高中数学新课程创新教学设计案例古典概型

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型（精选7篇）

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型 篇1

古典概型

教材分析

古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一．这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率．教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想．这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率．

教学目标

1.通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．

2.理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式．

3.通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义．

任务分析

这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念．在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举．

教学设计

一、问题情境

1.掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为

．

2.一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为．

3.在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的．

二、建立模型

1.讨论以上三个问题的特征

在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论． 结论：（1）问题1，2与问题3不相同．（2）问题1，2有两个共同特征：

①有限性．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性．每个基本事件发生的可能性是均等的． 2.古典概型的定义

通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义．

如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型．

一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．例如，第3个例子就不属于古典概型．

3.讨论古典概型的求法

充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法．

一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得

P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1． 又∵P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），∴代入上式，得nP（A1）＝1，即P（A1）＝

．

∴在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为．

如果随机事件Ａ包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝mn，即

三、解释应用

.［例题一］

1.掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率． 注：规范格式，熟悉求法．

2.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

［练习一］

在例2中，把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

注意：放回抽样与不放回抽样的区别． ［例题二］

甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）．求：（1）平局的概率．（2）甲赢的概率．（3）乙赢的概率．

解：把甲、乙出的“锤子”、“剪刀”、“布”分别标在坐标轴上．

其中△为平局，⊙为甲赢，※为乙赢，一次出拳共有3×3＝9种，结果如图29-1．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．

由古典概率的计算公式，得

思考：例3这类概率问题的解法有何特点？

［练习二］

抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率．（2）出现两个4点的概率． ［例题三］

掷红、蓝两颗骰子，事件A＝｛红骰子的点数大于3｝，事件B＝｛蓝骰子的点数大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一颗骰子点数大于3｝发生的概率．

教师明晰：古典概型的情况下概率的一般加法公式． 设A，B是Ω中的两个事件．

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），特别地，当A∩B＝［练习三］

时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63．问：至少有一根熔断的概率是多少？

四、拓展延伸

每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲．同样地，他的父亲和母样的基因也有两份．在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代．

以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：（1）眼睛为褐色．（2）眼睛不为褐色．

如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”，则孩子的眼睛也为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）．如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”，另一份为“眼睛不为褐色”，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况．生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作显性基因．

为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因．每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基

因B，母亲提供基因b），bB，bb．注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色．

假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？

点 评

这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，没有突兀感，符合学生的认知规律．例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用．

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型 篇2

教学大纲要求理解“古典概型”, 掌握“古典概型”概率计算公式, 把对“古典概型”的研究作为重点知识模块。因文科新课程教材删去排列、组合的有关章节, 在利用等可能事件的概率公式计算概率时, 不能用排列组合知识, 所以把计数的方法局限于列表法、树形图, 强化它们在解决“古典概型”中的作用。教师应培养学生养成用列举法解决“古典概型”的意识, 教会学生学好如何运用列举法去计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。运用列举法计算“古典概型”是概率模块教学的难点。

二、古典概型的知识结构

1.“古典概型”满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征。

2.“古典概型”的概率公式:

事件A包含的基本事件的个数

3.求古典概率的一般步骤:

(1) 弄清题目的背景材料;

(2) 判断是否为等可能事件, 设出所求事件A;

(3) 分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;

(4) 用公式P (A) =m/n求出事件A的概率。

三、例题精选、解析

列举法在解决“古典概型”的实际应用中起到关键性作用, 可使许多复杂的实际问题迎刃而解。下面笔者运用“列举法” (列表法、树形图、图解法) 来解决几个典型的概率问题。

例1:齐王与田忌赛马, 田忌的上马优于齐王的中马, 劣于齐王的上马;中马优于齐王的下马, 劣于齐王的中马;下马劣于齐王的下马。现各出上、中、下三匹分组进行比赛, 如果双方均不知对方马的出场顺序, 探求田忌获胜的概率。

解:此题可通过列表如下:

由上表可知:田忌胜的概率为1/6。

例2:用红、黄、蓝三种颜色给3个矩形随机涂色, 每个矩形只涂一种颜色, 求3个矩形颜色都不同的概率。

解:用树形图表示如下:

可见所有可能的基本事件有27个, 记“3个矩形颜色都不同”为事件A, 事件A的基本事件有2×3=6个, 故P (A) =6/27=2/9。

例3:同时掷相同的两枚硬币, 观察正、反面出现的情况, 出现两正一反的概率为1/4, 对吗?

