆.费力杠杆
D.费力杠杆.省力杠杆
2.如图2所示的生活用具，在使用中属于费力杠杆的是（）.
3.如图3所示的滑轮组.每个滑轮重为20N绳重及摩擦不计.用它匀速提升重为100N自物体，所用的拉力F是（）.
A.50N
B.60N
C.70N
D.40N
4.把质量相等的A、B两物体挂在图4所示的滑轮组下面，不计绳子、滑轮所受的重力和摩擦，放手后（）.
A.A 上升
B.A下降
C.A、B均静止
D.无法判断
5.下列关于简单机械的说法中正确的是（）.
A.使用杠杆，就是为了省力
B.吃饭时.筷子是个省力杠杆
C.使用定滑轮不省力，但可以省距离
D.用滑轮组竖直吊起货物的机械效率与动滑轮的重有关
6.如图5所示，用甲、乙两种装置分别将重1N的物体匀速提升相同的高度.滑轮重0.2N，不计摩擦和绳重，所用的拉力分别是F甲和F乙，机械效率分别是n甲和n乙，则（）.
A.F甲>F乙
B.F甲=F乙
C.n甲>n乙
D.n甲 7.如图6所示.在20N的水平拉力F乍用下.重200N的物体沿水平地面向左做匀速直线运动.物体与地面间的滑动摩擦力为48N，则滑轮组的机械效率为____. 8.同学们使用文具盒里的学习用品时，往往利用了杠杆原理.例如：打开文具盒，将盒盖上翻过程中，文具盒的盒盖相当于______（填“省力”“费力”或“等臂”）杠杆. 复习：一辆汽车9：10从无锡开往安徽，下午2：00到达，途中运行了几小时? 例：如果这辆汽车20：00从无锡出发开往北京，要在第二天10：00到达，这辆车在途中共运行几小时? 练习：1、小星晚上8时睡觉，第二天早上6时起床。她一共睡了几小时? 2、一封信昨天17：00从邮箱取出，到今天7：00到达目的`地，这封信经过了多少小时到达目的地? 3、一列火车晚上8时从上海开出，第二天下午5时到达北京，路上行了几小时? 例：10月1日长假，小明出去游玩，10月5日下午3时出发，到10月7日晚上8时回家，请同学们算一算，小明在外面多少小时? 练习：1、叔叔晚上11时上班，第二天早上7时下班，他工作了多少小时? 2、一艘轮船从晚上10时起航，到第二天下午3时到港，共航行了几个小时? 3、小刚和妈妈去旅游，10月1日晚上7：00出发，10月4日下午3：00到家，他们共在外多长时间? 及练习题 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 １．８．１找规律（最简单的图形变化规律） 课型 新授课 学校 使用教师： 时间 教学内容： 教材第88~89页例 1、例 2、例3及练习十六的第1、2题。 教学目标： .在生动、活泼的情景中找出直观事物的变化规律。 2.培养初步的观察、概括和推理能力，提高合作交流的意识。 3.感受到数学就在身边，对数学产生亲切感。 重点、难点： .理解“有规律的排列”。 2.发现图形简单的排列规律。 教学准备： 教师准备：黄花6朵、红花3朵、教学挂图、有规律的图片。 学生准备：图形卡片。 教学过程 一、游戏导入，揭示课题 .猜花游戏。 师：我知道小朋友都喜欢玩游戏，现在我们一起做个游戏好不好？ 生：好。 师：今天老师带来一个花盒，盒子里有很多很多花，你们想不想知道它们是什么颜色的？ 师：好！请看（师抽出一朵黄花）什么颜色的？ 生：黄色。 师：老师再抽出一朵花，是什么颜色的？ 生：黄色。 师：这一朵呢？什么颜色？ 生：红色。 师：猜一猜，老师抽出的下一朵花是什么颜色的？ 生可能说是红色，也可能说是黄色。 师：下一朵呢？ 生猜，师抽花验证学生的猜想：依次抽出黄色、红色。 师：老师现在让小朋友们一起猜一猜后面两朵是什么颜色的？你怎么想到是黄色的呢？（生说理由） 师：猜一猜最后一朵是什么颜色的？（红色） 2.（把花展示到黑板上）揭示课题。 师：刚才在猜的时候，老师发现，一开始有小朋友猜错了，可是后来小朋友们越 猜越准，我想你们一定有什么窍门，能告诉我吗？ 生：它们是两朵黄一朵红，两朵黄一朵红，再两朵黄一朵红的，（生边说师边画虚线隔开。） 师：你说的真棒，其他小朋友们也都是这样想的吗？（是）像这样两朵黄一朵红，两朵黄一朵红排列的就叫有规律地排列（边说边板书规律），请小朋友和我一起读一遍。 二、感知规律，认识简单的规律 .师：生活中，像这样的规律啊，有很多，你们想找出它们的规律吗？今天我们就来学习找规律（板书：找），请小朋友们一起看黑板。（出示教学挂图：联欢图） 师：瞧，一群小朋友们正在联欢呢？请你们仔细观察，画面里哪些地方排列是有规律的？找到后在小组内说一说，看谁找的多？ （1）四人小组讨论联欢会上的规律。 （2）学生汇报： 2.（指导看彩旗图）师：我们先来找一找彩旗的规律。 （彩旗按红、黄交替出现，最后一面没有颜色）师：猜一猜，这面旗会是什么颜色？ 生1：黄色的。 生2：我猜也是黄色的。 师：你们是怎么想的？ 生：因为小旗都是按照红色、黄色这样的顺序一直摆下去的，所以红旗的后面是黄旗。 3.（指导看彩花图和灯笼图）师：彩旗的规律我们已经找到了，那么彩花的排列和灯笼的摆放又有什么规律呢？下一朵花和下一个灯笼会是什么颜色？把你发现的小秘密小声的告诉同桌。 学生思考、交流。 师：谁愿意把你的发现向全班宣布？ 生：彩花是按绿花、红花这样的顺序一直排下去的，所以下一朵花是红色的。 生：灯笼是按照紫、金黄，紫、金黄这样的顺序一直排下去的，所以下一个灯笼是紫色。 