数学哲学论文

数学哲学论文（共7篇）

数学哲学论文 篇1

从数学哲学到数学文化哲学 --数学认识的文化视野

数学文化哲学开辟了数学哲学研究的新视角,从根本上改变了传统数学哲学学科定位过于狭隘从而制约其发展的`不足,而且通过整合数学史、数学社会学等分支的文化和哲学内涵,极大地丰富了数学哲学研究.

作 者：董华 张俊青 DONG Hua ZHANG Jun-qing  作者单位：山西大学,科学技术哲学研究中心,山西,太原,030006 刊 名：自然辩证法研究  PKU CSSCI英文刊名：STUDIES IN DIALECTICS OF NATURE 年，卷(期)： 21(5) 分类号：N031 关键词：数学哲学   数学文化   数学文化哲学  

数学哲学论文 篇2

早期数学家与空间相关的研究称为几何,几何主要研究图形,尽管在物理学家看来那就意味着某种空间,但早期数学家不这么说。数学空间概念是在数学与物理关系的密切发展中相对于物理空间概念逐渐提出并成为数学家研究对象的。要谈数学空间,首先需要从物理空间开始。古希腊人是先有关于位置、地方、处所、虚空以及广延的空间经验,然后经过抽象形成空间概念。17世纪,空间概念开始受到重点研究,[1]139尤其在牛顿绝对空间观与笛卡尔坐标系概念的影响下,形成了具有背景特征和几何化特征的近代空间概念。背景特征指空间是所有物体存在和运动的背景,物体参照它确定自己的位置;几何化特征指空间是无限延伸、均匀各向同性的。[2]

近代空间观念(牛顿力学)的数学基础是欧几里得空间,它是第一个数学空间,不过其中并没有空间概念,只有图形。欧几里得甚至一直在回避或否定一个无限延伸且均匀各向同性的空间概念,这可以从他有关线、直线、面、平面的定义、平行公设以及图形相等的公理中看到。[2]克莱因指出这是因为欧几里得发现这些问题已经在他的前辈之间造成了无尽的争论;[3]201波克纳也曾指出,这是因为古希腊的几何太过僵化而无法真正应对空间问题,他认为真正的对数学空间的认识与研究是从笛卡尔坐标系的引进开始的[1]157。不过欧几里得空间的概念是19世纪非欧几何创立之后才开始确立的,[2]它是一个三维、平直、无限延伸、均匀各向同性、连通、紧致、具有距离关系且作为背景的数学空间。[4]

三维欧几里得空间是一种距离空间,其中两点的远近可以由距离的大小来判断;三维欧几里得空间在维数上进行推广就是n维欧几里得空间;只具有欧几里得空间平直性的空间是线性空间或向量空间;既具有欧几里得空间平直性,又具有范数(空间中每点或每个向量所具有的“长度”,称为范数)的空间是线性赋范空间;只反映点与点之间亲疏远近关系的空间是拓扑空间;函数也可以构成空间,如作为量子力学数学基础的希尔伯特空间。这些数学空间全部或部分地保持着欧几里得空间的性质。[4]

与欧几里得空间最为不同的是非欧几何形成的弯曲空间,虽然仅仅是一个平行公设的差别,但它们已然不具有欧几里得空间的平直性、无限延伸性。尽管如此,早期对它们的研究往往还需要在欧几里得空间的背景中展开;直到“曲面本身可以看成一个空间”[5]308思想的出现,对弯曲空间的研究才完全在曲面自身上实现,而不再需要记得它们还处在三维欧几里得空间的背景中。[6]弯曲空间虽然在整体上看与欧几里得空间不相同,但在局部上都可以看作是欧几里得空间。n维弯曲空间又称为n维流形,这就是作为爱因斯坦广义相对论数学基础的黎曼几何,这种几何也称为内蕴几何,相应的弯曲空间称为黎曼流形,流形概念扬弃了空间概念普遍具有的背景作用。[4]常常我们也将黎曼流形称作黎曼空间,不过这时候应该注意,与近代所形成的空间概念相比,这个空间的意义已经发生某些变化。之后所有的变化促使20世纪数学空间概念具有了超越物理空间的崭新意义:凡是具有某种结构的集合都可以称为空间。[7]280

20世纪,对流形的整体性质与局部性质之间关系的研究,形成了纤维丛,[8]纤维丛是规范场理论的数学基础;黎曼流形中有一类特殊流形是凯勒流形[9],凯勒流形中有一类特殊流形是卡-丘流形,也称为卡-丘空间,它是弦论的数学基础。

这些与物理史上重大理论相联系的数学空间,它们的发展具有某种哲学特征,这种哲学特征已经清楚地体现在这些物理理论的发展中,那就是本体、认识以及方法从分立到渐进融合,本文从这些数学空间历史形成的角度分析它们所体现的这种哲学特征。

二欧几里得空间中本体、认识与方法之间的分立关系

前边已经谈到,我们形成的有关欧几里得空间的认识,更多的是来源于牛顿力学的影响,而不是欧几里得。原因是欧几里得在他的几何著作《原本》中根本就没有讨论空间,只说图形。至于欧几里得为什么要研究这些图形,他自己没提,开篇就开始了严谨的数学论述。依据克莱因的研究,欧几里得研究这些图形的目的是为了将其用于天文学、光学和音乐方面。[3]165-166而在欧几里得之前,古希腊就已有40多位有史可查的学者,研究数学与天文学,形成了一定数量的系统排列的命题。[10]13-22

对此,欧几里得首先严密选择了131个定义,选择标准是这些定义必须是一望而知的,比如点是没有部分的那种东西;线是没有宽度的长度;一线的两端是点;直线是同其中各点看齐的线;面是只有长度和宽度的那种东西;面的边缘是线;平面是与其上直线看齐的那种面;平行直线是在同平面内的直线,向两个方向不论怎样延长,它们在哪个方向都不相交;图形是被一个边界或几个边界所围成的;体是有长、宽、高的那种东西。体的边界是面。球是固定一个半圆的直径,旋转半圆到开始位置所形成的图形;圆锥是固定直角三角形的一条直角边,旋转直角三角形到开始的位置所形成的图形;圆柱面是固定矩形的一边,绕此边旋转矩形到开始的位置所形成的图形;立方体是六个相等的正方形围成的立体图形;正八面体是八个全等的等边三角形所围成的立体图形;正二十面体是二十个全等的等边三角形所围成的立体图形等。[3]67-97这些定义确立了欧几里得空间的基本研究对象:点、线、面、体、数。

这些基本研究对象来源于人们对现实物质世界的感觉、认识和实践,对它们的定义要求一望而知,这是亚里士多德的经验主义的做法。虽然亚里士多德有理念论的老师柏拉图,但亚里士多德是个物理学家[3]173,他认为知识的来源是感觉经验,而不是纯理性[11]4。事实上这是要排除认识对研究对象的任何影响,也就是说,这些研究对象被作为认识之外的客体来定义,任何人一看都是这样,不会因人而异,不需要夹杂任何个人的认识与理解,即对这些研究对象的定义没有超出它们是客观存在这一简单论题[11]24。这实际上是一种数学本体实在论的立场,这种立场的观点是:至少某些数学对象客观地独立于数学家存在。[11]25由此来看,在欧几里得几何中认识与本体是分立的。

除了131个定义,欧几里得还选择一望便知其为真的5个公理和5个公设。5个公理是:等于同一个量的量彼此相等;等量加等量,其和仍相等;等量减等量,其差仍相等;彼此能重合的东西是相等的;整体大于部分。5个公设是:由任意一点到任意一点可作直线;一条有限直线可以继续延长;以任意点为中心和任意距离可作一圆;凡直角都相等;同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线无限延长后在这一侧相交。[12]对这5个公理和5个公设的选择要求是一望便知其为真,也是要排除认识对它们的任何影响,确保这些关于点、线、面、体的基本认识没有超出它们是客观存在这一论断。

如果这些一望而知的131个定义与一望便知其为真的5个公理和5个公设是客观的、独立于人的认识而存在的,那又如何获得关于它们的进一步的知识呢[11]27?对此的思考,经验主义与理性主义是一致的,即一旦相关的观念已获得,则对数学知识的追寻就不再需要任何进一步的经验。[11]72欧几里得以这些定义、公理、公设为出发点,通过推理论证以及借助直观图形的方法,逻辑整理了465个命题,形成蕴含三维欧几里得空间的著作《原本》(13卷)。[13]

其中,推理论证的原则是:后一个命题是先前已证明命题的逻辑结果,而先前已证明命题又是更先前已证明命题的逻辑结果,这样一直逆推上去,[14]最终起点就是一望便知其为真的5个公理和5个公设或者是一望而知的131个定义。只要不是公理和公设或者定义,无论直观上多么明显的命题,欧几里得都耐心地给予证明。[15]这样做的原因是,不仅这种方法不会对研究对象产生任何影响,研究对象对这种方法也不会有任何作用;另外也排除了认识对这种方法的任何影响,使得本体、方法与认识都是相互分立的。

另外,借助直观图形是指:(1)在一些命题中运用图形的特殊情况得出一般结论;(2)运用图形给出符合常理的论断;(3)图形只是作为分析依据,而不作为论证。其中感觉和经验判断起了很大作用[12],人们常常认为这些是欧几里得几何的不足之处,[16]但这也进一步保证了通过推理论证得出的知识没有超出它们是客观存在这一判断,即本体与认识是分立的。

正是欧几里得几何的这些定义、公理、公设及通过推理论证和借助直观图形的方法逻辑建立命题的方式,使得人们相信得到的命题不仅是对这些客观数学对象的真实描述,也是对现实世界中形与形之间客观存在着的关系的描述,所以从它问世后相当长的时间内,都被认为是最可靠的知识,[10]227并进一步被运用到天文学、光学和音乐的研究中。

如果使用不同的圈来描述欧几里得空间中本体、认识与方法的话,会形成图1:

其中,欧几里得空间中的本体是三维空间中的点、线、面、体、数,欧几里得主要通过采用以定义、公理、公设为起点,借助图形直观进行逻辑推理论证的方法,形成了对本体的认识,即所说的欧几里得几何。在这里,对点、线、面、体、数的定义要求一望而知,这使得本体与认识之间是一种分立关系,对本体的认识所采用的方法是以一望而知的定义和一望便知其为真的公理、公设为起点的借助图形直观的逻辑推理论证,这使得本体与方法、方法与认识之间也是一种分立关系。

三黎曼流形中本体、认识与方法之间的交融关系

在欧几里得几何中,欧几里得一直极力使用一望而知的定义、一望便知其为真的公理与公设以及借助直观图形进行逻辑推理论证,一般不涉及无限与无穷的概念和论证方法,实在需要的地方,正好有欧多克斯的穷竭法。这是为了避免争论,因为对无限问题的争论从毕达哥拉斯时代就开始了,主要讨论线段的无限分割和无穷小量,到了雅典时期已经达到了非常尖锐的程度,提出的问题越来越具体,各家的论点和学说都有某种论证的基础,各类见解都处在无法解决和统一的矛盾状态之中。[12]实际上无限与无穷这种研究对象之所以会引起争论,是因为它们不能够一望而知,而是要夹杂一定的认识在里面,不同的认识就会形成不同的知识,研究对象不再独立于认识客观存在,而是与认识有了一定交集。同时,无限与无穷也需要引进新的方法来研究,这种方法不仅与本体密不可分,与认识也无法区分,使得本体、认识与方法三者均产生交集。

但是欧几里得最终无法全面回避这个问题,因为很多问题会涉及无限。比如在平行线的定义中,欧几里得始终不肯提包含想象成分的无限二字,而是从有限说无限。再比如第5公设,据数学史家考证,这条公设是由欧几里得本人提出的;欧几里得的前辈们给出了《几何原本》中的大部分内容,为什么不提这个内容,还不得而知;而欧几里得之所以要提这个内容,可能是为了证明有关平行线的一些性质定理。[17]25-30

欧几里得显然清楚,他自己指定的第5公设隐含着无限,所以他迟迟不肯使用这个公设,直到万不得已,才在第29个命题使用了它。除了欧几里得本人,很多数学家从一开始也反对这个公设,不断尝试证明,[10]59直到18世纪高斯、波尔约和罗巴切夫斯基各自独立地用与之相矛盾的其他公设构造出非欧几何而告终。可以说第5公设在欧几里得空间的塑造中起决定作用,它是欧几里得几何与其他非欧几何的一条鲜明的分界线。[16]

在这条鲜明的分界线画出的过程中,欧几里得第5公设的陈述被平行性的判定等价替换,也就是我们熟知的过平面上直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。而对于非欧几何,则有两种情形:一种是过平面上直线外一点,有无数条直线与已知直线平行;另一种是过平面上直线外一点,没有一条直线与已知直线平行。这种平行性判定的等价替换,不仅简单明了,而且也明确揭示了欧几里得第5公设的本质。

黎曼几何就是一类非欧几何,其中过直线外一点,有无数条直线与已知直线平行。从第5公设的这个角度来说,从一开始无限就自然地、公开地存在于黎曼几何中,当然,本体、认识与方法会有交集。另外,就第5公设而言,非欧几何本身是构造性的,用罗巴切夫斯基的话说是“虚想的”[18]574,用波尔约的话说是“不能先验决定的”[18]587,所以,黎曼几何的本体、认识与方法也是无法区分的。

不过,历史上黎曼不是通过公设的方法,而是通过将高斯发展起来的曲率概念一般化后得到新的空间的[19]72。至于高斯的曲率概念,则有其丰富的现实来源。一方面是出于天文观测和编制历法的需要,这些事早在古代埃及和巴比伦就已开始了,为此人们研究了球面几何学。[17]这种研究在古希腊时代的著作中也都能看到,如欧几里得在研究恒星天球运动的球面几何著作《现象》中就有球面几何的内容;还有的著作系统整理了这种研究,如狄奥多修斯的《球面学》;另外,古希腊人重点创立了用于天文研究的球面三角术。[3]133-141三维空间中的球面几何,虽然还在三维空间中,但它的研究对象(球面上的点、线、面、角)已然与欧几里得几何不同,对这些本体的定义已不是通过一望而知便能够解决的,需要认识的帮助,这使得本体与认识是有交集的;当然这些本体的一些基本关系也不是一望便可知其为真了,需要认识的介入,形成新的方法,此时方法与认识也产生了交集;同时新的方法也是与本体密切关联而形成的,本体的某些部分是方法,方法的某些部分也是本体,所以本体与方法也无法进行严格区分。

除了天文,古希腊人对地理测绘工作也特别重视,他们测量或计算地面上的距离、山的高度、谷的深度、海的广度。[3]182-185对大地测量的研究在17世纪末由于引入解析几何和微积分的手法开始发展成一般曲面上的研究[20]。1697年,约翰·伯努利提出在凸曲面上求两点间最短弧的问题,即曲面上的测地线问题;1698年,詹姆斯·伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题。1728年,约翰·伯努利研究了另外几类曲面的测地线问题;同年,欧拉给出了曲面上测地线的微分方程。1732年赫尔曼也求出了一些特殊曲面上的测地线;克莱罗在1733-1739年讨论了旋转曲面上的测地线。1760年欧拉在“关于曲面上曲线的研究”中,通过曲面上的平面截线的曲率半径,建立了表达曲面弯曲程度的曲面曲率的概念,并给出了相应主曲率的表达式。

三维空间中一般曲面的研究可以看作球面几何的进一步推广,球面几何中本体、认识与方法相交的情况自然也存在于一般曲面研究中。另外,曲面研究还使用了解析几何、微积分与微分方程的方法,其中解析几何方法弱化了欧几里得所坚持的图形的直观性,微积分完全是因为研究无穷而出现的一种方法,微分方程研究的是无穷小变化下的事情,这三种方法的使用形成了新的本体即一般曲面的研究;而对这种本体的研究又形成了新的研究内容与方法,即测地线与曲面曲率,这两者同时也是对一般曲面所形成的认识,这种认识在某种程度上,也是一般曲面本身所拥有的,可以看成本体的一部分,所以,一般曲面研究中本体、认识与方法之间有交集。

还有就是大地测量对绘制地图的需要促成了可展曲面的研究,即研究能够不产生畸变而平摊在平面上的曲面。在该方面的研究中,1771年欧拉引出了曲面的参数表示,1795年蒙日将曲面的各种性质翻译成偏微分方程的语言。[21]可展曲面的研究引进了新的方法即曲面的参数表示和偏微分方程的处理,这两种方法的形成离不开认识的帮助;同时这两种方法与其本体直接相关,使用这种方法形成的认识与本体也直接相关,无法完全区分。这进一步促进了曲面研究在本体、认识与方法之间的交集。

德国数学家高斯从1816年起在天文学、大地测量和地图绘制方面做了大量工作,为此,1827年他在“关于曲面的一般研究”一文中,通过运用欧拉的曲面参数表示以及蒙日的偏微分语言,系统地研究了曲面,给出了曲面上的弧长、两条曲线间的夹角以及曲面总曲率的表达式;从中,高斯发现曲面的几何性质仅由弧长表达式中参数坐标的函数决定,完全与曲面是否在三维欧几里得空间中无关。因此他提出一个全新观念:曲面本身就是空间,相应的几何就是曲面的内蕴几何。高斯的这个发现的证明分别由麦纳迪在1856年、博内在1867年和科达奇在1868-1869年给出。[5]301-309

高斯内蕴几何的研究,已经完全抛开了三维空间的背景,曲面本身就是一个空间,其中研究主体已经不能像研究欧几里得几何那样完全置身其外,而是需要主体置身其中。另外,三维空间中曲面的曲率是可以被想象成某种方式的弯曲和扭转;但内蕴几何的曲率是无论如何也不能以相同方式被想象的,原因在于曲率这个概念是为描述测地线的数学性质而定义的,[19]74这种构造性的特征使得内蕴几何的曲率概念扬弃了几何直观而与认识产生了密切关系。这些都促使本体、认识与方法之间产生了交集。

1854年,德国数学家黎曼做了“关于几何基础的假设”的就职演讲,这个主题是高斯指定的。其中黎曼将高斯三维曲面的内蕴几何推广为任意维曲面的内蕴几何,即n维流形的内蕴几何。就从这点来说,黎曼曲面上本体、认识与方法的交集要比高斯曲面上的大。自然的,新的本体必然带动新的方法与认识,事实是,黎曼区分了曲面的内在与外在几何性质,从微分的角度研究了曲面上任一点附近的局部性质,而不再考虑空间的整体性质。[22]

高斯指定这个主题的原因,更多地与他在天文学、大地测量和地图绘制方面的工作有关,而不是出于纯数学的考虑。黎曼本人的目的之一也是考察三维空间和n维流形哪一个在观察范围内最为真实的问题。要解决这个问题,黎曼认为困难主要是概念上而非构造上的。黎曼所说的这个概念就是n维流形,因为在日常生活中能给出这种概念的机会很小,能够产生和发展这种概念的最多的机会是在数学中,并且还需要辅助想象。[18]602-603这些都表明n维流形这个本体与认识、方法已然是密切相关,无法区分。

n维流形的概念确立后,下一步事情就是讨论它上面的度量关系。首先,n维流形中的每个点,都可以分别使用n个参数来表示,即流形的参数坐标。黎曼将无限邻近的两个点的距离定义为两点坐标函数的一个二次微分,这个表达式后来以黎曼度量著称。对于一个n维流形,有了黎曼度量,就给出了黎曼几何。[22]黎曼还定义了流形上曲线的长度、两曲线在一点的交角以及流形的曲率等,所有这些度量性质都是仅由距离表达式中坐标的函数确定,而无需把流形想象成在更高一维的流形中。对于n维流形上的这些度量关系,黎曼指出只能通过一些抽象的尺度观念来讨论,并且只能通过表达式来表达,这样,用公式来进行抽象讨论必定是不可避免的;当然,得到的结果可以用几何形式表达。[18]605这些再次表明n维流形的本体、方法与认识之间是无法区分的。