解:不对。应注意所有结果必须是等可能的, 所有可能的基本事件应是8种, 而不是4种。即 (正、正、正) , (反、反、反) , (反、正、反) 、 (正、反、反) 、 (反、反、正) , (正、正、反) 、 (正、反、正) 、 (反、正、正) 。记“出现两正一反”为事件A, P (A) =3/8。

例4:抛掷两颗骰子, 求点数之和大于5小于10的概率。

解:可借助直观图解决, 作图如下:

记“点数之和大于5小于10”为事件A。如图, 事件A包含有20个基本事件, 即 (1, 5) , (1, 6) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , 故P (A) =20/36=5/9。

例5:甲、乙两人掷骰子打赌, 甲、乙各掷一次为一个回合, 掷骰子的过程按照一个回合一个回合的顺序进行, 赢家获得全部赌金。两人约定, 到某个回合如果甲累计掷出三次“6点”, 而乙未掷出三次“4点”, 则甲为赢家;反之, 如果乙方累计掷出三次“4点”而甲方未掷出三次“6点”, 则乙为赢家;如果甲累计掷出三次“6点”, 并且乙掷出三次“4点”, 则这个回合不计, 退回到上一个回合的基础上继续掷骰子, 直到分出输赢。掷骰子若干次后, 甲累计掷出两次“6点”, 乙累计掷出一次“4点”, 这时游戏因故不能继续进行, 问在这种情况下如何合理分配这些赌金?

解: (方法1) 记甲为事件A, 若甲掷6点发生, 则甲必赢, 所以甲的概率为1/6;若甲掷非6点而乙掷4点, 则“6点”和“4点”各累计出现2次, 这时甲、乙又站到了平等的起点上, 他们成为赢家的机会相等, 于是甲赢的概率为 (5/6) × (1/6) × (1/2) ;若如果“6点”和“4点”都未发生, 则甲、乙又回到打赌中断时的状态, 于是得到P (A) = (1/6) + (5/6) × (1/6) × (1/2) + (5/6) × (5/6) ×P (A) , 解得P (A) =17/22。

(方法2) 用树形图表示如下:

P (A) = (1/6) + (5/6) ×[ (1/6) × (1/2) + (5/6) P (A) ], 解得P (A) =17/22。

因此, 这个问题合理的分配方案为:甲方得全部赌金的17/22, 乙方得全部赌金的5/22。

求解概率问题灵活多变, 事件的可能结果繁多, 用图解法、列举法, 可避免遗漏出错, 数形结合是解题的首选。

摘要：概率问题与实际联系紧密, 教师应准确把握古典概型的教学大纲, 熟悉“古典概型”的知识结构, 借助列表法、图解法等列举法, 明确题意, 数形结合, 寻求最佳正确的解决方法。

关键词：“古典概型”,古典概率教学,列举法

参考文献

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型 篇3

教材分析

“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取„＝‟号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．

教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．

教学目标

1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．

2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．

3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．

任务分析

这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．

教学设计

一、问题情境 教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

3二、建立模型

1.通过比较ａ＋ｂ与2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）＞0； 当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2.结论明晰

定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．

22思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？

三、解释应用 ［例 题］ 1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：

小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．

2.设法解决本节课开始提出的问题．

因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．

3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ． 22.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．

3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？

四、拓展延伸

点 评

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型 篇4

教材分析

引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．

教学目标

1.通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．

2.理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．

4.通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．

任务分析

这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．

教学设计

一、问题情境

1.如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移点的位移结果相同．，的结果，与A点直接到C

2.如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．

位移认为：与合成为

等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，F分别是位移位移、力的合成可看作数学上的向量加法．

2.在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义

已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝

＋

＝a，＝

.＝b，再作

求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？

强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．

（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b． 注：要求写出作法，规范解题格式．

2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．

［练习］

1.如图，已知a，b，画图表示a＋b．

2.已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求证.4.在n边形A1A2…An中，计算

四、拓展延伸

1.对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件． 2.在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？

点 评

高中数学新课程创新教学设计案例古典概型 篇5

教材分析

在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α为任意

－（α＋β）］角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．

任务分析

这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcosｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．

教学目标

1.能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．

2.能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．

3.通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．

教学过程

一、问题情景 如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？

设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？

通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索． 3.分析公式的结构特征

Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．

三、解释应用 ［例题一］

已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．

由sinα＝－［练习一］ 及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

分析：1.（1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）． 2.应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．

3.应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．

4.该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．

已知向量的坐标． ＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到

1，2的位置，求点P1，P2的坐标．

［例题三］

求下列函数的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．

注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则

［练习三］

求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．

四、拓展延伸

出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．

1.已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．

2.已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：

点 评

这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差正弦公式产生的背景，然后引导学生体会公式的形成过程，进一步理解和分析化归、换元、类比等数学常用思想方法在三角变换中的作用．例题的设计由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有一定深度，为学生的数学思维能力和创造力的培养提供了平台．