师：小朋友们真棒，会场布置的规律我们找到了，那跳舞的小朋友又是按怎样的规律站的呢？（指导看小朋友队伍的图）最后一个小朋友是男生还是女生？ 生：跳舞的小朋友是按一女一男的规律站的。所以最后一个小朋友是女生。 4.明确“一组”的概念。 师：刚才我们已经找出了彩旗、灯笼、小花和小朋友队伍的规律，（指彩旗、灯笼、小花、小朋友的总图）像灯笼这样一黄一紫、彩旗一红一黄、小花一绿一红和小朋友们队伍里的一男一女，以及我们黑板上的两朵黄花、一朵红花，我们都把他们叫做一组。（板书：一组）当我们找图形排列的时候，只要找到一组是什么，再看一看是不是按照一组一组重复地排列（板书：重复），如果是我们就说它是有规律的排列。 5.小练习。师：小朋友们真厉害，联难会上的规律被你们找出来了，那老师这里有几题，你们还想找吗？（想）看谁有火眼金睛，能够很快找出来。 练习十六的第1题。 三、动手操作，巩固发展 .摆规律。师：你们想不想摆一摆？下面小朋友们拿出学具摆一摆，看谁摆的又快又有规律？ 生摆学具，教师巡视，把摆的比较好的让学生贴在带有双面胶的纸上。 学生汇报。 师：老师想用你们的作品给大家提个问题可以吗？ 生：可以。 师：按照这个小朋友摆的规律，下一个学具会是什么呢？ 生答。 师：这是我们从左往右看的，如果我们从右往左看，下一个学具又是什么呢？ （学生自己动脑思考并回答） 2.涂规律。 师：小朋友们的小手真是太灵巧了，那你们的小手还以干什么呢，老师又给小朋友 出了一个难题，请小朋友拿出水彩笔，按规律涂颜色，比一比谁涂得最漂亮？（89页做一做） 学生动手涂色。 师：谁愿意上来展示你的作品？（指名学生上台展示、评议） 师：他涂得对吗？你们也是这样涂的吗？谁来说说第一题的规律？ 师：小朋友看第三题，这一题，除了按颜色找到规律，还可以按什么找到规律？ 生：按形状。都是一个圆、一个三角形、一个正方形这样的顺序排列的。 3.动手做一做，用不同的方法表示规律。 （1）师：小朋友们真是太棒了，不仅会找规律，还会摆出规律，画出规律，用掌声鼓励自己。 师：唉！小朋友，你们能把掌声拍得有规律吗？ 教师示范：× × ××× × × ××× 教师拍学生继续往下拍 （2）师：老师再做一组规律，你们能接着往下做吗？（教师做：拍一下手，再拍两下肩） 师：谁来接着往下做，一起接一次。 （3）师：你能想出一组规律来演一演吗？这样吧，小组四个人先商量一下吧。 生商量，表演，只有声音或动作均可。 四、联系生活，寻找规律 .师：规律在我们的生活真的是无处不在，有规律的事物常常给人一种美的感觉，想一想，我们的生活中哪些事物是有规律的呢？ 生：教室课桌椅的摆放、地板、天花板、衣服、一年四季、每个星期等等。 师：老师也收集了一些有规律的图片，一起看看吧。（出示一些有规律的图片） （1）这幅图上哪里有规律？ （2）这幅图上有什么规律吗？斑马线有什么作用？ （3）红绿灯也有规律，小朋友们想一想，红灯亮时怎么办？绿灯亮时呢？黄灯亮呢？ 渗透德育：穿过马路要走人行横道，要遵守交通规则，注意交通安全。 五、实践操作，创造规律 师：你们看，聪明的设计师都习惯运用规律来装饰我们周围的环境，你们想当设计师吗？现在请小朋友们当一个小小的设计师，我们比一比谁设计的最好看？ 生动手操作。教师巡视，选出前5名放到投影仪下面。 师：画好的小朋友请坐好，认真观察其他小朋友的作品，看看他们画得有规律吗？ 师：小朋友们来当小老师，一起评一评大家的作品。我们一起来看看好吗？这一幅是哪个小朋友的，这个小朋友给大家介绍一下，你是按什么规律画的呢？生介绍。 师：因为时间关系，其他小朋友的作品课下我们再交流好吗？ 六、课堂小结：、通过这节课的学习，你学会了什么？ 2、师总结：小朋友们这节课表现的真棒，希望你们长大以后能创造出更多更美的规律来装点我们美好的生活！” 板书设计： 找规律 黄花、黄花、红花 黄花、黄花、红花 黄花、黄花、红花 一组 重复 作业设计： 基础： □ 涂色比赛。 师：同学们的都有一双聪慧的眼睛，老师还想考考你的小手，敢不敢接受老师的挑战？（敢）下面我们就来比一比看谁能很快找到规律，涂一涂。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 综合： 2.接着摆。 △○□☆ △○□☆ 师：根据老师所摆图形的排列规律接着摆出三组吗？ 拓展提升： 3.小小设计师。 让同学运用图形的规律画一幅自己喜欢的画送给喜欢的人？ （1）先思考，可以画中间，也可画边框。 （2）学生动笔设计画画。 （3）交流汇报。 一、选择题（只有1个正确答案） 1．通过初中和高中有机化合物的学习，你认为下列有关有机化合物的说法中正确的是（） A．凡是含有碳元素的化合物都是有机化合物 B．所有的有机化合物均难溶解于水 C．易溶解于汽油、苯、四氯化碳的物质就是有机化合物 D．有机物组成元素较少，而有机物的种类繁多，其原因之一就是具有同分异构体现 象 2．下列混和气体中主要成分不是甲烷的是（） A．液化石油气B．沼气C．天然气D．瓦斯 3．下列关于甲烷性质叙述中不正确的是（） A．甲烷是一种无色无味的气体 C．甲烷极难溶解于水B．甲烷的密度比空气的密度小 D．甲烷性质稳定，不和其它物质反应 4．常温下，下列物质的状态是气体的是（） A．CH3ClB．