流形的这些研究在何种程度上以及在哪一点上可以由经验肯定,黎曼认为尚待解决。[5]309-311黎曼为什么会这么说,原因在于非欧几何出现以后,一度存在一个问题:物理空间的几何是否是欧几里得几何,如果不是,是哪种几何?现在我们知道,爱因斯坦的广义相对论已经从经验上肯定了黎曼有关流形的研究是一种可靠的知识。

如果使用不同的圈来描述黎曼空间中本体、认识与方法的话,会形成图2:

其中,黎曼流形中的本体是具有黎曼度量的n维流形(曲面)上的点、线、角,除了逻辑推理论证,黎曼通过运用数学家们在研究球面几何、一般曲面、可展曲面时所积累起来的解析几何、微积分、微分方程、偏微分方程、参数表示、曲率等方法以及自己给出的新方法黎曼度量,最终形成了对黎曼空间的认识,即黎曼几何。在这里,n维黎曼流形(曲面)是任意维的一个内蕴空间,对它上面的点、线、角的定义是无法一望而知的,事实上是通过数学家的认识创新以及使用近代发展起来的数学方法与方法创新才完成的,这使得黎曼流形中本体、认识与方法之间不再是分立关系,而是有一定的交集。

四希尔伯特空间中本体、认识与方法之间的进一步交融关系

希尔伯特空间来源于对积分方程的研究,积分方程是对含有未知函数进行积分的方程,求解积分方程就是要确定这个函数。数学物理中的一些问题自然地生成一些积分方程,相对于微分方程,积分方程在处理未知函数时更为方便。从18世纪末开始,个别积分方程就开始出现在数学家和物理学家的研究中。

1823年,挪威数学家阿贝尔在研究质点下落轨迹的力学问题时,首次自觉地应用积分方程来确定函数。意大利数学家伏尔泰拉从1884年开始积分方程一般理论的研究,他发现积分方程∫ayK(x,y)φ(x)dx=F(y)是含n个未知数的n个线性代数方程组在n趋于无穷时的极限情形。[23]133瑞士数学家弗雷德霍姆注意到了伏尔泰拉的这个发现,1900-1903年,他利用积分方程与线性代数方程之间的这个类似之处,在没有涉及无穷多个线性代数方程组极限过程的情况下,求解了积分方程。

弗雷德霍姆的这个工作,吸引了希尔伯特的兴趣。与弗雷德霍姆不同,在1904-1910年的论文中,希尔伯特通过讨论无穷多个线性代数方程组的极限过程,研究了弗雷德霍姆方程。其中,希尔伯特考虑了具有无穷多个系数x1,x2,…,xn,…的函数,为了将这些函数用于他的理论,希尔伯特要求x12+x22+…+xn2+…是有限数。[24]在此基础上,希尔伯特引进了一个由无穷实数组{x1,x2,…,xn,…}全体组成的集合,并在集合中任意两数组:{x1,x2,…,xn,…}={xn}=x和{y1,y2,…,yn,…}={yn}=y之间定义了一种内积运算:。这个具有内积运算的无穷集合,是数学史上第一个具体的无穷维空间,后来称作希尔伯特空间(也称内积空间)。

不过当时希尔伯特只是用它来研究积分方程,并没有讨论这些几何意义,是希尔伯特的学生们重点研究了这个定义内积的无穷集合。[7]278-279由于希尔伯特规定x12+x22+…+xn2+…是有限数,自然地,也是有限数,那么无穷数组x1,x2,…,xn,…就可以看成是无限维欧几里得空间中点的坐标,这个点到原点的距离就是[24]这样希尔伯特无穷集合中的每个无穷数组就可以看作空间中的一个点,通过几何类比,希尔伯特的学生德国数学家施密特引进了希尔伯特空间的几何观念。[25]之后,对希尔伯特空间的进一步研究还涉及内积、范数、收敛、极限、积分、正交系等概念与方法。

最后,希尔伯特的学生冯·诺依曼通过公理化方法,使用内积,将希尔伯特空间定义为复向量空间。[25]1932年,在他著名的《量子力学的数学基础》中,冯·诺依曼首次使用了希尔伯特空间这个概念,[26]并首次将希尔伯特空间作为量子力学的数学基础。[7]311一般地说,数学中大多数希尔伯特空间是函数空间,欧几里得线性空间就是有限维希尔伯特空间。[27]

从希尔伯特空间的形成可以看出,积分方程这个早期来源就已经使希尔伯特空间从一开始便无法严格区分本体、认识与方法;后来希尔伯特通过无穷多个线性代数方程组极限过程的方法来研究弗雷德霍姆积分方程,显然这种等价转换并没有影响本体、认识与方法之间的交集部分。从无穷多个线性代数方程组又引出了无穷多个系数x1,x2,…,xn,…的函数、无穷实数组{x1,x2,…,xn,…}集合以及相应的内积运算,都一再保留了本体、认识与方法间的交集部分。这表明希尔伯特空间中本体、认识与方法三者之间的这种相互交融根源于积分方程,并且一直保留到希尔伯特空间之中。另外,希尔伯特空间一般是无穷维的函数空间,这是一种抽象空间,从这一角度来说,它的本体、认识与方法之间的交集要比n维黎曼点空间大。如果使用不同的圈来描述希尔伯特空间中本体、认识、方法的话,会形成图3:

其中,希尔伯特空间中的本体是无限维欧几里得空间中由无穷维向量(一般为函数)组形成的点,希尔伯特与他的学生通过公理化、内积、范数、微积分、正交系等方法,最终完成了对希尔伯特空间的认识。在这里,无限维欧几里得空间中由无穷维向量(一般为函数)组形成的点的定义也是无法一望而知的,也是通过数学家的认识创新以及方法创新才完成的,这使得希尔伯特空间中本体、认识与方法之间有一定的交集。与黎曼流形相比,希尔伯特空间不具有弯曲的性质,不需要相应的认识创新与方法创新;但是,希尔伯特空间仍是一个相当广义的概念,原因是它把抽象点集引进适当结构作为空间研究,其中抽象点常常是复数或函数,并且这些点的维数是无穷维,它们之间定义的是内积运算,内积空间可以说是距离空间的子集,但比距离空间有更多的内容,所有这些使得希尔伯特空间在本体、认识与方法间的交集要比黎曼空间大。

五纤维丛中本体、认识与方法之间较大的交融关系

纤维丛(纤维空间)是一个拓扑空间,研究流形的整体性质和局部性质之间的关系,也即流形的拓扑结构与微分结构之间的关系。[8]117就从这一点来说,纤维丛中本体、认识与方法间的交集要比黎曼空间的大。

自黎曼以来,流形在所有局部区域上都可以看作是欧几里得空间,因此流形的所有局部区域上都可以各自引进笛卡尔坐标系,各自进行微分运算,如这种局部区域上定义的表示两点之间距离的黎曼度量,[28]296-298就阐明了局部区域上点与点之间的关系。[23]2281887-1896年,意大利数学家里奇系统地研究了黎曼度量在坐标变换之下的不变性质,[28]296-298形成了由爱因斯坦命名的张量概念。张量就是在坐标变换下按一定规则变换的函数,这些函数的数学意义在坐标变换下保持不变。[23]215-219张量概念是在这样的事实上形成的:光滑流形的每一点都可以用线性切空间来逼近,然后各点的切空间引导至相伴的张量空间。[29]切空间就像曲线各点的切线、曲面各点的切面一样,由(切)向量构成;[30]105其中一条曲线的切向量和微分是同一个概念。[31]张量概念的形成以黎曼度量为基础,同时隐含着无穷的意义,这使得纤维丛中本体、认识与方法之间的关系要比黎曼空间中的更为密切。

1917年,里奇著名的学生列维-奇维塔为了将欧氏空间的平行概念推广到流形上来定义黎曼空间中的平行向量,引进了向量的平行移动概念,称为列维-奇维塔平行移动。列维-奇维塔平行移动是切向量保持内积的一个无穷小变换,[32]136可以看作黎曼流形中两个无限邻近的切空间之间一个无穷小运动,[33]这是联络的第一个实例。[32]136列维-奇维塔的工作使得纤维丛中本体、认识与方法之间的关系要比希尔伯特空间的密切。

在列维-奇维塔平行移动的意义下,一个向量沿着曲面上一条曲线的移动是平行的,是指这个向量在由曲线的每一点切平面的包络(与每一个切平面相切的可展曲面)所展成的欧几里得平面上的移动是平行的。[23]225-226列维-奇维塔平行移动使黎曼空间具有了明显的几何意义;[28]294这表明,在黎曼空间中,对涉及曲率的绝大多数性质做出解释的是向量的平行移动,而不是黎曼度量。[32]136

向量平行移动的这个意义,很快被追随列维-奇维塔的希尔伯特的学生外尔注意到。[34]1918年,外尔发现向量的平行移动与空间的度量性质无关,这表明:流形上点与点之间的关系不一定非得用度量来规定。[23]228取代度量,外尔规定用不同点的张量之间的联系来说明流形上点与点之间的关系,为了使不同点的张量之间的比较和运算(微分)成为可能,[35]他引进了联络的概念,用来表示邻近切标架的变换,在不同点的切空间之间建立联系,[36]74这种联络称为仿射联络,这样的流形称为仿射联络空间。外尔用这种新的概念澄清了当时关于黎曼几何的已知成果,特别地,给了列维-奇维塔平行移动一个恰当的解释。[37]特别需要记得的是,在这种空间中,没有度量性质。[38]外尔的工作,使得流形逐渐走出黎曼度量的传统,转向张量与联络,进一步促进了纤维丛中本体、认识与方法之间的交融。

继仿射联络之后,法国数学家嘉当在1924年又引入射影联络和共形联络;此外,他还发现定义无穷小运动的空间并不需要是一个黎曼流形的切空间,是作用于空间上的群起着决定性作用,[32]137于是他对列维-奇维塔平行移动做了推广,[39]4在1926年提出一般的联络理论:[33]即空间各点都伴随以具有一定结构群G的克莱茵意义下的切空间,对于相邻的伴随空间,在群G下给出可重合的法则,这个法则就是联络,称为嘉当联络。[40]嘉当联络使得两个无穷近点的两个切空间的向量能够进行比较,同时可以自然地定义流形上的向量场、张量场外微分。[41]嘉当的工作,使联络失去了最后一点几何直观而全部抽象化了;尤其是群方法的引入把数学空间推向了新的抽象,使得本体、认识与方法之间的交融越来越大。

