中值定理超强总结

中值定理超强总结（精选2篇）

中值定理超强总结 篇1

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1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)0 试证至少存在一点(a,b)使得f()2f()1分析：把要证的式子中的  换成 x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x)找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下： f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与 g 有关的放另一边，同样把  换成 x g(x)dx

f(x)f(x)两边积分g(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Ce f(x)eg(x)dxC 现在设C0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)e③一阶线性齐次方程解法的变形法 g(x)dx对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x 的函数）pdxpdx可引进函数u(x)e，则可构造新函数F(x)fe例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0 求证：存在(a,b)，使得f()分析：把所证式整理一下可得：f() [f()f(a)]1ba1f()f(a)baf()f(a)ba0[f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型xx－－badx 引进函数u(x)e＝eba（令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注：此题在证明时会用到f(c)f(b)f(a)ba0f(b)f(a)这个结论

2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

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例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)baf()f()

分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么下可以试一下，不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一 F()f()f()bf(b)af(a)ba(x1,x2)至少存在一点②柯西定理

例 4 设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在 1c，使得ex2x1ex2ex1f(c)f(c)ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要证的式子e1f(x2)eex1f(x1)f(c)f(c)e 这题就没上面那道那么 发现e1f(x2)exx2容易看出来了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，变换一下，ex1x2f(x2)ex2f(x1)e1x11x2于是这个式子一下变得没有悬念了eex1 用柯西定理设好两个函③k值法

仍是上题数就很容易证明了分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个 第一步是要把含变量与 以此题为例已经是规范 设常量的式子分写在等号的形式了，现在就看常k 整理得ex1两边量的这个式子x2

ex1f(x2)eex1x2x2f(x1)e[f(x1)k]e[f(x2)k] 很容易看出这是一个对 那么进入第二步，设称式，也是说互换x1x2还是一样的F(x1)F(x2)F(x)ex[f(x)k]，验证可知。记得回带k，用罗尔定理证明即可④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)1 试证存在，(0,1)使得e[f()f()]1分析：首先把与分开，那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么，很容易看出那么可以先从左边的式子下手试一下xe[f()f()][ef()]，设F(x)ef(x)利用拉格朗日定理可得F()eaef(b)ef(a)baexbba

再整理一下 e[f()f()]ebbaa只要找到eaba与e的关系就行了得到 这个更容易看出来了，G()e令G(x)e则再用拉格朗日定理就e[f()f()]ba②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。ebe

中值定理超强总结 篇2

2018考研数学重点：中值定理证明题解

题技巧

考研数学中证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及，在此着重说说应用拉格朗日中值定理来证明不等式的解题方法与技巧。

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根据以上的攻关点拨和典例练习，相信同学们对该题型的解题训练有了一定的掌握。

需要提醒考生们，数学题目多，而且考查的知识点很综合，很多人担心自己做的少，碰到的知识点就会少一些，从而加快了解题速度，实际上考生最重要的是要注重对题目的理解，对基本知识的概括和各种题型解题技巧的能力训练，因此大家可以根据以上的攻关点拨和典例练习，这样加以积累练习，为以后的快速准确解题打下基础。

另外，数学试题切忌眼高手低，实践出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的复习程度，疏漏的内容，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己再把题目独立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知识点。