CH2Cl2C．CHCl3D．CCl 45．乙烷是一种重要的烷烃，通常用CH3CH3来表示，这种表示法是其（） A．电子式B．结构式C．结构简式D．实验式 6．C4H10是一种烷烃，其名称是（） A．四烷B．丁烷C．十烷D．癸烷 二、选择题（有1—2个答案） 7．近年来，部分大城市的公交车辆开始采用天然气燃料，采取这种测试的目的是（） A．未雨绸缪，防止石油短缺 C．燃烧充分，减少大气污染B．开渠节源，降低运营成本 D．燃烧值高，加大运输动力 8．甲烷分子的结构式是，下列关于其结构叙述中正确的是（） A．甲烷分子是正方形结构B．甲烷分子正四面体结构 C．甲烷分子的四个键完全相同D．甲烷分子的四个键完全不相同 9．同分异构体现象是有机化学中的一种普遍现象，下列有关同分异构体叙述中正确的是（） A．分子式相同而结构式不同的化合物互称同分异构体B．组成成分相同而结构式不同的物质互称同分异构体 C．互为同分异构体的物质性质相同 D．互为同分异构体的物质性质相异 10．下列物质属于同系物的一组是 A．CH4与C2H4B．与 CH3－CH2－CH2－CH 3C．C2H6与C3H8D． O2与O3 11．在一定条件下，下列物质可与甲烷发生化学反应的是（） A．氯气A．C97H200体积是A．11.2LA．CH 4B．溴水B．C98H200（）B．22.4LB．C3H8 C．33.6LC．C5H1 2D．44.8LD．C7H16 C．氧气C．C99H200 D．高锰酸钾溶液 D．C100H200 12．某烷烃含有200个氢原子，那么该烃的分子式是（） 13．在标准状况下将11.2L甲烷和22.4L的氧气混和后点燃，恢复到原来的状态，气体的（） 14．下列烷烃的分子式表示的不是纯净物的是（）15．将1molCH4与氯气发生取代反应，待反应完全后，测定四种有机物的物质的量相等，则产生HCl的物质的量是（）A．0.5molB．2 molC．2.5 molD．4mol 16．将一定量的甲烷燃烧后得到CO、CO2和水蒸气，混和气体的质量是49.6g，通过无水 氯化钙时，无水氯化钙增重25.2g，则CO2的质量是（）A．12.5gB．13.2gC．19.7gD． 24.4g 三、填空题 17．同学们已经学习了同位素、同系物、同素异形体、同分异构体，你能区别这些概念吗？ 下面列出了几组物质，请将物质的合适组号填写在下表中。 ①和； ② 和 ； ③CH4和 CH3CH2CH3；④金刚石与石墨；⑤氕、氘与氚；⑥16O、O和18O；⑦乙醇（CH3CH2OH） 和甲醚（CH3OCH3）；⑧氧气（O2）与臭氧（O3）。 18．如图所示，U型管的左端被水和胶塞封闭有甲烷和氯气（体积比为1：4）的混和气体，假定氯气在水中溶解度可以忽略。将封闭有甲烷和 氯气的混和气体的装置放置在有光亮的地方，让混和气体缓慢 的反应一段时间。（1）假设甲烷与氯气反应充分，且只产生一种有机物，请写 出化学方程式。（2）经过几个小时的反应后，U型管右端的玻璃管中水柱 变化是。A．升高 B．降低 C．不变 D．无法确定 （3）U型管左端的气柱变化是。A．体积增大 B．体积减小 C．消失 D．不变 （4）试解释U型管右端的玻璃管中水柱变化的原因。19．新华社郑州2004年10月21日电：20日22时10分，郑煤集团大平煤矿井下采煤面 瓦斯突出，发生爆炸，当场造成56人死亡，92人生死不明。截至记者发稿时，经过全力搜救，目前又发现4名遇难矿工遗体，死亡人数增加至60人。其中，55人系窒息死亡。目前，尚有88名矿工下落不明。根据以上信息回答下列问题： （1）写出瓦斯爆炸的化学方程式。（2）可燃性气体的爆炸都有一个爆炸极限，所谓爆炸极限是指可燃气体（或蒸汽或粉尘等）与空气混合后，遇火产生爆炸的最高或最低浓度（通常以体积百分数表示）。下表是甲烷在空气和纯氧气中的爆炸极限。 下面是瓦斯和空气组成的混和气体中瓦斯的体积含量，从是否能够爆炸方面考虑，请判断哪些是不安全的。A．3％ B．10％ C．30％ D．60％ （3）请分析人为什么在瓦斯爆炸的矿中会窒息死亡：。 （4）由矿井中的瓦斯爆炸，根据你的化学实验经验，你可以得出什么启示？（提示：对可燃性气体的加热、点燃操作应该注意的问题） 。20．燃烧法是测定有机化合物化学式的一种重要方法。 现在完全燃烧0.1mol某烃，燃烧产物依次通过右图所示的 装置，实验结束后，称得甲装置增重10.8g，乙装置增重 11.2g。求该烃的化学式，并写出其所有的结构简式。 《最简单的有机化合物——甲烷》 同步练习参考答案一、二、选择题 三、填空题 1718．（1） ；（2）B；（3）BC（注意：体积消失是体积减小的极限）（4）由上述化学方程式可知，此反应中气体的物质的量减少，且生成的HCl能够溶解于水，所以左侧压强减小至零，故右侧玻璃管中的水柱降低，左侧气柱消失。19．（1） ；（2）B；（3）从上述瓦斯爆炸的化学方程式可以看 出这是一个耗氧性的反应，爆炸时耗尽了矿井的几乎所有的氧气，所以人在其中会窒 息死亡；（4）可燃性气体的加热、点燃操作前必须进行验纯操作。20．解：设该烃的化学式为CnHm，右图装置甲是利用浓硫酸的吸水性吸收该有机化合物燃 烧所产生的水，浓碱液吸收二氧化碳，所以甲、乙装置增加的质量就是该有机化合物燃烧所产生的水和二氧化碳的质量。 