嘉当联络是纤维丛概念的先声,[28]296-298最早注意到纤维丛研究的是德国数学家霍普夫;第一个用到“纤维”和“纤维空间”这两个词的人可能是赛弗特,1933年,他将一个三维流形分解为一些纤维,每个纤维是一个简单闭曲线。第一个真正意义上的纤维丛是1935年美国数学家惠特尼给出的,他将流形本身及其上每一点的线性独立的切向量组的全体总括在一起,称为球空间,1940年更名为球丛,就是以球面为纤维的纤维丛。[42]1936年,惠特尼和霍普夫的学生施蒂费尔独立地给出了这种空间的一类基本不变量,称为惠特尼-施蒂费尔示性类。[28]296-298示性类是用以区别不等价纤维丛的一类不变量,[36]431它既是研究纤维丛的一种方法,也是纤维丛的重要组成部分,同时还是对纤维丛形成的一种认识。

30年代的纤维丛主要是流形上的切向量丛和张量丛等,后来发展为更一般的与曲面无关的纤维丛。[43]1941年,嘉当的学生法国数学家艾瑞斯曼给出了一般的纤维丛概念;简单地说,纤维丛是以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起,称为纤维丛。[44]1949-1954年,嘉当的学生法国数学家塞尔,进一步发展了纤维丛概念。[45]441-44220世纪40年代,庞德里亚金、斯廷罗德、陈省身[39]10和吴文俊等人给出了一系列纤维丛的示性类。这些工作表明,纤维丛的示性类是流形的整体不变量,反映了流形的整体性质,[46]提供了从局部研究向整体研究过渡的合适机制。[28]296-298

1946年,陈省身认识到嘉当的联络思想与纤维丛理论有密切关系,不同的纤维丛上都可以引入各自的联络,纤维丛不同,其上联络的性质通常也是不同的;[47]纤维丛上的联络决定了纤维丛上相邻纤维的关系[36]431。1950年,艾瑞斯曼把联络定义到纤维丛上,即把具有基本群G的联络几何看作微分流形M上以G为结构群的主纤维丛上的一次微分形式(联络形式)理论,[45]433-434一般称为艾瑞斯曼联络。

从纤维丛的生成过程来看,纤维丛是黎曼流形基础上形成的一种空间,并且流形也是它的一部分,这使得它的本体、认识以及方法之间先天存在交集;纤维丛的另一部分是流形上每一点所形成的纤维,纤维之间的关系用一类附加结构联络来刻画,联络用结构群G来表示,这种构造性的抽象结构使得纤维丛中本体、认识以及方法之间进一步产生了交集。另外,纤维丛中点与点之间的关系使用张量而不是度量来刻画,纤维丛用示性类来表征,示性类反映了流形的整体性质,[48]这些都再次促进了纤维丛中本体、认识以及方法之间的交融。如果使用不同的圈来描述纤维丛中本体、认识、方法的话,会形成图4:

其中,纤维丛中的本体是n维微分流形上以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起所生成的空间中的点,数学家通过微分、拓扑、列维-奇维塔平行移动、联络、结构群G、张量、示性类等方法,最终形成对纤维丛的认识。在这里,n维微分流形上以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起所生成空间中的点的定义是无法一望而知的,是通过数学家的认识创新与方法创新才完成的,这使得纤维丛中本体、认识与方法之间有交集。并且纤维丛以黎曼空间为基础,又超越黎曼空间,所以它在本体、认识与方法之间的交集要比黎曼空间大;还有列维-奇维塔平行移动或说联络定义的是函数间的内积运算而不是距离的度量,这使得纤维丛具有了希尔伯特空间的内容,而张量、结构群G与示性类等认识与方法又使纤维丛超越了希尔伯特空间,所以纤维丛中本体、认识与方法之间的交集要比黎曼空间、希尔伯特空间大。

六卡-丘流形中本体、认识与方法之间的渐进融合关系

卡-丘流形形成于1976年丘成桐对卡拉比猜想的证明,卡拉比猜想是凯勒流形上的一个猜想,凯勒流形是一类特殊的复流形。复流形是一种以复数表示的偶数维空间[30]94,任意复流形上都可以定义厄米特度规,[36]344凯勒流形是厄米特流形的子类。这些关系表明卡-丘流形中本体、认识与方法间的关系要比黎曼流形中的密切。

相比厄米特流形,凯勒流形有更好的几何性质:把复数坐标的原点分别放在二者的任何一点上,复数坐标在所放点处看起来都像是标准的欧几里得几何度规;当复数坐标的原点分别离开二者的所放点时,复数坐标的度规就愈来愈不像欧氏的,就这方面而言,凯勒流形的度规比厄米特流形更加稳定。另外,凯勒流形还具有某种局部的内在对称性(与整体对称性而言)作用于流形的切空间。[49]总的来说,凯勒流形是介于厄米特和平坦流形之间的复流形,它具有足够多的结构,因此不会难以操作;但是结构又不会多到限制过多,以至于根本找不到所需要的流形。[30]104-109从这个角度,卡-丘流形中本体、认识与方法之间的关系要比希尔伯特空间更密切。

凯勒度规是复流形上最优度规,其上度规结构、复结构以及无扰条件都相容。凯勒流形大量存在,平时接触到的复流形大都是凯勒流形。[49]复流形上是否存在凯勒度规,是由流形的拓扑性质决定的。[36]341-344紧凯勒流形的几何性质(由曲率表征)和拓扑性质(由同调群表征)一直是数学家们关注的一个重要问题,特别是利用它的几何性质来获取其拓扑信息。[50]从这一点来说,卡-丘流形中本体、认识与方法之间的关系与纤维丛有类似之处。

卡拉比一直对凯勒流形有浓厚兴趣,研究中他发现:一个空间若允许一个凯勒度规,就会允许其他的凯勒度规,只要得到其中一个,就可轻易得到所有其他的。因此,他试着想找出一个较好的凯勒度规,即一个能提供最多讯息的、最不弯扭的平滑凯勒度规。[30]117-118

这个工作因他的好朋友陈省身在凯勒流形中的工作的启发有了新进展。1946年,陈省身给出了复流形的一类示性类,称为陈类。陈类是一种刻画不同复流形的概略方法,是流形的拓扑性质,简单来说:如果两个流形的陈类不同,这两个流形就不可能相同;反之却不一定成立:即两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。[30]111陈省身提出陈类不久后发现一种用曲率表示陈类的方式,特别是陈类中最重要的第一陈类,完全可以被里奇曲率(几何性质)表示出来。[51]里奇曲率是流形的一种几何性质,是截面曲率的平均值。截面曲率是用来描述黎曼流形的曲率的一种方式,它是依赖于流形上每点的切空间的一个二维截平面,[31]截面曲率完全决定了黎曼曲率,而黎曼曲率又藏纳了流形的一切重要曲率信息。因为里奇曲率是截面曲率的平均值,所以一个里奇曲率为零(平坦)的流形未必是整体平坦的。陈省身证明的是:里奇曲率为零的凯勒流形,它的第一陈类必定也是零。[30]117-118

反过来,凯勒流形的第一陈类为零,里奇曲率是否为零,并不明显。不过,陈省身上述发现引出一个有用信息:凯勒流形中里奇曲率(几何性质)的行为受到了第一陈类(拓扑性质)的约束。[51]对此,卡拉比追问:对于凯勒流形中的里奇曲率,第一陈类是否是唯一的约束?也就是说,某些拓扑条件本身是否足以决定几何性质?[30]117-118这就是著名的卡拉比猜想的问题。在1954年的论文中,卡拉比提出并使用了他在直觉上认为正确的这个猜想,简单地说就是:第一陈类(拓扑性质)足以决定凯勒流形中的里奇曲率(几何性质)。

就在1954年的论文中,卡拉比证明了指定里奇曲率的唯一性;但是这种里奇曲率存在性的证明就相当难了,因为要涉及一个很难解的非线性偏微分方程。丘成桐完成了这件事,他在多年准备工作的基础上,通过使用眼花缭乱并且惊心动魄的大量先验估计技术,求解了所述方程(方程的解是函数),从而证明了卡拉比所述里奇曲率的存在性。当时尽管丘成桐无法给出这个里奇凯勒度规的数学表示,也无法明确说出它是什么,但它在数学上的确存在;所以在证明卡拉比猜想的同时,丘成桐还给出了满足卡拉比方程的空间。[30]139

在这类空间中,若第一陈类为零,则存在里奇平坦凯勒度规。1985年,美国物理学家坎德拉斯、霍洛维茨、斯特罗明格和威藤将数学中存在的这个具有里奇平坦度规的凯勒流形以六维卡-丘流形的名义应用到弦理论中,从此这种具有里奇平坦凯勒度规的六维流形就称为卡-丘流形,或说第一陈类为零的紧凯勒流形就是卡-丘流形。[36]217-218当然,一般的卡-丘流形可以是任意维的,第一陈类可以是不为零的常数。

由于与弦理论的结合,我们有了有关卡-丘流形的一些形象认识:一个卷曲起来非常小以致无法看到的六维空间。卡-丘流形的直径都非常小,小到连想象或几何直觉也不起作用,这使得它的本体、认识与方法的交集进一步扩大;并且这样的空间不是只有一个,而是很多,具体数目未定,其中每一个都代表着不同的拓扑结构,[52]这使得卡-丘流形还有很多简单问题没有答案,如到底存在多少个拓扑不同的卡-丘流形?是有限个还是无限个?所有卡-丘流形之间有什么关系吗?这个卷曲起来以致无法看到的空间到底有多大?看似简单的问题,但在卡-丘流形中就变得相当复杂。因为已知的太少,连逻辑演绎推理也无法很好地进行,致使如今对卡-丘流形知之甚少。[53]这种现状实际上表明,相对于已有的空间,卡-丘流形在本体、认识以及方法之间的交集已经相当大,预示着只有三者更好的协作与突破,才能促进对卡-丘流形的认识。如果使用不同的圈来描述纤维丛中本体、认识、方法的话,会形成图5:

其中,卡-丘流形中的本体是n维里奇平坦(或第一陈类为零的)凯勒流形上的点,目前数学家还没有获得有效的方法来完成对卡-丘流形的认识。在这里,复流形上的凯勒度规是由流形的拓扑性质决定的,凯勒流形中的里奇曲率则是它的几何性质;给出卡-丘流形的卡拉比猜想说的是,在凯勒流形上,第一陈类(拓扑性质)与里奇曲率是等价的,即卡-丘流形中,这个拓扑性质与指定几何性质等价,这使得卡-丘流形在本体、认识与方法之间的交集要比纤维丛大;并且从卡-丘流形的未知程度看,卡-丘流形在本体、认识与方法之间的交集相当大,甚至趋于融合。

七结语

如果克莱因说的是正确的,欧几里得是为了天文学、光学和音乐方面的目的而研究三维空间中的图形,那么欧几里得空间与牛顿力学的结合就不是那么令人费解了。欧几里得的研究之所以能被牛顿应用,是因为他发现欧几里得几何给出了现实三维平坦物理空间的全部信息。

但是,天体的运行轨道不是平坦的,地球也不是平坦的;天文学、历法编制、大地测量和地图绘制使得三维空间中曲面的研究成为需要,并且最终发展成任意维曲面的内蕴几何,即黎曼几何。面对曲面研究在不同时期的各种新课题,欧几里得空间中的公理化方法已经无法胜任,于是其他数学分支已有的方法即解析几何、微积分、参数表示、偏微分方程被引进来;不仅如此,从未有的方法即曲面曲率、高斯曲率、黎曼度量也被创新出来。一旦有了黎曼度量,黎曼流形的几何信息就成形了。黎曼做这些研究的时候,是有物理现实的考虑的,即三维空间与n维流形(曲面)哪一个最能反映我们生活的空间。这实际上和爱因斯坦广义相对论中的空间问题是一致的,所以成就了二者后来的结合。

希尔伯特空间其实也有物理来源,只因它的形成不是遵循空间几何意义而是在无穷集合上定义了一种内积运算,这实际上是后来数学上生成空间的一种常用方法。希尔伯特空间的物理来源一方面是物理问题中自己产生的积分方程,另一类是物理问题中的微分方程转化成的积分方程。无论微分方程还是积分方程,都是研究无穷小变化下的事情,这实际上与曲面的研究是一致的;只是在希尔伯特空间中侧重体现的性质是无穷个点、无穷维。为了满足量子力学的需要,冯·诺依曼进一步将希尔伯特空间发展成一种复向量(常常是函数)空间。

19世纪的高斯-博内定理建立了曲面的几何性质和拓扑性质之间的关系,而“所有将曲率和拓扑建立关系的数学结果,都会被用于物理”。[54]虽然后者是丘成桐在伯克利学习时的一位数学物理博士后费舍尔的话,但是对于纤维丛和卡-丘流形,就是这么一个规律。纤维丛源于对黎曼流形的研究,后来被发展成对流形整体性质(拓扑结构)和局部性质(微分结构)之间关系的研究。具体地说就是,纤维丛在局域上是两流形的拓扑积;但在整体上,可以是拓扑积,即平凡的拓扑积,也可以是经过扭曲的积,称为非平凡的扭曲积,[36]238后者与规范场论的大范围拓扑性质是一致的,所以最后发现规范场都是纤维丛。

卡-丘流形可以说是纤维丛的子集,它研究的是凯勒流形中第一陈类(拓扑性质)与里奇曲率(几何性质)等价的一类空间;其中,若第一陈类为零,则存在里奇平坦凯勒度量。里奇曲率是与空间物质分布有关的曲率,里奇曲率平坦(为零)意思是空间中没有物质,即真空。依据爱因斯坦广义相对论,是质量产生了空间的弯曲而导致了引力;那么一般地讲,真空就是一个没有物质、没有曲率、没有引力的平凡空间。[30]39但是,上述数学结论的物理意义是:存在一类真空,其中有曲率、有引力。这个事实恰好能用到M4×K的弦论中,其中M4是4维时空,K就是真空的但曲率不为零的空间。至于为什么这么恰好,丘成桐说自己当时针对广义相对论就想过相应的物理问题,所以看到卡拉比猜想后,就知道它在讨论相同的物理问题;卡拉比则说自己从未考虑过相关物理问题,对此,丘成桐说广义相对论在50年代的时候,已经成为人们的集体潜意识,难免不受影响。[30]92

上述这五个与重大物理理论相关的数学空间,除了欧几里得空间的本体是一望而知的,并且对这些本体的认识只需要依据从一望而知的定义和一望便知其为真的公理、公设为起点的逻辑推理论证外,其他四个空间“黎曼流形、希尔伯特空间、纤维丛与卡-丘流形”都必须依赖相关数学家们积累起来的创新想法与创新方法去认识它们,用哲学的术语说就是,它们各自的本体、认识与方法之间相互影响,关系密切,已经无法区分;并且,这四个空间各自在本体、认识与方法之间的交集范围依次也是逐渐增加的,即体现了本体、认识与方法从黎曼流形的部分交融、希尔伯特空间的进一步交融到纤维丛的较大交融以及卡-丘空间的渐进融合的哲学特征。这是与其相关的物理理论比较一致的哲学特征,这种一致性表明,数学空间的研究也逐渐走向现实空间的本质。如果爱因斯坦的信仰是对的,那么纯粹数学思想真的是足以理解物理实在的。

摘要：与物理学史上5个重大物理理论相关的5个数学空间,在本体、认识与方法上也表现出有规律的哲学特征:在欧几里得空间中,本体、认识与方法之间是一种分立关系;在黎曼流形、希尔伯特空间、纤维丛与卡-丘空间中,本体、认识与方法之间分别都有交集,并且这种交集依次在增大,即从部分相交到大部分相交再到渐进融合。

哲学与数学的相互催化 篇3

【摘要】透过数学与哲学的发展轨迹，揭示出数学与哲学二者发展过程中的相互影响与相互促进作用，以及哲学借鉴数学思维方式而发展、完善的过程。

【关键词】哲学 数学 相互作用 催化

中图分类号：G633.6

数学一向被认为是透彻性、可靠性与有效性地化身。这使数学在人类学术中占有特殊地位。数学思想、理论和方法在许多人文社会科学中起着催化作用，其影响力越来越得到强化。数学自明的慨念、抽象的推理、确定的结论，尤其赢得了哲学最持久的仰慕。哲学真理要立得住，经受得起考验就必须达到数学真理的层次，才能具有普遍意义，得到公认。

古巴比伦、埃及、印度和中国并称世界四大文明古国，虽然都有着丰富数学知识和实用的数学经验，但仅仅局限于使用它们罢了，而没有要求并给出"逻辑证明"。证明的要求倒是古希腊几何学的特色：最早使希腊数学独具特色的人也是西方哲学的第一人，泰勒斯要求"把只知其然的经验提升为也知其所以然的知识"。正是泰勒斯曾极力主张，对几何陈述，不能仅凭真觉上的合理就予以接受，相反，必须经过严格的逻辑证明。E.策勒尔更进一步指出 "数学研究以及由此唤醒的科学意识，对于他不依据神话去说明事物终极基础所作的努力，无疑有很人影啊。"西方哲学的理性论证精神，或是源自数学的，或是经由数学强化了信心。这种缘起上的孪生状况意义重大，它为西方哲学的惯有风格预制了强劲的基调。在数学上请教过泰勒斯的毕达哥拉斯更醉心于数学。在他那里，甚至不能说数学影响哲学，而应当说数学就是哲学。数乃万物之源，数统治着宇宙。"宇宙"（COSMOS）这个词最早被毕达哥拉斯派使用时，就是指数及其关系构织规划而成的宏大秩序。毕达哥拉斯使在泰勒斯那里较隐晦的东西变明确了：数学是哲学的楷模。从此，希腊数学的品格就成为西方哲学孜孜以求的品格。"毕达哥拉斯主义......，对于整个西方理性思维有过决定性的影响"，这种影响经过柏拉图而巩固。在他看来，数学对象和哲学对象同属于至真、至善、至美的可知世界，数学是升入理念世界的"梯子和跳板"。亚里士多德给出了贯通数学与哲学的思维机制，即逻辑。他把数学、神学和自然科学置于最高理论学术，又将逻辑学与形而上学并置于神学之中。存他看来，逻辑学既是特殊学科.叉是通用于各学科的思维规范。在他自己的哲学中凡是需要证明和确定性的地方，他都大量举证数学，似乎可以指望经亚里士多德之手而近于成熟的抽象思维方法能使数学、自然科学和哲学都成熟起来。但历史表明，自然科学长期停滞不前，哲学一直风雨飘摇，惟有数学真正在欧几里得《几何原本》中成熟起来。《几何原本》是希腊数学思想汇编，其卓越在于锤练出严密的公理化演绎系统。该书从23个定义、10条公理出发，按理辑规则勾织了一张不由分说的命题之网。此种以简驭繁，一致百虑的效能给哲学提供了一个可望且似乎可及的榜佯。《几何原本》对西方心智的陶冶举足轻重，对整个学习者都是思维的体操。中世纪虽然是基督信仰的一统天下，但希腊理性精神--其内核是数学精神--在为信仰做辩护中延了命脉。当时教育中盛行的"七艺"里，音乐、美术、几何、天文都以数学为根底。