新课程理念下高中数学创新教学 篇6

(一)新课程理念下高中数学教学设计的特点

新的课程理念只有在教学上得以“物化”，才能真正发挥作用.在新课程实施中，新理念指导下的高中数学教学设计具有如下突出特点：

1. 问题情境体现文化底蕴通

过联系现实生活中的应用实例，体现数学在实践中的巨大作用;通过深层次的历史文化背景的展示，体现数学学习对自然、历史文化及人类自身的关注和热爱;通过数学故事或数学史的讲述，培养学生对数学学习的兴趣;通过对科学研究，特别是数学研究工作中的伟大人物介绍，帮助学生形成坚强的个性;通过揭示数学知识结构内在的魅力，让学生从中体验到数学的美、严谨对称、逻辑性等.问题情境的展示，可以充分体现数学教师深厚的人文底蕴，对形成学生终身受益的认知结构、学生人格的塑造、学生综合素养的形成和发展都有着巨大的作用.

2教学设计体现现代教育教学观念

教学观念是带有普遍性的、最基本的、可以作为其他教育规律的基础规律和基本观点.在反映数学教学观念的案例中，执教者抓住其中能说明问题的“亮点”展开，并加以分析，进行教学设计.实际上，这个“亮点”完全可以反映出执教者的教育教学观念，并展现出他的教学设计水平.教师在激起认知动因、安排认知方法、组织认知内容和利用认知结果等方面采用的策略，应突出地展现出现代数学教学的一个或几个基本教学观念.

3. 学习过程的设计体现自主精神

在教学过程的设计中，教师应给予学生充分的选择机会和自主发展的空间，使学生通过能动的、创造性的学习活动，实现自主精神的充分发挥，改变传统教学过程的“讲―――学―――练”模式，强化通过问题解决来学习的“学―――讲―――练”方法，使学生“学会学习”.事实上，学生的自主精神是通过课堂上的交流活动来体现的，可采用实验、尝试、猜测、讨论等方式进行.交流活动是通过“会话”来实现的，交流的对象除师生交流外，要重视学生之间的交流活动.交流的内容是广泛的，可以交流知识、交流方法、交流信息、交流体会等，让学生在课堂上有充分的活动空间和时间，形成学生自我寻求发展的愿望，充分发挥他们的自主精神.

4. 知识建构体现渐进过程

建构主义的知识观认为：知识只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，它不是问题的最终答案，它必将随着人们的认识程度的深入，不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设.知识并不能绝对准确无误地概括世界的法则，提供对任何活动或问题解决都适用的方法.在具体的问题解决中，应针对具体问题的情境对原有知识进行再加工和再创造.真正的理解只能通过学习者自身基于自己的经验、背景而建构起来，取决于特定情境下的学习活动过程，否则就不叫理解，而叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式学习.在教学过程的设计中，应依据实际情况安排好学生的认知过程，支持、帮助学生逐步地建构知识的`意义.因此，这个过程的安排必须适合学生的认知规律，并通过反馈和调控的操作来安排好这一过程.

5. 课件制作体现动态交互

一般的演示课件只能按事先设计好的数据、过程向学生作出展示，学生仍是被动接受课件的演示结果，更有甚者是，学生的思维始终跟着计算机的演示走，计算机课件反而成为学生思维活动的障碍.在新理念下，计算机课件制作除了要求使用新的技术，体现真实、美观、动感外，特别强调它的交互性，所用数据可以修改，使课堂成为实验室;学生可上机设计并操作，还留有课后进一步实验、探索、研究的余地.

(二)高中数学新课程教学设计的基本要求

众所周知，与以往的课程相比，新的高中数学课程改革从改革理念、课程内容到课程实施，都有较大变化.要实现数学教育教学改革的目标，教师是关键，教学实施是主渠道，而教学设计是实现课程目标、实施教学的前提和重要基础.

为此，在高中数学教学设计中，必须充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，以及不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及数学思想方法，发展应用意识和创新意识，形成积极的情感态度，提高数学素养，使学生对数学形成较为全面的认识，为未来发展和进一步学习打好基础.

新的课程理念对高中数学教学设计提出了一系列要求，这些要求集中体现为如下几个方面.