1nm/2 －－ 0.1mol11.2L/22.4L·mol110.8g/18g·mol1 解得：n＝5，m＝12 所以该有机化合物的化学式是C5H12。 一、定义法 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分別引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。 例1．在3/л的二面角。α—α—β的两个面内，分别有A和B两点。已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB=1O，试求： (1)直线AB与棱α所构成的角的正弦值。 (2)直线AB与平面α所构成的角的正弦值。 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是3/л出角在哪儿。如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半。根据题意，在平面声内作AD⊥a；在平面a内作BE⊥a，CD∥BE且CD=BE，连结BC、AC。可以证明CD⊥a，则由二面角的平面角的定义，可知∠ADC为二面角α－α－β的平面角。 二、三垂线定理法 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 例2．如图，在平面β内有一条直线AC与平面α成3/л，AC与棱BD成3/л，求平面α与平邴的二面角的大小。 分析：找二面角的平面角，可过丑作AF⊥BD；AE⊥平面α，连结FE。由三垂线定理可证BD⊥EF，则∠AFE为二面角的平面角。 169解：如图所示，先求双曲线斜率为1的弦的中点轨迹，设双曲线斜率为1的弦为AB，且设A（x1,y1）、B(x2,y2)，AB中点M（x,y），则： x=x1x2yy2,y1且有 222222x1yxy11,221 169169以上两式相减，得 9(x1-x2)(x1+x2)-16(y1-y2)(y1+y2)=0 即9(x1-x2)x-16(y1-y2)y=0 ∵x1-x2=y1-y2 ∴9x-16y=0为所求中点所在的直线 x2y21671由16,解得x=± 979x16y0∴轨迹方程为9x-16y=0(x＜－再求a的范围. 上述轨迹与双曲线的交点. 167167或x＞) 77E（1679716797，），F（－，－）7777∵直线ax+y+2=0恒过点D（0，-2）且斜率为-a, 得kDE=927927,kDF= 1616167167或x＞＝的轨迹有公共点，77由图知，已知直线要与方程为9x-16y=0（x＜-则须 kDF＜-a＜99或＜-a＜kDE 1616∴-99279927＜a＜或-＜a＜-1616161699279927,-)∪(-,) 16161616—411— 即a∈(- 关键词：二面角；平面角；定义法；垂面法；三垂线法；面积射影法；法向量法 二面角是立体几何中的重要内容，是高考考查的重点，同时也是学生学习的难点，为此，笔者结合一些高考题来分析、总结解这一类问题的方法. 求解二面角问题的方法，笔者概括为“找”“作”“造”. “找”——看所给立体几何图形中有无二面角的平面角 “找”的依据是二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角所在的平面垂直于棱. 例1（2008北京）如图1，在三棱锥P－ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （1）求证：PC⊥AB； （2）求二面角B－AP－C的大小； （3）（理）求点C到平面APB的距离. 图1 解析（1）如图2，取AB的中点D，连结PD，CD. 因为AP=BP，所以PD⊥AB. 因为AC=BC，所以CD⊥AB. 因为PD∩CD=D， 所以AB⊥平面PCD. 因为PC?奂平面PCD，所以PC⊥AB. 图2 （2）因为AC=BC，AP=BP，PC=PC， 所以△APC≌△BPC. 又PC⊥AC，所以PC⊥BC. 又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，所以BC⊥平面PAC. 图3 如图3，取AP的中点E，连结BE，CE， 因为AB=BP，所以BE⊥AP. 因为EC是BE在平面PAC内的射影，所以CE⊥AP. 所以∠BEC是二面角B－AP－C的平面角. 在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=AB=，所以sin∠BEC==. 所以二面角B－AP－C的大小为arcsin. （3）略. “作”——在立体几何图形中作出有关二面角的平面角 “作”一般有下列三种方法： 1. 定义法 定义法是指二面角的棱上任意一点在两个半平面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角. 它适用于具有某种对称性的题目. 例2（2008湖南文）如图4，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=. （1）证明：平面PBE⊥平面PAB； （2）求二面角A－BE－P的大小. 