这种延续性使中世纪末期的R.培根径自把数学视为哲学的基础。他的理由是：一、其他学科都以数学为模式；二、对数学的理解是天赋的；三、适合于我们的途径是由易到难；四、数学既为自然所知又为我们所知；五、在数学中确能达到没有错误的完全真理以及在各方面都无可置疑的确信。这些观点具有承前启后的巨大重要性。笛卡尔则率先要求："探求真理正道的人，对于任何事物，如果不能获得相当于算术和几何那样的确信，就不要去考虑它。"又说："数学的推理确切而明白......，我觉得非常奇怿，它的基础既然这样稳固，这样坚牢，人们竟然没有在上面建造起更高大的建筑来。"笛卡尔所瞩目的是要建立一门以数学为基准，范围更广大的MATHSIS UNIVERSALIS （即普遍数学或普遍科学）。照此思路，斯宾诺莎把《伦理学》加工成了《几何原本》的模样。不过，这种几何化哲学有两个严重缺陷： 第一、 它的初始条件（界说和公则）远不像点、线、而那样显明，而不甚明晰的概念对于严格慎密的演绎来说是无穷的隐患。第二、为使"证明"可理解，不得不另加庞大数量的"附释"。这表明所谓证明根本就不够严谨明确，表达的意思模模糊糊，非要用日常语言来修修补补不可。实际上《伦理学》只能箅《几何原本》的赝品。萊布尼兹走得更远，他认为自己思考出了构造理想语言的办法，"我发现了 一件驚人的事，那就是我们能用数字表达各种各样的真理和推断。""在数中隐藏了最深奥的秘密"，据此设计的格式语言被他称为"普遍语言"或'普遍文字"，它能表达一切思想，有明晰的含义和精确的规则，人们使用它进行思想就和做算术题一样。莱布尼兹曾写道"我的形而上学可以说全都是教学，或者能变成那个样子"。在他们的巨大影响下，数学标准牢固地树立为哲学合法化的当然标准。

更有甚者，霍布斯认为："几何学是上帝眷顾而赐给人类的唯一科学"，"算术始终是一门确定不移，颠扑不破的艺学"，以此为准，思维在机制上就是名词、观念的加减，"推理就是一种计算"。洛克在考虑如何推进人类知识时也不无钦羡地援引数学的启示，他写道："我们如果用数学家所惯用的方法来考察它们（指观念问题），它们一定会使我们的思想十分进步，十分明白，十分显然，而且明显的程度会超出我们平常所想像的程度之外"。

哲学模仿数学的热情在康德那里遭到质颖，但恰恰是康德空前有力地把数学真理以先天综合判断形式提升为"先验真理"，并以此勘测形而上学作为科学是否可能。康德虽不像毕达哥拉斯和莱布尼兹那样直接借重数学，却做到了最彻底地把对确定性与完备性--数学特性--的寻求埋入哲学活动的心脏。

在西文哲学主流的变迁中，哲学始终追随着数学，借鉴其概念、方法和体系。在确立哲学真理时，要么举证数学命题作为范例，要么从数学方法的启发出发，变通运用。在整个哲学的建立、发展、完善过程中，数学思想、概念、方法与思维形式，都对哲学产生了启迪的作用和深刻的影响，数学的发展同时也为哲学的发展提供了强有力的促进作用。

参考文献

1.张顺燕.数学的源与流[M].北京：科学出版社，2003（第二版）

2.王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003

3.郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001（第二版）

解读康德哲学与数学的关系 篇4

解读康德哲学与数学的关系

康德在自己的哲学中对数学有着与前人迥异的理解:第一,数学判断全是先天综合判断;第二,数学是通过先天直观形式(时间和空间)而可能的..基于这种理解的数学为形而上学的建立指明了道路.

作 者：冉杰 RAN Jie 作者单位：广州大学,法学院,广东,广州,510405刊 名：广州大学学报(社会科学版)英文刊名：JOURNAL OF GUANGZHOU UNIVERSTY(SOCIAL SCINECE EDITION)年，卷(期)：2(10)分类号：B516.31关键词：数学 形而上学 先天的 分析的 综合的

浅谈数学中的哲学思想 篇5

浅谈数学中的哲学思想

数学,人类智慧的结晶.伽俐略把数学看作上帝书写宇宙的文字,华罗庚认为,宇宙之大、粒子之微、火箭之速、地球之变、生物之谜、无不可以用数学加以描述.在数学发展的初期,人们把数学看成研究数量关系与空间形式的科学.随着现代数学各分支的产生和发展,数学有了全新的定义:数学是应用抽象的`量化方法研究关系结构模式的一门科学.数学是客观性和主题性的完美结合.数学描述的是可能世界的图景,现实世界只不过是其近似的特例.

作 者：刘湘文 张宝芹 张明 作者单位：山东大学第二附属小学,250012刊 名：济南教育学院学报英文刊名：JOURNAL OF JINAN EDUCATION COLLEGE年，卷(期)：“”(6)分类号：B2关键词：

论数学教育哲学的改造 篇6

一、问题的存在及客观原因

五年制高职已成江苏职业教育的主要形态。从办学体制上来说, 这些学校都是从中专升格上来的, 而现在属于普通高等教育的一部分——专科层次;入学的生源仍为初中生, 基本上是上不了好的高中的初中生——学生基础弱、学习能力与学习习惯都较差;教师基本上都是原来中专数学教师——数学教师延用中专数学教学的模式与理念;再者, 五年制高职办学的历史很短, 一切仍在探索之中, 当前数学教材、课程体系和教学内容都是“舶来”的。

教育层次与学生生源、教师力量、数学教材处于不谐调的状态, 数学教学处于矛盾与摸索之中, 导致教学处于低效状态。

二、改造我们的思想 (维)

客观因素目前改进的可能性极小, 我们能不能再延用原来的经验?在杜威看来, 经验也是需要改造的, “经验就是同时进行的行为和经历的统一体……经验是生命与共同环境中的其他要素之间进行互动的连续过程。”在我理解, 经验不是过去的、静止的东西。笛卡尔的理性主义开创了西方哲学的新纪元, “感觉经验有片面性, 单凭感觉得不到普遍的科学真理。必须更上一层楼, 在全面的理性指导下批判地总结才行。”

要在高职校有效的进行教学改革, 必须先行改造的思想 (维) 。就如恩格斯所指出的:“不管自然科学家采取什么样的态度, 他们还是得受哲学的支配。”这说明人的思维受其文化的影响, “思维方式是一切文化的主体设计者和承担者”。

1.改造我们思想中的传统思维方式

中国传统思维的基本特征用蒙培元先生的观点可概述为:“经验综合型的整体思维”和“辩证思维与意向性直觉、意象思维和主体内向思维”二者的结合, 整体思维、实用理性思维、经典思维是儒家思想的三大特征。

整体思维。下面的话对整体思维的分析比较客观全面:“倾向于对感性经验作抽象的整体把握, 而不是对经验事件作具体的概念分析, 即缺乏必要的中间环节, 它主张在主客体的统一中把握整体系统及其动态平衡, 却忽视了主客体的对立及概念系统的逻辑化和形式化, 因此缺乏概念的确定性和明晰性。”这说明整体思维具有系统性、动态性、无限包容性、直觉的、直接的优点, 但也有直观性、模糊性、不可知性的缺陷。这种缺陷表现为分析思维的不足, 不能明确概念, 很难进入数学的内在结构中去认识数学概念、以及概念间的内在联系。

实用理性思维。这一概念是著名哲学家李泽厚先生提出的, 实用理性思维具有很多优点:尊重客观规律, 讲求务实, 注重实践效果;强调对历史的传统和继承。例如, 古代数学都尊崇《九章算术》的权威性, 实用理性决定了中国传统数学的实用性与经验性。

“实用”的缺陷首先在于过渡尊崇传统权威和相信经验, 导致了它的封闭性, 限制了人的自由思考与创造性, 忽视了人性的发觉与培养;其次, 在于过分的注重实用, 缺少科学的实证精神以及思辨的理性, 沈括的观点具有代表性:“术可以心得, 不可以言喻”。

经典思维。经典思维表现为以经学为开端, 以经学的是非为是非, 以经学的内容为内容, 经典所说都是正确的, 把传统视作绝对权威和最高价值的尺度。经典思维对中国数学的不利影响也极为突出。例如, 自《九章算术》形成后, 到西方数学传入为止, 中国数学始终没有打破《九章算术》的格局与取得大的突破。

小结:传统思维方式对当今的数学教学改革不利的影响表现为:课改自上而下, 而不是自下而上, 缺少实践的思考和声音;教师无自发的动力, 依赖性和服从性心理;课程教材、教学方法继承的多、传统的多, 创新的少。

2.明晰数学教师的信念

数学教师的信念主要由三部分构成:数学信念、数学学习信念、教学信念。教师的信念支配着教学的实践。教师的信念自其学生时代, 就受到其老师的影响逐渐形成, 再通过师范学校的教育, 逐渐定型, 且目前的研究表明师范生在大学期间形成的仍是以教师为中心和传统主义的教学信念。

数学信念 (数学观) , 表现为教师对数学本质的认识, 不同的人有不同的数学信念, 一个人在不同的时间内其数学信念也在变化。欧内斯特把数学信念分为三类:问题解决观念 (数学处于动态的发展) ;柏拉图主义观念 (数学是静态的) ;工具主义观念 (数学是一种工具) 。学者黄毅英通过欧内斯特的模型得出我国数学教师的数学信念倾向于柏拉图主义。

数学学习信念 (数学学习观) , 是教师对数学学习过程、学生的行为、学生的心理活动、组成学习活动成分的看法。从心理学角度看, 主要有四种学习观:行为主义的、认知主义的、人本主义的、建构主义的。我国学者还没有对我国数学教师的数学学习信念做过研究, 但意大利学者Shahvarani的研究显示:持传统数学学习信念 (行为主义学习观) 的教师认为给学生解释概念, 然后反复练习即可;而持非传统数学学习信念 (建构主义学习观) 的教师认为学生对概念的理解是通过解决问题完成的, 没必要做过多的练习。