1. 教学内容的设计要注意体现数学的文化价值和人文精神，关注具体数学内容的特点

一方面，在高中数学教学内容的设计和编写中，应将数学的文化价值渗透在各部分内容之中，并采取多种形式，如与具体数学内容相结合或单独设置栏目作专题介绍;列出课外阅读的参考书目及相关资料来源，以便学生自己查阅、收集整理.

另一方面，要注意新理念、新内容在高中数学教学素材编写上的特殊处理.例如，算法是高中数学课程中的新内容之一.在设计教学素材时，要注意突出算法的思想，提供实例，使学生经历模仿、探索、程序框图设计、操作等过程，从而体会算法思想的本质，而不应将算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序设计.同时，教学素材的设计还要注意在能够与算法结合的课程内容中，融入用算法解决问题的练习，不断加深学生对算法的认识.例如，可以在求一元二次不等式解的内容中融入算法的内容.

此外，应把“数学探究”、“数学建模”和“数学文化”等新的学习活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课题作业或专题总结报告.

2. 教学内容的选取要帮助学生打好基础，发展能力

在教学设计时，既要关注学生在数学情感态度和科学价值观方面的发展，也要帮助学生理解和掌握数学基础知识和基本技能，发展能力.

(1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握.教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.

(2)重视基本技能的训练.熟练掌握一些基本技能，对学好数学非常重要.在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练，但应注意避免过于繁杂和技巧性过程的训练.

(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能.随着科技的进步、时代的发展和数学研究的不断深化，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学要与时俱进地审视基础知识和基本技能.例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识.对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学.例如，立体几何的教学可从不同视角展开―――从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法(代数方法)处理有关问题;不等式的教学要关注它的几何背景和应用;三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明.又如，口头、书面的数学表达是学好数学的基本功，在教学中也应予以关注.同时，应删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向.

3. 教学素材的选取应注意体现数学的本质，关注与实际的联系，关注学生的现实，注意适度的弹性

教学设计中的素材选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平.素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性.

事实上，高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识，这些内容是学生进行高中的数学学习的基本出发点`.在教学设计中，选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念，结论，体现数学的思想，方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在身边，数学的应用无处不在.例如，通过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的意义和应用;选择具有丰富生活背景的统计案例，可以展示统计思想和方法的广泛应用;通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念.

此外，在教学素材的编写时，内容的设计要具有一定的弹性.例如，根据学生特点和兴趣，可以在高中数学教学的相关内容中安排一些引申的内容，这些内容可能是一些具有探索性的问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些重要的数学思想方法.选择和安排这些内容，要注意思想性、反映数学的本质.

4. 进行教学内容组织的设计，要关注相关数学内容之间的联系，帮助学生全面地理解和认识数学

数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的数学学习是循序渐进、逐步发展的.教学素材编写时，应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容的联系.

为了培养学生对数学内容联系的认识，在教学设计中，须要将不同的数学教学内容相互沟通，以加深学生对数学的认识和本质的理解.例如，可以借助二次函数的图像，比较和研究一元二次方程、不等式的解;比较等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的图像，发现它们之间的联系等.

新的高中数学教学内容是根据学生的不同需要，分不同的系列和层次展开的.对此，必须引起教学设计的足够关注.同时，处理这些内容时，还要注意明确相关内容在不同模块中的要求及其前后联系，注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高.例如，统计的内容，在必修系列课程中主要是通过尽可能多的实例，使学生在义务教育阶段的基础上，体会随机抽样、用样本估计总体的统计思想，并学习一些处理数据的方法;在选修课中则是通过各种不同的案例，使学生进一步学习一些常用的统计方法，加深对统计思想及统计在社会生产生活中的作用的认识.

5. 教学内容的呈现应关注知识的发生、发展过程，促进学生的自主探索

在高中数学教学设计中，呈现教学内容应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则.例如，在引入函数的一般概念时，应从学生已学过的具体函数(一次函数、二次函数)和生活中常见的函数关系(如气温的变化、出租车的计价)等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念;立体几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系.

在教学设计中，应注意创设恰当的情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉.

教学素材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程;还可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解.

6. 教学设计要充分体现现代信息技术与数学教学内容、教学形式的整合

古典概型教学反思1 篇7

《古典概型》是高中数学必修3第三章概率的第二节内容，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。一．教学设计反思

本节课我将“知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观”这三维目标结合在一起，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，使学生们理解并掌握了古典概型及其计算公式，会用会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。二．教学过程反思

通过两个试验：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成40次，最后由科代表汇总；(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由科代表汇总。学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题,归纳出基本事件及其计算公式。三．反思优点与不足

本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在学生小组讨论时指导得不够到位，应该赋予学生更多的时间，给他们更多的自主权。