解析（1）如图5，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点， 所以BE⊥CD. 又AB∥CD， 所以BE⊥AB. 图5 又因为PA⊥底面ABCD，BE?奂平面ABCD， 所以PA⊥BE. 而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB. 又BE?奂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB. （2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?奂平面PAB，所以PB⊥BE. 又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角. 在Rt△PAB中，tan∠PBA==，所以∠PBA=60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°. 2. 垂面法 垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截二面角的两个平面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出平面角的一种方法. 例3 （2008全国Ⅰ）如图6，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC. 图6 （1）证明：AD⊥CE； （2）（理）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的大小. 解析（1）略. （2）因为侧面ABC⊥面BCDE，且BE⊥BC，所以BE⊥面ABC. 所以面ABC⊥面ABE. 如图7，作CM⊥AB于M，连结EM，则CM⊥面ABE. 因此∠CEM=45°. 而CE=，因此CM=CE=，sin∠CBA=，∠CBA=60°. 所以△ABC为等边三角形. 图7 作CH⊥AD于H，连结EH， 因为AD⊥CE，CH⊥AD， 所以AD⊥面CHE. 所以AD⊥EH. 又CD⊥AC， 所以AD=， CH=2×=， DH=×=， EH=. cos∠CHE==－. 所以二面角C－AD－E的大小为arccos－. 3. 三垂线法 三垂线法是指通过二面角的一个半平面内某点P向另一个半平面作垂线（一般方法是利用面面垂直的性质定理），垂足为O，再过O向棱作垂线，垂足为O1，则∠OO1P即为所求二面角的平面角（钝二面角是其补角）. 例4（2008天津）如图8，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°. （1）证明：AD⊥平面PAB； （2）求异面直线PC与AD所成交角的大小； （3）求二面角P－BD－A的大小. 解析（1）（2）略. 图9 （3）如图9，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. 因为AD⊥平面PAB， PH?奂平面PAB， 所以AD⊥PH. 又AD∩AB=A， 因而PH⊥平面ABCD. 故HE为PE在平面ABCD内的射影. 由三垂线定理可知，BD⊥PE， 从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角. 由题设可知， PH=PA•sin60°=， AH=PA•cos60°=1， BH=AB－AH=2， BD==， HE=•BH==. 于是在Rt△PHE中， tan∠PEH==. 所以二面角P－BD－A的大小为arctan. “造”——构造“射影”或构造“向量”求解 1. 面积射影法 所谓面积射影法，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=来计算二面角的一种方法（其中θ为二面角）. 利用这种方法，可以有效地解决二面角问题中的无棱及虽有棱但二面角的平面角不好表示的题目. 例5（2008天津）题目如同例4，在这里只说明第（3）问. 解析（3）过点P作PH⊥AB于点H， 过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. 因为AD⊥平面PAB， PH?奂平面PAB， 所以AD⊥PH. 又AD∩AB=A， 因而PH⊥平面ABCD. 故HE为PE在平面ABCD内的射影. 由三垂线定理可知，BD⊥PE. 从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角. 图10 由题设可知，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB－AH=2， BD==， HE=•BH==. 所以PE==， S△PBD=BD•PE=. 又AH=1，BH=2，AD=2， 所以S△HBD=S△ABD－S△AHD=（6－2）=2. 所以cosθ====，即二面角P－BD－A的大小为arccos. 上述方法虽然成功地对一些无棱问题进行了解答，但它也受一定条件的限制，即题目中必须有一个三角形是另一个三角形在某一个平面内的射影，若这个条件不存在，我们就得考虑用另外的方法，即法向量法. 