数学教学信念 (数学教学观) , 是教师在教学过程中对教师角色、学生角色、课堂活动、教学方法、教学重点、教学步骤、教学结果与评价的理解。美国学者Kuhs研究得出四种教学信念:学生为中心的、练习为中心的、内容为中心的、课堂为中心的。黄毅英对海峡两岸的数学教师的教学信念调查显示:台湾数学教师最以学生为中心, 内地 (长春) 教师是最不以学生为中心。Correa等人对中 (北京) 美两国的教师教学信念也做过研究:中国教师看重将教学内容与实际生活相联系, 而美国教师注重学生的学习方式, 更多采用“动手做”的教学方法。

调查研究表明数学教师的信念对教学与学生的数学学习会产生很大影响, 而且, 由于信念转化为教学实践也存在客观限制, 教师的信念与教学存在不一致的情况时有发生。

数学教师信念的转变:数学观的更新——由静态的数学观到动态的、辩证的模式论的数学观;数学教育观的更新——正确认识数学教育的价值及其时代特征;数学学习观的更新——正确认识数学学习活动的本质。

三、数学教育哲学在高职校的思考——高职学生需要什么样的数学教育

根据郑毓信教授的观点数学教育哲学围绕以下四个问题展开:数学的本质, 数学学习活动的本质, 数学教育的目的, 数学教学活动的本质。从欧内斯特对数学教育哲学的系统研究到现在已有20年的时间, 五年制高职院校才刚开始, 有无探索数学教育哲学的必要?实际上, 这涉及到学生需要什么样的数学教育问题。

先看一下高职学生的培养目标——高技能人才 (2004年7月在南京召开的七部委联席会议上) , “高”体现在:一是在知识水平上, 有丰富的实践和理论基础, 能独立解决一些问题。二是在技术创新能力上, 有自己独特的长处, 有一种不断探索求知的欲望, 不因循守旧, 有创新精神。三是在科学态度上, 尊重科学规律与客观事实。四是在人文素养上, 有健全的人格, 有涵养, 能反思, 有团队意识。

需要我们坚持数学教育的价值性和社会性:

数学教育应体现价值性——学生个体角度, 数学是学生认识实践活动的一种模式及思维工具, 体现在:有数学 (科学) 的语言, 思维能够“自由”想象与创造, 学会数学地思维、数学地观察世界和处理问题, 形成“数学化”的思想与解决问题的艺术, 数学成为自身文化的重要组成部分。

数学教育应体现社会性——社会角度, 数学教育应体现社会的要求, 培养出社会需要的人。美国的数学教师全国委员会 (NCMT) 的《学校数学课程和评估的标准》被认为开拓了数学教育改革的一个新台阶, 书中提出了数学教育的四个“社会目标”: (1) 具有良好的数学素养的劳动者; (2) 终身学习的能力; (3) 平等的教育; (4) 明智的选民。这些“社会目标”的核心是使所有的学生具有较高的数学素养。

这里就提出了数学教育的原则:数学教育与社会进步、数学发展相适应;数学教育是动态的;数学教育中教育研究先行;数学教育受到文化观的影响。

四、做“教学+研究”型教师

这是回答要做什么样的数学教师的问题!

我国著名数学家刘绍学教授指出, 我国教师大体可分成两种。一, 只顾教书, 很少学习。他们有较强的教学责任心, 也能把书教得很好, 受到学生和家长的好评;二, 既教书, 又学习。这一种教师又可分成两类:一类是一边教书又认真学习教育教学理论, 比如, 教育学和心理学包括现代教育教学技术等;另一类是边教书边研究数学, 不断提高自己的数学专业知识水平, 当然也关注教育理论的学习。我们认为, 这后一类教师的数学素养最高, 给学生的感染力也最强, 对学生的影响最大。所谓“名师出高徒”, 主要说的是这类教师, 学生最推崇的也是这类教师。我个人的看法, 数学教育家首先应该是数学家。M.克莱茵, G.波利亚等皆如此。这就相当于体育教练员首先应该是有杰出成绩的运动员一样, 因此, 要做一个好的数学教师, 首先就要有好的数学功底。

作为一个优秀的数学教师, 要有较高的数学素养。不仅应该通晓初等数学与高等数学, 而且也应该了解相应的数学背景, 清楚数学的文化内涵, 了解其在数学结构中的地位与作用。一个教师的数学素养越高, 就会很好地掌握数学教学的主动权, 就能做到深入浅出, 教好数学。

数学素养提高的前提是对数学方法论深入认识。

方法论是关于认识世界和改造世界的方法的理论, 数学方法论是对数学思想 (维) 方法的研究。数学不是简单地等同于数学知识的汇集, 数学是数学共同体在“语言”、“方法”、“问题”、“命题”等多种成分所组成的复合体中的一种创造性活动。数学共同体在数学发展中创造了许多数学方法:“数学模型法、数学猜想 (包括归纳与类比) 、公理化方法与形式化方法、数学创造的心理学方法 (包括直觉、灵感或顿悟、审美) 、数学实验。”

数学教师对数学方法论研究, 重点关注数学思维模式的研究, 依此把握数学活动中学生思维活动的特点。

数学方法论对数学教学的积极意义不言而喻, 明显的事实:有助于我们把数学讲懂、讲活、讲深, 有助于学生掌握活的数学知识, 领会内在的思维方法, 而不是死记硬背。在更深的层次上, 数学方法论的研究, 是贯彻素质教育的要求, 达到数学教育目标。

五、形成基于数学文化的数学教学

原有的教育教学理念是在特定历史时间下形成的, 不相符的, 必须打破。另一方面, 我们不能坐等, 要做研究型的教师, 特别是探索数学教育现代发展的趋势, 实现对“波利亚的超越”。坚持:“发现问题, 正视问题, 解决问题, 不断前进。”

数学文化。从人类文化学的角度, 数学文化是科学文化范畴的一种基本形态, 具有一般文化的价值且有科学的价值, 数学的精神、思想、内容、方法、语言、数学符号都已成为现代文化的不可或缺的一部分。从数学共同体的角度, 数学文化是指数学家的“行为方式”, 即数学家的数学文化是由数学知识 (知识性成分) 数学观念系统 (观念性成分) 组成。从数学精神角度, 数学是一种理性的精神。

基于数学文化的数学教学的内涵。

布鲁纳认为:“不论我们选教什么学科, 务必使学生理解该学科的基本结构。”基本结构就是一门学科的基本原理、基本概念和规律的体系。“简单地说, 学习结构就是学习事物是怎样联系的”, “他学到的观念越是基本, 几乎归结为定义, 则这些观念对新问题的使用性就宽广。”数学中的概念、定义、定理等虽然看似是一般性的知识, 但却是人类知识与经验精华的浓缩, 是真理的反映, 提供学生发展最基本和最持久的动力, 教学中不仅不能简化或忽略, 而且要加强。

思维教学应贯穿于整个教学之中。思维是数学的灵魂, 数学教学的核心是思维的教学。数学家在研究现实世界的空间形式与数量关系时, 创造出了数学语言与数学符号, 这是是数学思维外现形式, 展现了数学共同体如何用最精炼的语言、科学的态度、理性的精神思考遇到的问题。

对数学美的认真审视是教学富有智慧的表现, 数学命题、数学概念、数学模型等都是美的典型代表, 是美的简单性、协调性、对称性、统一性、奇异性等体现, 数学美可以培养学生的审美情感与情操, 也是培养学生直觉思维与灵感的最有效与根本的途径。

课程观。呈现多种“声音”, 课程要融入学生的日常生活体验, 将课程作为促进学习的重要元素, 而不仅仅是知识的载体, 注重知识准则的意义和使用。例如, 现在的高职数学课程可分为基础篇:知识的体系、概念的衍生及思想方法的理解;欣赏篇:数学的美、数学的人文内涵、数学家的故事、数学史;应用篇:如何利用数学进行建模, 解决问题, 形成解决问题的数学思维。提高篇:数学语言下的合情推理与证明、归纳。

教师角色。教师应是学习者和实践者以及是有改革能力的教育者, 不是简单教给学生知识, 而是使知识概括化和客观化, 帮助学生通过多种途径理解课程知识。

实现有效教学, 必须坚持以教育哲学作为指导, 探索基于数学文化的数学方法论的教育方式。

摘要：标题原意取自杜威《哲学的改造》, 旨在表明对这样问题的忧虑和思考, 试图从思想 (维) 的深处寻找问题的根源。本文努力从存在的问题出发, 分析影响数学教学的因素, 根据高职人才的培养目标, 分析高职学生需要什么样的数学教学, 通过对数学方法论意义的再认识, 形成基于数学文化的数学教学。

用中国传统哲学思想指导数学教育 篇7

关键词： 中国传统哲学；中庸；阴阳；道法自然；天人合一；数学教育

用“中庸”作为数学教育的指导思想

顾泠沅教授指出：寻找中间地带是一种智慧，一种不走极端而达到集大成的智慧. 这个不走极端的“智慧”，其实就是中国传统哲学的精髓之一“中庸”. 《中庸》是儒家经典“四书五经”之一，其核心思想是“执两而用中”，“执两”是指要控制住事物发展变化的两极或两个维度，“用中”是指要促进这两极的“和合、和谐”，而不是简单的“折中”. 《中庸》第一章“天命章”盛赞“致中和，天地位焉，万物育焉.”

“中庸和谐”是中华民族的传统哲学思想，但西方似乎恰好相反，爱走极端，从美国摇摆多变的数学教育改革就可以看出. 20世纪60年代，受苏联发射的第一颗人造地球卫星的影响，美国发起了“新数运动”数学教育改革，结果是过于强调数学结构思想的理解，忽视了数学基础的掌握，脱离了学生的认知实际；“新数运动”失败后，反思中美国在70年代提出了“回归基础”的口号，认为只要通过反复的讲授，大量和机械的练习，就可以使学生较好地掌握所谓的基本知识和基本技能；过度“回归基础”又导致了学生数学能力发展的不足，反思中美国在80年代提出了“问题解决”口号，强调要通过“问题”来发展学生的数学能力，但这样又容易忽视数学知识的系统学习，使美国的数学教育仍未得到理想的效果；进入20世纪90年代后，国际数学教育界的最响亮口号是“大众数学”，但对此的过度追求又导致了数学教育的要求和水准普遍下降，忽视了数学优秀学生更高层次的培养.