2. 法向量法 法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角平面角相等或互补的关系求二面角的一种方法. 利用法向量求二面角时，两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”便成为难点和关键. 在这里，笔者依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法，运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简捷、有效的方法. 在利用法向量求二面角时，两半平面法向量的夹角与二面角的大小只有两种情况，而按其法向量分类应有下列四种情况： 如上四图，设二面角α－l－β的大小为θ，a，b分别为α，β的任一法向量，其夹角为〈a，b〉，图12、13中有θ=〈a，b〉，图11、14中θ=π－〈a，b〉. 如何判断θ与〈a，b〉是“相等”还是“互补”呢？笔者运用类比联想，就能否找到一特殊向量来检验，发现了如下结论： 任取A∈α，B∈β，且A，B?埸l，分别根据向量的数量积•a，•b的符号判断θ与〈a，b〉的关系. 图11中有•a>0，•b<0， 两积异号，θ=π－〈a，b〉； 图12中有•a<0，•b<0，两积同号，θ=〈a，b〉； 图13中有•a>0，•b>0，两积同号，θ=〈a，b〉； 图14中有•a<0，•b>0，两积异号，θ=π－ 〈a，b〉； 称为检验向量. 则上述结论可概括为“同等异补”（若•a，•b同号，则θ=〈a，b〉；若异号，则θ=π－〈a，b〉），采用的策略是“法向量定值，特殊向量定角”． 注意（1）检验向量若取，则由=－可知上述结论成立，由此可知与检验向量的方向无关. （2）?埸l，否则有•a=0或•b=0． 例6（2008湖南文）题目如同例2，在这里只说明第（2）问. 图15 解析（2）如图15，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz． 则A（0，0，0）， B（1，0，0）， C，，0， D，，0， P（0，0，）， E1，，0. 所以=（1，0，－）， =0，，0. 设n1=（x1，y1，z1）是平面PBE的一个法向量， 则由n1•=0，n1•=0， 得x1+0×y1-×z1=0，0×x1+×y1+0×z1=0. 所以y1=0，x1=z1. 故可取n1=（，0，1）. 而平面ABE的一个法向量是n2=（0，0，1），设二面角A－BE－P的大小为θ， 因为cos〈n1，n2〉==， 所以〈n1，n2〉=60°. 取检验向量=，，，其中N为PE的中点，则 •n1=（，0，1）•，，=>0，•n2=，，•（0，0，1）=>0. 由本文上述结论知θ=〈n1，n2〉=60°. 例7（2007安徽）如图16，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2. （1）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； （2）求证：平面A1ACC1与平面B1BDD1垂直； （3）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）. 图16 解析（1）（2）略. （3）以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz（如图16）， 则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， A1（1，0，2），B1（1，1，2）， C1（0，1，2），D1（0，0，2）. =（－1，0，2）， =（－1，－1，2），=（0，－1，2）. 设n=（x1，y1，z1）为平面A1ABB1的法向量，则有 n•=－x1+2z1=0， n•=－x1－y1+2z1=0. 于是y1=0. 取z1=1， 则x1=2，n=（2，0，1）. 设m=（x2，y2，z2）为平面B1BCC1的法向量，则有 m•=－x2－y2+2z2=0， m•=－y2+2z2=0. 于是x2=0. 取z2=1， 则y2=2，m=（0，2，1）， cos〈m，n〉==. 所以二面角A－BB1－C的大小为π－arccos或arccos. 取检验向量=（－2，2，0）， 则•n=（－2，2，0）•（2，0，1）=－4<0，•m=（－2，2，0）•（0，2，1）=4>0. 由本文上述结论，有θ=π－〈n，m〉=π－arccos. 在此，笔者再介绍一种两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”的简捷、有效的方法. 定义：设平面α的法向量n在平面α的一侧，若向量n的终点到平面α的距离小于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量指向平面α（如图17）. 若向量n的终点到平面α的距离大于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量背离平面α（如图18）. 图17 图18 设两个平面的法向量在二面角α－l－β内，若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2指向（背离）平面β，则二面角α－l－β为π－θ（如图19）；若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2背离（指向）平面β，则二面角α－l－β为θ（如图20），因此，二面角α－l－β的平面角为法向量n1与法向量n2所成的角θ或π－θ. 则上述结论可概括为“同补异等”（若n1，n2对于α与β，同为指向或背离时，θ=π－〈n1，n2〉；若n1，n2中一个指向，另一个背离时，θ=〈n1，n2〉）. 我们以例6和例7为例说明： 在例6中，n1在二面角A－BE－P内，向量n1指向平面PBE，n2在二面角A－BE－P内，n2背离平面ABE，所以两个法向量的夹角〈n1，n2〉就是所求二面角的大小，即为60°. 在例7中，n在二面角A－BB1－C内指向平面ABA1B1，m在二面角A－BB1－C内指向平面BB1CC1， 所以二面角A－BB1－C的平面角是法向量夹角〈n，m〉的补角，即为π－arccos. 由上例可以看出，法向量求解二面角的思路还是比较独特的，用代数的方法解决了几何问题. 其中，直角坐标系的建立应该是基础，而判断两平面的法向量所成的角与二面角的平面角是“相等”还是“互补”则是难点和关键. 运用上述策略求解二面角时，一般可依次进行，即先“找”，看几何图形中有无二面角的平面角，若有，则“指证”→“算”，如例1；若“找”不到就“作”，若作出，则“作”→ “指证”→“算”，“作”不出或不易“作”出时，就“造”，构造“射影”或构造“向量”. 从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角. 总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐. （责任编辑 钟伟芳）endprint 本文主要探究一道关于立体几何的二面角题目的解法，这种题主要考查立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直等知识，同时考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.二面角是立体几何中的一个非常重要的数学概念，它具有综合性强、灵活性大的特点，所以求二面角的大小更是历年高考的热点，几乎在每年全国各省市的高考试题中，尤其在大题中，都有出现.虽然求二面角的方法很多，但以下主要介绍三种常用的方法：三垂线定理及逆定理法、向量法、射影面积法. 从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角. 总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐. （责任编辑 钟伟芳）endprint 本文主要探究一道关于立体几何的二面角题目的解法，这种题主要考查立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直等知识，同时考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.二面角是立体几何中的一个非常重要的数学概念，它具有综合性强、灵活性大的特点，所以求二面角的大小更是历年高考的热点，几乎在每年全国各省市的高考试题中，尤其在大题中，都有出现.虽然求二面角的方法很多，但以下主要介绍三种常用的方法：三垂线定理及逆定理法、向量法、射影面积法. 从上述例子可以看出，求立体几何的二面角，解法有多种且很灵活，通常需要学生平时多总结，并比较哪种方法更简捷，才能在考试时得心应手.一般而言，三垂线定理及逆定理法要求学生学会作辅助线，以及熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直、三垂线定理等知识.而利用向量法解决问题时，学生容易着手，但建立直角坐标系是学生的难点，需注意找两两相互垂直的三条直线.建系不同，点的坐标也就不同，所以写坐标时必须细心谨慎.而观察力较强的学生可采用射影面积法，尤其针对无棱二面角，它是解决这类问题的捷径，只需找出其中一个面的垂线，即可找到相对应的射影，然后用射影面积公式cosθ=S射影S原求出二面角. 总之，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，培养发散性思维.仔细观察题型的特点，一定会找到其丰富而简捷的解法，只有这样，我们的学习才会更轻松、更快乐. 试题如图1，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角B—AD—E的大小. 草稿先在草稿纸上重新画出题设示意图，然后按题意标出五条棱的已知长度2、2、1、1、2和两个直角记号（如图1），接着按实际比例和角度独立画出底面直角梯形BCDE（如图2）便于观察，可以在上述两图中依次补充标出BD=2、BC=2，这时就明白了DB⊥BC，这就捕捉住了解题的起笔灵感. 