可见，教育走向偏极必将是顾此失彼，这是把非常复杂的教育问题简单化处理的后果. 我国的新课程改革已经试行了十年，新课程标准吸收了不少美国“先进”的数学教改思想，但是否适合中国的国情还存在不少争议，试行过程中也出现了不少问题. 为了促进现在新一轮数学课程改革的深入发展，2014年郑毓信教授撰文提出“数学教育改革十五诫”：戒条之一——数学教学不应只讲“情境设置”，但却完全不提“去情境”；戒条之二——数学教学不应只讲“动手实践”，但却完全不提“活动内化”；戒条之三——数学教学不应只讲“合作学习”，但却完全不提个人独立思考；戒条之四——数学教学不应只提“算法的多样化”，但却完全不提“必要的优化”；戒条之五——数学教学不应只讲“学生自主探究”，但却完全不提“教师的必要指导”……，这些都是要求“执两而用中”，避免教学的失衡. 所以，我们应该把“中庸”作为一种基本的教育教学指导思想，教学的效果和艺术性就体现在“用中”的水平上.

用“阴阳学说”作为数学教学的操作指导

“执两而用中”是宏观的教育指导思想，而《易经》中的“阴阳学说”就可以作为具体操作的指导了.

教育是复杂多变的，存在许多矛盾的、对立统一的两极，一极称为“阳”，对立的另一极则称为“阴”，这阴阳两极相对运动变化的关系在我国古老的“阴阳八卦图”中得到了淋漓尽致的形象描述.

图1内部的“阴阳鱼”（白为阳，黑为阴）的寓意是：万事万物都存在阴阳对立的两极，这两极是辩证统一的，其一是“阴阳对立”，相互制约，即“阴消则阳长，阴盛则阳衰”；其二是“阴阳相生”，相辅相乘，即“孤阴不生，孤阳不长，阴中有阳，阳中有阴，阴阳和合而生”；其三是“阴阳平衡”，即事物的阴阳两极总是处于不断的相互影响、此消彼长的运动变化之中. 若能阴阳中和平衡，则“万物育焉”，即事物处于生生不息的发展状态；若阴阳偏极失衡，则事物将处于败坏状态，甚至趋向毁灭. 外部的八卦图实际上是对阴阳两极此消彼长变化过程的“量化”表示，是一种古老的数学符号.

阴阳学说是中医的基础性指导思想，我们也可以用它来处理数学教学中矛盾对立的两极. 例如：

1. 基础（阴）与创新（阳）

阴阳对立——中国的数学教育过于重视“双基”而影响了创新能力的培养；美国的数学教育重视创新，但又忽视了数学基础的夯实.

阴阳相生——“没有基础的创新是空想，没有创新的基础是傻练”.

阴阳平衡——采取问题驱动的数学课堂教学和变式训练等方法，可以在“双基”教学的同时，培养学生的创新意识和能力；创新能力的培养训练也必然会巩固和发展数学基础.

2. 应试教学（阴）与能力发展（阳）

阴阳对立——“统一的、稳定的、闭卷定时的笔试，能够考查的实际上只能是‘知识’，能力是很难检测的. 尤其是创新能力，几乎无法用这样的笔试进行检验”. 目光短浅、急功近利的数学应试教学的原则是“考什么，就教什么；怎么考，就怎么教”，结果往往是“仅仅把解题作为‘知识’学习，不提高到‘创新’高度加以重视，就会异化为刻板的套路，成为单纯应试的工具. 有些学生把题目做完了，也不知道自己在做什么.”

阴阳相生——“无知者一定无能”，能力强的学生基础肯定好，考试成绩也不会差. 2014年7月21日的《参考消息》摘登了2014年7月18日的《纽约时报》刊登的华盛顿大学心理学教授亨利·L·勒迪格的研究文章表明“考试能让学生聪明”，其实验研究发现“经过测试后，学生调取知识的能力增强，知识掌握得更加牢固”，而“学习的重要挑战便是避免遗忘”.

阴阳平衡——学生能力的发展当然有利于考试成绩的提高，只不过能力和素养的培养难以短期见效而已. 现在数学高考的改革越来越着力于数学能力和素养的考查，使急功近利、机械训练的“题海战术”越来越难以取得好成绩. 应试和能力发展其实并没有本质的矛盾，问题是在于心态和实际教学操作，只要不急功近利，制定好学生能力发展的长远计划，改进数学教学，就能够既完成“应试”的社会任务，又促进了学生能力和素养的发展.

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张奠宙教授强调：教师主导与学生主体的辩证统一，打好基础与创新发展的有效平衡，接受学习与自主探究学习的适度对接……等，都是要求我们教师要努力把握好复杂的教育系统中“阴阳”两极的平衡. 而阴阳两极是不断运动变化的，阴阳平衡是个动态的过程，要达到恰到好处的“阴阳中和”是不容易的，所以“教之道在于度”，以致特级教师于漪老师说：“教育是一门遗憾的艺术”.

用“道法自然”理念来把握数学教育的自然本性

“道法自然”是老子所著的《道德经》的一个核心思想. “道”之意有二，一是指天地万物的创造者，“道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和”；二是指天地万物发展变化的规律，既指自然规律，也包括人类社会规律. “人法地，地法天，天法道，道法自然”则指出“道”的规律是遵循自然的本性. 数学是自然的，数学教育之“道”也应“取法于自然”，即要“以人为本”，遵循学生的认知规律和数学知识发生、发展的规律. 教育是要服务于社会需要的，教育不可避免地带有功利性，以致教育常被违背其自然本性的功利性目的所异化，“应试教育”就是一个典型. 我们教师要注意识别和排除被异化的教育教学，以“道法自然”，“教育自然”的理念，回归教育教学的本来面目，即如《庄子·山木》所言“既雕既琢，复归于朴”，意指要讲究方法和技巧，努力去雕琢修饰，但最终追求的是回归事物本质的自然本性“朴”. 主要的任务有：

1. 把数学知识的“学术形态”转化成“教育形态”，使学生经历知识发生、发展的“再创造”过程.“学术形态”的知识记载的往往只是理论成形后的结果，忽略了知识形成的发生、发展过程. 若教师不理解教育或为图便利，简单地告知数学的知识结论，然后进行模仿训练，这就犯了荷兰数学教育家弗赖登塔尔所言的“违反教学法的颠倒”错误，数学教学被异化为学生难以理解的“填鸭”.

2. 用“阴阳学说”协调平衡好影响教学的各个因素和矛盾，避免教育教学走向偏极而异化.

3. 借鉴理论，以实践为准绳，避免因机械套用教学理念或理论而发生的“为教改而教改，为形式而形式”的教学异化. 郑毓信教授指出，与传统的“理论指导下的自觉实践”相比，广大一线教师应当更加重视自己的独立思考，而不应盲目地去追随潮流，并应通过积极的教学实践与认真的总结与反思不断发展自己的“实践性智慧”. 我们要善于学习和应用理论，但不能以理论为标准，而是要以实践为准绳，所谓“实践出真知”，教学的成功更多地是依赖教师对学生学习数学真实“自然”过程的理解基础上形成的教学实践经验.

用“天人合一”系统论来促进数学教学的整体优化

《周易大传》把人和自然看作是有机的整体，认为世界上的一切事物都一气相通，一脉相承，“天人合一”是其所推崇的重要“易道”. 天道、地道、人道和谐一致，成为中华民族千年一脉相承的整体思维模式. 教育教学是一个复杂多变的有层次的大系统，我们可以用传统的系统性整体思维来促进数学教学的整体最优化. 这首先要着眼于数学及数学教学系统的高度设计教学，要让学生在系统中认识局部的知识，其次要协调好各个子系统的地位和相互关系，以促进教学系统整体的最优化为目的. 下面就以高中数学必修一的《函数的单调性》的教学设计为例进行说明.

从高中数学教学的大系统来看，必修一“函数的单调性”是高一新生第一次学习（且要求应用）用抽象的形式化符号语言来刻画几何直观形象的变化. 高中数学最难之处就是抽象的形式化语言的理解及其推理. 所以这节课要着眼于学生抽象的形式推理能力培养的长远计划，定位于这个长远计划的开端，即这节课的境界要高，起点要低，难度要小. “境界要高”就是这节课要充分展示数学化的过程和思想，使学生体会到数学形式化定义和推理的意义及必要性，做好学生能力发展和单调性应用的奠基工作.

从本章节的子系统来看，函数的单调性一般要上三个课时，第一节课的重点是单调性的意义及其形式化定义的理解和初步应用，第二、三节课则重在单调性的判断和应用.

第一节课子系统的教学环节和设计要求是：（1）创设情境，引入课题. 引入环节从属于配角地位，一般要在情境中直奔主题，不要纠缠过久，耗时太多. （2）问题引导，形成概念. 此环节是本课的重点和难点，也是最有教学价值之处，可以不惜“笔墨”，要充分展现逐步数学化的过程、思想及其必要性. （3）说文解字，精确掌握. 这对函数单调性概念的精确理解是必要的，要结合正例和反例让学生准确理解概念的关键词. （4）练习巩固，形成技能. 单调性的形式化定义难以理解，也难以掌握，经过前三个环节的教学，学生对函数的单调性形成初步的较完整的认识后，就应该趁热打铁进行初步的应用训练，这也是增进单调性这种操作性概念理解的必要环节. （5）综合练习，反思总结. 这是本课的“收官”，是完善学生认知结构的“点睛之笔”. 本课的一环节是引子，二、三、四环节是核心和重点，五环节是总结和提升，这五个环节逐层递进，相互配合，缺一不可，形成一个完整的、整体优化的教学系统.

代钦教授指出，中国传统思维中整体思维独占鳌头，分析思维相当薄弱，整体思维有很多优点，但也有直观性、模糊性、牵强附会的神秘性等严重缺陷. 而西方擅长分析思维，欧美的数学教育理论具有实证、精确、逻辑等优点. 所以我们若能以中国的传统哲学思想作为宏观指导，又善于实践中的反思分析和妥当应用欧美的教育理论，则必将会奏响“中西合璧”的美妙的数学教育篇章！