解在四棱锥的底面直角梯形BCDE中，两次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=（2-1）2+12=2，则BD2+BC2=4=CD2，则DB⊥BC（勾股定理的逆定理）.又因为平面ABC⊥平面BCDE，则BD⊥平面ABC（两平面垂直的性质定理），则BD⊥AC（线面垂直的定义）.又同理得BC⊥AC，则AC⊥平面BCDE（线面垂直的判定定理），进而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7，同理得AD⊥DE（以上表述是下面多种思路及解法的共同开头环节）. 思路一运用定义法 解法1如图3，先作BH⊥AD于H，再作HF⊥AD交AE于F，则∠BHF是二面角B—AD—E的平面角. 在Rt△ABD中，BH=2·26=23，AH=226=236=23AD.在△ADE中，已作HF⊥AD、已证DE⊥AD，则HF∥DE.又已求AHAD=23，则HF=23DE=23，AF=23AE=273. 在△ABE中，两次用余弦定理列方程 AF2+AB2-BF22·AF·AB=cos∠BAF=cos∠BAE=AE2+AB2-BE22·AE·AB，代入解得BF=23.在等腰△BHF中，BF=HF，则 cos∠BHF=BH2·FH=32，则∠BHF=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°. 解法2提示：已证AD⊥DE，再作DF1⊥AD交直线AB于F1，则∠EDF1是二面角B—AD—E的平面角.……. 评注用定义法求二面角的大小，首先要过二面角的棱上某点分别在两个半平面内作出或找到垂直于棱的线段而构成二面角的平面角，这牵引着后面的计算化归；虽然用定义法求二面角大小的演算较繁琐，但它却是后续解法的概念依托和计算基础. 思路二运用体积法 解法3设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图1已证AD⊥DE，则点E到平面ABD的距离为DE·sin θ. 由于VE—ABD=VA—BED，AC⊥平面BCDE，则13·SRt△ABD·（DE·sin θ）=13·SRt△BED·AC，即13·2·（1·sin θ）=13·12·2，则sin θ=12（θ为锐角）， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的平面角大小为30°. 解法4提示：设二面角B—AD—E的平面角为锐角θ，如图3作BH⊥AD于H，则点B到平面ADE的距离为BH·sin θ，…… 评注变换同一个三棱锥的相对底面与高，巧妙地运用方程思想，用体积法求二面角的大小，过程简洁、省时实用. 思路三运用向量法 解法5提示：适当建立空间直角坐标系后，通过解方程组求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2，则二面角B—AD—E的平面角θ适合公式 cos θ=±cos〈n1，n2〉=±n1·n2n1n2（酌情取正号或负号）.…… 解法6取直线DE、DC分别为x轴、y轴，建立如图4所示空间直角坐标系D—xyz，则点D（0，0，0）、E（1，0，0）、B（1，1，0）、A（0，2，2），则DE=（1，0，0）.作BH⊥AD于 H，则二面角B—AD—E的平面角等于向量DE与HB所成的角. 同解法1得AH=2AD3，则 DH=DA3， 则 H（0，23，23），则 HB=（1，13，-23）， 则 HB=23.因为cos〈DE，HB〉=DE·HBDE·HB=32，所以〈DE，HB〉=30°.即二面角B—AD—E的大小等于30°. 评注解法5是教科书介绍、大家熟知的向量法，计算两个（面）法向量的通法比较费时，最后确定二面角的大小还要鉴别是取〈n1，n2〉还是取180°-〈n1，n2〉，全程颇费周折；相比之下，解法6利用“线法向量”就易学易用，避繁就简！ 思路四运用垂直三折线公式图5解法7将解法1的图3提炼成图5，其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23，且DH⊥DE、DH⊥HB，则运用教科书的例题结论求得，二面角B—HD—E即就是原二面角B—AD—E的平面角θ，cos θ=HB2+DE2+DH2-BE22·HB·DE=43+1+23-12×23×1=32， 则 θ=30°.所以二面角B—AD—E的大小为30°. 评注为了读者们易记、活用，可将目前人教A版高中数学课标教科书选修2-1第32节的例2结论重新表述成——如果两条异面直线H1P1与H2P2的公垂线段是H1H2，那么二面角P1-H1H2-P2的平面角θ适合余弦公式 cos θ=H1P21+H2P22+H1H22-P1P222·H1P1·H2P2. 最后指出，引导学生平时自主摸索或阅读理解多种解题思路，养成探究、博览、应用的习惯，更有利于开发学生的数学潜能！ 【二面角简单练习题】推荐阅读： 二面面试问题07-07 简单节奏练习练习10-12 等比数列简单练习题06-26 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